Φυσική ΙΙ (Ηλεκτρομαγνητισμός Οπτική)

Transcript

1 Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Φυσική ΙΙ (Ηλεκτρομαγνητισμός Οπτική) Διάλεξη 5 η Ιωάννα Ζεργιώτη

2 Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό όπως εικόνες, που υπόκειται σε άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναγράφεται ρητώς.

3 ΜΑΓΝΗΤΙΚΕΣ ΑΛΛΗΛΕΠΙ ΡΑΣΕΙΣ H δύναµη F που ασκείται σ ένα σωµατίδιο µε φορτίο q που κινείται µε ταχύτητα υ και βρίσκεται µέσα σε µαγνητικό πεδίο B είναι F = qυ B (1) Μονάδα µέτρησης της µαγνητικής επαγωγής B: 1 Tesla = 1 Kg s -1 C -1 Παρατήρηση: Επειδή η µαγνητική δύναµη F είναι κάθετη στην ταχύτητα υ δεν παράγει έργο και εποµένως η κινητική ενέργεια του σωµατιδίου παραµένει σταθερή. Εάν υπάρχει και ηλεκτρικό πεδίο E τότε F = qe+ qυ B (δύναµη Lorentz) ()

4 Κίνηση φορτισµένου σωµατιδίου σε οµοιόµορφο µαγνητικό πεδίο. α) Το σωµατίδιο κινείται κάθετα στο µαγνητικό πεδίο Η δύναµη είναι κάθετη στο διάνυσµα της ταχύτητας και παίζει το ρόλο της κεντροµόλου δύναµης Εποµένως το σωµατίδιο εκτελεί οµαλή κυκλική κίνηση Έχουµε mυ r mυ = qυ B r= (3) qb Επίσης, εφόσον υ = ωr η (3) δίνει για τη συχνότητα της κίνησης q ω= B (4) m α) Το σωµατίδιο κινείται υπό γωνία στο µαγνητικό πεδίο Τότε το σωµατίδιο εκτελεί ελικοειδή κίνηση.

5 Παράδειγµα 1: Φασµατογράφος µάζας Ι είναι η πηγή των φορτισµένων σωµατιδίων S 1 και S δύο σχισµές που ευθυγραµµίζουν τη δέσµη των σωµατιδίων τα οποία επιταχύνονται από το ηλεκτρικό δυναµικό V που εφαρµόζεται µεταξύ των δύο σχισµών Η ταχύτητα εξόδου των σωµατιδίων υπολογίζεται από τη σχέση 1 q = = (5) m qv mυ υ V Στην περιοχή κάτω από τις σχισµές υπάρχει µαγνητικό πεδίο Β. Η δέσµη των σωµατιδίων θα διαγράψει κυκλική τροχιά και θα προσπέσει στη φωτογραφική πλάκα P. mυ Η ακτίνα της κυκλικής τροχιάς δίνεται από την (3) r= qb Λύνοντας ως προς υ έχουµε Από τις (5), (6) προκύπτει ότι q υ = Br (6) m q m V = (7) B r Σωµατίδια ίδιου φορτίου αλλά διαφορετικής µάζας διαχωρίζονται λόγω της διαφορετικής τροχιάς που διαγράφουν

6 Παράδειγµα : Πείραµα Thomson - Μέτρηση του λόγου q m έσµη ηλεκτρονίων κινείται µέσα σε ηλεκτρικό πεδίο Ε διάστασης α και αποκλίνει. Στη συνέχεια κινείται οµαλά και προσκρούει σε πέτασµα που βρίσκεται σε απόσταση L. Από την κίνηση µέσα στο ηλεκτρικό πεδίο έχουµε: x= υ t (1) και 1 1 q y= at = E t m (8) Απαλείφοντας το χρόνο t από τις (1) και () έχουµε την εξίσωση της τροχιάς 1 q E y= x (παραβολή) (9) m υ Η γωνία φ µε την οποία το σωµατίδιο αποκλίνει είναι dy qe d q υ d tanϕ= = a= = dx mυ L m ELa x= a (1) Εφαρµόζοντας µαγνητικό πεδίο κάθετα στο ηλεκτρικό η ηλεκτρική και µαγνητική δύναµη µπορούν να εξουδετερωθούν ρυθµίζοντας την τιµή του Β. E qe= qυ B υ = (11) B Αντικαθιστώντας την (11) στη (1) έχουµε q Ed = (1) m B La

