Ανάλυση Πειραματικών Δεδομένων Ηλεκτροδιέγερσης του. Πρωτονίου στην Κινηματική Περιοχή του Συντονισμού Δ με

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΠΥΡΗΝΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΩΝ ΣΩΜΑΤΙΔΙΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΚΤΗΣΗ ΜΔΕ Ανάλυση Πειραματικών Δεδομένων Ηλεκτροδιέγερσης του Πρωτονίου στην Κινηματική Περιοχή του Συντονισμού Δ με W=1232 MeV και Q 2 =1 (GeV/c) 2 ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ ΧΑΤΖΙΚΟΣ Α.Μ: ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ: ΣΤΥΛΙΑΡΗΣ ΕΥΣΤΑΘΙΟΣ, ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΑΘΗΝΑ

2 Τριμελής επιτροπή: Διάκονος Φώτιος, Αναπληρωτής Καθηγητής Μερτζιμέκης Θεόδωρος, Επίκουρος Καθηγητής Στυλιάρης Ευστάθιος, Αναπληρωτής Καθηγητής (Κύριος Επιβλέπων) Ημερομηνία εξέτασης: 30 Ιουνίου

3 Ευχαριστίες Πριν την παρουσίαση των αποτελεσμάτων της παρούσας εργασίας, θα ήθελα να απευθύνω θερμές ευχαριστίες στον επιβλέποντα καθηγητή της διπλωματικής εργασίας, Αναπληρωτή Καθηγητή Ευστάθιο Στυλιάρη για την πολύτιμη καθοδήγησή του καθώς και για τις γνώσεις που μου μετέδωσε πάνω στον τομέα της πυρηνικής φυσικής καθώς και της προσέγγισής της μέσω του πειράματος. Τέλος, θα ήθελα να ευχαριστήσω την οικογένειά μου και ειδικότερα τους γονείς μου για την οικονομική και ψυχολογική υποστήριξη που μου παρείχαν από την πρώτη ημέρα των σπουδών μου έως και σήμερα. 3

4 Περίληψη Σε πειράματα ηλεκτροδιέγερσης το πρωτονίου μέσω της αντίδρασης p(e,e p)π 0 οι ενεργές διατομές μετρούνται με την βοήθεια της οργανολογίας Out Of Plane Spectrometry (OOPS) και συντίθενται από γραμμικούς συνδυασμούς των εγκάρσιων και διαμηκών συναρτήσεων απόκρισης (R L, R T ) καθώς και της επαλληλίας αυτών (R LT, R TT ). Οι συναρτήσεις αυτές απόκρισης εκφράζονται με τη βοήθεια της θεωρίας CGLN (Chew-Goldberger-Low-Nambu) κάνοντας χρήση της πλειονοπολικής βάσης ηλεκτρομαγνητικών πλατών (E i, M i, C i ). Το ζητούμενο της ανάλυσης των πειραματικών δεδομένων είναι ο προσδιορισμός των κυρίαρχων αυτών πλατών στην κινηματική περιοχή των μετρήσεων. Στην παρούσα εργασία αναλύονται μέσα στο πλαίσιο αυτό πειραματικά δεδομένα από το εργαστήριο Jefferson Lab της ηλεκτροδιέγερσης του πρωτονίου στην περιοχή συντονισμού Δ, και ειδικότερα, στην κινηματική περιοχή W=1232 MeV και Q 2 =1 (GeV/c) 2. Αφού εξηγηθεί η σημασία των κινηματικών μεγεθών και των πειραματικών μετρήσεων, επιχειρείται θεωρητική ανάλυση με την οποία υπολογίζονται οι μετρημένες ενεργές διατομές από τη βάση των πλειονοπόλων. Η πολυπλοκότητα των σχέσεων CGLN που συνδέει τα πλειονόπολα αυτά με τα πειραματικά δεδομένα καθιστά την όλη διαδικασία δύσκολα αναστρέψιμη, αδυνατώντας να προσδιορίσει μονοσήμαντα τις τιμές των πλειονοπόλων. Για την επίλυση του αντιστρόφου προβλήματος, εισάγεται στην ανάλυση το μοντέλο AMIAS (Athens Model Independent Analysis Scheme), το οποίο βασίζεται σε τεχνικές Monte Carlo και δίνει την δυνατότητα υπολογισμού των ζητούμενων πλειονοπόλων από τα πειραματικά δεδομένα και μόνο, χωρίς να εισάγει σφάλμα μοντέλου (model error). Αρχικά, η κατανόηση της αντίστροφης αυτής διαδικασίας δίνεται με απλά παραδείγματα, όπου εξαίρεται η σημασία των συσχετισμών των ελεύθερων παραμέτρων του προβλήματος. Στη συνέχεια, βασικά αποτελέσματα της πλειονοπολικής ανάλυσης προσδιορίζονται από τα πειραματικά δεδομένα και συγκρίνονται με την απόκλιση του σχήματος του αδρονίου από την σφαιρικότητα. Τέλος, τα πειραματικά αποτελέσματα του JLab συγκρίνονται με τις ζώνες αβεβαιότητας (error bands) 1σ και 2σ, οι οποίες προκύπτουν λαμβάνοντας υπόψη την κατανομή της πιθανότητας (PDF) των πλειονοπολικών αποτελεσμάτων του AMIAS. 4

