ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑΤΟΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΥ ΗΜΙΧΩΡΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΠΙ ΕΥΚΑΜΠΤΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΩΝ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ ΜΕ Ή ΧΩΡΙΣ ΠΑΣΣΑΛΟΥΣ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑΤΟΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΥ ΗΜΙΧΩΡΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΠΙ ΕΥΚΑΜΠΤΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΩΝ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ ΜΕ Ή ΧΩΡΙΣ ΠΑΣΣΑΛΟΥΣ ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΑΝΔΡΕΑ Ν. ΜΑΡΑΒΑ Πολιτικού Μηχανικού, ΜΔΕ ΙΟΥΝΙΟΣ 213 ΠΑΤΡΑ

2 i ΠΡΟΛΟΓΟΣ Κατά την διάρκεια της εκπόνησης της παρούσας εργασίας, είχα το προνόμιο να γνωρίσω εξαιρετικούς ανθρώπους και επιστήμονες, οι οποίοι συνέβαλαν στην επιτυχή ολοκλήρωση αυτής της διδακτορικής διατριβής. Κατ αρχήν, θα ήθελα να εκφράσω τις θερμές μου ευχαριστίες στον επιβλέποντα καθηγητή της παρούσας διατριβής καθηγητή κ. Δημήτριο Λ. Καράμπαλη για την αμέριστη υποστήριξη και την καθοδήγηση που μου παρείχε. Το εξαιρετικό κλίμα συνεργασίας που δημιούργησε καθ όλη την διάρκεια εκπόνησης της διδακτορικής διατριβής και η επιστημονική του κατάρτιση βοήθησαν τα μέγιστα ώστε να ολοκληρωθούν με επιτυχία οι σπουδές μου. Στην συνέχεια, θα ήθελα να ευχαριστήσω τον καθηγητή κ. Γεώργιο Μυλωνάκη για τη πολύτιμη βοήθειά του σε συγκεκριμένους τομείς κατά την διάρκεια εκπόνησης της παρούσας εργασίας. Επίσης θα ήθελα να ευχαριστήσω τον καθηγητή κ. Δημήτριο Μπέσκο, ο οποίος πάντοτε με ενθάρρυνε να συνεχίσω την ακαδημαϊκή μου πορεία και με τις εύστοχες συμβουλές και παρατηρήσεις του βοήθησε στην ολοκλήρωσή της. Είμαι υποχρεωμένος να ευχαριστήσω το τμήμα Πολιτικών Μηχανικών του Πανεπιστημίου Πατρών για όλες τις εγκαταστάσεις και μέσα που μου διατέθηκαν ώστε να γίνει εφικτή η εκπόνηση της παρούσας διδακτορικής διατριβής. Τέλος θα είμαι πάντοτε ευγνώμων στην οικογένειά μου και στους φίλους μου, που στάθηκαν δίπλα μου σε όλη την πορεία των μεταπτυχιακών μου σπουδών. Μαραβάς Ανδρέας

3 ii ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην παρούσα εργασία, πραγματοποιείται η μελέτη του φαινομένου της δυναμικής αλληλεπίδρασης εδάφους-κατασκευής όταν αυτή θεμελιώνεται επί εύκαμπτων, επιφανειακών θεμελιώσεων με ή χωρίς πασσάλους. Η μέχρι σήμερα μελέτη της αλληλεπίδρασης εδάφους-κατασκευής έχει περιορισθεί κυρίως σε επιφανειακά, άκαμπτα ή εύκαμπτα θεμέλια και επιφανειακές ή βαθιές, άκαμπτες θεμελιώσεις επί πασσάλων. Ο συνδυασμός εύκαμπτων θεμελιώσεων, επιφανειακών ή βαθιών, και πασσαλώσεων, κοινή πρακτική σε πλείστες κατασκευές, δεν έχει μελετηθεί λόγω της περιπλοκότητας του φαινομένου και των σχετικών αβεβαιοτήτων όσον αφορά στα δεδομένα του προβλήματος. Συνεπώς, η κρισιμότητα των διαφόρων παραμέτρων, και των πολλαπλών αλληλεπιδράσεων τους, στη σεισμική απόκριση των κατασκευών παραμένει εν πολλοίς άγνωστη. Στόχος της εργασίας είναι η ανάπτυξη ενός διακριτού προσομοιώματος για τον εδαφικό ημιχώρο, το οποίο θα δύναται να χρησιμοποιηθεί για την δυναμική ανάλυση εύκαμπτων θεμελίων με ή χωρίς πασσάλους. Σε αυτή την μελέτη χρησιμοποιείται αποκλειστικά η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων (ΜΠΣ), για την διακριτοποίηση της κατασκευής, του εδάφους και του συστήματος θεμελίωσης. Ειδικότερα, με τη χρήση του πακέτου πεπερασμένων στοιχείων ACS SASSI, διακριτοποιείται ο εδαφικός ημιχώρος και υπολογίζεται το πεδίο μετακινήσεων της επιφάνειας του ημιχώρου για διάφορες συχνότητες που αντιστοιχούν σε συνήθεις σεισμικές διεγέρσεις. Με γνωστό το πεδίο μετακινήσεων, υπολογίζονται οι δυναμικές δυσκαμψίες του ημιχώρου συναρτήσει της συχνότητας και της απόστασης από το σημείο φόρτισης και δημιουργείται ένα νέο διακριτό προσομοίωμα που αντικαθιστά το έδαφος, με βάση το μητρώο δυναμικών δυσκαμψιών. Τέλος με κατάλληλη αδιαστατοποίηση, προκύπτουν κλειστές εκφράσεις για τα στοιχεία του μητρώου δυναμικών δυσκαμψιών, που παρέχουν το επιπλέον πλεονέκτημα ότι είναι ανεξάρτητες της συχνότητας διέγερσης και έτσι γίνεται εφικτή η απευθείας ανάλυση συστημάτων αλληλεπίδρασης εδάφους κατασκευής στο πεδίο του χρόνου. Το προτεινόμενο προσομοίωμα του ελαστικού ημιχώρου επεκτείνεται στην περίπτωση του μεμονωμένου πασσάλου σε εδαφικό ημιχώρο. Το διακριτό προσομοίωμα που αναπτύχθηκε προηγουμένως είναι κατάλληλο για εισαγωγή σε πρόγραμμα πεπερασμένων στοιχείων γενικού σκοπού ( όπως π.χ. ANSYS,

4 iii SAP2, ABAQUS ) και μπορεί να χρησιμοποιηθεί για κάθε είδος επιφανειακής εύκαμπτης ή άκαμπτης θεμελίωσης ανεξαρτήτου γεωμετρίας, υποκαθιστώντας τον ελαστικά γραμμικό εδαφικό ημιχώρο. Με αυτό τον τρόπο γίνεται εφικτή η επίλυση οποιουδήποτε συστήματος αλληλεπίδρασης εδάφους κατασκευής. Η ακρίβεια και αποτελεσματικότητα του προτεινόμενου προσομοιώματος για τον εδαφικό ημιχώρο, γίνεται φανερή από μια σειρά συγκρίσεων με αποτελέσματα παλαιοτέρων δημοσιεύσεων για άκαμπτα και εύκαμπτα θεμέλια και κατασκευών με ή χωρίς πασσάλους.

5 iv ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... I ΠΕΡΙΛΗΨΗ... II ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... IV ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ... V ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ... XV 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΣΤΙΚΟΥ ΗΜΙΧΩΡΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ - ΠΑΡΑΔΟΧΕΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑΤΟΣ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΚΡΙΤΟ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑ ΕΔΑΦΙΚΟΥ ΗΜΙΧΩΡΟΥ ΔΙΑΚΡΙΤΟ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑ ΕΔΑΦΙΚΟΥ ΗΜΙΧΩΡΟΥ ΜΕ ΜΕΜΟΝΩΜΕΝΟ ΠΑΣΣΑΛΟ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ ΗΜΙΧΩΡΟΥ ΜΕ Η ΧΩΡΙΣ ΠΑΣΣΑΛΟ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑΤΟΣ Σύγκριση συντελεστών δυναμικής δυσκαμψίας για εδαφικό ημιχώρο με ή χωρίς πάσσαλο Εφαρμογή του προτεινόμενου προσομοιώματος εδαφικού ημιχώρου στην δυναμική ανάλυση επιφανειακών άκαμπτων και εύκαμπτων θεμελίων με ή χωρίς πάσσαλο ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΝΤΑΩΡΟΦΟΥ ΚΤΙΡΙΟΥ ΑΠΟ ΟΠΛΙΣΜΕΝΟ ΣΚΥΡΟΔΕΜΑ ΕΠΙ ΕΥΚΑΜΠΤΟΥ ΘΕΜΕΛΙΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΝΤΑΩΡΟΦΟΥ ΚΤΙΡΙΟΥ ΑΠΟ ΟΠΛΙΣΜΕΝΟ ΣΚΥΡΟΔΕΜΑ ΕΠΙ ΕΥΚΑΜΠΤΟΥ ΘΕΜΕΛΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΣΣΑΛΩΝ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Α.1. ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΙΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΗΜΙΧΩΡΟΥ ΓΙΑ ΔΙΑΦΟΡΑ V S Α.2. ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΟΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟ ΔΥΝΑΜΙΚΩΝ ΔΥΣΚΑΜΨΙΩΝ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑΤΟΣ ΕΔΑΦΙΚΟΥ ΗΜΙΧΩΡΟΥ Α.3. ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΟΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟ ΔΥΝΑΜΙΚΩΝ ΔΥΣΚΑΜΨΙΩΝ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑΤΟΣ ΕΔΑΦΙΚΟΥ ΗΜΙΧΩΡΟΥ ΜΕ ΠΑΣΣΑΛΟ

6 v ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ Σχήμα 1.1 Το φαινόμενο της αλληλεπίδρασης εδάφους κατασκευής θεμελίωσης... 3 Σχήμα 1.2. (α) Γεωμετρία του προβλήματος αλληλεπίδρασης εδάφουςκατασκευής, (β) Χωρισμός σε κινηματική και αδρανειακή αλληλεπίδραση, (γ) Ανάλυση της αδρανειακής αλληλεπίδρασης σε δύο βήματα- διακριτό προσομοίωμα. (Mylonakis et al, 26)... 4 Σχήμα 2.1 Διακριτοποίηση και φόρτιση επιφάνειας εδαφικού ημιχώρου Σχήμα 2.2 Καθορισμός του πεδίου μετακινήσεων (α) στην επιφάνεια του ημιχώρου και (β) στην επιφάνεια του ημιχώρου με μεμονωμένο πάσσαλο Σχήμα 2.3 Διάσπαση συνολικού συστήματος σε υποκατασκευές με την μέθοδο του εύκαμπτου όγκου (ACS SASSI 21) Σχήμα 2.4 Διακριτοποίηση της επιφάνειας του εδαφικού ημιχώρου Σχήμα 2.5 Κατακόρυφη διακριτοποίηση εδαφικού ημιχώρου (ACS SASSI 21)... 2 Σχήμα 3.1 Εφαρμογή μοναδιαίου δυναμικού φορτίου σε όλους τους βαθμούς ελευθερίας τυχαίου κόμβου στην επιφάνεια του εδαφικού ημιχώρου Σχήμα 3.2 Διακριτό προσομοίωμα εδαφικού ημιχώρου Σχήμα 3.3 Σύστημα συντεταγμένων για την κατασκευή του μητρώου δυναμικής δυσκαμψίας του εδαφικού ημιχώρου Σχήμα 3.4 Κατακόρυφη απόκριση του σημείου φόρτισης για κατακόρυφη φόρτιση συναρτήσει της συχνότητας διέγερσης για διάφορα εδάφη (ν s =.3, ρ s = 2. t/m 3 ) Σχήμα 3.5 Κατακόρυφη απόκριση στην επιφάνεια του ημιχώρου για κατακόρυφη φόρτιση συναρτήσει της συχνότητας διέγερσης για διάφορες αποστάσεις από το σημείο φόρτισης (ν s =.3, ρ s = 2. t/m 3, Vs = 6 m/s) Σχήμα 3.6 Οριζόντια απόκριση στην επιφάνεια του ημιχώρου για οριζόντια φόρτιση συναρτήσει της συχνότητας διέγερσης για διάφορες αποστάσεις από το σημείο φόρτισης (ν s =.3, ρ s = 2. t/m 3, Vs = 6 m/s) Σχήμα 3.7 Λικνιστική απόκριση στην επιφάνεια του ημιχώρου για στρεπτική φόρτιση συναρτήσει της συχνότητας διέγερσης για διάφορες αποστάσεις από το σημείο φόρτισης (ν s =.3, ρ s = 2. t/m 3, Vs = 6 m/s)

7 vi Σχήμα 3.8 Πραγματικό μέρος κατακόρυφης δυναμικής δυσκαμψίας στην επιφάνεια του ημιχώρου για κατακόρυφη φόρτιση συναρτήσει της συχνότητας διέγερσης για διάφορες αποστάσεις από το σημείο φόρτισης (ν s =.3, ρ s = 2. t/m 3, Vs = 6 m/s) Σχήμα 3. 9 Φανταστικό μέρος κατακόρυφης δυναμικής δυσκαμψίας στην επιφάνεια του ημιχώρου για κατακόρυφη φόρτιση συναρτήσει της συχνότητας διέγερσης για διάφορες αποστάσεις από το σημείο φόρτισης (ν s =.3, ρ s = 2. t/m 3, Vs = 6 m/s) Σχήμα 3.1 Πραγματικό μέρος οριζόντιας δυναμικής δυσκαμψίας στην επιφάνεια του ημιχώρου για οριζόντια φόρτιση συναρτήσει της συχνότητας διέγερσης για διάφορες αποστάσεις από το σημείο φόρτισης (ν s =.3, ρ s = 2. t/m 3, Vs = 6 m/s) Σχήμα 3.11 Φανταστικό μέρος οριζόντιας δυναμικής δυσκαμψίας στην επιφάνεια του ημιχώρου για οριζόντια φόρτιση συναρτήσει της συχνότητας διέγερσης για διάφορες αποστάσεις από το σημείο φόρτισης (ν s =.3, ρ s = 2. t/m 3, Vs = 6 m/s) Σχήμα 3.12 Πραγματικό μέρος λικνιστικής δυναμικής δυσκαμψίας στην επιφάνεια του ημιχώρου για στροφική φόρτιση συναρτήσει της συχνότητας διέγερσης για διάφορες αποστάσεις από το σημείο φόρτισης (ν s =.3, ρ s = 2. t/m 3, Vs = 6 m/s) Σχήμα 3.13 Φανταστικό μέρος λικνιστικής δυναμικής δυσκαμψίας στην επιφάνεια του ημιχώρου για στροφική φόρτιση συναρτήσει της συχνότητας διέγερσης για διάφορες αποστάσεις από το σημείο φόρτισης (ν s =.3, ρ s = 2. t/m 3, Vs = 6 m/s) Σχήμα 3.14 Πραγματικό μέρος οριζόντιας δυναμικής δυσκαμψίας για οριζόντια φόρτιση συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o για διάφορες συχνότητες Σχήμα 3.15 Φανταστικό μέρος οριζόντιας δυναμικής δυσκαμψίας για οριζόντια φόρτιση συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o για διάφορες συχνότητες Σχήμα 3.16 Πραγματικό μέρος κατακόρυφης δυναμικής δυσκαμψίας για κατακόρυφη φόρτιση συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o για διάφορες συχνότητες Σχήμα 3.17 Φανταστικό μέρος κατακόρυφης δυναμικής δυσκαμψίας για κατακόρυφη φόρτιση συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o για διάφορες συχνότητες

8 vii Σχήμα 3.18 Πραγματικό μέρος λικνιστικής δυναμικής δυσκαμψίας για στροφική φόρτιση συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o για διάφορες συχνότητες Σχήμα 3.19 Φανταστικό μέρος λικνιστικής δυναμικής δυσκαμψίας για στροφική φόρτιση συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o για διάφορες συχνότητες Σχήμα 3.2 Πραγματικό μέρος οριζόντιας δυναμικής δυσκαμψίας λόγω οριζόντιας φόρτισης συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o για διάφορες συχνότητες Σχήμα 3.21 Φανταστικό μέρος οριζόντιας δυναμικής δυσκαμψίας λόγω οριζόντιας φόρτισης συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o για διάφορες συχνότητες Σχήμα 3.22 Πραγματικό μέρος οριζόντιας δυναμικής δυσκαμψίας λόγω κατακόρυφης φόρτισης συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o για διάφορες συχνότητες Σχήμα 3.23 Φανταστικό μέρος οριζόντιας δυναμικής δυσκαμψίας λόγω κατακόρυφης φόρτισης συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o για διάφορες συχνότητες Σχήμα 3.24 Πραγματικό μέρος οριζόντιας δυναμικής δυσκαμψίας λόγω στροφικής φόρτισης συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o για διάφορες συχνότητες Σχήμα 3.25 Φανταστικό μέρος οριζόντιας δυναμικής δυσκαμψίας λόγω στροφικής φόρτισης συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o για διάφορες συχνότητες Σχήμα 3.26 Πραγματικό μέρος κατακόρυφης δυναμικής δυσκαμψίας λόγω στροφικής φόρτισης συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o για διάφορες συχνότητες Σχήμα 3.27 Φανταστικό μέρος κατακόρυφης δυναμικής δυσκαμψίας λόγω στροφικής φόρτισης συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o για διάφορες συχνότητες Σχήμα 3.28 Πραγματικό μέρος κατακόρυφης δυναμικής δυσκαμψίας λόγω στροφικής φόρτισης συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o για διάφορες συχνότητες Σχήμα 3.29 Πραγματικό μέρος κατακόρυφης δυναμικής δυσκαμψίας λόγω στροφικής φόρτισης συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o για διάφορες συχνότητες

9 viii Σχήμα 3.3 Πραγματικό μέρος οριζόντιας δυναμικής δυσκαμψίας λόγω οριζόντιας φόρτισης συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o (προσαρμογή καμπύλης) Σχήμα 3.31 Πραγματικό μέρος οριζόντιας δυναμικής δυσκαμψίας λόγω στροφικής φόρτισης συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o (προσαρμογή καμπύλης) Σχήμα 3.32 Φανταστικό μέρος κατακόρυφης δυναμικής δυσκαμψίας για κατακόρυφη φόρτιση συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o (προσαρμογή καμπύλης) Σχήμα 3.33 Φανταστικό μέρος οριζόντιας δυναμικής δυσκαμψίας λόγω κατακόρυφης φόρτισης συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o (προσαρμογή καμπύλης) Σχήμα 3.34 Πραγματικό μέρος οριζόντιας δυναμικής δυσκαμψίας ημιχώρου με μεμονωμένο πάσσαλο για οριζόντια φόρτιση συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o, για διάφορες συχνότητες Σχήμα 3.35 Φανταστικό μέρος οριζόντιας δυναμικής δυσκαμψίας ημιχώρου με μεμονωμένο πάσσαλο για οριζόντια φόρτιση συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o, για διάφορες συχνότητες Σχήμα 3.36 Πραγματικό μέρος κατακόρυφης δυναμικής δυσκαμψίας ημιχώρου με μεμονωμένο πάσσαλο για κατακόρυφη φόρτιση συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o, για διάφορες συχνότητες Σχήμα 3.37 Φανταστικό μέρος κατακόρυφης δυναμικής δυσκαμψίας ημιχώρου με μεμονωμένο πάσσαλο για κατακόρυφη φόρτιση συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o, για διάφορες συχνότητες Σχήμα 3.38 Πραγματικό μέρος λικνιστικής δυναμικής δυσκαμψίας ημιχώρου με μεμονωμένο πάσσαλο για στροφική φόρτιση συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o, για διάφορες συχνότητες Σχήμα 3.39 Φανταστικό μέρος λικνιστικής δυναμικής δυσκαμψίας ημιχώρου με μεμονωμένο πάσσαλο για στροφική φόρτιση συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o, για διάφορες συχνότητες Σχήμα 3.4 Πραγματικό μέρος οριζόντιας δυναμικής δυσκαμψίας ημιχώρου με μεμονωμένο πάσσαλο, λόγω οριζόντιας φόρτισης συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o, για διάφορες συχνότητες... 54

10 ix Σχήμα 3.41 Φανταστικό μέρος οριζόντιας δυναμικής δυσκαμψίας ημιχώρου με μεμονωμένο πάσσαλο, λόγω οριζόντιας φόρτισης συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o, για διάφορες συχνότητες Σχήμα 3.42 Πραγματικό μέρος οριζόντιας δυναμικής δυσκαμψίας ημιχώρου με μεμονωμένο πάσσαλο για κατακόρυφη φόρτιση συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o, για διάφορες συχνότητες Σχήμα 3.43 Φανταστικό μέρος οριζόντιας δυναμικής δυσκαμψίας ημιχώρου με μεμονωμένο πάσσαλο για κατακόρυφη φόρτιση συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o, για διάφορες συχνότητες Σχήμα 3.44 Πραγματικό μέρος οριζόντιας δυναμικής δυσκαμψίας ημιχώρου με μεμονωμένο πάσσαλο για λικνιστική φόρτιση συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o, για διάφορες συχνότητες Σχήμα 3.45 Φανταστικό μέρος οριζόντιας δυναμικής δυσκαμψίας ημιχώρου με μεμονωμένο πάσσαλο για λικνιστική φόρτιση συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o, για διάφορες συχνότητες Σχήμα 3.46 Πραγματικό μέρος κατακόρυφης δυναμικής δυσκαμψίας ημιχώρου με μεμονωμένο πάσσαλο για λικνιστική φόρτιση συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o, για διάφορες συχνότητες Σχήμα 3.47 Φανταστικό μέρος κατακόρυφης δυναμικής δυσκαμψίας ημιχώρου με μεμονωμένο πάσσαλο για λικνιστική φόρτιση συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o, για διάφορες συχνότητες Σχήμα 3.48 Πραγματικό μέρος λικνιστικής δυναμικής δυσκαμψίας ημιχώρου με μεμονωμένο πάσσαλο λόγω στροφικής φόρτισης συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o, για διάφορες συχνότητες Σχήμα 3.49 Φανταστικό μέρος λικνιστικής δυναμικής δυσκαμψίας ημιχώρου με μεμονωμένο πάσσαλο λόγω στροφικής φόρτισης συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o, για διάφορες συχνότητες Σχήμα 3.5 Προσαρμογή καμπύλης στην οριζόντια δυναμική δυσκαμψία ημιχώρου με μεμονωμένο πάσσαλο Πραγματικό μέρος συναρτήσει του d o Σχήμα 3.51 Προσαρμογή καμπύλης στην κατακόρυφη δυναμική δυσκαμψία ημιχώρου με μεμονωμένο πάσσαλο Πραγματικό μέρος συναρτήσει του d o Σχήμα 3.52 Προσαρμογή καμπύλης στην οριζόντια δυναμική δυσκαμψία ημιχώρου με μεμονωμένο πάσσαλο Φανταστικό μέρος συναρτήσει του d o... 62

