Δύο διακρίσιμα σωμάτια με σπιν s 1

Transcript

1 Δύο διακρίσιμα σωμάτια με σπιν και Σύνδεση της βάσης των ιδιοκαταστάσεων του τετραγώνου και της z συνιστώσας του ολικού σπιν με τη βάση που αποτελείται από τα τανυστικά γινόμενα των καταστάσεων των δύο επιμέρους βάσεων Συντελεστές lebch Gordan Εφαρμογή για, Παραλείποντας του σταθερούς κβαντικούς αριθμούς και των (τετραγώνων των) δύο σπιν, συμβολίζουμε με,,... την ορθοκανονική βάση των ιδιοκαταστάσεων των τελεστών και z, και με,,... την ορθοκανονική βάση των ιδιοκαταστάσεων των τελεστών και z. Η η βάση είναι βάση του χώρου καταστάσεων του σπιν, δηλαδή του χώρου καταστάσεων του σωματίου, και η η βάση είναι βάση του χώρου καταστάσεων του σπιν, δηλαδή του χώρου καταστάσεων του σωματίου. Το σύνολο m n mn είναι ορθοκανονική βάση του χώρου καταστάσεων του ολικού σπιν. Η βάση αυτή αποτελείται από καταστάσεις, επομένως η διάσταση του χώρου του ολικού σπιν είναι, όσο είναι το γινόμενο των διαστάσεων των δύο επιμέρους χώρων. Αν δράσουμε στην τυχαία κατάσταση m n της προηγούμενης βάσης με τη z συνιστώσα του ολικού σπιν, δηλαδή με τον τελεστή z z z, θα πάρουμε m n m n m n m n z z z z z m m n n m m n n m n m n m n Πρέπει να θυμόμαστε ότι οι τελεστές με δείκτη δρουν στις καταστάσεις του σωματίου και οι τελεστές με δείκτη δρουν στις καταστάσεις του σωματίου. Επομένως z m n m n m n () Η () μάς λέει ότι η κατάσταση m n είναι ιδιοκατάσταση της z συνιστώσας του ολικού σπιν, με ιδιοτιμή m n.

2 Στη συνέχεια, θα εξετάσουμε τη δράση του τετραγώνου του ολικού σπιν στην τυχαία κατάσταση m n της προηγούμενης βάσης. Είναι Επειδή οι τελεστές και δρουν στις καταστάσεις διαφορετικών (διακρίσιμων) σωματίων, μετατίθενται, οπότε Επομένως () Όμως e e e (3) x x y y z z e e e (4) x x y y z z Έτσι το εσωτερικό γινόμενο των δύο σπιν γράφεται (5) x x y y z z Αν αντικαταστήσουμε την (5) στη (), θα πάρουμε (6) x x y y z z Με τη βοήθεια της (6), η δράση του τετραγώνου του ολικού σπιν στην τυχαία κατάσταση της βάσης m n mn γράφεται m n m n x x y y z z m n m n m n x x y y z z m n m n x m x n y m y n z m z n Δηλαδή m n m n m n (7) x m x n y m y n z m z n Όμως m m

3 n n z m m m z n n n Η δράση των x και y συνιστωσών των δύο σπιν στις επιμέρους καταστάσεις υπολογίζεται από τις γενικές σχέσεις J x j, m j j m m j, m j j m m j, m (8) i J y j, m j j mm j, m j j mm j, m (9) που ισχύουν, όπως έχουμε δείξει, για μια γενική στροφορμή Ĵ, άρα και για το σπιν. Από τη σχέση (8) βλέπουμε ότι η κατάσταση x m είναι, γενικά, γραμμικός συνδυασμός των καταστάσεων m και m, και, αντίστοιχα, η κατάσταση x n είναι γραμμικός συνδυασμός των καταστάσεων n και n. Από τη σχέση (9) βλέπουμε ότι η κατάσταση m είναι, γενικά, γραμμικός συνδυασμός των καταστάσεων m και m, και, αντίστοιχα, η κατάσταση y n είναι γραμμικός συνδυασμός των καταστάσεων n και n. Επομένως, η κατάσταση x m x n είναι γραμμικός συνδυασμός των καταστάσεων m n, m n, m n, m n, και το ίδιο συμβαίνει για την κατάσταση y m y n. Συμπεραίνουμε ότι η κατάσταση x m x n y m y n είναι κι αυτή γραμμικός συνδυασμός των καταστάσεων m n, m n, m n, m n, τον οποίο ας m n m n συμβολίσουμε με f m n m n. Η (7) γράφεται λοιπόν m n m n m n y m n m n f m m n n m n m n m n m n mn m n f m n m n Δηλαδή m n m n m n mn m n f m n m n Από την προηγούμενη σχέση βλέπουμε ότι, λόγω της παρουσίας του γραμμικού

