Παράδειγμα #9 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΕΣ ΣΔΕ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Ν. Βασιλειάδης

Transcript

1 Παράδειγμα #9 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΕΣ ΣΔΕ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Ν. Βασιλειάδης Άσκηση Να επιλυθεί η εξίσωση ροής διαμέσου ενός κυλινδρικού αγωγού λόγω διαφοράς πίεσης: d u du u = + = dr r dr du με οριακές συνθήκες u () = 0 και u (0) πεπερασμένη ή = 0 (συνθήκη συμμετρίας). Στην dr r = 0 συνέχεια να υπολογιστεί η ογκομετρική παροχή του ρευστού. Απάντηση: Η αναλυτική λύση της διαφορικής εξίσωσης δίνεται με τη βοήθεια της Mathematica: DSolve[{u''[r] + /r*u'[r] == -, u[] == 0, u'[0] == 0}, u[r], r] 4 Αναλυτική λύση: u( r) = ( r ) π r Αναλυτική ογκομετρική παροχή: Q = u r da = u r r drdθ = Για την αριθμητική επίλυση του προβλήματος αρχικά διακριτοποιείται το πεδίο ορισμού. Η ακτίνα του αγωγού χωρίζεται σε N ίσα τμήματα ( N + κόμβοι) πλάτους r = / N r N N+ r=0 i- i i+ r= Αναπτύσσοντας τις εκφράσεις των πεπερασμένων διαφορών για τις παραγώγους η διακριτοποιημένη εξίσωση στους εσωτερικούς κόμβους i =,3... N δίνεται ως: - -

2 u u + u u u + = i+ i i i+ i r ri r u 0 = 0 u + = 0 Η οριακή συνθήκη στο τοίχωμα του αγωγού είναι: N Η οριακή συνθήκη στον άξονα συμμετρίας είναι: 4u 4u = r Το γραμμικό σύστημα που προκύπτει είναι τριδιαγώνιο όπως φαίνεται παρακάτω και επιλύεται με τον αλγόριθμο Thomas u r r r r r r r r u = ui r ri r r r ri r u N r rn r r Μετά την επίλυση του παραπάνω συστήματος η ογκομετρική παροχή μπορεί να υπολογιστεί με τον κανόνα τραπεζίου ως: π r N Q = u ( r) da = u ( r) r drdθ = π r ru + ru i i + rn+ un+ i= 0 0 Το πρόγραμμα σε Fortran που εκτελεί τους παραπάνω υπολογισμούς δίνεται παρακάτω: program CylinderPoiseuille implicit none integer::i,n real*8::pi,tstart,tend,radius,dr,q real*8,allocatable::r(:),u(:) real*8,allocatable::a(:,:) Pi=acos(-.)!Find program start time call cpu_time(tstart)!open output file open(00,file="cylinderpoiseuille_results.dat") - -

3 !Definition of geometry and discetization radius=.!radius of cylinder n=3!number of discrete segments (n+ nodes)!definition of the linear system of equations Dr=radius/Real(n) allocate(r(n+),u(n+),a(n,n+)) do i=,n r(i)=(i-)*dr Enddo a(:,:n)=0. ; a(:,n+)=-. a(,)=4. ; a(,)=-4 ; a(,n+)=dr**. do i=,n- a(i,i-)=./dr**.-./(.*r(i)*dr) a(i,i)=-./dr**. a(i,i+)=./dr**.+./(.*r(i)*dr) a(n,n-)=./dr**.-./(.*r(n)*dr); a(n,n)=-./dr**.;!write the linear system of equations to the output file write(00,"(a)") " " write(00,"(a)") " Linear system of equations " write(00,"(a)") " " do i=,n write(00,"(0000es5.5)") a(i,:)!solve the linear system using the Thomas algorithm Call Thomas(n,a,u)!Write the linear system of equations to the output file write(00,"(a)") " " write(00,"(a)") "----- Linear system solution -----" write(00,"(a)") " " do i=,n write(00,"(a,f5.3,a,es0.0)")"u(",r(i),")=",u(i) write(00,"(a,f5.3,a,es0.0)")"u(",radius,")=",0.!wall boundary condition!volumetric flowrate Q=u()*r() do i=,n Q=Q+.*u(i)*r(i) Q=Pi*Dr*Q write(00,"(a)") "----- Volumetric flow rate " write(00,"(a,es0.0)")"q=",q!find program end time call cpu_time(tend) - 3 -

