Σύνοψη Μαθήµατος. Κατανεµηµένα Συστήµατα Ι Μάθηµα Βασικής Επιλογής, Χειµερινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων

Transcript

1 Σύνοψη Μαθήµατος Κατανεµηµένα Συστήµατα Ι Μάθηµα Βασικής Επιλογής, Χειµερινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων Ιωάννης Χατζηγιαννάκης Ασύγχρονα Κατανεµηµένα Συστήµατα Αποτίµηση Καθολικού Κατηγορήµατος Ανίχνευση Τερµατισµού Αλγόριθµος Francez Αλγόριθµος Dijkstra Αλγόριθµος των Dijkstra και Scholten ευτέρα, 17 εκεµβρίου, 2007 Αίθουσα Β3 Καθολικές Καταστάσεις Ορισµοί (1) Καθολικές Καταστάσεις Ορισµοί (2) Τοπική ιστορία (local history) Η τοπική ιστορία της διεργασίας Pu συµβολίζετε µε hu και αποτελεί την ακολουθία των συµβάντων που πραγµατοποιήθηκαν στην διεργασία, π.χ. hu = σ u 1, σu 2, σu 3, σu 4. Καθολική ιστορία (global history) Η καθολική ιστορία H ενός κατανεµηµένου συστήµατος ορίζεται ως η ένωση των τοπικών ιστοριών όλων των διεργασιών που συµµετέχουν σε αυτό, δηλ. H = h1... hn. Καθολική κατάσταση (global state) Η καθολική κατάσταση ενός κατανεµηµένου συστήµατος συµβολίζετε µε Σ και ορίζεται ως η ένωση των τοπικών καταστάσεων όλων των διεργασιών που συµµετέχουν σε αυτό, δηλ. Σ = {κ 1,... κ n }. Τοµή (cut) Μια τοµή C ενός κατανεµηµένου συστήµατος είναι ένα υποσύνολο της καθολικής ιστορίας H που αποτελείται από σ u 0 αρχικά συµβάντα από κάθε διεργασία Pu, δηλ. C = h1 σ1... hn σn. Εποµένως, µια τοµή προσδιορίζεται µέσω του διανύσµατος {σ 1,... σ n }.

2 Καθολικές Καταστάσεις Ορισµοί (3) Κατασκευή Καθολικών Καταστάσεων Συνεπής Τοµή (consistent cut) Μια τοµή C είναι συνεπής αν για όλα τα συµβάντα σ και σ ισχύει ότι: σ C ( σ σ ) σ C Μία καθολική κατάσταση είναι συνεπής όταν αντιστοιχεί σε µια συνεπή τοµή Οι συνεπής καθολικές καταστάσεις είναι εκείνες που µπορούν να συµβούν σε µια πραγµατική εκτέλεση ενός κατανεµηµένου συστήµατος Καταγραφή µιας καθολικής κατάστασης Ενεργητικά ή Παθητικά Απαιτεί την ανταλλαγή µηνυµάτων Το σύστηµα µπορεί να παρουσιάσει σφάλµατα Η καταγραφή µπορεί να είναι ελλιπείς/λανθασµένη Μια καθολική κατάσταση (ή ένα ολικό στιγµιότυπο) Μπορεί να µην είναι συνεπής Μπορεί να είναι ξεπερασµένο υο διαφορετικές διεργασίες monitor µπορεί να κατασκευάσουν δυο διαφορετικές παρατηρήσεις για την ίδια εκτέλεση Αποτίµηση Καθολικού Κατηγορήµατος Καθολικά Κατηγορήµατα Σε πολλά ϑεµελιώδη προβλήµατα του κατανεµηµένου υπολογισµού, π.χ. Ανίχνευση αδιεξόδων Ανίχνευση τερµατισµού Παρακολούθηση και αποσφαλµάτωση ιαµοιρασµός πόρων Garbage collection Ανίχνευση απώλειας σκυτάλης Πρέπει να χαρακτηρίσουµε µια καθολική κατάσταση Κατασκευή µιας καθολικής κατάστασης Αποτίµηση ενός καθολικού κατηγορήµατος στην κατάσταση Ενα καθολικό κατηγόρηµα (global predicate) Φ είναι µια συνάρτηση από το σύνολο των συνεπών καθολικών καταστάσεων ενός συστήµατος στο σύνολο {true, false} Η Αποτίµησης Καθολικού Κατηγορήµατος (Global Predicate Evaluation, GPE) καθορίζει αν µια καθολική κατάσταση ικανοποιεί κάποιο κατηγόρηµα Φ Ενα κατηγόρηµα που περιγράφει ευσταθείς ιδιότητες χαρακτηρίζεται ευσταθές Οταν το σύστηµα ϐρεθεί σε µια κατάσταση στην οποία το κατηγόρηµα είναι αληθές Παραµένει αληθές σε όλες τις µελλοντικές καταστάσεις που είναι προσπελάσιµες από την κατάσταση αυτήν Μερικές καταστάσεις που ϑέλουµε να ανιχνεύσουµε δεν µπορούν πάντα να περιγραφούν µε ευσταθή κατηγορήµατα

3 Καθολικό Κατηγόρηµα Τερµατισµού Καθολικό Κατηγόρηµα term term ( Pu : stateu = παθητική) ( Cuv : Cuv δεν περιέχει µήνυµα) Καµία ενέργεια εισόδου δεν ϑα προκύψει Αν όλες οι διεργασίες είναι παθητικές Κανένα κανάλι δεν περιέχει κάποιο µήνυµα (που αφορά τον ϐασικό αλγόριθµο) Κάποια ενέργεια εισόδου µηνύµατος ϑα προκύψει Αν ορισµένες διεργασίες είναι ενεργές και άρα κάποια ενέργεια εξόδου µπορεί να προκύψει Κάποιο κανάλι περιέχει ένα µήνυµα (που αφορά τον ϐασικό αλγόριθµο) Αλγόριθµος Ανίχνευσης Τερµατισµού Πρέπει να εντοπίσει την στιγµή όπου το Definitely(term) γίνει αληθές Μπορεί να χρησιµοποιεί µηνύµατα για την αποτίµηση του κατηγορήµατος term Τα µηνύµατα αυτά δεν επηρεάζουν τον ϐασικό αλγόριθµο Πρέπει να ικανοποιεί τις παρακάτω συνθήκες 1. εν πρέπει να επηρεάζει την λειτουργία του ϐασικού αλγόριθµου (non-interference) 2. Αν το καθολικό κατηγόρηµα term ισχύει, τότε πρέπει σε πεπερασµένο αριθµό γύρων να κληθεί ο αλγόριθµος διάδοσης µηνύµατος τερµατισµού (liveness) 3. Αν κληθεί ο αλγόριθµος διάδοσης µηνύµατος τερµατισµού πρέπει το καθολικό κατηγόρηµα term να είναι αληθές (safety) Σύνοψη 10 ης ιάλεξης Βιώσιµοι Αλγόριθµοι (Robust Algorithms) Προηγούµενο Μάθηµα Προηγούµενο Μάθηµα Καθολικές Καταστάσεις & Κατασκευή Αποτίµηση Καθολικού Κατηγορήµατος Ασύγχρονα Κατανεµηµένα Συστήµατα Σταθεροποίηση Σταθεροποιούµενοι Κατανεµηµένοι Αλγόριθµοι Τεχνική Power Supply Σύνοψη Μαθήµατος Σύνοψη Μαθήµατος 2η Ασκηση Επόµενη ιάλεξη Εως τώρα µελετήσαµε την συµπεριφορά των κατανεµηµένων συστηµάτων όταν οι διεργασίες ή τα κανάλια είναι αξιόπιστα Μελετήσαµε ποια ϑα είναι η πιθανή συµπεριφορά των διεργασιών Οταν οι διεργασίες µπορεί να αποτύχουν Τα κανάλια επικοινωνίας είναι αναξιόπιστα Οι λύσεις για ανοχή σε λάθη είναι εξειδικευµένες Προσπαθούν να διατηρούν το σύστηµα σε µια λειτουργική ( καλή ) κατάσταση Περιορίζουν το πρόβληµα κάνοντας παραδοχές Μερικές ϕορές είναι πολύπλοκοι στην υλοποίηση

