Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων αλγεβρικών εξισώσεων. 2.1 Επίλυση απλών εξισώσεων
|
|
- Φωτινή Δεσποτόπουλος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Κεφ. : Επίλυση συστημάτων αλγεβρικών εξισώσεων. Επίλυση απλών εξισώσεων. Επίλυση συστημάτων με απευθείας μεθόδους.. Μέθοδοι Gauss, Gauss-Jorda.. Παραγοντοποίηση LU ειδικές περιπτώσεις: Cholesky, Thomas.. Νόρμες πινάκων, δείκτης κατάστασης πίνακα, ασταθή συστήματα,. Επίλυση συστημάτων με επαναληπτικές μεθόδους.. Μέθοδος Jacob.. Μέθοδος Gauss-Sedel.. Σύγκριση επαναληπτικών μεθόδων και ορισμός φασματικής ακτίνας.4 Μέθοδος Newto-Raphso
2 . Επίλυση εξισώσεων Παραδείγματα προβλημάτων θερμοδυναμικής, στατικής, μηχανικής, ρευστών, κτλ., που απαιτείται ο υπολογισμός των ριζών αλγεβρικών εξισώσεων: Η καταστατική εξίσωση των Beatte και Brdgma δίδεται από την σχέση RT β γ δ P = V V V V όπου τα β, γ, δ είναι γνωστές συναρτήσεις της θερμοκρασίας. Να βρεθεί ο όγκος του αερίου σε γνωστές τιμές της πίεση και θερμοκρασίας ή η θερμοκρασία του αερίου σε γνωστές τιμές της πίεσης και του όγκου. Η εξίσωση που περιγράφει την παραμόρφωση μιας ελαστικής δοκού που παραλαμβάνει ένα γραμμικά μεταβαλλόμενο φορτίο είναι w0 5 4 y = + L L 0EIL Να βρεθεί το σημείο της μέγιστης παραμόρφωσης και στη συνέχεια η τιμή της Ε=50.000kN/cm, I=0.000cm 4, L=450cm, w 0 =,75kN/cm.
3 Η συγκέντρωση του οξυγόνου σε ένα ποτάμι κατάντη του σημείου εξόδου αστικών λυμάτων δίδεται από την σχέση c 0 0e = e όπου η απόσταση από το σημείο εξόδου. Να προσδιοριστεί σε ποια απόσταση η συγκέντρωση του οξυγόνου είναι c=5. Στη μηχανική ρευστών ο συντελεστής τριβής δίδεται από τη εξίσωση = 087. l Re 08. Υπολογίστε τον συντελεστή τριβής για Re= Η παρακάτω εξίσωση εφαρμόζεται στον υπολογισμό της ειδικής θερμότητας του αέρα. Να βρεθεί η θερμοκρασία που αντιστοιχεί σε c p =.kj/kgk c = * 0 *T * 0 *T * 0 *T * 0 *T p
4 .. Μέθοδος διχοτόμησης και γραμμικής παρεμβολής Ζητείται η ρίζα της εξίσωσης 0 Αλγόριθμος: Ορίζεται σημείο = + Εάν Εάν = + = στο διάστημα =. / < 0 τότε αντικαθίσταται το > 0 τότε αντικαθίσταται το 4 / με = + 4 / με και το παλιό με Με τον τρόπο αυτό το διάστημα που βρίσκεται η ρίζα διχοτομείται συνεχώς., το μέγιστο αρχικό λάθος είναι /και μετά Αφού η ρίζα είναι στο διάστημα [ ] από διχοτομήσεις θα είναι / +. Αντίστοιχη είναι και η μέθοδος της γραμμικής παρεμβολής με μόνη διαφορά ότι η νέα τιμή προκύπτει από τη σχέση: = 4
5 Παράδειγμα: Να βρεθεί η ρίζα της εξίσωσης = cos cosh + = 0 στο διάστημα [.6, ] L R M L R M 5
6 .. Μέθοδος απλών αντικαταστάσεων Η αρχική εξίσωση = 0 γράφεται στη μορφή F Στη συνέχεια εφαρμόζεται η επαναληπτική διαδικασία Η επαναληπτική διαδικασία τερματίζεται όταν Σύγκλιση: Έστω η αναλυτική λύση και Επιλύουμε ως προς = = F < ε ή + < ε η αριθμητική λύση και σ = το σφάλμα. και αντικαθιστούμε στον επαναληπτικό αλγόριθμο: df + σ = F + σ = F + σ σ = σ d df Η μέθοδος συγκλίνει εάν < d = + + df d 6
7 Παραδείγματα: = = = = F, F =.88 6 Αριθμός επανάληψης F F
8 = = 0, Αναλυτική λύση: =.497 F = =, F 6.88 Αριθμός επανάληψης F F
9 .. Μέθοδος Newto Έστω η αναλυτική λύση και η αριθμητική λύση και σ = το σφάλμα. d = 0 = 0 = 0 = = σ σ σ d = = = + Γεωμετρική ερμηνεία: 9
10 Σύγκλιση: Έστω η αναλυτική λύση και Αλγόριθμος: Ανάπτυγμα Taylor: η αριθμητική λύση και σ = το σφάλμα. + + σ = + σ σ σ + = d d = 0 σ = σ + σ = 0 d d = = d σ d = σ = Αντικαθιστούμε την τελευταία σχέση στον αριθμητή της προηγούμενης: 0
11 σ = σ + Η μέθοδος συγκλίνει εάν < Απλοποιημένη Newto: + =, + σ σ σ Αλγόριθμος ης τάξης: + =, σ + σ
12 Παράδειγμα: =, = + = 0, Αναλυτική λύση: = = = σ + = σ Μέθοδος Newto Μέθοδος απλών επαναλήψεων σ σ σ 0.75σ Απλές επαναλήψεις: = =, F / F = F = 0.75
13 Μέθοδος Newto για πολλαπλές ρίζες: Είναι προφανές ότι στη περίπτωση πολλαπλών ριζών η μέθοδος Newto αστοχεί ή στη καλύτερη περίπτωση η σύγκλιση είναι αντίστοιχη με αυτή των γραμμικών μεθόδων καθώς πλησιάζουμε τη ρίζα όχι μόνο το αλλά και το τείνουν στο μηδέν. Απόδειξη: Έχει αποδειχθεί ότι η εξέλιξη του σφάλματος στη μέθοδο Newto δίδεται από την σχέση: + σ = σ Αν η ρίζα είναι πολλαπλότητας τότε = 0 σ = 0 = σ Η τελευταία σχέση αντικαθίσταται στη γενική έκφραση και προκύπτει ότι: + σ = σ = σ σ
14 Επομένως εφαρμόζονται οι παρακάτω δύο εναλλακτικοί αλγόριθμοι ώστε η σύγκλιση να παραμείνει τετραγωνική. Α Έστω u = και u = Σημειώνεται ότι οι ρίζες της u είναι οι ίδιες με αυτές της αρχικής συνάρτησης. + u = u + = 4
15 Παράδειγμα Chapra & Caale, σελ. 65: = = = 0 Μέθοδος Newto Μέθοδος Newto για πολλαπλές ρίζες σ % σ %
16 Β Έστω ότι αναζητείται ρίζα πολλαπλότητας : = 0 σ = 0 σ + σ = 0 σ σ = 0 = 0 = 0 σ σ = σ = 0 σ = Γενική περίπτωση ρίζας πολλαπλότητας m: + = + = m 0 6
17 . Επίλυση συστημάτων με απευθείας μεθόδους Εξετάζονται συστήματα όπου ο αριθμός των εξισώσεων ισούται με τον αριθμό των αγνώστων. Οι απευθείας μέθοδοι εφαρμόζονται μόνο σε γραμμικά συστήματα της μορφής A = b ή a + a a = b a + a a = b... a + a a = b... a + a a = b ή a j j = b, =,,..., j= Ο αριθμός των πράξεων που απαιτούνται για την επίλυση του συστήματος με τις απευθείας μεθόδους είναι τάξης O ]. [ 7
