ii) Υπολογίστε τις μέσες τιμές της θέσης και της ορμής του ταλαντωτή όταν t 0.

Transcript

1 ΑΣΚΗΣΗ 4 Αρμονικός ταλαντωτής, τη χρονική στιγμή t, βρίσκεται στην κατάσταση ip ˆ x x, όπου η βασική κατάσταση του αρμονικού ταλαντωτή, ˆp x ο τελεστής της ορμής, και η κλίμακα μήκους του αρμονικού ταλαντωτή. i) Υπολογίστε τις μέσες τιμές της θέσης και της ορμής του ταλαντωτή όταν t. ii) Υπολογίστε τις μέσες τιμές της θέσης και της ορμής του ταλαντωτή όταν t. iii) Υπολογίστε την πιθανότητα ο ταλαντωτής να βρεθεί στη βασική κατάσταση όταν t. iv) Υπολογίστε την πιθανότητα ο ταλαντωτής να βρεθεί στη βασική κατάσταση όταν t. Δίνεται ότι Λύση i) Είναι x 4 x και ip ˆ ip ˆ x x x! c bx cx b dx, b b d i i ip ˆ dx d d d dx dx dx d d dx dx d x x x x!!! dx ( ) x x! Σειρά Tylor της με κέντρο το x και μετατόπιση Δηλαδή x x () 4 4 x x x () Δηλαδή, η κυματοσυνάρτηση που περιγράφει την κατάσταση του ταλαντωτή τη χρονική στιγμή μηδέν είναι η

2 4 x x Παρατηρήστε ότι η δεν έχει καθορισμένη ομοτιμία, δηλαδή δεν είναι ούτε x άρτια ούτε περιττή. Αυτό σημαίνει ότι δεν ανήκει στο σύνολο των ιδιοσυναρτήσεων της ενέργειας του ταλαντωτή, που, όπως ξέρουμε, είναι συναρτήσεις καθορισμένης ομοτιμίας (άρτιες ή περιττές), λόγω του ότι το δυναμικό του ταλαντωτή είναι συμμετρικό (άρτια συνάρτηση). Δηλαδή, η κατάσταση του ταλαντωτή τη χρονική στιγμή μηδέν ΔΕΝ είναι ιδιοκατάσταση της ενέργειας. Η μέση τιμή της θέσης του ταλαντωτή τη χρονική στιγμή μηδέν είναι x πραγματική συνάρτηση x x dx x x x dx x x dx x x dx x Αν κάνουμε την αλλαγή μεταβλητής x x θα έχουμε x:, x x dx dx Οπότε x x x x dx x dx x dx x (3) dx x dx Άρτια συνάρτηση Περιττή Συμμετρικό διάστημα συνάρτηση ολοκλήρωσης Περιττή συνάρτηση x, η (3) μάς δίνει x x (4) Η μέση τιμή της ορμής του ταλαντωτή τη χρονική στιγμή μηδέν είναι ˆ x πραγματική συνάρτηση p dx x p x i dx x x i dx x x x x x

3 i i i p dx x x p (5) Παρατηρήστε ότι για να δείξουμε την (5) δεν χρησιμοποιήσαμε πουθενά τη συγκεκριμένη μορφή της x x είναι. Χρησιμοποιήσαμε μόνο το γεγονός ότι η δέσμια οπότε μηδενίζεται στο άπειρο και είναι πραγματική. Ουσιαστικά δηλαδή δείξαμε ότι σε μια τυχαία δέσμια κατάσταση, ενός μονοδιάστατου συστήματος, η μέση τιμή της ορμής τη χρονική στιγμή μηδέν είναι μηδέν p αν η αντίστοιχη κυματοσυνάρτηση είναι πραγματική. Από τις (4) και (5) βλέπουμε ότι ο τελεστής μετατοπίζει κατά τη μέση τιμή της θέσης, ενώ αφήνει ανεπηρέαστη τη μέση τιμή της ορμής. Θυμίζουμε ότι σε όλες τις ιδιοκαταστάσεις του αρμονικού ταλαντωτή, επομένως και στη βασική του κατάσταση, η μέση τιμή της θέσης και της ορμής είναι μηδέν. Λόγω της ιδιότητάς του αυτής, ο τελεστής ip ˆ ip ˆ ονομάζεται τελεστής μετατόπισης (trsltio oprtor). ipx ˆ Γενικά, ο τελεστής μετατόπισης ορίζεται ως Tˆ x, όπου x πραγματική σταθερά με διαστάσεις μήκους. Η δράση του τελεστή μετατόπισης σε μια τυχαία δέσμια κατάσταση ενός τυχαίου κβαντικού συστήματος έχει ως αποτέλεσμα τη μετατόπιση της μέσης τιμής της θέσης του συστήματος κατά x, ενώ η μέση τιμή της ορμής του δεν επηρεάζεται. Μπορεί να δειχθεί σχετικά εύκολα προτρέπουμε τον αναγνώστη να το δείξει ότι ο τελεστής μετατόπισης είναι μοναδιακός (uitry), δηλαδή ισχύει Tˆ Tˆ Tˆ Tˆ. Μπορεί επίσης να δειχθεί ότι x Tˆ x Tˆ ˆ, x x x x x x (απόρροια της σχέσης αυτής είναι η μετατόπιση της μέσης τιμής της θέσης). ii) Στην προηγούμενη ανάρτηση (άσκηση 3, ερώτημα i), υπολογίσαμε τη χρονική εξέλιξη των μέσων τιμών της θέσης και της ορμής σε μια τυχαία κατάσταση του αρμονικού ταλαντωτή. Μπορούμε, στην περίπτωσή μας, όπου x και p, να χρησιμοποιήσουμε τους δύο γενικούς τύπους που αποδείξαμε εκεί. Ωστόσο, για λόγους αυτονομίας της παρούσας άσκησης, θα κάνουμε τον υπολογισμό από την αρχή, δηλαδή θα χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα του Ehrfst για να υπολογίσουμε τη χρονική εξέλιξη των μέσων τιμών της θέσης και της ορμής. Επειδή οι τελεστές της θέσης και της ορμής δεν εξαρτώνται ρητά από τον χρόνο, το θεώρημα του Ehrfst μάς δίνει d i Hˆ, (6) i Hˆ, pˆ (7) Είναι ˆ pˆ pˆ H,,,, pˆ, pp ˆ ˆ, ˆ, ˆ ˆ, ˆ p x x p i i pˆ pˆ, pˆ, pˆ pˆ i i pˆ i pˆ pˆ

