Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας"

Transcript

1 Διακριτά Μαθηματικά Εξέταση Ιούλιος 204 Σελ. από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις σας μην ξεπερνάτε, για οποιοδήποτε λόγο, τα καθορισμένα όρια αριθμού γραμμών. Σελίδες για πρόχειρο θα σας δοθούν χωριστά. Γράψτε τον ΑΜ σας σε όλες τις σελίδες (και ονοματεπώνυμο και ΑΜ στο πρόχειρο). Επώνυμο: Όνομα: ΑΜ: Βαθμοί α β 2 3 Σύνολο Κ Ε

2 ΑΜ: Σελ. 2 από 5 Θέμα α [Δεν παίρνει μονάδες, αλλά μόνο αν είναι σωστό θα βαθμολογηθεί ττο δεύτερο ερώτημα αυτού του θέματος]. Έστω X υποσύνολο των φυσικών αριθμών με πληθάριθμο n και k φυσικός με k. Θεωρούμε τα εξής σύνολα: Το σύνολο A των τρόπων να τοποθετήσουμε k μη διακεκριμένα αντικείμενα σε n διακεκριμένες υποδοχές. Το σύνολο B των φθινουσών ακολουθιών (όχι κατ ανάγκη γνησίως) με k όρους από στοιχεία του X. Το σύνολο C των διατάξεων k στοιχείων του X με επανάληψη. Κυκλώστε το σωστό, χωρίς αιτιολόγηση ούτε σχόλια:. Τα σύνολα A, B, C είναι ισοπληθικά. 2. Τα σύνολα A, B είναι ισοπληθικά και το C έχει πληθάριθμο μεγαλύτερο από αυτά. 3. Τα σύνολα A, B, C έχουν ανά δύο διαφορετικούς πληθαρίθμους. 4. Τα σύνολα A, C έχουν τον ίδιο πληθάριθμο, αλλά το B έχει μεγαλύτερο πληθάριθμο από αυτά. 5. Τα σύνολα B, C έχουν τον ίδιο πληθάριθμο, αλλά το A έχει μεγαλύτερο πληθάριθμο από αυτά. Απάντηση: Σωστό σε αυτό το φύλλο θεμάτων είναι το (2) (η αρίθμηση διαφέρει από φύλλο σε φύλλο). Εξήγηση (δεν σας ζητήθηκε). Υπάρχει προφανής και επί αντιστοίχιση μεταξύ τοποθετήσεων k μη διακεκριμένων αντικειμένων σε n διακεκριμένες υποδοχές και φθινουσών ακολουθιών (όχι κατ ανάγκη γνησίως) με k όρους από στοιχεία του X (αρκεί να αντιστοιχίσουμε τα στοιχεία του με υποδοχές και στη συνέχεια να βάλουμε σε κάθε υποδοχή τόσα αντικείμενα όσες φορές εμφανίζεται το αντίστοιχο στοιχείο του X στην ακολουθία. Άρα A = B. Το σύνολο C έχει μεγαλύτερο πληθάριθμο, διότι οι διατάξεις είναι περισσότερες από τις φθίνουσες ακολουθίες.

