3Τοπολογικοί διανυσματικοί χώροι. y A, για κάθε λ [ 0,1]

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "3Τοπολογικοί διανυσματικοί χώροι. y A, για κάθε λ [ 0,1]"

Transcript

1 20 3Τοποογικοί διανυσματικοί χώροι 3. Βασικές έννοιες και ορισμοί. Έστω διανυσματικός χώρος υπεράνω του σώματος K ( K Rή C) = και A. (α) Το A έγεται κυρτό αν, για κάθε x, y A, για κάθε [ 0,] ισχύει ότι ( ) x+ y A. (β) Το A έγεται ισορροπημένο αν, για κάθε x A για κάθε K με ισχύει ότι x A, δηαδή A= A. Η κυρτή θήκη c( A ) ενός συνόου ορίζεται ως η τομή όων των κυρτών υποσυνόων του που περιέχουν το A. Ανάογα ορίζεται και η ισορροπημένη θήκη b( A ) του A. Οι ορισμοί αυτοί δικαιοογούνται από την παρατήρηση 3.. (2) πιο κάτω. (γ) Το A έγεται απορροφούν αν για κάθε x υπάρχει > 0 ώστε, t R και 0 x t tx A Παρατηρήσεις 3.. Δεν είναι δύσκοο να αποδειχθούν οι ακόουθες ιδιότητες για τις έννοιες που ορίσαμε παραπάνω. ) Αν A, B είναι κυρτά ( αντιστοίχως ισορροπημένα ) υποσύνοα του και κ, K τότε και το κ A+ B είναι κυρτό ( αντιστοίχως ισορροπημένο). 2) Η τομή μιας οικογένειας κυρτών ( αντιστοίχως ισορροπημένων ) συνόων είναι κυρτό ( αντιστοίχως ισορροπημένο ) σύνοο. Εξάου η ένωση μιας οικογένειας ισορροπημένων συνόων είναι ισορροπημένο σύνοο. 3) Αν A είναι απορροφούν σύνοο τότε 0 A και A x =, θα διαπιστώσουμε σύντομα ότι οι περιοχές του 0 σε ένα τοποογικό διανυσματικό χώρο είναι απορροφούσες. Από την άη μεριά ένα απορροφούν υποσύνοο A περιέχει σε κάθε διεύθυνση 0 x ένα διάστημα [ x, x],( 0) x x x >. Παρατηρούμε ακόμη ότι η τομή πεπερασμένου πήθους απορροφούντων συνόων είναι απορροφούν σύνοο. 4) Αν A, ισορροπημένο τότε 0 A και A= A. Επίσης ισχύουν τα ακόουθα: (α) Αν, µ K ώστε µ τότε A µ A και άρα A= A, R.

2 2 (β) Η κυρτή θήκη c( A ) είναι ισορροπημένο σύνοο. Παράδειγμα. ) Αν = C ( ένας μιγαδικός διανυσματικός χώρος διάστασης ίσης με ) τότε τα ισορροπημένα υποσύνοα του είναι το, το C και κάθε δίσκος ( ανοικτός ή 2 κειστός ) με κέντρο το 0. Αν = R ( ένας διανυσματικός χώρος διάστασης ίσης με 2 επί του R ) τότε υπάρχουν πού περισσότερα ισορροπημένα σύνοα. Για παράδειγμα, κάθε ευθύγραμμο τμήμα που έχει μέσο το( 0,0 ) ή κάθε ευθεία που διέρχεται από το ( 0,0 ), ή ακόμη κάθε κυρτή γωνία μαζί με την κατακορυφήν γωνία της ( με κορυφή στο ( 0,0 ) ) είναι ισορροπημένα σύνοα. 2) Αν( X, ) χώρος με νόρμα τότε για κάθε ε > 0 η ανοικτή ( αντιστοίχως κειστή ) σφαίρα B( x, ε ) ( αντιστοίχως B( x, ε) ) είναι κυρτό υποσύνοο του X. Οι σφαίρες B( 0, ε ) και B( 0, ε) είναι επιπέον ισορροπημένα και απορροφούντα υποσύνοα του X. Ορισμός 3..2 Έστω διανυσματικός χώρος επί του σώματος K. Υποθέτουμε ότι Τ είναι μια τοποογία επί του ώστε: (ι) Η πράξη της πρόσθεσης : (, ) (ιι) Η πράξη του βαθμωτού ποαπασιασμού (, ) K x x είναι συνεχής. + x y x+ y είναι συνεχής και ( Ο και ο K, θεωρούνται βέβαια με τις αντίστοιχες τοποογίες γινόμενο ). Κάτω από αυτές τις συνθήκες έμε ότι η τοποογία Τ είναι συμβατή με τη δομή του διανυσματικού χώρου και ο (, Τ ) ( ή για απότητα ο ) είναι ένας τοποογικός διανυσματικός χώρος ( τ.δ.χ. ) ή ένας τοποογικός γραμμικός χώρος (τ.γ.χ. ). Παρατηρήσεις 3..3 ) Για κάθε και κάθε ( ) K με 0, οι απεικονίσεις τ : : τ x = + x ο τεεστής της μεταφοράς, ( ) σ : : σ x = x είναι ομοιομορφισμοί του επί του. Ακόμη σημειώνουμε ότι, τ ( Άσκηση) = τ και σ = σ

3 22 2) Από την προηγούμενη παρατήρηση έπεται αμέσως ότι τοποογία ενός τ.δ.χ. είναι πήρως ορισμένη, αν γνωρίζουμε μια βάση περιοχών Β του 0, διότι τότε η { : } x+β= x+ V V Β είναι βάση περιοχών του x. Πρόταση 3..4 Έστω τ.δ.χ. τότε ισχύουν: (ι) x+ A= x+ A, x, A. A = A K A. (ιι) ( ),, 0, (ιιι) A+ B A+ B, A, B. (ιν) Αν, A, G O (ν) ( ) O με G ανοικτό τότε A+ G ανοικτό στον. A + B A+ B. (νι) Αν A τότε A= { A+ G : G ανοικτό και 0 G}. (νιι) Αν Y διανυσματικός υπόχωρος του τότε και ο Y είναι διανυσματικός υπόχωρος του. (νιιι) Αν το A είναι ισορροπημένο τότε και το A είναι ισορροπημένο. (ιx) Αν το A είναι ισορροπημένο και 0 A τότε και το (x) Αν το A είναι κυρτό τότε και τα η c( A ) είναι ανοικτό σύνοο A είναι ισορροπημένο. A και A είναι κυρτά. Αν το A είναι ανοικτό τότε (xι) Αν το A είναι ανοικτό ( και κυρτό ) και 0 A, τότε υπάρχει ανοικτό ισορροπημένο ( και κυρτό ) C ώστε 0 C A. Απόδειξη Αποδεικνύουμε ενδεικτικά κάποιους από τους ισχυρισμούς της πρότασης και τους υπόοιπους τους αφήνουμε ως άσκηση. (ιιι) Επειδή η πρόσθεση : (, ) (, ) έχουμε. f x y f x y = x+ y είναι συνεχής θα A+ B = f ( A B) = f ( A B) f ( A B) = A+ B (ιν) A+ G= { x+ G : x A}. Επειδή κάθε x+ G είναι ανοικτό ( ο τεεστής της μεταφοράς τ x είναι ομοιομορφισμός ) έπεται το συμπέρασμα.

