Ατομική και Μοριακή Φυσική

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ατομική και Μοριακή Φυσική"

Κύρα Χατζηιωάννου
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ατομική και Μοριακή Φυσική Επίδραση του πυρήνα στα ατομικά φάσματα Λιαροκάπης Ευθύμιος

2 Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Cmmns. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε Άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναγράφεται ρητώς.

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Επίδραση του πυρήνα στα ατομικά φάσματα Μολονότι το μέγεθος του πυρήνα είναι πολύ μικρότερο από τις ατομικές ακτίνες και το βάρος του πολύ μεγαλύτερο του βάρους του ηλεκτρονίου, είναι δυνατόν να παρατηρηθούν μεταβολές στις ενεργειακές στάθμες εξ αιτίας της πολύ μεγάλης ακρίβειας προσδιορισμού τους. Αυτές είναι δύο ειδών, εκείνες που προκαλούνται από την αλλαγή του βαρυτικού αριθμού του πυρήνα (ισοτοπική επίδραση) και απλά μετακινούν ενεργειακά τις στιβάδες χωρίς να αλλάζουν τον εκφυλισμό τους, και άλλες που αίρουν τον ενεργειακό εκφυλισμό, είναι πολύ μικρότερης έντασης από την λεπτή υφή (γι αυτό ονομάζονται υπέρλεπτη υφή) και προέρχονται από το σπιν του πυρήνα. 7.1 Ισοτοπική επίδραση Αυτή προκαλείται αφ ενός μεν από την μη-άπειρη μάζα του πυρήνα και αφ ετέρου από την κατανομή του φορτίου μέσα στον πυρήνα (αντί να είναι ένα σημειακό φορτίο). Για το άτομο του υδρογόνου και τα μονοηλεκτρονικά άτομα, η επίδραση της μάζας διορθώνεται από την εισαγωγή της ανηγμένης μάζας. Αλλά για τα πολυηλεκτρονικά συστήματα η επίδραση είναι πιο πολύπλοκη. Για την κατανομή του φορτίου μέσα στον πυρήνα, μπορούμε να παραδεχθούμε ότι τα πρωτόνια ισοκατανέμονται μέσα στον πυρήνα, που ας θεωρήσουμε ότι έχει σφαιρικό σχήμα και ακτίνα R 1/3 = ra (7.1) Όπου Α είναι ο μαζικός αριθμός και r = 1, m, μια φαινομενολογική ακτίνα που προκύπτει από τα πειραματικά δεδομένα. Στην περίπτωση αυτή το ηλεκτροστατικό δυναμικό λαμβάνει την μορφή Ze r 3 ( 4πε ) R R r R V() r = για Ze r R 4πε r Με αρχική χαμιλτονιανή την ένα δυναμικό της μορφής Ze r R r R 3 H + = ( 4πε ) R R r για 0 r R (7.) H του ατόμου του υδρογόνου, η διαταραχή θα είναι Στον 1 ο όρο προσέγγισης, η διαφορά ενέργειας θα είναι ίση προς (7.3) R Ze r R Δ E = ψnlm H ψnlm = Rnl () r 3r dr 8πε R + R r (7.4) 0 Όμως R << a ο (a ο ακτίνα του Bhr) και μπορούμε να θεωρήσουμε ότι Rnl () r Rnl (0), που μηδενίζεται για όλα τα τροχιακά εκτός των s (για τα οποία l=0). Μετά από τις πράξεις προκύπτει ότι 7-1

