Β Λυκείου - Ασκήσεις Συστήματα. x = 38 3y x = 38 3y x = x = = 11

Transcript

1 Να λυθεί το σύστημα: Β Λυκείου - Ασκήσεις Συστήματα x+ 3y= 38 3x y = 2 Θα λύσουμε το σύστημα με τη μέθοδο της αντικατάστασης: x+ 3y= 38 x = 38 3y x = 38 3y x = 38 3y 3x y = ( 3y) y= y y = 2 0y = 2 x = 38 3y x = 38 3y x = x = = 0y = 90 y = 9 y = 9 y = 9 Να λυθεί το σύστημα: 3x + 2y = 26 2x y = 60 με τη μέθοδο των αντίθετων συντελεστών. Θα δημιουργήσουμε αντίθετους συντελεστές για τη μεταβλητή y. Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με 2, το σύστημα ισοδύναμα γίνεται: 3x + 2y = 26 3x + 2y = 26 2x y = 60 x 2y = 20 Κρατάμε την πρώτη εξίσωση όπως είναι, ενώ στη θέση της δεύτερης εξίσωσης γράφουμε το άθροισμα των δύο εξισώσεων. Έτσι το σύστημα γίνεται ισοδύναμα: 3x + 2y = 26 3x + 2y = y = 26 2y = x = 336 x = = 8 x = 8 x = y = 26 y= = x = 8 x = 8

2 Να λυθεί το σύστημα: 0,7x + 0,5y = 6,5, x 0,3y = 5, 2 Α τρόπος : Θα λύσουμε το σύστημα με τη μέθοδο της αντικατάστασης x+ y= 0,7x + 0,5y = 6, x + 5y = 65 7x = 65 5y,x 0,3y = 5, x 3y = 52 x 3y = 52 x y= x y 65 5 = x y = 7 7 x = y y 3y = 52 y 3y = y 3y = x = y 65 5 x = y x = y 7 7 x = y = 52 3y = 78 y= = 6 y = x = = = 5 x = y = 6 y= 6 Β τρόπος : Παρατηρούμε ότι ο συντελεστής του x στη δεύτερη εξίσωση είναι διπλάσιος από εκείνον της ίδιας μεταβλητής στην πρώτη εξίσωση. Αν, λοιπόν, πολλαπλασιάσουμε την πρώτη εξίσωση με 2, θα δημιουργήσουμε αντίθετους συντελεστές για τη μεταβλητή x. Έτσι, προσθέτοντας τις δύο εξισώσεις κατά μέλη, η μεταβλητή x θα εξαφανιστεί λόγω των αντίθετων συντελεστών, με αποτέλεσμα να οδηγηθούμε σε μία εξίσωση με έναν μόνο άγνωστο. Ας το δούμε: 0,7x + 0,5y = 6,5 ε 2( ), x y = 3,x 0,3y = 5,2,x 0,3y = 5,2.

3 Αθροίζοντας τώρα τις δύο εξισώσεις κατά μέλη παίρνουμε: 7,8 78, x y +, x 0,3y = 7,8,3y = 7,8 y = = = 6, 3 3 Έχοντας πλέον υπολογίσει την τιμή του y, αρκεί να αντικαταστήσουμε σε μία από τις δύο εξισώσεις για να βρούμε την τιμή του x. Με αντικατάσταση στην πρώτη εξίσωση έχουμε: 7 70, x 6 = 3, x = 7 x = = = 5, Τελικά η λύση του συστήματος είναι το ζεύγος ( x,y ) = (5,6). Γνωρίζουμε από το μάθημα της Φυσικής ότι η ταχύτητα ενός κινητού στην ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση δίνεται από τη σχέση: v= v0 +α t όπου v 0 είναι η αρχική ταχύτητα του κινητού, α είναι η επιτάχυνσή του και t ο χρόνος κίνησης. Έστω κινητό Α με αρχική ταχύτητα 5m/sec και επιτάχυνση 3m/sec 2 και κινητό Β με αρχική ταχύτητα 2m/sec και επιτάχυνση m/sec 2. Να υπολογίσετε τη χρονική στιγμή κατά την οποία τα δύο κινητά θα έχουν την ίδια ταχύτητα και να βρεθεί η ταχύτητα αυτή. Η εξίσωση της ταχύτητας για το κινητό Α θα είναι: v = 5+ 3t, ενώ για το κινητό Β : v= 2+ t. Θέλουμε τα κινητά να έχουν την ίδια χρονική στιγμή την ίδια ταχύτητα. Δηλαδή, αναζητούμε λύσεις του συστήματος: 2t 7 v = 5 + 3t 2 + t = 5 + 3t 2t = 7 = 2 2 v= 2+ t v= 2+ t v= 2+ t v= 2+ t 7 7 t = t = v= 2+ v= + = Άρα τα δύο κινητά θα έχουν την ίδια ταχύτητα 3 v= m/sec τη χρονική στιγμή 2 7 t = sec. 2

