Π. ΚΡΗΤΗΣ, ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΥ 380, «ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ» Φ 01: ΕΞΑΝΤΛΗΤΙΚΗ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ
|
|
- Χαράλαμπος Δουμπιώτης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Π. ΚΡΗΤΗΣ, ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΥ 380, «ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ» Φ 01: ΕΞΑΝΤΛΗΤΙΚΗ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ Δεδομένου ενός προβλήματος Q, ο πρώτος σκοπός μιας εξαντλητικής αναζήτησης είναι να μας εφασφαλίσει την ύπαρξη αλγορίθμου για το Q. (Αν και μερικές φορές τυχαίνει να μην μπορούμε ή και να μην προλαβαίνουμε να κάνουμε κάτι άλλο από μια «εξαντλητική αναζήτηση».) «Εξαντλητική αναζήτηση» σημαίνει τα εξής τρία: να προσδιορίσουμε τον «χώρο» των ενδεχομένων απαντήσεων για κάθε στιγμιότυπο του Q. να εξετάσουμε ένα προς ένα τα στοιχεία αυτού του χώρου και να ελέγξουμε για κάθε ένα από αυτά το εάν αποτελεί ικανοποιητική απάντηση ή όχι. Για να γίνει αυτό αρκούν και χρειάζονται δύο τινά: διακριτοποίηση: ο χώρος των απαντήσεων να είναι διακριτός, δηλαδή τα στοιχεία του να είναι απαριθμήσιμα ένα προς ένα. φραγή: να αρκεί να ελέγξουμε μόνον ένα πεπερασμένο πλήθος από ενδεχόμενες λύσεις. Για να επιτύχουμε τα παραπάνω χαρακτηριστικά αναδιατυπώνουμε το πρόβλημα σε μορφή «ΔΙΔΕΤΑΙ/ΖΗΤΕΙΤΑΙ/ΏΣΤΕ» ώστε από το «ΖΗΤΕΙΤΑΙ» να καταστεί εντελώς σαφής η μορφή των ζητουμένων, και από το «ΏΣΤΕ» να καταστεί σαφής η συνθήκη ελέγχου του εάν μια ενδεχόμενη λύση είναι όντως αποδεκτή λύση. ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΟΝΤΟΤΗΤΕΣ Σε εξαιρετικά μεγάλο πλήθος περιπτώσεων η μορφή των ζητουμένων δεν είναι άλλο από μια συνηθισμένη ή και απλή θεμελιακή συνδυαστική οντότητα. Σε αυτή την περίπτωση εξασφαλίζουμε ταυτόχρονα και την διακριτοποίηση και την φραγή του χώρου των λύσεων. Υπάρχουν πολλές «συνδυαστικές οντότητες», αλλά 4 5 από αυτές είναι θεμελιακές και επαρκείς για την μεγάλη πλειοψηφία των περιπτώσεων που θα χρειαστούμε: ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ Ν αντικειμένων ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ν αντικειμένων ανά κ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ν αντικειμένων ανά κ ΥΠΟΣΥΝΟΛΑ Ν αντικειμένων Μερικές από τις 120 μεταθέσεις 5 αντικειμένων είναι οι 1,2,5,4,3, 1,3,5,4,2, 2,5,3,1,4, 4,3,2,1,5, 5,4,3,2,1 κοκ. Οι μεταθέσεις Ν αντικειμένων έχουν πλήθος Ν! = (Ν 1) Ν. Ισχύει ότι Ν! > ( Ν /3) Ν. (Ή, αλλιώς, τα υποσύνολα μεγέθους κ, από ν στοιχεία.) Μερικοί συνδυασμοί του {1,..., 6} ανά 4 είναι {1,2,3,5}, {2,4,6,7}, {4,5,6,7}, κοκ. ν ν! Οι συνδυασμοί «ν ανά κ» έχουν πλήθος ( κ ) =. Για κ = 2 το πλήθος κ!( ν κ)! αυτό είναι μόνον Θ(ν 2 ), αλλά για μεγάλα κ (κ ν/2) έχει εκθετικό μέγεθος: ν 3 ( ν ) ν /2 2 >. (Ή, αλλιώς, τα διατάξεις κ από ν στοιχεία.) Μερικές διατάξεις του {1,..., 5} ανά 3 είναι οι εξής: {1,2,3}, {2,1,3}, {2,3,1}, {3,1,2}, {3,2,1}, {1,3,4}, {1,4,3}, {1,3,4}, κοκ. ν! Οι διατάξεις «ν ανά κ» έχουν πλήθος Δ νκ, = = νν ( 1)( ν 2)...( ν κ+ 1). Για ( ν κ)! κ = 2 το πλήθος αυτό είναι Θ(ν 2 ), αλλά για μεγάλα κ (κ ν/2) έχει εκθετικό μέγεθος. Όλα τα υποσύνολα του {1,..., Ν}. Για Ν = 4 είναι τα εξής 16: { }, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}, {1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4}, {2,3,4}, {1,2,3,4}.
2 ΔΙΑΜΕΡΙΣΕΙΣ Ν αντικειμένων Τα υποσύνολα του {1, 2,..., Ν} είναι ακριβώς 2 Ν στο πλήθος. Όλοι οι τρόποι να διαμεριστεί ένα σύνολο με Ν στοιχεία σε κ = 1, 2, 3,..., έως Ν υποσύνολα (από τουλάχιστον 1 στοιχείο σε κάθε υποσύνολο). Οι διαμερίσεις του {1, 2, 3} είναι 6 το πλήθος: 1,2,3, 1,2 3, 1,3 2, 1 2,3, Το πλήθος των διαμερίσεων του {1, 2,..., Ν} γίνεται (για μεγάλα Ν) 4 Ν. Δίνουμε μερικά χαρακτηριστικά παραδείγματα: ΕΛΑΧΙΣΤΟΣ ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΕΝΟΣ ΚΥΚΛΟΣ «Δίδονται Ν σημεία στο επίπεδο και ζητείται ο ελάχιστος περιγεγραμμένος κύκλος.» Για την (ανα)διατύπωση του προβλήματος υπό το σχήμα «ΔΙΔΕΤΑΙ/ΖΗΤΕΙΤΑΙ/ΏΣΤΕ» χρειάζεται μια μετάφραση καθημερινών γλωσσικών εκφράσεων σε μια τυπική «μαθηματική» γλώσσα. Το «ΔΙΔΕΤΑΙ» εδώ είναι σαφές και το «ΖΗΤΕΙΤΑΙ/ΩΣΤΕ» (λίγο πιο κρυφό) είναι «ο ελάχιστος περιγεγραμμένος». Όπως συμβαίνει συχνά στην καθημερινή γλώσσα, λέμε δύο πράγματα με ένα πυκνό συνεκτικό τρόπο που εδώ πρέπει να αναλύσουμε στα συστατικά του στοιχεία. Εδώ, και σε όλες τις ανάλογες περιπτώσεις, το ουσιαστικό (το: «κύκλος») δίδει την μορφή που θέλουμε, και, το επίθετο (το: «ελάχιστος & περιγεγραμμένος») δίδει την συνθήκη που θέλουμε να τηρείται. Έχουμε λοιπόν το πρόβλημα: «ΔΙΔΕΤΑΙ»: πλήθος Ν, και πίνακας σημείων στο επίπεδο Ρκ, κ = 1,..., Ν, «ΖΗΤΕΙΤΑΙ»: «κύκλος», «ΩΣΤΕ»: που να περιλαμβάνει όλα τα σημεία και να έχει την μικρότερη δυνατή (= ελάχιστη) ακτίνα. Αλλά και η έκφραση «κύκλος» απαιτεί περαιτέρω ανάλυση: άνατρέχουμε στον ορισμό για να θυμηθούμε (αν γίνεται να το ξεχάσει κάποιος) ότι ένας κύκλος ορίζεται από ένα σημείο κέντρο