Παράδειγμα #3 ΡΙΖΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΛΥΧΝΑΡΟΠΟΥΛΟΣ

Transcript

1 Παράδειγμα # ΡΙΖΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΛΥΧΝΑΡΟΠΟΥΛΟΣ ) Να βρεθεί µία πραγµατική ρίζα της εξίσωσης, x xx µε τις µεθόδους α) της διχοτόµησης β) της γραµµικής παρεµβολής γ) των διαδοχικών επαναλήψεων δ) Newton και ε) να εξετασθεί αν ο αλγόριθµος ( n ) ( ) ( ) x ( ) x n F( x n ) βελτιώνει το ρυθµό σύγκλισης. Να βρεθεί η τιµή του ω που οδηγεί στον ελάχιστο αριθµό επαναλήψεων. Σχετικό σφάλµα 0.0%. Απάντηση: Αρχικά κάνουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης για να βρούμε στο περίπου την τιμή της ρίζας. Με τη χρήση της Mathematica παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα: Plot[x+x^x-,{x,0.,4},AxesOrigin->{0,0}] Και μεγενθύνοντας την περιοχή.5 4 παίρνουμε: Plot[x+x^x-,{x,.5,4}] Άρα η ρίζα είναι κοντά στο.6 Με τη βοήθεια της συνάρτησης FindRoot (η οποία βρίσκει την αριθμητική τιμή της ρίζας χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο Newton) παίρνουμε: FindRoot[x+x^x-,{x,.5}] {x.588}

2 Αρ. Ανάλυση: Εργασία # Α) Μέθοδος Διχοτόμησης Το πρόγραμμα σε Fortran είναι το παρακάτω: program bisection doubleprecision xl,xr,rel,xold,xm,err integer i,found,maxi! Η συνάρτηση που μας ενδιαφέρει F(x) = x + x**x - print*, ' Enter xl:' read*, xl print*, ' Enter xr:' read*, xr print*, ' Enter desired relative error % :' read*, rel print*, ' Enter the maximum number of iterations:' read*, maxi err=. i= found=0 xold=xl! Αυθαίρετα do while (i/=maxi.and. found==0.and. err>rel) xm=(xl+xr)/ prod=f(x)*f(xm) print*, i,xl,xm,xr,f(xl),f(xm),f(xr) if (f(xm)==0) then found= print*, 'The root found is:',xm print*,'the number of iteration is:',i else if (prod<0) then xr=xm else xl=xm end if if (xm/=0.) then err = abs((xm - xold)/xm) *. endif print*, err end if xold=xm i=i+ end do

3 Αρ. Ανάλυση: Εργασία # if (err<rel) then print*, 'The root found is:',xm print*, 'The percentage relative error =',err print*,'the number of iteration is:',i- elseif (err>=rel.and. found==0) then print*, 'The root is not reached within the error limit after the prescribed number of iterations.' print*, 'The approximate root =',xm print*, 'The percentage relative error =',err end if end Το οποίο για το αρχικό διάστημα (, 4) και σχετικό σφάλμα 0.0% δίνει τα παρακάτω αποτελέσματα n xl xm xr f(xl) f(xm) f(xr) err E E E E E E E E E E- Άρα τελικά ο αλγόριθμος συγκλίνει στη ρίζα: με σχετικό σφάλμα E-% μετά από επαναλήψεις

4 Αρ. Ανάλυση: Εργασία # Β) Γραμμική Παρεμβολή Το πρόγραμμα είναι το ίδιο με το προηγούμενο. Το μόνο που αλλάζει είναι ο υπολογισμός του xm o οποίος γίνεται: xm= xl - (F(xl) * (xr - xl)/(f(xr) - F(xl))) n xl xm xr f(xl) f(xm) f(xr) err E E E E E E E- Άρα τελικά ο αλγόριθμος συγκλίνει στη ρίζα: με σχετικό σφάλμα E-% μετά από 0 επαναλήψεις Γ) Διαδοχικές Επαναλήψεις Από την () παίρνουμε διαδοχικά: x x x xx x xln x ln( x) xln xln( x) ln( x) x ln x Άρα θα χρησιμοποιήσουμε τον επαναληπτικό τύπο: ln( x ) x ln( x ) 4

