ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Πρόσθεση Στροφορμών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Πρόσθεση Στροφορμών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

3 Πρόσθεση Στροφορμών

4 Δομή Διάλεξης Ορισμός Ολικής Στροφορμής Σχέση βάσης ολικής στροφορμής (j,m j ) με βάση επιμέρους στροφορμών (m 1,m 2 ) Συντελεστές μετάβασης (Glebsch-Gordon) για σύνθεση από l=1, s=1/2 Συντελεστές μετάβασης (Glebsch-Gordon) για σύνθεση από s 1 =1/2, s 2 =1/2 Σύνοψη - Ασκήσεις

5 Ολική Στροφορμή J Έστω σωμάτιο με τροχιακή στροφορμή L=(L x, L y, L z ) και spin S=(S x, S y, S z ). Ορίζουμε το άθροισμα J=L+S. Θα δούμε ότι το J ικανοποιεί σχέσεις μετάθεσης στροφορμής Οι σχέσεις μετάθεσης της τροχιακής στροφορμής L εκφράζονται περιεκτικά ως: Αντίστοιχα για το spin έχουμε: Ισχύει ακόμα: (ανεξάρτητες στροφορμές)

6 Ολική Στροφορμή J Επομένως δείξαμε ότι: Άρα για την ολική στροφορμή J ισχύουν όσα δείξαμε για τα άλλα είδη στροφορμών χρησιμοποιώντας μόνο τις σχέσεις μετάθεσης: Το J 2 =J x2 +J y2 +J z 2 μετατίθεται με μια συνιστώσα (πχ J z ) και έχει κοινό σύστημα ιδιοκαταστάσεων (βάση) με αυτή. όπου το j παίρνει ακέραιες και ημιακέραιες τιμές και το m j παίρνει τις τιμές: +6a

7 Σχέση J 2 με L 2 και S 2 Έχουμε ότι: x y x y x y x y LxSx LyS y ilxs y ilysx LxSx LyS y ilxs y ilysx 2LxSx LyS y L S L S L il S is L il S is +6b Χρήσιμές σχέσεις μετάθεσης: +6c Το J 2 έχει κοινές ιδιοκαταστάσεις με τα L 2 και S 2 αλλά όχι και με τα L z και S z!

8 Δύο σετ μετατιθέμενων στροφορμών Το J 2 έχει κοινές ιδιοκαταστάσεις με τα L 2 και S 2 αλλά όχι και με τα L z και S z! Ακόμα το J z =L z +S z έχει κοινές ιδιοκαταστασεις με όλες τις στροφορμές αφου Άρα υπάρχουν δυο σετ μετατιθέμενων μεγεθών Σετ (1): Κοινές ιδιοκαταστάσεις, ταυτόχρονη μέτρηση χωρίς αβεβαιότητα Σετ (2): Κοινές ιδιοκαταστάσεις, ταυτόχρονη μέτρηση χωρίς αβεβαιότητα Όμως το J 2 δεν μπορεί να μετρηθεί ταυτόχρονα με τα L z και S z αφού

9 Δύο σετ μετατιθέμενων στροφορμών Άρα υπάρχουν δυο σετ μετατιθέμενων μεγεθών Σετ (1): Κοινές ιδιοκαταστάσεις, ταυτόχρονη μέτρηση χωρίς αβεβαιότητα Σετ (2): Κοινές ιδιοκαταστάσεις, ταυτόχρονη μέτρηση χωρίς αβεβαιότητα Βάση (1):

10 Δύο σετ μετατιθέμενων στροφορμών Βάση (1): Οι ιδιοκαταστάσεις του σετ (1) είναι και ιδιοκαταστασεις του J z Επομένως για το m j του σετ (2) ισχύει η σύνδεση με το σετ (1):

11 Δύο σετ (βάσεις) μετατιθέμενων Βάση (1): στροφορμών m,m s >, J,m j > Βάση (2): όπου

12 Σύνδεση των δύο βάσεων: Άτομο Υδρογόνου Βάση (1) στο άτομο υδρογόνου: Ιδιοκατάσταση των Μετάβαση σε βάση (2): +6d όπου α, β σταθερές που θα προσδιοριστούν με χρήση των και

13 Εύρεση α και β 2 J Y Y L S L S L S L S Y Y lm lm1 z z lm lm / 2 2 j j 1 Ylm Ylm 1 l l 1 Ylm Ylm mylm l l 1 m m 1 Ylm / 2 2 l l 1 Ylm 1 Ylm 1 m 1Ylm 1 l l 1 mm 1 Ylm 4 3 1/ 2 j j 1 l l 1 m l l 1 m m / 2 j j 1 l l 1 m 1 l l 1 m m 1 0 4