18 Το σύστημα = det A 0. A b έχει λύση εάν ο πίνακας A είναι αντιστρέψιμος ή εάν Το σύστημα A = 0 έχει μη μηδενική λύση εάν ο πίνακας A είναι μη αντιστρέψιμος det A = 0. ή εάν Οι ιδιοτιμές ή χαρακτηριστικές τιμές λ ενός πίνακα A προκύπτουν επιλύοντας συστήματα όπως το σύστημα A = λ ή A λi = 0, όπου είναι το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα ή χαρακτηριστικό διάνυσμα. Το σύστημα αυτό έχει μη μηδενική λύση μόνο όταν λ χαρακτηριστική εξίσωση 0 + λ λ + λ = 0 c c c από την οποία προκύπτουν οι ιδιοτιμές λ, λ,..., λ. Φασματική ακτίνα πίνακα A: ρ = ma{ λ } A, =,,...,. det A I = 0 που οδηγεί στην 8
19 Επίλυση του συστήματος A = b με τον κανόνα του Cramer: = A A,,,..., = όπου A = a a... a a a... a a a... a a a... a A = a a... b... a a a... b... a a a... b... a a a... b... a η στήλη αντικαθίσταται με το διάνυσμα b Πλεονέκτημα: Η λύση είναι σε κλειστή μορφή Μειονέκτημα: Ο αριθμός πράξεων για σύστημα εξισώσεων είναι O!. 6 Για σύστημα 0 εξισώσεων ο αριθμός πράξεων είναι 0 O. 9
20 .. Απαλοιφές elmato Gauss και Gauss-Jorda Κύρια χαρακτηριστικά απαλοιφής Gauss: Α Αντικατάσταση κάθε στοιχείου της διαγωνίου με μονάδα Β Αντικατάσταση κάθε στοιχείου κάτω από τη διαγώνιο με μηδέν Γ Αντικατάσταση όλων των άλλων στοιχείων με τις τιμές που προκύπτουν από τα παραπάνω βήματα χωρίς να αλλοιώνεται το αρχικό σύστημα. Κύρια χαρακτηριστικά απαλοιφής Gauss-Jorda: Δ Αντικατάσταση κάθε στοιχείου πάνω από τη διαγώνιο με μηδέν εκτός της στήλης + Ε Αντικατάσταση κάθε στοιχείου της στήλης + με τις τιμές που προκύπτουν από τα παραπάνω βήματα χωρίς να αλλοιώνεται το αρχικό σύστημα Αριθμός πράξεων απαλοιφής Gauss: προσθαφαιρέσεις, + πολλαπλασιασμούς, + διαιρέσεις 6 6 Αριθμός πράξεων απαλοιφής Gauss-Jorda: + προσθαφαιρέσεις, πολλαπλασιασμούς, διαιρέσεις 0
21 Παράδειγμα: Απαλοιφή Gauss με μερική οδήγηση r r r r/5 r r r r r 0 7 r r / r r r r r / = = = =.590 = = 0.968
22 Παράδειγμα: Να λυθεί το σύστημα Α Χωρίς οδήγηση: με αριθμητική σημαντικών ψηφίων = = , = = 0 ΛΑΘΟΣ!! 00 Β Με οδήγηση: = 05., = 05. = 05. ΣΩΣΤΟ σε σημαντικά ψηφία Η λύση με ακρίβεια 4 σημαντικών ψηφίων είναι = και =
23 Παράδειγμα ολική οδήγηση: Επιλύστε το παρακάτω σύστημα με απαλοιφή Gauss ολικής οδήγησης και σχολιάστε την ακρίβεια του αποτελέσματος: = = = = = = = =
24 Σημειώνεται ότι η απλή απαλοιφή Gauss χωρίς μερική ή ολική οδήγηση είναι ένας ασταθής αλγόριθμός διότι είναι πιθανόν ο οδηγός να είναι μηδέν με αποτέλεσμα να γίνονται διαιρέσεις με μηδέν και το αποτέλεσμα να απειρίζεται ή να είναι ένας μικρός αριθμός και στις πράξεις που πραγματοποιούνται να αυξάνουν σημαντικά τα σφάλματα στρογγυλοποίησης. Επομένως, η εφαρμογή του σε συστήματα που είναι αριθμητικά μη καλώς τοποθετημένα συνήθως οδηγεί σε λάθος αποτελέσματα. Αντίθετα, ο αλγόριθμος απαλοιφής Gauss με μερική ή ολική οδήγηση είναι ευσταθής. Μεταξύ της μερικής και ολικής απαλοιφής Gauss συνήθως επιλέγεται η πρώτη επειδή το υπολογιστικό κόστος είναι μικρότερο και οδηγεί σε σωστά αποτελέσματα \. 4
25 .. Παραγοντοποίηση actorzato or decomposto LU, μέθοδος Cholesky και Αλγόριθμος Thomas Ο πίνακας A παραγοντοποιείται σύμφωνα με τη σχέση A = ένας κάτω και ένας άνω τριγωνικός πίνακας αντίστοιχα. LU όπου L και U είναι A = b LU = b Στη συνέχεια ορίζεται ένα νέο διάνυσμα y έτσι ώστε U = στο παραπάνω σύστημα και προκύπτει Ly = b. y που αντικαθίσταται Επιλύεται το κάτω τριγωνικό σύστημα και βρίσκεται το διάνυσμα y και στη συνέχεια επιλύεται το άνω τριγωνικό σύστημα U = y και προκύπτει το διάνυσμα. Ο αριθμός πράξεων είναι αντίστοιχος με αυτόν της απαλοιφής Gauss. 5
26 A = LU a... a l 0 0 u u l l u... u = =... 0 a... a l l 0 0 l lu lu... lu l lu + l lu + lu... lu + lu l lu + l lu + lu + l... lu + lu + lu l l u + l l u + lu + l... lkuk + l k= 6
27 Γενικές εκφράσεις: Στοιχεία της στήλης του L: l = a l u, j=, +,..., j j jk k k= Στοιχεία της γραμμής του U : Μέθοδος Cholesky j = j k kj l k= u a lu, j = +,..., T Στη περίπτωση που ο πίνακας A είναι συμμετρικός A= A και θετικά ορισμένος T δηλαδή για τον οποίο ισχύει A > 0 για κάθε R αποδεικνύεται, T εφαρμόζοντας την παραγοντοποίηση LU, ότι ο πίνακας U=L και επομένως T A = LL Η ιδιότητα αυτή είναι σημαντική επειδή μειώνει δραστικά τον αναγκαίο αριθμό πράξεων. Ο συνολικός αριθμός πράξεων που απαιτούνται στη μέθοδο Cholesky είναι O. 7
28 Παράδειγμα: Εφαρμόστε παραγοντοποίηση Cholesky στο συμμετρικό πίνακα [ A] = = LL T. Οι προϋποθέσεις για τη παραγοντοποίηση Cholesky ο πίνακας Α πρέπει να είναι: α συμμετρικός και β θετικά ορισμένος Εφαρμόζονται οι παρακάτω εξισώσεις για τα στοιχεία του πίνακα L: l k = a k l j= ll j kj Για τη η, =, k * k kk kk kj j= l = a l ** k = εφαρμόζεται η Εξ. **: l = a 0 = 6 =
29 Για τη η σειρά k =, αρχικά εφαρμόζεται η Εξ. * Εξ.** = : = και στη συνέχεια η l a 0 5 l.4495 = = = 6.7 l = a l = = 4.8 Για τη η σειρά k = αρχικά εφαρμόζεται η Εξ. * για τα δύο πρώτα στοιχεία =, και μετά την Εξ. ** = l a 0 55 l.4495 = = =.454 l a l l l = = = = = = 6.0 l a l l 9
30 Άρα, ο πίνακας L είναι: [ L] = Σημείωση: Εναλλακτικά, η απαλοιφή Gauss μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την παραγοντοποίηση του πίνακα Α. Στη περίπτωση αυτή εφαρμόζεται και οδήγηση. 0
31 Αλγόριθμος Thomas: Παραγοντοποίηση LU σε τριδιαγώνιο σύστημα A = LU a γ 0 0 d 0 0 u β a γ 0 0 l d u = = 0 γ... 0 d 0 u 0 0 β a l d 0 0 d du l lu + d du l lu + d d u 0 0 l lu + d d l = β, =,..., u = a = γ / d d = a lu, =,..., u = γ / d, =,...,
32 Έστω το τριδιαγώνιο σύστημα: a γ 0 0 β a γ = γ β a Αλγόριθμος Thomas: e g βγ = a, e = a, =,..., e βg =, g =, =,..., e e g = g, = g +, =,...,, e Ο συνολικός αριθμός πράξεων που απαιτούνται στον αλγόριθμο Thomas είναι O.