3 ΑΜ: Σελ. 3 από 5 Θέμα β [3,5 μονάδες]. Να γράψετε τη γεννήτρια συνάρτηση του αριθμού των τρόπων να γράψουμε ένα περιττό φυσικό n ως άθροισμα άλλων φυσικών, χωρίς να «μετρά» η σειρά, αλλά με τον περιορισμό στο άθροισμα οι άρτιοι όροι να εμφανίζονται άρτιες φορές ο καθένας και οι περιττοί περιττές φορές ο καθένας. Να δώσετε τη γεννήτρια συνάρτηση σε απλοποιημένη μορφή με χρήση γινομένων με άπειρους παράγοντες, αλλά μην υπολογίσετε το συντελεστή του x n (παρόμοια με τη ΓΣ του αριθμού των διαμερίσεων ενός φυσικού). Να είστε σύντομοι και σαφείς. Απάντηση: Ο παράγοντας της ΓΣ που αντιστοιχεί στην εμφάνιση του 2 στο άθροισμα άρτιες φορές είναι: + x x x 6 2 = x 2 2. Γενικά ο παράγοντας της ΓΣ που αντιστοιχεί στην εμφάνιση του 2i (i ) άρτιες φορές στο άθροισμα είναι: + x 2 2i + x 4 2i + x 6 2i = x 2 (2i). Ο παράγοντας της ΓΣ που αντιστοιχεί στην εμφάνιση του ατο άθροισμα περιττές φορές είναι x + x 3 + x 5 + = ( + x + x 2 + x 3 + ) ( + x 2 + x 4 + x 6 + ) = x x = x 2 x 2. Γενικά, ο παράγοντας της ΓΣ που αντιστοιχεί στην εμφάνιση του 2i- (i ) στο άθροισμα περιττές φορές είναι x (2i ) + x 3 (2i ) + x 5 (2i ) + = ( + x (2i ) + x 2 (2i ) + x 3 (2i ) + ) ( + x 2 (2i ) + x 4 (2i ) + x 6 (2i ) + ) = x 2i x 2 (2i ) = x 2i x 2 (2i ). Άρα η ΓΣ που ζητάμε είναι: ( i= x 2 (2i) x 2i x 2 (2i ) ).

4 ΑΜ: Σελ. 4 από 5 Θέμα 2 [3,5 μονάδες]. Κανονικό τετράεδρο ABCD (στερεό με τέσσερις έδρες που είναι ισόπλευρα τρίγωνα) περιστρέφεται γύρω από τον άξονα AM όπου M το κέντρο βάρους (σημείο τομής διαμέσων) του τριγώνου BCD. Να υπολογιστεί με πόσους μη ισοδύναμους τρόπους μπορούμε να χρωματίσουμε τις κορυφές του τετράεδρου με δύο χρώματα, με τον περιορισμό ένα χρώμα (οποιοδήποτε) να εμφανιστεί ακριβώς μία φορά. Να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο Pólya (απ ευθείας μέτρηση δε θα γίνει δεκτή). Να είστε σύντομοι. Απάντηση: Οι συμμετρίες εκτός από την ταυτοτιτκή είναι οι δύο περιστροφές κατά 2π/3 και 4π/3 γύρω από τον άξονα AM. Η δείκτρια συνάρτηση της ταυτοτικής είναι y 4 ενώ κάθε μία από τις δύο περιστροφές έχει δείκτρια y y 3. Επομένως το πολυώνυμο Pólya για δύο χρώματα είναι P (x, x 2 ) = 3 [(x + x 2 ) 4 + 2(x + x 2 )(x 3 + x 3 2)]. Πρέπει να βρούμε τα άθροισμα των συντελεστών των x x 3 2 και x 3 x 2 στο παραπάνω πολυώνυμο ή λόγω συμμετρίας να διπλασιάσουμε το συντελεστή του x x 3 2. Ο ευκολότερος τρόπος για να βρούμε το συντελεστή του x x 3 2 είναι να υπολογίσουμε το P x (0, ). Έχουμε P x (x, x 2 ) = 3 [4(x + x 2 ) 3 + 2(x 3 + x 3 2) + 6x 2 (x + x 2 )]. Άρα P (0, ) = 2 x και η απάντηση που ζητάμε είναι 4.

