Αδρανειακά συστήµατα αναφοράς, µετασχηµατισµός Γαλιλαίου. Περιστρεφόµενα συστήµατα αναφοράς, δύναµη Coriolis
|
|
- Φιλύρη Κουταλιανός
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 3 Αδρανειακά συστήµατα αναφοράς, µετασχηµατισµός Γαλιλαίου. Περιστρεφόµενα συστήµατα αναφοράς, δύναµη Coriolis 3.1 Αδρανειακά και επιταχυνόµενα συστήµατα αναφοράς Οι δύο πρώτοι νόµοι του Νεύτνα ισχύουν µόνο όταν τα ϕαινόµενα παρατηρούνται µέσα σε µη επιταχυνόµενα συστήµατα αναφοράς. Τότε ένα σώµα µένει ακίνητο εάν δεν ασκείται καµία δύναµη. Αν ϑέλετε να µείνετε ακίνητοι µέσα σε ένα επιταχυνόµενο σύστηµα αναφοράς, π.χ. σε µια ϱόδα του λούνα-πάρκ ή σ ένα λεφορείο, τότε πρέπει να υποστείτε µια δύναµη, από την πλάτη του καθίσµατος στο λεφορείο για παράδειγµα. Ο ϑεµελιώδης νόµος της κλασικής µηχανικής είναι F = ma ή F = m dv Ως προς ποιο σύστηµα αναφοράς µετράµε τα µεγέθη a, v, r; ή F = m d2 r 2 1. Εάν το σύστηµα αναφοράς είναι µη επιταχυνόµενο, τότε αυτή είναι η σχέση ορισµού της δύναµης F (πραγµατικές δυνάµεις) 2. Αντίστροφα, εάν γνρίζουµε την πραγµατική (αληθινή) δύναµη F και σε κάποιο σύστηµα αναφοράς ισχύει µε ακρίβεια ότι F = ma, τότε αυτό είναι ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς. Η Γη είναι ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς ; Εξαρτάται από το ϐαθµό προσέγγισης και ακρίβειας του πειράµατος. Η Γη περιστρέφεται γύρ από τον άξονά της σε 24 ώρες, άρα όλα τα σηµεία της Γης έχουν µια γνιακή ταχύτητα. Οταν µετράµε λοιπόν την επιτάχυνση της ϐαρύτητας, δεν ϐρίσκουµε σε όλους τους τόπους την ίδια τιµή. Αυτό είναι το ϕαίνοµενο ϐάρος και µεταβάλλεται από τον Ισηµερινό ς τους πόλους κατά 0, 034 m/s 2, ενώ η συνολική µεταβολή είναι 0, 052 m/s 2 και το υπόλοιπο οφείλεται στο ελλειπτικό σχήµα της Γης. Μέτρηση του g στον Ισηµερινό : Βόρειος Πόλος g π = 9, 8324 m/s 2 Ισηµερινός g Ι = 9, 7810 m/s 2
2 54 Αδρανειακά και περιστρεφόµενα συστήµατα αναφοράς Ενας απλός τρόπος µέτρησης του g είναι ο ε- ξής. Ενα σώµα ϐρίσκεται σε ισορροπία κρεµασµένο από ένα ελατήριο. Για τον παρατηρητή στο κέντρο της Γης έχουµε B + F ελ = ma k mg + k = m 2 R k = m ( g 2 R ) R B F ελ Η δύναµη του ελατηρίου F ελ = k είναι αυτό που εµείς ονοµάζουµε Βάρος (ϕαινόµενο ϐά- ϱος), άρα µας δίνει τη µετρούµενη σε αυτό τον τόπο επιτάχυνση της ϐαρύτητας Σχήµα 3.1 g = GM R 2 g Ισηµερινού = g 2 R Μέτρηση του g στον πόλο : g πολ = g Ποιο σύστηµα αναφοράς είναι πρακτικά αδρανειακό ; Το σύστηµα τν Απλανών Αστέρν (χρίς απόδειξη). Αστέρια µε επιτάχυνση πειραµατικά µηδέν, επιτάχυνση < 10 6 m/sec 2. Η κεντροµόλος επιτάχυνση ενός σηµείου της Γης ς προς το κέντρο της είναι a κ, Γ 0, 034 m/s 2 ενώ η κεντροµόλος επιτάχυνση της Γης ς προς τον Ηλιο είναι 4, m/s 2. Το ϕαινόµενο Doppler δίνει την ταχύτητα του Ηλιου ς προς το κέντρου του Γαλαξία µας v ( m/s R ) m τελικά η επιτάχυνση του Ηλιου ς προς το κέντρου του Γαλαξία µας (µη ανιχνεύσιµη και αµελητέα) είναι a κ, Η m/s Απόλυτη και σχετική επιτάχυνση Μπορούµε λοιπόν να ϐρούµε ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς µέσα στο οποίο ισχύει F = ma µε µεγάλη ακρίβεια. Οι δυνάµεις (ϐαρυτικές, ηλεκτρικές) που έχουµε επικαλεστεί για να εξηγήσουµε την κίνηση τν άστρν και τν ηλεκτρονίν µείνονται συνεχώς (και ανάλογα µε το τετράγνο της απόστασης) όσο το σώµα αποµακρύνεται από τα γειτονικά του σώµατα. Εάν διαλέξουµε ένα µη αδρανειακό σύστηµα αναφοράς, ϕαίνονται να αναπτύσσονται δυνάµεις που δεν έχουν αυτην την ιδιότητα. Εµφανίζονται λοιπόν υποθετικές δυνάµεις που υπάρχουν µόνο και µόνο επειδή το σύστηµα αναφοράς είναι επιταχυνόµενο. Αδρανειακό σύστηµα αναφοράς: F = ma I όπου a I η επιτάχυνση που µετρά ένας παρατηρητής σε αδρανειακό (inertial) σύστηµα αναφοράς. Επιταχυνόµενο σύστηµα αναφοράς µε επιτάχυνση a 0 : Το σώµα που κινείται έχει επιτάχυνση a ς προς το δεύτερο σύστηµα, εποµένς a I = a + a 0 F = m (a + a 0 ) ma = F ma 0
3 3.2 Απόλυτη και σχετική επιτάχυνση 55 Εποµένς, έχουµε την εµφάνιση υποθετικής δύναµης (δύναµη αδράνειας) και εάν a = 0 τότε F 0 = ma 0 F + F 0 = 0 το οποίο δηλώνει ισορροπία µέσα στο επιταχυνόµενο σύστηµα αναφοράς. Παράδειγµα Εκκρεµές κρέµεται κατακόρυφα σε όχηµα που ηρεµεί. Οταν το όχηµα κινείται σε οριζόντιο επίπεδο µε επιτάχυνση a 0 = 1 m/s 2, µε ποια γνία ς προς την κατακόρυφο κρέµεται το εκκρεµές ; Πόση είναι η υποθετική δύναµη αδράνειας ; Επιτάχυνση της ϐαρύτητας g = 9, 81m/sec 2. Λύση: Για τον «ακίνητο» παρατηρητή έχουµε T + B = ma 0 Επίσης από κατακόρυφη ισορροπία έχουµε T cos θ = B = mg και από οριζόντια κίνηση B T θ a 0 T sin θ = ma 0 Για τον κινούµενο µε επιτάχυνση a 0 παρατηρητή tan θ = a 0 g Σχήµα 3.2 T + B + F 0 = 0, F 0 = ma 0 ˆ Τι είναι η F 0 ; Πού οφείλεται ; Πουθενά! Παράδειγµα - Πειράµατα µέσα σε ανελκυστήρα Ως προς τον παρατηρητή 1 έχουµε z F + B = ma 1 F = k lẑ B = mgẑ = a 0 ẑ a 0 Το σώµα ϐρίσκεται ακίνητο µέσα στον ανελκυστήρα k l mg = ma 0 k l = m(a 0 + g) 1 a 0 F B 2 Εάν a 0 = g τότε έχουµε l = 0, δηλαδή έχουµε ελεύθερη πτώση. Ως προς τον παρατηρητή 2 έχουµε F + B + F 0 = 0 F + B ϕαινόµενο = 0 Σχήµα 3.3 y F 0 = ma 0, B ϕαινόµενο = B + F 0 Παράδειγµα - Σύστηµα που περιστρέφεται (µε σταθερό) Ενα ϐιβλίο ϐρίσκεται επάν σε ένα τραπέζι. Θέλουµε το ϐιβλίο να παραµένει ακίνητο ς προς το τραπέζι, όταν αυτό περιστρέφεται µε = 20 στροφές/λεπτό. Το ϐιβλίο απέχει απόσταση R = 1, 5 m από τον άξονα περιστροφής, ο οποίος είναι κατακόρυφος. (α) Βρείτε τον συντελεστή τριβής (ϐ) Σχεδιάστε τη δύναµη τριβής και τη ϕυγόκεντρο δύναµη, ς συνάρτηση της απόστασης r.