4 Δ Ze Ze R E π R ψ n00(0) Rn0 (0) 4πε 5 = 4πε 10 (7.5) για l = 0, ενώ μηδενίζεται για l 0. Με αντικατάσταση του τροχιακού προκύπτει ότι 4 Δ e R Z E 3 3 4πε 5 αn (7.6) Αν μετρήσουμε την μετατόπιση της στιβάδας για δύο ισότοπα του ατόμου, που θα αλλάζουν την ακτίνα του κατά δr, τότε θα πρέπει Ze 4π δ R δe R ψn00(0) (7.7) 4πε 5 R που είναι μια ποσότητα ανάλογη του R, αυξάνει με το Z και μειούται με το n. 7. Η υπέρλεπτη υφή Η υπέρλεπτη υφή οφείλεται στην ύπαρξη μαγνητικής διπολικής ροπής και ηλεκτρικής τετραπολικής ροπής, εξ αιτίας των φορτίων και της κίνησής τους στον πυρήνα των ατόμων. Υπάρχουν και υψηλότεροι όροι στην ανάπτυξη, αλλά είναι πολύ μικρότερης επίδρασης. Οι πυρήνες των ατόμων έχουν μια συνολική στροφορμή, που θα την ονομάσουμε σπιν του πυρήνα (Pauli 194), που μπορεί να πάρει τιμή ακέραια (μποζόνια) ή ημιακέραια (φερμιόνια). Το σπιν του πυρήνα προέρχεται από τα σπιν των νουκλεονίων καθώς και από την τροχιακή στροφορμή τους. Αν Ι είναι το σπιν του πυρήνα, η προβολή του σε άξονα μπορεί να λάβει τιμές m =, + 1,, 1, (7.8) Εξ αιτίας του σπιν θα δημιουργηθεί μια μαγνητική διπολική ροπή MN = gμn (7.9) Με συνιστώσα κατά τον z άξονα ( M N) = g z μnm (7.10) Με μέγιστη τιμή την gμ N, και μέτρο της διπολικής ροπής M = g μ ( + 1) (7.11) N N Με g ορίστηκε ο παράγοντας Landé. Όταν g > 0, τότε M, ενώ όταν g < 0, τότε M. Η ποσότητα μ Ν ονομάζεται πυρηνική μαγνητόνη και ορίζεται ως e me μn = μb M M p p (7.1) και έχει τιμή μ Ν = 5, jule/tesla (7.13) Το Μ p ορίζει την μάζα του πρωτονίου και μ Β την μαγνητόνη του Bhr. Από τον ορισμό έπεται ότι μn me 1 = 1 (7.14) μ B M p 1836 Μια απλή μέθοδος να υπολογίσουμε την υπέρλεπτη υφή προκύπτει από την εξέταση της αλληλεπίδρασης του μαγνητικού πεδίου Β J, που δημιουργείται στην περιοχή του 7-

5 πυρήνα από το ηλεκτρονικό νέφος. Η κλασική ΗΜ σχέση για την αλληλεπίδραση δίνει ότι V cs( ˆ ˆ HFS = MN BJ = MNBJ MN BJ ) (7.15) Εξ αιτίας της αλληλεπίδρασης του σπιν του πυρήνα με την συνολική στροφορμή του ηλεκτρονίου, θα δημιουργηθεί ένα συνολικό σπιν από το κβαντικό άθροισμα των δύο στροφορμών, ήτοι F = J + (7.16) Κατά τα γνωστά το F θα λαμβάνει τιμές F = J +, J + 1,, J (7.17) Δηλαδή λαμβάνει J+1 ή +1 ανάλογα ποιό είναι μεγαλύτερο από τα δύο J και. Είδαμε ότι MN = gμn ( + 1), οπότε V ( 1)cs( ˆ ˆ HFS = g μn BJ + MN BJ ) (7.18) Είναι εύκολο να δούμε ότι ένα κινούμενο φορτίο δημιουργεί κάποιο μαγνητικό πεδίο ανάλογο της στροφορμής. Από τον νόμο του Bit-Savart για κινούμενο φορτίο (Ze) με ταχύτητα υ σε κυκλική τροχιά ακτίνας r, θα έχουμε ότι Zeμ B = r 3 υ (7.19) 4π r Επειδή l = r p είναι η στροφορμή, θα προκύψει ότι Zeμ B = l (7.0) 3 4π rm Για αρνητικό φορτίο τα B και l είναι αντιπαράλληλα. Στην γενική περίπτωση η μαγνητική διπολική ροπή του πυρήνα θα αλληλεπιδρά και με την τροχιακή στροφορμή των ηλεκτρονίων και με το σπιν τους, έτσι μπορούμε να γράψουμε την αλληλεπίδραση της υπέρλεπτης υφής μέσω της συνολικής ηλεκτρονικής στροφορμής J ως Από την F = + J ( ˆ ˆ ) V = g μ B ( + 1)cs J (7.1) HFS N J ( ˆ ˆ) F( F + 1) = ( + 1) + J( J + 1) + ( + 1) J( J + 1) cs, J (7.) Τελικά θα έχουμε ότι C Δ EHFS = [ F( F + 1) ( + 1) J( J + 1) ] (7.3) όπου C = g μ NBJ J( J + 1) (7.4) Το B J μπορεί να υπολογιστεί από τις ενεργειακές καταστάσεις τουλάχιστον για το υδρογόνο, ενώ για τα μεγάλα άτομα είναι πιο πολύπλοκο. Για ένα s ηλεκτρόνιο (J=1/) υπολογίζεται σε C = μ g μ g μ ψ(0) (7.5) 3 e B N Στα άτομα που ακολουθούν τα χαρακτηριστικά του υδρογόνου θα ισχύει ότι 7-3

