ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 1 Ο ( Η έννοια της συνάρτησης )

Transcript

1 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 1 Ο ( Η έννοια της συνάρτησης ) Στην καθημερινή ζωή, σε πολλές περιπτώσεις διαπιστώνουμε ότι oι τιμές ενός (μεταβαλλόμενου) μεγέθους, εξαρτώνται από τις τιμές ενός άλλου. 1. Αλληλεξάρτηση των τιμών δύο μεταβαλλόμενων μεγεθών: Για παράδειγμα: Η ποσότητα του νερού, σε μια δεξαμενή που αδειάζει, εξαρτάται από τον... Η περίμετρος Π ενός τετραγώνου, εξαρτάται από το... της πλευράς του. Η κατανάλωση της βενζίνης, εξαρτάται από την... που διανύει ένα αυτοκίνητο. Ας εξετάσουμε αναλυτικότερα μερικές περιπτώσεις αλληλεξάρτησης δύο μεγεθών.. Η έννοια της συνάρτησης Δραστηριότητα 1 Διαθέτουμε ένα σύρμα μήκους 60 cm. Λυγίζοντας το σύρμα μπορούμε να φτιάξουμε διάφορα ορθογώνια (παραλληλόγραμμα) με περίμετρο 60 cm το καθένα. Έστω χ το μήκος και το πλάτος (σε cm) ενός τέτοιου ορθογωνίου. Τότε η περίμετρος του ορθογωνίου είναι:. Άρα :... = 60 ή... = 60 ή (1) Παρατηρούμε ότι, για ορθογώνια με περίμετρο 60cm, έχουμε: αν το μήκος χ = 10cm, τότε το πλάτος =. αν το μήκος χ = 15cm, τότε το πλάτος =. αν το μήκος χ = 0cm, τότε το πλάτος =. Βλέπουμε ότι τα μεγέθη x και εξαρτώνται το ένα από το άλλο. Η σχέση (1) μπορεί να γραφεί: =.. Παρατηρούμε γενικά, ότι το πλάτος εξαρτάται από το μήκος χ και μάλιστα: Για κάθε τιμή της μεταβλητής χ ορίζεται... αντίστοιχη τιμή της μεταβλητής (που είναι η τιμή =..).

2 Η σχέση = που συνδέει τις μεταβλητές x και μας δείχνει την διαδικασία με την οποία: για κάθε τιμή της μεταβλητής χ θα βρίσκουμε την (μοναδική) αντίστοιχη τιμή της. Δραστηριότητα : Ας υποθέσουμε ότι έχουμε τους αριθμούς, 0,, 4, 7 και θέλουμε να βρούμε τους αριθμούς, που προκύπτουν αν αυξήσουμε το διπλάσιό τους κατά μία μονάδα. Έστω χ ένας από αυτούς τους αριθμούς, δίνουμε την εντολή το χ να γίνει χ και κατόπιν χ+1. Ονομάζουμε = x +1 κι έτσι προκύπτει τύπος που εκφράζει την εντολή που δώσαμε. Ας δούμε παραστατικά ποιοι αριθμοί προέκυψαν κατά την παραπάνω διαδικασία, βλέποντας ταυτόχρονα κι από ποιους αριθμούς x προέκυψαν. όταν: x = - τότε : = ( ) + 1= 4+ 1= 3 χ = 0 τότε: =... χ = τότε: =... χ = 4 τότε: =... χ = 7 τότε: =... Η σχέση = που συνδέει τις μεταβλητές x και μας δείχνει την διαδικασία με την οποία: για κάθε τιμή της μεταβλητής χ θα βρίσκουμε την (μοναδική) αντίστοιχη τιμή της. Δραστηριότητα 3: Αν τώρα έχουμε τους αριθμούς - 3,,, 1/5, -1/5 και θέλουμε να υψώσουμε τον καθένα στο τετράγωνο, να μειώσουμε έπειτα κατά και τέλος να πολλαπλασιάσουμε τη διαφορά με 1/5. Μπορούμε να ονομάσουμε χ καθέναν απ αυτούς και να δώσουμε την εντολή : x x x ( 1/5) ( x ) Θέτοντας, τώρα = 1/5 ( x ) έχουμε τη μαθηματική έκφραση της εντολής που δώσαμε. Ας δούμε παραστατικά ποιοι αριθμοί προέκυψαν κατά την παραπάνω διαδικασία, βλέποντας ταυτόχρονα κι από ποιους αριθμούς x προέκυψαν όταν: x = - 3 τότε : = ( 3) = ( 9 ) = 7= χ = 3 τότε: =... x= τότε: =... x= 1/5 τότε: =... x= 1/5 τότε: =... Η σχέση = που συνδέει τις μεταβλητές x και μας δείχνει την διαδικασία με την οποία: για κάθε τιμή της μεταβλητής χ θα βρίσκουμε την (μοναδική) αντίστοιχη τιμή της. Γενικά μια τέτοια διαδικασία ονομάζεται συνάρτηση. Η μεταβλητή λέγεται χ ελεύθερη ή ανεξάρτητη μεταβλητή, ενώ η μεταβλητή (που εξαρτάται από τις τιμές της χ) λέγεται εξαρτημένη μεταβλητή. Ακόμα λέμε ότι: η μεταβλητή εκφράζεται ως συνάρτηση της x. - -