4 56 Αδρανειακά και περιστρεφόµενα συστήµατα αναφοράς Λύση: T N B Σχήµα 3.4 Εχουµε N + B = 0 T = ma k T = T ˆr T ma = µn = µb µmg = m 2 R µg = 2 R Για να παραµείνει ακίνητο το σώµα επάν στον περιστρεφόµενο δίσκο, χρειάζεται µια δύναµη. Το σώµα έχει την τάση να κινηθεί εφαπτοµενικώς, δηλαδή κατά µήκος της ταχύτητας, και έτσι αποµακρύνεται από το κέντρο της τροχιάς. Στιγµιαία η κίνηση είναι ακτινική για κάποιον που περιστρέφεται µε το επίπεδο, άρα η τριβή είναι ακτινική. Η τάση του σώµατος να κινηθεί «ακτινικά», δηλαδή προς τα έξ, αποδίδεται σε µια δύναµη (υποθετική δύναµη όπς ϐλέπουµε), τη ϕυγόκεντρο δύναµη F 0 = m 2 r ˆr, F 0 = ma k. F F φυγόκεντρος µmg T R r Σχήµα 3.5
5 3.2 Απόλυτη και σχετική επιτάχυνση 57 υ=r Σχήµα 3.6: Για ένα µικρό χρονικό διάστηµα t, το τόξο και η ευθύγραµµη κίνηση ταυτίζονται. Παράδειγµα - Περιστρεφόµενο σύστηµα αναφοράς Για τον αδρανειακό παρατηρητή έχουµε a k = m v2 R ˆR = m 2 R ˆR = m 2 R B + F = ma k F cos θ = B F cos θ = mg F sin θ = m 2 R mg sin θ cos θ = m2 R tan θ = 2 R/g θ F θ R B Σχήµα 3.7 Εάν η γνία περιστροφής είναι θ, τότε η περίοδος περιστροφής είναι 2 = g tan θ R, 4π 2 T 2 = g tan θ R, T = 4π 2 R g tan θ Για το µη αδρανειακό παρατηρητή ϑα έχουµε F cos θ = mg F sin θ = F ϕυγόκεντρη
6 58 Αδρανειακά και περιστρεφόµενα συστήµατα αναφοράς και F + B + F φ = 0 F φ = m 2 R ˆR F φ = ma k προς τα έξ Πρόβληµα θ N F k T a κε B θ Σχήµα 3.8 Ενα κουτί µάζας M είναι ακίνητο σε επιταχυνόµενο όχηµα, σχήµατος κεκλιµένου επιπέδου. Εάν ο συντελεστής τριβής µεταξύ κουτιού και κεκλιµένου επιπέδου είναι µ, (α) να ϐρείτε τη µέγιστη επιτάχυνση a κε για να µένει ακίνητο το κουτί στο κινούµενο κεκλιµένο επίπεδο. (ϐ) εάν η επιτάχυνση του κεκλιµένου επιπέδου γίνει µεγαλύτερη, µε πόση επιτάχυνση κινείται το κουτί ς προς το κεκλιµένο επίπεδο ; Λύση: (α) Σχεδιάστε την υποθετική δύναµη F k : F k = ma κε F k + N + T + B = 0, T ma = µn (ϐ) F k + N + T + B = ma όπου το a είναι παράλληλο στο κεκλιµένο επίπεδο. T = T ma = µn κάθετα στο κεκλιµένο επίπεδο : παράλληλα στο κεκλιµένο επίπεδο : N = B cos θ + F k sin θ ma = B sin θ + F k cos θ T a = a κε (cos θ µ sin θ) g (sin θ + µ cos θ) Μηχανή του Atwood Ο ανελκυστήρας κινείται προς τα κάτ µε επιτάχυνση a. Εστ m B > m A και a g. Για το µη αδρανειακό παρατηρητή, ο οποίος ϐλέπει επιτάχυνση γ, έχουµε Σώµα Α : T + m A a m A g = m A γ Σώµα Β: T m B a + m B g = m B γ
7 3.3 Απόλυτη και σχετική ταχύτητα 59 γ T γ m A T B A m B α B B Σχήµα 3.9 (m A m B )(a g) = (m A + m B )γ γ = m B m A m B + m A (g a), Για την περίπτση όπου a > g έχουµε για το σώµα Α και το σώµα Β: T + m A g m A a = m A γ T m B g + m B a = m B γ a g (m A m B )g (m A m B )a = (m A + m B )γ γ = (m A m B )(g a) m A + m B = (m B m A )(a g) m B + m A γ m A T B A T BB m B γ α a>g Σχήµα Απόλυτη και σχετική ταχύτητα Σύµφνα µε όλα τα πειράµατα που έχουν γίνει ς τώρα, η απόλυτη ταχύτητα δεν έχει ϕυσικό νόηµα. Θεµελιώδης υπόθεση του Γαλιλαίου «Οι ϐασικοί νόµοι της ϕυσικής είναι ταυτόσηµοι για όλα τα συστήµατα αναφοράς που κινούνται µε οµοιό- µορφη ταχύτητα το ένα ς προς το άλλο.» Παρατηρητής σε εργαστήριο χρίς παράθυρα δεν µπορεί να αποφανθεί εάν κινείται ή είναι ακίνητος (σταθερή ταχύτητα) ς προς το αδρανειακό σύστηµα αναφοράς τν απλανών αστέρν.
8 60 Αδρανειακά και περιστρεφόµενα συστήµατα αναφοράς Εάν λοιπόν δύο παρατηρητές παρακολουθούν κάποιο ϕαινόµενο, και κινούνται µε σχετική ταχύτητα σταθερή, τότε µε τη ϐοήθεια τν νόµν της ϕυσικής µπορούµε να προβλέψουµε τις µετρήσεις του δεύτερου παρατηρητή, εάν ξέρουµε τις µετρήσεις του πρώτου. 3.4 Μετασχηµατισµός Γαλιλαίου Εχουµε δύο αδρανειακά καρτεσιανά συστήµατα συντεταγµένν S και S. Παίρνουµε για απλότητα, y y, z z. Το S κινείται ς προς το S µε v = v ˆ και προφανώς v σταθερή. 1. Εάν έχουµε δύο σειρές ϱολογιών που είναι πανοµοιότυπα, µια σειρά στο S και µία στο S κατά µήκος τν αξόνν και, και συγχρονισµένα µεταξύ τους, δείχνουν όλα την ίδια ώρα για κάθε σύστηµα αναφοράς. Τότε µπορούµε να συγκρίνουµε την ένδειξη τν ϱολογιών του S µε τα ϱολόγια του S, και έχουµε όταν ϐέβαια για παράδειγµα v = 10 4 m/s. t t v m/s = c 2. εάν έχουµε έναν χάρακα µήκους L, όπς τον µετράµε στο σύστηµα S όπου είναι ακίνητος, τότε ορίζοντας σαν µήκος L του χάρακα στο σύστηµα S τη ϑέση τν άκρν του την ίδια χρονική στιγµή, έχουµε L L Εξισώσεις µετασχηµατισµού Γαλιλαίου Εάν t = 0 όταν t = 0 και τα άκρα τν δύο συστηµάτν ταυτίζονται, τότε Άρα για την πρόσθεση τν ταχυτήτν έχουµε t = t, = + vt, y = y, z = z u = d = d = d + v = u + v u y = u y u z = u z u = u + v Ακόµη a = u t, u = u a = a F = ma = ma = F a = u t, t = t Εάν το τονούµενο σύστηµα αναφοράς S κινείται µε επιτάχυνση a 0 και αρχική ταχύτητα v κατά µήκος του άξονα τν, ς προς το αδρανειακό σύστηµα αναφοράς S, τότε t = t, = + vt a 0t 2, y = y, z = z Για τον νόµο του Νεύτνα στο αδρανειακό σύστηµα αναφοράς έχουµε F = m d2 2, Ενώ για το µη αδρανειακό σύστηµα αναφοράς ισχύει και d 2 2 F y = m d2 y 2, F z = m d2 z 2 = d2 2 a 0 m d2 2 = md2 2 ma 0 = F ma 0 m d2 y 2 = y md2 2 = F y, m d2 z 2 = z md2 2 = F z Για τον µη αδρανειακό παρατηρητή εµφανίζεται λοιπόν στις εξισώσεις κίνησης µία πρόσθετη υποθετική δύναµη F 0 = ma 0 ανάλογη της επιτάχυνσης του µη αδρανειακού συστήµατος αναφοράς.