4 Δηλαδή ˆ i H, pˆ (8) ˆ pˆ pˆ H, pˆ, pˆ, pˆ, pˆ, pˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Δηλαδή ˆ H, pˆ i (9) Αν αντικαταστήσουμε την (8) στην (6), παίρνουμε d i i i i pˆ pˆ pˆ d pˆ (η κλασική σχέση ορισμού της ορμής) () Αν αντικαταστήσουμε την (9) στην (7), παίρνουμε i i i i (ο ος νόμος του Νεύτωνα) () Αν παραγωγίσουμε την (), θα πάρουμε ˆ d x Αντικαθιστούμε, από τη (), την παράγωγο της μέσης τιμής της θέσης, και παίρνουμε d ˆ ˆ ˆ ˆ p pˆ d p pˆ d p pˆ xx, p x x, p x, p x x i i x i x i x it it pˆ A B () Εξίσωση κίνησης του κλασικού αρμονικού ταλαντωτή Αν παραγωγίσουμε τη () ως προς τον χρόνο, παίρνουμε it it Ai Bi Οπότε, από την (), παίρνουμε i t i t ib ia Ai Bi i t i t (3) Εφαρμόζουμε τις αρχικές συνθήκες, x και p, στις () και (3), και παίρνουμε A B ib ia Η η εξίσωση μάς δίνει

5 B A Οπότε, η η εξίσωση γράφεται ia ia ia i A A (4) i i B A B (5) Αντικαθιστούμε τις (4) και (5) στη (3), και παίρνουμε i i i i it it it it cost x cost (6) Αντικαθιστούμε τις (4) και (5) στη (), και παίρνουμε ˆ i it i it i it it i p i si t si t sit sit psit p psit (7) p iii) Όπως δείξαμε στο ερώτημα i, τη χρονική στιγμή μηδέν, η κατάσταση του ταλαντωτή δίνεται από τη σχέση (), δηλαδή 4 x x Όπως αναφέραμε και στο ερώτημα i, η x δεν έχει καθορισμένη ομοτιμία, επομένως δεν είναι ιδιοσυνάρτηση της ενέργειας του αρμονικού ταλαντωτή. Επειδή, όμως, οι ιδιοσυναρτήσεις της ενέργειας του αρμονικού ταλαντωτή αποτελούν βάση στον συναρτησιακό χώρο των κυματοσυναρτήσεων του αρμονικού ταλαντωτή, μπορούμε να γράψουμε την x ως γραμμικό συνδυασμό των ιδιοσυναρτήσεων της ενέργειας, δηλαδή x c x (8) όπου x είναι οι ιδιοσυναρτήσεις της ενέργειας του αρμονικού ταλαντωτή, οι οποίες είναι ορθοκανονικές, δηλαδή dx x x (9) Η (8) μάς λέει ότι η πιθανότητα να βρεθεί ο ταλαντωτής στην ιδιοκατάσταση, που περιγράφεται από την ιδιοσυνάρτηση P c Έτσι, λοιπόν, η ζητούμενη πιθανότητα είναι P c () Εξάλλου, από τη (8) θα έχουμε x, είναι

6 x x xc x c x x dx x x dxc x x c dx x x c c c dx x x c dx x x Έτσι, η () γράφεται P dx x x () Πρέπει να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα dx x x Αν αντικαταστήσουμε την x 4 x 4 x 4 x, παίρνουμε x και την 4 4 x x x x dx x dx dx x x dx x x dx () x x x x x x x x x x c bx cx dx b b x x x x x x 4 dx dx dx x x 4 4 dx (3) Με βάση την (3), η () γράφεται 4 4 dx x x Έτσι, η ζητούμενη πιθανότητα είναι, από την ()

7 4 P,6 Δηλαδή P,6 (4), η πιθανότητα να βρεθεί ο ταλαντωτής στη βασική κατάσταση τη χρονική στιγμή μηδέν είναι περίπου 6%. Αντίστοιχα, η πιθανότητα να βρεθεί ο ταλαντωτής σε μια διεγερμένη κατάσταση, τη χρονική στιγμή μηδέν, είναι περίπου 4% P. iv) Μάς ζητείται να υπολογίσουμε την πιθανότητα ο ταλαντωτής να βρεθεί στη βασική κατάσταση όταν t. Η χρονική εξέλιξη των ιδιοσυναρτήσεων της ενέργειας, x, είναι ie t x, t x όπου E Από την (8) μπορούμε να γράψουμε τη χρονική εξέλιξη της κατάστασης x, t c x ie t (5) x, Από την (5) συμπεραίνουμε ότι η πιθανότητα ο ταλαντωτής να βρεθεί στη βασική κατάσταση τη χρονική στιγμή t είναι ie t iet P t c c c P,6 Βλέπουμε, λοιπόν, ότι η πιθανότητα αυτή είναι σταθερή, δεν εξαρτάται από τον χρόνο. Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. skost@hotil.co