Κ και ένα μήκος ακτίνα R. Το... πρόβλημα με το παραπάνω πρόβλημα είναι ότι τα σημεία του επιπέδου είναι άπειρα, και μάλιστα (αν τα δούμε αριθμητικά όπως θα τα χειριζόταν ένας υπολογιστής) οι συντεταγμένες τους ίσως να είναι άρρητοι αριθμοί, ίσως δηλαδή να έχουν άπειρα δεκαδικα ψηφία. Πώς μπορούμε, λοιπόν, να προσδιορίσουμε έναν περιγεγραμμένο κύκλο, με «διακριτό» και «φραγμένο» τρόπο; Μπορούμε εύκολα να βρούμε έναν κύκλο που να περιβάλλει όλα τα σημεία: διαλέγουμε ένα τυχαίο σημείο Κ ως κέντρο, και θέτουμε ως ακτίνα την μέγιστη του Κ από κάποια σημείο Ρ, δηλαδή το μήκος R = max{ ΚΡ: = 1, 2,..., Ν}. Ο κύκλος αυτός περνά ήδη από 1 σημείο του συνόλου μας, έστω το Ρλ. Αν δεν περνά από άλλο σημείο, μπορούμε να τον κάνουμε μικρότερο; «Ναι» μετακινώντας το κέντρο Κ κατά την ευθεία ΚΡλ και προς το Ρλ, και αυτό έως ότου ο κύκλος διέλθει και από 2 ο σημείο του συνόλου μας, έστω το Ρμ. Αν δεν περνά από άλλο σημείο, μπορούμε να τον κάνουμε μικρότερο; Και πάλι «ναι», μετακινώντας αυτή τη φορά το κέντρο Κ κατά την μεσοκάθετο του ΡλΡμ και προς το τμήμα ΡλΡμ, και αυτό έως ότου ο κύκλος διέλθει και από κάποιο 3 ο σημείο του συνόλου μας, έστω το Ρν. Μπορούμε κάνουμε αυτόν τον κύκλο (Κ, R) μικρότερο; Όχι πια διότι ένας και μόνον κύκλος διέρχεται από τρία σημεία (εδώ τα Ρλ, Ρμ, Ρν), και δεν υπάρχει άλλος μικρότερος που να περιλαμβάνει όλα τα σημεία διότι αυτός θα περιελάμβανε και τα Ρλ, Ρμ, Ρν, άρα θα είχε ακτίνα τουλάχιστον όση και ο κύκλος των (Ρλ, Ρμ, Ρν). Αρκεί λοιπόν να εξετάσουμε όλες τις 3άδες σημείων, (δηλαδή όλους του συνδυασμούς Ν σημείων ανά 3), να βρούμε ποιόν κύκλο ορίζουν, και να ελέγξουμε εάν αυτός είναι «περιγεγραμμένος» ή όχι, εάν δηλαδή περιλαμβάνει και όλα τα υπόλοιπα σημεία ή όχι. Εξ όλων των περιγεγραμμένων κύκλων διαλέγουμε αυτόν με την μικρότερη ακτίνα. Υπάρχουν ( Ν 3 3 ) = ΘΝ ( ) τριάδες, και ο έλεγχος εγκλεισμού των σημείων απαιτεί Ο(Ν) ελέγχους κάθε φορά: σύνολο Ο(Ν 4 ). (Σημείωση: προσέξτε εδώ ότι πρέπει να ελέγξουμε και για όλα τα ζεύγη σημείων τον κύκλο που ορίζεται με αυτά ως διάμετρο: αυτό ίσως να συμβεί εάν κατά την 2 η φάση της παραπάνω σμίκρυνσης του κύκλου το κέντρο Κ συμβεί να είναι ή να καταλήξει το κέντρο του τμήματος ΡλΡμ. Κατά την σχεδίαση αλγορίθμων εξετάζουμε την «γενική» περίπτωση, αλλά η πλήρης ορθότητα
3 ενός αλγορίθμου απαιτεί πολύ συχνά και τον χειρισμό τυχόν «ειδικών» περιπτώσεων.) ΒΡΑΧΥΤΕΡΗ ΔΙΑΔΡΟΜΗ ΣΕ ΔΙΚΤΥΟ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ «Δίδεται σύνολο τοποθεσιών 1, 2,..., Ν και για κάθε ζεύγος (κ, λ) αυτών από αυτές μια απόσταση δκ,λ > 0. Για ένα διακεκριμμένο ζεύγος α και τ (αφετηρία και τερματισμός) ζητείται η βραχύτερη διαδρομή από την α στον τ.» Για την (ανα)διατύπωση του προβλήματος υπό το σχήμα «ΔΙΔΕΤΑΙ/ΖΗΤΕΙΤΑΙ/ΏΣΤΕ» χρειάζεται μιας μετάφραση καθημερινών εκφράσεων σε μια τυπική «μαθηματική» γλώσσα. Το «ΔΙΔΕΤΑΙ» εδώ είναι σαφές. Το «ΖΗΤΕΙΤΑΙ/ΩΣΤΕ» (συχνά πιο κρυφό) είναι η φράση «βραχύτερη διαδρομή» και όπως συμβαίνει συχνά λέμε δύο πράγματα με μία φράση. Και εδώ, όπως σε όλες τις ανάλογες περιπτώσεις, το ουσιαστικό (το: «διαδρομή») μας δίδει την μορφή που θέλουμε, και, το επίθετο (το: «βραχύτερη») μας δίδει την συνθήκη που θέλουμε να τηρείται. Έχουμε λοιπόν το πρόβλημα: «ΔΙΔΕΤΑΙ»: πλήθος Ν, πίνακας (ή συνάρτηση αν θέλετε) δ[1..ν, 1..Ν], και δύο αριθμοί α και τ [1.. Ν]. «ΖΗΤΕΙΤΑΙ»: «μια διαδρομή α τ». «ΩΣΤΕ»: να είναι η βραχύτερη εξ όλων. Αλλά και η έκφραση «διαδρομή» απαιτεί περαιτέρω ανάλυση: άνατρέχουμε στους ορισμούς των διαφόρων όρων που χρησιμοποιούμε, ανασύρουμε ότι «διαδρομή» είναι μια ακολουθία κόμβων. Και για να προσδι ορίσουμε μια ακολουθία θέλουμε το (υπο)σύνολο των κ στοιχείων από τα οποία αποτελείται και την σειρά με την οποία τοποθετούνται ακολουθιακά, δηλαδή μια διάταξη «ν στοιχείων ανά κ». Έχουμε λοιπόν την εξαντλητική μας αναζήτηση: αφού από την α έως τον τ, η διαδρομή μας θα περάσει από κ = 0, 1,..., Ν 2 ενδιάμεσους σταθμούς (τούς {1.. Ν} { α, τ } ), ελέγχουμε για όλα τα πλήθη κ = 0, 1,..., Ν 2, ( Ν 2)! παράγουμε όλες τις διατάξεις (Ν 2) στοιχείων ανα κ, ( στο πλήθος) ( Ν 2 κ )! και από κάθε τέτοια διάταξη λαμβάνουμε μια ενδεχόμενη διαδρομή α τ: από την α στο 1 ο στοιχείο της διάταξης, στη συνέχεια μέσω αυτών, και τέλος από το κ στό στοιχείο στον τερματισμό τ. Για κάθε διαδρομή ελέγχουμε το μήκος της, και εξ όλων θυμόμαστε την βραχύτερη. ΠΕΡΙΟΔΕΙΑ (HAMILTION) «Δίδονται Ν αξιοθέατα μιας περιοχής, και ένα γκρούπ που θα τα επισκεφτεί από το ξενοδοχείο του. Ποιά είναι η συντομότερη περιοδεία για να τα επισκεφθεί όλα;» Εδώ το «ΖΗΤΕΙΤΑΙ/ΩΣΤΕ» είναι «η συντομότερη περιοδεία», και χρειαζόμαστε πάλι μια «μετάφραση»: το ουσιαστικό (το: «περιοδεί») δίδει την μορφή που θέλουμε, και, το επίθετο (το: «συντομότερη») δίδει την συνθήκη που θέλουμε να τηρείται. «ΔΙΔΕΤΑΙ»: πλήθος Ν, και πίνακας τοποθεσιών Τκ, κ = 1,..., Ν. «ΖΗΤΕΙΤΑΙ»: «περιοδεία», «ΩΣΤΕ»: να διανύει την ελάχιστη απόσταση. Τί είναι όμως μια περιοδεία; Αρχίζει από μια αφετηρία, επισκέπτεται ένα σύνολο τοποθεσίεςαξιοθέατα (προφανώς (;) όλα και από μία φορά το καθένα) και επιστρέφει στη αφετηρία. Αρκεί λοιπόν να εξετάσουμε όλες τις μεταθέσεις των Ν αξιοθέατων, (Ν! στο πλήθος), και να ελέγξουμε την «περιοδεία» από την αφετηρία ξενοδοχείο ως το 1 ο εξ αυτών, στη συνέχεια δια μέσου αυτών έως το Ν οστό, και από αυτό έως πίσω στην αφετηρία. Εξ όλων των περιοδειών διαλέγουμε αυτή όπου διανύουμε την συνολικώς μικρότερη απόσταση. ΙΣΟΒΑΡΗ ΔΙΧΟΤΟΜΗΣΗ: «Έχουμε Ν εμπορεύματα έκαστο με βάρος β, = 1,, N, και δύο εμπορικά πλοία για να τα