4 23 (νιιι) Έστω, τότε από την (ιι) έχουμε A= A. Εφόσον το A είναι ισορροπημένο έπεται ότι A= A A. (ι x) Έστω με 0 ομοιομορφισμός και το. Επειδή η απεικόνιση : : ( ) σ σ x = x είναι A είναι μη κενό αφού 0 A, έπεται ότι ( ) A = A A Επειδή το 0 Α 0 έπεται ότι A A ακόμη και αν =0. ( x ) Αποδεικνύουμε το δεύτερο μέρος του ισχυρισμού. Υποθέτουμε ότι το A είναι ανοικτό σύνοο. Έστω x x x c( A) x x A και = , όπου,..., i 0, =. Υποθέτουμε ότι > 0. Αν V είναι ανοικτή περιοχή του x ώστε V A τότε το ανοικτό σύνοο U = V + ( 2x x) περιέχεται προφανώς στην c( A ) και x U. Επομένως ή c( A ) είναι ανοικτό σύνοο. ( xι) Από την συνέχεια του βαθμωτού ποαπασιασμού στο ( 0, 0 ) υπάρχουν G ανοικτό με 0 G και δ > 0, ώστε G A για κάθε (προφανώς H ανοικτό και 0 H ) και C = K με δ θέτομε H H. Πρέπει να είναι σαφές ότι το C = δg είναι ανοικτό και ισορροπημένο σύνοο και άρα 0 C A. ( Το C είναι η ισορροπημένη θήκη του H ) Ας υποθέσουμε τώρα ότι το A είναι επί πέον και κυρτό. Θέτουμε L c( C) =, επειδή το A κυρτό το L A. Από την Παρατήρηση 3..(4) το L είναι ισορροπημένο και από τον ισχυρισμό ( x) είναι ανοικτό ( και κυρτό ) σύνοο. Θεώρημα 3..5 Έστω τ.δ.χ. Τότε υπάρχει μια βάση περιοχών Β του 0 τέτοια ώστε: (ι) ΚάθεU Β είναι ( κειστό) ισορροπημένο και απορροφούν. (ιι) Για κάθε U Βυπάρχει W Β: W + W U. (ιιι) Αν U Β και K, 0, τότε U Β. Απόδειξη Παρατηρούμε καταρχήν ότι κάθε περιοχή V του 0 είναι απορροφούν σύνοο. Έστω x 0 ( στο K και άρα ) στο 0 K, επειδή η απεικόνιση ϕ : K ϕ( x) = x0 είναι συνεχής και ( ) ϕ 0 = 0, υπάρχει δ > 0 ώστε K και δ ϕ( ) = x0 V ( Ουσιαστικά εδώ ταυτίζουμε τον χώρο K με τον χώρο K { x 0 }.)

5 24 Από τον ισχυρισμό ( xι) της πρότασης 3..4 συμπεραίνουμε αμέσως ότι οι ισορροπημένες και απορροφούσες περιοχές του 0 συνιστούν μια βάση περιοχών έστω Β του 0. Είναι τώρα σαφές ότι από την συνέχεια της πρόσθεσης στο ( 0,0 ) ισχύει η (ιι) και από το γεγονός ότι ο τεεστής σ : είναι ομοιομορφισμός έπεται η (ιιι). Σημειώνουμε ότι μπορούμε να υποθέσουμε ότι κάθε μέος της Β είναι κειστό σύνοο. Πράγματι, έστωu Β, θα δείξουμε ότι υπάρχει μια κειστή και ισορροπημένη περιοχή του 0 που περιέχεται στηνu. ΈστωW Β ώστεw + W U, τότε ισχύει ότιw U. Για να το αποδείξουμε θεωρούμε x W, τότε( x+ W) W. Έστω y, ώστε y x+ W και y W, τότε έχομε ότι, x+ y x+ W και άρα, x x+ W y ( x+ W) ( x+ W) = W W = W + W U. (W = W, αφού το W είναι ισορροπημένο σύνοο ). Έπεται προφανώς ότι η Β ' = { W : W } Β είναι μια βάση κειστών ισορροπημένων περιοχών του 0 που ικανοποιεί τους ισχυρισμούς (ιι) και (ιιι). Πρόταση 3..6 Έστω τ.δ.χ.. Τα ακόουθα είναι ισοδύναμα: (ι) Ο είναι Husdrff. (ιι) Το { 0 } είναι κειστό ( άρα τα μονοσύνοα του είναι κειστά ). (ιιι) Ισχύει ότι, { 0 } = { U : U περιοχή του 0 } Απόδειξη (ι) (ιι). Σε κάθε χώρο Husdrff τα μονοσύνοα είναι κειστά. (ιι) (ιιι) Το σύνοο \{ 0} είναι ανοικτό, άρα αν x 0τότε υπάρχει V περιοχή του x της μορφής V = x+ W, για κάποια ισορροπημένη περιοχή W του 0, ώστε V \{ 0} και άρα 0 V= x+ W. Έπεται ότι x x+ x+ W = W το οποίο σημαίνει ότι x W. Έτσι συμπεραίνουμε ότι το x δεν μπορεί να ανήκει στην τομή όων των περιοχών του 0, συνεπώς η τομή αυτή ισούται αναγκαία με το { 0 }. (ιιι) (ι). Έστω x, y με x y. Τότε υπάρχει περιοχή U του 0 ώστε x y U. Έστω W ισορροπημένη περιοχή του 0 ώστε W + W U. Τότε ισχύει ότι ( x W) ( y W) x y= ( z y) ( z x) W W = W + W U, άτοπο. + + =. Πράγματι, αν υπήρχε z ώστε z x+ W και z y+ W, τότε Παρατηρήσεις ) Έστω Husdrff τ.δ.χ. Έπεται τότε από το θεώρημα 3..5 ότι ο είναι κανονικός ( δηαδή T 3 ) τοποογικός χώρος, αφού σε κάθε σημείο x έχει μια βάση περιοχών που αποτεείται από κειστά σύνοα. Επιπροσθέτως μπορεί να αποδειχθεί

