ΘΕΜΑ Α Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις (Α1-Α4) και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις (Α-Α4) και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Α) Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις που πραγματοποιούνται πάνω στην ίδια ευθεία και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας. Η σύνθετη κίνηση του σώματος παρουσιάζει διακροτήματα, όταν οι δύο συνιστώσες ταλαντώσεις: α) έχουν ίσες γωνιακές συχνότητες. β) έχουν συχνότητες που διαφέρουν λίγο μεταξύ τους. γ) έχουν ίσα πλάτη. δ) έχουν αρχικές φάσεις ίσες με το μηδέν. Α) Για να ισορροπεί ένα στερεό σώμα στο οποίο ασκούνται πολλές ομοεπίπεδες δυνάμεις, θα πρέπει: α) η συνισταμένη των δυνάμεων να είναι διάφορη του μηδενός και η συνισταμένη των ροπών των δυνάμεων να είναι ίση με μηδέν. β) η συνισταμένη των δυνάμεων και η συνισταμένη των ροπών των δυνάμεων να είναι διάφορη του μηδενός. γ) η συνισταμένη των δυνάμεων να είναι ίση με μηδέν και η συνισταμένη των ροπών των δυνάμεων διάφορη του μηδενός. δ) η συνισταμένη των δυνάμεων και η συνισταμένη των ροπών των δυνάμεων να είναι ίση με μηδέν. Α3) Μία ηχητική πηγή που εκπέμπει ήχο συχνότητας f S κινείται με σταθερή ταχύτητα πάνω σε μία ευθεία πλησιάζοντας ακίνητο παρατηρητή Π, ενώ απομακρύνεται από άλλο ακίνητο παρατηρητή Π. Οι παρατηρητές βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία με την ηχητική πηγή. Ο παρατηρητής Π αντιλαμβάνεται ήχο: Σελίδα από 0

2 α) μεγαλύτερης συχνότητας από τη συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής Π. β) μικρότερης συχνότητας από τη συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής Π. γ) ίδιας συχνότητας με τη συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής Π. δ) ίδιου μήκους κύματος με το μήκος κύματος του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής Π. Α4) Σε μία ποσότητα ιδανικού ρευστού που κατέρχεται μέσα σε σωλήνα μεταβλητής διατομής με στρωτή και συνεχή ροή προσφέρεται λόγω διαφοράς πίεσης ενέργεια 00 J L, με αποτέλεσμα η δυναμική του ενέργεια να μεταβάλλεται κατά 50 J L. Τότε: α) η κινητική ενέργεια της ποσότητας του υγρού αυξάνεται κατά 50 J L. β) η κινητική ενέργεια της ποσότητας του υγρού μειώνεται κατά 50 J L. γ) στην κατεύθυνση της ροής του ρευστού το εμβαδόν διατομής του σωλήνα αυξάνεται. δ) στην κατεύθυνση της ροής του ρευστού το εμβαδόν διατομής του σωλήνα μειώνεται. Α5) Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή τη λέξη Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Το πλάτος ταλάντωσης κάθε σημείου ενός γραμμικού ελαστικού μέσου στο οποίο διαδίδεται ένα μηχανικό κύμα εξαρτάται από τη θέση του σημείου και το χρόνο β) Αν ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δυο απλές αρμονικές ταλαντώσεις οι οποίες έχουν την ίδια διεύθυνση, πραγματοποιούνται γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας και περιγράφονται από τις εξισώσεις: x = 3Αημ(ωt) και x = Αημ(ωt + π), το πλάτος της σύνθετης ταλάντωσης που εκτελεί το σώμα ισούται με Α γ) Σώμα εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση και η δύναμη αντίστασης που δέχεται είναι της μορφής F = -b.υ, όπου b η σταθερά απόσβεσης και υ η ταχύτητα ταλάντωσης του σώματος. Η σταθερά απόσβεσης b εξαρτάται από το σχήμα και το μέγεθος του σώματος. Σελίδα από 0

