Γιάννης Σαριδάκης Σχολή Μ.Π.Δ., Πολυτεχνείο Κρήτης

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Γιάννης Σαριδάκης Σχολή Μ.Π.Δ., Πολυτεχνείο Κρήτης"

Δαρείος Ζερβός
4 χρόνια πριν
Προβολές:

1 2 η Διάλεξη Ακολουθίες 29 Νοεµβρίου 206 Γιάννης Σαριδάκης Σχολή Μ.Π.Δ., Πολυτεχνείο Κρήτης ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ, ΤΟΜΟΣ Ι - Fiey R.L. / Weir M.D. / Giordao F.R. Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης

2 2 Όρια Ακολουθιών & Φραγμένες Ακολουθίες

3 /2 /8 /4 /

4 Oρισµός Aκολουθία Άπειρη ακολουθία αριθµών είναι µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το σύνολο των ακεραίων που είναι µεγαλύτεροι ή ίσοι ενός ακεραίου 0. Θετικών Ακεραίων a,a 2,a 3,!,a,! { a,a 2,a 3,!,a,!} { a } { a } { a } = a = a() = :, 2, 3,2, 5,!,,! a = a() = ( ) + :, 2, 3,,!,( ) + 4,! a = a() = : 0, 2, 2 3, 3,!, 4,! 4

5 Παράδειγµα Περιγραφή ακολουθιών Όροι ακολουθίας Tύπος ακολουθίας (α), 2, 3, 4,...,,... a (β), 2, 3,...,,... a (γ), 2, 3, 4,..., ( ),... a ( ) (δ) 0, 2, 2 3, 3 4,...,,... a (ε) 0, 2, 2 3, 3 4,..., ( ),... a ( ) (στ) 3, 3, 3,..., 3,... a 3 5

6 6

7 7

8 8

9 8.. Όρια ακολουθιών 534 Oρισµοί Chapter 0: Ifiite Sequeces ad Σύγκλιση, απόκλιση, όριο H ακολουθία {a} συγκλίνει στον αριθµό L αν σε κάθε θετικό αριθµό e αντιστοιχεί ακέραιος N τέτοιος ώστε για κάθε, w! N! a $ L! " e. w Aν534 δεν υπάρχει αριθµός λέµε ότι η {a} αποκλίνει. Chapter 0:τέτοιος Ifiite Sequeces ad L, Series Aν η {a} συγκλίνει στο L, γράφουµε l! a # L, ή h το L όριο ακολουθίας (Σχήµα απλούστερα a l L, και καλούµε whose L-E L ad L+E terms της approach 0 as gets large, i the s ( -I- ) 8.2). o t, 0 a2 a3 a L {VI, Yz, V3,..., L-E o 29//206 a I bi L $ & L L %whose & terms approach I. O the other had, seques s an a L a L-E have teds that get larger tha ay umber as icr L L+E ( -I- ) (, a ) ΣXHMA 8.2 a{i,l-i, L εάν L..., I, -I,yI,#-I, είναι µια οριζόντια back ad forth betwee Iad - I, ever co L bouce & % o 2 3 N ασύµπτωτη της ακολουθίας ig defiitio captures the meaig of havig a se 206 Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 9

10 Ορισμός Αποκλίνουσα Ακολουθία Η ακολουθία {a} αποκλίνει στο άπειρο εάν για κάθε αριθμό M υπάρχει ένας ακέραιος Ν τέτοιος ώστε > N a > M Σε αυτήν την περίπτωση γράφουμε a = a. ή Ομοίως, η ακολουθία {a} αποκλίνει στο μείον άπειρο εάν για κάθε αριθμό m υπάρχει ένας ακέραιος Ν τέτοιος ώστε > N a < m M..... Σε αυτήν την περίπτωση γράφουμε 0 23 ή ait=follows that M // N a.... N 0. (a) IL - II < /2, or equivaletly, /2 < L < 3/2. - I appears repeatedly i the sequece with arbitrarily high idex. that IL - (- I) I < /2, or equivaletly, - 3/2 < L < - /2. Bu o 23. N lie i both of the itervals (/2, 3/2) ad (-3/2, -/2) because Therefore, o such it L exists ad so the sequece diverges. Note that the same wgumet m works for ay positive umber Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης

