β) Με τη βοήθεια του αποτελέσµατος της απαλοιφής υπολογίστε την ορίζουσα του πίνακα του συστήµατος. x x = x

Transcript

1 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ: Φεβρουάριος 5 ΜΑΘΗΜΑ: Αριθµητική Ανάλυση ΕΞΑΜΗΝΟ: ο Ι ΑΣΚΩΝ: Ε Κοφίδης Όλα τα ερωτήµατα είναι ισοδύναµα Καλή επιτυία! Θέµα ο α Χρησιµοποιείστε τη µέθοδο απαλοιφής του Gauss µε µερική οδήγηση για να επιλύσετε το ακόλουθο σύστηµα εξισώσεων: β Με τη βοήθεια του αποτελέσµατος της απαλοιφής υπολογίστε την ορίζουσα του πίνακα του συστήµατος α Το δοσµένο σύστηµα εξισώσεων µπορεί να γραφτεί ως b όπου,, και b Κατασκευάζουµε πρώτα τον επαυξηµένο πίνακα [ ] ( b στον οποίο θα εφαρµόσουµε την απαλοιφή Gauss Επειδή ζητείται αυτή να εκτελεστεί µε µερική οδήγηση, θα πρέπει κατ αρήν να φέρουµε στη θέση (, το µέγιστο κατ απόλυτη τιµή στοιείο της πρώτης στήλης του πίνακα, δηλαδή το Αυτό θα γίνει εναλλάσσοντας τη η µε την η γραµµή: ( Στη συνέεια πολλαπλασιάζουµε την η γραµµή του νέου πίνακα µε το ¼ και την προσθέτουµε στη η γραµµή του, ώστε να µηδενιστεί το στοιείο στη θέση (,: 5 ( Το στοιείο (, είναι ήδη µηδέν, οπότε προωρούµε στο µηδενισµό του στοιείου (, Το στοιείο (, είναι (κατ απόλυτη τιµή µεγαλύτερο του (, οπότε δεν ρειάζεται εναλλαγή γραµµών Πολλαπλασιάζουµε τη η γραµµή µε το /5 και την προσθέτουµε στην η : 5 / ( Τέλος, βρίσκουµε τη λύση µε πίσω αντικατάσταση:

2 5 5, , 5 Εύκολα επαληθεύουµε ότι [ ] b T β Η ορίζουσα του ισούται µε την ορίζουσα του κάτω τριγωνικού πίνακα στον ~ ( p επί ( όπου p το πλήθος των εναλλαγών γραµµών που έγιναν κατά την 5 5 απαλοιφή Εδώ p άρα det( ( 5 5 Θέµα ο α είξτε ότι για το παραπάνω σύστηµα εξισώσεων η µέθοδος Gauss-Seidel ( συγκλίνει για κάθε αρικό διάνυσµα β Εκτελέστε δύο επαναλήψεις της µεθόδου Gauss-Seidel για το παραπάνω σύστηµα, ( µε αρική προσέγγιση [ ] T α Κατ αρήν όλα τα διαγώνια στοιεία του πίνακα είναι µη-µηδενικά, άρα µπορεί να εφαρµοστεί σ αυτό το σύστηµα εξισώσεων η µέθοδος Gauss-Seidel Για να δούµε ( όµως αν αυτή θα συγκλίνει για κάθε, ρειάζεται να εξετάσουµε αν ικανοποιείται κάποια από τις (έστω ικανές συνθήκες σύγκλισης Προκειµένου ν αποφύγουµε τον κόπο που ενέει ο υπολογισµός του αντίστοιου πίνακα B και φυσικών norms ή της φασµατικής ακτίνας αυτού, µπορούµε να καταφύγουµε σε µια απλούστερη ικανή συνθήκη σύγκλισης, αυτή της αυστηρά διαγώνιας κυριαρίας του πίνακα του συστήµατος Βλέπουµε ότι, δυστυώς, ο πίνακας δεν ικανοποιεί αυτή τη συνθήκη Όµως, όπως κάναµε και στην απαλοιφή Gauss, δεν θα βλάψει τη λύση του συστήµατος αν εναλλάξουµε κάποιες εξισώσεις του Εναλλαγή των πρώτων δύο εξισώσεων οδηγεί στο ισοδύναµο σύστηµα b, µε και b Παρατηρούµε ότι ο πίνακας του συστήµατος,, έει αυστηρά διαγώνια κυριαρία Συνεπώς, η µέθοδος Gauss-Seidel, εφαρµοζόµενη στο τελευταίο σύστηµα, θα συγκλίνει στη λύση του (που ταυτίζεται µε τη λύση του b για οποιοδήποτε ( β Η επανάληψη θα έει ως εξής (,, K: Αυτό σηµαίνει ότι, για κάθε i, ισύει a > ii a ij j i Επίσης, όπως είναι φανερό, ένας τέτοιος πίνακας δεν µπορεί να έει µηδενικό στοιείο στη διαγώνιό του Βλ εξίσωση (8 στο βιβλίο