6 25 ότι κάθε Husdrff τ.δ.χ. είναι τεείως κανονικός ( T ). ( Πρβ. το βιβίο [Μ], θεώρημα , σείδα 74) 2) Έστω ( Husdrff ) τ.δ.χ., ( x) αποδεικνύεται, εύκοα ότι, ένα δίκτυο στον και x. Τότε x x x x 0. Παραδείγματα ) Έστω (, ) χώρος με νόρμα. Τότε ο με την τοποογία που ορίζει η νόρμα ( μετρικοποιήσιμη τοποογία ) είναι ένας Husdrff τοποογικός διανυσματικός χώρος. Πράγματι, έστω ( ) ( x, y) ώστε (, ) (, ) πρόσθεση του χώρου είναι συνεχής. Έστω ( x) (, x ) (, x) x y x y x x και y,,, ακοουθία στον K x, y,, ακοουθία στον και και ( ) και x x x y x + y x+ y. Άρα η, x K ώστε x. Έτσι και ο βαθμωτός ποαπασιασμός είναι συνεχής και ο (, ) είναι τ.δ.χ. 2) Έστω N = R =ο χώρος των ακοουθιών πραγματικών αριθμών με την τοποογία γινόμενο ( τοποογία της σύγκισης κατά σημείο ) T. Τότε ο (, T ) είναι τ.δ.χ. Husdrff. Πράγματι, καταρχήν η τοποογία γινόμενο T στον είναι μετρικοποιήσιμη και μια συγκίνει στην f ως προςt αν και μόνο αν η ( f ) συγκίνει ακοουθία ( f) στην f κατά σημείο ( επί του N ) δηαδή f( k) f ( k), k N. Έστω ( ) ακοουθία στον και ( f, g) ώστε ( f, g ) ( f, g) f, g, στον τοποογικό χώρο, τότε f f και g g κατά σημείο και επομένως f + g f + g κατά σημείο. Έπεται ότι η πρόσθεση στον χώρο είναι συνεχής συνάρτηση. Ανάογα αποδεικνύεται ότι και ο βαθμωτός ποαπασιασμός στον χώρο είναι συνεχής συνάρτηση και ο χώρος (, T ) είναι τ.δ.χ. Σημειώνουμε ότι όπως θα αποδείξουμε αργότερα η τοποογία T του χώρου δεν επάγεται από μια νόρμα. 3) Έστω ένας ( μη τετριμμένος ) διανυσματικός χώρος επί του σώματος K. Τότε η τοποογία T {, } = είναι συμβατή με τη διανυσματική δομή του και επομένως κάνει τον έναν τ.δ.χ., αά βέβαια δεν είναι Husdrff. Από την άη μεριά η διακριτή τοποογία T P( ) = ( κάθε υποσύνοο του θεωρείται ως ανοικτό) δεν είναι συμβατή με τη διανυσματική δομή του. Πράγματι, ας υποθέσουμε

7 26 ότι ο (, ) T είναι ένας τ.δ.χ., θεωρούμε ένα x με x 0, τότε από το πόρισμα 3..2 παρακάτω η απεικόνιση K x είναι ένας ομοιομορφισμός ( η διακριτή τοποογία είναι Husdrff ), επομένως το σώμα K ( = Rή C) θα ήταν ομοιομορφικό με έναν υπόχωρο του και η τοποογία του K θα ήταν διακριτή, άτοπο. 4) Έστω (, T) τ.δ.χ.. Τότε κάθε διανυσματικός υπόχωρος F του είναι με την σχετική τοποογία που επάγεται από τον (, T ) είναι τ.δ.χ.. 5) Έστω ( ) = i I i i i οικογένεια τ.δ.χ. επί του ιδίου σώματος K. Τότε το καρτεσιανό γινόμενο I είναι ( όπως εύκοα αποδεικνύεται ) με την τοποογία γινόμενο και τις συνήθεις κατά συντεταγμένες πράξεις ένας τ.δ.χ. επί του K. Ιδιαίτερα ο K, είναι με την τοποογία γινόμενο ένας τ.δ.χ.. Η τοποογία γινόμενο βέβαια συμπίπτει με την τοποογία της ( οποιαδήποτε ) νόρμας επί του K ( γιατί; ). Στο εξής θα υποθέτομε ότι όοι οι τοποογικοί γραμμικοί χώροι που θεωρούμε είναι Husdrff. Πρόταση 3..9 Έστω, F τ.δ.χ. και T : F γραμμική απεικόνιση. Τα ακόουθα είναι ισοδύναμα: (ι) Η T είναι συνεχής. (ιι) Η T είναι συνεχής σε κάποιο x0 (ιιι) Η T είναι συνεχής στο 0. Απόδειξη. (ι) (ιι) Προφανές. (ιι) (ιιι) Έστω V περιοχή του 0 F. Τότε το T( x0) + V είναι περιοχή του T( x 0) και συνεπώς υπάρχει U περιοχή του 0 ώστε T( x + U) = T( x ) + T( U) T( x ) + V, συνεπώς, T( U) (ιιι) (ι) Έστω x0 τέτοια ώστε T( U) V και άρα η T είναι συνεχής στο 0. Άρα η T είναι συνεχής στο τυχόν x και V περιοχή του 0 F. Τότε υπάρχει περιοχή του U του 0 V, οπότε T( x ) T( U) T( x ) V + + ή ( ) ( ) 0 0 T x + U T x + V. 0 0, και έτσι είναι συνεχής επί του χώρου. Πρόταση 3..0 Έστω τ.δ.χ. και f : K γραμμικό συναρτησοειδές. Τότε οι ακόουθοι ισχυρισμοί είναι ισοδύναμοι: (ι) Το f είναι συνεχής συνάρτηση. (ιι) Το f είναι συνεχής συνάρτηση στο 0.

8 27 (ιιι) Το f είναι φραγμένο σε μια περιοχή του 0 ( δηαδή υπάρχει U περιοχή του 0 : ( ) f U φραγμένο υποσύνοο του K). (ιν) Ο Kerf είναι κειστός υπόχωρος του. (ν) Ο Kerf δεν είναι γνήσιος πυκνός υπόχωρος του. Απόδειξη Η πρόταση ισχύει κατά τρόπο τετριμμένο αν το f είναι η σταθερά συνάρτηση μηδέν. Έτσι υποθέτομε ότι f 0. Η ισοδυναμία των (ι) και (ιι) έπεται από την πρόταση (ιι) (ιιι) Εφόσον το f είναι συνεχής συνάρτηση στο 0 υπάρχει περιοχή U του 0 ώστε f ( U) ( 0, ) { z K : z } Β = <, δηαδή, ( ), f x < x U. (ιιι) (ιι) Έστω ότι υπάρχουν M > 0 και μια περιοχή U του 0 ώστε ε f ( x) < M, x U. Αν ε > 0, τότε f x < ε, x U M άρα το f είναι συνεχής συνάρτηση στο 0. ε M Β ή f U ( 0, ε) Έτσι οι ισχυρισμοί (ι)-(ιιι) είναι ισοδύναμοι. Επίσης είναι σαφές ότι (ι) (ιν) (ν). Αρκεί να αποδείξουμε ότι, (ν) (ιιι) Θέτομε H του, υπάρχουν x0, και = Kerf, τότε H. Επειδή το υπερεπίπεδο H δεν είναι πυκνό υποσύνοο ( x + U) H =. Τότε ( ) 0 και μια ανοικτή ισορροπημένη περιοχή U του 0 ώστε f x και χωρίς απώεια της γενικότητας μπορούμε να 0 0 υποθέσουμε ότι f ( x 0) =. Επειδή το U είναι ισορροπημένο προκύπτει εύκοα ότι f ( x) <, x U. y = f ( x). Τότε f ( y ) = U, διότι το U είναι ισορροπημένο. Επομένως, f ( x + y) = f ( x ) + f ( y) =, ( Πράγματι, έστω x και y U τέτοιο ώστε f ( x ). Θέτομε x οπότε x 0 + y H, άτοπο, εφόσον x 0 + y x 0 + U ). Συνεπώς το f είναι φραγμένο στην περιοχή U του 0. Πόρισμα 3... Έστω τ.δ.χ.. Τότε κάθε υπερεπίπεδο H του είναι είτε κειστό στον ή πυκνό στον. Απόδειξη Έστω f : K γραμμικό συναρτησοειδές με Kerf = H. Από την προηγούμενη πρόταση έχουμε αμέσως το συμπέρασμα. ( Υπενθυμίζουμε ότι ένα γραμμικό συναρτησοειδές με Kerf θέτομε f ( x) f ( y ) = H ορίζεται ως εξής: Αν \ H τότε = H και έτσι = + =, όπου x = y+ με y H και K ).