33 4 0 u 000 Παράδειγμα: Να επιλυθεί το σύστημα 4 u = 0 με αλγόριθμο Thomas. 0 4 u 000 Αλγόριθμος Thomas: e = =, a 4 g 000 e = = = 500, e 4 = g = 57.4, βγ = a = 4 =.75, e 4 e βγ 4.7 = a = = e.75 β g g = = =., e.75 βg 000. g = = = 57.4 e.7 g = g = = 85.7, e.75 g = g = = 57.4 e 4
34 .. Νόρμες πινάκων, δείκτης κατάστασης πίνακα, ασταθή συστήματα Νόρμες διανυσμάτων: p / : νόρμα l ή Ευκλείδεια = = = : νόρμα l ή αθροίσματος = = ma : νόρμα l or μεγίστου / p p : νόρμα l p ή γενική p [, = = Για κάθε νόρμα διανύσματος μπορούμε να ορίσουμε την αντίστοιχη νόρμα πίνακα. 4
35 Νόρμες πινάκων ορισμός: A = ma 0 R A Νόρμα αθροίσματος γραμμών: A 0 j = R ' A = ma = ma a j Νόρμα αθροίσματος στηλών: A ' A = ma = ma 0 j = R a j T Ευκλείδεια νόρμα: / A = ρ AA Σε Ερμιτιανούς πίνακες ισχύει ότι η ευκλείδεια νόρμα ισούται με την φασματική / / * ακτίνα: A = ρ AA = ρ A = ρ A 5
36 Δείκτης κατάστασης Εξετάζεται η ευστάθεια του συστήματος A = b, A R και είναι αντιστρέψιμος, όταν εισάγονται στο διάνυσμα b, διαταραχές δb R. Τότε εάν + δ είναι η λύση του συστήματος ισχύει ότι A + δ = A + Aδ = b + δb Aδ = δb δ A δb δ A δb = = δ A δb b R b = A b = A b A Συνδυάζοντας τις δύο ανισότητες προκύπτει ότι δ b A A δb δ A A δb b που αποτελεί μέτρηση του άνω φράγματος της αλλαγής στη λύση που επιφέρει η εξωτερικά επιβαλλόμενης διαταραχής δb. 6
37 δ K A = = A A δb Δείκτης κατάστασης πίνακα A: Σημειώνεται ότι K A > Απόδειξη: K b A = A A AA = I = Εάν K A είναι κοντά στη μονάδα τότε ο πίνακας A είναι σε καλή κατάσταση. Εάν K A >> τότε είναι ο πίνακας A σε κακή κατάσταση. Ο δείκτης κατάστασης ορίζεται μόνο για αντιστρέψιμους πίνακες και εάν ο πίνακας K A τείνει να είναι ιδιόμορφος τότε. Για οποιαδήποτε νόρμα πίνακα ισχύει ότι ρ A < A. 7
38 . Επίλυση συστημάτων με απλές επαναληπτικές μεθόδους A b A Q Q b Q Q A b Q Q A Q b = + = = + = + = G + k, όπου G = Q Q A = I Q A και k = Q b Απλός επαναληπτικός αλγόριθμος: m+ m = G + k, όπου G ο πίνακας επανάληψης. Έστω m m σ = + m m m σ + = G σ + + k = Gσ + G + k m+ m σ = Gσ Αποδεικνύεται ότι m m m m 0 σ = Gσ = G σ =... = G σ, όπου 0 σ το αρχικό σφάλμα. Επομένως m m lm σ = 0 εάν lm G = 0 το οποίο ισχύει εάν G < m m m m Απόδειξη: εάν G < τότε G G 0, δηλαδή G m 0 Τέλος, επειδή ρ G < G < προκύπτει ότι η επαναληπτική μέθοδος συγκλίνει εάν η φασματική ακτίνα του πίνακα επανάληψης G είναι μικρότερη της μονάδας. 8
39 Για την εφαρμογή των μεθόδων Jacob και Gauss-Sedel διασπούμε τον αρχικό πίνακα συντελεστών του συστήματος ως εξής: A= D+ L+ U, όπου a... a A = , a... a a L = , a a, 0 D U a a 0 = a, a 0 a a 0 0 a... a = 0 0 a,
40 .. Μέθοδος Jacob A = b D+ L+ U = b D = L+ U + b = D A D + D b = D D A + D b = I D A + D b Επομένως ο επαναληπτικός αλγόριθμος Jacob δίδεται από τη σχέση: m+ m = G + k, όπου J J GJ = I D A και k J = D b Η μέθοδος συγκλίνει εάν ρ G < J Είναι προφανές ότι στη μέθοδο Jacob Q D 40
41 Γράφοντας το σύστημα A = b στη μορφή a= b a a... a a... a = a + b, =,...,,,, + +, j j j= j m+ m Αλγόριθμος Jacob: = a j j + b a j= j Παράδειγμα: = + = = 6 = = + 6 = = m+ m = + 6 = m+ m m m+ m m 4
42 0 0 0 = = = = = = + = 6 = = = = = + = 6 5 = = = =.97 = Η επαναληπτική διαδικασία ολοκληρώνεται τερματίζεται όταν m+ m < ε, =,..., ή = m+ m < ε Η μέθοδος εφαρμόζεται χωρίς να εισάγουμε τα δεδομένα σε πινακοποιημένη μορφή! 4
43 Αλγόριθμος Jacob με χαλάρωση: N m+ m ω m = ω + b a j j a, =,,, j= j Τυπική επαναληπτική μέθοδος Jacob: b a N = j j a j= j m+ m Αλγόριθμος Jacob με χαλάρωση υπό μορφή πινάκων: A b D L U b I D A D b = + + = = + = ω + ω I D A + D b ω ω I I D A ω D b = + + I ω D A ω D b = + m m + = J, rela + ω G D b, όπου G J, rela = I ω D A 4
44 .. Μέθοδος Gauss-Sedel Γράφοντας το σύστημα A = b στη μορφή a= b a a... a a... a = b a a,, + +, j j j j j= j= + Αλγόριθμος Gauss-Sedel δίδεται από τη σχέση:, m+ m+ m a = a a + b j j j j j= j= + Παράδειγμα: = + = = 6 = = + 6 = = m+ m+ = + 6 = m+ m m m+ m+ m+ 44
45 0 0 0 = = = = = = + = = = = = = = =.995 = Jacob από παραπάνω: = = = = = = + = 6 = = = = = + = 6 5 = = = = =.07 45
46 Πίνακας επανάληψης G GS της μεθόδου Gauss-Sedel: A = b D+ L+ U = b D+ L = U+ b = D+ L U+ D+ L b = D+ L A D L + D+ L b = D+ L D+ L A + D+ L b = I D+ L A + D+ L b Επομένως ο επαναληπτικός αλγόριθμος Gauss-Sedel δίδεται από τη σχέση: m+ m = G + k, όπου = + GS Η μέθοδος συγκλίνει εάν ρ < GS GS GS G I D L A και k = D+ L b G στη μέθοδο Gauss-Sedel Q D+ L GS Οι μέθοδοι Jacob και Gauss-Sedel εφαρμόζονται σε συστήματα A = συντελεστών A είναι κυρίαρχα διαγώνιος a a, =,...,. j= j j b όπου ο πίνακας 46
47 Μέθοδος Gauss-Sedel με χαλάρωση SOR: ω b a a m+ m m+ m = ω + j j j j a j= j= +, =,,, όπου ω 0,] είναι ένας πραγματικός αριθμός και ονομάζεται συντελεστής χαλάρωσης. Για ω =, η μέθοδος SOR ανάγεται στη μέθοδο GS. Για ω > και ω <, προκύπτει υπέρ-χαλάρωση και υπό-χαλάρωση αντίστοιχα. Υπό μορφή πινάκων ο αλγόριθμός SOR γράφεται στη μορφή: m+ m = D+ ωl ω D ωu + ω D+ ωl b 47
