ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Mεγιστικές συναρτήσεις/τελεστές

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Mεγιστικές συναρτήσεις/τεεστές 2 Eισαγωγή Στο κεφάαιο αυτό ορίζουµε την έννοια του µεγιστικού τεεστή και δείχνουµε τη σπουδαιότητά του όσον αφορά την απόδειξη θεωρηµάτων που σχετίζονται µε τη σηµειακή σπ σύγκιση σε χώρους L Eνα σηµαντικό εργαείο για τη µεέτη µεγιστικών τεεστών (και όχι µόνον) είναι το Θεώρηµα παρεµβοής Mcikiewicz που επεκτείνει το θεώρηµα παρεµβοής Riesz- Thoi που αναφέραµε στο προηγούµενο κεφάαιο για υπογραµ- µικούς τεεστές Το Θεώρηµα αυτό µας επιτρέπει να δείξουµε ότι ένας υπογραµµικός τεεστής που είναι φραγµένος σε δυο ασθενείς χώρους L και L q (µε την έννοια που θα ορίσουµε παρακάτω) είναι φραγµένος στο χώρο L για κάθε δείκτη µεταξύ των, q Ετσι για να δείξουµε τη συνέχεια ενός τεεστή σε κάποιο χώρο L αρκεί να δείξουµε ότι αυτός είναι ασθενώς φραγµένος σε δυο απούστερους χώρους (συνήθως L και L ή L και L 2 ή L 2 και L ) και στη συνέχεια να συµπεράνουµε τη συνέχεια στον L µέσω παρεµβοής 58

2 22 Το Θεώρηµα Mcikiewicz είναι χώρος µέτρου και : X µετρήσιµη συνάρτηση Εστω ( X,, µ ) Ορισµός 2 Καούµε κατανοµή (distibutio) της ως προς το µέτρο µ τη µη αρνητική συνάρτηση ({ }) [ ] d :,, : d = µ x X : x > Eίναι εύκοο να δούµε ότι η d είναι φθίνουσα συνάρτηση, άρα µετρήσιµη Αναφέρουµε ορισµένες χρήσιµες ιδιότητες της συνάρτησης κατανοµής: (i) Aν g, τότε d dg (ii) Aν σηµειακά, τότε d d σηµειακά (iii) Αν, (iv) Αν, Πρόταση 2 k >, τότε d ( k ) d ( k) d ( ) g h g h k >, τότε d ( k ) d ( k) d ( ) g g Εστω < < και L ( X, µ ) Τότε Ορισµός 22 Εστω d L d = < < και είναι όπως παραπάνω Αν, > / { d ( )} = su, τότε ο χώρος όων των συναρτήσεων µε, ασθενής χώρος L X µ L, συµβοικά,, < καείται Σηµειώνουµε ότι η συνάρτηση δεν ικανοποιεί την τριγωνική, 59

3 ανισότητα Πράγµατι, ισχύει / g mx 2,2 g,,, κι έτσι η δεν είναι νόρµα Είναι όµως µια οιονεί-νόρµα (qusiom), ως προς την οποία ο L, ( X, µ ) είναι ένας οιονεί χώρος, Bch (qusi-bch sce) Με άα όγια, ισχύει η ισότητα = = µ σπ και c = c Πράγµατι:,,, ({ }) { } d = µ x : c x > = µ x : x > / c = d / c c Ετσι / / { c } { } c = su d = su cb d b = c,, > bc > Υπενθυµίζουµε επίσης την ανισότητα Chebychev απ όπου προκύπτει άµεσα ότι d () Με άα όγια:, (, µ ) (, µ ) L X L X, Ορισµός 23 Ενας τεεστής T : ( X, µ ) ( Y, ν ) καείται υπογραµµικός αν T( bg)( x) T ( x) b Tg( x) x X,, b Ορισµός 24 Εστω q, [, ] και είναι υπογραµµικός τεεστής Aν ( µ ) ( ν ) T : L X, L Y, q T q M 6