4 μεταφέρουμε. Υπάρχει τρόπος να εξισορροπήσουμε το βάρος σε δύο ίσα μέρη;» Αυτό που ζητείται είναι να διαλέξουμε ένα υποσύνολο των S {1,..., Ν} αντικειμένων ώστε το βάρος τους να είναι, ιδανικά, ίσο με το βάρος των υπολοίπων: β = β k S k k ({1.. N} S) k. Η συνδυαστική οντότητα εδώ είναι λοιπόν τα υποσύνολα συνόλου Ν στοιχείων και έχουμε 2 Ν τέτοια. ΣΥΣΚΕΥΑΣΙΑ ΟΜΟΙΩΝ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΩΝ: «Έχουμε Ν αντικείμενα με την ίδια διατομή αλλά διαφορετικά ύψη h, = 1,, N, και άφθονα πανομοιότυπα κουτιά ύψους Υ, για να τα συσκευάσουμε. Με ποιά τοποθέτηση θα χρησιμοποιήσουμε τα λιγότερα κουτιά;» Αυτό που ζητείται είναι μια συνάρτηση φ: {1.. Ν} {1.. κ } που θα μας λέει σε ποιό κουτί θα τοποθετηθεί το κάθε αντικείμενο. Επειδή η σειρά (ή αρίθμηση) των κουτιών δεν παίζει ρόλο, ούτε και η σειρά τοποθέτησης μέσα σε κάθε κουτί, το να τοποθετήσουμε Ν αντικείμενα σε κ κουτιά (κατά τον παραπάνω τρόπο) δεν αντιστοιχεί παρά σε μια διαμέρισή τους σε κ υποσύνολα: τα στοιχεία ενός υποσυνόλου φ 1 (λ) θα πρέπει να τοποθετηθούν όλα μαζί στο κουτί υπ. αρ. λ. Για μια εξαντλητική αναζήτηση δεν έχουμε λοιπόν παρά να δοκιμάσουμε όλες τις διαμερίσεις του {1, 2,..., Ν} και να ελέγξουμε εάν είναι εφικτή εάν δηλαδή εάν τηρείται το όριο χωρητικότητας για κάθε ένα από τα υπόσύνολα. Από τις εφικτές διαμερίσεις ( 4 Ν στο πλήθος) διαλέγουμε εκείνη με το μικρότερο πλήθος υποσυνόλων. ΡΙΖΕΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ: «Έχουμε ένα πολυώνυμο n px ( ) = ax και ζητούνται οι ρίζες του στο R (πραγματικοί).» = 0 Δίνουμε τέλος και ένα αριθμητικό παράδειγμα. Στους αριθμητικούς υπολογισμούς ιδιαίτερο λόγο έχει η λεγόμενη «αριθμητική ανάλυση» (και η «θεωρία προσέγγισης»), αλλά και οι αλγοριθμική σχεδίαση και ανάλυση έχει ένα λόγο πάνω σε αυτά τα ζητήματα. Το πρόβλημα εδώ είναι πώς ούτε διακριτότητα έχουμε (διότι οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούν ένα υπερ αριθμήσιμο «συνεχές», ούτε καμμία προφανή φραγή των ριζών... Για το 1 ο ζήτημα η μόνη λύση είναι η αναδιατύπωση του προβλήματος ώστε να μπορούμε να αναφερθούμε σε ρητούς αριθμούς (που είναι «διακριτά» στοιχεια, ως πηλίκο δύο φυσικών μαζί με άνα πρόσημο). Όταν λοιπόν παραπάνω γράφουμε «ρίζα» θα πρέπει να εννοούμε ένα διάστημα [ακ, βκ] ρητών αριθμών αρκετά μικρού μήκους, λ.χ. (βκ ακ) ε, (όπου ε μικρός ρητός αριθμός), για το οποίο υπάρχει βεβαιότητα ότι περιλαμβάνει μια ρίζα του p( ). Για το 2 ο ζήτημα η λύση δίδεται όπως και σε όλες τις ανάλογες περιπτώσεις από την θεωρία του αντίστοιχου μαθηματικού κλάδου, εδώ της άλγεβρας και των πολυωνύμων. Εδώ έχουμε το εξής λήμμα: «Εάν ξ είναι ρίζα του πολυωνύμου n n px ( ) = ax, τότε ξ 1 + a / a = φ(p)» = 0 = 1 n n n (Για μια πρόχειρη απόδειξη δίδουμε το εξής: αν p(ξ) = 0, τότε ( / ) ξ = a 1 an ξ. Αν ξ < 1, = τότε... ξ < 1. Εάν ξ > 1, τότε παίρνοντας απόλυτες τιμές και διαιρώντας δια ξ (n 1) > 1, προκύπτει: n 1 ( n ) n 1 ξ = ( a / a )/ ξ a / a. Αθροίζοντας εξασφαλίζουμε όλες τις περιπτώσεις.) = 0 n = 0 n Έχουμε λοιπόν ένα φράγμα των ριζών. Αρκεί λοιπόν να χωρίσουμε το διάστημα [ φ(p), + φ(p)] σε Ν = 2 φ(p) /ε υποδιαστήματα [ακ, βκ] μικρού μήκους ε, και να ελέγξουμε όλα αυτά τα υποδιαστήματα. Να τα ελέγξουμε όμως ως προς τί; Χρειαζόμαστε εδώ ένα κριτήριο ύπαρξης (και δεν είναι καθόλου σύμπτωση ότι στα μαθηματικά συναντάμε συχνότατα θεωρήματα ύπαρξης και θεωρήματα φραγής...) Εδώ αρκεί να ελέγξουμε ότι p(ακ) p(βκ) 0, ότι δηλαδή το πολυώνυμο λαμβάνει διαφορετικά πρόσημα στα άκρα του διαστήματος: αυτό μέσω του θ. Bolzano θα εξασφάλιζε την ύπαρξη ρίζας του p( ) στο διάστημα [ακ, βκ].
5 (Η «ειδική» περίπτωση που εμφανίζεται εδώ είναι η περίπτωση το πολυώνυμο p( ) να λαμβάνει μέγιστη ή ελάχιστη, αν και μηδενική, τιμή εντός κάποιου διαστήματος [ακ, βκ], οπότε το κριτήριο Bolzano ίσως να μην είναι εφαρμόσιμο. Σε αυτές όμως τις περιπτώσεις θα εμφανίζεται ίση ρίζα της παραγώγου του πολυωνύμου. Θα πρέπει να εξετάσουμε και την παράγωγο του p( ) για ρίζες, με τον ίδιο τρόπο αλλά αυτά αρκούν για το παράδειγμά μας.) Ποιά συνδυαστική οντότητα εμφανίζεται εδώ; Η απάντηση είναι «η απλούστερη από όλες», η σάρωση N όλων των στοιχείων ενός συνόλου Ν στοιχείων, δηλαδή οι συδυασμοί «Ν ανά 1», (( 1 ) = N στο πλήθος). Προσέξτε ότι οι γλώσσες προγραμματισμοού έχουνε όλες προβλέψει μια θεμελιακή εντολή για αυτόν τον σκοπό, την εντολή ορισμένης επανάληψης: «για κ = 1 έως Ν { S }».