5 Αρ. Ανάλυση: Εργασία # Το πρόγραμμα σε Fortran είναι το παρακάτω: program Simple_Iterations doubleprecision F,Der,x,x0,xold,xnew,rel,err integer maxi,i! Function F(x) x=f(x) F(x) = log(-x)/log(x)! First Derivative of Function F(x) Der(x)=-(Log( - x)/(x*log(x)**)) - /(( - x)*log(x)) print*, 'Enter initial guess x0:' read*, x0 print*, ' Enter desired relative error % :' read*, rel print*, ' Enter the maximum number of iterations:' read*, maxi print*, 'i','x' err =. print*, 0, x0, F(x0),Der(x0),err i = xold=x0 do while ((i/=maxi).and.(err>=rel)) xnew = F(xold) if (xnew/=0.) then err = abs((xnew - xold)/xnew) *. endif print*, i,xnew,f(xnew),der(xnew),err xold = xnew i = i + end do print*,' ' if (err<rel) then print*, 'The root found is:',xold,' With % relative error: ',err print*,'the number of iteration performed before achieving acceptable error limit is:',i - 5

6 Αρ. Ανάλυση: Εργασία # else print*, 'The root is not reached within the error limit after the prescribed number of iterations.' print*, 'The approximate root =',xold print*, 'The percentage relative error =',err endif print*,' ' stop end Τρέχοντας το πρόγραμμα και δίνοντας σαν x 0 =.5, Σχετικό σφάλμα = 0.0 και μέγιστο πλήθος επαναλήψεων = παίρνουμε: n x (n) f(x (n) ) f (x (n) ) err E E E E E E E E E E E- Άρα τελικά ο αλγόριθμος συγκλίνει στη ρίζα: E-% μετά από 7 επαναλήψεις με σχετικό σφάλμα 6

7 Αρ. Ανάλυση: Εργασία # Με τα παρακάτω βήματα στην Μathematica παίρνουμε γραφικά τον τρόπο σύγκλισης της μεθόδου των διαδοχικών επαναλήψεων: Log x gx_ : Logx data=nestlist[g,.5, 0]; data=flatten[table[{data[[i]],data[[i]]},{i,length[dat a]}]]; data=partition[data,,]; data[[,]]=0;p=graphics[line[data]]; Plot[{x,g[x]},{x,.4,.8}] Show[{%,p}] Δ) Μέθοδος Newton program Newton doubleprecision F,DER,x,x0,xnew,rel,err,xold integer maxi,i!function F(x) F(x)=0 F(x) = x**x + x -! First Derivative of Function F(x) DER(x) = + x**x*( + Log(x)) 7

8 Αρ. Ανάλυση: Εργασία # print*, 'Enter initial guess x0:' read*, x0 print*, ' Enter desired relative error % :' read*, rel print*, ' Enter the maximum number of iterations:' read*, maxi err =. i = xold=x0 print*, 0,xold,F(xold),DER(xold),err do while ((i/=maxi).and.(err>=rel).and.(der(xold)/=0.)) xnew = xold - (F(xold)/DER(xold)) if (xnew/=0.) then err = abs((xnew - xold)/xnew) *. endif print*, i,xnew,f(xnew),der(xnew),err xold = xnew i = i + end do if ((err<rel).and.(der(xold)/=0.)) then print*, 'The root within the prescribed error limit is:',xold print*, 'The percentage relative error =',err print*,'the number of iteration performed before achieving' print*,'acceptable error limit is:',i - elseif((err>rel).and.(der(xold)/=0.)) then print*, 'The root is not reached within the error limit after prescribed number of iteration.' print*, 'The approximate root =',xold print*, 'The percentage relative error =',err elseif(der(xold)==0.) then print*, 'Newton''s method fails...derivative equal to zero.' endif end 8

