Παράδειγμα #4 ΑΛΓΕΒΡΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

Transcript

1 Παράδειγμα #4 ΑΛΓΕΒΡΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Επιμέλεια: ΓΙΑΝΝΗΣ ΛΥΧΝΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Άσκηση 1 Τα ισοζύγια µάζας του συστήµατος διανοµής ατµού σε µονάδα διυλιστηρίου δίνονται από τις παρακάτω εξισώσεις: x x 4 x 5 = x 3 x 6 = x 7 = 61.2 x 5 + x 7 x 8 x 9 x 10 + x 2 = 99.1 x 8 + x 9 +x 10 + x 11 x 12 x 13 = 8.4 x 6 x 2 = (181.60) + x 3 x 6 +x 12 +x 1 = x x 1 = (181.60) + x 11 = (181.60) + x 4 = 0 x x 1 = 0 x x 14 = (181.60) + x 9 = 0 x 12 x 14 + x 1 = 97.9 Τα έχουν µονάδες σε 1000 kg/hr. Οι εξισώσεις (1-14) αντιστοιχούν σε ισοζύγια µάζας στις συσκευές: Header 680-psia, De-super heater, Alternator turbine, Header 170-psia, Header 37-psia, Header 215-psia, BFW balance, Condensate drum, Blow down flash drum, Boiler atomizing, Treated feed-water pump, Boiler feed-water pump, Boiler fan, De-aerator. Να προσδιορισθούν οι 14 άγνωστοι, λύνοντας το γραµµικό σύστηµα µε την µεθόδους Απαλοιφή Gauss και Gauss Seidel. Στην περίπτωση της επαναληπτικής µεθόδου Gauss Seidel να υπολογισθούν µε χρήση υπολογιστικού πακέτου οι ιδιοτιµές του πίνακα επανάληψης και να σχολιασθεί η σύγκλιση της µεθόδου. Με βάση τα αποτελέσµατα να σχολιασθούν τα πλεονεκτήµατα και µειονεκτήµατα των δύο προσεγγίσεων. 1

2 Απάντηση: Κάνοντας πράξεις και αναδιατάσσοντας τις εξισώσεις έτσι ώστε τα διαγώνια στοιχεία τους να είναι διάφορα του μηδενός παίρνουμε το ακόλουθο σύστημα: x1 +x3 -x6 +x12 = x2 +x6 = 24.2 x3 +x4 +x5 = x4 = x x14 = x3 -x6 = x7 = x1 +x8 = 0 x9 = x2 +x5 +x7 -x8 -x9 -x10 = 99.1 x11 = x x12 = x8 +x9 +x10 +x11 -x12 -x13 = -8.4 x1 +x12 -x14 = Άρα με μορφή πινάκων έχουμε να λύσουμε το γραμμικό σύστημα Ax = B, όπου: Α= και Β=

3 Λύνοντας το σύστημα στη Mathematica παίρνουμε: a b LinearSolve[a,b] {{164.7},{ },{ },{2.9056},{20.339},{24.202},{ },{ },{ },{ },{ },{ },{8.0446},{ }} Το πρόγραμμα σε Fortran που κάνει επίλυση γραμμικού συστήματος με τη μέθοδο Gauss είναι το ακόλουθο: Program Gauss_Jordan USE DFPORT! Απαιτείται για την μέτρηση του CPU Time implicit none doubleprecision,allocatable::a(:,:),x(:) integer,allocatable::tx(:) integer::n=14,i,j,k,status real::t,pivot,s,tim,ta(2) allocate(a(n,n+1),x(n),tx(n)) if (status/=0) Stop 'Not enough memory' 3

