Κεφάλαιο 6 Τυπικές συναρτήσεις κατανομής στην τεχνική υδρολογία

Transcript

1 Κεφάαιο 6 Τυπικές συναρτήσεις κατανομής στην τεχνική υδροογία Στο κεφάαιο αυτό περιγράφουμε τις τρεις βασικές οικογένειες συναρτήσεων κατανομής που χρησιμοποιούνται στην τεχνική υδροογία. Η πρώτη περιαμβάνει την κανονική κατανομή και τις παράγωγες κατανομές που προκύπτουν από ογαριθμικό μετασχηματισμό της. Η δεύτερη είναι η οικογένεια κατανομών γάμα που περιαμβάνει την εκθετική κατανομή, τις κατανομές γάμα δύο και τριών παραμέτρων, και την παράγωγη κατανομή Log-Pearson III που προκύπτει από ογαριθμικό μετασχηματισμό της τεευταίας. Η τρίτη οικογένεια περιαμβάνει τις κατανομές ακροτάτων με τυπικές εκπροσώπους τις κατανομές Gumbel και Weibull. Στο τέος του κεφααίου δίνονται ορισμένες άες κατανομές με δευτερεύουσα σημασία στην τεχνική υδροογία, όπως οι κατανομές βήτα και Pareto. 6. Κανονική κατανομή και μετασχηματισμοί της 6.. Κανονική κατανομή Μέχρι τώρα έχουμε αναφερθεί αναυτικά και σε έκταση στην κανονική κατανομή και στη χρήση της στη στατιστική αά και στην τεχνική υδροογία. Συγκεκριμένα, η κανονική κατανομή έχει εισαχθεί, ως συνέπεια του κεντρικού οριακού θεωρήματος, στην ενότητα.8 μαζί με δύο στενά συνδεδεμένες κατανομές, τις χ και Student (ή t), οι οποίες, αν και

2 3 6. Τυπικές συναρτήσεις κατανομής στην τεχνική υδροογία δεν χρησιμοποιούνται στην περιγραφή υδροογικών μεταβητών, είναι βασικής σημασίας για τις στατιστικές εκτιμήσεις. Σε ποά σημεία του κεφααίου 3 έχει χρησιμοποιηθεί η κανονική κατανομή στην θεωρητική εξαγωγή στατιστικών εκτιμήσεων. Τέος, στο κεφάαιο 5 έχει περιγραφεί σε επτομέρεια η χρήση της κανονικής κατανομής για την περιγραφή υδροογικών μεταβητών. Στο τυποόγιο του Πίν. 6. συνοψίζονται οι βασικότερες μαθηματικές σχέσεις που συνδέονται με την κανονική κατανομή, οι οποίες έχουν αναυθεί και σε προηγούμενες ενότητες. Πίν. 6. Τυποόγιο κανονικής κατανομής. Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f ( x) = e πσ x x µ σ Συνάρτηση κατανομής F( x)= f() s ds Τιμές μεταβητής < x < (συνεχής) Παράμετροι μ: παράμετρος θέσης (= μέση τιμή) σ > 0: παράμετρος κίμακας (= τυπική απόκιση) Μέση τιμή µ = µ Διασπορά σ = σ Τρίτη κεντρική ροπή (3) µ = 0 (4) Τέταρτη κεντρική ροπή µ = 3σ Συντεεστής ασυμμετρίας C s = 0 Συντεεστής κύρτωσης C k = 3 Πιθανότερη τιμή Διάμεσος x p = μ x 0.5 = μ Συμπερασματικά, πρόκειται για συμμετρική κατανομή δύο παραμέτρων με κωδωνοειδές σχήμα. Η συμμετρία της κατανομής και η δυνατότητα της μεταβητής να παίρνει αρνητικές τιμές έρχονται σε αντίθεση με τη φυσική απαίτηση, σύμφωνα με την οποία οι υδροογικές μεταβη- 4

3 6. Κανονική κατανομή και μετασχηματισμοί της 33 τές κατά κανόνα έχουν αποκειστικά θετικές τιμές. Το πρόβημα αυτό έχει ήδη συζητηθεί διεξοδικά στο ένθετο εδάφιο της ενότητας 5.4. Μια βασική ιδιότητα της κατανομής είναι ότι είναι κειστή ως προς την πρόσθεση. Έτσι, το άθροισμα (και γενικότερα ο γραμμικός συνδυασμός) δύο μεταβητών που ακοουθούν κανονική κατανομή, ακοουθεί επίσης κανονική κατανομή. Τυπικοί υποογισμοί Οι τυπικοί υποογισμοί αφορούν στον υποογισμό της τιμής u = F (x u ) της συνάρτησης κατανομής για δεδομένη τιμή x u της μεταβητής, ή, αντίστροφα, στον υποογισμό του u-ποσοστημορίου της μεταβητής, δηαδή τον υποογισμό της τιμής x u όταν είναι γνωστή η τιμή u. Το γεγονός ότι το οοκήρωμα που υπεισέρχεται στον ορισμό της κανονικής συνάρτησης κατανομής (Πίν. 6.) δεν υποογίζεται αναυτικά, δημιουργεί ορισμένες δυσκοίες στους τυπικούς υποογισμούς. Η απούστερη ύση στηρίζεται στην πινακοποίηση των τιμών της τυποποιημένης κανονικής μεταβητής z = (x μ) / σ. Η τεευταία ακοουθεί κανονική κατανομή με μέση τιμή 0 και τυπική απόκιση (β. ενότητα.5), πράγμα που διευκούνει την πινακοποίηση. Η πινακοποίηση αυτή περιέχεται σε όα τα βιβία θεωρίας πιθανοτήτων και στατιστικής, καθώς και στο Πίν. Π του Παραρτήματος (στο τέος του βιβίου). Έτσι, ο υποογισμός του u-ποσοστημορίου (x u ) γίνεται από την εξίσωση x u = µ + z σ (6.) u αφού προηγουμένως προσδιοριστεί από τον Πίν. Π η τιμή z u που αντιστοιχεί στη δεδομένη τιμή της συνάρτησης κατανομής u = F Z (z u ). Αντίστροφα, για δεδομένο x u υποογίζεται από την (6.) το z u και από τον Πίν. Π προκύπτει το u = F Z (z u ). Στη βιβιογραφία δίνονται διάφορες αριθμητικές προσεγγίσεις της κανονικής συνάρτησης κατανομής, με βάση τις οποίες μπορούμε να αποφύγουμε τη χρήση πινάκων (Press et al., 987. Stedinger et al., 993). Η χρήση των προσεγγίσεων αυτών είναι πεονεκτικότερη όταν οι υποογισμοί γίνονται με ηεκτρονικούς υποογιστές ή αριθμομηχανές. Στο Παράρτημα 6.Α δίνονται οι απούστερες προσεγγίσεις.

4 34 6. Τυπικές συναρτήσεις κατανομής στην τεχνική υδροογία Εκτίμηση παραμέτρων Όπως έχουμε δει στην ενότητα 3.4, και η μέθοδος των ροπών και η μέθοδος της μέγιστης πιθανοφάνειας δίνουν τις ίδιες εκτιμήσεις για τις παραμέτρους της κανονικής κατανομής, οι οποίες είναι µ = x σ = s (6.) Υπενθυμίζεται ότι το μέγεθος s στη σχέση (6.) κανονικά είναι η μεροηπτική εκτίμηση της τυπικής απόκισης. Ωστόσο συχνά χρησιμοποιείται η αμερόηπτη εκτίμηση αντί της μεροηπτικής. Τυπικό σφάμα ποσοστημορίου και όρια εμπιστοσύνης Στο εδάφιο ορίσαμε την έννοια του τυπικού σφάματος και των ορίων εμπιστοσύνης στην εκτίμηση του ποσοστημορίου, και δώσαμε τις αντίστοιχες εξισώσεις για το ποσοστημόριο της κανονικής κατανομής. Ανακεφααιώνοντας και συνοψίζοντας, αναφέρουμε ότι η σημειακή εκτίμηση του u-ποσοστημορίου της κανονικής κατανομής είναι το τυπικό σφάμα της εκτίμησης είναι x^u = x + z u s (6.3) s zu ε u = + n (6.4) και τα αντίστοιχα όρια εμπιστοσύνης για βαθμό εμπιστοσύνης γ είναι x^u, (x s + z u s ) ± z z + + u s ( γ )/ = x^u ± z z + + u ( γ )/ (6.5) n n Χαρτί κανονικής κατανομής Όπως έχει περιγραφεί στο εδάφιο στο ειδικό χαρτί της κανονικής κατανομής η συνάρτηση κατανομής ευθειοποιείται. Η απεικόνιση στο χαρτί κανονικής κατανομής είναι ισοδύναμη με την απεικόνιση της μεταβητής x (κατακόρυφος άξονας) συναρτήσει της τυποποιημένης κανονικής μεταβητής z (οριζόντιος άξονας).