4 m n m n συνδυασμού f, η κατάσταση m n m n m n ΔΕΝ είναι, γενικά, ιδιοκατάσταση του τετραγώνου του ολικού σπιν. Εφόσον το ολικό σπιν είναι στροφορμή, οι ιδιοκαταστάσεις του τετραγώνου και της z συνιστώσας του, δηλαδή των τελεστών και z, θα αποτελούν ορθοκανονική βάση στον χώρο καταστάσεων του ολικού σπιν. Αν συμβολίσουμε με M, την τυχαία ιδιοκατάσταση των τελεστών και z, τότε, M, M (), M M, M () z Η κατάσταση M, γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός των καταστάσεων της βάσης m n mn m n, δηλαδή, M m n () mn Αν δράσουμε στη () με τη z συνιστώσα του ολικού σπιν, θα πάρουμε M m n M M m n z, z mn, mn z m n m n Με τη βοήθεια της (), η τελευταία εξίσωση γράφεται M, M m n m n M, M m n m n mn mn m n m n Με τη βοήθεια της (), η τελευταία εξίσωση γράφεται M m n m n m n mn mn m n m n Mmn m n m n mn m n m n m n M m n m n m n m n m n mn mn M m n m n mn Οι καταστάσεις m n είναι γραμμικά ανεξάρτητες, επομένως πρέπει M m n mn Οι συντελεστές mn δεν είναι ταυτοτικά μηδέν, αφού, στη (), οι καταστάσεις M, είναι γραμμικά ανεξάρτητες. Επομένως, καταλήγουμε ότι

5 M m n Δηλαδή mn M (3) Με τη βοήθεια της (3), η () γράφεται (4) m, M m m, M m M m με τον περιορισμό M m, αφού η κατάσταση M m ανήκει στη βάση του χώρου καταστάσεων του σωματίου, που έχει σπιν. Οι συντελεστές λέγονται συντελεστές lebch-gordan και το ανάπτυγμα (4) m, M m λέγεται σειρά lebch-gordan. Βάλαμε τον δείκτη στους συντελεστές lebch-gordan για να δείξουμε ότι αναφερόμαστε στην κατάσταση M,. Το παίρνει τιμές από έως, με βήμα. Για κάθε τιμή του, το M παίρνει τιμές από έως, με βήμα. Παρατηρήσεις ) Για και M, η σειρά lebch-gordan (4) γράφεται, m, m m m m (5) Πρέπει m. Αν m m m, δηλαδή m, που δεν επιτρέπεται. Επομένως, η μοναδική τιμή που μπορεί να πάρει το m στο ανάπτυγμα (5) είναι m. Έτσι,,, Δηλαδή,, Επειδή η κατάσταση είναι κανονικοποιημένη, φάση που δεν επηρεάζει τη φυσική. Επομένως, (6), επί μια σταθερή Δηλαδή, η κατάσταση είναι ιδιοκατάσταση του τετραγώνου του ολικού σπιν, με ιδιοτιμή, (7) ) Για και M, η σειρά lebch-gordan (4) γράφεται

6 , m, m m m m (8) Πρέπει m. Αν m m m, δηλαδή m, που δεν επιτρέπεται. Επομένως, η μοναδική τιμή που μπορεί να πάρει το m στο ανάπτυγμα (8) είναι m. Έτσι,,, Δηλαδή,, Επειδή η κατάσταση είναι κανονικοποιημένη,, (9) Δηλαδή, η κατάσταση είναι επίσης ιδιοκατάσταση του τετραγώνου του ολικού σπιν, με ιδιοτιμή επίσης. Εφαρμογή Θα εξετάσουμε την περίπτωση που και. 3 Είναι, 3 Επομένως, Για, M, Για, M,,, Επομένως, οι ιδιοκαταστάσεις του τετραγώνου και της z συνιστώσας του ολικού σπιν είναι οι ,,,,,,,,,,, Η διάσταση του χώρου των καταστάσεων του ολικού σπιν είναι 6, όσο είναι το γινόμενο των δύο επιμέρους χώρων καταστάσεων. Από τη σειρά lebch-gordan (4) παίρνουμε, m m m, m m Το m παίρνει τις τιμές,, Το m μπορεί να είναι

