ΜΕΛΕΤΗ ΤΩΝ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΤΩΝ ΑΣΤΕΡΩΝ ΝΕΤΡΟΝΙΩΝ ΜΕ ΕΜΦΑΣΗ ΣΤΙΣ ΑΚΤΙΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΤΟΥΣ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ: «ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ, ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗ» ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕΛΕΤΗ ΤΩΝ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΤΩΝ ΑΣΤΕΡΩΝ ΝΕΤΡΟΝΙΩΝ ΜΕ ΕΜΦΑΣΗ ΣΤΙΣ ΑΚΤΙΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΤΟΥΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΚΛΕΦΤΟΓΙΑΝΝΗΣ (Α.Μ. 358) ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ: ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ Σ. ΓΕΡΟΓΙΑΝΝΗΣ, ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΤΡΑ 2011

2 2

3 3 Στη Ροζάνα

4 4

5 Περιεχόμενα Περίληψη 9 Summary 11 1 Αστέρες νετρονίων Πάλσαρς Ραδιοφωνικοί πάλσαρς Πάλσαρς τροφοδοτούμενοι από προσαύξηση ύλης Διπλά συστήματα αστέρων νετρονίων Χαρακτηριστικά, δομή και καταστατικές εξισώσεις Χαρακτηριστικά και δομή Καταστατικές εξισώσεις Πολυτροπική καταστατική εξίσωση Ταλαντώσεις Βαρυτικό σύστημα μονάδων Εξισώσεις δομής ισορροπίας Ακτινικές ταλαντώσεις Μέθοδος Chandrasekhar Προσέγγιση αργής περιστροφής Μορφή Sturm Liouville Ήμι ακτινικές ταλαντώσεις Μη ακτινικές ταλαντώσεις Πολικοί τρόποι ταλάντωσης Αξονικοί τρόποι ταλάντωσης Ανάλυση τρόπων ταλάντωσης Τρόποι ταλάντωσης ρευστού Τρόποι ταλάντωσης χωροχρόνου (wave modes)

6 6 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 Αριθμητικές μέθοδοι επίλυσης Αδιατάρακτο μοντέλο Βαρυτικό δυναμικό Ακτινικές ταλαντώσεις Μέθοδος μεταβολών Rayleigh Ritz Αριθμητική ολοκλήρωση της εξίσωσης ιδιοτιμών Μέθοδος διαφορών (Numerov method) Μέθοδος σκόπευσης (shooting method Αριθμητική επίλυση και αποτελέσματα Αριθμητική επίλυση Αποτελέσματα

7 Κατάλογος πινάκων 1.1 Καταστατικές εξισώσεις Συντελεστές μετατροπής βαρυτικών μονάδων σε cgs Αριθμητικά αποτελέσματα για n=0.8, περίπτωση Αριθμητικά αποτελέσματα για n=0.8, περίπτωση Αριθμητικά αποτελέσματα για n=0.8, περίπτωση Αριθμητικά αποτελέσματα για n=0.8, περίπτωση Αριθμητικά αποτελέσματα για n=1.0, περίπτωση Αριθμητικά αποτελέσματα για n=1.0, περίπτωση Αριθμητικά αποτελέσματα για n=1.0, περίπτωση Αριθμητικά αποτελέσματα για n=1.0, περίπτωση Αριθμητικά αποτελέσματα για n=1.5, περίπτωση Αριθμητικά αποτελέσματα για n=1.5, περίπτωση Αριθμητικά αποτελέσματα για n=1.5, περίπτωση Αριθμητικά αποτελέσματα για n=1.5, περίπτωση

8 8 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ

9 Περίληψη Στην παρούσα εργασία μελετώνται οι ταλαντώσεις των αστέρων νετρονίων με ιδιαίτερη έμφαση στις ακτινικές ταλαντώσεις τους. Σκοπός αυτής της μελέτης είναι ο υπολογισμός των συχνοτήτων των ακτινικών ταλαντώσεων των αστέρων νετρονίων. Στο πρώτο, κεφάλαιο κάνουμε μία μικρή εισαγωγή για τους αστέρες νετρονίων και τους ταχέως περιστρεφόμενους αστέρες νετρονίων (pulsars) καθώς και για τον ρόλο, που διαδραματίζουν αυτοί και τα διπλά συστήματα που σχηματίζουν, στην σύγχρονη Αστροφυσική. Ακόμα αναφερόμαστε στην εσωτερική δομή των αστέρων νετρονίων και σε κάποιες από τις καταστατικές εξισώσεις, που μπορεί να περιγράφουν την ύλη στο εσωτερικό του, δίνοντας έμφαση στην πολυτροπική καταστατική εξίσωση την οποία και υιοθετούμε στην παρούσα εργασία. Στο δεύτερο κεφάλαιο, παραθέτουμε τις εξισώσεις Oppenheimer Volkoff(OV) που περιγράφουν την ισορροπία ενός αδιατάρακτου αστέρα νετρονίων. Στη συνέχεια, θεωρώντας τις ακτινικές ταλαντώσεις 1) ως απειροστού πλάτους αδιαβατικές ταλαντώσεις που διατηρούν τον βαρυονικό αριθμό και 2) ως αποτέλεσμα της αργής περιστροφής του αστέρα, καταλήγουμε σε μία δεύτερης τάξης διαφορική εξίσωση που διέπει τις ακτινικές ταλαντώσεις των αστέρων νετρονίων. Η εξίσωση αυτή γράφεται στη μορφή Sturm Liouville. Επιπροσθέτως, συνεχίζουμε παραθέτοντας τον διορθωτικό όρο, λόγω περιστροφής, για την τιμή της συχνότητας και τις εξισώσεις που διέπουν τις μη ακτινικές ταλαντώσεις. Τέλος κλείνουμε το κεφάλαιο αυτό με μία ανάλυση των διαφόρων τρόπων ταλάντωσης. Στο τρίτο κεφάλαιο, αρχικά επιλύουμε, με τη χρήση ενός πρωτότυπου επαναληπτικού αλγορίθμου, το σύστημα διαφορικών εξισώσεων OV για την εύρεση των φυσικών παραμέτρων του αστέρα. Στη συνέχεια, αφού αρχικά αναλύσουμε τις βασικότερες μεθόδους επίλυσης της διαφορικής εξίσωσης των ακτινικών ταλαντώσεων, που εμφανίζονται στην βιβλιογραφία, μετατρέπουμε τη μορφή Sturm Liouville σε ένα σύστημα δύο διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης, το οποίο επιλύουμε με την βοήθεια της μεθόδου σκόπευσης (shooting method). Στη βιβλιογραφία, υπάρχουν δύο διαφορετικές τάσεις αντιμετώπισης της πολυτροπικής καταστατικής εξίσωσης, ανάλογα με το αν στην θέση της πυκνότητας εισέρχεται η πυκνότητα μάζας ηρεμίας ή η πυκνότητα της ολικής μάζας ενέργειας. 9

10 10 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ Ακόμα, δύο είναι και οι διαφορετικοί τρόποι αντιμετώπισης του αδιαβατικού δείκτη, ο οποίος εισέρχεται στην εξίσωση που περιγράφει τις ακτινικές ταλαντώσεις, ανάλογα με το αν είναι σταθερός ή μεταβάλλεται. Από τις τέσσερις αυτές βασικές υποθέσεις για την πολυτροπική καταστατική εξίσωση και τον αδιαβατικό δείκτη, προκύπτουν τέσσερα διαφορετικά πρωτότυπα μοντέλα για τις ακτινικές ταλαντώσεις, τα οποία και επιλύουμε. Στο τελευταίο κεφάλαιο, υπολογίζουμε και παρουσιάζουμε τις τρεις πρώτες συχνότητες των τεσσάρων πρωτότυπων μοντέλων για τις ακτινικές ταλαντώσεις των αστέρων νετρονίων για τρεις διαφορετικές τιμές του πολυτροπικού δείκτη και αναλύουμε τις αριθμητικές μεθόδους, τις οποίες χρησιμοποιούμε, καθώς και τις αντίστοιχες υπορουτίνες της βιβλιοθήκης SLATEC. Εν κατακλείδι, τα αποτελέσματα αυτής της εργασίας είναι η ανάπτυξη ενός πρωτότυπου επαναληπτικού αλγορίθμου για την εύρεση της ακτίνας του αστέρα με μεγάλη ακρίβεια και η παρουσίαση αποτελεσμάτων για τέσσερα πρωτότυπα μοντέλα που περιγράφουν τις ακτινικές ταλαντώσεις των αστέρων νετρονίων.

11 Summary In the present Thesis we study the oscillations of neutron stars emphasizing on the radial oscillations. The Thesis is organized in four chapters. In the first chapter, we introduce the theoretical background of neutron stars and pulsars. We then discuss the importance of the role that the binary neutron stars play in modern Astrophysics. Next, we refer to the structure of these stars and introduce some of the equations of state (EOS) which try to describe the matter occupying the inner layers of neutron stars, emphasizing on the polytropic EOS which is adopted here. In the second chapter we, first introduce the Oppenheimer Volkoff (OV) system of differential equations, describing the hydrostatic equilibrium of a non rotating, non pulsating neutron star, and considering the radial oscillations 1) as infinitesimal, baryon-number conserving, adiabatic oscillations 2) as the result of the slow rotation of the neutron star, we derive the second order differential equation governing the radial oscillations of a neutron star. We then rewrite this equation in the Sturm Liouville form. The expression of the change of frequency of the radial oscillations due to slow rotation and the equations of state is obtained. Finally, we conclude this chapter with a mode analysis of oscillations of neutron stars in general. In the third chapter, we first solve the OV system of differential equations, implementing an original iterative algorithm, and thus calculate the physical parameters of the star. Next, some of the methods used for solving the equations describing the radial oscillations are discussed. Finally, we transform the Sturme Liouville form to a set of two first order differential equations, which are computed by implementation of the shooting method. In the bibliography, the polytropic EOS is considered in two different ways, depending on which density (rest mass or total mass energy) is involved in the polytropic EOS. In a similar manner, we have two different ways for considering the adiabatic exponent which enters the equation describing the radial oscillations (constant or variable). Considering these four different assumptions for the polytropic EOS and the adiabatic exponent, we construct four different models of pulsating neutron stars. In the final chapter, we compute and present the first three frequencies of each 11

12 12 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ basic model concerning radial oscillations of neutron stars for three values of the polyropic index. We discuss the numerical methods implemented here and the involved subroutines, which can be found in the SLATEC Library. The main issues of the present Thesis are the development of an iterative algorithm for accurately computing the radius of the star and the computation of the frequencies for the four basic models describing th radial oscillations of neutron stars.