48 .4 Μέθοδος Newto Γενική μορφή συστήματος αλγεβρικών εξισώσεων μη γραμμικά συστήματα:,,..., = 0,,..., = 0...,,..., = 0 Μέθοδοι απλών επαναλήψεων η μαθηματική επεξεργασία σύγκλισης δεν είναι εφικτή:...,,,..., k+ k k k k = F,,,..., k+ k k k k = F,,...,, k+ k k k k = F ή...,,,..., k+ k k k k = F,,,..., k+ k+ k k k = F,,...,, k+ k+ k+ k+ k = F 48
49 Τις περισσότερες φορές η σύγκλιση των μεθόδων απλών επαναλήψεων όταν εφαρμόζονται σε μη γραμμικά συστήματα είναι αργή. Για το λόγο αυτό μη γραμμικά συστήματα επιλύονται κατά κύριο λόγο με τη μέθοδο Newto ή Newto-Raphso. Εισαγωγικά εξετάζεται ένα σύστημα εξισώσεων με αγνώστους:, = 0, = 0 k k Έστω ότι, είναι οι αναλυτικές λύσεις με, συμβολίζονται οι αντίστοιχες αριθμητικές μετά από k επαναλήψεις με τα σφάλματα να ορίζονται από τις σχέσεις k k k k σ = και σ =. k k k k k k k k, σ σ = 0 σ, σ = 0 k k k k,, k k k k σ, σ = 0 k k k k, σ σ = 0 k k k k,, 49
50 σ σ k k k k + σ =, k, k k, k k k k k + σ =, k, k k, k ή k k σ = k k k k, k k σ, Επιλύοντας το γραμμικό σύστημα με απευθείας ή επαναληπτικές μεθόδους προκύπτουν τα σ και σ. Έστω ότι εφαρμόζεται η μέθοδος Cramer το σύστημα είναι μόλις εξισώσεων: σ k k k, k = = k k, k k, k k σ k k k, k = = k k, k k, k k 50
51 Στη συνέχεια εισάγονται οι ορισμοί των σφαλμάτων και προκύπτει ο επαναληπτικός αλγόριθμος Newto για σύστημα εξισώσεων: k+ k = k και k+ k = k Σημειώνεται ότι σε κάθε επανάληψη απαιτείται η επίλυση ενός γραμμικού συστήματος!!! Απλοποιημένη Newto: + = k k ω k και + = k k ω k 5
52 Παράδειγμα:, = s = 0 4π e, = e e + e = 0 4π π = + cos cos = + 4π = + π e e e = π 5
53 Το σύστημα που επιλύεται σε κάθε επανάληψη είναι k k σ = k σ k και οι νέες τιμές προκύπτουν από τις σχέσεις Πίνακας αποτελεσμάτων k+ k k = σ, k+ k k = σ k k k k k k k k k σ k σ k Σημείωση: οι συναρτήσεις και οι μερικές παράγωγοι υπολογίζονται στα σημεία k και k. 5
54 Παράδειγμα: Να βρεθούν µε τη μέθοδο Newto οι ρίζες της εξίσωσης z z+ = 0 Έστω z = + y y y y 0 = 05. και y = ± = y y + + = 0 Αριθμητική λύση με μέθοδο Newto: επιλύεται το σύστημα = = y = y y Το σύστημα που επιλύεται σε κάθε επανάληψη είναι y + = 0 y y = 0 = y k k y σ y + y = k σ y y k k+ k k = σ, k+ k k y = y σ 54
55 Πίνακας αποτελεσμάτων k y dd ddy dd ddy d dy err err Επομένως z = Βρείτε τη συζυγή ρίζα Η μέθοδος Newto χρησιμοποιείται στην εύρεση μιγαδικών ριζών
56 Επέκταση σε σύστημα εξισώσεων: k k k k k k σ σ σ,,..., = 0 k k k k k k σ σ σ,,..., = 0... k k k k k k σ σ σ,,..., = 0... k k k k,,..., σ = 0 = k k k k,,..., σ = 0 =,,..., = 0 k k k k σ = 56
57 Το γραμμικό σύστημα που επιλύεται σε κάθε επανάληψη είναι = =... = σ σ σ k k k = = = k k k και στη συνέχεια k+ k k = σ, =,..., k. Το υπολογιστικό φορτίο ανά επανάληψη είναι μεγάλο σε σχέση με άλλες μεθόδους αλλά συνήθως η μέθοδος Newto συγκλίνει σε μικρό αριθμό επαναλήψεων. Εναλλακτική κλειστή μορφή αλγορίθμου Newto για σύστημα εξισώσεων: 57
58 k+ k k k + = σ =,..., J, =,...,. 58
59 Ασκήσεις:. Επιλύστε με μία απευθείας μέθοδο διατηρώντας τρία σημαντικά ψηφία σε όλους τους υπολογισμούς το γραμμικό σύστημα = Αιτιολογήστε την επιλογή της μεθόδου και επαληθεύστε ότι η λύση που προκύπτει ικανοποιεί το γραμμικό σύστημα.. Α Έστω ότι για την εύρεση της ρίζας της εξίσωσης = 0 εφαρμόζεται ο επαναληπτικός αλγόριθμος + ω = ωf + όπου ω ένας πραγματικός αριθμός. Να υπολογιστεί η τιμή του ω που να βελτιστοποιεί το ρυθμό σύγκλισης της επαναληπτικής διαδικασίας. 4 Β Δίδεται ό πίνακας A = 4 4 ρ του πίνακα επανάληψης της μεθόδου Jacob για γραμμικά αλγεβρικά συστήματα με πίνακα συντελεστών G J Υπολογίστε τη φασματική ακτίνα τον πίνακα A. Γ Υπολογίστε τον αριθμό προσθέσεων/αφαιρέσεων, πολλαπλασιασμών και διαιρέσεων ανά επανάληψη της μεθόδου Jacob.. c. Δίδεται ο πίνακας A =, όπου c αυθαίρετος πραγματικός αριθμός. Να βρεθεί το εύρος των τιμών του c, για το οποίο οι μέθοδοι Jacob c. και Gauss Sedel συγκλίνουν όταν εφαρμοστούν στην επίλυση του συστήματος A = b. 59
60 0 4. Με αρχική εκτίμηση =,, T εφαρμόστε μία επανάληψη του αλγορίθμου Newto για τον υπολογισμό μιας λύσης εξισώσεων: 4 + = + 9 = 0 του συστήματος 4 = Κατά την διαδικασία υπολογισμού η επίλυση του προκύπτοντος γραμμικού συστήματος να γίνει με απευθείας μέθοδο όχι επαναληπτική. 5. Για την επίλυση του γραμμικού αλγεβρικού συστήματος A = b προτείνεται ο επαναληπτικός αλγόριθμος: N + ω = ω + b a j j a, =,,, N, j= j όπου a j και b τα στοιχεία του πίνακα A και του διανύσματος b αντίστοιχα, N ο αριθμός των εξισώσεων του συστήματος, ω η παράμετρος χαλάρωσης και ο δείκτης επανάληψης. Α Διατυπώστε τη γενική μορφή του πίνακα επανάληψης G του αλγορίθμου. Β Συγκρίνετε τον προτεινόμενο επαναληπτικό αλγόριθμο με τις μεθόδους Jacob και Gauss Sedel σχολιασμός. Γ Προγραμματίστε τον αλγόριθμο. Δ Εφαρμόστε τον αλγόριθμο κάνοντας επαναλήψεις με ω =. στο σύστημα: + 7 = + = 5 = 6. Να βρεθεί τουλάχιστον μια ρίζα εκτός του μηδενός της εξίσωσης ω = ω ta α με τη μέθοδο της διχοτόμου και β με τη μέθοδο Newto. 60