11 x Σχήμα 3.53 Προσαρμογή καμπύλης στην σύζευξη λικνιστικής και οριζόντιας δυναμικής δυσκαμψία ημιχώρου με μεμονωμένο πάσσαλο Φανταστικό μέρος συναρτήσει του d o Οριζόντια δυναμική δυσκαμψία ημιχώρου με ή χωρίς πάσσαλο Πραγματικό μέρος συναρτήσει του d o. (Ε p / Ε s = 1, ρ p / ρ s = 1., ν s =.3, =.62) Σχήμα 3.55 Οριζόντια δυναμική δυσκαμψία ημιχώρου με ή χωρίς πάσσαλο Φανταστικό μέρος συναρτήσει του d o. (Ε p / Ε s = 1, ρ p / ρ s = 1., ν s =.3, =.62)65 Σχήμα 3.56 Κατακόρυφη δυναμική δυσκαμψία ημιχώρου με ή χωρίς πάσσαλο Πραγματικό μέρος συναρτήσει του d o. (Ε p / Ε s = 1, ρ p / ρ s = 1., ν s =.3, =.62) Σχήμα 3.57 Κατακόρυφη δυναμική δυσκαμψία ημιχώρου με ή χωρίς πάσσαλο Φανταστικό μέρος συναρτήσει του d o. (Ε p / Ε s = 1, ρ p / ρ s = 1., ν s =.3, =.62)66 Σχήμα 3.58 Λικνιστική δυναμική δυσκαμψία ημιχώρου με ή χωρίς πάσσαλο Πραγματικό μέρος συναρτήσει του d o. (Ε p / Ε s = 1, ρ p / ρ s = 1., ν s =.3, =.62) Σχήμα 3.59 Λικνιστική δυναμική δυσκαμψία ημιχώρου με ή χωρίς πάσσαλο Φανταστικό μέρος συναρτήσει του d o. (Ε p / Ε s = 1, ρ p / ρ s = 1., ν s =.3, =.62)67 Σχήμα 4.1 Σύγκριση δυναμικών δυσκαμψιών για το πραγματικό μέρος της κατακόρυφης δυναμικής δυσκαμψίας εδαφικού ημιχώρου(vs = 6m/s, ν s =.33, d = ) Σχήμα 4.2 Σύγκριση δυναμικών δυσκαμψιών για το πραγματικό μέρος της κατακόρυφης δυναμικής δυσκαμψίας εδαφικού ημιχώρου(vs = 6m/s, ν s =.33, d = ) Σχήμα 4.3 Σύγκριση δυναμικών δυσκαμψιών για το πραγματικό μέρος της οριζόντιας δυναμικής δυσκαμψίας εδαφικού ημιχώρου(vs = 6m/s, ν s =.33, d = )... 7 Σχήμα 4.4 Σύγκριση δυναμικών δυσκαμψιών για το φανταστικό μέρος της οριζόντιας δυναμικής δυσκαμψίας εδαφικού ημιχώρου(vs = 6m/s, ν s =.33, d = )... 7 Σχήμα 4.5 Σύγκριση δυναμικών δυσκαμψιών για το πραγματικό μέρος της οριζόντιας δυναμικής δυσκαμψίας εδαφικού ημιχώρου με μεμονωμένο πασσάλου (Ε p /Ε s =1, Ε p = 2GPa, ν s =.33, d = )... 71

12 xi Σχήμα 4.6 Σύγκριση δυναμικών δυσκαμψιών για το φανταστικό μέρος της οριζόντιας δυναμικής δυσκαμψίας εδαφικού ημιχώρου με μεμονωμένο πασσάλου (Ε p /Ε s =1, Ε p = 2GPa, ν s =.33, d = ) Σχήμα 4.7 Σύγκριση δυναμικών δυσκαμψιών για το πραγματικό μέρος της οριζόντιας δυναμικής δυσκαμψίας εδαφικού ημιχώρου με μεμονωμένο πασσάλου (Ε p /Ε s =1, Ε p = 2GPa, ν s =.33, d = ) Σχήμα 4.8 Σύγκριση δυναμικών δυσκαμψιών για το φανταστικό μέρος της οριζόντιας δυναμικής δυσκαμψίας εδαφικού ημιχώρου με μεμονωμένο πασσάλου (Ε p /Ε s =1, Ε p = 2GPa, ν s =.33, d = ) Σχήμα 4.9 Εύκαμπτο θεμέλιο επί ελαστικού ημιχώρου με ή χωρίς πάσσαλοπροσομοίωση εδαφικού ημιχώρου με το προτεινόμενο προσομοίωμα Σχήμα 4.1 Τιμές κατακόρυφης δυναμικής δυσκαμψίας εύκαμπτου θεμελίου Πραγματικό μέρος (Κ=.4, ν s =.45) Σχήμα 4.11 Τιμές κατακόρυφης δυναμικής δυσκαμψίας εύκαμπτου θεμελίου Φανταστικό μέρος (Κ=.4, ν s =.45) Σχήμα 4.12 Τιμές λικνιστικής δυναμικής δυσκαμψίας εύκαμπτου θεμελίου Πραγματικό μέρος (Κ=.4, ν s =.45) Σχήμα 4.13 Τιμές λικνιστικής δυναμικής δυσκαμψίας εύκαμπτου θεμελίου Φανταστικό μέρος (Κ=.4, ν s =.45) Σχήμα 4.14 Κατακόρυφη δυναμική απόκριση στο κέντρο εύκαμπτου τετραγωνικού θεμελίου (Κ=.4, ν s =.45) Σχήμα 4.15 Κατακόρυφη δυναμική απόκριση στην πλευρά εύκαμπτου τετραγωνικού θεμελίου (Κ=.4, ν s =.45) Σχήμα 4.16 Κατακόρυφη δυναμική απόκριση στην γωνία εύκαμπτου τετραγωνικού θεμελίου (Κ=.4, ν s =.45) Σχήμα 4.17 Κατακόρυφη δυναμική απόκριση στο κέντρο εύκαμπτου τετραγωνικού θεμελίου (Κ=.6, ν s =.45) Σχήμα 4.18 Κατακόρυφη δυναμική απόκριση στην πλευρά εύκαμπτου τετραγωνικού θεμελίου (Κ=.6, ν s =.45) Σχήμα 4.19 Κατακόρυφη δυναμική απόκριση στην γωνία εύκαμπτου τετραγωνικού θεμελίου (Κ=.6, ν s =.45) Σχήμα 4.2 Κατακόρυφη δυναμική απόκριση δύσκαμπτου τετραγωνικού θεμελίου (Κ=4., ν s =.45)... 8

13 xii Σχήμα 4.21 Κατακόρυφη δυναμική απόκριση στο κέντρο εύκαμπτου τετραγωνικού θεμελίου με μεμονωμένο πάσσαλο στο κέντρο (Κ=.4, Ε p /Ε s =1, ν s =.45) Σχήμα 4.22 Κατακόρυφη δυναμική απόκριση στην πλευρά εύκαμπτου τετραγωνικού θεμελίου με μεμονωμένο πάσσαλο στο κέντρο (Κ=.4, Ε p /Ε s =1, ν s =.45) Σχήμα 4.23 Κατακόρυφη δυναμική απόκριση στην γωνία εύκαμπτου τετραγωνικού θεμελίου με μεμονωμένο πάσσαλο στο κέντρο (Κ=.4, Ε p /Ε s =1, ν s =.45) Σχήμα 4.24 Προοπτική απεικόνιση πενταόροφου κτιρίου από οπλισμένο σκυρόδεμα (Αβραμίδης κ.α. 25) Σχήμα 4.25 Τυπική κάτοψη ορόφου του υπό μελέτη κτιρίου (Αβραμίδης κ.α. 25) Σχήμα 4.26 Προσομοίωμα πεπερασμένων στοιχείων για την υπό μελέτη κατασκευή στο πρόγραμμα ANSYS. (α) Πακτωμένη κατασκευή, (β) κατασκευή θεμελιωμένη σε γενική κοιτόστρωση με χρήση του προτεινόμενου προσομοιώματος για το έδαφος θεμελίωσης Σχήμα 4.27 Επιτυχυνσιογράφημα του σεισμού στο EL CENTRO, του Μαίου Σχήμα 4.28 Ιδιοπερίοδοι κατασκευής συναρτήσει της στιφρότητας του εδαφικού υλικού Σχήμα 4.29 Σύγκριση τέμνουσας βάσης για την περίπτωση πάκτωσης και εύκαμπτου θεμελίου επί ελαστικού ημιχώρου για τον σεισμό του EL CENTRO Σχήμα 4.3 Μέγιστες τιμές τέμνουσας βάσης κατασκευής συναρτήσει της στιφρότητας του εδαφικού υλικού λόγω σεισμική διέγερσης (EL CENTRO) Σχήμα 4.31 Μέγιστες τιμές μετατόπισης κορυφής κατασκευής συναρτήσει της στιφρότητας του εδαφικού υλικού λόγω σεισμικής διέγερσης (EL CENTRO) Σχήμα 4.32 Μέγιστες τιμές τέμνουσας βάσης γωνιακού υποστυλώματος και τοιχείου συναρτήσει της στιφρότητας του εδαφικού υλικού λόγω σεισμικής διέγερσης (EL CENTRO) Σχήμα 4.33 Μέγιστες τιμές ροπής γωνιακού υποστυλώματος και τοιχείου συναρτήσει της στιφρότητας του εδαφικού υλικού λόγω σεισμικής διέγερσης (EL CENTRO)... 88

14 xiii Σχήμα 4.35 Σύγκριση θεμελιώδους ιδιοπεριόδου κατασκευής για εύκαμπτο θεμέλιο και πάσσαλο (Ε p = 2GPa, ν s =.3) Σχήμα 4.36 Μέγιστες τιμές τέμνουσας βάσης κατασκευής συναρτήσει του λόγου Ε s /Ε p λόγω σεισμικής διέγερσης (EL CENTRO) Σχήμα 4.37 Μέγιστες τιμές μετατόπισης κορυφής κατασκευής συναρτήσει του λόγου Ε s /Ε p του εδαφικού υλικού λόγω σεισμικής διέγερσης (EL CENTRO) Σχήμα 4.38 Μέγιστες τιμές τέμνουσας βάσης γωνιακού υποστυλώματος και τοιχείου συναρτήσει της στιφρότητας του λόγου Ε s /Ε p λόγω σεισμικής διέγερσης (EL CENTRO) Σχήμα Α.1 Κατακόρυφη απόκριση στην επιφάνεια του ημιχώρου για οριζόντια φόρτιση συναρτήσει της συχνότητας διέγερσης για διάφορες αποστάσεις από το σημείο φόρτισης (ν s =.3, ρ s = 2. t/m 3, Vs = 1 m/s) Σχήμα Α.2 Οριζόντια απόκριση στην επιφάνεια του ημιχώρου για οριζόντια φόρτιση συναρτήσει της συχνότητας διέγερσης για διάφορες αποστάσεις από το σημείο φόρτισης (ν s =.3, ρ s = 2. t/m 3, Vs = 1 m/s) Σχήμα Α.3 Κατακόρυφη απόκριση στην επιφάνεια του ημιχώρου για οριζόντια φόρτιση συναρτήσει της συχνότητας διέγερσης για διάφορες αποστάσεις από το σημείο φόρτισης (ν s =.3, ρ s = 2. t/m 3, Vs = 4 m/s) Σχήμα Α.4 Οριζόντια απόκριση στην επιφάνεια του ημιχώρου για οριζόντια φόρτιση συναρτήσει της συχνότητας διέγερσης για διάφορες αποστάσεις από το σημείο φόρτισης (ν s =.3, ρ s = 2. t/m 3, Vs = 4 m/s) Σχήμα Α.12. Προσαρμογή καμπύλης Σχήμα Α. 13. Προσαρμογή καμπύλης Σχήμα Α. 14. Προσαρμογή καμπύλης Σχήμα Α.15. Προσαρμογή καμπύλης Σχήμα Α. 16. Προσαρμογή καμπύλης Σχήμα Α. 17. Προσαρμογή καμπύλης Σχήμα Α.18. Προσαρμογή καμπύλης Σχήμα Α.19 Προσαρμογή καμπύλης Σχήμα Α. 2 Προσαρμογή καμπύλης Σχήμα Α. 21 Προσαρμογή καμπύλης Σχήμα Α.22 Προσαρμογή καμπύλης Σχήμα Α. 23 Προσαρμογή καμπύλης Σχήμα Α. 24 Προσαρμογή καμπύλης

15 xiv Σχήμα Α. 25 Προσαρμογή καμπύλης Σχήμα Α.26 Προσαρμογή καμπύλης Σχήμα Α. 27 Προσαρμογή καμπύλης Σχήμα Α. 28. Προσαρμογή καμπύλης Σχήμα Α. 29. Προσαρμογή καμπύλης Σχήμα Α.3 Προσαρμογή καμπύλης Σχήμα Α. 31 Προσαρμογή καμπύλης Σχήμα Α. 32. Προσαρμογή καμπύλης Σχήμα Α. 33 Προσαρμογή καμπύλης Σχήμα Α. 34. Προσαρμογή καμπύλης Σχήμα Α. 35. Προσαρμογή καμπύλης Σχήμα Α. 36. Προσαρμογή καμπύλης Σχήμα Α. 37 Προσαρμογή καμπύλης Σχήμα Α. 38. Προσαρμογή καμπύλης Σχήμα Α. 39 Προσαρμογή καμπύλης Σχήμα Α. 4. Προσαρμογή καμπύλης Σχήμα Α. 41 Προσαρμογή καμπύλης Σχήμα Α. 42 Προσαρμογή καμπύλης Σχήμα Α. 43. Προσαρμογή καμπύλης

16 xv ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ ΠΙΝΑΚΑΣ 3.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑΤΟΣ ΕΔΑΦΙΚΟΥ ΗΜΙΧΩΡΟΥ ΠΙΝΑΚΑΣ 3.2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ ΕΔΑΦΙΚΟΥ ΗΜΙΧΩΡΟΥ ΜΕΜΟΝΩΜΕΝΟΥ ΠΑΣΣΑΛΟΥ ΠΙΝΑΚΑΣ 4.1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΚΤΙΡΙΟΥ... 84

17 1 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η δυναμική ανάλυση των κατασκευών έχει ως αντικείμενο τον καθορισμό της απόκρισης και των εντατικών μεγεθών μιας κατασκευής η οποία καταπονείται από δυναμικά φορτία. Η δυναμική ανάλυση του εδάφους αποτελεί ξεχωριστό τμήμα της γεωτεχνικής μηχανικής και έχει ως αντικείμενο την συμπεριφορά των εδαφικών υλικών κάτω από συνθήκες δυναμικής φόρτισης. Η ανάλυση της δυναμικής αλληλεπίδρασης εδάφους-κατασκευής συνδέει αυτούς τους δύο σημαντικούς κλάδους της επιστήμης του πολιτικού μηχανικού. Ιστορικά, η μελέτη της δυναμικής συμπεριφοράς θεμελίων ξεκινά από τον Lamb (194), ο οποίος επιλύει μερικώς το πρόβλημα του Bousinesq για δυναμική φόρτιση. Ο Reissner (1936) δημοσιεύει την πρώτη εφαρμογή πάνω στο θέμα της δυναμικής συμπεριφοράς θεμελίων, κάνοντας την παραδοχή ότι η κατανομή των τάσεων στην διεπιφάνεια θεμελίου εδάφους για δυναμική φόρτιση ταυτίζεται με αυτή που προκύπτει για στατική φόρτιση, ανεξάρτητα από την συχνότητα της εξωτερικής διέγερσης. Χρειάστηκε να περάσουν περίπου τρεις δεκαετίες έως να αναθερμανθεί το επιστημονικό ενδιαφέρον. Στα μέσα της δεκαετίας του 196, άρχισε η ανέγερση μεγάλου αριθμού κατασκευών ευάλωτων σε δυναμικά φορτία (πυρηνικά εργοστάσια, μεγάλα βάθρα γεφυρών κ.α.), με αποτέλεσμα μεγάλο κομμάτι της έρευνας να οδηγηθεί στον τομέα της δυναμικής ανάλυσης της κατασκευής, της θεμελίωσης και του εδάφους. Το φαινόμενο της δυναμικής αλληλεπίδρασης εδάφους-κατασκευής μπορεί να οριστεί με γενικό τρόπο ως εξής: εάν η απόκριση οποιουδήποτε σημείου που βρίσκεται στην διεπιφάνεια εδάφους κατασκευής εξ αιτίας δυναμικής φόρτισης, διαφέρει από την απόκριση του ίδιου σημείου όταν δεν υπάρχει κατασκευή (ελεύθερο πεδίο), τότε υπάρχει δυναμική αλληλεπίδραση μεταξύ της κατασκευής και του εδάφους θεμελίωσης. Στις περισσότερες περιπτώσεις θεμελίωσης κατασκευών σε φυσικό έδαφος η απόκριση της διεπιφάνειας θεμελίου εδάφους επηρεάζεται από την ύπαρξη της κατασκευής. Το φαινόμενο της αλληλεπίδρασης εδάφους κατασκευής είναι ιδιαίτερα σημαντικό στις περιπτώσεις θεμελίωσης βαρέων και δύσκαμπτων κατασκευών σε σχετικά μαλακά εδάφη, σε περιπτώσεις χρήσης γενικών κοιτοστρώσεων, στην περίπτωση ύπαρξης πολλαπλών όμορων μεμονωμένων θεμελίων και στην περίπτωση θεμελίωσης με χρήση πασσάλων (Veletsos, 1977). Είναι αποδεδειγμένο πως η δυναμική απόκριση μιας κατασκευής θεμελιωμένης σε άκαμπτη βάση (βράχος) μπορεί να διαφέρει σημαντικά από την απόκριση της ίδιας

18 2 κατασκευής θεμελιωμένης σε ελαστικό παραμορφώσιμο έδαφος. Αυτό οφείλεται στους εξής παράγοντες (Veletsos, 1977): (α) Μια κατασκευή που εδράζεται σε παραμορφώσιμο έδαφος έχει περισσότερους δυναμικούς βαθμούς ελευθερίας σε σχέση με την πακτωμένη κατασκευή και επομένως διαφορετικά δυναμικά χαρακτηριστικά. Η λικνιστική κίνηση της θεμελίωσης, προστίθεται στην μεταφορική κίνησή της προκαλώντας αλλαγή στις ιδιομορφές και ιδιοπεριόδους της κατασκευής (β) Η παρουσία του εδάφους έχει ως αποτέλεσμα μέρος της ενέργειας ταλάντωσης της κατασκευής να διαχέεται στο εδαφικό υλικό μέσω κυμάτων ακτινοβολίας (γεωμετρική απόσβεση) και υστερητικής συμπεριφοράς του υλικού (υστερητική απόσβεση). Αυτό έχει ως συνέπεια την αύξηση της συνολικής απόσβεσης του συστήματος εδάφους- κατασκευής. Για την καλύτερη κατανόηση του φαινομένου αλληλεπίδρασης εδάφουςκατασκευής θεωρούμε το σύστημα που απεικονίζεται στο Σχ Το σύστημα αποτελείται από μια κατασκευή (στην γενική περίπτωση γραμμικά ελαστική), η οποία θεμελιώνεται σε εύκαμπτο ή άκαμπτο θεμέλιο με ή χωρίς πασσάλους. Η θεμελίωση θεωρείται πως εδράζεται πάνω σε εδαφικό υλικό, το οποίο αντιστοιχεί σε γραμμικό ελαστικό ημιχώρο. Το εδαφικό υλικό υπόκειται σε σεισμική διέγερση, η οποία αποτελείται από έναν αριθμό προσπιπτόντων κυμάτων τα οποία χωρίζονται σε κύματα πίεσης (P), διατμητικά κύματα (S) και επιφανειακά κύματα (Rayleigh και Love). Με δεδομένο ότι τα σεισμολογικά χαρακτηριστικά μιας περιοχής καθορίζουν τις ιδιότητες της εισερχόμενης σεισμικής διέγερσης (συχνοτικό περιεχόμενο, εύρος και είδος κυμάτων), η γεωμετρία και οι ελαστικές ιδιότητες του εδαφικού υλικού επηρεάζουν σημαντικά την απόκριση που παρατηρείται στο ελεύθερο πεδίο. Η απόκριση ελεύθερου πεδίου προκύπτει από το σύνολο των πολλαπλών ανακλάσεων και διαθλάσεων των διαφόρων κυμάτων στο σώμα και στην επιφάνεια του εδαφικού υλικού. Ο καθορισμός της κίνησης ελεύθερου πεδίου (πχ ως επιταχυνσιογράφημα), αποτελεί το πρώτο βήμα της δυναμικής ανάλυσης του συνολικού συστήματος εδάφους κατασκευής. Το επόμενο βήμα είναι η προσθήκη της κατασκευής και της θεμελίωσής της πάνω στο εδαφικό υλικό. Το υπό σεισμική διέγερση παραμορφώσιμο έδαφος, θέτει σε κίνηση αρχικά την θεμελίωση και στην συνέχεια την κατασκευή. Αυτό έχει ως συνέπεια την εμφάνιση δύο καταστάσεων (Gazetas and Mylonakis, 1998): (α) το σύστημα θεμελίωσης τείνει να αντισταθεί στην επιβαλλόμενη εδαφική παραμόρφωση, λόγω της δυσκαμψίας του, ενώ ταυτόχρονα τα προσπίπτοντα σεισμικά κύματα ανακλώνται και

19 3 διαχέονται στο εδαφικό υλικό, καθώς το θεμέλιο ταλαντώνεται, με τρόπο που διαφέρει σημαντικά από την κίνηση ελεύθερου πεδίου και (β) η ταλάντωση του συστήματος θεμελίωσης προκαλεί την ταλάντωση της υπερκείμενης κατασκευής με αποτέλεσμα οι αδρανειακές δυνάμεις που αναπτύσσονται στην κατασκευή να δημιουργούν δυνάμεις και ροπές στην βάση της, οι οποίες μεταδίδονται στο σύστημα θεμελίωσης και στο έδαφος. Συνεπώς, το σύστημα θεμελίωσης και η κατασκευή αναπτύσσουν επιπλέον δυναμικές μετακινήσεις και επιταχύνσεις. Οι δύο αυτές καταστάσεις προκύπτουν ουσιαστικά ταυτόχρονα και είναι γνωστές ως κινηματική και αδρανειακή αλληλεπίδραση. Στο Σχ. 1.2 παρουσιάζεται η ανάλυση του φαινομένου της αλληλεπίδρασης εδάφους κατασκευής σε κινηματική και αδρανειακή αλληλεπίδραση. Σχήμα 1.1 Το φαινόμενο της αλληλεπίδρασης εδάφους κατασκευής θεμελίωσης

20 4 Η κινηματική αλληλεπίδραση αναφέρεται στην επίδραση των προσπιπτόντων κυμάτων στο σύστημα του Σχ. 1.2β, το οποίο αποτελείται από την αβαρή αλλά παραμορφώσιμη κατασκευή, την θεμελίωση και το έδαφος θεμελίωσης. Η αδρανειακή αλληλεπίδραση αναφέρεται στην απόκριση του πλήρους συστήματος εδάφουςθεμελίωσης-κατασκευής λόγω αδρανειακών δυνάμεων, που προκύπτουν από την επιτάχυνση της μάζας της κατασκευής λόγω της κινηματικής αλληλεπίδρασης και μπορεί να αναλυθεί σε δύο βήματα, όπως φαίνεται στο σχήμα Σχ. 1.2γ (Mylonakis et al, 26), με υπολογισμό αρχικά του μητρώου δυναμικών δυσκαμψιών της θεμελίωσης και στην συνέχεια της απόκρισης του συνολικού συστήματος. Η παραπάνω ανάλυση του προβλήματος σε διαδοχικά βήματα, δεν σημαίνει πως το πρόβλημα της αλληλεπίδρασης εδάφους κατασκευής δεν μπορεί να λυθεί σε ένα στάδιο. Η άμεση λύση του προβλήματος είναι δυνατή, όπως περιγράφεται, π.χ., από τους Clough and Penzien (1975) παρά την πολυπλοκότητα του συστήματος και του μεγάλου αριθμού παραγόντων που επηρεάζουν την δυναμική του απόκριση. Σχήμα 1.2. (α) Γεωμετρία του προβλήματος αλληλεπίδρασης εδάφους-κατασκευής, (β) Χωρισμός σε κινηματική και αδρανειακή αλληλεπίδραση, (γ) Ανάλυση της αδρανειακής αλληλεπίδρασης σε δύο βήματα- διακριτό προσομοίωμα. (Mylonakis et al, 26)

