ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ

Transcript

1 Πίνακας Περιεχομένων ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 Αντικείμενο και σκοπός της εργασίας Διάρθρωση της εργασίας... 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ 2.1 Εισαγωγή Η θεωρία της επαλληλίας Κινηματική επιπόνηση πασσάλου Υπάρχουσες μέθοδοι Μέθοδος Πεπερασμένων Στοιχείων (FEM) Δοκός επί Δυναμικού εδάφους θεμελίωσης Winkler (BDWF) Προσεγγιστικές Μέθοδοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 3.1 Εισαγωγή Ορισμός του προβλήματος Γεωμετρικά χαρακτηριστικά Εξατείσθες περιπτώσεις... 26

2 Πίνακας Περιεχομένων 3.3 Προσομοίωμα πεπερασμένων στοιχείων Μοντέλο Πεπερασμένων στοιχείων Περιγραφή της Διαδικασίας... 3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ 4.1 Εισαγωγή Παρουσίαση και σχολιασμός αποτελεσμάτων Eπιρροή πρώτης ιδιοσυχνότητας και του συντελεστή απόσβεσης Αδιαστατοποιημένα Διαγράμματα κινηματικών μεγεθών Συνοπτική παρουσίαση των συμπερασμάτων Κινηματικά εντατικά μεγέθη συναρτήσει του βάθους Συγκεντρωτική σύγκριση μεταξύ SPIAB και ABAQUS ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΕΛΑΣΤΙΚΕΣ ΚΑΙ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΝ ΧΡΟΝΩ ΑΝΑΛΥΣΕΙΣ 5.1 Εισαγωγή Μη γραμμικό καταστατικό προσομοίωμα Ελαστικές και μη γραμμικές εν χρόνω αναλύσεις Τα επιταχυνσιογραφήματα σχεδιασμού Σχολιασμός αποτελεσμάτων... 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

3 Πίνακας Περιεχομένων ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

4 Πίνακας Περιεχομένων

5 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΚΑΙ ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Ο βασικός σκοπός της εν λόγω διπλωματικής εργασίας, είναι η μελέτη της κινηματικής αλληλεπίδρασης πασσάλου εδάφους. Παρότι οι περισσότεροι αντισεισμικοί κανονισμοί αναφέρονται στην αναγκαιότητα υπολογισμού των κινηματικών εντατικών μεγεθών, με σκοπό την αντισεισμική προστασία της κατασκευής, αποφεύγουν να προτείνουν κάποια συγκεκριμένη μεθοδολογία για τον υπολογισμό τους. Παρά την ύπαρξη πληθώρας δημοσιευμένων μελετών, στην πράξη οι περισσότεροι μηχανικοί αγνοούν την κινηματική αλληλεπίδραση, εξαιτίας της πολυπλοκότητας του υπολογισμού της, αναλύοντας μονάχα την αδρανειακή αλληλεπίδραση. Για της ανάγκες της εργασίας, πραγματοποιήθηκε μία σειρά αναλύσεων στον κώδικα πεπερασμένων στοιχείων ABAQUS. Καταρχάς, εξετάστηκε η απόκριση ενός μεμονωμένου πασσάλου, εγκιβωτισμένου σε δίστρωτο έδαφος, υπό αρμονική διέγερση σταθερής κατάστασης (steady state). Τα αποτελέσματα των αναλύσεων συγκρίθηκαν μα τα αντίστοιχα από τον αριθμητικό αλγόριθμο SPIAB, όπως αυτά προέκυψαν για τις ανάγκες του άρθρου με τίτλο «Κινηματική Επιπόνηση Πασσάλου: Η Μέθοδος των Τεχνητών Νευρωνικών Δικτύων» των Gerolymos & Gazetas (28). Στη συνέχεια, έγιναν γραμμικώς ελαστικές και μη γραμμικές εν χρόνω αναλύσεις, χρησιμοποιώντας τέσσερα πραγματικά επιταχυνσιογραφήματα. 1

6 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή 1.2 ΔΙΑΡΘΡΩΣΗ ΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Στο δεύτερο κεφάλαιο, παρουσιάζεται μία βιβλιογραφική ανασκόπηση σχετικά με το πρόβλημα της κινηματικής επιπόνησης των πασσάλων, δίνοντας αρχικά κάποια γενικά στοιχεία από σχετικά ιστορικά περιστατικά, τα οποία μελετήθηκαν από διάφορους ερευνητές. Στη συνέχεια, δίνεται ο ορισμός της κινηματικής αλληλεπίδρασης και παρουσιάζεται η θεώρηση της επαλληλίας μεταξύ κινηματικής και αδρανειακής αλληλεπίδρασης. Τέλος, γίνεται λεπτομερής αναφορά στις διάφορες δημοσιευμένες μεθόδους ανάλυσης του προβλήματος. Στο τρίτο κεφάλαιο, προσδιορίζεται η μέθοδος προσομοίωσης, στην περίπτωση των αρμονικών ελαστικών αναλύσεων σταθερής κατάστασης (steady state), στο πεδίο των συχνοτήτων. Ειδικότερα, παρουσιάζονται τα χαρακτηριστικά του μοντέλου των πεπερασμένων στοιχείων τόσο για τον πάσσαλο, όσο και για τις εδαφικές στρώσεις που τον περιβάλλουν. Δίνονται λοιπόν, στοιχεία για τη γεωμετρία του προβλήματος, τις αδιάστατες παραμέτρους που το διέπουν, καθώς και τα λεπτομερή χαρακτηριστικά του προσομοιώματος. Στο τέταρτο κεφάλαιο, παρατίθενται τα αποτελέσματα των αναλύσεων της απόκρισης ενός μεμονωμένου πασσάλου, εγκιβωτισμένου σε δίστρωτο έδαφος, υπό αρμονική διέγερση σταθερής κατάστασης (steady state). Επιπρόσθετα, γίνεται σύγκριση των εν λόγω αποτελεσμάτων από τον κώδικα πεπερασμένων στοιχείων ABAQUS, με τα αντίστοιχα που προκύπτουν από τη μέθοδο της Δοκού επί Δυναμικού Εδάφους θεμελίωσης Winkler (BDWF) και συγκεκριμένα από τον κώδικα SPIAB. Στο πέμπτο κεφάλαιο, σχολιάζονται τα αποτελέσματα που προέκυψαν τόσο από τις γραμμικώς ελαστικές όσο και από τις μη γραμμικές εν χρόνω αναλύσεις στο ABAQUS. Αρχικά, δίνονται στοιχεία για το καταστατικό προσομοίωμα που επιλέχθηκε για το 2

7 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή έδαφος αλλά και για τις πραγματικές καταγραφές που χρησιμοποιήθηκαν ως διεγέρσεις στις εν χρόνω αναλύσεις. Στη συνέχεια τα αποτελέσματα συγκρίνονται με τα αντίστοιχα των διεγέρσεων στο πεδίο των συχνοτήτων, με σκοπό την αποκωδικοποίηση της επιρροής της μη γραμμικής συμπεριφοράς του εδάφους, στην κινηματική αλληλεπίδραση. Τέλος, στο έκτο κεφάλαιο, συνοψίζεται η εμπειρία από την εκπόνηση της διπλωματικής εργασίας, μέσω της παράθεσης των κυριότερων συμπερασμάτων που προέκυψαν από την περάτωσή της. 3

8 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή 4

9 Κεφάλαιο 2 Βιβλιογραφική Ανασκόπηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Κατά τη διάρκεια πολλών σεισμών των τελευταίων δεκαετιών έχουν καταγραφεί σημαντικές αστοχίες θεμελιώσεων με πασσάλους. Συγκεκριμένα, οι Seed & Migliaccio (1969), κατέγραψαν πλήθος αστοχιών σε πασσάλους γεφυρών και συστημάτων προβλητών στο σεισμό της Αλάσκας το Στο σεισμό του Φρίουλι της Ιταλίας το 1976 κατεγράφησαν αστοχίες πασσάλων σε δύο γέφυρες (CNEL NEL), στο σεισμό του 1985 στην πόλη του Μεξικού παρατηρήθηκαν εξωθήσεις πασσάλων (EEFIT 1986) και τέλος ο Mizuno (1987) κατέγραψε 28 περιπτώσεις αστοχίας πασσάλων στην Ιαπωνία. Τέλος, και στο σεισμό του Kobe (1995) ύστερα από επί τόπου διερεύνηση αλλά και με αναλύσεις επιβεβαιώθηκε η αστοχία πασσάλων εξαιτίας πολλών παραγόντων. Αίτια των αστοχιών των πασσάλων θεωρούνται: Ο ανεπαρκής σχεδιασμός των πασσάλων για τις κατακόρυφες δυνάμεις και τις καμπτικές ροπές που μεταφέρονται σε αυτούς από την ανωδομή (αδρανειακές δυνάμεις), με αποτέλεσμα την αστοχία του πασσάλου πλησίον της κεφαλής του. Οι μεγάλες μετακινήσεις που επιβάλλονται στον πάσσαλο λόγω ρευστοποίησης του περιβάλλοντος εδάφους. Η καμπτική αστοχία που προκαλείται από την εδαφική παραμόρφωση, καθώς τα σεισμικά κύματα διαδίδονται στο έδαφος (κινηματική αλληλεπίδραση). 5

10 Κεφάλαιο 2 Βιβλιογραφική Ανασκόπηση Η αστοχία του πασσάλου λαμβάνει χώρα σε διεπιφάνειες δίστμητων εύτμητων εδαφικών στρώσεων, ακόμη και σε μεγάλα βάθη από την επιφάνεια του εδάφους. Όσον αφορά την Τρίτη υπόθεση, αυτή βασίζεται σε παρατηρηθείσες αστοχίες πασσάλων μετά από σεισμό (Σχήμα 2.1), σε τέτοιο βάθος ώστε να μην μπορούν να αποδοθούν σε μεταφορά έντασης από την ανωδομή, δηλαδή σε αδρανειακές δυνάμεις. Ύστερα από αναλυτικούς υπολογισμούς αλλά και επιτόπου μετρήσεις που έγιναν (Dobry & O Rourke, 1983, Mizuno, 1987, Tazoh et al, 1987) διαπιστώθηκε άμεση σχέση αυτού του τύπου αστοχίας με περιπτώσεις εναλλαγής εδαφικών σχηματισμών με σημαντικές διαφορές στην αντοχή και στη δυσκαμψία. Σχήμα2.1: Αστοχία πασσάλων (d=,3, L=1m) σε κινηματική επιπόνηση στο σεισμό της Niigata 6

11 Κεφάλαιο 2 Βιβλιογραφική Ανασκόπηση 2.2 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΕΠΑΛΛΗΛΙΑΣ Κατά τη διάρκεια μιας σεισμικής διέγερσης η καταπόνηση του πασσάλου προέρχεται αφενός από την αδρανειακή αλληλεπίδραση και αφετέρου από την κινηματική (ο ορισμός των δύο φαινομένων δίνεται παρακάτω). Ένας κλασικός τρόπος προσέγγισης του προβλήματος θα μπορούσε να είναι η άμεση (απευθείας) ανάλυση σε ένα μόνο βήμα της απόκρισης του συστήματος εδάφους θεμελίωσης ανωδομής, υπό μία προκαθορισμένη διέγερση. Προκειμένου να ευοδωθεί η εν λόγω απευθείας ανάλυση, θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων τόσο για τον πάσσαλο, όσο και για το έδαφος που τον περιβάλει. Όσον αφορά την ανωδομή, είναι θεμιτή η χρήση απλών σχετικά προσομοιωμάτων με απώτερο σκοπό τον ελάχιστο δυνατό αριθμό βαθμών ελευθερίας. Όμως, μια ανάλυση αυτής της λογικής έχει προφανώς απαγορευτικό υπολογιστικό κόστος για μια ολοκληρωμένη παραμετρική ανάλυση ή για μια προκαταρκτική μελέτη. Συνεπώς, είναι εύλογο η χρήση τέτοιων μεθόδων να μη συνιστάται και απεναντίας να προτιμώνται μέθοδοι που αναλύουν ξεχωριστά την αδρανειακή αλληλεπίδραση, σε διαδοχικά αλληλένδετα βήματα. Όπως απέδειξαν οι Kausel and Roesset (1994), για τη μελέτη της απόκρισης ενός πασάλου σε σεισμό είναι θεμιτή η επαλληλία των δύο αυτών φαινομένων, δηλαδή της αδρανειακής και της κινηματικής επιπόνησης. Ειδικότερα, όπως παρουσιάζεται και στο Σχήμα 2.2.β, το φαινόμενο της κινηματικής αλληλεπίδρασης (kinematic interaction effect), στο οποίο εμβαθύνει η παρούσα εργασία, αφορά στην απόκριση του πασσάλου στη διέγερση της βάσης ενός υποθετικού συστήματος το οποίο διαφέρει από αυτό του Σχήματος 2.2.α στο γεγονός ότι η μάζα της ανωδομής θεωρείται μηδενική. Όσον αφορά την αδρανειακή αλληλεπίδραση (inertial interaction effect), όπως φαίνεται και στο Σχήμα 2.2.γ, αυτή αναφέρεται στην απόκριση του συστήματος πασσάλουεδάφους ανωδομής στη διέγερση από δυνάμεις D Alembert mu && οι οποίες k 7

12 Κεφάλαιο 2 Βιβλιογραφική Ανασκόπηση σχετίζονται με την αδρανειακή επιτάχυνση της ανωδομής αλληλεπίδρασης. u&& εξαιτίας της κινηματικής k Η παραδοχή της επαλληλίας ή της υπέρθεσης της κινηματικής και της αδρανειακής αλληλεπίδρασης θεωρείται ακριβής για γραμμικώς ελαστικό έδαφος, πάσσαλο και ανωδομή, εφόσον βέβαια η ανάλυση και των δύο βημάτων γίνεται λεπτομερώς. Η σχετικά απλή και εποπτική αυτή θεώρηση, που έχει ως κύριο πλεονέκτημα τη μείωση του υπολογιστικού κόστους, μπορεί να προσφέρει μια πρακτική και ικανοποιητική προσέγγιση για τους μηχανικούς, γεγονός που επιβεβαιώνεται και από την υιοθέτησή της από πληθώρα ερευνητών. Πάντως, η επαλληλία μπορεί υπό προϋποθέσεις να εφαρμοστεί και σε μετρίως μηγραμμικά συστήματα, αποτελώντας μια ικανοποιητική παραδοχή για τους μηχανικούς. Συγκεκριμένα, αξίζει να υπενθυμίσουμε ότι οι μετακινήσεις του πασσάλου λόγω οριζόντιας φόρτισης από την ανωδομή εξασθενούν πολύ γρήγορα με το βάθος, με αποτέλεσμα σχεδόν το μηδενισμό τους για βάθος μεγαλύτερο από το ενεργό μήκος του πασσάλου la, το οποίο είναι της τάξης των 1 διαμέτρων από την επιφάνεια του εδάφους. Επομένως, οι διατμητικές τάσεις που επιβάλλονται στο έδαφος εξαιτίας της αδρανειακής αλληλεπίδρασης είναι σημαντικές μόνο κοντά στην επιφάνεια του εδάφους. Απεναντίας, τα κατακόρυφα διατμητικά κύματα S επιβάλλουν μετακινήσεις, καμπυλότητες και διατμητικές τάσεις, οι οποίες αναμένεται να είναι σημαντικές μόνο σε μεγαλύτερα βάθη. Συνεπώς, επειδή οι εδαφικές τάσεις κοντά στην επιφάνεια του εδάφους ελέγχονται από την αδρανειακή αλληλεπίδραση, ενώ σε μεγαλύτερα βάθη από την κινηματική, η θεώρηση της επαλληλίας μπορεί να αποτελέσει ικανοποιητική προσέγγιση ακόμη και αν αναμένεται μετρίως μη γραμμική συμπεριφορά κατά τη διάρκεια ισχυρής διέγερσης. 8

13 Κεφάλαιο 2 Βιβλιογραφική Ανασκόπηση (α) u (t)=u e iωt M Es ρs ν, ξ L d E p, ρ p u g (t)=u g e iωt (β) Κινηματική αλληλεπίδραση απουσία ανωδομής [ u ( t )] k (γ) Αδρανειακή αλληλεπίδραση [ m][ u&& k ] u p (t) u (t) u g (t)=u g e iωt Σχήμα 2.2. Επαλληλία κινηματικής αδρανειακής αλληλεπίδρασης εδάφους πασσάλουανωδομής (α)το όλον πρόβλημα (β) Κινηματική αλληλεπίδραση, (γ) Αδρανειακή αλληλεπίδραση 9

14 Κεφάλαιο 2 Βιβλιογραφική Ανασκόπηση 2.3 ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΠΟΝΗΣΗ ΠΑΣΣΑΛΟΥ Όπως αναφέρθηκε και στην εισαγωγή του κεφαλαίου, ο Mizuno (1987) συνοψίζοντας την εμπειρία του για τα πιθανά αίτια αστοχίας πληθώρας πασσάλων στην Ιαπωνία, συμπεραίνει ότι ένα μέρος των αστοχιών οφείλεται είτε στην μεταφορά μεγάλων αδρανειακών δυνάμεων και ροπών από την ανωδομή στη θεμελίωση, με αποτέλεσμα τη δημιουργία καμπτικών ή διατμητικών ρωγμών κάτω από την κεφαλή των πασάλων, είτε στην επιβολή μεγάλων μετακινήσεων λόγω ρευστοποίησης του περιβάλλοντος εδάφους. Παρόλα αυτά, σε αρκετές περιπτώσεις παρατηρήθηκε αστοχία πασσάλων σε τέτοιο βάθος ώστε να είναι αδύνατη η πρόκλησή της τόσο από αδρανειακές δυνάμεις στην ανωδομή, όσο και από ρευστοποίση (δεδομένου του μη ρευστοποιήσιμου του περιβάλλοντος εδάφους στις εν λόγω περιπτώσεις). Σε αυτές τις περιπτώσεις το εδαφικό προφίλ παρουσίαζε έντονες διαφορές σε αντοχή και δυσκαμψία. Η πλέον πιθανή αιτία της αστοχίας είναι η επιβολή μεγάλων καμπυλοτήτων από το περιβάλλον έδαφος στον πάσσαλο, καθώς αυτό διεγείρεται από τα παραγόμενα μετά από ανακλάσεις σεισμικά κύματα. Η κινηματική αλληλεπίδραση λοιπόν οφείλεται στη διέλευση σεισμικών κυμάτων εντός του εδάφους με αποτέλεσμα την επιβολή παραμορφώσεων στο έδαφος. Ο πάσσαλος, αν και εξαναγκάζεται να ακολουθήσει την κίνηση του ταλαντούμενου εδάφους, αντιστέκεται με τη δυσκαμψία του, με αποτέλεσμα την ανάπτυξη καμπτικών ροπών σε αυτόν. Χαρακτηριστικό του φαινομένου είναι ότι οι ροπές αυτές αναπτύσσονται και απουσία ανωδομής. Προκειμένου οι ροπές αυτές να διαχωριστούν από τις αντίστοιχες αδρανειακές που μεταβιβάζονται στον πάσσαλο από την ταλάντωση της ανωδομής, ονομάζονται κινηματικές. Πάντως, η προσοχή των μηχανικών κάθε άλλο παρά έχει εστιάσει στην κινηματική επιπόνηση των πασσάλων. Απεναντίας, οι σεισμικώς φορτιζόμενοι πάσσαλοι 1