61 4 0 u Να επιλυθεί το σύστημα 4 u = 0 με αλγόριθμο Thomas. 0 4 u 000 Επίσης, να γίνουν επαναλήψεις του επαναληπτικού σχήματος Jacob με αρχική εκτίμηση φασματική ακτίνα του G J u = u = u = και να υπολογιστεί η 0 8. Δίδεται το σύστημα A = b όπου ο πίνακας είναι συμμετρικός A T = A και κυρίαρχα διαγώνιος a N a, =,..., N. Προτείνετε την βέλτιστη μέθοδο επίλυσης του συστήματος και αιτιολογείστε την απάντησή σας. + =.9 Να γίνουν δύο επαναλήψεις της μεθόδου Newto για την επίλυση του συστήματος: + = Αρχική εκτίμηση =, =. Διατυπώστε εν συντομία τα κύρια πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα της μεθόδου Newto. 0 j= j j 9. Επιλύστε το εξής σύστημα εξισώσεων: = = χρησιμοποιώντας απαλοιφή Gauss με μερική οδήγηση. Δείξτε καθαρά όλα τα βήματα με ακρίβεια 5 σημαντικών ψηφίων. 0. Θεωρείστε την εξίσωση 6+ 5= 0. Προτείνετε έναν επαναληπτικό αριθμητικό αλγόριθμο εύρεσης μίας εκ των ριζών που εξετάστε την σύγκλιση του σχήματος για οποιαδήποτε αρχική τιμή. 6
62 α β. Για ένα γενικό πίνακα A = βρείτε τους πίνακες επανάληψης γ δ βρείτε τις ιδιοτιμές και εξετάστε τυχόν αλληλοεξάρτησή τους. G J και G GS των μεθόδων Jacob και Gauss-Sedel αντίστοιχα. Επίσης. Να επιλυθεί το μη γραμμικό σύστημα:, = + = 0, = + 8= 0. Για τον αριθμητικό υπολογισμό της ρίζας της εξίσωσης = προτείνεται ο επαναληπτικός αλγόριθμος: εάν ο προτεινόμενος επαναληπτικός αλγόριθμος θα συγκλίνει στην αναλυτική ρίζα περιοριστικές συνθήκες στην αρχική εκτίμηση 0. = + Να εξεταστεί + / =. Εάν συγκλίνει δώστε την τάξη σύγκλισης και τυχόν 4. Να λυθεί το σύστημα ρυθμός σύγκλισης. + y = 0 y + = y 57 με τη μέθοδο Newto-Raphso με αρχικές τιμές = 5. και y. 5 0 o =. Να προσδιορισθεί αριθμητικά ο 5. Θεωρήστε την δευτεροβάθμια εξίσωση a+ β = 0, όπου α, β>0 και a >> β. Δώστε έναν ευσταθή αλγόριθμο για τον υπολογισμό των ριζών. 6
Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων εξισώσεων. 2.1 Επίλυση εξισώσεων
Κεφ. : Επίλυση συστημάτων εξισώσεων. Επίλυση εξισώσεων. Επίλυση συστημάτων με απευθείας μεθόδους.. Μέθοδοι Gauss, Gauss-Jorda.. Παραγοντοποίηση LU (ειδικές περιπτώσεις: Cholesky, Thomas).. Νόρμες πινάκων,
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. 2: Επίλυση συστημάτων αλγεβρικών εξισώσεων. 2.1 Επίλυση απλών εξισώσεων
Κεφ. : Επίλυση συστημάτων αλγεβρικών εξισώσεων. Επίλυση απλών εξισώσεων. Επίλυση συστημάτων με απευθείας μεθόδους.. Μέθοδοι Gauss, Gauss-Jorda.. Παραγοντοποίηση LU (ειδικές περιπτώσεις: Cholesky, Thomas)..
Διαβάστε περισσότεραΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, , 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. Βαλουγεώργης Απαντήσεις: ΠΡΟΟΔΟΣ 1, Επιμέλεια λύσεων: Γιώργος Τάτσιος
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 6-7, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. Βαλουγεώργης Απαντήσεις: ΠΡΟΟΔΟΣ, --6 Επιμέλεια λύσεων: Γιώργος Τάτσιος Άσκηση [] Επιλύστε με μία απευθείας μέθοδο διατηρώντας τρία σημαντικά ψηφία σε
Διαβάστε περισσότεραA Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αιγαίου
A Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Εξεταστική περίοδος Ιουνίου 6, Διδάσκων: Κώστας Χουσιάδας Διάρκεια εξέτασης: ώρες (Σε παρένθεση δίνεται η βαθμολογική αξία κάθε υπο-ερωτήματος. Σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΣυνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών
Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών
Διαβάστε περισσότεραΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ. Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες)
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, 2016-2017 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες) Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων εξισώσεων (διάρκεια: 3 εβδομάδες) 2.1 Επίλυση εξισώσεων 2.2 Επίλυση
Διαβάστε περισσότεραΠαράδειγμα #2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟΔΙΑΣΤΟΛΗΣ ΚΑΙ ΡΙΖΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Βαρούτης
Παράδειγμα # ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟΔΙΑΣΤΟΛΗΣ ΚΑΙ ΡΙΖΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Βαρούτης. Πως ορίζεται και τι σημαίνει ο όρος lop στους επιστημονικούς υπολογισμούς. Ο όρος lop (loatig poit operatio) συναντάται
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Εισαγωγή Σύστημα γραμμικών εξισώσεων a x a x a x b 11
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών
Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών 7. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης) 7. Μέθοδος Euler 7.3
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. 3: Παρεμβολή. 3.1 Εισαγωγή. 3.2 Πολυωνυμική παρεμβολή Παρεμβολή Lagrange Παρεμβολή Newton. 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splines
Κεφ. 3: Παρεμβολή 3. Εισαγωγή 3. Πολυωνυμική παρεμβολή 3.. Παρεμβολή Lagrage 3.. Παρεμβολή Newto 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splies 3.4 Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων 3.5 Παρεμβολή με ορθογώνια πολυώνυμα 3.