4 Αυτο-σταθεροποιούµενοι Αλγόριθµοι (1) Αυτο-σταθεροποιούµενοι Αλγόριθµοι (2) Οι αυτο-σταθεροποιούµενοι αλγόριθµοι επιτυγχάνουν µια συµπεριφορά ανοχής λαθών µε ένα ϱιζικά διαφορετικό τρόπο Οι ϐιώσιµοι αλγόριθµοι ακολουθούν µια απαισιόδοξη (pessimistic) προσέγγιση Σε κάθε γύρο εκτελούν µια σειρά ελέγχων για να εγγυηθούν την εγκυρότητα των ϐηµάτων Θεωρούν ότι όλα τα πιθανά σφάλµατα που µπορεί να συµβούν, ϑα συµβούν Οι σταθεροποιούµενοι αλγόριθµοι είναι αισιόδοξοι (optimistic) Τα σφάλµατα που εµφανίζονται είναι παροδικά Οι σωστές διεργασίες µπορεί να συµπεριφέρονται ασυνεπώς Βασική ιδέα Το σύστηµα έχει την ικανότητα να συγκλίνει µε πεπερασµένο αριθµό ϐηµάτων από οποιαδήποτε (ασταθή) κατάσταση σε µια επιθυµητή (ευσταθή) κατάσταση εχόµαστε ότι τελικά επέρχεται επιδιόρθωση Μπορούµε να εγκαταλείψουµε µοντέλα αποτυχίας και όρια στον αριθµό αποτυχιών Υποθέτουµε ότι όλες οι διεργασίες λειτουργούν σωστά, αλλά η εκτέλεση µπορεί αυθαίρετα να καταστραφεί κατά τη διάρκεια µιας παροδικής αποτυχίας εν χρειάζεται να εξετάζουµε τις λανθασµένες διεργασίες Αυτο-σταθεροποιούµενοι Αλγόριθµοι (3) Ορισµοί Αγνοούµε το ιστορικό της εκτέλεσης του υπολογισµού Κατά τη διάρκεια της αποτυχίας, η εκτέλεση µε την οποία αρχίσαµε την ανάλυση του αλγόριθµου ϑεωρείται και η αρχική του σωστού αλγόριθµου Ενας αλγόριθµος ονοµάζεται αυτο-σταθεροποιούµενος (ή σταθεροποιούµενος) αν τελικά συµπεριφέρεται σωστά ηλαδή σύµφωνα µε τις προδιαγραφές και ανεξάρτητα από την αρχική του εκτέλεση Η έννοια της σταθεροποίησης προτάθηκε από το Dijkstra Μικρή πρόοδος έγινε µέχρι το τέλος της δεκαετίας του 80 Η κυριότερες έρευνες έγιναν στη δεκαετία του 90, έτσι το ϑέµα ϑεωρείτε ακόµα σχετικά καινούργιο Οι σταθεροποιούµενοι αλγόριθµοι µοντελοποιούνται ως σύστηµα µετάβασης χωρίς αρχική κατάσταση Για ένα Ϲεύγος καταστάσεων κ, κ, κ κ αν υπάρχει ενέργεια ɛ τέτοια ώστε (κ, ɛ, κ ) trans(a) Ο αλγόριθµος A σταθεροποιείται στην προδιαγραφή Π αν υπάρχει υποσύνολο καταστάσεων L states(a) τέτοιο ώστε Κάθε εκτέλεση που ξεκινά από µια κατάσταση στο L ικανοποιεί την προδιαγραφή Π (ορθότητα) Κάθε εκτέλεση περιέχει µια κατάσταση στο L (σύγκλιση)

5 Αποδεικνύοντας τη σταθεροποίηση (1) Για να δείξουµε κατά πόσο ένας αλγόριθµος είναι σταθεροποιούµενος ϐασιζόµαστε στην χρήση νόµιµων ή ευσταθών εκτελέσεων Αρχικά υποθέτουµε ότι ο αλγόριθµος ξεκινά από µια κατάσταση που ανήκει στο L Θέλουµε να αποδείξουµε ότι υπάρχει µια συνάρτηση σύγκλισης προς µια νόµιµη/ευσταθή εκτέλεση Αποδεικνύοντας τη σταθεροποίηση (1) Για να δείξουµε κατά πόσο ένας αλγόριθµος είναι σταθεροποιούµενος ϐασιζόµαστε στην χρήση νόµιµων ή ευσταθών εκτελέσεων Αρχικά υποθέτουµε ότι ο αλγόριθµος ξεκινά από µια κατάσταση που ανήκει στο L Θέλουµε να αποδείξουµε ότι υπάρχει µια συνάρτηση σύγκλισης προς µια νόµιµη/ευσταθή εκτέλεση Αποδεικνύοντας τη σταθεροποίηση (1) Για να δείξουµε κατά πόσο ένας αλγόριθµος είναι σταθεροποιούµενος ϐασιζόµαστε στην χρήση νόµιµων ή ευσταθών εκτελέσεων Αρχικά υποθέτουµε ότι ο αλγόριθµος ξεκινά από µια κατάσταση που ανήκει στο L Θέλουµε να αποδείξουµε ότι υπάρχει µια συνάρτηση σύγκλισης προς µια νόµιµη/ευσταθή εκτέλεση Αποδεικνύοντας τη σταθεροποίηση (1) Για να δείξουµε κατά πόσο ένας αλγόριθµος είναι σταθεροποιούµενος ϐασιζόµαστε στην χρήση νόµιµων ή ευσταθών εκτελέσεων Αρχικά υποθέτουµε ότι ο αλγόριθµος ξεκινά από µια κατάσταση που ανήκει στο L Θέλουµε να αποδείξουµε ότι υπάρχει µια συνάρτηση σύγκλισης προς µια νόµιµη/ευσταθή εκτέλεση

6 Αποδεικνύοντας τη σταθεροποίηση (1) Για να δείξουµε κατά πόσο ένας αλγόριθµος είναι σταθεροποιούµενος ϐασιζόµαστε στην χρήση νόµιµων ή ευσταθών εκτελέσεων Αρχικά υποθέτουµε ότι ο αλγόριθµος ξεκινά από µια κατάσταση που ανήκει στο L Θέλουµε να αποδείξουµε ότι υπάρχει µια συνάρτηση σύγκλισης προς µια νόµιµη/ευσταθή εκτέλεση Αποδεικνύοντας τη σταθεροποίηση (1) Για να δείξουµε κατά πόσο ένας αλγόριθµος είναι σταθεροποιούµενος ϐασιζόµαστε στην χρήση νόµιµων ή ευσταθών εκτελέσεων Αρχικά υποθέτουµε ότι ο αλγόριθµος ξεκινά από µια κατάσταση που ανήκει στο L Θέλουµε να αποδείξουµε ότι υπάρχει µια συνάρτηση σύγκλισης προς µια νόµιµη/ευσταθή εκτέλεση Αποδεικνύοντας τη σταθεροποίηση (1) Για να δείξουµε κατά πόσο ένας αλγόριθµος είναι σταθεροποιούµενος ϐασιζόµαστε στην χρήση νόµιµων ή ευσταθών εκτελέσεων Αρχικά υποθέτουµε ότι ο αλγόριθµος ξεκινά από µια κατάσταση που ανήκει στο L Θέλουµε να αποδείξουµε ότι υπάρχει µια συνάρτηση σύγκλισης προς µια νόµιµη/ευσταθή εκτέλεση Αποδεικνύοντας τη σταθεροποίηση (2) Εποµένως στην απόδειξη λαµβάνουµε υπόψιν µόνο τις εκτελέσεις οι οποίες αρχικά αρχίζουν από το L Λήµµα Εστω ότι Ολες οι τερµατικές καταστάσεις είναι στο L, δηλ. halt(a) L Υπάρχει συνάρτηση f : states(a) W (όπου το W είναι ένα καλά ορισµένο σύνολο) τέτοια ώστε αν κ κ τότε είτε f(κ) > f(κ ) ή κ L Τότε ο A ικανοποιεί τη σύγκλιση

