Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής. Σημειώσεις I: Κίνηση σε τρεις διαστάσεις, στροφορμή

Transcript

1 Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙI Α. Καρανίκας και Π. Σφήκας Σημειώσεις I: Κίνηση σε τρεις διαστάσεις, στροφορμή 1. Κίνηση σε τρεις διαστάσεις Αποδεικνύεται (με τον ίδιο τρόπο όπως και για την ˆp ότι οι τελεστές που αντιστοιχούν στις συνιστώσες της ορμής στον άξονα και, ˆp και ˆp, δίδονται ως: Οι αντίστοιχες σχέσεις μετάθεσης είναι:,p ˆ ˆ = [,p ˆ ˆ] = i Είναι επίσης προφανές ότι [ ˆˆ] [ ˆˆ] [ ˆˆ],p ˆ ˆ = [,p ˆ ˆ ] = 0 p ˆ = i, pˆ = i (1.1, =, =, = 0 όπως επίσης p,p ˆ ˆ i j = 0 για i, j =,,. Τέλος,. Όλες αυτές οι σχέσεις μπορούν να συμπτυχθούν στη μορφή ˆ ˆ = i δ όπου εισαγάγουμε το συμβολισμό ( ˆˆˆ,, (,, ˆˆˆ 1 3,p i j ij (1. = και ( p ˆ1,p ˆ,pˆ 3 ( p ˆ ˆ ˆ,p,p =. Έτσι, μπορούμε να γράψουμε την τρισδιάστατη ορμή ως άνυσμα: ˆ p pˆ ˆ ˆ = e + pe + pe = e i + e i + e i (1.3 όπου e, e και e τα μοναδιαία ανύσματα στους άξονες, και αντίστοιχα. Σε καρτεσιανές συντεταγμένες: ˆ ˆ pˆ = p p= pˆ ˆ ˆ + p + p = = + + Η (1.3 μπορεί να γραφτεί και πιο σύντομα, χρησιμοποιώντας το ανάδελτα: ˆp = i (1.4 Οπότε, γενικότερα: ˆp = i i = = (1.5 Η κυματοσυνάρτηση, πλέον, εξαρτάται από τις τρεις ανεξάρτητες μεταβλητές,, δηλ: Ψ, t Ψ,,, t =Ψ, t Αντίστοιχα, σε σφαιρικές συντεταγμένες, Ψ t, =Ψ, θ, φ, t και η ορμή γράφεται ως 1

2 1 1 ˆp = i e + eθ + eφ (1.6 θ siθ φ Για δε την επίλυση της χρονοεξαρτώμενης εξίσωσης του Schödige, χρησιμοποιούμε την ίδια παραγοντοποίηση όπως και στην περίπτωση της μιας διάστασης (1D: Ψ, t = ϕ T t Ψ, t = ϕ T t (1.7 Αντικαθιστώντας την (1.7 στην εξίσωση του Schödige, καταλήγουμε στο ίδιο αποτέλεσμα όπως και στην περίπτωση του 1D: ˆ Ψ ˆ iet HΨ= i Hϕ = Eϕ και T( t = T( 0 e t Προφανώς, η ερμηνεία της Ψ παραμένει η ίδια, δηλαδή είναι η πυκνότητα πιθανότητας σε ένα τμήμα d, d, d του χώρου. Επομένως, πρόκειται για την πυκνότητα πιθανότητας όγκου dv = d, d, d. Η δε πιθανότητα να βρεθεί το σωμάτιο μέσα σε κάποιο όγκο V είναι τώρα P = ϕ dv V V Παράδειγμα 1: Κίνηση σε δυο διαστάσεις: ˆp ˆp Ĥ = V (, + + (1.8 Αντικαθιστώντας τις (1.1 στην (1.8, παίρνουμε την εξής μορφή: ϕ ϕ + V + (, ϕ = Eϕ Η πιο απλή περίπτωση: V (, V V αρμονικός ταλαντωτής σε D: = +. Παράδειγμα τέτοιου δυναμικού είναι ο απλός V = + Παρατηρούμε ότι οι όροι με και είναι ανεξάρτητοι μεταξύ τους, οπότε αναζητούμε λύση στη μορφή γινομένου ϕ (, = F G( : d F d G 1 1 G F + + FG = EFG d d Διαιρώντας και τα δυο μέλη με F G(, παίρνουμε 1 d F 1 1 d G E = F d G d g f Ο πρώτος όρος στην (1.9 είναι συνάρτηση του (μόνο, ενώ η δεύτερη παρένθεση συνάρτηση του (μόνο. Έστω f και g αυτές οι συναρτήσεις. Η εξίσωση (1.9 πλέον γράφεται f + g = E Ο μόνος τρόπος που το άθροισμα δυο συναρτήσεων που εξαρτώνται από διαφορετικές ανεξάρτητες μεταβλητές μπορεί να είναι σταθερό, είναι η κάθε συνάρτηση να είναι σταθερή. Και επομένως f = E και g = E όπου E, E δυο νέες σταθερές: (1.9

