Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Λύκεια

Transcript

1 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΑ 6 η Δοκιμασία ο Θέμα Στις ερωτήσεις έως και 4 να επιλέξτε τη σωστή απάντηση αιτιολογώντας την απάντησή σας. Ερώτηση : Το κυκλικό γράφημα δείνει τον αριθμό και το είδος των μεταλλίων που κέρδισε η Ελλάδα στους θερινούς Ολυμπιακούς Αγώνες στην Αθήνα το 004. Το ποσοστό των μεταλλίων που κέρδισε η Ελλάδα και δεν είναι ρυσά είναι το: α) 5% β) 5% γ) 60% δ) 6,5% Ερώτηση : Ο πίνακας παρουσιάζει το κόστος στάθμευσης αυτοκινήτου σε ένα parking. Ώρες στάθμευσης 4 Κόστος στάθμευσης (σε ευρώ) Το γράφημα που αντιπροσωπεύει καλύτερα το συνολικό κόστος της στάθμευσης ως συνάρτηση του ρόνου είναι το:

2 Ερώτηση : Ποιος πίνακας τιμών αντιπροσωπεύει τον παρακάτω κανόνα: «πάρε ως αριθμό y το άθροισμα ενός άλλου αριθμού x με το τετράγωνό του» Ερώτηση 4: Στο διπλανό σήμα η υποτείνουσα ισούται με: α) συν56 β) ημ56 γ) συν δ) μ ο Θέμα Α.. Να αποδείξετε την ταυτότητα : α β α -β α β. Αν y y, να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της παράστασης y y Β. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις :. 6x 5-4x y - x y y 4. 4x - 0x 5x. ( α ) - β

3 ο Θέμα Στο ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ ισύει ΑΒ 4cm, ΓΔ cm και οι γωνίες, είναι 45 ο.. Να αποδείξετε ότι το ύψος του ΒΖ είναι 4 cm.. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τραπεζίου ΑΒΓΔ. 4 ο Θέμα Οι λάμπες φωτισμού παλαιού τύπου (λάμπες πυρακτώσεως) κοστίζουν 0,5 η μία και έουν μέση διάρκεια ζωής 00 ώρες. Οι λάμπες φωτισμού νέου τύπου (led) κοστίζουν 6 η μία και έουν μέση διάρκεια ζωής ώρες. Ποιου τύπου λάμπες θα προτιμήσετε από οικονομικής πλευράς; (Δικαιολογήστε την απάντησή σας)

4 Ενδεικτικές απαντήσεις ο Θέμα Ερώτηση ύ ί ί Δεν είναι ρυσά τα 0 άρα 0,65 6,5% Σωστή απάντηση η δ. Ερώτηση Το γράφημα που αντιπροσωπεύει καλύτερα το συνολικό κόστος της στάθμευσης ως συνάρτηση του ρόνου είναι αυτό που ανήκουν πάνω του τα σημεία με συντεταγμένες (,5), (,0), (,5) και (4,40) Σωστή απάντηση η γ Ερώτηση H σέση είναι y x x, οπότε η σωστή απάντηση είναι η b Ερώτηση 4 Σωστή απάντηση είναι η δ, γιατί ημ56 ο έ ί ά ο Θέμα Α.. Αναπτύσσοντας τις ταυτότητες (α β), (α β) προκύπτει η ζητούμενη σέση.. y () y Υψώνουμε και τα δύο μέλη της σέσης () στο τετράγωνο και υπολογίζουμε την παράσταση : ( ) ή 9 ή 9 ή 7 Β.. 6x 5 4x y x y y 4 x (x y) y (x y) (x y)(x y ). 4x 0x 5x x(4x 0x 5) x(x-5). ( α ) β ( α β)( α β)