21 5 Η ανάλυση του συστήματος εδάφους-κατασκευής των Σχ. 1.1 και Σχ.1.2, μπορεί να πραγματοποιηθεί με διάφορες μεθόδους ανάλογα με το τμήμα του συστήματος που επιλύεται, οι οποίες είναι: 1. Μέθοδοι συνεχούς μέσου ή αναλυτικές μέθοδοι (π.χ. Reissner 1936, Robertson 1966) 2. Ημι-αναλυτικές μέθοδοι (π.χ. Wong and Luco 1978, Whitaker and Christiano 1982) 3. Αριθμητικές μέθοδοι διακριτά προσομοιώματα (π.χ. Lysmer 1965, των Lysmer et al 1974, Veletsos and Meek 1974, Dobry and Gazetas 1982, Mulliken and Karabalis 1998) Η πλειονότητα των μελετητών έχει ασχοληθεί με το πρόβλημα της αλληλεπίδρασης εδάφους-κατασκευής, θεωρώντας πως η κατασκευή θεμελιώνεται επάνω σε άκαμπτο θεμέλιο, το οποίο μπορεί να υποβληθεί σε μεταφορικές (κατακόρυφες και οριζόντιες), λικνιστικές και στρεπτικές κινήσεις. Μια συνολική αποτίμηση της έρευνας πάνω στην δυναμική απόκριση άκαμπτων θεμελίων που εδράζονται σε εδαφικό ημιχώρο έως το τέλος της δεκαετίας του 196 παρουσιάζεται στην κλασσική πλέον εργασία των Richart et al (197). Οι Veletsos and Wei (1971), παρουσίασαν εκφράσεις για οριζόντιες και λικνιστικές ταλαντώσεις ενός άκαμπτου δίσκου σε εδαφικό ημιχώρο, επιλύοντας ημιαναλυτικά το πλήρες πρόβλημα συνοριακών τιμών, μέσω μετατροπής των θεμελιωδών εξισώσεων κίνησης σε ανομοιογενείς ολοκληρωτικές εξισώσεις Fredholm. Με αυτόν τον τρόπο οι δυναμικές δυσκαμψίες του θεμελίου, μπορούν να εκφραστούν ως συνάρτηση της συχνότητας διέγερσης. Ακολουθώντας την ίδια διαδικασία οι Luco and Westman (1971) παρουσίασαν εκφράσεις για κατακόρυφες και στρεπτικές ταλαντώσεις ενός άκαμπτου θεμελίου. Οι Veletsos and Verbic (1973), υπολογίζουν την απόκριση ενός άκαμπτου δίσκου για μεταφορικές και λικνιστικές ταλαντώσεις, στην περίπτωση ιξωδο-ελαστικού εδαφικού ημιχώρου. Με αυτό τον τρόπο λαμβάνουν υπόψη την επιρροή της υστερητικής απόσβεσης του εδαφικού υλικού. Οι Luco and Westman (1972), θεωρώντας πλήρη σύνδεση μεταξύ θεμελίου και ημιχώρου, υπολογίζουν τις οριζόντιες, λικνιστικές και κατακόρυφες ταλαντώσεις μια άκαμπτης θεμέλιο-λωρίδας σε συνθήκες επίπεδης παραμόρφωσης. Οι Wong and Luco (1976, 1977) και Wong and Luco (1978), βασιζόμενοι στις παραδοχές του Lamb (194) και διακριτοποιώντας την διεπιφάνεια θεμελίου ημιχώρου (σε τετραγωνικές υπό-περιοχές) ανέπτυξαν μια αποδοτικότερη αριθμητική μέθοδο για τον υπολογισμό της δυναμικής απόκρισης άκαμπτων θεμελίων τυχαίου σχήματος. Με αυτό τον τρόπο υπολόγισαν την κατακόρυφη, οριζόντια και λικνιστική ευκαμψία ενός άκαμπτου τετραγωνικού

22 6 θεμελίου καθώς και το φαινόμενο της πρόσπτωσης κεκλιμένων σεισμικών κυμάτων σε άκαμπτα επιφανειακά τετραγωνικά θεμέλια, λαμβάνοντας υπόψη κύματα Rayleigh, SH, P και SV. Ο Dominguez (1978) και Dominguez and Roesset (1978) χρησιμοποιούν την μέθοδο συνοριακών στοιχείων (ΜΣΣ) στο πεδίο των συχνοτήτων, για τον υπολογισμό των δυναμικών δυσκαμψιών επιφανειακών και εγκιβωτισμένων άκαμπτων θεμελίων. Οι Karabalis and Beskos (1984), χρησιμοποιούν για πρώτη φορά στο πεδίο του χρόνου την ΜΣΣ για την διακριτοποίηση του εδαφικού ημιχώρου και σε συνδυασμό με χρήση της μεθόδου πεπερασμένων στοιχείων (ΜΠΣ) για το θεμέλιο, υπολογίζουν την δυναμική απόκριση τριδιάστατων άκαμπτων επιφανειακών θεμελίων. Οι Karabalis and Beskos (1986) χρησιμοποιούν την ΜΣΣ στο πεδίο του χρόνου για την διακριτοποίηση του εδαφικού ημιχώρου και ενός άκαμπτου τριδιάστατου εγκιβωτισμένου θεμελίου και υπολογίζουν την απόκρισή του. Οι Mita and Luco (1987, 1989), υπολογίζουν την δυναμική απόκριση άκαμπτου εγκιβωτισμένου θεμελίου, εφαρμόζοντας μια υβριδική τεχνική που περιλαμβάνει χρήση ολοκληρωτικών εξισώσεων και συνοριακών στοιχείων για την προσομοίωση του ελαστικού ημιχώρου και πεπερασμένων στοιχείων για την διακριτοποίηση του άκαμπτου εγκιβωτισμένου θεμελίου. Οι Karabalis and Huang (1994) χρησιμοποιούν την ΜΣΣ στο πεδίο του χρόνου για τον υπολογισμό της αλληλεπίδρασης μεταξύ εδάφους και άκαμπτων θεμελίων (Foundation-Soil-Foundation Interaction), ενώ οι Karabalis and Mohammadi (1996), εφαρμόζουν την ΜΣΣ στο πεδίο της συχνότητας, για τον υπολογισμό της αλληλεπίδρασης μεταξύ άκαμπτων θεμελίων, επί στρωματομένου εδαφικού υλικού. Το φαινόμενο της αλληλεπίδρασης εδάφους-κατασκευής έχει αναλυθεί από πολλούς ερευνητές με χρήση απλών διακριτών προσομοιωμάτων. Η σχέση μεταξύ του μεγέθους ενός εφαρμοσμένου φορτίου σε ένα δύσκαμπτο, συμπαγές θεμέλιο, συνδεδεμένο με ένα ελαστικό μέσο και της αντίστοιχης μετακίνησης του θεμελίου, μπορεί να καθοριστεί για κάθε βαθμό ελευθερίας του θεμελίου, χρησιμοποιώντας απλά προσομοιώματα. Μια τέτοια πρώτη προσπάθεια προσέγγισης της θεωρίας αλληλεπίδρασης θεμελίου εδάφους έγινε από τον Lysmer (1965), ο οποίος χρησιμοποιώντας έναν αριθμό ομόκεντρων δακτυλίων, υπολόγισε με επιτυχία την κατακόρυφη ευκαμψία ενός άκαμπτου δίσκου. Η προσεγγιστική μέθοδος που χρησιμοποίησε βασίστηκε στις παραδοχές του Lamb (194). Η έρευνα τους είχε ως αποτέλεσμα τη δημιουργία ενός πρακτικού προσομοιώματος ενός βαθμού ελευθερίας για τον υπολογισμό της κατακόρυφης απόκρισης θεμελίων που εδράζονται σε έναν ελαστικό ημιχώρο. Στην εργασία του Luco (1974), αναπτύσσονται αναλυτικές

23 7 εκφράσεις για τις δυναμικές δυσκαμψίες κυκλικών θεμελίων, θεμελιολωρίδων (π.χ. πεδιλοδοκοί μεγάλου μήκους) και τετραγωνικών θεμέλιων, τα οποία θεωρείται πως εδράζονται στην επιφάνεια στρωματομένου ελαστικού ημιχώρου. Οι Veletsos and Meek (1974) και Veletsos (1977) αναλύουν μια ελαστική κατασκευή θεμελιωμένη σε επιφανειακό άκαμπτο κυκλικό θεμέλιο και είναι οι πρώτοι που κάνουν σαφή την ανάγκη να λαμβάνεται υπόψη το φαινόμενο της αλληλεπίδρασης στον σχεδιασμό των κατασκευών. Επίσης καταδεικνύουν τις σημαντικότερες παραμέτρους που «ελέγχουν» το φαινόμενο της αλληλεπίδρασης. Οι Dobry and Gazetas (1982), παρουσίασαν εκφράσεις για τον υπολογισμό της δυσκαμψίας και την απόσβεσης συστημάτων εγκιβωτισμένης θεμελίωσης τυχαίου σχήματος. Ο Gazetas (1983), υπολογίζει τις δυναμικές δυσκαμψίες για επιφανειακές και εγκιβωτισμένες θεμελιώσεις κυκλικού, τετραγωνικού και τυχαίου σχήματος πάνω σε (α) ημιχώρο, (β) στρώμα εδάφους πάνω από βράχο και (γ) εδαφικό στρώμα πάνω από ημιχώρο. Οι Mulliken and Karabalis (1998), χρησιμοποιούν δυναμικές δυσκαμψίες ανεξάρτητες της συχνότητας για την κατασκευή διακριτού προσομοιώματος υπολογισμού της αλληλεπίδρασης θεμελίουεδάφους-θεμελίου. Στις εργασίες των Aviles and Perez-Rocha (1996, 1998), γίνεται χρήση διακριτού προσομοιώματος για τον καθορισμό της επιρροής της αλληλεπίδρασης εδάφους-κατασκευής στην περίοδο και την απόσβεση της κατασκευής συναρτήσει του εγκιβωτισμού και του βάθους του εδαφικού στρώματος. Επιβεβαιώνεται πως η περίοδος του συστήματος μειώνεται και η απόσβεσή του αυξάνεται με τον εγκιβωτισμό της θεμελίωσης. Οι Aviles and Suarez (22), με διακριτό προσομοίωμα επιτυγχάνουν τον υπολογισμό της περιόδου και της απόσβεσης του συστήματος εδάφους-κατασκευής λαμβάνοντας υπόψη και την επιρροή των σεισμικών κυμάτων, για διάφορες περιπτώσεις κατασκευών εδραζόμενων σε εδαφικό στρώμα που βρίσκεται πάνω από βράχο. Οι Mylonakis and Gazetas (2), μελετούν τον ρόλο της αλληλεπίδρασης εδάφους-κατασκευής στην σεισμική απόκριση των κατασκευών. Έμφαση δίνεται στην διερεύνηση της θετικής ή αρνητικής επιρροής του φαινομένου στα μεγέθη σχεδιασμού της κατασκευής μέσω συγκεκριμένων παραδειγμάτων ανάλυσης συστημάτων εδάφουςκατασκευής με χρήση διακριτού προσομοιώματος. Στην εργασία των Mylonakis et al (26), παρουσιάζεται μεγάλος αριθμός διαγραμμάτων και πινάκων για την δυσκαμψία και την απόσβεση διαφόρων ειδών θεμελίωσης με έμφαση σε βάθρα γεφυρών, τα οποία προκύπτουν από απλά διακριτά προσομοιώματα για όλες τις συνιστώσες ταλάντωσης (μεταφορική, λικνιστική και στρεπτική). Πρόσφατα, ο Maravas (26) και οι Maravas, et al (27) ανέπτυξαν ένα ακριβέστερο διακριτό προσομοίωμα για τον υπολογισμό της

24 8 δυναμικής απόκρισης κατασκευών πάνω σε άκαμπτο θεμέλιο, το οποίο επέκτειναν και στην περίπτωση έδρασης σε πάσσαλο. Είναι προφανές από τα παραπάνω, πως τα άκαμπτα επιφανειακά και εγκιβωτισμένα θεμέλια έχουν μελετηθεί διεξοδικά και με διάφορες μεθόδους τις τελευταίες δεκαετίες. Όμως είναι γενικά αποδεκτό, πως εύκαμπτα συστήματα θεμελιώσεων είναι ιδιαιτέρως ευαίσθητα στο φαινόμενο της δυναμικής αλληλεπίδρασης εδάφους κατασκευής (ίσως και περισσότερο από τα αντίστοιχα άκαμπτα). Τέτοια συστήματα θεμελίωσης είναι αυτά που περιλαμβάνουν πασσάλους και εύκαμπτα επιφανειακά (ή εγκιβωτισμένα) θεμέλια όπως γενικές κοιτοστρώσεις ή «επιπλέουσες» θεμελιώσεις με πασσάλους (pile rafts). Η ΜΣΣ, έχει χρησιμοποιηθεί για την ανάλυση τόσο μεμονωμένων πασσάλων όσο και ομάδων πασσάλων, υπό στατικά και δυναμικά φορτία. Χαρακτηριστικές είναι οι εργασίες του Poulos (1968, 1971) όπου υπολογίζεται συμπεριφορά ομάδων πασσάλων σε κατακόρυφη και οριζόντια στατική φόρτιση. Οι Kaynia and Kausel (1982), χρησιμοποιούν την ΜΣΣ, στο πεδίο της συχνότητας για τον υπολογισμό της δυναμικής απόκρισης ομάδων πασσάλων. Οι Rajapakse and Shah (1987 α, β) χρησιμοποιούν την ΜΣΣ στο πεδίο των συχνοτήτων για την διακριτοποίηση του εδαφικού ημιχώρου σε συνδυασμό με την ΜΠΣ για την προσομοίωση των πασσάλων, υπολογίζοντας την οριζόντια και κατακόρυφη αρμονική κίνηση των πασσάλων. Χρησιμοποιώντας αντίστοιχες τεχνικές οι Kaynia and Kausel (1991) υπολογίζουν την δυναμική απόκριση μεμονωμένων πασσάλων και ομάδων πασσάλων σε στρωματωμένο εδαφικό υλικό, οι Gazetas et al (1991) υπολογίζουν συντελεστές αλληλεπίδρασης για την περίπτωση «επιπλεόντων» ομάδων πασσάλων (floating pile groups), οι Kaynia and Novak (1992) υπολογίζουν την δυναμική απόκριση πασσάλων στην περίπτωση επιφανειακών κυμάτων Rayleigh και κυμάτων SV, P και SH και οι Kaynia and Mahzooni (1996), υπολογίζουν την απόκριση πασσάλων υπό σεισμική διέγερση. Τέλος οι Padron et al (27) παρουσιάζουν μια νεότερη τεχνική συνδυασμού την ΜΣΣ με την ΜΠΣ για την δυναμική ανάλυση ομάδων πασσάλων. Όπως στην περίπτωση των άκαμπτων θεμελίων, έτσι και στην περίπτωση των πασσάλων μεγάλο κομμάτι της έρευνας γύρω από την δυναμική τους συμπεριφορά έχει πραγματοποιηθεί με διακριτά προσομοιώματα. Η μελέτη της δυναμικής απόκρισης ελαστικής κατασκευής θεμελιωμένης σε εύκαμπτο πάσσαλο με χρήση διακριτών προσομοιωμάτων ξεκίνησε ουσιαστικά από τον Novak (1974). Στην εργασία του, παρουσιάζονται οι ακριβείς εκφράσεις των δυναμικών δυσκαμψιών για θεμελίωση σε

25 9 πάσσαλο. Το έδαφος προσομοιώνεται με κατανεμημένα ελατήρια και αποσβεστήρες, από τα οποία τελικά προκύπτουν οι τιμές των δυναμικών δυσκαμψιών για τον πάσσαλο. Η προσπάθεια υπολογισμού των δυναμικών δυσκαμψιών με διακριτά προσομοιώματα επεκτείνεται σε ομάδες κατακόρυφων πασσάλων από τους Wolf and Von Arx (1978). Οι Dobry et al (1982) βελτιώνουν τα διακριτά προσομοιώματα για την ανάλυση εύκαμπτου πασσάλου. Επιτυγχάνουν τον υπολογισμό της οριζόντιας δυσκαμψίας και της απόσβεσης πασσάλου, ενώ παράλληλα προτείνουν σχέσεις που απλοποιούν τον υπολογισμό σημαντικών παραμέτρων του συστήματος πασσάλουεδάφους, όπως την σταθερά Winkler δ, η οποία χρησιμοποιείται στις εκφράσεις των δυναμικών δυσκαμψιών για την προσομοίωση του συστήματος πασσάλου-εδάφους. Οι Gazetas and Dobry (1984), παρουσιάζουν έναν απλό τρόπο υπολογισμού της απόσβεσης ακτινοβολίας για πασσάλους και θεμέλια. Στις εργασίες των Gazetas and Makris (1991), Makris and Gazetas (1992), καταγράφεται αναλυτικά το φαινόμενο της αλληλεπίδρασης κατασκευής-πασσάλου-εδάφους και δίνονται λύσεις για αξονική και πλευρική ταλάντωση του συστήματος θεμελίωσης. Επίσης, παρατίθενται αποτελέσματα για την σεισμική απόκριση του συστήματος πασσάλου-εδάφους. Οι Mylonakis and Gazetas (1998), αναπτύσσουν εκφράσεις για τον υπολογισμό της αξονικής δυσκαμψίας, της απόσβεσης και των εσωτερικών δυνάμεων ομάδων πασσάλων σε στρωματομένο εδαφικό υλικό υπό αρμονική εξωτερική διέγερση. Η αλληλεπίδραση εδάφους-πασσάλου προσομοιώνεται με διακριτό προσομοίωμα Winkler, με ελατήρια και αποσβεστήρες εξαρτώμενα από την συχνότητα διέγερσης. Απλοποιημένα αναλυτικά διακριτά προσομοιώματα παρουσιάζονται στην εργασία των Mylonakis and Gazetas (1999) για την πλευρική απόκριση μεμονωμένων πασσάλων και ομάδων πασσάλων σε στρωματομένο έδαφος, υπό αρμονική φόρτιση. Προκύπτουν λύσεις σε κλειστή μορφή για τις δυναμικές δυσκαμψίες μεμονωμένων πασσάλων, για τους συντελεστές δυναμικής αλληλεπίδρασης μεταξύ δύο πασσάλων και για τις επιπλέον εσωτερικές δυνάμεις, που αναπτύσσονται σε ομάδες πασσάλων λόγω της αλληλεπίδρασης μεταξύ των πασσάλων της ομάδας. Ο Mylonakis (21), παρουσιάζει ένα απλοποιημένο διακριτό προσομοίωμα για την ανάλυση της κάμψης πασσάλου σε στρωματομένο έδαφος, λόγω σεισμικής φόρτισης. Έτσι επιτυγχάνεται η δημιουργία μιας πρακτικής διαδικασίας σχεδιασμού πασσάλων για κινηματικά φορτία. Η απόκριση εύκαμπτου πασσάλου, ο οποίος υποβάλλεται σε κατακόρυφη σεισμική διέγερση υπολογίζεται με την βοήθεια δυναμικού διακριτού προσομοιώματος από τους Gazetas and Mylonakis (22).

26 1 Παρατίθενται λύσεις σε κλειστή μορφή για τον προσδιορισμό της κίνησης της κεφαλής του πασσάλου και της μέγιστης παραμόρφωσης του πασσάλου. Η δυναμική απόκριση εύκαμπτων θεμελιώσεων έχει μελετηθεί πολύ λιγότερο σε σχέση με τη δυναμική απόκριση άκαμπτων θεμελιώσεων. Ο λόγος είναι πως η ευκαμψία της θεμελίωσης περιπλέκει σημαντικά το πρόβλημα και δυσκολεύει την ανάλυσή του. Η ανάλυση διδιάστατων εύκαμπτων επιφανειακών θεμελίων ή εγκιβωτισμένων εύκαμπτων γενικών κοιτοστρώσεων που εδράζονται σε εδαφικό ημίχωρο γίνεται με χρήση της ΜΠΣ σε συνδυασμό με τη εφαρμογή της μεθόδου των υποκατασκεύων. Χαρακτηριστικά αναφέρονται οι εργασίες των Vaish and Chopra (1974), Chopra et al (1976) και Guitierrez and Chopra (1978). Οι Iguchi and Luco (1981) συνδυάζουν την ΜΠΣ για την διακριτοποίηση της θεμελίωσης με αναλυτικές λύσεις βασισμένες στην επίλυση του προβλήματος του Lamb (194), για την δυσκαμψία του εδαφικού υλικού, μελετώντας την επίδραση της ευκαμψίας του θεμελίου πάνω στην δυναμική αλληλεπίδραση εδάφους θεμελίου. Οι Whittaker and Christiano (1982 α,β) χρησιμοποιώντας την ΜΣΣ σε συνδυασμό με την ΜΠΣ, παρουσιάζουν, στο πεδίο της συχνότητας, εκτενή αποτελέσματα απόκρισης επιφανειακών τριδιάστατων εύκαμπτων πλακών που εδράζονται σε ελαστικό ημίχωρο, και διεγείρονται από εξωτερικά φορτία ή σεισμικά κύματα. Οι Riggs and Waas (1985), χρησιμοποιούν μια ημί-αναλυτική διαδικασία που περιλαμβάνει διακριτοποίηση του εδάφους στην κατακόρυφη έννοια και τον υπολογισμό των δυναμικών φορτίσεων και μετακινήσεων στην επιφάνεια του εδάφους εξ αιτίας της δυναμικής φόρτισης ενός κυκλικού εύκαμπτου θεμελίου με δύσκαμπτο πυρήνα. Οι Karabalis and Beskos (1985), υπολογίζουν την απόκριση τρισδιάστατων εύκαμπτων επιφανειακών θεμελίων με εφαρμογή της ΜΣΣ στο πεδίου του χρόνου για την διακριτοποίηση του εδάφους και της ΜΠΣ για το τρισδιάστατο θεμέλιο. Χρησιμοποιώντας την ίδια μεθοδολογία οι Spyrakos and Beskos (1986) μελετούν εύκαμπτες δισδιάστατες θεμελιολωρίδες. Οι Gaitanaros and Karabalis (1988), χρησιμοποιούν συνδυασμό της ΜΣΣ και ΜΠΣ για την δυναμική ανάλυση τρισδιάστατων εύκαμπτων εγκιβωτισμένων θεμελιώσεων επί ελαστικού ημιχώρου, στο πεδίο της συχνότητας. Οι Ahmad and Banerjee (1988) χρησιμοποιούν αποκλειστικά την ΜΣΣ για την για τον υπολογισμό της απόκρισης εύκαμπτου θεμελίου επί ελαστικού ημιχώρου στο πεδίο του χρόνου. Οι Estorff and Kausel, (1989), χρησιμοποιούν συνδυασμό της ΜΠΣ και της ΜΣΣ για τον υπολογισμό της δυναμικής απόκρισης εύκαμπτων κατασκευών επί εύκαμπτων θεμελίων, στο πεδίο του χρόνου. Ίσως η πλέον διαδεδομένη μέθοδος για την επίλυση του συνολικού συστήματος εδάφους-κατασκευής είναι η μέθοδος πεπερασμένων (ΜΠΣ), η οποία εφαρμόζεται με