14 Εύρεση α και β Άρα έχουμε: 3 1/ 2 j j 1 l l 1 m l l 1 mm / 2 j j 1 l l 1 m 1 l l 1 mm e που γράφεται και ως: όπου με λύση 1/ 2 l ml m 1 xm1 x m l ml m 1 l ml m 1 x mx m 1 1/ l lm l lm m m x xm x xm m m 1 x x 1 l l

15 Εύρεση α και β Επομένως έχουμε Για την μία λύση: Όμοια δείχνουμε: Γενικά ισχύει: 1 x x 1 1/ 2 l m l m 1 xm1 1/ 2 x m l ml m 1 l l x l x l x l j j l l l j j l l l 8l l 1 j0 1 j j l x l 1 j l +6h 2 j j j min 1 2 j j j max f +6i (δείτε και Τραχανά Κβαντομηχανική ΙΙ) Η απόδειξη γίνεται με χρήση της σχέσης m j =m j1 +m j2 και εύρεση όλων των δυνατών m J που αντιστοιχούν σε ζεύγος m j1,m j2. Μετά, από τα m j βρίσουμε και τα αντίστοιχα j. +6g

16 Σύνδεση βάσεων: Συντελεστές Glebsch-Gordon l ml m 1 1/ 2 x m x l 1 j l 2 +6j l ml m 1 1/ 2 x m x l1 1 j l 2 +6k aγνοούμε τους κοινούς δείκτες l, 1/2 Συντελεστές Glebsch-Gordon

17 Σύνδεση βάσεων: Συντελεστές Glebsch-Gordon +6l Συντελεστές Glebsch-Gordon

18 Ειδική Περίπτωση l=1 Συντελεστές Glebsch-Gordon +6m +6n

19 Ειδική Περίπτωση l=1 Συντελεστές Glebsch-Gordon

20 Ειδική Περίπτωση s 1 =s 2 =1/2 Αντί για θεωρούμε Βάση (1): Βάση (2):

21 Ειδική Περίπτωση s 1 =s 2 =1/2 Συντελεστές Glebsch-Gordon Κατάσταση Triplet Κατάσταση Singlet

22 Σύνοψη Για την περιγραφή συστημάτων που συνθέτονται από υποσυστήματα με στροφορμή μπορούν να χρησιμοποιηθούν δύο βάσεις καταστάσεων: η βάση των επιμέρους στροφορμών και η βάση της ολικής στροφορμής Οι δύο βάσεις συνδέονται με χρήση των συντελεστών Glebsch-Gordon. Οι συντελεστές Glebsch-Gordon δίνουν την πιθανότητα μέτρησης τιμών για τις επιμέρους στροφορμές όταν έχει μετρηθεί αρχικά η ολική στροφορμή (οπότε αρχικά το σύστημα περιγράφεται από ιδιοκατάσταση της ολικής στροφορμής). Οι συντελεστές Glebsch-Gordon υπολογίστηκαν σε απλές περιπτώσεις συστημάτων όπου η μία από τις δύο επιμέρους στροφορμές αντιστοιχεί σε spin ½.

23 Άσκηση 1 Ηλεκτρόνιο σε άτομο υδρογόνου βρίσκεται στην κατάσταση Βρείτε τις πιθανές τιμές και τις αντίστοιχες πιθανότητες που αντιστοιχούν σε μέτρηση των μεγεθών L 2, L z, S 2, S z, J 2, J z. Ποια είναι η πυκνότητα πιθανότητας να βρεθεί το σωμάτιο στην θέση r, θ, φ; Ποια είναι η αντίστοιχη πυκνότητα πιθανότητας να βρεθεί το σωμάτιο σε θέση r με spin πάνω; Έχουμε και για τις δύο καταστάσεις που υπερτίθενται l=1. Επομένως για το L 2 θα μετρηθεί η τιμή ћ 2 1(1+1)=2 ћ 2 με πιθανότητα 1. Για το L z θα μετρήσουμε 0 με πιθανότητα 1/3 και ћ με πιθανότητα 2/3. Έχουμε και για τις δύο καταστάσεις που υπερτίθενται s=1/2. Επομένως για το S 2 θα μετρηθεί η τιμή ћ 2 1/2(1/2+1)=3/4 ћ 2 με πιθανότητα 1. Για το J 2 θα πρέπει να εκφράσουμε την κατάσταση στην βάση (2) j,m j >. Έχουμε: (1) (1) 1/ 3 2 / 3 1/ 3 2 / 3 R Y Y R 21 1,0 1, , 1, 2 2 (2) (2) (2) (2) R21 1/ 3 2 / / / 3 1/ / 3 1 1,,,, R (2) (2) ,,