9 Αρ. Ανάλυση: Εργασία # n x (n) f(x (n) ) f (x (n) ) err E E E- Άρα τελικά ο αλγόριθμος συγκλίνει στη ρίζα:.5875 με σχετικό σφάλμα e- μετά από επαναλήψεις Ε) Μέθοδος απλών επαναλήψεων με παράμετρο χαλάρωσης Από τη θεωρία γνωρίζουμε πως το βέλτιστο w δίνεται από τον τύπο: w f '( x) Το υπολογίζουμε για x = x 0. (Μπορούμε βέβαια να το υπολογίζουμε σε κάθε επανάληψη, αν κρίνεται σκόπιμο) Το αντίστοιχο πρόγραμμα σε Fortran είναι το ακόλουθο: program Simple_Iterations_with_Relaxation doubleprecision F,Der,x,x0,xold,xnew,rel,err,w integer maxi,i! Function F(x) x=f(x) F(x) = log(-x)/log(x)! First Derivative of Function F(x) Der(x)=-(Log( - x)/(x*log(x)**)) - /(( - x)*log(x)) print*, 'Enter initial guess x0:' read*, x0 print*, ' Enter desired relative error % :' read*, rel print*, ' Enter the maximum number of iterations:' read*, maxi w=/(-der(x0)) print*,'w = ',w err =. print*, 0, x0,f(x0),der(x0),err i = xold=x0 9

10 Αρ. Ανάλυση: Εργασία # do while ((i/=maxi).and.(err>=rel)) xnew =(-w)*xold+w*f(xold) if (xnew/=0.) then err = abs((xnew - xold)/xnew) *. endif print*, i,xnew,f(xnew),der(xnew),err xold = xnew i = i + end do if (err<rel) then print*, 'The root found is:',xold,' With % relative error: ',err print*,'the number of iteration performed before achieving acceptable error limit is:',i - else print*, 'The root is not reached within the error limit after the prescribed number of iterations.' print*, 'The approximate root =',xold print*, 'The percentage relative error =',err endif end Tο οποίο δίνει για x 0 =.5 και σχετικό σφάλμα=0.0% w = n x (n) f(x (n) ) f (x (n) ) err E E-4 Άρα τελικά ο αλγόριθμος συγκλίνει στη ρίζα: με σχετικό σφάλμα E-4% μετά από επαναλήψεις Συνοψίζοντας τα αποτελέσματα έχουμε τον παρακάτω πίνακα: Μέθοδος Επαναλήψεις Διχοτόμηση Γραμμική Παρεμβολή 0 Διαδοχικές Επαναλήψεις 7 Newton Διαδοχικές Επαναλήψεις με χαλάρωση 0

11 Αρ. Ανάλυση: Εργασία # ) Να βρεθούν µε επαναληπτική µέθοδο και µε ακρίβεια τεσσάρων σηµαντικών ψηφίων οι πρώτες 5 θετικές ρίζες της εξίσωσης: h xtan( x), x0 g όπου g=9.8067, h=5m και ω=rad/sec. ικαιολογείστε την επιλογή σας ως προς την µέθοδο που θα εφαρµόστε και βρείτε το ρυθµό σύγκλισης της µεθόδου. Απάντηση: Δημιουργούμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης στη Mathematica και παίρνουμε: f[x_]:=x Tan[x]-4 5 /9.8067; Plot[f[x],{x,0,0}] Θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο Newton γιατί είναι μία γρήγορη, ως προς τη σύγκλιση, μέθοδος επίλυσης εξισώσεων. Θα πρέπει όμως η αρχική προσέγγιση της ρίζας να είναι κοντά στην πραγματική. Φυσικά θα πρέπει να ικανοποιείται και το κριτήριο σύγκλισης: f ''( x) f '( x) Επειδή ζητείται ακρίβεια τεσσάρων σηµαντικών ψηφίων θα πρέπει να έχουμε σχετικό σφάλμα μικρότερο του 0.0 ή 0.0%. Έχουμε λοιπόν: Πρώτη ρίζα Ξεκινάμε με αρχική προσέγγιση το x 0 = n x (n) f(x (n) ) f ' (x (n) ) E E E E f''(x) f'(x) err E E-5