4 write(*,"(a,es4.4,x,a)") "Program has used", tend-tstart,"seconds of CPU time." write(*,"(a)") "Open file CylinderPoiseuille_results.dat for the solution..." write(00,"(a)") " " write(00,"(a,es4.4,x,a)") "Program has used", tend-tstart,"seconds of CPU time."!close output file close(00) Contains Subroutine Thomas(n,a,x) implicit none integer::i,n real*8::x(n+),a(n,n+) real*8,allocatable::e(:),g(:) allocate(e(n),g(n))!find vectors e and g e()=a(,) ; g()=a(,n+)/e() do i=,n e(i)=a(i,i)-a(i,i-)*a(i-,i)/e(i-) g(i)=(a(i,n+)-a(i,i-)*g(i-))/e(i)!backsubstitution to find x x(n)=g(n) do i=n-,,- x(i)=g(i)-a(i,i+)*x(i+)/e(i) deallocate(e,g) end Subroutine end program Με τον παραπάνω κώδικα για ένα αραιό πλέγμα με N = 3 υποδιαστήματα (4 κόμβοι) το σύστημα που προκύπτει είναι: u u = u Από την επίλυση του προκύπτει το προφίλ ταχυτήτων: u ( 0) = 0.5 u ( / 3) = 0. u ( / 3) = u = 0.0 Με αριθμητική ολοκλήρωση προκύπτει η ογκομετρική παροχή: Q =

5 Από τα παραπάνω φαίνεται πως οι αριθμητικές τιμές της ταχύτητας ταυτίζονται με τις αντίστοιχες αναλυτικές. Στον παρακάτω πίνακα εμφανίζονται ενδεικτικά αποτελέσματα για τον προφίλ ταχυτήτων χρησιμοποιώντας ένα πυκνό πλέγμα N = 00 διαστημάτων και οι αντίστοιχες αναλυτικές τιμές. Ακτίνα r u (Αριθμητική) u (Αναλυτική) Η αντίστοιχη ογκομετρική παροχή είναι: Q = Όπως αναμένεται οι αριθμητικές τιμές πάλι ταυτίζονται με τις αντίστοιχες αναλυτικές ενώ το αριθμητικό αποτέλεσμα της ογκομετρικής παροχής βελτιώνεται σημαντικά και ταυτίζεται σε 4 σημαντικά ψηφία με το αναλυτικό αποτέλεσμα. Άσκηση Δίνεται το πρόβλημα ιδιοτιμών: dw kw w w 0, (0) () 0 dx + = = = Να υπολογισθούν αριθμητικά οι δέκα πρώτες ιδιοτιμές (ιδιοσυχνότητες). Να συγκριθούν οι πρώτες δύο με τις αντίστοιχες αναλυτικές. Απάντηση: Η γενική αναλυτική λύση του προβλήματος έχει την μορφή: w( x) = Acos( kx) + B sin ( kx) Οι αυθαίρετες σταθερές A και B προσδιορίζονται από τις οριακές συνθήκες ως: w Για μη τετριμμένες λύσεις 0 ( 0) = 0 A= 0, w( L) B ( kl) B προκύπτει : = 0 sin = 0 n π L n π L sin kl = 0 k = λ = k =, n =,,

