Ευθεία Mayer Θεωρία - Ασκήσεις

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ευθεία Mayer Θεωρία - Ασκήσεις"

Κῆρες Δασκαλοπούλου
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 1 Ευθεία Mayer Θεωρία - Ασκήσεις Θεωρία 1. Επιλέγουμε ποια είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή και ποια η εξαρτημένη και τοποθετούμε τα ζεύγη έτσι ώστε η ανεξάρτητη μεταβλητή να είναι κατά αύξουσα τάξη μεγέθους. 2. Χωρίζουμε τα ζεύγη σε δύο ομάδες Ο1 και Ο2 έτσι ώστε η 1 η να έχει τα πρώτα μισά και η δεύτερη τα υπόλοιπα. Αν το πλήθος είναι περιττό η μία ομάδα θα έχει κατά ένα περισσότερο ζεύγη. 3. Βρίσκουμε τις μέσες τιμές x 1, y 1, 2 2 που διέρχεται από τα δύο αυτά σημεία. x, y των δύο ομάδων. Η ευθεία Mayer είναι η ευθεία Η διαδικασία στον μικροϋπολογιστή Δίνεται ο πίνακας: an ex Ομάδα Ο1 Ομάδα Ο2 Ενδιαφερόμαστε για την ευθεία Mayer της ex πάνω στην an (ανεξάρτητη μεταβλητή). 1. Τοποθετούμε τα ζεύγη έτσι ώστε η ανεξάρτητη μεταβλητή να είναι κατά αύξουσα τάξη μεγέθους (στο παράδειγμα είναι έτοιμα). Ονομάζουμε τις 2 πρώτες στήλες an και ex. 2. Για να δω τα σημεία: Ανοίγω το παράθυρο για τις γραφικές παραστάσεις: Menu Graph entry Scatter Plot Πατάω το κουμπί Var και μετά το x εισάγω το an και μετά το y εισάγω το ex και πατάω (enter). Για να εμφανιστούν τα σημεία: Menu Window/Zoom Zoom - Data 3. Στη στήλη c γράφουμε =mean(a1:a5) και στη στήλη d: =mean(b1:b5) και έτσι βρίσκουμε τη μέση τιμή για τις τιμές των x και y της 1 ης ομάδας. Από κάτω το ίδιο κάνουμε για την 2 η ομάδα. Τις στήλες c και d ονομάζω xm και ym αντίστοιχα.

2 2 Προκύπτουν τα ζεύγη Α(3, 15.5) και Β(5.5, 21.7). 4. Εισάγω τα παραπάνω σημεία στην γραφική παράσταση των προηγούμενων ως εξής: Menu graph entry - scatter plot και όπως προηγουμένως με την χρήση του πλήκτρου var εισάγω τις στήλες xm και ym. Εύρεση της εξίσωσης της ευθείας: 5. Menu Geometry Points and Lines Line και μαρκάρω τα δύο παραπάνω σημεία Α και Β. Για να βρω την εξίσωση της ευθείας: Menu actions Coordinates and equations και μαρκάρω την ευθεία. Το αποτέλεσμα είναι: y=2.48x+8.06 Ασκήσεις: 1. Η σχέση δύο μεταβλητών x, y δίνεται στον παρακάτω πίνακα: x y α) Να γίνει το διάγραμμα διασποράς. β) Να βρεθεί και να σχεδιαστεί (στο ίδιο διάγραμμα με το ερώτημα α)) η ευθεία Mayer της y πάνω στην x. (Η άσκηση να λυθεί χωρίς τη βοήθεια μικροϋπολογιστή). (y=2x+1) 2. Μια μελέτη σε 20 οδηγούς για τη σχέση ταχύτητας και απόστασης που κινήθηκε το αυτοκίνητο μετά το φρενάρισμα έδωσε τον παρακάτω πίνακα: x (km/h) y (m) x (km/h) y (m)