3 δ) Ένα στερεό σώμα χαρακτηρίζεται ως μηχανικό αν παραμορφώνεται προσωρινά όταν του ασκούνται δυνάμεις. ε) Τα υλικά σημεία ενός γραμμικού ελαστικού μέσου στο οποίο έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα ταλαντώνονται με διαφορετικό πλάτος αλλά με την ίδια φάση. ΘΕΜΑ Β B) Δύο εγκάρσια αρμονικά κύματα () και () διαδίδονται κατά μήκος δύο παράλληλων πανομοιότυπων χορδών, οι οποίες έχουν τη διεύθυνση του θετικού ημιάξονα Οx. Τα κύματα παράγονται από δύο πηγές κυμάτων, οι οποίες βρίσκονται στις θέσεις x=0, και τη χρονική στιγμή t=0 αρχίζουν να εκτελούν ταυτόχρονα απλές αρμονικές ταλαντώσεις με αρχικές φάσεις ίσες με το μηδέν. Στο παρακάτω διάγραμμα φαίνεται η γραφική παράσταση της φάσης των υλικών σημείων των δύο χορδών: φ=φ(x) για τα δύο κύματα την ίδια χρονική στιγμή t. φ φ t=t φ () () 0 x Αν λ είναι το μήκος κύματος του κύματος () και λ είναι το μήκος κύματος του κύματος (), τότε ισχύει: α) λ >λ β) λ = λ γ) λ <λ Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Μονάδες Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Μονάδες 3 B) Α. Ένα μηχανικό σύστημα εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση. Το επί τοις εκατό ποσοστό μείωσης του πλάτους της φθίνουσας ταλάντωσης από τη χρονική Σελίδα 3 από 0

4 στιγμή t = 0 έως τη χρονική στιγμή t κατά την οποία η ολική ενέργεια του συστήματος έχει μειωθεί κατά 75% σε σχέση με την αρχικής της τιμή, είναι ίσο με: α) 5% β) 50% γ) 75% Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Μονάδες Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Μονάδες 3 Β. Τα ελατήρια () και () του σχήματος είναι ιδανικά και έχουν την ίδια σταθερά K 00 N. m Τα πάνω άκρα των δύο ελατηρίων είναι ακλόνητα στερεωμένα σε οριζόντια δοκό που μπορεί να κινείται κατακόρυφα, ενώ στα ελεύθερα άκρα τους είναι δεμένα τα σώματα, όπως φαίνεται στο σχήμα, τα οποία έχουν μάζες m kg και m 4 kg αντίστοιχα. Αρχικά η δοκός ταλαντώνεται κατακόρυφα με 5 συχνότητα f Hz, οπότε τα σώματα Σ και Σ εκτελούν εξαναγκασμένες ταλαντώσεις με αμελητέα απόσβεση. Αν μειώσουμε τη συχνότητα με την οποία ταλαντώνεται η δοκός κατά 50%, τότε: Σελίδα 4 από 0 και α) Το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης του σώματος Σ θα αυξηθεί και το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης του σώματος Σ θα μειωθεί. β) Το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης του σώματος Σ θα μειωθεί και το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης του σώματος Σ θα αυξηθεί. γ) Θα μειωθούν τα πλάτη και των δύο εξαναγκασμένων ταλαντώσεων. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Μονάδες Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Μονάδες 4 Β3) Η ομογενής άκαμπτη ράβδος ΑΓ του παρακάτω σχήματος έχει μάζα M = 5m, μήκος L και ισορροπεί οριζόντια στηριζόμενη στα σημεία της Κ και Λ που απέχουν το καθένα απόσταση d = L από τα άκρα της. Στο άκρο Γ της 4

