εάν F x, x οµόρροπα εάν F x, x αντίρροπα B = T W T = W B

Transcript

1 4 Εργο και Ενέργεια 4.1 Εργο σε µία διάσταση Το έργο µιας σταθερής δύναµης F x, η οποία ασκείται σε ένα σώµα που κινείται σε µία διάσταση x, ορίζεται ως W = F x x Εργο ύναµης = ύναµη Μετατόπιση Εχουµε { W > 0, W < 0, Η µονάδα µέτρησης του έργου είναι : εάν F x, x οµόρροπα εάν F x, x αντίρροπα 1 Joule = 1 Ν 1 m = 1 Kg m s Παράδειγµα 1 T Ανελκυστήρας µε µάζα M ανέρχεται οµαλά. W = h, W T = T h Εάν δεν έχουµε οµαλή κίνηση τότε : = T W T = W T = Ma W T = T h > W = h Άνθρωπος ακίνητος που κρατάει ένα ϐάρος δεν παράγει έργο, αν και καταναλώνεται ενέργεια στους µυς για να κρατήσει το ϐάρος. Αν ο άνθρωπος είναι µέσα σε ανελκυστήρα που κινείται οµαλά προς τα επάνω, τότε για έναν παρατηρητή εκτός ανελκυστήρα δίνεται έργο στο «ϐάρος» για να µετακινηθεί προς τα επάνω. Αν η δύναµη είναι µεταβλητή : F = F (x) τότε χωρίζουµε το διάστηµα µετακίνησης [a, b] σε µικρά τµήµατα, έστω N, και υποθέτουµε τη δύναµη σταθερή σε αυτά τα µικρά διαστήµατα : N N W ολικό = W k = F (x k ) x k k=1 και, τέλος, παίρνουµε τη διαµέριση N, x k 0 W ολικό = lim N x k 0 k=1 N F (x k ) x k = k=1 b a F (x)dx

2 74 Εργο και Ενέργεια Παράδειγµα Ελατήριο ασκεί δύναµη F (x) = kx σε σωµατίδιο που κινείται από τη ϑέση x 1 = a στη x = b. Ποιο είναι το έργο της δύναµης του ελατηρίου που προσφέρεται στο σώµα ; x x 1 Σχήµα 4.1 W 1 = x 4. Εργο δύναµης στο χώρο x 1 x F (x)dx = k xdx = k ( x x 1 x 1 1) = kx 1 1 kx Εάν το σώµα κινηθεί κατά υπό την επίδραση της δύναµης F, το στοιχειώδες έργο W της δύναµης ορίζεται ως το εσωτερικό γινόµενο της δύναµης επί τη µετατόπιση : Αναλύοντας σε συνιστώσες έχουµε Εάν F W = F = 0. W = F = F cos θ = 1 + F = F x ˆx + F y ŷ + F z ẑ = 1 = xˆx + yŷ + zẑ W = F = F x x + F y y + F z z 1 F Δ Παράδειγµα 3 Κυκλική κίνηση, κεντροµόλος ύναµη F F F = ma k Εργο F = 0 διότι F µετατόπιση. Παράδειγµα 4 T N Ολίσθηση σώµατος σε κεκλιµένο επίπεδο. Εργο αντίδρασης = 0, δύναµη N κάθετη στη µετατόπιση. h s φ φ a W N = 0, W T = T s W = sin φ s = h, W > W T Από το νόµο του Νεύτωνα έχουµε : sin φ T cos φ T = µn = ma = N