5 ΑΜ: Σελ. 5 από 5 Θέμα 3 [3,5 μονάδες]. Έστω γράφος G = (V, E) με σύνολο κορυφών V και σύνολο ακμών E. Λέμε ότι ένα υποσύνολο κορυφών X V είναι προσιτό από κορυφή v (μέσω μίας ακμής) αν υπάρχει ακμή {v, w} E με w X. Έστω τώρα X,..., X n μία οικογένεια υποσυνόλων του V τέτοια ώστε για κάθε υποοικογένεια X i,..., X ir, με r n, το σύνολο r s=x is είναι προσιτό από τουλάχιστον r κορυφές. Να δείξετε ότι υπάρχουν n κορυφές v,..., v n ανά δύο διαφορετικές έτσι ώστε το X i είναι προσιτό από τη v i, i =,..., n. Απάντηση: Θεωρούμε διμερή γράφο του οποίου το ένα μέρος A έχει κορυφές το σύνολα X,..., X n και το δεύτερο μέρος B έχει ως κορυφές τις κορυφές V του αρχικού γράφου G. Συνδέουμε με ακμή ένα σύνολο X i στο μέρος A με μία κορυφή v j στο μέρος B αν το X i είναι προσιτό από τη v j. Ας θεωρήσουμε τώρα S = {X i,..., X ir } υποσύνολο του μέρους A. Είναι φανερό ότι τα στοιχεία του Γ(S), δηλαδή οι κορυφές του μέρους B από τις οποίες κάποιο στοιχείο του S είναι προσιτό, ταυτίζονται με τις κορυφές του μέρους B από τις οποίες το r s=x is είναι προσιτό. Επομένως σύμφωνα με την υπόθεση, Γ(S) S, επομένως ισχύουν οι προϋποθέσεις για το θεώρημα Hall, άρα προκύπτει το ζητούμενο.

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Διακριτά Μαθηματικά Εξέταση Σεπτέμβριος 2014 Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Διακριτά Μαθηματικά Εξέταση Ιανουάριος 2015 Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Διακριτά Μαθηματικά Τελική Εξέταση Απρίλιος 204 Σελ. από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κ Ε Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Κ Ε Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Διακριτά Μαθηματικά Εξέταση Ιούνιος 206 Σελ. από 6 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις σας

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Διακριτά Μαθηματικά Ενδιάμεση εξέταση 1 Φεβρουάριος 2014 Σελ. 1 από 7 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις

Διαβάστε περισσότερα

n ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4

n ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4 Διακριτά Μαθηματικά Ι Επαναληπτικό Μάθημα 1 Συνδυαστική 2 Μεταξύ 2n αντικειμένων, τα n είναι ίδια. Βρείτε τον αριθμό των επιλογών n αντικειμένων από αυτά τα 2n αντικείμενα. Μεταξύ 3n + 1 αντικειμένων τα

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Μαθηματική Λογική Τελική εξέταση Ιούλιος 2014 α Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Μαθηματική Λογική Εξέταση Σεπτεμβρίου 2016 Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Μαθηματική Λογική Εξέταση Σεπτεμβρίου 2015 Σελ. 1 από 6 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Μαθηματική Λογική Εξέταση Σεπτέμβριος 2014 α Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Μαθηματική Λογική A Ενδιάμεση εξέταση Μάρτιος 2014 Σελ. 1 από 6 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις f, g όταν: x x 2 x x. x x g x. ln x ln x 1 και

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις f, g όταν: x x 2 x x. x x g x. ln x ln x 1 και Α ΟΜΑΔΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις, όταν: () με R και (). Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Το πεδίο ορισμού της είναι A R. Επομένως A A R Α Θα εξετάσουμε αν για κάθε R ισχύει.

Διαβάστε περισσότερα

y(p) = 0 y(p) = 0 y(p) = 0

y(p) = 0 y(p) = 0 y(p) = 0 Διακριτά Μαθηματικά Φροντιστήριο Θεωρία μέτρησης Polya Ι 1 / 21 Οι έξι όψεις ενός κύβου θα χρωματιστούν με 6 διαφορετικά χρώματα, κάθε όψη με ένα διαφορετικό χρώμα. Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει αυτό

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Μαθηματική Λογική Εξέταση Ιουλίου 2015 Σελ. 1 από 6 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις σας

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Εξέταση Ιουνίου 2017 Σελ. 1 από 5

Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Εξέταση Ιουνίου 2017 Σελ. 1 από 5 Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Εξέταση Ιουνίου 2017 Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x 0, τότε να αποδείξετε ότι είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x 0, τότε να αποδείξετε ότι είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤΡΙΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Εισαγωγή στο Σχεδιασμό & την Ανάλυση Αλγορίθμων Εξέταση Φεβρουαρίου 2016 Σελ. 1 από 7 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

2.1 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β λέγεται μια διαδικασία (κανόνας), με την οποία κάθε στοιχείο του

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

P G = 1 2 (x x 3 2 ) 2 [(y 1 + y y n ) 6 + (y y y 2 n ) 3 ] 2 (n6 + n 3 ) = n3 (n 3 + 1)

P G = 1 2 (x x 3 2 ) 2 [(y 1 + y y n ) 6 + (y y y 2 n ) 3 ] 2 (n6 + n 3 ) = n3 (n 3 + 1) Διακριτά Μαθηματικά Φροντιστήριο Θεωρία μέτρησης Polya ΙΙ 1 / 15 Ενας κύλινδρος, που έχει διαιρεθεί σε 6 τμήματα θα χρωματιστεί με 1 ή περισσότερα από διαφορετικά χρώματα. Με πόσους τρόπους επιτυγχάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΕΘΝΗ ΦΟΙΤΗΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΟΜΑΔΑ Α

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΕΘΝΗ ΦΟΙΤΗΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΟΜΑΔΑ Α ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΓΙΑ ΤΗ 7 Ιουνίου 008 ΔΙΕΘΝΗ ΦΟΙΤΗΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Να απαντήσετε σε 3 θέματα από την ομάδα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική (προπτυχιακό) Εξέταση Ιανουαρίου 2018 Σελ. 1 από 5

Μαθηματική Λογική (προπτυχιακό) Εξέταση Ιανουαρίου 2018 Σελ. 1 από 5 Μαθηματική Λογική (προπτυχιακό) Εξέταση Ιανουαρίου 2018 Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμένο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Διακριτά Μαθηματικά Ι Ενότητα 2: Γεννήτριες Συναρτήσεις Μέρος 3 Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 10η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 10η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 0η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 07 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 0η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Γεννήτριες Συναρτήσεις

Γεννήτριες Συναρτήσεις Ακολουθίες Γεννήτριες Συναρτήσεις Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ακολουθία: αριθμητική

Διαβάστε περισσότερα

P(n, r) = n! P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1 r n!

P(n, r) = n! P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1 r n! Διακριτά Μαθηματικά Σύνοψη Θεωρίας Τυπολόγιο Αναστασία Κόλλια 20/11/2016 1 / 55 Κανόνες γινομένου και αθροίσματος Κανόνας αθροίσματος: Αν ένα γεγονός μπορεί να συμβεί κατά m τρόπους και ένα άλλο γεγονός

Διαβάστε περισσότερα

α n z n = 1 + 2z 2 + 5z 3 n=0

α n z n = 1 + 2z 2 + 5z 3 n=0 Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Η ύλη συνοπτικά... Γεννήτριες συναρτήσεις Τι είναι η γεννήτρια Στην

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Γ. Το µέτρο της διαφοράς δύο µιγαδικών αριθµών είναι ίσο µε την απόσταση των εικόνων τους στο µιγαδικό επίπεδο.

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Γ. Το µέτρο της διαφοράς δύο µιγαδικών αριθµών είναι ίσο µε την απόσταση των εικόνων τους στο µιγαδικό επίπεδο. ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΠΕΜΠΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 4 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Εισαγωγή στο Σχεδιασμό & την Ανάλυση Αλγορίθμων Εξέταση Φεβρουαίου 2015 Σελ. 1 από 7 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες

Διαβάστε περισσότερα

). Πράγματι, στο διάστημα [ x, x 1 2 ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Επομένως, υπάρχει ξ x 1,

). Πράγματι, στο διάστημα [ x, x 1 2 ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Επομένως, υπάρχει ξ x 1, ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 MAΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Αποδεικνύουμε το θεώρημα στην περίπτωση που