5 ο Θέμα. Το ΑΒΖΕ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, άρα ΖΕ ΑΒ 4 cm. Επειδή το τραπέζιο είναι ισοσκελές ΔΕ ΓΖ 4 cm. Το τρίγωνο ΒΖΓ είναι ορθογώνιο και η γωνία είναι 45 ο άρα και η γωνία του τριγώνου είναι 45 ο. Επομένως ΒΖ ΖΓ 4 cm.. Το εμβαδόν του τραπεζίου ΑΔΒΓ είναι ( ) ( ) ( ) 4 ο Θέμα Με αναγωγή στην τιμή του κάθε τύπου λάμπας για μια ώρα λειτουργίας της, προκύπτουν τα παρακάτω κλάσματα, Αν μετατραπούν σε ισοδύναμα με ίδιο αριθμητή, προκύπτει: 0,5 0,5 x 6 6 >, δηλαδή, συμφέρουν οι λάμπες νέου τύπου (led) x

6 7 η Δοκιμασία ο Θέμα α. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ταυτότητες, ώστε να εκφράζουν τις αξιοσημείωτες ταυτότητες:. ( α β ) ( α αβ β ). α αβ α β β. (α -β) 4. (αβ)(α-β) β. Να αρακτηρίσετε τις παρακάτω ισότητες με (Σ) σωστό ή με (Λ) λάθος.. ( )( ) α β β α α β. ( ) ( ) α β α αβ β α β. α β ( α β ) 4. ( α β ) β α αβ ( α β ) 5. ο Θέμα Δίνονται τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΕΔΖ. ) Να δικαιολογήσετε γιατί είναι όμοια. ) Να δείξετε ότι ο λόγος ομοιότητας του ΑΒΓ προς το ΔΕΖ είναι: λ ο Θέμα Σε ένα τετράγωνο αυξάνουμε το μήκος κάθε μιας από τις δύο απέναντι πλευρές κατά cm και ελαττώνουμε το μήκος των άλλων δύο κατά cm την κάθε μια. Το εμβαδόν του νέου σήματος που προκύπτει είναι 8 cm. Να βρεθεί το μήκος της πλευράς του τετραγώνου. 4 ο Θέμα Δύο εταιρείες ταξί έουν τις ακόλουθες ρεώσεις: Η εταιρεία ταξί «Αθήνα» ρεώνει για τη σημαία και 0,5 ανά km διανυόμενης διαδρομής. Η εταιρεία ταξί «Βιαστικός» (για να προσελκύσει πελάτες) δε ρεώνει σημαία, αλλά μόνο το κόστος διαδρομής, που είναι 0,6 ανά km διανυόμενης διαδρομής.

7 Στο διπλανό διάγραμμα (Μήκος διαδρομής κόστος διαδρομής) φαίνονται τα διαγράμματα των δύο εταιρειών ταξί. ) Ποιο διάγραμμα () ή () αντιστοιεί στην κάθε εταιρεία; (συμπληρώστε κατάλληλα στον επόμενο πίνακα) Εταιρεία «Αθήνα» «Βιαστικός» διάγραμμα ) Ποια εταιρεία θα προτιμήσετε για μια διαδρομή 5 km; (Δικαιολογήστε την απάντησή σας).

8 Ενδεικτικές απαντήσεις ο Θέμα α.. ( α β )( α αβ β ) α β. α αβ α β β ( α β ). ( α β ) α αβ β 4. ( α β )( α β ) α β β.. Λ. Σ. Λ 4. Σ 5. Σ ο Θέμα. Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ είναι όμοια, γιατί έουν τις γωνίες τους μία προς μία ίσες.. Λόγω της ομοιότητας, τα τρίγωνα έουν τις ομόλογες πλευρές ανάλογες και ο λόγος ΑΓ ΒΓ ΑΒ ομοιότητας του ΑΒΓ προς το ΔΕΖ είναι λ λ ΕΖ Ζ Ε 6 ο Θέμα Έστω x η πλευρά του τετραγώνου. ( ) Στο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο που σηματίζεται οι κάθετες πλευρές είναι x, x. To εμβαδόν του ορθογωνίου θα είναι (x )(x-) 8 x x 0 0 ή x -4, x 5. Η τιμή -4 απορρίπτεται όποτε η πλευρά του τετραγώνου έει μήκος 5cm. 4 ο Θέμα η Ερώτηση: Η σωστή συμπλήρωση του πίνακα δίνει: Εταιρεία διάγραμμα «Αθήνα» «Βιαστικός»