7 Παράδειγµα 3: Κύκλοτρο Το κύκλοτρο αποτελείται από ηµι-κυλινδρικές κοιλότητες (Dee) µεταξύ των οποίων εφαρµόζεται εναλλασσόµενο ηλεκτρικό πεδίο. Το σύστηµα τοποθετείται σε οµοιόµορφο µαγνητικό πεδίο που είναι παράλληλο στον άξονά του. Μία πηγή φορτισµένων σωµατιδίων τοποθετείται στο κέντρο του κυκλότρου. Το ηλεκτρικό πεδίο επιταχύνει τα σωµατίδια καθώς περνούν από το διάστηµα µεταξύ των δύο Dees. Η τροχιά των σωµατιδίων µέσα στα Dee είναι κυκλική µε ακτίνα mυ r= qb Εποµένως η ακτίνα της τροχιάς των σωµατιδίων αυξάνει καθώς αυτά επιταχύνονται κάθε φορά που διέρχονται από το ηλεκτρικό πεδίο. Για να συµβαίνει αυτό θα πρέπει η συχνότητα του ηλεκτρικού πεδίου να συµπίπτει µε τη συχνότητα περιστροφής των σωµατιδίων q ω= B m Παρατήρηση: Η συχνότητα δεν εξαρτάται από την ταχύτητα εποµένως παραµένει σταθερή. Όταν το σωµατίδιο φθάσει στην έξοδο των Dees θα έχει ταχύτητα q υ max = BR m όπου R η ακτίνα των Dees. Αυτή είναι και η µέγιστη ταχύτητα των σωµατιδίων

8 Μαγνητική δύναµη σε αγωγό διαρεόµενο από ρεύµα Μικροσκοπικά, ένας αγωγός που διαρέεται από ρεύµα µπορεί να θεωρηθεί ως ένα σύνολο κινούµενων φορτισµένων σωµατιδίων Εάν υποθέσουµε ότι υπάρχουν n σωµατίδια ανά µονάδα όγκου τότε η ένταση του ρεύµατος που διαρρέει έναν αγωγό διατοµής S είναι dq dv dl I = = nq = nqs = nqsυ (1) dt dt dt όπου υ η ταχύτητα και q το φορτίο του κάθε σωµατιδίου Ορίζουµε ως πυκνότητα ρεύµατος την ποσότητα I j = = nqυ () S η οποία εκφράζει τη ροή του φορτίου ανά µονάδα επιφάνειας και ανά µονάδα χρόνου. Ως γνωστόν, η δύναµη που ασκείται σε ένα κινούµενο σωµατίδιο είναι F = qυ B (3) και για τα n σωµατίδια που υπάρχουν στην µονάδα του όγκου η δύναµη είναι f = nqυ B (4) Εποµένως, η δύναµη που ασκείται στον αγωγό µήκους L είναι F = fdv = nqυ BdV = nqυ B dv (5) = nqυ BSL= nqυ SLuˆ B= ILuˆ B όπου û το µοναδιαίο διάνυσµα κατά τη διεύθυνση κίνησης του ρεύµατος. Συµπέρασµα: Ένας ρευµατοφόρος αγωγός που βρίσκεται µέσα σε µαγνητικό πεδίο υφίσταται δύναµη ίση µε F = ILuˆ B (6) και είναι κάθετη τόσο στο ρεύµα όσο και στο µαγνητικό πεδίο

9 Μαγνητική ροπή σε βρόχο διαρεόµενο από ρεύµα Θεωρούµε ένα τετράγωνο αγωγό που διαρέεται από ηλεκτρικό ρεύµα έντασης Ι και βρίσκεται µέσα σε µαγνητικό πεδίο Β Οι δυνάµεις F που ασκούνται στα οριζόντια τµήµατα L του αγωγού έχουν ίσο µέτρο και αντίθετη φορά και τείνουν να παραµορφώσουν τον αγωγό χωρίς όµως να επάγουν ροπή. Αντίθετα, οι δυνάµεις F που ασκούνται στα κατακόρυφα τµήµατα L επάγουν ροπή ( )( sin ) τ = IBL L θ = IBS sinθ (7) και τείνουν να στρέψουν το πλαίσιο κάθετα στο µαγνητικό πεδίο. Ορίζεται ως µαγνητική διπολική ροπή του ρεύµατος το διάνυσµα M = ISu κάθετο στο επίπεδο του αγωγού. ˆN Η σχέση (7) τελικά γράφεται τ = M B Σε αναλογία µε το ηλεκτρικό δίπολο η δυναµική ενέργεια του µαγνητικού διπόλου σε οµογενές µαγνητικό πεδίο είναι = M B Ep (8) (9) (1)

10 ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΚΙΝΟΥΜΕΝΟΥ ΦΟΡΤΙΟΥ Το µαγνητικό πεδίο B που παράγεται σε σηµείο P από φορτίο q που κινείται µε ταχύτητα υ δίνεται από τη σχέση µ ˆ qυ r B= 4π r (11) όπου r η απόσταση του P από το φορτίο και ˆr το µοναδιαίο διάνυσµα µε διεύθυνση από το φορτίο στο σηµείο Ρ. µ = π T m A (µαγνητική διαπερατότητα του κενού), /

