סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806

Transcript

1 סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 בבעיותמינימום מקסימוםישלחפשאתנקודותהמינימוםהמוחלטוהמקסימוםהמוחלט. בשאלות מינימוםמקסימוםחובהלהראותבעזרתטבלה אובעזרתנגזרתשנייהשאכן מדובר עלמינימוםאומקסימום. לצורךקיצורהתהליך, ניתןלהשתמשב: y (מונה ( כאשר המכנה של הנגזרת הוא חיובי. אתתחוםההגדרהישלהכניסלטבלה, כולל מגבלותגיאומטריות (ראהדוגמאבהמשך). כאשרבשאלהמחפשיםלמשל מינימוםויצאלכםמקסימום - ייתכןשהמינימוםנמצאבקצוות (אולהיפך), ולפיכךישלבדוק אתהקצוותשלהתחום. בשאלותמינימוםמקסימוםשבהןיש ביטוישעליכם להוכיח, איןלהשתמשבביטויעצמולצורך בנייתהפונקציה, אלארקלהוכיח שהביטויאכןנכון. בשאלות מינימוםמקסימוםניתןלהשתמשבכל משפטיהגיאומטריהכולל משפטפיתגורס, משפטי פרופורציהודמיון, משפטחוצההזווית, וכןבכלתורתהטריגונומטריהכוללמשפטי הסינוסוהקוסינוס, כלסוגי הזהויותובנוסחאותלמציאתשטחים. ניתןלהיעזר בשיקוליסימטריה בבעיותמינימוםמקסימום, כאשר מלוויםאתהשיקולים בהסברמילולי מתאים (ראהדוגמאבהמשך). ברורשניתןלמצוא אתשיעוריהנקודותדרךפתרוןמתמטי. בשאלותמינימוםומקסימום עםגרפיםישלעשותשימושבפרמטר t. אחרימציאת הפונקציהשאותהצריךלגזור, ניתןלהחליףאת t במשתנה, ולגזוראת הפונקציהלפי. מרחקאנכיבין שתינקודותהואהפרשה- y שלהן: תמידה- y העליוןפחותה- y התחתון, בלי קשרבאיזהרביענמצאותהנקודות. מרחק אופקיביןשתינקודותהואהפרשה- שלהן: תמידה- הימניפחותה- השמאלי, בלי קשרבאיזהרביענמצאותהנקודות. כאשראתםמתבקשיםלמצוא שטחמקסימליוגםהיקףמקסימלי, ישלזכורשמדוברבשתי שאלות שונות כלומר, אםמצאתםאתה- שעבורוהשטחהואמקסימלי איןפירושהדבר שעבוראותוה- גםההיקףהואמקסימלי כלהזכויותשמורותלמאיר בכור

2 כאשר מבקשים למצוא את הנקודה שבה יש לפונקציה ישלגזוראתהפונקציה ולקבלאתפונקצייתהשיפוע נקראלה כעת, עבורהפונקציה את השיפוע המקסימלי,. F( ) F( ) נחפשמקסימום (מוחלט). אחרימציאתהמקסימוםהנ"ל, ישלהציבאת ה- למצוא את הנקודה שבה לפונקציה שהתקבל בפונקציה יש את השיפוע המקסימלי. (שיעור ה- שהתקבל הוא נקודה חשודה בפיתול של הפונקציה.( על-מנת בשאלות שבהן מבקשים להוכיח אי-שוויון ניתן להשתמש במציאת נקודת המינימום המוחלט אוהמקסימוםהמוחלט, ובעזרתןלהוכיחאתאי-השוויון. לדוגמא: אםרוצים להוכיחשהפונקציהתמידחיובית, נוכיחשערך הפונקציהבנקודתהמינימום המוחלטשלההואחיובי (כלומרמעלצירה- ) דוגמא למגבלהגיאומטרית חשבמהצריךלהיותהרוחב מינימלי. של המלבן הימני כדי שסכום שטחי המלבניםהמקווקווים יהיה 8. 0 מכיוון שאורךהמלבןהגדולנתון (10) נוצרתמגבלה גיאומטריתעבור 10 :. 0 מכיווןשרוחבהמלבןהגדולנתון (8) נוצרתמגבלהגיאומטריתעבור : 8. 0 לכן המגבלההכלליתעל תהיה: 5 מגבלהזועל עלינולהכניסלטבלה. (מבחן הנגזרתהראשונה).

3 דוגמאות לשיקולי סימטריה t, וזאת B של הנקודה A יהיה של נקודה ב-, t אזשיעורה-.1 אםנסמןאתשיעורה- עקב שיקולי סימטריה: y = + 9 t, t 9 + B A t, t + 9 ( 3,0) ( 3,0) הערה: עלמנתלמצואאתנקודותA ו- B בדרךמתמטיתישלפתוראתמערכתהמשוואות- y = t + 9, = + 9, וזאת 4 t B של הנקודה A יהיה של נקודה ב-, t אזשיעורה-. אםנסמןאתשיעורה- עקב שיקולי סימטריה: y = + 4 ( t, t + 4t) A B( 4 t, t + 4t) ( 0,0 ) ( t,0) ( 4,0) t 3