9

3Τοπολογικοί διανυσματικοί χώροι. y A, για κάθε λ [ 0,1]

3Τοπολογικοί διανυσματικοί χώροι. y A, για κάθε λ [ 0,1] 0 3Τοποογικοί διανυσματικοί χώροι 3. Βασικές έννοιες και ορισμοί. Έστω E διανυσματικός χώρος υπεράνω του σώματος K ( K Rή C) = και A E. (α) Το A έγεται κυρτό αν, για κάθε x, y A, για κάθε [ 0,] ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

3.5 Το θεώρημα Hahn-Banach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους.

3.5 Το θεώρημα Hahn-Banach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους. 7 3.5 Το θεώρημα Hah-Baach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους. Εξετάζουμε καταρχήν τη σχέση μεταξύ ενός μιγαδικού διανυσματικού χώρου E και του υποκείμενου πραγματικού χώρου E R. Έστω E μιγαδικός διανυσματικός

Διαβάστε περισσότερα

4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα. 4.1 θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldstine.

4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα. 4.1 θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldstine. 8 Έστω (, ) 4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα 4. θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldste. χώρος με νόρμα. Υπενθυμίζουμε ότι η ασθενής τοπολογία T του έχει ως βάση ( ανοικτών ) περιοχών του όλα τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές.

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές. 6 ι3.4 Παραδείγματα Στην παράγραφο αυτή θα μελετήσουμε κάποια σημαντικά παραδείγματα, για τις εφαρμογές, χώρων συναρτήσεων οι οποίοι είναι τοπικά κυρτοί και μετρικοποιήσιμοι αλλά η τοπολογία τους δεν επάγεται

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις. και. για κάποιο k n. ( ) BdΚ και επί πλέον το BdΚ είναι ακραίο. [Υπόδειξη Πρβλ. την άσκηση 11 της παραγράφου 3.1 για το (α)].

Ασκήσεις. και. για κάποιο k n. ( ) BdΚ και επί πλέον το BdΚ είναι ακραίο. [Υπόδειξη Πρβλ. την άσκηση 11 της παραγράφου 3.1 για το (α)]. 3 Ασκήσεις ) Έστω διανυσματικός χώρος, C κυρτό και C. (α) Αποδείξτε ότι τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (ι) e( C) = +,(ιι), = = και (ιιι) Το σύνολο C \{ } είναι κυρτό. (β) Επίσης αποδείξτε ότι αν e( C) και

Διαβάστε περισσότερα

1 Χώροι πηλίκα { } x = y x y Y. Με τις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού που ορίζονται με τον

1 Χώροι πηλίκα { } x = y x y Y. Με τις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού που ορίζονται με τον Χώροι πηλίκα Έστω διανυσματικός χώρος και Y διανυσματικός υπόχωρος του. Για κάθε θεωρούμε το σύμπλοκο σχετικά με τον Y, = + y y Y = + Y ορ { : } δηλαδή το είναι η παράλληλη μεταφορά του Y κατά το διάνυσμα.

Διαβάστε περισσότερα

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y.

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y. 2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. Έστω (, ) και (, ) {( x, ) : x και } χώροι με νόρμα. Τότε ο διανυσματικός χώρος = ( με τις συνήθεις κατά σημείο πράξεις ) γίνεται χώρος με

Διαβάστε περισσότερα

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y.

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y. 2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. Έστω ( X, ) και (, ) X Y {( x, ) : x X και Y} Y χώροι με νόρμα. Τότε ο διανυσματικός χώρος = ( με τις συνήθεις κατά σημείο πράξεις ) γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

π B = B και άρα η π είναι ανοικτή απεικόνιση.

π B = B και άρα η π είναι ανοικτή απεικόνιση. 3 Παράρτημα 2 Παρατηρήσεις, ασκήσεις και Διορθώσεις Παράγραφος ) Σελίδα, : Παρατηρούμε τα ακόλουθα για το χώρο πηλίκο / Y : Y = / Y και (α) { } (β) = Y / Y { } Επίσης από τον τύπο () έπεται ιδιαίτερα ότι

Διαβάστε περισσότερα

Κ X κυρτό σύνολο. Ένα σημείο x Κ

Κ X κυρτό σύνολο. Ένα σημείο x Κ 8 5 Το θεώρημα Kre-Mlm Βασικές ιδιότητες συμπαγών και κυρτών συνόλων. Ορισμός 5. Έστω X διανυσματικός χώρος και Κ X κυρτό σύνολο. Ένα σημείο x Κ λέγεται ακραίο ( extreme ) σημείο του Κ, αν δεν είναι γνήσιος

Διαβάστε περισσότερα

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι 36 6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι Έστω R διάστημα και f : R συνεχής συνάρτηση τότε, όπως γνωρίζουμε από τον Απειροστικό Λογισμό, η f έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσου τιμής. Η ιδιότητα αυτή δεν εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη 94 Ένας χώρος με νόρμα (, ( ( ( ϕ : : ϕ =, ( 4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια λέγεται αυτοπαθής ( refleive, αν η κανονική εμφύτευση,, είναι επί του, δηλαδή ϕ =. Παρατηρούμε ότι ένας αυτοπαθής χώρος

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη 94 Ένας χώρος με νόρμα (, ( ( ( ϕ : : ϕ =, ( 4. Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια λέγεται αυτοπαθής ( refleive, αν η κανονική εμφύτευση,, είναι επί του, δηλαδή ϕ =. Παρατηρούμε ότι ένας αυτοπαθής χώρος

Διαβάστε περισσότερα

Ακολουθίες στον R n. ακολουθία διανυσµάτων στον. 1 1 ακολουθία στον 2 k. εφόσον 1+ e. k + R δεν είναι συγκλίνουσα. Πράγµατι αν

Ακολουθίες στον R n. ακολουθία διανυσµάτων στον. 1 1 ακολουθία στον 2 k. εφόσον 1+ e. k + R δεν είναι συγκλίνουσα. Πράγµατι αν Ακοουθίες στον.4. Ορισµός Έστω ( ) ακοουθία διανυσµάτων στον 9, θα έµε ότι η ακοουθία ( ) συγκίνει στο θα γράφουµε, li = ή αν η ακοουθία πραγµατικών 0 Ισοδύναµα: li ( ε) + 0 0 : 0 = για κάθε ε > 0 υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισαγάγουµε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο που θα παίξει σηµαντικό ρόλο στα επόµενα κεφάλαια.