Διαβάστε περισσότερα

κ.λπ. Ισχύει πως x = 100. Οι διαφορετικές λύσεις αυτής της εξίσωσης χωρίς κανένα περιορισμό είναι

κ.λπ. Ισχύει πως x = 100. Οι διαφορετικές λύσεις αυτής της εξίσωσης χωρίς κανένα περιορισμό είναι Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Διακριτά Μαθηματικά 3 η γραπτή εργασία, Σχέδιο Λύσεων Επιμέλεια: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου ΘΕΜΑ (Συνδυαστική,.6 μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β') ΔΕΥΤΕΡΑ 28 ΜΑΪΟΥ 2012

ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β') ΔΕΥΤΕΡΑ 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β') ΔΕΥΤΕΡΑ 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Γεννήτριες Συναρτήσεις

Γεννήτριες Συναρτήσεις Γεννήτριες Συναρτήσεις ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναπαράσταση Ακολουθιών Ακολουθία:

Διαβάστε περισσότερα

x είναι f 1 f 0 f κ λ

x είναι f 1 f 0 f κ λ 3 Ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ [Κεφάλαια, Μέρος Β' του σχολικού βιβλίου] ΘΕΜΑ Α.Βλέπε σχολικό βιβλίο, σελίδα 4.. Βλέπε σχολικό βιβλίο, σελίδα 88, 89. 3. α) ΣΩΣΤΟ, διότι αν η f παραγωγίσιμη στο χ

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Διακριτά Μαθηματικά Ι Ενότητα 4: Θεωρία Μέτρησης Po lya Μέρος 1 Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Διακριτά Μαθηματικά Ι Ενότητα 2: Γεννήτριες Συναρτήσεις Μέρος 1 Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 12 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 12 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ 0/04/018 ΕΩΣ 14/04/018 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Πέμπτη 1 Απριλίου 018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη ε του κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2 Β' Λυκείου. Ύλη: Συστήματα Ιδιότητες Συναρτήσεων

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2 Β' Λυκείου. Ύλη: Συστήματα Ιδιότητες Συναρτήσεων Είμαστε τυχεροί που είμαστε δάσκαλοι ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2 Β' Λυκείου Ον/μο:. ΕΠΑ.Λ. Ύλη: Συστήματα Ιδιότητες Συναρτήσεων 05-10-1 Θέμα 1 ο : Α.i. Τι ονομάζουμε γραμμική εξίσωση; ( μον.) ii. Πότε

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγορία 1 η. Σταθερή συνάρτηση Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, f '( x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ

Κατηγορία 1 η. Σταθερή συνάρτηση Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, f '( x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ Κατηγορία η Σταθερή συνάρτηση Τρόπος αντιμετώπισης: Για να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ πρέπει: η συνάρτηση να είναι συνεχής στο Δ '( ) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ B ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ln 4 i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ii Να δείξετε ότι η παραπάνω συνάρτηση γράφεται: ln iii Να λύσετε την εξίσωση ln 5 ln 3 4 a a1 4,, a i Να βρείτε τον αριθμό

Διαβάστε περισσότερα

Α. Έστω δύο σύνολα Α και Β. Ποιά διαδικασία ονομάζεται συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α και πεδίο τιμών το Β;

Α. Έστω δύο σύνολα Α και Β. Ποιά διαδικασία ονομάζεται συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α και πεδίο τιμών το Β; σελ 1 από 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Α. Έστω δύο σύνολα Α και Β. Ποιά διαδικασία ονομάζεται συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α και πεδίο τιμών το Β; 1. Σ-Λ Η σχέση με:, είναι συνάρτηση. 2. Σ-Λ Η σχέση είναι συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Ορισμός: Έστω Α, Β R. Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζουμε την διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Μονοτονία - Ακρότατα - Συμμετρίες συνάρτησης Μονοτονία Συνάρτησης Ορισμοί Α) Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα υποσύνολο Β του Πεδίου Ορισμού της όταν : για κάθε, B με < f( ) < f( ). Β) Μια

