c 4 (1) Robertson Walker (x 0 = ct) , R 2 (t) = R0a 2 2 (t) (2) p(t) g = (3) p(t) g 22 p(t) g 33

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "c 4 (1) Robertson Walker (x 0 = ct) , R 2 (t) = R0a 2 2 (t) (2) p(t) g = (3) p(t) g 22 p(t) g 33"

Λαύρα Λαιμός
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΤΟ ΚΑΘΙΕΡΩΜΕΝΟ ΠΡΟΤΥΠΟ ΤΗΣ ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑΣ Α. Η ΕΞΙΣΩΣΗ EINSTEIN Διδάσκων: Θεόδωρος Ν. Τομαράς G µν R µν 1 g µν R = κ T µν, κ 8πG N c 4 (1) Β. Η ΕΞΙΣΩΣΗ FRIEDMANN. Για ομογενή και ισότροπο χωρόχρονο έχουμε τη γενική μορφή της μετρικής Robertson Walker (x 0 = ct) 1 ( ) 1 1 kξ g µν = R, g (t) g ij ξ, R (t) = R0a (t) ij ξ sin θ () Για ομογενές και ισότροπο τέλειο ρευστό (ύλης και ενέργειας) έχουμε ( ρ(t)c T µν = ρ(t)c ) p(t) g = 11 p(t) g ij p(t) g p(t) g () Τα σύμβολα Christoffel είναι Γ 0 ij = RṘ g ij, Γ i 0j = Ṙ R δi j, Γ i jk = 1 gil ( g lj,k + g lk,j g jk,l ) = Γ i jk (4) Οπότε, οι συνιστώσες του τανυστή του Ricci είναι Ομοίως, R 00 = R i 0i0 = Γi 0i x Γi 00 + Γ λ 0 x 0iΓ i i 0λ Γ λ 00Γ i iλ = (Ṙ ) (Ṙ ) x 0 R R = R R (5) R 0i = 0, R ij = (R R + Ṙ + k) g ij (6) Από αυτόν υπολογίζουμε τη βαθμωτή καμπυλότητα R R g µν R µν = g 00 R 00 + g 11 R 11 + g R + g R = 6 1 ( R R + Ṙ R + k ) R (7)

2 Οπότε, η εξίσωση 00 του Einstein, G 00 R 00 1 g 00 R = κt 00, γράφεται ισοδύναμα (αντικαθιστώντας και την R(t) = R 0 a(t) και αλλάζοντας την έννοια της τελείας από παραγώγιση ως προς x 0 = ct σε παραγώγιση ως προς t) ȧ (t) a (t) + k c R0 a (t) = 8 π G N ρ(t). (8) Οι υπόλοιπες εξισώσεις Einstein δίνουν 1 ä(t) a(t) = 4 π G N c ( p(t) + ρ(t) c ) (9) Οι δύο τελευταίες εξισώσεις (8) και (9) λέγονται εξισώσεις Friedmann, προς τιμήν αυτού που τις παρήγαγε πρώτος για τη μελέτη της χρονικής εξέλιξης του Σύμπαντος. Οιωνεί Νευτώνεια ερμηνεία των εξισώσεων F riedmann. (α) Διατήρηση ενέργειας: Συνδυάζοντας τις (8) και (9) παίρνω που ισοδύναμα γράφεται d dt (ρc a ) = p da dt (10) de + pdv = dq = 0 (11) είναι η έκφραση του Νόμου Διατήρησης της Ενέργειας σύμφωνα με τον πρώτο νόμο της θερμοδυναμικής, αφού λέει οτι η ενέργεια σε ένα στοιχείο όγκου αλλάζει κατά το έργο που παράγει το σύστημα λόγω αλλαγής του όγκου του. Υπενθυμίζω οτι η μεταβολή της θερμότητας dq είναι μηδέν, διότι το αντίθετο προϋποθέτει διαφορά θερμοκρασίας, πράγμα που εξ ορισμού δεν μπορεί να συμβαίνει σε ένα ομογενές Σύμπαν. (β) Η Νευτώνεια ερμηνεία της (8). Είναι λογικό και αναμενόμενο να ισχύει η Νευτώνεια μηχανική για μικρό μέρος του Σύμπαντος. Οι ταχύτητες των γαλαξιών σε μικρό τμήμα του Σύμπαντος είναι μικρές και τα βαρυτικά πεδία ασθενή. Η εφαρμογή της Νευτώνειας μηχανικής σε ΟΛΟ το Σύμπαν δεν είναι καλή προσέγγιση, αφού δεν ισχύουν πιά τα παραπάνω. Ας θεωρήσουμε λοιπόν ένα γαλαξία ή μερικούς γαλαξίες συνολικής μάζας m σε απόσταση r από εμάς (r = 0). Η μάζα m δέχεται την επίδραση της βαρυτικής δύναμης ΜΟΝΟ από τη μάζα του τμήματος του Σύμπαντος, που έχει κέντρο εμάς και ακτίνα r. Ολοι οι ομόκεντροι σφαιρικοί φλοιοί, που έχουν τη μάζα m στο εσωτερικό τους, δεν ασκούν δύναμη σ αυτήν. Η ολική της ενέργεια, το άθροισμα της κινητικής και της δυναμικής, είναι επομένως 1 mṙ G N m M r = E tot. (1) 1 Αποδείξτε το. Είναι εφαρμογή των βασικών ορισμών και τύπων. Θα σας βοηθήσει να εξοικειωθείτε με τις πράξεις. ΑΣΚΗΣΗ: Να αποδείξετε οτι οι (8) και (9) συνεπάγονται την (10).