6 3 Z ψ (0) = 3 3 π nr (7.6) Για ηλεκτρόνια σε στιβάδες με l > 0 η πιθανότητα παρουσίας τους στον πυρήνα μηδενίζεται και το B J υπολογίζεται από την αλληλεπίδραση διπόλου-διπόλου ανάμεσα στην ηλεκτρονική μεγνητική ροπή και την πυρηνική μαγνητική ροπή. Η σταθερά C καταλήγει να είναι ανισότροπη. Συνήθως το B J υπολογίζεται από τα πειραματικά αποτελέσματα μέσω της σχέσης ΔEF+ 1 Δ EF = C( F + 1) (7.7) Για συγκεκριμένο πυρήνα με σπιν Ι, μια ατομική στιβάδα με κάποιο l και j διαχωρίζεται στις στιβάδες της υπέρλεπτης υφής ως προς το F και έχει έναν εκφυλισμό F+1. Οι τιμές του F θα είναι F = J +, J + 1,, J. Επομένως, ο αριθμός των συνιστωσών της υπέρλεπτης υφής θα είναι ο μικρότερος από τους J+1 ή +1 και ονομάζεται πολλαπλότητα υπέρλεπτης υφής. Π.χ. για το υδρογόνο Ι=1/. Το μικρότερο από τα δύο θα είναι πάντα. Δηλαδή έχουμε δύο συνιστώσες υπέρλεπτης υφής. Όταν J =1/, F=0,1 ενώ για J=3/, F=,1. Η ενεργειακή διαφορά στις χαμηλότερη ενεργειακά στιβάδα θα είναι ανάμεσα στις F=0 και F=1. Αποδεικνύεται ότι αυτή είναι ίση προς 3 4 m μ Δ E = gpα (7.8) 3 M p m όπου g p είναι ο παράγοντας Landé του πρωτονίου (=5,5883). Η ενέργεια αυτή αντιστοιχεί σε συχνότητα Δν = 140 MHz (λ = 1 cm). Έχει μετρηθεί πειραματικά με εξαιρετική ακρίβεια και βρέθηκε ίση προς ,7667 Hz. n= p 3/ p 3/ F = F = 1 s 1/,p 1/ s 1/ F = 1 F = 0 p 1/ F = 1 F = 0 n=1 1s 1/ 1s 1/ F = 1 F = 0 Bhr Dirac Lamb shift Υπέρλεπτη υφή Για το δευτέριο το σπιν του πυρήνα είναι Ι = 1, έτσι ώστε να έχουμε μια δυάδα για J = 1/ και μια τριάδα για υψηλότερες τιμές του J. 7-4

7 F = 5/ n= p 3/ p 3/ F = 3/ F = 1/ s 1/ F = 3/ s 1/,p 1/ F = 1/ p 1/ F = 3/ F = 1/ n=1 1s 1/ 1s 1/ F = 3/ F = 1/ Bhr Dirac Lamb shift Υπέρλεπτη υφή 7-5

Χρηματοδότηση - Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. - Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Ε.Μ.Π.

8 Χρηματοδότηση - Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. - Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Ε.Μ.Π.» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. - Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικού πόρους.

Σχετικά έγγραφα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Σύγxρονη Φυσική II. Ατομική Δομή ΙΙ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Σύγxρονη Φυσική II Ατομική Δομή ΙΙ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Common.