15 Κεφάλαιο 2 Βιβλιογραφική Ανασκόπηση σχεδιάζονται αποκλειστικά για την παραλαβή των εντατικών μεγεθών που τους μεταβιβάζει η ανωδομή. Βέβαια, η κινηματική φόρτιση επισημαίνεται στους σύγχρονους αντισεισμικούς κανονισμούς. Για παράδειγμα στον EC8 (1996) αναφέρονται τα εξής: Οι πάσσαλοι θα πρέπει να σχεδιάζονται για τις ακόλουθες δύο φορτίσεις : 1) αδρανειακές δυνάμεις από την ανωδομή (αδρανειακή επιπόνηση) 2)...επιβαλλόμενες παραμορφώσεις από το έδαφος (κινηματική επιπόνηση) τέτοια φόρτιση μπορεί να είναι ιδιαίτερα μεγάλη στις διεπιφάνειες των εδαφικών στρώσεων... Ο σχεδιασμός πρέπει να εξασφαλίζει ότι δε θα δημιουργηθεί πλαστική άρθρωση στα σημεία αυτά. Επίσης αναφέρει ότι η κινηματική επιπόνηση πρέπει να λαμβάνεται υπ όψιν όταν όλες οι ακόλουθες συνθήκες συνυπάρχουν: 1) Η σεισμικότητα της περιοχής είναι μέτρια ή υψηλή, οι περιοχές μέτριας ή υψηλής σεισμικότητας χαρακτηρίζονται από μέγιστη εδαφική επιτάχυνση a g S>.1g, όπου a g είναι η επιτάχυνση σχεδιασμού του εδάφους για έδαφος τύπου Α και S είναι ο συντελεστής του εδάφους. 2) Για τύπο εδάφους D ή χειρότερο, το οποίο χαρακτηρίζεται από εντόνως διαφορετικό μέτρο διάτμησης μεταξύ συνεχόμενων στρώσεων. 3) Η ανωδομή ανήκει από άποψη σπουδαιότητας στην κατηγορία III ή IV (π.χ. σχολεία, νοσοκομεία, ενεργειακών σταθμών, κλπ.) Αντίστοιχα στον ΕΑΚ (2) αναφέρονται τα εξής: Σε περίπτωση σεισμού η καταπόνηση πασσάλων ή άλλων στοιχείων βαθειάς θεμελίωσης προέρχεται εν γένει από τις ακόλουθες αιτίες: 1) Την δράση στήριξης, δηλαδή τη μεταφορά των δράσεων της ανωδομής στο έδαφος και αντίστροφα, και 11

16 Κεφάλαιο 2 Βιβλιογραφική Ανασκόπηση 2) Την κινηματική καταπόνηση που οφείλεται στην παραμόρφωση που υφίσταται το περιβάλλον έδαφος κατά τη διέλευση των σεισμικών κυμάτων. Ανάλογες διατυπώσεις υπάρχουν και σε άλλους κανονισμούς και οδηγίες. Πάντως, είναι αξιοσημείωτο ότι λίγες αναφορές έχουν υπάρξει σχετικά με την κινηματική ροπή που αναπτύσσεται στη σύνδεση του πασσάλου με τον κεφαλόδεσμο. Μάλιστα, η κινηματική ροπή κάμψης στην κεφαλή του πασσάλου μπορεί να είναι ακόμη και μεγαλύτερη (στις περισσότερες περιπτώσεις) από την αντίστοιχη στη διεπιφάνεια δύο εδαφικών στρωμάτων. Η κρισιμότητα του ζητήματος ενισχύεται από το γεγονός ότι στην περιοχή αυτή λαμβάνει τη μέγιστη τιμή της και η ροπή που αναπτύσσεται λόγω των αδρανειακών δυνάμεων της ανωδομής, με συνέπεια να είναι απαραίτητη η επαλληλία τους για την τελική όπλιση του πασσάλου ΥΠΑΡΧΟΥΣΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ Οι διαθέσιμες μέθοδοι για ανάλυση της κινηματικής αλληλεπίδρασης εδάφουςπασσάλου μπορούν να κατηγοριοποιηθούν σε τρεις ομάδες. Καταρχάς, υπάρχουν οι αριθμητικές μεθόδους όπως η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων (Finite Element Method, FEM) και η μέθοδος των συνοριακών στοιχείων (Boundary Element Method, BEM). Επίσης, υπάρχουν οι μέθοδοι που χρησιμοποιούν τη θεώρηση δοκού επί δυναμικού εδάφους Θεμελίωσης Winkler (Beam on Dynamic Winkler Foundation, BDWF) καθώς και οι απλοποιημένες μέθοδοι. Μια συνηθισμένη μέθοδος που χρησιμοποιείται ακόμη και σήμερα από μηχανικούς για τον υπολογισμό της κινηματικής επιπόνησης είναι αυτή των Margason & Halloway (1977). Συγκεκριμένα, η μέθοδος αυτή υποθέτει ότι ο πάσσαλος ακολουθεί την κίνηση του ελεύθερου πεδίου, αγνοώντας δηλαδή την αλληλεπίδραση μεταξύ εδάφους πασσάλου, οδηγώντας εν τέλει σε μη ρεαλιστικά αποτελέσματα. 12

17 Κεφάλαιο 2 Βιβλιογραφική Ανασκόπηση Μέθοδος Πεπερασμένων Στοιχείων (FEM) Μελετητές που έχουν ασχοληθεί με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων για τον υπολογισμό της κινηματικής αλληλεπίδρασης είναι μεταξύ άλλων οι (Wu & Finn, 1997, Cai et al, 2, Kimura & Zang, Maheshwari et al, 24). Η μέθοδος των Πεπερασμένων Στοιχείων είναι η πλέον ακριβής, αφού σημαντικά φαινόμενα, όπως η μη γραμμικότητα μπορούν να ληφθούν υπ όψιν. Το πρόβλημα της απόκρισης του πασσάλου σε κινηματική επιπόνηση μπορεί επομένως να προσεγγιστεί αριθμητικά, χρησιμοποιώντας πεπερασμένα στοιχεία με τέτοια σύνορα στις εδαφικές στρώσεις, ώστε να είναι εφικτή η μετάδοση σεισμικών κυμάτων. Ωστόσο, το βασικό μειονέκτημα της μεθόδου είναι το μεγάλο υπολογιστικό κόστος, αφού τόσο στις εν χρόνω αναλύσεις όσο και στις αναλύσεις στο πεδίο των συχνοτήτων απαιτείται ο υπολογισμός της απόκρισης του πασσάλου για ένα τεράστιο εύρος συχνοτήτων. Στην παρούσα εργασία γίνεται μια σημαντική προσπάθεια υπολογισμού ενός ικανού εύρους περιπτώσεων με τη βοήθεια του κώδικα πεπερασμένων στοιχείων ABAQUS Δοκός επί Δυναμικού εδάφους θεμελίωσης Winkler (BDWF) Οι μέθοδοι που βασίζονται στην προσομοίωση του εδάφους θεμελίωσης Winkler (Novak, 1974, Flores Berrones & Whitman, 1982, Kavvadas & Gazetas, 1993) έχουν αποδειχθεί εξαιρετικά ακριβείς καθώς και λιγότερο δαπανηρές από άποψη υπολογιστικού κόστους. Ο υπολογισμός της κινηματικής αλληλεπίδρασης πασσάλου εδάφους γίνεται σε 2 στάδια (Σχήμα 2.3). Στο πρώτο στάδιο, υπολογίζεται ο «διεγείρων κυματισμός» του πασσάλου μέσω της ανάλυσης της σεισμικής απόκρισης του εδαφικού σχηματισμού (εδαφικής στήλης) στο «ελεύθερο πεδίο» χρησιμοποιώντας δυναμικές παραμέτρους συμβιβαστές με τις αναπτυσσόμενες παραμορφώσεις. Το έδαφος του ελεύθερου 13

18 Κεφάλαιο 2 Βιβλιογραφική Ανασκόπηση πεδίου προσομοιώνεται ως διατμητική δοκός. Βασική παραδοχή της μεθόδου είναι η κατακόρυφη διάδοση των αρμονικών διατμητικών κυμάτων. Η εν λόγω παραδοχή είναι κοντά στην πραγματικότητα, αφού τα κύματα που φτάνουν στην ελεύθερη επιφάνεια, ακολουθούν τελικά κατακόρυφη διεύθυνση, εξαιτίας των διαθλάσεων από τις εδαφικές διεπιφάνειες. Όσο μάλιστα προσεγγίζουμε την ελεύθερη επιφάνεια, οι εδαφικές στρώσεις γίνονται ολοένα πιο μαλακές και η διεύθυνση των κυμάτων πιο κατακόρυφη από τις αλλεπάλληλες διαθλάσεις. Τέλος, η μετακίνηση του ελεύθερου πεδίου U ff, προσδιορίζεται βάση της θεωρίας της μονοδιάστατης διάδοσης ελαστικών κυμάτων. Στο δεύτερο στάδιο, αναλύεται η απόκριση του συστήματος πασσάλου εδάφους. Συγκεκριμένα, επιβάλλεται ως φόρτιση στον πάσσαλο ο διεγείρων κυματισμός που υπολογίστηκε στο προηγούμενο στάδιο. Η επιβολή της φόρτισης γίνεται μέσω συνεχώς κατανεμημένων ελατηρίων και απορροφητήρων που προσδιορίζουν το περιβάλλον έδαφος του πασσάλου (δυναμικό ελατηριωτό προσομοίωμα Winkler). Σε αντίθεση με τη συμβατική θεώρηση Winkler, τα ελατήρια και οι αποσβεστήρες είναι συνάρτηση της συχνότητας διέγερσης και σχετίζονται όχι μόνο με τη δυστμησία του εδάφους, αλλά και με την απόσβεση ακτινοβολίας που αναπτύσσεται κατά τη διάδοση των κυμάτων μακριά από τον πάσσαλο. Άλλη μία διαφορά σε σχέση με την κλασική δοκό Winkler, είναι πως σε αυτήν την περίπτωση ο πάσσαλος δρα ως παθητική δοκός που διεγείρεται από την κίνηση του εδάφους μέσω του συστήματος συνεχώς κατανεμημένων ελατηρίων και αποσβεστήρων καθ ύψος του πασσάλου. Η μαθηματική περιγραφή της κινηματικής αλληλεπίδρασης πασσάλου εδάφους γίνεται από το σύστημα των κάτωθι εξισώσεων: U ω + U = 2 ff 2 z Vs ff (1) 14

19 Κεφάλαιο 2 Βιβλιογραφική Ανασκόπηση 4 du 2 pp 4 p p ( x x)( ff) EI A u k i c u U dz ρ ω + + ω = (2) Όπου για τη σχέση (1) U ff είναι η εδαφική μετακίνηση στο ελεύθερο πεδίο, z το βάθος από την επιφάνεια του εδάφους, ω η γωνιακή συχνότητα της διέγερσης και V s η διατμητική ταχύτητα του εδάφους. Στη σχέση (2), E p I p είναι το μέτρο δυσκαμψίας του πασσάλου, ω η συχνότητα της διέγερσης, k x η σταθερά του ελατηρίου και c x η σταθερά του αποσβεστήρα. Σχετικά με το μέτρο δυσκαμψίας του ελατηρίου kx, αυτό μπορεί σαν πρώτη προσέγγιση να θεωρηθεί ανεξάρτητο της συχνότητας και να εκφραστεί ως πολλαπλάσιο του μέτρου Ελαστικότητας Es (Kavavadas & Gazetas, 1993). Το kx λοιπόν δίνεται από την εξής σχέση: k x = δ E s (3) Όσον αφορά τον αποσβεστήρα c x, αυτός εκφράζει την κατανάλωση ενέργειας του κύματος, κατά τη διάδοση του στο έδαφος. Αυτή η απόσβεση ενέργειας λοιπόν οφείλεται σε δύο παράγοντες: 1. Την ανεξάρτητη από τη συχνότητα του κύματος υστερητική απόσβεση (c x,υστερητική) 2. Την εξαρτημένη από τη συχνότητα του κύματος απόσβεση ακτινοβολίας (c x,ακτινοβολίας) Οι δύο παράγοντες προστίθενται ώστε να δώσουν τον τελικό συντελεστή c του αποσβεστήρα. Η ανάλυση του συστήματος των διαφορικών εξισώσεων (1) και (2), για πολύστρωτο εδαφικό προφίλ, γίνεται μέσω του ημι αναλυτικού αλγορίθμου SPIAB, 15

20 Κεφάλαιο 2 Βιβλιογραφική Ανασκόπηση όπως περιγράφεται στα άρθρα (Mylonakis 1995, Mylonakis et al. 1997, Gerolymos et al. 1998, Nikolaou et al. 21,Nikolaou and Gazetas 1997). Σεισμική μετακίνηση Σεισμική μετακίνηση του ελεύθερου πεδίου U ff (z) ff Σεισμική μετακίνηση πασσάλου U p (z) έδαφος πάσσαλος Κατακόρυφα διατμητικά κύματα S Στάδιο 1 Στάδιο 2 Σχήμα 2.3: Μεθοδολογία ανάλυσης: Στάδιο1: Εδαφοδυναμική ανάλυση, Στάδιο 2: Κινηματική αλληλεπίδραση εδάφους πασσάλου 16

21 Κεφάλαιο 2 Βιβλιογραφική Ανασκόπηση Προσεγγιστικές Μέθοδοι Στη διεθνή βιβλιογραφία είναι διαθέσιμες κλειστές εκφράσεις (Dobry & O Rourke, 1983, Nikolaou and Gazetas, 1997, Mylonakis 21, Nikolaou et al., 21) για τον προσεγγιστικό υπολογισμό της μέγιστης ροπής στη διεπιφάνεια μεταξύ δύο εδαφικών στρώσεων, στην περίπτωση ανάλυσης σταθερής κατάστασης (steady state) στο πεδίο των συχνοτήτων. Οι άνωθεν προσεγγιστικές εκφράσεις έχουν προκύψει χρησιμοποιώντας τη θεώρηση του πασσάλου σε δυναμικό έδαφος θεμελίωσης Winkler (Beam on Dynamic Winkler Foundation, BDWF) και βασίζονται στις ακόλουθες απλοποιητικές παραδοχές. Καταρχάς, κάθε εδαφική στρώση θεωρείται ομοιογενής, ισότροπη και γραμμικώς ελαστική. Επιπλέον, το έδαφος υπόκειται σε ένα ομοιόμορφο πεδίο διατμητικών τάσεων, ενώ ο πάσσαλος συμπεριφέρεται ως γραμμικώς ελαστική δοκός απείρου μήκους (ημι άπειρη δοκός). Το εγκιβωτισμένο μήκος του πασσάλου σε κάθε εδαφική στρώση είναι μεγαλύτερο από το λεγόμενο «κρίσιμο μήκος», το οποίο συνήθως εκφράζεται από την εξίσωση (Randolph, 1981): L a Ep = 15. d E s 25. (4) Ο απλοποιημένος σχεδιασμός που προτείνεται από τους Dobry & O Rourke (1983), επιτρέπει τον υπολογισμό της ροπής στη διεπιφάνεια μεταξύ των δύο εδαφικών στρώσεων ως εξής: ( pp) ( ) 34 / 14 / M = 186. E I G γ F 1 1 (5) όπου G 1 και γ 1 είναι το μέτρο διάτμησης και η μέγιστη διατμητική παραμόρφωση του 17

22 Κεφάλαιο 2 Βιβλιογραφική Ανασκόπηση πρώτου εδαφικού στρώματος, αντίστοιχα, ενώ το F δίνεται από την εξίσωση: F = 4 3 ( 1 c )( 1+ c ) 1 2 ( 1+ c)( c + 1+ c+ c ) (6) και όπως φαίνεται στην εξίσωση (5) είναι συνάρτηση του λόγου c=(g 2 /G 1 ).25, όπου G 2 είναι το μέτρο διάτμησης του δεύτερου εδαφικού στρώματος. Η μέγιστη διατμητική παραμόρφωση της πρώτης εδαφικής στρώσης θα μπορούσε να υπολογιστεί από την προσεγγιστική έκφραση των Seed & Idriss (1982): rdρ 1Ha 1 γ 1 = G 1 max,s (7) όπου ρ 1 και H 1 είναι η πυκνότητα και το πάχος της πρώτης στρώσης αντίστοιχα, r d είναι ο συντελεστής βάθους (Seed & Idriss, 1982) και a max,s είναι η μέγιστη επιτάχυνση στην επιφάνεια του εδάφους. Οι βασικές παραδοχές της μεθόδου του Mylonakis (21) είναι οι ίδιες με τις αντίστοιχες της μεθόδου των Dobry & O Rourke. Παρόλα αυτά, υπήρξαν και κάποιες βελτιώσεις, όπως η επιβολή αρμονικής οριζόντιας μετακίνησης στη βάση του βράχου ως σεισμική διέγερση. Επιπρόσθετα, λαμβάνεται υπ όψιν τόσο η απόσβεση ακτινοβολίας όσο και η απόσβεση του υλικού. Η μέγιστη καμπτική ροπή μπορεί λοιπόν να εκφραστεί ως εξής: ( EI )( / 1) ε γ ϕ M = 2 pp p γ d 1 (8) 18