3 d F 1 EF d + F= και μια πανομοιότυπη με F, G. Οι λύσεις μας είναι ήδη γνωστές: η F ( και η G( είναι πολυώνυμα Heite, ενώ οι σταθερές E και E δίδονται ως 1 E = + ω όπου = ω 1 E = + ω όπου = ω Στην ειδική περίπτωση που = (και επομένως ω = ω = ω η ολική ενέργεια του σώματος δίδεται ως ( 1 E = E + E E = + + ω Παρατηρούμε ότι οι καταστάσεις συγκεκριμένης ενέργειας είναι εκφυλισμένες: E0 = ω = 1, = 0 E1 = ω καταστάσεις εκφυλισμένες = 1, = 0 =, = 0 E = 3ω = 1, = 1 3 καταστάσεις (εκφυλισμένες = 0, = Σε τι διαφέρουν οι καταστάσεις που έχουν την ίδια ενέργεια; Η παράμετρος χαρακτηρίζει την ορμή στον άξονα των (και αντίστοιχα η την ορμή στον άξονα των. Και επομένως διαφέρουν ως προς την κίνηση στους δυο άξονες. Αργότερα θα δούμε ότι γραμμικοί συνδυασμοί τους αντιστοιχούν σε ιδιοσυναρτήσεις της στροφορμής. Παράδειγμα : απειρόβαθο πηγάδι σε τρεις διαστάσεις. Έστω κουτί με πλευρές με μήκος L, L, L στους άξονες, και αντίστοιχα. Έστω ότι το δυναμικό είναι σταθερό (άρα μπορούμε να το ορίσουμε ως V = 0 μέσα στο κουτί, δηλ. V = 0 στο διάστημα 0 < < L και < < L και 0 < < L και V = σε όλες τις άλλες περιοχές. 0 Δοκιμάζουμε και πάλι λύσεις της μορφής: 1 d X 1 d Y 1 d Z ϕ = X Y Z + + = E X d Y d Z d E E E Έχουμε τρεις εξισώσεις της μορφής: d f Eξ E ξ = f, f ξ = ( ξ = e dξ ± iξξ ψ 3

4 iξξ iξξ = + = cos + si f ξ Ae Be A ξ B ξ Εφαρμόζουμε τις συνοριακές συνθήκες. Ως παράδειγμα, στον άξονα, ξ =, θα έχουμε: π f ( 0 = f ( L = 0 A = 0; B si L= 0 L= π X = Nsi L όπου N μια σταθερά κανονικοποίησης. Με τον ίδιο ακριβώς τρόπο βρίσκουμε ότι υπάρχουν θετικοί ακέραιοι και έτσι ώστε όπου π π =, =. Η ολική κυματοσυνάρτηση γράφεται ως εξής: L L N π π π ψ (,, = Nsi si si L L L ξ η συνολική σταθερά κανονικοποίησης. Η ενέργεια δίδεται ως: π E = + + L L L Στην περίπτωση που τα τρία μήκη είναι ίσα, δηλ L = L = L π E = + + L { } και έχουμε και πάλι εκφυλισμό των ενεργειακών σταθμών. ξ. Σφαιρικές συντεταγμένες Τα «πραγματικά» δυναμικά είναι συνάρτηση της απόστασης ανάμεσα σε δυο σημεία, και φυσικά η μορφή αυτή δεν μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα ανεξάρτητων συναρτήσεων: 1 1 V = V + V + V + + Είναι λοιπόν προφανές ότι όταν το δυναμικό είναι συνάρτηση της απόστασης, π.χ. V Λαπλασιανή πρέπει να γραφτεί σε σφαιρικές συντεταγμένες ϕ + ϕ = Eϕ Το ϕ σε σφαιρικές συντεταγμένες γράφεται ως 1 1 ˆ 1 = + cotθ =Π + Π ˆ si θφ θ θ θ φ =, η (1.10 Η εξίσωση Schödige γράφεται ως εξής: ˆ ˆ (,, ( V Π Π E,, θφ + ψ θφ = ψ θφ (1.11 ψ, επειδή σε σφαιρικές συντεταγμένες η Σημειώνεται ότι μετονομάσαμε την ϕ ( σε κυματοσυνάρτηση εξαρτάται από την γωνία φ. Για να αποφευχθεί οποιαδήποτε ανάμιξη, στις σφαιρικές συντεταγμένες, η (1.7 γράφεται 4