5 Περιεχόμενα Περίληψη Εισαγωγή Ιστορική αναδρομή και στόχοι Καθιερωμένο Πρότυπο Η διεγερμένη κατάσταση του νουκλεονίου Ηλεκτρομαγνητική παραγωγή πιονίου Out of Plane Spectrometry (OOPS) Ηλεκτροδιέγερση πρωτονίου και το σχήμα του νουκλεονίου Κινηματική Φορμαλισμός Κινηματική του επιπέδου σκέδασης Κινηματική του επιπέδου αντίδρασης Διαφορική ενεργός διατομή Ορισμοί Λεπτονικός τανυστής και πόλωση φωτονίου Αδρονικός τανυστής Πλειονοπολική ανάλυση Πλάτη CGLN Συναρτήσεις απόκρισης Κεφάλαιο 3: AMIAS Ορισμός Εφαρμογές του AMIAS σε απλές περιπτώσεις Γραμμική περίπτωση Μη γραμμική περίπτωση Εφαρμογή του AMIAS στην ηλεκτροδιέγερση πρωτονίου και στο σχήμα του νουκλεονίου Χρησιμότητα του AMIAS

6 4.2 Αλγόριθμος λειτουργίας του AMIAS στο σχήμα του νουκλεονίου Εξαγωγή των αποτελεσμάτων Ευαισθησία των πλειονοπόλων Εξάρτηση από το L cut Correlations Εξαγωγή 1σ και 2σ error bands Κίνηση όλων των πλειονοπόλων EMR και CMR Επίλυση με δεδομένα του MAID Συμπεράσματα ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

7 Κεφάλαιο 1 ο 1 Εισαγωγή 1.1 Ιστορική αναδρομή και στόχοι Η ανακάλυψη του ατομικού πυρήνα το 1911 από τον Βρετανό φυσικό Ernest Rutherford δημιούργησε πολλά ερωτήματα όπως το εάν ο πυρήνας αποτελείται από ακόμα μικρότερα δομικά στοιχεία και το ποια ακριβώς είναι η δομή του. Στη συνέχεια η ανακάλυψη του νετρονίου το 1932 από τον Άγγλο φυσικό James Chadwick οδήγησε στη θεμελίωση του μοντέλου του ατομικού πυρήνα σύμφωνα με το οποίο ο πυρήνας αποτελείται από τα νουκλεόνια, πρωτόνια και νετρόνια, τα οποία συγκροτούνται μεταξύ τους χάρη στην πολύ ισχυρή πυρηνική δύναμη. Σήμερα, η Κβαντική Χρωμοδυναμική (QCD) αποτελεί την κυρίαρχη θεωρία περιγραφής της ισχυρής αλληλεπίδρασης ενώ το Καθιερωμένο Πρότυπο περιγράφει τα συστατικά του νουκλεονίου. Παρόλα αυτά όμως, η φυσική που κρύβεται πίσω από τον μικρόκοσμο δεν έχει αποκαλυφθεί πλήρως και στην επιστήμη της φυσικής όσο υπάρχουν ασάφειες θα υπάρχουν και αμφιβολίες. Βασικό μέλημα λοιπόν των νέων φυσικών είναι η επεξήγηση του συνόλου των φαινομένων που απαντώνται σε έναν πυρήνα, με μαθηματική ακρίβεια που δεν θα αφήνει περιθώρια αμφιβολίας. Ως αποτέλεσμα, τα χαρακτηριστικά και οι ιδιότητες τόσο των δομικών σωματιδίων της ύλης όσο και των μεταξύ τους αλληλεπιδράσεων, θα προσδιοριστούν οδηγώντας στην κατανόηση του σύμπαντος και ειδικότερα του μηχανισμού δημιουργίας του. Δεδομένης της τεράστιας έκτασης του στόχου αυτού, η παρούσα εργασία επικεντρώνεται στην μελέτη μιας μόνο ιδιότητας των νουκλεονίων, του σχήματός τους. Λόγω της μεγάλης σταθερότητας του πρωτονίου έναντι του νετρονίου, το πρωτόνιο είναι 7