3 ( ( ( δηλαδή ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Τα αποτελέσµατα των δύο πρώτων επαναλήψεων (,, µε i, i,,, είναι: ( (, ( 8, 9 και ( ( ( 9, 5, 5 5 Βλέπουµε ότι ήδη από τη η επανάληψη βρισκόµαστε πολύ κοντά στη λύση του συστήµατος Θέµα ο α Συµπληρώστε τα στοιεία που λείπουν στον παρακάτω πίνακα: f [ ] f [ ] f [, ] 7 f [ ] f [, ] f [,, ] 5 7 β ώστε, σε µορφή Newton, το πολυώνυµο που παρεµβάλει τη συνάρτηση f στα παραπάνω σηµεία,, α Με βάση τον αναδροµικό ορισµό των διαιρεµένων διαφορών και τον παραπάνω πίνακα, θα έουµε διαδοικά: 5 f [, ] f [, ] f [, ] f [,, ] απ όπου προκύπτει ότι 7 7 [ f, ] 5 Η f ] προκύπτει λύνοντας την εξίσωση [ f [ ] f [ ] f [ ] f [, ], που δίνει f [ ] Τέλος, έοντας στη 7 διάθεσή µας τις f [ ] και f [, ], µπορούµε να βρούµε και την f [ ] από τη σέση: f [ ] f [ ] f [ ] 5 f [, ] Το αποτέλεσµα είναι f [ ] β Το αντίστοιο παρεµβολικό πολυώνυµο σε µορφή Newton είναι:

4 ]( f [,, ]( ( P N ( f [ ] f [, 5 5 ( 7 Θέµα ο Με σκοπό την προσέγγιση της τετραγωνικής ρίζας του, αναζητούµε ρίζα της συνάρτησης f ( στο διάστηµα [,] α Εκτελέστε δύο επαναλήψεις της µεθόδου διοτόµησης για την παραπάνω συνάρτηση στο δοσµένο διάστηµα β Εφαρµόστε στην παραπάνω συνάρτηση τη µέθοδο Newton-Rapson Ξεκινήστε µε το αποτέλεσµα του (α Σταµατήστε µόλις η απόλυτη διαφορά µεταξύ δύο διαδοικών προσεγγίσεων της ρίζας γίνει µικρότερη του α Η συνάρτηση f είναι συνεής στο δοσµένο διάστηµα Επίσης οι τιµές που παίρνει στα άκρα του έουν διαφορετικό πρόσηµο: f ( <, f ( > Αυτό επιβεβαιώνει την ύπαρξη ρίζας της στο διάστηµα αυτό κι επιτρέπει την εφαρµογή της µεθόδου διοτόµησης Εκτελούµε επαναλήψεις της µεθόδου: a b a, b, ξ 5 a b f ( ξ 75 < άρα a ξ, b b, ξ 75 β Η f είναι και παραγωγίσιµη (και µάλιστα υπάρουν οι παράγωγοι όλων των τάξεων, µε παράγωγο f ( Άρα η επανάληψη (για,, K της µεθόδου Newton-Rapson θα είναι: f ( f ( Σε κάθε επανάληψη υπολογίζουµε και την απόλυτη διαφορά µεταξύ της τρέουσας και της προηγούµενης προσέγγισης της ρίζας: E Ξεκινούµε τις επαναλήψεις µε αρική προσέγγιση ξ 75 (στρογγυλεύουµε σε 5 δεκαδικά ψηφία: 7, E 78 > 75, E 9 < Η απάντηση είναι εποµένως 75 5 a Μπορεί να δειτεί ότι η επαναληπτική διαδικασία,,,k, όπου a είναι θετική σταθερά, συγκλίνει, για κάθε >, στη θετική τετραγωνική ρίζα του a Βλ Πρόβληµα 8, σελ 75 του βιβλίου, για την περίπτωση a 5 Αυτό είναι και το αποτέλεσµα (µε 5 δεκαδικά ψηφία του υπολογισµού της στο Matematica

5 Θέµα 5 ο Χρησιµοποιώντας τα σηµεία του παρακάτω πίνακα τιµών για τη συνάρτηση f : f( 5 προσεγγίστε: α την f ( και β το f ( d Στο (β εφαρµόστε τους κανόνες τραπεζίου και Simpson α Ο τύπος που προσεγγίζει την παράγωγο µιας συνάρτησης f στο κεντρικό τριών f ( f ( σηµείων,, που ισαπέουν κατά είναι f ( Έουµε,, και Άρα f ( β Αν πρόκειται να ρησιµοποιήσουµε και τα τρία δοσµένα σηµεία στην προσέγγιση του ολοκληρώµατος µε τον κανόνα του τραπεζίου, τότε θα πρέπει να καταφύγουµε στο σύνθετο τύπο, δηλαδή f ( d [ f ( f ( ] [ f ( f ( ] [ f ( f ( f ( ] ( 5 5 Όσο για τον κανόνα του Simpson, δεν µπορούµε παρά να ρησιµοποιήσουµε τον απλό τύπο αφού διαθέτουµε µόνο τρία σηµεία: f d [ f ( f ( f ( ] ( 5 ( 5