13 Κεφάλαιο 1 Αστέρες νετρονίων Σύμφωνα με την επικρατούσα θεωρία για την εξέλιξη των αστέρων μετά την ζωή τους στη κύρια ακολουθία, τρεις είναι οι βασικοί δρόμοι που μπορούν να ακολουθήσουν. Έτσι ένα αστέρας που έχει καταναλώσει όλα τα πυρηνικά του καύσιμα εξελίσσεται σε λευκό νάνο, αστέρα νετρονίων ή μελανή οπή (Σχήμα 1.1). Αν και γνωρίζουμε ότι ο μοναδικός παράγοντας που καθορίζει την κατάληξη που έχει ο αστέρας μετά τον θάνατό του είναι η εναπομένουσα μάζα στον πυρήνα του, δεν έχουμε καταφέρει να θέσουμε σαφή όρια. Παρόλα αυτά για τους λευκούς νάνους και τους αστέρες νετρονίων έχουμε ένα ανώτατο επιτρεπτό όριο μάζας που είναι 1.4 M [1] και M [1] αντίστοιχα. Οι αστέρες νετρονίων προέρχονται από αστέρες μάζας 6 8 M, οι οποίοι αφού εξαντλήσουν τα πυρηνικά τους καύσιμα, αποβάλουν τα εξωτερικά τους στρώματα με μία έκρηξη υπερκαινοφανούς. Ο πυρήνας που έχει απομείνει, καταρρέει υπό την επίδραση της βαρύτητας με αποτέλεσμα την συνεχή αύξηση της πυκνότητάς του. Όταν η πυκνότητα ξεπεράσει την οριακή τιμή ρ ϵν gr/cm 3 για την ενστάλαξη των νετρονίων τα ηλεκτρόνια αποκτούν σχετικιστικές ταχύτητες και υψηλές ενέργειες με αποτέλεσμα την έναρξη της αντίστροφης διάσπασης β. Κατά την διάσπαση αυτή ένα υψηλής ενέργειας ηλεκτρόνιο συγκρούεται με ένα πρωτόνιο σχηματίζοντας ένα νετρόνιο με την ταυτόχρονη εκπομπή ενός χαμηλής ενέργειας φωτονίου. Ο μηχανισμός αυτός οδηγεί σε μείωση του αριθμού των ηλεκτρονίων με αποτέλεσμα την περαιτέρω κατάρρευση του πυρήνα με ταυτόχρονη αύξηση της πυκνότητας και κατ επέκταση του ρυθμού παραγωγής νετρονίων. Τελικά όταν η πυκνότητα ξεπεράσει την τιμή των gr/cm 3 τότε ο αστέρας αποτελείται από μια θάλασσα εκφυλισμένων νετρονίων των οποίων η πίεση και οι μεταξύ τους απωστικές δυνάμεις αντισταθμίζουν την δύναμη της βαρύτητας και εμποδίζουν την περαιτέρω κατάρρευσή του αστέρα. Οι αστέρες νετρονίων εμφανίζονται ως υπολείμματα υπερκαινοφανών, απομονωμένοι ή σε διπλά συστήματα. 13

14 14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΑΣΤΕΡΕΣ ΝΕΤΡΟΝΙΩΝ Σχήμα 1.1: Εξέλιξη των αστέρων (credit: ajsh/astr2030_ 11/starlife.jpg) 1.1 Πάλσαρς Ένας σημαντικός τύπος αστέρων νετρονίων είναι οι πάλσαρς (Σχήμα 1.2). Οι πάλσαρς είναι ταχέως περιστρεφόμενοι αστέρες νετρονίων, οι οποίοι εξαιτίας των ισχυρών τους μαγνητικών πεδίων παράγουν κωνικού σχήματος δέσμες ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας, οι οποίες λόγω της απόκλισης μεταξύ του άξονα περιστροφής και του άξονα του μαγνητικού πεδίου, σαρώνουν το διάστημα (μοντέλο διαστημικού φάρου). Όταν η κωνική δέσμη διασταυρωθεί με την ευθεία οράσεως της Γης, παρατηρείται ως παλμός ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας. Ανάλογα με το είδος της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας που εκπέμπουν και τον μηχανισμό που τους τροφοδοτεί με ενέργεια οι πάλσαρς χωρίζονται σε δύο βασικές κατηγορίες: 1. Οι πάλσαρς τροφοδοτούμενοι από περιστροφή, οι οποίοι εκπέμπουν κυρίως στο ραδιοφωνικό μέρος του φάσματος (radio pulsars). 2. Οι πάλσαρς τροφοδοτούμενοι από προσαύξηση ύλης, οι οποίοι εκπέμπουν ακτίνες Χ Ραδιοφωνικοί πάλσαρς Οι ραδιοφωνικοί πάλσαρς γεννιούνται περιστρεφόμενοι με υψηλές ταχύτητες (P = sec για τον πάλσαρ του Καρκίνου) αποθηκεύοντας ενέργεια με μορφή περιστροφικής κινητικής ενέργειας. Η αποθηκευμένη ενέργεια σταδιακά καταναλώνεται και ο πάλσαρ επιβραδύνει φτάνοντας σε περιόδους της τάξης του ενός δευτερολέπτου μέσα σε μερικά εκατομμύρια έτη. Αναπόφευκτα μέσα σε μερικά εκατομμύρια έτη οι πάλσαρς περιστρέφονται πολύ αργά για να μπορούν να διατηρήσουν την εκπομπή ραδιοφωνικής ακτινοβολίας και σβήνουν. Επειδή αυτού του είδους οι πάλσαρς έχουν χαμηλές ενεργειακές απώλειες, μπορούν να συνεχίσουν

15 1.1. ΠΑΛΣΑΡΣ 15 Σχήμα 1.2: Αναπαράσταση ενός πάλσαρ. Διακρίνεται το μαγνητικό του πεδίο, ο άξονας περιστροφής και η δέσμη ακτινοβολίας που εκπέμπεται από τους μαγνητικούς πόλους καθώς και η πορεία που αυτή διαγράφει καθώς αυτός περιστρέφεται. (credit: Bill Saxton, NRAO/AUI/NSF, την ταχεία περιστροφή τους για χρονικά διαστήματα μεγαλύτερα από την ηλικία του Γαλαξία. Ο μηχανισμός παραγωγής της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας των πάλσαρς παραμένει άγνωστος μέχρι σήμερα. Γενικά, φορτισμένα σωματίδια κινούνται γύρω από τις μαγνητικές δυναμικές γραμμές του αστέρα νετρονίων παράγοντας ακτινοβολία σύγχροτον. Η παρατηρούμενη ακτινοβολία σε συνδυασμό με το μικρό μέγεθος της πηγής οδηγεί σε τρομακτικά μεγάλες θερμοκρασίες φωτεινότητας ως και K. Για την αποφυγή ύπαρξης σωματιδίων με απίθανα υψηλές ενέργειες οδηγούμαστε σε εκπομπή συνεχούς φάσματος [1]. Οι πάλσαρς όμως δεν εκπέμπουν μόνο στο ραδιοφωνικό μέρος του φάσματος. Παρατηρήσεις και σε άλλα μήκη κύματος έδειξαν ότι κυρίως οι νεαροί πάλσαρς εκπέμπουν παλμούς στο οπτικό μέρος του φάσματος, στις ακτίνες Χ καθώς και στις ακτίνες γάμμα. Το φάσμα του πάλσαρ στον αστερισμό του Καρκίνου έχει υπολογιστεί από τις ραδιοφωνικές συχνότητες ως τις ακτίνες γάμμα, με μέγιστο ακτινοβολίας στις σκληρές ακτίνες Χ με ισχύ erg/sec. Αυτές η πηγές ακτίνων Χ δεν πρέπει να συγχέονται με τους πάλσαρς τροφοδοτούμενους από