11 Το όριο συγκλίνουσας ακολουθίας είναι µοναδικό L L 2 = ( L a ) ( L 2 a ) L a + L 2 a 2ε, ε L L 2 = 0 L = L 2

12 I If a se Coverget.equeces are bouded such that Ia Oρισµός Άνω φραγµένη, άνω φράγµα, κάτω φραγµένη, κάτω φράγµα, φραγµένη ακολουθία Mια ακολουθία {aφραγµένες φραγµένη υπάρχει αριθµόςifmm60 } είναι άνω is a 8.2. Yποακολουθίες, ακολουθίες και ηαν µέθοδος Picard τέτοιος ώστε a " M για κάθε. O αριθµός M είναι τότε ένα the for ev άνω φράγµα της {a}. H ακολουθία είναι κάτω φραγµένη αν is a umbe υπάρχει αριθµός m τέτοιος ώστε m! a για κάθε. O αριθµός m of th boud είναι τότε ένα κάτω φράγµα της {a}. Aν η {a} είναι άνω και Althou κάτω φραγµένη, καλείται φραγµένη ακολουθία. queces th i Exampl a" bad deter Παράδειγµα 4 Eφαρµογή του ορισµού φραγµένης ακολουθίας tat type o '. (α) H ακολουθία, 2, 3,...,,... δεν έχει άνω φράγµα, αλλάlarge, είναιor at κάτω φραγµένη από το m!. 2 3,...,,... (β) H ακολουθία, o, 23 είναι άνω φραγµένη από το DEFIN # m f-"'---"--' is, at M! και κάτω φραγµένη από το m!. The se // Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης

13 Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία είναι φραγµένη a L m a M N a L < = ε L < a < L +, > N m = mi{ L,a,,a } N M = max{ a,,a N, L +} a L a M 3

14 a L a L a L a L < ε a L a a < ε, m> N m a a m = a L ( a m L) a L + a m L < ε 2 + ε 2 = ε,m > N 4

15 Θεώρηµα Iδιότητες ορίων ακολουθιών Έστω {a } και {b } ακολουθίες πραγµατικών αριθµών και A και B πραγµατικοί αριθµοί. Έστω l a A και l b B. Iσχύουν τότε οι ακόλουθες ιδιότητες:. Όριο αθροίσµατος: l (a b ) A B 2. Όριο διαφοράς: l (a b ) A B 3. Όριο γινοµένου: l (a b ) A B 4. Όριο σταθερού πολλαπλασίου: l (k b ) k B (τυχών αριθµός k) 5. Όριο πηλίκου: l A εφόσον B 0 b B a 5

16 (α) l l 0 0 (β) l l l l 0 (γ) l l (δ) l l l (4 / 6 ) 7 (3 / 6 )

17 Θεώρηµα 2 Θεώρηµα «σάντουιτς» για ακολουθίες Έστω {a }, {b }, και {c } ακολουθίες πραγµατικών αριθµών. Aν a b c για κάθε πέραν κάποιου N και αν l c L, τότε θα ισχύει επίσης l b L. a l l a b c a L b L c L ε < a L b L c L < ε b L < ε l f L /I - a;.. o 7

18 (a) (b) cos 0 διότι cos 2 0 διότι 0 2 (c) ( ) 0 διότι ( ) 8

19 Θεώρηµα 3 Έστω {a } µια ακολουθία πραγµατικών αριθµών. Aν a l L και η f είναι µια συνάρτηση συνεχής στο L και ορισµένη για κάθε a, τότε f(a ) l f(l). f (x) = 2 x a = 0 l f (a ) f (0) 2 / 2 0 = 9

