Επιμέλεια απαντήσεων: Ιωάννης Λυχναρόπουλος

Transcript

1 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 17 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, , 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ Επιμέλεια απαντήσεων: Ιωάννης Λυχναρόπουλος Ομάδα Α: Άσκηση Έχουμε να επιλύσουμε την εξίσωση: du 1 du u 1 1 dr r dr (Α1) du με οριακές συνθήκες u(1) 0 και u (0) πεπερασμένη ή 0 (συνθήκη dr r 0 συμμετρίας). Η αναλυτική λύση της διαφορικής εξίσωσης δίνεται με τη βοήθεια του Mathematica: DSolveu''r 1 u'r1, u10, u'00,ur,r r 1 και είναι: ur () (1 r) 4 Αρχικά διακριτοποιούμε το πεδίο ορισμού: Χωρίζουμε την ακτίνα σε Ν ίσα 1 διαστήματα (Ν+1 κόμβους) πλάτους r N 0 r 1 1 N N+1 r=0 i-1 i i+1 r=1 Έτσι για τη ζητούμενη παροχή θα έχουμε: Q uda Q ru( r) dr 1 0 Η αναλυτική τιμή της Q είναι ίση με Προσεγγίζουμε τη διαφορική εξίσωση (Α1) στον τυχαίο κόμβο i : u u u 1 u u i1 i i1 i1 i1 r ri r 1

2 ui 1 ui u i1 1 r ri r r, (Α) r rir για τους εσωτερικούς κόμβους i,..., N όπου r ( i1) r Για i N 1 έχουμε: u 1 0 N Για i 1 θα χρησιμοποιήσουμε την οριακή συνθήκη μαζί με την διαφορική εξίσωση: du d u 1 du d u Παρατηρούμε ότι το limr 0 lim dr r 0 lim dr r0 rdr r 1 dr du uo u1u 1 Έτσι η (1) γράφεται: 1 (Α3) dr r du u u0 Η οριακή συνθήκη: 0 0uo u (Α4) dr r0 r Ό κόμβος i 0 είναι φανταστικός. Οι (Α3) και (Α4) δίνουν τελικά: 4u 4u r 1 (Α5) i Το σύστημα που προκύπτει είναι τριδιαγώνιο και θα επιλυθεί με την μέθοδο Τhomas. Για το ολοκλήρωμα της παροχής Q χρησιμοποιούμε κανόνα τραπεζίου: R r Q ru( r) dr [ ru 1 1 ru... rnun rn 1uN1] 0 Έστω ένα αραιό πλέγμα με Ν=3 (Δr =1/3). Τότε έχουμε να λύσουμε το σύστημα: u1 1/ u u 3 1 To οποίο δίνει: u 0.5 u u u (από οριακή συνθήκη) 4 0 Οι τιμές ταυτίζονται με αυτές της αναλυτικής λύσης στα σημεία 0, 1/3, /3, 1. 1 Q [0(0.5) (1/ 3)(0.) ( / 3)( ) 1(0)]

3 Το πρόγραμμα σε Fortran είναι το ακόλουθο: Program Poisson (σε 1 διάσταση) implicit none doubleprecision,allocatable::a(:),b(:),c(:),d(:),x(:),r(:) doubleprecision:: dr,q,s integer::n,i,status n=3!arithmos diasthmatwn -> n+1 komboi allocate(a(n),b(n),c(n-1),x(n+1),d(n),r(n+1)) if (status/=0) Stop 'Not enough memory' dr=1./n do i=1,n+1 r(i)=(i-1)*dr x(n+1)=0 b(1)=4. c(1)=-4. a(i)=1./dr**-1./(.*r(i)*dr) b(i)=-./dr** if (i<n) then c(i)=1./dr**+1./(.*r(i)*dr) d(1)=dr** d(i)=-1 print*, ' ' call Thomas(n,a,b,c,d,x) do i=1,n print '(I3,4H u(,f10.5,4h) =,D0.5,D0.5)',i,r(i),x(i),(1-r(i)**)/4 print '(I3,4H u(,f10.5,4h) =,D0.5,D0.5)',n+1,r(n+1),0,0 s=0 s=s+*r(i)*x(i) s=s+r(1)*x(1)+r(n+1)*x(n+1) q= 3.14 * dr * s print*, 'q=',s,q contains subroutine Thomas(n,a,b,c,d,x) integer,intent(in) :: n doubleprecision, INTENT(INOUT) ::a(n),b(n),c(n),d(n) doubleprecision, INTENT(OUT) ::x(n) integer::i doubleprecision ::t(n),u(n) t(1)=b(1) u(1)=d(1)/t(1) t(i)=b(i)-a(i)*c(i-1)/t(i-1) u(i)=(d(i)-a(i)*u(i-1))/t(i)