3 4. Εργο δύναµης στο χώρο 75 F k F 1 Δ k Δ i Δ 1 k 1 i Σχήµα 4. Εργο (µεταβλητής δύναµης) όταν το σώµα κινείται από τη ϑέση Α στη ϑέση Β Χωρίζουµε το δρόµο σε µικρά ευθύγραµµα τµήµατα k µε k = 1,..., N. Υπολογίζουµε το έργο της δύναµης χωριστά σε κάθε τέτοιο ευθύγραµµο τµήµα, εποµένως W k = F ( k ) k W = N F ( k ) k = k=1 F d W = (F x dx + F y dy + F z dz) Παράδειγµα 5 z 0 x 0 Γ Δ y 0 Σχήµα 4.3 F = ˆx [ ay ( y 3z )] + ŷ [ 3ax ( y z )] + ẑ [ 6axyz] (α) Εργο στη διαδροµή Γ (ϐλ. σχήµα 4.3) (ϐ) Εργο της F στην ευθύγραµµη διαδροµή W = 0 + ax 0 y 3 0 3ax 0 y 0 z 0 0 = x 0 ˆx + y 0 ŷ + z 0 ẑ, = 0 t και d = 0 dt, 0 t 1 όπου F 0 = F ( 0 ). W = 1 0 dt (F 0 0 ) t 3 Παράδειγµα 6: Εργο ϐάρους για σταθερό πεδίο ϐαρύτητας

4 76 Εργο και Ενέργεια h W ϐάρους = mgh = mgẑ W ϐάρους ανεξάρτητο της διαδροµής που ακολουθούµε. Η διαδροµή 1 και η διαδροµή 3 4 δίνουν το ίδιο αποτέλεσµα. Παράδειγµα 7: Πτώση στο πεδίο ϐαρύτητας µακριά από τη Γη, ακτινική κίνηση ( ) F Σχήµα 4.4 Η δύναµη του ϐάρους είναι F = G Mm ˆ, και η στοιχειώδης µετατόπιση είναι d = dˆ W = εποµένως το σύστηµα κερδίζει ενέργεια. dw = F d = G Mm d dw = W = GMm ( GMm) d ( = ( GMm) 1 ) GMm > Κινητική Ενέργεια Εργο ύναµης W = = F d = mv dv dt dt = m διότι v = d/dt και από το νόµο του Νεύτωνα m dv dt d = m dv dt d dt dt dv dt dt = 1 m ( v v ) 1 = mv 1 mv F = m dv dt και επίσης dv dt = d dv (v v) = v dt dt Ορίζουµε την κινητική ενέργεια K = 1 mv W = K όπου K = K K Εάν W > 0 K > 0 K > K. Η δύναµη παράγει έργο άρα αυξάνεται η κινητική ενέργεια του συστήµατος.

5 4.3 Κινητική Ενέργεια Εργο ύναµης 77 Παράδειγµα 8: Εργο σταθερής δύναµης F = ma a = F m v(t) = at + v 0 x(t) = 1 at + v 0 t + x 0 x = 1 at + v 0 t W F = F x = ma x = 1 ma t + mav 0t ± 1 mv 0 = 1 m (at + v 0) 1 mv 0 = 1 mv 1 mv 0 Παράδειγµα 9: Οµαλή κυκλική κίνηση Δ F Σχήµα 4.5 W F = F F d = K = 1 mv 1 mv αλλά W F = 0 K = 0 v = v Παράδειγµα 10: Πτώση κοντά στη Γη h Σχήµα 4.6 W = mgh K = 1 mv mgh = 1 mv Παράδειγµα 11: υναµική Ενέργεια Βαρύτητας W = = z z 1 d = z z 1 ( mgẑ) (dzẑ) ( mg) dz = mgz z = mgz + mgz 1 z 1 Οπως και αν κινηθεί το σώµα ανάµεσα στα δύο σηµεία Α και Β, ϑα έχουµε W = mgz 1 mgz