3 3 Να υπολογισθεί η ευθεία Mayer. Ένας οδηγός που τρέχει με 121 km/h πατάει απότομα φρένο. Πόσα μέτρα θα κινηθεί ακόμα το αυτοκίνητο; 3. Ο παρακάτω πίνακας δίνει το ακαθάριστο εθνικό προϊόν x (σε ευρώ ανά κάτοικο) και τον αριθμό νοσοκομείων y (ανά εκατομμύριο κατοίκους) σε 8 ευρωπαϊκές χώρες. Χώρες Χ1 Χ2 Χ3 Χ4 Χ5 Χ6 Χ7 Χ8 x y α) Σχεδιάστε το διάγραμμα διασποράς (με την βοήθεια του μικροϋπολογιστή) β) Βρείτε το ζεύγος των μέσων όρων των παραπάνω μεταβλητών και τοποθετήστε τον στο διάγραμμα διασποράς. γ) Υπολογίστε τον συντελεστή γραμμικής συσχέτισης του Υ πάνω στο Χ. Δικαιολογείται γραμμική συσχέτιση; δ) Βρείτε την ευθεία Mayer. (y=0.15x ) ε) Την ευθεία της γραμμικής παλινδρόμησης. (y= x ) ς) Μια χώρα έχει ΑΕΠ ευρώ ανά κάτοικο. Ποια εκτίμηση μπορεί να γίνει για τον αριθμό των νοσοκομείων ανά εκατομμύριο κατοίκων; ζ) Μια χώρα με 3500 νοσοκομεία ανά εκατομμύριο κατοίκους πόσο ΑΕΠ ανά κάτοικο μπορεί να έχει; 4. Ο πίνακας δείχνει το ύψος σε σχέση με το πλάτος 12 αντικειμένων σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου: Ύψος x [cm] Πλάτος y [cm] α) Βρείτε την ευθεία γραμμικής παλινδρόμησης του y πάνω στο x. β) Βρείτε τον συντελεστή συσχέτισης. γ) Υπολογίστε την ευθεία Mayer του y πάνω στο x.

4 4 δ) Υπολογίστε το ύψος ενός ορθογωνίου με πλάτος 170 cm και με τις δύο ευρεθείσες στα προηγούμενα ερωτήματα ευθείες. 5. Η κατανάλωση παγωμένων αναψυκτικών σε λίτρα σε μια καφετέρια 8 μέρες φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: Θερμοκρ. ( 0 C) Αναψυκτικά (l) Η 1 η γραμμή αναφέρει τις μέσες θερμοκρασίες των οκτώ αυτών ημερών. Θεωρούμε την θερμοκρασία ως ανεξάρτητη μεταβλητή και την κατανάλωση ως εξηρτημένη. Α) Να βρεθεί η ευθεία Mayer. B) Να βρεθεί η ευθεία των ελαχίστων τετραγώνων. Γ) Να βρεθεί με την βοήθεια και των δύο ευθειών σε λίτρα η κατανάλωση αναψυκτικών μία μέρα με μέση θερμοκρασία C. Δ) Από τον πίνακα παρατηρούμε ότι για αύξηση της μέσης θερμοκρασίας κατά C= C C βαθμούς Κελσίου έχουμε αύξηση της κατανάλωσης κατά =2.1l, άρα μπορούμε να συμπεράνουμε ότι όταν η μέση θερμοκρασία αυξηθεί κατά 1 βαθμό θα έχουμε αύξηση της κατανάλωσης κατά 2 l περίπου. Να διορθωθεί αυτή η εκτίμηση με την βοήθεια της ευθείας των ελαχίστων τετραγώνων (2.27). 6. Ο παρακάτω πίνακας δείχνει την ετήσια παραγωγή φραουλών μιας περιοχής σε τόνους τα τελευταία 8 χρόνια, καθώς και τις αντίστοιχες τιμές της αγοράς. x (τόνοι) y ( /kg) α) Να σχεδιαστεί το διάγραμμα διασποράς χρησιμοποιώντας τα δεδομένα του πίνακα. β) Να προσδιοριστεί η εξίσωση της ευθείας παλινδρόμησης της y πάνω στην x. γ) Να προσδιοριστεί ο συντελεστής γραμμικής συσχέτισης των x και y. δ) Να προσδιοριστεί η εξίσωση της ευθείας του Mayer ομαδοποιώντας τα δεδομένα των 4 πρώτων ετών, καθώς και τα δεδομένα των 4 τελευταίων ετών.