9 3.5 ιατήρηση της ορµής ιατήρηση της ορµής Ο νόµος διατήρησης της ορµής «αποδείχθηκε» χρησιµοποιώντας την αρχή της ράσης-αντίδρασης που απαιτεί άπειρη ταχύτητα αλληλεπίδρασης. Α. Μπορούµε να τον επαναδιατυπώσουµε ή «αποδείξουµε» από την Αρχή του Γαλιλαίου για το αναλλοίτο τν νόµν και τις Αρχές ιατήρησης της ενέργειας και µάζας. Εστ δύο σώµατα 1 και 2, αρχικά ελεύθερα, µε ταχύτητες v 1 και v 2. Μετά την κρούση έχουν ταχύτητες w 1 και w 2. Νόµος διατήρησης της ενέργειας (στο σύστηµα S): 1 2 m 1v m 2v 2 2 = 1 2 m 1w m 2w ε (3.1) Η ενέργεια ε παριστάνει τη µεταβολή στην εστερική ενέργεια τν δύο σµάτν και είναι αναλλοίτη ποσότητα, όπς δείχνει το πείραµα. Νόµος διατήρησης της ενέργειας (στο σύστηµα S ): Μετασχηµατισµός ταχυτήτν (µεταξύ S και S ): 1 2 m 1v m 2v 2 2 = 1 2 m 1w m 2w ε (3.2) v 1 = v + v 1 w 1 = v + w 1 (3.3) v 2 = v + v 2 w 2 = v + w 2 Αντικαθιστούµε την (3.3) στην (3.2), δεχόµαστε την (3.1) και παίρνουµε (m 1 v 1 + m 2 v 2 ) v = (m 1 w 1 + m 2 w 2 ) v για κάθε v. Άρα m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 w 1 + m 2 w 2 (3.4) Αρχή ιατήρησης της ορµής. Εποµένς Αναλλοίτο + Αρχή ιατήρησης της ενέργειας Αρχή ιατήρησης της ορµής Β. Εάν σε ένα σύστηµα έχουµε 1. Αρχή διατήρησης ενέργειας 2. Αρχή διατήρησης ορµής και το αναλλοίτο τν νόµν σύµφνα µε τους µετασχηµατισµούς Γαλιλαίου για δύο αδρανειακά συστήµατα αναφοράς, τότε αποδεικνύεται ότι ισχύουν τα (3.2) και (3.4) σε οποιοδήποτε άλλο αδρανειακό σύστηµα αναφοράς. Πρόβληµα - Εφαρµογή Μέσα σε ένα όχηµα που κινείται σε σιδηροτροχιές, σε ευθεία γραµµή και µε ταχύτητα 5 m/s, έχουµε κρούση µιας µάζας Α, 0, 1 kgr που κινείται µε ταχύτητα 1 m/s στην ίδια κατεύθυνση µε το όχηµα µε µια δεύτερη µάζα Β, 0, 05 kgr που κινείται µε ταχύτητα 5 m/s σε κατεύθυνση αντίθετη του οχήµατος. Οι ταχύτητες τν δύο µαζών αναφέρονται ς προς το όχηµα. Μετά την κρούση η µάζα Β ϐρίσκεται ακίνητη µέσα στο όχηµα. (α) Ποια είναι η ταχύτητα της µάζας Α ; Πόση κινητική ενέργεια χάθηκε ; (ϐ) Τι ϐλέπει ένας παρατηρητής ακίνητος ς προς τις σιδηροτροχιές ;
10 62 Αδρανειακά και περιστρεφόµενα συστήµατα αναφοράς A B S S Σχήµα 3.11 Λύση: (α) Εχουµε v Α = 1 m/s ˆ v }{{} Β = 5 m/s ˆ v Β = 0 }{{} προ µετά ˆv Α =? = 1, 5 m/s ˆ Από διατήρηση ορµής έχουµε m A v A + m B v B = m A v A + m B v B 0, 1 1 0, 05 5 = 0, 1 v A + 0 v A = 0, 1 0, 25 0, 1 0, 15 = 0, 1 (ϐ) Ακίνητος παρατηρητής E κιν (προ) = 1 2 m Av 2 A m Bv 2 B = Kgr m2 /s 2 } {{ } Joule E κιν (µετά) = 1 2 m Av 2 A m Bv 2 B = Joule E k = E κιν(µετά) E κιν(προ) = Joule E k < 0 χάθηκε ενέργεια u A = v 0 + v A = 6 m/sec ˆ u B = v 0 + v B = 0 u A = v 0 + v A = 3, 5 m/sec ˆ u B = v 0 + v B = 5 m/sec ˆ p προ = p µετά, µας δίνει τα ίδια αποτελέσµατα E S κιν(προ) = 1 2 m Au 2 A m Bu 2 B = Joule E S κιν(µετά) = 1 2 m Au 2 A m Bu 2 B = Joule E S k = E κιν(µετά) E κιν(προ) = E S k = E κ(τρένο) Χάθηκε ενέργεια κατά την κρούση από τις εστερικές δυνάµεις τριβής, πραγµατικές δυνάµεις.
11 3.6 Περιστρεφόµενα Συστήµατα Αναφοράς - ύναµη Coriolis Περιστρεφόµενα Συστήµατα Αναφοράς - ύναµη Coriolis Σχετικά προβλήµατα Πρόβληµα 1 Ενα έντοµο κινείται µε ταχύτητα v κατά µήκος ϱάβδου που περιστρέφεται γύρ από το ένα άκρο της, ο άξονας περιστροφής είναι κάθετος της ϱάβδου. Η γνιακή ταχύτητα περιστροφής της ϱάβδου ς προς την επιφάνεια της Γης είναι. Υπολογίστε την ταχύτητα και την επιτάχυνση του εντόµου ς προς την επιφάνεια της Γης. Πρόβληµα 2 Λεπτή ϱάβδος µήκους L περιστρέφεται µε γνιακή ταχύτητα, σε οριζόντιο επίπεδο, γύρ από κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της. Κατά µήκος της ϱάβδου κυλά, χρίς τριβή, σφαιρίδιο µάζας m, το οποίο ξεκινά από το σταθερό άκρο της ϱάβδου µε αρχική ταχύτητα v 0. Πότε ϕθάνει στο L; Πόση δύναµη ασκεί η ϱάβδος στο σφαιρίδιο Πρόβληµα 3 Πόση είναι η οριζόντια απόκλιση ενός σώµατος που πέφτει κατακόρυφα στον Ισηµερινό λόγ της επιτάχυνσης Coriolis; Πρόβληµα 4 Λεπτή ϱάβδος µήκους L = 1 m περιστρέφεται µε γνιακή ταχύτητα = 10 rad/sec σε οριζόντιο επίπεδο, γύρ από κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της, Ρ. Σε εστερική ορθογώνια εσοχή και κατά µήκος της ϱάβδου µπορεί να κυλά, χρίς τριβή, σφαιρίδιο µάζας M = 1 Kgr. Το σφαιρίδιο είναι προσαρτηµένο στην άκρη αβαρούς ελατηρίου ϕυσικού µήκους L/2 και σταθεράς K = 1200 Nt/m. Το άλλο άκρο του ελατηρίου έχει καρφθεί στο περιστρεφόµενο άκρο Ρ της ϱάβδου. Εστ ότι τη χρονική στιγµή t = 0 το σφαιρίδιο ϐρίσκεται σε απόσταση L/3 από το Ρ και έχει ταχύτητα v 0 = 5 m/sec µε ϕορά από το Ρ προς το Ρ. (α) Υπολογίστε και σχεδιάστε τις δυνάµεις που δέχεται το σφαιρίδιο για t = 0, όπς αυτές τις µετράει ακίνητος παρατηρητής. (ϐ) Υπολογίστε και σχεδιάστε τις δυνάµεις που δέχεται το σφαιρίδιο για t = 0, όπς αυτές τις µετράει παρατηρητής Π που περιστρέφεται µαζί µε τη ϱάβδο. (γ) είξτε ότι σύµφνα µε τον Π, η ολική δύναµη που ασκείται στο σφαιρίδιο µηδενίζεται όταν αυτό ϐρίσκεται σε κάποιο σηµείο Α της ϱάβδου. (δ) είξτε ότι η κίνηση του σφαιριδίου ς προς τον παρατηρητή Π είναι αρµονική ταλάντση γύρ από το σηµείο Α και ϐρείτε την κυκλική της συχνότητα. z Ρ y L Σχήµα 3.12 Ρ ύναµη Coriolis Εστ ένα στερεό σώµα (πχ. η Γη) το οποίο περιστρέφεται µε γνιακή ταχύτητα γύρ από ένα σταθερό σηµείο Ο.
12 64 Αδρανειακά και περιστρεφόµενα συστήµατα αναφοράς Στο σηµείο Ρ ένα σµατίδιο κινείται µε ταχύτητα u ς προς το ακίνητο σύστηµα αναφοράς (, y, z) u = dr Πόση είναι η ταχύτητα του σµατιδίου στο σηµείο Ρ ς προς το τοπικό περιστρεφόµενο, µε το στερεό σώµα, σύστηµα αναφοράς (, y, z ); Πώς συνδέονται οι δύο µετρήσεις ; z R z r r y Ρ y Σχήµα 3.13 r = R + r r = ˆ + y ŷ + z ẑ ( ) dr u = η ταχύτητα του Ρ ς προς τον Ο v = d ˆ + dy ŷ + dz ẑ η ταχύτητα του Ρ ς προς το τοπικό σύστηµα αναφοράς. ( ) dr v = ( ) dr = ( ) dr + v + d dy dz + y + z } {{ } µεταβολή του r λόγ περιστροφής του Είναι ισοδύναµο µε την περιστροφή του ς προς το Ρ κατά ( ) ϑερώντας το Ρ στιγµιαία ακίνητο = r. ( ) dr = R διότι r = R + r. u = v + r ds = R sin θdφ ds dφ = R sin θ = R sin θ ds = R, ds (, R) ( dr ds = R(t + ) R(t) = dr ) = R