27 11 επιτυχία σε γραμμικά ελαστικά συστήματα, καθώς είναι δυνατή η προσομοίωση προβλημάτων με περίπλοκη γεωμετρία και συνδυασμούς διαφόρων ειδών θεμελίωσης, παρέχοντας λύσεις μέσω βηματικής ολοκλήρωσης ή μετασχηματισμού Fourier. Χαρακτηριστικές είναι οι εργασίες των Lysmer et al (1974, 1975 και 1981). Επίσης με την ΜΠΣ είναι δυνατή η επίλυση συστημάτων εδάφους-κατασκευής συνολικά ως ένα χωρίο, όπως περιγράφεται, από τους Clough and Penzien (1975). Η χρήση της ΜΠΣ στην επίλυση της αλληλεπίδρασης εδάφους-κατασκευής, διαφέρει από άλλες εφαρμογές της μεθόδου στην στατική και δυναμική ανάλυση των κατασκευών, διότι ενώ το έδαφος θεμελίωσης εκτείνεται σε άπειρο μήκος κατά την οριζόντια διεύθυνση (και σε μερικές περιπτώσεις και την κατακόρυφη), αντιπροσωπεύεται με ένα προσομοίωμα πεπερασμένων διαστάσεων. Αυτό το προσομοίωμα «παγιδεύει» την ενέργεια του συστήματος εντός των ορίων του και αλλοιώνει τα δυναμικά χαρακτηριστικά του οδηγώντας σε λανθασμένα αποτελέσματα. Για να αποφευχθεί αυτό το φαινόμενο απαιτείται η χρήση είτε απομακρυσμένων στοιχειωδών συνόρων είτε ειδικών απορροφητικών ή μη-επιτρεπόντων την ανάκλαση κυμάτων συνόρων. Τα πιο απλά και συνηθισμένα στην πράξη ειδικά τεχνητά σύνορα είναι τα ιξώδη σύνορα των Lysmer and Kuhlemeyer (1969).Οι Lysmer and Waas (1972), Kausel (1974), και Tassoulas et al (1981) ανέπτυξαν τα συμβατά σύνορα (ή σύνορα οριζοντίου κύματος) για την απορρόφηση κυρίως επιφανειακών κυμάτων Love and Reyleigh. Τα σύνορα αυτά κατασκευάζονται με την βοήθεια ενός συνοριακού μητρώου δυναμικής δυσκαμψίας, το οποίο είναι συνάρτηση της συχνότητας και αποκτάται από τη λύση ενός προβλήματος διάδοσης κυμάτων σε ένα ελαστικό στρωσιγενές εδαφικό χωρίο. Τα συμβατά σύνορα είναι τα ακριβέστερα σύνορα απορρόφησης, ακόμα και όταν τοποθετούνται στα δύο άκρα της θεμελίωσης. Ένας άλλος τρόπος αντιμετώπισης των ανεπιθύμητων κυματικών ανακλάσεων είναι η χρήση των στοιχείων απείρου που κατασκευάζονται με βάση συναρτήσεις σχήματος (Chow and Smith 1982, Zhao and Valliappan 1993). Περισσότερες πληροφορίες για εμβάθυνση στο θέμα της δυναμικής αλληλεπίδρασης εδάφους-κατασκευής μπορούν να αναζητηθούν σε διάφορους συγγραφείς όπως οι Seed et al (1975, 1977), Veletsos (1977, 1993), Roesset and Tassoulas (1982), Gazetas (1983), Beskos et al (1984), Karabalis (1988), Gazetas (1991), Novak (1991) Beskos (1993), Antes and Spyrakos (1997), Wolf (1985, 1994,1998) κ.α. Στην παρούσα εργασία, πραγματοποιείται η μελέτη του φαινομένου της δυναμικής αλληλεπίδρασης εδάφους-κατασκευής όταν αυτή θεμελιώνεται επί

28 12 εύκαμπτων, επιφανειακών θεμελιώσεων με ή χωρίς πασσάλους με χρήση της ΜΠΣ. Η μέχρι σήμερα μελέτη της αλληλεπίδρασης εδάφους-κατασκευής έχει περιορισθεί κυρίως σε επιφανειακά, άκαμπτα ή εύκαμπτα θεμέλια και επιφανειακές ή βαθιές, άκαμπτες θεμελιώσεις επί πασσάλων. Ο συνδυασμός εύκαμπτων επιφανειακών θεμελιώσεων και πασσαλώσεων, κοινή πρακτική σε πλείστες κατασκευές, δεν έχει μελετηθεί λόγω της περιπλοκότητας του φαινομένου και των σχετικών αβεβαιοτήτων όσον αφορά στα δεδομένα του προβλήματος. Συνεπώς, η κρισιμότητα των διαφόρων παραμέτρων, και των πολλαπλών αλληλεπιδράσεων τους, στη σεισμική απόκριση των κατασκευών παραμένει άγνωστη. Εύκαμπτα επιφανειακά θεμέλια χρησιμοποιούνται συνήθως σε περιπτώσεις έδρασης κατασκευών σε εδάφη χαμηλής αντοχής. Ειδικότερα στις περιπτώσεις πολύ χαλαρών εδαφών επιλέγεται ο συνδυασμός επιφανειακών εύκαμπτων θεμελίων με πασσάλους. Ακόμη όμως και στην περίπτωση ανθεκτικότερων εδαφών έχει επικρατήσει σαν κοινή πρακτική η λύση της εύκαμπτης γενικής κοιτόστρωσης ή των εύκαμπτων θεμελιολωρίδων. Οι λύσεις αυτές εφαρμόζονται τόσο σε κοινά κτιριακά έργα, όσο και σε σημαντικότερα έργα, όπως η θεμελίωση βάθρων γεφυρών. Παρά την ευρεία χρήση αυτού του είδους θεμελίωσης δεν έχει αναπτυχθεί έως σήμερα μια διαδικασία σεισμικού σχεδιασμού τέτοιων συστημάτων εδάφους-κατασκευής. Στις περισσότερες περιπτώσεις μάλιστα δεν λαμβάνεται υπόψη η ευκαμψία της θεμελίωσης και του εδάφους για την δυναμική ανάλυση (θεώρηση πάκτωσης ανωδομής). Στόχος της εργασίας είναι η ανάπτυξη ενός νέου διακριτού προσομοιώματος για τον εδαφικό ημιχώρο, το οποίο θα δύναται να χρησιμοποιηθεί για την δυναμική ανάλυση διαφόρων συστημάτων αλληλεπίδρασης εδάφους κατασκευής. Σε αυτή την μελέτη χρησιμοποιείται αποκλειστικά η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων (ΜΠΣ), για την διακριτοποίηση της κατασκευής, του εδάφους και του συστήματος θεμελίωσης. Ειδικότερα, τα βήματα της ανάλυσης είναι τα εξής: 1. Δημιουργούνται προσομοιώματα του ελαστικά γραμμικού εδαφικού ημιχώρου με τη χρήση του πακέτου πεπερασμένων στοιχείων ειδικού σκοπού ACS SASSI (21), με την βοήθεια των οποίων υπολογίζεται το πεδίο μετακινήσεων του ημιχώρου για διάφορες συχνότητες ανάλυσης. 2. Με γνωστό το πεδίο μετακινήσεων, υπολογίζονται οι δυναμικές δυσκαμψίες του ημιχώρου συναρτήσει της συχνότητας και της απόστασης από το σημείο φόρτισης. 3. Δημιουργείται νέο διακριτό προσομοίωμα που αντικαθιστά το έδαφος, με βάση το μητρώο δυναμικών δυσκαμψιών. Προτείνονται κλειστές εκφράσεις

29 13 για τις δυναμικές δυσκαμψίες, οι οποίες με κατάλληλη αδιαστατοποίηση προκύπτουν ανεξάρτητες της συχνότητας διέγερσης. 4. Το προτεινόμενο διακριτό προσομοίωμα που αναπτύχθηκε προηγουμένως εισάγεται, σε πρόγραμμα πεπερασμένων στοιχείων γενικού σκοπού (ANSYS 25), για την επίλυση του πλήρους συστήματος εδάφους θεμελίωσης κατασκευής.

30 14 2. ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΣΤΙΚΟΥ ΗΜΙΧΩΡΟΥ 2.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιάζεται η δυναμική ανάλυση του γραμμικά ελαστικού εδαφικού ημιχώρου με χρήση της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων (ΜΠΣ). Με την εφαρμογή της ΜΠΣ καθίσταται δυνατή η προσομοίωση περίπλοκων γεωμετριών θεμελίωσης, διαφορετικών ειδών κατασκευών και διαφόρων συνδυασμών συστημάτων θεμελίωσης (γενικές κοιτοστρώσεις, πάσσαλοι, εγκιβωτισμένες θεμελιώσεις). Σκοπός της ανάλυσης είναι ο υπολογισμός της δυναμικής απόκρισης του ημιχώρου στην επιφάνειά του. Ως εργαλείο για την πραγματοποίηση αυτής της ανάλυσης επιλέγεται το πακέτο λογισμικού ειδικού σκοπού ACS SASSI (21). Το πακέτο λογισμικού ACS SASSI είναι βασισμένο στο κώδικα SASSI που πρωτοπαρουσιάστηκε από τους Lysmer et al (1981). Στην ενότητα αυτή παρουσιάζεται το υπό μελέτη πρόβλημα, το οποίο συνίσταται στον προσδιορισμό της δυναμικής απόκρισης της επιφάνειας ενός γραμμικά ελαστικού εδαφικού ημιχώρου, εξ αιτίας της φόρτισης της επιφάνειας του με αρμονικά φορτία και αρμονικές ροπές. Το υπό μελέτη σύστημα παρουσιάζεται στο Σχ Σχήμα 2.1 Διακριτοποίηση και φόρτιση επιφάνειας εδαφικού ημιχώρου.

31 15 Όπως φαίνεται στο Σχ. 2.1, η επιφάνεια του εδαφικού ημιχώρου διακριτοποιείται με ένα πυκνό δίκτυο επιφανειακών κόμβων. Οι κόμβοι αυτοί φορτίζονται διαδοχικά με φορτία που περιγράφονται από τις παρακάτω σχέσεις: Q P( ) M ( ) (2.1) όπου i t P( ) p e (2.2) i t M ( ) m e (2.3) Ο στόχος της ανάλυσης είναι ο υπολογισμός της απόκρισης κάθε κόμβου της επιφάνειας του εδαφικού ημιχώρου, δηλαδή ο καθορισμός του μητρώου ευκαμψίας {U H (ω)}, όπως φαίνεται στο Σχ Σχήμα 2.2 Καθορισμός του πεδίου μετακινήσεων (α) στην επιφάνεια του ημιχώρου και (β) στην επιφάνεια του ημιχώρου με μεμονωμένο πάσσαλο.

32 16 Η ανάλυση αυτή γίνεται για την περίπτωση του εδαφικού ημιχώρου (Σχ. 2.2 α) και για την περίπτωση του εδαφικού ημιχώρου σε συνδυασμό με μεμονωμένο πάσσαλο (Σχ. 2.2 β). Αυτή η διαδικασία είναι απαραίτητη για να υπολογισθεί εν συνεχεία το μητρώο δυναμικής δυσκαμψίας στην επιφάνεια του εδαφικού ημιχώρου. 2.2 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ - ΠΑΡΑΔΟΧΕΣ Η διακριτοποίηση του ημιχώρου και ο υπολογισμός της απόκρισής του υλοποιείται με το πακέτο λογισμικού ACS SASSI (21). Το λογισμικό αυτό χρησιμοποιεί την ΜΠΣ για την επίλυση προβλημάτων δυναμικής αλληλεπίδρασης εδάφους κατασκευής στο πεδίο των συχνοτήτων. Ειδικότερα η ΜΠΣ εφαρμόζεται σε συνδυασμό με την μέθοδο των υποκατασκευών. Η μέθοδος των υποκατασκευών είναι ιδανική για την ανάλυση της αλληλεπίδρασης εδάφους κατασκευής στην περίπτωση που όλα τα κομμάτια του συστήματος εδάφους θεμελίωσης κατασκευής μπορεί να θεωρηθεί πως συμπεριφέρονται ελαστικά. Σε αυτή την προσέγγιση το πρόβλημα μπορεί να διαιρεθεί σε μια σειρά από απλούστερα υπό προβλήματα, τα οποία επιλύονται ξεχωριστά. Το τελικό αποτέλεσμα προκύπτει με εφαρμογή της αρχής της υπέρθεσης των επιμέρους λύσεων. Οι διάφορες τεχνικές για την εφαρμογή της μεθόδου των υποκατασκευών χωρίζονται με βάση τον τρόπο με τον οποίο λαμβάνεται υπόψη η αλληλεπίδραση στην διεπιφάνεια εδάφους θεμελίωσης. Για περισσότερες πληροφορίες ο αναγνώστης παραπέμπεται στις εργασίες των Lysmer 1978 και Chin and Chih-Cheng, Στο πακέτο λογισμικού ACS SASSI (21) είναι διαθέσιμες οι τεχνικές του εύκαμπτου όγκου και της εύκαμπτης διεπιφάνειας. Για τους σκοπούς της παρούσας εργασίας, χρησιμοποιήθηκε η τεχνική του εύκαμπτου όγκου (flexible volume), διότι είναι η αμεσότερη καθώς δεν απαιτείται ξεχωριστή ανάλυση διάδοσης κυμάτων και ο υπολογισμός των δυναμικών δυσκαμψιών γίνεται σε ένα βήμα. Η τεχνική εύκαμπτου όγκου χωρίζει το συνολικό σύστημα όπως φαίνεται στο Σχ. 2.3, σε τρείς υποκατασκευές (α) στο ελεύθερο πεδίο, (β) στον όγκο του «διαταραγμένου» εδάφους (excavated soil volume) και (γ) στην υπερκατασκευή. Στην τεχνική αυτή γίνεται η θεώρηση ότι το ελεύθερο πεδίο και ο όγκος του «διαταραγμένου» εδάφους, αλληλεπιδρούν τόσο στο σύνορό του όσο και στο εσωτερικό του. Η αλληλεπίδραση αυτή προστίθεται στην αλληλεπίδραση μεταξύ των υποκατασκευών στο σύνορο με την θεμελίωση της κατασκευής.

33 Σχήμα 2.3 Διάσπαση συνολικού συστήματος σε υποκατασκευές με την μέθοδο του εύκαμπτου όγκου (ACS SASSI 21) 17

34 18 Οι εξισώσεις κίνησης για το σύστημα του Σχ. 2.3 μπορούν να γραφούν σε μητρωϊκή μορφή ως M U KU Q (2.4) όπου τα [Μ] το μητρώο μάζας του συστήματος και [Κ] το μιγαδικό μητρώο δυσκαμψίας. {Q} είναι το διάνυσμα των εξωτερικά επιβαλλόμενων δυναμικών φορτίων και {U} το μιγαδικό διάνυσμα των επικόμβιων μετακινήσεων του συνολικού συστήματος. Για εξωτερική αρμονική φόρτιση με συχνότητα ω, η εξ. (2.4) γράφεται ως εξής: DU Q (2.5) όπου [D] είναι το μιγαδικό μητρώο δυσκαμψίας του συνολικού συστήματος και δίνεται από D K 2 M (2.6) Η εξίσωση κίνησης μπορεί να διαχωριστεί στην μορφή (ACS SASSI 21) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Dii Dii X ii Diw X iw D is Ui X iiu X i iwu w ( ) ( ) ( ) ( ) Dwi X wi Dww X ww U w X wiu X i wwu w ( ) ( ) Dis D ss U s (2.7) όπου οι εκθέτες (β), (γ) και (δ) αναφέρονται στις τρεις υποκατασκευές του Σχ. 2.3, ενώ οι δείκτες i, w και s αναφέρονται στους κόμβους των υποκατασκευών αυτών όπως σημειώνονται στο Σχ Το μιγαδικό μητρώο δυσκαμψίας στο αριστερό τμήμα της εξίσωσης είναι συνάρτηση της συχνότητας διέγερσης και υποδεικνύει πως η δυσκαμψία και η μάζα του «διαταραγμένου» εδάφους διαχωρίζεται από τη δυσκαμψία και τη μάζα της κατασκευής και του ελεύθερου πεδίου. Τα μητρώα δυναμικής δυσκαμψίας [Κ f ]και μετακίνησης του ελεύθερου πεδίου { U ( ) f } περιέχονται στην εξ. (2.7) και δίνονται ως Xii Xiw K f ( ) Xwi X ww U ( ) f U U ( ) i ( ) w (2.8) (2.9)

35 19 Ο ελαστικός εδαφικός ημιχώρος διακριτοποιείται στην επιφάνειά του, όπως φαίνεται στο Σχ Θα πρέπει σε αυτό το σημείο να σημειωθεί πως για να λειτουργήσει ο κώδικας ACS SASSI, θα πρέπει να ορίζονται όλες οι υποκατασκευές του Σχ Αυτό σημαίνει πως στην επιφάνεια του εδαφικού ημιχώρου θα πρέπει να υπάρχει μια υπερκατασκευή. Η υπερκατασκευή αυτή επιλέγεται για τις ανάγκες της παρούσας ανάλυσης να είναι ένα επιφανειακό θεμέλιο με μηδενική δυσκαμψία, μάζα και απόσβεση. Το θεμέλιο αυτό δημιουργείται με την βοήθεια επίπεδων τετράκομβων στοιχείων πλάκας. Οι κόμβοι των στοιχείων αυτών χρησιμοποιούνται για την δημιουργία του δικτύου των επιφανειακών κόμβων (κόμβοι αλληλεπίδρασης), στους οποίους υπολογίζεται το πεδίο μετακινήσεων. Τα στοιχεία αυτά δεν έχουν δυσκαμψία και αδράνεια (πρακτικά μηδενικό πάχος, μέτρο ελαστικότητας και μηδενική πυκνότητα) ώστε να μην επηρεάζουν την απόκριση του ημιχώρου. Με τη χρήση αυτών των στοιχείων είναι δυνατή η εύρεση της απόκρισης οποιουδήποτε σημείου j εξ αιτίας της φόρτισης οποιουδήποτε σημείου i. Η απόσταση s από κόμβο σε κόμβο, επιλέγεται μικρότερη ή ίση της τιμής λ min /8, όπου λ min είναι το μήκος κύματος για την μέγιστη συχνότητα της εξωτερικής διέγερσης. Με αυτό τον τρόπο εξασφαλίζεται ότι δεν θα χαθεί κάποια έξαρση της απόκρισης καθώς υπάρχουν αρκετά σημεία σε κάθε μήκος κύματος. Στην περίπτωση της ύπαρξης μεμονωμένου πασσάλου, προστίθενται στο προσομοίωμα του ημιχώρου, γραμμικά πεπερασμένα στοιχεία δοκού, τα οποία ξεκινούν από την επιφάνεια του ημιχώρου και φθάνουν σε βάθος μεγαλύτερο από το ενεργό μήκος του πασσάλου (L > 1d). Θεωρείται απλή σύνδεση της κεφαλής του πασσάλου και της επιφάνειας του ημιχώρου χωρίς καμία δέσμευση στην κίνηση της κεφαλής του πασσάλου. Οι αναλύσεις γίνονται για μεγάλες επιφανειακές διαστάσεις (L s >1m) και Σχήμα 2.4 Διακριτοποίηση της επιφάνειας του εδαφικού ημιχώρου

36 2 Σχήμα 2.5 Κατακόρυφη διακριτοποίηση εδαφικού ημιχώρου (ACS SASSI 21) για εύρη συχνοτήτων που αντιπροσωπεύουν σεισμικές διεγέρσεις (.5< f <2 Ηz). Η διακριτοποίηση του εδαφικού ημιχώρου στην κατακόρυφη διεύθυνση έγινε όπως φαίνεται στο Σχ. 2.5, με χρήση οριζοντίων στρωμάτων σταθερού πάχους. Κάθε τέτοιο στρώμα έχει μέγιστο πάχος μικρότερο ή ίσο της τιμής λ min /5. Η προσομοίωση του οριζόντιου συνόρου στην κατακόρυφη διεύθυνση πραγματοποιείται με προσθήκη στρωμάτων μεταβλητού πάχους τα οποία καταλήγουν σε αποσβεστήρες που παίζουν τον ρόλο ιξωδο-ελαστικών απορροφητικών συνόρων. Το συνολικό βάθος διακριτοποίησης, το οποίο εξαρτάται από τις διαστάσεις της επιφάνειας που διακριτοποιείται, επιλέγεται να είναι πάντοτε μεγαλύτερο από το δεκαπλάσιο της διάστασης της επιφάνειας του διακριτοποιημένου ημιχώρου (z > 1L s ).