4 για κάποια θετική σταθερά M, τότε έµε ότι ο T είναι (, q) - ισχυρώς φραγµένος τεεστής Ορισµός 25 Εστω q, [, ] και είναι υπογραµµικός τεεστής Αν ( µ ) ( ν ) T : L X, L Y, q, T q, M για κάποια θετική σταθερά M, τότε έµε ότι ο T είναι (, q) - ασθενώς φραγµένος τεεστής Επίσης έµε ότι ο T είναι (, ) - ασθενώς φραγµένος τεεστής αν και µόνον αν ο T είναι (, ) - ισχυρώς φραγµένος τεεστής Θεώρηµα 2 (Mcikiewicz, ασθενής µορφή) Εστω ( X,, µ ), ( Y,, ν ) είναι χώροι µέτρου, ( Y ) είναι ο χώρος των µιγαδικών µετρήσιµων συναρτήσεων στο Y, < και ( µ ) ( µ ) ( ν) T : L X, L X, Y, είναι υπογραµµικός τεεστής Αν ο T είναι (, ) φραγµένος τεεστής και (, ) ο T είναι (, ) -ασθενώς -ασθενώς φραγµένος τεεστής, τότε -ισχυρώς φραγµένος τεεστής για κάθε < < Απόδειξη Εστω < < οθείσης L και θετικής σταθεράς c (που θα προσδιορίσουµε παρακάτω), για > γράφουµε =, όπου = χ L { x X: ( x) > c} = χ L { x X: ( x) c } (β απόδειξη Πρότασης 5, Κεφααίου ) Εξ υποθέσεως έχουµε: 6

5 Αρα T x T x T x ( ) ( /2 ) ( /2) d d d T T T από τις παραπάνω ιδιότητες της συνάρτησης κατανοµής (β ιδιότητα (iii)) Θεωρούµε δυο περιπτώσεις: (α): = Τότε Tg A g για κάποια θετική σταθερά A Επιέγουµε c= /(2 A ) και έχουµε άρα T ( x ) T A Ac A = 2 = A 2, dt ( /2) µ = x X : T x > = 2 Επίσης από την ασθενή (, ) όπου d ανισότητα του T παίρνουµε T Tg A g g L ( /2) 2A, (2) για κάποια θετική σταθερά, την Πρόταση 2 παίρνουµε: µ T T ( /2) T = T d = d d Με χρήση της (2) έχουµε X ( 2 ) x X: x c T A x d d { > } d d µ A Από ( 2 ) x / c A x d dµ = 2 ( 2 ) X A A (β): < Από την υπόθεση ισχύουν οι κάτωθι ανισότητες: 62

6 j 2Aj dt ( /2),, j j j = j Eργαζόµενοι όπως παραπάνω (για τυχαίο c > ) παίρνουµε: T ( 2 ) A x d d : { x X ( x) > c } µ ( 2 ) A x d d : { x X ( x) c} µ 2 A 2 A = c c Αναφέρουµε χωρίς απόδειξη και τη γενική µορφή του θεωρήµατος: Θεώρηµα 2 (Mcikiewicz, γενική µορφή) είναι ο χώρος των µιγαδικών µετρήσιµων συναρτήσεων στο Y,,, Εστω ( X,, µ ), ( Y,, ν ) είναι χώροι µέτρου, ( Y ) ( µ ) ( µ ) ( ν) T : L X, L X, Y,, είναι υπογραµµικός τεεστής, q, q, q, q, q q και t t t t =, =, t (,) q q q Αν ο T είναι (, q) -ασθενώς φραγµένος τεεστής και (, ) ασθενώς φραγµένος τεεστής, τότε ο T είναι (, ) φραγµένος τεεστής q - q -ισχυρώς Παρατήρηση Το θεώρηµα Mcikiewicz γενικεύει το θεώρηµα Riesz-Thoi Υστερεί όµως στον υποογισµό της σταθεράς M (β θεώρηµα 5, Κεφ ) 63