8 το προτιμώμενο για μελέτη νουκλεόνιο. Ο πιο διαδεδομένος τρόπος μελέτης του σχήματος ενός αδρονίου είναι ο έλεγχος της ηλεκτρομαγνητικής του απόκρισης. Το σπιν του νουκλεονίου (+1/2) εξαφανίζει την τετραπολική του ροπή που οδηγεί στην ψευδαίσθηση ότι το σχήμα του είναι σφαιρικό καθώς αποτρέπει τον άμεσο εντοπισμό της παραμόρφωσής του. Αυτό συμβαίνει επειδή η ηλεκτρική τετραπολική του ροπή είναι η πρώτη σε τάξη ροπή η οποία δεν δεσμεύεται από κάποιον κβαντικό του αριθμό αφού η ηλεκτρική μονοπολική δεσμεύεται από το φορτίο και η μαγνητική διπολική από την ιδιοστροφορμή του. Έτσι η ηλεκτρική τετραπολική ροπή καθορίζει την απόκλιση του σχήματός του από το σφαιρικό. Ορισμένα από τα ερωτήματα που θα απαντηθούν επίσης κατά την μελέτη της ηλεκτρομαγνητικής απόκρισης του νουκλεονίου είναι τα εξής: Πως κατανέμεται η ιδιοστροφορμή του νουκλεονίου στα συστατικά του; Δεδομένου ότι το νουκλεόνιο αποτελείται από 3 quarks θα ήταν αναμενόμενο, η ιδιοστροφορμή του να φέρεται από τα quarks αυτά. Πειραματικά δεδομένα όμως δείχνουν ότι τα quarks σθένους φέρουν μικρό ποσοστό της ιδιοστροφορμής οδηγώντας στο συμπέρασμα ότι η θάλασσα των γκλουονίων θα φέρει το μεγαλύτερο μέρος. Ποια είναι η μορφή της πόλωσης του φορτίου και της μαγνήτισης του νουκλεονίου υπό την επίδραση εξωτερικού ηλεκτρομαγνητικού πεδίου συναρτήσει του μήκους κύματος του πεδίου σε χαμηλή ενέργεια διέγερσης; Ποιος είναι ο ηλεκτρικός παράγοντας μορφής του νετρονίου σε σχετικά μεγάλο μήκος κύματος του δυνητικού φωτονίου; Λόγω του συνολικά μηδενικού φορτίου, ο ηλεκτρικός παράγοντας μορφής μειώνεται όσο αυξάνεται το μήκος κύματος του φωτονίου. Η μέση τετραγωνική ακτίνα του νετρονίου μπορεί να προσδιοριστεί από την ταχύτητα μηδενισμού του ηλεκτρικού παράγοντα μορφής στα μεγάλα μήκη κύματος. 8

9 1.2 Καθιερωμένο Πρότυπο Σύμφωνα με το καθιερωμένο πρότυπο η ύλη αποτελείται από τα φερμιόνια τα οποία χωρίζονται σε 6 quark και 6 λεπτόνια. Οι 6 διαφορετικές γεύσεις των quark είναι οι u (up) με μάζα 2.4 MeV, d (down) με μάζα 4.8 MeV, c (charm) με μάζα GeV, s (strange) με μάζα 95 MeV, t (top) με μάζα 172 GeV και b (bottom) με μάζα 4.18 GeV, και έχουν όλα σπιν ½, πάριτυ +1 ενώ ηλεκτρικό φορτίο +2/3 για τα u, c και t και -1/3 για τα d, s, b. Οι 6 διαφορετικές γεύσεις των λεπτονίων είναι το e - (ηλεκτρόνιο) με μάζα 511 kev και ηλεκτρικό φορτίο -1, το ν e (νετρίνο του ηλεκτρονίου) με μάζα περίπου 2 ev και μηδενικό ηλεκτρικό φορτίο, το μ (μιόνιο) με μάζα 106 MeV και ηλεκτρικό φορτίο -1, το ν μ (νετρίνο του μιονίου) με μάζα μικρότερη των 1.7 MeV και μηδενικό ηλεκτρικό φορτίο, το τ (ταυ λεπτόνιο) με μάζα 1.78 GeV και φορτίο -1 και του ν τ (νετρίνο του ταυ λεπτονίου) με μάζα μικρότερη των 15.5 MeV και ουδέτερο ηλεκτρικό φορτίο. Όλα τα λεπτόνια έχουν σπιν ½ ως φερμιόνια. Σύμφωνα με την QCD, τα quark συγκροτούνται σε αδρόνια χάρη στον κβαντικό αριθμό του χρώματος ο οποίος μπορεί να πάρει τις ιδιοτιμές κόκκινο, πράσινο και κυανό, ο συνδυασμός των οποίων δίνει το ουδέτερο-λευκό χρώμα. Λόγω της ισχύος της πυρηνικής δύναμης, στην φύση υπάρχουν μόνο ουδέτερα φορτισμένα σωματίδια όσο αφορά το χρώμα. Για να ισχύσει αυτό, τα μόνα δυνατά αδρόνια είναι τα βαρυόνια που αποτελούνται από 3 quark και τα μεσόνια που αποτελούνται από ένα ζεύγος quarkantiquark. Τα σωμάτια αυτά αλληλεπιδρούν μεταξύ τους μέσω 4 σωματιδίων βαθμίδας τα οποία είναι φορείς των 4 αλληλεπιδράσεων. Το γκλουόνιο με μηδενικό ηλεκτρικό φορτίο και μάζα είναι ο φορέας της ισχυρής αλληλεπίδρασης, το φωτόνιο με επίσης μηδενική μάζα και φορτίο είναι ο φορέας της ηλεκτρομαγνητικής αλληλεπίδρασης, τα μποζόνια W +, W - και Ζ 0 με μάζες 80 GeV, 80 GeV και 91 GeV αντίστοιχα είναι φορείς της ασθενούς αλληλεπίδρασης και τέλος το γκραβιτόνιο με μηδενική μάζα και ηλεκτρικό φορτίο είναι θεωρητικά ο φορέας της βαρυτικής αλληλεπίδρασης. 9