5 Ψ =ψ ( t, ( T ( t Η εξίσωση (1.11 μας θυμίζει την μορφή της ενέργειας (στην Κλασσική Μηχανική για σώμα σε κεντρικό δυναμικό: p L + + V = E (1.1 L Στην (1.1, η ολική ορμή, p, γράφεται ως p + όπου p η ακτινική ορμή και L η στροφορμή. Κατ αντιστοιχία, στην Κβαντική Μηχανική γράφουμε την (1.1 ως: ˆp Lˆ + ψ + V ψ = Eψ (1.13 Συγκρίνοντας την (1.11 με την (1.13, συμπεραίνουμε ότι θα πρέπει να ισχύει: ˆ Π = ˆp και (1.14 ˆ 1 cot Lˆ Π θφ = + θ + = (1.15 θ θ si θ φ Η απόδειξη των (1.14 και (1.15 αποτελεί το θέμα της επόμενης ενότητας. 3. Σχέση ορμής-στροφορμής Στην κλασσική μηχανική η (τροχιακή στροφορμή ορίζεται ως εξής: L = p Επομένως, το τετράγωνο της στροφορμής γράφεται ως L = L L = p p = p p Συμβολίζοντας τις συνιστώσες του ως ( =, =, = έχουμε: i 1 3 ε L = εijj p εill p = j p l p εij il i j l j l i p { } j p l δ jlδ δ jδl pp j j pp j j p p = = = j l j j και έτσι, βρίσκουμε την κλασσική ανάλυση της ορμής σε ακτινική p i i i p και στροφορμή L : L = p + (1.16 Το κβαντομηχανικό ανάλογο της σχέσης αυτής βρίσκεται με τον ίδιο τρόπο μέχρι το σημείο όπου: L = p p p p (1.17 j j j j j j Όταν αντικαταστήσουμε τις θέσεις και ορμές στην (1.17 με τους αντίστοιχους τελεστές, p i j p j i, γενικά, δηλαδή: p ˆˆ p ˆˆ p ˆˆ ˆ pˆ ˆ pˆ ˆ pˆ j j j j j j 5

6 Αντ αυτού, πρέπει να αναλύσουμε τους όρους προσέχοντας τη σειρά με την οποία εμφανίζονται. Χρησιμοποιώντας τη σχέση μετάθεσης θέσης-ορμής,p ˆ ˆ i j = i δij έχουμε: ˆ L = ˆ p ˆˆ iδ pˆ ˆ ˆ pˆ iδ pˆ j ( j ( j j j j j ˆ ˆˆ ˆ = i ˆˆˆˆ+ i ˆ ˆ p p pp j j 3 p j ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ L = ˆˆ p p p+ i p (1.18 Άσκηση: αποδείξτε ότι μπορεί να γραφεί και ως εξής: ˆ ( ˆ L ˆˆ p pˆ = iˆ p ˆ (1.19 ˆ L ˆˆ p ˆ pˆˆ pˆ ˆ = + iδ + i p=... ˆ ( j j j j Χρησιμοποιώντας την (1.19, μπορούμε να υπολογίσουμε τον τελεστή της ακτινικής ορμής, δηλ. τον (1.14. Το εσωτερικό γινόμενο στην (1.19 βρίσκεται εύκολα: ˆ pˆ = i Οπότε ο δεύτερος όρος στην (1.19 γίνεται: ˆ i pˆ = και ο τρίτος όρος στην (1.19 γίνεται: ˆ i pˆ = Προσθέτοντας τους όρους έχουμε: ˆ L = ˆˆ p + + = pˆ + pˆ δηλαδή ανακτάμε την (1.16 σε μορφή τελεστών. Είναι εύκολο να δείξετε ότι οι δυο όροι στον και επομένως, μια άλλη μορφή του ˆp ˆp μπορούν να γραφούν ως μια παράγωγος: ˆp = + = ˆp είναι: ˆp = (1.0 Ο άλλος τρόπος εξαγωγής του ίδιου αποτελέσματος είναι να ξεκινήσουμε από την κλασσική έκφραση: L p = ( e p + και να αντικαταστήσουμε τις φυσικές ποσότητες με τους αντίστοιχους τελεστές. Ωστόσο εδώ υπάρχει ένα νέο «φαινόμενο»: η απλή αντικατάσταση της θέσης και της ορμής με τους γνωστούς 6