24 Άσκηση 1 Για το J 2 θα πρέπει να εκφράσουμε την κατάσταση στην βάση (2) j,m j >. Έχουμε: (1) (1) 1/ 3 2 / 3 1/ 3 2 / 3 R Y Y R 21 1,0 1, , 1, 2 2 (2) (2) (2) (2) R21 1/ 3 2 / / / 3 1/ / 3 1 1,,,, R (2) (2) ,, R (2) (2) ,, Για το J 2 θα μετρήσουμε ћ 2 3/2(3/2+1)=15/4 ћ 2 με πιθανότητα 8/9 και μετρήσουμε ћ 2 1/2(1/2+1)=3/4 ћ 2 με πιθανότητα 1/9 R (2) (2) ,, Για το J z θα μετρήσουμε ½ ћ με πιθανότητα 1. Η πυκνότητα πιθανότητας να βρεθεί το σωμάτιο στην θέση r, θ, φ είναι: ,0 1,1 P r,, R 1/ 3 Y 2/3 Y r sin Η πυκνότητα πιθανότητας να βρεθεί το σωμάτιο στην θέση r, θ, φ με spin πάνω είναι: ,, 1/ 3 sin P r R Y r 21 1,0

25 Άσκηση 2 Δυο σωμάτια με spin ½ αλληλεπιδρούν σύμφωνα με την Χαμιλτονιανή: H A s1 s2 όπου Α δεδομένη σταθερά. Βρείτε τις ενεργειακές ιδιοτιμές του συστήματος και τον αντίστοιχο εκφυλισμό. Το ολικό spin του συστήματος είναι της μορφής: 2 S s s s s 2 s s A Άρα η Χαμιλτονιανή εκφράζεται συναρτήσει του ολικού spin ως: H S s1 s2 και οι ιδιοτιμές δύνονται από την σχέση: A A / E S S s s s s S S Οι δυνατές τιμές του S είναι 0 και 1 με εκφυλισμούς (2S+1) (1 και 3 αντίστοιχα). 2

26 Άλυτες Ασκήσεις 1. Θεωρήστε δύο ηλεκτρόνια σε κατάσταση s=0 (singlet). a. Μέτρηση της z συνιστώσας του spin του ενός ηλεκτρονίου δίνει την τιμή S z =ћ/2. Ποια η πιθανότητα να μετρηθεί η ίδια συνιστώσα του άλλου ηλεκτρονίου στην τιμή ћ/2. b. Μέτρηση της y συνιστώσας του spin του ενός ηλεκτρονίου δίνει την τιμή S y =ћ/2. Ποια η πιθανότητα να μετρηθεί η x συνιστώσα του spin του άλλου ηλεκτρονίου στην τιμή S x =-ћ/2. c. Αν το ηλεκτρόνιο 1 είναι στην κατάσταση cosα 1 χ + +sinα 1 e iβ1 χ - και το ηλεκτρονιο 2 στην κατάσταση cosα 2 χ + +sinα 2 e iβ2 χ - ποια είναι η πιθανότητα να βρεθεί το σύστημα σε κατάσταση ολικού spin s=1 (triplet)? 2. Βρείτε τους συντελεστές Glebsch-Gordon για l,1/2,j,m-1/2.

27 Άλυτες Ασκήσεις 3. Αποδείξτε τις σχέσεις που δεν αποδείξαμε (ή που σχεδόν αποδείξαμε) στην διάλεξη: x x l l1

28 Άλυτες Ασκήσεις 4. Αποδείξτε τις σχέσεις που δεν αποδείξαμε (ή που σχεδόν αποδείξαμε) στην διάλεξη:

29 Άλυτες Ασκήσεις 5. Αποδείξτε τις σχέσεις που δεν αποδείξαμε (ή που σχεδόν αποδείξαμε) στην διάλεξη: 6. Σύστημα νετρονίου πρωτονίου με μηδενική τροχιακή στροφορμή διέπεται από το δυναμικό: όπου σ 1 (σ 2 ) το διάνυσμα των πινάκων Pauli που αντιστοιχεί στο νετρόνιο (πρωτόνιο). Α. Δείξτε ότι:

30 Άλυτες Ασκήσεις 6. Σύστημα νετρονίου πρωτονίου με μηδενική τροχιακή στροφορμή διέπεται από το δυναμικό: όπου σ 1 (σ 2 ) το διάνυσμα των πινάκων Pauli που αντιστοιχεί στο νετρόνιο (πρωτόνιο). Α. Δείξτε ότι: Β. Βρείτε την μέση τιμή του δυναμικού στην κατάσταση ολικού spin s=1 (triplet) και ολικού spin s=0 (singlet).

31 Τέλος Ενότητας

32 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

33 Σημειώματα

34 Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Έκδοση 1.0 διαθέσιμη εδώ.

35 Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος. «Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Πρόσθεση Στροφορμών». Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:

36 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη. [1]