4 ! Ορισμός του συστήματος a(1,:)=(/1.,0.,1.,0.,0.,-1.,0.,0.,0.,0.,0.,1.,0.,0.,189.14/) a(2,:)=(/0.,-1.,0.,0.,0.,1.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,24.2/) a(3,:)=(/0.,0.,1.,1.,1.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,43.93/) a(4,:)=(/0.,0.,0.,1.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,2.9056/) a(5,:)=(/0.,0.,0.,0.,1.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,-0.07,0./) a(6,:)=(/0.,0.,1.17,0.,0.,-1.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0./) a(7,:)=(/0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.745,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,71.37/) a(8,:)=(/ ,0.,0.,0.,0.,0.,0.,1.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0./) a(9,:)=(/0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,1.,0.,0.,0.,0.,0., /) a(10,:)=(/0.,1.,0.,0.,1.,0.,1.,-1.,-1.,-1.,0.,0.,0.,0.,99.1/) a(11,:)=(/0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,1.,0.,0.,0., /) a(12,:)=(/0.11,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,4.594,0.,0.,146.55/) a(13,:)=(/0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,1.,1.,1.,1.,-1.,-1.,0.,-8.4/) a(14,:)=(/1.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,1.,0.,-1.,-97.9/)! Ο πίνακας ΤΧ «θυμάται» τις αλλαγές των στηλών σε πλήρη οδήγηση do i=1,n TX(i)=i call print_table k=1 do while (k<=n)! Επιλογή οδηγού pivot=find_pivot(3,k)! 3= Πλήρης οδήγηση if (pivot==0) then print*, 'Pivot = 0. Gauss elimination can not continue' stop endif! Αρχή «τριγωνοποίησης» πίνακα do j=k,n+1 a(k,j)=a(k,j)/pivot do i=k+1,n t=a(i,k) do j=k,n+1 a(i,j)=a(i,j)-a(k,j)*t call print_table read* k=k+1! Η «τριγωνοποίηση» του πίνακα ολοκληρώθηκε! Οπισθοδρόμηση x(n)=a(n,n+1) do i=n-1,1,-1 s=0 4

5 do j=i+1,n s=s+a(i,j)*x(j) x(i)=a(i,n+1)-s!εμφάνιση του αποτελέσματος do i=1,n print*,'x(',tx(i),')= ',x(i)!υπολογισμός του CPU Time tim = ETIME(TA) print*, 'Program has used', tim, 'seconds of CPU time.'! Υποπρογράμματα Contains! Εκτύπωση πίνακα subroutine print_table integer::i print*, ' ' do i=1,n print*, a(i,:) end subroutine print_table!εύρεση οδηγού της k-γραμμής! s=1 χωρίς οδήγηση! s=2 μερική οδήγηση! s=3 πλήρης οδήγηση real function find_pivot(s,k) integer,intent(in)::s,k integer::i,maxi,maxj,t real::max,temp if (s==1) then! No pivoting max=a(k,k) elseif (s==2) then! Partial Pivoting max=a(k,k) maxi=k do i=k,n if (abs(a(i,k))>abs(max)) then max=a(i,k) maxi=i endif if (maxi/=k) then do j=1,n+1 temp=a(k,j) a(k,j)=a(maxi,j) a(maxi,j)=temp endif elseif (s==3) then! Full Pivoting 5

6 max=a(k,k) maxi=k maxj=k do i=k,n do j=k,n if (abs(a(i,j))>abs(max)) then max=a(i,j) maxi=i maxj=j endif if (maxi/=k) then do j=1,n+1 temp=a(k,j) a(k,j)=a(maxi,j) a(maxi,j)=temp endif if (maxj/=k) then do i=1,n temp=a(i,k) a(i,k)=a(i,maxj) a(i,maxj)=temp t=tx(k) TX(k)=TX(maxj) TX(maxj)=t endif endif print*,'after pivoting' call print_table do i=1,n print*, TX(i) find_pivot=max end function find_pivot end Τρέχοντας το πρόγραμμα δίνει τα εξής αποτελέσματα: 6

7 Αρχικός Πίνακας Γραμμή = 1 Οδηγός = Στη θέση 12,12 (του προηγούμενου πίνακα) Γραμμή = 2 Οδηγός = Στη θέση 6, Γραμμή = 3 Οδηγός = 1 Στη θέση 3,

8 Γραμμή = 4 Οδηγός = -1 Στη θέση 4, Γραμμή = 5 Οδηγός = -1 Στη θέση 6, Γραμμή = 6 Οδηγός = 1 Στη θέση 8, Γραμμή = 7 Οδηγός = 1 Στη θέση 9,

9 Γραμμή = 8 Οδηγός = 1 Στη θέση 10, Γραμμή = 9 Οδηγός = 1 Στη θέση 11, Γραμμή = 10 Οδηγός = 1 Στη θέση 13, Γραμμή = 11 Οδηγός = -1 Στη θέση 14,

10 Γραμμή = 12 Οδηγός = Στη θέση 12, Γραμμή = 13 Οδηγός = Στη θέση 13, Γραμμή = 14 Οδηγός = Στη θέση 14, Η τελική λύση είναι: x1= x2= E-003 x3= x4= x5= x6= x7= x8= x9= x10= E-004 x11= x12=