6 Προς ΕΞΑΣΚΗΣΗ Βασιζόμενοι στα προηγούμενα εξηγήσεις και παραδείγματα προσδιορίστε για τα παρακάτω προβλήματα το σχήμα «ΔΙΔΕΤΑΙ/ΖΗΤΕΙΤΑΙ/ΏΣΤΕ», και την σχετική συνδυαστική ή συνδυαστικές οντότητες. Δώστε μια εκτίμηση του μεγέθους του χώρου αναζήτησης. Θα πρέπει να είστε σε θέση να λύσετε όλα τα προβλήματα. Ως γραπτές «ασκήσεις» ζητούνται 3 από αυτά όποια θέλετε. Το σύνολο των ασκήσεων βαρύνει τον τελικό βαθμό κατά τον τρόπο που εξηγείται στην ιστοσελίδα του μαθήματος. 1. «Δίδονται δυο φυσικοί αριθμοί και ζητείται ο μέγιστος κοινός διαιρέτης αυτών». 2. «Δίδεται απλό πολύγωνο (δηλαδή: ίσως όχι κυρτό, αλλά πάντως δεν τέμνει τον εαυτό του), και σταθερή ακτίνα α. Ζητείται το εάν υπάρχει κύκλος εντός του Π με ακτίνα α.» 3. «Σε μια ημερίδα Ν προσκεκλημένοι θα δώσουν μια διάλεξη. Κάθε ομιλητής έχει δηλώσει το επιθυμητό χρονικό διάστημα (δηλαδή ώρα έναρξης και διάρκεια) και το ερώτημα είναι: αρκούν οι τρείς αίθουσες που έχουμε στη διάθεσή μας;» 4. «Έχουμε ένα σύνολο Ν εργασιών μοναδιαίας χρονικής διάρκειας και δύο συσκευές που θα τις διεκπεραιώσουν. Οι εργασίες έχουν μια σχέση προτεραιότητας μεταξύ τους: κάποιες από αυτές πρέπει να γίνουν πριν από κάποιες άλλες από αυτές. Μπορεί το όλο έργο να ολοκληρωθεί σε Τ χρονικές μονάδες;» 5. «Ν στοιχεία συνδέονται μεταξύ τους και θέλουμε να το μοιράσουμε σε δύο μέρη ώστε οι συνδέσεις ανάμεσα στα δύο μέρη να είναι οι λιγότερες δυνατές. Πώς μπορούμε να το κανουμε αυτό;» 6. «Μας δίδονται Ν σημεία σε ένα επίπεδο και ζητείται εάν υπάρχει ένα κυρτό πεντάγωνο με κορυφές από αυτά τα σημεία που να μην περιέχει κανένα άλλο σημείο.» 7. «Έχουμε Ν πρόσωπα και πολλοί από αυτούς γνωρίζονται μεταξύ τους. Υπάρχει, παρά ταύτα, μια ομάδα τουλάχιστον κ προσώπων που να είναι όλοι άγνωστοι μεταξύ τους;» 8. «Μας δίδονται Ν κουτιά με διαφορετικές ορθογωνικές διατομές, και μας ζητείται (για οικονομία αποθήκευσης) να τα τοποθετήσουμε όλα το ένα μέσα στο προηγούμενο. Πως θα διαπιστώσουμε εάν αυτό είναι εφικτό;» 9. «Σε ένα χάρτη είναι σχεδιασμένες Ν χώρες. Για σαφέστερη παρουσίαση των συνόρων θέλουμε να χρωματίσουμε κάθε ζευγάρι συνορευουσών χωρών με διαφορετικό χρώμα εκάστη. Πως θα εξακριβώσουμε πόσα χρώματα το λιγότερο αρκούν για κάτι τέτοιο;» 10. «Μας δίδεται μια αλγεβρική έκφραση f(,,, ) τεσσάρων μεταβλητών, (λ.χ f(α,β,γ,δ) = [α β (γ+δ)] ) και ζητείται εάν υπάρχει τρόπος να μηδενιστεί με τιμές μεταβλητών από το 1 έως το Ν.»
«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ»
HY 118α «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ» ΣΚΗΣΕΙΣ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ εώργιος Φρ. εωργακόπουλος ΜΕΡΟΣ (1) ασικά στοιχεία της θεωρίας συνόλων. Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργακόπουλος
Διαβάστε περισσότεραΑποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή.
Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Mαθηματικό σύστημα Ένα μαθηματικό σύστημα αποτελείται από αξιώματα, ορισμούς, μη καθορισμένες έννοιες και θεωρήματα. Η Ευκλείδειος γεωμετρία αποτελεί ένα
Διαβάστε περισσότερα{ i f i == 0 and p > 0
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Φθινοπωρινό εξάμηνο 014-015 Λύσεις 1ης Σειράς Ασκήσεων
Διαβάστε περισσότεραHY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ.
HY 280 «ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ» θεμελικές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Γεώργιος Φρ. Γεωργκόπουλος μέρος Α Εισγωγή, κι η σική θεωρί των πεπερσμένων
Διαβάστε περισσότεραΑς υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0,
Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Στατιστικής Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Ερευνα Εαρινό Εξάμηνο 2015 Μ. Ζαζάνης Πρόβλημα 1. Να διατυπώσετε το παρακάτω παίγνιο μηδενικού αθροίσματος ως πρόβλημα γραμμικού
Διαβάστε περισσότεραΔ Ι Α Κ Ρ Ι Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. 1η σειρά ασκήσεων
Δ Ι Α Κ Ρ Ι Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α 1η σειρά ασκήσεων Ονοματεπώνυμο: Αριθμός μητρώου: Ημερομηνία παράδοσης: Μέχρι την Τρίτη 2 Απριλίου 2019 Σημειώστε τις ασκήσεις για τις οποίες έχετε παραδώσει λύση: 1
Διαβάστε περισσότεραΟι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg)
Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Β Δ Β Δ Γ Γ Κύκλος του Euler (Euler cycle) είναι κύκλος σε γράφημα Γ που περιέχει κάθε κορυφή του γραφήματος, και κάθε ακμή αυτού ακριβώς μία φορά. Για γράφημα
Διαβάστε περισσότερα(3 ο ) Εξαντλητική αναζήτηση I: μεταθέσεις & υποσύνολα (4 o ) Εξαντλητική αναζήτηση II: συνδυασμοί, διατάξεις & διαμερίσεις
(3 ο ) Εξαντλητική αναζήτηση I: μεταθέσεις & υποσύνολα (4 o ) Εξαντλητική αναζήτηση II: συνδυασμοί, διατάξεις & διαμερίσεις Είναι πράγματι τα «προβλήματα» τόσο δύσκολα; Είδαμε (σύντομα) στα προηγούμενα
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγικά. 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία
1 Εισαγωγικά 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία Στη θεωρία μέτρου, όταν δουλεύει κανείς σε έναν χώρο X, συνήθως έχει διαλέξει μια αρκετά μεγάλη σ-άλγεβρα στον X έτσι ώστε όλα τα σύνολα που εμφανίζονται να ανήκουν
Διαβάστε περισσότεραΤο κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein Πηγή:
Ας πούμε και κάτι για τις δύσκολες μέρες που έρχονται Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein 1879-1955 Πηγή: http://www.cognosco.gr/gnwmika/ 1 ΚΥΚΛΙΚΟΣ
Διαβάστε περισσότεραΕστω X σύνολο και A μια σ-άλγεβρα στο X. Ονομάζουμε το ζεύγος (X, A) μετρήσιμο χώρο.
2 Μέτρα 2.1 Μέτρα σε μετρήσιμο χώρο Εστω X σύνολο και A μια σ-άλγεβρα στο X. Ονομάζουμε το ζεύγος (X, A) μετρήσιμο χώρο. Ορισμός 2.1. Μέτρο στον (X, A) λέμε κάθε συνάρτηση µ : A [0, ] που ικανοποιεί τις
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα
ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα Τα βιβλία διακριτών μαθηματικών του Γ.Β. Η/Υ με επεξεργαστή Pentium και χωρητικότητα
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ): ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ
Διαβάστε περισσότερα5.1 Μετρήσιμες συναρτήσεις
5 Μετρήσιμες συναρτήσεις 5.1 Μετρήσιμες συναρτήσεις Ορισμός 5.1. Εστω (Ω, F ), (E, E) μετρήσιμοι χώροι. Μια συνάρτηση f : Ω E λέγεται F /Eμετρήσιμη αν f 1 (A) F για κάθε A E. (5.1) Συμβολίζουμε το σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΗ ανισότητα α β α±β α + β με α, β C και η χρήση της στην εύρεση ακροτάτων.