3 Χρησιμοποιώντας το οτι για το διαστελλόμενο Σύμπαν ισχύει r(t) = a(t) r 0 και οτι η μάζα μέσα στη σφαίρα ακτίνας r είναι M = (4/) πr (t) ρ, παίρνω ȧ 8 π G N ρ a = E tot m r 0, (1) ήτοι, την εξίσωση (9) με την αντιστοίχιση E tot m r 0 = k c R 0 (14) (γ) Η Νευτώνεια ερμηνεία της (9). Η καταστατική εξίσωση. Το ομογενές και ισότροπο Σύμπαν με συστατικά ένα τέλειο ρευστό εξελίσεται χρονικά με το τρόπο που περιγράφουν οι ανεξάρτητες εξισώσεις (8) και (10). Δύο εξισώσεις για τρείς άγνωστες συναρτήσεις δεν είναι αρκετές. Χρειαζόμαστε ακόμα μία. Αυτή είναι η καταστατική εξίσωση του ρευστού. Είναι μια σχέση της μορφής p = p(ρ), που συνδέει την πίεση με την πυκνότητά του. Τρία ειδικά ρευστά θα μας απασχολήσουν. Η ακτινοβολία ή σχετικιστικό ρευστό, η σκόνη ήτοι μη σχετικιστική ύλη με σωμάτια με μάζα και το κενό. Ολα περιγράφονται από καταστατική εξίσωση της μορφής p(t) = w ρ(t) c (15) με w R = 1/ για την ακτινοβολία, w M = 0 για τη σκόνη και w V κενό. = 1 για το Η κρίσιμη πυκνότητα ρ c (t) και η τοπολογία του Σύμπαντος. Εχουμε ορίσει την κρίσιμη πυκνότητα στη χρονική στιγμή t από τη σχέση ρ c (t) H (t) 8 π G N (16) και το ποσοστό Ω(t) της πραγματικής πυκνότητας ως προς την κρίσιμη από τη σχέση Ω(t) ρ(t) (17) ρ c (t) Χρησιμοποιώντας αυτές, η (8) γράφεται ισοδύναμα και ειδικά για σήμερα k = R 0 ȧ (t) c (1 Ω) (18) k c R 0 = H 0 (Ω 0 1) (19) ΑΣΚΗΣΗ: Χρησιμοποιώντας την ίδια προσέγγιση όπως παραπάνω, να αποδείξετε οτι η εξίσωση (9) (χωρίς την πίεση) προκύπτει από την εξίσωση του Νεύτωνα F = ma πάνω σε γαλαξία μάζας m στον οποίο ασκείται δύναμη από τη μάζα μέσα στη σφαίρα ακτίνας ίσης με την απόστασή του εμάς (r = 0).