7 Ιδιότητες Σταθεροποιούµενων Αλγόριθµων (1) Ιδιότητες Σταθεροποιούµενων Αλγόριθµων (2) Τα πλεονεκτήµατα των σταθεροποιούµενων αλγόριθµων σε σχέση µε τους κλασικούς ϐιώσιµους αλγόριθµους 1. Ανοχή Λαθών προσφέρουν πλήρη και αυτόµατη προστασία έναντι όλων των παροδικών αποτυχιών των διεργασιών καθώς συγκλίνουν στην ϕυσιολογική λειτουργία 2. Αρχικοποίηση δεν υπάρχει ουσιαστική ανάγκη για αρχικοποίηση του αλγόριθµου, παρόλαυτά, η τελική συµπεριφορά είναι εγγυηµένη 3. υναµική Τοπολογία Αν συµβεί µια αλλαγή, ο αλγόριθµος υπολογίζει µια συνάρτηση που εξαρτάται από την τοπολογία και συγκλίνει σε µια νέα λύση Τα µειονεκτήµατα των σταθεροποιούµενων αλγόριθµων σε σχέση µε τους κλασικούς ϐιώσιµους αλγόριθµους 1. Αρχικές ασυνέπειες έως ότου ϕτάσουν σε µια ευσταθή κατάσταση, ο αλγόριθµος µπορεί να παράγει κάποιο αναξιόπιστο αποτέλεσµα 2. Υψηλή πολυπλοκότητα λόγω της συνεχόµενης ανταλλαγής πληροφοριών, είναι συνήθως πολύ λιγότερο αποδοτικοί 3. Ελλειψη µεθόδου ανίχνευσης της σταθεροποίησης αδύνατο να γίνει γνωστό µέσα από το σύστηµα πότε έχει διασφαλιστεί µια νόµιµη εκτέλεση, εποµένως οι διεργασίες δεν γνωρίζουν πότε η συµπεριφορά τους έχει γίνει αξιόπιστη Αµοιβαίος Αποκλεισµός Απαραίτητες ιδιότητες Οι διεργασίες διαµοιράζονται ορισµένους κοινούς πόρους Κάποιοι πόροι απαιτούν αποκλειστική πρόσβαση από µία διεργασία µόνο Το µέρος της διεργασίας που χρειάζεται να χειριστεί τον πόρο αποκλειστικά ονοµάζεται κρίσιµο τµήµα (ΚΤ) Απαιτείται συντονισµένη πρόσβαση Κεντρικοποιηµένα Συστήµατα Χρήση semaphores, συντονιστών... Το πρόβληµα του Αµοιβαίου Αποκλεισµού ορίστηκε για πρώτη ϕορά από τον Edsger Dijkstra το 1965 Ασφάλεια (safety) -- µια µόνο από τις διεργασίες µπορεί να αποκτήσει πρόσβαση στον κοινό πόρο σε ένα ορισµένο χρονικό διάστηµα Βιωσιµότητα (liveness) -- αν µια διεργασία επιθυµεί να εισέλθει στο κρίσιµο τµήµα τελικά ϑα το καταφέρει αν ο κοινός πόρος δεν χρησιµοποιείται, τότε όποια διεργασία Ϲητήσει πρόσβαση ϑα πρέπει να την αποκτήσει σε πεπερασµένο χρονικό διάστηµα ιάταξη (ordering) -- η άδεια εισόδου στο κρίσιµο τµήµα πρέπει να παραχωρηθεί σύµφωνα µε τη σχέση συνέβη-πριν: οι αιτήσεις των διεργασιών εξυπηρετούνται µε τη σειρά που έχουν εκδοθεί

8 Ελάχιστες Υποθέσεις Κριτήρια Απόδοσης Οι διεργασίες έχουν µοναδικές ταυτότητες Κάθε διεργασία έχει µέρη του κώδικα της µε κρίσιµα τµήµατα Για ευκολία οι διεργασίες ανταγωνίζονται για ένα µόνο πόρο εν υπάρχει κάποιο καθολικό ϱολόι Οι διεργασίες επικοινωνούν µε την ανταλλαγή µηνυµάτων Υποθέτουµε ότι τα κανάλια είναι αξιόπιστα, FIFO Το δίκτυο είναι δακτύλιος 1. Ορθότητα (Correctness) οι συνθήκες ασφάλειας, ϐιωσιµότητας και διάταξης ισχύουν 2. Πολυπλοκότητα Επικοινωνίας (Communication Complexity) επεξεργασία των αιτήσεων ελαχιστοποιώντας τον αριθµό µηνυµάτων 3. Απόκριση (Latency) ελαχιστοποίηση της καθυστέρησης εισόδου στο κρίσιµο τµήµα Σταθεροποιούµενος Αλγόριθµος του Dijkstra (1) Σταθεροποιούµενος Αλγόριθµος του Dijkstra (2) 1. Κάθε διεργασία u διατηρεί µια µεταβλητή σu {0, 1,..., K 1} το K είναι ένα ακέραιος µεγαλύτερος του n 2. Η διεργασία u µπορεί να διαβάσει την µεταβλητή της u 1 και η διεργασία u0 της un 1 κατευθυνόµενος δακτύλιος 3. Ολες οι διεργασίες είναι ίσες, εκτός από την διεργασία u0 4. Η διεργασία u0 έχει το προνόµιο αν σ0 = σn 1 5. Η διεργασία u 0 έχει το προνόµιο αν σu σu 1 1. Μια διεργασία που έχει το προνόµιο µπορεί να αλλάξει την κατάσταση της αφού ολοκληρώσει την εκτέλεση του κρίσιµου τµήµατος 2. Η αλλαγή κατάστασης µιας διεργασίας προκαλεί πάντα την απώλεια του προνοµίου της 3. Η διεργασία u 0 µπορεί να εξισώσει τα σu, σu 1 ϑέτοντάς σu = σu 1 αφού είναι ενεργή ϑα ισχύει σu σu 1 4. Η διεργασία u0 µπορεί να κάνει το σ0 να µην είναι ίσο µε το σn 1 ϑέτοντας σ0 = σn 1 mod K αφού είναι αρχικά ίσα

9 Σταθεροποιούµενος Αλγόριθµος του Dijkstra (3) Αλγόριθµος του Dijkstra Κάθε διεργασία u διατηρεί µια µεταβλητή σu {0, 1,..., K 1}. Η διεργασία u0 αποκτά το δικαίωµα να εισέλθει στο ΚΤ αν σ0 = σn 1. Κάθε άλλη διεργασία u αποκτά το δικαίωµα να εισέλθει στο ΚΤ αν σu σu 1. Η διεργασία που έχει το δικαίωµα µπορεί να αλλάξει την κατάσταση της και για να το παραχωρήσει πρέπει να ϑέσει: { σu 1 αν u 0 σu = σn 1 mod K αν u = 0 Σταθεροποιούµενος Αλγόριθµος του Dijkstra (3) Αλγόριθµος του Dijkstra Κάθε διεργασία u διατηρεί µια µεταβλητή σu {0, 1,..., K 1}. Η διεργασία u0 αποκτά το δικαίωµα να εισέλθει στο ΚΤ αν σ0 = σn 1. Κάθε άλλη διεργασία u αποκτά το δικαίωµα να εισέλθει στο ΚΤ αν σu σu 1. Η διεργασία που έχει το δικαίωµα µπορεί να αλλάξει την κατάσταση της και για να το παραχωρήσει πρέπει να ϑέσει: { σu 1 αν u 0 σu = σn 1 mod K αν u = 0 Αρχική Κατάσταση Ενδιάµεσες Καταστάσεις u n 2 n 1 u n 2 n 1 σu σu Σταθεροποιούµενος Αλγόριθµος του Dijkstra (3) Αλγόριθµος του Dijkstra Κάθε διεργασία u διατηρεί µια µεταβλητή σu {0, 1,..., K 1}. Η διεργασία u0 αποκτά το δικαίωµα να εισέλθει στο ΚΤ αν σ0 = σn 1. Κάθε άλλη διεργασία u αποκτά το δικαίωµα να εισέλθει στο ΚΤ αν σu σu 1. Η διεργασία που έχει το δικαίωµα µπορεί να αλλάξει την κατάσταση της και για να το παραχωρήσει πρέπει να ϑέσει: { σu 1 αν u 0 σu = σn 1 mod K αν u = 0 Σταθεροποιούµενος Αλγόριθµος του Dijkstra (3) Αλγόριθµος του Dijkstra Κάθε διεργασία u διατηρεί µια µεταβλητή σu {0, 1,..., K 1}. Η διεργασία u0 αποκτά το δικαίωµα να εισέλθει στο ΚΤ αν σ0 = σn 1. Κάθε άλλη διεργασία u αποκτά το δικαίωµα να εισέλθει στο ΚΤ αν σu σu 1. Η διεργασία που έχει το δικαίωµα µπορεί να αλλάξει την κατάσταση της και για να το παραχωρήσει πρέπει να ϑέσει: { σu 1 αν u 0 σu = σn 1 mod K αν u = 0 Ενδιάµεσες Καταστάσεις Ενδιάµεσες Καταστάσεις u n 2 n 1 u n 2 n 1 σu σu

10 Σταθεροποιούµενος Αλγόριθµος του Dijkstra (3) Αλγόριθµος του Dijkstra Κάθε διεργασία u διατηρεί µια µεταβλητή σu {0, 1,..., K 1}. Η διεργασία u0 αποκτά το δικαίωµα να εισέλθει στο ΚΤ αν σ0 = σn 1. Κάθε άλλη διεργασία u αποκτά το δικαίωµα να εισέλθει στο ΚΤ αν σu σu 1. Η διεργασία που έχει το δικαίωµα µπορεί να αλλάξει την κατάσταση της και για να το παραχωρήσει πρέπει να ϑέσει: { σu 1 αν u 0 σu = σn 1 mod K αν u = 0 Σταθεροποιούµενος Αλγόριθµος του Dijkstra (3) Αλγόριθµος του Dijkstra Κάθε διεργασία u διατηρεί µια µεταβλητή σu {0, 1,..., K 1}. Η διεργασία u0 αποκτά το δικαίωµα να εισέλθει στο ΚΤ αν σ0 = σn 1. Κάθε άλλη διεργασία u αποκτά το δικαίωµα να εισέλθει στο ΚΤ αν σu σu 1. Η διεργασία που έχει το δικαίωµα µπορεί να αλλάξει την κατάσταση της και για να το παραχωρήσει πρέπει να ϑέσει: { σu 1 αν u 0 σu = σn 1 mod K αν u = 0 Ενδιάµεσες Καταστάσεις Ενδιάµεσες Καταστάσεις u n 2 n 1 u n 2 n 1 σu σu Σταθεροποιούµενος Αλγόριθµος του Dijkstra (3) Αλγόριθµος του Dijkstra Κάθε διεργασία u διατηρεί µια µεταβλητή σu {0, 1,..., K 1}. Η διεργασία u0 αποκτά το δικαίωµα να εισέλθει στο ΚΤ αν σ0 = σn 1. Κάθε άλλη διεργασία u αποκτά το δικαίωµα να εισέλθει στο ΚΤ αν σu σu 1. Η διεργασία που έχει το δικαίωµα µπορεί να αλλάξει την κατάσταση της και για να το παραχωρήσει πρέπει να ϑέσει: { σu 1 αν u 0 σu = σn 1 mod K αν u = 0 Σταθεροποιούµενος Αλγόριθµος του Dijkstra (3) Αλγόριθµος του Dijkstra Κάθε διεργασία u διατηρεί µια µεταβλητή σu {0, 1,..., K 1}. Η διεργασία u0 αποκτά το δικαίωµα να εισέλθει στο ΚΤ αν σ0 = σn 1. Κάθε άλλη διεργασία u αποκτά το δικαίωµα να εισέλθει στο ΚΤ αν σu σu 1. Η διεργασία που έχει το δικαίωµα µπορεί να αλλάξει την κατάσταση της και για να το παραχωρήσει πρέπει να ϑέσει: { σu 1 αν u 0 σu = σn 1 mod K αν u = 0 Ενδιάµεσες Καταστάσεις Ενδιάµεσες Καταστάσεις u n 2 n 1 u n 2 n 1 σu σu