37 21 Η χρήση απορροφητικών συνόρων είναι απαραίτητη στην εφαρμογή της ΜΠΣ, όπως αναφέρθηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο, διότι ενώ το έδαφος θεμελίωσης εκτείνεται σε άπειρο μήκος κατά την οριζόντια διεύθυνση (και την κατακόρυφη, στην προκειμένη περίπτωση του ημιχώρου), αντιπροσωπεύεται με ένα προσομοίωμα πεπερασμένων διαστάσεων. Αυτό το προσομοίωμα «παγιδεύει» την ενέργεια του συστήματος εντός των ορίων του και αλλοιώνει τα δυναμικά χαρακτηριστικά του οδηγώντας σε λανθασμένα αποτελέσματα. Για να αποφευχθεί αυτό το φαινόμενο, εισάγονται ειδικά απορροφητικά σύνορα ώστε να συμπεριληφθεί η ακτινοβολία ενέργειας στην περιοχή του εδαφικού μέσου που δεν περιέχεται στο προσομοίωμα (άπειρο). Στον κώδικα ACS SASSI (21), πέρα από τα απορροφητικά σύνορα που τοποθετούνται στην βάση του προσομοιώματος (Lysmer and Kuhlemeyer 1969), στα άκρα των οριζοντίων στρωμάτων σταθερού πάχους τοποθετούνται ειδικά απορροφητικά σύνορα που αναπτύχθηκαν από τον Waas (1972). Τα επιπλέον εδαφικά στρώματα μεταβλητού πάχους χρησιμοποιούνται για τον περαιτέρω περιορισμό του φαινομένου της «παγίδευσης» ενέργειας στο προσομοίωμα του εδαφικού υλικού, αυξάνοντας την ακρίβεια της μεθόδου. Το συνολικό βάθος αυτών των στρωμάτων δίνεται από την σχέση: H V 1.5 s (2.1) f όπου f είναι η συχνότητα της εξωτερικής διέγερσης σε Hz, και V s είναι η ταχύτητα διατμητικού κύματος του ημιχώρου. Η επιλογή αυτής της σχέσης βασίζεται στο γεγονός ότι τα κύματα Rayleigh εξασθενούν στον ημιχώρου και ουσιαστικά εξαφανίζονται για βάθη μεγαλύτερα του ενός μήκους κύματος λ. Το πάχος του j στρώματος καθορίζεται από το πάχος του πρώτου στρώματος μεταβλητού πάχους h με βάση τη σχέση hj (2.11) j a h Όπου α είναι μια σταθερά που καθορίζεται από τον συνολικό αριθμό επιπλέον εδαφικών στρωμάτων μεταβλητού πάχους, n και το συνολικό βάθος Η, ως εξής H h n ( a 1) a1 (2.12) Συνήθως α>1. για την μέγιστη συχνότητα ανάλυσης (ACS SASSI 21). Τα συνολικά βήματα υπολογισμού μπορούν να συνοψιστούν ως ακολούθως (ACS SASSI 21)

38 22 1. Επίλυση του ελεύθερου πεδίου και εύρεση του μητρώου { U ( ) f } 2. Υπολογισμός της δυναμικής δυσκαμψίας [Κ f ] που αντιστοιχεί στου κόμβους αλληλεπίδρασης του ελεύθερου πεδίου 3. Σχηματισμός του μιγαδικού μητρώου δυσκαμψίας του συστήματος 4. Επίλυση του συστήματος των γραμμικών εξισώσεων που δίνονται από την εξ. (2.7). 5. Προσδιορισμός της δυναμικής απόκρισης των κόμβων αλληλεπίδρασης U ( ) H 6. Προσδιορισμός του μητρώου δυναμικής δυσκαμψίας στην επιφάνεια του εδαφικού ημιχώρου [ ( )]. H

39 23 3. ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑΤΟΣ 3.1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΚΡΙΤΟ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑ ΕΔΑΦΙΚΟΥ ΗΜΙΧΩΡΟΥ Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ανάπτυξη ενός νέου διακριτού προσομοιώματος του εδαφικού ημιχώρου που βασίζεται στον υπολογισμό του μητρώου δυναμικών δυσκαμψιών στην επιφάνεια του εδαφικού ημιχώρου. Στόχος αυτής της διαδικασίας είναι η αντικατάσταση του εδαφικού ημιχώρου από ένα απλό και συνάμα ακριβές προσομοίωμα, το οποίο να μπορεί να χρησιμοποιηθεί με ευκολία σε ευρέως διαδομένα προγράμματα ανάλυσης πεπερασμένων στοιχείων. Όπως αναφέρθηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο ο υπολογισμός των δυναμικών δυσκαμψιών πραγματοποιείται με χρήση της ΜΠΣ, η οποία υλοποιείται από το πακέτο λογισμικού ACS SASSI (21). Ειδικότερα, κάθε κόμβος i της επιφάνειας του εδαφικού ημιχώρου φορτίζεται με μοναδιαίο αρμονικό φορτίο, το οποίο εφαρμόζεται σε όλους τους βαθμούς ελευθερίας, όπως φαίνεται στο Σχ Η δυναμική απόκριση του κόμβου i, καθώς και όλων των κόμβων της επιφάνειας δημιουργούν το μητρώο ευκαμψίας {U H }. Επειδή η φόρτιση που εφαρμόζεται έχει μοναδιαίο εύρος, η αντιστροφή του μητρώου ευκαμψίας οδηγεί σε άμεσο υπολογισμό του μητρώου δυναμικής δυσκαμψίας [Κ Η ], με βάση τη σχέση K U 1 ( ) ( ) H (3.1) Το μητρώο δυναμικής δυσκαμψίας είναι ένα μιγαδικό μητρώο, το οποίο είναι συνάρτηση της συχνότητας και μπορεί να γραφεί ως ευκάμπτων K ( ) ReK Im K ή εναλλακτικά (3.2) H H H K ( ) ic (3.3) H I I όπου τα μητρώα [Κ Ι ] και [C I ] αντιστοιχούν στην δυσκαμψία και απόσβεση (γεωμετρική) του εδαφικού ημιχώρου. Τα μητρώα αυτά μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως βάση για την δημιουργία ενός προσομοιώματος του εδαφικού ημιχώρου το οποίο θα αποτελείται από ισοδύναμα ελατήρια και αποσβεστήρες, όπως φαίνεται στο Σχ Θεωρώντας ότι το δίκτυο διακριτοποίησης της επιφάνειας του εδαφικού ημιχώρου αποτελείται από n κόμβους τα μητρώα [Κ Ι ] και [C I ] μπορούν να γραφούν ως

40 24 Σχήμα 3.1 Εφαρμογή μοναδιαίου δυναμικού φορτίου σε όλους τους βαθμούς ελευθερίας τυχαίου κόμβου στην επιφάνεια του εδαφικού ημιχώρου Σχήμα 3.2 Διακριτό προσομοίωμα εδαφικού ημιχώρου

41 25 K I K1 K12 K13... K1n K K... K n... K i K ij... K j.... K n nxn (3.4) C I C1 C12 C13... C1n C C... C n... C i C ij... C j.... C n nxn (3.5) Είναι προφανές από τις εξ. (3.4) και (3.5), ότι τα μητρώα [Κ Ι ] και [C I ] εκφράζουν την αλληλεπίδραση μεταξύ όλων των κόμβων της επιφάνειας του ημιχώρου. Ειδικότερα, τα υπό-μητρώα [Κ i ] και [C i ] εκφράζουν την απόκριση του κόμβου i σε μοναδιαία δυναμική φόρτισή του {Q} (Σχ. 3.1), και δίνονται σε σχέση με τους βαθμούς ελευθερίας που συνδέουν ως K i Kxx Kx y uxi Kyy Ky x uyi Kzz u zi K x x xi K yi y y (3.6)

42 26 C i Cxx Cx y uxi Cyy Cy x uyi Czz u zi C x x xi C yi y y (3.7) Τα υπό-μητρώα [Κ ij ] και [C ij ] εκφράζουν την απόκριση του κόμβου j λόγω της μοναδιαίας δυναμικής φόρτισης του κόμβου i (Σχ. 3.1) ή με άλλα λόγια εκφράζουν την διασύνδεση (σύζευξη) μέσω του εδαφικού ημιχώρου των κόμβων i και j, και δίνονται σε σχέση με τους βαθμούς ελευθερίας που συνδέουν ως K K K K K xx xy xz xx xy xj K yy K yz K y K x yy uyj K K ij zz K y K x y u y zj K K x x x y K y y u xj yj (3.8) C C C C C xx xy xz xx xy xj Cyy Cyz Cy C x yy uyj C C ij zz Cy C x y u y zj C C x x x y C y y u xj yj (3.9) Από τις εξ. (3.6) έως (3.9) προκύπτει πως η i γραμμή των μητρώων [Κ Ι ] και [C I ] εκφράζει την απόκριση όλων των κόμβων της επιφάνειας του εδαφικού ημιχώρου, λόγω φόρτισης του κόμβου i, στον αντίστοιχο βαθμό ελευθερίας. Τα μοναδιαία δυναμικά φορτία που ασκούνται στους μεταφορικούς βαθμούς ελευθερίας u x, u y, u z και οι δυναμικές ροπές στους στροφικούς βαθμούς ελευθερίας θ x, θ y ορίζονται από fx 1e fy 1e { Q} fz 1e mx 1e my 1e it it it it it (3.1) Θα πρέπει σε αυτό το σημείο να τονιστεί πως η εφαρμογή μοναδιαίας αρμονικής στρεπτικής ροπής στους κόμβους του εδαφικού ημιχώρου, έδωσε μηδενικές στρεπτικές

43 27 μετακινήσεις στην επιφάνεια του ημιχώρου. Το γεγονός αυτό οφείλεται στην έλλειψη της δυνατότητας «μεταφοράς» του στρεπτικού φορτίου μέσω των διαθέσιμων πεπερασμένων στοιχείων του κώδικα ACS SASSI (21). Στόχος της παρούσας εργασίας είναι η δημιουργία ενός νέου διακριτού προσομοιώματος για τον εδαφικό ημιχώρο, το οποίο να ανταποκρίνεται στις εξής απαιτήσεις: 1. να δίνει ακριβή αποτελέσματα 2. να είναι όσο το δυνατόν πιο εύχρηστο, και 3. να μπορεί να εφαρμοστεί κατά το δυνατόν χωρίς περιορισμούς σε διάφορα συστήματα εδάφους κατασκευής. Η πρώτη απαίτηση καλύπτεται με όλες τις τεχνικές που παρουσιάστηκαν στο δεύτερο κεφάλαιο της παρούσας εργασίας για την εφαρμογή της ΜΠΣ. Η δεύτερη και τρίτη απαίτηση, προϋποθέτει την κατά το δυνατό γενική και απλή έκφραση των δυναμικών δυσκαμψιών του εδαφικού ημιχώρου για τον κάθε βαθμό ελευθερίας. Για να επιτευχθεί αυτός ο στόχος θα πρέπει όλες οι παράμετροι που επηρεάζουν το πρόβλημα να συμπεριληφθούν στο προσομοίωμα με χρήση όσο το δυνατόν λιγότερων μεταβλητών. Οι κυριότερες παράμετροι που επηρεάζουν την δυναμική απόκριση του εδαφικού ημιχώρου είναι (α) οι μηχανικές ιδιότητες του ημιχώρου, όπως η στιφρότητά του που εκφράζεται από την ταχύτητα διάδοσης διατμητικού κύματος Vs ή ισοδύναμα από το μέτρο διάτμησης G s, και τον λόγο Poisson ν s, (β) η απόσταση R από τον κόμβο φόρτισης και (γ) η συχνότητα της εξωτερικής διέγερσης. Η επιρροή αυτών των παραμέτρων είναι εμφανής στα Σχ. 3.5 έως 14, όπου παρατίθενται ενδεικτικά αποτελέσματα για τις μετακινήσεις και τις δυναμικές δυσκαμψίες του εδαφικού ημιχώρου σαν συνάρτηση της αδιάστατης συχνότητας ω ο η οποία ορίζεται από τη σχέση R (3.11) V s όπου ω η κυκλική συχνότητα της εξωτερικής διέγερσης. Περισσότερα αποτελέσματα για τον εδαφικό ημιχώρο παρατίθενται στο Παράρτημα Α, της παρούσας εργασίας. Η ανάπτυξη του προτεινόμενου διακριτού προσομοιώματος εκμεταλλεύεται την κυκλική συμμετρία που παρουσιάζει το πρόβλημα του υπολογισμού της δυναμικής απόκρισης της επιφάνειας του εδαφικού ημιχώρου, και το ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων χρησιμοποιείται για την κατασκευή του συνολικού μητρώου δυναμικής δυσκαμψίας του εδαφικού ημιχώρου όπως φαίνεται στο Σχ Με γνωστή

44 28 την απόκριση του εδαφικού ημιχώρου, λόγω φόρτισης του i κόμβου στην επιφάνεια του ημιχώρου, είναι γνωστά τα στοιχεία της i γραμμής των μητρώων [Κ Ι ] και [C I ]. Τα υπόλοιπα στοιχεία των μητρώων [Κ Ι ] και [C I ], μπορούν να προκύψουν φορτίζοντας όλους τους υπόλοιπους κόμβους της επιφάνειας του ημιχώρου με τον ίδιο τρόπο που φορτίζεται ο κόμβος i. Εναλλακτικά, λαμβάνοντας υπόψη την συμμετρία που παρουσιάζει το πρόβλημα, τα υπόλοιπα στοιχεία των μητρώων [Κ Ι ] και [C I ] δύναται να προκύψουν από τα στοιχεία της γραμμής i, με κατάλληλες μεταθέσεις των στοιχείων της. Οι μεταθέσεις αυτές, ουσιαστικά εκφράζουν την μεταφορά της γνωστής απόκρισης του ημιχώρου λόγω φόρτισης του κόμβου i, στις συντεταγμένες ενός τυχαίου κόμβου j. Περαιτέρω απλοποίηση της διαδικασίας επιτυγχάνεται με κατάλληλη επιλογή κόμβων της επιφάνειας του ημιχώρου, που απέχουν απόσταση R από τον εκάστοτε κόμβο φόρτισης. Ειδικότερα όπως φαίνεται στο Σχ. 3.3, για δύο κόμβους i, j που απέχουν απόσταση R μεταξύ τους, τα στοιχεία των μητρώων [Κ Ι ] και [C I ], λόγω φόρτισης του κόμβου i, μπορούν να εκφραστούν σαν συνάρτηση αυτής της απόστασης. Για απόσταση R = υπολογίζονται τα στοιχεία που αντιστοιχούν στον κόμβο φόρτισης i (διαγώνιο στοιχείο i γραμμής των [Κ Ι ] και [C I ], για κάθε βαθμό ελευθερίας), ενώ για αποστάσεις R, υπολογίζονται τα στοιχεία που αντιστοιχούν σε όλους τους κόμβους που βρίσκονται μεταξύ των κόμβων i, j και φυσικά και του κόμβου j (μη διαγώνια στοιχεία i γραμμής των [Κ Ι ] και [C I ], για κάθε βαθμό ελευθερίας). Επομένως, τα υπόλοιπα στοιχεία των μητρώων [Κ Ι ] και [C I ], προκύπτουν άμεσα από τα στοιχεία που αντιστοιχούν σε κόμβους που βρίσκονται σε απόσταση R από τον εκάστοτε κόμβο φόρτισης, λαμβάνοντας υπόψη την μεταφορά και απλή περιστροφή του «τοπικού» συστήματος συντεταγμένων (x y z ) σε κάθε κόμβο φόρτισης όπως φαίνεται στο Σχ Από τα αποτελέσματα που παρουσιάζονται στα Σχ. 3.4 έως 3.7 παρατηρούμε όπως ήταν αναμενόμενο, πως η απόκριση της επιφάνειας του εδαφικού ημιχώρου εξαρτάται κυρίως από τις μηχανικές ιδιότητες του ημιχώρου (Σχ. 3.4), και την θέση του κάθε κόμβου σε σχέση με τον κόμβο που εφαρμόζεται η φόρτιση (Σχ. 3.5, έως 3.7). Σε αντίθεση με τα παραπάνω η συχνότητα της εξωτερικής διέγερσης επηρεάζει λιγότερο την απόκριση σε σχέση με τη θέση κάθε κόμβου. Ειδικότερα η απόκριση του κόμβου φόρτισης και των γειτονικών του κόμβων είναι πρακτικά ανεξάρτητη της συχνότητας, ενώ οι πλέον απομακρυσμένοι κόμβοι παρουσιάζουν μεγαλύτερη εξάρτηση από την συχνότητα, ιδιαίτερα για μεγαλύτερες τιμές του ω ο (περίπτωση της οριζόντιας μετακίνησης Σχ. 3.6)

45 29 Σχήμα 3.3 Σύστημα συντεταγμένων για την κατασκευή του μητρώου δυναμικής δυσκαμψίας του εδαφικού ημιχώρου Με χρήση της μεθοδολογίας που αναπτύχθηκε στο δεύτερο κεφάλαιο της παρούσας εργασίας και εφαρμογή των εξ. (3.1) έως (3.3), γίνεται ο υπολογισμός των δυναμικών δυσκαμψιών στην επιφάνεια του ημιχώρου, οι οποίες παρουσιάζονται στα Σχ. 3.8 έως Όπως στην περίπτωση των μετακινήσεων παρατηρείται ότι, οι δυναμικές δυσκαμψίες κοντά στο σημείο φόρτισης είναι πρακτικά ανεξάρτητες της συχνότητας διέγερσης, κάτι που αλλάζει όσο απομακρυνόμαστε από αυτό. Ειδικότερα στα Σχ. 3.8 και 3.9, παρατηρούμε πως τόσο το πραγματικό όσο και το φανταστικό μέρος της κατακόρυφης δυναμικής δυσκαμψίας (Κ zz, C zz ), επηρεάζονται από τη συχνότητα για αποστάσεις άνω των 1m από το σημείο φόρτισης. Στα Σχ. 3.1 και 3.11, παρατηρούμε πως η εξάρτηση της οριζόντιας δυναμικής δυσκαμψίας από την συχνότητα είναι αισθητά μικρότερη από αυτή της κατακόρυφης δυναμικής δυσκαμψίας. Αντίστοιχη συμπεριφορά παρατηρείται για το πραγματικό μέρος της λικνιστικής δυσκαμψίας (Σχ.3.12), ενώ αντίθετα το φανταστικό μέρος της παρουσιάζει την σημαντική εξάρτηση από την συχνότητα διέγερσης (Σχ. 3.13). Τα αποτελέσματα των Σχ. (3.5) έως (3.13) αφορούν μια τιμή της ταχύτητας διάδοσης διατμητικού κύματος

46 u z (m) u z (m) 3 4.x1-8 3.x1-8 2.x1-8 Vs = 1 m/s Vs = 3 m/s Vs = 6 m/s 1.x x x Σχήμα 3.4 Κατακόρυφη απόκριση του σημείου φόρτισης για κατακόρυφη φόρτιση συναρτήσει της συχνότητας διέγερσης για διάφορα εδάφη (ν s =.3, ρ s = 2. t/m 3 ). 2.x x x x1-9 R = m R= 1 m R= 5 m R= 1 m R= 15 m 1.2x1-9 1.x1-9 8.x1-1 6.x1-1 4.x1-1 2.x Σχήμα 3.5 Κατακόρυφη απόκριση στην επιφάνεια του ημιχώρου για κατακόρυφη φόρτιση συναρτήσει της συχνότητας διέγερσης για διάφορες αποστάσεις από το σημείο φόρτισης (ν s =.3, ρ s = 2. t/m 3, Vs = 6 m/s).

47 θ x (rad) u x (m) x1-1 4.x x1-1 3.x x1-1 2.x x1-1 1.x1-1 R = m R= 1 m R= 5 m R= 1 m R= 15 m 5.x Σχήμα 3.6 Οριζόντια απόκριση στην επιφάνεια του ημιχώρου για οριζόντια φόρτιση συναρτήσει της συχνότητας διέγερσης για διάφορες αποστάσεις από το σημείο φόρτισης (ν s =.3, ρ s = 2. t/m 3, Vs = 6 m/s). 4.x x1-9 3.x x1-9 2.x x1-9 1.x1-9 5.x1-1. R = m R= 1 m R= 5 m R= 1 m R= 15 m -5.x Σχήμα 3.7 Λικνιστική απόκριση στην επιφάνεια του ημιχώρου για στρεπτική φόρτιση συναρτήσει της συχνότητας διέγερσης για διάφορες αποστάσεις από το σημείο φόρτισης (ν s =.3, ρ s = 2. t/m 3, Vs = 6 m/s).

48 ωc z (N /m) K zz (N/m) 32 9x1 9 8x1 9 7x1 9 6x1 9 R = m R= 1 m R= 5 m R= 1 m R= 15 m 5x1 9 4x1 9 3x1 9 2x1 9 1x Σχήμα 3.8 Πραγματικό μέρος κατακόρυφης δυναμικής δυσκαμψίας στην επιφάνεια του ημιχώρου για κατακόρυφη φόρτιση συναρτήσει της συχνότητας διέγερσης για διάφορες αποστάσεις από το σημείο φόρτισης (ν s =.3, ρ s = 2. t/m 3, Vs = 6 m/s). 3.x x1 9 2.x1 9 R = m R= 1 m R= 5 m R= 1 m R= 15 m 1.5x1 9 1.x1 9 5.x Σχήμα 3. 9 Φανταστικό μέρος κατακόρυφης δυναμικής δυσκαμψίας στην επιφάνεια του ημιχώρου για κατακόρυφη φόρτιση συναρτήσει της συχνότητας διέγερσης για διάφορες αποστάσεις από το σημείο φόρτισης (ν s =.3, ρ s = 2. t/m 3, Vs = 6 m/s).

49 ωc xx (N/m) K xx (N/m) x1 9 4.x x1 9 R = m R= 1 m R= 5 m R= 1 m R= 15 m 3.x x1 9 2.x Σχήμα 3.1 Πραγματικό μέρος οριζόντιας δυναμικής δυσκαμψίας στην επιφάνεια του ημιχώρου για οριζόντια φόρτιση συναρτήσει της συχνότητας διέγερσης για διάφορες αποστάσεις από το σημείο φόρτισης (ν s =.3, ρ s = 2. t/m 3, Vs = 6 m/s). 2.5x1 9 2.x x1 9 R = m R= 1 m R= 5 m R= 1 m R= 15 m 1.x1 9 5.x Σχήμα 3.11 Φανταστικό μέρος οριζόντιας δυναμικής δυσκαμψίας στην επιφάνεια του ημιχώρου για οριζόντια φόρτιση συναρτήσει της συχνότητας διέγερσης για διάφορες αποστάσεις από το σημείο φόρτισης (ν s =.3, ρ s = 2. t/m 3, Vs = 6 m/s).

50 ωc θx θ x (N m) K θx θ x (N m) 34 3x1 1 2x1 1 1x1 1 R = m R= 1 m R= 5 m R= 1 m R= 15 m -1x1 1-2x1 1-3x1 1-4x1 1-5x1 1-6x Σχήμα 3.12 Πραγματικό μέρος λικνιστικής δυναμικής δυσκαμψίας στην επιφάνεια του ημιχώρου για στροφική φόρτιση συναρτήσει της συχνότητας διέγερσης για διάφορες αποστάσεις από το σημείο φόρτισης (ν s =.3, ρ s = 2. t/m 3, Vs = 6 m/s). 2.x x1 9 1.x1 9 R = m R= 1 m R= 5 m R= 1 m R= 15 m 5.x x Σχήμα 3.13 Φανταστικό μέρος λικνιστικής δυναμικής δυσκαμψίας στην επιφάνεια του ημιχώρου για στροφική φόρτιση συναρτήσει της συχνότητας διέγερσης για διάφορες αποστάσεις από το σημείο φόρτισης (ν s =.3, ρ s = 2. t/m 3, Vs = 6 m/s).

51 35 (V s = 6 m/s) και παρατίθενται ενδεικτικά καθώς παρατηρείται αντίστοιχη συμπεριφορά για όλες τις τιμές της ταχύτητας διατμητικού κύματος που μελετήθηκαν (1 V s 12 m/s). Περισσότερα αποτελέσματα παρατίθενται στο Παράρτημα Α, της παρούσας εργασίας. Μετά από παρατήρηση των αποτελεσμάτων από μεγάλο αριθμό αναλύσεων, όπως αυτά που παρουσιάζονται στα Σχ.3.4 έως 13 και στο Παράρτημα Α, προέκυψε πως ο απλούστερος και συνάμα εποπτικότερος τρόπος για την ανάπτυξη του νέου διακριτού προσομοιώματος, είναι η έκφραση των δυναμικών δυσκαμψιών του εδαφικού ημιχώρου σαν συνάρτηση μιας νέας μεταβλητής η οποία ορίζεται ως d 2 RGs F ext (3.12) όπου F ext είναι η εξωτερική δυναμική φόρτιση. Η μεταβλητή d o εκφράζει με αδιάστατο τρόπο την απόσταση οποιουδήποτε σημείου της επιφάνειας του εδαφικού ημιχώρου από το εκάστοτε σημείο φόρτισης. Στα Σχ έως 3.29 παρουσιάζονται οι δυναμικές δυσκαμψίες του εδαφικού ημιχώρου συναρτήσει της μεταβλητής d o. Οι τιμές των δυναμικών δυσκαμψιών κανονικοποιούνται με χρήση των εξής παραμέτρων, που βασίζονται στις στατικές δυσκαμψίες ενός άκαμπτου κυκλικού θεμελίου ακτίνας r k x, st 8Gr s 2 s (3.13) k z, st 4Gr s 1 s (3.14) k, st 3 8Gr s 3(1 ) s (3.15) k r x, st x (3.16) Vs k r z, st z (3.17) Vs k r,st (3.18) Vs όπου r στην προκείμενη περίπτωση είναι η μοναδιαία απόσταση από το σημείο εφαρμογής του δυναμικού εξωτερικού φορτίου.