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ ΟΜΑΔΑ Β ΔΕΥΤΕΡΑ 5 ΜΑΪΟΥ 5 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΠΟΥ ΥΠΗΡΕΤΟΥΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΠΕΜΠΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2018

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΠΟΥ ΥΠΗΡΕΤΟΥΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΠΕΜΠΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2018 ΘΕΜΑ Α ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΠΟΥ ΥΠΗΡΕΤΟΥΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΠΕΜΠΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 8 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Απόδειξη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Α. Θεωρία (Θεώρημα σελίδα 5 σχολικού βιβλίου) Α. Α) ΨΕΥΔΗΣ Β) Θα δώσουμε ένα αντιπαράδειγμα Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Ισομετρίες, Συμμετρίες και Πλακοστρώσεις Οπως είδαμε στην απόδειξη του πρώτου κριτηρίου ισότητας τριγώνων, ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί την έννοια της εφαρμογής ενός τριγώνου σε ένα άλλο, χωρίς

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Διακριτά Μαθηματικά Ι Ενότητα 2: Γεννήτριες Συναρτήσεις Μέρος 2 Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ HMEΡΗΣΙΩΝ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΑΥΤΟΤΕΛΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ & ΤΜΗΜΑΤΩΝ ΣΥΝ Ι ΑΣΚΑΛΙΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΣΑΒΒΑΤΟ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 018 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (ΑΛΓΕΒΡΑ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημ/νία: 27 Μαΐου 2013

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημ/νία: 27 Μαΐου 2013 Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημ/νία: 27 Μαΐου 2013 Απαντήσεις Θεμάτων Θεμα Α Α1. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 334-335

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ

2.1 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ . ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑ. Η γνησίως αύξουσα Συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της, όταν για οποιαδήποτε x, x µε x < x ισχύει : f ( x ) < f ( x ). Η

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Πόσες από αυτές τις σκακιέρες είναι αλήθεια διαφορετικές;

Πόσες από αυτές τις σκακιέρες είναι αλήθεια διαφορετικές; Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Πόσες από αυτές τις σκακιέρες είναι αλήθεια διαφορετικές; Αυτές οι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α. lim f(x) 0 και lim g(x), τότε lim [f(x) g(x)] 0. lim.

ΘΕΜΑ Α. lim f(x) 0 και lim g(x), τότε lim [f(x) g(x)] 0. lim. ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΡΕΙΣ A. Έστω μια συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

Διαγώνισμα (Μονάδες 2) β. Μια συνάρτηση f μπορεί να μην είναι συνεχής στα άκρα ακαι β αλλά να είναι συνεχής στο [ α, β ].

Διαγώνισμα (Μονάδες 2) β. Μια συνάρτηση f μπορεί να μην είναι συνεχής στα άκρα ακαι β αλλά να είναι συνεχής στο [ α, β ]. ΘΕΜΑ Α Διαγώνισμα 1 A 1. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ. (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

3.7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ

3.7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ 68 Να γράψετε τον τύπο που δίνει το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της, τις ευθείες, και τον άξονα, όταν για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Διαγωνισμάτος 1 Ενότητα: Ακολουθίες-Σειρές

Λύσεις Διαγωνισμάτος 1 Ενότητα: Ακολουθίες-Σειρές Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος ykarag@aegea.gr Λύσεις Διαγωνισμάτος Ενότητα: Ακολουθίες-Σειρές Άσκηση. Έστω ακολουθία (a ), για την οποία ισχύει ότι Θεωρούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2014

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2014 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α Έστω μία συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f σε κάθε εσωτερικό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Επαναληπτικές Ασκήσεις (από σχολικό βιβλίο) (από βοήθημα Γ Γυμνασίου Πετσιά-Κάτσιου) Κεφάλαιο 1ο 17,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 07 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΡΕΙΣ(3)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα 1 ο (ΜΑΪΟΣ 2004, ΜΑΪΟΣ 2008) Να δείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f (x) = c είναι (c) = 0. Απόδειξη