23 Κεφάλαιο 2 Βιβλιογραφική Ανασκόπηση όπου γ 1 είναι η μέγιστη διατμητική παραμόρφωση στην πρώτη στρώση στην περιοχή της διεπιφάνειας, d η διάμετρος του πασσάλου, ε p η μέγιστη καμπτική παραμόρφωση του πασσάλου. Ο λόγος ε p /γ 1 εκφράζει τη «μεταδοτικότητα» των παραμορφώσεων ο οποίος και εξαρτάται από τη συχνότητα της διέγερσης. Τέλος, ο συντελεστής φ εκφράζει την εδαφική ενίσχυση σε όρους: ε ε / p p ϕ= γ1 γ1 ω= (9) με τον παρανομαστή να δίνεται ακολούθως: / εp c c+ 1 H1 E 1 H1 = c 4 ( c 1) 1 γ1 2c d E p d ω= (1) Μία άλλη σχέση που υπολογίζει προσεγγιστικά την καμπτική ροπή στη διεπιφάνεια των δύο εδαφικών στρώσεων προτάθηκε από τους Nikolaou et al. (21): L Ep V s2 c 1 s1 M = 42. τ d d E V (11) όπου τ c είναι η μέγιστη διατμητική τάση που επιβάλλεται στη διεπιφάνεια από τη σεισμική μετακίνηση του ελεύθερου πεδίου, L/d η λυγηρότητα του πασσάλου, E p /E s1 η σχετική δυσκαμψία πασσάλου εδάφους και V s2 /V s1 ο λόγος των διατμητικών ταχυτήτων των δύο εδαφικών στρώσεων. Μάλιστα, για τον υπολογισμό της μέγιστης διατμητικής τάσης τ c προτείνεται η εξής σχέση: τ = a ρ H c max,s 1 1 (11) 19

24 Κεφάλαιο 2 Βιβλιογραφική Ανασκόπηση Προκειμένου να ληφθεί υπ όψιν η επιρροή της χρονοϊστορίας της φόρτισης στα κινηματικά εντατικά μεγέθη απαιτείται η εφαρμογή μειωτικού συντελεστή, ο οποίος κυμαίνεται από.15.5 ανάλογα με την καταστροφικότητα του επιταχυνσιογραφήματος (Nikolaou & Gazetas, 1997, Nikolaou et al., 21). Ο μειωτικός αυτός συντελεστής είναι της μορφής : ( N cycles,t p /T s, eff ) η =η ξ (12) Δηλαδή, εξαρτάται από τη διάρκεια του επιταχυνσιογραφήματος σε όρους αριθμού των ισχυρών κύκλων N cycles, από το λόγο της δεσπόζουσας περιόδου της διέγερσης προς τη θεμελιώδη ιδιοπερίοδο του εδάφους T p /T s, καθώς και από την ενεργό απόσβεση του συστήματος πασσάλου εδάφους ξ eff. Τέλος, για την εξαγωγή προσεγγιστικών σχέσεων για τον υπολογισμό των κινηματικών εντατικών μεγεθών, χρησιμοποιείται και η μέθοδος των Τεχνητών Νευρωνικών Δικτύων. Σύμφωνα με τη μέθοδο που αναπτύσσεται στο άρθρο των Gerolymos & Gazetas (28), η μαθηματική διατύπωση του νευρωνικού δικτύου έχει ως εξής: n m y= tanh w2itanh w1i,jxj+ b1i + b2 i= 1 j= 1 (13) Όπου 4 y M d A cap p sur = ρ, M 4 d A int p sur ρ και 3 Q ρ da, m, και n, ο αριθμός των κόμβων στο int p sur στρώμα εισόδου και στο εσωτερικό στρώμα αντιστοίχως, w1 i,j και b1 j τα βάρη και τα κατώφλια του εσωτερικού στρώματος, και w2 j και b2 τα βάρη και το κατώφλι του στρώματος εξόδου. Οι τιμές των βαρών και κατωφλίων που αντιστοιχούν στην μέγιστη καμπτική ροπή στην κεφαλή (Mcap), στην μέγιστη καμπτική ροπή (Mint) και στη 2

25 Κεφάλαιο 2 Βιβλιογραφική Ανασκόπηση μέγιστη τέμνουσα δύναμη (Qint) στην διεπιφάνεια των δύο εδαφικών στρωμάτων, παρουσιάζονται στους Πίνακες 1,2 και 3. x είναι το άνυσμα εισόδου j κανονικοποιημένο ως προς τις ελάχιστες και τις μέγιστες τιμές των μεταβλητών του προβλήματος xj ( x 1 = L d, x2 = H L, x = E E, x = E E, x = ρ ρ, x =ρ ρ. 3 p s1 4 s2 s1 5 p s1 6 s2 s1 Το άνυσμα εισόδου σύμφωνα με : x εκφράζεται ως γραμμικός συνδυασμός της μεταβλητής j x j xj minxj xj = 2 1 max x minx j j (14) Εσωτερικό στρώμα Στρώμα εξόδου w1i,j b1i w2i b Πίνακας 1. Βάρη και κατώφλια για την κινηματική ροπή στην κεφαλή του πασσάλου Εσωτερικό στρώμα Στρώμα εξόδου w1i,j b1i w2i b Πίνακας 2. Βάρη και κατώφλια για την κινηματική ροπή στην διεπιφάνεια των δύο εδαφικών στρωμάτων 21

26 Κεφάλαιο 2 Βιβλιογραφική Ανασκόπηση Εσωτερικό στρώμα Στρώμα εξόδου w1i,j b1i w2i b Πίνακας 3. Βάρη και κατώφλια για την κινηματική τέμνουσα δύναμη στην διεπιφάνεια των δύο εδαφικών στρωμάτων 22

27 Κεφάλαιο 3 Μέθοδος Προσομοίωσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΡΟΣΩΜΟΙΩΣΗΣ 3.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός της διπλωματικής εργασίας, είναι η διερεύνηση της απόκρισης ενός μεμονωμένου πασσάλου σε κινηματική επιπόνηση, λόγω της διάδοσης κατακόρυφων διατμητικών κυμάτων S. Οι αναλύσεις της απόκρισης του πασσάλου γίνονται με τη βοήθεια του προγράμματος πεπερασμένων στοιχείων ABAQUS. Στο εν λόγω κεφάλαιο παρουσιάζεται η μέθοδος προσομοίωσης, στην περίπτωση των ελαστικών αναλύσεων στο πεδίο των συχνοτήτων και πιο συγκεκριμένα τα χαρακτηριστικά του μοντέλου των πεπερασμένων στοιχείων τόσο για τον πάσσαλο όσο και για τις εδαφικές στρώσεις που τον περιβάλλουν. 3.2 ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Γεωμετρικά χαρακτηριστικά Όπως προαναφέρθηκε, εξετάζεται η κινηματική απόκριση μεμονωμένου πασσάλου εγκιβωτισμένου σε δίστρωτο εδαφικό προφίλ, που διεγείρεται από κατακορύφως διαδιδόμενα αρμονικά διατμητικά κύματα. Ο πάσσαλος είναι διαμέτρου d, πυκνότητας ρ p, ροπής αδράνειας I p, έχει μήκος L καθώς και μέτρο ελαστικότητας Ε p. Ο πάσσαλος θεωρείται πακτωμένος στην κεφαλή του (ως μέλος πασσαλοομάδας), και εδράζεται σε 23

28 Κεφάλαιο 3 Μέθοδος Προσομοίωσης ανένδοτο βράχο (end bearing pile), διαπερνώντας δύο εδαφικά στρώματα. Η πρώτη στρώση, δηλαδή η επιφανειακή, έχει πάχος H 1, μέτρο ελαστικότητας Ε s1 και πυκνότητα ρ s1. Αντίστοιχα, η δεύτερη εδαφική στρώση έχει πάχος H 2 = L H 1, μέτρο ελαστικότητας Ε s2 και πυκνότητα ρ s2, με τη μέγιστη επιτάχυνση στην επιφάνεια του εδάφους να είναι ίση με A sur (m/s 2 ). Το αναλυτικό σκαρίφημα του προβλήματος παρουσιάζεται στο Σχήμα 3.1. A sur M cap E s1,ρ s1 Η 1 ξ=5% Ε p ρ p Η 2 M int E s2,ρ s2 Q int Η 2 ξ=5% Σχήμα 3.1: Σκαρίφημα προβλήματος: Εγκιβωτισμένος πάσσαλος σε δίστρωτο έδαφος 24

29 Κεφάλαιο 3 Μέθοδος Προσομοίωσης Ύστερα από διαστατική ανάλυση έχουν προκύψει οι εξής αδιάστατες παράμετροι που επηρεάζουν την κινηματική αλληλεπίδραση πασσάλου εδάφους: Η λυγηρότητα του πασσάλου L/d, όπου L το συνολικό μήκος του πασσάλου και d η διάμετρός του. Το σχετικό πάχος της εδαφικής στρώσης H 1 /L, όπου H 1 το πάχος της πρώτης εδαφικής στρώσης και L το μήκος του πασσάλου. Η σχετική δυσκαμψία Ε p /E s1, μεταξύ του μέτρου ελαστικότητας του πασσάλου και του μέτρου ελαστικότητας της πρώτης εδαφικής στρώσης. Η σχετική δυστμησία E s2 /E s1, μεταξύ των μέτρων ελαστικότητας των δύο εδαφικών στρώσεων. Η σχετική πυκνότητα ρ p /ρ s1, ανάμεσα στην πυκνότητα του πασσάλου και την πυκνότητα της πρώτης εδαφικής στρώσης. Η σχετική πυκνότητα ρ s2 /ρ s1, μεταξύ των πυκνοτήτων των δύο εδαφικών στρώσεων. Οι λόγοι M cap /ρ p d 4 A sur, M int /ρ p d 4 A sur και Q int / ρ p d 3 A sur, όπου M cap, M int, Q int, η μέγιστη (στο πεδίο των συχνοτήτων) καμπτική ροπή στην κεφαλή, και μέγιστη καμπτική ροπή και τέμνουσα δύναμη στη διεπιφάνεια των εδαφικών στρώσεων αντιστοίχως. Σ αυτό το σημείο, πρέπει να αναφερθεί ότι ο σκοπός των αναλύσεων ήταν η σύγκρισή τους με υπάρχουσες λύσεις άλλων μεθόδων. Συγκεκριμένα, επιλέχθηκε η σύγκριση των αποτελεσμάτων με τα αντίστοιχα της μεθόδου με θεώρηση δυναμικού εδάφους θεμελίωσης Winkler (BDWF), όπως αυτή εφαρμόστηκε στο άρθρο για το 3 ο Πανελλήνιο Συνέδριο Αντισεισμικής Μηχανικής & Τεχνικής Σεισμολογίας με τίτλο «Κινηματική Επιπόνηση Πασσάλου: Η Μέθοδος των Τεχνητών Νευρωνικών Δικτύων» ( Γερόλυμος & Γκαζέτας, 28) καθώς και στη διπλωματική εργασία της Φανής Βαρουτσής με τίτλο, Αλληλεπίδραση Εδάφους Πασσάλου υπό τη Διέγερση Σεισμικών Κυμάτων. 25

30 Κεφάλαιο 3 Μέθοδος Προσομοίωσης Καταρχάς, ο συντελεστής εδαφικής απόσβεσης ξ έχει ληφθεί σταθερός και ίσος με 5% και στις δύο στρώσεις, τιμή που θεωρείται ικανοποιητική για συνήθη εδάφη, καθώς οι αναλύσεις έδειξαν ότι τυχόν διαφοροποίησή του κάθε άλλο παρά σημαντικό ρόλο παίζει. Μάλιστα, στο τέταρτο κεφάλαιο παρουσιάζεται με τη μορφή συγκριτικών διαγραμμάτων η αμελητέα αυτή διαφοροποίηση για διάφορες τιμές του συντελεστή απόσβεσης. Επιπλέον, οι άλλοι παράγοντες που κρατήθηκαν σταθεροί στο σύνολο των αναλύσεων είναι οι εξής: Το μέτρο ελαστικότητας του πασσάλου Ε p. με τιμή ίση με 3 MPa Η πυκνότητα του πασσάλου ρ p, με τιμή ίση με 2.5 Mgr/m 2 Ο λόγος του Poisson ν, με τιμή ίση με Εξατείσθες περιπτώσεις Στο άρθρο των Gerolymos & Gazetas (28) χρησιμοποιήθηκε η μέθοδος της δοκού επί δυναμικού εδάφους θεμελίωσης Winkler, της οποίας το βασικό πλεονέκτημα είναι το μικρό υπολογιστικό κόστος συγκριτικά με άλλες μεθόδους, όπως αυτή των πεπερασμένων στοιχείων. Για τις ανάγκες του εν λόγω άρθρου, όπως αναφέρουν οι συγγραφείς, πραγματοποιήθηκαν 1276 αναλύσεις με τη χρήση του ημι αναλυτικού αλγορίθμου SPIAB (Mylonakis & Gazetas, 1997). Είναι προφανές, πως στην παρούσα διπλωματική εργασία δεν ήταν δυνατή η εκτέλεση τέτοιας πληθώρας αναλύσεων, εξαιτίας του μεγάλου υπολογιστικού κόστους της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων. Επομένως, για να είναι συνεπής και αξιόπιστη η όποια σύγκριση, έγινε τυχαία επιλογή 16 περίπου περιπτώσεων από τις 1276 περιπτώσεις που εξετάστηκαν με τον κώδικα SPIAB. Η επιλογή των 16 διαφορετικών συνδυασμών των αδιάστατων παραμέτρων που διέπουν το πρόβλημα, έγινε εντελώς τυχαία, κάνοντας χρήση της μεθόδου Monte Carlo. 26

31 Κεφάλαιο 3 Μέθοδος Προσομοίωσης Όσον αφορά τις υπόλοιπες συνιστώσες του προβλήματος, δηλαδή τις αδιάστατες παραμέτρους, αυτές λαμβάνουν ένα σημαντικό εύρος τιμών, ώστε να διερευνηθεί όσο το δυνατόν πληρέστερα το πρόβλημα. Ειδικότερα, η λυγηρότητα του πασσάλου L/d παίρνει τιμές από 16 έως 4, το σχετικό πάχος της υπερκείμενης, επιφανειακής εδαφικής στρώσης ως προς το συνολικό μήκος του πασσάλου H 1 /L, από.25 έως.75, ενώ η σχετική δυσκαμψία Ε p /Es1 μεταξύ του πασσάλου και της επιφανειακής εδαφικής στρώσης, από 25 έως 2. Στη συνέχεια, η σχετική δυστμησία E s2 /Es1 μεταξύ του πρώτου και του δεύτερου στρώματος, κυμαίνεται από.25 έως 3, καλύπτοντας ένα ευρύ φάσμα εδαφικών προφίλ, περιλαμβάνοντας ομοιογενή, κανονικά (με περισσότερο δύσκαμπτη την υπερκείμενη στρώση) και ανάστροφα (με περισσότερα δύσκαμπτη την υποκείμενη στρώση). Τέλος, η σχετική πυκνότητα μεταξύ του πασσάλου και της πρώτης στρώσης ρ p /ρ s1, λαμβάνει τιμές μεταξύ 1 και 2, ενώ η σχετική πυκνότητα μεταξύ της πρώτου και του δεύτερου εδαφικού στρώματος ρ s2 /ρ s1, μεταξύ.667 και ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑ ΠΕΠΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Μοντέλο Πεπερασμένων στοιχείων Το πρόβλημα της κινηματικής επιπόνησης μεμονωμένου πασσάλου εγκιβωτισμένου σε δίστρωτο προφίλ εξετάζεται μέσω της πραγματοποίσης τριδιάστων αναλύσεων με τη βοήθεια του κώδικα πεπερασμένων στοιχείων ABAQUS. Τόσο ο πάσσαλος όσο και το έδαφος σε πρώτη φάση θεωρούνται γραμμικώς ελαστικά (στο 5 ο κεφάλαιο θα εξετασθούν διεξοδικά μη γραμμικές περιπτώσεις στο πεδίο του χρόνου). Το έδαφος προσομοιώνεται με εξαεδρικά brick type στοιχεία (8 κομβικά) με διαστάσεις που ποικίλουν ανάλογα με την εξεταζόμενη περίπτωση. Στο Σχήμα 3.2, δίνεται μια σαφής εικόνα του μοντέλου των πεπερασμένων στοιχείων. Συγκεκριμένα 27

32 Κεφάλαιο 3 Μέθοδος Προσομοίωσης η προσομοίωση του εδάφους έγινε με 29 περίπου τέτοια στοιχεία (elements).οι διαστάσεις των εν λόγω στοιχείων είναι αρκούντως μικρές, με τον κάναβο των πεπερασμένων στοιχειών να είναι πιο πυκνός σε απόσταση εφτά περίπου διαμέτρων περιμετρικά του πασσάλου, για μεγαλύτερη ακρίβεια. 1 η εδαφική 2 η εδαφική στρώση στρώση Σχήμα 3.2: 3 Διάστατο προσομοίωμα: Διακριτοποίηση των πεπερασμένων στοιχείων που αντιστοιχούν στο έδαφος και στον πάσσαλο.(για καθαρά οπτικούς λόγους παρουσιάζεται το ήμισυ του προσομοιώματος. Απεναντίας, ο πάσσαλος προσομοιώνεται με μία σειρά από 3 Διάστατα στοιχεία δοκού (3D Euler Bernoulli beam elements). Η σύνδεση των κόμβων του στοιχείου δοκού με 28

33 Κεφάλαιο 3 Μέθοδος Προσομοίωσης τους αντίστοιχους περιφερειακούς κόμβους του περιβάλλοντος εδάφους επιτυγχάνεται μέσω κατάλληλων κινηματικών περιορισμών, προκειμένου να αποδωθεί πιστά η γεωμετρία του πασσάλου (Σχήμα 3.3). Με αυτόν τον τρόπο κάθε ένα από τα τριδιάστατα στερεά στοιχεία που αποτελούν τον πάσσαλο, έχει μηδενική δυσκαμψία και συμπεριφέρεται ως άκαμπτος δίσκος σύμφωνα με την παραδοχή Bernoulli. Δηλαδή, η στροφή επιτρέπεται με την προυπόθεση ότι ο δίσκος παραμένει πάντοτε κάθετος στον άξονα του στοιχείου δοκού, καθώς επίσης δεν δύναται να παραμορφωθεί. Αξίζει να σημειωθεί ότι στις εν λόγω αναλύσεις δεν επιτρέπεται η αποκόλληση στη διεπιφάνεια πασσάλου εδάφους. Επιβαλλόμενος κινηματικός περιορισμός Εδαφικός κόμβος 3 Διάστατο στερεό στοιχείο 3 Διάστατο στοιχείο δοκού Σχήμα 3.3: Προσομοίωση του πασσάλου: ο πάσσαλος προσομοιώνεται με μία σειρά στοιχείων δοκού τα οποία είναι άκαμπτα συνδεδεμένα με τους περιφερειακούς κόμβους του περιβάλλοντος εδάφους με σκοπό τη διατήρηση της επιπεδότητας των διατομών αλλά και τη μη παραμόρφωσή τους. 29