16 16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΑΣΤΕΡΕΣ ΝΕΤΡΟΝΙΩΝ προσαύξηση ύλης που βρίσκονται στα διπλά συστήματα. Τέλος, ένα πολύ σημαντικό φαινόμενο των πάλσαρς είναι η απότομη διαταραχή (glitces) στην περίοδο των παλμών που παρατηρείται σε κάποιους νεαρούς πάλσαρς. Κατά την διάρκεια μιας τέτοιας διαταραχής η περίοδος του πάλσαρ μειώνεται, ενώ ταυτόχρονα έχουμε αύξηση του ρυθμού μείωσης της ταχύτητας περιστροφής (spin down) με αποτέλεσμα ο πάλσαρ να επιστρέψει σταδιακά, σε διάστημα εβδομάδων ως μηνών, σε τιμές περιόδου όμοιες με εκείνες πριν την διαταραχή Πάλσαρς τροφοδοτούμενοι από προσαύξηση ύλης Όπως αναφέραμε στην προηγούμενη παράγραφο οι αστέρες νετρονίων μπορούν να αποτελούν μέρος ενός διπλού συστήματος. Αυτό συμβαίνει είτε γιατί γεννιούνται σε ένα διπλό σύστημα όπου ο συνοδός αστέρας έχει επιζήσει της έκρηξης υπερκαινοφανούς του άλλου είτε γιατί βρίσκονται σε περιοχές υψηλής πυκνότητας σε αστέρες, όπως είναι τα σφαιρωτά σμήνη, με αποτέλεσμα να μπορούν να συλλάβουν στο βαρυτικό τους πεδίο έναν αστέρα που παίζει το ρόλο του συνοδού. Σε κάθε περίπτωση έχουμε μεταφορά μάζας από τον σύνοδο αστέρα στον αστέρα νετρονίων. Η μεταφορά μάζας γίνεται, ανάλογα με την μάζα του συνοδού αστέρα, με δύο διαφορετικούς μηχανισμούς. Αν M σ 1 M, όπου M σ η μάζα του συνοδού αστέρα, η μεταφορά μάζας γίνεται μέσω υπερχείλισης του λοβού Roche. Σε ένα διπλό σύστημα η πρώτη ισοδυναμική επιφάνεια ονομάζεται λοβός Roche (Σχήμα 1.3). Το σημείο τομής είναι το σημείο Langrange L 1. Οτιδήποτε βρίσκεται μέσα στον λοβό Roche του συνοδού αστέρα έλκεται περισσότερο από αυτόν. Όταν όμως ο αστέρας διασταλεί και τα εξωτερικά του στρώματά βρεθούν έξω από τον λοβό, έλκονται περισσότερο από τον αστέρα νετρονίων. Λόγω του μικροσκοπικού μεγέθους του αστέρα νετρονίων και της υψηλής στροφορμής του, τα αέρια που έλκει δεν πέφτουν κατευθείαν στην επιφάνεια του αστέρα. Έτσι περιστρέφονται γύρω από αυτόν, σχηματίζοντας ένα δίσκο προσαύξησης ύλης. Η εσωτερική ακτίνα του δίσκου καθορίζεται από την ισχύ του μαγνητικού πεδίου, όσο ισχυρότερο το μαγνητικό πεδίο τόσο μεγαλύτερη η εσωτερική ακτίνα του δίσκου. Μέσα στον δίσκο προσαύξησης η κινητική ενέργεια της ύλης μειώνεται σταδιακά λόγω μαγνητικών δυνάμεων και τριβών, με αποτέλεσμα η ύλη να φτάσει τελικά στην επιφάνεια του αστέρα. Αν το μαγνητικό πεδίο της επιφάνειας του αστέρα νετρονίων υπερβεί την τιμή των 10 8 G, τότε πριν η ύλη φτάσει στην επιφάνεια του αστέρα αναγκάζεται να κινηθεί προς τους μαγνητικούς πόλους. Η τριβή της ύλης με τον εαυτό της θερμαίνει το αέριο στον δίσκο προσαύξησης με αποτέλεσμα την εκπομπή ακτίνων Χ. Τελικά ο αστέρας προσπαθεί να έρθει σε ισορροπία με την γωνιακή ταχύτητα περιστροφής Κέπλερ της ύλης στον δίσκο. Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα αστέρες νετρονίων με σχετικά χαμηλό μαγνητικό πεδίο G να επιταχύνονται σε υψηλές συχνότητες περι-

17 1.2. ΔΙΠΛΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΤΕΡΩΝ ΝΕΤΡΟΝΙΩΝ 17 στροφής σχηματίζοντας τους millisecond pulsars. Σχήμα 1.3: Λοβός Roche ενός διπλού συστήματος αστέρων. Διακρίνονται οι ισοδυναμικές επιφάνειες καθώς και τα σημεία Langrange L 1, L 2 και L 3. (credit: Αν M σ 1 M, τότε η μεταφορά μάζας γίνεται με μορφή αστρικού ανέμου χαμηλής στροφορμής. Ο αστέρας δεν επιταχύνεται σε υψηλές συχνότητες περιστροφής. Οι συχνότητες περιστροφής τέτοιων πάλσαρς μπορούν να είναι μεγαλύτερες και των 1000 δευτερολέπτων. 1.2 Διπλά συστήματα αστέρων νετρονίων Τα διπλά συστήματα αστέρων νετρονίων και ιδιαίτερα τα διπλά συστήματα που αποτελούνται από έναν πάλσαρ, έχουν διαδραματίσει σημαντικό ρόλο στην Αστροφυσική, καθώς η παρατήρησή τους έχει βοηθήσει στην καλύτερη κατανόηση της δομής του εσωτερικού των αστέρων νετρονίων και έχει επιβεβαιώσει την γενική θεωρία της σχετικότητας (ΓΘΣ) σε πολλές από τις προβλέψεις της. Όσο πιο συμπαγείς είναι οι αστέρες που αποτελούν το σύστημα τόσο πιο ισχυρά βαρυτικά πεδία δημιουργούνται κάνοντας ευκολότερη την παρατήρηση ακόμα και των ασθενέστερων συνεπειών της ΓΘΣ. Η ΓΘΣ προβλέπει ότι το διπλό σύστημα χάνει συνεχώς ενέργεια με την πάροδο του χρόνου με μορφή βαρυτικής ακτινοβολίας με αποτέλεσμα την τελική τους συγχώνευση. Η πρόβλεψη αυτή επιβεβαιώνεται από την μέτρηση του χρόνου διάβασης του πάλσαρ από το περίαστρο. Στο Σχήμα 1.4 φαίνονται οι χρόνοι διάβασης

18 18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΑΣΤΕΡΕΣ ΝΕΤΡΟΝΙΩΝ Σχήμα 1.4: Χρόνοι διάβασης του παλσαρ PSR από το περίαστρο μέχρι το Η πρόβλεψη της ΓΘΣ (ευθεία γραμμή) επαληθεύεται από τις παρατηρήσεις (σημεία). (credit: [3] του παλσαρ PSR που ανακαλύφθηκε από τους Hulse και Taylor [2]. Ο πάλσαρ PSR έχει περίoδο περιστροφής P = 59 msec και μάζα 1.44 M. Οι Hulse και Taylor παρατήρησαν μία απόκλιση από την περίοδο περιστροφής του με περίοδο 7.75 h, καταλήγοντας στο συμπέρασμα ότι ανήκει σε ένα διπλό σύστημα αστέρων. Με την χρονομέτρηση της άφιξης των παλμών, με ολοένα και αυξανόμενη ακρίβεια, επιβεβαιώθηκαν ακόμα δύο σημαντικά φαινόμενα που προβλέπει η ΓΘΣ σε σχέση με την διαστολή του χρόνου λόγω ισχυρών βαρυτικών πεδίων. Το πρώτο αναφέρεται στην καθυστέρηση που παρατηρείται στην άφιξη του παλμού όταν ο πάλσαρ βρίσκεται στις πιο απομακρυσμένες περιοχές της τροχιάς του. Τότε το ισχυρό βαρυτικό πεδίο του συνοδού αστέρα παρεμβάλλεται στην ευθεία οράσεως της Γης προκαλώντας καθυστέρηση στην άφιξη του παλμού. Το φαινόμενο αυτό αναφέρεται ως καθυστέρηση χρόνου Shapiro (Shapiro time delay). Το δεύτερο φαινόμενο σχετίζεται με την διαφορά του μετρούμενου χρόνου

19 1.3. ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ, ΔΟΜΗ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 19 μεταξύ ενός ακίνητου, έξω από βαρυτικό πεδίο, παρατηρητή και ενός παρατηρητή κινούμενου μέσα στο βαρυτικό πεδίο. Όταν ο πάλσαρ βρίσκεται στο περίαστρο της τροχιάς του, τότε το βαρυτικό πεδίο είναι ισχυρότερο, καθώς οι δύο αστέρες βρίσκονται πολύ κοντά ο ένας στον άλλο, με αποτέλεσμα ο χρόνος να διαστέλλεται και το χρονικό διάστημα μεταξύ δύο παλμών να είναι μεγαλύτερο απ ότι όταν βρίσκονται στο άπαστρο. Ακόμα, με την παρατήρηση της μετακίνησης του περίαστρου και κατ επέκταση της τροχιάς του πάλσαρ επιβεβαιώνεται η καμπύλωση του χωροχρόνου που προκαλείται από μεγάλες μάζες (ισχυρό βαρυτικό πεδίο). Τέλος, με την βοήθεια όλων των παραπάνω παρατηρήσεων καθώς και με τον υπολογισμό όλων των Κεπλεριανών και μετά Κεπλεριανών παραμέτρων θέτουμε άνω όρια στις μάζες των αστέρων που αποτελούν το διπλό σύστημα. Με αυτόν τον τρόπο όχι μόνο καθορίζουμε την φύση του συνοδού αστέρα αλλά κατανοούμε καλύτερα την δομή των πάλσαρς και κατ επέκταση και την δομή των αστέρων νετρονίων γενικά. 1.3 Χαρακτηριστικά, δομή και καταστατικές εξισώσεις Χαρακτηριστικά και δομή Τα χαρακτηριστικά και η δομή των αστέρων νετρονίων εξαρτώνται σημαντικά από την εκάστοτε επιλογή της καταστατικής εξίσωσης που εκφράζει την ύλη του εσωτερικού τους. Η μάζα ενός τυπικού αστέρα νετρονίων είναι 1.4 φορές η μάζα του Ήλιου, η ακτίνα του είναι περί τα 10 km, χαρακτηρίζεται από πολύ υψηλές πυκνότητες και από απότομη αύξηση αυτής από την επιφάνεια ως το εσωτερικό του, καθώς μεταβάλλεται από 0 σε 10 8 gr/cm 3 εντός ενός περίπου μέτρου από την επιφάνειά του. Εξαιτίας του μικρού του μεγέθους και της υψηλής του πυκνότητας χαρακτηρίζεται από ισχυρό επιφανειακό βαρυτικό πεδίο. Για να καταλάβει κανεις την τάξη μεγέθους του βαρυτικού πεδίου σε έναν αστέρα νετρονίων, αρκεί να συγκρίνει την ταχύτητα διαφυγής στην Γη, cm/sec με την αντίστοιχη σε έναν αστέρα νετρονίων μάζας M = 1.4 M και ακτίνας R = 15 km, cm/sec. Το μαγνητικό πεδίο του είναι της τάξης των G. Τέλος η θερμοκρασία του κυμαίνεται από 10 7 K στην επιφάνεια ως 10 9 K στο κέντρο του. Ένας τυπικός αστέρας νετρονίων αποτελείται από τα εξής στρώματα [1]: 1. Την ατμόσφαιρα, μία λεπτή περιοχή με πυκνότητα ρ 10 6 gr/cm 3 που αποτελείται από αέριο πρωτονίων και εκφυλισμένων νετρονίων.