5 ράβδου είναι στερεωμένο το ένα άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k, στο άλλο άκρο του οποίου κρέμεται σώμα Σ μάζας m = m το οποίο αρχικά ισορροπεί. Ένα άλλο σώμα Σ μάζας m = m που κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω συγκρούεται με ταχύτητα υ 0 μετωπικά και πλαστικά με το σώμα Σ. Μετά την κρούση το συσσωμάτωμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση, στη διάρκεια της οποίας η ράβδος μόλις που δεν ανατρέπεται. Η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι ίση με g. L d d 0 Α. Η μέγιστη τιμή του μέτρου της δύναμης που δέχεται η ράβδος από το ελατήριο κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης του συσσωματώματος είναι ίση με: α) mg β) mg γ) 5mg Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Μονάδες Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Β. Το μέτρο υ 0 της ταχύτητας του σώματος Σ ελάχιστα πριν από την κρούση του με το σώμα Σ είναι ίσο με: α. m k g β. m k g γ. 4 m k g Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Μονάδες Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Σελίδα 5 από 0

6 ΘΕΜΑ Γ Σε γραμμικό ομογενές ελαστικό μέσο κατά τη διεύθυνση του άξονα x x, διαδίδονται δύο εγκάρσια αρμονικά κύματα χωρίς αρχική φάση, που έχουν το ίδιο πλάτος, ίδια συχνότητα και αντίθετες κατευθύνσεις. Η συμβολή των δύο κυμάτων αρχίζει την χρονική t=0 στην αρχή του άξονα x=0 και αναγκάζουν και τα δύο κύματα αυτό το σημείο να κινηθεί προς τα θετικά του άξονα y y. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται το διάγραμμα του πλάτους όλων των σημείων του ελαστικού μέσου σε συνάρτηση με την απόσταση τους από την θέση x=0, τη χρονική στιγμή t =0,sec. Α (m) 0,6 0,3-0,0-0,5-0,05 0 0,05 0,5 0,0 x(m) t=0, s Γ) Ποιο το πλάτος, η συχνότητα και το μήκος κύματος των δύο κυμάτων; Μονάδες Γ) Από ποιες σχέσεις περιγράφεται η απομάκρυνση όλων των σημείων του ελαστικού μέσου την χρονική στιγμή t ; Μονάδες 3 Γ3) Πόσα σημεία του ελαστικού μέσου ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος και πόσα παραμένουν διαρκώς ακίνητα την χρονική στιγμή t =t +T; Γ4) Να κάνετε το στιγμιότυπο του ελαστικού μέσου τη χρονική στιγμή t =t +T. Γ5) Πόσα σημεία του ελαστικού μέσου ταλαντώνονται με πλάτος ίσο με A = 0,3 m και σε ποιες θέσεις βρίσκονται τη χρονική στιγμή t ; Σελίδα 6 από 0

7 Γ6) Ποια η απομάκρυνση και ποια η ταχύτητα ταλάντωσης ενός σημείου Μ που βρίσκεται στη θέση x M =+0,45m την χρονική στιγμή t 3 =t +3T/4; ΘΕΜΑ Δ Ο τροχός του σχήματος έχει μάζα m=kg και ακτίνα R=0,m και το κέντρο μάζας του είναι δεμένο με κατάλληλο άξονα στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k=400n/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο σε κατακόρυφο τοίχο. Αρχικά ο τροχός ισορροπεί στη θέση φυσικού μήκους (Ο) του ελατηρίου. Δεξιά από τη θέση αυτή το επίπεδο είναι λείο, ενώ αριστερά είναι τραχύ. Εκτρέπουμε τον τροχό προς τα αριστερά κατά =0,0m και τη χρονική στιγμή t=0, τον αφήνουμε ελεύθερο. Δ (Ο) τραχύ επίπεδο λείο επίπεδο Δ) Να αποδείξετε ότι ο τροχός εκτελεί Α.Α.Τ. για όσο χρόνο βρίσκεται στο τραχύ επίπεδο και να υπολογίσετε την περίοδό του με την προϋπόθεση ότι σε όλη τη διάρκεια της κίνησής του κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Δ) Για ποιες τιμές του συντελεστή οριακής τριβής η κίνηση γίνεται χωρίς ολίσθηση; Μονάδες 3 Δ3) Να υπολογίσετε την ταχύτητα του κέντρου μάζας του τροχού τη στιγμή που διέρχεται από τη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου. Μονάδες 3 Δ4) Να υπολογίσετε την μέγιστη επιμήκυνση του ελατηρίου κατά την διάρκεια της κίνησής του. Μονάδες 4 Σελίδα 7 από 0

