ΕΞΟΜΑΛΥΝΣΗ ΠΟΣΟΣΤΩΝ ΘΝΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ ΜΕΣΩ ΜΕΤΡΩΝ ΑΠΟΚΛΙΣΗΣ
|
|
- Σαπφειρη Ευφροσύνη Μητσοτάκης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Εηνικό Στατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά 2 ου Πανεηνίου Συνεδρίου Στατιστικής (27), σε ΕΞΟΜΑΛΥΝΣΗ ΠΟΣΟΣΤΩΝ ΘΝΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ ΜΕΣΩ ΜΕΤΡΩΝ ΑΠΟΚΛΙΣΗΣ Αθανάσιος Σαχάς και Τάκης Παπαϊωάννου 2 Τμήμα Στατιστικής & Ασφαιστικής Επιστήμης, Πανεπιστήμιο Πειραιώς asachlas@unp.gr, 2 takpap@unp.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Συχνά στην πράξη χρειάζεται να αναθεωρούμε τις αρχικές εκτιμήσεις των ποσοστών θνησιμότητας με σκοπό την παραγωγή ομαότερων εκτιμήσεων. Αυτό γίνεται μέσω μιας διαδικασίας που έγεται εξομάυνση (graduaton). Στην εργασία αυτή διερευνούμε τη χρήση των μέτρων απόκισης δύναμης (power dvergence) τάξης που εισήγαγαν οι Cresse and Read, με κατάηους γραμμικούς και/ή τετραγωνικούς περιορισμούς, για να βρούμε το καύτερο μέτρο και να πάρουμε την καύτερη εξομάυνση. Τα αποτεέσματα δείχνουν ότι μέτρα απόκισης με μη πιθανοτικά διανύσματα (non-probablty vectors), όπως συμβαίνει με τα ποσοστά θνησιμότητας, ικανοποιούν, υπό ορισμένες συνθήκες, μερικές από τις ιδιότητες των μέτρων απόκισης όπως αυτά ορίζονται στη στατιστική θεωρία πηροφοριών. Οι αποκίσεις δύναμης δίνουν επίσης αποτεέσματα ισοδύναμα με αυτά άων μεθόδων εξομάυνσης. Παρουσιάζεται επίσης μια αριθμητική διερεύνηση. Φαίνεται ότι η επιογή > και πιο συγκεκριμένα η 2 / 3, που προτάθηκε από τους Cresse and Read για όγους στατιστικής ισχύος, είναι μια καή επιογή όσον αφορά τόσο την ομαότητα όσο και την προσαρμογή. Keywords: Graduaton; Kullback-Lebler dvergence; Cresse-Read dvergence; Ft; Smoothness; Dvergence wth non-probablty vectors. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο αναογιστής, για να περιγράψει το πραγματικό αά άγνωστο πρότυπο θνησιμότητας ενός πηθυσμού, υποογίζει από πρωτογενή δεδομένα αδρούς δείκτεςποσοστά (rates) θνησιμότητας, αδρές πιθανότητες θανάτου ή εντάσεις θνησιμότητας, τα οποία συνήθως αποτεούν μια ανώμαη σειρά. Για το όγο αυτό, είναι συνήθης πρακτική να αναθεωρούνται οι αρχικές εκτιμήσεις με σκοπό την παραγωγή ομαότερων εκτιμήσεων, μέσω μιας διαδικασίας που ονομάζεται εξομάυνση. Στην εξομάυνση υπάρχουν δυο κυρίαρχα και αντικρουόμενα στοιχεία: ο βαθμός ομαότητας και η προσαρμογή των ομαοποιημένων εκτιμήσεων στις αρχικές. Το δεύτερο αυτό στοιχείο οδηγεί στη χρήση μέτρων απόκισης μεταξύ των νέων και αρχικών τιμών. Οι Zhang and Brockett (987) χρησιμοποίησαν για το σκοπό αυτό το μέτρο απόκισης των Kullback-Lebler KL D ( v, u) v x ln( v x u x ), x
2 όπου {v x } είναι μια σειρά ομαών ποσοστών στην ηικία x, η οποία θέουμε να είναι όσο το δυνατόν πιο κοντά στη σειρά {u x } των παρατηρούμενων τιμών και επιπέον υπέθεσαν ότι το πραγματικό αά άγνωστο πρότυπο πιθανότητας είναι () ομαό, () αυξανόμενο με την ηικία x (μονότονο), () απότομα αυξανόμενο στις μεγάες ηικίες (κυρτό). Επίσης υπέθεσαν ότι (v) ο αριθμός των θανάτων στα εξομαυμένα δεδομένα είναι ίσος με τον αριθμό των θανάτων στα παρατηρούμενα δεδομένα και (v) το σύνοο των εξομαυμένων ηικιών θανάτου ισούται με τις παρατηρούμενες συνοικές ηικίες θανάτου. Οι παραπάνω πέντε περιορισμοί γράφονται ως εξής: () T T T S ( Av) ( Av) v A Av M, όπου Μ είναι μια προκαθορισμένη σταθερά και A ένας n (n-3) πίνακας με γραμμές της μορφής ( ), () Bv, όπου B ένας n (n-) πίνακας με γραμμές της μορφής ( - ), () Cv, όπου C T T ένας n (n-2) πίνακας με γραμμές της μορφής ( -2 ), (v) d v d u, όπου T ( l x, lx+,..., lx+ n T T d ), (v) e v e u, όπου d ( xlx,( x + ) lx+,...,( x + n ) lx+ n ). Οι Zhang and Brockett (987) εαχιστοποίησαν το μέτρο απόκισης των KL Kullback-Lebler D ( v, u), υπό τους περιορισμούς ()-(v) θεωρώντας παράηα και το δυϊκό πρόβημα. Άμεσα παρατηρεί κανείς ότι η χρήση του μέτρου πηροφορίας των Kullback- Lebler στην εξομάυνση είναι αντικανονική διότι τα ποσοστά θνησιμότητας u και v δεν είναι πιθανοτικά διανύσματα καθώς ισχύει u > και >. Οι Sachlas and Papaoannou (27) εξέτασαν εάν το μέτρο απόκισης των Kullback-Lebler μεταξύ δυο μη πιθανοτικών διανυσμάτων μπορεί να θεωρηθεί ως μέτρο απόκισης και ως μέτρο πηροφορίας, μεετώντας τις ιδιότητές του, υπό το πρίσμα των γενικών ιδιοτήτων των μέτρων πηροφορίας και απόκισης. Απέδειξαν, όπως αναμενόταν, ότι το μέτρο απόκισης των Kullback-Lebler με διανύσματα μη πιθανότητας, δεν έχει τις ιδιότητες του μέτρου των Kullback-Lebler με διανύσματα πιθανοτήτων. Υπό ορισμένες συνθήκες, βέβαια, κάποιες από αυτές ικανοποιούνται. Στο παρόν άρθρο μεετάμε περαιτέρω τη χρήση μέτρων απόκισης ως εργαεία εξομάυνσης. Στο Εδάφιο 2 εξερευνούμε τη χρήση της οικογένειας των μέτρων απόκισης δύναμης (Read and Cresse, 988) με στόχο να βρούμε την καύτερη απόκιση ώστε να επιτύχουμε την «καύτερη» εξομάυνση. Μια αριθμητική διερεύνηση δίνεται στο Εδάφιο 3 ενώ το Εδάφιο 4 περιαμβάνει τα συμπεράσματα. 2. ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΑΠΟΚΛΙΣΕΩΝ ΔΥΝΑΜΗΣ ΤΩΝ ESSIE-READ Ξεκινώντας από την ιδέα των Brockett and Zhang (986) να εαχιστοποιήσουν την απόκιση των Kullback-Lebler ώστε να βρει την καύτερα προσαρμοσμένη σειρά εξομαυμένων τιμών {v x } υπό τους περιορισμούς () έως (v), στην ενότητα αυτή εξετάζουμε τη χρήση του δείκτη απόκισης δύναμης. Οι Cresse and Read (984) όρισαν μια απόκιση δύναμης μεταξύ δυο διανυσμάτων πιθανότητας p, q ως εξής T n x n v x