9 η Ερώτηση: Από τη παρατήρηση των διαγραμμάτων των δυο εταιρειών ταξί, για απόσταση μεγαλύτερη των 0km το διάγραμμα () της εταιρείας «Αθήνα» βρίσκεται αμηλότερα από το διάγραμμα () της εταιρείας «Βιαστικός», άρα για μια απόσταση 5km συμφέρει η εταιρεία «Αθήνα». Εναλλακτικά μέσω των ανισώσεων 0,5 < 0,6... > 0 ή της 0,5 > 0,6... < 0 Η απάντηση είναι ότι συμφέρει η εταιρεία «Αθήνα».

10 8 η Δοκιμασία ο Θέμα α. Να αρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες:. Αν δυο τρίγωνα έουν τις γωνίες τους ίσες, είναι ίσα. Αν δυο τρίγωνα έουν τις πλευρές τους ίσες, είναι ίσα. Αν δυο τρίγωνα έουν δυο πλευρές ίσες μία προς μία και μια γωνία ίση, τότε είναι ίσα 4. Αν δυο τρίγωνα έουν δυο γωνίες ίσες μια προς μια, τότε θα έουν και την τρίτη τους γωνία ίση 5. Σε όλα τα τρίγωνα απέναντι από ίσες πλευρές βρίσκονται ίσες γωνίες 6. Αν δυο τρίγωνα έουν μια πλευρά ίση και δύο αντίστοιες γωνίες ίσες, μια προς μία, τότε είναι ίσα. β. Στο διπλανό σήμα η ΑΓ είναι διάμετρος στον κύκλο και οι ορδές ΑΒ, ΑΔ είναι ίσες. Να δείξετε ότι ΒΓΓΔ. ο Θέμα Δίνονται οι παραστάσεις: Α και Β 6. Να γίνουν γινόμενο πρώτων παραγόντων οι παραστάσεις Α και Β.. Να βρείτε για ποιες τιμές της μεταβλητής έει νόημα η παράσταση Β Α. Να λυθεί η εξίσωση Α Β 6 ο Θέμα Δύο μηανικοί σεδιάζουν την κατασκευή ενός υπογείου σταθμού METRO στη συμβολή των οδών Συγγρού και Λαγουμιτζή. Αν η ευθεία που αναπαριστά την οδό Συγγρού είναι η y x και η ευθεία που αναπαριστά την οδό Λαγουμιτζή είναι η y - x στο ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων του σήματος, να απαντήσετε τις παρακάτω ερωτήσεις:. Ποιες οι συντεταγμένες x, y του σημείου τομής Β των δυο οδών στον άρτη;. Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής της οδού Λαγουμιτζή με τον x x άξονα, καθώς και με τον y y άξονα.

11 4 ο Θέμα Εάν κάποιος έει εισόδημα ευρώ, τι ποσοστό του εισοδήματος του θα πληρώσει σαν φόρο στο κράτος, αν η φορολογική κλίμακα είναι η παρακάτω: 5% για τα πρώτα ευρώ του εισοδήματός του. 8% για τα επόμενα ευρώ και % για τα πάνω από τα ευρώ.

12 Ενδεικτικές απαντήσεις ο Θέμα Α.. Λ. Σ. Λ 4. Σ 5. Λ 6. Σ β. Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΓΔ. Τα τρίγωνα είναι ορθογώνια. Οι γωνίες Β και Δ είναι ορθές, γιατί είναι εγγεγραμμένες και βαίνουν σε ημικύκλιο. Τα τρίγωνα έουν την πλευρά ΑΓ κοινή και την ΑΒΑΔ από την υπόθεση. Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα και θα έουν και τα υπόλοιπα στοιεία τους ίσα. Συνεπώς ΒΓΓΔ ο Θέμα. ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) 6 Β Α. ( )( )( ) ( ) Β Α Για να ορίζεται η παράσταση, πρέπει ( ) 0 ( ) 0 0 ή 0 Άρα η παράσταση ορίζεται για 0 και. ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) , ± ± ± Β Α και α β και µε Η λύση απορρίπτεται και επομένως η λύση της εξίσωσης είναι -