8 Δ5) Να κάνετε τα διαγράμματα: i) Απομάκρυνσης χρόνου x=f(t) ii) Ταχύτητας κέντρου μάζας τροχού χρόνου υ cm =f(t) iii) Γωνιακής ταχύτητας χρόνου ω= f(t) μέχρι τη χρονική στιγμή που ο τροχός περνάει για δεύτερη φορά μετά την t=0 από τη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου. Δ6) Αν ο συντελεστής οριακής τριβής είναι μ= 5, να βρείτε την μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου όταν ο τροχός εισέρχεται στο τραχύ επίπεδο για δεύτερη φορά μετά την t=0. ( =, 4 ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α) β Α) δ Α3) α Α4) δ Α5) α) Λ β) Σ γ) Σ δ) Λ ε) Λ ΘΕΜΑ Β Β) Σωστή απάντηση είναι η γ. Από τη γραφική παράσταση προκύπτει ότι : t 0 t 0 t t φ > φ ή π - > π - ή π > π ή Τ < Τ ή f > f () T λ T λ T T Τα δύο κύματα διαδίδονται στο ίδιο μέσο διάδοσης, συνεπώς οι ταχύτητες διάδοσής τους θα έχουν ίσα μέτρα: υ δ, = υ δ, f Άρα λ f λ f ή () λ Από τις σχέσεις () και () προκύπτει : f λ λ f λ >f ή λ < λ Σελίδα 8 από 0

9 Β) Α. Σωστή απάντηση είναι η β. Έστω Ε η ολική ενέργεια και Α το πλάτος του συστήματος τη χρονική στιγμή t. Ισχύει: Ε = Ε 0 75 Ε 00 0 ή Ε = 5 Ε 00 0 ή Ε = Ε 4 0 ή DA = DA 4 0 ή Α = Α 0. Το ζητούμενο ποσοστό υπολογίζεται από τη σχέση: π = Α αρχ Α τελ Α αρχ 00% ή π = Α 0 Α 0 Α 0 00% ή π = 50%. Β. Σωστή απάντηση είναι η β. Η ιδιοσυχνότητα f 0 της εξαναγκασμένης ταλάντωσης που εκτελεί το σώμα Σ είναι: f 0 = Κ ή f π m 0 = 5 Hz. π Η ιδιοσυχνότητα f 0 της εξαναγκασμένης ταλάντωσης που εκτελεί το σώμα Σ είναι: f 0 = π Κ m ή f 0 = 5 π Hz. Αρχικά τα δύο σώματα εκτελούν εξαναγκασμένη ταλάντωση με συχνότητα f = 5 π Hz, οπότε στο σώμα Σ είναι σε συντονισμό και ταλαντώνεται με το μέγιστο δυνατό πλάτος, ενώ το σώμα Σ δεν βρίσκεται σε συντονισμό. Αν η συχνότητα της σανίδας μειωθεί κατά 50% τότε, τα δύο σώματα θα εκτελούν εξαναγκασμένη ταλάντωση με συχνότητα: f = f 50 f ή 00 f = f ή f = 5 Hz. π Τότε, το σώμα Σ θα βρίσκεται σε συντονισμό και το πλάτος του θα αυξηθεί ενώ το σώμα Σ θα αποσυντονιστεί και το πλάτος του θα μειωθεί. Σελίδα 9 από 0