7 23 Η µεγιστική συνάρτηση των Hdy-Littlewood Ορισµός 26 Εστω : X είναι Lebesgue µετρήσιµη συνάρτηση Λέµε ότι η είναι τοπικά οοκηρώσιµη στο X αν, x dx< K X K συµπαγες K Ο χώρος όων των τοπικά οοκηρώσιµων συναρτήσεων στο X L X συµβοίζεται µε,loc Προφανώς L X L X,loc Ο παραπάνω ορισµός γενικεύεται και για τοπικά οοκηρώσιµες συναρτήσεις Στο εξής συµβοίζουµε µε { : } ( x x, ) x = y y x < = το ανοικτό διάστηµα κέντρου x και ακτίνας και µε A το µέτρο Lebesgue µετρήσιµου συνόου A Ορισµός 27 Εστω L,loc ( ) Ορίζουµε τη µεγιστική συνάρτηση Ηdy-Littlewood της στο x ως εξής: Ισοδύναµα: M ( x) = su ( y) dy > ( x) > ( x) M ( x) = su ( x y) dy 2 y < ( χ[, ])( x) = su (3) > 2 O ορισµός 27 γενικεύεται αναόγως και στο χώρο Για κάθε x, η µεγιστική συνάρτηση Hdy-Littlewood µας δίνει το εάχιστο άνω φράγµα των µέσων όρων της ως προς όα τα διαστήµατα κέντρου x και ακτίνας Προφανώς M ( x) Η απεικόνιση 64

8 M καείται µεγιστικός τεεστής Hdy-Littlewood Προφανώς ο τεεστής M : L L είναι φραγµένος διότι x 2 ( y) dy M 2 = x 2 Με άα όγια, ο M είναι (, ) -ισχυρώς (και εξ ορισµού ασθενώς) φραγµένος Θα δείξουµε ότι Θεώρηµα 22 Ο µεγιστικός τεεστής M είναι (,) ασθενώς φραγµένος (και εφόσον είναι και (, )-ασθενώς φραγµένος θα είναι και (, ) ισχυρώς φραγµένος για κάθε < <) Για την απόδειξη του θεωρήµατος αυτού θα χρειασθούµε το ακόουθο Λήµµα το οποίο παραθέτουµε χωρίς απόδειξη: Λήµµα 2 (κάυψης Vitlli) E είναι µια οικογένεια (αριθµήσιµη ή όχι) ανοικτών A διαστηµάτων του µε su E < και E = E Tότε υπάρχει Εστω { } ακοουθία { E } { E } έτσι ώστε k A k µε στοιχεία ξένα µεταξύ τους ανά δύο, A E 5 E k k Απόδειξη Θεωρήµατος 22 Θα χρησιµοποιήσουµε το Θεώρηµα Mcikiewicz Σηµειώνουµε ότι ο M είναι υπογραµµικός τεεστής, ασθενώς φραγµένος Aρκεί και όπως ήδη έχουµε πει είναι να δείξουµε ότι ο M είναι (,) ασθενώς φραγµένος Με άα όγια θα δείξουµε ότι { } M = su dm C L, > 65

9 { } Εστω A x: M ( x) έτσι ώστε = > Τότε, για κάθε x A, υπάρχει ακτίνα x x x ( y) dy> 2x < ( y) dy 2 x x x (4) Πραφανώς η οικογένεια { x : x A } Από το Λήµµα 2 υπάρχει ακοουθία καύπτει το σύνοο A x k x ( x ), k =, ξένων µεταξύ τους ανά δύο ανοικτών διαστηµάτων τέτοια ώστε A k ( ) 5 = 5 2 x A k k x x xk k Απ αυτήν την ανισότητα και την (4) παίρνουµε Αρα 5 5 A 5 2 y dy k k xk x k xk x k x k A 5 d 5 M 5, M Συνεπώς ο M είναι (,) ασθενώς φραγµένος τεεστής Σηµείωση To θεώρηµα 23 γενικεύεται και στον 66

10 24 Προσεγγιστικές µονάδες και µεγιστικοί τεεστές Ας δούµε τώρα άες κάσεις µεγιστικών τεεστών Πρώτα δίνουµε τον εξής: Oρισµός 28 Εστω { K } > είναι µια οικογένεια µετρήσιµων συναρτήσεων στο που ικανοποιούν τις ακόουθες ιδιότητες: =, (α) K ( x) dx (β) su > K L C < για κάποια (απόυτη) σταθερά C, lim x dx= για κάθε φιξαρισµένο δ > (γ) K x δ Τότε η οικογένεια { K } καείται προσεγγιστική µονάδα Μπορούµε εύκοα να κατασκευάσουµε προσεγγιστικές µονάδες ως εξής: Εστω φ L ( ) είναι τέτοια ώστε φ ( x) dx = Τότε η οικογένεια x φ ( x) = φ (5) είναι µια προσεγγιστική µονάδα Για κάθε τέτοια οικογένεια συναρτήσεων και L ( ) ορίζουµε την ακοουθία τεεστών Τότε η U = φ su U x = U x (6) > είναι µια µεγιστική συνάρτηση και επιπέον ισχύει η ακόουθη Πρόταση 22 Εστω φ L φθίνουσα στο (, ), { } είναι θετική και άρτια συνάρτηση που είναι και φ είναι όπως στην (5), U είναι όπως στην (6) και M είναι η µεγιστική συνάρτηση των Hdy-Littlewood Τότε 67