34 Κεφάλαιο 3 Μέθοδος Προσομοίωσης Επιπρόσθετα, στο μοντέλο των πεπερασμένων στοιχείων χρησιμοποιήθηκαν οι κατάλληλοι κινηματικοί περιορισμοί στα άκρα του προσομοιώματος. Ειδικότερα, στην κορυφή του πασσάλου, δηλαδή στην επιφάνεια του εδάφους, έχουν δεσμευθεί οι δύο στροφές ούτως ώστε ο πάσσαλος να είναι πακτωμένος στην κεφαλή του (ως μέλος πασσαλοομάδας). Τέλος, αξίζει να τονισθεί για ακόμη μία φορά η απουσία της ανωδομής από το προσομοίωμα, δεδομένου ότι εξετάζεται η απόκριση του πασσάλου σε κινηματική επιπόνηση και μόνο Περιγραφή της Διαδικασίας Καταρχάς, το σύνολο των αναλύσεων πραγματοποιήθηκε στο πεδίο των συχνοτήτων (frequency domain). Το δίστρωτο έδαφος με τον εγκιβωτισμένο μεμονωμένο πάσσαλο υποβλήθηκε σε αρμονική διέγερση σταθερής κατάστασης (steady state). Δηλαδή, στη βάση του πασσάλου η διέγερση είναι της μορφής: g ( ) u t = Ue ω g i t (1) Στον κώδικα πεπερασμένων στοιχείων ABAQUS επιβάλλεται στη βάση του πασσάλου μοναδιαία επιτάχυνση U&&. Ως συχνότητα της διέγερσης χρησιμοποιήθηκε η πρώτη g ιδιοπερίοδος του εδάφους, δεδομένου ότι στην πλειονότητα των περιπτώσεων οι μέγιστες κινηματικές ροπές παρατηρούνται σε αυτήν την συχνότητα (Kavvadas & Gazetas, 1993). Σύμφωνα με τους Kavvadas & Gazetas (1993) οι κινηματικές ροπές του πασσάλου ελέγχονται από δύο ανταγωνιστικούς μηχανισμούς: 1. από την τιμή της κανονικοποιημένης καμπυλότητας της ελαστικής γραμμής του πασσάλου, με τις μεγαλύτερες τιμές να εμφανίζονται σε μεγαλύτερες ιδιομορφές οι οποίες είναι πιο «κυματοειδείς» 3

35 Κεφάλαιο 3 Μέθοδος Προσομοίωσης 2. από το συνολικό πλάτος της μετακίνησης του πασσάλου, με τις μεγαλύτερες τιμές να προκύπτουν για τις μικρές ιδιομορφές Ο δεύτερος μηχανισμός συνήθως υπερισχύει, με αποτέλεσμα την εμφάνιση της μέγιστης κινηματικής ροπής στην πρώτη ιδιοπερίοδο. Μάλιστα, στο 4 ο κεφάλαιο παρουσιάζεται για του λόγου το αληθές μία σύγκριση των κινηματικών ροπών σε ένα εδαφικό προφίλ για την πρώτη και τη δεύτερη ιδιοσυχνότητά του αντίστοιχα. Δεδομένου του δίστρωτου εδάφους, ο υπολογισμός της πρώτης ιδιοπεριόδου δεν είναι τόσο απλός όσο στην περίπτωση του ομοιογενούς σχηματισμού. Για την εύρεσή της χρησιμοποιήθηκε ο αριθμητικός κώδικας Mathcad, στον οποίο καταστρώθηκε η ακόλουθη επαναληπτική διαδικασία: Καταρχάς για κάθε εδαφικό προφίλ υπολογίζονται οι ταχύτητες: V = s1 E 21 s1 ( +ν) ρ και s2 21 ( ) 1 V = Es2 + νρ 2 (2) Για i {,,...N } = 12 όπου 124 f N = και για dt = 1., υπολογίζονται στη συνέχεια: f i fi = 2dtN f (3) w = 2π f i i (4) a1= 1+ 2iξ1 και a2 = 1+ 2iξ 2 (5) 31

36 Κεφάλαιο 3 Μέθοδος Προσομοίωσης ρ Va IRi = ρ Va 1 s1 1 2 s2 2 (6) 1 ARi = H 2 H 1 H 2 H 1 IRsin wi sin wi cos wi cos wi Va s2 1 Va s1 1 Va s2 2 Va s1 2 (7) Με την εκτέλεση αυτής της επαναληπτικής διαδικασίας προκύπτει το διάγραμμα της εδαφικής ενίσχυσης κι επομένως η τιμή της πρώτης ιδιοπεριόδου, με ένα παράδειγμά να δίνεται στο Σχήμα 3.4. ARi fi Σχήμα 3.4 : Παράδειγμα διαγράμματος του συντελεστή δυναμικής ενίσχυσης ARi, συναρτήσει της συχνότητας fi, από τον κώδικα MATLAB για την εύρεση της πρώτης ιδιοσυχνότητας. (Η1/L=.5, ρ1/ρ2=1, Εs2/Es1=1,ξ=5%,ν=.3) 32

37 Κεφάλαιο 3 Μέθοδος Προσομοίωσης Στη συνέχεια, εισάγεται στον κώδικα πεπερασμένων στοιχείων ABAQUS η απόσβεση Rayleigh. Θεωρείται λοιπόν απόσβεση ανάλογη της μάζας και απόσβεση ανάλογη της δυσκαμψίας: [ c] = a[ m] (8) [ c] = b[ k] (9) Όπου [m] και [k] τα μητρώα της μάζας και της απόσβεσης αντίστοιχα, ενώ a και b είναι σταθερές που έχουν μονάδες sec 1 και sec αντιστοίχως. Επειδή όμως καμία από τις δύο προαναφερθείσες αποσβέσεις δεν είναι από μόνη της κατάλληλη και επαρκής, θεωρούμε την απόσβεση Rayleigh: [ c] = a[ m] + b[ k] (1) Το ζητούμενο λοιπόν είναι η εύρεση των συντελεστών a και b, οι οποίοι εισάγονται στον κώδικα ABAQUS. Ο υπολογισμός των συντελεστών αυτών γίνεται με τη βοήθεια των εξής σχέσεων: 2ff i j a =ξ f + f i j (11) 2 b =ξ f + f i j (12) 33

38 Κεφάλαιο 3 Μέθοδος Προσομοίωσης Όπου ξ, είναι ο λόγος απόσβεσης, ο οποίος θεωρείται ίσος με 5%, fi η πρώτη ιδιοσυχνότητα του εδάφους και f j =5f i. 34

39 Κεφάλαιο 4 Αρμονική διέγερση σταθερής κατάστασης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ 4.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στο παρόν κεφάλαιο παρατίθενται τα αποτελέσματα των αναλύσεων της απόκρισης μεμονωμένου πασσάλου εγκιβωτισμένου σε δίστρωτο έδαφος υπό αρμονική διέγερση σταθερής κατάστασης (steady state). Όπως αναφέρθηκε και στο προηγούμενο κεφάλαιο, ως συχνότητα της διέγερσης χρησιμοποιείται η πρώτη ιδιοσυχνότητα του εδάφους. Συνολικά, πραγματοποιήθηκαν 16 αναλύσεις με διαφορετικούς συνδυασμούς των αδιάστατων παραμέτρων που διέπουν το πρόβλημα, δηλαδή της λυγηρότητας L/d, του σχετικού πάχους H/L, της σχετικής δυσκαμψίας E p /E s, της σχετικής δυστμησίας E s2 /E s1 και των σχετικών πυκνοτήτων ρ p /ρ s και ρ s2 /ρ s1. Οι αναλύσεις αυτές συγκρίνονται με τις αντίστοιχες του κώδικα SPIAB, δηλαδή με τη μέθοδο της δοκού επί δυναμικού εδάφους θεμελίωσης Winkler (BDWF). 4.2 ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑΣΜΟΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ Η επιρροή της πρώτης ιδιοσυχνότητας και του συντελεστή απόσβεσης Πριν τη λεπτομερή παρουσίαση των αποτελεσμάτων των αναλύσεων, εξετάζεται σε πρώτη φάση η επιλογή της πρώτης ιδιοσυχνότητας του εδάφους, ως συχνότητα της 35

40 Κεφάλαιο 4 Αρμονική διέγερση σταθερής κατάστασης αρμονικής διέγερσης σταθερής κατάστασης. Όπως αναφέρθηκε και στο 3 ο Κεφάλαιο, στη συντριπτική πλειονότητα των περιπτώσεων τα μεγαλύτερα κινηματικά εντατικά μεγέθη παρατηρούνται στην πρώτη ιδιοσυχνότητα του εδάφους. Για του λόγου το αληθές, πραγματοποιήθηκαν δύο πρόσθετες τυχαίες αναλύσεις, που είχαν σκοπό την επιβεβαίωση την άνωθεν παραδοχής. Για να είναι όσο το δυνατόν αντιπροσωπευτικότερη η σύγκριση, επιλέχθηκαν δύο διαφορετικά εδαφικά προφίλ, στα οποία επιβλήθηκε ως συχνότητα διέγερσης η δεύτερη ιδιοσυχνότητα του εδάφους. Στην πρώτη περίπτωση (Σχήμα 4.1), εξετάζεται ένα κανονικό προφίλ, δηλαδή με πιο δύστμητη την υπερκείμενη στρώση, ενώ στη δεύτερη (Σχήμα 4.2), ένα ανεστραμμένης δυστμησίας, με πιο δύστμητη την υποκείμενη στρώση. Και στις δύο περιπτώσεις φαίνεται ότι οι μέγιστες κινηματικές ροπές και τέμνουσες είναι σαφώς μεγαλύτερες για την πρώτη ιδιοσυχνότητα (έως και 1 φορές), επιβεβαιώνοντας έτσι την ορθότητα της παραδοχής. Ροπή (KNm) Τέμνουσα (KN) Z (m) 35 1 η ιδιοσυχνότητα 2 η ιδιοσυχνότητα Σχήμα 4.1: Σύγκριση κινηματικών εντατικών μεγεθών για την πρώτη και τη δεύτερη ιδιοσυχνότητα του εδάφους (για Πάσσαλο με H1/L=.5, L/d=22, Ep/Es1=2, Es2/Es1=1, ρp/ρs1=1.333, ρs2/ρs1=1) 36

41 Κεφάλαιο 4 Αρμονική διέγερση σταθερής κατάστασης Ροπή (KNm) Τέμνουσα (KN) Z (m) 3 1 η ιδιοσυχνότητα 2 η ιδιοσυχνότητα Σχήμα 4.2: Σύγκριση κινηματικών εντατικών μεγεθών για την πρώτη και τη δεύτερη ιδιοσυχνότητα του εδάφους (για Πάσσαλο με H1/L=.5, L/d=3, Ep/Es1=1, Es2/Es1=.25, ρp/ρs1=1, ρs2/ρs1=1.429) Όπως επίσης αναφέρθηκε στο Κεφάλαιο 3, ο συντελεστής εδαφικής απόσβεσης ξ λήφθηκε σταθερός και ίσος με 5% και στις δύο εδαφικές στρώσεις, τιμή που θεωρείται ικανοποιητική για συνήθη εδάφη. Στη συνέχεια λοιπόν, εξετάστηκε πώς, τυχόν διαφοροποίηση του συντελεστή επηρεάζει τα αποτελέσματα. Συγκεκριμένα, έγιναν αναλύσεις για συντελεστή απόσβεσης ίσο με 5%, 1% και 15%. Όπως φαίνεται στο Σχήμα 4.3.α, αυξανομένης της απόσβεσής η κινηματική ροπή και η κινηματική τέμνουσα μειώνονται, με σημαντική διαφορά κυρίως μεταξύ ξ=5% και ξ=15%. Η εικόνα αυτή όμως, ίσως είναι πλασματική, αφού δε λαμβάνεται υπόψη η διαφορά στην επιτάχυνση A sur, στην κορυφή του πασσάλου. Παρατηρώντας λοιπόν το Σχήμα 4.3.β, όπου παρουσιάζονται τα κινηματικά εντατικά μεγέθη κανονικοποιημένα ως προς την επιτάχυνση στην κορυφή A sur, είναι προφανής η σχεδόν απόλυτη ταύτιση των καμπυλών, ανεξαρτήτως της τιμής του συντελεστή απόσβεσης ξ. 37

42 Κεφάλαιο 4 Αρμονική διέγερση σταθερής κατάστασης 5 Ροπή (KNm) (α) 5 Τέμνουσα (KN) (α) Z (m) M/ρ p d 4 A sur Q/ρ p d 3 A sur (β) (β) Z (m) ξ=5% ξ=1% ξ=15% Σχήμα 4.3: Σύγκριση μεταξύ των κινηματικών εντατικών μεγεθών, ροπής και τέμνουσας για τιμές του συντελεστή απόσβεσης ξ=5%, 1% και 15% αντίστοιχα. (α) τιμές κανονικών εντατικών μεγεθών (β) τιμές κανονικοποιημένων εντατικών μεγεθών M/ρ p d 4 A sur και Q/ρ p d 3 A sur. (για Πάσσαλο με H1/L=.5, L/d=3, Ep/Es1=1, Es2/Es1=.25, ρp/ρs1=1, ρs2/ρs1=1.429) 38

43 Κεφάλαιο 4 Αρμονική διέγερση σταθερής κατάστασης Αδιαστατοποιημένα Διαγράμματα κινηματικών μεγεθών Διερευνάται η επιρροή των αδιάστατων παραμέτρων που διέπουν το πρόβλημα της κινηματικής επιπόνησης μεμονωμένου πασσάλου. Τα αποτελέσματα παρουσιάζονται με τη μορφή διαγραμμάτων μεγίστων κινηματικών εντατικών μεγεθών στην κεφαλή του πασσάλου και στη διεπιφάνεια των δύο εδαφικών στρώσεων, συναρτήσει των αδιάστατων παραμέτρων που καθορίζουν το πρόβλημα. Συγκεκριμένα, τόσο οι ροπές όσο και οι τέμνουσες κανονικοποιούνται με την επιτάχυνση της επιφάνειας του εδάφους Α sur και παίρνουν τη μορφή, M cap /ρ p d 4 A sur για την κινηματική ροπή στην κεφαλή του πασσάλου, M int /ρ p d 4 A sur για τη μέγιστη κινηματική ροπή στη διεπιφάνεια των δύο εδαφικών στρώσεων και Q int /ρ p d 3 A sur για τη μέγιστη τέμνουσα δύναμη στη διεπιφάνεια. Αξίζει να σημειωθεί ότι η μέγιστη κινηματική ροπή και τέμνουσα δύναμη στη διεπιφάνεια των δύο εδαφικών στρωμάτων δε συναντώνται πάντα ακριβώς στη διεπιφάνεια. Στις περισσότερες περιπτώσεις, τα μέγιστα κινηματικά εντατικά μεγέθη προκύπτουν σε απόσταση μία ή δύο το πολύ διαμέτρων εκατέρωθεν της διεπιφάνειας και είναι αυτά που λαμβάνονται υπ όψιν για τα διαγράμματα που την αφορούν. Για την πληρέστερη διερεύνηση του φαινομένου, αξιοποιήθηκαν από τη μία πλευρά οι αναλύσεις που έγιναν στον κώδικα πεπερασμένων στοιχείων ABAQUS, για τις ανάγκες της παρούσας εργασίας και από την άλλη, οι αναλύσεις με τον ημι αναλυτικό αλγόριθμο SPIAB από το άρθρο των Gerolymos & Gazetas (28). Στο Σχήμα 4.4 εξετάζεται η επιρροή της λυγηρότητας του πασσάλου L/d στα κινηματικά εντατικά μεγέθη συναρτήσει της σχετικής δυστμησίας Ε s2 /Ε s1 μεταξύ της δεύτερης και της πρώτης εδαφικής στρώσης. Η σχετική δυσκαμψία μεταξύ του πασσάλου και της πρώτης εδαφικής στρώσης είναι Ε p /Ε s1 =6, ενώ οι σχετικές πυκνότητες είναι 39

44 Κεφάλαιο 4 Αρμονική διέγερση σταθερής κατάστασης ρ p /ρ s1 =1.333 και ρ s2 /ρ s1 =1. Η συνεχής γραμμή αφορά τα αποτελέσματα από τον κώδικα SPIAB, ενώ τα αποτελέσματα των αναλύσεων του ABAQUS δίνονται με τη μορφή σημείων (η μορφολογία αυτή ακολουθείται και στα επόμενα διαγράμματα της εν λόγω υποενότητας). Καταρχάς είναι σαφές πως τα κινηματικά εντατικά μεγέθη εξαρτώνται άμεσα από τη διαφορά της σχετικής δυστμησίας μεταξύ των δύο εδαφικών στρώσεων E s2 /E s1. Μάλιστα, όσο πιο έντονη είναι η διαφορά αυτή τόσο μεγαλύτερα είναι και τα εντατικά μεγέθη επιβεβαιώνοντας απόλυτα τους αντισεισμικούς κανονισμούς που επιβάλλουν τη μελέτη των πασσάλων σε κινηματική επιπόνηση όταν υπάρχει σημαντική διαφορά στα μέτρα ελαστικότητας δύο διαδοχικών στρώσεων. Είναι χαρακτηριστικό ότι το ομοιογενές προφίλ με E s2 /E s1 =1 έχει ανεξαρτήτως της λυγηρότητας του πασσάλου ίδια εντατικά μεγέθη με μικρές σχετικά τιμές. Αντιθέτως, όσο πιο έντονη γίνεται η διαφορά στη δυστμησία των δύο διαδοχικών στρωμάτων τόσο πιο αυξημένα είναι τα εντατικά μεγέθη. Ειδικότερα, στην περίπτωση του ανάστροφου προφίλ, όπου η δυστμησία της πρώτης εδαφικής στρώσης υπερβαίνει αυτή της δεύτερης (E s2 /E s1 <1), τόσο οι ροπές όσο και οι τέμνουσες είναι σε γενικές γραμμές μεγαλύτερες όσο αυξάνεται το μέτρο ελαστικότητας της υπερκείμενης στρώσης. Η ίδια συμπεριφορά παρατηρείται και στα κανονικά προφίλ, με τα εντατικά μεγέθη να αυξάνονται όσο αυξάνεται η σχετική δυστμησία E s2 /E s1. Αξιοσημείωτη είναι η υπεροχή της μέγιστης κινηματικής ροπής του ανάστροφου προφίλ τόσο στην κεφαλή όσο και στη διεπιφάνεια, με μόνη εξαίρεση τη ροπή κεφαλής όπου για L/d>3 υπερέχουν τα κανονικά προφίλ. Η ακριβώς αντίθετη εικόνα απαντάται στη μέγιστη κινηματική τέμνουσα δύναμη πλησίον της διεπιφάνειας, όπου τα κανονικά προφίλ παρουσιάζουν μεγαλύτερες τιμές από τα ανάστροφα. 4