7 τελεστές δεν δίνει ερμιτιανό τελεστή. Ο λόγος είναι και πάλι ότι, κβαντομηχανικά, ισχύει η (1. και επομένως ο τελεστής e p που περιέχει το εσωτερικό γινόμενο p δεν είναι ερμιτιανός: ˆ pˆ p ˆˆ ˆˆ ˆˆ + p + p e p = = + + ˆ ˆ p pˆ ˆ pˆ ˆ pˆ ˆ pˆ ˆ pˆ ˆ pˆ ˆ pˆ ˆ = + + = + + = = ˆ pˆ 3 i p! Γενικεύοντας το ερώτημα, έστω μια φυσική ποσότητα q(, p που, με απλή αντικατάσταση των τελεστών θέσης και ορμής, δεν δίνει ερμιτιανό τελεστή, π.χ q= p. Ο αντίστοιχος ερμιτιανός τελεστής στην Κβαντομηχανική ˆq H είναι: q+q ˆ ˆ q ˆq H = (1.1 Ο τελεστής ˆq στην (1.1 είναι, εξ ορισμού, ερμιτιανός. Στο δε κλασσικό όριο, όπου θέση και ορμή μετατίθενται, ο νέος q είναι απλώς ίσος με τον παλιό. Με αυτό το σκεπτικό, ο τελεστής της ακτινικής ορμής, ˆp, είναι: 1 ˆ pˆ pˆ ˆ ˆp = + 1 Άσκηση: αποδείξτε ότι ˆp = + i Απόδειξη: Η (1. δίνει 1 1 f 1 f f ˆp f = e e + f = + f + f = + f i i i Ο δεύτερος όρος υπολογίζεται ως εξής: e + e + e = = + + = = f f 1 ˆp f = + = + f i i Και επομένως, ο τελεστής της ακτινικής ορμής είναι: 1 ˆp = + i Το τετράγωνο της (1.3 υπολογίζεται εύκολα: ˆp f = + + f = f f = + και επομένως, που συμφωνεί με την (1.0. ˆp = + (1. (1.3 7

8 4. Λύση της εξίσωσης Schödige σε σφαιρικές συντεταγμένες Για να λύσουμε την εξίσωση του Schödige σε σφαιρικές συντεταγμένες, δοκιμάζουμε το γινόμενο: ψ, θ, φ = R θ, φ Αντικαθιστώντας στην (1.13 και διαιρώντας με ψ (,, { ˆ R ( } θ φ, παίρνουμε: { ˆ, } V θφ θφ 1 1 Π Π, + θφ R, Σε αντιστοιχία με τα προηγούμενα βήματα θα υπάρχει σταθερά λ τέτοια ώστε ˆL (, 1 cot θ φ = + θ + λ = ( θ si, φ (1.4 θ θ θ φ Σημειώνουμε ότι το λ είναι αδιάστατο (επειδή βγάλαμε το στην (1.4. Επειδή και πάλι οι όροι της (1.4 εξαρτώνται είτε από το θ είτε από το φ, δοκιμάζουμε λύσεις της μορφής ( θφ, P( θ Q( φ = Αντικαθιστώντας και διαιρώντας με ( θφ,, παίρνουμε 1 d P cotθ dp + d Q + λ = 0 Pdθ Pdθ Qsi θ dφ Για ακόμα μια φορά, έχουμε το άθροισμα δυο συναρτήσεων ανεξάρτητων μεταβλητών 1 dq 1 dp 1 dp + si θ cot 0 + θ + λ = (1.5 Qdφ Pdθ P dθ g ( φ f ( θ g ( φ + f ( θ = 0 Και πάλι, εφόσον οι δυο όροι εξαρτώνται από διαφορετικές ανεξάρτητες μεταβλητές, θα πρέπει να ισούνται με μια σταθερά, c. Αυτό μας δίνει dq cq dφ = (1.6 Είναι προφανές ότι για c > 0 οι λύσεις της (1.6 δεν είναι περιοδικές στο φ (και θα πρέπει, εξ ορισμού, για να ορίζεται η κυματοσυνάρτηση «στη γωνία φ», να ισχύει Q( φ Q( φ π c < 0 και γράφουμε c=. Οπότε έχουμε dq = Q Q e dφ Εφαρμόζοντας τη συνοριακή συνθήκη Q( φ Q( φ π ± iφ = + παίρνουμε = E = +. Άρα i ( φ+ π πi iφ e = e e = 1 :ακέραιος Αντικαθιστώντας την (1.6 στην (1.5 έχουμε: d P dp + cotθ + λ P 0 = dθ dθ si θ Κάνουμε την εξής αλλαγή μεταβλητής: u = cosθ du = siθdθ (1.7 8