Θέμα 1 ο (ΜΑΪΟΣ 2004, ΜΑΪΟΣ 2008) Να δείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f (x) = c είναι (c) = 0. Απόδειξη ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΕΛΑΦΑ 59 Θέμα 1 ο (ΜΑΪΟΣ 004, ΜΑΪΟΣ 008) Να δείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f (x) = c είναι (c) = 0. Έχουμε f (x+h) - f (x) = c - c = 0 και για h 0 είναι f (x + h) - f (x) 0 m

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 4 o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 0. Σ 9. Λ. Λ. Σ 40. Σ. Σ. Σ 4. Λ 4. Λ. Σ 4. Σ 5. Σ 4. Σ 4. Λ 6. Σ 5. Λ 44.

Διαβάστε περισσότερα

Διαγώνισμα προσομοίωσης Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Δευτέρα 13 Μαΐου 2019

Διαγώνισμα προσομοίωσης Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Δευτέρα 13 Μαΐου 2019 ΑΡΧΗ ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙΔΕΣ ο ΓΕΛ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ Διαγώνισμα προσομοίωσης Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Δευτέρα Μαΐου 9 BAΘΜΟΣ../ ή / Ονοματεπώνυμο: Τμήμα:. ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε το παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. z x y 2xyi. Re z x y. Θα δείξουμε ότι για τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει ότι. z z zz. zz zz z z 1 0 z z 1 (1)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. z x y 2xyi. Re z x y. Θα δείξουμε ότι για τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει ότι. z z zz. zz zz z z 1 0 z z 1 (1) Αριθμός Εξέτασης 7 α.α) ος τρόπος: Έστω z i. Τότε ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ z i και Re z. Θα δείξουμε ότι για τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει ότι z z,ισχύει επίσης ότι. Είναι z z z z z z z z z z z

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού

Μαθηματικά προσανατολισμού ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 06 Μαθηματικά προσανατολισμού Α Σχολικό βιβλίο, σελ: 60 ΘΕΜΑ Α Α Σχολικό βιβλίο, σελ: 69 Α Σχολικό βιβλίο, σελ: 80 Α4 α) Λάθος β) Λάθος γ) Σωστό δ) Λάθος ε) Λάθος ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α 1 1. α) Να γίνει γινόµενο το τριώνυµο λ -3λ+. β) Να βρεθεί το λ έτσι ώστε η εξίσωση λ(λχ-1)χ(3λ-)-λ i) να είναι αδύνατη ii) να είναι αόριστη iii) να έχει µία µόνο λύση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Ξεφυλλίζοντας τα σχολικά βιβλία της Α και Β Λυκείου θα συναντήσουμε τις παρακάτω 10 "βασικές" συναρτήσεις των οποίων τη γραφική παράσταση πρέπει να γνωρίζουμε:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Πραγματική Συνάρτηση ρισμός Έστω Α ένα υποσύνολο του R. νομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

P(A ) = 1 P(A). Μονάδες 7

P(A ) = 1 P(A). Μονάδες 7 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 7 ΘΕΜΑ Α A Έστω συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ Αν f σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 -6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8.doc ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α i = βi () β αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2019 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2019 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 6, Γραφείο 102, Στρόβολος 200, Λευκωσία Τηλέφωνο: 57 2278101, Φαξ: 57 2279122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2019 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ Ημερομηνία:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο.