3 Δραστηριότητα 4: Δίνεται σχέση : = x + 7, να βρεθεί η τιμή του για x = 1. Τι παρατηρείτε; Η σχέση αυτή είναι συνάρτηση; Λύση : Πίνακας τιμών μιας συνάρτησης Τις τιμές που δίνουμε στην ανεξάρτητη μεταβλητή x και τις αντίστοιχες τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής που παίρνουμε από μία συνάρτηση, μπορούμε να τις εμφανίσουμε σε ένα πίνακα, που λέγεται πίνακας τιμών. Δραστηριότητα 3: Οι διαστάσεις χ, του ορθογωνίου από την προηγούμενη δραστηριότητα συνδέονται με την συνάρτηση: = α) Να συμπληρώσετε τον πίνακα τιμών της συνάρτησης αυτής. Η ανεξάρτητη μεταβλητή μιας συνάρτησης είναι «εντελώς» ελεύθερη; β) Ποια είναι η τιμή του, όταν χ = 40; Πώς ερμηνεύετε την απάντησή σας, μέσα στον πραγματικό κόσμο; Απάντηση : Δραστηριότητα 4: Το δοχείο του διπλανού σχήματος περιέχει 36 λίτρα απεσταγμένο νερό. Με μια μικρή αντλία αδειάζουμε σιγά σιγά το δοχείο. Υποθέτουμε ότι η αντλία αδειάζει 0, λίτρα νερού το λεπτό. α) Να εκφράσετε τον όγκο ν, του νερού στο δοχείο ως συνάρτηση του χρόνου t (min), από την στιγμή που άρχισε να λειτουργεί η αντλία. β) Μετά πόσο χρόνο το δοχείο θα έχει αδειάσει; γ) Ποιες τιμές μπορεί να παίρνει η μεταβλητή t; Λύση :

4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΑΥΤΕΝΕΡΓΕΙΑ 1. Να συμπληρώσετε τον πίνακα τιμών των παρακάτω συναρτήσεων: α) = x 5 χ x + 1 β) = γ) = x + x 3 x x Δίνεται η συνάρτηση = 11 x. α) Ποια είναι η τιμή του για x = 3 ; β) Ποια είναι η τιμή του χ για = 4 ; γ) Να συμπληρώσετε τον πίνακα τιμών της παραπάνω συνάρτησης: x x Δίνεται η συνάρτηση = 4 α) Ποια είναι η τιμή του για x = 1 ; β) Ποια είναι η τιμή του χ για = 8 ; γ) Να συμπληρώσετε τον πίνακα τιμών της παραπάνω συνάρτησης x / -4 -(-5) 4 4. Δίνεται η συνάρτηση = x α) Υπάρχει τιμή του για x = ; x Δίνεται η συνάρτηση = x 3 α) Υπάρχει τιμή του για x = ; x

5 6. Δίνεται η συνάρτηση = 1+ x α) Υπάρχει τιμή του για x =-1 ; x Σε ένα βιβλιοπωλείο γίνεται έκπτωση 10% στις τιμές όλων των βιβλίων. Έστω ότι η αρχική τιμή ενός βιβλίου είναι x. α) Να εκφράσετε το ποσό Ε της έκπτωσης ως συνάρτηση του x β) Να εκφράσετε την τελική τιμή Τ με την έκπτωση ως συνάρτηση του x γ) Να συμπληρώσετε τον πίνακα τιμών x 10 5 Τ Στο διπλανό τρίγωνο δίνονται τα μήκη των πλευρών σε cm. α) Να εκφράσετε την περίμετρο Π του τριγώνου ως συνάρτηση του x β) Να συμπληρώσετε τον πίνακα τιμών x 7 Π Δίνεται η συνάρτηση 3( x ) = +λ λ. Αν για χ= είναι =,τότε: α) να βρείτε τον αριθμό λ. β) να συμπληρώσετε τον πίνακα τιμών της συνάρτησης: x Δίνεται η συνάρτηση = ( x 4) καθώς και οι αριθμοί : α= 5+ 16, 64 4 β = και ( ) γ= + 3. Να συμπληρώσετε τον πίνακα τιμών της παραπάνω συνάρτησης: x α β γ α+β-γ - 5 -