4 end x(n)=u(n) do i=n-1,1,-1 x(i)=u(i)-c(i)/t(i)*x(i+1) end subroutine Thomas Δίνουμε ενδεικτικά αποτέλεσματα για Ν=100. Δίπλα στις αριθμητικές τιμές παρουσιάζονται οι αντίστοιχες αναλυτικές οι οποίες ταυτίζονται!!! 1 u( ) = D D+00 u( ) = D D+00 3 u(0.0000) = D D+00 4 u( ) = D D+00 5 u( ) = D D+00 6 u( ) = D D+00 7 u( ) = D D+00 8 u( ) = D D+00 9 u( ) = D D u( ) = D D u( ) = D D+00 1 u( ) = D D u(0.1000) = D D u( ) = D D u( ) = D D u( ) = D D u( ) = D D u( ) = 0.477D D u( ) = D D+00 0 u( ) = D D+00 1 u(0.0000) = D D+00 u(0.1000) = D D+00 3 u(0.000) = D D+00 4 u(0.3000) = D D+00 5 u(0.4000) = D D+00 6 u(0.5000) = D D+00 7 u(0.6000) = D D+00 8 u(0.7000) = D D+00 9 u(0.8000) = D D u(0.9000) = 0.897D D u( ) = 0.750D D+00 3 u( ) = 0.597D D u(0.3000) = 0.440D D u( ) = 0.77D D u( ) = 0.110D D u( ) = D D u( ) = D D u( ) = D D u( ) = D D u( ) = D D u( ) = D D+00 4 u( ) = D D u(0.4000) = D D u( ) = D D u( ) = D D u( ) = D D u( ) = D D u( ) = D D u( ) = D D u( ) = D D u( ) = D D+00 5 u( ) = D D u(0.5000) = D D u( ) = D D u( ) = D D u( ) = D D u( ) = D D u( ) = D D u( ) = D D u( ) = D D u( ) = D D+00

5 6 u( ) = D D u(0.6000) = D D u( ) = D D u( ) = D D u( ) = D D u( ) = D D u( ) = D D u( ) = D D u( ) = D D u( ) = D D+00 7 u( ) = D D u(0.7000) = D D u( ) = D D u( ) = D D u( ) = D D u( ) = D D u( ) = D D u( ) = D D u( ) = D D u( ) = D D-01 8 u( ) = D D u(0.8000) = D D u( ) = D D u( ) = D D u( ) = D D u( ) = D D u( ) = D D u( ) = D D u( ) = D D u( ) = D D-01 9 u( ) = D D u(0.9000) = D D u( ) = D D u( ) = D D u( ) = D D u( ) = D D u( ) = D D u( ) = D D u( ) = D D u( ) = D D+00 ΠΑΡΟΧΗ: q = Ομάδα Β Θεωρούμε ότι η τετραγωνική πλάκα έχει πλευρά ίση με 1m. Επίσης h=5 W/m C, k=300 W/m C και T 5 C. Έχουμε να επιλύσουμε τη διαφορική εξίσωση Laplace: T T T 0 0 (Β1) x y με οριακές συνθήκες: T T( x,0) 50, T( x,1) 100, T(1, y) 50 και για x 0 : k h( T T ). x Διακριτοποιούμε το πεδίο ορισμού 0 x, y 1: xωρίζουμε την κάθε πλευρά σε Ν ίσα 1 διαστήματα (N+1 κόμβους) πλάτους H N Έτσι για τις οριακές συνθήκες έχουμε: T( x,1) 100 T(1, j) 100 T( x,0) 50 T( n1, j) 50 T(1, y) 50 T( i, n1) 50