5 6. Κανονική κατανομή και μετασχηματισμοί της Λογαριθμοκανονική κατανομή δύο παραμέτρων Η ογαριθμοκανονική κατανομή δύο παραμέτρων προκύπτει από την κανονική κατανομή και το μετασχηματισμό y = ln x x = e y (6.6) Έτσι, έμε ότι η μεταβητή ακοουθεί ογαριθμοκανονική κατανομή δύο παραμέτρων αν η Y ακοουθεί κανονική κατανομή N(μ Y, σ Y ). Στο τυποόγιο του Πίν. 6. συνοψίζονται οι βασικότερες μαθηματικές σχέσεις που συνδέονται με τη ογαριθμοκανονική κατανομή δύο παραμέτρων. Πίν. 6. Τυποόγιο της ογαριθμοκανονικής κατανομής δύο παραμέτρων. Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f () x = x πσ Συνάρτηση κατανομής F( x)= f() s ds 0 x Y e ln x µ Y σ Y Τιμές μεταβητής 0 < x < (συνεχής) Παράμετροι μ Y : παράμετρος κίμακας σ Y > 0: παράμετρος σχήματος Μέση τιμή µ = e σ Y µ Y + µ Y+ σy σy Διασπορά σ = e ( e ) 3σ Y 3 µ Y + ( 3) σy σy Τρίτη κεντρική ροπή µ 3 = e ( e 3e + ) Y Συντεεστής μεταβητότητας C v = e σ 3 s v v Συντεεστής ασυμμετρίας C = 3C + C e µ Y Y Πιθανότερη τιμή x p = σ Y Διάμεσος x0.5 = e µ

6 36 6. Τυπικές συναρτήσεις κατανομής στην τεχνική υδροογία Ως άμεση συνέπεια της (6.6), η μεταβητή είναι θετική. Από τον Πίν. 6. προκύπτει ότι η κατανομή έχει πάντα θετική ασυμμετρία. Έτσι, το σχήμα της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας είναι πάντα κωδωνοειδές και θετικά ασύμμετρο. Αυτές οι βασικές ιδιότητες της ογαριθμοκανονικής κατανομής είναι συμβατές με τις παρατηρημένες ιδιότητες ποών υδροογικών μεταβητών, γι αυτό και η χρήση της κατανομής είναι συχνή στην τεχνική υδροογία. Σημειώνεται ακόμη ότι το γινόμενο δύο μεταβητών που ακοουθούν ογαριθμοκανονική κατανομή δύο παραμέτρων, ακοουθεί επίσης ογαριθμοκανονική κατανομή. Αυτή η ιδιότητα σε συνδυασμό με το κεντρικό οριακό θεώρημα έχει από ποούς θεωρηθεί ως θεωρητική τεκμηρίωση της χρήσης της κατανομής στην υδροογία, αφού σε ποές περιπτώσεις οι μεταβητές μπορούν να θεωρηθούν ως αποτέεσμα ποών ποαπασιαστικών, παρά αθροιστικών, παραγόντων. Τυπικοί υποογισμοί Οι τυπικοί υποογισμοί της ογαριθμοκανονικής κατανομής βασίζονται στους αντίστοιχους υποογισμούς της κανονικής κατανομής. Έτσι, συνδυάζοντας τις εξισώσεις (6.) και (6.6) παίρνουμε Y u Y y = µ + z σ x = e (6.7) u Y u Y u µ + z σ όπου z u το u-ποσοστημόριο της τυποποιημένης κανονικής μεταβητής. Το τεευταίο μπορεί να βρεθεί από πίνακες ή να υποογιστεί αριθμητικά σύμφωνα με όσα περιγράφηκαν στο εδάφιο 6... Εκτίμηση παραμέτρων Όπως εύκοα προκύπτει από τις εξισώσεις του Πίν. 6., η μέθοδος των ροπών δίνει σ Y ( ) = ln +s / x µ = ln x σ / (6.8) Η μέθοδος της μέγιστης πιθανοφάνειας δίνει τις ακόουθες εκτιμήσεις (β. π.χ. Kite, 988, σ. 57) Y Y n = ln x / n= y µ Y i i= n σ Y = (ln xi µ Y ) / n = s Y i= (6.9)

7 6. Κανονική κατανομή και μετασχηματισμοί της 37 Παρατηρούμε ότι οι δύο μέθοδοι όχι μόνο δίνουν διαφορετικές εκτιμήσεις αά στηρίζονται και σε διαφορετικά δειγματικά χαρακτηριστικά. Έτσι, η μέθοδος των ροπών στηρίζεται στη μέση τιμή και την (μεροηπτική) τυπική απόκιση της μεταβητής, ενώ η μέθοδος της μέγιστης πιθανοφάνειας στηρίζεται στη μέση τιμή και την (μεροηπτική) τυπική απόκιση του ογαρίθμου της μεταβητής. Τυπικό σφάμα ποσοστημορίου και όρια εμπιστοσύνης Εφόσον για την εκτίμηση των παραμέτρων της κατανομής χρησιμοποιείται η μέθοδος της μέγιστης πιθανοφάνειας, η σημειακή εκτίμηση των u- ποσοστημορίων των y και x είναι y+ z s y = ln( x ) = y + z s x = e u Y (6.0) u u u Y u όπου z u το u-ποσοστημόριο της τυποποιημένης κανονικής μεταβητής. Το τετράγωνο του τυπικού σφάματος εκτίμησης της Y κατά τα γνωστά είναι =Var( Y ) Var(ln = ) = + n sy zu ε Y u u (6.) Συνδυάζοντας τα παραπάνω, παίρνουμε την ακόουθη προσεγγιστική σχέση υποογισμού των ορίων εμπιστοσύνης της x u για βαθμό εμπιστοσύνης γ s z x^u, exp ( y + zusy) ± z Y u ( + )/ + n γ = = x^u exp sy zu ± z( + γ )/ + (6.) n όπου z (+γ)/ το [(+γ)/]-ποσοστημόριο της τυποποιημένης κανονικής μεταβητής. Στην περίπτωση που ο υποογισμός των παραμέτρων γίνεται με τη μέθοδο των ροπών το τυπικό σφάμα και τα αντίστοιχα όρια εμπιστοσύνης είναι διαφορετικά. Ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης παραπέμπεται στον Kite (988, σ. 60).

8 38 6. Τυπικές συναρτήσεις κατανομής στην τεχνική υδροογία Χαρτί ογαριθμοκανονικής κατανομής Το ειδικό χαρτί της κανονικής κατανομής (β. προηγούμενο εδάφιο) εύκοα μετασχηματίζεται σε χαρτί ογαριθμοκανονικής κατανομής, στο οποίο η αντίστοιχη συνάρτηση κατανομής ευθειοποιείται. Αρκεί να χρησιμοποιηθεί ογαριθμικός κατακόρυφος άξονας. Η απεικόνιση στο χαρτί ογαριθμοκανονικής κατανομής είναι ισοδύναμη με την απεικόνιση του ογαρίθμου της μεταβητής ln x (κατακόρυφος άξονας) συναρτήσει της τυποποιημένης κανονικής μεταβητής z (οριζόντιος άξονας). Εφαρμογή 6.. Στον Πίν. 6.3 δίνεται το δείγμα των μηνιαίων όγκων απορροής της εκάνης του ποταμού Ευήνου ανάντη του υδρομετρικού σταθμού Πόρος Ρηγανίου, για το μήνα Ιανουάριο. Ζητείται η προσαρμογή της ογαριθμοκανονικής κατανομής παραμέτρων και η εκτίμηση της απορροής πεντηκονταετίας. Πίν. 6.3 Δείγμα μηνιαίου όγκου απορροής (σε hm 3 ) στη θέση Πόρος Ρηγανίου του ποταμού Ευήνου για το μήνα Ιανουάριο. Υδρο. έτος Όγκος απορροής Υδρο. έτος Όγκος απορροής Υδρο. έτος Όγκος απορροής Η μέση τιμή του δείγματος είναι x = x / n = 0.4 hm 3 Η τυπική απόκιση (μεροηπτική εκτίμηση) είναι και ο συντεεστής μεταβητότητας s = ( x / n x ) / = 70.4 hm 3 C^ v = s / x = 70.4 / 0.4 = 0.69 Ο συντεεστής ασυμμετρίας (μεροηπτική εκτίμηση) προκύπτει

9 6. Κανονική κατανομή και μετασχηματισμοί της 39 C^ s =.4 Αυτές οι τιμές των συντεεστών μεταβητότητας και ασυμμετρίας δείχνουν μεγάη απόκιση από την κανονική κατανομή. Η μέθοδος των ροπών δίνει σy = ln ( + s / x ) = 0.6, µ Y = ln x σ Y / = Η μέθοδος της μέγιστης πιθανοφάνειας δίνει μ Y = ln x / n = hm 3, σy = (ln x) / n μ Y = Μηνιαίος όγκος απορροής, x [hm 3 ] Πιθανότητα υπέρβασης, F (x ) Εμπειρική κατανομή - θέση σχεδίασης Weibull Εμπειρική κατανομή - θέση σχεδίασης Cunnane Λογαριθμοκανονική κατανομή - μέθοδος ΜΠ Λογαριθμοκανονική κατανομή - μέθοδος ροπών Κατανομήγάμα Κανονική κατανομή Ανηγμένη μεταβητή Gauss, z Σχ. 6. Εμπειρική και θεωρητικές συναρτήσεις κατανομής του όγκου απορροής του Ιανουαρίου στον Πόρο Ρηγανίου (Εφαρμογή 6..) σε χαρτί κανονικής κατανομής. O μηνιαίος όγκος απορροής πεντηκονταετίας δίνεται από την εξίσωση x u = exp (μ Y + z u σ Y ) όπου u = /50 = 0.98 και z u =.054 (Πίν Π). Με τις παραμέτρους της μεθόδου των ροπών προκύπτει x 0.98 = 30.7 hm 3, ενώ με τις παραμέτρους της μεθόδου μέγιστης πιθανοφάνειας προκύπτει x u = Στην τεευταία περίπτωση τα όρια εμπιστοσύνης 95% της τιμής αυτής είναι (με βάση την (6.), για z u =.054 και z (+γ)/ =.96)