13 3.6 Περιστρεφόµενα Συστήµατα Αναφοράς - ύναµη Coriolis 65 dφ ds θ R(t+) R(t) Σχήµα 3.14 Πόση είναι η επιτάχυνση του σµατιδίου στο σύστηµα ; Πώς συνδέονται οι µετρήσεις στα δύο συστήµατα και ; ( ) du a = είναι η επιτάχυνση του σµατιδίου Ρ στο «αδρανειακό» σύστηµα αναφοράς Ο. Για την επιτάχυνση γ στο περιστρεφόµενο σύστηµα αναφοράς έχουµε γ = dv ˆ + dv ( ) y dv y z dv + z = είναι η µεταβολή της ταχύτητας v ς προς τον. ( ) ( ) ( ) du dv dr = + } {{ } } {{ } (?) (v+ r) διότι υποθέσαµε d = 0 ( ) dv = ( ) dv + v όπου v είναι η µεταβολή της ταχύτητας του σµατιδίου Ρ ς προς το χρόνο λόγ περιστροφής του συστήµατος αναφοράς, υποθέτοντας ότι στιγµιαία το Ρ έχει σταθερή ταχύτητα v ς προς το κινούµενο σύστηµα αναφοράς. Εποµένς έχουµε a = γ + 2 ( v) + ( r) F = ma F = mγ + 2m v + m ( r) mγ = F 2m v m ( r) F Coriolis = 2m v όπου v η ταχύτητα κινητού ς προς την περιστρεφόµενη Γη και το διάνυσµα περιστροφής της Γης. F ϕυγόκεντρος = m ( r) είναι η ϕυγόκεντρος δύναµη λόγ περιστροφής, και γ είναι η επιτάχυνση στο κινούµενο σύστηµα αναφοράς. Εφαρµογή : = ẑ Σχετική κίνηση επάν στο επίπεδο (, y), ή ϑέτοντάς το αλλιώς, γύρ από τον Ισηµερινό της Γης. Το σύστηµα αναφοράς (, y ) περιστρέφεται µε σταθερή γνιακή ταχύτητα, ς προς το ακίνητο αδρανειακό σύστηµα αναφοράς (, y). Το σηµείο P έχει συντεταγµένες (, y) ή (, y ) = ( R, y R ). για τα µοναδιαία διανύσµατα (δες σχήµα) ισχύει r = ˆ + yŷ = R ˆ + y R ŷ
14 66 Αδρανειακά και περιστρεφόµενα συστήµατα αναφοράς ˆ = aˆ + βŷ όπου a = ˆ ˆ = cos φ = cos(t), β = ŷ ŷ = sin φ = sin(t) τελικά έχουµε : y φ y φ=t ˆ = ˆ cos(t) + ŷ sin(t) ŷ = ˆ sin(t) + ŷ cos(t) Οι συντεταγµένες του P ικανοποιούν τις σχέσεις = R cos(t) y R sin(t), y = R sin(t)+y R cos(t) z = z R y y =y R y Ρ(t) = R φ=t Σχήµα 3.15 Για την ταχύτητα u του σηµείου P στα δύο συστήµατα αναφοράς έχουµε ορίζοντας d = ẋ, dy = ẏ ϐρίσκουµε και ẋ = ẋ R cos(t) R sin(t) ẏ R sin(t) y R cos(t) ẏ = ẋ R sin(t) + R cos(t) + ẏ R cos(t) y R sin(t) u = ẋˆ + ẏŷ = ẋ R ˆ + ẏ R ŷ ˆ ẏ R + ŷ ẋ R = v + r όπου v = ẋ R ˆ + ẏ R ŷ. Για την επιτάχυνση a ϐρίσκουµε ẍ = ẍ R cos(t) 2ẋ R sin(t) 2 R cos(t) ÿ R sin(t) 2ẏ R cos(t) + 2 y R sin(t) ÿ = ẍ R sin(t) + 2ẋ R cos(t) 2 R sin(t) + ÿ R cos(t) 2ẏ R sin(t) 2 y R cos(t) a = ẍˆ + ÿŷ = ẍ R ˆ + ÿ R ŷ + 2ẋ R ŷ 2ẏ R ˆ 2 R ˆ 2 y R ŷ = γ + 2 v 2 r
15 3.6 Περιστρεφόµενα Συστήµατα Αναφοράς - ύναµη Coriolis 67 όπου γ = ẍ R ˆ + ÿ R ŷ. Πρόβληµα 1 ˆ ŷ ẑ v = 0 0 = ˆ ẏ R + ŷ ẋ R ẋ R ẏ R 0 ˆ ŷ ẑ r = 0 0 = ˆ y R + ŷ R R y R 0 ˆ ŷ ẑ ( r) = 0 0 = ˆ 2 R ŷ 2 y R = 2 r y R R 0 Ταυτίζουµε τη ϱάβδο µε τον άξονα που περιστρέφεται µε γνιακή ταχύτητα. Εχουµε όπου v = ẋ R ˆ, γ = ẍ R ˆ, r = R ˆ ˆ = ˆ cos(t) + ŷ sin(t) ŷ = ˆ sin(t) + ŷ cos(t) διότι R = vt, γ = 0. { u u y u = v + r = v cos(t) R sin(t) = v sin(t) + R cos(t) 0 a = 2 v + ( r) } {{ } + γ 2 r a = γ cos(t) 0 2v sin(t) 2 R cos(t) a y = γ sin(t) 0 + 2v cos(t) 2 R sin(t) y y υ θ=t Σχήµα 3.16 Ισοδύναµα σε πολικές συντεταγµένες έχουµε : Πρόβληµα 2 u = dr = dr dθ ˆr + r ˆθ = v ˆr + r ˆθ = v }{{} ˆr ˆ + r a = du = r(dθ )2 ˆr + 2 dr dθ ˆθ = r 2 ˆr + 2v ˆθ = 2 r + 2 v
16 68 Αδρανειακά και περιστρεφόµενα συστήµατα αναφοράς Λύση: (1) y L F υ Σχήµα 3.17 F = ma a = ( r r θ 2) ˆr + θ = dθ = σταθερή ( 2ṙ θ + r θ) ˆθ Η δύναµη F είναι κάθετη στη ϱάβδο, ασκείται από τη ϱάβδο στο σφαιρίδιο, διότι δεν υπάρχει τριβή, εποµένς F = F ˆθ ( r 2 r = 0 και m 2ṙ θ ) + r θ = F F = 2mṙ r = 2 r r = Ae t + Be t dr = v 0 v 0 = A B = (A B) και r(t = 0) = 0 A + B = 0 t=0 A = B v 0 = 2A A = v 0 2 r(t) = v 0 ( e t e t) = v 0 2 sinh(t) για t = t 0 στο σφαιρίδιο ϕτάνει στο άκρο L της ϱάβδου, εποµένς L = v 0 sinh(t 0) Λύση: (2) mγ = F 2m v m ( r) = ẑ, r = rˆr, v = dr ˆr, γ = d2 r 2 ˆr Η ταχύτητα v του σφαιριδίου είναι κατά µήκος της ϱάβδου για τον περιστρεφόµενο παρατηρητή, το ίδιο και η επιτάχυνση γ. v = ṙẑ ˆr = ṙ ˆθ από τις οποίες προκύπτουν F = F ˆθ, ( r) = 2 rˆr m r = m 2 r r = 2 r (3.5) F 2mṙ = 0 F = 2mṙ
17 3.6 Περιστρεφόµενα Συστήµατα Αναφοράς - ύναµη Coriolis 69 Από την (3.5) παίρνουµε r(t) = Ae t + Be t όπς προηγουµένς στη λύση 1. Τα r, v και γ είναι αντίστοιχα η ϑέση, η ταχύτητα και η επιτάχυνση, όπς τα ϐλέπει ο περιστρεφόµενος παρατηρητής. Πρόβληµα 3 y Σχήµα 3.18 υ z v είναι η ταχύτητα σώµατος που πέφτει τοπικά. v = vẑ Επιτάχυνση Coriolis για τον κιν. παρατηρητή = 2 v = +2vŷ ẑ = 2v ˆ εποµένς η εξίσση του Νεύτνα για τον κινούµενο παρατηρητή είναι d 2 2 = 2v Προσεγγιστικά η ταχύτητα v = gt, διότι το σώµα πέφτει µε επιτάχυνση την επιτάχυνση της ϐαρύτητας g στον ισηµερινό (ϕαινόµενο g) d2 d(t = 0) = 2gt µε τη συνθήκη = 0 2 d = gt2 (ολοκλήρση) Για ελεύθερη πτώση από ύψος h = (1/2)gt 2. = 1 3 gt3 = 1 3 g ( 2h g ) 3/2 εύτερη µατιά στο ίδιο ϑέµα : Ταυτίζουµε την ακτινική διεύθυνση µε τον άξονα z mγ = F 2m v m ( r) F = mg ˆr mgẑ r (R + z)ẑ + ˆ Rẑ + (zẑ + ˆ) ( r) = 2 r 2 (R + z) ẑ 0 ( r) 2 Rẑ v = v ˆ + v z ẑ ˆ ŷ ẑ v = 0 0 = ˆv z ẑv v 0 v z
18 70 Αδρανειακά και περιστρεφόµενα συστήµατα αναφοράς r Σχήµα 3.19 m dv z = mg + 2mv + m 2 R m dv = 2mv z m dv z = m ( g 2 R ) = mg ϕαινόµενο, v 0 όπου το v είναι αµελητέο ς προς το g ϕ!!! (αποσύζευξη τν εξισώσεν) Πρόβληµα 4 dv z = g ϕ v z = g ϕ t dv = 2g ϕt v = g ϕ t 2 d = g ϕt 2 (t) (0) = 1 3 g ϕt 3 y F ρ F ελ Ρ Ρ Ρ υ 0 Σχήµα 3.20 (α) Για τη χρονική στιγµή t = 0 έχουµε Για τον ακίνητο παρατηρητή ισχύει F ελ = k l = k ( 2L 3 L ) = 200 Nt 2 F = Ma = M ( r r 2) ˆr + 2M dr ˆθ v 0 = dr και F ϱ = F ϱ ˆθ = 2Mv0 = 100 Nt (ϐ) Για παρατηρητή περιστρεφόµενο µαζί µε τη ϱάβδο ισχύει Για τη χρονική στιγµή t = 0 έχουµε Mγ = F 2M v M ( r) F = F ελ ˆr + F ϱ ˆθ F Coriolis = 2M v = 2M dr dr ˆ ˆr = 2M ˆθ F ϕυγόκεντρος = M ( r) = M 2 r ˆr F ελ = 200 Nt F Coriolis = 2Mv 0 = 100 Nt F ϕυγόκεντρος = Nt
19 3.6 Περιστρεφόµενα Συστήµατα Αναφοράς - ύναµη Coriolis 71 κι εφόσον η επιτάχυνση γ δεν έχει ˆθ συνιστώσα : γ = d2 r ˆr 2 F ϱ 2M dr = 0 F ϱ = 2Mv 0 = 100 Nt (γ) ύναµη ακτινική κατά µήκος της ϱάβδου (δ) M d2 r 2 = F ελ + M 2 r επιτάχυνση µηδέν F ελ + M 2 r 0 = 0 ( ) L όπου F ελ = k 2 r ( ) L k 2 r 0 + M 2 r 0 = 0 k L 2 = ( k M 2) r 0 για τη ϑέση ισορροπίας r 0 = k(l/2) k M 2 = r Ισορροπίας r Ι = 6 11 m ( ) L Mr = k 2 r + M 2 r = ( k M 2) + kl 2 = ( k M 2) r + ( k M 2) r 0 = ( k M 2) (r r 0 ) δηλαδή έχουµε ταλάντση µε συχνότητα = r r 0 M = D όπου D = k M 2 = D M = = k M2 M = k M 2 > 0 γύρ από το σηµείο ισορροπίας r = ( )sec 2 = 1100 sec 2 0 = 1100 sec 1
20 72 Αδρανειακά και περιστρεφόµενα συστήµατα αναφοράς
Αδρανειακά συστήµατα αναφοράς, µετασχηµατισµός Γαλιλαίου. Περιστρεφόµενα συστήµατα αναφοράς, δύναµη Coriolis
3 Αδρανειακά συστήµατα αναφοράς, µετασχηµατισµός Γαλιλαίου. Περιστρεφόµενα συστήµατα αναφοράς, δύναµη Coriolis 3.1 Αδρανειακά και επιταχυνόµενα συστήµατα αναφοράς Οι δύο πρώτοι νόµοι του Νεύτνα ισχύουν
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ 1. Λύση. V = V x. H θ y O V 1 H/2. (α) Ακίνητος παρατηρητής (Ο) (1) 6 = = (3) 6 (4)
ΘΕΜΑ Ένα αεροπλάνο πετάει οριζόντια σε ύψος h=km µε σταθερή ταχύτητα V=6km/h, ως προς ακίνητο παρατηρητή στο έδαφος. Ο πιλότος αφήνει µια βόµβα να πέσει ελεύθερα: (α) Γράψτε τις εξισώσεις κίνησης (δηλαδή
Διαβάστε περισσότερα1. Για το σύστηµα που παριστάνεται στο σχήµα θεωρώντας ότι τα νήµατα είναι αβαρή και µη εκτατά, τις τροχαλίες αµελητέας µάζας και. = (x σε μέτρα).