7 Επομένως m, Άρα,,, Από τη σειρά lebch-gordan (4) παίρνουμε, m m m, m m Όμως m m, Άρα,,, Από την παρατήρηση, η κατάσταση 3 3, Από τη σειρά lebch-gordan (4) παίρνουμε 3, 3 m m m, m m 3 3, γράφεται Το m μπορεί να πάρει τις τιμές,, επομένως 3, 3 3,, Από τη σειρά lebch-gordan (4) παίρνουμε 3, 3 m m m, m m Το m μπορεί να πάρει τις τιμές,, επομένως 3, 3 3,, Από την παρατήρηση, η κατάσταση 3 3, γράφεται 3 3, Συγκεντρωτικά, λοιπόν, έχουμε

8 , (),,, (),, 3 3, () 3, (3) 3 3,, 3, (4) 3 3,, 3 3, (5) Παρατηρήστε ότι οι καταστάσεις, και 3, ανήκουν στον υπόχωρο που παράγουν οι καταστάσεις και, ενώ οι καταστάσεις, και 3, ανήκουν στον υπόχωρο που παράγουν οι καταστάσεις. Οι καταστάσεις M, πρέπει να είναι μεταξύ τους κάθετες, αφού το τετράγωνο και η z συνιστώσα του ολικού σπιν είναι ερμιτιανοί τελεστές. Έτσι, αν υπολογίσουμε μία από τις δύο καταστάσεις του κάθε ζεύγους, μπορούμε να βρούμε και την άλλη, αν λάβουμε υπόψη ότι οι καταστάσεις πρέπει να είναι κανονικοποιημένες. Επίσης, για κάθε κατάσταση, χρειαζόμαστε μόνο τον έναν συντελεστή lebch- Gordan, αφού ο άλλος καθορίζεται από την κανονικοποίηση, με τη συνηθισμένη απροσδιοριστία μιας σταθερής φάσης. Ας ξεκινήσουμε από την κατάσταση (), η οποία είναι ιδιοκατάσταση του τετραγώνου του ολικού σπιν, με, δηλαδή 3,, (6) 4 Με τη βοήθεια της (6), η δράση του τετραγώνου του ολικού σπιν στην κατάσταση () μάς δίνει x x y y z z,,, και

9 Θέτουμε για ευκολία, a και, b. Έτσι, η προηγούμενη εξίσωση γράφεται, a b a b a b a b x x x x y y y y a b (7) z z z z Θυμίζουμε πάλι ότι οι τελεστές με δείκτη δρουν στις καταστάσεις του σωματίου και οι τελεστές με δείκτη δρουν στις καταστάσεις του σωματίου. Όλες οι καταστάσεις του σωματίου έχουν και όλες οι καταστάσεις του σωματίου έχουν. Επομένως (8) (9) 3 3 (3) (3) 4 Για να υπολογίσουμε τη δράση των τελεστών x, x, y, y στις αντίστοιχες καταστάσεις, θα χρησιμοποιήσουμε τις γενικές σχέσεις (8) και (9) που ισχύουν για κάθε στροφορμή, άρα και για κάθε σπιν. Για j, οι (8) και (9) γράφονται, αντίστοιχα, x, m m m, m m m, m i y, m mm, m mm, m Έτσι, παίρνουμε x,,, και

10 i y,, Για την περίπτωσή μας, παραλείποντας τον κβαντικό αριθμό του (τετραγώνου του) σπιν, x i y Επίσης,,,,, x i y,,, Άρα x i y Επίσης x,,, i y,, Άρα x y Συγκεντρωτικά, λοιπόν, έχουμε x (3) x (33) x (34)

11 i y (35) i y (36) y (37) Για το σπιν, όπως έχουμε δείξει και μπορούμε εύκολα να επιβεβαιώσουμε χρησιμοποιώντας πάλι τις γενικές σχέσεις (8) και (9), αυτή τη φορά για j, είναι x x i y i y όπου,, Επομένως x (38) x (39) i y (4), i y (4) Με τη βοήθεια των σχέσεων (3) (4), παίρνουμε x x (4) x x (43)

12 i i y y (44) i i y y Επίσης είναι z z (46) (45) (47) z z Αν αντικαταστήσουμε τις σχέσεις (8) (3) και (4) (47) στην (7), θα πάρουμε 3 3, a b a b 4 4 a b a b a 3 3 a a b b a b b a a b b a b a b 4 4 Δηλαδή 7, a b a b 4 4 Με τη βοήθεια της (48), η εξίσωση ιδιοτιμών (6) γράφεται, αν λάβουμε υπόψη και το ανάπτυγμα () με, a και, b, 7 3 a b a b a b a b a b a b a b a a b b a b a b (48)