45 Κεφάλαιο 4 Αρμονική διέγερση σταθερής κατάστασης Η αύξηση της λυγηρότητας L/d του πασσάλου δεν επηρεάζει έντονα τις κινηματικές ροπές των κανονικών προφίλ οι οποίες πάντως έχουν αυξητική τάση. Το ακριβώς αντίθετο συμβαίνει στην τέμνουσα της διεπιφάνειας, όπου ο ρυθμός αύξησης είναι σαφώς μεγαλύτερος ιδίως για περιπτώσεις έντονης ανομοιογένειας. Απεναντίας, στην περίπτωση του ανάστροφου προφίλ, η ροπή στην κεφαλή μειώνεται αυξανομένης της λυγηρότητας. Η ίδια ακριβώς εικόνα παρατηρείται και στην περίπτωση του Σχήματος 4.5, με τη μόνη διαφορά από το Σχήμα 4.4 να έγκειται στη σχετική δυσκαμψία του πασσάλου και της πρώτης εδαφικής στρώσης, η οποία από Ε p /Ε s1 =6 που ήταν προηγουμένως, ανέρχεται πλέον σε Ε p /Ε s1 =2. Και στις δύο περιπτώσεις η επιρροή τόσο της λυγηρότητας L/d όσο και της σχετικής δυστμησίας των δύο στρώσεων E s2 /E s1 είναι ίδια. Όμως, με την αύξηση της σχετικής δυσκαμψίας του πασσάλου ως προς το έδαφος τα κινηματικά εντατικά μεγέθη αυξάνονται έως και 4 φορές σε σχέση με προηγουμένως, αποδεικνύοντας ότι όσο πιο δύσκαμπτος είναι ένας πάσσαλος συγκριτικά με το έδαφος τόσο περισσότερο καταπονείται κινηματικά. Όσον αφορά τη σύγκριση SPIAB και ABAQUS είναι προφανής αφενός, η ιδιαιτέρως καλή σύγκλιση στις ροπές και αφετέρου η υποεκτίμηση της κινηματικής τέμνουσας με τη μέθοδο του δυναμικού ελατηριωτού προσομοιώματος Winkler, η οποία και αναλύεται διεξοδικότερα στο τέλος του κεφαλαίου. Συνοψίζοντας λοιπόν, η επιρροή της λυγηρότητας του πασσάλου είναι σημαντικότερη στην τέμνουσα από ότι στις ροπές καθώς και στην περίπτωση του ανάστροφου προφίλ. Τέλος, όσο πιο έντονη είναι η ανομοιογένεια (E s2 /E s1 ) μεταξύ των δύο διαδοχικών εδαφικών στρώσεων αλλά και μεταξύ πασσάλου εδάφους (Ε p /Ε s1 ), τόσο πιο επιτακτική καθίσταται η μελέτη της κινηματικής επιπόνησης του πασσάλου. 41

46 Κεφάλαιο 4 Αρμονική διέγερση σταθερής κατάστασης Mcap/ρpd 4 Asur (α) Mint/ρpd 4 Asur (β) E S2 / E S1 =.25 E S2 / E S1 =.5 E S2 / E S1 = 1 E S2 / E S1 = 2 E S2 / E S1 = E S2 / E S1 = 3 Qint/ρpd 3 Asur (γ) L/d Σχήμα 4.4 : Διάγραμμα (α) μέγιστης ανηγμένης καμπτικής ροπής M cap /ρ p d 4 A sur (β) μέγιστης ανηγμένης ροπής στη διεπιφάνεια M int /ρ p d 4 A sur (γ) μέγιστης ανηγμένης τέμνουσας στη διεπιφάνεια Q int /ρ p d 3 A sur συναρτήσει της λυγηρότητας του πασσάλου L/d για Η 1 /L=.25, Ε p /Ε s1 =6, ρ p /ρ s1 =1.333 και ρ s2 /ρ s1 =1 (με συνεχή γραμμή οι τιμές από το SPIAB με σημεία οι αντίστοιχες από το ABAQUS). 42

47 Κεφάλαιο 4 Αρμονική διέγερση σταθερής κατάστασης Mcap/ρpd 4 Asur (α) Mint/ρpd 4 Asur (β) E S2 / E S1 =.25 E S2 / E S1 =.5 E S2 / E S1 = 1 E S2 / E S1 = 2 E S2 / E S1 = E S2 / E S1 = 3 Qint/ρpd 3 Asur (γ) L/d Σχήμα 4.5 : Διάγραμμα (α) μέγιστης ανηγμένης καμπτικής ροπής M cap /ρ p d 4 A sur (β) μέγιστης ανηγμένης ροπής στη διεπιφάνεια M int /ρ p d 4 A sur (γ) μέγιστης ανηγμένης τέμνουσας στη διεπιφάνεια Q int /ρ p d 3 A sur συναρτήσει της λυγηρότητας του πασσάλου L/d για Η 1 /L=.25, Ε p /Ε s1 =2, ρ p /ρ s1 =1.333 και ρ s2 /ρ s1 =1 (με συνεχή γραμμή οι τιμές από το SPIAB με σημεία οι αντίστοιχες από το ABAQUS). 43

48 Κεφάλαιο 4 Αρμονική διέγερση σταθερής κατάστασης Στο Σχήμα 4.6 και στο 4.7 εξετάζεται η επιρροή του σχετικού πάχους H 1 /L της πρώτης εδαφικής στρώσης προς το συνολικό μήκος του πασσάλου στα κινηματικά εντατικά μεγέθη ως συνάρτηση της σχετικής δυστμησίας των δύο διαδοχικών εδαφικών στρώσεων E s2 /E s1. Η λυγηρότητα του πασσάλου λαμβάνεται ίση με L/d=22, ενώ οι σχετικές πυκνότητες είναι ίσες με ρ p /ρ s1 =1.333 και ρ s2 /ρ s1 =1. Η μοναδική διαφορά είναι η τιμή στη σχετική δυσκαμψία μεταξύ του πασσάλου και του πρώτου στρώματος με Ε p /Ε s1 =6 για το Σχήμα 4.6 και Ε p /Ε s1 =2 για το Σχήμα 4.7 αντίστοιχα. Με μια πρώτη επισκόπηση της κινηματικής ροπής στην κεφαλή αλλά και της μέγιστης ροπής και τέμνουσας δύναμης στη διεπιφάνεια στα Σχήματα 4.6 και 4.7, είναι εμφανής η μεγαλύτερη επιρροή του σχετικού πάχους της πρώτης στρώσης H 1 /L συγκριτικά με την αντίστοιχη της λυγηρότητας L/d του πασσάλου (Σχήματα 4.4 και 4.5), κρίνοντας από το μεγαλύτερο ρυθμό μεταβολής και των τριών κινηματικών εντατικών μεγεθών. Συγκεκριμένα, για την κινηματική ροπή στην κεφαλή του πασσάλου είναι χαρακτηριστική η απότομη αύξηση για τα κανονικά προφίλ (Εs2/Es1>1) και η μετέπειτα σταθεροποίησή τους για H 1 /L>.25. Απεναντίας, για τα ανάστροφα προφίλ (Εs2/Es1>1), η ροπή κεφαλής μειώνεται απότομα αυξανομένου του H 1 /L, ώσπου και σταθεροποιείται για πάχος της πρώτης στρώσης μεγαλύτερο από τα 2/3 του μήκους του πασσάλου. Το γεγονός αυτό οφείλεται στην απομάκρυνση της διεπιφάνειας από την κεφαλή του πασσάλου και επομένως στη μείωση της επιρροής της στα εντατικά μεγέθη της κεφαλής. Όσον αφορά την επιρροή της σχετικής δυστμησίας των δύο στρώσεων Ε s2 /Ε s1, παρατηρούμε ότι στην κεφαλή η ροπή επηρεάζεται σημαντικά στα ανάστροφα προφίλ, αλλά ελάχιστα στα κανονικά. Δε συμβαίνει το ίδιο όμως στη διεπιφάνεια, όπου 44

49 Κεφάλαιο 4 Αρμονική διέγερση σταθερής κατάστασης όσο εντονότερη είναι η διαφορά μεταξύ των μέτρων ελαστικότητας της υπερκείμενης και της υποκείμενης εδαφικής στρώσης, τόσο μεγαλύτερη είναι η κινηματική ροπή και η τέμνουσα δύναμη. Μάλιστα, συμπεραίνουμε ότι σε γενικές γραμμές τα ανάστροφα προφίλ καταπονούνται από μεγαλύτερες κινηματικές ροπές, τόσο στην κεφαλή όσο και στη διεπιφάνεια, αλλά από μικρότερες τέμνουσες δυνάμεις, συγκριτικά πάντα με τα κανονικά. Όπως και προηγουμένως, εύκολα διαπιστώνει κανείς την επιρροή της σχετικής δυσκαμψίας πασσάλου εδάφους Ε p /Ε s1. Η αδιάστατη αυτή παράμετρος δεν είναι ανταγωνιστική της λυγηρότητας L/d διότι ο ρυθμός μεταβολής των αδιαστατοποιημένων εντατικών μεγεθών παραμένει πρακτικά ο ίδιος. Πάντως, είναι και πάλι προφανές ότι η αύξηση αυτή της σχετικής δυσκαμψίας του πασσάλου ως προς το έδαφος οδηγεί σε εντατικά μεγέθη έως και τέσσερις φορές μεγαλύτερα, όπως δίνεται χαρακτηριστικά στα διαγράμματα της μέγιστης κινηματικής ροπής. Η επιρροή του εν λόγω αδιάστατου παράγοντα θα εξετασθεί σε μεγαλύτερο βάθος στα επόμενα διαγράμματα. Όπως γίνεται αντιληπτό από τα Σχήματα 4.6 και 4.7, υπάρχει εξαιρετική σύμπτωση μεταξύ της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων και της μεθόδου της δοκού επί δυναμικού εδάφους θεμελίωσης Winkler (BDWF) στην κινηματική ροπή στην κεφαλή, καθώς και στη μέγιστη ροπή γύρω από τη διεπιφάνεια. Παρόλα αυτά, ο ημι αναλυτικός αλγόριθμος SPIAB φαίνεται να υποεκτιμά και πάλι τη μέγιστη τέμνουσα δύναμη στη διεπιφάνεια συγκριτικά με το ABAQUS. 45

50 Κεφάλαιο 4 Αρμονική διέγερση σταθερής κατάστασης Mcap/ρpd 4 Asur (α) Mint/ρpd 4 Asur (β) E S2 / E S1 =.25 E S2 / E S1 =.5 E S2 / E S1 = 1 E S2 / E S1 = 2 E S2 / E S1 = E S2 / E S1 = 3 Qint/ρpd 3 Asur (γ) H 1 /L Σχήμα 4.6 : Διάγραμμα (α) μέγιστης ανηγμένης καμπτικής ροπής M cap /ρ p d 4 A sur (β) μέγιστης ανηγμένης ροπής στη διεπιφάνεια M int /ρ p d 4 A sur (γ) μέγιστης ανηγμένης τέμνουσας στη διεπιφάνεια Q int /ρ p d 3 A sur συναρτήσει της λυγηρότητας του πασσάλου Η 1 /L για L/d=22, Ε p /Ε s1 =6, ρ p /ρ s1 =1.333 και ρ s2 /ρ s1 =1 (με συνεχή γραμμή οι τιμές από το SPIAB με σημεία οι αντίστοιχες από το ABAQUS). 46

51 Κεφάλαιο 4 Αρμονική διέγερση σταθερής κατάστασης Mcap/ρpd 4 Asur (α) Mint/ρpd 4 Asur (β) E S2 / E S1 =.25 E S2 / E S1 =.5 E S2 / E S1 = 1 E S2 / E S1 = 2 E S2 / E S1 = E S2 / E S1 = 3 Qint/ρpd 3 Asur (γ) H 1 /L Σχήμα 4.7 : Διάγραμμα (α) μέγιστης ανηγμένης καμπτικής ροπής M cap /ρ p d 4 A sur (β) μέγιστης ανηγμένης ροπής στη διεπιφάνεια M int /ρ p d 4 A sur (γ) μέγιστης ανηγμένης τέμνουσας στη διεπιφάνεια Q int /ρ p d 3 A sur συναρτήσει της λυγηρότητας του πασσάλου Η 1 /L για L/d=22, Ε p /Ε s1 =2, ρ p /ρ s1 =1.333 και ρ s2 /ρ s1 =1 (με συνεχή γραμμή οι τιμές από το SPIAB με σημεία οι αντίστοιχες από το ABAQUS). 47

52 Κεφάλαιο 4 Αρμονική διέγερση σταθερής κατάστασης Στα Σχήματα 4.8, 4.9 και 4.1 εξετάζεται η επιρροή της λυγηρότητας του πασσάλου L/d στα κινηματικά εντατικά μεγέθη ως συνάρτηση της σχετικής δυσκαμψίας μεταξύ πασσάλου και εδάφους Ε p /Ε s1. Το σχετικό πάχος της πρώτης εδαφικής στρώσης ως προς το συνολικό μήκος του πασσάλου λαμβάνεται ίσο με H 1 /L=.5, ενώ οι σχετικές πυκνότητες είναι ίσες με ρ p /ρ s1 =1.333 και ρ s2 /ρ s1 =1. Στο Σχήμα 4.8 η σχετική δυστμησία των δύο διαδοχικών στρώσεων είναι E s2 /E s1 =.25, στο Σχήμα 4.9 E s2 /E s1 =1 και στο Σχήμα 4.1 E s2 /E s1 =3 αντίστοιχα. Το πρώτο σχόλιο αφορά την επιρροή της σχετικής δυσκαμψίας μεταξύ του πασσάλου και της πρώτης εδαφικής στρώσης E p /E s1 στα κινηματικά εντατικά μεγέθη. Ανεξαρτήτως του τύπου του εδαφικού προφίλ παρατηρείται αύξηση των εντατικών μεγεθών αυξανομένης της σχετικής δυσκαμψίας του πασσάλου συγκριτικά με το έδαφος. Καθιστώντας λοιπόν τον πάσσαλο πιο δύσκαμπτο, αυτός δυσκολεύεται να ακολουθήσει την κίνηση του εδάφους με αποτέλεσμα την ανάπτυξη κινηματικής έντασης. Κατά συνέπεια, όσο μεγαλύτερη είναι η δυσκαμψία του πασσάλου αναφορικά με το έδαφος, τόσο πιο επιτακτικός κρίνεται ο υπολογισμός της κινηματικής συνιστώσας της διέγερσης. Όσον αφορά τη λυγηρότητα του πασσάλου L/d, η επιρροή της στα κινηματικά εντατικά μεγέθη ποικίλει. Στο διάγραμμα της ροπής στην κεφαλή του Σχήματος 4.8 (περίπτωση ανάστροφου προφίλ), γίνεται αντιληπτό ότι για μικρές λυγηρότητες (L/d<22), η τιμή της φθίνει με την αύξηση της λυγηρότητας, ενώ για L/d>22 υπάρχει μία ελαφρώς αυξητική τάση. Δε συμβαίνει όμως το ίδιο και γύρω από τη διεπιφάνεια, αφού όπως φαίνεται από τα διαγράμματα της μέγιστης ροπής και της τέμνουσας, τυχόν αύξηση της λυγηρότητας συνεπάγεται αύξηση των εντατικών μεγεθών, αλλά με σχετικά μικρό ρυθμό (ιδίως για την τέμνουσα μπορούμε να ισχυριστούμε πως η ένταση στη διεπιφάνεια είναι σχεδόν ανεξάρτητη της λυγηρότητας). 48

53 Κεφάλαιο 4 Αρμονική διέγερση σταθερής κατάστασης Στη συνέχεια, εξετάζοντας τα δύο κανονικά προφίλ των Σχημάτων 4.9 και 4.1 είναι εντυπωσιακή η σταθερότητα των καμπυλών της ροπής στην κεφαλή, ανεξαρτήτως της λυγηρότητας. Απεναντίας, η μέγιστη κινηματική ροπή και η τέμνουσα δύναμη κοντά στη διεπιφάνεια των δύο διαδοχικών εδαφικών στρωμάτων, παρουσιάζουν ανοδική τάση, αυξανομένης της λυγηρότητας. Μάλιστα, στην περίπτωση της πιο έντονης διαφοράς στη δυστμησία των δύο εδαφικών στρώσεων, δηλαδή στην περίπτωση του Σχήματος 4.1, όπου E s2 /E s1 =3, οι τιμές των δύο κινηματικών μεγεθών του πασσάλου είναι κατάτι μεγαλύτερες, με το ρυθμό μεταβολής τους συναρτήσει της λυγηρότητας να είναι επίσης πιο απότομος. Συγκρίνοντας τώρα το ανάστροφο προφίλ του Σχήματος 4.8 με τα κανονικά των Σχημάτων 4.9 και 4.1 αντίστοιχα, επαληθεύεται για ακόμη μια φορά η ασθενέστερη κινηματική καταπόνηση των κανονικών εδαφικών προφίλ. Μοναδική εξαίρεση στον κανόνα αποτελεί η κινηματική ροπή στην κεφαλή του πασσάλου, όπου για τιμές της λυγηρότητας L/d>22 τα κανονικά προφίλ αποκτούν βραχύ προβάδισμα έναντι του ανάστροφου. Τέλος, επιβεβαιώνεται και πάλι η απόλυτη ταύτιση στα αποτελέσματα του ημιαναλυτικού αλγόριθμου SPIAB και του κώδικα πεπερασμένων στοιχείων ABAQUS στην κινηματική ροπή της κεφαλής και της διεπιφάνειας καθώς και η υποεκτίμηση της μέγιστης τέμνουσας δύναμης γύρω από τη διεπιφάνεια όπως αυτή προκύπτει από τις αναλύσεις με το SPIAB. 49