11 Σταθεροποιούµενος Αλγόριθµος του Dijkstra (3) Αλγόριθµος του Dijkstra Κάθε διεργασία u διατηρεί µια µεταβλητή σu {0, 1,..., K 1}. Η διεργασία u0 αποκτά το δικαίωµα να εισέλθει στο ΚΤ αν σ0 = σn 1. Κάθε άλλη διεργασία u αποκτά το δικαίωµα να εισέλθει στο ΚΤ αν σu σu 1. Η διεργασία που έχει το δικαίωµα µπορεί να αλλάξει την κατάσταση της και για να το παραχωρήσει πρέπει να ϑέσει: { σu 1 αν u 0 σu = σn 1 mod K αν u = 0 Σταθεροποιούµενος Αλγόριθµος του Dijkstra (3) Αλγόριθµος του Dijkstra Κάθε διεργασία u διατηρεί µια µεταβλητή σu {0, 1,..., K 1}. Η διεργασία u0 αποκτά το δικαίωµα να εισέλθει στο ΚΤ αν σ0 = σn 1. Κάθε άλλη διεργασία u αποκτά το δικαίωµα να εισέλθει στο ΚΤ αν σu σu 1. Η διεργασία που έχει το δικαίωµα µπορεί να αλλάξει την κατάσταση της και για να το παραχωρήσει πρέπει να ϑέσει: { σu 1 αν u 0 σu = σn 1 mod K αν u = 0 Ενδιάµεσες Καταστάσεις Ενδιάµεσες Καταστάσεις u n 2 n 1 u n 2 n 1 σu σu Ιδιότητες Αλγόριθµου του Dijkstra (1) Ιδιότητες Αλγόριθµου του Dijkstra (2) Τουλάχιστον µια διεργασία έχει δικαίωµα Αν καµία άλλη, σίγουρα η u0 Κανένα ϐήµα δεν αυξάνει τον αριθµό των διεργασιών µε δικαίωµα Αυτή που κάνει το ϐήµα χάνει το δικαίωµα Η µόνη που µπορεί να ωφεληθεί είναι η επόµενη L = {κ : το δικαίωµα το έχει µία διεργασία} Αν είµαστε στο L, παραµένουµε εκεί και το δικαίωµα κάνει κύκλο (ορθότητα) f = u V (n u) Οπου V = {u : u 1 και έχει το δικαίωµα} Η f µειώνεται σε κάθε ϐήµα της u αν u 0 Το πολύ n(n 1) ϐήµατα γίνονται χωρίς ϐήµα της 2 u0 Η αρχική κατάσταση κ0 µπορεί να περιέχει το πολύ n διαφορετικές τιµές Η u0 µετά από το πολύ n ϐήµατα της ϑα έχει τιµή k που δεν έχουν οι άλλες, οι οποίες απλώς αντιγράφουν τιµές Το k ϑα διασχίσει το δακτύλιο και πριν το επόµενο ϐήµα της u0 ϑα υπάρχει µόνο µία διεργασία µε δικαίωµα σ1 = σ2 =... = σn 1 = σ0 = k Σύνολο ϐηµάτων για σύγκλιση είναι O(n 3 ) πιο προσεκτικά O(n 2 )

12 Αναζήτηση κατά Εύρος Αναζήτηση κατά Εύρος Σε ένα ασύγχρονο δίκτυο G, η αναζήτηση κατά εύρος απαιτεί την κατασκευή ενός επικαλυπτικού δέντρου T(G), µε ϱίζα την διεργασία u0 όπου οι κορυφές που είναι σε απόσταση d από την u0 στο G, ϐρίσκονται στο επίπεδο d στο δέντρο T(G). Ο αυτο-σταθεροποιούµενος αλγόριθµος πρέπει να ικανοποιεί Σε κάθε ασταθή κατάσταση υπάρχει τουλάχιστον ένας ενεργός κόµβος Σε µια ευσταθή κατάσταση κανένας κόµβος δεν είναι ενεργός, δηλ. το σύστηµα ϐρίσκεται σε αδιέξοδο Για όλες τις αρχικές καταστάσεις και για όλους τους τρόπους επιλογής ενός ενεργού κόµβου, το σύστηµα εξασφαλίζει την σύγκλιση σε µια ευσταθή κατάσταση σε πεπερασµένο αριθµό ϐηµάτων Ο Αλγόριθµος StabBFS Αλγόριθµος StabBFS Κάθε διεργασία u διατηρεί µια µεταβλητή pu όπου αποθηκεύει τον γονέα της στο δέντρο και µια µεταβλητή du όπου αποθηκεύει την απόσταση της από την u0 (σύµφωνα µε τις τρέχουσες συνθήκες), αρχικά αν u u0 : pu =, du = αλλιώς αν u = u0 : pu = u0, du = 0. Σε κάθε γύρο, κάθε διεργασία u στέλνει την τιµή du στους γείτονες της. Στην συνέχεια, ελέγχει τις τιµές που έλαβε και αν υπάρχει διεργασία v τέτοια ώστε dv < du, ϑέτει du = dv + 1 και την µεταβλητή γονέας µε την ταυτότητα της v. Η u0 είναι η ϱίζα του δέντρου εκ των προτέρων γνωστή Εστω n το πλήθος των διεργασιών Εστω d(u) η απόσταση της u0 από την u στο G Η απόσταση ονοµάζεται επίσης και ύψος εν είναι απαραίτητο οι διεργασίες να στέλνουν την τιµή d κάθε γύρο Ορισµοί Ευσταθής κατάσταση (1) Για το ύψος ισχύει 0 d(u) n 1 Σε µια ασταθή κατάσταση κάθε κόµβος εκτός από την ϱίζα u0 µπορεί να έχει οποιοδήποτε ύψος µεταξύ 0 και n 1 Σε µια ασταθή κατάσταση κάθε κόµβος εκτός από την ϱίζα u0 µπορεί να ϑεωρεί ως γονέα του στο δέντρο οποιοδήποτε κόµβο εκτός της u0 Για κάθε κόµβο ορίζουµε το σύνολο Su ως εξής Su = {v : v = nbrsu du = mini nbrsu{di}} το σύνολο Su περιέχει όλους τους γειτονικούς κόµβους της u µε ελάχιστο ύψος µπορεί να περιέχει περισσότερους από έναν κόµβους αλλά δεν είναι ποτέ άδειο Ολοι οι κόµβοι στο Su έχουν το ίδιο ύψος d(su) Ορίζουµε ως ευσταθή κατάσταση κάθε κατάσταση όπου το ακόλουθο καθολικό κατηγόρηµα είναι αληθές u u0 : du = d (Su) + 1 u Su Ο όρος u Su σηµαίνει ότι η µεταβλητή γονέας για την διεργασία u περιέχει έναν γειτονικό κόµβο της u Λήµµα 1 Για κάθε συνεκτικό συµµετρικό γράφηµα, οι παραπάνω ευσταθής κατάσταση εκφράζει ένα δένδρο αναζήτησης κατά εύρος µε ϱίζα την διεργασία u0