11 Αρα ο τεεστής U (, ) φ U x M x L είναι ισχυρώς φραγµένος για κάθε <, ασθενώς φραγµένος και Απόδειξη Εστω φ είναι απή συνάρτηση της µορφής και Τότε j j, j j, φ = χ > < φ k= j x = j k= ( x) jχ x U = φ = k j χ = j j = j k χ = j j j j M x = M x φ, ( ) k= j j L όπου η τεευταία ανισότητα προέκυψε από την (3) Αρα U φ M L Στη γενικότερη περίπτωση που η φ είναι µη απή συνάρτηση, τότε ως γνωστό προσεγγίζεται σηµειακά από µια g απών συναρτήσεων Αν αύξουσα ακοουθία { } m τότε από το Λήµµα Ftou g x = g x,,m m L U = φ lim g = lim U g lim g M φ M, m, m, m m m m L L 68

12 Πόρισµα 2 Εστω ψ φ όπου η φ ικανοποιεί τις προϋποθέσεις της Πρότασης 2 Τότε su ψ x M x φ Θεώρηµα 23 (Μεγιστικοί τεεστές και σύγκιση σπ) Εστω >, R : L ( X, ) Y γραµµικών τεεστών, όπου ( Y ) L µ, < είναι µια ακοουθία µετρήσιµων συναρτήσεων στο Y και Αν ο τεεστής R κάποιο q <), τότε το σύνοο είναι ο χώρος των µιγαδικών su R x = R x είναι (, ) q ασθενώς φραγµένος (για { L ( X, µ ): lim R ( x) = ( x), σηµειακα σπ } L X µ είναι κειστό στον (, ) Απόδειξη Εστω { } L( X, µ ) L και R ( x) ( x) του έτσι ώστε lim = µε τη νόρµα lim = σηµειακά σπ Τότε { } x X : limsu R x x > µ α { x X : limsu R ( )( x) ( )( x) } = µ > α { } x X : limsu R x /2 µ > α { x X : limsu ( )( x) /2} µ > α 69

13 { } { x X R( )( x) } x X ( )( x) µ : > α /2 µ : > α/2 q 2C 2,, α α διότι ο R είναι (, q) ασθενώς φραγµένος και ισχύει η () Αρα µ { } x X : limsu R x x > { } x X R x x k µ : limsu / k= > = Πόρισµα 22 (Lebesgue) Εστω L ( ), < Τότε lim ( ) = x y dy x σπ Απόδειξη Είναι γνωστό ότι ο µεγιστικός τεεστής Hdy- Littlewood είναι (,)-ασθενώς φραγµένος Εστω Τότε L ( x) = su L ( x) = su ( x y) dy L ( x) M ( x) άρα ο L είναι (,)-ασθενώς φραγµένος Από το θεώρηµα 23 το σύνοο { ( ): lim, σηµειακα σπ } A = L L x = x είναι κειστό στον L Αά αν είναι συνεχής συνάρτηση πάνω σε φραγµένο φορέα τότε είναι εύκοο να δείξουµε ότι 7

14 lim L x = x Το σύνοο αυτών των συναρτήσεων είναι πυκνό στον L και ταυτόχρονα ανήκει στο σύνοο A Εφόσον το A είναι κειστό αναγκαστικά A = L Σηµείωση Το Πόρισµα 22 γενικεύεται και για L,loc 7