6 T Για x 0 διακριτοποιούμε την k h( T T ) με πεπερασμένες διαφορές στον x κόμβο (1, j ) και παίρνουμε: T, j T1, j hh hh k h( T1, j T) T, j T1, j T1, j T H k k hh hh T1, j ( T, j T )/(1 ) για j=,,n (Β) k k Επίσης διακριτοποιούμε την (Β1) στον τυχαίο κόμβο (, i j) και παίρνουμε τον τύπο των 5 σημείων: 1 Ti, j ( Ti 1, jti1, jti, j1 Ti, j1 ) γιαi,..., N και j,..., N (Β3) 4 Έτσι θα έχουμε για τις διάφορες μεθόδους επίλυσης συστημάτων: Μέθοδος Jacobi ( n1) ( n) hh hh T1, j ( T, j T )/(1 ) για j,..., N ( i 1) k k ( n1) 1 ( ) ( ) ( ) ( ), ( n n n n Ti j Ti 1, j Ti 1, j Ti, j1 Ti, j1 ) για i,..., N και j,..., N 4 Μέθοδος Gauss-Seidel ( n1) ( n) hh hh T1, j ( T, j T )/(1 ) για j,..., N ( i 1) k k ( n1) 1 ( ) ( 1) ( ) ( 1), ( n n n n Ti j Ti 1, j Ti 1, j Ti, j1 Ti, j1 ) γιαi,..., N και 4 j,..., N (Ο υπολογισμός γίνεται από το πάνω μέρος της τετραγωνικής πλάκας προς τα κάτω και από αριστερά προς τα δεξιά) Μέθοδος SOR ( n1) ( n) hh hh ( n) T1, j ( T, j T )/(1 ) (1 ) T1, j για j,..., N ( i 1) k k ( n1) 1 ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( ), ( n n n n 1, 1,, 1, 1 ) (1 ) n Ti j Ti j Ti j Ti j Ti j Ti, j 4 γιαi,..., N και j,..., N Το πρόγραμμα σε Fortran είναι: Μέθοδοι Jacobi, Gauss-Seidel, SOR Program Jacobi_GaussSeidel_SOR implicit none doubleprecision,allocatable::t(:,:),told(:,:) integer::n,i,j,k,kk,h,status,maxi,done,method doubleprecision::s,rel,err,max doubleprecision::t0,hh,w

7 n=50 allocate(t(n+1,n+1),told(n+1,n+1)) if (status/=0) Stop 'Not enough memory' maxi= rel= print*, 'n=',n,'rel=',rel hh=1./n h=5 kk=300 t0=5 do method=1,3!1=jacobi, =gauss-seidel, 3=SOR if (method==1) then t(:,:)=0. t(1,:)=100. t(n+1,:)=50. t(:,n+1)=50. told(:,:)=t(:,:)! print*,x0(:)!read* k=1 done=0 do while (k<=maxi.and. done==0) do j=1,n if (j==1) then t(i,1)=(told(i,)-(h*hh/kk)*t0)/(1-(h*hh/kk)) else t(i,j)= 0.5*(told(i,j+1)+told(i,j-1)+told(i+1,j)+told (i-1,j))! elenxos gia termatismo max=-1 do j=1,n err = abs((t(i,j) - told(i,j))/t(i,j)) if (err>max) then max=err if (max<rel) then done=1 told(:,:)=t(:,:) k=k+1 open(11,file='res_jacobi.txt',recl=10000)!xwris to RECL=1000 to megisto platos xwraei monon 5 sthles toy pinaka do i=n+1,1,-1! ta typwnoyme anapoda gia na ta deiksei o array visualizer swsta! write(11,*) t(i,:) print*, 'Jacobi' print*, k-1,max print*,' '

8 elseif (method==) then!gauss-seidel t(:,:)=0. t(1,:)=100. t(n+1,:)=50. t(:,n+1)=50. k=1 done=0 do while (k<=maxi.and. done==0) told(:,:)=t(:,:) do j=1,n if (j==1) then t(i,1)=(t(i,)-(h*hh/kk)*t0)/(1-(h*hh/kk)) else t(i,j)= 0.5*(t(i,j+1)+t(i,j-1)+t(i+1,j)+t(i-1,j))! elenxos gia termatismo max=-1 do j=1,n err = abs((t(i,j) - told(i,j))/t(i,j)) if (err>max) then max=err if (max<rel) then done=1 k=k+1 open(1,file='res_gauss.txt',recl=1000) do i=n+1,1,-1 write(1,*) t(i,:) print*, 'Gauss Seidel' print*, k-1,max print*, ' ' elseif (method==3) then!sor do w=1.88,1.99,0.01 k=1 done=0 t(:,:)=0. t(1,:)=100. t(n+1,:)=50. t(:,n+1)=50. do while (k<=maxi.and. done==0) told(:,:)=t(:,:) do j=1,n if (j==1) then t(i,1)=w*(t(i,)-(h*hh/kk)*t0)/(1-(h*hh/kk))+(1-w)*t(i,1) else t(i,j)= 0.5*w*(t(i,j+1)+t(i,j-1)+t(i+1,j)+t(i-1,j))+(1-w)*t(i,j)