9 Οπότε οι δυο πρώτοι όροι στην (1.7 γράφονται ως εξής: d P cos θ dp 1 d dp + = siθ d θ si θ d θ si θ d θ dθ και η διαφορική εξίσωση (1.7 γράφεται d ( 1 dp u + λ P= 0 (1.8 du du 1 u Για = 0, αποδεικνύεται εύκολα, μολονότι με αρκετή άλγεβρα (βλέπε Μαθηματικό Συμπλήρωμα του κεφαλαίου, ότι η + όπου (1.8 έχει λύσεις μόνο όταν η παράμετρος λ παίρνει τις τιμές ( 1 φυσικός αριθμός (ή 0. Οι λύσεις της (1.8 είναι πολυώνυμα βαθμού, και ονομάζονται «πολυώνυμα Legede». Το πολυώνυμο βαθμού δίδεται ως: 1 d P ( u ( u 1 = (1.9! du Σημειώνουμε ότι εφόσον η εξίσωση είναι συμμετρική ως προς περιττές συναρτήσεις. u, οι P ( u πρέπει να είναι άρτιες ή Είναι εύκολο, μολονότι χρειάζεται λίγη άλγεβρα, να αποδειχθεί ότι τα πολυώνυμα είναι, κάθετα μεταξύ τους και η κανονικοποίησή τους δίδεται ως + 1 P( cosθ P ( cosθ d( cosθ = δ + 1 (1.30 Για Το 1 0 η γενίκευση της (1.9 δίνει τα συναφή πολυώνυμα Legede 1 : P ( u + d P u 1 d P ( u = ( 1 u = ( 1 u ( u 1 + (1.31 du! du ορίζεται ως εξής: Η κανονικοποίηση των ( ( +! P ( u = ( 1 P u! δίδεται από την εξής σύμβαση: P P P d= + 1 1!! Από τις (1.31 και (1.3 βλέπουμε ότι. Τέλος, συνδυάζοντας τα παίρνουμε τη μορφή των λύσεων ( θφ, ως + 1 ( θφ, = 1 4 π! P P (cosθ (1.3 Q φ, με τα. Αυτές ονομάζονται σφαιρικές αρμονικές και δίδονται (! iφ e P ( cosθ + (1.33 Έτσι έχουμε βρει τις ιδιοτιμές και ιδιοσυναρτήσεις της L : ˆ L ( θ, φ = ( + 1 ( θ, φ ( Associated Legede poloials 9

10 5. Πολυώνυμα Legede και Σφαιρικές Αρμονικές 1 Κανονικοποίηση των : όπου ( cosθ dω= d dφ και (, (, θ φ θ φ dω= δ δ Δυο σημαντικές ιδιότητες των σφαιρικών αρμονικών: α (, ( 1 θ φ = ( θ, φ β ( π θπ, + φ = 1 θφ, Απόδειξη β: θ π θ φ φ+ π (, ( 1 A e π + π θφ π ( 1 ( θφ, ( 1 ( θφ, + = = i Η ιδιότητα αυτή είναι εξαιρετικά σημαντική για τα στοιχειώδη. Οι πρώτες σφαιρικές αρμονικές δίδονται από τις εξής εκφράσεις: = 4π = cosθ = 4π 4π ± 1 3 ± iφ 3 ± i 1 = e siθ = 8π 8π = ( cos θ 1 = 16π 16π ± 1 15 ± iφ 15 ± i = e cosθsiθ = 8π 8π = e si θ = 3π 3π ( ± i ± ± iφ Οι εκφράσεις ως προς τα,, βρίσκονται με απλή αντικατάσταση των σφαιρικών συντεταγμένων με τις αντίστοιχες καρτεσιανές, π.χ. : e φ ( e siθ ± i ± i φ ± i si θ = = 6. Στροφορμή, ιδιοσυναρτήσεις και ιδιοτιμές Πώς βρίσκουμε τις συνιστώσες της L ; Υπάρχουν δυο μέθοδοι: α Με αλλαγή μεταβλητής από καρτεσιανές σε σφαιρικές: ˆ L ˆˆ ˆˆ = p p = i 10

11 και ακολούθως με αντικατάσταση των καρτεσιανών συντεταγμένων, π.χ θ φ = + + θ φ β Από τον ορισμό του ανύσματος: eφ L = p= e { i } = e e + eθ + i θ siθ φ Χρησιμοποιώντας τα εξωτερικά γινόμενα: e eθ = eφ και e eφ = eθ, παίρνουμε: 1 L = eφ eθ i θ siθ φ Τώρα μπορούμε να βρούμε τις καρτεσιανές συνιστώσες της L : 1 L = e L = e eφ e eθ = i θ siθ φ i φ όπου στο τελευταίο βήμα χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι π e e θ = cos θ + = siθ Με τον ίδιο ακριβώς τρόπο και χρησιμοποιώντας π e e φ = cos φ+ = siφ και eθ e = cosθ cosφ βγάζουμε: ˆL si cot co = e L = φ θ sφ i θ φ ˆL cos cot si = e L = φ θ φ i θ φ Μπορείτε (με αρκετή άλγεβρα να επιβεβαιώσετε ότι οι (1.35, (1.36, (1.37 δίνουν: ˆ ˆ ˆ 1 L + L + L = + cotθ + θ θ si θ φ Παρατηρούμε ότι η ( θφ, Άρα η (, είναι ιδιοσυνάρτηση και του τελεστή ˆL : ˆL i φ φ { ( cosθ } i = A P e = θφ είναι η ιδιοκατάσταση ενός σωματιδίου που έχει ολική στροφορμή ( +1 και προβολή : στον άξονα (1.35 (1.36 (1.37. Με την ευκαιρία, εδώ έχουμε τη δυνατότητα να αποδείξουμε ότι ( 1 L = L + L + L + (1.38 και εφόσον ο είναι ακέραιος και η (1.38 ισχύει για = αλλά όχι για = + 1, συμπεραίνουμε. 11