A A N A B P Y T A Άρθρο στους Μιγαδικούς Αριθμούς 9 5 0 Η ανισότητα α β α±β α + β με α, β C και η χρήση της στην εύρεση ακροτάτων. Δρ. Νίκος Σωτηρόπουλος, Μαθηματικός Εισαγωγή Το άρθρο αυτό γράφεται με
Διαβάστε περισσότερα21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου
Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ A Ε B Ζ Η Γ K Θ Δ Ι Ορισμός Ένα (μη κατευθυνόμενο) γράφημα (non directed graph) Γ, είναι μία δυάδα από σύνολα Ε και V και συμβολίζεται με Γ=(Ε,V). Το σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΕξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος
ιαφορικές Εξισώσεις Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Ατελείς ιδιοτιμές Εκθετικά πινάκων Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 9 Απριλίου
Διαβάστε περισσότεραΑναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις
Αναγνώριση Προτύπων Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις 1 Λόγος Πιθανοφάνειας Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να ταξινομήσουμε
Διαβάστε περισσότεραΑναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα
Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Εκτίμηση Πυκνότητας με k NN k NN vs Bayes classifier k NN vs Bayes classifier Ο κανόνας ταξινόμησης του πλησιέστερου γείτονα (k NN) lazy αλγόριθμοι O k NN ως χαλαρός
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμογές στην κίνηση Brown
13 Εφαρμογές στην κίνηση Brown Σε αυτό το κεφάλαιο θέλουμε να κάνουμε για την πολυδιάστατη κίνηση Brown κάτι ανάλογο με αυτό που κάναμε στην Παράγραφο 7.2 για τη μονοδιάστατη κίνηση Brown. Δηλαδή να μελετήσουμε
Διαβάστε περισσότεραΑναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα
Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Bias (απόκλιση) και variance (διακύμανση) Ελεύθεροι Παράμετροι Ελεύθεροι Παράμετροι Διαίρεση dataset Μέθοδος holdout Cross Validation Bootstrap Bias (απόκλιση) και variance
Διαβάστε περισσότεραΓενικό Λύκειο Μαραθοκάμπου Σάμου. Άλγεβρα Β λυκείου. 13 Οκτώβρη 2016
Γενικό Λύκειο Μαραθοκάμπου Σάμου Άλγεβρα Β λυκείου Εργασία2 η : «Συναρτήσεις» 13 Οκτώβρη 2016 Ερωτήσεις Θεωρίας 1.Πότελέμεότιμιασυνάρτησηfείναιγνησίωςάυξουσασεέναδιάστημα του πεδίου ορισμού της; 2.Πότελέμεότιμιασυνάρτησηfείναιγνησίωςφθίνουσασεέναδιάστημα
Διαβάστε περισσότεραΑνεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές
10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,
Διαβάστε περισσότεραΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΤΡΙΩΡΗ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ. Ονοματεπώνυμο Τμήμα
Σελίδα 1 ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΤΡΙΩΡΗ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ Ονοματεπώνυμο Τμήμα ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στην κόλλα σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις
Διαβάστε περισσότερα(7 ο ) ΔΙΑΙΡΕΙ & ΒΑΣΙΛΕΥΕ Ι: «ταξινόμηση» (8 ο ) ΔΙΑΙΡΕΙ & ΒΑΣΙΛΕΥΕ ΙΙ: «κυρτό περίβλημα»
(7 ο ) ΔΙΑΙΡΕΙ & ΒΑΣΙΛΕΥΕ Ι: «ταξινόμηση» (8 ο ) ΔΙΑΙΡΕΙ & ΒΑΣΙΛΕΥΕ ΙΙ: «κυρτό περίβλημα» Σύντομα προλεγόμενα: πού να ψάξουμε για δραστικούς αλγορίθμους; Θα αρχίσουμε από αυτό το κεφάλαιο την ξενάγησή
Διαβάστε περισσότεραΑναλυτικές ιδιότητες
8 Αναλυτικές ιδιότητες 8. Βαθμός συνέχειας* Ξέρουμε ότι η κίνηση Brown είναι συνεχής και θα δείξουμε αργότερα ότι είναι πουθενά διαφορίσιμη. Πόσο ομαλή είναι λοιπόν; Μια ασθενέστερη μορφή ομαλότητας είναι
Διαβάστε περισσότεραΑνεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές
10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,
Διαβάστε περισσότερα( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «απεικονίσεις»
( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «πεικονίσεις» 1. ΣΧΕΣΕΙΣ: το σκεπτικό κι ο ορισμός. Τ σύνολ νπριστούν ιδιότητες μεμονωμένων στοιχείων: δεδομένου συνόλου S, κι ενός στοιχείου σ, είνι δυντόν είτε σ S είτε
Διαβάστε περισσότερα(20 ο ) ΣΤΑΔΙΑΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ Ι: ΑΠΛΗΣΤΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ
(20 ο ) ΣΤΑΔΙΑΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ Ι: ΑΠΛΗΣΤΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Σταδιακές κατακευές: από μερικά αποτελέματα ε περιότερα. Το ημείο όπου έχουμε φθάει προφέρεται για μια μικρή ανακόπηη. Το κεπτικό μας ήταν εξ αρχής ότι
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ231: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Εαρινό Εξάμηνο 2017-2018 Φροντιστήριο 3 1. Εστω η στοίβα S και ο παρακάτω αλγόριθμος επεξεργασίας της. Να καταγράψετε την κατάσταση
Διαβάστε περισσότεραΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983
20 Φεβρουαρίου 2010 ΑΣΕΠ 2000 1. Η δεξαμενή βενζίνης ενός πρατηρίου υγρών καυσίμων είναι γεμάτη κατά τα 8/9. Κατά τη διάρκεια μιας εβδομάδας το πρατήριο διέθεσε τα 3/4 της βενζίνης αυτής και έμειναν 4000
Διαβάστε περισσότεραΕυρωπαϊκά παράγωγα Ευρωπαϊκά δικαιώματα
17 Ευρωπαϊκά παράγωγα 17.1 Ευρωπαϊκά δικαιώματα Ορισμός 17.1. 1) Ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς σε μία μετοχή είναι ένα συμβόλαιο που δίνει στον κάτοχό του το δικαίωμα να αγοράσει μία μετοχή από τον εκδότη
Διαβάστε περισσότεραΟΡΙΣΜΟΣ και ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗ ΘΕΜΕΛΙΑΚΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ
ΟΡΙΣΜΟΣ και ΚΤΜΤΡΗΣΗ ΘΜΛΙΚΩΝ ΣΥΝ ΥΣΤΙΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ. ΣΥΝΥΣΤΙΚΣ ΜΟΡΦΣ: η μορφολογία. Όλες οι συνδυαστικές μορφές που θα εξετάσουμε είναι διαφόρων ειδών συναρτήσεις. Οι «παράμετροι» που παραλλάσονται είναι οι
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση ειδικών μορφών ΣΔΕ
15 Επίλυση ειδικών μορφών ΣΔΕ Σε αυτό το κεφάλαιο θα δούμε κάποιες ειδικές μορφές ΣΔΕ για τις οποίες υπάρχει μέθοδος επίλυσης. Περισσότερες μπορεί να δει κανείς στο Kloeden and Plaen (199), 4.-4.4. Θα
Διαβάστε περισσότεραΣχέσεις και ιδιότητές τους
Σχέσεις και ιδιότητές τους Διμελής (binary) σχέση Σ από σύνολο Χ σε σύνολο Υ είναι ένα υποσύνολο του καρτεσιανού γινομένου Χ Υ. Αν (χ,ψ) Σ, λέμε ότι το χ σχετίζεται με το ψ και σημειώνουμε χσψ. Στην περίπτωση
Διαβάστε περισσότεραΑναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα
Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Ιστόγραμμα Παράθυρα Parzen Εξομαλυμένη Kernel Ασκήσεις 1 Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Κατά τη
Διαβάστε περισσότεραΟ τύπος του Itô. f (s) ds (12.1) f (g(s)) dg(s). (12.2) t f (B s ) db s + 1 2
12 Ο τύπος του Itô Για συνάρτηση f : R R με συνεχή παράγωγο, έχουμε d f (s) = f (s) ds που σε ολοκληρωτική μορφή σημαίνει f (b) f (a) = b a f (s) ds (12.1) για κάθε a < b. Αν επιπλέον και η g : R R έχει
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στη Μιγαδική Ανάλυση. (Πρώτη Ολοκληρωμένη Γραφή)
Εισαωή στη Μιαδική Ανάλυση Σημειώσεις (Πρώτη Ολοκληρωμένη Γραφή) Ε. Στεφανόπουλος Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αιαίου Καρλόβασι Καλοκαίρι 26 Πρόλοος Οι σημειώσεις αυτές είναι αποτέλεσμα επεξερασίας
Διαβάστε περισσότεραΕκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Δευτέρα 8 Μαΐου 0 Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων
Διαβάστε περισσότεραΤαξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια.
ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ταξινόμηη των μοντέλων διαποράς ατμοφαιρικών ρύπων βαιμένη ε μαθηματικά κριτήρια. Μοντέλο Ελεριανά μοντέλα (Elerian) Λαγκρατζιανά μοντέλα (Lagrangian) Επιπρόθετος διαχωριμός Μοντέλα
Διαβάστε περισσότερα(5 ο ) Η «πλοκή» ενός αλγορίθμου: η βάση μιας αξιολόγησης Ι (6 ο ) Η «πλοκή» ενός αλγορίθμου: ο Ο Ω Θ συμβολισμός ΙΙ
(5 ο ) Η «πλοκή» ενός αλγορίθμου: η βάση μιας αξιολόγησης Ι (6 ο ) Η «πλοκή» ενός αλγορίθμου: ο Ο Ω Θ συμβολισμός ΙΙ Έχουμε συγκεκτρώσει τα στοιχεία που χρειαζόμαστε για να μπορέσουμε να πούμε περί αλγορίθμων
Διαβάστε περισσότεραΟ Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών
1 Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζουμε ένα από τα σημαντικότερα αποτελέσματα της Θεωρίας Πιθανοτήτων, τον ισχυρό νόμο των μεγάλων αριθμών. Η διατύπωση που θα αποδείξουμε
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ
ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Πρώτη Γραπτή Εργασία. Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2012-13 Πρώτη Γραπτή Εργασία Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ231: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Εαρινό Εξάμηνο 2017-2018 Φροντιστήριο 3 - Λύσεις 1. Εστω ο πίνακας Α = [12, 23, 1, 5, 7, 19, 2, 14]. i. Να δώσετε την κατάσταση
Διαβάστε περισσότεραΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Η ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗ ΑΠΟΦΑΣΗ. Άσκηση με θέμα τη μεγιστοποίηση της χρησιμότητας του καταναλωτή
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 07 08 ΛΕΥΚΑΔΑ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Η ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗ
Διαβάστε περισσότερα( μ, λ ) ( i ) ( ii ) ( iii ) ( iv ) ( v )
Π. ΚΡΗΤΗΣ, ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΥ 380, «ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ» Φ 08: ΟΡΘΟΤΗΤΑ: ΤΟ ΖΗΤΗΜΑ ΤΗΣ «ΠΡΟΟΔΟΥ» ΤΩΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Το ζήτημα της προόδου εισαγωγικά σχόλια. Κάθε αλγόριθμος από τα δεδομένα
Διαβάστε περισσότερα602. Συναρτησιακή Ανάλυση. Υποδείξεις για τις Ασκήσεις
602. Συναρτησιακή Ανάλυση Υποδείξεις για τις Ασκήσεις Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα 2018 Περιεχόμενα 1 Χώροι με νόρμα 1 2 Χώροι πεπερασμένης διάστασης 23 3 Γραμμικοί τελεστές και γραμμικά
Διαβάστε περισσότεραΜονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο.
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ): ΧΗΜΕΙΑ - ΒΙΟΧΗΜΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ
Διαβάστε περισσότεραMartingales. 3.1 Ορισμός και παραδείγματα
3 Martingales 3.1 Ορισμός και παραδείγματα Εστω χώρος πιθανότητας (Ω, F, P). Διήθηση σε αυτό τον χώρο λέμε μια αύξουσα ακολουθία (F n ) n 0 σ-αλγεβρών, η καθεμία από τις οποίες είναι υποσύνολο της F. Δηλαδή,
Διαβάστε περισσότεραG περιέχει τουλάχιστον μία ακμή στο S. spanning tree στο γράφημα G.
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Φθινοπωρινό εξάμηνο 2014-2015 Λύσεις 3ης Σειράς Ασκήσεων
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Πληροφορικής
Πανεπιστήμιο Αθηνών Μαθηματικά Πληροφορικής Ηλίας Κουτσουπιάς Αθήνα, Οκτώβριος 2009 Περιεχόμενα Περιεχόμενα 1 Σύνολα... 5 ΆλλαΣύμβολα... 6 1 Υποθέσεις και Θεωρήματα 9 1.1 Παρατήρηση-Υπόθεση-Απόδειξη...
Διαβάστε περισσότερα(19 ο ) ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΓΩΓΗ IΙΙ: «εντοπισμός σημείου σε τριγωνοποίηση»
λγόριθμοι & πολυπλοκότητα» σημειώσεις ακ. έτους 2010 2011 (19 ο ) ΛΣΜΤΙ ΝΩ IΙΙ: «εντοπισμός σημείου σε τριγωνοποίηση» Το πρόβλημα του «εντοπισμού» σημείου σε διαμέριση. Σε αυτό το κεφάλαιο θα δούμε ένα
Διαβάστε περισσότεραΑνελίξεις σε συνεχή χρόνο
4 Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο Σε αυτό το κεφάλαιο είναι συγκεντρωμένοι ορισμοί και αποτελέσματα από τη θεωρία των στοχαστικών ανελιξεων συνεχούς χρόνου. Με εξαίρεση την Παράγραφο 4.1, η οποία είναι εντελώς
Διαβάστε περισσότερα(13 ο ) ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΙII: «βέλτιστο στατικό ευρετήριο»
(13 ο ) ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΙII: «βέλτιστο στατικό ευρετήριο» Βέλτιστο στατικό «μεροληπτικό» ευρετήριο «Ευρετήρια» ονομάζουμε δομές οι οποίες μας διευκολύνουν να εντοπίζουμε τα καταχωρισμένα στοιχεία
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Β ΤΑΞΗ. ΘΕΜΑ 1ο
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ 1ο ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΦΥΣΙΚΗ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε
Διαβάστε περισσότερα( ) Π. ΚΡΗΤΗΣ, ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΥ 380, «ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ» Φ 03: ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΕΣ ΕΚΦΡΑΣΕΙΣ
Π. ΚΡΗΤΗΣ, ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΥ 380, «ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ» Φ 03: ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΕΣ ΕΚΦΡΑΣΕΙΣ Ενδιαφερόμαστε μεν για τους αλγορίθμους αλλά εντός ενός συγκεκριμμένου πλαισίου: (α) ως λύσεις προβλημάτων,
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Ερευνα Ι
Επιχειρησιακή Ερευνα Ι Μ. Ζαζάνης Κεφάλαιο 1 Τετραγωνικές μορφές στον R n και το ϑεώρημα του Taylor Ορισμός 1. Εστω a 11 a 1n A =.. a n1 a nn συμμετρικός πίνακας n n με στοιχεία στους πραγματικούς αριθμούς.
Διαβάστε περισσότεραΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 1α ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Οι επιστήμονες ταξινομούν τους οργανισμούς σε ομάδες ανάλογα με τα κοινά τους χαρακτηριστικά. Τα πρώτα συστήματα ταξινόμησης βασιζόταν αποκλειστικά στα μορφολογικά
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ31: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Εαρινό Εξάμηνο 017-018 Φροντιστήριο 5 1. Δικαιολογήστε όλες τις απαντήσεις σας. i. Δώστε τις 3 βασικές ιδιότητες ενός AVL δένδρου.