10 Η μεγάλη ισχύς της ισχυρής αλληλεπίδρασης, σε σχέση με την δεύτερη σε ισχύ ηλεκτρομαγνητική αλληλεπίδραση, οφείλεται στο γεγονός ότι το γκλουόνιο είναι φορτισμένο όσον αφορά τον κβαντικό αριθμό του χρώματος σε αντίθεση με το φωτόνιο που είναι ουδέτερο όσον αφορά το ηλεκτρικό φορτίο. Τα φορτισμένα γκλουόνια αλληλεπιδρούν μεταξύ τους ανταλλάσσοντας και άλλα γκλουόνια ενισχύοντας έτσι την πυρηνική αλληλεπίδραση που οδηγεί στον εγκλωβισμό των quark εντός των βαρυονίων. Αντιθέτως, όταν η απόσταση μεταξύ των quark ελαχιστοποιείται, τα γκλουόνια τα οποία ανταλλάσσονται είναι ελάχιστα με αποτέλεσμα τα quark σχεδόν να μην αλληλεπιδρούν και να θεωρούνται ασυμπτωτικά ελεύθερα. 1.3 Η διεγερμένη κατάσταση του νουκλεονίου Κατά τη διάρκεια μιας σκέδασης, ένα νουκλεόνιο μπορεί να μεταβεί σε ένα διεγερμένο στάδιο υψηλότερης ενέργειας. Τα διεγερμένα νουκλεόνια συνήθως αντιστοιχούν σε αντιστροφή του σπιν κάποιου από τα 3 quark ή σε διαφορετική τροχιακή στροφορμή. Τα διεγερμένα νουκλεόνια έχουν μικρό χρόνο ημιζωής καθώς αποδιεγείρονται σε νουκλεόνιο με ταυτόχρονη παραγωγή κάποιου μεσονίου. Ένα από τα βαρυόνια που δημιουργούνται κατά την διέγερση του νουκλεονίου είναι το Δ βαρυόνιο. Το Δ βαρυόνιο έχει σπιν και ισοσπίν ίσο με 3/2, μάζα ηρεμίας 1232 MeV/c 2 και αποτελείται από u και d quarks. Πιο συγκεκριμένα, τα 4 πιθανά Δ βαρυόνια είναι το Δ ++ που αποτελείται από 3 u quarks και έχει ηλεκτρικό φορτίο +2, το Δ + με ηλεκτρικό φορτίο +1 που αποτελείται από 2 u και 1 d quarks, το Δ 0 με ηλεκτρικό φορτίο 0 που αποτελείται από 1 u και 2 d quarks και το Δ - με ηλεκτρικό φορτίο -1 που αποτελείται από 3 d quarks. Το Δ βαρυόνιο αποδιεγείρεται σε νουκλεόνιο και πιόνιο καθώς έχει μέσο χρόνο ζωής 5, δευτερόλεπτα. Η διαδικασία αυτή αποδιέγερσης χρησιμοποιείται ευρέως για την μελέτη του σχήματος του νουκλεονίου καθώς η χαμηλή ιδιοστροφορμή και η θετική ομοτιμία του επιτρέπουν την απορρόφηση φωτονίων μόνο ηλεκτρικού μονοπολικού ή μαγνητικού 10