12 Ωστόσο, οι ( θφ, δεν είναι και ιδιοσυναρτήσεις των L,L ˆ ˆ. Ως παράδειγμα, δρώντας με την (1.36 στην έχουμε: ( cosθ dp iφ ˆL θ, φ = siφ e cotθ cosφ αριθμός, i dθ ( i ( θ φ Γενικά, οι τελεστές που αντιστοιχούν στις προβολές L,L ˆ ˆ και ˆL δεν μετατίθενται μεταξύ τους: π.χ. ˆ ˆ L,L 0 L ˆ,Lˆ = siφ cotθcosφ + siφ + cotθ cosφ i i θ φ φ φ θ φ = siφ cotθcosφ + cosφ + siφ cotθsiφ + cotθ cosφ i i θ φ φ θ φ θ φ φ = cosφ cotθsiφ = ˆL i i θ φ i Και επομένως L,L ˆ ˆ = il ˆ και ως αποτέλεσμα, δεν μπορούμε να μετρήσουμε συγχρόνως πάνω από μια προβολή της στροφορμής, και άρα δεν μπορούμε να γνωρίζουμε το πλήρες άνυσμα της L. Μόνο το μέγεθος του ανύσματος, και το πολύ μια συνιστώσα. Αποδεικνύεται (με αρκετή άλγεβρα ότι L ˆ,Lˆ ˆ ˆ ˆ ˆ L,L, = L,L = 0 7. Εύρεση πολυωνύμων Legede Υπάρχουν δυο τρόποι υπολογισμού των πολυωνύμων: α Με εφαρμογή του τύπου (1.9. Ως παράδειγμα, για το P ( u έχουμε: ( 3u 1 1 d 1 d 3 P ( u = ( u 1 = 4u 4u =! du 8du β Μέσω της διαφορικής εξίσωσης (1.9. Ως παράδειγμα, για το P και άρα όπου η σταθερά cosθ έχουμε: = : P u = a0 + au 1 + au P u = a1+ au d 3 a 1 a u au 1 a u 3 ( a 0 au 1 a u du = 0 a au 1 6au + 6a0 + 6au 1 + 6au = 0 4au+ 6a + a = 0 a = 0, a = 3a = ( P u a 1 3u 1 a, υπολογίζεται από τη σχέση κανονικοποίησης (

13 Μερικά πολυώνυμα Legede P ( cosθ = P Τέλος: οι u : 1 3 P0( u = 1 P3( u = ( 5u 3u 1 4 P1( u = u P4( u = ( 35 u 30 u P u u P5 u u u u 8 5 = ( 3 1 = ( ορίζουν ένα χώρο Hilbet: οποιαδήποτε συνάρτηση των, εκφρασθεί ως γραμμικός συνδυασμός τους: f θ, φ = a θ, φ a θ φ, έστω (, όπου σταθερές που μπορούν να υπολογισθούν από την ορθοκανονικότητα των : (, (, (, (, Ω= Ω= = f θφ μπορεί να θφ f θφ d a θφ θφd aδ δ a Στην πράξη, οι συντελεστές α μπορεί να υπολογισθούν και με το «μάτι», όπως δείχνει το ακόλουθο παράδειγμα: L Παράδειγμα 1: Βρείτε τις πιθανές τιμές της και τις αντίστοιχες πιθανότητες εμφάνισης των, για σωμάτιο που έχει την εξής κυματοσυνάρτηση: f θφ, = Asi θ cosφ Παρατηρώντας τη μορφή της f ( θφ,, βλέπουμε ότι η εξάρτηση από την φ είναι της μορφής cos φ, και άρα, μπορεί να γραφτεί ως γραμμικός συνδυασμός σφαιρικών αρμονικών της μορφής ± 1 15 si ± i = θe φ 4 π Αναπτύσσοντας τον εκθετικό όρο: = si θ cos φ+ si φ 4 π Και επομένως, ( i 1 15 = si θ cos φ si φ 4 π f A π 15 ( i + ( θφ, = ( + Άρα, υπάρχει μόνο μια δυνατή τιμή της, η =. Και επομένως, L = 3 Η δε L παίρνει τις τιμές + και με πιθανότητα 50% 50%. Παράδειγμα : Σωμάτιο έχει κυματοσυνάρτηση (,, = ( + + ψ c e a 13