52 K xx /k st =.12 = x1 1 2x1 1 3x1 1 4x1 1 5x1 1 6x1 1 7x1 1 8x1 1 d Σχήμα 3.14 Πραγματικό μέρος οριζόντιας δυναμικής δυσκαμψίας για οριζόντια φόρτιση συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o για διάφορες συχνότητες C xx /ζ x =.12 =.62 1x1 1 2x1 1 3x1 1 4x1 1 5x1 1 6x1 1 7x1 1 8x1 1 d Σχήμα 3.15 Φανταστικό μέρος οριζόντιας δυναμικής δυσκαμψίας για οριζόντια φόρτιση συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o για διάφορες συχνότητες.

53 K zz /k z,st =.12 = x1 1 2x1 1 3x1 1 4x1 1 5x1 1 6x1 1 7x1 1 8x1 1 d Σχήμα 3.16 Πραγματικό μέρος κατακόρυφης δυναμικής δυσκαμψίας για κατακόρυφη φόρτιση συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o για διάφορες συχνότητες C zz /ζ z =.12 = x1 1 2x1 1 3x1 1 4x1 1 5x1 1 6x1 1 7x1 1 8x1 1 d Σχήμα 3.17 Φανταστικό μέρος κατακόρυφης δυναμικής δυσκαμψίας για κατακόρυφη φόρτιση συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o για διάφορες συχνότητες.

54 =.12 =.62 K θx θ x /k θ,st x1 1 2x1 1 3x1 1 4x1 1 5x1 1 6x1 1 7x1 1 8x1 1 d Σχήμα 3.18 Πραγματικό μέρος λικνιστικής δυναμικής δυσκαμψίας για στροφική φόρτιση συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o για διάφορες συχνότητες =.12 =.62 C θx θ x /ζ θ x1 1 2x1 1 3x1 1 4x1 1 5x1 1 6x1 1 7x1 1 8x1 1 Σχήμα 3.19 Φανταστικό μέρος λικνιστικής δυναμικής δυσκαμψίας για στροφική φόρτιση συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o για διάφορες συχνότητες. d

55 39 K xy /k x,st -1x1 1-2x1 1-3x1 1-4x1 1-5x1 1-6x1 1-7x1 1-8x1 1-9x1 1-1x1 2 =.12 =.62 1x1 1 2x1 1 3x1 1 4x1 1 5x1 1 6x1 1 7x1 1 8x1 1 d Σχήμα 3.2 Πραγματικό μέρος οριζόντιας δυναμικής δυσκαμψίας λόγω οριζόντιας φόρτισης συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o για διάφορες συχνότητες.. -5.x x1-1.5x1 C xy /ζ x -2.x1-2.5x1-3.x1 =.12 = x1-4.x1 1x1 1 2x1 1 3x1 1 4x1 1 5x1 1 6x1 1 7x1 1 8x1 1 d Σχήμα 3.21 Φανταστικό μέρος οριζόντιας δυναμικής δυσκαμψίας λόγω οριζόντιας φόρτισης συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o για διάφορες συχνότητες.

56 4 1.2x1 3 K zy /k z,st 8.x1 2 4.x1 2 =.12 =.62. 1x1 1 2x1 1 3x1 1 4x1 1 5x1 1 6x1 1 7x1 1 8x1 1 d Σχήμα 3.22 Πραγματικό μέρος οριζόντιας δυναμικής δυσκαμψίας λόγω κατακόρυφης φόρτισης συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o για διάφορες συχνότητες. 4.x x1 3 3.x1 3 C zy /ζ z 2.5x1 3 2.x x1 3 1.x1 3 =.12 =.62 5.x x1 2 1x1 1 2x1 1 3x1 1 4x1 1 5x1 1 6x1 1 7x1 1 8x1 1 d Σχήμα 3.23 Φανταστικό μέρος οριζόντιας δυναμικής δυσκαμψίας λόγω κατακόρυφης φόρτισης συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o για διάφορες συχνότητες.

57 . 41 K θx y /k θ,st -2.x1 1-4.x1 1-6.x1 1-8.x1 1-1.x1 2 =.12 = x x1 2 1x1 1 2x1 1 3x1 1 4x1 1 5x1 1 6x1 1 7x1 1 8x1 1 d Σχήμα 3.24 Πραγματικό μέρος οριζόντιας δυναμικής δυσκαμψίας λόγω στροφικής φόρτισης συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o για διάφορες συχνότητες. -1x1 2-2x1 2-3x1 2 C θx y /ζ θ -4x1 2-5x1 2-6x1 2-7x1 2 =.12 =.62-8x1 2 1x1 1 2x1 1 3x1 1 4x1 1 5x1 1 6x1 1 7x1 1 8x1 1 d Σχήμα 3.25 Φανταστικό μέρος οριζόντιας δυναμικής δυσκαμψίας λόγω στροφικής φόρτισης συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o για διάφορες συχνότητες.

58 42 K θx z /k θ,st 2.x x x x x1 1 1.x1 1 8.x1 6.x1 4.x1 2.x1. -2.x1-4.x1 =.12 =.62 1x1 1 2x1 1 3x1 1 4x1 1 5x1 1 6x1 1 7x1 1 8x1 1 d Σχήμα 3.26 Πραγματικό μέρος κατακόρυφης δυναμικής δυσκαμψίας λόγω στροφικής φόρτισης συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o για διάφορες συχνότητες. 2.x x1 1 C θx z /ζ θ 1.6x x x1 1 1.x1 1 8.x1 6.x1 4.x1 2.x1. -2.x1-4.x1 =.12 =.62 1x1 1 2x1 1 3x1 1 4x1 1 5x1 1 6x1 1 7x1 1 8x1 1 d Σχήμα 3.27 Φανταστικό μέρος κατακόρυφης δυναμικής δυσκαμψίας λόγω στροφικής φόρτισης συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o για διάφορες συχνότητες.

59 x1 1-4.x1 1 K θx θ y /k θ,st -6.x1 1-8.x1 1-1.x x1 2 =.12 = x1 2 1x1 1 2x1 1 3x1 1 4x1 1 5x1 1 6x1 1 7x1 1 8x1 1 d Σχήμα 3.28 Πραγματικό μέρος κατακόρυφης δυναμικής δυσκαμψίας λόγω στροφικής φόρτισης συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o για διάφορες συχνότητες. 1.6x x x1-1 1.x1-1 C θx θ y /ζ θ 8.x1-2 6.x1-2 4.x1-2 2.x1-2. =.12 =.62 1x1 1 2x1 1 3x1 1 4x1 1 5x1 1 6x1 1 7x1 1 8x1 1 d Σχήμα 3.29 Πραγματικό μέρος κατακόρυφης δυναμικής δυσκαμψίας λόγω στροφικής φόρτισης συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o για διάφορες συχνότητες.

60 44 Από τα αποτελέσματα που παρουσιάζονται στα Σχ έως 29 επαναβεβαιώνεται το συμπέρασμα πως οι δυναμικές δυσκαμψίες του εδαφικού ημιχώρου εξαρτώνται κυρίως από την θέση του κάθε κόμβου σε σχέση με τον κόμβο που εφαρμόζεται η φόρτιση. Αντίθετα η συχνότητα της εξωτερικής διέγερσης επηρεάζει λιγότερο τις τιμές των δυναμικών δυσκαμψιών ειδικά στους κόμβους που γειτνιάζουν με τον κόμβο φόρτισης. Η επιρροή της συχνότητας αυξάνεται στους απομακρυσμένους κόμβους ιδιαίτερα για μεγαλύτερες τιμές του ω ο. Ειδικότερα, η οριζόντια δυναμική δυσκαμψία (Κ xx, C xx, Σχ και 3.15) παρουσιάζει μικρή εξάρτηση από την συχνότητα διέγερσης και η τιμή της παραμένει σταθερή σε σχέση με την αδιάστατη απόσταση d o, με εξαίρεση μικρές τιμές του d o (κόμβοι γειτονικοί στο σημείο φόρτισης). Αντίθετα, η κατακόρυφη δυναμική δυσκαμψία (Κ zz, C zz, Σχ και 3.17) αυξάνεται σημαντικά όσο αυξάνει η τιμή του d o. Το πραγματικό μέρος παρουσιάζει μικρή εξάρτηση από τη συχνότητα (ελάχιστη στη περιοχή που γειτνιάζει με το σημείο φόρτισης ), ενώ το φανταστικό μέρος παρουσιάζει μεγαλύτερη εξάρτηση από τη συχνότητα συγκριτικά με το πραγματικό μέρος. Η λικνιστική δυσκαμψία (Κ θxθx, C θxθx, Σχ και 3.19) εξαρτάται σημαντικά από το d o. Το πραγματικό μέρος της λικνιστικής δυσκαμψίας ουσιαστικά δεν εξαρτάται από την συχνότητα και φθίνει όσο αυξάνει το d o, ενώ το φανταστικό μέρος αυξάνει όσο αυξάνει το d o και δείχνει σημαντική εξάρτηση από τη συχνότητα για μεγάλες τιμές του d o. Αντίστοιχη συμπεριφορά παρουσιάζουν και οι συντελεστές δυναμικής δυσκαμψίας που αντιπροσωπεύουν σύζευξη μεταξύ βαθμών ελευθερίας, Ειδικότερα, η οριζόντια δυναμική δυσκαμψία, λόγω οριζόντιας φόρτισης (Κ xy, C xy, Σχ. 3.2 και 3.21), παρουσιάζει σημαντική εξάρτηση από το d o. Αντίθετα είναι πρακτικά ανεξάρτητη της συχνότητας διέγερσης. Η οριζόντια δυναμική δυσκαμψία, λόγω κατακόρυφης φόρτισης (Κ zy, C zy, Σχ και 3.23) παρουσιάζει μεγάλη εξάρτηση από το d o για μικρές τιμές του και έπειτα σταθεροποιείται, ενώ είναι πρακτικά ανεξάρτητη της συχνότητας. Η οριζόντια δυναμική δυσκαμψία λόγω στροφικής φόρτισης ( Κ θx y, C θx y, Σχ και 3.25) παρουσιάζει μικρή εξάρτηση από το d o ενώ η εξάρτηση από τη συχνότητα είναι σημαντικότερη στο φανταστικό μέρος σε σχέση με το πραγματικό. Η κατακόρυφη δυναμική δυσκαμψία λόγω στροφικής φόρτισης ( Κ θx z, C θx z, Σχ και 3.27) αυξάνεται όσο αυξάνει η τιμή του d o. Το πραγματικό μέρος παρουσιάζει μικρή εξάρτηση από τη συχνότητα, ενώ το φανταστικό μέρος παρουσιάζει μεγαλύτερη εξάρτηση από τη συχνότητα συγκριτικά με το πραγματικό μέρος για μεγάλες τιμές του d o, δηλαδή για τους κόμβους που απέχουν σημαντικά από το σημείο φόρτισης. Η λικνιστική δυναμική δυσκαμψία λόγω στροφικής φόρτισης ( Κ θxθy, C θxθy, Σχ και

61 ) παρουσιάζει σημαντική εξάρτηση από την τιμή του d o. Το πραγματικό μέρος μειώνεται καθώς αυξάνει το d o, ενώ το φανταστικό αυξάνει καθώς αυξάνει το d o. Αντίθετα τόσο το πραγματικό, όσο και το φανταστικό μέρος παρουσιάζουν μικρή εξάρτηση από τη συχνότητα διέγερσης. Οι συντελεστές δυναμικής δυσκαμψίας που παρουσιάζονται στα Σχ έως 3.29 έχουν ένα κοινό στοιχείο. Η μεταβολή των τιμών τους δεν επηρεάζεται πάντα σημαντικά από τη συχνότητα διέγερσης και σε μια σημαντική περιοχή γύρω από το σημείο φόρτισης οι τιμές τους είναι πρακτικά ανεξάρτητες της συχνότητας διέγερσης. Αυτό σημαίνει πως είναι δυνατό να εκφραστούν ως συνάρτηση μόνο της απόστασης από το σημείο εφαρμογής του δυναμικού φορτίου. Τέτοιες συναρτήσεις παράγονται με προσαρμογή στα δεδομένα που παρουσιάστηκαν στα Σχ έως 29. Η προσαρμογή γίνεται με χρήση μη-γραμμικών εκθετικών καμπυλών. Η επιλογή μη γραμμικών εκθετικών καμπυλών δίνει ικανοποιητική προσαρμογή στα δεδομένα, όπως φαίνεται στις χαρακτηριστικές περιπτώσεις που παρουσιάζονται ενδεικτικά στα Σχ. 3.3 έως 33. Όλες οι προσαρμογές που πραγματοποιήθηκαν στην παρούσα εργασία παρουσιάζονται αναλυτικά στο Παράρτημα Α. Οι εκφράσεις των συντελεστών δυναμικής δυσκαμψίας του προτεινόμενου προσομοιώματος για τον εδαφικό ημιχώρο παρουσιάζονται συγκεντρωτικά στον Πιν Θα πρέπει να σημειωθεί σε αυτό το σημείο, πως οι συναρτήσεις του Πιν. 3.1, που αφορούν την σύζευξη βαθμών ελευθερίας, ισχύουν για όλα τα σημεία της επιφάνειας του εδαφικού ημιχώρου εκτός από το σημείο φόρτισης (d ), όπως προκύπτει από τις εξ. (3.8) και (3.9). Εξαίρεση αποτελούν οι συναρτήσεις Kx, K y, Cx και C, οι y y x y x οποίες ισχύουν και στο σημείο φόρτισης (d = ), όπως προκύπτει από τις εξ. (3.6) και (3.7). Τέλος υπενθυμίζεται ότι οι συναρτήσεις του προτεινόμενου προσομοιώματος ( Πιν. 3.1) προέκυψαν για διακριτοποίηση της επιφάνειας του ημιχώρου με βήμα διακριτοποίησης s μικρότερο του λ/8. Η χρήση των συναρτήσεων αυτών προτείνεται για διακριτοποιήσεις, που ικανοποιούν αυτό το κριτήριο.

62 46 Πίνακας 3.1 Συναρτήσεις συντελεστών δυναμικής δυσκαμψίας προτεινόμενου προσομοιώματος εδαφικού ημιχώρου Πραγματικό Μέρος- K xx 8Gr 2 Φανταστικό Μέρος s d 8 svr s 3.26 C xx d s 2 s K K yy zz Kxx Cyy Cxx 4Gr s d 4sVr s Czz d s 1 s K x x 3 8Gr s (1 ) s d C x x 4 8sVr s (1 ) s d K K y y x x C C y y x x K xy d 8Gr s e 2 s C xy 2 d 8sVr s e 2 s K zy d 4Gr s e 1 s C zy 2 d 4sVr s e 1 s K zx Kyz Czx Cyz K x y 3 d 8Gr s e 3(1 s) C x y 4 d 8sVr s e 3(1 s ) K xy K xy C xy C xy K xz 3 d 8Gr s e 3(1 s ) C xz 4 d 8sVr s e 3(1 s) K zx K xz C zx C xz K xy 3 d 8Gr s e 8sVr s.145 3(1 s) Cx y 1.13 ( d (1 s ) e

63 f ( d ) d K xx /k x,st =.12 =.62 f (d ) 1x1 1 2x1 1 3x1 1 4x1 1 5x1 1 6x1 1 7x1 1 8x1 1 Σχήμα 3.3 Πραγματικό μέρος οριζόντιας δυναμικής δυσκαμψίας λόγω οριζόντιας φόρτισης συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o (προσαρμογή καμπύλης).. d -2.x1 1 K θx y /k θ,st -4.x1 1-6.x1 1-8.x1 1-1.x x x1 2 f ( d ) e d =.12 =.62 f (d ) 1x1 1 2x1 1 3x1 1 4x1 1 5x1 1 6x1 1 7x1 1 8x1 1 d Σχήμα 3.31 Πραγματικό μέρος οριζόντιας δυναμικής δυσκαμψίας λόγω στροφικής φόρτισης συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o (προσαρμογή καμπύλης).

64 f ( d ) d C zz /ζ z =.12 =.62 f (d ) 1x1 1 2x1 1 3x1 1 4x1 1 5x1 1 6x1 1 7x1 1 8x1 1 d Σχήμα 3.32 Φανταστικό μέρος κατακόρυφης δυναμικής δυσκαμψίας για κατακόρυφη φόρτιση συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o (προσαρμογή καμπύλης). 4x1 3 3x1 3 2x1 3 f ( d ) e d C zy /ζ z 1x1 3-1x1 3-2x1 3 =.12 =.62 f (d ) 1x1 1 2x1 1 3x1 1 4x1 1 5x1 1 6x1 1 7x1 1 8x1 1 d Σχήμα 3.33 Φανταστικό μέρος οριζόντιας δυναμικής δυσκαμψίας λόγω κατακόρυφης φόρτισης συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o (προσαρμογή καμπύλης).

65 49 Οι συναρτήσεις που δίνονται στον Πιν. 3.1, σε συνδυασμό με τις εξ. (3.4) και (3.5), οδηγούν στην κατασκευή ενός νέου διακριτού προσομοιώματος για τον ελαστικό εδαφικό ημιχώρο, το οποίο έχει τα εξής πλεονεκτήματα: 1. Δυνατότητα εφαρμογής του προσομοιώματος σε αναλύσεις στο πεδίο του χρόνου, καθώς απαλείφεται προσεγγιστικά η παράμετρος της συχνότητας διέγερσης. 2. Δυνατότητα μεταφοράς του προσομοιώματος σε κώδικες πεπερασμένων στοιχείων γενικού σκοπού (ANSYS, SAP2, ABACUS κ.α. ) και επίλυση διαφόρων συστημάτων εδάφους θεμελίωσης κατασκευής. 3. Δυνατότητα εφαρμογής του προσομοιώματος χωρίς περιορισμούς στην γεωμετρία της θεμελίωσης. 4. Δυνατότητα ελεύθερης επιλογής από τον χρήστη, της διακριτοποίησης της θεμελίωσης. Εφαρμογές του διακριτού προσομοιώματος που παρουσιάζεται σε αυτή την ενότητα, καθώς και συγκρίσεις για τον έλεγχο της ακρίβειάς του, παρατίθενται στο επόμενο κεφάλαιο της παρούσας εργασίας. 3.3 ΔΙΑΚΡΙΤΟ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑ ΕΔΑΦΙΚΟΥ ΗΜΙΧΩΡΟΥ ΜΕ ΜΕΜΟΝΩΜΕΝΟ ΠΑΣΣΑΛΟ Η διαδικασία που παρουσιάστηκε στην προηγούμενη ενότητα, για την ανάπτυξη του διακριτού προσομοιώματος του εδαφικού ημιχώρου, μπορεί να επεκταθεί και στην περίπτωση της ύπαρξης μεμονωμένου πασσάλου σε εδαφικό ημιχώρο. Στόχος της διαδικασίας που περιγράφεται σε αυτή την ενότητα είναι να ληφθεί υπόψη η ευκαμψία του πασσάλου και του θεμελίου στην δυναμική ανάλυση ενός συστήματος εδάφους πασσάλου θεμελίου. Με χρήση του προτεινόμενου προσομοιώματος γίνεται εφικτή η δυναμική ανάλυση συστημάτων θεμελίωσης με εύκαμπτες γενικές κοιτοστρώσεις ή «επιπλέουσες» θεμελιώσεις με πασσάλους (pile rafts) με απλό και ακριβή τρόπο. Τέτοια συστήματα θεμελιώσεων έχουν μελετηθεί έως σήμερα κυρίως σε σχέση με την φέρουσα ικανότητά τους σε στατικά φορτία, καθώς και στον σχεδιασμό με βάση τις επιτρεπόμενες καθιζήσεις της πλάκας θεμελίωσης (Viggiani et al, 211). Η μελέτη της δυναμικής συμπεριφοράς πασσάλων αφορά κυρίως τις περιπτώσεις σύνδεσης της κεφαλής του πασσάλου με άκαμπτο θεμέλιο ή την σύνδεση της κεφαλής του πασσάλου σε εύκαμπτο θεμέλιο με θεώρηση άκαμπτης σύνδεσης (fixed pile head) (Gazetas and Makris (1991), Mylonakis (21) κ.α.).