4 Ω 0 = 1 k = 0 (euclidean) Ω 0 > 1 k = +1 (sphere) Ω 0 < 1 k = 1 (hyperboloid) (0) Η οιωνεί Νευτώνεια ερμηνεία της κρίσιμης πυκνότητας. Η κρίσιμη πυκνότητα και ο τύπος που την δίνει μπορούν να παραχθούν με Νευτώνεια επιχειρηματολογία, όπως οι εξισώσεις του F riedmann. Η κρίσιμη πυκνότητα είναι ακριβώς αυτή για την οποία η ταχύτητα του γαλαξία μάζας m στη θέση r είναι ίση με τη ταχύτητα διαφυγής του από την βαρυτική έλξη της σφαίρας ακτίνας r. Πράγματι, η ολική ενέργεια της μάζας m με ταχύτητα ίση με την ταχύτητα διαφυγής είναι E tot = K + V = 0, οπότε έχουμε 1 mm c mṙ G N. (1) r Αντικαθιστώντας τις r(t) = a(t) r 0 και M c = (4/)πr (t)ρ c παίρνουμε ρ c (t) = H (t) 8πG N. () Γ. ΑΠΛΑ ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Ξαναγράφω τις τρεις θεμελιώδεις εξισώσεις του ομογενούς και ισότροπου Σύμπαντος: ȧ (t) a (t) + k c R0 a (t) = 8 π G N ρ(t), () d dt (ρ(t) c a (t)) = p(t) da (t) dt, p(t) = w ρ(t) c (4) ΤΟ ΚΕΝΟ ΣΥΜΠΑΝ Μια πρώτη εφαρμογή των εξισώσεων αυτών είναι η μελέτη ενός Σύμπαντος χωρίς ύλη, δηλαδή με ρ = 0 = p. Στη περίπτωση αυτή έχουμε τις εξής δύο δυνατότητες: (α) k = 0 και με βάση την (8) a(t) = constant, δηλαδή χωρόχρονο Minkowski. (β) k = 1, οπότε a(t) = ± c t/r 0, δηλαδή ένα Σύμπαν διαστελλόμενο ή συστελλόμενο με σταθερό ρυθμό. Αντικαθιστώ στην δεύτερη των (4) την τρίτη και παίρνω: ρ ρ = (1 + w)ȧ a (5) 4

5 που με ολοκλήρωση δίνει ρ(t) = ρ 0 [a(t)] (1+w) (6) Για τα τρία σημαντικότερα ρευστά που θα μας απασχολήσουν εδώ, και που απασχολούν γενικά τη κοσμολογία έχουμε ρ M (t) = ρ M,0 a (t), ρ R(t) = ρ R,0 a 4 (t), ρ V (t) = ρ V,0 = constant (7) Ενα ρεαλιστικό παράδειγμα: k = 0 Εστω οτι οι παρατηρήσεις των αστρονόμων δείχνουν οτι το Σύμπαν σήμερα αποτελείται από ακτινοβολία Ω R,0 = ρ R,0 /ρ c,0 = 8πGρ R,0 /H 0, σκόνη Ω M,0 = 8πGρ M,0 /H 0 και ενέργεια κενού Ω V,0 = 8πGρ V,0 /H 0, που συνολικά ικανοποιούν τη σχέση Ω 0 = Ω R,0 + Ω M,0 + Ω V,0 = 1. (8) Οπως είπαμε σε προηγούμενο μάθημα, το Σύμπαν μας σήμερα πιστεύουμε οτι αντιστοιχεί περίπου σε Ω V,0 0.70, Ω M,0 0.0, Ω R, Αυτό με βάση την (19) σημαίνει οτι k = 0 και από την (18) συμπεραίνουμε οτι Ω(t) = 1 πάντα στο παρελθόν και στο μέλλον. Η γεωμετρία του Σύμπαντος δίνεται σε σφαιρικές πολικές συντεταγμένες από τη μετρική (αλλάζω το όνομα της συντεταγμένης ξ r) ds = c dt R 0 a (t) (dr + r dθ + r sin θdφ ) (9) με τον παράγοντα κλίμακας να ικανοποιεί την εξίσωση F riedmann (), που για k = 0 και υποθέτοντας οτι σε όλη την ιστορία του Σύμπαντος τα τρία συστατικά του δεν αλληλεπιδρούν ώστε να έχουμε μετατροπές από το ένα είδος σε άλλο, δίνει ȧ = 8πG a ρ(t) = 8πG = H 0 ( ρ V,0 + ρ M,0 + ρ R,0 a a 4 ( Ω V,0 + Ω M,0 + Ω R,0 a a 4 οπότε, η εξίσωση κίνησης του παράγοντα κλίμακας του Σύμπαντος γίνεται με 1 H 0 U eff (a) = 1 ) ) (0) ȧ (t) + U eff (a) = 0, (1) ( Ω V,0 a + Ω M,0 a + Ω ) R,0 a () που, για τη δεδομένη αρχική συνθήκη a(t 0 ) = 1, μας δίνει τη συνάρτηση a(t) για κάθε χρονική στιγμή. ΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΗΣ ΧΡΟΝΙΚΗΣ ΕΞΕΛΙΞΗΣ ΜΠΟΡΟΥΝ ΝΑ ΜΕΛΕΤΗΘΟΥΝ ΓΡΑΦΙΚΑ. 5