14 Βρείτε την πιθανότητα η στροφορμή του a να είναι 0. Επίσης, την πιθανότητα η L να είναι 6. Τι δίνει, και με ποια πιθανότητα, η μέτρηση της L ; Είναι προφανές ότι πρέπει να εκφράσουμε την ψ ( σε σφαιρικές συντεταγμένες. = siθcosφ = siθsiφ ψ = c { si θsiφcosφ+ siθcosθsiφ+ siθcosθcosφ} e = cosθ 1 si si si cos ( si cos a = c θ φ+ θ θ φ+ φ e iφ = e cosθ siθ + = cosθsiθ{ isiφ} 8π 8π 1 15 iφ = e cosθ siθ cosθ si { cos } 8π = θ φ 8π 8π i siθcosθsiφ = ( π siθcosθcosφ = ( = ( cos φ + i si φ si θ + = cos φ si θ 3π 3π = ( cos φ i si φ si θ si φsi 3π = θ 3π a 1 3π i 8π 1 1 8π ψ = c e ( + ( + + ( c 8π a + i = e + ( + + ( 15 c 8π a + 1 i i 1 c 8π a = e + = e F ( θ, φ a Κανονικοποίηση: ( θφ, 4 a ψ dv d e dω F dω F θφ, = = κι επομένως c 8π = 4 15 Τέλος, από τη μορφή της F ( θφ, βρίσκουμε άμεσα: p 6 a 3 d e 1 ( p( = 0 = 0 = 6 = 100% 14

15 1 1 p( = = p( = =, p( =+ 1 = p( = 1 =, p( = 0 = Η στροφορμή ως γεννήτορας στροφών. Ορίζουμε τον τελεστή στροφής κατά ; Για μικρό Δ φ, Δ φ γύρω από τον άξονα, ως ˆR : ˆR f φ = f φ +Δ φ ; f φ μετασχηματισμός, ˆR f ( φ = f ( φ+δ φ = f ( φ + f ( φ Δ φ+ 1 f ( φ( Δ φ +!... Όμως, Lˆ = Lˆ f ( φ = f ( φ και f ( φ = f ( φ i φ i i ˆL ˆ i ˆ 1 i R L Lˆ f φ = f φ + Δ φ f φ + Δ φ f ( φ +...! i ˆ 1 i ˆ = 1 + LΔ φ+ L Δ φ +... f ( φ! i ˆL = ep Δφ f ( φ Επομένως, ο τελεστής που μετασχηματίζει την ως ˆR = f φ όταν η γωνία αλλάζει το φ σε φ +Δ φ δίδεται i ˆL e Δφ Γενικότερα, για στροφή γύρω από τον άξονα που δίνεται από το μοναδιαίο άνυσμα ˆ : ˆ ˆ Lω ˆR = Αν ο χώρος είναι ομογενής, τότε προφανώς και η ˆ (, Και όντως, αν V = f Πίσω στον D απλό αρμονικό ταλαντωτή: i e Rf θφ είναι κυματοσυνάρτηση. Επομένως R,H ˆ ˆ 0,Hˆ dl L = = 0 = 0 dt μόνο, δηλαδή το δυναμικό είναι «αγνωστικό» ως προς θ, φ, Ĥ, L = 0 ˆ ˆp L Ĥ = + + V ϕ (, = β β H H e e Επανερχόμαστε τώρα στις καταστάσεις με ολική ενέργεια E = ω, που αντιστοιχούν στο =, δηλ. + = 1. Όπως έχουμε ήδη δει, υπάρχουν δυο τέτοιες ιδιοσυναρτήσεις της Χαμιλτονιανής β = 1, = 0 : ϕ, = H H e e β β = 0, = 1: ϕ, = H H e e β 15

16 Χρησιμοποιώντας τη μορφή των πολυωνύμων Heite, H = c H = και επομένως ϕ ϕ (, (, β e e β β e e Παίρνοντας τον εξής γραμμικό συνδυασμό των ϕ 10 και ϕ 01, ϕ ± iϕ 4π Ψ = = ( ± = = Υ 3 Και βλέπουμε ότι οι Ψ 1, είναι καταστάσεις με = 1( L = και = ± β β ± iφ β ± 1 β 1, i e e siθe e 1 e Σημειώνουμε ότι οι ϕ δεν είναι ιδιοκαταστάσεις του «άλλου τελεστή». Η «άλλη» φυσική ποσότητα, είναι η στροφορμή, και αντιστοιχεί σε γραμμικούς συνδυασμούς που διαφοροποιούν την εκφύλιση: ψ, = aϕ, + βϕ, E = E = E ψ Βλέπουμε εδώ ότι μολονότι η Ĥ και η ˆL μετατίθενται, οι ιδιοσυναρτήσεις της Ĥ δεν είναι αναγκαστικά και ιδιοσυναρτήσεις της ˆL. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι το θεώρημα περί κοινών ιδιοσυναρτήσεων δυο τελεστών που μετατίθενται, μας λέει ότι όταν δυο τελεστές A,B ˆ ˆ = 0, τότε υπάρχει ένα σύνολο κοινών ιδιοσυναρτήσεων. Δεν είναι, ωστόσο, όλες δυνατοί γραμμικοί συνδυασμοί των ιδιοσυναρτήσεων του Â και ιδιοσυναρτήσεων του ˆB (και το αντίθετο. β 16