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. 6Α: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις - προβλήματα δύο οριακών τιμών
Κεφ. 6Α: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις - προβλήματα δύο οριακών τιμών 1. Εισαγωγή. Προβλήματα δύο οριακών τιμών 3. Η μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών 4. Οριακές συνθήκες με παραγώγους 5. Παραδείγματα
Διαβάστε περισσότερα2.1 Αριθμητική επίλυση εξισώσεων
. Αριθμητική επίλυση εξισώσεων Στο κεφάλαιο αυτό διαπραγματεύεται μεθόδους εύρεσης των ριζών εξισώσεων γραμμικών ή μη-γραμμικών για τις οποίες δεν υπάρχουν αναλυτικές 5 4 3 εκφράσεις. Παραδείγματα εξισώσεων
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε
Κεφάλαιο Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε. Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών είναι από τις παλαιότερες και πλέον συνηθισµένες και διαδεδοµένες υπολογιστικές τεχνικές
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών
Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης). Μέθοδος Euler 3. Μέθοδοι
Διαβάστε περισσότερα5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων
5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων http://ecourseschemengntuagr/courses/computational_methods_for_engineers/ Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων Γενικά:
Διαβάστε περισσότερα5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων
5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων http://ecourseschemengntuagr/courses/computational_methods_for_engineers/ Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων Γενικά:
Διαβάστε περισσότεραΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, , 3 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ #1: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟ ΙΑΣΤΟΛΗΣ ΚΑΙ ΡΙΖΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ.
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, 005-06, 3 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ #: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟ ΙΑΣΤΟΛΗΣ ΚΑΙ ΡΙΖΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Βαρούτης. Πως ορίζεται και τι σηµαίνει ο όρος lop στους επιστηµονικούς υπολογισµούς.
Διαβάστε περισσότεραMatrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι. Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου
Matrix Algorithms Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Περιεχόμενα παρουσίασης Πολλαπλασιασμός πίνακα με διάνυσμα Πολλαπλασιασμός πινάκων Επίλυση τριγωνικού
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-9) ΜΕΡΟΣ 7: ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ & ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση Γραµµικών Συστηµάτων
Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. 3: Παρεμβολή. 3.1 Εισαγωγή. 3.2 Πολυωνυμική παρεμβολή Παρεμβολή Lagrange Παρεμβολή Newton. 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splines
Κεφ. 3: Παρεμβολή 3. Εισαγωγή 3. Πολυωνυμική παρεμβολή 3.. Παρεμβολή Lagrage 3.. Παρεμβολή Newto 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splies 3.4 Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων 3.5 Παρεμβολή με ορθογώνια πολυώνυμα 3.
Διαβάστε περισσότεραMatrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου
Matrix Algorithms Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Περιεχόμενα παρουσίασης Πολλαπλασιασμός πίνακα με διάνυσμα Πολλαπλασιασμός πινάκων Επίλυση τριγωνικού
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων
Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή
Διαβάστε περισσότεραI. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr
I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΜέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης
Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης με παραγώγους Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc64.materials.uoi.gr/dpapageo
Διαβάστε περισσότεραΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2).
ΜΑΣ 37: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrage για τα σημεία (, ), (, ) και (4, ) Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrage που προσεγγίζει τη συνάρτηση 3 f ( x) si x στους κόμβους
Διαβάστε περισσότεραΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση
ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 07, 2 Μαρτίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Συμμετρικοί και θετικά ορισμένοι πίνακες. Η ανάλυση Cholesky 2. Νόρμες
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 8 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 8 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 8 Νοεμβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Ιανουαρίου 0 Οι ασκήσεις
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Ολοκλήρωση Εισαγωγή Έστω ότι η f είναι μία φραγμένη συνάρτηση στο πεπερασμένο
Διαβάστε περισσότερα3. Γραμμικά Συστήματα
3. Γραμμικά Συστήματα Ασκήσεις 3. Αποδείξτε ότι το γινόμενο δύο άνω τριγωνικών πινάκων είναι άνω τριγωνικός πίνακας. Επίσης, στην περίπτωση που ένας άνω τριγωνικός πίνακας U 2 R n;n είναι αντιστρέψιμος,
Διαβάστε περισσότεραΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση
ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 06, 26 Φεβρουαρίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Η ανάλυση LU 2. Η ανάλυση LDM T και η ανάλυση LDL T 3. Συμμετρικοί
Διαβάστε περισσότεραΣτοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές
Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Παρεμβολή και Παρεκβολή Εισαγωγή Ορισμός 6.1 Αν έχουμε στη διάθεσή μας τιμές μιας συνάρτησης
Διαβάστε περισσότερα1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό
1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1.1 Όρια ακολουθιών Λέμε ότι η ακολουθία { n } συγκλίνει με όριο R αν για κάθε ϵ > 0 υπάρχει ακέραιος N = N(ϵ) τέτοιος ώστε (1.1) n < ϵ για κάθε n > N, και
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ ΑΚΑΔ. ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ - Διανύσματα - Πράξεις με πίνακες - Διαφορικός λογισμός (1D) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. 4: Ολοκλήρωση. 4.1 Εισαγωγή
Κεφ. 4: Ολοκλήρωση 4. Εισαγωγή 4. Εξισώσεις ολοκλήρωσης Newto Cotes 4.. Κανόνας τραπεζίου 4.. Πρώτος και δεύτερος κανόνας Simpso 4.. Πολλαπλά ολοκληρώματα 4. Ολοκλήρωση Gauss 4.. Πολυώνυμα Legedre, Chebyshev,
Διαβάστε περισσότεραΠαναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής
Ανάλυση Πινάκων Κεφάλαιο 2: Παραγοντοποίηση LU Παναγιώτης Ψαρράκος Αν Καθηγητής ΔΠΜΣ Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Εθνικό Μετσόβιο
Διαβάστε περισσότεραΤετραγωνικά μοντέλα. Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1
Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης Τετραγωνικά μοντέλα Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc64.materials.uoi.gr/dpapageo Για συνάρτηση μιας
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville
Κεφάλαιο : Προβλήµατα τύπου Stur-Liouvie. Ορισµός προβλήµατος Stur-Liouvie Πολλές τεχνικές επίλυσης µερικών διαφορικών εξισώσεων βασίζονται στην αναγωγή της µερικής διαφορικής εξίσωσης σε συνήθεις διαφορικές
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ανάλυση. 27 Οκτωβρίου Αριθµητική Ανάλυση 27 Οκτωβρίου / 72
Αριθµητική Ανάλυση 7 Οκτωβρίου 06 Αριθµητική Ανάλυση 7 Οκτωβρίου 06 / 7 Επαναληπτικές Μέθοδοι για την επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων ίνεται το γραµµικό σύστηµα Ax = b όπου A R n n είναι µη ιδιάζων πίνακας
Διαβάστε περισσότεραΠιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα.
i Π Ρ Ο Λ Ο Γ Ο Σ Το βιβλίο αυτό αποτελεί μια εισαγωγή στα βασικά προβλήματα των αριθμητικών μεθόδων της υπολογιστικής γραμμικής άλγεβρας (computational linear algebra) και της αριθμητικής ανάλυσης (numerical
Διαβάστε περισσότεραD = / Επιλέξτε, π.χ, το ακόλουθο απλό παράδειγμα: =[IA 1 ].