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ΣΥΛΛΟΓΟΣ «Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ» ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Δίνονται τα πολυώνυμα (3x ) (5 x)(3x ) και 5x 9 i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ii). Να βρείτε την τιμή του

Διαβάστε περισσότερα

AΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ. ( t) f dt = G(β) G(α) A2. Πότε η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f λέμε ότι έχει:

AΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ. ( t) f dt = G(β) G(α) A2. Πότε η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f λέμε ότι έχει: AΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ 9 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 5o ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ : Tέσσερις (4) ΘΕΜΑ A Α. Έστω f μια

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Εισαγωγή Οι γεννήτριες συναρτήσεις είναι ένα από τα ισχυρά εργαλεία για μια ενοποιημένη αντιμετώπιση πολλών κατηγοριών προβλημάτων απαρίθμησης Ο Lplce έθεσε πρώτος τις

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2009

ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2009 1 ΘΕΜΑ 1 Α. Σχολικό βιβλίο Σελ. 251. Β. Σχολικό βιβλίο Σελ. 213. Γ. α. Σωστό β. Σωστό γ. Λάθος δ. Λάθος ε. Λάθος ΘΕΜΑ 2 Α. α. Έστω η εικόνα του στο μιγαδικό επίπεδο. Τότε θα έχουμε: η οποία είναι η ζητούμενη

Διαβάστε περισσότερα

bca = e. H 1j = G 2 H 5j = {f G j : f(0) = 1}

bca = e. H 1j = G 2 H 5j = {f G j : f(0) = 1} Αλγεβρα Ι, Χειμερινο Εξαμηνο 2017 18 Ασκησεις που συζητηθηκαν στο φροντιστηριο Το [Α] συμβολίζει το φυλλάδιο ασκήσεων που θα βρείτε στην ιστοσελίδα του μαθήματος επιλέγοντας «Άλλες Ασκήσεις». 1. Πόσες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

x x f x για κάθε f x x ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α Α1. α) Σχολικό σελίδα 15

x x f x για κάθε f x x ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α Α1. α) Σχολικό σελίδα 15 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. α) Σχολικό σελίδα 5 β) i. Μια συνάρτηση : είναι συνάρτηση -, αν και μόνο αν για οποιαδήποτε A y y A, η συνεπαγωγή: αν τότε ii. Μια συνάρτηση g: με την οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β ΑΙΓΑΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ. Δίνεται η συνάρτηση f (). Να βρείτε για ποιες τιμές του δεν ορίζεται η συνάρτηση f. Να βρείτε τον αριθμό f ( ). Να δείξετε ότι f () I. Δίνεται η εξίσωση με η οποία έχει ρίζες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο x. και ισχύει. Μονάδες 9 Α2. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και [, ]

, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο x. και ισχύει. Μονάδες 9 Α2. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και [, ] ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 6-7 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' Λυκείου Θέμα Α Α. Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι και

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Διαγωνίσματος Μαθηματικών Προσανατολισμού Γ Λυκείου 03/11/2018

Απαντήσεις Διαγωνίσματος Μαθηματικών Προσανατολισμού Γ Λυκείου 03/11/2018 ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ: ΤΜΗΜΑ: ΤΣΙΜΙΣΚΗ &ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ THΛ: 7077 594 ΑΡΤΑΚΗΣ - Κ ΤΟΥΜΠΑ THΛ: 993 9494 ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: Απαντήσεις Διαγωνίσματος Μαθηματικών Προσανατολισμού Γ Λυκείου 03//08 Θέμα Α A Σχολικό βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

lim είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο x 0. β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f (x) =

lim είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο x 0. β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f (x) = Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** α) Να αποδείξετε ότι αν τα όρια lim - f () - f - είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο. ( ) και β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f () = lim + στο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

z i z 1 z i z 1 z i z i z 2 z 1 z zi iz 1 z 2 z 1 i z z 2 z i 2vi 2 k v v k v k 0 v 0

z i z 1 z i z 1 z i z i z 2 z 1 z zi iz 1 z 2 z 1 i z z 2 z i 2vi 2 k v v k v k 0 v 0 ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ -4 Λύσεις Θέμα ο α) H f παραγωγίσιμη στο (,) ως άθροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσεων με: f() για κάθε (,). Αφού η f είναι συνεχής στο (,) και f() για κάθε (,) είναι γνησίως αύξουσα στο (,) άρα

Διαβάστε περισσότερα