9 ! elenxos gia termatismo max=-1 do j=1,n err = abs((t(i,j) - told(i,j))/t(i,j)) if (err>max) then max=err if (max<rel) then done=1 k=k+1 open(13,file='res_sor.txt',recl=1000) do i=n+1,1,-1 write(13,*) t(i,:) print*, 'SOR' print*, k-1,w end Ο έλεγχος σύγκλισης γίνεται με κριτήριο το μέγιστο σχετικό σφάλμα από όλα τα στοιχεία του πίνακα να είναι μικρότερο από μία δεδομένη τιμή. Ανοίγοντας το αρχείο res_jacobi.txt μέσα από το πρόγραμμα Compaq Array Visualizer και επιλέγοντας τύπο γραφήματος Image Map παίρνουμε τα ακόλουθα γραφήματα: N=51

10 Ν=101 Ν=01 Αντίστοιχα γραφήματα παίρνουμε για όλες τις μεθόδους.

11 Στον επόμενο πίνακα φαίνεται συγκεντρωτικά ο αριθμός επαναλήψεων μέχρι την σύγκλιση ανά μέθοδο και πλήθος κόμβων: Κριτήριο τερματισμού: Σχετικό σφάλμα < 10-4 Πλέγμα Jacobi Gauss-Seidel SOR 51x ( 1.89) 19 ( 1.90) 111 ( 1.91) 117 ( 1.9) 139 ( 1.93) 101x ( 1.9) 330 ( 1.93) 8 ( 1.94) 8 ( 1.95) 37 ( 1.96) 01x ( 1.96) 499 ( 1.97) 485 ( 1.98) 98 ( 1.99) Κριτήριο τερματισμού: Σχετικό σφάλμα < 10-6 Πλέγμα Jacobi Gauss-Seidel SOR 51x ( 1.89) 197 ( 1.90) 176 ( 1.91) 01 ( 1.9) 101x ( 1.93) 471 ( 1.94) 36 ( 1.95) 401 ( 1.96) 01x ( 1.96) 865 ( 1.97) 801 ( 1.98) 153 ( 1.99) Κριτήριο τερματισμού: Σχετικό σφάλμα < 10-8 Πλέγμα Jacobi Gauss-Seidel SOR 51x ( 1.89) 65 ( 1.90) 08 ( 1.91) 35 ( 1.9) 101x ( 1.94) 476 ( 1.95) 475 ( 1.96) 65 ( 1.97) 01x ( 1.96) 13 ( 1.97) 971 ( 1.98) 001 ( 1.99)

12 Μέθοδος ADI Για απλούστευση θα μελετήσουμε την περίπτωση που έχουμε αριστερά την απλή οριακή συνθήκη τύπου Dirichlet T(0,y) = 50. ( n 1 ) ( n) i1, j( ) i, j i1, j i, j1 ( ) i, j i, j1 T T T T T T γιαi,..., N και j,..., N ( n1) ( n1 ) i, j1 ( ) i, j i, j1 i1, j( ) i, j i1, j T T T T T T γιαi,..., N και j,..., N Στον παρακάτω αλγόριθμο σε κάθε βήμα αντί να λύσουμε δύο τριδιαγώνια συστήματα n-1xn-1 αγνώστων (ένα για την κατεύθυνση x και ένα για την κατεύθυνση y), λύνουμε n-1 τριδιαγώνια συστήματα n-1 αγνώστων στην κατεύθυνση x και n-1 τριδιαγώνια συστήματα n-1 αγνώστων στην κατεύθυνση y. Program ADI implicit none doubleprecision,allocatable::a(:),b(:),c(:),d(:),x(:),t(:,:),tnew(:,:),told(:,:) integer::nn=10,n,m,i,j,k,l,status=0,maxl,done doubleprecision::s,max,rel,err,rr n=nn- allocate(a(n),b(n),c(n-1),x(n),d(n),t(nn,nn),tnew(nn,nn),told(nn,nn)) if (status/=0) Stop 'Not enough memory' T(:,:)=50. T(1,:)=100. T(nn,:)=100. T(:,1)=50. T(:,nn)=50. Tnew(:,:)=T(:,:) rr=0.1 A(:)=1. B(:)=-(.+rr) C(:)=1. maxl=30000 rel=0.01 l=1 done=0 do while (l<=maxl.and. done==0 ) Told(:,:)= T(:,:) do k=,nn-1 do j=,nn-1 s=-(t(k-1,j)-(.-rr)*t(k,j)+t(k+1,j)) if (j==) then D(j-1)=s-T(k,j-1) elseif (j==nn-1) then D(j-1)=s-T(k,j+1) else D(j-1)=s