6 78 Εργο και Ενέργεια z z 1 z y x Σχήµα 4.7 W = K mgz 1 mgz = 1 mv 1 mv 1 1 mv 1 + mgz 1 = 1 mv + mgz Θεώρηµα ιατήρησης της Μηχανικής Ενέργειας Οπως είδαµε στο προηγούµενο παράδειγµα, υπάρχει µια ποσότητα η οποία διατηρείται σταθερή : Ορισµός υναµικής Ενέργειας E = 1 mv + mgz = σταθερό U(z) = mgz εάν ορίσουµε U(z = 0) = 0 Η ποσότητα E, η οποία είναι το άθροισµα κινητικής ενέργειας και δυναµικής ενέργειας, ονοµάζεται µηχανική ενέργεια. Παράδειγµα 1 Ενα εκκρεµές αποτελείται από µάζα m δεµένη σε νήµα µήκους l. Το εκκρεµές κρατείται αρχικά σε γωνία θ ως προς την κατακόρυφο. Εάν το εκκρεµές αφεθεί ελεύθερο, ποια είναι η τάση του νήµατος όταν το εκκρεµές διέρχεται από την κατακόρυφο ; θ T 1 T (1) () Σχήµα 4.8 h E 1 = 0 + mgh ϑέση (1) E = 1 mv + 0 ϑέση ()

7 4.4 ιατήρηση της Ενέργειας 79 Το έργο της τάσης του νήµατος είναι µηδέν. 1 mv = mgh Στη ϑέση (): h = l l cos θ = l(1 cos θ) T = m v l 1 mv = mgl(1 cos θ) v = g(1 cos θ) l T = mg(1 cos θ) T = mg + mg mg cos θ T = mg(3 cos θ) 4.4 ιατήρηση της Ενέργειας ιατηρητικές υνάµεις Για να ορίσουµε τη µηχανική ενέργεια χρειαζόµαστε την έννοια της δυναµικής ενέργειας. Η δυναµική ενέργεια ορίζεται µόνο για τις διατηρητικές δυνάµεις. Πρέπει να ορίσουµε λοιπόν ποιες δυνάµεις είναι διατηρητικές. Για ένα σωµατίδιο που κινείται από τη ϑέση P 1 στη ϑέση P υπό την επίδραση µιας δύναµης που δεν εξαρτάται από την ταχύτητα του σώµατος ή ϱητά από το χρόνο, µπορούµε να ψάξουµε για το εάν η δύναµη είναι διατηρητική ή όχι. Το έργο της δύναµης είναι W 1, = P P 1 F d Η δύναµη είναι διατηρητική εάν το W 1, δεν εξαρτάται από τη διαδροµή που ενώνει τα σηµεία P 1 και P, είναι δηλαδή ίδιο για όλες τις διαδροµές από το P 1 στο P. Επειδή W 1, = W,1, µπορούµε να δείξουµε ότι το έργο σε µια κλειστή διαδροµή από το P 1 στο P 1 είναι µηδέν για ένα διατηρητικό πεδίο δυνάµεων. Παραδείγµατα διατηρητικών δυνάµεων - ϐαρύτητα κοντά στη Γη - ελατήριο, και γενικά για κάθε µονοδιάστατη κίνηση υπό την επίδραση δύναµης, η οποία δεν εξαρτάται από την ταχύτητα. Παραδείγµατα µη-διατηρητικών δυνάµεων - Τριβή σαν µακροσκοπική δύναµη, παράγει αρνητικό έργο, όπως κι αν κινηθεί το σώµα. T W T =-Ts υ υ T W T =-Ts Σχήµα 4.9 Μικροσκοπικά πάνω σε έναν κλειστό δρόµο το σύστηµα δεν επανέρχεται στην ίδια κατάσταση.