6 Απλές ερωτήσεις: (α) Πότε η διαστολή του Σύμπαντος είναι επιταχυνόμενη και πότε επιβραδυνόμενη; Απάντηση: Οταν du eff /da > 0 έχουμε επιτάχυνση και αντίστοιχα όταν du eff /da < 0 επιβράδυνση. (β) Για ποιές τιμές της a(t) είχαμε στο Σύμπαν μας φωτοκρατία, για ποιές υλοκρατία και για ποιές έχουμε την υπερίσχυση του κενού ; Απάντηση: Για μικρά a για τα οποία Ω R,0 /a > Ω M,0 /a, ήτοι a < έχουμε φωτοκρατία. Για μεγάλα a για τα οποία ισχύει Ω V,0 a > Ω M,0 /a, δηλαδή a > (/7) 1/ 0.75 έχουμε επικράτηση του κενού. Ενδιάμεσα έχουμε υλοκρατία. (γ) Σε ποιούς χρόνους αντιστοιχούν οι περίοδοι του ερωτήματος (β); Απάντηση: Πρέπει να υπολογίσουμε πότε ο παράγοντας κλίμακας είχε τις τιμές a 1 = και a = Μπορούμε να λύσουμε αριθμητικά την εξίσωση F riedmann και να βρούμε τη συνάρτηση a(t) και απο εκεί το χρόνο για τον οποίο ισχύει a(t) = a 1 ή a(t) = a. Μπορούμε όμως να λύσουμε την άσκηση προσεγγιστικά ως εξής: Στην αρχή το Σύμπαν ήταν υπο καθεστώς φωτοκρατίας. Αρα, η εξίσωση για τον παράγοντα κλίμακας ήταν ȧ /a =, της οποίας η λύση είναι a(t)/a(t 0 ) = (t/t 0 ). Αρα, t = t 0 (a(t)/a(t 0 )) =... Ειδικές περιπτώσεις. Η ενεργειακή πυκνότητα κάθε χρονική στιγμή είναι (ȧ ) = 8πG N ρ 0 a (1+w) () a της οποίας η γενική λύση με a(t 0 ) = 1 είναι με ( ) t ν a = (4) ν = t 0 (1 + w) Η σταθερά του Hubble σήμερα H 0 1/t H είναι από την οποία έπεται (5) (ȧ ) H 0 = ν (6) a t 0 t 0 t 0 = νt H (7) Ειδκότερα για τις περιπτώσεις υλοκρατίας και φωτοκρατίας, αντίστοιχα, ισχύει w = 0 ν = ( ) t / a(t) = t 0 = t H w = 1 ν = 1 t 0 ( ) t 1/ a(t) = t 0 = 1 t 0 t H (8) ΥΛΟΚΡΑΤΙΑ Η ΦΩΤΟΚΡΑΤΙΑ και k = 1 BIG CRUNCH 6

7 Φωτοκρατία. Στη περίπτωση αυτή ισχύει ρ a 4 και η εξίσωση F riedmann παίρνει τη μορφή ȧ = A a kc R 0 (9) με Α θετική σταθερά. Θέτοντας y = a η εξίσωση αυτή γράφεται και έχει για λύση την ẏ + 4kc y = 4A (40) R0 a (t) = At kc t (41) R0 με αρχική συνθήκη 1 = At 0 kc t 0/R 0. Για k = 0 αναπαράγομε τη συμπεριφορά a(t) t του παράγοντα κλίμακας. Για k = 1 το a(t) αυξάνει συνεχώς, ενώ για k = 1 έχουμε αρχικά αύξηση του a(t), στη συνέχεια μείωση, μέχρι τη στιγμή t C = AR 0/c κατά την οποία το Σύμπαν θα έχει συσταλεί σε μηδενική τιμή του a(t C ) = 0. Υλοκρατία. Στην περίπτωση αυτή έχουμε ρ a και η εξίσωση F riedmann γράφεται ȧ = B a kc. (4) R0 με Β θετική σταθερά. Η εξίσωση είναι λίγο πιό δύσκολη, αλλά η λύση έχει τα ίδια γενικά χαρακτηριστικά. Δηλαδή, για k = 0 βρίσκουμε a(t) t /, για k = 1 το Σύμπαν διαστέλλεται συνεχώς, ενώ για k = 1 το Σύμπαν διαστέλλεται μέχρι το μέγιστο μέγεθος a max = BR0/c και στη συνέχεια συστέλλεται μέχρι να μηδενιστεί ο παράγοντας κλίμακας. 7

Σχετικά έγγραφα

1 Ο παράγοντας κλίμακας και ο Νόμος του Hubble

1 Ο παράγοντας κλίμακας και ο Νόμος του Hubble ΤΟ ΚΑΘΙΕΡΩΜΕΝΟ ΠΡΟΤΥΠΟ ΤΗΣ ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑΣ Διδάσκων: Θεόδωρος Ν. Τομαράς Ο παράγοντας κλίμακας και ο Νόμος του Hubble Σύμφωνα με την Κοσμολογική Αρχή το Σύμπαν είναι σε μεγάλες κλίμακες ομογενές και ισότροπο.