20 20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΑΣΤΕΡΕΣ ΝΕΤΡΟΝΙΩΝ 2. Τον εξωτερικό φλοιό, μία στερεά περιοχή με πυκνότητα 10 6 gr/cm 3 ρ ρ ϵν που αποτελείται από πλέγμα βαρέων πυρήνων και αέριο Fermi σχετικιστικών εκφυλισμένων ηλεκτρονίων. Αυτή η περιοχή μοιάζει σημαντικά στην σύστασή της με το εσωτερικό των λευκών νάνων. 3. Τον εσωτερικό φλοιό, η πυκνότητα του οποίου είναι ρ ϵν ρ ρ π. Αποτελείται από πλέγμα πυρήνων πλούσιων σε νετρόνια μαζί με υπέρ ρευστό αέριο νετρονίων και αέριο ηλεκτρονίων. 4. Τον εξωτερικό πυρήνα, με πυκνότητα ρ π ρ ρ πυρ, ο οποίος αποτελείται κυρίως από υπέρ ρευστά νετρόνια και υπέρ ρευστά πρωτόνια και ηλεκτρόνια σε μικρότερες συγκεντρώσεις. 5. Τον εσωτερικό πυρήνα, ο οποίος αν υπάρχει, έχει πυκνότητα ρ > ρ πυρ. Ανάλογα με την πυκνότητα μπορεί να αποτελείται από υπερόνια τα οποία δημιουργούνται από την διέγερση βαρέων βαρυονίων, κουάρκ, στερεά νετρόνια καθώς και πιόνια και Κ μεσόνια, όπου ρ ϵν g/cm 3 η πυκνότητα που χρειάζεται για την ενστάλαξη των νετρονίων, ρ πυρ g/cm 3 η πυρηνική πυκνότητα Καταστατικές εξισώσεις Η κατασκευή ενός ολοκληρωμένου μοντέλου που περιγράφει τους αστέρες νετρονίων απαιτεί τη γνώση, εκτός των δομικών εξισώσεων στις οποίες αναφερόμαστε εκτενέστερα στο επόμενο κεφάλαιο, μίας καταστατικής εξίσωσης της μορφής P = P (ρ), (1.1) η οποία μας δίνει τη σχέση μεταξύ της πίεσης P και της πυκνότητας ρ σε κατάσταση ισορροπίας. Η σχέση αυτή μπορεί να είναι μονοπαραμετρική P = P(ρ), στην περίπτωση όπου η θερμοκρασία είναι γνωστή συνάρτηση της πυκνότητας. Αυτό συμβαίνει είτε στην περίπτωση κατά την οποία η ύλη θεωρείται ψυχρή (T = 0) κατά το τέλος της θερμοπυρηνικής εξέλιξης του αστέρα, είτε όταν ο αστέρας είναι σε κατάσταση convective equillibrium και όλες οι μεταβολές θεωρούνται αδιαβατικές. Μία πλήρης καταστατική εξίσωση που μπορεί να περιγράψει το εσωτερικό των αστέρων νετρονίων από το κέντρο τους ως την επιφάνειά τους πρέπει να λαμβάνει υπ όψιν τις όλες τις πιθανές αλληλεπιδράσεις μεταξύ των σωματιδίων που τον απαρτίζουν. Αυτό είναι αρκετά δύσκολο, όχι μόνο λόγω τις πολυπλοκότητας που προκύπτει εξαιτίας της πληθώρας των παραμέτρων άλλα και λόγω της άγνοιάς μας για την φύση των σωματιδίων και της φυσικής των αλληλεπιδράσεων

21 1.3. ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ, ΔΟΜΗ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 21 Σχήμα 1.5: Εσωτερική δομή ενός αστέρα νετρονίων. (credit: miller/images/nstarint.jpeg) μεταξύ τους. Το πρόβλημα αυτό γίνεται εμφανές κυρίως στις υψηλές κεντρικές πυκνότητες. Όπως είδαμε ( 1.3.1) η ύλη που αποτελεί κάθε στρώμα καθώς και η αλληλεπιδράσεις μεταξύ των σωματιδίων εξαρτώνται από την πυκνότητα. Η σχέση της βαρυτικής μάζας M με την κεντρική πυκνότητα ρ c φαίνεται στο Σχήμα 1.6. Η περιοχή των σταθερών αστέρων νετρονίων χωρίζεται σε τρεις βασικές περιοχές [4]. Συγκεκριμένα, για τιμές πυκνότητας ρ ϵπ < ρ < ρ π, όπου η συμπεριφορά της ύλης είναι γενικά γνωστή. Για ρ ϵπ < ρ < ρ ϵν, όπου ρ ϵπ 10 g/cm 3 η πυκνότητα στην επιφάνεια, η πίεση κυριαρχείται από την πίεση του εκφυλισμένου αερίου ηλεκτρονίων που γίνεται σχετικιστικό για πυκνότητες πάνω από 10 7 g/cm 3. Οι πυρήνες διατάσσονται σε πλέγμα Coulomb που είναι εμβαπτισμένο στο ηλεκτρονιακό αέριο. Αν η ύλη βρίσκεται στην θεμελιώδη της κατάσταση, τότε θεωρείται ότι είναι σε κατάσταση πυρηνικής ισορροπίας. Αυτό σημαίνει ότι η ενέργειά της δεν μπορεί να μειωθεί μέσω ισχυρών, ασθενών ή ηλεκτρομαγνητικών αλληλεπιδράσεων. Για πυκνότητα μικρότερη των 10 7 g/cm 3 η θεμελιώδη κατάσταση της ύλης αντιστοιχεί σε πυρήνες 56 26Fe. Στους αστέρες νετρονίων η ύλη βρίσκεται σε

22 22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΑΣΤΕΡΕΣ ΝΕΤΡΟΝΙΩΝ Σχήμα 1.6: Διάγραμμα βαρυτικής μάζας κεντρικής πυκνότητας για τις καταστατικές εξισώσεις HW και OV (Πίνακας 1.1), αλλά ποιοτικά είναι το ίδιο και για τις υπόλοιπες καταστατικές εξισώσεις. Το αριστερό μέγιστο αντιστοιχεί στους λευκούς νάνους ενώ το δεξί στους αστέρες νετρονίων. Η τονισμένη μαύρη γραμμή αντιστοιχεί στους κλάδους των σταθερών λευκών νάνων και αστέρων νετρονίων. (credit: miller/images/nstarint.jpeg) πλήρη ισορροπία με αποτέλεσμα να βρίσκουν εφαρμογή καταστατικές εξισώσεις όπως η ΒPS (Πίνακας 1.1). Για τιμές πυκνότητας ρ ϵν < ρ < ρ π η κατάσταση που επικρατεί στον αστέρα είναι σε υψηλό βαθμό κατανοητή (BBP Πίνακας 1.1). Η ύλη βρίσκεται σε πυρηνική ισορροπία και αποτελείται από πυρήνες πλούσιους σε νετρόνια κατανεμημένους σε πλέγμα Coulomb, ηλεκτρόνια και ελεύθερα πρωτόνια. Η επίδραση των λεπτονίων είναι μικρή στη δομή ενός στατικού αστέρα. Η αλληλεπιδράσεις των νουκλεονίων περιγράφονται ικανοποιητικά από φαινομενολογικά μοντέλα και οι πλούσιοι σε νετρόνια πυρήνες και κελύφη περιγράφονται από ήμι-εμπειρικές σχέσης μάζας. Για τιμές πυκνότητας ρ π < ρ < g/cm 3 η πίεση κυριαρχείται από τις ισχυρές αλληλεπιδράσεις μεταξύ νουκλεονίων (κυρίως νετρονίων). Η δυσκολία στην εύρεση της καταστατικής εξίσωσης, σε αυτό το εύρος πυκνοτήτων, έγκειται στον προσδιορισμό του δυναμικού αλληλεπίδρασης νετρονίου-νετρονίου και στην εύρεση της κατάλληλης τεχνικής επίλυσης του προβλήματος των πολλών σωμάτων. Τέλος υπάρχει πιθανότητα τα νετρόνια και τα πρωτόνια να βρίσκονται σε υπέρρευστή κατάσταση, τα πιόνια να σχηματίσουν συμπύκνωση και τα νετρόνια να στερεοποιηθούν. Για τιμές πυκνότητας ρ > g/cm 3 αναμένεται εμφάνιση υπερονίων με αποτέλεσμα οι αλληλεπιδράσεις μεταξύ των βαρυονίων να χρειάζονται σχετικιστική

23 1.3. ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ, ΔΟΜΗ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 23 Πίνακας 1.1: Καταστατικές εξισώσεις Α Β Καταστατική εξίσωση(αν.) Ιδανικό αέριο νετρονίων Oppenheimer Volkoff (OV) [5] Baym-Pethick-Sutherland (BPS)[6] εύρος πυκνότητας Σύσταση 0 ρ Νετρόνια 7, 9 ρ < ρ < ρ ρ ϵ e και 56 26Fe e και νουκλίδια Γ Βaym-Bethe-Pethick ρ ϵ < ρ e, n και (BBP) [7] νουκλίδια Δ Reid [8] ρ > n Ε Bethe-Johnson [9] ρ n, p, Λ, Σ ±,0,,0 ΣΤ Σχετικιστικό μέσο πεδίο [10] ρ > n Ζ Bowers, Gleeson, και ρ > n, p, Λ, Σ ±,0, Pedigo [11] Ξ,0 αντιμετώπιση. Ακόμα σε υπέρ-πυρηνικές τιμές πυκνότητας πρέπει να λάβουμε υπόψιν μας και την πιθανότητα σχηματισμού συμπυκνώσεων Bose Einstein από πραγματικά μεσόνια. Το μεγαλύτερο ποσοστό των καταστατικών εξισώσεων προκύπτει από πειραματικές μετρήσεις και διατίθεται σε μορφή πίνακα καθώς ο καθορισμός μίας αναλυτικής έκφρασης είναι αδύνατος. Κατά την αριθμητική επίλυση ενός προβλήματος, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε συνδυασμούς καταστατικών εξισώσεων οδηγούμενοι σε πιο ρεαλιστικά μοντέλα. Το τίμημα που πληρώνουμε κατά τη χρήση μη αναλυτικών καταστατικών εξισώσεων, όταν αυτές χρησιμοποιούνται μόνες τους ή σε συνδυασμό, είναι η ακρίβεια των υπολογισμών, καθώς πέρα από τα σφάλματα που προκύπτουν κατά την παρεμβολή των δεδομένων του πίνακα μίας καταστατικής εξίσωσης, προκύπτουν σφάλματα και κατά την συνένωση διαφορετικών κομματιών δύο καταστατικών εξισώσεων.