Κεφάλαιο 1. Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισαγάγουµε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο που θα παίξει σηµαντικό ρόλο στα επόµενα κεφάλαια. Κεφάαιο Πρότυπα Στο κεφάαιο αυτό εισαγάγουµε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύιο που θα παίξει σηµαντικό ρόο στα επόµενα κεφάαια Στις σηµειώσεις αυτές όοι οι δακτύιοι περιέχουν µοναδιαίο στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

x y x z για κάθε x, y, . Ένας δακτύλιος R καλείται μεταθετικός αν

x y x z για κάθε x, y, . Ένας δακτύλιος R καλείται μεταθετικός αν ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα Στο κεφάαιο αυτό θα υπενθυμίσουμε τις βασικές έννοιες που αφορούν πρότυπα πάνω από ένα δακτύιο Θα περιοριστούμε στα πέον απαραίτητα για αυτά που ακοουθούν στα άα κεφάαια Η κατευθυντήρια

Διαβάστε περισσότερα

f I X i I f i X, για κάθεi I.

f I X i I f i X, για κάθεi I. 47 2 Πράξεις σε τοπολογικούς χώρους 2. Η τοπολογία γινόμενο Σε προηγούμενη παράγραφο ορίσαμε την τοπολογία γινόμενο στο καρτεσιανό γινόμενο Y δύο τοπολογικών χώρων Y, ( παράδειγμα.33 () ). Στην παρούσα

Διαβάστε περισσότερα

ή κανονικός ( regular ), αν για κάθε x και κάθε κλειστό αντιπαραδείγματα με τα οποία αποδεικνύεται ότι οι αντίστροφες συνεπαγωγές δεν ισχύουν.

ή κανονικός ( regular ), αν για κάθε x και κάθε κλειστό αντιπαραδείγματα με τα οποία αποδεικνύεται ότι οι αντίστροφες συνεπαγωγές δεν ισχύουν. 93 4 Διαχωριστικά αξιώματα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε τα λεγόμενα διαχωριστικά αξιώματα και εξετάζουμε τις βασικές ιδιότητές τους. Ένα από αυτά το έχουμε ήδη εισαγάγει δηλαδή το αξίωμα Husdorff ( ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος 73 3. Συμπαγείς χώροι 3. Συμπαγείς χώροι και βασικές ιδιότητες Οι συμπαγείς χώροι είναι μια από τις πιο σημαντικές κλάσεις τοπολογικών χώρων. Η κλάση των συμπαγών χώρων περιλαμβάνει τα κλειστά διαστήματα,b

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό Κεφάαιο 3 Εεύθερα Πρότυπα 3.1 Εεύθερα Πρότυπα Έστω Μ ένα R-πρότυπο. Μια οικογένεια Μ αν ) το σύνοο { Λ} τρόπο ως άθροισµα της µορφής πεπερασµένο πήθος από τα ( e ) στοιχείων του Μ καείται βάση του e παράγει

Διαβάστε περισσότερα

Ας ξεκινήσουμε υπενθυμίζοντας τον ορισμό της συνέχειας σε μετρικούς χώρους. διατυπώνεται και με τον ακόλουθο τρόπο: για κάθε σφαίρα

Ας ξεκινήσουμε υπενθυμίζοντας τον ορισμό της συνέχειας σε μετρικούς χώρους. διατυπώνεται και με τον ακόλουθο τρόπο: για κάθε σφαίρα 33.4.Συνεχείς συναρτήσεις Η έννοια της συνεχούς συνάρτησης είναι θεμελιώδης και μελετάται κατ αρχήν για συναρτήσεις μιας και κατόπιν δύο ή περισσότερων μεταβλητών στα μαθήματα του Απειροστικού Λογισμού.

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνες παραγώγισης ( )

Κανόνες παραγώγισης ( ) 66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι διάστηµα και f : Ι συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f ( Ι )

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι R διάστηµα και f : Ι R συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f (

Διαβάστε περισσότερα

Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysohn, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν

Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysohn, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν 3 4.3 Τελείως κανονικοί χώροι ( ). 3 2 Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysoh, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν κανονικός χώρος, x και κλειστό ώστε x. Υπάρχει τότε συνεχής συνάρτηση f :, ώστε

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Η έννοια του ϕάσµατος. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Η έννοια του ϕάσµατος. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Η έννοια του ϕάσµατος Αριστείδης Κατάβοος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

V x, y W x, y, y συνιστούν προφανώς ένα ανοικτό

V x, y W x, y, y συνιστούν προφανώς ένα ανοικτό 81 3.2 Το θεώρημα Tychooff. Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με το θεώρημα Tychooff, δηλαδή ότι ένα αυθαίρετο καρτεσιανό γινόμενο συμπαγών χώρων είναι, με την τοπολογία γινόμενο, συμπαγής χώρος. Το θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ).

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ). Κεφάλαιο 4 Συναρτήσεις μεταξύ μετρικών χώρων 4.1 Συνεχείς συναρτήσεις Εστω (X, ρ) και (Y, σ) δύο μετρικοί χώροι. Στην 2.2 δώσαμε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης f : X Y σε κάποιο σημείο x 0 X:

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Βάσεις και υποβάσεις.

1.2 Βάσεις και υποβάσεις. . Βάσεις και υποβάσεις. Το «καθήκον» του ορισμού μιας τοπολογίας διευκολύνεται αν είμαστε σε θέση να περιγράψουμε αρκετά ανοικτά σύνολα τα οποία να παραγάγουν όλα τα ανοικτά σύνολα. Ορισμός.9. Έστω X,

Διαβάστε περισσότερα

Όταν δεν υπάρχει κίνδυνος σύγχυσης γράφουμε συνήθως ο τοπολογικός χώρος X και χρησιμοποιούμε την σύντμηση τ.χ. (= τοπολογικός χώρος).