12 Αρ. Ανάλυση: Εργασία # Η ρίζα βρέθηκε σε 4 επαναλήψεις και είναι η: με σχετικό σφάλμα e-5 f ''( x) Σημείωση: Παρατηρούμε ότι αν και, εντούτοις έχουμε σύγκλιση και f '( x) μάλιστα γρήγορη!! Δεύτερη ρίζα Ξεκινάμε με αρχική προσέγγιση το x 0 = n x (n) f(x (n) ) f ' (x (n) ) E E E f''(x) f'(x) Err E E-6 Τρίτη ρίζα Ξεκινάμε με αρχική προσέγγιση το x 0 =5.5 n x (n) f(x (n) ) f ' (x (n) ) f''(x) f'(x) E E-7 0 err E- Η ρίζα βρέθηκε σε 4 επαναλήψεις και είναι η: με σχετικό σφάλμα E-

13 Αρ. Ανάλυση: Εργασία # Τέταρτη ρίζα Ξεκινάμε με αρχική προσέγγιση το x 0 =9 n x (n) f(x (n) ) f ' (x (n) ) E E f''(x) f'(x) err E- Η ρίζα βρέθηκε σε επαναλήψεις και είναι η: με σχετικό σφάλμα E- Πέμπτη ρίζα Ξεκινάμε με αρχική προσέγγιση το x 0 = n x (n) f(x (n) ) f ' (x (n) ) E E E f''(x) f'(x) err E E-5 Η ρίζα βρέθηκε σε 4 επαναλήψεις και είναι η: με σχετικό σφάλμα e-5 Συνοψίζοντας έχουμε τις 5 πρώτες θετικές ρίζες της δοθείσας εξίσωσης:

14 Αρ. Ανάλυση: Εργασία # Για τον ρυθμό σύγκλισης της πρώτης ρίζας κάνοντας το διάγραμμα του σχετικού σφάλματος ανά επανάληψη παρατηρούμε από την κλήση του γραφήματος ότι έχουμε τετραγωνική (τουλάχιστον) σύγκλιση: a={ , , ^-, ^-5}; ListPlot[a,PlotStyle{Thickness[0.0],RGBColor[,0,0]},Plot JoinedTrue,PlotRange{0,9}] Κάνοντας Zoom στο διάστημα [0,] για το y έχουμε: ListPlot[a,PlotStyle{Thickness[0.0],RGBColor[,0,0]},Plot JoinedTrue,PlotRange{0,}] Κάνοντας επιπλέον Zoom στο διάστημα [0,0.5] για το y έχουμε: ListPlot[a,PlotStyle{Thickness[0.0],RGBColor[,0,0]},Plot JoinedTrue,PlotRange{0,0.5}] Με όμοιο τα τρόπο βρίσκουμε ότι και ο ρυθμός σύγκλισης και στις άλλες ρίζες είναι τετραγωνικός (τουλάχιστον) 4

15 Αρ. Ανάλυση: Εργασία # Δεύτερη ρίζα: Διάστημα y: [0,] Διάστημα y: [0,5] Διάστημα y: [0,0.5] Τρίτη ρίζα: Διάστημα y: [0,] Διάστημα y: [0,] Διάστημα y: [0,0.5] Τέταρτη ρίζα: Διάστημα y: [0,6] Διάστημα y: [0,] Διάστημα y: [0,0.75] Πέμπτη ρίζα: Διάστημα y: [0,5] Διάστημα y: [0,] Διάστημα y: [0,0.5] 5