20 Θεώρηµα 4 Έστω f(x) συνάρτηση ορισµένη για κάθε x 0 και {a } ακολουθία πραγµατικών αριθµών τέτοια ώστε a f() για 0. Στην περίπτωση αυτή xl f(x) L a L. l x f (x) = L x > M f (x) L < ε > N > M, a = f () a L = f () L < ε 20

21 f (x) = l x x a = f () = l l x f (x) = x x x l ' Hôpital = x x = 0 l a = = 0 2

22 f (x) = x + x x a = f () = + x f (x) = e x l f ( x) l f (x) = x x l x + x / x l ' Hôpital = x 2x 2 x 2 = 2 x f (x) = e x l f ( x) = e 2 a = e2 22

23 Πίνακας l l 0 l l x / (x 0) l x 0 ( x ) x = x = e l x = 0 l x < 0 ( ) l x e x 5. (τυχόν x) x 6. (τυχόν x) l! 0 Στους τύπους (3) έως (6), το x µένει σταθερό καθώς l. 23

24 24 x! = 0 x Επειδή! < x! < x! αρκεί x! = 0 Έστω Μ τέτοιο ώστε x < M x M < x M = 0 > M! = 2! M ( M +) ( M + 2)! < M!M M x! < M!M M x = M M M! x M 0

25 Υπακολουθίες Μονότονες ακολουθίες 25

26 Yποακολουθίες Aν ο όροι µιας ακολουθίας εµφανίζονται σε άλλη ακολουθία µε την ίδια διάταξη, καλούµε την πρώτη ακολουθία υποακολουθία της δεύτερης. Παράδειγµα Yποακολουθίες της ακολουθίας θετικών ακεραίων (α) H υποακολουθία των άρτιων ακεραίων: (β) H υποακολουθία των περιττών ακεραίων: (γ) H υποακολουθία των πρώτων αριθµών: 2, 4, 6,, 2,, 3, 5,, 2, 2, 3, 5, 7,, Oι υποακολουθίες έχουν σηµασία για δύο λόγους: 26

27 Aν µια ακολουθία {a } συγκλίνει στο L, τότε όλες οι υποακολουθίες της συγκλίνουν στο L. Aν γνωρίζουµε ότι µια ακολουθία συγκλίνει, τότε διευκολυνόµαστε στην εύρεση ή στην εκτίµηση του ορίου µιας υποακολουθίας της που µας ενδιαφέρει. Aν κάποια υποακολουθία µιας ακολουθίας {a } αποκλίνει ή αν δύο υποακολουθίες της έχουν διαφορετικά όρια, τότε η {a } αποκλίνει. Για παράδειγµα, η ακολουθία {( ) } αποκλίνει διότι η υποακο- ( ) 27

28 Oρισµός Mη φθίνουσα, µη αύξουσα, µονότονη ακολουθία Mια ακολουθία {a } µε την ιδιότητα a a για κάθε καλείται µη φθίνουσα ακολουθίαø δηλαδή, a a 2 a Mια ακολουθία καλείται µη αύξουσα αν a a για κάθε. Mια ακολουθία που είναι είτε µη φθίνουσα είτε µη αύξουσα, καλείται µονότονη. Θεώρηµα 5 Θεώρηµα µονότονων ακολουθιών Kάθε φραγµένη µονότονη ακολουθία συγκλίνει. { a } : a a M, a sup{ a } { a } : m a a, a if{ a } + Ελάχιστο άνω φράγμα Μέγιστο κάτω φράγμα 28

29 29

Σχετικά έγγραφα

Ρυθµοί µεταβολής Παράγωγος σε σηµείο Όρια. Γιάννης Σαριδάκης Σχολή Μ.Π.Δ., Πολυτεχνείο Κρήτης

3 η Διάλεξη Ρυθµοί µεταβολής Παράγωγος σε σηµείο Όρια 26 Σεπτεµβρίου 2016 Γιάννης Σαριδάκης Σχολή Μ.Π.Δ., Πολυτεχνείο Κρήτης ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ, ΤΟΜΟΣ Ι - Finney R.L. / Weir M.D. / Giordano F.R. Πανεπιστημιακές