8 80 Εργο και Ενέργεια 4.4. υναµική Ενέργεια Εστω ότι το πεδίο δυνάµεων είναι διατηρητικό, διαλέγουµε ένα σηµείο P 0 στο χώρο σαν σηµείο αναφοράς (στην αρχή των αξόνων, στο άπειρο, εκεί που οι δυνάµεις µηδενίζονται, κάποιο αυθαίρετο σηµείο) και ορίζουµε εκεί ότι η δυναµική ενέργεια U(P 0 ) = 0 (ή κάτι άλλο αυθαίρετα πεπερασµένο): P U(P ) = F d + U(P 0 ) P 0 και υπολογίζουµε το ολοκλήρωµα κατά µήκος οποιουδήποτε συγκεκριµένου δρόµου. Κρατώντας το P 0 σταθερό U(P ) είναι συνάρτηση µόνο του άνω ορίου P P U(P ) U(P 1 ) = F d + P 0 = P P1 P 0 P 1 F d = W P1 P W F P 1 P = U(P 1 ) U(P ) P1 P P1 F d = F d F d + F d P 0 P 1 P 0 U(P 1 ) U(P ) = Από το προηγούµενο κεφάλαιο W1 F = K = K K 1 P P 1 F d U(P 1 ) U(P ) = K K 1 K 1 + U(P 1 ) = K + U(P ) Η µηχανική ενέργεια E = K + U διατηρείται σταθερή. Παραδείγµατα (Α) Πεδίο ϐαρύτητας της Γης κοντά στη Γη : P 0 = αρχή των αξόνων U(z) = mgz (Β) ελατήριο : P 0 (x = 0) U(x = 0) = 0 x x U(x) = F (x )dx = ( kx )dx = kx (Γ) ύναµη F (x) = x, P 0 =, U(x = ) = 0 U(x) = x F (x )dx = + x ( + ) dx = x x x = x ( ) Πεδίο ϐαρύτητας της Γης µακριά από τη Γη U(x) = x F = GMm ˆ, το πεδίο είναι διατηρητικό P 0 =, (η µάζα δεν εκτείνεται µέχρι το άπειρο) U() = F d = U ( = ) = 0 ( GMm ) d = GMm

9 4.4 ιατήρηση της Ενέργειας 81 P (1) 8 () (3) 8 Σχήµα 4.10: Οι διαδροµές (1) και ()+(3) είναι ισοδύναµες. Εάν έχουµε διατηρητικές δυνάµεις F και µη διατηρητικές δυνάµεις T, τότε W F 1 + W T 1 = K U (1) U () + W T 1 = K όπου K = K K 1, U = U () U (1). W T 1 = K + U υναµική Ενέργεια από το πεδίο ϐαρύτητας κοντά στη Γη U() = GMm = GMm ( = GMm + h = GMm h/ = GMm 1 h ( ) ) h GMm h +... U(h) = GM mh = mgh, Μετράµε µόνο µεταβολές της δυναµικής ενέργειας GM όπου g = U( + h) = U() + GMm h U(h) = U( + h) U() = GM mh και η ακτίνα της Γης Οι κεντρικές δυνάµεις F () = F ()ˆ είναι διατηρητικές (π.χ. δύναµη ϐαρύτητας) W C1 = F d, C 1 W C = F d C Χωρίζουµε τους δύο δρόµους C 1 και C σε µικρά κοµµάτια παίρνοντας οµόκεντρες σφαίρες ακτίνας και + d: dw 1 = F 1 d 1 = F ()d 1 cos θ 1 = F ()d όπου d 1 cos θ 1 είναι η προβολή του d 1 στην ακτίνα = d dw = F d = F ()d cos θ = F ()d Συνολικά dw 1 = dw για κάθε τέτοια στοιχειώδη διαδροµή W C1 = dw = W C εποµένως, το έργο από το σηµείο Α έως το Β είναι το ίδιο για κάθε διαδροµή, και άρα η δύναµη είναι διατηρητική.

10 8 Εργο και Ενέργεια C 1 d 1 θ 1 F 1 θ F d C +d Σχήµα Υπολογισµός ύναµης από τη υναµική Ενέργεια Είδαµε ότι για µια απειροστή µετακίνηση d µόνο P U = U(P ) U(P 1 ) = F d P 1 du = F d όπου du = U ( + d) U() Εάν έχουµε µια µονοδιάστατη κίνηση, τότε du = F x dx F y dy F z dz U = U(x) du = du dx = F (x)dx dx F (x) = du dx Για τις τρεις διαστάσεις U = U(x, y, z). Για µια τέτοια συνάρτηση έχουµε τη µερική παράγωγο και το ολικό διαφορικό της U, εποµένως du = U x F x = U x, U U dx + dy + y z dz F y = U y, Παράδειγµα : Ελατήριο, U(x) = (1/)kx F (x) = kx F z = U z Παράδειγµα : Πεδίο ϐαρύτητας GMm U = x + y + z F = GMm (x + y + z ) ˆ, όπου = x + y + z F x = U x = du d d dx = du d x + y + z = du x d 1 x x + y + z = du x d F y = du y d και F z = du z d, F = ˆxF x + ŷf y + ẑf z = GMm F = GMm ˆ du d = gmm xˆx + yŷ + zẑ