13 Ευσταθής κατάσταση (2) Η ϱίζα του δέντρου u0 έχει σταθερό ύψος 0 Εποµένως σε µια ευσταθή κατάσταση, όλοι οι γειτονικοί κόµβοι της u0 πρέπει να έχουν ύψος 1 Αντίστοιχα, οι γειτονικοί κόµβοι των κόµβων που έχουν ύψος 1 πρέπει να έχουν ύψος 2 Και η µεταβλητή γονέας δείχνει σε ένα κόµβο µε ύψος 1 Επεκτείνοντας το επιχείρηµα για όλους τους κόµβους, είναι εµφανές ότι όλες οι µεταβλητές γονέας και τα ύψη των κόµβων σε µια ευσταθή κατάσταση ορίζουν ένα δένδρο αναζήτησης κατά εύρος µε ϱίζα την u0 Με αυτόν τον τρόπο δείχνουµε ότι το Λήµµα 1 ισχύει Ο στόχος του αλγόριθµου είναι να επαναφέρει το σύστηµα σε µια ευσταθή κατάσταση Λειτουργία Αλγόριθµου Βασική ιδέα: όταν το σύστηµα ϐρίσκεται σε µια ασταθή κατάσταση, τουλάχιστον ένας κόµβος είναι σε ϑέση να το αντιληφθεί και να εκτελέσει κάποιες διορθωτικές κινήσεις Ο αλγόριθµος εφαρµόζει έναν απλό οµοιόµορφο κανόνα για όλους τους κόµβους του δικτύου εκτός από την ϱίζα Ο κανόνας αποτελείται από δύο µέρη: έλεγχος και ενέργεια Ο έλεγχος είναι µια λογική συνάρτηση που ϐασίζεται στο ύψος του κόµβου και το ύψος των γειτονικών κόµβων Η ενέργεια οδηγεί τον κόµβο σε µια τοπικά ευσταθή κατάσταση, αλλάζοντας το ύψος του κόµβου και/ή την µεταβλητή γονέας u u0 d (Su) n 1 {du d (Su) + 1 pu Su} = du = d (Su) + 1; pu = v, v Su Η διεργασία r είναι η ϱίζα Κάθε κόµβος έχει ένα διακριτικό και το ύψος του στο δένδρο Η κατεύθυνση της ακµής απεικονίζει την µεταβλητή γονέας Σε κάθε γύρο, ο ενεργός κόµβος είναι υπογραµµισµένος Ο κόµβος r δεν γίνεται ποτέ ενεργός Αρχικά ο κόµβος e γίνεται ενεργός Η διεργασία r είναι η ϱίζα Κάθε κόµβος έχει ένα διακριτικό και το ύψος του στο δένδρο Η κατεύθυνση της ακµής απεικονίζει την µεταβλητή γονέας Σε κάθε γύρο, ο ενεργός κόµβος είναι υπογραµµισµένος Ο κόµβος r δεν γίνεται ποτέ ενεργός Αρχικά ο κόµβος e γίνεται ενεργός Υπάρχουν πολλές διαφορετικές εκτελέσεις για να καταλήξουµε σε µια ευσταθή κατάσταση ξεκινώντας από την ίδια αρχική κατάσταση Σε αυτό το παράδειγµα, ο αλγόριθµος συγκλίνει σε 6 ϐήµατα Υπάρχουν πολλές διαφορετικές εκτελέσεις για να καταλήξουµε σε µια ευσταθή κατάσταση ξεκινώντας από την ίδια αρχική κατάσταση Σε αυτό το παράδειγµα, ο αλγόριθµος συγκλίνει σε 6 ϐήµατα

14 Η διεργασία r είναι η ϱίζα Κάθε κόµβος έχει ένα διακριτικό και το ύψος του στο δένδρο Η κατεύθυνση της ακµής απεικονίζει την µεταβλητή γονέας Σε κάθε γύρο, ο ενεργός κόµβος είναι υπογραµµισµένος Ο κόµβος r δεν γίνεται ποτέ ενεργός Αρχικά ο κόµβος e γίνεται ενεργός Η διεργασία r είναι η ϱίζα Κάθε κόµβος έχει ένα διακριτικό και το ύψος του στο δένδρο Η κατεύθυνση της ακµής απεικονίζει την µεταβλητή γονέας Σε κάθε γύρο, ο ενεργός κόµβος είναι υπογραµµισµένος Ο κόµβος r δεν γίνεται ποτέ ενεργός Αρχικά ο κόµβος e γίνεται ενεργός Υπάρχουν πολλές διαφορετικές εκτελέσεις για να καταλήξουµε σε µια ευσταθή κατάσταση ξεκινώντας από την ίδια αρχική κατάσταση Σε αυτό το παράδειγµα, ο αλγόριθµος συγκλίνει σε 6 ϐήµατα Υπάρχουν πολλές διαφορετικές εκτελέσεις για να καταλήξουµε σε µια ευσταθή κατάσταση ξεκινώντας από την ίδια αρχική κατάσταση Σε αυτό το παράδειγµα, ο αλγόριθµος συγκλίνει σε 6 ϐήµατα Η διεργασία r είναι η ϱίζα Κάθε κόµβος έχει ένα διακριτικό και το ύψος του στο δένδρο Η κατεύθυνση της ακµής απεικονίζει την µεταβλητή γονέας Σε κάθε γύρο, ο ενεργός κόµβος είναι υπογραµµισµένος Ο κόµβος r δεν γίνεται ποτέ ενεργός Αρχικά ο κόµβος e γίνεται ενεργός Η διεργασία r είναι η ϱίζα Κάθε κόµβος έχει ένα διακριτικό και το ύψος του στο δένδρο Η κατεύθυνση της ακµής απεικονίζει την µεταβλητή γονέας Σε κάθε γύρο, ο ενεργός κόµβος είναι υπογραµµισµένος Ο κόµβος r δεν γίνεται ποτέ ενεργός Αρχικά ο κόµβος e γίνεται ενεργός Υπάρχουν πολλές διαφορετικές εκτελέσεις για να καταλήξουµε σε µια ευσταθή κατάσταση ξεκινώντας από την ίδια αρχική κατάσταση Σε αυτό το παράδειγµα, ο αλγόριθµος συγκλίνει σε 6 ϐήµατα Υπάρχουν πολλές διαφορετικές εκτελέσεις για να καταλήξουµε σε µια ευσταθή κατάσταση ξεκινώντας από την ίδια αρχική κατάσταση Σε αυτό το παράδειγµα, ο αλγόριθµος συγκλίνει σε 6 ϐήµατα

15 Η διεργασία r είναι η ϱίζα Κάθε κόµβος έχει ένα διακριτικό και το ύψος του στο δένδρο Η κατεύθυνση της ακµής απεικονίζει την µεταβλητή γονέας Σε κάθε γύρο, ο ενεργός κόµβος είναι υπογραµµισµένος Ο κόµβος r δεν γίνεται ποτέ ενεργός Αρχικά ο κόµβος e γίνεται ενεργός Η διεργασία r είναι η ϱίζα Κάθε κόµβος έχει ένα διακριτικό και το ύψος του στο δένδρο Η κατεύθυνση της ακµής απεικονίζει την µεταβλητή γονέας Σε κάθε γύρο, ο ενεργός κόµβος είναι υπογραµµισµένος Ο κόµβος r δεν γίνεται ποτέ ενεργός Αρχικά ο κόµβος e γίνεται ενεργός Υπάρχουν πολλές διαφορετικές εκτελέσεις για να καταλήξουµε σε µια ευσταθή κατάσταση ξεκινώντας από την ίδια αρχική κατάσταση Σε αυτό το παράδειγµα, ο αλγόριθµος συγκλίνει σε 6 ϐήµατα Υπάρχουν πολλές διαφορετικές εκτελέσεις για να καταλήξουµε σε µια ευσταθή κατάσταση ξεκινώντας από την ίδια αρχική κατάσταση Σε αυτό το παράδειγµα, ο αλγόριθµος συγκλίνει σε 6 ϐήµατα Απόδειξη Ορθότητας (1) Ο στόχος µας είναι να αποδείξουµε τα τρία κριτήρια που ϑέσαµε αρχικά Λήµµα 2 Σε κάθε ασταθή κατάσταση υπάρχει τουλάχιστον ένας ενεργός κόµβος Σε µια ευσταθή κατάσταση κανένας κόµβος δεν είναι ενεργός, δηλ. το σύστηµα ϐρίσκεται σε αδιέξοδο Για όλες τις αρχικές καταστάσεις και για όλους τους τρόπους επιλογής ενός ενεργού κόµβου, το σύστηµα εξασφαλίζει την σύγκλιση σε µια ευσταθή κατάσταση σε πεπερασµένο αριθµό ϐηµάτων Σε µια ευσταθή κατάσταση κανένας κόµβος δεν είναι ενεργός Προκύπτει από τον κανόνα Απόδειξη Ορθότητας (2) Λήµµα 3 Σε κάθε ασταθή κατάσταση υπάρχει τουλάχιστον ένας ενεργός κόµβος, δηλ. σε κάθε ασταθή κατάσταση είναι εγγυηµένο ότι κάποιος κόµβος ϑα εκτελέσει µια ενέργεια Αποδεικνύουµε το λήµµα µε εις άτοπον απαγωγή Εστω ότι υπάρχει µια ασταθή κατάσταση όπου κανένας κόµβος δεν είναι ενεργός Τότε υπάρχει ένας κόµβος u u0 τέτοιος ώστε ισχύει ότι du d (Su) + 1 ή pu Su ή και τα δυο Τότε το Su πρέπει να έχει ύψος n 1 αλλιώς ο κόµβος u ϑα γινόταν ενεργός λόγο του κανόνα Ας ϑεωρήσουµε τώρα όλους τους γειτονικοί κόµβοι του u0 (που έχει ύψος 0) Αυτοί οι κόµβοι έχουν ύψος 1