3 n p I ( p, q ) p +, ( ) q όπου είναι μια παράμετρος (πραγματικός αριθμός). Οι τιμές του μέτρου για,- n ορίζονται ως όρια. Για, έχουμε I ( p, q ) p ln( p q ) που είναι το μέτρο των Kullback-Lebler ενώ για n, έχουμε I ( p, q ) q ln( q p ) απόκιση δύναμης ικανοποιεί τις ιδιότητες άων μέτρων απόκισης όπως τη μη αρνητικότητα, τη συμμετρία, τη συνέχεια, τη μη προσθετικότητα και ισχυρή μη προσθετικότητα. Σημειώνουμε ότι το μέτρο I ( p, q ) είναι μια drected απόκιση (Cresse and Read, 984). Οι Cresse and Read (984) επίσης χρησιμοποίησαν την οικογένεια των στατιστικών αποκίσεων δύναμης, για σκοπούς καής προσαρμογής, τα οποία ορίζονται ως εξής n 2 x 2nI( ) x + ( ) npˆ. () Το είναι μια παράμετρος πραγματικών αριθμών, που επιέγεται από το χρήστη. Είναι εύκοο να δει κανείς (Read and Cresse, 988) ότι το 2nI() που δίνεται από τη Σχέση () είναι ίσο με () τη στατιστική συνάρτηση X 2 για, () τη στατιστική συνάρτηση G 2 για, () τη στατιστική συνάρτηση του τροποποιημένου όγου πιθανοφάνειας για, (v) τη στατιστική συνάρτηση των Freeman-Tukey F 2 για -(/2) και (v) το τροποποιημένο X 2 του Neyman για -2. Ως εναακτική επιογή των X 2 και G 2, οι Cresse and Read (984) πρότειναν τη στατιστική συνάρτηση της απόκισης δύναμης με 2/3, η οποία βρίσκεται μεταξύ τους. 2. Απόκιση δύναμης χωρίς πιθανοτικά διανύσματα Έχουμε ήδη αναφέρει ότι στο πρόβημα της εξομάυνσης δεν έχουμε διανύσματα πιθανότητας. Για το όγο αυτό θα πρέπει να ορίσουμε την drected απόκιση δύναμης για μη πιθανοτικά διανύσματα. Ορισμός 2. Ορίζουμε ως n p D ( p, p +, R ( ) q την drected απόκιση δύναμης των Cresse-Read σειράς μεταξύ δυο μη πιθανοτικών διανυσμάτων p και q, όπου p και q. Τώρα θα πρέπει να δούμε κατά πόσο το μέτρο αυτό ικανοποιεί τις ιδιότητες των μέτρων απόκισης. Στη συνέχεια, θεωρούμε ότι και Η
4 Λήμμα 2. Για την drected απόκιση των Cresse-Read με μη πιθανοτικά διανύσματα p, q, ισχύει ότι k D ( p, p k I ( p, q ), k ( + ) όπου I ( p διανυσμάτων q q q q., ) είναι η drected απόκιση των Cresse-Read μεταξύ των πιθανοτήτων p, q, k p q, p p p και Πρόταση 2. (Μη αρνητικότητα) D ( p, εάν μια από τις ακόουθες συνθήκες ισχύει: () p q, () p q και (-,), () p q και m < I ( p, q ), (v) > > p q και (-,), (v) < p q και m < I ( p, q ), όπου m ( k ) ( k ( + )). Η ισότητα ισχύει εάν μια από τις παρακάτω συνθήκες ισχύει: (a) p q και pq, (b) p q ή p q και m I ( p, q ). Επιπέον, εάν Πρόταση 2.2 Ισχύει D ισχύει: () p q, () > < < p q ισχύει ότι D ( p, αν και μόνο αν pq. ( p, I ( p, q ) όταν μια από τις παρακάτω συνθήκες p q και (-,), () > p q και (-,). Η ισότητα ισχύει εάν m I ( p, q ) ανεξάρτητα από την τιμή του, όπου το m όπως στην Πρόταση 2.. Ορισμός 2.2 (Διδιάστατη απόκιση) Έστω p,,2 δυο διμεταβητά μέτρα (συναρτήσεις μη πιθανότητας) που σχετίζονται με δυο διακριτές μεταβητές X,Y στο R 2 για τις οποίες ισχύει p. H drected απόκιση των Cresse-Read x y μεταξύ δυο διδιάστατων συναρτήσεων μη πιθανοτήτων p, p 2 ορίζεται ως εξής: p( x, D X, Y ( p, p2 ) p( x,. ( + ) x y p <
5 Ορισμός 2.3 (Υπό συνθήκη απόκιση) Για τις διακριτές μεταβητές X,Y και τις συναρτήσεις μη πιθανότητας p,,2, όπως αυτές ορίσθηκαν παραπάνω, έστω ότι ισχύει f ( x) p, h p f ( x), g ( p και y r ( x p g ( x),,2. Θέτουμε h D Y X x ( h, h2 ) h ( + ) y h και ορίζουμε την [ ] h D Y X x ( h, h2 ) E X DY X ( h, h2 ) f( x) h ( + ) x y h για τη μεταβητή X ενώ η D r, ) ορίζεται με ανάογο τρόπο. X Y y ( r2 Η ισχυρή προσθετικότητα δεν ισχύει για την απόκιση δύναμης με μη πιθανοτικά διανύσματα. Άωστε, όπως είναι γνωστό, δεν ισχύει και για πιθανοτικά διανύσματα εκτός εάν. Για την ασθενή προσθετικότητα έχουμε τα παρακάτω: Πρόταση 2.3 (Ασθενής προσθετικότητα) Εάν h g ( και συνεπακόουθα p f ( x) g (,,2, έχουμε ότι οι τυχαίες μεταβητές είναι οι «τυποποιημένες» τιμές των X, Y, είναι ανεξάρτητες και x X, Y, οι οποίες X, Y ( 2 X 2 Y ( + ) X Y (a) D p, p ) D ( f, f ) + D ( g, g ) + p ( η ) + p η ( + ) I ( f, f ) I ( g, g ), όπου p p,,2, x y (b) D p, p ) D ( f, f ) D ( g, ) εάν η και εάν ένα από τα περιθώρια X, Y ( 2 X 2 + Y g 2 ( 2 ( g 2 ζεύγη f, f ), g, ) είναι όμοια, όπου η p p. 2 Πρόταση 2.4 (Μέγιστη πηροφορία και επάρκεια) Έστω YT(X) ένας μετρήσιμος μετασχηματισμός της X. Τότε DX ( p, p2 ) DY ( g, g 2 ), όταν b>, όπου b p ( x) p2 ( x), με την ισότητα να ισχύει αν και μόνο αν x x ο Y είναι «επαρκής», όπου p p (x), g g (,,2. Έχουμε ήδη δει ότι η drected απόκιση δύναμης D ( p,, υπό ορισμένες q συνθήκες είναι μη αρνητική, προσθετική, μεγαύτερη από το I ( p, ),