17 9. Μαθηματικό συμπλήρωμα 9.1. Λύση της διαφορικής εξίσωσης Legede Για = 0 η εξίσωση είναι Αναπτύσσουμε σε σειρά: d du dp + λp =0 du ( 1 u 1 = = (1.39 (1.40 P u a u P u a u Αντικαθιστώντας στην (1.39: d au au λ au 0 du + = 1 au a + 1 u + λ au = 0 ( ( 1 a+ u ( 1 λ au = + ( + 1 ( + ( + 1 λ a = a ( + ( 1 a li = = a Για u = ± 1( cosθ =± 1 Επομένως η (1.40 δεν συγκλίνει, παρά μόνο αν η σειρά δεν είναι άπειρη, δηλαδή αν τερματίζεται. Αυτό σημαίνει ότι a + = για κάποια τιμή του, έστω = Άρα υπάρχει ακέραιος της μορφής +1. Για 0, η εξίσωση είναι 0 τέτοιος ώστε ( + 1 = λ. Επομένως η εξίσωση έχει λύσεις μόνο για λ d ( 1 dp u λ du du + P= 0 ( u Η (1.41 προκύπτει από την (1.39 με διαδοχικές παραγωγίσεις. Έτσι καταλήγουμε στη μορφή d P ( u P ( u = ( 1 u du Η γενικότερη συμπεριφορά της P u εξάγεται ως εξής: Είναι προφανές, ότι λόγω του παράγοντα ( 1 u στον παρονομαστή του δεύτερου όρου, η συμπεριφορά του P( u θα πρέπει να είναι αντίστοιχη, δηλαδή θα πρέπει να μηδενίζεται: ( 1 u P u Χρησιμοποιούμε απόδειξη δι επαγωγής: για = 1 είναι εύκολο. Ακολούθως, θεωρούμε ότι ισχύει για =, και με μια παραγώγιση δείχνουμε ότι ισχύει για =

18 όπου μια δύναμη που πρέπει να υπολογίσουμε. Αντικαθιστώντας στην (1.41, παίρνουμε d 1 1 ( 1 u ( 1 u ( u + λ ( 1 u ( 1 u = 0 du Κάνοντας τις πράξεις, καταλήγουμε στην εξίσωση ( λ ( 1 u + 4 u = 0 Εκείνο που μας ενδιαφέρει είναι η συμπεριφορά της P( u στο όριο γίνεται Άρα, στο όριο u 1, η = = 4 0 P u συμπεριφέρεται ως ( 1 u ( 1. Και η πλήρης (1.4 u ± 1. Επομένως η (1.4 P u γράφεται ως P u = u F u (1.43 όπου F ( u συνάρτηση που πρέπει να βρούμε. Αντικαθιστώντας την (1.43 στην (1.41, μας οδηγεί στην εξής έκφραση: d F df F = 0 du du ( 1 u ( 1 λ ( 1 (1.44 που είναι η εξίσωση Legede. Με ακριβώς τον ίδιο τρόπο, όπως και στην περίπτωση = 0, μπορούμε να δείξουμε ότι η (1.44 έχει πεπερασμένη λύση μόνο για ειδικές τιμές του λ που δίδονται ως λ = Θέτοντας = +, παίρνουμε την ίδια λύση δηλ. λ = ( +1 και εφόσον Λαπλασιανή σε σφαιρικές συντεταγμένες = siθ cosφ f f f θ f φ = + + = siθ siφ θ φ = cosθ f f = τεράστια δουλειά df Αντ αυτού, χρησιμοποιώντας τον ορισμό του αναδέλτα, f e = για ds = dse ds df f e = e ds = d = f e ( f = d df 1 f e = eθ ds = dθ = f eθ ( f = dθ θ θ df 1 f e = eφ ds = siθdφ = f eφ ( f = siθdφ φ siθ φ f f 1 f f (, θφ, = e + eθ + eφ θ siθ φ 18

19 Στις σφαιρικές συντεταγμένες: ( f 1 1, ( f, ( f = = = θ θ φ siθ φ Είναι ενδιαφέρον ότι οι τρεις αυτοί τελεστές δεν μετατίθενται: 1 f 1 f 1 f 1 f 1 f 1 f ( f,( f f (, θφ, = = + =! f θ θ θ θ θ θ θ Είναι εύκολο να δείξουμε ότι (όπως και περιμέναμε. ˆ = ˆp,L 0 19