11 διπολικού χαρακτήρα. Επομένως η ηλεκτρική τετραπολική ροπή δεν μπορεί να υπολογιστεί καθώς ανιχνεύεται με φωτόνια τετραπολικού χαρακτήρα. Η διεγερμένη κατάσταση από την άλλη, ανιχνεύεται με φωτόνια είτε μαγνητικού διπολικού είτε ηλεκτρικού τετραπολικού χαρακτήρα. Η εκπομπή ηλεκτρικού τετραπολικού φωτονίου σε μια μη σχετικιστική προσέγγιση συνεπάγεται σφαιρικά ασύμμετρη κατανομή φορτίου είτε για το νουκλεόνιο, είτε για το Δ, είτε και για τα δύο. Όπως διαπιστώνεται και πειραματικά, ο κύριος χαρακτήρας της μετάβασης Ν Δ είναι ο μαγνητικός διπολικός. Η εκτίμηση του σήματος παραμόρφωσης δίνεται από τον λόγο του εγκάρσιου ηλεκτρικού τετραπολικού πλάτους μετάβασης προς το αντίστοιχο μαγνητικό (EMR) στην περίπτωση που ο πυρήνας διεγείρεται από πραγματικό φωτόνιο. Στην περίπτωση του δυνητικού φωτονίου χρησιμοποιείται ο λόγος του βαθμωτού ηλεκτρικού τετραπολικού πλάτους μετάβασης (Coulomb amplitude) προς το αντίστοιχο μαγνητικό (CMR). Βάσει των παραπάνω οι σχέσεις που δίνουν τους λόγους αυτούς είναι: και (1.1) (1.2) Οι ποσότητες, και αποτελούν το ηλεκτρικό, μαγνητικό και διάμηκες πλειονόπολο με ισοσπίν, τροχιακή στροφορμή και συνολική στροφορμή όπως θα αναλυθεί και παρακάτω. 11

12 Εφόσον η παραμόρφωση είναι άρρηκτα συνδεδεμένη με φαινόμενα λεπτής υφής, όσο μικρότεροι είναι οι λόγοι αυτοί, τόσο μικρότερη θα είναι η απόκλιση του σχήματος του νουκλεονίου από το σφαιρικό. Παρακάτω παρουσιάζονται τα αποτελέσματα 4 διαφορετικών πειραμάτων που αφορούν την μέτρηση των λόγων EMR και CMR. Εικόνα 1.1: Οι τιμές που εξήχθησαν από 4 διαφορετικά πειράματα για τον λόγο EMR συναρτήσει του Q 2 [VEL01] 12

13 Εικόνα 1.2: Οι τιμές που εξήχθησαν από 4 διαφορετικά πειράματα για τον λόγο CMR συναρτήσει του Q 2 [VEL01] 1.4 Ηλεκτρομαγνητική παραγωγή πιονίου Η δομή του νουκλεονίου μελετάται με αντιδράσεις σκέδασης πραγματικών φωτονίων και λεπτονίων σε αδρονικούς στόχους. Ο λόγος που προτιμάται η ηλεκτρομαγνητική αλληλεπίδραση είναι ότι έχει αφενός διαταρακτικό χαρακτήρα σε αντίθεση με την πυρηνική και αφετέρου επειδή είναι αρκετά ισχυρή ώστε να μπορεί να μελετηθεί, σε αντίθεση με την ασθενή αλληλεπίδραση. Επίσης λόγω της φύσης των φωτονίων και των λεπτονίων, δεν υπάρχουν προβλήματα σχετικά με τη δομή του αισθητήρα. Η σκέδαση του λεπτονίου ή του φωτονίου στο στόχο οδηγεί στην διέγερση του νουκλεονίου σε μία στάθμη ανώτερη της βασικής. Στη συνέχεια το διεγερμένο νουκλεόνιο αποδιεγείρεται με την ταυτόχρονη αποβολή ενός πιονίου. Οι ιδιότητες όπως η ενέργεια και το ηλεκτρικό φορτίο, του σκεδαζόμενου βλήματος, του αποδιεγερμένου νουκλεονίου και του πιονίου είναι αυτές που οδηγούν στην περιγραφή του φαινομένου και κατ επέκταση της δομής του νουκλεονίου. 13