16 Αρ. Ανάλυση: Εργασία # ) ίδεται ο επαναληπτικός αλγόριθµος ' ( n ) ( n '' ) ' f x ( ) ( ) f x f x n n x x f x f x Προσδιορίστε τη σύγκλιση της µεθόδου. Απάντηση: Αρχικά θα αποδείξουμε τον τύπο και στη συνέχεια θα προσδιορίσουμε τη σύγκλισή του. Απόδειξη τύπου Θα βασιστούμε στο ανάπτυγμα Taylor γύρω από το σημείο x 0 ( x x0 ) f( x) f( x0) ( xx0) f '( x0) f ''( x0)... ()! Έστω ξ μια αναλυτική ρίζα της εξίσωσης και ˆx η αντίστοιχη αριθμητική ρίζα τότε αν σ είναι το σφάλμα θα έχουμε: ξ = ˆx + σ () Αναπτύσσοντας το f(ξ) σε σειρά Taylor γύρω από το σημείο ˆx έχουμε: ( xˆ ) f( ) f( xˆ) ( xˆ) f '( xˆ)! f ''( xˆ)... () Από () και () παίρνουμε: f( ) f( xˆ) f '( xˆ) f ''( xˆ)...! (4) Επειδή η ξ είναι λύση της f(x)=0 θα την επαληθεύει. Άρα: f(ξ) = 0 (5) Κρατούμε από την (4) τους όρους μέχρι δεύτερης τάξης και παίρνουμε: f( ) f( xˆ) f '( xˆ) f ''( xˆ) 0! f ''( xˆ ) f '( xˆ) f( xˆ) 0 (6) Λύνοντας την δευτεροβάθμια εξίσωση (6) ως προς σ παίρνουμε δύο ρίζες από τις οποίες κρατάμε την πιο μικρή δηλ: ˆ ˆ ˆ ˆ f '( x) [ f '( x)] f ''( x) f( x) (7) f ''( xˆ ) Από την (7) μετά από πράξεις παίρνουμε διαδοχικά: 6

17 Αρ. Ανάλυση: Εργασία # ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ f '( xˆ) [ f '( x)] f ''( x) f( x) f '( xˆ) f '( x) [ f '( x)] f ''( x) f( x) f ''( xˆ) f ''( xˆ) f ''( xˆ) f '( xˆ) f ''( xˆ) f '( xˆ) [ f '( xˆ)] f ''( xˆ) f( xˆ) f '( xˆ) [ f '( xˆ)] f ''( xˆ) f( xˆ) f ''( xˆ) f '( xˆ) f ''( xˆ ) f '( xˆ ) f '( xˆ) f( xˆ) f ''( xˆ) f ''( xˆ ) f '( xˆ ) Στον τελευταίο τύπο επειδή το f(x) είναι μικρό μπορούμε να διώξουμε την τετραγωνική ρίζα αν χρησιμοποιήσουμε το ανάπτυγμα Taylor για τη συνάρτηση vz ( ) z γύρω από το σημείο 0, οπότε έχουμε κρατώντας μέχρι τους όρους δευτέρας τάξης τον παρακάτω τύπο: v ''(0) vz ( ) v(0) v'(0) z z... 0 z z... /! 0 4( 0) z z vz ( ) 8 (9) (8) Στην (8) προσεγγίζουμε την ποσότητα: έχουμε: f ( xˆ) f ''( xˆ) f '( xˆ ) με τον τύπο (9), οπότε fxf ( ˆ) ''( xˆ) fxf ( ˆ) ''( xˆ) f'( xˆ) f( xˆ) f''( xˆ) f'( xˆ) f'( xˆ ) f'( xˆ ) f''() xˆ f'( xˆ ) f''() xˆ 8 f'( xˆ) f( xˆ) f''( xˆ) f( xf ˆ) '( xf ˆ) ''( xˆ) fx ( ˆ) f'( xˆ) f''( xˆ) 4 f''( xˆ ) f xˆ f xˆ f'( xˆ) f''( xˆ) f'( xˆ) f''( xˆ) fx () ˆ f''() xˆ 4 '( ) '( ) ˆ fx () ˆ f''() xˆ ˆ f'( x) fx () f'( x) ˆ Σε όλους τους παραπάνω υπολογισμούς έχουμε υποθέσει ότι f '( xˆ ) 0 και f ''( xˆ ) 0 f( xˆ ) f ( xˆ) f ''( xˆ) Άρα από την () παίρνουμε: xˆ απ όπου προκύπτει ο f '( xˆ ) f '( xˆ ) επαναληπτικός τύπος: (0) 7