11 4.5 υναµική ενέργεια και σηµεία αναστροφής, έσµιες τροχιές, σηµεία ισορροπίας 83 Γενικό αποτέλεσµα Εάν U = U(), =, τότε F = du d ˆ Ορίζουµε και du = U d. = ˆx x + ŷ y + ẑ z F = ˆx U x ŷ U y ẑ U z = U Τοπικό κριτήριο για τις διατηρητικές δυνάµεις Εως τώρα το κριτήριο για το εάν µια δύναµη ήταν συντηρητική διατηρητική ήταν ότι το έργο της δύναµης σε κάθε διαδροµή από το Α στο Β είναι το ίδιο, δηλαδή το έργο από το Α στο Α είναι µηδέν F d = F d F d = 0 C 1 C Αυτό το κριτήριο για τον έλεγχο µιας δύναµης δύσκολα εφαρµόζεται. Υπάρχει ένα ισοδύναµο (τοπικό) κριτήριο που αποτελεί αναγκαία και ικανή συνθήκη για τις διατηρητικές δυνάµεις F = 0 (διαβάζεται culf = 0) για κάθε σηµείο στο χώρο. ˆx ŷ ẑ ( Fz F = = ˆx x y z y F ) ( y Fx + ŷ z z F ) ( z Fy + ẑ x x F ) x y F x F y F z Εάν η δύναµη είναι συντηρητική, τότε F = U F = U = 0 όπως µπορείτε εύκολα να δείτε κάνοντας τις παραγωγίσεις. 4.5 υναµική ενέργεια και σηµεία αναστροφής, έσµιες τροχιές, σηµεία ισορροπίας Θα αναφερθούµε στην περίπτωση της µίας διάστασης. E = 1 mv + U(x) = σταθερή Σχεδιάζουµε πρώτα την καµπύλη της δυναµικής ενέργειας και µετά µε ϐάση τη γραφική παράσταση της δυναµικής ενέργειας ϑα εξετάσουµε τις διάφορες δυνατές κινήσεις. E U(x) E γ α x 0 β E 1 U 0

12 84 Εργο και Ενέργεια Εάν το σώµα έχει ενέργεια E 1, τότε η κίνησή του γίνεται υποχρεωτικά ανάµεσα στα σηµεία α και β, που είναι σηµεία αναστροφής (v = 0), E = U(α) = U(β) και η τροχιά λέγεται δέσµια. Εάν E = U 0 v = 0, άρα το σώµα ακίνητο σε κατάσταση ευσταθούς ισορροπίας (για µικρές αποκλίσεις γύρω από τη ϑέση ευσταθούς ισορροπίας έχουµε περιοδική κίνηση). Στην ϑέση ευσταθούς ισορροπίας ισχύει : du dx = 0, x=x0 d U dx > 0 x=x0 Εάν E = E, τότε το σώµα µπορεί να κινηθεί από τα σηµεία γ έως το άπειρο, µη δέσµια τροχιά. Για κάθε ϑέση του σώµατος έχουµε : v = [E U(x)] 0 m Παράδειγµα 1 dx x dt = ± m [E U(x)] t 1 t = x 1 U(x) = b x c du dx x, b > 0, c > 0 ( x = x 0 = b ) = 0 c dx (E U(x)) m U (x 0 = b/c) = c b d U dx (x 0) = c4 b 3 > 0, ελάχιστο, σηµείο ευσταθούς ισορροπίας. Παράδειγµα : Ελατήριο E α 0 β Σχήµα 4.1 x U(x) = 1 kx Περιοδική κίνηση ανάµεσα στα σηµεία α και β, ταλάντωση v = [E U(x)] m E = 1 kα = 1 kβ α = β καθώς κινείται από το 0 στο β το σώµα επιβραδύνεται, η ταχύτητα ελαττώνεται, η δυναµική ενέργεια αυξάνεται, καθώς κινείται από το β στο 0 η ταχύτητα αυξάνεται και η δυναµική ενέργεια ελαττώνεται. Παράδειγµα 3: Πεδίο ϐαρύτητας της Γης