Θέμα ο. ια το σύστηµα που παριστάνεται στο σχήµα θεωρώντας ότι τα νήµατα είναι αβαρή και µη εκτατά, τις τροχαλίες αµελητέας µάζας και M= M = M, υπολογίστε την επιτάχυνση της µάζας. ίνεται το g. (0) Λύση.
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2019
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 019 Κινηματική ΑΣΚΗΣΗ Κ.1 Η επιτάχυνση ενός σώματος που κινείται ευθύγραμμα δίνεται από τη σχέση a = (4 t ) m s. Υπολογίστε την ταχύτητα και το διάστημα που διανύει το σώμα
Διαβάστε περισσότεραΦΥΕ 14 5η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-05-08 ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Aσκηση 2 :
ΦΥΕ 14 5 η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-5-8 ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Συµπαγής κύλινδρος µάζας Μ συνδεδεµένος σε ελατήριο σταθεράς k = 3. N / και αµελητέας µάζας, κυλίεται, χωρίς να
Διαβάστε περισσότεραv = r r + r θ θ = ur + ωutθ r = r cos θi + r sin θj v = u 1 + ω 2 t 2
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΦΥΣΙΚΉΣ Ι ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΕΙΑΣ, 9 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 019 ΚΏΣΤΑΣ ΒΕΛΛΙΔΗΣ, cvellid@phys.uoa.r, 10 77 6895 ΘΕΜΑ 1: Σώµα κινείται µε σταθερή ταχύτητα u κατά µήκος οριζόντιας ράβδου που περιστρέφεται
Διαβάστε περισσότεραεάν F x, x οµόρροπα εάν F x, x αντίρροπα B = T W T = W B
4 Εργο και Ενέργεια 4.1 Εργο σε µία διάσταση Το έργο µιας σταθερής δύναµης F x, η οποία ασκείται σε ένα σώµα που κινείται σε µία διάσταση x, ορίζεται ως W = F x x Εργο ύναµης = ύναµη Μετατόπιση Εχουµε
Διαβάστε περισσότεραΦΥΕ 14 5η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση ( Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες) Άσκηση 1 : Aσκηση 2 :
ΦΥΕ 14 5 η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-5-8 ( Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες) Άσκηση 1 : Συμπαγής κύλινδρος μάζας Μ συνδεδεμένος σε ελατήριο σταθεράς k = 3. N / και αμελητέας μάζας, κυλίεται, χωρίς να
Διαβάστε περισσότεραΓ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός)
4 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός) Κυριακή, 5 Απριλίου, 00, Ώρα:.00 4.00 Προτεινόμενες Λύσεις Άσκηση ( 5 μονάδες) Δύο σύγχρονες πηγές, Π και Π, που απέχουν μεταξύ τους
Διαβάστε περισσότεραΠοια πρέπει να είναι η ελάχιστη ταχύτητα που θα πρέπει να έχει το τρενάκι ώστε να µη χάσει επαφή µε τη τροχιά στο υψηλότερο σηµείο της κίνησης; F N
Παράδειγµα roller coaster ΦΥΣ 131 - Διαλ.13 1 Ποια πρέπει να είναι η ελάχιστη ταχύτητα που θα πρέπει να έχει το τρενάκι ώστε να µη χάσει επαφή µε τη τροχιά στο υψηλότερο σηµείο της κίνησης; y-διεύθυνση:
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014
ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014
ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε
Διαβάστε περισσότεραΠοια μπορεί να είναι η κίνηση μετά την κρούση;
Ποια μπορεί να είναι η κίνηση μετά την κρούση; ή Η επιτάχυνση και ο ρυθµός µεταβολής του µέτρου της ταχύτητας. Ένα σώµα Σ ηρεµεί, δεµένο στο άκρο ενός ελατηρίου. Σε µια στιγµή συγκρούεται µε ένα άλλο κινούµενο
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικη άσκηση στην Μηχανική Στερεού-Κρούσεις
Επαναληπτικη άσκηση στην Μηχανική Στερεού-Κρούσεις Σφαίρα Σ 2 µάζας m 2 =m=2kg ηρεµεί στερεωµένη στο αριστερό άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=50n/m το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωµένο
Διαβάστε περισσότεραιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού Σώµατος
ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού Σώµατος Σύνολο Σελίδων: οκτώ (8) - ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες Σάββατο 24 Φλεβάρη 2018 Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο: Θέµα Α Στις ηµιτελείς προτάσεις Α.1 Α.4
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 2004
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 4 Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε µε σαφήνεια και συντοµία. Η ορθή πλήρης απάντηση θέµατος εκτιµάται περισσότερο από τη
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο M6. Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα
Κεφάλαιο M6 Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα Κυκλική κίνηση Αναπτύξαµε δύο µοντέλα ανάλυσης στα οποία χρησιµοποιούνται οι νόµοι της κίνησης του Νεύτωνα. Εφαρµόσαµε τα µοντέλα αυτά
Διαβάστε περισσότεραΤο ελαστικο κωνικο εκκρεμε ς
Το ελαστικο κωνικο εκκρεμε ς 1. Εξισώσεις Euler -Lagrange x 0 φ θ z F l 0 y r m B Το ελαστικό κωνικό εκκρεμές αποτελείται από ένα ελατήριο με σταθερά επαναφοράς k, το οποίο αναρτάται από ένα σταθερό σημείο,
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ (ΠΟΜ 114) ΛΥΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 2015
ΦΥΣΙΚΗ (ΠΟΜ 114) ΛΥΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 15 Ct 1. Η επιτάχυνση ενός σώματος που κινείται σε ευθεία γραμμή είναι a At Be, όπου Α, B, C είναι θετικές ποσότητες. Η αρχική ταχύτητα του σώματος είναι
Διαβάστε περισσότεραΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ» 5 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΡΤΙΟΣ 2017: ΘΕΜΑΤΑ
ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ 5 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Στις προτάσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση, η οποία
Διαβάστε περισσότερα1ο ιαγώνισµα Β Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 15 Νοέµβρη 2015 Φυσική Προσανατολισµού - Μηχανική. Ενδεικτικές Λύσεις. Θέµα Α
1ο ιαγώνισµα Β Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 15 Νοέµβρη 2015 Φυσική Προσανατολισµού - Μηχανική Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α Α.1 Μια σφαίρα ϐάλλεται από ένα ύψος µε αρχική οριζόντια ταχύτητα υ o. Στο σχήµα
Διαβάστε περισσότεραΡοπή αδράνειας. q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: I = m(2r) 2 = 4mr 2
ΦΥΣ 131 - Διαλ.22 1 Ροπή αδράνειας q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: m (α) m (β) m r r 2r 2 2 I =! m i r i = 2mr 2 1 I = m(2r) 2 = 4mr 2 Ø Είναι δυσκολότερο να προκαλέσεις περιστροφή
Διαβάστε περισσότεραιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Απλή Αρµονική Ταλάντωση - Κρούσεις Σύνολο Σελίδων: Ενδεικτικές Λύσεις ευτέρα 3 Σεπτέµβρη 2018 Θέµα Α
Α.1. ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Απλή Αρµονική Ταλάντωση - Κρούσεις Σύνολο Σελίδων: Ενδεικτικές Λύσεις ευτέρα 3 Σεπτέµβρη 2018 Θέµα Α Ακίνητο πυροβόλο όπλο εκπυρσοκροτεί (δ) Η ορµή του συστήµατος
Διαβάστε περισσότερα4 η Εργασία F 2. 90 o 60 o F 1. 2) ύο δυνάµεις F1
4 η Εργασία 1) ύο δυνάµεις F 1 και F 2 ασκούνται σε σώµα µάζας 5kg. Εάν F 1 =20N και F 2 =15N βρείτε την επιτάχυνση του σώµατος στα σχήµατα (α) και (β). [ 2 µονάδες] F 2 F 2 90 o 60 o (α) F 1 (β) F 1 2)
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣ. 131 ΕΡΓΑΣΙΑ # 3
ΦΥΣ. 131 ΕΡΓΑΣΙΑ # 3 1. Θέλουµε να µετακινήσουµε ένα κιβώτιο κατά µήκος ενός λείου κεκλιµένου επιπέδου γωνίας κλίσης 20 ο µε την οριζόντια διεύθυνση. Δίνουµε στο κιβώτιο µια αρχική ταχύτητα 5.0m/s και
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣ. 131 ΕΡΓΑΣΙΑ # 3
ΦΥΣ. 131 ΕΡΓΑΣΙΑ # 3 1. Θέλουµε να µετακινήσουµε ένα κιβώτιο κατά µήκος ενός λείου κεκλιµένου επιπέδου γωνίας κλίσης 20 ο µε την οριζόντια διεύθυνση. Δίνουµε στο κιβώτιο µια αρχική ταχύτητα 5.0m/s και
Διαβάστε περισσότεραΔιαγώνισμα Γ Λυκείου Θετικού προσανατολισμού. Διαγώνισμα Μηχανική Στερεού Σώματος. Σάββατο 24 Φεβρουαρίου Θέμα 1ο
Διαγώνισμα Μηχανική Στερεού Σώματος Σάββατο 24 Φεβρουαρίου 2018 Θέμα 1ο Στις παρακάτω προτάσεις 1.1 1.4 να επιλέξτε την σωστή απάντηση (4 5 = 20 μονάδες ) 1.1. Ένας δίσκος στρέφεται γύρω από άξονα που
Διαβάστε περισσότεραΔΥΝΑΜΕΙΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΠΤΩΣΗ
ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΠΤΩΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Όταν δίνονται οι δυνάμεις οι οποίες ασκούνται σε ένα σώμα, υπολογίζουμε τη συνισταμένη των δυνάμεων και από τη σχέση (ΣF=m.α ) την επιτάχυνσή του.