13 Επειδή οι καταστάσεις και είναι γραμμικά ανεξάρτητες, πρέπει a b ab Οι δύο εξισώσεις είναι γραμμικά εξαρτημένες, αφού αν πολλαπλασιάσουμε με την η παίρνουμε τη η. Αυτό είναι αναμενόμενο, αφού η συνθήκη κανονικοποίησης της κατάστασης, θα μας δώσει μία ακόμα εξίσωση, συνολικά δύο ανεξάρτητες, για να υπολογίσουμε τους συντελεστές lebch-gordan ab., Από την η εξίσωση παίρνουμε a b, οπότε η κατάσταση, γράφεται, b Από τη συνθήκη κανονικοποίησης παίρνουμε λαμβάνοντας υπόψη ότι οι καταστάσεις και είναι ορθοκανονικές b b 3 Αν παραλείψουμε τη σταθερή φάση, παίρνουμε γράφεται, (49) 3 3 b 3, και η κατάσταση, Η κατάσταση 3, (σχέση (3)) μπορεί να υπολογιστεί, με την απροσδιοριστία μιας σταθερής φάσης, από τη συνθήκη καθετότητας των δύο καταστάσεων, και την απαίτηση να είναι κι αυτή κανονικοποιημένη. Επειδή, οι καταστάσεις, και 3, ανήκουν στον ίδιο υπόχωρο, που έχει διάσταση, υπάρχει μόνο ένας κάθετος άξονας στον άξονα που ορίζει η κατάσταση,. Έτσι 3, (5) 3 3 Η κατάσταση (5) είναι κανονικοποιημένη, και είναι κάθετη στην,, αφού

14 3,, Με το ίδιο σκεπτικό μπορούμε να υπολογίσουμε τις καταστάσεις Η κατάσταση, δίνεται από την (), δηλαδή, και 3,.,,, Θέτουμε για ευκολία, c και, d, δηλαδή, c d (5) Η κατάσταση, είναι ιδιοκατάσταση του τετραγώνου του ολικού σπιν με, δηλαδή 3,, (5) 4 Η δράση του τετραγώνου του ολικού σπιν στην κατάσταση, βοήθεια της (6) και της (5),, c d γράφεται, με τη x x y y z z Όπως και στην προηγούμενη περίπτωση, οι καταστάσεις του δεξιού μέλους υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (3) (4) και το ότι οι καταστάσεις του δεξιού μέλους με δείκτη είναι ιδιοκαταστάσεις του με και του z με την ιδιοτιμή που αναγράφεται στο αντίστοιχο ket, και αντίστοιχα οι καταστάσεις με δείκτη είναι ιδιοκαταστάσεις του με και του z με την ιδιοτιμή που αναγράφεται στο αντίστοιχο ket. Έτσι, παίρνουμε, c d c d c d c d x x x x y y y y 3 c d c d c z z z z 4

15 3 i i 4 d c d c i i 3 d d c d c 4 3 d c d c 4 3 d d c c d d 4 3 d d c c d c c 4 7 c d d c 4 4 Δηλαδή 7, c d d c 4 4 (53) Αν αντικαταστήσουμε την (53) και την (5) στην εξίσωση ιδιοτιμών (5), θα πάρουμε 7 3 c d d c c d c d d c c d c d d c Επειδή οι καταστάσεις και είναι γραμμικά ανεξάρτητες, πρέπει c d d c Οι δύο εξισώσεις είναι γραμμικά εξαρτημένες, αφού αν διαιρέσουμε την η με, παίρνουμε τη η. Αυτό είναι αναμενόμενο, αφού η συνθήκη κανονικοποίησης θα μας δώσει μία ακόμα εξίσωση, συνολικά δύο ανεξάρτητες, για να υπολογίσουμε τους συντελεστές lebch-gordan cd., Από τη η εξίσωση παίρνουμε d c, οπότε η (5) γράφεται, c c Η συνθήκη κανονικοποίησης μάς δίνει

16 c c Αν παραλείψουμε τη σταθερή φάση, 3 c, οπότε 3, (54) Από την απαίτηση καθετότητας, υπολογίζουμε την κατάσταση, επίσης με την απροσδιοριστία μιας σταθερής φάσης. Έτσι, παίρνουμε (σχέση (4)), 3, (55) 3 3 Συγκεντρωτικά, για και, οι δύο βάσεις συνδέονται με τις σχέσεις, 3 3, , 3, 3 3 3, , Όπως επισημάναμε, οι καταστάσεις αυτές έχουν την απροσδιοριστία μιας σταθερής,. φάσης exp i, όπου Για παράδειγμα, η κατάσταση, πρόσημο, δηλαδή ως,, 3 3 δίνεται συνήθως στη βιβλιογραφία με αντίθετο που είναι φυσικά ισοδύναμη με αυτήν που βρήκαμε, αφού exp i. Σπύρος Κωνσταντογιάννης

17 Φυσικός, M.c.