13 ο Θέμα. Για να βρούμε τις συντεταγμένες x, y του σημείου τομής Β των δυο οδών στο άρτη θα επιλύσουμε το σύστημα των δυο εξισώσεων : y x x - x x 6,5 y - x y x y 6,5 Άρα, το σημείο τομής Β έει συντεταγμένες Β (6,5, 6,5).. Η οδός Λαγουμιτζή αναπαρίσταται από την ευθεία y x Προκειμένου να βρούμε το σημείο τομής της παραπάνω ευθείας με τον x x άξονα, θα θέσουμε όπου y 0. Επομένως θα έουμε: 0 x x Προκειμένου να βρούμε το σημείο τομής της παραπάνω ευθείας με τον y y άξονα, θα θέσουμε όπου x 0. Επομένως θα έουμε: y 0 y 4 ο Θέμα (0,5x0000)(0,8x0000)(0,x40000)500 5,5% των ευρώ

14 9 η Δοκιμασία ο Θέμα Αφού λάβετε υπόψη σας τα δεδομένα στα παρακάτω σήματα, να υπολογίσετε τις γωνίες: α, β, γ ΑΒΒΓ ΑΒΒΓΓΔΔΑΔΕΕΓ ο Θέμα α) Να παραγοντοποιηθούν τα τριώνυμα: x x και x x. β) Να βρείτε τις τιμές της μεταβλητής x για τις οποίες δεν ορίζεται η εξίσωση: x x x x x x. γ) Να λυθεί η παραπάνω εξίσωση. ο Θέμα Στο διπλανό διάγραμμα φαίνεται ο αριθμός των βιβλίων που διαβάστηκαν από τους μαθητές μιας συγκεκριμένης τάξης α. Πόσους μαθητές έει η τάξη; β. Πόσα βιβλία διάβασαν όλοι οι μαθητές; γ. Να βρείτε τον μέσο όρο των βιβλίων που διαβάστηκαν από κάθε μαθητή της τάξης αυτής. Αριθμός Μαθητών Αριθμός Βιβλίων δ. Στο τέλος του ρόνου θα υπάρξει ένα λαείο. Ο νικητής θα πάρει 5 για κάθε βιβλίο που είε διαβάσει. Να βρείτε την πιθανότητα το βραβείο να μην ξεπεράσει τα 45.

15 4 ο Θέμα Δίνεται η δευτεροβάθμια εξίσωση x x 4συν ω 0με ο ο 0 ω 80 < <. α) Αν η μία λύση της εξίσωση είναι ο αριθμός, να βρεθεί η γωνία/οι γωνίες ω και η άλλη λύση της εξίσωσης. β) Αν η εξίσωση έει μία διπλή ρίζα, να βρεθούν οι άλλοι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας ω.

16 Ενδεικτικές απαντήσεις ο Θέμα Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. Επομένως, η γωνία AΓΒ ˆ είναι ίση με 45 o. Παρατηρούμε πως: ˆ ο ο ο AΓΒ αˆ αˆ 80 α 5 Η γωνία ˆΓ του δεύτερου τριγώνου είναι ίση με τη γωνία AΓΒ ˆ ως κατακορυφήν γωνίες. Επομένως, για το δεύτερο τρίγωνο του πρώτου σήματος θα έουμε ότι: ο ο ˆΓ β β 80 (45 65) 800 β 70 Το δεύτερο σήμα αποτελείται από ένα ισόπλευρο τρίγωνο και ένα τετράγωνο. Επομένως ισύουν τα ακόλουθα: ˆ ο ο ΔΓΕ 60 και ΒΓΔ ˆ 90 Για τη πλήρη γωνία ˆΓ θα έουμε ότι: γ ΔΓΕ ˆ ΒΓΔ ˆ 60 γ γ ο Θέμα α) x x (x)(x ) x x (x )(x ) β) Πρέπει ο γ 0 x x 0 ή x x 0 ή x 0 x ή x ή x γ) Αρικά βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. των παρανομαστών και πολλαπλασιάζουμε με αυτό κάθε όρο ξεωριστά. Επομένως, έουμε διαδοικά τα ακόλουθα: E.K.Π. (x )(x )(x ) x x (x)(x) x (x )(x) x x x x x x (x ) (x )(x) (x ) x 4x x x x x 4 x 4x x x x 5x 0 x 5 x 5 ο Θέμα α) Ο αριθμός των μαθητών της τάξης είναι ίσος με: β) Βασιζόμενοι στο διάγραμμα της άσκησης συμπεραίνουμε πως το σύνολο των βιβλίων που διάβασαν οι μαθητές είναι ίσο με: γ) Μέσος όρος βιβλίων που διαβάστηκαν από κάθε μαθητή της τάξης: μ 94/4,9