13 call Thomas(n,a,b,c,d,x) Tnew(k,:nn-1)=x! print*, 'd=', d(:)! print*, 'x=',x(:)!read* T(:,:)=Tnew(:,:) do k=,nn-1 n-1 s=-(t(i,k-1)-(.-rr)*t(i,k)+t(i,k+1)) if (i==) then D(i-1)=s-T(i-1,k) elseif (i==nn-1) then D(i-1)=s-T(i+1,k) else D(i-1)=s call Thomas(n,a,b,c,d,x) Tnew(:nn-1,k)=x T(:,:)=Tnew(:,:)! elenxos gia termatismo max=-1 do i=1,nn do j=1,nn err = abs((t(i,j) - told(i,j))/t(i,j)) * 100. if (err>max) then max=err if (max<rel) then done=1 l=l+1 print*, ' '!do i=1,nn! print*, T(i,:)! open(14,file='res_adi.txt',recl=10000) do i=nn,1,-1 write(14,*) t(i,:) print*, l-1,max contains subroutine Thomas(n,a,b,c,d,x) integer,intent(in) :: n

14 doubleprecision, INTENT(IN) ::a(n),b(n),c(n),d(n) doubleprecision, INTENT(OUT) ::x(n) doubleprecision ::t(n),u(n) integer :: i t(1)=b(1) u(1)=d(1)/t(1) t(i)=b(i)-a(i)*c(i-1)/t(i-1) u(i)=(d(i)-a(i)*u(i-1))/t(i) x(n)=u(n) do i=n-1,1,-1 x(i)=u(i)-c(i)/t(i)*x(i+1) end subroutine Thomas end H ADI συγκλίνει σε 5 επαναλήψεις και για Ν=50 δίνει το παρακάτω γράφημα:

15 Ομάδα Γ: Άσκηση 1 Επιλύουμε τη διαφορική εξίσωση Poisson: u u u 1 1 x y με οριακές συνθήκες ux (,0) ux (,1) u(0, y) u(1, y) 0. (Γ1) Αρχικά διακριτοποιούμε το πεδίο ορισμού 0 x, y 1: xωρίζουμε την κάθε πλευρά 1 σε Ν ίσα διαστήματα (N+1 κόμβους) πλάτους h N Στη συνέχεια διακριτοποιούμε την (Γ1) στον τυχαίο κόμβο (, i j) και παίρνουμε τον τύπο των 5 σημείων: 1 ui, j ( ui 1, jui1, jui, j1 ui, j1 h ) για i,..., N και j,..., N (Γ) 4 Για την επίλυση του συστήματος θα χρησιμοποιήσουμε τις μεθόδους Jacobi, Gauss- Seidel και SOR Jacobi ( n1) 1 ( ) ( ) ( ) ( ), ( n n n n ui j ui 1, j ui 1, j ui, j1 ui, j1 h ) γιαi,..., N και 4 j,..., N Gauss-Seidel ( n1) 1 ( ) ( 1) ( ) ( 1), ( n n n n ui j ui 1, j ui 1, j ui, j1 ui, j1 h ) γιαi,..., N και 4 j,..., N (Ο υπολογισμός γίνεται από πάνω προς τα κάτω και από αριστερά προς τα δεξιά) SOR u 1 ( u 4 u u u h ) (1 ) u γιαi,..., N και j,..., N ( n1) ( n) ( n1) ( n) ( n1) ( n) i, j i1, j i1, j i, j1 i, j1 i, j Για τον υπολογισμό της ζητούμενης παροχής θα έχουμε: 1 1 Q uda Q u( x, y) dxdy 0 0 και βάσει του κανόνα του τραπεζίου θα είναι: h Q [ u1,1u1, N1uN1,1uN1, N1 4 N N N N N N u u u u 4 u ] 1, j N1, j i,1 i, N1 i, j j j i i i j