11 x13= x14= Ο χρόνος που απαιτήθηκε για να δοθεί η απάντηση είναι: δευτερόλεπτα (CPU Time) Το πρόγραμμα σε Fortran για τον αλγόριθμο Gauss-Seidel είναι το ακόλουθο: Program Gauss_Seidel USE DFPORT implicit none real,allocatable::a(:,:),b(:),x(:),x0(:) integer::n=14,i,j,k,status,done,maxi real::s1,s2,rel,err,max,ta(2) allocate(a(n,n),b(n),x(n),x0(n)) if (status/=0) Stop 'Not enough memory'! Ορισμός του συστήματος a(1,:)=(/1.,0.,1.,0.,0.,-1.,0.,0.,0.,0.,0.,1.,0.,0./) b(1)= a(2,:)=(/0.,-1.,0.,0.,0.,1.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0./) b(2)=24.2 a(3,:)=(/0.,0.,1.,1.,1.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0./) b(3)=43.93 a(4,:)=(/0.,0.,0.,1.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0./) b(4)= a(5,:)=(/0.,0.,0.,0.,1.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,-0.07/) b(5)=0. a(6,:)=(/0.,0.,1.17,0.,0.,-1.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0./) b(6)=0. a(7,:)=(/0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.745,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0./) b(7)=71.37 a(8,:)=(/ ,0.,0.,0.,0.,0.,0.,1.,0.,0.,0.,0.,0.,0./) b(8)=0. a(9,:)=(/0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,1.,0.,0.,0.,0.,0./) b(9)= a(10,:)=(/0.,1.,0.,0.,1.,0.,1.,-1.,-1.,-1.,0.,0.,0.,0./) b(10)=99.1 a(11,:)=(/0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,1.,0.,0.,0./) b(11)= a(12,:)=(/0.11,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,4.594,0.,0./) b(12)= a(13,:)=(/0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,1.,1.,1.,1.,-1.,-1.,0./) b(13)=-8.4 a(14,:)=(/1.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,1.,0.,-1./) b(14)=-97.9! Αρχική εκτίμηση x0(:)=(/160,0,20,3,20,24,95,2,14,0,10,28,8,290/)! Μέγιστο πλήθος επαναλήψεων maxi=1000! Επιθυμητό Σχετικό σφάλμα rel=

12 k=1 done=0 do while (k<=maxi.and. done==0) print*,'k= ',k print*,' ' do i=1,n print*,x0(i) print*,' ' do i=1,n s1=0 do j=1,i-1 s1=s1+a(i,j)*x(j) s2=0 do j=i+1,n s2=s2+a(i,j)*x0(j) if (a(i,i)/=0) then x(i)= (-s1-s2+b(i)) / a(i,i) else print*,'error! To diagwnio stoixeio a(',i,',',i,') einai 0' stop endif! Έλεγχος για τερματισμό max=-1 do i=1,n if (x(i)/=0.) then err = abs((x(i) - x0(i))/x(i)) * 100. print*,'err=',err endif if (err>max) then max=err end if print*, 'maxerr=',max read* if (max<rel) then done=1 end if!τέλος ελέγχου τερματισμού x0(:)=x(:) k=k+1 print*,'==========solution============' do i=1,n print*,'x(',i,')=',x(i) 12

13 print*, 'Program has used', ETIME(TA), 'seconds of CPU time.' end Τρέχοντας το πρόγραμμα με αρχική εκτίμηση x0 = (160,0,20,3,20,24,95,2,14,0,10,28,8,290) παίρνουμε σταδιακά τα παρακάτω αποτελέσματα: n x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13 x14 Max Err % E E E E E E E E E E E E E E E E E E E

14 Οπότε η λύση είναι η: x( 1)= x( 2)= E-03 x( 3)= x( 4)= x( 5)= x( 6)= x( 7)= x( 8)= x( 9)= x(10)= E-04 x(11)= x(12)= x(13)= x(14)= και χρειάστηκαν 11 επαναλήψεις. Ο χρόνος που απαιτήθηκε για να δωθεί η απάντηση είναι: δευτερόλεπτα (CPU Time) Για τον υπολογισμό των ιδιοτιμών του πίνακα επανάληψης της μεθόδου Gauss-Seidel θα χρησιμοποιήσουμε τη Mathematica. Είναι γνωστό ότι αν Α=D-L-U τότε ο πίνακας επανάληψης της Gauss-Seidel είναι ο: G=(D-L) -1 U, όπου: D = o διαγώνιος πίνακας που προκύπτει από τον Α -L= o κάτω τριγωνικός πίνακας που προκύπτει από τον Α -U= o άνω τριγωνικός πίνακας που προκύπτει από τον Α Έχουμε λοιπόν: a