10 40 6. Τυπικές συναρτήσεις κατανομής στην τεχνική υδροογία exp.. *.. *.. x u *, ± = exp( 585. ± 058. ) = Παρατηρούμε ότι το διάστημα εμπιστοσύνης είναι πού ευρύ, γεγονός που αντανακά τη μικρή αξιοπιστία στην πρόγνωση της απορροής πεντηκονταετίας του Ιανουαρίου. Η μείωση της μεγάης αβεβαιότητας στην πρόγνωση αυτή προϋποθέτει σημαντικά μεγαύτερο μέγεθος δείγματος Πιθανότητα υπέρβασης, F ( x ) Μηνιαίος όγκος απορροής, x [hm 3 ] 00 0 Εμπειρική κατανομή - θέση σχεδίασης Weibull Εμπειρική κατανομή - θέση σχεδίασης Cunnane Λογαριθμοκανονική κατανομή - μέθοδος ΜΠ Λογαριθμοκανονική κατανομή - μέθοδος ροπών Κατανομή γάμα Ανηγμένη μεταβητή Gauss, z Κανονική κατανομή Σχ. 6. Εμπειρική και θεωρητικές συναρτήσεις κατανομής του όγκου απορροής του Ιανουαρίου στον Πόρο Ρηγανίου (Εφαρμογή 6..) σε χαρτί ογαριθμοκανονικής κατανομής. Η καταηότητα της ογαριθμοκανονικής κατανομής μπορεί να εεγχθεί με τη δοκιμή χ (β εδάφιο 5.5.). Αντί του εέγχου αυτού δίνουμε στα Σχ. 6. και Σχ. 6. γραφική σύγκριση της εμπειρικής συνάρτησης κατανομής με τη ογαριθμοκανονική κατανομή. Το Σχ. 6. σχεδιάστηκε σε χαρτί κανονικής κατανομής, ενώ το Σχ. 6. σε χαρτί ογαριθμοκανονικής κατανομής. Για την εμπειρική κατανομή χρησιμοποιήθηκαν οι θέσεις σχεδίασης Weibull και Cunnane (β. Πίν. 5.7). Για τη ογαριθμοκανονική κατανομή χρησιμοποιήθηκαν και οι

11 6. Κανονική κατανομή και μετασχηματισμοί της 4 δύο παραπάνω ομάδες παραμέτρων. Παρατηρούμε ότι η μέθοδος της μέγιστης πιθανοφάνειας δίνει καύτερη προσαρμογή στην περιοχή των μικρών πιθανοτήτων υπέρβασης, που ενδιαφέρουν περισσότερο. Για σύγκριση έχει σχεδιαστεί και η κανονική κατανομή, η ακαταηότητα της οποίας για το συγκεκριμένο δείγμα είναι εμφανής, καθώς και η κατανομή γάμα (β. Εφαρμογή 6..) Λογαριθμοκανονική κατανομή τριών παραμέτρων (Galton) Με συνδυασμό της κανονικής κατανομής και του τροποποιημένου ογαριθμικού μετασχηματισμού y y = ln( x c) x = c+ e (6.3) παίρνουμε τη ογαριθμοκανονική κατανομή τριών παραμέτρων ή κατανομή Galton *. Η κατανομή αυτή διαθέτει μία επιπέον παράμετρο από την απούστερη ογαριθμοκανονική κατανομή δύο παραμέτρων, την παράμετρο θέσης c, η οποία αποτεεί και το κάτω όριο της μεταβητής. Η τρίτη αυτή παράμετρος επιτρέπει την καύτερη προσαρμογή της κατανομής στα δεδομένα. Έτσι, αν χρησιμοποιούμε τη μέθοδο των ροπών, η τρίτη παράμετρος επιτρέπει τη διατήρηση του συντεεστή ασυμμετρίας της μεταβητής. Στο τυποόγιο του Πίν. 6.4 συνοψίζονται οι βασικότερες μαθηματικές σχέσεις που συνδέονται με τη ογαριθμοκανονική κατανομή τριών παραμέτρων. Τυπικοί υποογισμοί Ο χειρισμός της κατανομής είναι παρόμοιος με αυτόν της ογαριθμοκανονικής κατανομής δύο παραμέτρων και γίνεται με βάση τη σχέση Y u Y y = µ + z σ x = c+ e (6.4) u Y u Y u µ + z σ όπου z u το u-ποσοστημόριο της τυποποιημένης κανονικής μεταβητής. * Sir Francis Galton: Γενετιστής και βιοστατιστικός (8-9), γνωστός περισσότερο από τον ομώνυμο νόμο στον οποίο στηρίζεται η θεωρία της γραμμικής παινδρόμησης (regression).

12 4 6. Τυπικές συναρτήσεις κατανομής στην τεχνική υδροογία Εκτίμηση παραμέτρων Οι ακόουθες εξισώσεις της μεθόδου των ροπών προκύπτουν μετά από πράξεις από τις εκφράσεις των ροπών που δίνονται στον Πίν Η παράμετρος σ Y υποογίζεται από την ( φ ) σy = ln + (6.5) όπου ω φ = 3 / ω = + Cs Cs + 4 / 3 ω (6.6) Πίν. 6.4 Τυποόγιο της ογαριθμοκανονικής κατανομής τριών παραμέτρων. Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f ( x) = ( x c) πσ Συνάρτηση κατανομής F( x)= f () s ds Τιμές μεταβητής c < x < (συνεχής) Παράμετροι c: παράμετρος θέσης μ Y : παράμετρος κίμακας σ Y > 0: παράμετρος σχήματος Μέση τιμή µ c = c + e x σ Y µ Y + µ Y+ σy σy Διασπορά σ = e ( e ) 3σ Y 3µ Y + (3) σy σy Τρίτη κεντρική ροπή µ 3 = e ( e 3e + ) Y Y Συντεεστής ασυμμετρίας C s = 3( ) + ( ) / 3/ σ σ e e Πιθανότερη τιμή x = c+ p Y e µ Y Διάμεσος x0.5 = c+e µ Οι άες δύο παράμετροι υποογίζονται από τις εξισώσεις σ Y Y e ln( x c) µ Y σ Y

13 6. Η ομάδα των κατανομών γάμα 43 Y Y µ = ln( s / φ) σ / c = x (6.7) φ s Η μέθοδος της μέγιστης πιθανοφάνειας στηρίζεται στις εξισώσεις (β. π.χ. Kite, 988, σ. 74) n ln ( ) / µ Y i i= = x c n n Y [ ( i ) Y] i= σ = ln x c µ / n (6.8) n ( µ Y σy) ( x c) n i i xi c = = i= xi ln c (6.9) οι οποίες μόνο αριθμητικά μπορούν να επιυθούν. Η εκτίμηση των ορίων εμπιστοσύνης για την εν όγω κατανομή απαιτεί πούποκους υποογισμούς. Ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης παραπέμπεται στον Kite (988, σ. 77). 6. Η ομάδα των κατανομών γάμα 6.. Εκθετική κατανομή Μια από τις απούστερες αά και πού χρήσιμες κατανομές της στατιστικής είναι η εκθετική, τα βασικά χαρακτηριστικά της οποίας συνοψίζονται στον Πίν Στην απούστερη μορφή της, που έχουμε ήδη συναντήσει στην Εφαρμογή.4 έχει μόνο μία παράμετρο, την παράμετρο κίμακας (η δεύτερη παράμετρος c είναι ίση με 0). Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της εκθετικής κατανομής είναι παντού φθίνουσα, δηαδή έχει σχήμα ανεστραμμένου J. Όπως ήδη έχουμε αναφέρει (ενότητα.4, ένθετο εδάφιο και Εφαρμογή.4) η εκθετική κατανομή χρησιμοποιείται για την περιγραφή υδροογικών μεταβητών σε μικρή χρονική κίμακα, όπως για παράδειγμα των ωριαίων ή ημερήσιων υψών βροχής. Από ένα θεώρημα της θεωρίας πιθανοτήτων προκύπτει ότι οι αποστάσεις μεταξύ διαδοχικών τυχαίων σημείων στο χρόνο ακοουθούν εκθετική κατανομή. Αυτό το θεώρημα έχει συχνή εφαρμογή στην τεχνική υδροογία, όπου, για παράδειγμα, οι

14 44 6. Τυπικές συναρτήσεις κατανομής στην τεχνική υδροογία χρόνοι που μεσοαβούν ανάμεσα στις εμφανίσεις διαδοχικών επεισοδίων βροχής ακοουθούν εκθετική κατανομή. Επιπέον, και οι διάρκειες των επεισοδίων βροχής ακοουθούν πού συχνά εκθετική κατανομή. Πίν. 6.5 Τυποόγιο της εκθετικής κατανομής. Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f ( x c) ( x) = e ( x c) Συνάρτηση κατανομής F ( x) = e Τιμές μεταβητής c < x < (συνεχής) Παράμετροι c: παράμετρος θέσης > 0: παράμετρος κίμακας Μέση τιμή µ = c + Διασπορά σ Τρίτη κεντρική ροπή µ Τέταρτη κεντρική ροπή µ (3) ( 4) = = 3 9 = 4 Συντεεστής μεταβητότητας Cv = c Συντεεστής ασυμμετρίας C s = Συντεεστής κύρτωσης C k = 9 + Πιθανότερη τιμή xp = c Διάμεσος τιμή 05 x0.5 = c 6.. Κατανομή γάμα δύο παραμέτρων Η κατανομή γάμα είναι από τις πιο διαδεδομένες κατανομές της τεχνικής υδροογίας. Τα βασικά χαρακτηριστικά της δίνονται στο τυποόγιο του Πίν Όπως και η ογαριθμική κατανομή δύο παραμέτρων είναι θετικά ασύμμετρη και ορίζεται μόνο για θετικές τιμές της μεταβητής. Οι