4 בעיות מינימום מקסימום טריגונומטרית 1. בשאלות מינימוםמקסימוםכאשרהמשתנה הואזווית, מומלץבשלבהראשון, "לרוץ" עם המשתנה ולמצוא אתשארהזוויותכפונקציהשל.. עלמנתליצוראתהפונקציה שעבורהישלמצואאתהמינימום אוהמקסימום (פונקציתהמטרה) ישלהשתמשבכל תורתהטריגונומטריה כוללמשפטיהסינוסוהקוסינוס, בנוסחאותלמציאת שטחיםובכל סוגיהזהויות. (ראהסעיףז'). 3. כאשרמתקבלתהפונקציה הטריגונומטרית מומלץאםניתן, לפשט אותהלפניהגזירה. לצורךכך, ישלדעתאתהזהויות, כולל זוויתכפולהבסינוסובקוסינוס, והפיכתמכפלתפונקציות לסכוםפונקציות (לא מופיעבדףהנוסחאות). למשל: א. ב. 4 4 ( ) ( ) ( ). f = cos sin = cos + sin cos sin = 1 cos 4 4 sin ( ) ( ). f = cos + sin = cos + sin sin cos = 1 ואםרוציםלעשות "עודצעד" sin 1 cos 4 3 cos 4 1 = 1 = בעיות מינימום מקסימום עם אינטגרלים השאלותיכולותלהיות בנושאמינימוםמקסימוםלאינטגרל, אובעיות מינימוםמקסימוםלגבי שטחים, אובעיות מינימוםמקסימוםלגבינפחים. יש לבצעאתהאינטגרלעםהפרמטרהקבוע, כאשר הואהמשתנה. בפונקציהשהתקבלה, הפרמטרהקבועהופךלהיותהמשתנה (מומלץלהפוךאותולמשתנה ). כעתישלבצעאת התהליךהרגיללמציאתמינימום אומקסימוםלפונקציהשהתקבלה. הפרמטריופיעבדרךכלל בגבולותשלהאינטגרל, יהיושאלותשאתםתצטרכו לבחוראת הפרמטרולסמן אתגבולותהאינטגרלעםפרמטר זה

5 בעיות מינימום מקסימום במרחב הגופיםשאותםעליכםלהכירהם: מנסרהישרה, תיבה, קובייה, פירמידהישרה, גלילישר, וחרוטישר. עלמנתלפתור תרגיליםבנושאזהישלדעתאתהנוסחאותלשטחמעטפת, שטחפניםונפחשל הגופיםהנ"ל. כאשרנתוןשהגוףפתוחמלמעלה ומבקשיםלמצואאתשטחהפנים, איןלהתחשבבבסיסהעליון אלארקבתחתון. בנוסףיששאלות, בעיותמינימום מקסימוםבהנדסתהמרחב, שבהן עוסקיםבהרכבתגופים "מדביקים" יחדשניגופיםאויותר מנסרהישרה (משולשת, תיבה, קובייה): נגדיר: - p היקףהבסיס, - S שטחהבסיס, - h גובההמנסרה, - M שטחמעטפת, - V נפחהמנסרה. M= ph P = M + S V = Sh d = a + b + c אלכסון התיבה: M שטחמעטפתהגליל, P שטחהפנים, M = π Rh P= π R + M = π + V =π R h גליל נגדיר: h גובההגליל, R רדיוסבסיסהגליל, V נפחהגליל. 4R+ היקף החתך הצירי של הגליל: h 5

6 פירמידהישרה 1. בפירמידהישרההגובהעובר דרךמרכזהמעגלהחוסםאתמצולעהבסיס, לכןבפירמידה ישרהכלהמקצועותהצדדיםשוויםזהלזה, והפאותהצדדיותהם משולשיםשווה-שוקיים.. אםבסיס הפירמידההואמצולעמשוכלל הפירמידהנקראתפירמידהמשוכללת. נגדיר: S שטחהבסיס, h גובההפירמידה, M שטחהמעטפת ) סכוםכלשטחיהפאות הצדדיות). P שטחהפנים, V הנפח. P = M + S Sh V= 3 חרוטישר נגדיר: h גובההחרוט, R רדיוסבסיסהחרוט, L הקוהיוצרשלהחרוט, M שטחמעטפת, P שטחהפנים, V נפחהחרוט, -α הזויתהמרכזיתכאשרהמעטפתפרושה. M =π RL P = M +π R π V= 3 α R = 360 L R h R היקף החתך הצירי של החרוט: + L R + h = L הקשרביןהקוהיוצר, גובההחרוט, ורדיוסהבסיסהוא בעזרתמשפטפיתגורס: הערה: הזוית α יכולהלהיותגדולהמ כלהזכויותשמורות למאירבכור

7 בעיותקיצוןעםבעיותתנועה 1. בדרךכללבסוגשאלותאלהנרצהלדעתאתהזמןשבו המרחקביןשניהגופיםהנעיםיהיה מינימלי, אומציאתהמרחק עבורזמןמינימלי.. בשאלותאלהייתכן שיהיה שימושבמשפטפיתגורס אובמשפטהקוסינוסוזאתכאשרהדרכים לאמאונכותזולזו. בעיותקיצוןכלכליות בעיותקיצוןכלכליות יכולותלהופיעבכמהתחומיםכמולמשל: בקנייהומכירהשל מוצרים - מחפשים רווחמכסימלי, בבעיותתנועה - מחפשיםאתהמהירותעלמנתשההוצאות תהיינהמינימאליות, בבעיותבמישור - משלביםעליותלכלמטראולכלמ"ר ומחפשיםאתהעלותמינימאלית, בבעיותבמרחב - משלביםעליות לכל מ"ר בגופיםהשונים, ומחפשיםאתהעלותהמינימאלית. ולסיום:- זכרוכיהמסמךבאלתת לכםרקהנחיותכלליותותזכורת לחומרהלימוד ואינופותראתכםמחזרה ותרגולשלכלהחומר! בהצלחה בבחינה!!! כל הזכויות שמורות למאיר בכור 7