24 24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΑΣΤΕΡΕΣ ΝΕΤΡΟΝΙΩΝ Πολυτροπική καταστατική εξίσωση Ορίζουμε ως πολυτροπική μεταβολή μία αντιστρεπτή μεταβολή κατά τη διάρκεια της οποίας η ειδική θερμότητα c παραμένει σταθερή c = dq dt. (1.2) Η καταστατική εξίσωση που εκφράζει ένα τέλειο αέριο, το οποίο υποβάλλεται σε μία πολυτροπική μεταβολή ονομάζεται πολυτροπική καταστατική εξίσωση. Με αντικατάσταση της σχέσης (1.2) και της καταστατικής εξίσωσης των τέλειων αερίων P = RρT (1.3) στον πρώτο θερμοδυναμικό νόμο, dq = c v dt P dv (1.4) παίρνουμε dq = cdt = c v dt + P dv = c v dt T RT dρ ρ (1.5) ή αφού R = c p c v (c v c) dt T = (c p c v ) dρ ρ, (1.6) η οποία μετά από ολοκλήρωση, θεωρώντας ότι c, c v, c p = σταθ., δίνει T ρ (c p c v )/(c c v ) = σταθ.. (1.7) Με αυτόν τον τρόπο καταλήγουμε στις τρεις διαφορετικές μορφές της πολυτροπικής καταστατικής εξίσωσης P ρ 1 1/n P V 1+1/n = σταθ., P T 1 n = σταθ., T r 1/n T V 1/n = σταθ., (1.8αʹ) (1.8βʹ) (1.8γʹ) όπου έχουμε ορίσει τον πολυτροπικό δείκτη n ως [12] n = c v c c p c v. (1.9) Ανάλογα με τον αδιαβατικό εκθέτη, γ = c p /c v για το τέλειο αέριο, ορίζουμε τον πολυτρόπικό εκθέτη γ ως γ = c p c c v c = n. (1.10)

25 1.3. ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ, ΔΟΜΗ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 25 Χρησιμοποιώντας την λογαριθμική παράγωγο, dp P = dρ ρ + dt T (1.11) της καταστατικής εξίσωσης, γράφουμε την εξίσωση (1.5) στις παρακάτω μορφές (c v c) dp P = (c p c) dρ ρ (c p c v ) dp P = (c p c) dt T. (1.12) Πλέον με την βοήθεια των εξισώσεων (1.6) και (1.12) ορίζουμε τον πολυτροπικό δείκτη γ = d ln P d ln ρ γ γ 1 = d ln P d ln T γ 1 = d ln T d ln ρ (1.13) και από την εξίσωση (1.8αʹ) παίρνουμε την πολυτροπική καταστατική εξίσωση P = Kρ 1+1/n, (1.14) όπου ρ η πυκνότητα μάζας ηρεμίας και K, n σταθερές. Ο νόμος (1.3) των τέλειων αερίων ισχύει για θερμοδυναμικά συστήματα που αποτελούνται από μη εκφυλισμένα και μη αλληλεπιδρώντα σωμάτια, στο μη σχετικιστικό άλλα και στο σχετικιστικό όριο. Για σχετικιστικά σωμάτια η ερμηνεία της πυκνότητας ρ του νόμου (1.3) είναι η ίδια με την ερμηνεία στο μη σχετικιστικό όριο, είναι η πυκνότητα μάζας ηρεμίας. Η πυκνότητα μάζας ηρεμίας ρ και η πυκνότητα μάζας ενέργειας E συνδέονται με την σχέση E = ρ + np (1.15) Η εξίσωση (1.14) φαίνεται να εμφανίζει μοναδικότητα αφού για n = 0 προκύπτει P =. Η φαινομενική αυτή μοναδικότητα αίρεται αν θεωρήσουμε ότι K = L 1/n. Σε αυτήν την περίπτωση, αν n = 0 τότε ρ = 1/L ανεξάρτητα από την τιμή της πίεσης P. Τέλος οποτεδήποτε εμφανίζεται ο όρος Kρ 1/n μπορούμε με αντικατάστασή του με P /ρ να αποφεύγουμε την μοναδικότητα. Αν θεωρήσουμε ότι η πυκνότητα που εμφανίζεται στο νόμο των τέλειων αερίων (1.3) ερμηνεύεται, στο σχετικιστικό όριο, ως η πυκνότητα μάζας ενέργειας E, τότε η πολυτροπική καταστατική εξίσωση παίρνει την μορφή P = KE 1+1/n, (1.16) όπου τώρα την θέση της πυκνότητας μάζας ηρεμίας στην πολυτροπική καταστατική εξίσωση (1.14) έχει πάρει η πυκνότητα μάζας ενέργειας.

26 26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΑΣΤΕΡΕΣ ΝΕΤΡΟΝΙΩΝ

27 Κεφάλαιο 2 Ταλαντώσεις 2.1 Βαρυτικό σύστημα μονάδων Στην μαθηματική θεώρηση του προβλήματος των ακτινικών ταλαντώσεων που ακολουθεί, όλες οι φυσικές ποσότητες που εμφανίζονται εκφράζονται σε βαρυτικές (gravitational units) οι οποίες αναφέρονται και ως γεωμετρικές (geometrized units). Ο λόγος είναι ότι οι εξισώσεις στις οποίες καταλήγουμε και καλούμαστε να επιλύσουμε αριθμητικά δεν δίνουν ακριβή αποτελέσματα όταν δουλεύουμε στο centimeter gram second (cgs) σύστημα μονάδων [13]. Στο βαρυτικό σύστημα μονάδων (gu) η ταχύτητα του φωτός, c και η παγκόσμια σταθερά βαρύτητας, G είναι ίσες με την μονάδα, c gu = G gu = 1. Η θεμελιώδης μονάδα του συστήματος είναι το μήκος εκφρασμένο σε εκατοστόμετρα (cm). Έτσι λοιπόν κάθε φυσική ποσότητα q gu εκφράζεται σαν η θεμελιώδης μονάδα cm, υψωμένη στον κατάλληλο εκθέτη δ, q gu = cm δ. Στο cgs οι θεμελιώδεις είναι το μήκος μετρούμενο σε εκατοστόμετρα (cm), η μάζα μετρούμενη σε γραμμάρια (gr) και ο χρόνος μετρούμενος σε δευτερόλεπτα (sec). Επομένως στο cgs η φυσική ποσότητα q εκφράζεται ως q cgs = cm a gr b sec d. Με κατάλληλο συνδυασμό των εκθετών α, β, δ, a, b και d ώστε να ισχύει cm δ = Gβ cgs cm a gr b sec d, (2.1) c α cgs μπορούμε να καθορίσουμε τις βαρυτικές της ποσότητας q. Αντικαθιστώντας τις ποσότητες c cgs =cm sec 1 και G cgs =cm 3 gr 1 sec 2 παίρνουμε cm α 3β+δ gr β sec 2β α = cm a gr b sec d, (2.2) η οποία χωρίζεται, λόγω του ότι οι θεμελιώδεις είναι ανεξάρτητες μεταξύ 27

28 28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Πίνακας 2.1: Συντελεστές μετατροπής βαρυτικών μονάδων σε cgs Φυσικές ποσότητες βαρυτικές συντελεστές αριθμητική μετατροπής τιμή Μήκος cm Μάζα cm c 2 /G Χρόνος cm 1/c Πυκνότητα cm 2 c 2 /G Πίεση cm 2 c 4 /G Βαρυτικό δυναμικό αδιάστατο c Συχνότητα cm 1 c Κυκλική συχνότητα cm 1 c τους, στο παρακάτω σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων α 3β + δ = a β = b 2β α = d. (2.3αʹ) (2.3βʹ) (2.3γʹ) Για παράδειγμα, η πυκνότητα ρ εκφράζεται στο cgs ως ρ = cm 3 gr 1 sec 0, δηλαδή a = 3, b = 1 και d = 0. Επομένως βρίσκουμε ότι β = 1 και α = 2 από τις εξισώσεις (2.3βʹ) και (2.3γʹ) αντίστοιχα καθώς και δ = 2 από τα α και β και την εξίσωση (2.3αʹ). Επομένως καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι για την μετατροπή της πυκνότητας ρ από cgs σε gu πρέπει να πολλαπλασιάσουμε με c α cgs/g β cgs = c 2 cgs/g cgs. Εργαζόμενοι με παρόμοιο τρόπο υπολογίζουμε τις βαρυτικές και τους αντίστοιχους συντελεστές μετατροπής για διάφορες φυσικές ποσότητες (Πίνακας 2.1). 2.2 Εξισώσεις δομής ισορροπίας Ένα μη περιστρεφόμενο, συμπαγές αντικείμενο σε κατάσταση ισορροπίας είναι σφαιρικά συμμετρικό. Η μετρική που περιγράφει το βαρυτικό πεδίο ενός τέτοιου αντικειμένου εξήχθη για πρώτη φορά από τον Schwarchild. Η μετρική αυτή εκφρασμένη σε σφαιρικές συντεταγμένες (r, θ, ϕ) είναι [14] ds 2 = e ν dt 2 + e λ dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θdϕ 2 ) (2.4) όπου ν και λ είναι ακτινικές συναρτήσεις της μετρικής. Οι συντελεστές e ν και e λ περιγράφουν τον ρυθμό μεταβολής της ροής του χρόνου και την απόκλιση