66 5 Η ανάπτυξη του προσομοιώματος για την περίπτωση του μεμονωμένου πασσάλου γίνεται με βάση την διαδικασία που αναπτύχθηκε στην ενότητα 3.2. Ειδικότερα, προστίθενται στο προσομοίωμα του ημιχώρου, γραμμικά πεπερασμένα στοιχεία δοκού, τα οποία ξεκινούν από την επιφάνεια του ημιχώρου και φθάνουν σε βάθος μεγαλύτερο από το ενεργό μήκος του πασσάλου, που ισούται συνήθως ίσο με το δεκαπλάσιο της διαμέτρου του (L > 1d). Θεωρείται απλή σύνδεση της κεφαλής του πασσάλου και της επιφάνειας του ημιχώρου χωρίς καμία δέσμευση στην κίνηση της κεφαλής του πασσάλου. Ακολουθώντας την ίδια διαδικασία με αυτή που ακολουθήθηκε στη περίπτωση του ημιχώρου, οι δυναμικές δυσκαμψίες εκφράζονται ως συνάρτηση της μεταβλητής d o. Στα Σχ έως 49 παρουσιάζονται οι δυναμικές δυσκαμψίες του εδαφικού ημιχώρου για την περίπτωση της ύπαρξης μεμονωμένου πασσάλου, συναρτήσει της μεταβλητής d o. Οι τιμές των δυναμικών δυσκαμψιών κανονικοποιούνται με χρήση των εξής παραμέτρων k px 2GdE s p 2 s Es 1/4 (3.19) k pz 8GdE s p 1 s Es 1/4 (3.2) k p 3 Gd E s p 1 s Es 1/4 (3.21) px k d px p Vs s 1/4 (3.22) pz k d pz p Vs s 1/2 (3.23) k d p p p Vs s 1/4 (3.24) όπου Ε p, ρ p, d είναι αντίστοιχα το μέτρο ελαστικότητας, η πυκνότητα και η διάμετρος του πασσάλου. Ομοίως Ε s, G s, ρ s, είναι αντίστοιχα το μέτρο ελαστικότητας, το μέτρο διάτμησης και η πυκνότητα του εδαφικού ημιχώρου. Από τα διαγράμματα που παρουσιάζονται στα Σχ έως 49 συμπεραίνεται πως και στην περίπτωση της ύπαρξης πασσάλου, στον εδαφικό ημιχώρο, οι δυναμικές δυσκαμψίες στην επιφάνεια του ημιχώρου εξαρτώνται κυρίως από την θέση του κάθε

67 51 κόμβου σε σχέση με τον κόμβο που εφαρμόζεται η φόρτιση ενώ η συχνότητα της εξωτερικής διέγερσης επηρεάζει λιγότερο τις τιμές των δυναμικών δυσκαμψιών. Ειδικότερα, η οριζόντια δυναμική δυσκαμψία ( Κ xx, C xx, Σχ και 3.35) παρουσιάζει μικρή εξάρτηση από την συχνότητα διέγερσης και η τιμή της παραμένει σταθερή σε σχέση με το d o, με εξαίρεση μικρές τιμές του d o (κόμβοι γειτονικοί στο σημείο φόρτισης). Η κατακόρυφη δυναμική δυσκαμψία (Κ zz, C zz, Σχ και 3.37) αυξάνεται όσο αυξάνει η τιμή του d o. Επίσης παρουσιάζει μικρή εξάρτηση από τη συχνότητα στη γειτονική του σημείου φόρτισης περιοχή, η οποία είναι σημαντικότερη για μεγάλες τιμές του d o. Η λικνιστική δυσκαμψία (Κ θxθx, C θxθx, Σχ και 3.39) εξαρτάται σημαντικά από το d o καθώς το πραγματικό μέρος φθίνει με την αύξηση του d o, ενώ το φανταστικό αυξάνει. Η λικνιστική δυσκαμψία εξαρτάται ελάχιστα από τη συχνότητα διέγερσης ιδιαίτερα για μικρές τιμές του d o. Αντίστοιχη συμπεριφορά παρουσιάζουν και οι συντελεστές δυναμικής δυσκαμψίας που αντιπροσωπεύουν σύζευξη μεταξύ βαθμών ελευθερίας, Ειδικότερα, η K xx /k px 3 2 =.12 = x1 1 2x1 1 3x1 1 4x1 1 5x1 1 6x1 1 7x1 1 8x1 1 d Σχήμα 3.34 Πραγματικό μέρος οριζόντιας δυναμικής δυσκαμψίας ημιχώρου με μεμονωμένο πάσσαλο για οριζόντια φόρτιση συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o, για διάφορες συχνότητες

68 =.12 =.62 C xx /ζ px x1 1 2x1 1 3x1 1 4x1 1 5x1 1 6x1 1 7x1 1 8x1 1 d Σχήμα 3.35 Φανταστικό μέρος οριζόντιας δυναμικής δυσκαμψίας ημιχώρου με μεμονωμένο πάσσαλο για οριζόντια φόρτιση συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o, για διάφορες συχνότητες 1.6 K zz /k pz =.12 = x1 1 2x1 1 3x1 1 4x1 1 5x1 1 6x1 1 7x1 1 8x1 1 d Σχήμα 3.36 Πραγματικό μέρος κατακόρυφης δυναμικής δυσκαμψίας ημιχώρου με μεμονωμένο πάσσαλο για κατακόρυφη φόρτιση συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o, για διάφορες συχνότητες

69 53 C zz /ζ pz =.12 =.62 1x1 1 2x1 1 3x1 1 4x1 1 5x1 1 6x1 1 7x1 1 8x1 1 d Σχήμα 3.37 Φανταστικό μέρος κατακόρυφης δυναμικής δυσκαμψίας ημιχώρου με μεμονωμένο πάσσαλο για κατακόρυφη φόρτιση συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o, για διάφορες συχνότητες -1x1 2-2x1 2 K θxθx /k pθ -3x1 2-4x1 2 =.12 =.62-5x1 2-6x1 2 1x1 1 2x1 1 3x1 1 4x1 1 5x1 1 6x1 1 7x1 1 8x1 1 d Σχήμα 3.38 Πραγματικό μέρος λικνιστικής δυναμικής δυσκαμψίας ημιχώρου με μεμονωμένο πάσσαλο για στροφική φόρτιση συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o, για διάφορες συχνότητες

70 54 4.x1 3 C θxθx /ζ pθ 3.5x1 3 3.x x1 3 2.x x1 3 =.12 =.62 1.x1 3 5.x1 2. 1x1 1 2x1 1 3x1 1 4x1 1 5x1 1 6x1 1 7x1 1 8x1 1 d Σχήμα 3.39 Φανταστικό μέρος λικνιστικής δυναμικής δυσκαμψίας ημιχώρου με μεμονωμένο πάσσαλο για στροφική φόρτιση συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o, για διάφορες συχνότητες. -5.x1 1-1.x x1 2 K xy /k px -2.x x1 2-3.x x1 2 =.12 =.62-4.x x1 2 1x1 1 2x1 1 3x1 1 4x1 1 5x1 1 6x1 1 7x1 1 8x1 1 d Σχήμα 3.4 Πραγματικό μέρος οριζόντιας δυναμικής δυσκαμψίας ημιχώρου με μεμονωμένο πάσσαλο, λόγω οριζόντιας φόρτισης συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o, για διάφορες συχνότητες

71 x1 2-4.x1 2-6.x1 2 C xy /ζ xp -8.x1 2-1.x x x1 3 =.12 = x1 3 1x1 1 2x1 1 3x1 1 4x1 1 5x1 1 6x1 1 7x1 1 8x1 1 d Σχήμα 3.41 Φανταστικό μέρος οριζόντιας δυναμικής δυσκαμψίας ημιχώρου με μεμονωμένο πάσσαλο, λόγω οριζόντιας φόρτισης συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o, για διάφορες συχνότητες 1.2x1 3 1.x1 3 8.x1 2 K zy /k pz 6.x1 2 4.x1 2 =.12 =.62 2.x1 2. 1x1 1 2x1 1 3x1 1 4x1 1 5x1 1 6x1 1 7x1 1 8x1 1 d Σχήμα 3.42 Πραγματικό μέρος οριζόντιας δυναμικής δυσκαμψίας ημιχώρου με μεμονωμένο πάσσαλο για κατακόρυφη φόρτιση συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o, για διάφορες συχνότητες

72 56 8x1 3 7x1 3 6x1 3 C zy /ζ zp 5x1 3 4x1 3 3x1 3 =.12 =.62 2x1 3 1x1 3 1x1 1 2x1 1 3x1 1 4x1 1 5x1 1 6x1 1 7x1 1 8x1 1 d Σχήμα 3.43 Φανταστικό μέρος οριζόντιας δυναμικής δυσκαμψίας ημιχώρου με μεμονωμένο πάσσαλο για κατακόρυφη φόρτιση συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o, για διάφορες συχνότητες -1x1 2 K θx y /k pθ -2x1 2-3x1 2-4x1 2-5x1 2-6x1 2-7x1 2-8x1 2-9x1 2-1x1 3 =.12 =.62 1x1 1 2x1 1 3x1 1 4x1 1 5x1 1 6x1 1 7x1 1 8x1 1 d Σχήμα 3.44 Πραγματικό μέρος οριζόντιας δυναμικής δυσκαμψίας ημιχώρου με μεμονωμένο πάσσαλο για λικνιστική φόρτιση συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o, για διάφορες συχνότητες

73 57. C θx y /ζ pθ -5.x1 3-1.x x1 4 =.12 =.62-2.x x1 4 1x1 1 2x1 1 3x1 1 4x1 1 5x1 1 6x1 1 7x1 1 8x1 1 d Σχήμα 3.45 Φανταστικό μέρος οριζόντιας δυναμικής δυσκαμψίας ημιχώρου με μεμονωμένο πάσσαλο για λικνιστική φόρτιση συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o, για διάφορες συχνότητες 1x1 2 K θx z /k pθ 9x1 1 8x1 1 7x1 1 6x1 1 5x1 1 4x1 1 3x1 1 2x1 1 1x1 1 =.12 =.62 1x1 1 2x1 1 3x1 1 4x1 1 5x1 1 6x1 1 7x1 1 8x1 1 d Σχήμα 3.46 Πραγματικό μέρος κατακόρυφης δυναμικής δυσκαμψίας ημιχώρου με μεμονωμένο πάσσαλο για λικνιστική φόρτιση συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o, για διάφορες συχνότητες

74 58 2.5x1 3 C θx z /ζ pθ 2.x x1 3 1.x1 3 =.12 =.62 5.x1 2. 1x1 1 2x1 1 3x1 1 4x1 1 5x1 1 6x1 1 7x1 1 8x1 1 d Σχήμα 3.47 Φανταστικό μέρος κατακόρυφης δυναμικής δυσκαμψίας ημιχώρου με μεμονωμένο πάσσαλο για λικνιστική φόρτιση συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o, για διάφορες συχνότητες -1x1 2-2x1 2-3x1 2 K θx θ y /k pθ,st -4x1 2-5x1 2-6x1 2-7x1 2-8x1 2-9x1 2-1x1 3 =.12 =.62 1x1 1 2x1 1 3x1 1 4x1 1 5x1 1 6x1 1 7x1 1 8x1 1 d Σχήμα 3.48 Πραγματικό μέρος λικνιστικής δυναμικής δυσκαμψίας ημιχώρου με μεμονωμένο πάσσαλο λόγω στροφικής φόρτισης συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o, για διάφορες συχνότητες

75 x1 3 C θx θ y /ζ pθ -1.x x1 4-2.x1 4 =.12 = x1 4 1x1 1 2x1 1 3x1 1 4x1 1 5x1 1 6x1 1 7x1 1 8x1 1 d Σχήμα 3.49 Φανταστικό μέρος λικνιστικής δυναμικής δυσκαμψίας ημιχώρου με μεμονωμένο πάσσαλο λόγω στροφικής φόρτισης συναρτήσει της αδιάστατης απόστασης d o, για διάφορες συχνότητες οριζόντια δυναμική δυσκαμψία, λόγω οριζόντιας φόρτισης (Κ xy, C xy, Σχ. 3.4 και 3.41) παρουσιάζει μεγάλη εξάρτηση από το d o και αυξάνει καθώς αυξάνει το d o, ενώ η εξάρτηση από τη συχνότητα είναι μικρή για όλες τις τιμές του d o. Η οριζόντια δυναμική δυσκαμψία, λόγω κατακόρυφης φόρτισης (Κ zy, C zy, Σχ και 3.43) παρουσιάζει μικρή εξάρτηση από το d o ενώ η εξάρτηση από τη συχνότητα είναι πρακτικά μικρή και όμοια για όλες τις τιμές του d o. Η οριζόντια δυσκαμψία, λόγω στροφικής φόρτισης ( Κ θx y, C θx y, Σχ και 3.45) είναι σχετικά σταθερή σε σχέση με την τιμή του d o. Το πραγματικό μέρος παρουσιάζει μικρή εξάρτηση από τη συχνότητα, ενώ το φανταστικό μέρος παρουσιάζει σχετικά μεγαλύτερη εξάρτηση από τη συχνότητα συγκριτικά με το πραγματικό μέρος. Η κατακόρυφη δυσκαμψία, λόγω στροφικής φόρτισης ( Κ θx z, C θx z, Σχ και 3.47) αυξάνεται σημαντικά όσο αυξάνει η τιμή του d o. Το πραγματικό μέρος παρουσιάζει μικρή εξάρτηση από τη συχνότητα, ενώ το φανταστικό μέρος παρουσιάζει μεγαλύτερη εξάρτηση από τη συχνότητα συγκριτικά με το πραγματικό μέρος για μεγάλες τιμές του d o. Η λικνιστική δυσκαμψία, λόγω στροφικής φόρτισης

76 6 (Κ θxθy, C θxθy, Σχ και 3.49) μειώνεται σημαντικά όσο αυξάνει η τιμή του d o. Το πραγματικό μέρος είναι πρακτικά ανεξάρτητο από τη συχνότητα, ενώ το φανταστικό μέρος παρουσιάζει μεγαλύτερη εξάρτηση από τη συχνότητα συγκριτικά με το πραγματικό μέρος για μεγάλες τιμές του d o. Οι συντελεστές δυναμικής δυσκαμψίας του προτεινόμενου προσομοιώματος για τον συνδυασμό ημιχώρου με μεμονωμένο πάσσαλο, που παρουσιάζονται στα Σχ έως 49 έχουν όμοια εξάρτηση από τη συχνότητα και το d o, με αυτούς που υπολογίζονται για την περίπτωση του εδαφικού ημιχώρου στην ενότητα 3.2. Η κυριότερη διαφορά είναι οι σημαντικά αυξημένες τιμές των συντελεστών δυναμικής δυσκαμψίας στην περίπτωση μεμονωμένου πασσάλου, σε σχέση με αυτές για τον εδαφικό ημιχώρο. Αυτό είναι αναμενόμενο, καθώς ο πάσσαλος «προσφέρει» δυσκαμψία στο σύστημα, μειώνοντας την απόκριση και αυξάνοντας την απόσβεση. Ακολουθώντας την διαδικασία της ενότητας 3.2 οι δυναμικές δυσκαμψίες εκφράζονται ως συνάρτηση μόνο της αδιάστατης απόστασης d o από το σημείο εφαρμογής του δυναμικού φορτίου. Τέτοιες συναρτήσεις παράγονται με παρεμβολή στα αποτελέσματα της ανάλυσης όπως ενδεικτικά παρουσιάζεται στα Σχ. 3.5 έως 53. Όλες οι προσαρμογές που πραγματοποιούνται, παρουσιάζονται στο Παράρτημα Α. Οι εκφράσεις των συντελεστών δυναμικής δυσκαμψίας για τον συνδυασμό ημιχώρου πασσάλου παρουσιάζονται συγκεντρωτικά στον Πιν Θα πρέπει να τονιστεί σε αυτό το σημείο πως σε αντιστοιχία με την περίπτωση του προσομοιώματος για τον εδαφικό ημιχώρο, οι συναρτήσεις του Πιν. 3.2, που αφορούν την σύζευξη βαθμών ελευθερίας, ισχύουν για όλα τα σημεία της επιφάνειας του εδαφικού ημιχώρου εκτός από το σημείο φόρτισης (d ), όπως προκύπτει από τις εξ. (3.8) και (3.9),. Εξαίρεση αποτελούν οι συναρτήσεις Kx, K y, Cx και C, οι y y x y x οποίες ισχύουν και στο σημείο φόρτισης (d = ), όπως προκύπτει από τις εξ. (3.6) και (3.7).

77 f ( d ) d.5 4 K xx /k px =.12 =.62 f (d ) 1x1 1 2x1 1 3x1 1 4x1 1 5x1 1 6x1 1 7x1 1 8x1 1 d Σχήμα 3.5 Προσαρμογή καμπύλης στην οριζόντια δυναμική δυσκαμψία ημιχώρου με μεμονωμένο πάσσαλο Πραγματικό μέρος συναρτήσει του d o f ( d ) d K zz /k pz =.12 =.62 f (d ) 1x1 1 2x1 1 3x1 1 4x1 1 5x1 1 6x1 1 7x1 1 8x1 1 d Σχήμα 3.51 Προσαρμογή καμπύλης στην κατακόρυφη δυναμική δυσκαμψία ημιχώρου με μεμονωμένο πάσσαλο Πραγματικό μέρος συναρτήσει του d o.

78 62 8x1 3 7x1 3 6x1 3 f ( d ) e d x1 3 C zy /ζ pz 4x1 3 3x1 3 2x1 3 1x1 3 =.12 =.62 f (d ) 1x1 1 2x1 1 3x1 1 4x1 1 5x1 1 6x1 1 7x1 1 8x1 1 d Σχήμα 3.52 Προσαρμογή καμπύλης στην οριζόντια δυναμική δυσκαμψία ημιχώρου με μεμονωμένο πάσσαλο Φανταστικό μέρος συναρτήσει του d o.. -5.x1 3 f ( d ) e d C θx y /ζ θ -1.x x1 4 =.12 =.62 f (d ) -2.x x1 4 1x1 1 2x1 1 3x1 1 4x1 1 5x1 1 6x1 1 7x1 1 8x1 1 d Σχήμα 3.53 Προσαρμογή καμπύλης στην σύζευξη λικνιστικής και οριζόντιας δυναμικής δυσκαμψία ημιχώρου με μεμονωμένο πάσσαλο Φανταστικό μέρος συναρτήσει του d o.

79 63 Πίνακας 3.2 Συναρτήσεις συντελεστών δυναμικής δυσκαμψίας εδαφικού ημιχώρου μεμονωμένου πασσάλου Πραγματικό Μέρος Φανταστικό Μέρος K xx 2GdE s p 2 s Es 1/ d.5 C xx 1/4 1/4 2 2sVd E s p p 2 s Es s d.2 K yy Kxx Cyy Cxx K zz 1/4 8GdEp s s Es d C zz 1/4 1/2 2 8sVd Ep s p s Es s d 8.81 K x x 1/4 3 Gd Ep s s Es d C x x 1/4 1/4 4 svd Ep s p s Es s d K K y y x x C C y y x x K xy 1/4 d 2GdEp s e 2 s E s C xy 1/4 1/4 2 d 2sVd Ep s p e 2 s Es s K zy 1/4 d 8GdEp s e 1 s E s C zy 1/4 1/2 2 d 8sVd Ep s p e 1s Es s K zx Kzy Czx Czy K xy 1/4 3 d Gd Ep s e 1 s E s C xy 1/4 1/4 4 d svd Ep s p e 1s Es s K xy Kxy Cx y Cxy K xz 1/4 3 d Gd Ep s e 1 s E s C xz 1/4 1/4 4 d svd Ep s p e 1s Es s K zx Kxz Cz x Cxz K x y 1/4 3 d Gd Ep s e 1 s E s C x y 1/4 1/4 4 d svd Ep s p e 1s Es s

80 K xx (Ν/m) ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ ΗΜΙΧΩΡΟΥ ΜΕ Η ΧΩΡΙΣ ΠΑΣΣΑΛΟ Σε αυτή την ενότητα παρουσιάζεται μια σύγκριση των τιμών των συντελεστών δυναμικής δυσκαμψίας, για το διακριτό προσομοίωμα του εδαφικού ημιχώρου με ή χωρίς μεμονωμένο πάσσαλο. Η σύγκριση αυτή έχει ως στόχο να αναδείξει την επιρροή ενός εύκαμπτου πάσσαλου, στην δυναμική συμπεριφορά της επιφάνειας του εδαφικού ημιχώρου. Στα Σχ έως 59, παρουσιάζονται διαγράμματα των συντελεστών δυναμικής δυσκαμψίας για οριζόντια, κατακόρυφη και λικνιστική κίνηση. 4.x x1 9 3.x x1 9 Ημιχώρος Ημιχώρος & Πάσσαλος 2.x x1 9 1x1 1 2x1 1 3x1 1 4x1 1 5x1 1 6x1 1 7x1 1 8x1 1 d 3.54 Οριζόντια δυναμική δυσκαμψία ημιχώρου με ή χωρίς πάσσαλο Πραγματικό μέρος συναρτήσει του d o. (Ε p / Ε s = 1, ρ p / ρ s = 1., ν s =.3, =.62)

81 K zz (N/m) 2.x x x1 9 ωc xx (Ns/m) 1.4x x1 9 1.x1 9 8.x1 8 Ημιχώρος Ημιχώρος & Πάσσαλος 6.x1 8 4.x1 8 2.x1 8 1x1 1 2x1 1 3x1 1 4x1 1 5x1 1 6x1 1 7x1 1 8x1 1 d Σχήμα 3.55 Οριζόντια δυναμική δυσκαμψία ημιχώρου με ή χωρίς πάσσαλο Φανταστικό μέρος συναρτήσει του d o. (Ε p / Ε s = 1, ρ p / ρ s = 1., ν s =.3, =.62) 9x1 9 8x1 9 7x1 9 Ημιχώρος Ημιχώρος & Πάσσαλος 6x1 9 5x1 9 4x1 9 3x1 9 2x1 9 1x1 9 1x1 1 2x1 1 3x1 1 4x1 1 5x1 1 6x1 1 7x1 1 8x1 1 Σχήμα 3.56 Κατακόρυφη δυναμική δυσκαμψία ημιχώρου με ή χωρίς πάσσαλο Πραγματικό μέρος συναρτήσει του d o. (Ε p / Ε s = 1, ρ p / ρ s = 1., ν s =.3, =.62) d

82 K θx θ x (Ν m) ωc zz (Ns/m) 66 8x1 9 7x1 9 6x1 9 5x1 9 Ημιχώρος Ημιχώρος & Πάσσαλος 4x1 9 3x1 9 2x1 9 1x1 9 1x1 1 2x1 1 3x1 1 4x1 1 5x1 1 6x1 1 7x1 1 8x1 1 d Σχήμα 3.57 Κατακόρυφη δυναμική δυσκαμψία ημιχώρου με ή χωρίς πάσσαλο Φανταστικό μέρος συναρτήσει του d o. (Ε p / Ε s = 1, ρ p / ρ s = 1., ν s =.3, =.62). -5.x1 1-1.x x x x1 11 Ημιχώρος Ημιχώρος & Πάσσαλος -3.x x x1 11 1x1 1 2x1 1 3x1 1 4x1 1 5x1 1 6x1 1 7x1 1 8x1 1 d Σχήμα 3.58 Λικνιστική δυναμική δυσκαμψία ημιχώρου με ή χωρίς πάσσαλο Πραγματικό μέρος συναρτήσει του d o. (Ε p / Ε s = 1, ρ p / ρ s = 1., ν s =.3, =.62)

83 ωc θx θ x (N m s) 67 2.x x x x x x x1 1 6.x1 1 4.x1 1 2.x x1 1 Ημιχώρος Ημιχώρος & Πάσσαλος 1x1 1 2x1 1 3x1 1 4x1 1 5x1 1 6x1 1 7x1 1 8x1 1 d Σχήμα 3.59 Λικνιστική δυναμική δυσκαμψία ημιχώρου με ή χωρίς πάσσαλο Φανταστικό μέρος συναρτήσει του d o. (Ε p / Ε s = 1, ρ p / ρ s = 1., ν s =.3, =.62) Είναι προφανές από τα παραπάνω αποτελέσματα πως η παρουσία του πασσάλου επηρεάζει σημαντικά την δυναμική απόκριση του ημιχώρου. Παρατηρείται πως για όλους τους βαθμούς ελευθερίας, η παρουσία του πασσάλου οδηγεί σε αύξηση των τιμών των δυναμικών δυσκαμψιών. Μεγαλύτερες διαφορές υπάρχουν στις δυναμικές δυσκαμψίες που αντιστοιχούν στη λικνιστική και στην οριζόντια κίνηση( Σχ. 3.54, 3.55, 3.58 και 3.59) κάτι που είναι αναμενόμενο καθώς ο πάσσαλος μειώνει σημαντικά την απόκριση της επιφάνειας του ημιχώρου για οριζόντια και στροφική δυναμική φόρτιση.

84 68 4. ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑΤΟΣ 4.1 ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑΤΟΣ Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η εφαρμογή του προτεινόμενου διακριτού προσομοιώματος του εδαφικού ημιχώρου που αναπτύχθηκε στο τρίτο κεφάλαιο στην ανάλυση διαφόρων συστημάτων εδάφους θεμελίου κατασκευής. Σκοπός αυτής της διαδικασίας είναι η μελέτη της δυναμικής συμπεριφοράς συστημάτων εδάφους κατασκευής λαμβάνοντας υπόψη την ευκαμψία της θεμελίωσης και την ύπαρξη εύκαμπτων πασσάλων. Πραγματοποιούνται συγκρίσεις με αποτελέσματα παλαιοτέρων εργασιών ( Novak 1974, Chopra et al 1976, Wong and Luco 1976, Whitaker and Christiano 1982α, Karabalis and Beskos 1984, 1985 και Mylonakis and Gazetas 1999) για να ελεγχθεί η ακρίβεια του προτεινόμενου διακριτού προσομοιώματος που αναπτύχθηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο. Επίσης πραγματοποιούνται συγκρίσεις μεταξύ αποτελεσμάτων που προκύπτουν από την πλήρη διακριτοποίηση του εδαφικού ημιχώρου με την ΜΠΣ στον κώδικα πεπερασμένων στοιχείων ειδικού σκοπού ACS SASSI (21), με αποτελέσματα που προκύπτουν από την εισαγωγή του προτεινόμενου προσομοιώματος στον κώδικα πεπερασμένων στοιχείων γενικού σκοπού ANSYS (25) Σύγκριση συντελεστών δυναμικής δυσκαμψίας για εδαφικό ημιχώρο με ή χωρίς πάσσαλο Οι τιμές των δυναμικών δυσκαμψιών του προτεινόμενου προσομοιώματος του εδαφικού ημιχώρου, συγκρίνονται με αποτελέσματα από την εργασία των Chopra et al (1976), όπως φαίνεται στα Σχ.4.1 έως 4. Στα Σχ. 4.1 και 4.2, συγκρίνεται η κατακόρυφη δυναμική δυσκαμψία στο σημείο φόρτισης του εδαφικού ημιχώρου. Παρατηρούμε πως για το πραγματικό μέρος υπάρχει καλή συμφωνία μεταξύ των αποτελεσμάτων για τις περισσότερες συχνότητες που αντιστοιχούν σε σεισμικές διεγέρσεις ( <1.), ενώ για μεγαλύτερες συχνότητες η διαφορά ξεπερνά το 2%, κάτι αναμενόμενο καθώς οι συντελεστές δυναμικής δυσκαμψίας του προτεινόμενου προσομοιώματος είναι ανεξάρτητοι της συχνότητας. Αντίθετα για το φανταστικό μέρος η συμφωνία των αποτελεσμάτων είναι καλύτερη, καθώς η διαφορές μεταξύ των αποτελεσμάτων δεν ξεπερνούν το 1%. Αντίστοιχη εικόνα παρατηρείται και στην σύγκριση της οριζόντιας δυσκαμψίας (Σχ 4.3 και 4.4), με τη διαφορά ότι οι αποκλίσεις είναι αρκετά μικρότερες, καθώς η επιρροή της συχνότητας είναι μικρότερη στην οριζόντια διεύθυνση.