Όταν δεν υπάρχει κίνδυνος σύγχυσης γράφουμε συνήθως ο τοπολογικός χώρος X και χρησιμοποιούμε την σύντμηση τ.χ. (= τοπολογικός χώρος). 4 Τοπολογικοί χώροι. Στοιχειώδεις έννοιες της τοπολογίας Στην παράγραφο αυτή εισάγουμε τις βασικές έννοιες της τοπολογίας, δηλαδή αυτές του ανοικτού και κλειστού συνόλου, της κλειστότητας και του εσωτερικού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Στο κεφάλαιο αυτό μελετάμε δακτυλίους του Art χρησιμοποιώντας το ριζικό του Jacobso. Ως εφαρμογή αποδεικνύουμε ότι κάθε δακτύλιος του Art είναι και της Noether. 4.1. Δακτύλιοι

Διαβάστε περισσότερα

3.2 Τοπικά κυρτοί χώροι-βασικές ιδιότητες.

3.2 Τοπικά κυρτοί χώροι-βασικές ιδιότητες. 32 3.2 Τοπικά κυρτοί χώροι-βασικές ιδιότητς. Στην παράγραφο αυτή πρόκιται να ισαγάγουμ μια σημαντική, ίσως την σημαντικότρη, κλάση τοπολογικών γραμμικών χώρων. Αυτή ίναι η κλάση των τοπικά κυρτών χώρων

Διαβάστε περισσότερα

f x 0 για κάθε x και f 1

f x 0 για κάθε x και f 1 06 4.2 Το Λήμμα του Uysoh το Λήμμα της εμφύτευσης και το θεώρημα μετρικοποίησης του Uysoh. Ο κύριος στόχος αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεμελιώδους αποτελέσματος γνωστού ως το Λήμμα του Uysoh.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 2 Μεγιστικός τελέστης στην μπάλα 2 2.1 Βασικό θεώρημα........................ 2 2.2 Γενική περίπτωση μπάλας.................. 6 2.2.1 Στο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΟΡΙΣΜΟΙ Δίνεται ο πίνακας Παρατηρήστε τι γίνεται όταν ποαπασιάζουμε τον Α με το διάνυσμα u u u παίρνουμε δηαδή ένα διάνυσμα ποαπάσιο του u. Η αναζήτηση διανυσμάτων που έχουν παρόμοια

Διαβάστε περισσότερα

5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους

5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους 121 5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους Στο κεφάλαιο αυτό πρόκειται να μελετήσουμε την έννοια της σύγκλισης σε γενικούς τοπολογικούς χώρους, πέραν των μετρικών χώρων. Όπως έχουμε ήδη διαπιστώσει ( πρβλ.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Mεγιστικές συναρτήσεις/τελεστές

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Mεγιστικές συναρτήσεις/τελεστές ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Mεγιστικές συναρτήσεις/τεεστές 2 Eισαγωγή Στο κεφάαιο αυτό ορίζουµε την έννοια του µεγιστικού τεεστή και δείχνουµε τη σπουδαιότητά του όσον αφορά την απόδειξη θεωρηµάτων που σχετίζονται µε τη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΕΣ ΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΩΝ

ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΕΣ ΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΕΣ ΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΩΝ Α. Πεπερασµένες διαφορές Εστω δεδοµένος πραγµατικός αριθµός. Για τυχούσα συνάρτηση f = f() ορίζουµε ως διαφορά (πρώτης τάξης) της f() την συνάρτηση f µε f() =

Διαβάστε περισσότερα

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι 1.1 Ορισμός και παραδείγματα Ορισμός 1.1.1 μετρική). Εστω X ένα μη κενό σύνολο. Μετρική στο X λέγεται κάθε συνάρτηση ρ : X X R με τις παρακάτω ιδιότητες: i) ρx, y) για κάθε x,

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: 5. ΟΡΙΣΜΟΙ Έστω U και V δύο διανυσματικοί χώροι. Μια συνάρτηση F : U V θα λέγεται γραμμική απεικόνιση (ή ομομορφισμός, ή απλά μορφισμός εάν ικανοποιεί τις συνθήκες (i F ( u + = u + για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Δώδεκα Αποδείξεις του. Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας

Δώδεκα Αποδείξεις του. Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας Δώδεκα Αποδείξεις του Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας Mία εκδοχή της αρχικής απόδειξης του Gauss f ( z) = T ( z) + iu ( z) T = r cos φ + Ar 1 cos(( 1) φ + α) + + L cosλ U = r si φ + Ar 1 si(( 1) φ

Διαβάστε περισσότερα

Y είναι τοπολογία. Αυτή περιέχει το και

Y είναι τοπολογία. Αυτή περιέχει το και 8.3 Σχετική τοπολογία και υπόχωροι. Ορισμός.37. Έστω X, τ.χ. Αν U : U X, τότε η οικογένεια είναι μια τοπολογία στο σύνολο, η οποία ονομάζεται η σχετική ( ή επαγόμενη ) τοπολογία του. Ο χώρος, ονομάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2005

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2005 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ A στω µια συν ρτηση f, η οποία είναι ορισµ νη σε ένα κειστό δι στηµα [α, β] Αν: η f είναι συνεχής στο [α, β] και fα fβ δείξτε ότι για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΙΩ ΔΑΡΑ ΕΠΙΚΟΥΡΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΗ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΟΜΟΣ ος ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΔΙΟΤΙΜΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβίου Μαθηµατικών Προσαναταισµού Β Λυκείου. Η έννοια του διανύσµατος. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός ποαπασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβίου

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ., 1 i n, με σταθερό όρο b F και συντελεστές a i

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ., 1 i n, με σταθερό όρο b F και συντελεστές a i ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Γραμμικά συστήματα Μία εξίσωση της μορφής K () καείται γραμμική εξίσωση μεταητών i i με σταθερό όρο F και συντεεστές i F όπου το F θα είναι το σώμα των πραγματικών ή μιγαδικών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L -σύγκλιση σειρών Fourier Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0.

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0. Ασκήσεις4 46 Ασκήσεις 4 Τριγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις, Θεώρημα των Cayley-Hamilton Βασικά σημεία Ορισμός τριγωνίσιμου πίνακα, ορισμός τριγωνίσιμης γραμμικής απεικόνισης Κριτήριο τριγωνισιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

,..., v n. W πεπερασμένα παραγόμενοι και dimv. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα f είναι ισομορφιμός. f είναι 1-1. f είναι επί.