18 Αρ. Ανάλυση: Εργασία # x ' ( n ) ( n '' ) ' f x f x f x x f x f x () Σύγκλιση: Πρέπει να βρούμε τον τρόπο με τον οποίο μεταδίδεται το σφάλμα από επανάληψη σε επανάληψη: x f f x f '' x Θέτουμε: gx ( ) x f ' x f ' x Οπότε o τύπος () γίνεται: x gx ( ) () ( ) ( ) ( ) Τότε n n x g( x n ) (4) Επειδή η ξ είναι ρίζα της f(x) θα επαληθεύει τη σχέση (). Άρα ξ=g(ξ) (5) Υποθέτουμε ότι το σημείο x (n) βρίσκεται κοντά στην αναλυτική ρίζα ξ της εξίσωσης f(x) = 0. Τότε αναπτύσσοντας την g(x (n) ) σε σειρά Taylor γύρω από το σημείο ξ και λαμβάνοντας υπόψη τις (4) και (5) έχουμε: Δουλεύοντας με το Mathematica βρίσκουμε τις παραγώγους g (ξ), g (ξ) και g (ξ), λαμβάνοντας υπόψη ότι f(ξ)=0. () ( x ) ( x ) gx ( ) g( ) ( x ) g'( ) g''( ) g'''( )...!! ( ) ( ) g'( ) g''( ) g'''( )... 6 ( ) ( ) g'( ) g''( ) g'''( )... 6 ( ) ( ) g'( ) g''( ) g '''( )... 6 (6) Αρχικά ορίζουμε την g(x): gx_ : x fx f'x fx f''x f'x Οπότε η εντολή: g'[x] //FullSimplify δίνει την πρώτη παράγωγο της g[x]: fx f x f x f x f x 4 8

19 Αρ. Ανάλυση: Εργασία # Αντίστοιχα η δεύτερη παράγωγος είναι η: fx fx f x f x f x 9fx f x f x f x f x 6f x fx f 4 x f x 5 Και η τρίτη η: f x 660 fx f x 4 f x 5 f x7fx f xf x f xf x 4 6f x 4fxf 4 x fxf x 4f x fxf x 4fxf xf 4 x fxf x 4f xf xfxf 5 x Θέτουμε f[ξ]=0 και ζητάμε την g [ξ] η οποία είναι 0. Όμοια η g [ξ] είναι και αυτή 0, ενώ η g [ξ] είναι: f f f f η οποία γενικώς είναι διάφορη του μηδενός. Άρα από την (6) κρατώντας τους όρους μέχρι τρίτης τάξης παίρνουμε: ( ) ( ) g g g 6 g '''( ) ( ) 6 '( ) ''( ) '''( ) Άρα ο αλγόριθμος δίνει σύγκλιση τουλάχιστον ης τάξης (Αν g (ξ)=0 τότε μπορούμε να πάρουμε και μεγαλύτερη τάξη). (7) 9

20 Αρ. Ανάλυση: Εργασία # 4) Να βρεθούν µε τις µεθόδους Newton και Muller οι ρίζες της f( x) x 5x 7x 0 Σε περίπτωση διπλής ρίζας να εξεταστεί η σύγκλιση της µεθόδου Newton και να εφαρµοστούν εναλλακτικοί αλγόριθµοι. Αρχικά δημιουργούμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης με τη βοήθεια της Mathematica fx_ : x 5x 7x Plotfx, x,, 4, AxesOrigin 0, Στη συνέχεια προσπαθούμε να λύσουμε την εξίσωση: Solve[f[x]==0,x] {{x},{x},{x}} Μέθοδος Newton Για x 0 = 0.5 και σχετικό σφάλμα = 0.0 έχουμε: n x (n) f(x (n) ) f ' (x (n) ) err E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E- 0

21 Αρ. Ανάλυση: Εργασία # Παρατηρούμε ότι το σχετικό σφάλμα σε κάθε επανάληψη είναι περίπου το μισό της προηγούμενης! Αυτό δείχνει ότι η σύγκλιση είναι πρώτης τάξης και όχι δευτέρας όπως θα περιμέναμε. Άρα πρέπει η ρίζα να είναι πολλαπλή. Από την θεωρία γνωρίζουμε ότι σε ρίζα πολλαπλότητας m ο τύπος του Newton έχει ρυθμό σύγκλισης α= -/m Οπότε ½=-/m => /m=/ => m=. Άρα η ρίζα είναι διπλή. Για x 0 = 4 και σχετικό σφάλμα = 0.0 έχουμε: n x (n) f(x (n) ) f ' (x (n) ) err E E E E- Άρα η ρίζα είναι η: Μέθοδος Muller Το αντίστοιχο πρόγραμμα σε Fortran είναι: program Muller doubleprecision F,DER,x,xini,xnew,rel,err integer maxi,i!function 'F(x)=0' F(x) = x**-5*x**+7*x- print*, ' Enter x0:' read*, x0 print*, ' Enter x:' read*, x print*, ' Enter x:' read*, x print*, ' Enter acceptable relative % error, rel:' read*, rel print*, ' Maximum number of iteration, maxi:' read*, maxi err =. i = do while ((i/=maxi).and.(err>rel)) h0=x-x0 h=x-x d0=(f(x)-f(x0))/(x-x0)