6 Για την αριθμητική επίλυση αναπτύσσεται η έκφραση των πεπερασμένων διαφορών για την δεύτερη παράγωγο και η διακριτοποιημένη εξίσωση στους εσωτερικούς κόμβους i =,..., N + (συνολικά N + κόμβοι) δίνεται ως: wi+ wi + wi + kw 0 i = w i+ + k w i + w i = 0, i=,..., N+ h h h h όπου h = L N w 0 = w L = 0 w = w + = 0. + ενώ από τις οριακές συνθήκες N Η μορφή του παραπάνω συστήματος είναι: + k h h w 0 M w = 0 0 k 0 w 0 + i = h h h 0 wn k + Για την εύρεση των ιδιοτιμών θέτεται η ορίζουσα ίση με το μηδέν και επιλύεται η προκύπτουσα εξίσωση (πολυώνυμο N βαθμού). Εναλλακτικά το σύστημα ξαναγράφεται A ki w= 0 και ζητούνται οι ιδιοτιμές του πίνακα A. στην μορφή Η εύρεση των ιδιοτιμών του πίνακα A για οποιοδήποτε αριθμό εσωτερικών κόμβων N γίνεται με την βοήθεια της Mathematica ως: L=; n=0; h=l/(n+); t=table[0,{n},{n}]; Do[t[[i,i+]]=N[-/h^],{i,n-}]; Do[t[[i,i]]=N[/h^],{i,n}]; Do[t[[i,i-]]=N[-/h^],{i,,n}]; TableForm[t] sol=sort[eigenvalues[t]]; p[n_]:=n[n^*pi^/l^]; Analytical=Table[p[i],{i,,n}]; error=(analytical-sol)/analytical*00.; TableForm[Transpose[{sol,Analytical,error}]] h h - 6 -

7 Με βάση τον παραπάνω κώδικα υπολογίζονται οι ιδιοτιμές για N =, 5,0. Α/Α Αναλυτικές Αριθμητικές N = Αριθμητικές N = 5 Αριθμητικές N = 0 Σφάλμα % N = Σφάλμα % N = 5 Σφάλμα % N = , Παρατηρείται ότι καθώς αυξάνεται η διακριτοποίηση του προβλήματος οι αριθμητικές ιδιοτιμές συγκλίνουν στις αναλυτικές. Συγκεκριμένα για N = 0 οι πρώτες δύο ιδιοτιμές είναι σε ικανοποιητική συμφωνία με τις αντίστοιχες αναλυτικές ενώ για τις επόμενες ιδιοτιμές παρατηρείται ότι το σφάλμα αρχίζει να αυξάνει σημαντικά. Άσκηση 3 Να επιλυθεί το παρακάτω πρόβλημα Hartmann: d u db + = dy dy d b du + = 0 dy dy b ± = 0. Με οριακές συνθήκες u ( ± ) = 0 και Απάντηση: Το χωρίο επίλυσης y (,) διακριτοποιείται σε N ισαπέχοντες κόμβους ( N διαστήματα πλάτους y = / ( N ) ). Δy=/(Ν-) N- N y=- i- i i+ y= Αναπτύσσοντας τις εκφράσεις των πεπερασμένων διαφορών για τις παραγώγους οι διακριτοποιημένες εξισώσεις στους εσωτερικούς κόμβους i =,..., N γράφονται ως: - 7 -

8 ui+ ui + ui bi+ bi + =, y y i =,..., N bi+ bi + bi ui+ ui + = 0, y y i =,..., N u ± = 0 u = u = 0, b ± = 0 b = b = 0 Οριακές συνθήκες: N Από τις παραπάνω εξισώσεις προκύπτει ένα ( N ) ( N ) N γραμμικό σύστημα το οποίο πρέπει να επιλυθεί. Για παράδειγμα το παραπάνω σύστημα για N = 5 κόμβους γράφεται: y y y 0 u y y y y y u y y y u4 = b y y y b3 0 b y y y y y y y y Πρόγραμμα σε Mathematica που κατασκευάζει και επιλύει το παραπάνω γραμμικό σύστημα: - 8 -