5 5 ε) Το διάγραμμα διασποράς υποδηλώνει ότι ένα εκθετικό μοντέλο θα ήταν καταλληλότερο ενός γραμμικού μοντέλου. Για τούτο θεωρούμε την μεταβλητή z=lny. Να προσδιοριστεί η εξίσωση της ευθείας παλινδρόμησης της z πάνω στη x. ς) Να προσδιοριστεί ο συντελεστής γραμμικής συσχέτισης των x και z. ζ) Να εκτιμηθεί η τιμή των φραουλών σε ευρώ ανά χιλιόγραμμο ( /kg) για μία παραγωγή 3000 τόνων χρησιμοποιώντας τα τρία μοντέλα που διαθέτουμε από τα υποερωτήματα (β), (δ) και (ε). Να διατυπωθεί ένα σύντομο σχόλιο σχετικά με τα αποτελέσματα. 7. Γίνεται μία μελέτη σχετικά με την επίδραση της ζέστης σε μικροοργανισμούς. Γνωρίζουμε ότι η ζέστη έχει ως αποτέλεσμα την ολική ή μερική καταστροφή τους, ανάλογα με την ένταση της, και κάποιων άλλων προϋποθέσεων. Αν το 90% των υφιστάμενων μικροοργανισμών μετά την έκθεση σε υψηλή θερμοκρασία καταστρέφεται θεωρούμε ότι ο στόχος έχει επιτευχθεί. Ο παρακάτω πίνακας μας δίνει τον χρόνο που επιτυγχάνεται ο παραπάνω στόχος σε κάποιες θερμοκρασίες: Θερμοκρασία σε C (x) Διάρκεια σε min (t) α) Να γίνει το διάγραμμα διασποράς των σημείων (x, t). Δικαιολογείται γραμμική προσέγγιση; β) Θέτουμε y=ln(t). Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα, στρογγυλεύοντας τα αποτελέσματα στο 2 ο δεκαδικό ψηφίο. x y=ln(t) Να γίνει το διάγραμμα διασποράς των σημείων (x,y). γ) Να βρεθεί η ευθεία ελαχίστων τετραγώνων του y πάνω στο x. δ) Να βρεθεί η ευθεία Mayer. ( y=-0,33x+39,84 ) ε) Στην θερμοκρασία των C ποιος χρόνος αντιστοιχεί. Να χρησιμοποιηθούν και τα δύο ευρεθέντα μοντέλα. 8) Ο παρακάτω πίνακας δίνει τον κύκλο των εργασιών κατά την διάρκεια των τελευταίων 6 μηνών μιας εταιρείας πωλήσεων στο διαδίκτυο. Το x παριστάνει τον αριθμό των εντολών και το y την

6 6 αξία τους: x y(σε ευρώ) Να βρεθεί η ευθεία Mayer της y πάνω στη x. (y=27.65x ) 9) Δέκα δεξιόχειρες μαθητές της Α Λυκείου πέταξαν σε μια άσκηση ένα βάρος πρώτα με το δεξί χέρι και μετά με το αριστερό, με την απόσταση σε μέτρα να φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: ΜΑΘΗΤΗΣ ΔΕΞΙ ΧΕΡΙ ΑΡΙΣΤΕΡΟ ΧΕΡΙ 1 5,5 4,1 2 7,1 6,2 3 5,8 4,0 4 6,4 5,5 5 6,0 4,9 6 6,2 4,7 7 7,2 6,0 8 5,6 4,9 9 6,8 5,0 10 5,6 3,9 α) Ένας μαθητής της Α Λυκείου εκτός της προηγούμενης ομάδας που πέταξε το βάρος στα 6,5m με το δεξί χέρι, σε πόσα μέτρα θα πετάξει το ίδιο βάρος με το αριστερό; Να χρησιμοποιηθεί η ευθεία Mayer, παίρνοντας σαν ανεξάρτητη μεταβλητή την απόσταση με το δεξί χέρι. (y=1,077x- 1,778 5,22) β) Ένας άλλος μαθητής της Α Λυκείου και αυτός εκτός της προηγούμενης ομάδας που πέταξε το βάρος στα 4,2m με το αριστερό χέρι, σε πόσα μέτρα θα πετάξει το ίδιο βάρος με το δεξί; Να χρησιμοποιηθεί η ευθεία Mayer, παίρνοντας σαν ανεξάρτητη μεταβλητή την απόσταση με το αριστερό χέρι. (y=0,8x+2,284 5,64)

7 γ) Επαληθεύστε ότι και οι δύο ευθείες διέρχονται από το σημείο x, y,όπου x, y είναι οι μέσες τιμές των αποστάσεων για το δεξί και το αριστερό χέρι αντίστοιχα. Το γ) αποτελεί γενικότερα ιδιότητα της ευθείας Mayer. 7

Σχετικά έγγραφα

1 ο Διαγώνισμα (με χρήση μικροϋπολογιστή) ΜΕΡΟΣ Β. Ερώτηση Β1 Ανάλυση. Η παράγωγος f μιας συνάρτησης f δίνεται από τον τύπο f (x)=e x -2x 2.

1 ο Διαγώνισμα (με χρήση μικροϋπολογιστή) ΜΕΡΟΣ Β Ερώτηση Β1 Ανάλυση Η παράγωγος f μιας συνάρτησης f δίνεται από τον τύπο f (x)=e x -2x 2. a) Χρησιμοποιείστε τον μικροϋπολογιστή για να δείξετε ότι η συνάρτηση