14 Το πιόνιο είναι ένα μεσόνιο που αποτελείται από ένα ζεύγος quark-antiquark γεύσης u ή d. Ως εκ τούτου, τα πιθανά είδη πιονίου είναι το π + ( ) με μάζα MeV και ηλεκτρικό φορτίο +1, το π - ( ) με μάζα MeV και ηλεκτρικό φορτίο -1 και το π 0 (u ή ) με μάζα MeV και ηλεκτρικό φορτίο 0. Εξ αιτίας της αλληλεπίδρασης των γκλουονίων, μέσα σε ένα αδρόνιο, το κενό μεταξύ των συστατικών quarks δεν έχει ενέργεια ίση με το 0 καθιστώντας έτσι την έννοια του κενού μη τετριμμένη στην QCD. Αυτή η θάλασσα γκλουονίων έχει αρκετά υψηλή πυκνότητα ενέργειας και είναι δυνατόν να προκαλέσει την δημιουργία ζεύγους quark-antiquark τα οποία στη θεμελιώδη κατάσταση του νουκλεονίου θα είναι δυνητικά καθώς θα εξαϋλωθούν ξανά σε γκλουόνια. Οι αλλεπάλληλες αυτές διεγέρσεις και αποδιεγέρσεις οδηγούν στην δημιουργία ενός νέφους μεσονίων εκτός φλοιού μάζας μέσα και γύρω από το νουκλεόνιο. Δεδομένου ότι τα u και d quarks είναι αυτά με την μικρότερη μάζα, τα πιόνια είναι τα πιο συχνά δημιουργούμενα μεσόνια μέσα στο νέφος. Όταν ένα εξωτερικό πεδίο, όπως ένα φωτόνιο, τείνει να διεγείρει κάποιο συστατικό quark, ένα μεσόνιο από το νέφος μεσονίων απορροφάει την ενέργεια του διεγέρτη αυξάνοντας μεν την ενεργειακή στάθμη του βαρυονίου, απαγορεύοντας δε τον απεγκλωβισμό ενός από τα συστατικά quarks. Το φαινόμενο αυτό αποτελεί την διέγερση του νουκλεονίου. Το διεγερμένο αυτό μεσόνιο έχει τώρα ενέργεια μεγαλύτερη από την μάζα του αντίστοιχου ελεύθερου μεσονίου, καθιστώντας το έτσι ένα πραγματικό μεσόνιο. Η περίσσεια ενέργειας επιτρέπει την εκπομπή του από το βαρυόνιο επαναφέροντας το δεύτερο στην θεμελιώδη του κατάσταση δηλαδή το νουκλεόνιο. Το φαινόμενο αυτό αποτελεί την αποδιέγερση του νουκλεονίου με ταυτόχρονη εκπομπή μεσονίου. 14

15 1.5 Out of Plane Spectrometry (OOPS) Κατά την σκέδαση λεπτονίων σε βαρυόνια με σκοπό την εκπομπή μεσονίων, ο αριθμός των παρατηρήσιμων μεγεθών είναι περιορισμένος καθώς καμία ιδιότητα των σωματιδίων που παίρνουν μέρος στην αντίδραση δεν είναι άμεσα υπολογίσιμη. Πιο συγκεκριμένα, τα μόνα μεγέθη που μπορούν να μετρηθούν είναι ο αριθμός των σωματιδίων που εκτοξεύονται στην εκάστοτε γωνία, οι ενέργειες και οι ορμές τους. Η τοποθέτηση όμως ανιχνευτών σωματιδίων σε όλες τις γωνίες είναι όχι μόνο ιδιαίτερα δαπανηρή αλλά και περιττή. Η χρήση της οργανολογίας OOPS καθιστά την δυνατότητα υπολογισμού όλων των επιθυμητών μεγεθών με την χρήση τεσσάρων μόνο ανιχνευτών. Η φασματογραφία εκτός επιπέδου σκέδασης αξιοποιεί την αζιμουθιακή διαμόρφωση των συναρτήσεων ηλεκτρομαγνητικής απόκρισης. Όπως θα αναλυθεί και παρακάτω, οι συναρτήσεις ηλεκτρομαγνητικής απόκρισης είναι μεγέθη που μπορούν να υπολογισθούν πειραματικά, και συνδέονται, σε θεωρητικό επίπεδο, μέσω σύνθετων σχέσεων με τα πλειονόπολα που καθορίζουν τη μορφή του νουκλεονίου στον χώρο. Ο υπολογισμός των μεγεθών αυτών μέσω της σύγκρισης των θεωρητικών τιμών των συναρτήσεων απόκρισης με τις αντίστοιχες πειραματικές είναι ο βασικός άξονας της εργασίας αυτής. Με την προϋπόθεση ότι κατά την σκέδαση του λεπτονίου στον στόχο γίνεται ανταλλαγή ενός μόνο φωτονίου, η ενεργός διατομή της αντίδρασης δίνεται από την σχέση: (1.3) όπου (1.4) και 15

16 : κινηματικός παράγοντας, : η εγκάρσια πόλωση του δυνητικού φωτονίου, : η διαμήκης πόλωση του δυνητικού φωτονίου, : ο βαθμός διαμήκους πόλωσης της δέσμης των λεπτονίων, : η αζιμουθιακή γωνία του σωματιδίου σύμπτωσης ως προς τη κατεύθυνση της μεταφερόμενης ορμής από το σκεδαζόμενο λεπτόνιο στο στόχο,,,,, : οι συναρτήσεις ηλεκτρομαγνητικής απόκρισης. Είναι προφανές από την παραπάνω σχέση ότι οι συναρτήσεις απόκρισης μπορούν να απομονωθούν με πράξεις μεταξύ των ενεργών διατομών στις κατάλληλες γωνίες θ. Πιο συγκεκριμένα: (1.5) (1.6) (1.7) (1.8) 16