54 Κεφάλαιο 4 Αρμονική διέγερση σταθερής κατάστασης 4 (α) Mcap/ρpd 4 Asur Mint/ρpd 4 Asur (β) E p / E S1 = 25 E p / E S1 = 6 E p / E S1 = 1 E p / E S1 = E p / E S1 = 2 Qint/ρpd 3 Asur (γ) L/d Σχήμα 4.8 : Διάγραμμα (α) μέγιστης ανηγμένης καμπτικής ροπής M cap /ρ p d 4 A sur (β) μέγιστης ανηγμένης ροπής στη διεπιφάνεια M int /ρ p d 4 A sur (γ) μέγιστης ανηγμένης τέμνουσας στη διεπιφάνεια Q int /ρ p d 3 A sur συναρτήσει της λυγηρότητας του πασσάλου L/d για Η 1 /L=.5, Ε s2 /Ε s1 =.25, ρ p /ρ s1 =1.333 και ρ s2 /ρ s1 =1 (με συνεχή γραμμή οι τιμές από το SPIAB με σημεία οι αντίστοιχες από το ABAQUS). 5

55 Κεφάλαιο 4 Αρμονική διέγερση σταθερής κατάστασης Mcap/ρpd 4 Asur (α) Mint/ρpd 4 Asur (β) E p / E S1 = 25 E p / E S1 = 6 E p / E S1 = 1 E p / E S1 = E p / E S1 = 2 Qint/ρpd 3 Asur (γ) L/d Σχήμα 4.9 : Διάγραμμα (α) μέγιστης ανηγμένης καμπτικής ροπής M cap /ρ p d 4 A sur (β) μέγιστης ανηγμένης ροπής στη διεπιφάνεια M int /ρ p d 4 A sur (γ) μέγιστης ανηγμένης τέμνουσας στη διεπιφάνεια Q int /ρ p d 3 A sur συναρτήσει της λυγηρότητας του πασσάλου L/d για Η 1 /L=.5, Ε s2 /Ε s1 =1, ρ p /ρ s1 =1.333 και ρ s2 /ρ s1 =1 (με συνεχή γραμμή οι τιμές από το SPIAB με σημεία οι αντίστοιχες από το ABAQUS). 51

56 Κεφάλαιο 4 Αρμονική διέγερση σταθερής κατάστασης Mcap/ρpd 4 Asur (α) Mint/ρpd 4 Asur (β) E p / E S1 = 25 E p / E S1 = 6 E p / E S1 = 1 E p / E S1 = E p / E S1 = 2 Qint/ρpd 3 Asur (γ) L/d Σχήμα 4.1 : Διάγραμμα (α) μέγιστης ανηγμένης καμπτικής ροπής M cap /ρ p d 4 A sur (β) μέγιστης ανηγμένης ροπής στη διεπιφάνεια M int /ρ p d 4 A sur (γ) μέγιστης ανηγμένης τέμνουσας στη διεπιφάνεια Q int /ρ p d 3 A sur συναρτήσει της λυγηρότητας του πασσάλου L/d για Η 1 /L=.5, Ε s2 /Ε s1 =3, ρ p /ρ s1 =1.333 και ρ s2 /ρ s1 =1 (με συνεχή γραμμή οι τιμές από το SPIAB με σημεία οι αντίστοιχες από το ABAQUS). 52

57 Κεφάλαιο 4 Αρμονική διέγερση σταθερής κατάστασης Στα Σχήματα 4.11, 4.12 και 4.13 εξετάζεται η επιρροή του σχετικού πάχους της πρώτης εδαφικής στρώσης Η 1 /L ως προς το συνολικό μήκος του πασσάλου L/d στα κινηματικά εντατικά μεγέθη, ως συνάρτηση της σχετικής δυσκαμψίας μεταξύ πασσάλου και εδάφους Ε p /Ε s1. Η λυγηρότητα του πασσάλου λαμβάνεται ίση με L/d=3, ενώ οι σχετικές πυκνότητες είναι ίσες με ρ p /ρ s1 =1.333 και ρ s2 /ρ s1 =1. Στο Σχήμα 4.11 η σχετική δυστμησία των δύο διαδοχικών στρώσεων είναι E s2 /E s1 =.25, στο Σχήμα 4.12 E s2 /E s1 =1 και στο Σχήμα 4.13 E s2 /E s1 =3 αντίστοιχα. Καταρχάς είναι προφανές ότι η αύξηση της σχετικής δυσκαμψίας του πασσάλου Ε p /Ε s1 ως προς το έδαφος, οδηγεί στην ανάπτυξη μεγαλύτερης κινηματικής έντασης στον πάσσαλο. Έτσι, επιβεβαιώνεται η ανάγκη για υπολογισμό της κινηματικής συνιστώσας της διέγερσης στην περίπτωση που ο πάσσαλος είναι αρκετά δύσκαμπτος, συγκριτικά με το έδαφος που τον περιβάλλει. Κάνοντας τη σύγκριση με τα προηγούμενα Σχήματα 4.8, 4.9 και 4.1, είναι εμφανής η μεγαλύτερη επιρροή του αδιάστατου παράγοντα του σχετικού πάχους Η 1 /L του πρώτου εδαφικού στρώματος, συγκριτικά με τη λυγηρότητα του πασσάλου L/d. Ειδικότερα, στην περίπτωση του ανάστροφου εδαφικού προφίλ (Σχήμα 4.11), η κινηματική ροπή στην κεφαλή του πασσάλου παρουσιάζει έντονη αρχικά και διαρκώς μειούμενη στη συνέχεια μείωση, μέχρι την τιμή H 1 /L=.5, αφού από εκεί κι έπειτα υπάρχει μία σχετική σταθεροποίηση, όπως και μία μείωση της εξάρτησής της από τη σχετική δυσκαμψία πασσάλου εδάφους Ε p /Ε s1. Η εν λόγω σταθεροποίηση οφείλεται στην απομάκρυνση της διεπιφάνειας των δύο διαδοχικών στρώσεων από την επιφάνεια του εδάφους, με αποτέλεσμα τη σταδιακή μείωση της επιρροής της, μέσω της ύπαρξης έντονης ανομοιογένειας, στα μεγέθη της κεφαλής του πασσάλου. Η άνωθεν εικόνα φαίνεται να αλλάζει στα μέγιστα κινηματικά εντατικά μεγέθη γύρω από τη διεπιφάνεια, δεδομένου ότι τόσο η μέγιστη ροπή όσο και η μέγιστη τέμνουσα δύναμη επιδεικνύουν σχετικά 53

58 Κεφάλαιο 4 Αρμονική διέγερση σταθερής κατάστασης σταθερή ανοδική πορεία αυξανομένου του σχετικού πάχους H 1 /L. Όσον αφορά τα κανονικά προφίλ των Σχημάτων 4.12 και 4.13, παρατηρείται ακόμη μεγαλύτερη εξάρτηση των κινηματικών εντατικών μεγεθών από το σχετικό πάχος H 1 /L, συγκρίνοντας τα είτε με το ανάστροφο προφίλ του Σχήματος 4.11, είτε με τα κανονικά των προηγούμενων Σχημάτων 4.8 και 4.9. Αποδεικνύεται λοιπόν ότι το σχετικό πάχος Η 1 /L έχει μεγαλύτερη επιρροή στα μεγέθη από τη λυγηρότητα του πασσάλου, δεδομένης της σαφώς εντονότερης κλίσης των καμπυλών. Συγκεκριμένα, η ροπή στην κεφαλή παρουσιάζει έντονη αύξηση για πάχος του πρώτου εδαφικού στρώματος έως και ¼ του συνολικού μήκους του πασσάλου, ενώ όσο η διεπιφάνεια «μετακινείται» σε μεγαλύτερα βάθη, διακρίνεται μια σταθεροποίηση αυξανομένου του Η 1 /L. Και πάλι λοιπόν η απομάκρυνση της διεπιφάνειας από την κεφαλή οδηγεί σε μείωση της επιρροής της στα κινηματικά μεγέθη στην κορυφή του πασσάλου. Δε συμβαίνει όμως το ίδιο γύρω από τη διεπιφάνεια. Τόσο η μέγιστη ροπή όσο και η τέμνουσα δύναμη κοντά στη διεπιφάνεια αυξάνονται σχετικά απότομα με την αύξηση του σχετικού πάχους H1/L. Οπότε, όσο πιο βαθειά βρίσκεται η διεπιφάνεια των δύο στρώσεων τόσο πιο σημαντική είναι η επιρροή της στα περί αυτήν μέγιστα κινηματικά μεγέθη. Επιπροσθέτως, πρέπει να τονισθεί ότι στην περίπτωση της εντονότερης διαφοράς στη δυστμησία E s2 /E s1 των δύο στρώσεων του Σχήματος 4.13, οι τιμές όλων των μέγιστων κινηματικών εντατικών μεγεθών καθώς και ο ρυθμός μεταβολής τους, είναι μεγαλύτερες από τις αντίστοιχες του Σχήματος Τέλος, διαπιστώνεται αφενός, η ταύτιση των αποτελεσμάτων στην κινηματική ροπή στην κεφαλή και γύρω από τη διεπιφάνεια και αφετέρου η υποεκτίμηση της μέγιστης κινηματικής τέμνουσας δύναμης γύρω από τη διεπιφάνεια, σύμφωνα με τα αποτελέσματα του κώδικα SPIAB. 54

59 Κεφάλαιο 4 Αρμονική διέγερση σταθερής κατάστασης Mcap/ρpd 4 Asur (α) Mint/ρpd 4 Asur (β) E p / E S1 = 25 E p / E S1 = 6 E p / E S1 = 1 E p / E S1 = E p / E S1 = 2 Qint/ρpd 3 Asur (γ) H1/L Σχήμα 4.11 : Διάγραμμα (α) μέγιστης ανηγμένης καμπτικής ροπής M cap /ρ p d 4 A sur (β) μέγιστης ανηγμένης ροπής στη διεπιφάνεια M int /ρ p d 4 A sur (γ) μέγιστης ανηγμένης τέμνουσας στη διεπιφάνεια Q int /ρ p d 3 A sur συναρτήσει της λυγηρότητας του πασσάλου Η 1 /L για L/d=3, Ε s2 /Ε s1 =.25, ρ p /ρ s1 =1.333 και ρ s2 /ρ s1 =1 (με συνεχή γραμμή οι τιμές από το SPIAB με σημεία οι αντίστοιχες από το ABAQUS). 55

60 Κεφάλαιο 4 Αρμονική διέγερση σταθερής κατάστασης Mcap/ρpd 4 Asur (α) Mint/ρpd 4 Asur (β) E p / E S1 = 25 E p / E S1 = 6 E p / E S1 = 1 E p / E S1 = E p / E S1 = 2 16 (γ) Qint/ρpd 3 Asur H1/L Σχήμα 4.12 : Διάγραμμα (α) μέγιστης ανηγμένης καμπτικής ροπής M cap /ρ p d 4 A sur (β) μέγιστης ανηγμένης ροπής στη διεπιφάνεια M int /ρ p d 4 A sur (γ) μέγιστης ανηγμένης τέμνουσας στη διεπιφάνεια Q int /ρ p d 3 A sur συναρτήσει της λυγηρότητας του πασσάλου Η 1 /L για L/d=3, Ε s2 /Ε s1 =1, ρ p /ρ s1 =1.333 και ρ s2 /ρ s1 =1 (με συνεχή γραμμή οι τιμές από το SPIAB με σημεία οι αντίστοιχες από το ABAQUS). 56

61 Κεφάλαιο 4 Αρμονική διέγερση σταθερής κατάστασης Mcap/ρpd 4 Asur (α) Mint/ρpd 4 Asur (β) E p / E S1 = 25 E p / E S1 = 6 E p / E S1 = 1 E p / E S1 = E p / E S1 = 2 Qint/ρpd 3 Asur (γ) H1/L Σχήμα 4.13 : Διάγραμμα (α) μέγιστης ανηγμένης καμπτικής ροπής M cap /ρ p d 4 A sur (β) μέγιστης ανηγμένης ροπής στη διεπιφάνεια M int /ρ p d 4 A sur (γ) μέγιστης ανηγμένης τέμνουσας στη διεπιφάνεια Q int /ρ p d 3 A sur συναρτήσει της λυγηρότητας του πασσάλου Η 1 /L για L/d=3, Ε s2 /Ε s1 =3, ρ p /ρ s1 =1.333 και ρ s2 /ρ s1 =1 (με συνεχή γραμμή οι τιμές από το SPIAB με σημεία οι αντίστοιχες από το ABAQUS). 57

62 Κεφάλαιο 4 Αρμονική διέγερση σταθερής κατάστασης Συνοπτική παρουσίαση των συμπερασμάτων Από τα διαγράμματα που παρουσιάστηκαν στην ενότητα 4.2 προκύπτουν κάποια συμπεράσματα σχετικά με τον τρόπο αλληλεπίδρασης των διαφόρων μηχανισμών του φαινομένου της κινηματικής επιπόνησης του πασσάλου, οι οποίοι ελέγχονται από τις αδιάστατες παραμέτρους που εν τέλει διέπουν το πρόβλημα. Συνοψίζοντας λοιπόν, προκύπτουν τα εξής συμπεράσματα: Επιβεβαιώνεται ότι η πλέον βασική αδιάστατη παράμετρος που καθορίζει το πρόβλημα είναι η σχετική δυστμησία μεταξύ των δύο διαδοχικών εδαφικών στρώσεων E s2 /E s1. Όσο ο λόγος αυτός τείνει στη μονάδα (E s2 /E s1 =1) και άρα το εδαφικό προφίλ σε ομοιογενές, τόσο ασθενέστερη είναι η κινηματική ένταση του πασσάλου, αφού παύει να υπάρχει η ασυνέχεια στην αντοχή και στη στιβαρότητα των δύο στρώσεων, που θεωρείται βασική αιτία στην ανάπτυξη της κινηματικής έντασης. Επομένως, επαληθεύεται η πρόβλεψη των κανονισμών για ανάγκη μελέτης της κινηματικής επιπόνησης σε περίπτωση έντονης διαφοράς στο μέτρο ελαστικότητας μεταξύ δύο διαδοχικών στρώσεων. Μάλιστα, σε γενικές γραμμές τα μεν ανάστροφα προφίλ παρουσιάζουν μεγαλύτερη κινηματική ροπή στην κεφαλή και στη διεπιφάνεια, τα δε κανονικά αναπτύσσουν συνήθως μεγαλύτερη τέμνουσα δύναμη γύρω από τη διεπιφάνεια. Η επιρροή της λυγηρότητας του πασσάλου L/d στα μεγέθη της κινηματικής έντασης είναι κατάτι μικρότερη συγκριτικά με άλλες αδιάστατες παραμέτρους. Σε γενικές γραμμές, διαπιστώνεται ότι η αύξηση της λυγηρότητας του πασσάλου, δηλαδή κατά μίαν έννοια της «μάζας» του εδάφους φόρτισης οδηγεί σε μικρή σχετικά αύξηση των κινηματικών εντατικών μεγεθών, με μόνη εξαίρεση τη ροπή κεφαλής στην περίπτωση του ανάστροφου προφίλ, όπου η τάση είναι μάλλον πτωτική. 58

63 Κεφάλαιο 4 Αρμονική διέγερση σταθερής κατάστασης Σημαντικό ρόλο στην ανάπτυξη κινηματικής έντασης διαδραματίζει η θέση της διεπιφάνειας αναφορικά με το μήκος του πασσάλου, κοινώς το σχετικό πάχος της πρώτης εδαφικής στρώσης Η 1 /L. Η αδιάστατη αυτή παράμετρος σε συνδυασμό με τη σχετική δυστμησία E s2 /E s1, επηρεάζουν καθοριστικά το φαινόμενο. Στην περίπτωση ενός κανονικού εδαφικού προφίλ (E s2 /E s1 >1), η αύξηση του Η 1 /L οδηγεί σε σημαντική αύξηση των μέγιστων εντατικών μεγεθών πέριξ της διεπιφάνειας, ενώ σε συνδυασμό με μια απότομη μεταβολή της δυστμησίας η αύξηση είναι ακόμη πιο δραματική. Απεναντίας, η κινηματική ροπή στην κεφαλή είναι ασθενής για πολύ μικρά πάχη της πρώτης στρώσης, διότι δε φαίνεται να προλαβαίνει να αφουγκραστεί τη διαφορά της δυσκαμψίας. Αυξανομένου του Η 1 /L, αρχικά υπάρχει έντονη αύξηση και μετέπειτα σταθεροποίηση, αφού η απομάκρυνση της διεπιφάνειας των δύο στρώσεων από την κεφαλή του πασσάλου οδηγεί σε μείωση της επιρροής της διεπιφάνειας στην κινηματική ένταση της κεφαλής. Όσον αφορά το ανάστροφο προφίλ, αυτό φαίνεται να καταπονείται περισσότερο σε όρους κινηματικής ροπής στην κεφαλή, στην περίπτωση που η διεπιφάνεια είναι κοντά στην κορυφή του πασσάλου. Με την απομάκρυνση της διεπιφάνειας, η διαφορά της δυσκαμψίας παύει να είναι το ίδιο αντιληπτή στην κεφαλή, με αποτέλεσμα τη σταδιακή μείωση της ροπής. Αντίθετα, τα κινηματικά μεγέθη γύρω από τη διεπιφάνεια αυξάνονται με την αύξηση του Η 1 /L. Όταν λοιπόν η διεπιφάνεια απομακρύνεται, παύει να επηρεάζει σε μεγάλο βαθμό τα κινηματικά μεγέθη στην κεφαλή αλλά αυξάνει τα περί την ίδια μεγέθη. Η αύξηση της σχετικής δυσκαμψίας E p /E s1 μεταξύ του πασσάλου και του εδάφους, αυξάνει γενικά τα κινηματικά εντατικά μεγέθη, αφού ο πάσσαλος όσο πιο δύσκαμπτος είναι τόσο δυσκολεύεται να ακολουθήσει την κίνηση του ελεύθερου πεδίου, με αποτέλεσμα την ανάπτυξη κινηματικής έντασης. Ο ρυθμός αύξησης των μεγεθών είναι ως επί το πλείστον ανεξάρτητος από την 59