6 αναοίωτη υπό επαρκείς περιορισμούς και ικανοποιεί την ιδιότητα της μέγιστης πηροφορίας. Έτσι, μπορούμε να θεωρούμε το D ( p, ως μέτρο απόκισης και συνεπώς να το χρησιμοποιούμε για εξομάυνση. 3.2 Εξομάυνση μέσω αποκίσεων δύναμης Βασισμένοι στα παραπάνω μπορούμε να εφαρμόσουμε την απόκιση δύναμης στο πρόβημα της αναογιστικής εξομάυνσης. Για να πάρουμε τις εξομαυμένες τιμές v x, εαχιστοποιούμε την απόκιση των Cresse-Read vx D ( v, u) v x ( + ) x u x για δοθέν υπό τους περιορισμούς v και g ( v ) ( 2) v D v + b v + c,,2,...,r, όπου D είναι ένας θετικά ημιορισμένος πίνακας για κάθε και b, c είναι σταθερές. Οι περιορισμοί αυτοί είναι ισοδύναμοι με τους περιορισμούς ()-(v) που δόθηκαν στo Εδάφιο. Η εαχιστοποίηση γίνεται για διάφορες τιμές της παραμέτρου και επιέγουμε ως καύτερη εξομάυνση αυτή που δίνει ικανοποιητικά αποτεέσματα για την ομαότητα και την προσαρμογή. Με αυτό τον τρόπο μπορούμε να ερμηνεύσουμε την προκύπτουσα σειρά των εξομαυμένων τιμών, ως τη σειρά που ικανοποιεί τους περιορισμούς και είναι εάχιστα διαχωρίσιμη από την άποψη της απόκισης των Cresse-Read από τη σειρά των αδρών δεδομένων. Είναι προφανές ότι εάν επιέξουμε, κάνουμε την εξομάυνση μέσω του μέτρου απόκισης των Kullback-Lebler που περιέγραψαν οι Zhang and Brockett (987). Στην επόμενη ενότητα παραθέτουμε μια αριθμητική διερεύνηση. 3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ Για την αριθμητική διερεύνηση, χρησιμοποιήσαμε τα εξής σύνοα δεδομένων με πιθανότητες θανάτου: Το πρώτο (L85) προέρχεται από τον London (985). Το δεύτερο (HKM) προέρχεται από την Actuaral Socety of Hong Kong ( και αναφέρεται στους άνδρες. Το τρίτο (HKF) επίσης προέρχεται από την ίδια Socety και αναφέρεται στις γυναίκες. Το μέγεθος των παραπάνω δεδομένων είναι διαφορετικό. Εφαρμόσαμε διάφορες εξομαύνσεις σε κάθε σύνοο δεδομένων, χρησιμοποιώντας διαφορετικές τιμές της παραμέτρου μεταξύ των οποίων είναι οι τιμές,, -, -(/2) και -2, οι οποίες δίνουν τη στατιστική συνάρτηση X 2, το μέτρο απόκισης των Kullback-Lebler, τη στατιστική συνάρτηση του τροποποιημένου όγου πιθανοφάνειας, τη στατιστική συνάρτηση των Freeman-Tukey F 2 και το τροποποιημένο X 2 του Neyman, αντίστοιχα. Χρησιμοποιήσαμε επίσης την τιμή 2/3 που πρότειναν οι Cresse and Read (984). Η τιμή του M στον πρώτο περιορισμό, ήταν διαφορετική σε κάθε σύνοο δεδομένων και υποογιστηκε μέσω εξομάυνσης με τη μέθοδο των Whttaker-Henderson (London, 985). Είναι ογικό και αναμενόμενο ότι διαφορετική επιογή του οδηγεί σε διαφορετικές εξομαυμένες τιμές. Το μέτρο ομαότητας S, το οποίο υποογίστηκε μετά την εφαρμογή της μεθόδου εξομάυνσης των Whttaker-Henderson (τιμή Μ) T
7 καθώς και η μέση τιμή της ομαότητας S από διάφορες εξομαύνσεις με αποκίσεις δύναμης και -4, -3.5, -3, -2.5, -2, -.5, -, -2/3, -.5,,.5, 2/3,,.5, 2, 2.5, 3, 3.5, 4 δίνονται στον Πίνακα. Είναι φανερό ότι και οι δυο μέθοδοι δίνουν περίπου τα ίδια αποτεέσματα για το μέτρο ομαότητας S. Στο Σχήμα, παρουσιάζονται τα διαγράμματα της τιμής του μέτρου ομαότητας S έναντι της τιμής της παραμέτρου, με το S να απεικονίζεται στον άξονα των y και το στον άξονα των x. Η διακεκομμένη γραμμή σε κάθε διάγραμμα δηώνει την τιμή της παραμέτρου M που εμπέκεται στον περιορισμό της ομαότητας. Παρατηρούμε ότι τα τρία διαγράμματα παρουσιάζουν το ίδιο πρότυπο. Για <, το S ισούται περίπου με το M. Στη συνέχεια, όταν (,.5), το S παίρνει μια πού μικρή τιμή (κοντά στο μηδέν) ενώ για τις υπόοιπες τιμές του, ισούται περίπου με το M. Συνεπώς, για (,.5), η μέθοδος υπερεξομαύνει τα δεδομένα. Έτσι για έχουμε περίπου τα ίδια αποτεέσματα συμπεριαμβανομένης και της εξομάυνσης με το Kullback-Lebler (). Πίνακας : Τιμή του μέτρου ομαότητας Σετ Δεδομένων S μέσω Whttaker-Henderson S μέσω Απόκισης Δύναμης L85 Μ HKM Μ HKF Μ S,45 Σχήμα : Μέτρο ομαότητας S έναντι του S,3,4,25,35,3,2,25,5,2,5,,,5,5 S L85,8 HKM,6,4,2,,8,6,4,2 HKF Στο Σχήμα 2, παρουσιάζουμε τα ανάογα διαγράμματα που αφορούν το μέτρο προσαρμογής F, με το F να απεικονίζεται στον άξονα των y και το στον άξονα των x. Ως F πήραμε το Χ 2. Και εδώ παρατηρούμε ένα παρόμοιο πρότυπο. Για τιμές του
8 <, το μέτρο προσαρμογής αυξάνει, μέχρι μια μέγιστη τιμή. Αυτό στην πράξη σημαίνει ότι η εξομάυνση δεν είναι αποδεκτή καθώς οι εξομαυμένες τιμές διαφέρουν αρκετά από τις αδρές τιμές. Όταν το, το F εαττώνεται και σταθεροποιείται για τις υπόοιπες τιμές του. Σχήμα 2: Μέτρο προσαρμογής F έναντι του F 9 F L85 F 9 HKM HKF Όσον αφορά την ομαότητα, στο σετ L85 η εξομάυνση μέσω της απόκισης των Kullback-Lebler δίνει μια πάρα πού μικρή τιμή για το μέτρο της ομαότητας, το οποίο σημαίνει ότι η μέθοδος υπερεξομαύνει τα δεδομένα. Το ίδιο αποτέεσμα ισχύει και για την εαχιστοποίηση των αποκίσεων δύναμης με (,). Στο σετ HKM η εαχιστοποίηση της απόκισης των Kullback-Lebler δίνει τα ίδια αποτεέσματα με τη μέθοδο της εαχιστοποίησης των αποκίσεων δύναμης με <- και >. Τέος, στο σετ HKF η εξομάυνση μέσω της απόκισης των Kullback- Lebler υπερεξομαύνει τα δεδομένα, κάτι το οποίο συμβαίνει και με τη χρησιμοποίηση των αποκίσεων δύναμης με < <. 5. Το τεικό μας συμπέρασμα, είναι ότι η επιογή 2/3 που πρότειναν οι Cresse and Read (984) για όγους στατιστικής ισχύος είναι επίσης μια καή επιογή για εξομάυνση. 4. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Για εξομάυνση, εκτός του μέτρου απόκισης των Kullback-Lebler D ( p, με μη πιθανοτικά διανύσματα, άα μέτρα απόκισης, όπως τα μέτρα απόκισης δύναμης, μπορούν να χρησιμοποιηθούν. Αποδείξαμε ότι στην περίπτωση που δεν έχουμε πιθανοτικά διανύσματα, το μέτρο απόκισης δύναμης ικανοποιεί ορισμένες από τις ιδιότητες που το μέτρο με διανύσματα πιθανότητας ικανοποιεί. Υπό ορισμένες συνθήκες είναι μη αρνητικό, προσθετικό, μεγαύτερο από το I ( p, q ), KL