16 Program Jacobi_GaussSeidel_SOR implicit none doubleprecision,allocatable::u(:,:),uold(:,:) integer::n,i,j,k,kk,h,status,maxi,done,method,l doubleprecision::s,rel,err,max,s1,s,q doubleprecision::hh,w n=50 allocate(u(n+1,n+1),uold(n+1,n+1)) if (status/=0) Stop 'Not enough memory' maxi=50000 rel= hh=1./n do method=1,3!1=jacobi, =gauss-seidel, 3=SOR u(:,:)=0. if (method==1) then uold(:,:)=u(:,:)! print*,x0(:)!read* k=1 done=0 do while (k<=maxi.and. done==0) do j=,n u(i,j)= 0.5*(uold(i,j+1)+uold(i,j-1)+uold(i+1,j)+uold (i-1,j)+hh**)! elenxos gia termatismo max=-1 do j=,n err = abs((u(i,j) - uold(i,j))/u(i,j)) if (err>max) then max=err if (max<rel) then done=1 uold(:,:)=u(:,:) k=k+1 open(11,file='res_jacobi.txt',recl=10000)!xwris to RECL=1000 to megisto platos xwraei monon 5 sthles toy pinaka do i=n+1,1,-1! ta typwnoyme anapoda gia na ta deiksei o array visualizer swsta! write(11,*) u(i,:) print*, 'Jacobi' print*, k-1,max print*,' ' elseif (method==) then!gauss-seidel k=1 done=0

17 do while (k<=maxi.and. done==0) uold(:,:)=u(:,:) do j=,n u(i,j)= 0.5*(u(i,j+1)+u(i,j-1)+u(i+1,j)+u(i-1,j)+hh**)! elenxos gia termatismo max=-1 do j=,n err = abs((u(i,j) - uold(i,j))/u(i,j)) if (err>max) then max=err if (max<rel) then done=1 k=k+1 open(1,file='res_gauss.txt',recl=1000)!xwris to RECL=1000 to megisto platos xwraei monon 5 sthles toy pinaka do i=n+1,1,-1! ta typwnoyme anapoda gia na ta deiksei o array visualizer swsta! write(1,*) u(i,:) print*, 'Gauss Seidel' print*, k-1,max print*, ' ' elseif (method==3) then!sor do w=1.8,1.99,0.01 k=1 done=0 u(:,:)=0.!w=1.90 do while (k<=maxi.and. done==0) uold(:,:)=u(:,:) do j=,n u(i,j)= 0.5*w*(u(i,j+1)+u(i,j-1)+u(i+1,j)+u(i-1,j)+hh**)+(1-w)*u(i,j)! elenxos gia termatismo max=-1 do j=,n err = abs((u(i,j) - uold(i,j))/u(i,j)) if (err>max) then max=err if (max<rel) then done=1

18 k=k+1 open(13,file='res_sor.txt',recl=1000)!xwris to RECL=1000 to megisto platos xwraei monon 5 sthles toy pinaka do i=n+1,1,-1! ta typwnoyme anapoda gia na ta deiksei o array visualizer swsta! write(13,*) u(i,:) print*, 'SOR' print*, k-1,w!ypologismos ths paroxhs q s1=0 do l=,n s1=s1+u(l,1)+u(l,n+1)+u(1,l)+u(n+1,l) s=0 do i=,n do j=,n s=s+u(i,j) q=(u(1,1)+u(1,n+1)+u(n+1,1)+u(n+1,n+1)+*s1+4*s)*hh**/4 print*,q end Ενδεικτικά για N=4 (πλέγμα 5x5) θα έχουμε με τη Jacobi τα εξής αποτελέσματα: Ταχύτητες (u ) E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E+00 Παροχή: Q=