64 Κεφάλαιο 4 Αρμονική διέγερση σταθερής κατάστασης αύξηση της σχετικής δυστμησίας E s2 /E s1, αλλά εξαρτάται κυρίως από το είδος του προφίλ και τη λυγηρότητα. Τέλος η επιρροή των σχετικών πυκνοτήτων ρ p /ρ s1 και ρ s2 /ρ s1 στην κινηματική απόκριση του πασσάλου είναι ήσσονος σημασίας συγκριτικά με τους άλλους αδιάστατους παράγοντες Κινηματικά εντατικά μεγέθη συναρτήσει του βάθους Στην εν λόγω υποενότητα, παρουσιάζονται τα διαγράμματα της κινηματικής ροπής και της κινηματικής τέμνουσας δύναμης, συναρτήσει του βάθους, τα οποία προκύπτουν από την απόκριση του πασσάλου σε αρμονική διέγερση σταθερής κατάστασης (steadystate). Τα συμπεράσματα που προκύπτουν έχουν διττό χαρακτήρα, αφού αφενός επιτρέπουν τη βαθύτερη κατανόηση του φαινομένου, μέσω της προσφορότερης οπτικοποίησής του και αφετέρου, βοηθούν στη λεπτομερέστερη σύγκριση μεταξύ της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων (ABAQUS) και της μεθόδου της δοκού επί δυναμικού εδάφους θεμελίωσης Winkler (SPIAB). Στα Σχήματα 4.14 και 4.15, παρουσιάζονται τα διαγράμματα κινηματικών ροπών και κινηματικών τεμνουσών δυνάμεων στην περίπτωση ενός κανονικού προφίλ (E s2 /E s1 >1). Αξίζει να παρατηρήσει κανείς ότι στην περίπτωση που η διεπιφάνεια βρίσκεται κοντά στην κεφαλή (Σχήμα 4.14.α και 4.15.α), είναι σημαντική η επιρροή της στην ένταση της κεφαλής, με αποτέλεσμα την ανάπτυξη μεγαλύτερης κινηματικής ροπής στην κεφαλή από ότι στη διεπιφάνεια. Η παρατήρηση αυτή έχει ιδιαίτερη σημασία, δεδομένου ότι στην ολοκληρωμένη ανάλυση της απόκρισης του πασσάλου, η ροπή αυτή θα πρέπει να προστεθεί στην αντίστοιχη, λόγω των αδρανειακών δυνάμεων της ανωδομής. Μάλιστα, όπως είναι γνωστό, η αδρανειακή ροπή παίρνει τη μέγιστη τιμή της στην κεφαλή του πασσάλου και στη συνέχεια απομειώνεται, μέχρι που μηδενίζεται κοντά στο 6

65 Κεφάλαιο 4 Αρμονική διέγερση σταθερής κατάστασης στο ενεργό βάθος του πασσάλου. Στις περιπτώσεις λοιπόν που η διεπιφάνεια είναι κοντά στην επιφάνεια του εδάφους, η ανάλυση της κινηματικής αλληλεπίδρασης είναι απαραίτητη, μιας και τόσο η μέγιστη κινηματική ροπή, όσο και η μέγιστη αδρανειακή συνυπάρχουν στην κεφαλή του πασσάλου. Όπως φαίνεται στα Σχήματα 4.14.α, και 4.15.α, η τιμή της ροπής αυξάνεται σημαντικά κοντά στη διεπιφάνεια. Ειδικότερα, στην περίπτωση που η διεπιφάνεια απομακρύνεται από την κεφαλή του πασσάλου (Σχήμα 4.14.β και 4.15.β), βλέπουμε ότι μειώνεται η επιρροή της στην ένταση της κεφαλής, με αποτέλεσμα η μέγιστη κινηματική ροπή να αναπτύσσεται γύρω από τη διεπιφάνεια. Παρά τη μείωση της επιρροής της διεπιφάνειας στην ένταση της κεφαλής, η τιμή της ροπής στην κεφαλή παραμένει σημαντική, καθιστώντας εκ νέου κρίσιμη για το σχεδιασμό, την επαλληλία της με την αντίστοιχη αδρανειακή. Οι μέγιστες τέμνουσες παρατηρούνται γύρω από τη διεπιφάνεια, ενώ κοντά στην κεφαλή είναι σχεδόν μηδενικές. Συγκρίνοντας τα αποτελέσματα των δύο μεθόδων, διαπιστώνεται εξαιρετική σύμπνοια στο διάγραμμα των ροπών, αφού τόσο η μορφή όσο και οι απόλυτες τιμές είναι εξαιρετικά κοντά. Δε συμβαίνει όμως το ίδιο στην περίπτωση του διαγράμματος των τεμνουσών δυνάμεων. Η μορφή του διαγράμματος περιγράφεται ικανοποιητικά από το SPIAB. Αφενός, επαληθεύεται η θεώρηση μηδενικών τεμνουσών δυνάμεων στην κεφαλή, δεδομένου ότι στις αναλύσεις με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων είναι επίσης κοντά στο μηδέν. Αφετέρου όμως, υπάρχει μία σαφής διαφορά στην τέμνουσα κοντά στην αιχμή του πασσάλου. Σύμφωνα με τις αναλύσεις που διεξήχθησαν στο ABAQUS, η κινηματική τέμνουσα δύναμη δεν μηδενίζεται προσεγγίζοντας την αιχμή. 61

66 Κεφάλαιο 4 Αρμονική διέγερση σταθερής κατάστασης Κινηματική ροπή (KNm) Κινηματική Τέμνουσα Δύναμη (KN) Βάθος z (m) Βάθος z (m) α Κινηματική ροπή (KNm) Κινηματική Τέμνουσα Δύναμη (KN) Βάθος z (m) Βάθος z (m) β ABAQUS SPIAB Σχήμα 4.14 : Περιβάλλουσες μέγιστων κινηματικών εντατικών μεγεθών για Πάσσαλο με d=.5 m, L/d=22, Ep/Es1=1, Es2/Es1=1, ρp/ρs1=1.333, ρs2/ρs1=1 και (α): H1/L=.25, (β): H1/L=. 5. Με μαύρη γραμμή η ανάλυση κατά συχνότητες με τον κώδικα ABAQUS, ενώ με γκρι οι αντίστοιχες με το SPIAB 62

67 Κεφάλαιο 4 Αρμονική διέγερση σταθερής κατάστασης Κινηματική ροπή (KNm) Κινηματική Τέμνουσα Δύναμη (KN) Βάθος z (m) 15 2 Βάθος z (m) α Κινηματική ροπή (KNm) Κινηματική Τέμνουσα Δύναμη (KN) Βάθος z (m) 15 2 Βάθος z (m) ABAQUS 35 SPIAB β Σχήμα 4.15 : Περιβάλλουσες μέγιστων κινηματικών εντατικών μεγεθών για Πάσσαλο με d=1.5 m, L/d=22, Ep/Es1=1, Es2/Es1=1, ρp/ρs1=1.333, ρs2/ρs1=1 και (επάνω): H1/L=.25, (κάτω): H1/L=. 5. Με μαύρη γραμμή η ανάλυση κατά συχνότητες με τον κώδικα ABAQUS, ενώ με γκρι οι αντίστοιχες με το SPIAB 63

68 Κεφάλαιο 4 Αρμονική διέγερση σταθερής κατάστασης Στα Σχήματα 4.16 και 4.17 εξετάζεται η περίπτωση ενός εδαφικού προφίλ ανεστραμμένης δυστμησίας. Στην περίπτωση λοιπόν που το μέτρο ελαστικότητας της υπερκείμενης εδαφικής στρώσης είναι μεγαλύτερο από αυτό της υποκείμενης η κινηματική καταπόνηση σε όρους ροπής, είναι μεγαλύτερη από τις περιπτώσεις που η δυστμησία κατανέμεται κανονικά. Η διαφορά σε σχέση με τα κανονικά προφίλ έγκειται αφενός στην ασθενέστερη κινηματική ροπή στην κεφαλή και αφετέρου στην αυξημένη ροπή γύρω από τη διεπιφάνεια. Όπως και στα κανονικά προφίλ, με την απομάκρυνση της διεπιφάνειας από την κεφαλή του πασσάλου, παύει η έντονη διαφορά στη δυστμησία να επηρεάζει άμεσα την κινηματική ένταση της κεφαλής με αποτέλεσμα τη σχετική μείωση της κινηματικής έντασης πλησιάζοντας την επιφάνεια του εδάφους. Αντιθέτως η απομάκρυνση αυτή, έχει ως συνέπεια την αύξηση των εντατικών μεγεθών γύρω από τη διεπιφάνεια. Συγκρίνοντας τις δύο μεθόδους ανάλυσης της απόκρισης του πασσάλου προκύπτει εκ νέου εξαιρετική ταύτιση στην περίπτωση των διαγραμμάτων της κινηματικής ροπής. Όσον αφορά όμως την τέμνουσα δύναμη, υπάρχει σημαντική διαφοροποίηση καθώς προσεγγίζουμε την αιχμή του πασσάλου, με τον κώδικα SPIAB να δίνει σημαντικά μειωμένες τιμές. Πάντως αξίζει να σημειωθεί ότι στην περίπτωση του ανάστροφου προφίλ, η μορφή του διαγράμματος των τεμνουσών που προκύπτει από τα αποτελέσματα του ABAQUS, είναι αρκετά κοντά με την αντίστοιχη του SPIAB. 64

69 Κεφάλαιο 4 Αρμονική διέγερση σταθερής κατάστασης Κινηματική ροπή (KNm) Κινηματική Τέμνουσα Δύναμη (KN) Βάθος z (m) Βάθος z (m) α Κινηματική ροπή (KNm) Κινηματική Τέμνουσα Δύναμη (KN) Βάθος z (m) Βάθος z (m) ABAQUS 12 SPIAB β Σχήμα 4.16 : Περιβάλλουσες μέγιστων κινηματικών εντατικών μεγεθών για Πάσσαλο με d=.5 m, L/d=22, Ep/Es1=6, Es2/Es1=.25, ρp/ρs1=1.333, ρs2/ρs1=1 και (επάνω): H1/L=.25, (κάτω): H1/L=. 5. Με μαύρη γραμμή η ανάλυση κατά συχνότητες με τον κώδικα ABAQUS, ενώ με γκρι οι αντίστοιχες με το SPIAB 65

70 Κεφάλαιο 4 Αρμονική διέγερση σταθερής κατάστασης Κινηματική ροπή (KNm) Κινηματική Τέμνουσα Δύναμη (KN) Βάθος z (m) 15 2 Βάθος z (m) α Κινηματική ροπή (KNm) Κινηματική Τέμνουσα Δύναμη (KN) Βάθος z (m) 15 2 Βάθος z (m) ABAQUS 35 SPIAB β Σχήμα 4.17 : Περιβάλλουσες μέγιστων κινηματικών εντατικών μεγεθών για Πάσσαλο με d=1.5 m, L/d=22, Ep/Es1=6, Es2/Es1=.25, ρp/ρs1=1.333, ρs2/ρs1=1 και (επάνω): H1/L=.25, (κάτω): H1/L=. 5. Με μαύρη γραμμή η ανάλυση κατά συχνότητες με τον κώδικα ABAQUS, ενώ με γκρι οι αντίστοιχες με το SPIAB 66

71 Κεφάλαιο 4 Αρμονική διέγερση σταθερής κατάστασης Συγκεντρωτική σύγκριση μεταξύ SPIAB και ABAQUS Στα Σχήματα 4.18 και 4.19 επιχειρείται μία σύνοψη μεταξύ των δύο μεθόδων ανάλυσης της απόκρισης του πασσάλου, σε όρους ροπής και τέμνουσας δύναμης αντίστοιχα, παρουσιάζοντας τα αποτελέσματα των δύο μεθόδων. Συγκεκριμένα, στο Σχήμα 4.18 τόσο για την κινηματική ροπή στην κεφαλή, όσο και για τη μέγιστη κινηματική ροπή γύρω από τη διεπιφάνεια, παρατηρείται σχεδόν απόλυτη ταύτιση μεταξύ των αποτελεσμάτων του ABAQUS και του SPIAB, επιβεβαιώνοντας κατά αυτόν τον τρόπο την εγκυρότητα της μεθόδου της δοκού επί δυναμικού εδάφους θεμελίωσης Winkler. Συνεπώς, όσον αφορά τις κινηματικές ροπές, η χρησιμότητα της μεθόδου BDWF είναι προφανής, αφού επιτρέπει τον ακριβή υπολογισμό των ροπών σε συνδυασμό με το περιορισμένο υπολογιστικό κόστος. 4 Ροπή κεφαλής, ABAQUS (α) Ροπή κεφαλής, SPIAB 67

72 Κεφάλαιο 4 Αρμονική διέγερση σταθερής κατάστασης 4 Ροπή διεπιφάνειας, ABAQUS (β) Ροπή διεπιφάνειας, SPIAB Σχήμα4.18: Συγκριτικά αποτελέσματα του κώδικα πεπερασμένων στοιχείων ABAQUS και του κώδικα SPIAB(θεώρηση δυναμικού εδάφους θεμελίωσης Winkler) σε όρους (α) κινηματικής ροπής στην κεφαλή του πασσάλου και (β) μέγιστης κινηματικής ροπής στη διεπιφάνεια των δύο εδαφικών στρώσεων. Η εικόνα όμως διαφοροποιείται στην περίπτωση της μέγιστης τέμνουσας δύναμης πλησίον της διεπιφάνειας (Σχήμα 4.19). Σε αυτήν την περίπτωση, το SPIAB υποεκτιμά τη μέγιστη τέμνουσα δύναμη, συγκριτικά με το ABAQUS. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα μια σημαντική διαφοροποίηση στον αναγκαίο οπλισμό του πασσάλου έναντι διάτμησης. Μάλιστα, δεν είναι λίγες οι περιπτώσεις στις οποίες η απολύτως μέγιστη τιμή της τέμνουσας δύναμης συναντάται ακριβώς στην αιχμή του πασσάλου ή μία διάμετρο ψηλότερα. Προκειμένου λοιπόν να εξασφαλίσουμε ότι για αυτό το συμπέρασμα δεν ευθύνονται αποκλειστικά τα χαρακτηριστικά του εξεταζόμενου προβλήματος, έγιναν επιπλέον αναλύσεις με κοντύτερους πασσάλους. 68

73 Κεφάλαιο 4 Αρμονική διέγερση σταθερής κατάστασης Τέμνουσα Δύναμη διεπιφάνειας, ABAQUS Τέμνουσα Δύναμη διεπιφάνειας, SPIAB Σχήμα 4.19 : Συγκριτικά αποτελέσματα του κώδικα πεπερασμένων στοιχείων ABAQUS και του κώδικα SPIAB(θεώρηση δυναμικού εδάφους θεμελίωσης Winkler) σε όρους μέγιστης κινηματικής τέμνουσας δύναμης στη διεπιφάνεια των δύο εδαφικών στρώσεων. Τροποποιώντας λοιπόν τη γεωμετρία του προβλήματος, έτσι ώστε η αιχμή του πασσάλου να απέχει κατ ελάχιστο 5 διαμέτρους από το βράχο, προκύπτουν και πάλι τέμνουσες δυνάμεις κοντά στην αιχμή του πασσάλου. Σύμφωνα με το Σχήμα 4.2, το οποίο αναφέρεται σε πάσσαλο με μήκος L=2 m και ομοοιγενές έδαφος συνολικού βάθους 33 m, οι τέμνουσες στην αιχμή του πασσάλου δεν μηδενίζονται. Η ίδια ακριβώς εικόνα παρατηρείται και για την περίπτωση ενός κανονικού εδαφικού προφίλ (Σχήμα 4.21), με πιο δύσκαμπτη την υπερκείμενη εδαφική στρώση και τον πάσσαλο να απέχει 5 διαμέτρους από το βράχο. Η διαφοροποίηση αυτή συγκριτικά με το SPIAB, πιθανώς να οφείλεται στη βαθμονόμηση του ελατηρίου, με τη σχέση K x =1.2E s, η οποία έχει προκύψει με κύριο γνώμονα τον υπολογισμό των κινηματικών ροπών και όχι των τεμνουσών δυνάμεων. Για την επίλυση αυτού του προβλήματος, απαιτείται λοιπόν η βαθμονόμηση του ελατηρίου τόσο με βάση τις ροπές όσο και με βάση τις τέμνουσες δυνάμεις. 69

74 Κεφάλαιο 4 Αρμονική διέγερση σταθερής κατάστασης Τέμνουσα Δύναμη (KN) Βάθος (m) Σχήμα 4.2: Κατανομή τεμνουσών δυνάμεων συναρτήσει του βάθους για πάσσαλο μήκους L=2m, και d=1.5 m, Ep/Es1=6, Es2/Es1=1, ρp/ρs1=1.333, ρs2/ρs1=.667 Τέμνουσα Δύναμη (KN) Βάθος (m) Σχήμα 4.2: Κατανομή τεμνουσών δυνάμεων συναρτήσει του βάθους για πάσσαλο μήκους L=4m και d=1.5 m, Ep/Es1=1, Es2/Es1=2, ρp/ρs1=1., ρs2/ρs1=

75 Κεφάλαιο 5 Ελαστικές και μη γραμμικές εν χρόνω αναλύσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΕΛΑΣΤΙΚΕΣ ΚΑΙ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΝ ΧΡΟΝΩ ΑΝΑΛΥΣΕΙΣ 5.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιάζονται τα αποτελέσματα τόσο των ελαστικών όσο και των μη γραμμικών αναλύσεων που έγιναν στο πεδίο του χρόνου. Ως διέγερση, χρησιμοποιήθηκαν οι καταγραφές του Temblor από το σεισμό του Parkfield (1966), της Νομαρχίας της Καλαμάτας από το σεισμό της Καλαμάτας (1986), του Shinkobe από το σεισμό του Kobe (1995), και του Pacoima dam από το σεισμό του Northridge (1994). Επιπλέον, επιλέχθηκαν προς ανάλυση ενδεικτικά, έξι διαφορετικοί συνδυασμοί των αδιάστατων παραμέτρων που διέπουν το πρόβλημα. Το κεφάλαιο λοιπόν ξεκινά με την περιγραφή του μη γραμμικού καταστατικού προσομοιώματος που χρησιμοποιήθηκε για το έδαφος. 5.2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΟ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑ Στο Τρίτο Κεφάλαιο της παρούσας εργασίας, γίνεται εκτενής αναφορά στη μέθοδο προσομοίωσης που χρησιμοποιήθηκε για τις γραμμικώς ελαστικές αναλύσεις της απόκρισης του μεμονωμένου πασσάλου, σε αρμονική διέγερση σταθερής κατάστασης (steady state). Η μέθοδος αυτή χρησιμοποιήθηκε και για την περίπτωση των εν χρόνω ελαστικών αναλύσεων, κάνοντας την παραδοχή για γραμμικώς ελαστική συμπεριφορά 71