10 Β3) Α. Σωστή απάντηση είναι η γ. Οι δυνάμεις που δέχεται η ράβδος είναι οι δυνάμεις F Κ και F Λ από τα υποστηρίγματα, το βάρος της w και η δύναμη F ελ από το ελατήριο. d F F d w m m F (max) F (max) Θ. Ι. συσσωματώματος Κάτω Α. Θ. w Για να μην ανατραπεί η ράβδος, δηλαδή, για να μη χάσει την επαφή της με το υποστήριγμα στο σημείο Κ, πρέπει: F K 0 σε όλη τη διάρκεια της ταλάντωσης του συσσωματώματος, άρα και όταν το ελατήριο ασκεί στο άκρο Γ της ράβδου δύναμη με μέγιστο μέτρο. Αυτό συμβαίνει όταν το συσσωμάτωμα βρίσκεται στην κατώτερη θέση της τροχιάς του, οπότε το ελατήριο έχει τη μέγιστη επιμήκυνση του από τη θέση φυσικού του μήκους. Αφού η ράβδος μόλις που δεν ανατρέπεται κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης του συσσωματώματος, όταν το συσσωμάτωμα βρίσκεται στη κάτω ακραία θέση της τροχιάς του ισχύει οριακά ότι F Κ = 0. Επειδή η ράβδος ισορροπεί ισχύει: Σ Τ(Λ) = 0 ή τ FΛ + τ w + τ Fελ = 0 ή 0 + w ( L d) F ελ(max)d = 0 ή L w L = F 4 ελ(max) ή Μg = F 4 ελ(max) ή F ελ(max) = 5mg. Σελίδα 0 από 0

11 B. Σωστή απάντηση είναι η γ. Φ. Μ. F Θ. Ι. () l l F w 0 ΜΕΤΑ F max Θ. Ι. () ΠΡΙΝ w ΚΑΤΩ Α. Θ. w Έστω Α το πλάτος της ταλάντωσης που εκτελεί το συσσωμάτωμα μετά την κρούση. Το μέτρο που ασκεί το ελατήριο στη ράβδο γίνεται μέγιστο τις χρονικές στιγμές κατά τις οποίες το συσσωμάτωμα βρίσκεται στην κατώτερη θέση της τροχιάς του. Συνεπώς ισχύει: F ελ(max) = k(δl + A) () Από τη συνθήκη ισορροπίας για τη θέση ισορροπίας του συσσωματώματος ((Θ.Ι.()) έχουμε: F ολ = 0 ή (m + m )g = kδl ή Δl = mg (). k Από τις σχέσεις () και () έχουμε: F ελ(max) = kδl + kα ή 5mg = mg + ka ή Α = 3mg (3). k Από τη συνθήκη ισορροπίας για τη θέση ισορροπίας του σώματος Σ ((Θ.Ι.()) έχουμε: F ολ = 0 ή mg = kδl ή Δl = mg (4). k Η απομάκρυνση x του συσσωματώματος από τη θέση ισορροπίας του αμέσως μετά την κρούση υπολογίζεται από τη σχέση: x = Δl Δl, ή λόγω των σχέσεων () και (4): x = mg k (5). Σελίδα από 0