15 l d u Θέτουμε: l = -l u = -u

16 Δοκιμάζουμε αν έγινε σωστά το «σπάσιμο» του Α σε D,L,U ad-l-u True Βρίσκουμε τον G: g = Inverse[d-l].u και τις ιδιοτιμές του: (H Chop στογγυλεύει σε 0 τις τιμές που βρίσκονται πολύ κοντά στο 0) e=chop[eigenvalues[ν[g]]] { , , ,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0} Τέλος παίρνουμε την φασματική ακτίνα του g: ρ = Max[Abs[e]] (ή ρ=νorm[e,] ) ρ = Παρατηρούμε ότι ρ(g)< 1. Άρα η μέθοδος Gauss-Seidel συγκλίνει. Οι δύο μέθοδοι εφαρμόζουν διαφορετικές τεχνικές (απ ευθείας η απαλοιφή Gauss και επαναληπτική η Gauss-Seidel) οπότε ο μόνος τρόπος σύγκρισής τους είναι βάσει του χρόνου λειτουργίας του επεξεργαστή (CPU Τime), αλλά για την Gauss-Seidel αυτός είναι συνάρτηση της αρχικής εκτίμησης! Η απαλοιφή Gauss είναι σίγουρα πιο αργή σαν μέθοδος, αλλά έχει το πλεονέκτημα ότι δίνει με βεβαιότητα τη λύση του συστήματος. Από την άλλη η Gauss-Seidel είναι πιο γρήγορη αλλά έχει το μειονέκτημα ότι μπορεί να μην συγκλίνει πάντα (αν ρ(g)>=1) Άσκηση 2 Να βρεθούν οι πίνακες επανάληψης των επαναληπτικών µεθόδων (i) Jacobi, (ii) Gauss- Seidel, (iii) S.O.R και (iv) S.S.O.R. όταν αυτές εφαρµόζονται στην επίλυση του συστήµατος Αx=B Απάντηση: Αν G είναι ο πίνακας επανάληψης κάποιας επαναληπτικής μεθόδου πρέπει να ισχύει: x (n+1) = G x (n) + k Αν γράψουμε τον Α ως D-L-U όπου D = o διαγώνιος πίνακας που προκύπτει από τον Α -L= o κάτω τριγωνικός πίνακας που προκύπτει από τον Α -U= o άνω τριγωνικός πίνακας που προκύπτει από τον Α τότε έχουμε: i) Jacobi: Σε μορφή πινάκων η μέθοδος γράφετε ως εξής: Dx (n+1) = Lx (n) +Ux (n) +b Dx (n+1) = (L+U)x (n) +b 16

17 x (n+1) = D -1 (L+U)x (n) +D -1 b Άρα G = D -1 (L+U) ii) Gauss-Seidel Σε μορφή πινάκων η μέθοδος γράφετε ως εξής: Dx (n+1) = Lx (n+1) +Ux (n) +b Dx (n+1) - Lx (n+1) = Ux (n) +b (D L)x (n+1) = Ux (n) +b x (n+1) = (D L) -1 Ux (n) + (D L) -1 b Άρα G = (D-L) -1 U iii) S.O.R. Σε μορφή πινάκων η μέθοδος γράφετε ως εξής: Dx (n+1) = ω ( Lx (n+1) +Ux (n) +b ) + (1-ω)Dx (n) Dx (n+1) = ωlx (n+1) +ωux (n) +ωb + (1-ω)Dx (n) Dx (n+1) - ωlx (n+1) = ωux (n) + (1-ω)Dx (n) +ωb (D ωl)x (n+1) = [ωu + (1-ω)D]x (n) +ωb x (n+1) = (D ωl) -1 [ωu + (1-ω)D]x (n) +ω (D ωl) -1 b Άρα G = (D-ωL) -1 [ωu+(1-ω)d] iv) S.S.O.R. Σε μορφή πινάκων η μέθοδος γράφετε ως εξής: Dx (n+1/2) = ω ( Lx (n+1/2) +Ux (n) +b ) + (1-ω)Dx (n) (1) και Dx (n+1) = ω ( Lx (n+1/2) +Ux (n+1) +b ) + (1-ω)Dx (n+1/2) (2) (1) Dx (n+1/2) = ω Lx (n+1/2) + ω Ux (n) + ω b + (1-ω)Dx (n) Dx (n+1/2) - ω Lx (n+1/2) = ω Ux (n) + (1-ω)Dx (n) + ω b (D ω L)x (n+1/2) = [ω U + (1-ω)D]x (n) + ω b x (n+1/2) = (D ω L) -1 [ω U + (1-ω)D]x (n) + ω (D ω L) -1 b (3) (2) Dx (n+1) = ω Lx (n+1/2) + ω Ux (n+1) +ωb + (1-ω)Dx (n+1/2) Dx (n+1) - ω Ux (n+1) = ω Lx (n+1/2) + (1-ω)Dx (n+1/2) + ωb (D ω U)x (n+1) = [ω L+ (1-ω)D]x (n+1/2) + ωb (4) Αντικαθιστώντας την (3) στην (4) παίρνουμε: (D ω U)x (n+1) = [ω L+ (1-ω)D] (D ω L) -1 [ω U + (1-ω)D]x (n) + ω (D ω L) -1 b + ωb x (n+1) = (D ω U) -1 [ω L+ (1-ω)D] (D ω L) -1 [ω U + (1-ω)D]x (n) + (D ω U) -1 [ω (D ω L) -1 + ω] b Άρα G = (D-ωU) -1 [ωl+(1-ω)d](d-ωl) -1 [ωu+(1-ω)d] 17