17 δ) Προκειμένου το βραβείο να μην ξεπεράσει τα 45 ο μαθητής που θα πρέπει να κληρωθεί θα πρέπει να έει διαβάσει μέρι και βιβλία. Ο αριθμός των μαθητών που έουν διαβάσει μέρι και βιβλία είναι ίσος με 9. Επομένως, η ζητούμενη πιθανότητα θα είναι ίση με: 9 Π 0, ο Θέμα α) Αντικαθιστούμε στην εξίσωση x x 4συν ω 0όπου x και έουμε τα εξής: ( ) ( ) 4συν ω 0 4συν ω 0 συν ω ± ± ο ο 0 < ω< 80 ο ο συνω ω 45 ήω 5 Στη συνέεια αντικαθιστώντας στην εξίσωση x x 4συν ω 0, όπου συν ω έουμε τα εξής: x x x x 0. Επομένως η άλλη λύση της εξίσωσης είναι η x β) Προκειμένου η εξίσωση x x 4συν ω 0να έει μία διπλή ρίζα θα πρέπει Δ0. Συνεπώς, 9 Δ 0 944συν ω 0 συν ω συνω ± 6 4 Από τη τριγωνομετρική σέση ημ ω συν ω ημ ω ημ ω ημ ω συν ω προκύπτει ότι: 9 7 ημω ± 6 6 ημω 7 εφω εφω ± συνω 7 4

18 0 η Δοκιμασία ο Θέμα. Να υπολογίσετε την τιμή καθεμίας από τις παρακάτω παραστάσεις (να δώσετε το αποτέλεσμα στην πιο απλή μορφή του): 5 Α ( ) Β ( 5 )( 5 ) Γ α. Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση Α ( x )( x 7) (x7)( x) β. Να λύσετε την εξίσωση ( x)( x 4) 0 ο Θέμα Η συνάρτηση y αx βx 6 τέμνει τον άξονα x x στα σημεία Α(, 0) και Β(, 0). α) Να βρείτε τις τιμές των α και β. β) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση παίρνει μέγιστη ή ελάιστη τιμή, την οποία και να βρείτε. γ) Να βρείτε τον άξονα συμμετρίας της γραφικής παράστασης της συνάρτησης. ο Θέμα Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ ΑΓ) φέρνουμε τις διαμέσους ΒΔ και ΓΕ οι οποίες τέμνονται στο σημείο Κ. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΒΓΚ είναι ισοσκελές. β) Η ΑΚ είναι μεσοκάθετος της ΒΓ. γ) Να αποδείξετε ότι ΚΕΚΔ. Ε Α Κ Δ 4 ο Θέμα Στο συγκοινωνιακό κόμβο του σήματος η απόσταση του σημείου Ο από το σημείο Α του δρόμου είναι ίση με ρ και η απόσταση του σημείου Ο από το σημείο Β είναι ίση με R.. Αν το τμήμα ΑΒ είναι εφαπτόμενο του κύκλου με κέντρο το Ο και ακτίνα την ΟΑ, να εξετάσετε το είδος του τριγώνου ΟΑΒ. Αιτιολογήστε την απάντησή σας.. Nα αποδείξετε ότι η απόσταση x είναι ίση με x α (R ρ ) όπου α R- ρ.. Στη συνέεια, να υπολογίσετε την απόσταση x, αν γνωρίζετε ότι R 50m και α 5 m. Β Γ