15 6. Η ομάδα των κατανομών γάμα 45 ιδιότητες αυτές την κάνουν συμβατή με τις πιο χαρακτηριστικές υδροογικές μεταβητές, όπως μηνιαίες και ετήσιες παροχές ή βροχές. Πίν. 6.6 Τυποόγιο της κατανομής γάμα παραμέτρων. Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ( ) κ f x = x Γ( κ ) κ x e Συνάρτηση κατανομής F( x)= f () s ds 0 Τιμές μεταβητής 0 < x < (συνεχής) Παράμετροι > 0: παράμετρος κίμακας κ > 0: παράμετρος σχήματος Μέση τιμή κ µ = Διασπορά κ σ = Τρίτη κεντρική ροπή ( 3) κ µ = 3 Τέταρτη κεντρική ροπή ( 4) 3κ ( κ + ) µ = 4 Συντεεστής μεταβητότητας C v = κ Συντεεστής ασυμμετρίας Cs = = C v κ Συντεεστής κύρτωσης 6 Ck = 3 + = 3+ 6C v κ Πιθανότερη τιμή x p = (κ ) / (για κ > ) Η κατανομή γάμα έχει δύο παραμέτρους, την παράμετρο κίμακας και την παράμετρο σχήματος κ. * Για κ = η κατανομή ταυτίζεται με την εκθετική, η οποία είναι ειδική περίπτωση της γάμα. Για κ > η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της κατανομής εμφανίζει κωδωνοειδές σχήμα, ενώ για κ < το σχήμα της γίνεται ανεστραμμένο J, με άπειρη x * Για ακέραια τιμή του κ, η κατανομή γάμα ποές φορές αναφέρεται ως κατανομή Erlang.

16 46 6. Τυπικές συναρτήσεις κατανομής στην τεχνική υδροογία τεταγμένη στη θέση x = 0. Για μεγάες τιμές του κ (πάνω από 5-30) η κατανομή γάμα πησιάζει προς την κανονική. Η κατανομή γάμα, όπως και η κανονική, είναι κειστή ως προς την πρόσθεση, αά μόνο όταν υπάρχει στοχαστική ανεξαρτησία και κοινή παράμετρος κίμακας των προσθετέων. Έτσι, το άθροισμα δύο ανεξάρτητων μεταβητών που ακοουθούν κατανομές γάμα με κοινή παράμετρο κίμακας, ακοουθεί επίσης κατανομή γάμα. Τέος, υπενθυμίζουμε ότι η κατανομή χ, η οποία έχει εξεταστεί στο εδάφιο.8.3, είναι ειδική περίπτωση της κατανομής γάμα. Τυπικοί υποογισμοί Όπως συμβαίνει και με την κανονική κατανομή, το οοκήρωμα της συνάρτησης κατανομής γάμα δεν υποογίζεται αναυτικά, πράγμα που δημιουργεί δυσκοίες στους υποογισμούς. Η απούστερη ύση στηρίζεται στην πινακοποίηση των τιμών της τυποποιημένης μεταβητής k = (x μ ) / σ, όπου μ και σ η μέση τιμή και η τυπική απόκιση της, αντίστοιχα. Τέτοια πινακοποίηση περιέχεται σε διάφορα βιβία θεωρίας πιθανοτήτων, καθώς και στους Πίν. Π4α και Π4β του Παραρτήματος (στο τέος του βιβίου). Έτσι, ο υποογισμός του u-ποσοστημορίου (x u ) γίνεται από την εξίσωση x = µ + k σ (6.0) u u αφού προηγουμένως προσδιοριστεί από τον Πίν. Π4α ή Π4β η τιμή k u που αντιστοιχεί στη δεδομένη τιμή της συνάρτησης κατανομής u = F K (k u ). Αντίστροφα, για δεδομένο x u υποογίζεται από την (6.) το k u και από τον Πίν. Π4α ή Π4β το u = F K (k u ). Στον Πίν. Π4α ή Π4β κάθε στήη αντιστοιχεί σε συγκεκριμένη τιμή της παραμέτρου κ (ή, ισοδύναμα, του συντεεστή ασυμμετρίας Cs = / κ = σ / x). Έτσι θα πρέπει να επιεγεί η κατάηη στήη, ή να γίνει κατάηη παρεμβοή των τιμών γειτονικών στηών. Στη βιβιογραφία δίνονται διάφορες αριθμητικές προσεγγίσεις της συνάρτησης κατανομής γάμα, με βάση τις οποίες μπορούμε να αποφύγουμε τη χρήση πινάκων (Press et al., 987. Stedinger et al., 993). Η χρήση των προσεγγίσεων αυτών είναι πεονεκτικότερη όταν οι υποογι-

17 6. Η ομάδα των κατανομών γάμα 47 σμοί γίνονται με ηεκτρονικούς υποογιστές ή αριθμομηχανές. Στο Παράρτημα 6.B δίνονται οι απούστερες προσεγγίσεις. Εκτίμηση παραμέτρων Η μέθοδος των ροπών δίνει άμεσα τις ακόουθες απές εκτιμήσεις των παραμέτρων της κατανομής γάμα: κ = x s = x s (6.) Οι εκτιμήσεις της μεθόδου της μέγιστης πιθανοφάνειας είναι πουποκότερες. Βασίζονται στην επίυση των εξισώσεων (β. π.χ. Bobée and Ashkar, 99) ln κ ψ( κ) = ln x ln n n i= x i = κ (6.) x όπου ψ(κ) = d ln Γ(κ) / dκ η εγόμενη συνάρτηση δίγαμα (παράγωγος του ογαρίθμου της συνάρτησης γάμα), πινακοποιημένες τιμές της οποίας δίνονται σε μαθηματικά συγγράμματα. Οι Masuyama and Kuroiwa (95) έδωσαν την ακόουθη προσεγγιστική σχέση για την επίυση ως προς κ της πρώτης από τις παραπάνω εξισώσεις: φ φ φ κ = φ φ φ( φ + φ ) 0 φ φ 7. 0 (6.3) όπου φ = ln κ ψ(κ). To σφάμα της προσέγγισης αυτής είναι πρακτικά αμεητέο (0.0088% για την πρώτη εξίσωση και % για τη δεύτερη). Τυπικό σφάμα ποσοστημορίου και όρια εμπιστοσύνης Η σημειακή εκτίμηση του u-ποσοστημορίου της κατανομής γάμα είναι xu = x + kus (6.4)

18 48 6. Τυπικές συναρτήσεις κατανομής στην τεχνική υδροογία Στην περίπτωση που οι παράμετροι υποογίζονται με τη μέθοδο των ροπών, το τετραγωνικό τυπικό σφάμα της εκτίμησης είναι (β. π.χ. Bobée and Ashkar, 99, σ. 50) ε u s = n C s ku ( kc u v ) ku C v ( + Cv ) (6.5) Το μέγεθος k u / Cs μπορεί να εκτιμηθεί προσεγγιστικά από κάποια προσέγγιση της κατανομής γάμα, π.χ. από την προσέγγιση Wilson- Hilferty. Συχνά, σε πρώτη προσέγγιση, ο αντίστοιχος όρος παραείπεται οπότε η παραπάνω έκφραση αποποιείται σημαντικά: ε u ( ) = s C k C k n v u v u (6.6) Έτσι, τα προσεγγιστικά όρια εμπιστοσύνης για βαθμό εμπιστοσύνης α είναι ( ) s x u ( x + k s ) z, u ± ( )/ Cv ku Cv k +γ u n (6.7) Αν χρησιμοποιείται η μέθοδος της μέγιστης πιθανοφάνειας ο υποογισμός των ορίων εμπιστοσύνης είναι πιο πούποκος. Ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης παραπέμπεται στους Bobée and Ashkar (99, σ. 46). Χαρτί κατανομής γάμα Δεν μπορεί να κατασκευαστεί χαρτί κατανομής γάμα, τέτοιο που να ευθειοποιεί κάθε συνάρτηση κατανομής γάμα. Ωστόσο, μπορεί να κατασκευαστεί χαρτί γάμα αά για δεδομένη τιμή της παραμέτρου σχήματος κ. Κάτι τέτοιο, βεβαίως, δεν είναι πρακτικό και γι αυτό η απεικόνιση της κατανομής γάμα γίνεται συνήθως σε χαρτί κανονικής κατανομής ή σε χαρτί κατανομής Weibull. Σε αυτή την περίπτωση, όμως, η κατανομή δεν απεικονίζεται ως ευθεία, αά ως καμπύη. Εφαρμογή 6.. Ζητείται η προσαρμογή της κατανομής γάμα παραμέτρων και η εκτίμηση της απορροής πεντηκονταετίας για το δείγμα των μηνιαίων όγκων απορροής της εκάνης του ποταμού Ευήνου ανάντη του υδρομετρικού