18 Άσκηση 4 Να βρεθούν µε τη µέθοδο Newton οι ρίζες της εξίσωσης z 2 -z+1=0 Απάντηση: Με τη χρήση της Mathematica παίρνουμε: Solvez 2 z 1 0, zn {{z },{z }} Άρα οι ρίζες της εξίσωσης είναι μιγαδικές. Υποθέτουμε ότι z = a + i b τότε: (a+i b) 2 (a+i b) + 1 = 0 a i ab b 2 a i b + 1 = 0 a i ab b 2 a i b + 1 = 0 (a 2 b 2 a + 1) + i (2ab b) = 0 Οπότε για την εύρεση των a και b πρέπει να λύσουμε το ακόλουθο σύστημα εξισώσεων: a 2 b 2 a + 1 = 0 και 2ab b = 0 Το παραπάνω σύστημα είναι μη γραμμικό, γι αυτό επιλέγετε σαν μεθοδολογία επίλυσης ο αλγόριθμος Newton. Ο αλγόριθμος Newton για 2x2 σύστημα σε Fortran είναι ο ακόλουθος: program Newton_2x2 implicit none integer::i,k,done,maxi doubleprecision::x1,x2,f1,f2, df1x1,df1x2,df2x1,df2x2,jac,dx1,dx2,err1,err2,rel! Ορισμός συστήματος F1(x1,x2)=x1**2-x2**2-x1+1 F2(x1,x2)=2*x1*x2-x2! Μερικές παράγωγοι df1x1(x1,x2)=2*x1-1 df1x2(x1,x2)=-2*x2 df2x1(x1,x2)=2*x2 df2x2(x1,x2)=2*x1-1! Ιακωβιανή Jac(x1,x2)=dF1x1(x1,x2)*dF2x2(x1,x2)-dF1x2(x1,x2)*dF2x1(x1,x2)! Αρχική εκτίμηση x1=1 x2=1! Μέγιστο πλήθος επαναλήψεων maxi=1000! Επιθυμητό σχετικό σφάλμα rel=

19 k=1 done=0 do while (k<=maxi.and. done==0)! Λύση του γραμμικού συστήματος με τη μέθοδο Cramer dx1=(f2(x1,x2)*df1x2(x1,x2)-f1(x1,x2)*df2x2(x1,x2))/jac(x1,x2) dx2=(f1(x1,x2)*df2x1(x1,x2)-f2(x1,x2)*df1x1(x1,x2))/jac(x1,x2)! Έλεγχος σύγκλισης err1 = abs(dx1/(x1+dx1)) * 100. err2 = abs(dx2/(x2+dx2)) * 100. if (err1<rel.and.err2<rel) then done=1 end if print*, k,x1,x2,f1(x1,x2), F2(x1,x2),dF1x1(x1,x2),dF1x2(x1,x2),dF2x1(x1,x2),dF2x2(x1,x2),Jac(x1,x2),dx1,dx2,err1,err2 x1=x1+dx1 x2=x2+dx2 k=k+1 print*, '============Solution=============' print*, 'x1= ', x1, 'x2= ',x2 end Τα αποτελέσματα του αλγορίθμου έχουν ως εξής: k x1 x2 f1 f2 df1dx1 df1dx2 df2dx1 df2dx2 Jac dx1 dx2 err1 err Άρα a = 0.5 και b= Οπότε μία λύση της αρχικής εξίσωσης είναι η z = a + i b = i Η άλλη λύση θα είναι η συζυγής της πρώτης δηλαδή η i