19 Στον επόμενο πίνακα φαίνεται συγκεντρωτικά ο αριθμός επαναλήψεων μέχρι την σύγκλιση ανά μέθοδο και πλήθος κόμβων: Σχετικό σφάλμα< 10-4 Πλέγμα Jacobi Gauss-Seidel SOR 51x ( 1.86) 108 ( 1.87) 10 ( 1.88) 104 ( 1.89) 101x ( 1.9) 05 ( 1.93) 04 ( 1.94) 08 ( 1.95) 01x ( 1.96) 404 ( 1.97) 450 ( 1.98) 908 ( 1.99) Σχετικό σφάλμα< 10-6 Πλέγμα Jacobi Gauss-Seidel SOR 51x ( 1.87) 14( 1.88) 13 ( 1.89) 144 ( 1.90) 101x ( 1.9) 33 ( 1.93) 43 ( 1.94) 80 ( 1.95) 01x ( 1.95) 73 ( 1.96) 456 ( 1.97) 804 ( 1.98) Σχετικό σφάλμα< 10-8 Πλέγμα Jacobi Gauss-Seidel SOR 51x ( 1.86) 3 ( 1.87) 186 ( 1.88) 0 ( 1.89) 101x ( 1.95) 459 ( 1.96) 38 ( 1.97) 407 ( 1.98) 01x ( 1.95) 1035 ( 1.96) 653 ( 1.97) 894 ( 1.98)

20 Ομάδα Γ: Άσκηση 7 Επιλέγουμε l1ll3 1 δηλαδή έναν κύβο με ακμές από 0 έως 1, με f( x, y) 100. Επιλύουμε τη διαφορική εξίσωση Laplace: T T T 0 0 x y z T (Γ3) με οριακές συνθήκες: T( x, y,1) 100, T( x, y,0) T( x,0, z) T( x,1, z) T(0, y, z) T(1, y, z) 0. Διακριτοποιούμε το πεδίο ορισμού 0 x, yz, 1: χωρίζουμε την κάθε πλευρά σε Ν 1 ίσα διαστήματα (N+1 κόμβους) πλάτους h. N Διακριτοποιούμε την (Γ3) στον τυχαίο κόμβο (, i j, k) και παίρνουμε τον τύπο των 7 σημείων: 1 Ti, j, k ( Ti 1, j, k Ti 1, j, k Ti, j1, k Ti, j1, k Ti, j, k1 Ti, j, k1 ), 6 για i,..., N, j,..., N και k,..., N (Γ4) Επιλύουμε το σύστημα με τις μεθόδους Jacobi, Gauss-Seidel και SOR. Jacobi ( n1) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),, ( n n n n n n ui jk ui 1, jk, ui 1, jk, ui, j1, k ui, j1, k ui, jk, 1 ui, jk, 1 ) 6 γιαi,..., N, j,..., N και k,..., N Gauss-Seidel ( n 1) 1 ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( 1) ( ),, ( n n n n n n u i j k ui 1, j, k u i 1, j, k ui, j 1, k u i, j 1, k u i, j, k1 ui, j, k1 ) 6 γιαi,..., N, j,..., N και k,..., N SOR u 1 ( u 6 u u u u u ) (1 ) u γιαi,..., N, j,..., N και k,..., N ( n1) ( n) ( n1) ( n) ( n1) ( n1) ( n) ( n) ijk,, i1,, jk i1,, jk ij, 1, k ij, 1, k ijk,, 1 ijk,, 1 ijk,, Program Jacobi_GaussSeidel_SOR implicit none doubleprecision,allocatable::t(:,:,:),told(:,:,:) integer::n,i,j,k,kk,h,status,maxi,done,method,l,m,z doubleprecision::s,rel,err,max,s1,s,q doubleprecision::t0,hh,w n=10 allocate(t(n+1,n+1,n+1),told(n+1,n+1,n+1)) if (status/=0) Stop 'Not enough memory'

21 hh=1./n maxi= rel= do method=1,3!1=jacobi, =gauss-seidel, 3=SOR t(:,:,:)=0. t(:,1,:)=100. if (method==1) then told(:,:,:)=t(:,:,:)! print*,x0(:)!read* m=1 done=0 do while (m<=maxi.and. done==0) do j=,n do k=,n t(i,j,k)= (1./6.)*(told(i,j+1,k)+told(i,j-1,k)+told(i+1,j,k)+told (i- 1,j,k)+told (i,j,k-1)+told (i,j,k+1))! elenxos gia termatismo max=-1 do j=,n do k=,n err = abs((t(i,j,k) - told(i,j,k))/t(i,j,k)) if (err>max) then max=err if (max<rel) then done=1 told(:,:,:)=t(:,:,:) m=m+1 open(11,file='res_jacobi1.txt',recl=10000)!xwris to RECL=1000 to megisto platos xwraei monon 5 sthles toy pinaka do i=n+1,1,-1! ta typwnoyme anapoda gia na ta deiksei o array visualizer swsta! write(11,*) t(i,:,:) do i=1,n+1,1 do j=1,n+1,1! ta typwnoyme anapoda gia na ta deiksei o array visualizer swsta! do k=1,n+1,1 write(11,*) t(i,j,k)!write(11,*) z,' ' print*, 'Jacobi' print*, m-1,max print*,' '