19 6. Η ομάδα των κατανομών γάμα 49 σταθμού Πόρος Ρηγανίου, για το μήνα Ιανουάριο (Εφαρμογή 6.., Πίν. 6.3). Για μέση τιμή 0.4 hm 3 και τυπική απόκιση 70.4 hm 3 η μέθοδος των ροπών δίνει τις ακόουθες τιμές των παραμέτρων της κατανομής: κ = 0.4 / 70.4 =., = 0.4 / 70.4 = Για T = 50 ή ισοδύναμα F = 0.98 από τον Πίν Π4α * προκύπτει k 0.98 =.70 και x u = = 9.5 hm 3. Παίρνοντας από τον Πίν. Π τις τιμές του k u για διάφορες τιμές του u υποογίζουμε μια σειρά ποσοστημορίων της κατανομής, οπότε είμαστε σε θέση να απεικονίσουμε τη συνάρτηση κατανομής. Η απεικόνιση αυτή δίνεται (σε σύγκριση και με άες κατανομές) στα Σχ. 6. (σε χαρτί κανονικής κατανομής) και Σχ. 6. (σε χαρτί ογαριθμοκανονικής κατανομής). Παρατηρούμε ότι η κατανομή γάμα γενικά προσεγγίζει την ογαριθμοκανονική κατανομή, αά στην περιοχή των μικρών πιθανοτήτων υπέρβασης η προσαρμογή της προς την εμπειρική κατανομή του συγκεκριμένου δείγματος είναι χειρότερη από αυτήν της ογαριθμοκανονικής κατανομής. * Εναακτικά, αντί να χρησιμοποιήσουμε τον Πίν Π4α, μπορούμε να αξιοποιήσουμε την προσέγγιση της εξίσωσης (6.64) (β. Παράρτημα 6.Β). Σε αυτή την περίπτωση, οι υποογισμοί είναι οι ακόουθοι: Έτσι, η (6.64) γίνεται μ = 0.6 (. 0.5 ) (/. 0.5 ) = ν = 0.6 (. 0.5 ) (. ) + =.83 a = 0.6 / = β = ln(.) = c = + 3 exp [.6 (. ) 0.5 ] =.0 x u = [0.583/( )] u [.83/( )] [ ( u) ] = 57. u [ ( u) ] Για u = 0.98 η παραπάνω εξίσωση δίνει x u = = 9.0 hm 3

20 50 6. Τυπικές συναρτήσεις κατανομής στην τεχνική υδροογία Για τον υποογισμό των ορίων εμπιστοσύνης 95% της απορροής 50ετίας χρησιμοποιούμε την προσεγγιστική σχέση (6.7), η οποία για z (+γ)/ =.96, k u =.70 και Cv = 0.69 δίνει ( ). x u.. * * *. *. *. *., ± ± 09. = Κατανομή γάμα τριών παραμέτρων (Pearson III) Με την προσθήκη μιας παραμέτρου θέσης στην κατανομή γάμα δύο παραμέτρων, παίρνουμε την κατανομή γάμα τριών παραμέτρων, πιο γνωστή ως κατανομή Pearson τύπου ΙΙΙ. Η παράμετρος θέσης c, η οποία αποτεεί και το κάτω όριο του μεταβητής επιτρέπει την καύτερη προσαρμογή της κατανομής στα δεδομένα. Έτσι, αν χρησιμοποιούμε τη μέθοδο των ροπών, η τρίτη παράμετρος επιτρέπει τη διατήρηση του συντεεστή ασυμμετρίας της μεταβητής. Στο τυποόγιο του Πίν. 6.7 συνοψίζονται οι βασικότερες μαθηματικές σχέσεις που συνδέονται με την κατανομή Pearson ΙΙΙ. Οι ιδιότητες της κατανομής είναι παρόμοιες με αυτές της κατανομής γάμα δύο παραμέτρων. Για τους τυπικούς υποογισμούς της κατανομής χρησιμοποιείται και εδώ η εξίσωση (6.0). Μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν οι προσεγγίσεις που δόθηκαν για την κατανομή γάμα δύο παραμέτρων. Διαφορετικές είναι οι εξισώσεις για την εκτίμηση των παραμέτρων της κατανομής. Έτσι, η μέθοδος των ροπών δίνει κ = 4 C s κ = c= x κ s (6.8) Η μέθοδος της μέγιστης πιθανοφάνειας δίνει πιο πούποκες εξισώσεις, τις οποίες ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης μπορεί να βρει π.χ. στα βιβία των Bobée and Ashkar (99, σ. 59) και Kite (988, σ. 7). Στα ίδια βιβία υπάρχουν και οι τύποι για την εκτίμηση του τυπικού σφάματος και των ορίων εμπιστοσύνης των ποσοστημορίων της κατανομής.

21 6. Η ομάδα των κατανομών γάμα 5 Πίν. 6.7 Τυποόγιο της κατανομής Pearson ΙΙΙ. Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας κ κ x c f ( x) = x c Γ( κ ) ( ) ( ) e Συνάρτηση κατανομής F( x)= f () s ds Τιμές μεταβητής c < x < (συνεχής) Παράμετροι c: παράμετρος θέσης > 0: παράμετρος κίμακας κ > 0: παράμετρος σχήματος Μέση τιμή κ µ = c + Διασπορά κ σ = Τρίτη κεντρική ροπή ( 3) κ µ = 3 Τέταρτη κεντρική ροπή ( 4) 3κ ( κ + ) µ = 4 Συντεεστής ασυμμετρίας C s = κ Συντεεστής κύρτωσης C k = 3 + Πιθανότερη τιμή x p = c + (κ ) / (για κ > ) 6..4 Κατανομή Log-Pearson III Η κατανομή Log-Pearson III προκύπτει από την κατανομή Pearson III και το μετασχηματισμό c x 6 κ y = ln x x = e y (6.9) Έτσι, έμε ότι η μεταβητή ακοουθεί κατανομή Log-Pearson III αν η Y ακοουθεί κατανομή Pearson III. Στο τυποόγιο του (Πίν. 6.8) συνοψίζονται οι βασικότερες μαθηματικές σχέσεις που συνδέονται με την κατανομή Log-Pearson III.

22 5 6. Τυπικές συναρτήσεις κατανομής στην τεχνική υδροογία Πίν. 6.8 Τυποόγιο της κατανομής Log Pearson III. Συνάρτηση πυκνότητας κ x c f ( x) = x c πιθανότητας xγ( κ ) (ln ) (ln ) e Συνάρτηση κατανομής x F( x)= c f() s ds e Τιμές μεταβητής e c < x < (συνεχής) Παράμετροι c: παράμετρος κίμακας > 0: παράμετρος σχήματος κ > 0: παράμετρος σχήματος Μέση τιμή µ Διασπορά Ροπή περί την αρχή τάξης r σ m = e c c = e ( r) = e κ rc κ κ r Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της κατανομής Log-Pearson III μπορεί να πάρει διάφορα σχήματα, όπως κωδωνοειδές, ανεστραμμένο J, U, κ.ά. Από τον Πίν. 6.8 προκύπτει ότι η τρίτη ροπή της κατανομής μπορεί να γίνει ακόμη και άπειρη, για 3. Αυτό δείχνει ότι η κατανομή μπορεί να έχει πού μεγάο συντεεστή ασυμμετρίας. Σε αυτή την ιδιότητά της οφείεται η ευρεία διάδοσή της στην τεχνική υδροογία. Κυρίως έχει χρησιμοποιηθεί για την περιγραφή πημμυρικών παροχών, παράηα με τις ασυμπτωτικές κατανομής μεγίστων που θα εξεταστούν στην επόμενη ενότητα. Ειδικά στις ΗΠΑ έχει υιοθετηθεί ως η τυπική κατανομή για πημμύρες από όες τις κρατικές υπηρεσίες. Τυπικοί υποογισμοί Οι τυπικοί υποογισμοί της κατανομής Log-Pearson III βασίζονται στους αντίστοιχους υποογισμούς της κατανομής Pearson III. Έτσι, συνδυάζοντας τις εξισώσεις (6.0) και (6.9) παίρνουμε Y u Y y = µ + k σ x = e (6.30) u Y u Y u µ + k σ κ κ

23 6.3 Ασυμπτωτικές κατανομές ακροτάτων 53 όπου η τιμή του k u μπορεί να βρεθεί από πίνακες (Πίν. Π4α ή Π4β). Η τιμή του y u μπορεί ακόμη να υποογιστεί αριθμητικά σύμφωνα με όσα περιγράφηκαν στο εδάφιο 6... Εκτίμηση παραμέτρων Η εκτίμηση των παραμέτρων είτε με τη μέθοδο των ροπών, είτε με τη μέθοδο της μέγιστης πιθανοφάνειας απαιτεί μια αρκετά πούποκη διαδικασία (Bobée and Ashkar, 99, σ. 85. Kite, 988, σ. 38). Εδώ θα περιοριστούμε στην αναφορά της απούστερης έμμεσης μεθόδου των ροπών: Σύμφωνα με αυτή από το διαθέσιμο δείγμα υποογίζονται οι τιμές y i = ln x i, στη συνέχεια υποογίζονται τα στατιστικά χαρακτηριστικά των y i και τέος εφαρμόζονται οι εξισώσεις της μεθόδου των ροπών για τη μεταβητή Y, δηαδή κ = 4 C sy κ = c= y κ sy (6.3) Όπως και στην περίπτωση της κατανομής Pearson III, έτσι και εδώ η εκτίμηση των ορίων εμπιστοσύνης είναι αρκετά πούποκη. Χαρτί κατανομής Log-Pearson ΙΙΙ Δεν μπορεί να κατασκευαστεί χαρτί κατανομής γάμα, τέτοιο που να ευθειοποιεί κάθε συνάρτηση κατανομής Log-Pearson ΙΙΙ. Ωστόσο, μπορεί να κατασκευαστεί χαρτί για δεδομένη τιμή της παραμέτρου σχήματος κ. Ένα τέτοιο χαρτί έχει άξονα πιθανοτήτων ταυτόσημο με αυτό του χαρτιού γάμα και άξονα τιμών της μεταβητής ογαριθμικό. Κάτι τέτοιο, βεβαίως, δεν είναι πρακτικό και γι αυτό η απεικόνιση της κατανομής Log-Pearson ΙΙΙ γίνεται συνήθως σε χαρτί ογαριθμοκανονικής κατανομής ή σε χαρτί κατανομής Gumbel. Σε αυτή την περίπτωση, όμως, η κατανομή δεν απεικονίζεται ως ευθεία, αά ως καμπύη. 6.3 Ασυμπτωτικές κατανομές ακροτάτων Με τον όρο ασυμπτωτική κατανομή ακροτάτων εννοούμε την οριακή κατανομή της ακρότατης (δηαδή της μεγαύτερης ή, εναακτικά, της μικρότερης) από k ισόνομες μεταβητές, όταν ο αριθμός k τείνει στο