29 2.2. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΟΜΗΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ 29 από την ευκλείδεια γεωμετρία αντίστοιχα. Για ν«1, το βαρυτικό δυναμικό ϕ στην νευτώνεια μηχανική και η συνάρτηση ν, εκφρασμένη σε βαρυτικές, συνδέονται μέσω της σχέσης ϕ = ν/2 [14]. Επομένως μπορούμε να ορίσουμε το βαρυτικό δυναμικό ως Φ = ν 2. (2.5) Ακόμα, η συνάρτηση λ δίνεται από την σχέση [14] e λ = ( 1 2m r ) 1, (2.6) όπου m = m(r) είναι η μάζα ενέργεια που περιέχεται σε μία σφαίρα ακτίνας r. Ένας σχετικιστικός μη περιστρεφόμενος αστέρας νετρονίων περιγράφεται από τις τέσσερις εξισώσεις της υδροστατικής της ΓΘΣ. Το σύστημα αυτό αποτελούν 1. η μονοπαραμετρική καταστατική εξίσωση που μας δίνει την σχέση μεταξύ της πίεσης P και της πυκνότητας της ολικής μάζας ενέργειας E P = P (E), (2.7) 2. η εξίσωση υδροστατικής ισορροπίας [14] 3. η εξίσωση μάζας ενέργειας [14] 4. η εξίσωση που δίνει το βαρυτικό δυναμικό dp dr = (E + P )(m + 4πr3 P ), (2.8) r(r 2m) dm dr = 4πr2 E και (2.9) dφ dr = 1 dp E + P dr. (2.10) Οι εξισώσεις (2.8) και (2.9) αποτελούν ένα σύστημα δύο συνήθων διαφορικών εξισώσεων, οι οποίες καλούνται Oppenheimer-Volkoff (OV), με αρχικές συνθήκες [15] m(0) = m c = 0 P (0) = P (E c ), (2.11) όπου E c είναι η κεντρική πυκνότητα μάζας ενέργειας. Η εξίσωση (2.9) που δίνει το βαρυτικό δυναμικό υπόκειται στην συνθήκη κανονικοποίησης Φ( ) = 0, (2.12)

30 30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ η οποία, εξαιτίας της σχέσης e ν = e λ [14], που ισχύει έξω από τον αστέρα, σε συνδυασμό με την σχέση (2.6) γίνεται στο εξωτερικό του αστέρα Φ ϵξ (r) = 1 2 ln ( 1 2M r ), (2.13) όπου M η ολική μάζα ενέργεια του αστέρα. Στην επιφάνεια του αστέρα (r = R) το βαρυτικό δυναμικό γίνεται Φ(R) = 1 2 ln ( 1 2M R ), (2.14) η οποία αποτελεί την οριακή συνθήκη για τη διαφορική εξίσωση του βαρυτικού δυναμικού αντί της (2.13). 2.3 Ακτινικές ταλαντώσεις Στην παράγραφο αυτή, καταγράφουμε τα σημαντικότερα σημεία των δύο βασικών μεθόδων μελέτης των ακτινικών ταλαντώσεων. Η πρώτη μέθοδος αντιμετωπίζει τις απειροστές, αδιαβατικές ακτινικές ταλαντώσεις με διατήρηση του βαρυονικού αριθμού, ως διαταραχές (μέθοδος Chandrasekhar [16]). Η δεύτερη μέθοδος αντιμετωπίζει τις ακτινικές ταλαντώσεις σαν αποτέλεσμα της αργής περιστροφής του αστέρα (μέθοδος αργής περιστροφής του Hαrtle [17] Μέθοδος Chandrasekhar Ένα μη περιστρεφόμενο, συμπαγές και σφαιρικά συμμετρικό αντικείμενο περιγράφεται από την μετρική Schwarchild, η οποία σε σφαιρικές συντεταγμένες γράφεται ds 2 = e ν dt 2 + e λ dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θdϕ 2 ), (2.15) όπου ν, λ ακτινικές συναρτήσεις της μετρικής. Οι εξισώσεις πεδίου του Einstein για την παραπάνω μετρική είναι Rt t 1 ( 1 2 R = 8πT t t = e λ λ r r 1 ) + 1 r 2 r = 1 2 r 2 r (re λ ) + 1 r, (2.16) 2 R r r 1 2 R = 8πT r r = e λ ( 1 r ν r + 1 ) + 1 r 2 r, (2.17) 2

31 2.3. ΑΚΤΙΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 31 και Rθ θ 1 2 R = Rϕ ϕ 1 2 R = 8πT θ θ = 8πT ϕ ϕ [ = e λ 1 2 ν 2 r 1 ν λ 2 4 r r + 1 ( ) ] 2 ν + 1 (ν λ) 4 r 2r r [ + e ν 1 λ ν 4 t t λ 2 t + 1 ( ) ] 2 λ 2 4 t R r t = 8πT r t = e λ r (2.18) λ t, (2.19) όπου R i j ο τανυστής Riemann Cristoffel και T i j ο τανυστής ενέργειας ορμής. Υποθέτουμε ότι ο τάνυστης ενέργειας ορμής έχει την μορφή T i j = (P + E)u i u j + P δ j i, (2.20) όπου u i είναι η ανταλλοίωτη τετρα ταχύτητα, P η πίεση και E η πυκνότητα ενέργειας. Στην περίπτωσή που εξετάζουμε, τα στοιχεία u 0 και u 1 είναι μη μηδενικά, επομένως Tθ θ = T ϕ ϕ P. (2.21) Οι εξισώσεις πεδίου του Einstein, (2.16)-(2.19), δεν είναι όλες ανεξάρτητες, καθώς η συναλλοίωτη απόκλιση της ποσότητας R i j Rδ i j μηδενίζεται ταυτοτηκά και καταλήγουμε στην σχέση (T i j ) ji = 0. (2.22) Στην περίπτωση που εξετάζουμε η εξίσωση (2.91) οδηγεί στις δύο παρακάτω εξισώσεις και t + T t r r (T t t Tr r ) λ [ 1 t + T t r 2 r (λ + ν) + 2 ] = 0 (2.23) r T t t Tr t t + T r r r (T r r Tt t ) ν r T r t t (λ + ν) + 2 r (T r r P ) = 0 (2.24) Σε κατάσταση υδροστατικής ισορροπίας καμία από τις ποσότητες δεν εξαρτάται από την συντεταγμένη του χρόνου, t, και η ποσότητα u r είναι μηδενική. Επομένως ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις για τα στοιχεία του τανυστή ενέργειας ορμής Tr r = Tθ θ = T ϕ ϕ = P o, (2.25) Tt t = E o

32 32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ και με αντικατάστασή τους στις εξισώσεις (2.16), (2.17) και (2.24), καταλήγουμε στις ανεξάρτητες εξισώσεις πεδίου d dr (re λo ) = 1 8πr 2 E o, (2.26) e λ o dν o r dr = 1 r (1 2 e λ o ) + 8πP o, (2.27) dp o dr = 1 2 (P o + E o ) dν o dr. (2.28) Ακόμα από τις εξισώσεις (2.16) και (2.17) καταλήγουμε στην παρακάτω χρήσιμη εξίσωση e λ d r dr (λ o + ν o ) = 8π(P o + E o ), (2.29) με την βοήθεια της οποίας οι εξισώσεις (2.27) και (2.28) δίνουν τις δύο εξισώσεις που περιγράφουν την υδροστατική ισορροπία στην γενική σχετικότητα ( 1 2M ) ( ) dpo M r dr = (P o + E o ) r + 4πP r (2.30) 2 και dm dr = 4πEr2. (2.31) Θεωρούμε τώρα ένα σύστημα που βρίσκεται σε υδροστατική ισορροπία και περιγράφεται από τις εξισώσεις OV. Υποθέτουμε ότι το σύστημα αυτό διαταράσσεται με τέτοιο τρόπο ώστε να μην παραβιάζεται η σφαιρική του συμμετρία. Αυτή η διαταραχή έχει ως αποτέλεσμα την δημιουργία κινήσεων ακτινικής διεύθυνσης. Για να καταλήξουμε στις εξισώσεις που διέπουν την διαταραγμένη κατάσταση, πρέπει να αγνοήσουμε όλες τις ποσότητες δεύτερης ή ανώτερης τάξης ως προς τις κινήσεις και να κρατήσουμε μόνο τους όρους που είναι γραμμικοί ως προς αυτές. Έχουμε λοιπόν, u r = e ν o/2 υ, u r = e λ o ν o /2 υ, u t = e νo/2, u t = e νo/2, (2.32) όπου υ = dr (2.33) dt η ακτινική ταχύτητα σε της ταχύτητας του φωτός. Τα στοιχεία του τανυστή ενέργειας ορμής είναι T r r = T θ θ = T ϕ ϕ = P, T t t = E, = (P 0 + E 0 )u r u t = (P 0 + E 0 )υ, T r t T t r = (P 0 + E 0 )u t u r = e λ 0 ν 0 (P 0 + E 0 )υ (2.34)