20 Άσκηση 5 ίδεται το µη γραµµικό σύστηµα όπου P είναι µια παράµετρος που καθορίζεται αυθαίρετα. Να λυθεί µε τη µέθοδο Newton και να βρεθεί το εύρος των τιµών της παραµέτρου P για το οποίο η µέθοδος Newton συγκλίνει. Απάντηση Αναδιατάσωντας τους όρους των εξισώσεων καταλήγουμε στο ισοδύναμο σύστημα: x6 0.5 x1 x2 0.5 x3 0 x7 2 x3 x4 2x5 0 x7 1 x1 x2 x5 0 x x x x x4 8427x x x7 x7 0 x1 x2 x3 x4 x5 1 0 p 2 x1 x x3 x5 0 x1 x x2 x4 0 Επιλέγουμε P=20 και αρχική εκτίμηση: x1=0.5 x2=0. x3=0. x4=0.5 x5=0. x6=0.5 x7=2. 20

21 Το πρόγραμμα σε Fortran είναι το ακόλουθο: (Η επίλυση του γραμμικού συστήματος που προκύπτει σε κάθε επανάληψη γίνεται με την μέθοδο Gauss με πλήρη οδήγηση. Γι αυτό τον λόγο ο αλγόριθμος που δόθηκε παραπάνω σε προηγούμενη άσκηση, τροποποιήθηκε ώστε να γίνει υποπρόγραμμα και ενσωματώθηκε στον παρακάτω αλγόριθμο.) program Newton_7x7 implicit none integer::i,j,k,maxi,done doubleprecision::x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,f1,f2,f3,f4,f5,f6,f7 doubleprecision::df1x1,df1x2,df1x3,df1x4,df1x5,df1x6,df1x7 doubleprecision::df2x1,df2x2,df2x3,df2x4,df2x5,df2x6,df2x7 doubleprecision::df3x1,df3x2,df3x3,df3x4,df3x5,df3x6,df3x7 doubleprecision::df4x1,df4x2,df4x3,df4x4,df4x5,df4x6,df4x7 doubleprecision::df5x1,df5x2,df5x3,df5x4,df5x5,df5x6,df5x7 doubleprecision::df6x1,df6x2,df6x3,df6x4,df6x5,df6x6,df6x7 doubleprecision::df7x1,df7x2,df7x3,df7x4,df7x5,df7x6,df7x7 doubleprecision::dx1,dx2,dx3,dx4,dx5,dx6,dx7 doubleprecision::a(7,8),x(7) real::err1,err2,err3,err4,err5,err6,err7,rel integer::tx(7)! Ορισμός Σταθεράς P real::p=20! Συναρτήσεις του συστήματος F1(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)=0.5*x1 + x *x3 - x6/x7 F2(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)=x3 + x4 + 2*x5-2/x7 F3(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)=x1 + x2 + x5-1/x7 F4(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)=-28837*x *x *x *x *x /x7 - (10690*x6)/x7 F5(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)=-1 + x1 + x2 + x3 + x4 + x5 F6(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)=p**2*x1*x4** *x3*x5 F7(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)=x1*x *x2*x4! Μερικές παράγωγοι των συναρτήσεων του συστήματος df1x1(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)=0.5 df1x2(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)=1 df1x3(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)=0.5 df1x4(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)=0 df1x5(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)=0 df1x6(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)=-(1/x7) df1x7(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)=x6/x7**2 df2x1(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)=0 df2x2(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)=0 df2x3(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)=1 df2x4(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)=1 df2x5(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)=2 df2x6(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)=0 df2x7(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)=2/x7**2 21

22 df3x1(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)=1 df3x2(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)=1 df3x3(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)=0 df3x4(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)=0 df3x5(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)=1 df3x6(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)=0 df3x7(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)=x7**(-2) df4x1(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)= df4x2(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)= df4x3(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)= df4x4(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)=18927 df4x5(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)=8427 df4x6(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)=-10690/x7 df4x7(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)=(2*( *x6))/x7**2 df5x1(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)=1 df5x2(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)=1 df5x3(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)=1 df5x4(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)=1 df5x5(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)=1 df5x6(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)=0 df5x7(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)=0 df6x1(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)=(p**2)*(x4**3) df6x2(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)=0 df6x3(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)= *x5 df6x4(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)=3*p**2*x1*x4**2 df6x5(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)= *x3 df6x6(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)=0 df6x7(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)=0 df7x1(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)=x3 df7x2(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)= *x4 df7x3(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)=x1 df7x4(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)= *x2 df7x5(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)=0 df7x6(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)=0 df7x7(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)=0! Αρχική εκτίμηση x1=0.5 x2=0. x3=0. x4=0.5 x5=0. x6=0.5 x7=2.! Μέγιστο πλήθος επαναλήψεων maxi=1000!επιθυμητό σχετικό σφάλμα rel=0.01 k=1 done=0 22