24 54 6. Τυπικές συναρτήσεις κατανομής στην τεχνική υδροογία άπειρο. Συμβοικά, αν Y,, Y k είναι μια ακοουθία ισόνομων τυχαίων μεταβητών και k = max(y,, Y k ) (6.3) τότε η αντίστοιχη ασυμπτωτική κατανομή μεγίστων είναι η F ( x) = lim F ( x) = lim P( y) k k k k (6.33) Αντίστοιχα ορίζεται και η ασυμπτωτική κατανομή εαχίστων. Στην περίπτωση που οι τυχαίες μεταβητές Y i είναι ανεξάρτητες, ο προσδιορισμός της F (x) αποποιείται αρκετά, δεδομένου ότι [ Y ] k F ( x ) = F ( x ) (6.34) k όπως εύκοα μπορεί να διαπιστωθεί παίρνοντας υπόψη την ανεξαρτησία των μεταβητών. Σε ποές περιπτώσεις η παραπάνω ασυμπτωτική κατανομή δεν εξαρτάται από το ακριβές σχήμα της αρχικής συνάρτησης κατανομής F Y (y). Οι περιπτώσεις αυτές, που έχουν μεγάο πρακτικό ενδιαφέρον, έχουν μεετηθεί σε επτομέρεια από τον Gumbel (958). Αναφέρονται σε τυχαίες μεταβητές Y i ανεξάρτητες και ισόνομες, των οποίων οι κατανομές ικανοποιούν ορισμένες γενικές συνθήκες. Η σημασία των κατανομών ακροτάτων στην τεχνική υδροογία προκύπτει από την ομοιότητα της έννοιας των ακροτάτων, όπως ορίζεται πιο πάνω, με την ανέιξη ακροτάτων, όπως έχει οριστεί στο εδάφιο 4... Έτσι, για παράδειγμα, αν συμβοίσουμε με Y i την ημερήσια παροχή σε μια διατομή ποταμού κατά την ημέρα i και με 365 την μέγιστη ημερήσια παροχή κατά τη διάρκεια ενός έτους, είναι προφανής η σύνδεση των μεταβητών αυτών με την (6.3). Στα πρακτικά προβήματα αντιπημμυρικού σχεδιασμού αυτό που ενδιαφέρει είναι η κατανομή μεταβητών όπως η 365 του παραδείγματος (παρά η κατανομή της Y i ). Ωστόσο, οι αυστηρές προϋποθέσεις, κάτω από τις οποίες προκύπτουν θεωρητικά οι κατανομές ακροτάτων, σπάνια ικανοποιούνται από τις φυσικές υδροογικές μεταβητές. Στο παραπάνω παράδειγμα, οι διάφορες Y i ούτε ανεξάρτητες ούτε ισόνομες μπορούν να θεωρηθούν. Εξ άου η σύγκιση προς την οριακή κατανομή είναι κατά κανόνα πού αργή. Για όους αυτούς τους όγους δεν είναι ποτέ αυτονόητο ότι μια

25 6.3 Ασυμπτωτικές κατανομές ακροτάτων 55 συγκεκριμένη μέγιστη ή εάχιστη υδροογική μεταβητή ακοουθεί την ασυμπτωτική κατανομή που προβέπεται θεωρητικά. Η υιοθέτηση της συγκεκριμένης κατανομής θα πρέπει να γίνεται μετά από έεγχο προσαρμογής στα πραγματικά δεδομένα. Στα παρακάτω εδάφια εξετάζονται οι δύο πιο διαδεδομένες στην τεχνική υδροογία κατανομές ακροτάτων. Στην τεχνική υδροογία χρησιμοποιούνται επιτυχώς και άοι τύποι κατανομών για την περιγραφή ακροτάτων, πέρα από τις ασυμπτωτικές κατανομές. Για παράδειγμα, η ογαριθμοκανονική κατανομή, οι κατανομές γάμα δύο και τριών παραμέτρων και η κατανομή Log Pearson III πού συχνά χρησιμοποιούνται για την περιγραφή υδροογικών μεγίστων (πημμυρικών παροχών, καταιγίδων κτ.) 6.3. Κατανομή μεγίστων τύπου Ι (Gumbel) Η κατανομή μεγίστων τύπου Ι προκύπτει όταν οι μεταβητές Y i είναι ισόνομες και ανεξάρτητες με διάστημα τιμών το (, + ) και η κοινή συνάρτηση πιθανότητας υπέρβασής τους εμφανίζει, τουάχιστον από μια τιμή της μεταβητής και πάνω, εκθετική μείωση, δηαδή μπορεί να εκφραστεί ως F Y (y) = F Y (y) = e g(y) (6.35) όπου η g(y) είναι αύξουσα συνάρτηση του y. Αυτός ο τεευταίος όρος ικανοποιείται από τις πιο κοινές κατανομές (π.χ. κανονική, γάμα, κτ.). Τα διάφορα χαρακτηριστικά της κατανομής φαίνονται στον Πίν Η κατανομή έχει απή μαθηματική έκφραση και διαθέτει δύο παραμέτρους. Το μέγεθος γ που εμφανίζεται στην έκφραση της μέσης τιμής της μεταβητής είναι η σταθερά του Euler. * Τυπικοί υποογισμοί Λόγω της απής μαθηματικής έκφρασης της συνάρτησης κατανομής, οι τυπικοί υποογισμοί είναι άμεσοι και δεν προϋποθέτουν τη χρήση πινά- * Η σταθερά του Euler ορίζεται από τη σχέση γ : = lim ln n n n

26 56 6. Τυπικές συναρτήσεις κατανομής στην τεχνική υδροογία κων ή αριθμητικών μεθόδων. Η συνάρτηση κατανομής υποογίζεται άμεσα αν είναι γνωστή η τιμή της μεταβητής. Επίσης, η αντίστροφη συνάρτηση υποογίζεται αναυτικά, και έτσι το u-ποσοστημόριο της κατανομής δίνεται από την x u = c ln( ln u) (6.36) Πίν. 6.9 Τυποόγιο της κατανομής Gumbel μεγίστων. Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f ( x) Συνάρτηση κατανομής F ( x) = e ( x c) x c ( ) e ( x c) = e e Τιμές μεταβητής - < x < (συνεχής) Παράμετροι c: παράμετρος θέσης > 0: παράμετρος κίμακας Μέση τιμή γ µ = c+ = c+ Διασπορά π 645 σ = =. 6 Τρίτη κεντρική ροπή ( 3). 404 µ = 3 Τέταρτη κεντρική ροπή ( 4) 4. 6 µ = 4 Συντεεστής ασυμμετρίας C s = 396. Συντεεστής κύρτωσης C k = 54. Πιθανότερη τιμή x p = c Διάμεσος τιμή ln( ln 05. ) x0.5 = c = c+ Εκτίμηση παραμέτρων Όπως προκύπτει άμεσα από τις εκφράσεις ροπών του Πίν. 6.9, οι εκτιμήσεις των παραμέτρων της κατανομής με τη μέθοδο των ροπών είναι:

27 6.3 Ασυμπτωτικές κατανομές ακροτάτων 57 π = = 6 s 078. s γ c= x = x = x 045. s (6.37) Ανάογες εξισώσεις προκύπτουν και από μια άη μέθοδο (Gumbel, 958, σ. 7), η οποία βασίζεται στην προσαρμογή εαχίστων τετραγώνων της θεωρητικής συνάρτησης κατανομής προς την εμπειρική κατανομή, όπως δίνεται από τη σχέση Weibull. Στις εξισώσεις αυτής της μεθόδου υπεισέρχονται ορισμένες εκφράσεις του μεγέθους του δείγματος n, πινακοποίηση των οποίων έχει δοθεί από τον Gumbel (958, σ. 8). Αντί των αυθεντικών αυτών εξισώσεων δίνουμε τις ακόουθες τροποποιημένες προσεγγιστικές εξισώσεις, με τις οποίες αποφεύγεται η χρήση πινάκων: = ( + ) 0.65 n ( n +. ) c= x s (6.38) Το σφάμα προσέγγισης, σε σχέση με τις αυθεντικές εξισώσεις, είναι μικρότερο του 0.5% για την πρώτη εξίσωση και του 0.0% για τη δεύτερη (για n 0). Για μικρές πιθανότητες υπέρβασης, η δεύτερη αυτή μέθοδος (εξισώσεις (6.38)) δίνει δυσμενέστερες προβέψεις σε σχέση με αυτές της μεθόδου των ροπών (εξισώσεις (6.37)). Άες μέθοδοι εκτίμησης, στις οποίες περιαμβάνεται και η αρκετά πουποκότερη μέθοδος της μέγιστης πιθανοφάνειας, επισκοπούνται από τον Kite (988, σ. 96). Τυπικό σφάμα ποσοστημορίου και όρια εμπιστοσύνης Στην περίπτωση που οι παράμετροι της κατανομής υποογίζονται με τη μέθοδο των ροπών, η σημειακή εκτίμηση του u-ποσοστημορίου της κατανομής Gumbel μπορεί να γραφεί και με την ακόουθη μορφή, ισοδύναμη της (6.36): όπου, x = x / ln( ln u)/ = x + k s (6.39) u u