17 Παρατηρείται ότι για τον υπολογισμό των συναρτήσεων απόκρισης χρειάζονται οι ενεργές διατομές σε 4 διαφορετικές γωνίες οι οποίες μάλιστα είναι πολλαπλάσια της γωνίας π/2. Αυτό σημαίνει ότι η πειραματική διάταξη απαιτεί την χρήση τεσσάρων μόνο ανιχνευτών οι οποίοι θα τοποθετηθούν στις γωνίες αυτές (σχηματισμός +). Ο σχηματισμός + αναπαριστάται στο παρακάτω σχήμα. Εικόνα 1.3: Σχηματισμός + της οργανολογίας OOPS, όπου είναι το διάνυσμα της μεταφερόμενης ορμής από τα σκεδαζόμενα ηλεκτρόνια στον στόχο [VEL01] Πέραν του σχηματισμού αυτού, οι ανιχνευτές μπορούν να τοποθετηθούν σε περιττά πολλαπλάσια της γωνίας π/4 (σχηματισμός Χ) δίνοντας έτσι τις συναρτήσεις απόκρισης μέσω των σχέσεων: (1.9) 17

18 (1.10) (1.11) Αντίστοιχα με τον σχηματισμό +, ο σχηματισμός Χ θα έχει την μορφή: Εικόνα 1.4: Σχηματισμός Χ της οργανολογίας OOPS, όπου είναι το διάνυσμα της μεταφερόμενης ορμής από τα σκεδαζόμενα ηλεκτρόνια στον στόχο [VEL01] Όπως μπορεί να εξαχθεί και από την σχέση (1.3), κατά τον σχηματισμό Χ δεν μπορεί να υπολογιστεί η συνάρτηση καθώς στις γωνίες οι οποίες είναι περιττά πολλαπλάσια του π/4, ο παράγοντας μηδενίζει εξαλείφοντας έτσι την συνεισφορά του στην 18

19 ενεργό διατομή. Το βασικό πλεονέκτημα αυτού του σχηματισμού είναι η δυνατότητα υπολογισμού της κάθε συνάρτησης από διαφορετικές γωνίες επιτρέποντας έτσι τον έλεγχο των συστηματικών σφαλμάτων των μετρήσεων. Σύμφωνα με τις σχέσεις (1.3)-(1.11) η σχέση μεταξύ της ενεργού διατομής και των συναρτήσεων απόκρισης είναι γραμμική που σημαίνει ότι η γνώση του ενός αντιστοιχεί σε αυτόματη γνώση και του άλλου. Ως εκ τούτου, οι συναρτήσεις απόκρισης πολλές φορές καλούνται παρατηρήσιμα μεγέθη ή στην περίπτωση κάποιου πειράματος, πειραματικά δεδομένα λόγω της σχέσης τους με την ενεργό διατομή. Στο επόμενο κεφάλαιο θα εξεταστεί αναλυτικά η σχέση των συναρτήσεων απόκρισης και επομένως της ενεργού διατομής με τα πλειονόπολα τα οποία είναι τα στοιχεία που καθορίζουν τους συντελεστές EMR και CMR και επομένως το σχήμα του νουκλεονίου. 19

20 20

21 Κεφάλαιο 2 ο 2 Ηλεκτροδιέγερση πρωτονίου και το σχήμα του νουκλεονίου 2.1 Κινηματική Φορμαλισμός Όπως αναφέρεται και στο προηγούμενο κεφάλαιο, μια από τις μεθόδους μελέτης της δομής του νουκλεονίου είναι η σκέδαση λεπτονίων σε αδρονικούς στόχους. Η αντίδραση που θα μελετηθεί στο κεφάλαιο αυτό είναι η ηλεκτρομαγνητική παραγωγή πιονίου. Η αντίδραση χωρίζεται σε δυο σκέλη και περιγράφεται πλήρως από την εξίσωση: (2.1) Δεδομένου ότι τα νετρόνια έχουν μικρό χρόνο ημιζωής, ως νουκλεόνιο χρησιμοποιείται συνήθως το πολύ σταθερό πρωτόνιο. Το διεγερμένο πρωτόνιο στη συνέχεια, για λόγους διατήρησης του ηλεκτρικού φορτίου μπορεί να αποδιεγερθεί είτε σε πρωτόνιο και πιόνιο π 0 είτε σε νετρόνιο και πιόνιο π +. Η γεωμετρία της εξίσωσης απεικονίζεται στο παρακάτω σχήμα: 21