76 Κεφάλαιο 5 Ελαστικές και μη γραμμικές εν χρόνω αναλύσεις πασσάλου και εδάφους αντίστοιχα. Για την ανάγκη των μη γραμμικών εν χρόνω αναλύσεων, ο πάσσαλος παρέμεινε γραμμικώς ελαστικός, ενώ η συμπεριφορά του εδάφους προσομοιώθηκε μέσω ενός μη γραμμικού καταστατικού μοντέλου, με κινηματικό νόμο κράτυνσης και σχετικό κανόνα πλαστικής ροής. Σύμφωνα με το εν λόγω μοντέλο, η ανάπτυξη των τάσεων περιγράφεται από την εξής σχέση: σ =σ +α (1) όπου σ είναι η τιμή της τάσης για μηδενική πλαστική παραμόρφωση, θεωρώντας ότι παραμένει σταθερή. Η παράμετρος α είναι η μη γραμμική συνιστώσα της τάσης, η οποία και ορίζει την κινηματική εξέλιξη της επιφάνειας διαροής στο πεδίο των τάσεων και ορίζεται ως συνιστώσα κινηματικής κράτυνσης. Ολοκλήρωση του νόμου εξέλιξης της κινηματικής κράτυνσης σε μισό κύκλο μίας μονοαξονικής φόρτισης, οδηγεί στην ακόλουθη έκφραση: C α = 1 exp γε γ pl ( ) (1) όπου C και γ είναι οι παράμετροι κράτυνσης, οι οποίες καθορίζουν τη μέγιστη μετάβαση της επιφάνειας διαρροής στο πεδίο των τάσεων και το ρυθμό μετάβασης αυτής αντιστοίχως και ε pl η πλαστική παραμόρφωση. Παραγωγίζοντας το α ως προς ε pl και παίρνοντας το όριο ως προς το μηδέν προκύπτει: α = C= E pl ε pl ε (2) 72

77 Κεφάλαιο 5 Ελαστικές και μη γραμμικές εν χρόνω αναλύσεις όπου Ε είναι το μέτρο ελαστικότητας. Η επιφάνεια διαρροής, ανεξαρτήτως της εκάστοτε τάσεως σ, μπορεί να περιγραφεί από μία συνάρτηση F της μορφής: F= f( σ α) σ (3) όπου 3 f S : S 2 dev dev ( σ α ) = ( α ) ( α ) (4) όπου με S συμβολίζεται ο αποκλίνων τανυστής των τάσεων, ενώ α dev είναι το αποκλίνον τμήμα της μη γραμμικής συνιστώσας της τάσης. Ο νόμος εξέλιξης του μοντέλου αποτελείται από δύο συνιστώσες. Πρώτον, μία μηγραμμική κινηματική συνιστώσα, που περιγράφει την εξέλιξη της επιφάνειας διαρροής στο πεδίο των τάσεων, όπως ορίζεται μέσω της παραμέτρου α. Δεύτερον, μία ισοτροπική συνιστώσα κράτυνσης που εκφράζει τη μεταβολή της ισοδύναμης τάσης, προσδιορίζοντας το μέγεθος της επιφάνειας διαρροής σ, ως συνάρτηση της πλαστικής παραμόρφωσης. Η μη γραμμική κινηματική συνιστώσα, περιέχει έναν καθαρά κινηματικό όρο (γραμμικός νόμος κράτυνσης Ziegler, ) ενώ η μη γραμμικότητα εισάγεται μέσω ενός όρου χαλάρωσης. Η εξέλιξη της κινηματικής συνιστώσας της τάσης διαρροής περιγράφεται από τη σχέση: 1 pl pl ( ) α= & C σ α ε& γαε& σ (5) 73

78 Κεφάλαιο 5 Ελαστικές και μη γραμμικές εν χρόνω αναλύσεις όπου ε& pl : είναι ο ρυθμός πλαστικής παραμόρφωσης. Ο νόμος εξέλιξης της κινηματικής συνιστώσας προυποθέτει ότι η μη γραμμική συνιστώσα της τάσης βρίσκεται εντός ενός κυλίνδρου ακτίνας: 2 2 α s = 3 3 C γ (6) όπου α s είναι το μέγεθος του α στον κπρεσμό. Εφόσον η επιφάνεια διαροής έχει περιορισμένο εύρος, ένα τυχαίο σημείο του τασικού πεδίου πρέπει να βρίσκεται εντός κυλίνδρου ακτίνας ( 2/ 3) σ y, όπου η τάση σ y είναι η μέγιστη τάση στον κορεσμό. Για μεγάλες πλαστικές παραμορφώσεις, κάθε τυχαίο σημείο του τασικού πεδίου εμπεριέχεται σε έναν κύλινδρο ακτίνας ( 2/ 3)( a s + σ s), όπου σ s είναι η ισοδύναμη τάση που ορίζει το μέγεθος της επιφάνειας διαρροής για μεγάλες πλαστικές παραμορφώσεις και σ y η μονοαξονική τάση διαρροής η οποία δίνεται από την ακόλουθη σχέση: C σ y = γ + σ (7) Στο κριτήριο αστοχίας Mohr Coulomb η τάση σ y ισούται με: σ = y 3J 2 (8) όπου J 2 είναι η δελυτερη αναλοίωτη του τανυστή των τάσεων στην αστοχία, η οποία ικανοποιεί την εξίσωση: 74

79 Κεφάλαιο 5 Ελαστικές και μη γραμμικές εν χρόνω αναλύσεις I1 sinϕ ( sinϕ) sinθ+ 3 ( 3 + sinϕ) cosθ J 3 2 ccosϕ= 2 (9) όπου Ι 1 είναι η πρώτη αναλοίωτη του τανυστή των τάσεων, c η συνοχή, φ η γωνία τριβής και θ ηγωνία Lode, η οποία εκφράζει την απόκλιση της μέγιστης διατμητικήςτάσης από τη μέση διατμητική τάση (Chen & Mizuno, 199), και προκύπτει ως εξής: 3 3 J cos( 3θ= ) 2 J 3 32 / 2 (1) όπου J 2 και J 3 είναι η δεύτερη και η Τρίτη αναλοίωτη του τανυστή των τάσεων αντίστοιχα. Συνδυάζοντας λοιπόν τις εξισώσεις 2, 7 και 8 προκύπτει για το γ: γ= Ε 3J 2 σ (11) Στον κώδικα πεπερασμένων στοιχείων ABAQUS εισάγεται μία υπορουτίνα η οποία συσχετίζει το μέτρο Ελαστικότητας της άμμου με την κατακόρυφη τάση, τις κύριες τάσεις και τη γωνία Lode. Η συμπεριφορά της άμμου ορίζεται για συνθήκες τριαξονικού εφελκυσμού και τριαξονικής θλίψης, ενώ για τις ενδιάμεσες καταστάσεις γίνεται γραμμικη παρεμβολή. Για αυτό το λόγο, για τη γωνία Lode εισήχθηκε η παράμετρος k, η οποία παίρνει τιμές από έως 1, όπου η τιμή k= αφορά συνθήκες τριαξονικού εφελκυσμού, ενώ η k=1 συνθήκες τριαξονικής θλίψης. Πριν την επιβολή της φόρτισης, προσδίδονται στο έδαφος τα χαρακτηριστικά της τριαξονική συμπεριφοράς. Το καταστατικό μοντέλο που χρησιμοποιείται στην προσωμοίωση, εφαρμόζεται στο πεδίο των κύριων τάσεων, μέσω του κριτηρίου Coulomb, σε κάθε κορυφή του εξαγώνου με το ομαλό περίγραμμα που φαίνεται στο Σχήμα 5.1. Τέλος, η 75

80 Κεφάλαιο 5 Ελαστικές και μη γραμμικές εν χρόνω αναλύσεις γωνία τριβής της άμμου λαμβάνεται ίση με 33. σ 1 σ 2 σ 3 Σχήμα 5.1: Σκαρίφημα του κριτηρίου διαρροής του καταστατικού μοντέλου 5.3 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΝ ΧΡΟΝΩ ΑΝΑΛΥΣΕΙΣ Τα επιταχυνσιογραφήματα υπολογισμού Προτού αναφερθούμε στα απολέσματα των αναλύσεων κρίνεται σκόπιμη μία συνοπτική παρουσίαση των χαρακτηριστικών των ιστορικών καταγραφών που χρησιμοποιήθηκαν ως διεγέρσεις για τις δυναμικές εν χρόνω αναλύσεις. Χρησιμοποιήθηκε λοιπόν η καταγραφή από το κτίριο της Νομαρχίας της Καλαμάτας από το σεισμό της Καλαμάτας (1986), η καταγραφή Shinkobe από το σεισμό του Kobe (1995), η καταγραφή Pacoima dam, από το σεισμό του Northridge 1994 καθώς και η 76

81 Κεφάλαιο 5 Ελαστικές και μη γραμμικές εν χρόνω αναλύσεις καταγραφή Temblor από το σεισμό του Parkfield (1966). Στον Πίνακα 5.1 δίνεται το μέγεθος του κάθε σεισμού, η δεσπόζουσα περίοδος Tp και η παράμετρος Αrias Intensity. Σεισμική διέγερση M s Δεσπόζουσα Arias Intensity περίοδος Τp (sec) Καλαμάτα Νομαρχία (Καλαμάτα, 1986) Shinkobe (Kob, 1995) Pacoima dam (Northridge, 1994) Temblor (Parkfield, 1966) Πίνακας 5.1: Χαρακτηριστικά επιταχυνσιογραφημάτων Στη συνέχεια, στο Σχήμα 5.2 παρατίθενται όλα τα επιτχυνσιογραφήματα που χρησιμοποιήθηκαν, για αναγωγή της επιτάχυνσης βάσης σε.1g,.3g και.6g. Μάλιστα στο ίδιο σχήμα, παρουσιάζεται και το σύνολο των φασμάτων για κάθε επικλιμάκια αναγωγή όλων των επιταχυνσιογραφημάτων, σε σύγκριση με το φάσμα του ΕΑΚ. Όπως φαίνεται χαρακτηριστικά, πολλά από τα εξεταζόμενα φάσματα υπερβαίνουν κατά πολύ το προτεινόμενο από τον Κανονισμό 77

82 Κεφάλαιο 5 Ελαστικές και μη γραμμικές εν χρόνω αναλύσεις Καλαμάτα.1g Καλαμάτα.3g Καλαμάτα.6g Pacoima.1g Pacoima.3g Pacoima.6g Templor.1g Templor.3g Templor.6g Shinkobe.1g Shinkobe.3g Shinkobe.6g SA (g) g.3g.6g ΕΑΚ Σχήμα 5.2: Ελαστικά φάσματα επιβαλλόμενων διεγέρσεων συγκριτικά με το φάσμα του ΕΑΚ 78

83 Κεφάλαιο 5 Ελαστικές και μη γραμμικές εν χρόνω αναλύσεις Σχολιασμός των αποτελεσμάτων Όπως αναφέρθηκε και στην προηγούμενη υποενότητα, ως διέγερση χρησιμοποιήθηκαν τέσσερα πραγματικά επιταχυνσιογραφήματα. Εξαιτίας του ιδιαίτερα μεγάλου υπολογιστικού κόστους, από τα 16 διαφορετικά εδαφικά προφίλ που μελετήθηκαν με αρμονική διέγερση σταθερής κατάστασης (steady state), επιλέχθηκαν έξι αντοπροσωπευτικά παραδείγματα. Συγκεκριμένα, εξετάστηκαν τρία κανονικά εδαφικά προφίλ, με πιο δύστμητη δηλαδή την υποκείμενη στρώση και τρία εδαφικά προφίλ ανεστραμμένης δυστμησίας, με πιο δύστμητη την υπερκείμενη στρώση. Επίσης έγινε αναγωγή των επιταχυνσιογραφημάτων στο.1g,.3g και.6g. Συνεπώς, έγιναν 72 γραμμικώς ελαστικές και 72 μη γραμμικές εν χρόνω αναλύσεις. Δεδομένης λοιπόν της υπερπληθώρας των αποτελεσμάτων, παρουσιάζονται ενδεικτικά τα αποτελέσματα από δύο καταγραφές, αυτήν της Καλαμάτας και αυτήν του Shinkobe, ως τα πλέον αντιπροσωπευτικά μιάς σχετικώς και μιάς ιδιαιτέρως ισχυρής διέγερσης. Καταρχάς, πρέπει να σημειωθεί ότι οι κατανομές των κινηματικών ροπών αλλά και των τεμνουσών δυνάμεων δεν αντιστοιχούν ακριβώς σε διαγράμματα ροπών και τεμνουσών, αλλά στην περιβάλλουσα των μεγίστων των κινηματικών μεγεθών. Αυτό συμβαίνει επειδή κατα μήκος του πασσάλου η μέγιστη ένταση δεν παρατηρείται την ίδια ακριβώς χρονική στιγμή για κάθε σημείο του πασσάλου. Όπως φαίνεται και στο Σχήμα 5.3, η μέγιστη κινηματική ροπή σε τρία διαφορετικά βάθη απαντάται κοντά στα 6 sec. Όμως, εξαιτίας του εξαιρετικά υψίσυχνου κύκλου, αν παίρναμε την κατανομή ακριβώς στα 6sec, πιθανόν να είχαμε σημαντική απόκλιση από τις μέγιστες τιμές. Για αυτό το λόγο από καθε χρονοιστορία των κινηματικών εντατικών μεγεθών, συναρτήσει του βάθους, επιλέγεται η απολύτως μέγιστη τιμή, αναξαρτήτως της χρονικής στιγμής στην οποία εμφανίζεται.στο Σχήμα 5.4 που ακολουθεί δίνεται μία εποπτική παρουσίαση του προβλήματος της κινηματικής επιπόνησης του μεμονωμένου πασσάλου. Ειδικότερα, παρατίθεται ο παραμορφωμένος κάνναβος των πεπερασμένων 79

84 Κεφάλαιο 5 Ελαστικές και μη γραμμικές εν χρόνω αναλύσεις στοιχείων, σε όρους πλαστικών παραμορφώσεων, στην περίπτωση της διέγερσης του Shinkobe, με αναγωγή στο.6g. Στο Σχήμα 5.4α λοιπόν, παρουσιάζεται η κατανομή των πλαστικών παραμορφώσεων για ένα κανονικό εδαφικό προφίλ εν ω στο Σχήμα 5.4.β για ένα εδαφικό προφίλ ανεστραμμένης δυστμησίας. Στην περίπτωση του κανονικού προφίλ, είναι εμφαωής η συγκέντρωση πλαστικών παραμορφώσεων τόσο στη διεπιφάνεια των εδαφικών στρώσεων όσο και στην κεφαλή του πασσάλου. Μάλιστα, είναι εμφανής η υπεροχή σε δυστμησία του υποκείμενου στρώματος, μιας και αυτό καταπονείται ελάχιστα. Απεναντίας, στην περίπτωση του εδαφικού προφίλ ανεστραμμένης δυστμησίας, οι πλαστικές παραμορφώσεις συγκεντρώνονται στο επίπεδο της διεπιφάνειας με το υποκείμενο, εύκαμπτο στρώμα να καταπονείται εντονότερα M(KNm) T(sec) Κεφαλή z= Διεπιφάνεια z=22.5m z=5m Σχήμα 5.3 Χρονοιστορία κινηματικών ροπών σε τρία διαφορετικά σημεία κατά μήκος του πασσάλου. 8

85 Κεφάλαιο 5 Ελαστικές και μη γραμμικές εν χρόνω αναλύσεις (α) Σχήμα 5.4: Κατανομή πλαστικών παραμορφώσεων για το επιταχυνσιογραφημα Shinkobe ανηγμένο στο.6g για (α) L/d = 3, H 1 /L =.5, E p /E s1 = 15, E s2 / E s1 = 1, ρ p / ρ s1 = 2, ρ s2 / ρ s1 = και (β) για L/d = 22, H 1 /L =.5, E p /E s1 = 25, E s2 / E s1 =.25, ρ p / ρ s1 = 1.429, ρ s2 / ρ s1 = 1 (β) 81

86 Κεφάλαιο 5 Ελαστικές και μη γραμμικές εν χρόνω αναλύσεις Στο Σχήμα 5.5 παρουσιάζεται η κατανομή των πλαστικών παραμορφώσεων στην περίπτωση ενός εδαφικού προφίλ ανεστραμμένης δυστμησίας, με τη διεπιφάνεια των δύο εδαφικών στρώσεων να βρίσκεται στο ¼ του μήκους του πασσάλου (H 1 /L=.25). Kαι σε αυτήν την περίπτωση, παρατηρείται έντονη κατοπόνηση στην περιοχή κοντά στη διεπιφάνεια του πασσάλου και ιδίως στο υποκείμενο εύτμητο εδαφικό στρώμα. Μάλιστα, αξίζει να προσέξει κανείς τη μορφή της παραμόρφωσης, η οποία προσεγγίζει, τρόπον τινά, την αντίστοιχη ενός μονοβάθμιου ταλαντωτή. Το υπερκείμενο λοιπόν, δύστμητο στρώμα λειτουργεί ως μάζα φόρτισης στο υποκείμενο, με τη σαφώς λιγότερη δυστμησία (E s2 /E s1 =.25). Σχήμα 5.5: Κατανομή πλαστικών παραμορφώσεων για το επιταχυνσιογραφημα Shinkobe ανηγμένο στο.6g για L/d = 16, H 1 /L =.25, E p /E s1 = 1, E s2 / E s1 =.25 ρ p / ρ s1 = 1.333, ρ s2 / ρ s1 = 1. 82