4. Φυλλάδιο Ασκήσεων IV σύντομες λύσεις, ενδεικτικές απαντήσεις πολλαπλής επιλογής 4.. Άσκηση. Χρησιμοποιήστε τη διαδικασία Gauss-Jordan γιά να βρείτε τους αντιστρόφους των παρακάτω πινάκων, αν υπάρχουν.
Διαβάστε περισσότεραΤα περισσότερα προβλήματα βελτιστοποίησης είναι με περιορισμούς, αλλά οι μέθοδοι επίλυσης χωρίς περιορισμούς έχουν γενικό ενδιαφέρον.
ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΧΩΡΙΣ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ Τα περισσότερα προβλήματα βελτιστοποίησης είναι με περιορισμούς, αλλά οι μέθοδοι επίλυσης χωρίς περιορισμούς έχουν γενικό ενδιαφέρον. Μέθοδοι που απαιτούν
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
Ονοματεπώνυμο:......... Α.Μ....... Ετος... ΑΙΘΟΥΣΑ:....... I. (περί τις 55μ. = ++5++. Σωστό ή Λάθος: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - //8 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (αʹ Αν AB = BA όπου A, B τετραγωνικά και
Διαβάστε περισσότεραΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ MATLAB ΔΕΥΤΕΡΗ ΕΚΔΟΣΗ [ΒΕΛΤΙΩΜΕΝΗ ΚΑΙ ΕΠΑΥΞΗΜΕΝΗ]
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ MATLAB ΔΕΥΤΕΡΗ ΕΚΔΟΣΗ [ΒΕΛΤΙΩΜΕΝΗ ΚΑΙ ΕΠΑΥΞΗΜΕΝΗ] Συγγραφείς ΝΤΑΟΥΤΙΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ Πανεπιστήμιο Minnesota, USA ΜΑΣΤΡΟΓΕΩΡΓΟΠΟΥΛΟΣ ΣΠΥΡΟΣ Αριστοτέλειο
Διαβάστε περισσότεραΤετραγωνικά μοντέλα. Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1
Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης Τετραγωνικά μοντέλα Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc164.materials.uoi.gr/dpapageo Για συνάρτηση μιας
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 3 Ιουλίου 2010
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ Ιουλίου Θέμα ( μονάδες) 4 Θεωρούμε τον Ευκλείδειο χώρο και τον υποχώρο του V που παράγεται
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικά Συστήματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικό Σύστημα a11x1 + a12x2 + + a1 nxn = b1 a x + a x + +
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα
Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A 4. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές πολλαπλότητες των ιδιοτιμών.
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Αριθμητική Γραμμική Άλγεβρα (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΝΟΤΗΤΑ: Αριθμητική Γραμμική Άλγεβρα (1) ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραQR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)
ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις3 Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα.
Ασκήσεις 0 Ασκήσεις Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα o H -στήλη του P P είναι E αν και μόνο αν η -στήλη του P είναι ιδιοδιάνυσμα του που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 3: Περιγραφή αριθμητικών μεθόδων (συνέχεια)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Διάλεξη 3: Περιγραφή αριθμητικών μεθόδων (συνέχεια) Χειμερινό εξάμηνο 2008 Προηγούμενη παρουσίαση... Εξετάσαμε
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση ενός τριδιαγώνιου γραµµικού συστήµατος Ax = d µε τη µέθοδο απαλοιφής του Gauss (µέθοδος του Thomas)
Επίλυση ενός τριδιαγώνιου γραµµικού συστήµατος Ax = d µε τη µέθοδο απαλοιφής του Gauss (µέθοδος του Thomas) Εστω το ακόλουθο n n τριδιαγώνιο γραµµικό σύστηµα Ax = d A = b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 0 a 3 b 3 c
Διαβάστε περισσότεραΠεπερασμένες Διαφορές.
Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x
Διαβάστε περισσότεραΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX
ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Πεπερασμένες και Διαιρεμένες Διαφορές Εισαγωγή Θα εισάγουμε την έννοια των διαφορών με ένα
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. 5: Ολοκλήρωση. 5.1 Εισαγωγή
Κεφ. 5: Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή 5. Εξισώσεις ολοκλήρωσης Newto Cotes 5.. Κανόνας τραπεζίου 5.. Πρώτος και δεύτερος κανόνας Smpso 5.. Παραδείγματα (απλά και πολλαπλά ολοκληρώματα) 5. Ολοκλήρωση Gauss 5..
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικές μέθοδοι
Επαναληπτικές μέθοδοι Η μέθοδος της διχοτόμησης και η μέθοδος Regula Fals που αναφέραμε αξιοποιούσαν το κριτήριο του Bolzano, πραγματοποιώντας διαδοχικές υποδιαιρέσεις του διαστήματος [α, b] στο οποίο,
Διαβάστε περισσότερα( 1)( 3) ( ) det( ) (1 )( 1 ) ( 2)( 2) pl( ) det( L ) (5 )( 7 ) ( 1) ( ) det( M ) (1 )(1 )
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 9 Ιουνίου 0 Θέμα Δίδονται οι πίνακες K= 5 4, L=, M=. 9 7 A) (8 μονάδες) Για κάθε
Διαβάστε περισσότεραNon Linear Equations (2)
Non Linear Equations () Τρίτη, 17 Φεβρουαρίου 015 5:14 μμ 15.0.19 Page 1 15.0.19 Page 15.0.19 Page 3 15.0.19 Page 4 15.0.19 Page 5 15.0.19 Page 6 15.0.19 Page 7 15.0.19 Page 8 15.0.19 Page 9 15.0.19 Page
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικές μέθοδοι για την επίλυση γραμμικών συστημάτων. Μιχάλης Δρακόπουλος
Επαναληπτικές μέθοδοι για την επίλυση γραμμικών συστημάτων Μιχάλης Δρακόπουλος Σημειώσεις Αριθμητικής Γραμμικής Άλγεβρας 2012 2013 Εισαγωγή Στην αριθμητική επίλυση μαθηματικών εφαρμογών, όπως για παράδειγμα
Διαβάστε περισσότεραΣχολή Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΜΠ 4 ο Εξάμηνο ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Πρώτη Ενότητα Αριθμητική Επίλυση Μη-Γραμμικών Εξισώσεων
Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΜΠ 4 ο Εξάμηνο ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Πρώτη Ενότητα Αριθμητική Επίλυση Μη-Γραμμικών Εξισώσεων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 1 Αριθμητική Επίλυση Μη-Γραμμικών
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ
ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις
Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου
Διαβάστε περισσότερα= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις
1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'
Διαβάστε περισσότεραΘερμοδυναμική - Εργαστήριο
Θερμοδυναμική - Εργαστήριο Ενότητα 8: Συστήματα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων Εργαλεία Excel minverse & mmult Κυρατζής Νικόλαος Τμήμα Μηχανικών Περιβάλλοντος και Μηχανικών Αντιρρύπανσης ΤΕ Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 4. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων. F : : F = F r, όπου r xy
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήματα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσματικό πεδίο F : : F = Fr, όπου r x, και είναι η ταχύτητα στο σημείο πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουμε τις τροχιές κίνησης των
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα
Κεφάλαιο 6 Ορισμοί Έστω Α ένας πίνακας με πραγματικά στοιχεία Ο πραγματικός ή μιγαδικός αριθμός λ καλείται ιδιοτιμή του πίνακα Α εάν υπάρχει μη μηδενικό διάνυσμα v με πραγματικά ή μιγαδικά στοιχεία τέτοιο
Διαβάστε περισσότερα1 Αριθµητική Γραµµική Άλγεβρα: Ασκήσεις
Αριθµητική Γραµµική Άλγεβρα: Ασκήσεις. Να επιλυθεί το σύστηµα µε απαλοιφή Gauss: 3x 2x 3 +x 4 = 2x + +x 3 +3x 4 = 6 x +3 +2x 3 +4x 4 = 2x 2 +3x 3 2x 4 = 7 [ΑΠΑΝΤΗΣΗ:x 4 = 0, =, x 3 = 3, x = 2] 2. Να επιλυθεί
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Επανάληψη: Μαθηματικά
Δυναμική Μηχανών I 2 1 Επανάληψη: Μαθηματικά 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Συμβολισμοί Μεταβλητών
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. 5: Ολοκλήρωση. 5.1 Εισαγωγή
Κεφ. 5: Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή 5. Εξισώσεις ολοκλήρωσης Newto Cotes 5.. Κανόνας τραπεζίου 5.. Πρώτος και δεύτερος κανόνας Smpso 5.. Παραδείγματα (απλά και πολλαπλά ολοκληρώματα) 5. Ολοκλήρωση Gauss 5..