9 n=0; Dy=./(n-); n=n-; A=ConstantArray[0,{*n,*n}]; Do[A[[i,i]]=-./Dy^,{i,,n}]; Do[A[[i,i+]]=./Dy^,{i,,n-}]; Do[A[[i,i-]]=./Dy^,{i,,n}]; Do[A[[i,i+n+]]=./(*Dy),{i,,n-}]; Do[A[[i,i+n-]]=-./(*Dy),{i,,n}]; Do[A[[i+n,j]]=A[[i,j+n]],{i,,n},{j,,n}]; Do[A[[i+n,j+n]]=A[[i,j]],{i,,n},{j,,n}]; c=constantarray[0,{*n}]; Do[c[[i]]=-,{i,,n}]; sol=linearsolve[a,c]; y=constantarray[0,n+]; u=constantarray[0,n+]; b=constantarray[0,n+]; Do[y[[i]]=-+(i-)*Dy,{i,,n+}] Do[u[[i+]]=sol[[i]],{i,,n}] Do[b[[i+]]=sol[[i+n]],{i,,n}] TableForm[Transpose[{y,u,b}]] Show[ListLinePlot[Transpose[{y,u}]],ListLinePlot[Transpose[{y,b}],PlotStyl e->red],plotrange->all,plotlabel->none,labelstyle- >{4,GrayLevel[0],Bold},ImageSize->Large] Στην γενική του μορφή το παραπάνω σύστημα μπορεί επίσης να επιλυθεί με την επαναληπτική μέθοδο Gauss-Seidel. Από τις διακριτοποιημένες εξισώσεις προκύπτει απευθείας ο επαναληπτικός χάρτης της μεθόδου ως: Οριακή συνθήκη u ( ± ) = 0: u u N ( k+ ) ( k) ( k+ ) ( k) ( k) Εσωτερικοί κόμβοι: ui = ( y + ( ui+ + ui ) + y( bi+ bi ) ), i =,..., N 4 Οριακή συνθήκη b ( ± ) = 0: ( k+ ) ( k+ ) = = 0 ( k+ ) ( k+ ) b = b N = 0 ( k+ ) Εσωτερικοί κόμβοι: ( ) k k+ k+ k+ b i = bi+ + bi + y ui+ ui, i =,..., N 4 Πρόγραμμα σε Fortran που επιλύει το παραπάνω πρόβλημα: Program HartmannDirichlet implicit none integer::i,iter,maxiter,n real*8::dy,error,err,tstart,tend real*8,allocatable::y(:),uold(:),u(:),bold(:),b(:)!find program start time call cpu_time(tstart) - 9 -

10 !Open output file open (00,file="HartmannDirichlet_results.dat")!Definition of parameters for the Gauss-Seidel method n=!number of nodes allocate(y(n),uold(n),u(n),bold(n),b(n))!memory allocation error=d-0!desired error maxiter=0000!number of maximum iterarions uold()=0.; uold(n)=0.!boundary conditions for u(y) bold()=0.; bold(n)=0.!boundary conditions for b(y) uold(:n-)=0.!inititial guess for u(y) bold(:n-)=0.!inititial guess for b(y)!implementation of Gauss-Seidel method dy=./(n-.)!segment width do i=,n y(i)=-.+(i-)*dy!initial parameters err=. iter=0 u=uold b=bold!write initial guess to output file write(00,"(a)") " " write(00,"(a)") " Initial guess " write(00,"(a)") " " write(00,"(a)") " y u(y) b(y)" do i=,n write(00,"(3es0.8)") y(i),uold(i),bold(i) do while (iter<=maxiter.and. err>=error) do i=,n- u(i)=(.*dy**.+.*(uold(i+)+u(i-))+dy*(bold(i+)-bold(i- )))/4. Enddo do i=,n- b(i)=(.*(bold(i+)+b(i-))+dy*(u(i+)-u(i-)))/4.!find error err = sqrt(sum((u-uold)**.)+sum((b-bold)**.))/(.*n) uold = u bold = b iter=iter+!write results to output file write(00,"(a)") " " write(00,"(a,i5,a)") " Iteration ",iter," " write(00,"(a)") " " - 0 -