,..., v n. W πεπερασμένα παραγόμενοι και dimv. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα f είναι ισομορφιμός. f είναι 1-1. f είναι επί. Γραμμική Άλγεβρα Ι, 07-8 Ασκήσεις7: Γραμμικές Απεικονίσεις Βασικά σημεία Ορισμός και παραδείγματα γραμμικών απεικονίσεων Σύνθεση γραμμικών απεικονίσεων, ισομορφισμοί Κάθε γραμμική απεικόνιση f : V W, όπου

Διαβάστε περισσότερα

Το Θεώρημα Stone - Weierstrass

Το Θεώρημα Stone - Weierstrass Το Θεώρημα Stone - Weierstrass Θεώρημα 1 Έστω ¹ X συμπαγής χώρος Hausdorff και έστω C R (X η πραγματική άλγεβρα όλων των συνεχών συναρτήσεων f : X R. Έστω ότι ένα υποσύνολο A C R (X (1 το A είναι υπάλγεβρα

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 5 ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ/ Διανυσματικοί χώροι

ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 5 ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ/ Διανυσματικοί χώροι ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 5 ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ/009-0 Διανυσματικοί χώροι (i) Ψευδής, αφού (0,), ενώ ( ) (0,) = (0, ) (ii) Ψευδής, αφού για u= -a το σύνοο { 0,b,c} δεν είναι βάση του (iii) Ψευδής,, αφού, για παράδειγμα,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες Χρησιμοποιώντας τανυστικά γινόμενα και εφαρμόζοντας το θεώρημα των Wedderbur-Art ( 33) θα αποδείξουμε δύο θεμελιώδη θεωρήματα που αφορούν κεντρικές απλές άλγεβρες *

Διαβάστε περισσότερα

3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι Κατανομών

3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι Κατανομών . Χαρακτηριστικές Παράμετροι Κατανομών - Αναμενόμενη ή μέση τιμή μιας διακριτής τυχαίας μεταβητής. Θα ήταν αρκετά χρήσιμο να γνωρίζουμε γύρω από ποια τιμή «κυμαίνεται» η τ.μ. Χ. γύρω από την οποία «απώνεται»

Διαβάστε περισσότερα

3.3 Το συναρτησοειδές του Minkowski και μετρικοποιησιμότητα σε τοπικά κυρτούς χώρους. x y E (υποπροσθετικότητα ) ) και p( x) p( x)

3.3 Το συναρτησοειδές του Minkowski και μετρικοποιησιμότητα σε τοπικά κυρτούς χώρους. x y E (υποπροσθετικότητα ) ) και p( x) p( x) 4 3.3 Το συναρτησοιδές του Mikowski και μτρικοποιησιμότητα σ τοπικά κυρτούς χώρους. Υπνθυμίζουμ ότι αν E διανυσματικός χώρος, μια συνάρτηση : E R λέγται υπογραμμικό συναρτησοιδές αν (ι) ( λ) λ ( ) =, λ

Διαβάστε περισσότερα

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι 94 8 Πολλαπλές μερικές παράγωγοι Οι μερικές παράγωγοι,,, αν υπάρχουν, μιας συνάρτησης : U R R ( U ανοικτό ) είναι αυτές συναρτήσεις από το U στο R, επομένως μπορεί να ορισθεί για αυτές η έννοια της μερικής

Διαβάστε περισσότερα

X = {(x 1, x 2 ) x 1 + 2x 2 = 0}.

X = {(x 1, x 2 ) x 1 + 2x 2 = 0}. Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 4 Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης 26/2/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 4 26/2/2014 1 / 12 Υποσύνολα ενός διανυσματικού χώρου. Πότε είναι ένα υποσύνολο X ενός

Διαβάστε περισσότερα

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0) Όρια συναρτήσεων 5 Ορισµός Έστω, : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο Λέµε ότι η έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li ή b b αν και µόνο αν, για κάθε ε > υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ονομάζεται τότε χώρος πηλίκο. διατηρεί τα συμπληρώματα συνόλων, ένα σύνολο F είναι είναι κλειστό στον.

ονομάζεται τότε χώρος πηλίκο. διατηρεί τα συμπληρώματα συνόλων, ένα σύνολο F είναι είναι κλειστό στον. 67 2.3 Χώροι πηλίκο και τοπολογία πηλίκο Στην παρούσα παράγραφο θα δείξουμε πως μπορούμε μέσω μιας απεικόνισης ενός δεδομένου τοπολογικού χώρου επί ενός συνόλου να εισαγάγουμε τοπολογία στο σύνολο, την

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Ένας δακτύλιος είναι ένα σύνολο R εφοδιασµένο µε δύο πράξεις, + : R R και : R R R, έτσι ώστε i) ( R, + ) είναι αβελιανή οµάδα,

Ένας δακτύλιος είναι ένα σύνολο R εφοδιασµένο µε δύο πράξεις, + : R R και : R R R, έτσι ώστε i) ( R, + ) είναι αβελιανή οµάδα, ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα Στο κεφάαιο αυτό θα ασχοηθούµε µε τις βασικές έννοιες που αφορούν πρότυπα πάνω από ένα δακτύιο R Θα περιοριστούµε στα πέον απαραίτητα για αυτά που ακοουθούν στα άα κεφάαια Η κατευθυντήρια

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

βαθμού 1 με A 2. Υπολογίστε τα χαρακτηριστικά και ελάχιστα πολυώνυμα των

βαθμού 1 με A 2. Υπολογίστε τα χαρακτηριστικά και ελάχιστα πολυώνυμα των Ασκήσεις 6 Ασκήσεις Ελάχιστο Πολυώνυμο Βασικά σημεία Ορισμός ελαχίστου πολυωνύμου πίνακα και ιδιότητές του Ορισμός ελαχίστου πολυωνύμου γραμμικής απεικόνισης και ιδιότητές του Κριτήριο διαγωνισιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό θα υπενθυμίσουμε τις βασικές έννοιες που αφορούν πρότυπα πάνω από ένα δακτύλιο Θα περιοριστούμε στα πλέον απαραίτητα για αυτά που ακολουθούν στα άλλα κεφάλαια Η κατευθυντήρια

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Προαιρετικής Eργασίας Τεχνικές Εκτίμησης

Λύσεις Προαιρετικής Eργασίας Τεχνικές Εκτίμησης Λύσεις Προαιρετικής Eργασίας Τεχνικές Εκτίμησης 2010-2011 kolako@ced.upatras.gr 10 Μαρτίου 2011 Πρόβημα 1 Ερώτημα ) Έστω W S και W B ο μέσος χρόνος αναμονής στην ουρά του σταθμού S και B αντίστοιχα. Λαμβάνοντας

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - I Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 35 7 Η Κανονική Μορφή Jordan - I Στην

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάμε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων Αυτές συνδέονται μεταξύ τους με την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Κεφάλαιο 5 Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Κεφάλαιο 5 Γραμμικοί Μετασχηματισμοί 5 Γενικά Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Μία σχέση μεταξύ των στοιχείων δύο συνόλων Α,Β αντιστοιχίζει στοιχεία του Α με στοιχεία του Β άλλου μέσω ενός κανόνα που μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ορισμός Έστω U R, U και f : U R R συνάρτηση τότε: )Το λέγεται τοπικό ελάχιστο της f αν υπάρχει περιοχή V του ώστε f f για κάθε V U Το λέγεται τοπικό μέγιστο της f αν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Τρίτη, 31 Μαΐου 2005 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Τρίτη, 31 Μαΐου 2005 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 Τρίτη, Μαΐου 5 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ o A.. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κειστό διάστηµα [α, β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α, β] και f(α) f(β)