9 αναοίωτο υπό επαρκείς περιορισμούς και ικανοποιεί την ιδότητα της μέγιστης πηροφορίας. Άρα, το D ( p, μπορεί να θεωρηθεί ως μέτρο απόκισης και συνεπώς να χρησιμοποιείται στο πρόβημα της εξομάυνσης. Στην αριθμητική διερεύνηση, η εαχιστοποίηση της απόκισης δύναμης για διάφορες τιμές του έδωσε ισοδύναμα αποτεέσματα, όσον αφορά την ομαότητα, με αυτά άων μεθόδων εξομάυνσης όπως είναι η Whttaker-Henderson μέθοδος. Δεν μπορούμε να πούμε ποια τιμή του είναι η καύτερη για εξομάυνση. Για την καή προσαρμογή, τιμές του <- δεν δίνουν αποδεκτά αποτεέσματα και συνεπώς θα πρέπει να αποφεύγονται. Τιμές του (,.5), υπερεξομαύνουν τα δεδομένα. Η τιμή 2/3 που πρότειναν οι Cresse and Read (984) για όγους στατιστικής ισχύος, είναι μια καή επιογή. ABSTRACT Frequently we have to revse the ntal estmates of death probabltes wth the am of obtanng smoother estmates. Ths s done through a procedure called graduaton. In ths paper we explore the use of the measures of power dvergence statstcs of order that Cresse and Read ntroduced wth proper lnear and/or quadratc constrants wth the am of fndng the best dvergence to use n order to obtan the best graduaton. The results so far ndcate that dvergences wth non-probablty vectors n ther arguments, as s the case wth mortalty rates, share, under some condtons, some of the propertes of probablstc or nformaton theoretc dvergences. The power dvergence statstcs also gve results equvalent to those that other frequently used graduaton methods gve. A numercal nvestgaton s also presented. It seems that the choce > and partcularly the 2 / 3 that Cresse and Read proposed n the lght of statstcal power, s a good choce as far as smoothness and goodness of ft are concerned. ΑΝΑΦΟΡΕΣ Brockett, P.L., Zhang, J., 986. Informaton Theoretcal Mortalty Graduaton, Scandnavan Actuaral Journal, 3-4. Cresse, N.A.C., Read, T.R.C., 984. Multnomal Goodness-of-Ft Tests, Journal of Royal Statstcal Socety, B, Vol. 46, No. 3, London, D., 985. Graduaton: The Revson of Estmates, ACTEX Publcatons, Wnsted, Connectcut. Read, T.R.C., Cresse, N.A.C., 988. Goodness-of-Ft Statstcs for Dscrete Multvarate Data, Sprnger-Verlag, New York. Sachlas, A.P. and Papaoannou, T. 27. Graduaton of Mortalty Rates through Dvergences, Submtted paper. Zhang, J., Brockett, P.L., 987. Quadratcally Constraned Informaton Theoretc Analyss, SIAM Journal of Appled Mathematcs, Vol. 47, No. 4,
TO ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΤΟΠΟΘΕΤΗΣΗΣ ΠΟΛΩΝ ΜE ΑΝΑΤΡΟΦΟΔΟΤΗΣΗ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ
TO ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΤΟΠΟΘΕΤΗΣΗΣ ΠΟΛΩΝ ΜE ΑΝΑΤΡΟΦΟΔΟΤΗΣΗ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ας θεωρήσουμε το σύστημα ανοικτού βρόχου που περιγράφεται από τις εξισώσεις κατάστασης (.) και (.2): x Ax+ Bu (.)
Διαβάστε περισσότερα3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι Κατανομών
. Χαρακτηριστικές Παράμετροι Κατανομών - Αναμενόμενη ή μέση τιμή μιας διακριτής τυχαίας μεταβητής. Θα ήταν αρκετά χρήσιμο να γνωρίζουμε γύρω από ποια τιμή «κυμαίνεται» η τ.μ. Χ. γύρω από την οποία «απώνεται»
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητικά χαρακτηριστικά µιάς τυχαίας µεταβλητής
Αριθµητικά χαρακτηριστικά µιάς τυχαίας µεταβητής (Α) Mέση τιµή Ορισµός Η µέση τιµή ή µαθηµατική επίδα µιας τ.µ. Χ µε πυκνότητα πιθανότητας f (x) είναι ο αριθµός: µ E() + xf (x) xf (x)dx διακριτή συνεχής
Διαβάστε περισσότερα, όπου x = 0,1,...,300000. Έτσι, για την πιθανότητα σε ένα έτος να μην υπάρξουν θάνατοι ζώων από τον εμβολιασμό έχουμε, 2! 299998!
Η Κατανομή Poisso Ας δούμε ένα πρόβημα: Σε μια κτηνοτροφική περιοχή υπάρχουν 3 αιγοπρόβατα. Κάθε χρόνο όα τα αιγοπρόβατα εμβοιάζονται για προστασία από κάποια ασθένεια. Σύμφωνα με την άδεια χρήσης του
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 10ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Επιμέεια: Ι. Λυχναρόπουος. Έστω ο πίνακας 3. Δείξτε ότι το διάνυσμα v (,3) είναι ένα ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή
Διαβάστε περισσότερα0. Σύντοµη επισκόπηση θεωρίας πιθανοτήτων
. Σύντοµη επισκόπηση θεωρίας πιθανοτήτων Α. Τυχαίες µεταβητές Τυχαία µεταβητή καείται µια µεταβητή η τιµή της οποίας καθορίζεται από το αποτέεσµα κάποιου στοχαστικού πειράµατος. Αν Ω ο δειγµατικός χώρος
Διαβάστε περισσότεραΈστω η πραγµατική συνάρτηση f(t) της πραγµατικής µεταβλητής t (π.χ χρόνος). Ο µετασχηµατισµός Laplace της συνάρτησης f(t) δίνεται από τη σχέση:
ΜΑΘΗΜΑ : Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE. Εισαγωγή Ο µετασχηµατισµός pl και ο µετασχηµατισµός Z είναι δύο πού χρήσιµα µαθηµατικά εργαεία για την ανάυση και σχεδίαση συστηµάτων αυτοµάτου και ιδιαίτερα ΓΧΑ Γραµµικών
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις Προαιρετικής Eργασίας Τεχνικές Εκτίμησης
Λύσεις Προαιρετικής Eργασίας Τεχνικές Εκτίμησης 2010-2011 kolako@ced.upatras.gr 10 Μαρτίου 2011 Πρόβημα 1 Ερώτημα ) Έστω W S και W B ο μέσος χρόνος αναμονής στην ουρά του σταθμού S και B αντίστοιχα. Λαμβάνοντας
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΙΙ
ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΙΙ Σηµειώσεις Μη Γραµµικού Προγραµµατισµού Β Κούτρας ΧΙΟΣ Β Κούτρας ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΙΣΜΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στο κοµµάτι αυτό
Διαβάστε περισσότεραΕΝΤΥΠΟ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ
F3W.PR09 Όνομα: Επίθετο: Ημερομηνία: 7/0/07 Πρωί: Απόγευμα: Θεματική ενότητα: Αναλογιστικά Πρότυπα Επιβίωσης Ερώτηση Εάν η τυχαία μεταβλητή Τ έχει συνάρτηση πυκνότητας f ep 3 3 να υπολογίσετε το 90 ο εκατοστημόριο
Διαβάστε περισσότεραΒρέθηκε ότι το πηλίκο φ/λ = 68,5905 J K 1.