Διαβάστε περισσότεραHY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
HY3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧ. & ΜΗΧ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Βασικά σημεία Μη γραμμικές εξισώσεις με πραγματικές ρίζες. Μέθοδος
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΟρίζουμε την τυπική πολυδιάστατη κανονική, σαν την κατανομή του τυχαίου (,, T ( ) μεταξύ τους ανεξάρτητα. Τότε
Η πολυδιάστατη κανονική κατανομή Ορίζουμε την τυπική πολυδιάστατη κανονική, σαν την κατανομή του τυχαίου (,, διανύσματος =, όπου ~ N ( 0, και όλα τα μεταξύ τους ανεξάρτητα Τότε = (,, = ( 0, ( 0, f x f
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση 4.5 Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα πινάκων. Γ. Παπαευαγγέλου, ΕΔΙΠ, ΤΑΤΜ/ΑΠΘ
Αριθμητική Ανάλυση 4.5 Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα πινάκων Γ. Παπαευαγγέλου, ΕΔΙΠ, ΤΑΤΜ/ΑΠΘ 1. Υπενθύμιση έννοιας νόρμας και βασικών ιδιοτήτων της 2. Σπουδαιότητα των ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων πινάκων
Διαβάστε περισσότεραHY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ
HY3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Τα σφάλματα
Διαβάστε περισσότεραΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.
ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 0 Οκτωβρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Νοεμβρίου 008 Πριν
Διαβάστε περισσότεραΑπαντήσεις στα Θέµατα Ιουνίου 2012 (3 και 4)
-- Αριθµητική Ανάλυση και Περιβ. Υλοποίησης Απαντήσεις στα Θέµατα Ιουνίου (3 και 4) Θέµα 3 [6µ] Θεωρούµε ότι κατά την επίλυση ενός προβλήµατος προσέγγισης προέκυψε ένα γραµµικό σύστηµα Αxb, µε αγνώστους,
Διαβάστε περισσότεραΙδιάζουσες τιμές πίνακα. y έχουμε αντίστοιχα τις σχέσεις : Αυτές οι παρατηρήσεις συμβάλλουν στην παραγοντοποίηση ενός πίνακα
Ιδιάζουσες τιμές πίνακα Επειδή οι πίνακες που παρουσιάζονται στις εφαρμογές είναι μη τετραγωνικοί, υπάρχει ανάγκη να βρεθεί μία μέθοδος που να «μελετά» τους μη τετραγωνικούς με «μεθόδους και ποσά» που
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,
ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση
Διαβάστε περισσότεραΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση
ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 08, 5 Μαρτίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Νόρμες πινάκων 2. Δείκτης κατάστασης πίνακα 3. Αριθμητική κινητής
Διαβάστε περισσότερα2 3x 5x x
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ι ΙΩΑΝΝΗΣ Σ ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ ΣΑΜΟΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ
Διαβάστε περισσότεραΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2).
ΜΑΣ 7: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrage για τα σημεία (, ), (, ) και (4, ) Λύση: Για τα σημεία x, x, x 4, y, y, y υπολογίζουμε x x x x () x x x x x x 4 L
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί8 Υπολογισµοί)
Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί) ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 8 εκεµβρίου 04 Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί8 Υπολογισµοί) εκεµβρίου
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 12- Σχέση ισοδυναμίας, γραμμικά συστήματα και απαλοιφή Gauss
.4 Σχέση ισοδυναμίας, γραμμικά συστήματα και απαλοιφή Gauss Σχέση ισοδυναμίας. Έστω το σύνολο των ρητών αριθμών Q και η σχέση της ισότητας σε αυτό που ορίζεται ως εξής: Δύο στοιχεία α, γ Q είναι ίσα αν
Διαβάστε περισσότεραΠαράδειγμα #5 ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ & ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Βαρούτης
Παράδειγμα #5 ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ & ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Βαρούτης. Το παρακάτω αλγεβρικό τρι-διαγώνιο σύστημα έχει προκύψει από την επίλυση µιας συνήθους διαφορικής εξίσωσης που περιγράφει
Διαβάστε περισσότερα1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης
1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα
Διαβάστε περισσότεραΕθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΥΡΕΣΗ ΙΔΙΟΤΙΜΩΝ ΠΙΝΑΚΑ Διπλωματική Εργασία ΚΑΡΑΝΤΖΙΑ ΑΝΝΑ Επιβλέπων Καθηγητής: Παναγιώτης Ψαρράκος
Διαβάστε περισσότεραΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΑΘΗΜΑ 2 ο Μάθημα 2 ο Αριθμητική επίλυση εξισώσεων (μη γραμμικές) Μέθοδοι με διαδοχικές δοκιμές σε διάστημα (Διχοτόμησης, Regula-Falsi) Μέθοδοι με επαναληπτικούς
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. Πρόλογος 3
Πρόλογος Η χρησιμότητα της Γραμμικής Άλγεβρας είναι σχεδόν αυταπόδεικτη. Αρκεί μια ματιά στο πρόγραμμα σπουδών, σχεδόν κάθε πανεπιστημιακού τμήματος θετικών επιστημών, για να διαπιστώσει κανείς την παρουσία
Διαβάστε περισσότεραΔίνεται το σύστημα μιας εισόδου και μιας εξόδου, το οποίο περιγράφεται από τις κάτωθι εξισώσεις:,, πίνακας,
Παράδειγμα 3.2(Επίλυση συστήματος Jordan) Δίνεται το σύστημα μιας εισόδου και μιας εξόδου, το οποίο περιγράφεται από τις κάτωθι εξισώσεις: Όπου,, πίνακας, Να λυθεί το σύστημα με είσοδο τη συνάρτηση Επίλυση
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50
Αριθµητική Γραµµική Αλγεβρα Κεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ΕΚΠΑ 2 Απριλίου 205 Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και205
Διαβάστε περισσότεραΜέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων (για την προσαρμογή (ή λείανση) δεδομένων/μετρήσεων)
Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων (για την προσαρμογή (ή λείανση) δεδομένων/μετρήσεων) Στην πράξη, για πολύ σημαντικές εφαρμογές, γίνονται μετρήσεις τιμών μιας ποσότητας σε μια κλινική, για μια σφυγμομέτρηση,
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων εξέτασης προόδου στο μάθημα «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων εξέτασης προόδου στο μάθημα «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Θέμα. (μονάδες.0) Οι ορίζουσες των πινάκων ABC,, βρεθούν οι ορίζουσες των πινάκων:
Διαβάστε περισσότερα