Διαβάστε περισσότερα

i=1 i=1 i=1 (x i 1, x i +1) (x 1 1, x k +1),

i=1 i=1 i=1 (x i 1, x i +1) (x 1 1, x k +1), Κεφάλαιο 6 Συμπάγεια 6.1 Ορισμός της συμπάγειας Οπως θα φανεί στην αμέσως επόμενη παράγραφο, υπάρχουν διάφοροι τρόποι με τους οποίους μπορεί κανείς να εισάγει την έννοια του συμπαγούς μετρικού χώρου. Ο

Διαβάστε περισσότερα

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι 94 8 Πολλαπλές μερικές παράγωγοι Οι μερικές παράγωγοι,,, αν υπάρχουν, μιας συνάρτησης : U R R ( U ανοικτό είναι αυτές συναρτήσεις από το U στο R, επομένως μπορεί να ορισθεί για αυτές η έννοια της μερικής

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3 Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,

Διαβάστε περισσότερα

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ .0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Έστω διανύσματα που ανήκουν στο χώρο δ i = ( a i, ai,, ai) i =,,, και έστω γραμμικός συνδυασμός των i : xδ + x δ + + x δ = b που ισούται με το διάνυσμα b,

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή )

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή ) Θεωρία Galos Πρόχειρες σημειώσεις 0- (εκδοχή -7-0) Περιεχόμενα 0 Υπενθυμίσεις και συμπληρώματα Ανάγωγα πολυώνυμα Ανάγωγα πολυώνυμα και σώματα Χαρακτηριστική σώματος Απλές ρίζες πολυωνύμων Ασκήσεις 0 Επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0) Όρια συναρτήσεων.5. Ορισµός. Έστω, f : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο. Λέµε ότι η f έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li = ή f b f b αν και µόνο αν, για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

Το φασματικό Θεώρημα

Το φασματικό Θεώρημα Το φασματικό Θεώρημα 1 Το φάσμα ενός τελεστή Λήμμα 1.1 Έστω A B(H) φυσιολογικός τελεστής. Αν x H είναι ιδιοδιάνυσμα του A με ιδιοτιμή λ, τότε A x = λx. Έπεται ότι οι ιδιόχωροι ενός φυσιολογικού τελεστή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2 ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2015-2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΠΑΥΛΟΣ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Διάνυσμα λέγεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο.

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο. Κεφάλαιο Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο Ορισμοί και Παραδείγματα Παραδοχές Στo βιβλίο αυτό θα κάνουμε τις εξής παραδοχές Χρησιμοποιούμε προσθετικό συμβολισμό

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Αναλυτική χωρητικότητα Συνεχής αναλυτική χωρητικότητα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Αναλυτική χωρητικότητα Συνεχής αναλυτική χωρητικότητα Μιχάλης Παπαδημητράκης Αναλυτική χωρητικότητα Συνεχής αναλυτική χωρητικότητα 1 Παράγωγος στο. Ας θυμηθούμε ότι μια μιγαδική συνάρτηση f ορισμένη σε ένα υποσύνολο του μιγαδικού επιπέδου λέμε ότι είναι

Διαβάστε περισσότερα

Το φασματικό Θεώρημα

Το φασματικό Θεώρημα Το φασματικό Θεώρημα 1 Το φάσμα ενός τελεστή Λήμμα 1.1 Έστω A B(H) φυσιολογικός τελεστής. Αν x H είναι ιδιοδιάνυσμα του A με ιδιοτιμή λ, τότε A x = λx. Έπεται ότι οι ιδιόχωροι ενός φυσιολογικού τελεστή

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebrai/lai2018/lai2018.html Παρασκευή 14 εκεµβρίου 2018 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Ημιαπλοί Δακτύλιοι Είδαμε στο κύριο θεώρημα του προηγούμενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισμα απλών προτύπων Εδώ θα χαρακτηρίσουμε όλους

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες Χρησιμοποιώντας τανυστικά γινόμενα και εφαρμόζοντας το θεώρημα των Wedderbur-rt ( 33) θα αποδείξουμε δύο θεμελιώδη θεωρήματα που αφορούν κεντρικές απλές άλγεβρες θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 5

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 5 Μάθηµα 5 ο ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ Μαθηµατικά Ιβ Σείδα από 5 Θεωρία : Γραµµική Άγεβρα : εδάφιο, σε. 8 (µέχρι Πρόταση.), εδάφιο, σε. 88 (µέχρι Πρόταση.8). Τα παραδείγµατα που αντιστοιχούν στην ύη

Διαβάστε περισσότερα

0. Σύντοµη επισκόπηση θεωρίας πιθανοτήτων

0. Σύντοµη επισκόπηση θεωρίας πιθανοτήτων . Σύντοµη επισκόπηση θεωρίας πιθανοτήτων Α. Τυχαίες µεταβητές Τυχαία µεταβητή καείται µια µεταβητή η τιµή της οποίας καθορίζεται από το αποτέεσµα κάποιου στοχαστικού πειράµατος. Αν Ω ο δειγµατικός χώρος

Διαβάστε περισσότερα

( t) ( ) ( 0,1) ( ) ( ) ( ) ( ) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem Lindeberg Levy) τότε η τ.μ. Sn

( t) ( ) ( 0,1) ( ) ( ) ( ) ( ) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem Lindeberg Levy) τότε η τ.μ. Sn Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Cetral Lmt Theorem Leberg Levy Εάν ~ f (, με [ ] µ, Var [ ] σ < και S τότε η τμ S ( S S µ συγκίνει ως προς κατανομή (coverges strbuto στη Var S σ ( N ( 0,, δηαδή N( 0, ή ισοδύναμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ. και την ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ»

ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ. και την ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ» ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ σε ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ και την ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ» Εφαρμογές

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

( ) x 1 1. cone( (10.1) ( ) x ) := D (10.2) D Ax b 0 Ax 0 b. i λ i 1

( ) x 1 1. cone( (10.1) ( ) x ) := D (10.2) D Ax b 0 Ax 0 b. i λ i 1 Θεωρία Γραμμικού Προγραμματισμού Διάλεξη 0: 2..204 Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Ευάγγελος Αναγνωστόπουλος, Πέτρος Μπαρμπαγιάννης & Σ. Κ. 0. Θεώρημα Minkowski-Weyl για πολύεδρα Ορισμός 0. Αν

Διαβάστε περισσότερα

B = F i. (X \ F i ) = i I

B = F i. (X \ F i ) = i I Κεφάλαιο 3 Τοπολογία μετρικών χώρων Ομάδα Α 3.1. Εστω (X, ρ) μετρικός χώρος και F, G υποσύνολα του X. Αν το F είναι κλειστό και το G είναι ανοικτό, δείξτε ότι το F \ G είναι κλειστό και το G \ F είναι

Διαβάστε περισσότερα