33 2.3. ΑΚΤΙΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 33 Στην διαταραγμένη κατάσταση οι τιμές των ποσοτήτων λ, ν, P και E δίνονται από τις παρακάτω σχέσεις λ = λ 0 + δλ P = P 0 + δp ν = ν 0 + δν E = E 0 + δe. (2.35) Σύμφωνα με τις δύο πρώτες εξισώσεις της (2.34) οι εξισώσεις (2.26) και (2.27) ισχύουν και μετά την αντικατάσταση των λ 0 και ν 0 με τις διαταραγμένες τιμες τους λ και ν αντίστοιχα. Έχουμε λοιπόν τις δύο πρώτες γραμικοποιημένες εξισώσεις πεδίου που διέπουν την διαταραγμένη κατάσταση e λ 0 r r (re λ 0 δλ) = 8πr 2 δe (2.36) ( r δν dν ) 0 dr δλ = e λ 0 δλ + 8πδP, r2 (2.37) ενώ σαν δύο ακόμα εξισώσεις πεδίου μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τις κατάλληλα γραμικοποιημένες εξισώσεις (2.19) και (2.24), με την βοήθεια των δύο τελευταίων εξισώσεων της (2.34), e λ 0 r t δλ = 8π(P 0 + E 0 )υ (2.38) e λ 0 ν 0 (P 0 + E 0 ) υ t + r δp (P 0 + E 0 ) r δν (δp + δe)dν 0 dr = 0 (2.39) Στην συνέχεια εισάγουμε την Lagrangian μετατόπιση ξ που ορίζεται από την σχέση υ = ξ t. (2.40) Με αντικατάσταση της εξίσωσης (2.40) στην εξίσωση (2.38) και με ολοκλήρωση της τελευταίας παίρνουμε e λ r δλ = 8π(P o + E o )ξ (2.41) ή με την βοήθεια της εξίσωσης (2.29), καταλήγουμε στην εξίσωση Ακόμα, από τις εξισώσεις (2.36) και (2.41) παίρνουμε δλ = ξ d dr (λ 0 + ν 0 ). (2.42) δe = 1 r 2 r [r2 (P 0 + E 0 )ξ], (2.43)

34 34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ή διαφορετικά δe = ξ de 0 dr ξ dp 0 dr (P 0 + E 0 ) 1 r 2 r (r2 ξ). (2.44) Τελικά με αντικατάσταση του όρου dp 0 /dr από την εξίσωση (2.28) καταλήγουμε στην εξίσωση αρχικών τιμών δe = ξ de 0 dr (P 0 + E 0 ) eν0/2 r 2 r (r2 e ν0/2 ξ). (2.45) Στην συνέχεια με αντικατάσταση του δλ από την εξίσωση (2.41) στην εξίσωση (2.37) παίρνουμε [ ( e λ 0 dν0 δν = 8π δp (P 0 + E 0 ) r r dr + 1 ) ] ξ (2.46) r η οποία με την βοήθεια της (2.29) (P 0 + E 0 ) r δν = [δp (P 0 + E 0 ) ( dν0 dr + 1 ) ] d ξ r dr (λ 0 + ν 0 ). (2.47) Τελικά, υποθέτουμε ότι όλες οι διαταραχές έχουν μία εξάρτηση από τον χρόνο t της μορφής e iωt, (2.48) όπου ω η χαρακτηριστική συχνότητα των ταλαντώσεων. Μπορούμε λοιπόν, με αντικατάσταση της εξίσωσης (2.47), να ξαναγράψουμε την εξίσωση (2.39) στην μορφή ω 2 e λ 0 ν 0 (P 0 + E 0 )ξ = d dr δp + δp d dr (1 2 λ 0 + ν 0 ) δe dν 0 dr 1 ( 2 (P dν0 0 + E 0 ) dr + 1 ) ( dλ0 r dr + dν ) 0 ξ, dr (2.49) όπου πλέον οι ποσότητες δλ, δν, δp και δe είναι τα πλάτη των αντίστοιχων μεγεθών με χρονική εξάρτηση της μορφής (2.48). Μία τελευταία υπόθεση που πρέπει να κάνουμε, για να καταλήξουμε στις επιθυμητές εξισώσεις, είναι η υπόθεση διατήρησης του του βαρυονικού αριθμού ώστε οι ακτινικές διαταραχές να είναι αδιαβατικές. Έτσι, αν N είναι ο αριθμός των βαρυονίων ανά μονάδα όγκου, η αρχή διατήρησής τους στην ΓΘΣ απαιτεί (Nu k ) ;k = 0 (2.50) ή x k (Nuk ) + Nu k x log g = 0. (2.51) k

35 2.3. ΑΚΤΙΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 35 Στην περίπτωσή που εξετάζουμε, τα μη μηδενικά στοιχεία της ταχύτητας δίνονται από την σχέση (2.32) και η εξίσωση (2.51) γίνεται t (Ne ν 0/2 ) + r (Ne ν 0/2 υ) Ne ν 0/2 (λ + ν) t + Ne ν0/2 υ [ 1 r 2 (λ + ν) + 2 ] r = 0. (2.52) Αν υποθέσουμε ότι η διαταραγμένη τιμή του N είναι η εξίσωση (2.52) γίνεται N = N 0 (r) + δn(r, t), (2.53) e ν 0/2 t δn + 1 r 2 r (N 0r 2 e ν 0/2 υ) N 0e ν 0/2 t δλ N 0e ν 0/2 υ d dr (λ 0 + ν 0 ) = 0, (2.54) η οποία, εκφράζοντας την ταχύτητα υ συναρτήσει της Lagrangian μετατόπισης ξ και ολοκληρώνοντάς την γίνεται [ δλ + ξ d ] dr (λ 0 + ν 0 ) = 0. (2.55) δn + eν 0/2 r 2 r (N 0r 2 e ν 0/2 ξ) N 0 Ο τελευταίος όρος της παραπάνω εξίσωσης μηδενίζεται λόγω της (2.42) και παίρνουμε δn = eν 0/2 r 2 r (N 0r 2 e ν0/2 ξ) (2.56) ή διαφορετικά δn = ξ dn 0 dr N e ν 0/2 0 r 2 r (r2 e ν0/2 ξ). (2.57) Τελικά αν υποθέσουμε ότι έχουμε μία καταστατική εξίσωση της μορφής παίρνουμε από τις εξισώσεις (2.45) και (2.57) N N(E, P ), (2.58) δp = ξ dp 0 dr γp e ν 0/2 0 r 2 r (r2 e ν0/2 ξ), (2.59) όπου γ ο λόγος των ειδικών θερμοχωρητικοτήτων που ορίζεται ως [ 1 γ = N (P + E) N ]. (2.60) P N/ P E

36 36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Με τις τιμές των δe και δp ορισμένες από τις εξισώσεις (2.43) και (2.59) αντίστοιχα, η εξίσωση (2.49) γίνεται ω 2 e λ 0 ν 0 (P 0 + E 0 )ξ = d ( ξ dp ) ( ) 0 1 dλ 0 dν 0 ξ dp 0 dr dr 2 dr dr dr 1 ( 2 (P dν0 0 + E 0 ) dr + 1 ) ( dλ0 r dr + dν ) 0 ξ dr 1 { dν 0 d 2 dr dr [(P 0 + E 0 )ξ] + 2 } r (P 0 + E 0 )ξ e (λ 0+2ν 0 )/2 d [ e (λ 0+2ν 0 )/2 γp 0 dr r 2 eν 0/2 d ] dr (r2 e ν0/2 ξ). (2.61) Με αντικατάσταση του όρου dp 0 /dr από την σχέση (2.28) η παραπάνω εξίσωση γίνεται ω 2 e λ 0 ν 0 (P 0 + E 0 )ξ = 1 ( d 2 2 (P ν E 0 ) dr 1 dλ 0 dν dr dr 1 dλ 0 r dr 3 ) dν 0 ξ r dr + e (λ 0+2ν 0 )/2 d [ e (λ 0+2ν 0 )/2 γp 0 dr r 2 eν 0/2 d ] dr (r2 e ν0/2 ξ). (2.62) Σύμφωνα με την εξίσωση (2.18), σε κατάσταση ισορροπίας ισχύει ότι 16πP 0 e λ 0 = d2 ν 0 dr 1 dλ 0 dν dr dr + 1 ( ) 2 dν0 + 1 d 2 dr r dr (ν 0 λ 0 ). (2.63) Επομένως και με την βοήθεια της εξίσωσης (2.28) ο πρώτος όρος του δεξιού μέλους της εξίσωσης (2.62) γίνεται 8πP 0 e λ 0 (P 0 + E 0 )ξ 1 4 (P 0 + E 0 ) dν ( 0 8 dr r + dν ) 0 ξ dr = 8πP 0 e λ 0 (P 0 + E 0 )ξ + 1 dp 0 2 dr ( 8 r 2 dp 0 P 0 + E 0 dr = 4 ( ) 2 dp 0 r dr ξ + 8πP 0e λ 0 1 dp0 (P 0 + E 0 )ξ ξ. P 0 + E 0 dr Καταλήγουμε στην εξίσωση που διέπει τις ακτινικές ταλαντώσεις μίας αέριας σφαίρας ω 2 e λ 0 ν 0 (P 0 + E 0 )ξ = 4 r ) ξ dp 0 dr ξ e (λ 0+2ν 0 )/2 d [ e (λ 0+3ν 0 )/2 γp 0 dr r 2 + 8πP 0 e λ 0 1 (P 0 + E 0 )ξ P 0 + E 0 ( dp0 dr ) 2 ξ, (2.64) ] d dr (r2 e ν0/2 ξ) (2.65)