22 elseif (method==) then!gauss-seidel m=1 done=0 do while (m<=maxi.and. done==0) told(:,:,:)=t(:,:,:) do j=,n do k=,n t(i,j,k)= (1./6.)*(t(i,j+1,k)+t(i,j-1,k)+t(i+1,j,k)+t(i-1,j,k)+t(i,j,k- 1)+t(i,j,k+1))! elenxos gia termatismo max=-1 do j=,n do k=,n err = abs((t(i,j,k) - told(i,j,k))/t(i,j,k)) if (err>max) then max=err if (max<rel) then done=1 m=m+1 open(1,file='res_gauss.txt',recl=1000)!xwris to RECL=1000 to megisto platos xwraei monon 5 sthles toy pinaka do i=n+1,1,-1! ta typwnoyme anapoda gia na ta deiksei o array visualizer swsta! write(1,*) t(i,:,:) print*, 'Gauss Seidel' print*, m-1,max print*,' ' elseif (method==3) then!sor do w=1.1,1.9,0.1 t(:,:,:)=0. t(:,1,:)=100. m=1 done=0 do while (m<=maxi.and. done==0) told(:,:,:)=t(:,:,:) do j=,n do k=,n t(i,j,k)= (1./6.)*(t(i,j+1,k)+t(i,j-1,k)+t(i+1,j,k)+t(i-1,j,k)+t(i,j,k- 1)+t(i,j,k+1))+(1-w)*t(i,j,k)! elenxos gia termatismo max=-1

23 do j=,n do k=,n err = abs((t(i,j,k) - told(i,j,k))/t(i,j,k)) if (err>max) then max=err if (max<rel) then done=1 m=m+1 open(13,file='res_sor.txt',recl=1000) do k=1,n+1 do i=1,n+1 do j=1,n+1 write(13,*) i,'/',j,'/',k,'/',t(i,j,k) print*, 'SOR' print*, w, m-1 print*,' ' end

24 Σχετικό σφάλμα< 10-4 Πλέγμα Jacobi Gauss-Seidel SOR 11x11x ( 1.10) 19 ( 1.0) 3 ( 1.30) 9 ( 1.40) 35 ( 1.50) 51x51x ( 1.0) 39 ( 1.30) 65 ( 1.35) Σχετικό σφάλμα< 10-6 Πλέγμα Jacobi Gauss-Seidel SOR 11x11x ( 1.10) 4 ( 1.0) 6 ( 1.30) 36 ( 1.40) 51x51x ( 1.10) 68 ( 1.0) 5 ( 1.30) >500 ( 1.40) Σχετικό σφάλμα< 10-8 Πλέγμα Jacobi Gauss-Seidel SOR 11x11x ( 1.10) 9 ( 1.0) 9 ( 1.30) 35 ( 1.40) 51x51x ( 1.10) 79 ( 1.0) 64 ( 1.30) 13 ( 1.40)

25 Ενδεικτικά αποτελέσματα για N=50 με Gauss-Seidel και σχετικό σφάλμα 10 (ανά 10 κόμβους): i j k T i, j, k

26

27

28 Γράφημα με το πρόγραμμα MayaVi και την εντολή IsoSurface: Γράφημα με το πρόγραμμα MayaVi και την εντολή ScalarCutPlane:

29 Η μορφή του αρχείου δεδομένων (επέκταση.vtk) για τα προηγούμενα γραφήματα είναι η ακόλουθη (για Ν=10): # vtk DataFile Version.0 3D Periodic Array ASCII DATASET STRUCTURED_POINTS DIMENSIONS ORIGIN SPACING POINT_DATA 1331 SCALARS temperature float LOOKUP_TABLE default E E E+00 κ.ο.κ. Όπου 1331=11*11*11 και τις τιμές ( κοκ) τις παίρνουμε με τον ακόλουθο κώδικα Fortran: do i=1,n+1 do j=1,n+1 do k=1,n+1 write(13,*) t(i,j,k)