22 Αρ. Ανάλυση: Εργασία # d=(f(x)-f(x))/(x-x) a=(d-d0)/(h+h0) b=a*h+d c=f(x) if (b**-4*a*c>=0) then xnew= (-b-sqrt(b**-4*a*c)+*a*x)/(*a) xnew= (-b+sqrt(b**-4*a*c)+*a*x)/(*a) else print*, 'H f(x) exei migadikes lyseis!' stop end if!κρατούμε τη ρίζα που βρίσκεται πιο κοντά στην x if (abs(xnew-x) <= abs(xnew-x)) then xnew=xnew else xnew=xnew end if if (xnew/=0.) then err = abs((xnew - x)/xnew) *. endif print*, i,h0,h,d0,d,a,b,c,xnew,err x0= x x= x x= xnew i = i + end do if (err<rel) then print*, 'The root within the prescribed error limit is:',xnew print*, 'The percentage relative error =',err print*,'the number of iteration performed before achieving' print*,'acceptable error limit is:',i - elseif(err>rel) then print*, 'The root is not reached within the error limit after prescribed number of iteration.' print*, 'The approximate root =',xnew print*, 'The percentage relative error =',err endif end

23 Αρ. Ανάλυση: Εργασία # Για αρχικές τιμές x 0 =.5, x =, x =.5 και σχετικό σφάλμα = 0.0% έχουμε: n h 0 H δ 0 δ a b c R Err E E E E E E E-4 Άρα η ρίζα είναι η:. Για αρχικές τιμές x 0 =.5, x =, x =.5 και σχετικό σφάλμα = 0.0% έχουμε: n h 0 h δ 0 δ a b c r Err E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E- Άρα η ρίζα είναι η: Εναλλακτικοί τύποι για την προσέγγιση της διπλής ρίζας (x=) Α) f( x ) x x m f '( x ), όπου m= η πολλαπλότητα της ρίζας Το αντίστοιχο πρόγραμμα σε Fortran είναι μικρή τροποποίηση του προγράμματος Newton Για x 0 =0.5 και σχετικό σφάλμα = 0.0% έχουμε:

24 Αρ. Ανάλυση: Εργασία # n x (n) f(x (n) ) f ' (x (n) ) err E E E E E E E E E-6 Άρα η ρίζα είναι η : f( x ) f '( x ) B) x x [ f '( x )] f ( x ) f ''( x ) Το αντίστοιχο πρόγραμμα σε Fortran είναι μικρή τροποποίηση του προγράμματος Newton Για x 0 =0.5 και σχετικό σφάλμα = 0.0% έχουμε: n x (n) f(x (n) ) f ' (x (n) ) err E E E E E E E E E -6 Άρα η ρίζα είναι η : Γ) x ' ( n ) ( n '' ) ' f x f x f x x f x f x Το αντίστοιχο πρόγραμμα σε Fortran είναι μικρή τροποποίηση του προγράμματος Newton 4

25 Αρ. Ανάλυση: Εργασία # Για x 0 =0.5 και σχετικό σφάλμα = 0.0% έχουμε: n x (n) f(x (n) ) f ' (x (n) ) err E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E- Άρα η ρίζα είναι η : Συνοψίζοντας ειδικά για τη διπλή ρίζα έχουμε τα εξής: Μέθοδος Αριθμός Επαναλήψεων Απόσταση από την αναλυτική ρίζα Newton Muller Εναλλακτική Α Εναλλακτική Β Εναλλακτική Γ Άρα τα καλύτερα αποτελέσματα έδωσε ο τύπος: συγκεκριμένο x 0!) f( x ) x x m f x (για το '( ) 5