19 Ενδεικτικές απαντήσεις ο Θέμα Α ( ) ( ) Β ( 5 )( 5 ) ( 5) () 5 4 Γ α) Α (x )(x 7) (x7)(x ) (x) [(x 7) (x7) ] A (x )(x 7 x 7) (x)( x 4) β) (x)( x 4) 0 x ή x 4 ο Θέμα α) Αρικά αντικαθιστούμε στη συνάρτηση εξής: α ( ) β ( ) 6 0 α β 6 0 () Στη συνέεια αντικαθιστούμε στη συνάρτηση έουμε τα εξής: α () β () 6 0 9α β 6 0 α β 0 () Συνδυάζοντας τις σέσεις () και () προκύπτει ότι α και β 4 y αx βx 6όπου x και όπου y0 και έουμε τα y αx βx 6όπου x και όπου y0 και β) Αντικαθιστούμε στη συνάρτηση του προβλήματος οπότε έουμε την συνάρτηση y x 4x 6. y αx βx 6τους συντελεστές α και β, Παρατηρούμε πως ο συντελεστής α της παραπάνω συνάρτησης είναι αρνητικός. Αυτό σημαίνει πως η συνάρτηση παίρνει μέγιστη τιμή. Μέγιστη τιμή της συνάρτησης y max y x 4x 6: Δ β 4αγ 4 4( ) α 4α γ) Ο άξονας συμμετρίας της γραφικής παράστασης της συνάρτησης β 4 x α ( ) x ymax 8 y x 4x 6 είναι ο εξής:

20 ο Θέμα Α α) Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΓΕΑ τα οποία έουν: i) ΑΒΑΓ (από δεδομένα) Ε ii) ΑΔΑΕ (ΕΓ και ΒΔ διάμεσοι που καταλήγουν σε ίσες πλευρές) Δ iii) Α ˆ Α ˆ Κ (κοινή γωνία) Άρα τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΓΕΑ είναι ίσα. Επομένως, Β ˆ ˆ Γ Όμως Β ˆ Γ ˆ Β (ΑΒΓ ισοσκελές τρίγωνο), οπότε έουμε τα ακόλουθα: Βˆ Γˆ Βˆ Βˆ Γˆ Γˆ Βˆ Γˆ Γ. Αυτό σημαίνει πως το τρίγωνο ΒΚΓ είναι ισοσκελές β) Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΚΒ και ΑΚΓ τα οποία έουν: i) ΑΚΑΚ (κοινή πλευρά) ii) ΒΚΚΓ (το τρίγωνο ΒΚΓ είναι ισοσκελές) iii) ΑΒΑΓ (από δεδομένα της άσκησης) Επομένως τα τρίγωνα ΑΚΒ και ΑΚΓ είναι ίσα και Α ˆ ˆ Α, οπότε η ΑΚ είναι η διοτόμος της γωνίας ˆΑ του ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ άρα η διάμεσος καθώς και το ύψος του. Συνεπώς, η ΑΚ είναι η μεσοκάθετη της πλευράς ΒΓ. γ) Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΚΒΕ και ΚΔΓ τα οποία έουν: i) BEΓΔ (ΕΓ και ΒΔ διάμεσοι που καταλήγουν σε ίσες πλευρές) ii) BKKΓ (το τρίγωνο ΒΚΓ είναι ισοσκελές) iii) ΒΚΕ ˆ ΓΚΔ ˆ (ως κατακορυφήν) Τα τρίγωνα ΚΒΕ και ΚΔΓ είναι ίσα οπότε ΚΕΚΔ. 4 ο Θέμα. Το τμήμα ΑΒ είναι εφαπτόμενο του κύκλου με κέντρο Ο, επομένως το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ορθογώνιο αφού η ακτίνα ΟΑ είναι κάθετη στην εφαπτομένη ΑΒ.. x R - r (R- r)(r r) α (R r) (). Αφού α 5 άρα r m Με αντικατάσταση στον τύπο () έουμε x 5 (5045) x, 8 m.