37 2.3. ΑΚΤΙΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 37 η οποία διέπεται από τις οριακές συνθήκες ξ(r = 0) = 0 δp (r = R) = 0. και (2.66) Οι παραπάνω οριακές συνθήκες προκύπτουν λόγω σφαιρικής συμμετρίας και λόγω της απαίτησης η ολική πίεση στην επιφάνεια να παραμένει σταθερή καθώς ακολουθούμε την ταλάντωσή της Προσέγγιση αργής περιστροφής Όπως αναφέρουμε στην προηγούμενη παράγραφο, οι μικρές ταλαντώσεις ενός σχετικιστικού αστέρα περιγράφονται από την μετατόπιση Lagrange, ξ. Ακολουθώντας την προσέγγιση της αργής περιστροφής του Hartle, χρησιμοποιούμε την μετατόπιση με την μορφή κξ(r, t), όπου κ μία παράμετρος αναπτύγματος ανάλογη του πλάτος ταλάντωσης. Οι διαταραχές Euler της πίεσης P, της πυκνότητας ενέργειας E και της μετρικής g είναι αντίστοιχα κδp, κδe και κδg και υπολογίζονται από την επίλυση των εξισώσεων Einstein με ακρίβεια πρώτης τάξης κδe = κδ[r 1 gr 8πT ] = 0. (2.67) 2 Οι εξισώσεις που προκύπτουν είναι γραμμικές διαφορικές εξισώσεις ως προς τις άγνωστες ποσότητες ξ, δe, δp και δg. Η αλλαγή στην συχνότητα ταλάντωσης, που προκαλείται από την αργή περιστροφή, μπορεί να μελετηθεί με την μέθοδο των διαταραχών με την βοήθεια της παραμέτρου αναπτύγματος ϵ, η οποία είναι ανάλογη της γωνιακής ταχύτητας Ω. Επομένως όροι γραμμικοί ως προς ϵ είναι ανάλογοι της γωνιακής ταχύτητας Ω, όροι γραμμικοί ως προς ϵ 2 είναι ανάλογη του Ω 2 κ.ο.κ.. Εισάγουμε τις συντεταγμένες t, r, θ και ϕ οι οποίες ικανοποιούν τις δύο συνθήκες: σε μηδενική τάξη αναπτύγματος ϵ 0 κ 0 είναι οι γνωστές πολικές συντεταγμένες ενός μη περιστρεφόμενου αστέρα σε ισορροπία, (εξίσωση (2.4), σε όλες τις τάξεις των ϵ και κ, η συντεταγμένη ϕ είναι κυκλική αζιμουθιακή γωνία γύρω από τον άξονα συμμετρίας. Όταν ικανοποιούνται οι συνθήκες αυτές, η μετρική είναι ανεξάρτητη της γωνίας ϕ και για κάθε μετατροπή της μορφής t f 1 (t, r, θ), t f 2 (t, r, θ), t f 3 (t, r, θ), t ϕ + f 4 (t, r, θ) (2.68)

38 38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ παραμένει ανεξάρτητη. Οι τέσσερις αυτές τυχαίες συναρτήσεις χρησιμοποιούνται για να θέσουν τέσσερις περιορισμούς στους συντελεστές της μετρικής. Οι τέσσερις περιορισμοί που τίθενται είναι και η μετρική παίρνει την μορφή g rθ = g tθ = g θϕ = 0 και g ϕϕ = g θθ sin 2 θ (2.69) ds 2 = S 1 dt 2 +S 2 dr 2 +S 3 drdt+r 2 S 4 [dθ 2 +sin 2 θ(dϕ L 1 dt L 2 dr) 2 ]. (2.70) Στη συνέχεια, αναπτύσσουμε τη μετρική (2.70) σε δυνάμεις της γωνιακής ταχύτητας. Η υπάρχουσα συμμετρία της μετρικής (ταυτόχρονη μετατροπή ϕ ϕ, Ω Ω) υπαγορεύει, ότι οι συναρτήσεις S i περιέχουν όρους άρτιους ως προς ϵ, ενώ οι συναρτήσεις L i περιττούς. Για την απλοποίηση του προβλήματος επιλέγουμε έναν πολικό άξονα κατά μήκος του άξονα περιστροφής και αναπτύσσουμε όλες τις ποσότητες σε σφαιρικές αρμονικές. Οι σφαιρικές αρμονικές μπορεί να είναι βαθμωτές, διανυσματικές και τανυστικές [18]. Στην περίπτωση ενός περιστρεφόμενου μη παλλόμενου αστέρα οι άρτιοι, ως προς ϵ, όροι της μετρικής περιέχουν μόνο σφαιρικές αρμονικές με l = 0 και αρτιότητα π = +. Οι περιττοί όροι περιέχουν μόνο σφαιρικές αρμονικές με l = 1 και αρτιότητα π = +. Στην περίπτωση των ακτινικών ταλαντώσεων ενός μη περιστρεφόμενου αστέρα ( 1.4) όλοι οι όροι της μετρικής περιέχουν σφαιρικές αρμονικές με l = 1 και π = +. Όταν ο αστέρας περιστρέφεται και ταλαντώνεται οι όροι τάξης O(ϵκ) περιέχουν όρους με l = 1 και π = +, ενώ οι όροι τάξης O(ϵ 2 κ) όπως και οι όροι O(ϵ 2 ) περιέχουν όρους με l = 0, 2 και πιθανώς 1 και π = +. Συνοψίζοντας όλα τα παραπάνω, οι συναρτήσεις S i είναι άρτιες ως προς ϵ[o(1), O(κ), O(ϵ 2 ), O(ϵ 2 κ 2 ] και έχουν l = 0, 1, 2, π = +, ενώ οι συναρτήσεις L i είναι περιττές ως προς ϵ[o(ϵ), O(ϵκ] και έχουν l = 1, π = +. Όπως αναφέρουμε και προηγουμένως, οι σφαιρικές αρμονικές που εμφανίζονται στις συναρτήσεις S i και L i δεν είναι όλες βαθμωτές αρμονικές. Τα στοιχεία της μετρικής g tt, g rr και g tr μετασχηματίζονται ως βαθμωτές συναρτήσεις υπό τις περιστροφές. Τα στοιχεία g ta και g ra με A = θ, ϕ ως διανύσματα και τα στοιχεία g AB, με A και B = θ, ϕ ως τανυστές. Εφόσον τα στοιχεία g tt, g rr και g tr μετασχηματίζονται σαν βαθμωτές συναρτήσεις υπό τις περιστροφές, οι συναρτήσεις S 1, S 2 και S 3 έχουν όρους ανεξάρτητους του 4θ και όρους που εξαρτώνται από P 2 (cos θ). Οι συνθήκες (2.69) επιβάλουν στην συνάρτηση S 4 να είναι ανεξάρτητη του θ και να έχει όρους ανάλογους του P 2 (cos θ) και στις συναρτήσεις L 1 και L 2 να είναι ανεξάρτητες του θ. Τελικά οι εξισώσεις από τις οποίες υπολογίζονται οι συναρτήσεις S i και L i είναι S i (r, θ, t) = S i0 (r, t) + s 12 (r, t)p 2 (cos θ) + O(ϵ 4 ) L i (r, θ, t) = L i1 (t, r) + O(ϵ 3 ). και (2.71)

39 2.3. ΑΚΤΙΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 39 Η μορφή της μετρικής (2.71) παραμένει αναλλοίωτη κάτω από μετασχηματισμούς της μορφής t t + g 1 (r, t), r +g 2 (r, t) και ϕ ϕ + g 3 (r, t), (2.72) οι οποίοι θέτουν τους περαιτέρω περιορισμούς S 30 = 0, S 40 = 1, L 21 = 0. (2.73) Οι υπόλοιποι όροι της μετρικής (2.70) αναπτύσσονται σε δυνάμεις των ϵ και κ. Οι παράγοντες της μετρικής, εκτός των συναρτήσεων τάξης κ 0 [14], είναι g tt = e ν (1 + κτ)[1 + 2ϵ 2 (h 0 + h 2 P 2 ) + ϵ 2 κ(n 0 + N 2 P 2 )] + ϵ 2 r 2 sin 2 θ(ω ω) 2, g rr = e λ [1 + 2ϵ2 e λ (m 0 + m 2 P 2 ) + 2κeλ r r µ ϵ2 κ(h 0 + H 2 P 2 )] g θθ = g ϕϕ sin 2 θ = r2 [1 + 2ϵ 2 (u 2 h 2 )P 2 ϵ 2 κk 2 P 2 ], g tr = ϵ 2 κq 2 P 2, g tϕ = ϵr 2 sin 2 θ(ω ω + κj 1 ), g tθ = g rθ = g rϕ = g θϕ = 0, (2.74) όπου οι ποσότητες τ, N 0, N 2, Q 2, j 1, µ, H 0, H 2 και K 2 είναι συναρτήσεις των r και t, ενώ οι ποσότητες ν, λ, h 0, h 2, ω, m 0, m 2 και u 2 είναι συναρτήσεις του r. Σε έναν περιστρεφόμενο μη παλλόμενο αστέρα το ρευστό κινείται στην διεύθυνση ϕ με γωνιακή ταχύτητα Ω = dϕ dt = uϕ u t. (2.75) Όταν ο αστέρας ταλαντώνεται ήμι ακτινικά το ρευστό αλλάζει κινητική συμπεριφορά και μετατοπίζεται κατά ξ r στην ακτινική διεύθυνση και κατά ξ θ και ξ ϕ στις εφαπτόμενες διευθύνσεις. Οι μετατοπίσεις στις εφαπτόμενες διευθύνσεις συμβαίνουν λόγω δυνάμεων Cοriolis και περιστροφικής πλάτυνσης. Η τετρά ταχύτητα που προκύπτει έχει την μορφή u r ξr t ut, u θ ξθ t ut, u ϕ (ϵω + ξϕ t )ut, g jk u j u k = 1 (2.76) όπου ξ r, ξ θ Και ξ ϕ είναι συναρτήσεις των r, θ και t. Η συμμετρία κάτω από την ταυτόχρονη αντιστροφή ϕ ϕ και Ω Ω επιβάλει τα ξ r και ξ θ να περιέχουν μόνο άρτιους όρους ως προς ϵ, ενώ το ξ ϕ μόνο περιττούς. Ακόμα, από τις σφαιρικές αρμονικές με αρτιότητα π = + καταλαβαίνουμε, ότι επειδή το ξ r είναι βαθμωτή