Διαβάστε περισσότεραΈννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν
1 1. Αποδοχή κληρονομίας Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν μπορεί να ασκηθεί από τους δανειστές του κληρονόμου, τον εκτελεστή της διαθήκης, τον κηδεμόνα ή εκκαθαριστή
Διαβάστε περισσότεραΠ. ΚΡΗΤΗΣ, ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΥ 380, «ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ» Φ 06: ΧΡΗΣΗ ΔΟΜΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ
Π. ΚΡΗΤΗΣ, ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΥ 380, «ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ» Φ 06: ΧΡΗΣΗ ΔΟΜΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Η «μάχη» για καλούς αλγορίθμους έχει σε αδρές γραμμές 4 επίπεδα: Υπάρχει αλγόριθμος; Υπάρχει «δραστικός»
Διαβάστε περισσότεραΠαραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ, α 0. Η παραβολή ψ = αχ 2. Γενικά : Κάθε συνάρτηση της μορφής ψ=αχ 2 + βχ +γ, α 0 λέγεται τετραγωνική συνάρτηση.
Η παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ Σελίδα 1 από 10 Παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ, α0 Γενικά : Κάθε συνάρτηση της μορφής ψ=αχ 2 + βχ +γ, α0 λέγεται τετραγωνική συνάρτηση. Η παραβολή ψ = αχ 2 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακή Εικόνα. Σημερινό μάθημα!
Ψηφιακή Εικόνα Σημερινό μάθημα! Ψηφιακή Εικόνα Αναλογική εικόνα Ψηφιοποίηση (digitalization) Δειγματοληψία Κβαντισμός Δυαδικές δ έ (Binary) εικόνες Ψηφιακή εικόνα & οθόνη Η/Υ 1 Ψηφιακή Εικόνα Μια ακίνητη
Διαβάστε περισσότερα17 Μαρτίου 2013, Βόλος
Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις 1ης Τάξης Σ Ε 1ης τάξης, Πεδία κατευθύνσεων, Υπαρξη και μοναδικότητα, ιαχωρίσιμες εξισώσεις, Ολοκληρωτικοί παράγοντες, Αντικαταστάσεις, Αυτόνομες εξισώσεις Μανόλης Βάβαλης
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση δικτύων διανομής
ΑστικάΥδραυλικάΈργα Υδρεύσεις Επίλυση δικτύων διανομής Δημήτρης Κουτσογιάννης & Ανδρέας Ευστρατιάδης Τομέας Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διατύπωση του προβλήματος Δεδομένου ενός δικτύου αγωγών
Διαβάστε περισσότεραΣτοχαστικές διαφορικές εξισώσεις
14 Στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις 14.1 Γενικά Στοχαστική διαφορική εξίσωση λέμε μια εξίσωση της μορφής dx = µ(, X ) d + σ(, X ) db, X = x, (14.1) με µ, σ : [, ) R R μετρήσιμες συναρτήσεις, x R, και B
Διαβάστε περισσότερατους στην Κρυπτογραφία και τα
Οι Ομάδες των Πλεξίδων και Εφαρμογές τους στην Κρυπτογραφία και τα Πολυμερή Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών ΕΜΠ Επιβλέπουσα Καθηγήτρια: Λαμπροπούλου Σοφία Ιούλιος, 2013 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότερα"Η απεραντοσύνη του σύμπαντος εξάπτει τη φαντασία μου. Υπάρχει ένα τεράστιο σχέδιο, μέρος του οποίου ήμουν κι εγώ".
"Η απεραντοσύνη του σύμπαντος εξάπτει τη φαντασία μου. Υπάρχει ένα τεράστιο σχέδιο, μέρος του οποίου ήμουν κι εγώ". "Ότι ανόητο είπα μπορεί και να είναι ένα ρέψιμο κάποιου ξεχασμένου αστέρα..." "Δεν κάνει
Διαβάστε περισσότεραΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του αποκτά πρόσβαση στο περιβάλλον του ιατρού που παρέχει η εφαρμογή.
ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ Ο ιατρός αφού διαπιστώσει εάν το πρόσωπο που προσέρχεται για εξέταση είναι το ίδιο με αυτό που εικονίζεται στο βιβλιάριο υγείας και ελέγξει ότι είναι ασφαλιστικά ενήμερο (όπως ακριβώς γίνεται
Διαβάστε περισσότεραΕκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Τετάρτη 23 Μαΐου 2012 Εκφωήσεις και Λύσεις
Διαβάστε περισσότεραΑνεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές
10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΣΥΝΟΛΩΝ: μια σύνοψη των θεμελιακών χαρακτηριστικών.
ΘΕΩΡΙ ΣΥΝΟΛΩΝ: μια σύνοψη των θεμελιακών χαρακτηριστικών. 1. ΣΥΝΟΛ: το σκεπτικό. σύνολο = πολλά στοιχεία ως «ένα», ως «μία» ολότητα. τα στοιχεία ανήκουν στο σύνολο, ή είναι μέλη του συνόλου το σύνολο περιέχει
Διαβάστε περισσότεραιάσταση του Krull Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, / 27
ιάσταση του Krull Χ. Χαραλάμπους Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη Ιανουάριος, 2017 Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, 2017 1 / 27 Ορισμοί Εστω R (αντιμεταθετικός) δακτύλιος. Ορισμός Η διάσταση του Krull
Διαβάστε περισσότεραΗ εξίσωση Black-Scholes
8 Η εξίσωση Black-Scholes 8. Μια απλή αγορά Θεωρούμε ότι έχουμε μια αγορά που έχει μόνο δύο προϊόντα. Το ένα είναι η δυνατότητα κατάθεσης σε μια τράπεζα (ισοδύναμα, αγορά ομολόγων της τράπεζας) και το
Διαβάστε περισσότερα2. Κατάθεσε κάποιος στην Εθνική Τράπεζα 4800 με επιτόκιο 3%. Μετά από πόσο χρόνο θα πάρει τόκο 60 ; α) 90 ημέρες β) 1,5 έτη γ) 5 μήνες δ) 24 μήνες
20 Φεβρουαρίου 2010 1. Ένας έμπορος αγόρασε 720 κιλά κρασί προς 2 το κιλό. Πρόσθεσε νερό, το πούλησε προς 2,5 το κιλό και κέρδισε 500. Το νερό που πρόσθεσε ήταν σε κιλά: α) 88 β) 56 γ) 60 δ) 65 2. Κατάθεσε
Διαβάστε περισσότεραΑρτιες και περιττές συναρτήσεις
Μελέτη Συναρτήσεων: άρτιες, περιττές συναρτήσεις - μονοτονία - ακρότατα Κωνσταντίνος Α. Ράπτης Άρτιες και περιττές συναρτήσεις Ὁι ψυχολόγοι κάνουν λόγο για δύο επίπεδα συλλογιστικής και μνήμης: το αρχαϊκό
Διαβάστε περισσότεραΤρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ
Τρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΘΕΜΑ 1 Α. Να µεταφέρετε στο τετράδιό σας και να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα αλήθειας δύο προτάσεων
Διαβάστε περισσότεραΠαντού σε αυτό το κεφάλαιο, αν δεν αναφέρεται κάτι διαφορετικό, δουλεύουμε σε ένα χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και η G F είναι μια σ-άλγεβρα.
2 Δεσμευμένη μέση τιμή 2.1 Ορισμός Παντού σε αυτό το κεφάλαιο, αν δεν αναφέρεται κάτι διαφορετικό, δουλεύουμε σε ένα χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και η G F είναι μια σ-άλγεβρα. Ορισμός 2.1. Για X : Ω R τυχαία
Διαβάστε περισσότεραΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή.
ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ Ο ασθενής έχοντας μαζί του το βιβλιάριο υγείας του και την τυπωμένη συνταγή από τον ιατρό, η οποία αναγράφει τον μοναδικό κωδικό της, πάει στο φαρμακείο. Το φαρμακείο αφού ταυτοποιήσει το
Διαβάστε περισσότεραΚατασκευή της κίνησης Brown και απλές ιδιότητες
5 Κατασκευή της κίνησης Brown και απλές ιδιότητες 51 Ορισμός, ύπαρξη, και μοναδικότητα Ορισμός 51 Μια στοχαστική ανέλιξη { : t } ορισμένη σε έναν χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και με τιμές στο R λέγεται (μονοδιάστατη)
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ
ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο
Διαβάστε περισσότεραΗ έκδοση αυτή είναι υπό προετοιμασία. Γιάννης Α. Αντωνιάδης, Αριστείδης Κοντογεώργης
Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές Η έκδοση αυτή είναι υπό προετοιμασία Γιάννης Α. Αντωνιάδης, Αριστείδης Κοντογεώργης 9 Φεβρουαρίου 2015 2 Περιεχόμενα I ΑΡΙΘΜΟΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 7 1 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΡΩΤΟΙ
Διαβάστε περισσότεραΣυναρτήσεις. Σημερινό μάθημα
Συναρτήσεις Σημερινό μάθημα C++ Συναρτήσεις Δήλωση συνάρτησης Σύνταξη συνάρτησης Πρότυπο συνάρτησης & συνάρτηση Αλληλο καλούμενες συναρτήσεις συναρτήσεις μαθηματικών Παράμετροι συναρτήσεων Τοπικές μεταβλητές
Διαβάστε περισσότεραΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ
ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ Μάθημα: Ενόργανη Γυμναστική Χρήσιμα θεωρία στο κεφάλαιο της ενόργανης γυμναστικής για το γνωστικό αντικείμενο ΠΕ11 της Φυσικής Αγωγής από τα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια Κολλίντζα.
Διαβάστε περισσότεραΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 2. Σάμης Τρέβεζας
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 2 Σάμης Τρέβεζας ii ΣΑΜΗΣ ΤΡΕΒΕΖΑΣ Λέκτορας Τμήμα Μαθηματικών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνων Πιθανότητες ΙΙ Σημειώσεις σε εξέλιξη... (02/03) Περιεχόμενα 1 Δομές σε Οικογένειες
Διαβάστε περισσότεραΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΡΜΙΣΗΣ, ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ, ΠΡΥΜΝΟΔΕΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΛΛΙΜΕΝΙΣΜΟΥ ΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ. (ΛΙΜΑΝΙΑ κ.λπ.) ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ
ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΡΜΙΣΗΣ, ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ, ΠΡΥΜΝΟΔΕΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΛΛΙΜΕΝΙΣΜΟΥ ΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ (ΛΙΜΑΝΙΑ κ.λπ.) ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ ΤΑΜΕΙΩΝ ΚΑΙ ΔΗΜΟΤΙΚΩΝ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ ΤΑΜΕΙΩΝ Επιμέλεια Άγγελου Αργυρακόπουλου
Διαβάστε περισσότερα(2 ο ) Από τα προβλήματα του κόσμου, στου κόσμου τα προβλήματα
(2 ο ) Από τα προβλήματα του κόσμου, στου κόσμου τα προβλήματα Τα «πρακτικά» προβλήματα και μια «θεωρητική» (μαθηματική) διατύπωσή τους. Ας δούμε μια σειρά από παραδείγματα (αλγοριθμικών) προβλημάτων που
Διαβάστε περισσότεραΑρτιες και περιττές συναρτήσεις
Μελέτη Συναρτήσεων: άρτιες, περιττές συναρτήσεις - μονοτονία - ακρότατα Κώστας Ράπτης Άρτιες και περιττές συναρτήσεις Ὁι ψυχολόγοι κάνουν λόγο για δύο επίπεδα συλλογιστικής και μνήμης: το αρχαϊκό και το
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στις Διακριτές Πιθανότηες. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών
Εισαγωγή στις Διακριτές Πιθανότηες Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών 27 Δεκεμβρίου 2010 2 Κεφάλαιο 1 Συνδιαστική Ανάλυση και Μαθηματικές Τεχνικές Η απαρίθμηση των στοιχείων
Διαβάστε περισσότερα1. Εστω ότι A, B, C είναι γενικοί 2 2 πίνακες, δηλαδή, a 21 a, και ανάλογα για τους B, C. Υπολογίστε τους πίνακες (A B) C και A (B C) και
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Εαρινό Εξάμηνο 0 Ασκήσεις για προσωπική μελέτη Είναι απολύτως απαραίτητο να μπορείτε να τις λύνετε, τουλάχιστον τις υπολογιστικές! Εστω ότι A, B, C είναι γενικοί πίνακες,
Διαβάστε περισσότεραΠερίληψη. του Frostman 4.1. Τέλος, η ϑεωρία του μέτρου Hausdorff αναπτύσσεται περαιτέρω στην τελευταία παράγραφο. Εισαγωγή 2
Το Μέτρο και η Διάσταση Hausdorff Γεωργακόπουλος Νίκος Τερεζάκης Αλέξης Περίληψη Αναπτύσσουμε τη ϑεωρία του μέτρου και της διάστασης Hausdorff με εφαρμογές στον υπολογισμό διαστάσεων συνόλων fractal (Θεώρημα
Διαβάστε περισσότεραCSE.UOI : Μεταπτυχιακό Μάθημα
Θέματα Αλγορίθμων Αλγόριθμοι και Εφαρμογές στον Πραγματικό Κόσμο CSE.UOI : Μεταπτυχιακό Μάθημα 10η Ενότητα: Χρονικά Εξελισσόμενες ικτυακές Ροές Σπύρος Κοντογιάννης kntg@cse.ui.gr Τμήμα Μηχανικών Η/Υ &
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ. H λογική ασχολείται με δύο έννοιες, την αλήθεια και την απόδειξη. Oι έννοιες αυτές έχουν γίνει
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ------------------------------------------------------------------------------------- H λογική ασχολείται με δύο έννοιες, την αλήθεια και την απόδειξη. Oι έννοιες αυτές έχουν γίνει αντικείμενο
Διαβάστε περισσότερα(14 ο,15 ο,16 ο ) ΟΡΘΟΤΗΤΑ ΕΝΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ: ΕΝΟΤΗΤΑ Ι ΙΙ ΙΙΙ
(14 ο,15 ο,16 ο ) ΟΡΘΟΤΗΤΑ ΕΝΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ: ΕΝΟΤΗΤΑ Ι ΙΙ ΙΙΙ Το πρόβλημα της «ορθότητας» ενός αλγορίθμου. Θεωρούμε συχνότατα τους αλγορίθμους, (όπως και σε αυτές τις σημειώσεις), ως προγράμματα γραμμένα
Διαβάστε περισσότεραΦροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου. Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10
Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου Εκλογής Προέδρου με O(nlogn) μηνύματα Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10 Περιγραφικός Αλγόριθμος Αρχικά στείλε μήνυμα εξερεύνησης προς τα δεξιά
Διαβάστε περισσότεραΠ. ΚΡΗΤΗΣ, ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΥ 380, «ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ» Φ 07: ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
Π. ΚΡΗΤΗΣ, ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΥ 380, «ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ» Φ 07: ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η περιγραφή του προβλήματος: Στην άλγεβρα (και με αναρίθμητες εφαρμογές στην αριθμητική ανάλυση)
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ: ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΟΜΑΔΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑ: ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΟΜΑΔΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια: Βουδούρη Καλλιρρόη ΙΑΓ%ΝΙΣΜΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΝΟΜΑ:.. ΘΕΜΑ Α Α. Να ση)ειώσετε στο γρα1τό σας δί1λα α1ό τον
Διαβάστε περισσότεραΔήμος Σωτήριος Υ.Δ. Εργαστήριο Λογικής & Επιστήμης Υπολογιστών. Τομέας Τεχνολογίας Πληροφορικής & Υπολογιστών Σ.Η.Μ.Μ.Υ. Ε.Μ.Π.
Δήμος Σωτήριος Υ.Δ. Εργαστήριο Λογικής & Επιστήμης Υπολογιστών Τομέας Τεχνολογίας Πληροφορικής & Υπολογιστών Σ.Η.Μ.Μ.Υ. Ε.Μ.Π. Θεωρία Παιγνίων (;) αυτά είναι video παίγνια...... αυτά δεν είναι θεωρία παιγνίων
Διαβάστε περισσότεραΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ: ΟΜΑΔΑ Α Για τις προτάσεις Α1 μέχρι και Α6 να
Διαβάστε περισσότερα