85 ωc zz (N /m) K zz (N/m) x x1 9 1.x1 9 8.x1 8 6.x1 8 4.x1 8 Προτεινόμενο προσομοίωμα Chopra et al (1976) 2.x Σχήμα 4.1 Σύγκριση δυναμικών δυσκαμψιών για το πραγματικό μέρος της κατακόρυφης δυναμικής δυσκαμψίας εδαφικού ημιχώρου(vs = 6m/s, ν s =.33, d = ) 4.x x1 8 Προτεινόμενο προσομοίωμα Chopra et al (1976) 3.x x1 8 2.x x1 8 1.x1 8 5.x Σχήμα 4.2 Σύγκριση δυναμικών δυσκαμψιών για το πραγματικό μέρος της κατακόρυφης δυναμικής δυσκαμψίας εδαφικού ημιχώρου(vs = 6m/s, ν s =.33, d = )

86 ωc xx (N/m) K xx (N/m) 7 3.x x1 9 2.x x1 9 Προτεινόμενο προσομοίωμα Chopra et al (1976) 1.x1 9 5.x Σχήμα 4.3 Σύγκριση δυναμικών δυσκαμψιών για το πραγματικό μέρος της οριζόντιας δυναμικής δυσκαμψίας εδαφικού ημιχώρου(vs = 6m/s, ν s =.33, d = ) 1x1 9 9x1 8 8x1 8 7x1 8 6x1 8 5x1 8 4x1 8 3x1 8 2x1 8 1x1 8 Προτεινόμενο προσομοίωμα Chopra et al (1976) Σχήμα 4.4 Σύγκριση δυναμικών δυσκαμψιών για το φανταστικό μέρος της οριζόντιας δυναμικής δυσκαμψίας εδαφικού ημιχώρου(vs = 6m/s, ν s =.33, d = )

87 ωc xx (N/m) K xx (N/m) 5.x x1 9 4.x x1 9 3.x x1 9 2.x x1 9 1.x1 9 Προτεινόμενο προσομοίωμα Mylonakis and Gazetas (1999) Novak (1974) 5.x α p Σχήμα 4.5 Σύγκριση δυναμικών δυσκαμψιών για το πραγματικό μέρος της οριζόντιας δυναμικής δυσκαμψίας εδαφικού ημιχώρου με μεμονωμένο πασσάλου (Ε p /Ε s =1, Ε p = 2GPa, ν s =.33, d = ) 3.x x1 9 2.x1 9 Προτεινόμενο προσομοίωμα Mylonakis and Gazetas (1999) Novak (1974) 1.5x1 9 1.x1 9 5.x α p Σχήμα 4.6 Σύγκριση δυναμικών δυσκαμψιών για το φανταστικό μέρος της οριζόντιας δυναμικής δυσκαμψίας εδαφικού ημιχώρου με μεμονωμένο πασσάλου (Ε p /Ε s =1, Ε p = 2GPa, ν s =.33, d = )

88 ωc θxθx (N m) K θxθx (N m) x x1 9 1.x1 9 8.x1 8 6.x1 8 4.x1 8 2.x1 8 Προτεινόμενο προσομοίωμα Mylonakis and Gazetas (1999) Novak (1974) α p Σχήμα 4.7 Σύγκριση δυναμικών δυσκαμψιών για το πραγματικό μέρος της οριζόντιας δυναμικής δυσκαμψίας εδαφικού ημιχώρου με μεμονωμένο πασσάλου (Ε p /Ε s =1, Ε p = 2GPa, ν s =.33, d = ) 1.4x x1 9 Προτεινόμενο προσομοίωμα Mylonakis and Gazetas (1999) Novak (1974) 1.x1 9 8.x1 8 6.x1 8 4.x1 8 2.x α p Σχήμα 4.8 Σύγκριση δυναμικών δυσκαμψιών για το φανταστικό μέρος της οριζόντιας δυναμικής δυσκαμψίας εδαφικού ημιχώρου με μεμονωμένο πασσάλου (Ε p /Ε s =1, Ε p = 2GPa, ν s =.33, d = )

89 73 Οι τιμές των δυναμικών δυσκαμψιών του διακριτού προσομοιώματος του εδαφικού ημιχώρου για την περίπτωση μεμονωμένου πασσάλου, συγκρίνονται με αποτελέσματα από τις εργασίες των Novak (1974) και Mylonakis and Gazetas (1999), όπως φαίνεται στα Σχ. 4.5 έως 8. Ειδικότερα στα Σχ. 4.5 και 4.6, συγκρίνεται η οριζόντια δυναμική δυσκαμψία μεμονωμένου πασσάλου και παρατηρείται πως πραγματικό μέρος βρίσκεται πιο κοντά στα αποτελέσματα της λύσης του Novak (1974) σε σχέση με αυτή των Mylonakis and Gazetas (1999), ενώ το φανταστικό είναι σε καλή συμφωνία και με τις δύο εργασίες. Στα Σχ.4.7 και 4.8 παρουσιάζονται συγκριτικά διαγράμματα για τις τιμές της λικνιστικής δυσκαμψίας. Υπάρχει ικανοποιητική συμφωνία μεταξύ των αποτελεσμάτων, τόσο για το πραγματικό μέρος, όσο και για το φανταστικό μέρος της δυσκαμψίας. Είναι προφανές από τα παραπάνω πως οι τιμές των συντελεστών δυναμικής δυσκαμψίας του προτεινόμενου προσομοιώματος, είναι ακριβείς για όλα τα εύρη συχνοτήτων που αντιστοιχούν σε σεισμικές διεγέρσεις Εφαρμογή του προτεινόμενου προσομοιώματος εδαφικού ημιχώρου στην δυναμική ανάλυση επιφανειακών άκαμπτων και εύκαμπτων θεμελίων με ή χωρίς πάσσαλο Το προτεινόμενο προσομοίωμα εφαρμόζεται στη δυναμική ανάλυση εύκαμπτου θεμελίου επί ελαστικού εδαφικού ημιχώρου με ή χωρίς πάσσαλο. Το προτεινόμενο προσομοίωμα εισάγεται σε κώδικα πεπερασμένων στοιχείων γενικού σκοπού και χρησιμοποιείται για να αντικαταστήσει τον εδαφικό ημιχώρο, πάνω στον οποίο εδράζονται τα υπό μελέτη εύκαμπτα επιφανειακά θεμέλια με ή χωρίς πάσσαλο (Σχ. 4.9). Παρατίθενται οι τιμές των συντελεστών δυναμικής δυσκαμψίας για εύκαμπτα θεμέλια καθώς και η δυναμική απόκριση εύκαμπτων θεμελίων λόγω κατακόρυφης αρμονικής φόρτισης. Επίσης, παρουσιάζονται συγκρίσεις με αποτελέσματα από παλαιότερες εργασίες για εύκαμπτα θεμέλια (Whitaker and Christiano 1982α και Karabalis and Beskos 1985), και για δύσκαμπτα θεμέλια (Wong and Luco 1976, Karabalis and Beskos 1985). Τέλος συγκρίνεται η απόκριση εύκαμπτου θεμελίου Η παρουσίαση των αποτελεσμάτων γίνεται με χρήση των αδιάστατων παραμέτρων σχετικής δυσκαμψίας θεμελίου εδάφους Κ, απόκρισης Δ (Whitaker and Christiano 1982α) και συχνότητας οι οποίες ορίζονται στις παρακάτω σχέσεις t (1 ) K 12(1 ) 3 f f s 2 3 f GB s (4.1)

90 74 ugs B (1 s) F ext (4.2) a B (4.3) V s a p d (4.4) V s όπου Ε f, t f, ν f, Β είναι το μέτρο ελαστικότητας, το πάχος, ο λόγος Poisson και το ημιπλάτος του θεμελίου αντίστοιχα και d η διάμετρος του πασσάλου. Ομοίως G s, ν s είναι αντίστοιχα το μέτρο διάτμησης και ο λόγος Poisson του εδαφικού ημιχώρου. Τέλος u είναι η δυναμική απόκριση λόγω της δυναμικής φόρτισης F ext. Στα Σχ. 4.1 έως 4.13 παρουσιάζονται οι τιμές των δυναμικών δυσκαμψιών για το εύκαμπτο θεμέλιο που προκύπτουν θεωρώντας πως το μοναδιαίο αρμονικό φορτίο ασκείται στο κέντρο του, συναρτήσει της αδιάστατης συχνότητας α ο. Είναι προφανές πως οι δυναμικές δυσκαμψίες που υπολογίζονται με το προτεινόμενο προσομοίωμα δίνουν αποτελέσματα, τα οποία είναι σε εξαιρετική συμφωνία με αυτά που προκύπτουν από την πλήρη διακριτοποίηση του εδαφικού ημιχώρου με την ΜΠΣ (ΑCS SASSI), με εξαίρεση το γωνιακό σημείο του θεμελίου για το πραγματικό μέρος της κατακόρυφης Σχήμα 4.9 Εύκαμπτο θεμέλιο επί ελαστικού ημιχώρου με ή χωρίς πάσσαλοπροσομοίωση εδαφικού ημιχώρου με το προτεινόμενο προσομοίωμα

91 ω C zz (Ν/m) K zz (Ν/m) x1 8 3.x x1 8 Corner 2.x x1 8 Point 2 1.x1 8 5.x1 7. Προτεινόμενο προσομοίωμα ΑCS SASSI (21) Point 1 Center -5.x x Σχήμα 4.1 Τιμές κατακόρυφης δυναμικής δυσκαμψίας εύκαμπτου θεμελίου Πραγματικό μέρος (Κ=.4, ν s =.45) α 3.x x1 8 Προτεινόμενο προσομοίωμα ΑCS SASSI (21) Corner 2.x x1 8 1.x1 8 Point 2 5.x1 7. Point 1 Center -5.x α Σχήμα 4.11 Τιμές κατακόρυφης δυναμικής δυσκαμψίας εύκαμπτου θεμελίου Φανταστικό μέρος (Κ=.4, ν s =.45)

92 K θxθx (Ν m) 76 3x1 8 2x1 8 1x1 8 Προτεινόμενο προσομοίωμα ΑCS SASSI (21) Point 1 Center -1x1 8-2x1 8-3x1 8 Point 2 Corner α Σχήμα 4.12 Τιμές λικνιστικής δυναμικής δυσκαμψίας εύκαμπτου θεμελίου Πραγματικό μέρος (Κ=.4, ν s =.45) 2.x x1 8 ω C θxθx (Νm) 1.x1 8 5.x1 7. Προτεινόμενο προσομοίωμα ΑCS SASSI (21) Corner Point 2 Point 1 Center -5.x Σχήμα 4.13 Τιμές λικνιστικής δυναμικής δυσκαμψίας εύκαμπτου θεμελίου Φανταστικό μέρος (Κ=.4, ν s =.45) α

93 Δ Δ α ACS SASSI (21) Whitaker and Christiano 1982α Karabalis and Beskos 1985 Προτεινόμενο προσομοίωμα Σχήμα 4.14 Κατακόρυφη δυναμική απόκριση στο κέντρο εύκαμπτου τετραγωνικού θεμελίου (Κ=.4, ν s =.45) ACS SASSI (21) Whitaker and Christiano 1982α Karabalis and Beskos 1985 Προτεινόμενο προσομοίωμα α Σχήμα 4.15 Κατακόρυφη δυναμική απόκριση στην πλευρά εύκαμπτου τετραγωνικού θεμελίου (Κ=.4, ν s =.45)

94 Δ Δ ACS SASSI (21) Whitaker and Christiano 1982α Karabalis and Beskos 1985 Προτεινόμενο προσομοίωμα α Σχήμα 4.16 Κατακόρυφη δυναμική απόκριση στην γωνία εύκαμπτου τετραγωνικού θεμελίου (Κ=.4, ν s =.45) ACS SASSI (21) Whitaker and Christiano 1982α Προτεινόμενο προσομοίωμα. α Σχήμα 4.17 Κατακόρυφη δυναμική απόκριση στο κέντρο εύκαμπτου τετραγωνικού θεμελίου (Κ=.6, ν s =.45)

95 Δ Δ ACS SASSI (21) Whitaker and Christiano 1982α Προτεινόμενο προσομοίωμα α Σχήμα 4.18 Κατακόρυφη δυναμική απόκριση στην πλευρά εύκαμπτου τετραγωνικού θεμελίου (Κ=.6, ν s =.45) ACS SASSI (21) Whitaker and Christiano 1982α Προτεινόμενο προσομοίωμα α Σχήμα 4.19 Κατακόρυφη δυναμική απόκριση στην γωνία εύκαμπτου τετραγωνικού θεμελίου (Κ=.6, ν s =.45)

96 Δ Karabalis and Beskos (1984) Wong and Luco (1976) ACS SASSI (21) Προτεινόμενο προσομοίωμα Σχήμα 4.2 Κατακόρυφη δυναμική απόκριση δύσκαμπτου τετραγωνικού θεμελίου (Κ=4., ν s =.45) α δυναμικής δυσκαμψίας (Σχ. 4.1) και το φανταστικό μέρος της λικνιστικής δυναμικής δυσκαμψίας (Σχ. 4.13). Η κατακόρυφη απόκριση του εύκαμπτου θεμελίου, σε τρία χαρακτηριστικά σημεία (κέντρο, πλευρά και γωνία) λόγω κατακόρυφης αρμονικής φόρτισης στο κέντρο του, παρουσιάζεται στα Σχ έως 19. Στα Σχ έως 16 παρουσιάζεται η απόκριση ενός αρκετά «μαλακού» θεμελίου (Κ=.4), ενώ στα Σχ έως 19 η απόκριση ενός σχετικά «σκληρού» θεμελίου (Κ=.6). Παρατηρούμε πως σε όλες τις περιπτώσεις τα αποτελέσματα που προκύπτουν από το προτεινόμενο προσομοίωμα που αναπτύσσεται στην παρούσα εργασία είναι σε καλή συμφωνία με αποτελέσματα παλαιοτέρων εργασιών (Whitaker and Christiano 1982α και Karabalis and Beskos 1985). Επίσης παρατηρείται πως τα αποτελέσματα του προτεινόμενου προσομοιώματος διαφέρουν λιγότερο από 1%, σε σχέση με τα αποτελέσματα που προκύπτουν από την πλήρη διακριτοποίηση του εδαφικού ημιχώρου με την ΜΠΣ (ΑCS SASSI), για το κέντρο και την πλευρά του θεμελίου, ενώ η διαφορά είναι της τάξης του 15% για την γωνία του θεμελίου για μεγάλες τιμές της συχνότητας. Αυτό είναι αναμενόμενο καθώς όπως φαίνεται στα Σχ. 4.1 έως 13, οι τιμές των δυναμικών δυσκαμψιών επηρεάζονται

97 Δ 81 περισσότερο από τη συχνότητα στη γωνία του θεμελίου. Τέλος, στο Σχ. 4.2, παρουσιάζεται η κατακόρυφη απόκριση ενός άκαμπτου θεμελίου (Κ = 4.). Και σε αυτή την περίπτωση υπάρχει καλή συμφωνία μεταξύ των αποτελεσμάτων του προτεινόμενου προσομοιώματος με τα αποτελέσματα που προκύπτουν από την πλήρη διακριτοποίηση του εδαφικού ημιχώρου με την ΜΠΣ (ΑCS SASSI) καθώς και με τα αποτελέσματα των Karabalis and Beskos (1984) και Wong and Luco (1976) Η παραπάνω ανάλυση επαναλαμβάνεται για την περίπτωση συνδυασμού εύκαμπτου επιφανειακού θεμελίου με μεμονωμένο πάσσαλο. Ο πάσσαλος θεωρείται πως είναι τοποθετημένος στο κέντρο του θεμελίου και συμπίπτει με το σημείο που ασκείται η δυναμική φόρτιση. Στα Σχ έως 23, παρουσιάζονται αποτελέσματα που προήλθαν από εφαρμογή του προτεινόμενου προσομοιώματος. Από τη μελέτη των αποτελεσμάτων προκύπτει το συμπέρασμα πως ο πάσσαλος μειώνει σημαντικά την Θεμέλιο και πάσσαλος Θεμέλιο α p Σχήμα 4.21 Κατακόρυφη δυναμική απόκριση στο κέντρο εύκαμπτου τετραγωνικού θεμελίου με μεμονωμένο πάσσαλο στο κέντρο (Κ=.4, Ε p /Ε s =1, ν s =.45)

98 Δ Δ Θεμέλιο και πάσσαλος Θεμέλιο α p Σχήμα 4.22 Κατακόρυφη δυναμική απόκριση στην πλευρά εύκαμπτου τετραγωνικού θεμελίου με μεμονωμένο πάσσαλο στο κέντρο (Κ=.4, Ε p /Ε s =1, ν s =.45) Θεμέλιο και πάσσαλος Θεμέλιο α p Σχήμα 4.23 Κατακόρυφη δυναμική απόκριση στην γωνία εύκαμπτου τετραγωνικού θεμελίου με μεμονωμένο πάσσαλο στο κέντρο (Κ=.4, Ε p /Ε s =1, ν s =.45)

99 83 δυναμική απόκριση του θεμελίου, τόσο στο κέντρο του (σημείο εφαρμογής φορτίου) όσο στο μέσο της πλευράς και την γωνία του θεμελίου. Η μείωση της απόκρισης ξεπερνά για κάποιες συχνότητες το 4%. Η μείωση της απόκρισης είναι αναμενόμενη, καθώς όπως αναφέρθηκε στο τρίτο κεφάλαιο, ο πάσσαλος προσδίδει στο σύστημα θεμελίωσης δυσκαμψία και απόσβεση, αρκετά μεγαλύτερη σε σύγκριση με αυτή που έχει ο ίδιος εδαφικός ημιχώρος, χωρίς την παρουσία του πασσάλου. 4.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΝΤΑΩΡΟΦΟΥ ΚΤΙΡΙΟΥ ΑΠΟ ΟΠΛΙΣΜΕΝΟ ΣΚΥΡΟΔΕΜΑ ΕΠΙ ΕΥΚΑΜΠΤΟΥ ΘΕΜΕΛΙΟΥ Σε αυτή την ενότητα παρουσιάζεται η εφαρμογή του προσομοιώματος των δυναμικών δυσκαμψιών στη δυναμική ανάλυση ενός κτιρίου από οπλισμένο σκυρόδεμα, το οποίο θεμελιώνεται σε εύκαμπτη γενική κοιτόστρωση. Το υπό μελέτη κτίριο αποτελεί πρότυπο αριθμητικό παράδειγμα από το βιβλίο των Αβραμίδη κ.α. (25). Πρόκειται για πενταώροφο μικτό φορέα (υποστυλώματα και τοιχεία), με απλή συμμετρία όπως φαίνεται στα Σχ και Τα χαρακτηριστικά του κτιρίου παρουσιάζονται στον Πιν Το κτίριο σχεδιάζεται για δυναμικά φορτία με βάση τον Ευρωκώδικα 8 (Eurocode 8, 24) για ζώνη σεισμικής Σχήμα 4.24 Προοπτική απεικόνιση πενταόροφου κτιρίου από οπλισμένο σκυρόδεμα (Αβραμίδης κ.α. 25)

100 84 Σχήμα 4.25 Τυπική κάτοψη ορόφου του υπό μελέτη κτιρίου (Αβραμίδης κ.α. 25) Πίνακας 4.1 Γεωμετρικά χαρακτηριστικά κτιρίου Όροφος Ύψος Υποστυλώματα Δοκοί C1, C4, C5, C8 C2, C3, C6, C7 ΒΧ1, ΒΧ3, ΒΧ4, ΒΧ6, ΒΥ2, ΒΥ3, ΒΥ4, ΒΥ5, ΒΥ1, ΒΥ6 ΒΧ2, ΒΧ5 1 ος 4 m 5/5 4/4 25/6 25/4 2 ος -5 Ο ς 3 m 4/4 35/35 25/6 25/4 Τοιχεία πάχος w =.25m, Πλάκες ανωδομής πάχος t =.16m, Πλάκα θεμελίωσης πάχος t f =.5 m επικινδυνότητας ΙΙΙ (a g =.24g). Το κτίριο θεμελιώνεται σε γενική κοιτόστρωση πάχους t f.5m, από οπλισμένο σκυρόδεμα. Η θεμελίωση σχεδιάζεται για δυναμικά φορτία με βάση της διατάξεις του Ευρωκώδικα 8 (ΕΝ του Eurocode 8, 24), θεωρώντας έδαφος θεμελίωσης σχεδιασμού με V s = 1m/s, ν s =.3 και ρ s = 2 kg/m 3. Προκύπτει πως το πάχος της γενικής κοιτόστρωσης πρέπει να είναι πάνω από.4 m. Το τελικό πάχος (t f =.5m) επιλέχθηκε έτσι ώστε η σχετική δυσκαμψία εδάφους-θεμελίου Κ να προκύψει ίση με.4 για την περίπτωση του εδάφους σχεδιασμού και να εξασφαλιστεί πως σε όλες τις αναλύσεις το θεμέλιο είναι εύκαμπτο σύμφωνα με το κριτήριο των Whitaker and Christiano (1982α). Το υπό μελέτη κτίριο αναλύεται τόσο για την κλασσική θεώρηση πάκτωσης της βάσης, όσο και την περίπτωση της αλληλεπίδρασης εδάφους-κατασκευής με χρήση του προσομοιώματος δυναμικών δυσκαμψιών για την προσομοίωση του εδαφικού υλικού.

101 85 (α) (β) Σχήμα 4.26 Προσομοίωμα πεπερασμένων στοιχείων για την υπό μελέτη κατασκευή στο πρόγραμμα ANSYS. (α) Πακτωμένη κατασκευή, (β) κατασκευή θεμελιωμένη σε γενική κοιτόστρωση με χρήση του προτεινόμενου προσομοιώματος για το έδαφος θεμελίωσης Σχήμα 4.27 Επιτυχυνσιογράφημα του σεισμού στο EL CENTRO, του Μαίου 194