4 Η περίμετρος ενός ορθογώνιου παραλληλογράμμου ισούται με 2. Αν, διπλώνοντάς το στη μέση, προκύπτει τετράγωνο να βρεθεί το εμβαδόν του ορθογωνίου. Για να υπολογίσουμε το εμβαδόν ενός ορθογώνιου παραλληλογράμμου χρειαζόμαστε το μήκος και το πλάτος του. Έστω x το μήκος και y το πλάτος. Αφού η περίμετρος ισούται με 2, παίρνουμε τη σχέση: 2x+2y=2. Αν, διπλώνοντάς το στη μέση, (προφανώς κατά το μήκος του) προκύπτει τετράγωνο, αυτό σημαίνει ότι x y 2 =. 2x + 2y = 2 Έχουμε λοιπόν το σύστημα: x με την επίλυση του οποίου βρίσκουμε ότι: x=, = y 2 y=2. Άρα το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι: xy=8τ.μ. Να λυθεί το σύστημα: λx+ 2y= { 2x + λy= για κάθε λ. Πρόκειται για διερεύνηση συστήματος. Θα το λύσουμε με τη μέθοδο των οριζουσών. λ 2 Είναι: D= =λ 2 = ( λ 2)( λ+ 2) 2 λ και: D = = λ 8= ( λ 2 ), D = = λ 8= ( λ 2) X 2 λ λ Y 2 Για λ { 2, 2} ( λ X ) ( )( ) ( ) είναι: D 0 άρα το σύστημα έχει μοναδική λύση την: D 2 D Y ( λ 2) x = = =, y= = = D λ 2 λ+ 2 λ+ 2 D λ 2 λ+ 2 λ+ 2 ( )( ) ( ) Για λ= 2 είναι: D= 0 αλλά DX 0 οπότε το σύστημα είναι αδύνατο. Για λ= 2 είναι: D= 0 αλλά D= DX = DY = 0 άρα το σύστημα είναι αόριστο..

5 Για να βρούμε τη μορφή της αοριστίας, δηλαδή τη μορφή των άπειρων λύσεων αντικαθιστούμε την τιμή του λ σε μία από τις δύο εξισώσεις. Έτσι για λ= 2 η πρώτη εξίσωση γίνεται: 2x + 2y = y = 2 x. Άρα το σύστημα έχει άπειρες λύσεις που βρίσκονται πάνω στην ευθεία: y= 2 x, x,y = x,2 x, x. δηλαδή άπειρες λύσεις της μορφής: ( ) ( ) 2 3 = x y x y 5 Να λυθεί το σύστημα: = 3(x y) x + y 2 Πρόκειται για ένα μη γραμμικό σύστημα. Παρατηρούμε πως αν θέσουμε: x+ y = w εύκολα να λύσουμε: το σύστημα μετατρέπεται στο γραμμικό: 2z 3w = 5 5 z+ 2w = 3 2 x y = z και το οποίο μπορούμε 3 z w 3 2z 3w = + = z = + w z+ 2w = + w + 2w = + w+ 2w = z = + w z = + w z= + w z = w w w = = = w = z = 90 w = 27