ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ Ενότητα #8: Όριο και Συνέχεια Συνάρτησης Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

2 ΑΔΕΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 ΧΡΗΜΑΤΟΔΟΤΗΣΗ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο και από εθνικούς πόρους. 3

4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑΣ Ορισμοί και παραδείγματα στα ακόλουθα: Ορισμός Ορίου Συνάρτησης +παραδείγματα Πλευρικά Όρια Ιδιότητες Ορίων Όριο και πράξεις Κριτήριο Παρεμβολής Βασικά όρια Συνέχεια Συνάρτησης 4

5 ΘΕΩΡΙΑ

6 Ο ΑΧΙΛΛΕΑΣ ΚΑΙ Η ΧΕΛΩΝΑ 1 Το Παράδοξο του Αχιλλέα και της Χελώνας Ζήνων π.χ. Το συγκεκριμένο παράδειγμα καταλήγει στο συμπέρασμα ότι ο βραδύτερος ουδέποτε θα προσπεραστεί από τον ταχύτερο. Για να παρουσιαστεί αυτή η αντινομία πιο κατανοητή ας υποθέσουμε ότι η χελώνα προσπερνά τον Αχιλλέα 1 m και ότι η ταχύτητα u A του Αχιλλέα είναι u A =1 m/sec και της χελώνας, u, είναι u =1 m/sec.

7 Ο ΑΧΙΛΛEΑς ΚΑΙ Η ΧΕΛΩΝΑ 2 Τότε ο Αχιλλέας σε χρόνο t 1 =1 sec θα διανύσει την απόσταση ΑΧ 1 =1 m, την οποία τον προσπερνούσε η χελώνα. Κατά τη διάρκεια αυτού του χρόνου t 1 η χελώνα θα διανύσει το διάστημα 12 =1 m. Στη συνέχεια για να διατρέξει αυτή την απόσταση ο Αχιλλέας θα χρειαστεί χρόνο t 2 =1 sec.

8 Ο ΑΧΙΛΛEΑς ΚΑΙ Η ΧΕΛΩΝΑ 3 Κατά το χρόνο t 2 η χελώνα θα διανύσει το διάστημα 23 =1 m και ο Αχιλλέας θα το διατρέξει σε χρόνο t 3 =1/1 sec. Η κίνηση αυτή θα συνεχίζεται επ άπειρο. Έτσι κατέληξε ο Ζήνων, ότι ο Αχιλλέας δε θα φτάσει ποτέ τη χελώνα.

9 Ο ΑΧΙΛΛEΑς ΚΑΙ Η ΧΕΛΩΝΑ 4 Όμως και η αντινομία αυτή αίρεται όπως και η προηγούμενη. Έτσι ο χρόνος t θα δίνεται από τη σχέσηt=t 1 +t t n ή t=1+1+1/ /1 ν. Όμως και αυτή η σειρά έχει πεπερασμένο άθροισμα και είναι ίσο με t=11 1/9 sec.

10 ΟΡΙΣΜΟΣ ΟΡΙΟΥ Αν μια συνάρτηση είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής,, Λέμε ότι το όριο της είναι το l, καθώς το πλησιάζει το, χωρίς να γίνει ίσο με αυτό και γράφουμε l αν το βρίσκεται o πολύ κοντά στο l, καθώς το πλησιάζει το.

11 ΠΛΕΥΡΙΚΑ ΟΡΙΑ 1 Αν μια συνάρτηση είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής,, Και αν το πλησιάζει στον αριθμό l, καθώς το πλησιάζει στο ενώ ισχύει <, λέμε ότι το αριστερό πλευρικό όριο της στο είναι το l και γράφουμε l o

12 ΠΛΕΥΡΙΚΑ ΟΡΙΑ 2 Αν μια συνάρτηση είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής,, Και αν το πλησιάζει στον αριθμό l, καθώς το πλησιάζει στο ενώ ισχύει >, λέμε ότι το δεξί πλευρικό όριο της στο είναι το l και γράφουμε l o

13 ΠΛΕΥΡΙΚΑ ΟΡΙΑ 3 Αν μια συνάρτηση είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής,, Τότε ισχύει o l

14 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΟΡΙΩΝ Αν, τότε κοντά στο. Αν, τότε κοντά στο. Αν οι και g, έχουν όριο τον πραγματικό αριθμό και ισχύει ότι κοντά στο, τότε g g

15 ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ 1 Αν οι και g έχουν όριο τον πραγματικό αριθμό, τότε: g g g g, g g g

16 ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ 2 k k

17 ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ 3 v v v v

18 ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ Αν για τις συναρτήσεις, g, h ισχύει κοντά στο ότι και g h g h με l R, τότε l l

19 ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ

20 ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΟΡΙΑ 1 Αν μια συνάρτηση είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής,, τότε ισχύουν:

21 ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΟΡΙΑ 2 Αν τότε 1 Αν τότε Αν τότε

22 ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΟΡΙΑ 3 Αν και κοντά στο, τότε 1 Αν και κοντά στο, τότε 1

23 ΟΡΙΑ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ v 1 v v Αν ν είναι άρτιος Αν ν είναι περιττός

24 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Αν συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α, λέγεται συνεχής στο, σημείο του πεδίου ορισμού όταν :

25 ΑΣΚΗΣΕΙΣ

26 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΡΙΑ 1 1. Να χαραχθεί η γραφική παράσταση της συνάρτησης και με τη βοήθειά της να βρεθεί το a. o 1 1, 1 2, b., = -, o

27 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΡΙΑ

28 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Αν έχουμε τη συνάρτηση: 2 2 1, αν, αν i Να αποδείξετε ότι 2= 7 και να υπολογίσετε τα όρια 2 και 2 ii Να εξετάσετε αν η είναι συνεχής στο 2

29 ΤΕΛΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