13 4.6 Θερµότητα και Ισχύς 85 E Γ Μέγιστο ύψος Σχήµα 4.13 m M Γ F = GM Γm U() = GM Γm ˆ ιατήρηση Μηχανικής Ενέργειας 1 mv GM Γm = σταθερό = E Ταχύτητα ιαφυγής E(επιφάνεια της Γης) = E(σε άπειρη απόσταση) 1 mv Γ GM Γm = 1 Γ mv εποµένως, εάν v = 0, τότε 1 mv Γ = G M Γm v Γ = GM Γ Γ Γ Ενέργεια Σελήνης σε κυκλική κίνηση γύρω από τη Γη E GM Γ M Σ v = M Σ = 1 M Σv GM ΓM Σ E = 1 GM ΓM Σ < Θερµότητα και Ισχύς Θερµότητα : Μακροσκοπικά µια άλλη µορφή ενέργειας µη διατηρητικές δυνάµεις µικροσκοπικά έχουµε κινητική και δυναµική ενέργεια των µορίων του σώµατος. Ισχύς ύναµης : P = dw dt Μονάδα Ισχύος : 1 Watt = 1 J/s, 1 hp = 745, 7 W P = dw dt = F d dt = F v

14 86 Εργο και Ενέργεια M O θ sinθ l m dθ Σχήµα Πεδίο Βαρύτητας Σφαιρικού Φλοιού Ολική µάζα σφαιρικού ϕλοιού ίση µε M άρα επιφανειακή πυκνότητα= M/4π. ϕλοιό σε δακτυλίδια µε επίπεδο κάθετο στη γραµµή ΟΑ. Χωρίζουµε το σφαιρικό και M(θ) = dm δακτ = M M (π sin θ) (dθ) = M 4π 4π π sin θdθ sin θdθ du δακτ = G dm δακτm l U = δακτυλίδια = G M msin θdθ l δυναµικών ενεργειών από κάθε δακτυλίδι = GMm π 0 sin θdθ l Τρίγωνο ΟΑΒ l = + cos θ ldl = sin θdθ dl sin θdθ = l Για τα όρια ολοκλήρωσης έχουµε : θ = 0 l =, θ = π l = + U = GMm 1 + dl = GMm 1 ( + ( )) U = GMm Εάν η µάζα ϐρίσκεται µέσα στο ϕλοιό, τότε 1 + = GMm dl = όταν έχουµε > U = GMm εποµένως όταν η µάζα είναι µέσα δεν δέχεται καµία δύναµη, = σταθερή για κάθε όταν έχουµε < F = du d = 0 Εάν λοιπόν ϑέλουµε να υπολογίσουµε τη δύναµη της Γης σε µάζα µέσα στη Γη, τότε χωρίζουµε τη Γη σε δύο συµπαγείς ϕλοιούς, έναν µε ακτίνα (0, ) και έναν µε ακτίνα (, Γ ). Ο εξωτερικός ασκεί δύναµη µηδέν στη m, ενώ για τον εσωτερικό έχουµε F = G M()m F = GM Γm 3 Γ = G M Γ 3 3 m Γ για < Γ

15 4.7 Πεδίο Βαρύτητας Σφαιρικού Φλοιού 87 και F = GM Γm για > Γ. F Γ Σχήµα 4.15 U() = = GM Γm Γ Γ F d = Γ ( F d GM Γm 3 Γ όπου η απόσταση από το κέντρο της Γης, < Γ. ) Γ F d = GM Γm Γ d =... = 3 GM Γ m Γ Γ F d + GM Γm 3 Γ