23 do while (k<=maxi.and. done==0) a(1,:)= (/df1x1(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),df1x2(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),df1x3(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),df1x4(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),df1x5(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),df 1x6(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),dF1x7(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),- F1(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)/) a(2,:)= (/df2x1(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),df2x2(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),df2x3(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),df2x4(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),df2x5(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),df 2x6(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),dF2x7(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),- F2(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)/) a(3,:)= (/df3x1(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),df3x2(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),df3x3(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),df3x4(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),df3x5(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),df 3x6(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),dF3x7(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),- F3(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)/) a(4,:)= (/df4x1(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),df4x2(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),df4x3(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),df4x4(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),df4x5(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),df 4x6(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),dF4x7(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),- F4(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)/) a(5,:)= (/df5x1(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),df5x2(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),df5x3(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),df5x4(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),df5x5(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),df 5x6(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),dF5x7(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),- F5(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)/) a(6,:)= (/df6x1(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),df6x2(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),df6x3(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),df6x4(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),df6x5(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),df 6x6(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),dF6x7(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),- F6(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)/) a(7,:)= (/df7x1(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),df7x2(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),df7x3(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),df7x4(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),df7x5(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),df 7x6(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),dF7x7(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),- F7(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)/)! Κλήση υποπρογράμματος για την επίλυση του γραμμικού συστήματος! με την μέθοδο Gauss με πλήρη οδήγηση call Gauss(7,a,x,tx) do j=1,7 if (tx(j)==1) then dx1=x(j) elseif (tx(j)==2) then dx2=x(j) elseif (tx(j)==3) then dx3=x(j) elseif (tx(j)==4) then dx4=x(j) elseif (tx(j)==5) then dx5=x(j) elseif (tx(j)==6) then dx6=x(j) elseif (tx(j)==7) then dx7=x(j) end if 23

24 ! Έλεγχος σύγκλισης err1 = abs(dx1/(x1+dx1)) * 100. err2 = abs(dx2/(x2+dx2)) * 100. err3 = abs(dx3/(x3+dx3)) * 100. err4 = abs(dx4/(x4+dx4)) * 100. err5 = abs(dx5/(x5+dx5)) * 100. err6 = abs(dx6/(x6+dx6)) * 100. err7 = abs(dx7/(x7+dx7)) * 100. if (err1<rel.and.err2<rel.and.err3<rel.and.err4<rel.and.err5<rel.and.err6<r el.and.err7<rel) then done=1 end if! Εκτυπώσεις print*, ' ' print*, i-1,x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,dx1,dx2,dx3,dx4,dx5,dx6,dx7 print*, 'df1' print*,df1x1(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),df1x2(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),df1 x3(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),df1x4(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),df1x5(x1,x2,x3,x4,x 5,x6,x7),dF1x6(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),dF1x7(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),- F1(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7) print*, 'df2' print*,df2x1(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),df2x2(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),df2 x3(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),df2x4(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),df2x5(x1,x2,x3,x4,x 5,x6,x7),dF2x6(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),dF2x7(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),- F2(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7) print*, 'df3' print*,df3x1(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),df3x2(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),df3 x3(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),df3x4(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),df3x5(x1,x2,x3,x4,x 5,x6,x7),dF3x6(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),dF3x7(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),- F3(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7) print*, 'df4' print*,df4x1(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),df4x2(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),df4 x3(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),df4x4(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),df4x5(x1,x2,x3,x4,x 5,x6,x7),dF4x6(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),dF4x7(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),- F4(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7) print*, 'df5' print*,df5x1(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),df5x2(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),df5 x3(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),df5x4(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),df5x5(x1,x2,x3,x4,x 5,x6,x7),dF5x6(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),dF5x7(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),- F5(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7) print*, 'df6' print*,df6x1(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),df6x2(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),df6 x3(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),df6x4(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),df6x5(x1,x2,x3,x4,x 5,x6,x7),dF6x6(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),dF6x7(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),- F6(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7) print*, 'df7' print*,df7x1(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),df7x2(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),df7 x3(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),df7x4(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),df7x5(x1,x2,x3,x4,x 5,x6,x7),dF7x6(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),dF7x7(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),- F7(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7) read*! Νέες τιμές των x i x1=x1+dx1 24