16 Απόδειξη Ορθότητας (3) Στην συνέχεια ϑεωρούµε όλους τους γειτονικούς κόµβους αυτών των κόµβων Αυτοί οι κόµβοι έχουν ύψος 2 Συνεχίζουµε κατά αυτόν τον τρόπο έως ότου εξαντλήσουµε όλους τους κόµβους του δικτύου Στην χειρότερη περίπτωση ένας κόµβος v µπορεί να έχει ύψος n 1... το γράφηµα είναι γραµµή / αλυσίδα µήκους n 1 Ακόµα και τότε το Su είναι αυστηρά µικρότερο του n 1 Εποµένως όταν κανένας κόµβος δεν είναι ενεργός, δεν µπορούµε να εντοπίσουµε έναν κόµβο u που να ικανοποιεί την αρχική µας υπόθεση Με αυτόν τον τρόπο δείχνουµε ότι το Λήµµα 3 ισχύει Απόδειξη Ορθότητας (4) Λήµµα 4 Ανεξαρτήτως της αρχικής κατάστασης και ανεξαρτήτως της σειράς ενεργοποίησης των κόµβων, το σύστηµα είναι εγγυηµένο ότι ϑα καταλήξει σε µια ευσταθή κατάσταση σε πεπερασµένο αριθµό ϐηµάτων Εφόσον το πλήθος των καταστάσεων είναι πεπερασµένο, αρκεί να δείξουµε ότι ξεκινώντας από οποιαδήποτε αρχική ασταθή κατάσταση, το σύστηµα δεν µπορεί να επανέρθει στην ίδια αρχική κατάσταση Αποδεικνύουµε το λήµµα µε εις άτοπον απαγωγή Εστω η x-οστή και y-οστή κατάσταση είναι πανοµοιότυπες και x y Η x-οστή κατάσταση είναι η κατάσταση που ϐρίσκεται το σύστηµα µετά από x ενέργειες, ξεκινώντας από την αρχική ασταθή κατάσταση Απόδειξη Ορθότητας (5) Επίσης υποθέτουµε ότι στην x-οστή κατάσταση ο κόµβος u (µπορεί και άλλοι κόµβοι) είναι ενεργός Αρα ο u ϑα εκτελέσει την ενέργεια x + 1 Εξετάζουµε αναλυτικά τις πιθανές ενέργειες που µπορεί να εκτελέσει ο u 1. Ο u µειώνει το ύψος κατά k 1 2. Ο u αυξάνει το ύψος κατά k 1 Και στις δύο περιπτώσεις επιχειρηµατολογούµε µε αντίστοιχο τρόπο Ας εξετάσουµε την 1η περίπτωση Πρέπει να υπάρχει κάποιος κόµβος v γειτονικός στον u µε ύψος du k 1 που οδήγησε τον u να κάνει µια ενέργεια Λειτουργούµε επαγωγικά αν υπάρχει ένας κόµβος i µε ύψος di που οδήγησε κάποιον κόµβο να κάνει µια ενέργεια Απόδειξη Ορθότητας (6) Τότε πρέπει να υπάρχει ένας κόµβος j µε ύψος di 1 ή µικρότερο που οδήγησε τον i να κάνει µια ενέργεια Αρα πρέπει να υπάρχει και κάποιος άλλος κόµβος h γειτονικός του i που άλλαξε το ύψος του σε di + 1 Εστω ότι αυτή είναι η ενέργεια m όπου x < m < y Υπάρχουν δύο υπο-περιπτώσεις 1. Ο i ενεργοποιήθηκε, µεταξύ της κατάστασης x και m 2. Ο i δεν ενεργοποιήθηκε µεταξύ της κατάστασης x και m Στην πρώτη περίπτωση δείχνουµε ότι πρέπει να υπάρχει κάποιος κόµβος j στην δεύτερη περίπτωση ότι υπάρχει κάποιος κόµβος h Ακολουθώντας τα ϐήµατα της επαγωγής καταλήγουµε σε µια κατάσταση όπου κάποιος κόµβος που ενεργοποιεί έναν γειτονικό κόµβο, έχει αρνητικό ύψος...

17 Τεχνική Power-supply Αυτοσταθεροποιούµενη Εκλογή Αρχηγού (1) Η τεχνική power-supply είναι ιδιαίτερα απλή και αρκετά γενική για να αναπτύξουµε αυτο-σταθεροποιούµενους αλγόριθµους Μπορούµε να σχεδιάσουµε αλγόριθµους για διαφορετικά προβλήµατα Εκλογή αρχηγού Αναζήτηση κατά εύρος Αναζήτηση κατά ϐάθος Οι αλγόριθµοι που ϐασίζονται στην τεχνική power-supply σταθεροποιούνται σε O(n) ϐήµατα εν απαιτείτε κάποια γνώση στην τοπολογία του δικτύου ή για το πλήθος των διεργασιών Ο αλγόριθµος που µελετήσαµε για το πρόβληµα της Αναζήτησης κατά Εύρος, µπορεί να περιγραφεί µε την τεχνική power-supply Ορίστηκε από τους Afek και Bremler το 1997 (SODA) Εφαρµόζουµε την τεχνική power-supply για να αναπτύξουµε έναν αυτο-σταθεροποιούµενο αλγόριθµο για την εκλογή αρχηγού εν απαιτεί καµία γνώση για το µέγεθος του δικτύου, την διάµετρο... Ο αλγόριθµος σταθεροποιείται σε O(n) ϐήµατα Ο αλγόριθµος εκλέγει ως αρχηγό την διεργασία µε την µικρότερη ταυτότητα Πως µπορούµε να ξεχωρίσουµε την διεργασία µε την µικρότερη ταυτότητα από άλλες διεργασίες που δηλώνουν ψεύτικες ταυτότητες ; Οι ψεύτικες ταυτότητες που µπορεί να προκύψουν απορρίπτονται από το σύστηµα χρησιµοποιώντας δύο απλούς κανόνες Κάθε κόµβος υπολογίζει την απόσταση του από τον κόµβο που ϑεωρεί αρχηγό Αυτοσταθεροποιούµενη Εκλογή Αρχηγού (2) Περιοδικά οι κόµβοι ελέγχουν την απόσταση τους µε τους γονείς τους ο γονέας είναι ο κόµβος µέσω του οποίου έµαθε για τον κόµβο που ϑεωρεί αρχηγό Οµως αυτό δεν αρκεί, καθότι µπορεί να κυκλοφορεί µια ψεύτικη ταυτότητα σε κάποιο κύκλο που έχει σχηµατιστεί, αυξάνοντας συνεχώς την απόσταση Υπάρχουν πολλοί τρόποι να αποφύγεις αυτό το πρόβληµα, π.χ. ορίζοντας ένα δένδρο, χρησιµοποιώντας κάποιο αλγόριθµο επανεκκίνησης κλπ. Η τεχνική power-supply έχει το πλεονέκτηµα ότι δουλεύει σε οποιοδήποτε δίκτυο, χωρία καµία γνώση του δικτύου Η ενέργεια είναι µια ϐασική ιδέα ένας νόµιµος αρχηγός γίνεται πηγή ενέργειας που διοχετεύει ενέργεια στο δίκτυο Οι ψεύτικοι αρχηγοί δεν µπορούν να παράγουν ενέργεια Αυτοσταθεροποιούµενη Εκλογή Αρχηγού (3) Για να ϑεωρήσει κάποιος κόµβος έναν κόµβο ως αρχηγό, πρέπει να καταναλώσει ένα σταθερό ποσό ενέργειας Εποµένως οι ψεύτικες ταυτότητες που δεν συνδέονται µε κάποια πηγή ενέργειας, τελικά ϑα εξαφανιστούν Η ϐασική ιδέα λειτουργεί ως εξής: Ενας κόµβος u ϑεωρεί ως αρχηγό έναν νέο κόµβο umin αν λάβει ένα µήνυµα µε την ταυτότητα umin για δύο διαδοχικούς γύρους από τον ίδιο γείτονα και δεν λάβει κανένα άλλο µήνυµα µε µικρότερη ταυτότητα από κάποιον άλλο γείτονα Παρόλα αυτά, όταν ο u ϑεωρεί τον κόµβο v ως αρχηγό, δεν λάβει ένα µήνυµα µε την ταυτότητα v σε κάποιον γύρο, τότε αυτόµατα ο u αυτοανακηρύσσεται αρχηγός Για να εφαρµόσουµε την ιδέα αυτή σε ασύγχρονα κατανεµηµένα συστήµατα πρέπει να λάβουµε υπόψιν τις καθυστερήσεις που µπορεί να υπάρχουν κατά την παράδοση µηνυµάτων