28 58 6. Τυπικές συναρτήσεις κατανομής στην τεχνική υδροογία k u u = ln( ln ) = ln( ln u) s (6.40) Σε αυτή την περίπτωση αποδεικνύεται (Gumbel, 958, σ. 8. Kite, 988, σ. 03) ότι το τετραγωνικό τυπικό σφάμα εκτίμησης είναι s ε u ( 396ku ku) =Var( ) = (6.4) n Κατά συνέπεια, τα όρια εμπιστοσύνης του u-ποσοστημορίου για βαθμό εμπιστοσύνης γ είναι κατά προσέγγιση s x u = ( x + k s ) z.., u ± ( )/ ku k +γ u (6.4) n Χαρτί κατανομής Gumbel Μπορεί εύκοα να κατασκευαστεί ειδικό χαρτί της κατανομής Gumbel, στο οποίο η συνάρτηση κατανομής ευθειοποιείται. Αρκεί η διαγράμμιση του οριζόντιου άξονα της πιθανότητας να γίνει με βάση το μέγεθος h = ln( ln F). Η διαγράμμιση του κατακόρυφου άξονα που απεικονίζει τη μεταβητή είναι κοινή δεκαδική, χωρίς κανένα μετασχηματισμό. Όπως προκύπτει από την (6.36), η απεικόνιση της συνάρτησης κατανομής σε τέτοιους άξονες είναι ευθεία. Εφαρμογή 6.3. Στον Πίν. 6.0 δίνεται το δείγμα των μέγιστων ημερήσιων παροχών του ποταμού Ευήνου στη θέση του υδρομετρικού σταθμού Πόρος Ρηγανίου. Ζητείται η προσαρμογή της κατανομής Gumbel (μεγίστων), καθώς και η εκτίμηση της μέγιστης παροχής εκατονταετίας. Η μέση τιμή του δείγματος είναι Η τυπική απόκιση είναι x = x / n = 385. m 3 /s s = x / n x = 8.5 m 3 /s και ο συντεεστής μεταβητότητας

29 6.3 Ασυμπτωτικές κατανομές ακροτάτων 59 Πίν. 6.0 Δείγμα μέγιστης ημερήσιας παροχής (σε m 3 /s) του ποταμού Ευήνου στη θέση Πόρος Ρηγανίου. Υδρο. έτος Μέγιστη παροχή Υδρο. έτος Μέγιστη παροχή Υδρο. έτος Μέγιστη παροχή C^ v = s / x = 8.5 / 385. = 0.47 Ο συντεεστής ασυμμετρίας προκύπτει C^ s = 0.94 δηαδή δεν απέχει πού από τη θεωρητική τιμή.4 της κατανομής Gumbel. Η μέθοδος των ροπών δίνει = / ( ) = , c = = Η μέγιστη ημερήσια παροχή για T = 00, ή ισοδύναμα για u = /00 = 0.99, είναι Με βάση την (6.4), για x 0.99 = ln[ ln(0.99)] / = k u = ( ) / 8.5 = 3.6, z (+γ)/ =.96 υποογίζουμε τα όρια εμπιστοσύνης 95% της τιμής αυτής, τα οποία είναι:. x u.. * *. *.. *., ± ± 33. = 649. Η μέθοδος του Gumbel με εφαρμογή των προσεγγιστικών εξισώσεων (6.38), για n = 0, δίνει

30 60 6. Τυπικές συναρτήσεις κατανομής στην τεχνική υδροογία = , c = 95.7 Η μέγιστη ημερήσια παροχή για T = 00 είναι x 0.99 = 95.7 ln[ ln(0.99)] / = Στο Σχ. 6.3 δίνουμε τη γραφική σύγκριση της εμπειρικής συνάρτησης κατανομής και της κατανομής Gumbel, σε χαρτί κατανομής Gumbel. Για την εμπειρική κατανομή χρησιμοποιήθηκαν οι θέσεις σχεδίασης Weibull και Gringorten (β. Πίν. 5.7). Παρατηρούμε ότι η μέθοδος εκτίμησης παραμέτρων του Gumbel δίνει καύτερη προσαρμογή στην περιοχή των μικρών πιθανοτήτων υπέρβασης, που ενδιαφέρουν περισσότερο. Για σύγκριση έχει σχεδιαστεί και η κανονική κατανομή, η ακαταηότητα της οποίας για το συγκεκριμένο δείγμα είναι εμφανής. Μέγιστη ημερήσια παροχή, x [m 3 /s] Πιθανότητα υπέρβ ασης F (x ) 30 0 Εμπειρική κατανομή - θέση σχεδίασης Weibull Εμπειρική κατανομή - θέση σχεδίασης Gringorten Κατανομή Gumbel - Μέθοδος ροπών Κατανομή Gumbel - Μέθοδος Gumbel Κανονική κατανομή Ανηγμένη μεταβητή Gumbel, k Σχ. 6.3 Εμπειρική και θεωρητική συνάρτηση κατανομής της μέγιστης ημερήσιας παροχής του Ευήνου στον Πόρο Ρηγανίου (Εφαρμογή 6.3.) σε χαρτί κατανομής Gumbel (μεγίστων) Κατανομή εαχίστων τύπου Ι (Gumbel) Κατά ανάογο τρόπο, η κατανομή εαχίστων τύπου Ι προκύπτει όταν οι μεταβητές Y i είναι ισόνομες και ανεξάρτητες με διάστημα τιμών το (, + ) και η κοινή συνάρτηση κατανομής τους εμφανίζει, τουάχιστον από μια τιμή της μεταβητής και κάτω, εκθετική μείωση.

31 6.3 Ασυμπτωτικές κατανομές ακροτάτων 6 Τα διάφορα χαρακτηριστικά της κατανομής, που μοιάζουν πού με αυτά της αντίστοιχης κατανομής μεγίστων, φαίνονται στον Πίν. 6.. Πίν. 6. Τυποόγιο της κατανομής Gumbel εαχίστων. Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f ( x) = x c ( ) e Συνάρτηση κατανομής F ( x) = e e e ( x c) ( x c) Τιμές μεταβητής - < x < (συνεχής) Παράμετροι c: παράμετρος θέσης > 0: παράμετρος κίμακας Μέση τιμή γ µ = c = c Διασπορά π 645 σ = =. 6 Τρίτη κεντρική ροπή ( 3). 404 µ = 3 Τέταρτη κεντρική ροπή ( 4) 4. 6 µ = 4 Συντεεστής ασυμμετρίας C s = 396. Συντεεστής κύρτωσης C k = 54. Πιθανότερη τιμή x p = c Διάμεσος τιμή ln( ln 0. 5) x0.5 = c+ = c Ο υποογιστικός χειρισμός της κατανομής είναι παρόμοιος με αυτόν της αντίστοιχης κατανομής μεγίστων. Η αντίστροφη συνάρτηση υποογίζεται αναυτικά, και έτσι το u-ποσοστημόριο της κατανομής δίνεται από την xu = c+ ln[ ln( u)] (6.43) Παρόμοιος είναι και ο τρόπος εκτίμησης παραμέτρων. Για παράδειγμα η μέθοδος των ροπών δίνει:

32 6 6. Τυπικές συναρτήσεις κατανομής στην τεχνική υδροογία π = = 6 s 078. s γ c= x + = x + = x s (6.44) Γραφικά μπορεί να παρασταθεί στο χαρτί κατανομής Gumbel μεγίστων, με αντιμετάθεση της πιθανότητας υπέρβασης και της πιθανότητας μη υπέρβασης. Μπορεί, όμως, εύκοα να κατασκευαστεί ειδικό χαρτί της κατανομής Gumbel εαχίστων, αρκεί η διαγράμμιση του οριζόντιου άξονα της πιθανότητας να γίνει με βάση το μέγεθος h = ln[ ln ( F)]. Η διαγράμμιση του κατακόρυφου άξονα που απεικονίζει τη μεταβητή είναι κοινή δεκαδική, χωρίς κανένα μετασχηματισμό Κατανομή εαχίστων τύπου ΙΙΙ (Weibull) Η κατανομή εαχίστων τύπου ΙΙΙ προκύπτει όταν οι μεταβητές Y i είναι ισόνομες και ανεξάρτητες με διάστημα τιμών το (c, + ) και η κοινή συνάρτηση κατανομής τους μπορεί να εκφραστεί στη γειτονιά του c ως F Y (y) = ρ (y c) κ (6.45) όπου ρ και κ θετικές σταθερές. Αυτός ο τεευταίος όρος ικανοποιείται από διάφορες κατανομές όπως η γάμα. Αποδεικνύεται ότι σε αυτή την περίπτωση η ασυμπτωτική κατανομή των εαχίστων * είναι η F ( x) = e x c α c κ (6.46) Η κατανομή έχει τρεις παραμέτρους. Στον Πίν. 6. φαίνονται τα διάφορα χαρακτηριστικά της κατανομής για την περίπτωση που η παράμετρος θέσης c έχει τιμή μηδέν. Αυτή η απουστευμένη διπαραμετρική κατανομή είναι η πιο συνηθισμένη στην υδροογία (π.χ. για την περιγραφή παροχών ξηρασίας), είναι δε γνωστή και ως κατανομή Weibull. * Η αντίστοιχη κατανομή μεγίστων τύπου ΙΙΙ ορίζεται κατ αναογία και έχει συνάρτηση κατανομής F ( x) = e c x c α κ