Έστω ποσότητα He σε αεροστεγές δοχείο σταθερού όγκου V. Σε μια σειρά έξι πειραμάτων προσδιορίζουμε την μεταβοή της εντροπίας S τεική S ική, η οποία προκαείται από την μεταβοή της θερμοκρασίας του δοχείου
Διαβάστε περισσότερα6.8 Συµβολή Κυµάτων. y = y 1 + y 2 +... http : //perif ysikhs.wordpress.com 55 Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου
6.8 Συµβοή Κυµάτων Οταν δύο ή περισσότερα κύµατα διαδίδονται ταυτόχρονα στο ίδιο εαστικό µέσο έµε ότι συµβάουν. Εχει διαπιστωθεί ότι για την κίνηση των σωµατιδίων του µέσου τα κύµατα ακοουθούν την αρχή
Διαβάστε περισσότεραΝΕΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΗΝ ΥΠΑΡΞΗ ΕΚΤΙΜΗΤΩΝ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΦΑΝΕΙΑΣ ΓΙΑ ΤΗΝ 3-ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΓΑΜΜΑ ΚΑΤΑΝΟΜΗ
Ελληνικό Στατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιστικής 008, σελ 9-98 ΝΕΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΗΝ ΥΠΑΡΞΗ ΕΚΤΙΜΗΤΩΝ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΦΑΝΕΙΑΣ ΓΙΑ ΤΗΝ 3-ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΓΑΜΜΑ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Γεώργιος
Διαβάστε περισσότεραSupport Vector Machines
KEΣ 3 Αναγνώριση Προτύπων και Ανάυση Εικόνας Support Vector Machnes ΤµήµαΕπιστήµης και Τεχνοογίας Τηεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Πεοποννήσου 7 colas sapatsouls Εισαγωγή Γραµµικά διαχωρίσιµες κάσεις Μη γραµµικά
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Ι. Λυχναρόπουλος
Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Ι. Λυχναρόπουος Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα 3. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές ποαπότητες
Διαβάστε περισσότερα1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ
. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Μέγιστα και Ελάχιστα Συναρτήσεων Χωρίς Περιορισμούς Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής Εστω f ( x) είναι συνάρτηση μιας μόνο μεταβλητής. Εστω επίσης ότι x είναι ένα σημείο στο πεδίο ορισμού
Διαβάστε περισσότερα14. ΜΕΘΟ ΟΙ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ
4. ΜΕΘΟ ΟΙ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 4. Η µέθοδος Newn-Raphsn για µη γραµµική ανάυση Η γενική εξίσωση ισορροπίας ενός µη γραµµικού συστήµατος γράφεται: F ( ) = F q () όπου είναι οι εσωτερικές
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΡΟΠΟΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΡΟΠΟΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ 5 Εισαγωγή Σ αυτό το κεφάαιο θα δούµε ότι οι ροπές µιας τυχαίας µεταβητής µπορούν να υποογιστούν µε τη βοήθεια κατάηων συναρτήσεων Αυτές οι συναρτήσεις καούνται ροπογεννήτριες
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Μέσο μήκος ροής στα διαγράμματα ελέγχου τύπου Shewhart
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Μέσο μήκος ροής στα διαγράμματα εέγχου τύπου Shwhar. Διάγραμμα εέγχου τύπου Shwhar Στις παραγωγικές διεργασίες μας ενδιαφέρει η παρακοούθηση της συμπεριφορά μιας κρίσιμης ποσότητας ενός μετρήσιμου
Διαβάστε περισσότεραΤΕΠΑΚ, Τμήμα Πολιτικών Μηχ. / Τοπογράφων Μηχ. και Μηχ. Γεωπληροφορικής
ΤΕΠΑΚ, Τμήμα Ποιτικών Μηχ. / Τοπογράων Μηχ. και Μηχ. Γεωπηροορικής Μάθημα 6ου Εξαμήνου: Ανώτερη Γεωδαισία (Ακαδ. Έτος 011-1) ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ... ΕΞΑΜΗΝΟ... ιάρκεια 110 - Επιέξτε και απαντήστε σε δύο από τα
Διαβάστε περισσότεραΤο πρόβλημα των μηδενικών ιδιοτιμών.
Το πρόβημα των μηδενικών ιδιοτιμών. Από την προηγούμενη συζήτηση έχει γίνει φανερό ότι αν η ομογενής διαφορική εξίσωση L ϕ ( = 0έχει μη μηδενική ύση (ή ύσεις που να ικανοποιεί τις (ομογενείς συνοριακές
Διαβάστε περισσότεραΟρίζουμε την τυπική πολυδιάστατη κανονική, σαν την κατανομή του τυχαίου (,, T ( ) μεταξύ τους ανεξάρτητα. Τότε
Η πολυδιάστατη κανονική κατανομή Ορίζουμε την τυπική πολυδιάστατη κανονική, σαν την κατανομή του τυχαίου (,, διανύσματος X X X ), όπου X ~ N (,) και όλα τα X μεταξύ τους ανεξάρτητα Τότε ( ) (,, ) (, )
Διαβάστε περισσότεραΠεπερασμένες διαφορές για την ελλειπτική εξίσωση στις δύο διαστάσεις
Κεφάλαιο 9 Πεπερασμένες διαφορές για την ελλειπτική εξίσωση στις δύο διαστάσεις Σε αυτό το κεφάλαιο θεωρούμε μια απλή ελλειπτική εξίσωση, στις δύο διαστάσεις. Θα κατασκευάσουμε μεθόδους πεπερασμένων διαφορών
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Mεγιστικές συναρτήσεις/τελεστές
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Mεγιστικές συναρτήσεις/τεεστές 2 Eισαγωγή Στο κεφάαιο αυτό ορίζουµε την έννοια του µεγιστικού τεεστή και δείχνουµε τη σπουδαιότητά του όσον αφορά την απόδειξη θεωρηµάτων που σχετίζονται µε τη
Διαβάστε περισσότεραΚύμα ονομάζουμε τη διάδοση μιας διαταραχής από σημείο σε σημείο του χώρου με ορισμένη ταχύτητα.
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ Τι ονομάζουμε κύμα; Κύμα ονομάζουμε τη διάδοση μιας διαταραχής από σημείο σε σημείο του χώρου με ορισμένη ταχύτητα. Η διαταραχή μπορεί να είναι α. Η ταάντωση των μορίων του
Διαβάστε περισσότεραΤΟ EWMA ΙΑΓΡΑΜΜΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΜΕ ΕΚΤΙΜΩΜΕΝΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ
Εηνικό Στατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά 7 ου Πανεηνίου Συνεδρίου Στατιστικής (4 σε. 9-98 ΤΟ EWA ΙΑΓΡΑΜΜΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΜΕ ΕΚΤΙΜΩΜΕΝΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ Π.Ε. Μαραβεάκης Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Τµήµα
Διαβάστε περισσότεραΤΟ ΦΩΣ ΛΑΜΠΤΗΡΑ ΠΥΡΑΚΤΩΣΕΩΣ ΚΑΙ Η ΣΤΑΘΕΡΑ ΤΟΥ PLANK
ΤΟ ΦΩΣ ΛΑΜΠΤΗΡΑ ΠΥΡΑΚΤΩΣΕΩΣ ΚΑΙ Η ΣΤΑΘΕΡΑ ΤΟΥ PLANK To 1900 o Plank εισήγαγε την υπόθεση ότι το φως εκπέμπεται από την ύη με τη μορφή κβάντων ενέργειας hν. Το 190 ο Einstein επέκτεινε αυτή την ιδέα προτείνοντας
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά
ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 2015 Πληθυσμός: Εισαγωγή Ονομάζεται το σύνολο των χαρακτηριστικών που
Διαβάστε περισσότεραΟρίζουμε την τυπική πολυδιάστατη κανονική, σαν την κατανομή του τυχαίου (,, T ( ) μεταξύ τους ανεξάρτητα. Τότε
Η πολυδιάστατη κανονική κατανομή Ορίζουμε την τυπική πολυδιάστατη κανονική, σαν την κατανομή του τυχαίου (,, διανύσματος =, όπου ~ N ( 0, και όλα τα μεταξύ τους ανεξάρτητα Τότε = (,, = ( 0, ( 0, f x f
Διαβάστε περισσότεραR 1. e 2r V = Gauss E + 1 R 2
: Γραμμική πυκνότητα φορτίου βρίσκεται στον άξονα αγώγιμου κυινδρικού φοιού εσωτερικής ακτίνας και εξωτερικής α) Να υποογιστεί η επαγόμενη πυκνότητα φορτίου στις δύο όψεις του φοιού, αν το συνοικό του
Διαβάστε περισσότεραΓραπτή Εξέταση στο Μάθημα "ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ" 6ο Εξάμηνο Ηλεκτρολόγων Μηχ. & Μηχ. Υπολογιστών Θέματα και Λύσεις. μ 1.