18 Αυτοσταθεροποιούµενη Εκλογή Αρχηγού (4) Κάθε µήνυµα περιέχει την ταυτότητα της διεργασίας που αυτοανακηρύχθηκε αρχηγός και την απόσταση d από την διεργασία Κανόνας 1: Για να παραµείνει µια διεργασία υπό την ηγεσία µιας διεργασίας v µε απόσταση dv > 0 ϑα πρέπει να λαµβάνει σε κάθε γύρο ένα µήνυµα µε ταυτότητα v και απόσταση d 1 Ο κανόνας εξασφαλίζει ότι µια διεργασία που είναι σε κάποιο γύρο υπό την ηγεσία µιας διεργασίας µε ψεύτικη ταυτότητα και µε την µικρότερη απόσταση (που πρέπει να είναι αναγκαστικά µεγαλύτερη του µηδενός) ϑα εγκαταλείψει τον ψεύτικο αρχηγό τον επόµενο γύρο Εποµένως εξασφαλίζει ότι η παράµετρος της ελάχιστη απόστασης που σχετίζεται µε την ψεύτικη ταυτότητα ϑα αυξάνει κατά 1 σε κάθε γύρο Αυτοσταθεροποιούµενη Εκλογή Αρχηγού (5) Κανόνας 2: Για να ϑεωρήσει για πρώτη ϕορά την διεργασία v ως αρχηγό µε απόσταση dv, ϑα πρέπει το µήνυµα < v, dv 1 > να έχει την µικρότερη ταυτότητα και να λάβει το ίδιο µήνυµα για δύο συνεχόµενους γύρους Εξασφαλίζει ότι η παράµετρος της µέγιστης απόστασης που σχετίζεται µε µια ψεύτικη ταυτότητα δεν µπορεί να αυξηθεί κατά ένα κάθε γύρο αλλά κάθε δύο γύρους εφόσον καταναλώνει την ενέργεια του αρχηγού και οι ψεύτικοι αρχηγοί δεν παράγουν ενέργεια Αν σε µια αρχικά ασταθή κατάσταση το σύνολο των διαφορετικών αποστάσεων που συνδέονται µε µια ψεύτικη ταυτότητα είναι d τότε το πολύ σε 2 d γύρους, οι ψεύτικες ταυτότητες ϑα εξαφανιστούν από το δίκτυο (όλη η ενέργεια ϑα έχει καταναλωθεί) Οταν καταναλωθούν όλες οι ψεύτικες ταυτότητες, η διεργασία µε την µικρότερη ταυτότητα ϑα ανακηρυχθεί αρχηγός Ψευδοκώδικας Αλγόριθµου Ορθότητα Αλγορίθµου (1) Για να αποδείξουµε την ορθότητα ϑεωρούµε µια εκτέλεση που ξεκινά από µια ακαθόριστη κατάσταση και δεν προκύπτουν περαιτέρω σφάλµατα ή αλλαγές στην τοπολογία Προφανώς, δύο γύρους µετά την αρχική κατάσταση, οι µεταβλητές (new, prev και leader) όλων των κόµβων διατηρούν τις τιµές που είχαν σταλεί από τους γείτονες Αρχικά δείχνουµε ότι σε O(n) γύρους, όλες οι ψεύτικες ταυτότητες εξαφανίζονται (καταναλώνονται) Στην συνέχεια, δείχνουµε ότι µετά από O(D) γύρους από την εξαφάνιση των ψεύτικων ταυτοτήτων, η διεργασία µε την µικρότερη ταυτότητα στο δίκτυο ανακηρύσσεται αρχηγός από όλους τους κόµβους

19 Ορθότητα Αλγορίθµου (2) Θεώρηµα 1 Οι ψεύτικες ταυτότητες τελικά εξαφανίζονται Εστω fid µια ψεύτικη ταυτότητα που κυκλοφορεί στο δίκτυο Το σύνολο των αποστάσεων από την ψεύτικης ταυτότητας fid σε κάποια κατάσταση του δικτύου είναι: heights(fid) = {leaderu.dist u G, leaderu.id = fid} Ισχυριζόµαστε ότι για κάθε ψεύτικη ταυτότητα fid το µέγεθος της heights(fid) µειώνεται σε κάθε γύρο Το Λήµµα 1 αποδεικνύει ότι το µέγεθος της heights(fid) δεν µπορεί να αυξηθεί Το Λήµµα 2 αποδεικνύει ότι το µέγεθος της heights(fid) µειώνετε κάθε δύο γύρους Ορθότητα Αλγορίθµου (3) Εστω heights r (fid) το σύνολο heights(fid) τον γύρο r Λήµµα 1 heights r 1 (fid) heights r (fid) Η απόδειξη ϐασίζεται στον ψευδοκώδικα, εφόσον για κάθε d heights r (fid) πρέπει να υπάρχει ένα d 1 heights r 1 (fid) Αλλιώς καµία διεργασία δεν ϑα έχει απόσταση d τον τρέχοντα γύρο r Συγκεκριµένα, η διεργασία u που ϑεωρεί ως αρχηγό την fid σε απόσταση d ϑα πρέπει να λάβει στην αρχή του γύρου r το µήνυµα [fid, d 1] Αρα πρέπει να υπάρχει µια γειτονική διεργασία v για την οποία, τον γύρο r 1, leaderv := [fid, d 1] Ορθότητα Αλγορίθµου (4) Ορθότητα Αλγορίθµου (5) Λήµµα 2 heights r 2 (fid) > heights r (fid) Σύµφωνα µε το Λήµµα 1, για κάθε d heights r (fid) πρέπει να υπάρχει ένα d 2 heights r 2 (fid) Πρέπει λοιπόν να δείξουµε ότι υπάρχει τουλάχιστον µία τιµή dm στο heights r 2 (fid) για την οποία δεν υπάρχει η τιµή dm + 2 στο heights r (fid) Εστω dm = max{heights r 2 (fid)} Θεωρούµε ότι υπάρχει ένα dm + 2 heights r (fid) και ότι η διεργασίας u Θεωρούµε ότι υπάρχει µια διεργασία u όπου leaderu = [fid, dm + 2] Αρα, στον γύρο r 2, leaderu [fid, dm + 2] Εποµένως, η διεργασία u έλαβε ένα µήνυµα [fid, dm + 1] στο γύρους r 1 και r Αρα πρέπει να υπάρχει µια γειτονική διεργασία v τέτοια ώστε leaderv = [fid, dm + 1] στον γύρο r 2 Οµως αυτό είναι άτοπο εφόσον ϑεωρήσαµε ότι dm = max{heights r 2 (fid)} Με αυτόν τον τρόπο αποδεικνύουµε το 2ο λήµµα Σύµφωνα µε τα 2 λήµµατα, προκύπτει ότι το µέγεθος του συνόλου heights(fid) µειώνεται κατά τουλάχιστον 1 κάθε δύο γύρους. Με αυτόν τον τρόπο αποδεικνύουµε το ϑεώρηµα Συµπέρασµα Σε O(n) γύρους µετά το τελευταίο λάθος ή αλλαγή στην τοπολογία, όλες οι ψεύτικες ταυτότητες εξαφανίζονται