11 write(00,"(a,es5.5)") "The error is : ",err write(00,"(a)") " y u(y) b(y)" do i=,n write(00,"(3es0.8)") y(i),uold(i),bold(i)!write results to screen If (iter>maxiter) then write(*,"(a,i0,a)") "Solution didn't converge after: ",iter-," iterations." write(*,*) endif!find program end time call cpu_time(tend) write(*,"(a,i0,a)") "Solution converge after: ",iter," iterations." write(*,"(a,es4.4,x,a)") "Program has used", tend-tstart,"seconds of CPU time." write(*,"(a)") "Open file HartmannDirichlet_results for the solution..." write(00,"(a)") " " write(00,"(a,es4.4,x,a)") "Program has used", tend-tstart,"seconds of CPU time."!close output file close(00) end Τα αποτελέσματα του παραπάνω κώδικα σε Fortran ταυτίζονται με τα αντίστοιχα αποτελέσματα του κώδικα σε Mathematica. Εκτελώντας οποιονδήποτε από τους δύο παραπάνω κώδικες για N = 3 και N = λαμβάνονται πινακοποιημένα αποτελέσματα για b y που φαίνονται παρακάτω: τα u( y ) και Αποτελέσματα για N = 3 Αποτελέσματα για N = y u( y ) b( y ) y u( y ) b( y )

12 Επίσης παρουσιάζονται οι γραφικές παραστάσεις που παράγονται από την Mathematica b y. όπου η μπλε και η κόκκινη γραμμή αντιστοιχούν στα u( y ) και Γραφική παράσταση για N = 3 Γραφική παράσταση για N = Άσκηση 4 Έστω το πρόβλημα μεταφοράς θερμότητας μεταξύ ομοαξονικών κυλίνδρων: T r = 0, R r R, T( R ) = T, T( R ) = T r r r Να επιλυθεί το παραπάνω πρόβλημα θεωρώντας R =, R = 3, T = 00, T = 300. Απάντηση: Η δοσμένη διαφορική εξίσωση γράφεται στην ισοδύναμη μορφή: T T + = 0 r r r Η αναλυτική λύση του παραπάνω προβλήματος μπορεί να βρεθεί με Mathematica ως: sol=dsolve[{t''[r]+t'[r]/r==0,t[r]==t,t[r]==t},t[r],r] sol/.{r->,r->3,t->00,t->300} Από τα παραπάνω προκύπτει η αναλυτική λύση: T r T ln r T ln r+ T ln R T ln R T ln r/ R T ln r/ R = = ln R ln R ln R/ R Καθώς και η λύση για τα δεδομένα του προβλήματος T( r) 00ln r = 00 + = ln r ln 3 - -

13 Για την αριθμητική επίλυση του παραπάνω προβλήματος το χωρικό πεδίο r ( R, R) διακριτοποιείται σε N ίσα διαστήματα ( N + κόμβοι) πλάτους r = ( R R ) N = N / / 0 3 N N+ r= i- i i+ r=3 Αναπτύσσοντας τις εκφράσεις των πεπερασμένων διαφορών για τις παραγώγους η διακριτοποιημένη εξίσωση στους εσωτερικούς κόμβους i =,..., N γράφεται ως: T T + T T T + = 0 i+ i i i+ i r ri r + Ti+ + T i + T i = 0, i =,..., Ν r ri r r r ri r 3 = 300 = 300. Από τις οριακές συνθήκες προκύπτει T = 00 T = 00 και T T N + Το γραμμικό σύστημα που προκύπτει είναι τριδιαγώνιο όπως φαίνεται παρακάτω και επιλύεται με τον αλγόριθμο Thomas r r ri r T T r ri r T i = 0 r ri r r r ri r T N T r r r ri r i r r N