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Τομέας Επικοινωνιών, Ηεκτρονικής & Συστημάτων Πηροφορικής Εργαστήριο Διαχείρισης και Βέτιστου Σχεδιασμού Δικτύων - NETMODE
Διαβάστε περισσότεραΠροσαρµοστικοί Αλγόριθµοι Υλοποίησης Βέλτιστων Ψηφιακών Φίλτρων: Οαλγόριθµος καθόδου κατά την µέγιστη κλίση (Steepest-descent)
ΒΕΣ Προσαρµοστικά Συστήµατα στις Τηεπικοινωνίες Προσαρµοστικοί Αγόριθµοι Υοποίησης Βέτιστων Ψηφιακών Φίτρων: Οαγόριθµος καθόδου κατά την (Steepest-escent) κατά τη Βιβιογραφία Ενότητας Benvent []: Κεφάαι
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΟΡΙΣΜΟΙ Δίνεται ο πίνακας Παρατηρήστε τι γίνεται όταν ποαπασιάζουμε τον Α με το διάνυσμα u u u παίρνουμε δηαδή ένα διάνυσμα ποαπάσιο του u. Η αναζήτηση διανυσμάτων που έχουν παρόμοια
Διαβάστε περισσότερα3Τοπολογικοί διανυσματικοί χώροι. y A, για κάθε λ [ 0,1]
20 3Τοποογικοί διανυσματικοί χώροι 3. Βασικές έννοιες και ορισμοί. Έστω διανυσματικός χώρος υπεράνω του σώματος K ( K Rή C) = και A. (α) Το A έγεται κυρτό αν, για κάθε x, y A, για κάθε [ 0,] ισχύει ότι
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Προσομοίωση Βασικών Στοχαστικών Ανελίξεων : Ανέλιξη Poisson και Κίνηση Brown
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Προσομοίωση Βασικών Στοχαστικών Ανείξεων : Ανέιξη Pi και Κίνηση Bw Είναι γνωστό ότι, αν το αποτέεσμα ενός τυχαίου πειράματος είναι ένας αριθμός στο R, τότε αυτό να μπορεί να εκφραστεί χρησιμοποιώντας
Διαβάστε περισσότερα6.8 Συµβολή Κυµάτων. y = y 1 + y perif ysikhs.wordpress.com 55 Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου
6.8 Συµβοή Κυµάτων Οταν δύο ή περισσότερα κύµατα διαδίδονται ταυτόχρονα στο ίδιο εαστικό µέσο έµε ότι συµβάουν. Εχει διαπιστωθεί ότι για την κίνηση των σωµατιδίων του µέσου τα κύµατα ακοουθούν την αρχή
Διαβάστε περισσότερα) = 2lnx lnx 2
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Σεπτέµβριος 8 Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Μάθηµα: Μικροοικονοµική Ι ιδάσκοντες: Β. Ράπανος-Ι Χειάς Εξέταση στη Μικροοικονοµική Ι Στην εξέταση αυτή δίνονται δύο σύνοα το Α και το Β.
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1. Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισαγάγουµε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο που θα παίξει σηµαντικό ρόλο στα επόµενα κεφάλαια.
Κεφάαιο Πρότυπα Στο κεφάαιο αυτό εισαγάγουµε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύιο που θα παίξει σηµαντικό ρόο στα επόµενα κεφάαια Στις σηµειώσεις αυτές όοι οι δακτύιοι περιέχουν µοναδιαίο στοιχείο
Διαβάστε περισσότεραΆσκηση 1: Λύση: Για το άθροισμα ισχύει: κι επειδή οι μέσες τιμές των Χ και Υ είναι 0: Έτσι η διασπορά της Ζ=Χ+Υ είναι:
Άσκηση 1: Δύο τυχαίες μεταβλητές Χ και Υ έχουν στατιστικές μέσες τιμές 0 και διασπορές 25 και 36 αντίστοιχα. Ο συντελεστής συσχέτισης των 2 τυχαίων μεταβλητών είναι 0.4. Να υπολογισθούν η διασπορά του
Διαβάστε περισσότεραΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΣΕ ΑΝΑΝΕΩΤΙΚΕΣ ΑΝΕΛΙΞΕΙΣ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΣΕ ΑΝΑΝΕΩΤΙΚΕΣ ΑΝΕΛΙΞΕΙΣ Κωνσταντίνος Ν. Μακρής Διπωματική
Διαβάστε περισσότεραΝΙΚΟΛΑΟΥ ΙΩ. ΔΑΡΑ ΕΠΙΚΟΥΡΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΟΥ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ. ΤΟΜΟΣ 2 ΟΣ ΒΙΒΛΙΟ 1 ο
ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΙΩ. ΔΑΡΑ ΕΠΙΚΟΥΡΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΟΥ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ ΤΟΜΟΣ ΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ο ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ ΑΜΥΝΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ www.rmscotrol.fo
Διαβάστε περισσότεραΤεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων Ακαδημαϊκό έτος Λύσεις για την Προαιρετική Εργασία
Τεχνικές Εκτίμησης Υποογιστικών Συστημάτων Ακαδημαϊκό έτος 2016-17 Λύσεις για την Προαιρετική Εργασία Φεβρουάριος 2017 Πρόβημα 1 Δίνεται το παρακάτω μητρώο με τις πιθανότητες μετάβασης μιας Μαρκοβιανής
Διαβάστε περισσότερα4. Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές
4 Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές Στο προηγούμενο κεφάαιο εισαγάγαμε την έννοια της τυχαίας μεταβητής και είδαμε ότι σε κάθε τέτοια μεταβητή, έστω Χ, αντιστοιχεί μία κατανομή Είναι η κατανομή της
Διαβάστε περισσότερακαι Y εάν και 4. Να βρεθούν οι κατανομές των υπό συνθήκη τ.μ. [ Y Y ] και [ ] p x x p x p x Po x Po x e
Παράδειγμα Οι τμ μεταβητές X παραμέτρους X είναι ανεξάρτητες κατανέμονται σαν Posso με Να βρεθεί οι από κοινού κατανομή των X X Ποία η από κοινού των τμ Y Y εάν Y Y T X X X + X X Βρείτε τις περιθώριες
Διαβάστε περισσότερα3Τοπολογικοί διανυσματικοί χώροι. y A, για κάθε λ [ 0,1]
0 3Τοποογικοί διανυσματικοί χώροι 3. Βασικές έννοιες και ορισμοί. Έστω E διανυσματικός χώρος υπεράνω του σώματος K ( K Rή C) = και A E. (α) Το A έγεται κυρτό αν, για κάθε x, y A, για κάθε [ 0,] ισχύει
Διαβάστε περισσότεραόπου α (β) = η αναλογία των μη εμπορεύσιμων αγαθών στο συνολικό εγχώριο (ξένο) δείκτη τιμών.