33 6.3 Ασυμπτωτικές κατανομές ακροτάτων 63 Τυπικοί υποογισμοί Λόγω της απής μαθηματικής έκφρασης της συνάρτησης κατανομής, οι τυπικοί υποογισμοί είναι άμεσοι και δεν προϋποθέτουν τη χρήση πινάκων ή αριθμητικών μεθόδων. Η συνάρτηση κατανομής υποογίζεται άμεσα αν είναι γνωστή η τιμή της μεταβητής. Επίσης, η αντίστροφη συνάρτηση υποογίζεται αναυτικά, και έτσι το u-ποσοστημόριο της κατανομής δίνεται από την [ u ] xu = α ln( ) /κ (6.47) Πίν. 6. Τυποόγιο της κατανομής Weibull (δύο παραμέτρων). Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f κ x α α κ ( x / ) ( x) = e ( x/ ) Συνάρτηση κατανομής F ( x) = e Τιμές μεταβητής 0 < x < (συνεχής) Παράμετροι α > 0: παράμετρος κίμακας κ > 0: παράμετρος σχήματος Μέση τιμή µ = αγ + κ Διασπορά σ α = Γ + + κ Γ κ Τρίτη ροπή περί την αρχή (3) 3 3 m = α Γ + κ Συντεεστής μεταβητότητας Cv = Γ + + Γ / κ κ Πιθανότερη τιμή x p = α( / κ) / κ (για κ > ) / κ x 0.5 Διάμεσος = α( ln) Εκτίμηση παραμέτρων Όπως προκύπτει άμεσα από τις εκφράσεις ροπών του Πίν. 6., οι εξισώσεις της μεθόδου των ροπών είναι: α κ α κ

34 64 6. Τυπικές συναρτήσεις κατανομής στην τεχνική υδροογία Γ Γ ( + / κ ) ( + / κ ) s = + x α = x Γ + / ( κ ) (6.48) Η επίυση της πρώτης εξίσωσης ως προς κ γίνεται μόνο αριθμητικά. Μια απούστερη μέθοδος προκύπτει αν χρησιμοποιηθεί ο μετασχηματισμός Y = ln. Εύκοα συμπεραίνουμε ότι η συνάρτηση κατανομής της Y είναι F Y ( y) = e e κ ( ln α ) y (6.49) δηαδή είναι η συνάρτηση κατανομής εαχίστων τύπου Ι με παράμετρο θέσης ln α και παράμετρο κίμακας κ. Επομένως, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τις εξισώσεις της τεευταίας προκειμένου να εκτιμήσουμε τις άγνωστες παραμέτρους. Έτσι παίρνουμε κ = α = 078. s Y + e y 0.45 s Y (6.50) όπου y και s Y η δειγματική μέση τιμή και τυπική απόκιση, αντίστοιχα, των ογαρίθμων της μεταβητής. Για τις εξισώσεις της τριπαραμετρικής κατανομής εαχίστων τύπου ΙΙΙ ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης παραπέμπεται στον Kite (988, σ. 54). Χαρτί κατανομής Weibull Μπορεί εύκοα να κατασκευαστεί ειδικό χαρτί της κατανομής Weibull, στο οποίο η συνάρτηση κατανομής ευθειοποιείται. Αρκεί η διαγράμμιση του οριζόντιου άξονα της πιθανότητας να γίνει με βάση το μέγεθος h = ln[ ln ( F)] (όπως και στο χαρτί Gumbel εαχίστων) και του κατακόρυφου άξονα που απεικονίζει τη μεταβητή με βάση το μέγεθος v = ln x (ογαριθμική κίμακα). Όπως προκύπτει από την (6.47), η απεικόνιση της συνάρτησης κατανομής σε τέτοιους άξονες είναι ευθεία. Το χαρτί Weibull χρησιμοποιείται ακόμη για την παράσταση της εκθετικής κατανομής, η οποία είναι ειδική περίπτωση και της γάμα και της Weibull. Εφαρμογή Στον Πίν. 6.3 δίνεται το δείγμα των εάχιστων ημερήσιων παροχών του ποταμού Ευήνου στη θέση του υδρομετρικού σταθμού Πόρος Ρηγα-

35 6.3 Ασυμπτωτικές κατανομές ακροτάτων 65 νίου. Ζητείται η προσαρμογή των κατανομών Gumbel (εαχίστων) και Weibull, καθώς και η εκτίμηση της εάχιστης παροχής εικοσαετίας. Πίν. 6.3 Δείγμα εάχιστης ημερήσιας παροχής (σε m 3 /s) του ποταμού Ευήνου στη θέση Πόρος Ρηγανίου. Υδρο. έτος Εάχιστη παροχή Υδρο. έτος Εάχιστη παροχή Υδρο. έτος Εάχιστη παροχή Η μέση τιμή του δείγματος είναι Η τυπική απόκιση είναι x = x / n =.545 m 3 /s s = x / n x = m 3 /s και ο συντεεστής μεταβητότητας C^ v = s / x = 0.878/.545 = 0.57 Ο συντεεστής ασυμμετρίας προκύπτει C^ s = 0.40 Η αρνητική αυτή τιμή του συντεεστή ασυμμετρίας είναι αναμενόμενη για ένα δείγμα εάχιστων παροχών. Για την κατανομή Gumbel, η μέθοδος των ροπών δίνει = / ( ) =.460, c = =.940. Η εάχιστη ημερήσια παροχή για T = 0, ή ισοδύναμα για u = /0 = 0.05, είναι x 0.05 = ln[ ln( 0.05)] /.460 = 0.09 Φυσικά, η αρνητική τιμή δεν έχει νόημα και γι αυτό θα θεωρήσουμε ότι το ζητούμενο μέγεθος είναι μηδέν.

36 66 6. Τυπικές συναρτήσεις κατανομής στην τεχνική υδροογία Για την κατανομή Weibull η μέθοδος των ροπών δίνει κ =.86, α =.738 Η εύρεση της τιμής του κ προϋποθέτει αριθμητική επίυση της πρώτης από τις εξισώσεις (6.48). Για έεγχο δίνουμε τις τιμές των μεγεθών που υπεισέρχονται στην εν όγω εξίσωση: Γ( + /κ) = Γ(.095) =.044, Γ( + /κ) = Γ(.548) = H μέθοδος εκτίμησης παραμέτρων με ογαριθμικό μετασχηματισμό της μεταβητής εδώ δεν είναι εφαρμόσιμη, όγω της παρουσίας της μηδενικής τιμής στο συγκεκριμένο δείγμα. Η εάχιστη ημερήσια παροχή για T = 0 είναι x 0.05 =.738 [ ln( 0.05)] /.86 = 0.34 m 3 /s Πιθανότηταυπέρβασης,F (x ) Εάχιστη ημερήσια παροχή, x [m 3 /s] Εμπειρική κατανομή - θέση σχεδίασης Weibull Κατανομή Gumbel εαχίστων Κατανομή Weibull Κανονική κατανομή Ανηγμένη μεταβητή Gumbel, k Σχ. 6.4 Εμπειρική και θεωρητική συνάρτηση κατανομής της εάχιστης ημερήσιας παροχής του Ευήνου στον Πόρο Ρηγανίου (Εφαρμογή 6.0) σε χαρτί κατανομής Gumbel (εαχίστων). Στο Σχ. 6.4 δίνουμε τη γραφική σύγκριση της εμπειρικής συνάρτησης κατανομής και των δύο παραπάνω θεωρητικών κατανομών, σε χαρτί κατανομής Gumbel εαχίστων. Για την εμπειρική κατανομή χρησιμοποιήθηκε η θέση σχεδίασης Weibull. Παρατηρούμε ότι καμία από τις δύο θεωρητικές κατανομές δεν προσαρμόζεται πού καά στο

37 6.4 Άες χρήσιμες κατανομές 67 δείγμα, αά πάντως η κατανομή Gumbel είναι σχετικά καύτερη, ιδίως στην περιοχή των μικρών πιθανοτήτων μη υπέρβασης, που ενδιαφέρουν περισσότερο. Το γεγονός ότι η κατανομή Weibull ορίζεται μόνο για θετικές τιμές της μεταβητής αποτεεί κατ αρχήν συγκριτικό θεωρητικό πεονέκτημα της κατανομής αυτής. Ωστόσο, για το συγκεκριμένο δείγμα αυτό είναι εμφανώς μειονέκτημα γιατί, όπως φαίνεται στο Σχ. 6.4, οδηγεί σε μεγάη απόκιση από την εμπειρική συνάρτηση κατανομής. Καύτερη συμπεριφορά έχει η κατανομή Gumbel, με την προϋπόθεση όμως ότι απαείφουμε εκείνο το τμήμα της που αντιστοιχεί σε αρνητικές τιμές της μεταβητής. Για σύγκριση έχει σχεδιαστεί και η κανονική κατανομή, η οποία τοποθετείται ανάμεσα στις δύο κατανομές εαχίστων. 6.4 Άες χρήσιμες κατανομές 6.4. Κατανομή βήτα δύο παραμέτρων Η κατανομή βήτα είναι μια πού βασική κατανομή της θεωρίας πιθανοτήτων, η οποία χρησιμοποιείται αρκετά συχνά στην υδροογία, κυρίως για δεσμευμένες κατανομές υδροογικών μεταβητών. Βασική της ιδιότητα είναι ότι το πεδίο ορισμού της μεταβητής είναι το φραγμένο διάστημα [0, ] (σε αντίθεση με όες τις άες κατανομές που εξετάστηκαν, των οποίων το πεδίο ορισμού εκτείνεται μέχρι το + ). Η κατανομή έχει δύο παραμέτρους σχήματος α και β (εύκοα μπορεί να εισαχθεί και μια παράμετρος κίμακας). Ανάογα με τις τιμές των παραμέτρων η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας μπορεί να αποκτήσει διάφορα σχήματα. Για α = β = η κατανομή μεταπίπτει στην ομοιόμορφη, ενώ για α = και β = (ή α = και β = ) μεταπίπτει στην τριγωνική με αρνητική (θετική) ασυμμετρία. Για α < (ή β < ) η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας απειρίζεται στο σημείο x = 0 (x = ). Για α > και β > η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας αποκτά κωδωνοειδές σχήμα. Στον Πίν. 6.4 δίνονται τα διάφορα χαρακτηριστικά της κατανομής.