15 25 Ασκήσεις Υποογίστε τη συνάρτηση κατανοµής d της απής συνάρτησης s( x) = b, j jχ A b = j j, όπου A j είναι ξένα µεταξύ τους ανά δύο µετρήσιµα σύνοα 2 Eστω, g µετρήσιµες συναρτήσεις είξτε ότι (i) Aν g, τότε d dg k >, τότε d ( k ) d ( k) d ( ) (ii) Αν, (iii) Αν, g g k >, τότε d ( k ) d ( k) d ( ) g g (iv) Aν σηµειακά, τότε d d σηµειακά 3 Αποδείξτε την Πρόταση 2 4 Εστω : E είναι µετρήσιµη συνάρτηση, > είναι µια { } σταθερά και : A = x E x > Αν = χ c ( ) χ A και h sig δείξτε ότι: A (i) = g h (ii) d ( b) = d ( b) και dh ( b) g 5 είξτε την ανισότητα Chebychev A g = sig χ, d b b< = b ({ : d }), = µ x x > > 72

16 6 Βρείτε συνάρτηση ( ), αά L, ( <) 7 Εστω L ( X µ ) δείξτε ότι,, L, και E X q q/ E q (i) L E L ( X), q µ µε ( E) q µ < Αν q< < (ii) L ( X) L ( X) L ( X), υπό την προϋπόθεση ( X ), q µ < Υπόδειξη Χρησιµοποιείστε την Πρόταση 2 και το γεγονός ότι µ ( E { x: ( x) > }) mi µ ( E),, 8 Εστω q < < < και L, ( X, µ ) Lq, ( X, µ ) (, ) L X µ αποδεικνύοντας ότι είξτε ότι όπου (,) C, q,,, q, 9 Aν T είναι (, q) ισχυρώς φραγµένος γραµµικός τεεστής δείξτε ότι ο T είναι (, q) ασθενώς φραγµένος τεεστής Εστω < <, (, ) (,) ασθενώς φραγµένος γραµµικός τεεστής µε νόρµα και (, ) ισχυρώς φραγµένος µε νόρµα L L είναι (, ) X µ χώρος µέτρου και T είναι T L L, T είξτε ότι ο T ισχυρώς φραγµένος τεεστής Στη συνέχεια δείξτε ότι T T T L L L L L L ( )/2 ( )/2 για κάποιο (,) Υπόδειξη Χρησιµοποιείστε την ασθενή µορφή του θεωρήµατος 73

17 Mcikiewicz και στη συνέχεια χρησιµοποιείστε κατάηα το θεώρηµα 5 παρεµβοής Riesz-Thoi =, > π x είξτε ότι η οικογένεια Poisso P ( x) 2 2 µια προσεγγιστική µονάδα είναι 2 Αν L ( ) είναι συνεχής σε σηµείο x και { K } > προσεγγιστική µονάδα, δείξτε ότι lim K ( x ) ( x ) 3 Αν L ( ) ( <) και ( x) είναι µια = σηµειακά x Ψ = ψ είναι µια C ψ x >, δείξτε ότι x προσεγγιστική µονάδα, όπου, lim K x = x σπ στο Υπόδειξη Συνδυάστε την Πρόταση 22, το Πόρισµα 2 και το Θεώρηµα 23 µε την άσκηση 2 και το γεγονός ότι το σύνοο των συνεχών συναρτήσεων µε φραγµένο φορέα είναι πυκνό στον L 4 Αν M είναι η µεγιστική συνάρτηση των Hdy-Littlewood υποογίστε την Mχ [, ], < b,, b b 5 Αν η µεγιστική συνάρτηση M των Hdy-Littlewood µηδενίζεται για κάποιο x, δείξτε ότι M ( x ) = σπ στο 6 Εστω L M L ( ), είξτε ότι η µεγιστική συνάρτηση 7 Αν M είναι η µεγιστική συνάρτηση των Hdy-Littlewood, B φραγµένο και C > σταθερά, δείξτε ότι, M 2 B C log B 74

18 όπου log t mx{ log t,} = k k 8 Εστω Ek, =,, k, είναι «δυαδικά» διαστήµατα 2 2 Ορίζουµε το «δυαδικό» µεγιστικό τεεστή όπου M ( x ) = su M ( x, ) d Md x y dy k E E x L k, E k, k, (, ) = χ, d, (α) είξτε ότι ο τεεστής (, ) ισχυρώς φραγµένος M είναι d, ασθενώς φραγµένος και (β) είξτε ότι ο < < ` M είναι (, ) d ισχυρώς φραγµένος για κάθε (γ) είξτε ότι lim M (, x) ( x) d = σπ 75