Κεφάαιο 6 ο : Προσδιορισμός πραγματικής ισοτιμίας Εισαγωγή Η ανάυση στα προηγούμενα κεφάαια αναφερόταν στους προσδιοριστικούς παράγοντες της ονομαστικής συνααγματικής ισοτιμίας. Στο παρόν κεφάαιο θα ασχοηθούμε
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017
Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017 2 Γιατί ανάλυση διακύμανσης; (1) Ας θεωρήσουμε k πληθυσμούς με μέσες τιμές μ 1, μ 2,, μ k, αντίστοιχα Πως μπορούμε να συγκρίνουμε τις μέσες τιμές k πληθυσμών
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Συμπερασματολογία
Στατιστική Συμπερασματολογία Διαφάνειες 2 ου κεφαλαίου Σταύρος Χατζόπουλος 20/02/2017, 06/03/2017, 13/03/2017 1 Κεφάλαιο 2. Έλεγχος Απλών Υποθέσεων Τα προβλήματα ελέγχου υποθέσεων απορρέουν από παρατηρήσεις
Διαβάστε περισσότεραΚύματα (Βασική θεωρία)
Κύματα (Βασική θεωρία) Λεεδάκης Κωστής ( koleygr@gmailcom ) 10 Δεκεμβρίου 015 1 1 Βασικά στοιχεία Κύμα ονομάζεται οποιαδήποτε διαταραχή διαδίδεται μέσα στο χώρο Τα ηεκτρομαγνητικά κύματα είναι τα μόνα
Διαβάστε περισσότεραΔιάστημα εμπιστοσύνης της μέσης τιμής
Διάστημα εμπιστοσύνης της μέσης τιμής Συντελεστής εμπιστοσύνης Όταν : x z c s < μ < x +z s c Ν>30 Στον πίνακα δίνονται κρίσιμες τιμές z c και η αντιστοίχισή τους σε διάφορους συντελεστές εμπιστοσύνης:
Διαβάστε περισσότεραΑντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών. Εξίσωση παλινδρόμησης. Πρόβλεψη εξέλιξης
Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών Εξίσωση παλινδρόμησης Πρόβλεψη εξέλιξης Διμεταβλητές συσχετίσεις Πολλές φορές χρειάζεται να
Διαβάστε περισσότεραΣεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου
Σεµινάριο Αυτοµάτου Εέγχου Μάθηµα 9 Ευστάθεια κατά Lyaunv Η έννοια της ευστάθειας κατά Lyaunv Γενικό κριτήριο ευστάθειας Παραδείγµατα Καιγερόπουος 9 Ευστάθεια κατά Lyaunv Εισαγωγή Η έννοια της ευστάθειας
Διαβάστε περισσότεραΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX
ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον
Διαβάστε περισσότερα3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall
3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι
Διαβάστε περισσότεραˆ Αποτελείται από σωµατίδια, τα οποία πληρούν το µέσο χωρίς διάκενα. ˆ Τα σωµατίδια αυτά συνδέονται µεταξύ τους µε ελαστικές δυνάµεις.
6 Κύµατα 6.1 Ορισµός του κύµατος Κύµα ονοµάζεται η διάδοση µιας διαταραχής που µεταφέρει ενέργεια και ορµή µε στα- ϑερή ταχύτητα. Εαστικό µέσο ονοµάζεται κάθε υικό µέσο που, για όγους απότητας, δεχόµαστε
Διαβάστε περισσότεραx y x z για κάθε x, y, . Ένας δακτύλιος R καλείται μεταθετικός αν
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα Στο κεφάαιο αυτό θα υπενθυμίσουμε τις βασικές έννοιες που αφορούν πρότυπα πάνω από ένα δακτύιο Θα περιοριστούμε στα πέον απαραίτητα για αυτά που ακοουθούν στα άα κεφάαια Η κατευθυντήρια
Διαβάστε περισσότεραΔιπλωματική Εργασία. Εφαρμοσμένη Θεωρία Πινάκων
Πανεπιστήμιο Μακεδονίας Τ.Ε.Ι. Δυτικής Μακεδονίας Π.Μ.Σ Εφαρμοσμένης Πηροφορικής Διπωματική Εργασία Θέμα Εφαρμοσμένη Θεωρία Πινάκων Επιβέπον Καθηγητής Πετράκης Ανδρέας Μεταπτυχιακός Φοιτητής Τσαγκαρή Αθηνά
Διαβάστε περισσότεραΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ
ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΙΩ ΔΑΡΑ ΕΠΙΚΟΥΡΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΗ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΟΜΟΣ ος ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΔΙΟΤΙΜΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
Διαβάστε περισσότεραGeneralized Fibonacci-Like Polynomial and its. Determinantal Identities
Int. J. Contemp. Math. Scences, Vol. 7, 01, no. 9, 1415-140 Generalzed Fbonacc-Le Polynomal and ts Determnantal Identtes V. K. Gupta 1, Yashwant K. Panwar and Ompraash Shwal 3 1 Department of Mathematcs,
Διαβάστε περισσότερα3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ
20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Συμπερασματολογία
Στατιστική Συμπερασματολογία Διαφάνειες 4 ου κεφαλαίου Ελεγχοσυναρτήσεις Γενικευμένου Λόγου Πιθανοφανειών Σταύρος Χατζόπουλος 27/03/2017, 03/04/2017, 24/04/2017 1 Εισαγωγή Έστω το τ.δ. X,,, από την κατανομή
Διαβάστε περισσότεραΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΚΙΝΔΥΝΟΥ. Συσχέτιση (Correlation) - Copulas
ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΚΙΝΔΥΝΟΥ Συσχέτιση (Correlation) - Copulas Σημασία της μέτρησης της συσχέτισης Έστω μία εταιρεία που είναι εκτεθειμένη σε δύο μεταβλητές της αγοράς. Πιθανή αύξηση των 2 μεταβλητών
Διαβάστε περισσότεραL2 {mk. K Z 1Z 2 e 2. v 8 ě 4 ˆ 10 7 m/s. Z 2 79, e 1.6ˆ10 19 C, 9ˆ10 9 Nm 2 /C 2
Ονοματεπώνυμο: Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη Μηχανική Ι, Τμήμα Κ. Τσίγκανου & Ν. Βαχάκη, Ιανουαρίου Διάρκεια εξέτασης 3 ώρες, Καή επιτυχία ( = bonus ερωτήματα),
Διαβάστε περισσότεραΕισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500
Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της
Διαβάστε περισσότεραHMY 795: Αναγνώριση Προτύπων
HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 2 Επισκόπηση θεωρίας πιθανοτήτων Τυχαίες μεταβλητές: Βασικές έννοιες Τυχαία μεταβλητή: Μεταβλητή της οποίας δε γνωρίζουμε με βεβαιότητα την τιμή (σε αντίθεση με τις
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 08-09 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος
Διαβάστε περισσότερα4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER
4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Σκοπός του κεφαλαίου είναι να παρουσιάσει μερικές εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier (ΜF). Ειδικότερα στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφούν έμμεσοι τρόποι
Διαβάστε περισσότερα6. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ
6. ΑΡΘΜΗΤΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ. Αριθµητική Οοκήρωση Οπως αναφέραµε στην εισαγωγή, είναι συχνά δύσκοο να υποογιστεί ο αναυτικός τύπος, ή δεν υπάρχει αναυτικός τύπος, που δίνει το ορισµένο οοκήρωµα µιας συνεχούς
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6 Τυπικές συναρτήσεις κατανομής στην τεχνική υδρολογία
Κεφάαιο 6 Τυπικές συναρτήσεις κατανομής στην τεχνική υδροογία Στο κεφάαιο αυτό περιγράφουμε τις τρεις βασικές οικογένειες συναρτήσεων κατανομής που χρησιμοποιούνται στην τεχνική υδροογία. Η πρώτη περιαμβάνει
Διαβάστε περισσότερα3. Κατανομές πιθανότητας
3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.