12 Από την αρχή διατήρησης της ενέργειας για την ταλάντωση του συσσωματώματος έχουμε: Ε = Κ + U ή kα = mυ + kx, ή λόγω των σχέσεων (3) και (5): k ( 3mg k ) = mυ + k ( mg k ) ή υ = m g (6) k Από την αρχή διατήρησης της ορμής για το σύστημα των σωμάτων Σ και Σ κατά την κρούση έχουμε: p πριν = p μετά ή mυ 0 = mυ ή υ 0 = υ ή υ 0 = 4 m k g ΘΕΜΑ Γ Γ) Από το δοθέν διάγραμμα προκύπτει ότι τη χρονική στιγμή t =0,sec έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα ανάμεσα στις θέσεις -0,0m και +0,0m λόγω της συμβολής των δύο κυμάτων. Όλα τα άλλα σημεία του ελαστικού μέσου ταλαντώνονται με πλάτος Α=0,3m, που είναι και το πλάτος ταλάντωσης κάθε κύματος. Επίσης κάθε κύμα έχει διαδοθεί κατά απόσταση Δx=0,0m στο χρονικό διάστημα 0 έως 0,sec που τυχαίνει όπως φαίνεται από το διάγραμμα να είναι και το μήκος κύματος δηλαδή λ = 0,m. Η χρονική στιγμή t είναι ίση με την περίοδο, άρα T = 0,sec όποτε f = =0Hz (Σε χρόνο Τ το κάθε T κύμα διαδίδεται κατά λ) Δx 0, 0 υ = = υ = m δ δ Δt 0, sec Γ) Στις θέσεις -0,m, -0,m, 0m, 0,m, 0,m υπάρχουν κοιλίες ενώ στις θέσεις -0,5m, -0,05m, 0,05m, 0,5m υπάρχουν δεσμοί του στάσιμου κύματος. Για τα σημεία του ελαστικού μέσου που βρίσκονται σε θέσεις x<-0,m η απομάκρυνση τους οφείλεται στο κύμα που διαδίδεται προς τα θετικά άρα: t x t x y = A ημπ - y = 0,3 ημπ - Τ λ 0, 0, y = 0, 3 ημ 0πt - 0πx (S.I.) Σελίδα από 0

13 Για τα σημεία του ελαστικού μέσου που βρίσκονται σε θέσεις x>+0,m η απομάκρυνση τους οφείλεται στο κύμα που διαδίδεται προς τα αρνητικά άρα: t x t x y = A ημπ + y = 0,3 ημπ + Τ λ 0, 0, y = 0, 3 ημ 0πt + 0πx (S.I.) Για τα σημεία του ελαστικού μέσου που βρίσκονται σε θέσεις -0,m x +0,m είναι σημεία στάσιμου κύματος άρα η απομάκρυνσή τους είναι: πx πt πx πt y = A συν ημ y = 0,3 συν ημ λ Τ 0, 0, y = 0, 6 συν0πx ημ0πt (S.I.) Γ3) Την χρονική στιγμή t =t +T=0,sec, στάσιμο κύμα έχει διαδοθεί μεταξύ των θέσεων -0,4m και +0,4m αφού κάθε ένα από τα τρέχοντα κύματα έχει διαδοθεί επιπλέον κατά απόσταση ενός μήκους κύματος σε σχέση με τη χρονική στιγμή t. Σημεία με μέγιστο πλάτος (κοιλίες) λ=0,m λ -0, 4 x +0, 4-0, 4 Ν +0, 4-0, 4 0,Ν +0, 4-4 Ν +4 κοιλίας Επειδή Ν ακέραιος οι τιμές του Ν είναι Ν=-4, -3, -, -, 0,,, 3, 4 οπότε οι κοιλίες είναι 9 μαζί με τα σημεία που βρίσκονται στις θέσεις -0,4m και +0,4m. Σημεία που παραμένουν διαρκώς ακίνητα (δεσμοί) λ=0,m λ -0, 4 x +0, 4-0, 4 Ν + +0, 4 δεσμού 4-0, 4 0,Ν + 0, 05 +0, 4-0, 45 0,Ν +0,35-4,5 Ν +3,5 Επειδή Ν ακέραιος οι τιμές του Ν είναι Ν=-4, -3, -, -, 0,,, 3, δεσμοί είναι 8. οπότε οι Σελίδα 3 από 0