11 ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΕΥΜΑΤΟΦΟΡΟΥ ΑΓΩΓΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΩ ΟΥΣ ΜΗΚΟΥΣ Εφόσον το ηλεκτρικό ρεύµα σε έναν αγωγό είναι ένα σύνολο κινουµένων φορτίων από τη σχέση (11) µε επαλληλία προκύπτει ότι το µαγνητικό πεδίο B που παράγεται σε σηµείο P από ρευµατοφόρο αγωγό στοιχειώδους µήκους dl που διαρέεται από ρεύµα Ι δίνεται από τη σχέση µ ˆ Idl r B= (Νόµος Biot-Savart) (1) 4π r όπου r η απόσταση του P από τον αγωγό και ˆr το µοναδιαίο διάνυσµα µε διεύθυνση από τον αγωγό στο σηµείο Ρ. Για να βρούµε το ολικό µαγνητικό πεδίο B που δηµιουργείται σε ένα σηµείο του χώρου από ένα ρευµατοφόρο αγωγό τυχαίου σχήµατος (και µήκους) ολοκληρώνουµε τη σχέση (1) και έχουµε µ ˆ Idl r B= 4 r π (13) Συµπέρασµα: Το µαγνητικό πεδίο και εποµένως και οι µαγνητικές αλληλεπιδράσεις παράγονται από κινούµενα ηλεκτρικά φορτία

12 Παράδειγµα 1: Μαγνητικό πεδίο ενός ευθύγραµµου ρευµατοφόρου αγωγού απείρου µήκους B µ I = (14) π R Παράδειγµα : Μαγνητικό πεδίο ενός κυκλικού ρευµατοφόρου αγωγού Το µαγνητικό πεδίο σε ένα σηµείο P κατά µήκος του άξονα του αγωγού που απέχει απόσταση x από το κέντρο του είναι B= µ Iα ( α + x ) Το µαγνητικό πεδίο στο κέντρο του αγωγού (x = ) είναι 3/ (15)

13 µ I α B = (16) Παράδειγµα 3: Μαγνητικό πεδίο σωληνοειδούς (πηνίου) Ένα σωληνοειδές (πηνίο) αποτελείται από µία οµάδα κυκλικών οµοαξονικών βρόχων που έχουν την ίδια ακτίνα a και διαρρέονται από το ίδιο ρεύµα I. Το µαγνητικό πεδίο στο κέντρο του σωληνοειδούς είναι µ IN B= (κέντρο) (17) L όπου L το µήκος του σωληνοειδούς και N ο αριθµός των σπειρών του. Στα άκρα του σωληνοειδούς το µαγνητικό πεδίο είναι B µ IN = (άκρα) (18) L ισούται δηλαδή µε το µισό της τιµής του στο κέντρο.

14 ΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΡΕΥΜΑΤΟΦΟΡΩΝ ΑΓΩΓΩΝ Όταν δύο παράλληλοι ρευµατοφόροι αγωγοί βρεθούν κοντά µεταξύ τους τότε το µαγνητικό πεδίο που σχηµατίζει ο ένας αλληλεπιδρά µε τον άλλον και αντιστρόφως µε αποτέλεσµα να ασκούνται δυνάµεις µεταξύ τους Με συνδυασµό των σχέσεων µ F = ILuˆ B (6) και I B= (14) π R προκύπτει ότι η δύναµη που ασκείται σε αγωγό µήκους L που διαρέεται από ρεύµα Ι από παράλληλο αγωγό µήκους L που διαρέεται από ρεύµα Ι είναι µ II ˆ π R F = ur L (19) όπου u ˆR το µοναδιαίο διάνυσµα κατά µήκος της καθέτου που συνδέει τους δύο αγωγούς. Επίσης, από τις σχέσεις (6) και (14) αποδεικνύεται ότι για οµόρροπα ρεύµατα η δύναµη µεταξύ των αγωγών είναι ελκτική ενώ για αντίρροπα ρεύµατα είναι απωστική.

15 ΑΝΑΦΟΡΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ Εικόνα 1 Μαγνητική Ροή, Πηγή : Serway Physics for Scientists and Engineers (199) Πνευματικά Διακαιώματα: Saunders College Publishing Εικόνα Πηγή : Serway Physics for Scientists and Engineers (199) Πνευματικά Διακαιώματα: Saunders College Publishing Εικόνα 3 Μαγνητικό πεδίο ευθύγραμμου αγωγού Πηγή : Serway Physics for Scientists and Engineers (199) Πνευματικά Διακαιώματα: Saunders College Publishing Εικόνα 4 Πηγή : Serway Physics for Scientists and Engineers (199) Πνευματικά Διακαιώματα: Saunders College Publishing Εικόνα 5 Μαγνητικό πεδίο πηνίου : Serway Physics for Scientists and Engineers (199) Πνευματικά Διακαιώματα: Saunders College Publishing Εικόνα 6 Πηγή : Serway Physics for Scientists and Engineers (199) Πνευματικά Διακαιώματα: Saunders College Publishing

16 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα ΕΜΠ» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο ) και από εθνικούς πόρους.