Διαβάστε περισσότερα2ο ιαγώνισµα Β Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 4 εκέµβρη 2016 Φυσική Προσανατολισµού - Μηχανική - ΙΙ. Ενδεικτικές Λύσεις. Θέµα Α
2ο ιαγώνισµα Β Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 4 εκέµβρη 2016 Φυσική Προσανατολισµού - Μηχανική - ΙΙ Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α Α.1 Σώµα εκτελεί οριζόντια ϐολή, Η επιτάχυνση που δέχεται το σώµα µέχρι να ϕτάσει
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣ 131 - Διαλ.12 1. Μη αδρανειακά συστήµατα Φαινοµενικό βάρος
ΦΥΣ 3 - Διαλ.2 Μη αδρανειακά συστήµατα Φαινοµενικό βάρος ΦΥΣ 3 - Διαλ.2 2 Μη αδρανειακά συστήµατα x Έστω ότι το S αποκτά επιτάχυνση α 0 S z 0 Α x z S y, y Ο παρατηρητής S µετρά µια επιτάχυνση: A = A +
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣ Διαλ Δυναµική
ΦΥΣ 131 - Διαλ.08 1 Δυναµική Ø F(δύναµη), m(µάζα), E(ενέργεια), p(ορµή), Ø Πως ένα σώµα αλληλεπιδρά µε το περιβάλλον του Ø Γιατί σώµατα κινούνται µε το τρόπο που κινούνται q Θεµελιώδεις νόµοι της µηχανικής:
Διαβάστε περισσότερα. Αυτό σηµαίνει ότι το κέντρο µάζας κινείται ευθύγραµµα µε σταθερή επιτάχυνση a! = F!
Οµογενής κυκλικός δίσκος µάζας m και ακτίνας, βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο έδαφος µε τον άξονα συµµετρίας του κατα κόρυφο. Εάν σ ένα σηµείο της περιφέρειας του δίσκου εξασκείται συνεχώς µια σταθερή
Διαβάστε περισσότερα1ο ιαγώνισµα Β Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 9 Νοέµβρη 2014 Φυσική Προσανατολισµού - Μηχανική
1ο ιαγώνισµα Β Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 9 Νοέµβρη 2014 Φυσική Προσανατολισµού - Μηχανική Σύνολο Σελίδων: έξι (6) - ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο: Θέµα Α Στις ηµιτελείς προτάσεις
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
F ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Όταν δίνονται οι δυνάμεις οι οποίες ασκούνται σε ένα σώμα, υπολογίζουμε τη συνισταμένη των δυνάμεων και από τη σχέση (ΣF=m.α ) την επιτάχυνσή του. Αν ασκούνται σε αρχικά
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΟΨΗ 2 ου Μαθήματος
Ενημέρωση Η διδασκαλία του μαθήματος, πολλά από τα σχήματα και όλες οι ασκήσεις προέρχονται από το βιβλίο: «Πανεπιστημιακή Φυσική» του Hugh Young των Εκδόσεων Παπαζήση, οι οποίες μας επέτρεψαν τη χρήση
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ Ο.Π Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 22 / 04 / 2018
Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 22 / 04 / 2018 ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π ΘΕΜΑ Α Α1. Μία ηχητική πηγή που εκπέμπει ήχο συχνότητας κινείται με σταθερή ταχύτητα πλησιάζοντας ακίνητο παρατηρητή, ενώ απομακρύνεται από άλλο ακίνητο παρατηρητή.
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6β. Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα
Κεφάλαιο 6β Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα Ροπή Ροπή ( ) είναι η τάση που έχει μια δύναμη να περιστρέψει ένα σώμα γύρω από κάποιον άξονα. d είναι η κάθετη απόσταση του άξονα περιστροφής
Διαβάστε περισσότερα5ο ιαγώνισµα - Επαναληπτικό ΙΙ. Θέµα Α
5ο ιαγώνισµα - Επαναληπτικό ΙΙ Ηµεροµηνία : 8 Μάη 2013 ιάρκεια : 3 ώρες Ονοµατεπώνυµο: Βαθµολογία % Οµάδα Α Θέµα Α Στις ερωτήσεις Α.1 Α.4 επιλέξτε την σωστή απάντηση [4 5 = 20 µονάδες] Α.1. Από ύψος h
Διαβάστε περισσότεραF Στεφάνου Μ. 1 Φυσικός
F 1 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Όταν δίνονται οι δυνάμεις οι οποίες ασκούνται σε ένα σώμα, υπολογίζουμε τη συνισταμένη των δυνάμεων και από τη σχέση (ΣF=m.α ) την επιτάχυνσή του. Αν ασκούνται σε αρχικά
Διαβάστε περισσότερα( ) = T 1 ) (2) ) # T 3 ( ) + T 2 ) = T 3. Ισορροπία Παράδειγµα. ! F! = m! a = 0. ! F y. # F g = 0! T 3 ! T 2. sin( 53 0
Ισορροπία Παράδειγµα Δεν υπάρχει κίνηση στο σηµατοδότη οπότε βρίσκεται σε ισορροπία και η επιτάχυνση είναι µηδέν.! F! = m! a!! F!! F Ανάλυση του προβλήµατος 2 σώµατα (σηµατοδότης σηµείο ένωσης σχοινιών)
Διαβάστε περισσότεραΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ
ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 5 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Πρώτη Φάση) Κυριακή, 6 Ιανουαρίου, Προτεινόμενες Λύσεις Πρόβλημα - ( μονάδες) Ένα όχημα, μαζί με ένα κανόνι που είναι ακλόνητο πάνω σε αυτό,
Διαβάστε περισσότεραυ r 1 F r 60 F r A 1
2.2. Ασκήσεις Έργου-Ενέργειας. 4.2.1. Θεώρηµα Μεταβολής της Κινητικής Ενέργειας. ΘΜΚΕ. Ένα σώµα µάζας m=2kg ηρεµεί σε οριζόντιο επίπεδο. Σε µια στιγµή δέχεται την επίδραση οριζόντιας δύνα- µης, το µέτρο
Διαβάστε περισσότερα5ο ιαγώνισµα - Επαναληπτικό ΙΙ. Θέµα Α
5ο ιαγώνισµα - Επαναληπτικό ΙΙ Ηµεροµηνία : 8 Μάη 2013 ιάρκεια : 3 ώρες Ονοµατεπώνυµο: Βαθµολογία % Οµάδα Β Θέµα Α Στις ερωτήσεις Α.1 Α.4 επιλέξτε την σωστή απάντηση [4 5 = 20 µονάδες] Α.1. Από ύψος h
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Η ενέργεια ταλάντωσης ενός κυλιόμενου κυλίνδρου
A A N A B P Y A 9 5 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Η ενέργεια ταλάντωσης ενός κυλιόμενου κυλίνδρου Στερεό σώμα με κυλινδρική συμμετρία (κύλινδρος, σφαίρα, σφαιρικό κέλυφος, κυκλική στεφάνη κλπ) μπορεί να
Διαβάστε περισσότεραΈργο-Ενέργεια Ασκήσεις Έργου-Ενέργειας Θεώρηµα Μεταβολής της Κινητικής Ενέργειας. ΘΜΚΕ Μεταβλητή δύναµη και κίνηση
2.2. Ασκήσεις Έργου-Ενέργειας. 2.2.1. Θεώρηµα Μεταβολής της Κινητικής Ενέργειας. ΘΜΚΕ. Ένα σώµα µάζας m=2kg ηρεµεί σε οριζόντιο επίπεδο. Σε µια στιγµή δέχεται την επίδραση οριζόντιας δύνα- µης, το µέτρο
Διαβάστε περισσότεραΓ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός)
4 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός) Κυριακή, 5 Απριλίου, 00, Ώρα:.00 4.00 Οδηγίες: ) Το δοκίμιο αποτελείται από έξι (6) θέματα. ) Να απαντήσετε σε όλα τα θέματα. ) Επιτρέπεται
Διαβάστε περισσότερα1. Κίνηση Υλικού Σημείου
1. Κίνηση Υλικού Σημείου Εισαγωγή στην Φυσική της Γ λυκείου Τροχιά: Ονομάζεται η γραμμή που συνδέει τις διαδοχικές θέσεις του κινητού. Οι κινήσεις ανάλογα με το είδος της τροχιάς διακρίνονται σε: 1. Ευθύγραμμες
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2003
ΦΥΣΙΚΗ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 003 ΘΕΜΑ 1ο Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1 4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή
Διαβάστε περισσότεραΜηχανική Στερεού Ασκήσεις Εμπέδωσης
Μηχανική Στερεού Ασκήσεις Εμπέδωσης Όπου χρειάζεται, θεωρείστε δεδομένο ότι g = 10m/s 2. 1. Μία ράβδος ΟΑ, μήκους L = 0,5m, περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα που περνάει από το ένα άκρο της Ο, με σταθερή
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις
Κεφάλαιο M4 Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κινηµατική σε δύο διαστάσεις Θα περιγράψουµε τη διανυσµατική φύση της θέσης, της ταχύτητας, και της επιτάχυνσης µε περισσότερες λεπτοµέρειες. Θα µελετήσουµε την κίνηση
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις Κεφ. 2, Δυναμική υλικού σημείου Κλασική Μηχανική, Τμήμα Μαθηματικών Διδάσκων: Μιχάλης Ξένος, email : mxenos@cc.uoi.gr 29 Μαΐου 2012 1. Στο υλικό σημείο A ασκούνται οι δυνάμεις F 1 και F2 των οποίων
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2003
ΦΥΣΙΚΗ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 003 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) 23 ΜΑΪOY 2016 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ Α ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) 3 ΜΑΪOY 016 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ερωτήσεις Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και, δίπλα, το γράµµα που αντιστοιχεί στη φράση η οποία συµπληρώνει
Διαβάστε περισσότερα1. Εισαγωγή στην Κινητική
1. Εισαγωγή στην Κινητική Σύνοψη Στο κεφάλαιο γίνεται εισαγωγή στις βασικές αρχές της Κινητικής θεωρίας. Αρχικά εισάγονται οι έννοιες των διανυσματικών και βαθμωτών μεγεθών στη Φυσική. Έπειτα εισάγονται
Διαβάστε περισσότεραΠερι - Φυσικής. Επαναληπτικό ιαγώνισµα Φυσικής Α Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 17 Μάη Θέµα Α. Ενδεικτικές Λύσεις
Επαναληπτικό ιαγώνισµα Φυσικής Α Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 17 Μάη 2015 Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α Α.1. Η επιτάχυνση ενός κινητού εκφράζει το : (ϐ) πόσο γρήγορα µεταβάλλεται η ταχύτητά του. Α.2. Οταν
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ 2013
ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ 2013 ΘΕΜΑ Α Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1- Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή
Διαβάστε περισσότεραΣτροφορµή. ΦΥΣ 131 - Διαλ.25 1
Στροφορµή ΦΥΣ 131 - Διαλ.25 1 ΦΥΣ 131 - Διαλ.25 2 Στροφορµή q Ένα από τα βασικά µεγέθη που σχετίζονται µε την περιστροφική κίνηση είναι η στροφορµή q Θυµηθείτε ότι για µάζα m που κινείται µε ταχύτητα v
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στις Φυσικές Επιστήµες - Κλασσική Φυσική Ιούλιος 2003 :
Εισαγωγή στις Φυσικές Επιστήµες - Κλασσική Φυσική Ιούλιος 3 Θέµα A) Ένας στερεός κύβος ακµής α και µάζας Μ γλιστράει σε µια λεία (χωρίς τριβές) επιφάνεια τραπεζιού µε σταθερή ταχύτητα υ. Στη συνέχεια χτυπά
Διαβάστε περισσότεραΚυκλική Κίνηση - Οριζόντια βολή
Μάθημα/Τάξη: Κεφάλαιο: Φυσική Προσανατολισμού Β Λυκείου Κυκλική Κίνηση - Οριζόντια βολή Ονοματεπώνυμο Μαθητή: Ημερομηνία: 24-10-2016 Επιδιωκόμενος Στόχος: 85/100 Θέμα 1 ο Στις ερωτήσεις Α.1 Α.4 επιλέξτε
Διαβάστε περισσότεραιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού Σώµατος Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α
ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού Σώµατος Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α Α.1. Ενας δίσκος στρέφεται γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Η τιµή
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Τζιόλας Χρήστος. και Α 2
ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Τζιόλας Χρήστος 1. Ένα σύστημα ελατηρίου σταθεράς = 0 π N/ και μάζας = 0, g τίθεται σε εξαναγκασμένη ταλάντωση. Αν είναι Α 1 και Α τα πλάτη της ταλάντωσης
Διαβάστε περισσότερα1ο ιαγώνισµα Β Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 30 Οκτώβρη 2016 Φυσική Προσανατολισµού - Μηχανική - Ι. Ενδεικτικές Λύσεις. Θέµα Α
1ο ιαγώνισµα Β Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 30 Οκτώβρη 2016 Φυσική Προσανατολισµού - Μηχανική - Ι Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α Α.1 Η εκτόξευση ενός σώµατος µικρών διαστάσεων από ένα ύψος h µε ορι- Ϲόντια
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 11 Στροφορµή
Κεφάλαιο 11 Στροφορµή Περιεχόµενα Κεφαλαίου 11 Στροφορµή Περιστροφή Αντικειµένων πέριξ σταθερού άξονα Το Εξωτερικό γινόµενο-η ροπή ως διάνυσµα Στροφορµή Σωµατιδίου Στροφορµή και Ροπή για Σύστηµα Σωµατιδίων
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ Ο.Π Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 22 / 04 / ΘΕΜΑ Α Α1. α, Α2. α, Α3. β, Α4. γ, Α5. α. Σ, β. Σ, γ. Λ, δ. Σ, ε. Λ.
Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 22 / 04 / 2018 ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π ΘΕΜΑ Α Α1. α, Α2. α, Α3. β, Α4. γ, Α5. α. Σ, β. Σ, γ. Λ, δ. Σ, ε. Λ. ΘΕΜΑ Β Β1. Σωστή απάντηση είναι η γ. Ο αριθμός των υπερβολών ενισχυτικής συμβολής που τέμνουν την
Διαβάστε περισσότεραΑ' ΤΑΞΗ ΓΕΝ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ÍÅÏ ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
1 Α' ΤΑΞΗ ΓΕΝ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 o ΦΥΣΙΚΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1 4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1. Η ορµή ενός σώµατος
Διαβάστε περισσότεραόπου Μ η µάζα της Γης την οποία θεωρούµε σφαίρα οµογενή, G η παγκόσµια σταθερά της βαρύτητας και L!
Είναι γνωστό ότι, όταν ένα σώµα κινείται µέσα στο βαρυτικό πεδίο της Γης υπό την επίδραση µόνο της Νευτώνειας έλξεως, η τροχιά που διαγράφει το κέντρο µάζας του είναι επίπεδη και µάλιστα το επίπεδό της
Διαβάστε περισσότεραΦΥΕ14-5 η Εργασία Παράδοση
ΦΥΕ4-5 η Εργασία Παράδοση.5.9 Πρόβληµα. Συµπαγής οµογενής κύλινδρος µάζας τυλιγµένος µε λεπτό νήµα αφήνεται να κυλίσει από την κορυφή κεκλιµένου επιπέδου µήκους l και γωνίας φ (ϐλέπε σχήµα). Το ένα άκρο
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΗ 5.1 Το διάνυσμα θέσης ενός σώματος μάζας m=0,5kgr δίνεται από τη σχέση: 3 j οπότε το μέτρο της ταχύτητας θα είναι:
ΑΣΚΗΣΗ. Το διάνυσμα θέσης ενός σώματος μάζας =,k δίνεται από τη σχέση: 6. α Βρείτε την θέση και το μέτρο της ταχύτητας του κινητού την χρονική στιγμή. β Τι είδους κίνηση κάνει το κινητό σε κάθε άξονα;
Διαβάστε περισσότεραΣ 1 γράφεται ως. διάνυσµα στο Σ 2 γράφεται ως. Σ 2 y Σ 1
Στη συνέχεια θεωρούµε ένα τυχαίο διάνυσµα Σ 1 γράφεται ως, το οποίο στο σύστηµα Το ίδιο διάνυσµα µπορεί να γραφεί στο Σ 1 ως ένας άλλος συνδυασµός τριών γραµµικώς ανεξαρτήτων διανυσµάτων (τα οποία αποτελούν
Διαβάστε περισσότεραΕΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ. =1 kg που κινείται προς τα δεξιά με ταχύτητα μέτρου u 1. =8m /s συγκρούεται κεντρικά
ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ 1. Σφαίρα μάζας m 1 =1 kg που κινείται προς τα δεξιά με ταχύτητα μέτρου u 1 =8m /s συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με άλλη σφαίρα μάζας =3 kg που κινείται προς τα αριστερά με ταχύτητα
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ Α Στις ερωτήσεις Α1 Α5 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.
Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΚΥΡΙΑΚΗ 24/04/2016 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΑΠΟΦΟΙΤΟΙ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΔΕΚΑΠΕΝΤΕ (15) ΘΕΜΑ Α Στις ερωτήσεις Α1 Α5 να γράψετε στο τετράδιο σας
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικό διαγώνισµα Ταλαντώσεις Στερεό σώµα
Επαναληπτικό διαγώνισµα Ταλαντώσεις Στερεό σώµα Θέµα ο Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις -4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.. Ένα σηµειακό
Διαβάστε περισσότεραΓια τις παρακάτω 3 ερωτήσεις, να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 007 Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµα ο ΦΥΣΙΚΗ Για τις παρακάτω 3 ερωτήσεις, να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.. Σε ένα σώµα
Διαβάστε περισσότεραdv 2 dx v2 m z Β Ο Γ
Μηχανική Ι Εργασία #2 Χειμερινό εξάμηνο 218-219 Ν Βλαχάκης 1 Στην άσκηση 4 της εργασίας #1 αρχικά για t = είναι φ = και η ταχύτητα του σώματος είναι v με φορά κάθετη στο νήμα ώστε αυτό να τυλίγεται στον
Διαβάστε περισσότεραΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ
ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 5 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Πρώτη Φάση) Κυριακή, 6 Ιανουαρίου, Παρακαλώ διαβάστε πρώτα τα πιο κάτω, πριν απαντήσετε οποιαδήποτε ερώτηση Γενικές Οδηγίες: ) Είναι πολύ
Διαβάστε περισσότεραΘ.Ε. Εισαγωγή στις Φυσικές Επιστήµες Θέµατα* Τελικών Εξετάσεων στις «Εισαγωγικές Έννοιες Μαθηµατικών» Ιούλιος 2002
Θ.Ε. Εισαγωγή στις Φυσικές Επιστήµες Θέµατα* Τελικών Εξετάσεων στις «Εισαγωγικές Έννοιες Μαθηµατικών» Ιούλιος Θέµα ον α) ίνεται το σύστηµα των εξισώσεων: ( λ) λy= µε λ R λ+ ( λ ) y= λ - 4 Να βρείτε τις
Διαβάστε περισσότεραΌλα τα θέματα των πανελληνίων στις μηχανικές ταλαντώσεις έως και το 2014 ΣΑΛΑΝΣΩΕΙ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΣΑΛΑΝΣΩΗ ΒΑΙΚΕ ΕΝΝΟΙΕ. Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής
έως και το 04 ΣΑΛΑΝΣΩΕΙ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΣΑΛΑΝΣΩΗ ΒΑΙΚΕ ΕΝΝΟΙΕ Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα που αναφέρεται στην απλή αρμονική ταλάντωση και να συμπληρώσετε
Διαβάστε περισσότεραιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος ΙΙ Ενδεικτικές Λύσεις Κυριακή 28 Φλεβάρη 2016 Θέµα Α
ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος ΙΙ Ενδεικτικές Λύσεις Κυριακή 28 Φλεβάρη 2016 Θέµα Α Α.1. Ενα στερεό σώµα περιστρέφεται γύρω από ακλόνητο άξονα. Εάν διπλασιαστεί η στροφορµή
Διαβάστε περισσότεραF mk(1 e ), όπου k θετική σταθερά. Στο όχημα ασκείται
6-04-011 1. Όχημα μάζας m ξεκινά από την αρχή του άξονα x χωρίς αρχική ταχύτητα και κινείται στον άξονα x υπό την επίδραση της δυνάμεως t F mk(1 e ), όπου k θετική σταθερά. Στο όχημα ασκείται επίσης αντίσταση
Διαβάστε περισσότεραταχύτητα μέτρου. Με την άσκηση κατάλληλης σταθερής ροπής, επιτυγχάνεται
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ 26. Δύο σημειακές σφαίρες που η καθεμιά έχει μάζα συνδέονται μεταξύ τους με οριζόντια αβαρή ράβδο. Το σύστημα περιστρέφεται γύρω από κατακόρυφο
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ Η δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα προκαλεί μεταβολή της ταχύτητάς του δηλαδή επιτάχυνση.
ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ Η δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα προκαλεί μεταβολή της ταχύτητάς του δηλαδή επιτάχυνση. Η δύναμη είναι ένα διανυσματικό μέγεθος. Όταν κατά την κίνηση ενός σώματος η δύναμη είναι μηδενική
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η λεπτή, ομογενής ράβδος ΟΑ του σχήματος έχει μήκος, μάζα και μπορεί να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο ακλόνητο άξονα (άρθρωση) που διέρχεται
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ. Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα Κ είναι Ι= M R
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1 Η ράβδος ΟΑ του σχήματος μπορεί να στρέφεται γύρω από τον άξονα z z χωρίς τριβές Tη στιγμή t=0 δέχεται την εφαπτομενική δύναμη F σταθερού μέτρου 0 Ν, με φορά όπως φαίνεται στο σχήμα
Διαβάστε περισσότεραιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού Σώµατος
ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού Σώµατος Σύνολο Σελίδων: οκτώ (8) - ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες Κυριακή 5 Μάρτη 2017 Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο: Θέµα Α Στις ηµιτελείς προτάσεις Α.1 Α.4 να
Διαβάστε περισσότεραΕσωτερική Ροπή και Εσωτερική ύναµη
Εστερική Ροπή και Εστερική ύναµη Η οµογενής ράβδος του σχήµατος έχει µάζα Μ=0,6 g και µήκος =, και στο ένα άκρο της είναι κολληµένο σώµα =0,g αµελητέν διαστάσεν, (σφαίρα). Το όλο σύστηµα µπορεί να στρέφεται
Διαβάστε περισσότεραιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος ΙΙ
ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος ΙΙ Σύνολο Σελίδων: οκτώ (8) - ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες Κυριακή 28 Φλεβάρη 2016 Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο: Θέµα Α Στις ηµιτελείς προτάσεις Α.1
Διαβάστε περισσότεραΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 25 ΜΑΙΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 25 ΜΑΙΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 ο Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ
ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Το έργο μίας από τις δυνάμεις που ασκούνται σε ένα σώμα. α. είναι μηδέν όταν το σώμα είναι ακίνητο β. έχει πρόσημο το οποίο εξαρτάται από τη γωνία
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Κεφαλαίου: Στερεό σώµα. Ασκήσεις που δόθηκαν στις εξετάσεις των Πανελληνίων ως. Γεώργιος Μακεδών, Φυσικός Ρ/Η Σελίδα 1
Τίτλος Κεφαλαίου: Στερεό σώµα ιδακτική Ενότητα: Κινηµατική του Στερεού Σώµατος Ασκήσεις που δόθηκαν στις εξετάσεις των Πανελληνίων ως Θέµα 3ο: Γεώργιος Μακεδών, Φυσικός Ρ/Η Σελίδα 1 ιδακτική Ενότητα: Ροπή
Διαβάστε περισσότεραΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΣΤΕΡΕΟΥ 1. ΘΕΜΑ Α Στις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α.5 να σημειώσετε την σωστή απάντηση
ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΣΤΕΡΕΟΥ 1 ΘΕΜΑ Α Στις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α.5 να σημειώσετε την σωστή απάντηση Α.1 Το στερεό του σχήματος δέχεται αντίρροπες δυνάμεις F 1 kαι F 2 που έχουν ίσα μέτρα. Το μέτρο
Διαβάστε περισσότεραΠροσοχή : Να διαβάσετε τις οδηγίες στην τελευταία σελίδα! Θέµα 1ο
ιαγώνισµα - υναµική στο Επίπεδο ΙΙ Ηµεροµηνία : Φλεβάρης 2014 ιάρκεια : 3 ώρες Ονοµατεπώνυµο: Βαθµολογία % Προσοχή : Να διαβάσετε τις οδηγίες στην τελευταία σελίδα! Θέµα 1ο Στις ερωτήσεις 1.1 1.4 επιλέξτε
Διαβάστε περισσότεραΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΥΖΕΥΓΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΥΖΕΥΓΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Συγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μοίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.poiras.weebly.co ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2015 ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2015 ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ Οριζόντια βολή: Είναι η κίνηση (παραβολική τροχιά) που κάνει ένα σώμα το οποίο βάλλεται με οριζόντια ταχύτητα U 0 μέσα στο πεδίο βαρύτητας
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣ Διαλ.13. Παράδειγμα Τάσεων
ΦΥΣ 111 - Διαλ.13 1 Παράδειγμα Τάσεων Το παιδί της διπλανής εικόνας θέλει να φθάσει ένα µήλο στο δέντρο χωρίς να σκαρφαλώσει. Χρησιµοποιεί ένα σχοινί αµελητέας µάζας και µια αβαρή τροχαλία. Τραβάει το
Διαβάστε περισσότεραΓ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ε π α ν α λ η π τ ι κ ά θ έ µ α τ α 0 0 5 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1 ΘΕΜΑ 1 o Για τις ερωτήσεις 1 4, να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣ Πριν αρχίσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο και αριθµό ταυτότητας).
ΦΥΣ. 111 1 η Πρόοδος: 13-Οκτωβρίου-2018 Πριν αρχίσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο και αριθµό ταυτότητας). Ονοµατεπώνυµο Αριθµός Ταυτότητας Απενεργοποιήστε τα κινητά σας. Η εξέταση αποτελείται
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣ Πριν αρχίσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο και αριθµό ταυτότητας).
ΦΥΣ. 111 1 η Πρόοδος: 13-Οκτωβρίου-2018 Πριν αρχίσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο και αριθµό ταυτότητας). Ονοµατεπώνυµο Αριθµός Ταυτότητας Απενεργοποιήστε τα κινητά σας. Η εξέταση αποτελείται
Διαβάστε περισσότεραΕΡΓΑΣΙΑ 3 η. (αποστολή µέχρι ευτέρα 1/4/ βδοµάδα)
ΕΡΓΑΣΙΑ η (αποστολή µέχρι ευτέρα /4/ + βδοµάδα) Άσκηση (5 µονάδες): Να βρεθεί η συνισταµένη των δυνάµεων που ενεργούν πάνω στο σώµα µάζας Kg, όπως φαίνεται στο σχήµα. Ποιό είναι το µέτρο και η διεύθυνσή
Διαβάστε περισσότερα1 η ΟΜΑΔΑ. ΦΥΣ η Πρόοδος: 15-Οκτωβρίου-2011
1 η ΟΜΑΔΑ Σειρά Θέση ΦΥΣ. 131 1 η Πρόοδος: 15-Οκτωβρίου-2011 Πριν αρχίσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο και αριθµό ταυτότητας). Ονοµατεπώνυµο Αριθµός ταυτότητας Απενεργοποιήστε τα κινητά
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις που δόθηκαν στις εξετάσεις των Πανελληνίων ως
Τίτλος Κεφαλαίου: Στερεό σώµα ιδακτική Ενότητα: Κινηµατική του Στερεού Σώµατος Ερωτήσεις που δόθηκαν στις εξετάσεις των Πανελληνίων ως Θέµα 1ο: ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Στις ηµιτελείς παρακάτω προτάσεις να γράψετε
Διαβάστε περισσότερα