14 Γ4) Την χρονική στιγμή t =t +T=0,sec=Τ, στάσιμο κύμα έχει διαδοθεί μεταξύ των θέσεων -0,4m και +0,4m. Στη θέση x=0 υπάρχει κοιλία και εκείνη τη στιγμή θα βρίσκεται στη θέση ισορροπίας της κινούμενη προς τα θετικά. Οπότε όλα τα σημεία του στάσιμου κύματος είναι στη θέση ισορροπίας τους. Άρα το στιγμιότυπο είναι: y(m) 0,6 0,3-0,40 0 0,40 x(m) -0,3-0,6 Γ5) Προφανώς σε όλα τα σημεία του ελαστικού μέσου που δεν έχει διαδοθεί στάσιμο κύμα το πλάτος ταλάντωσής τους είναι ίσο με το πλάτος ταλάντωσης των δύο κυμάτων. Αυτά βρίσκονται σε θέσεις για τις οποίες ισχύει x>+0,4m και x<-0,4m. Για τα σημεία του ελαστικού μέσου που βρίσκονται σε θέσεις -0, 4m x +0, 4m έχω: A =0,3 m A = 0, 6 συν0πx 0,3 = 0, 6 συν0πx συν0πx = συν0πx = ± π 0πx = K + x = K όπου Κ = 0, ±, ±,... Όμως -0, 4m x +0, 4m -0, 4 K + + 0, 4-6 K K K + 5-8,5 K +7,5 Άρα υπάρχουν 6 σημεία την χρονική στιγμή t που ταλαντώνονται με πλάτος A = 0,3 m και βρίσκονται στις θέσεις Σελίδα 4 από 0 t=0, s

15 x = K + όπου Κ = 0, ±, ±, ±3, ±4, ±5, ±6, ±7, Γ6) Την χρονική στιγμή t 3 =t +3T/4=0,75sec κάθε ένα απ τα δύο κύματα έχει «προχωρήσει» κατά λ+3λ/4 απόσταση δηλαδή 0,35m, οπότε στάσιμο κύμα έχει δημιουργηθεί μεταξύ των θέσεων -0,35m x +0,35m. Άρα το σημείο Μ ταλαντώνεται εξαιτίας του κύματος που διαδίδεται προς τα αρνητικά οπότε: 3 M y = 0,3 ημ 0πt + 0πx y = 0,3 ημ 0π 0,75 + 0π 0, 45 y = 0,3 ημ8π y = 0 M M t =0,75sec x M =0,45m 3 υ = ω Α συν 0πt + 0πx υ = 6π συν 0π 0,75 + 0π 0, 45 υ = 6π συν8π υ M M t =0,75sec x M =0,45m = 6π m sec M ΘΕΜΑ Δ Δ) Για την κίνηση του τροχού στο τραχύ επίπεδο σε τυχαία θέση της τροχιάς του (Μ) καθώς πλησιάζει τη Θ.Ι. του, ισχύει: Μεταφορική κίνηση ΣF = mα F - Τ = mα T = F - mα () cm ελ. cm ω ελ. cm F ελ. τραχύ επίπεδο Τ (M) (Ο) λείο επίπεδο Στροφική κίνηση Στ = Ι α γων. Τ R x α cm =α γων. R = mr α γων. T = mα () cm Σελίδα 5 από 0

16 (3) F Fελ. Από (),() έχω : α = (3) cm Άρα ελ. =kx kx () T = T = (4) m Για τη συνισταμένη των δυνάμεων στη θέση αυτή ισχύει: (4) kx ΣF = Τ - F = - kx ελ. επαναφοράς k D= F ελ. k ΣF = - x άρα το σώμα κάνει Α.Α.Τ. με σταθερά m m 4 Η περίοδος θα είναι: T = π T = π π D k 400 Δ) Πρέπει T =μν ΣF =0 N=mg ορ. T T T μν T μmg max ορ. max max kδ Όμως από (4) T max = Άρα kδ μmg μ kδ 400 0,0 μ 0, mg 0 y T = 0,π sec Δ3) Από Αρχή Διατήρησης της Ενέργειας έχουμε: υ max kδ = mυ + Iω kδ = mυ + mr ω kδ = mυ + mυ max max kδ 400 0,0 υ m max = 0, max max max max max Δ m sec υ =ωr ω max υ max (Ο) τραχύ επίπεδο λείο επίπεδο Σελίδα 6 από 0