14 Πρόγραμμα σε Fortran: program HeatTransferCoaxCylinders implicit none integer::i,n real*8::tstart,tend,dr,r,r,tr,tr real*8,allocatable::r(:),t(:) real*8,allocatable::a(:,:)!find program start time call cpu_time(tstart)!open output file open(00,file="heattransfercoaxcylinders_results.dat")!definition of geometry and discetization R=.!Radius of inner cylinder R=3.!Radius of outer cylinder TR=00.!Temperature at inner cylinder TR=300.!Temperature at outer cylinder n=4!number of discrete segments (n+ nodes)!definition of the linear system of equations Dr=(R-R)/Real(n) allocate(r(n+),t(n+),a(n-,n)) Do i=,n+ r(i)=r+(i-)*dr Enddo T()=TR; T(n+)=TR; a=0. a(,)=-./dr**. ; a(,)=./dr**.+./(.*r()*dr) ; a(,n)=-(./dr**.-./(.*r()*dr))*tr Do i=,n- a(i,i-)=./dr**.-./(.*r(i)*dr) a(i,i)=-./dr**. a(i,i+)=./dr**.+./(.*r(i)*dr) a(i,n)=0. Enddo a(n-,n-)=./dr**.-./(.*r(n)*dr); a(n-,n-)=-./dr**.; a(n-,n)=- (./Dr**.+./(.*r(n)*Dr))*TR!Write the linear system of equations to the output file write(00,"(a)") " " write(00,"(a)") " Linear system of equations " write(00,"(a)") " " do i=,n- write(00,"(0000es5.5)") a(i,:)!solve the linear system using the Thomas algorithm Call Thomas(n-,a,T(:n))!Write the linear system of equations to the output file write(00,"(a)") " " write(00,"(a)") "----- Linear system solution -----" write(00,"(a)") " " - 4 -

15 do i=,n+ write(00,"(a,f5.3,a,es0.0)")"t(",r(i),")=",t(i)!find program end time call cpu_time(tend) write(*,"(a,es4.4,x,a)") "Program has used", tend-tstart,"seconds of CPU time." write(*,"(a)") "Open file CylinderPoiseuille_results.dat for the solution..." write(00,"(a)") " " write(00,"(a,es4.4,x,a)") "Program has used", tend-tstart,"seconds of CPU time."!close output file close(00) Contains Subroutine Thomas(n,a,x) implicit none integer::i,n real*8::x(n),a(n,n+) real*8,allocatable::e(:),g(:) allocate(e(n),g(n))!find vectors e and g e()=a(,) ; g()=a(,n+)/e() do i=,n e(i)=a(i,i)-a(i,i-)*a(i-,i)/e(i-) g(i)=(a(i,n+)-a(i,i-)*g(i-))/e(i)!backsubstitution to find x x(n)=g(n) do i=n-,,- x(i)=g(i)-a(i,i+)*x(i+)/e(i) deallocate(e,g) End Subroutine end program Με τον παραπάνω κώδικα για ένα αραιό πλέγμα με N = 4 υποδιαστήματα (5 κόμβοι) το σύστημα που προκύπτει είναι: T T.0 = T

16 Από την επίλυση του προκύπτει το προφίλ ταχυτήτων r Αναλυτική λύση T Αριθμητική λύση * * T T T / T 00 % Στην συνέχεια παρουσιάζονται ενδεικτικά αποτελέσματα για ένα πυκνό πλέγμα με N = 00 υποδιαστήματα (0 κόμβοι) r Αναλυτική λύση T Αριθμητική λύση * * T T T / T 00 % E E E E E E E E E E E+00 Η γραφική παράσταση της θερμοκρασίας για το πλέγμα με N = 00 φαίνεται παρακάτω: - 6 -