25 x2=x2+dx2 x3=x3+dx3 x4=x4+dx4 x5=x5+dx5 x6=x6+dx6 x7=x7+dx7 k=k+1 print*,' solution ' print*, x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7 contains subroutine Gauss(n,a,x,tx) integer,intent(in) :: n doubleprecision, INTENT(INOUT) ::a(n,n+1) doubleprecision, INTENT(OUT) ::x(n) integer, INTENT(OUT)::tx(n) integer :: i,j,k,maxi,maxj,t real::tt,pivot,s,max,temp do i=1,n TX(i)=i k=1 do while (k<=n)!find pivot Full Pivoting max=a(k,k) maxi=k maxj=k do i=k,n do j=k,n if (abs(a(i,j))>abs(max)) then max=a(i,j) maxi=i maxj=j endif if (maxi/=k) then do j=1,n+1 temp=a(k,j) a(k,j)=a(maxi,j) a(maxi,j)=temp endif if (maxj/=k) then do i=1,n temp=a(i,k) 25

26 end k=k+1 a(i,k)=a(i,maxj) a(i,maxj)=temp t=tx(k) TX(k)=TX(maxj) TX(maxj)=t endif pivot=max! end find pivot if (pivot==0) then print*, 'Pivot = 0. Gauss elimination can not continue' stop endif do j=k,n+1 a(k,j)=a(k,j)/pivot do i=k+1,n tt=a(i,k) do j=k,n+1 a(i,j)=a(i,j)-a(k,j)*tt x(n)=a(n,n+1) do i=n-1,1,-1 s=0 do j=i+1,n s=s+a(i,j)*x(j) x(i)=a(i,n+1)-s end subroutine Gauss Σε Mathematica έχουμε: Πλήθος εξισώσεων n=7; Ορισμός της σταθεράς p p=20; Ορισμός του συστήματος f και των μεταβλητών xy 26

27 f x6 0.5 x1 x2 0.5 x3, x7 2 x3 x4 2x5, x7 1 x1 x2 x5, x x x x x4 8427x x x7 x7, x1 x2 x3 x4 x5 1, p 2 x1 x x3 x5, x1 x x2 x4 ; xy x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7; Επιθυμητό σχετικό σφάλμα relerr=0.01; Αρχική τιμή x0={0.5,0.,0.,0.5,0.,0.5,2.} Πίνακες μερικών παραγώγων Jac=Table[D[f[[i]],xy[[j]]],{i,n},{j,n}]//Simplify; Αρχικό σφάλμα maxerr=100; Μετρητής επαναλήψεων k=0; While[maxerr>relerr,Print[" "]; k=k+1; Print["n=",k]; Δημιουργία κανόνων αντικατάστασης της μορφής π.χ. x1->0.5 κτλ r=table[xy[[i]]x0[[i]],{i,n}]; Υπολογισμός Μερικών Παραγώγων στα σημεία x0[i] J=Jac/.r//N;Print["J=",J//MatrixForm]; Υπολογισμός του πίνακα -f b=-f/.r;print["-f=",b]; Επίλυση του γραμμικού συστήματος Jdx=-f dx=linearsolve[j,b]//n;print["dx=",dx]; Υπολογισμός σχετικού σφάλματος maxerr=max[abs[100 dx/(x0+dx)]]; Υπολογισμός νέων x i x0=x0+dx;print["x=",x0]; Print["MaxErr=",maxerr]] Το αποτέλεσμα της εκτέλεσης του παραπάνω κώδικα δίνει: 27

28 Πίνακας μερικών παραγώγων του συστήματος: x6 x7 x x x x6 x7 x x x x1 x x3 0 0 x x4 x x Αρχική εκτίμηση: x0={0.5,0.,0.,0.5,0.,0.5,2.} n= J f= {0.,0.5,0.,881.5,0.,-25.,0.} dx= { , , , , , , } x= { , , , , , , } MaxErr= n= J f , , , , , , dx= { , , , , , , } x= { , , , , , , } MaxErr=

29 n= J f , , , , , , dx= { , , , , , , } x= { , , , , , , } MaxErr= n= J f , , , , , , dx= { , , , , , , } x= { , , , , , , } MaxErr= n= J f , , , , , , dx , , , , , , x= { , , , , , , } MaxErr=

30 n= J f , , , , , , dx , , , , , , x= { , , , , , , } MaxErr= Άρα για P=20 και αρχική εκτίμηση: x0={0.5,0.,0.,0.5,0.,0.5,2.} η μέθοδος συγκλίνει μετά από 6 επαναλήψεις στη λύση: x= { , , , , , , } με μέγιστο σχετικό σφάλμα