17 Δ4) Όταν ο τροχός εισέρχεται στο λείο επίπεδο, δεν υπάρχει πλέον δύναμη η οποία να μπορεί να του μεταβάλλει την γωνιακή του ταχύτητα επομένως στροφικά εκτελεί ομαλή στροφική κίνηση με γωνιακή ταχύτητα συνεχώς ίση με υmax 0, υ ω R ω ω = max max max max R 0, rad sec Για τη μεταφορική κίνηση του τροχού η δύναμη του ελατηρίου θα τον αναγκάσει να εκτελέσει Α.Α.Τ. με σταθερά επαναφοράς ίση με τη σταθερά του ελατηρίου (D=k). Για την μέγιστη επιμήκυνση εφαρμόζουμε την διατήρηση της ενέργειας της ταλάντωσης στο λείο επίπεδο. Α.Δ.Ε.Τ.: mυ + Iω max max = kd Iω max m d υ 0, max k 400 d = 0,0 m d ω max υ = 0 (Ο) τραχύ επίπεδο λείο επίπεδο Δ5) Η περίοδος της Α.Α.Τ. κατά την κίνηση του τροχού στο λείο επίπεδο είναι m T = π T π T = 0, π sec k 400 i) Για την απομάκρυνση του τροχού από τη θέση (Ο) ισχύει: π x = 0,0 ημ0t+ (S.I.) για 0 t 0,05π sec (S.I.) για 0 x = 0,0 ημ 0 (t - 0,05π) + π,05π t 0,05π sec Σελίδα 7 από 0

18 Η γραφική παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήμα 0,0 x(m) 0 0,05π 0,05π + t(sec) -0,0 ii) Για την ταχύτητα του κέντρου μάζας του τροχού ισχύει: π υ = 0, συν 0t+ (S.I.) για 0 t 0,05π sec cm υ = 0, συν 0 (t - 0,05π) + π (S.I.) για 0, 05π t 0, 05π sec cm Η γραφική παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήμα 0, υ ( ) cm m sec 0 0,05π 0,05π + t(sec) -0, Σελίδα 8 από 0

19 iii) Για την γωνιακή ταχύτητα του τροχού ισχύει: π ω = συν 0t + (S.I.) για 0 t 0,05π sec ω = rad sec για 0,05π t 0,05π sec Η γραφική παράσταση φαίνεται στο παρακάτω σχήμα ω( rad sec ) 0 0,05π 0,05π + t(sec) Δ6) Τη στιγμή που ο τροχός περνάει από τη Θ.Φ.Μ. του ελατηρίου για δεύτερη φορά εισερχόμενος στο τραχύ επίπεδο, το σημείο επαφής του με το έδαφος έχει συνολική ταχύτητα προς τα αριστερά όπως φαίνεται στο σχήμα. Έτσι δέχεται δύναμη τριβής ΣF =0N=mg y T = μν T = μmg T = 0 T = 4 Ν 5 ω max υ max Σελίδα 9 από 0 υστροφ. υ μετ. τραχύ επίπεδο (Ο) Τ λείο επίπεδο

20 Η τριβή αυτή θα επιβραδύνει τον τροχό στροφικά (ομαλά), ενώ η τριβή και η δύναμη του ελατηρίου θα τον επιβραδύνουν μεταφορικά (μη ομαλά). ω υ F ελ. υ cm = 0 τραχύ επίπεδο (Ρ) Δ Τ (Ο) λείο επίπεδο Εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Κ.Ε. μεταξύ των θέσεων (Ο) (Ρ) για τη μεταφορική κίνηση του τροχού. Θ.Μ.Κ.Ε : (Ο) (Ρ) F (Ρ) ΔΚ = ΣW K =0 (Ο) w =0 =0 - Κ = W +W + W +W - mυ = -TΔ - kδ - 0, = -4 Δ - 400Δ cm(o) - Δ = m = 0,006m 00 T N F ελ. Από το Φυσικό Τμήμα των φροντιστηρίων Πουκαμισάς Ηρακλείου συνεργάστηκαν: Γ. Μαραγκάκης, Ν. Μπρίγγος, Κ. Παρασύρης Σελίδα 0 από 0