20 Ορθότητα Αλγορίθµου (6) Θεώρηµα 2 Σε O(D) γύρους µετά την εξαφάνιση όλων των ψεύτικων ταυτοτήτων, η διεργασία µε την µικρότερη ταυτότητα εκλέγεται αρχηγός από όλες τις διεργασίες του δικτύου Εστω IDu η µικρότερη ταυτότητα στο δίκτυο Η απόδειξη ϐασίζεται σε µια επαγωγή στον αριθµό των γύρων µετά την εξαφάνιση όλων των ψεύτικων ταυτοτήτων Προφανώς, leaderu.id = IDu τον γύρο r0 Τον γύρο r0 + 2 κάθε διεργασία v µε απόσταση 1 από την u ϑεωρεί την u αρχηγό σε απόσταση 1 Τον γύρο r0 + 2D ο αρχηγός όλων των διεργασιών είναι η IDu όπου D είναι η διάµετρος του δικτύου Αρα η χρονική πολυπλοκότητα είναι O(n) Γενικός Αλγόριθµος Αυτοσταθεροποίησης Σε αντίθεση µε τον προηγούµενο αλγόριθµο, µπορούµε να ϐασιστούµε στην ιδέα της τεχνικής power-supply για να σχεδιάσουµε ένα γενικό αλγόριθµο Ο γενικός αλγόριθµος µπορεί να κατασκευάσει δέντρα αναζήτησης κατά ϐάθος αντί για το δέντρο αναζήτησης κατά εύρος που σχηµατίζεται Στην ουσία αλλάζουµε την µετρική της απόστασης µε µια άλλη µετρική Η διαφορετική µετρική ϐασίζεται στην εργασία των Z.Collin και S.Dolev, Information Processing Letters, 49: , 1994 Η νέα µετρική ϐασίζεται στον ακόλουθο γενικό µηχανισµό Κάθε διεργασία που είναι υποψήφια αρχηγός έχει µια µοναδική τιµή που ονοµάζεται το zero της διεργασίας Η τιµή του zero είναι σταθερή και ορίζεται από το hardware Εχει σχέση µε την µοναδική ταυτότητα της διεργασίας Περιγραφή Μηχανισµού Στον γενικό αλγόριθµο, κάθε υποψήφια διεργασία προσπαθεί να πείσει όλες τις άλλες διεργασίες να επιλέξουν την δικιά της τιµή zero και εποµένως να δεχθούν την ηγεσία της Για να γίνει αυτό, κάθε υποψήφια προτείνει στις γειτονικές διεργασία να είναι ο γονέας της Στέλνει µια ειδική τιµή που υπολογίζεται από την συνάρτηση next στην τιµή zero Σύµφωνα µε τις προτάσεις που δέχεται η διεργασία v, διαλέγει µία µόνο διεργασία ως αρχηγό της Στην συνέχεια προσπαθεί να πείσει τις γειτονικές διεργασίες της να δεχθούν την ίδια διεργασία ως αρχηγό Στέλνει µια ειδική τιµή που υπολογίζεται και πάλι από την συνάρτηση next στην τιµή που έχει η v Η διαδικασία αυτή συνεχίζεται έως ότου µια διεργασία καταφέρει να πείσει όλο το δίκτυο Συζήτηση Για να εφαρµοστεί σωστά η τεχνική power-supply και να µπορέσουµε να παράγουµε έναν αυτο-σταθεροποιούµενο αλγόριθµο ϐασισµένη στον γενικό αλγόριθµο, πρέπει 1. Να ορίσουµε την συνάρτηση next 2. Να ορίσουµε τα κριτήρια επιλογής 3. Οι τιµές του zero να διασφαλίζουν ότι Καµία ακολουθία νόµιµων επιλογών να µην δηµιουργεί κύκλο στο δίκτυο Αν δεν προκύψουν σφάλµατα τότε ακριβώς µια υποψήφια εκλέγεται Αν δεν προκύψουν σφάλµατα τότε το δίκτυο ϕτάνει σε µια κατάσταση όπου καµία διεργασία δεν αλλάζει την επιλογή της ιαφορετικές επιλογές συναρτήσεων, κριτηρίων επιλογής και τιµών της zero κατασκευάζουν διαφορετικά δένδρα

21 Σύνοψη 10 ης ιάλεξης Σύνοψη Μαθήµατος Προηγούµενο Μάθηµα Προηγούµενο Μάθηµα Καθολικές Καταστάσεις & Κατασκευή Αποτίµηση Καθολικού Κατηγορήµατος Ασύγχρονα Κατανεµηµένα Συστήµατα Σταθεροποίηση Σταθεροποιούµενοι Κατανεµηµένοι Αλγόριθµοι Τεχνική Power Supply Σύνοψη Μαθήµατος Σύνοψη Μαθήµατος 2η Ασκηση Επόµενη ιάλεξη Ασύγχρονα Κατανεµηµένα Συστήµατα Ανοχή σε Λάθη Σταθεροποίηση / Αυτο-σταθεροποιούµενοι αλγόριθµοι Βασικές Εννοιες - ορισµοί Ιδιότητες Αυτο-σταθεροποιούµενοι αλγόριθµοι Αλγόριθµος Dijkstra -- Αµοιβαίος Αποκλεισµός Αλγόριθµος StabBFS -- Αναζήτηση κατά Εύρος Τεχνική Power-supply Αλγόριθµος Εκλογής Αρχηγού Βιβλιογραφία 2η Ασκηση Τόµος ΙΙ από τις Πανεπιστηµιακές Σηµειώσεις Θεµελιώδη Ζητήµατα Κατανεµηµένων Συστηµάτων (Π.Σπυράκης, Β.Ταµπακάς): 1. Κεφάλαιο 4: Κατανεµηµένα Συστήµατα µε Ανοχή σε Σφάλµατα Βιβλίο Introduction to Distributed Algorithms" (G.Tel) 1. Κεφάλαιο 13: Fault Tolerance in Distributed Systems 2. Κεφάλαιο 17: Stabilization Ατοµική Παραδίδεται µε την χρήση του εργαλείου submit-ds που είναι εγκατεστηµένο στο σύστηµα zenon.ceid.upatras.gr Ηµεροµηνία παράδοσης: ευτέρα 21 Ιανουαρίου 2008, ώρα 23:59 Για κάθε µέρα καθυστέρηση µείωση 10% του ϐαθµού 15% του τελικού ϐαθµού (προ bonus) 3 προβλήµατα Ασύγχρονα Κατανεµηµένα Συστήµατα

22 2η Ασκηση 1ο Πρόβληµα 2η Ασκηση 2ο Πρόβληµα 1 o Πρόβληµα Θεωρείστε ένα ασύγχρονο κατανεµηµένο σύστηµα µε n διεργασίες συνδεδεµένες µέσω ενός γενικού, µη-κατευθυνόµενου δικτύου µε m κανάλια επικοινωνίας, όπου κάθε διεργασία έχει µια µοναδική ταυτότητα αλλά δεν γνωρίζει το σύνολο των διεργασιών, ούτε την τοπολογία του δικτύου. Οι διεργασίες διατηρούν µια µεταβλητή parent που είτε έχει την τιµή της ταυτότητας µιας γειτονικής διεργασίας, είτε είναι null. Σχεδιάστε έναν κατανεµηµένο αλγόριθµο που να ελέγχει αν οι µεταβλητές parent όλων των διεργασιών σχηµατίζουν ένα επικαλυπτικό δέντρο του δικτύου µε ϱίζα την u0. Οι τιµές των µεταβλητών parent δεν µεταβάλλονται κατά την εκτέλεση του αλγορίθµου. Περιγράψτε τον αλγόριθµό σας, αναλύστε την ορθότητα του αλγόριθµου, την χρονική πολυπλοκότητα και πολυπλοκότητα µηνυµάτων. Αποδείξτε τους ισχυρισµούς σας. 2 o Πρόβληµα Θεωρείστε ένα ασύγχρονο κατανεµηµένο σύστηµα µε n διεργασίες συνδεδεµένες µέσω ενός γενικού, µη-κατευθυνόµενου δικτύου µε m κανάλια επικοινωνίας, όπου κάθε διεργασία έχει µια µοναδική ταυτότητα αλλά δεν γνωρίζει το σύνολο των διεργασιών, ούτε την τοπολογία του δικτύου. Σχεδιάστε έναν κατανεµηµένο αλγόριθµο που επιτρέπει σε µια διεργασία u0 να εντοπίσει την διεργασία µε τον µέγιστο αριθµό γειτόνων (αν είναι περισσότερες από µια, εντοπίζει αυτή µε την µικρότερη ταυτότητα). Περιγράψτε τον αλγόριθµό σας, αναλύστε την ορθότητα του αλγόριθµου, την χρονική πολυπλοκότητα και πολυπλοκότητα µηνυµάτων. Αποδείξτε τους ισχυρισµούς σας. 2η Ασκηση 3ο Πρόβληµα Επόµενη ιάλεξη 3 o Πρόβληµα Θεωρείστε ένα ασύγχρονο κατανεµηµένο σύστηµα µε n διεργασίες συνδεδεµένες µέσω ενός πλήρως συνδεδεµένου δικτύου, όπου κάθε διεργασία έχει µια µοναδική ταυτότητα, γνωρίζει το σύνολο των διεργασιών και την τοπολογία του δικτύου. Τα κανάλια του δικτύου είναι αξιόπιστα και FIFO. Σχεδιάστε έναν κατανεµηµένο αλγόριθµο που να λύνει το πρόβληµα του k αµοιβαίου αποκλεισµού, δηλαδή το πολύ k από τις διεργασίες µπορούν να αποκτήσουν πρόσβαση στον κοινό πόρο σε ένα ορισµένο χρονικό διάστηµα (συνθήκη της ασφάλειας). Ο αλγόριθµος πρέπει να ικανοποιεί την συνθήκη της διάταξης: η άδεια εισόδου στο κρίσιµο τµήµα πρέπει να παραχωρηθεί σύµφωνα µε τη σχέση συνέβη-πριν: οι αιτήσεις των διεργασιών εξυπηρετούνται µε τη σειρά που έχουν εκδοθεί. Περιγράψτε τον αλγόριθµό σας, αναλύστε την ορθότητα του αλγόριθµου, την χρονική πολυπλοκότητα και πολυπλοκότητα µηνυµάτων. Αποδείξτε τους ισχυρισµούς σας. Τρίτη 18 εκεµβρίου 3ο Εργαστήριο Πέµπτη 10 Ιανουαρίου: Φροντιστήριο για 4ο Εργαστήριο Τρίτη 15 / Πέµπτη 18, Ιανουαρίου 4ο Εργαστήριο ευτέρα 14 / Πέµπτη 17, Ιανουαρίου Επανάληψη Καλές διακοπες!