Διαβάστε περισσότερα5 Haar, R. Haar,. Antonads 994, Dogaru & Carn Kerkyacharan & Pcard 996. : Haar. Haar, y r x f rt xβ r + ε r x β r + mr k β r k ψ kx + ε r x, r,.. x [,
4 Chnese Journal of Appled Probablty and Statstcs Vol.6 No. Apr. Haar,, 6,, 34 E-,,, 34 Haar.., D-, A- Q-,. :, Haar,. : O.6..,..,.. Herzberg & Traves 994, Oyet & Wens, Oyet Tan & Herzberg 6, 7. Haar Haar.,
Διαβάστε περισσότεραΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Μεταπτυχιακό Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής
ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Μεταπτυχιακό Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής Υποθέσεις του Απλού γραμμικού υποδείγματος της Παλινδρόμησης Η μεταβλητή ε t (διαταρακτικός όρος) είναι τυχαία μεταβλητή με μέσο όρο
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 5 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! Bookmark not defned. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2010 ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 00 ΘΕΜΑ Α Στις ερωτήσεις Α-Α3 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπα το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση, η οποία συμπηρώνει σωστά την
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Πιθανοτήτων και Θεωρίας Ουρών
ΤΕΙ ΛΑΡΙΣΑΣ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Στοιχεία Πιθανοτήτων και Θεωρίας Ουρών Χρήστου Νικοαΐδη Φεβρουάριος 5 Χρήστος Νικοαΐδης Διδάκτωρ του Πανεπιστημίου της Οξφόρδης Στοιχεία Πιθανοτήτων
Διαβάστε περισσότεραΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΕΣ ΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΩΝ
ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΕΣ ΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΩΝ Α. Πεπερασµένες διαφορές Εστω δεδοµένος πραγµατικός αριθµός. Για τυχούσα συνάρτηση f = f() ορίζουµε ως διαφορά (πρώτης τάξης) της f() την συνάρτηση f µε f() =
Διαβάστε περισσότερα1. Τετραγωνικές μορφές. x y 0. 0x y 0 1α 1β 2α 2β 3. 0x + y 0
Β4. ΕΣΣΙΑΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ 1.Τετραγωνικές μορφές.χαρακτηρισμός συμμετρικών πινάκων 3.Δεύτερες μερικές παράγωγοι-εσσιανός πίνακας 4.Συνθήκες για ακρότατα 5.Κυρτές/κοίλες συναρτήσεις 6.Ολικά ακρότατα
Διαβάστε περισσότεραΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014
ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 2 Μεγιστικός τελέστης στην μπάλα 2 2.1 Βασικό θεώρημα........................ 2 2.2 Γενική περίπτωση μπάλας.................. 6 2.2.1 Στο
Διαβάστε περισσότεραΕργαστήριο Δημογραφικών & Κοινωνικών Αναλύσεων
ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΤΑΣΙΜΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΘΕΡΟΥ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ (ΕΛΕΥΘΕΡΙΑ ΑΝΔΡΟΥΛΑΚΗ) Η εξέταση των πολύπλοκων δεσμών που συνδέουν τα δημογραφικά φαινόμενα με τους πληθυσμούς από τους οποίους προέρχονται και τους οποίους
Διαβάστε περισσότεραρ. Ευστρατία Μούρτου
ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : - ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευστρατία Μούρτου
Διαβάστε περισσότεραΕλλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων
Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί
Διαβάστε περισσότεραII.7 ΕΣΣΙΑΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ
II.7 ΕΣΣΙΑΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ.Τετραγωνικές μορφές.χαρακτηρισμός συμμετρικών πινάκων 3.Δεύτερες μερικές παράγωγοι-εσσιανός πίνακας 4.Κυρτές/κοίλες συναρτήσεις 5.Σταθμικές περιοχές κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Παραβολική
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες
Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 14 Μαρτίου /34
Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 14 Μαρτίου 018 1/34 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Εχουμε δει εκτενώς μέχρι τώρα τρόπους εκτίμησης
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα
Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Ορισμός τυχαίας μεταβλητής Τυχαία μεταβλητή λέγεται η συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΑπλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017
Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Εισαγωγή Η ανάλυση παλινδρόμησης περιλαμβάνει το σύνολο των μεθόδων της στατιστικής που αναφέρονται σε ποσοτικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητών Πρότυπα παλινδρόμησης
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : ,
Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η :1-0-017, 3-0-017 Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Σκοπός του μαθήματος Η παρουσίαση
Διαβάστε περισσότεραΓραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Προϋποθέσεις Εφαρμογής
Διαβάστε περισσότεραΕξαιτίας της συμβολής δύο κυμάτων του ίδιου πλάτους και της ίδιας συχνότητας. που διαδίδονται ταυτόχρονα στο ίδιο γραμμικό ελαστικό μέσο
ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ Τι ονομάζουμε στάσιμο κύμα f()=0.5sin() Εξαιτίας της συμβοής δύο κυμάτων του ίδιου πάτους και της ίδιας συχνότητας που διαδίδονται ταυτόχρονα στο ίδιο γραμμικό εαστικό μέσο με αντίθετη φορά,
Διαβάστε περισσότεραΕργαστήριο Δημογραφικών & Κοινωνικών Αναλύσεων
Το κείμενο που ακολουθεί είναι απόσπασμα από το βιβλίο του Β. Κοτζαμάνη, Στοιχεία Δημογραφίας, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Θεσσαλίας, Βόλος, 9, σσ. 95-99. IV.5 Υποδείγματα πληθυσμού: στάσιμος και σταθερός
Διαβάστε περισσότεραΑνάκτηση Πληροφορίας
Το Πιθανοκρατικό Μοντέλο Κλασικά Μοντέλα Ανάκτησης Τρία είναι τα, λεγόμενα, κλασικά μοντέλα ανάκτησης: Λογικό (Boolean) που βασίζεται στη Θεωρία Συνόλων Διανυσματικό (Vector) που βασίζεται στη Γραμμική
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ
ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται
Διαβάστε περισσότεραΔιμεταβλητές κατανομές πιθανοτήτων
Διμεταβλητές κατανομές πιθανοτήτων Για να περιγράψουμε την σχέση ανάμεσα σε δύο τυχαίες μεταβλητές χρειαζόμαστε την κοινή κατανομή πιθανοτήτων τους. Η κοινή συνάρτηση πιθανότητ ικανοποιε ί τις συνθ ήκες
Διαβάστε περισσότεραVol. 34 ( 2014 ) No. 4. J. of Math. (PRC) : A : (2014) Frank-Wolfe [7],. Frank-Wolfe, ( ).
Vol. 4 ( 214 ) No. 4 J. of Math. (PRC) 1,2, 1 (1., 472) (2., 714) :.,.,,,..,. : ; ; ; MR(21) : 9B2 : : A : 255-7797(214)4-759-7 1,,,,, [1 ].,, [4 6],, Frank-Wolfe, Frank-Wolfe [7],.,,.,,,., UE,, UE. O-D,,,,,
Διαβάστε περισσότεραΥ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n..
Μέτρα Κινδύνου για Δίτιμα Κατηγορικά Δεδομένα Σε αυτή την ενότητα θα ορίσουμε δείκτες μέτρησης του κινδύνου εμφάνισης μίας νόσου όταν έχουμε δίτιμες κατηγορικές μεταβλητές. Στην πιο απλή περίπτωση μας
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Μηχανικών Παραγωγής και Διοίκησης Χειμερινό Διδάσκων: Καθηγητής Παντελής Ν. Μπότσαρης Εργαστήρια/Ασκήσεις: Δρ.
ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής και Διοίκησης Χειμερινό 2016 2017 Διδάσκων: Καθηγητής Παντελής Ν. Μπότσαρης Εργαστήρια/Ασκήσεις: Δρ. Πέτρος Πιστοφίδης Εισαγωγή
Διαβάστε περισσότερα3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex
3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x
Διαβάστε περισσότεραΧΡΟΝΟΙ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΜΕΧΡΙ ΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ ΤΡΙΤΙΜΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ
Ελληνικό Στατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά 8 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιστικής (5) σελ.97-33 ΧΡΟΝΟΙ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΜΕΧΡΙ ΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ ΤΡΙΤΙΜΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ Σ. Μπερσίμης
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι
Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο
Διαβάστε περισσότερα