22 Εικόνα 2.1: Σχηματική αναπαράσταση της κινηματικής για την αντίδραση [VEL01] Είναι προφανές ότι η αντίδραση αποτελείται από δύο στάδια τα οποία λαμβάνουν χώρα σε δύο διαφορετικά επίπεδα. Το πρώτο μισό της αντίδρασης είναι η διέγερση του νουκλεονίου σε μια ανώτερη ενεργειακά στάθμη σύμφωνα με την εξίσωση και λαμβάνει χώρα στο λεγόμενο επίπεδο σκέδασης. Το επίπεδο σκέδασης σχηματίζεται από τα διανύσματα του ηλεκτρονίου πριν και μετά την σκέδασή του με το νουκλεόνιο. Το πρώτο σκέλος της αντίδρασης περιλαμβάνει την ανταλλαγή ενός δυνητικού φωτονίου μεταξύ του ηλεκτρονίου και του νουκλεονίου με αποτέλεσμα την διέγερση του νουκλεονίου σε ένα υψηλότερο ενεργειακό επίπεδο και ταυτόχρονη αλλαγή της ορμής και της ενέργειας του ηλεκτρονίου. 22

23 Το δεύτερο μισό της αντίδρασης αποτελεί την αποδιέγερση του νουκλεονίου η οποία περιγράφεται από την εξίσωση και συμβαίνει στο επίπεδο αντίδρασης. Το επίπεδο αντίδρασης είναι το επίπεδο που σχηματίζουν τα διανύσματα του νουκλεονίου και του πιονίου που προκύπτουν μετά την αποδιέγερση του διεγερμένου νουκλεονίου. Η ανάλυση της αντίδρασης θα γίνει στα συστήματα εργαστηρίου και κέντρου μάζας. Το κάθε μέγεθος θα συμβολίζεται με τους ίδιους δείκτες αλλά με αστερίσκο στο σύστημα κέντρου μάζας. Έτσι προκύπτει ο εξής πίνακας: Σωματίδιο (σύμβολο) Αρχικό ηλεκτρόνιο (e) Σκεδαζόμενο ηλεκτρόνιο (e ) Φωτόνιο (γ) Αρχικό νουκλεόνιο (Ν) Τελικό νουκλεόνιο (Ν ) Πιόνιο (π) 4-ορμή στο πλαίσιο εργαστηρίου 4-ορμή στο πλαίσιο κέντρου μάζας Πίνακας 2.1: Συμβολισμοί των ενεργειών και των διανυσμάτων των ορμών για όλα τα σωματίδια της αντίδρασης στο πλαίσιο εργαστηρίου και στο πλαίσιο κέντρου μάζας Στον παραπάνω πίνακα με συμβολίζονται τα 4-διανύσματα και με τα 3-διανύσματα όπου θα ισχύει και όπου το μέτρο και το μοναδιαίο διάνυσμα του διανύσματος. Στο πλαίσιο εργαστηρίου θα ισχύει όπου η μάζα του νουκλεονίου, καθώς το νουκλεόνιο είναι αρχικά ακίνητο και, λόγω διατήρησης ενέργειας και ορμής αντίστοιχα. Αντίστοιχα στο πλαίσιο κέντρου μάζας θα ισχύει, και,. 23

24 Επίσης η γωνία μεταξύ της προέκτασης της πορείας του αρχικού ηλεκτρονίου και της πορείας του σκεδαζόμενου ηλεκτρονίου λέγεται γωνία σκέδασης και συμβολίζεται με: (2.2) Τέλος, η πορεία του παραγόμενου πιονίου σχηματίζει τις γωνίες θ και φ. Η γωνία θ είναι η πολική γωνία που σχηματίζει η διεύθυνση του παραγόμενου πιονίου με την διεύθυνση της μεταφερόμενης ορμής δηλαδή του δυνητικού φωτονίου. Η γωνία θ μεταβάλλεται στο διάστημα [0,π] είναι ίση με 0 όταν το πιόνιο εκπέμπεται στην διεύθυνση εκπομπής του φωτονίου με ίδια φορά, ενώ ίση με π όταν εκπέμπεται στην ίδια διεύθυνση αλλά με αντίθετη φορά. Βάσει λοιπόν του παραπάνω πίνακα η γωνία θ θα ισούται με: (2.3) Η γωνία φ αποτελεί την αζιμουθιακή γωνία, δηλαδή την γωνία που σχηματίζουν τα διανύσματα τα οποία είναι κάθετα στο επίπεδο σκέδασης και στο επίπεδο αντίδρασης. Η γωνία φ παίρνει τιμές μεταξύ των ορίων (0,π) όταν το πιόνιο εκπέμπεται πάνω από το επίπεδο σκέδασης και των ορίων (π,2π) κάτω από το επίπεδο σκέδασης. Η γωνία φ παίρνει την τιμή 0 όταν τα δύο επίπεδα είναι παράλληλα και η διεύθυνση του πιονίου ανήκει στο ίδιο ημιεπίπεδο με την εξερχόμενη δέσμη ηλεκτρονίων. Βάσει λοιπόν του παραπάνω πίνακα η γωνία θ θα ισούται με: (2.4) Κινηματική του επιπέδου σκέδασης Στο παρών υποκεφάλαιο μελετάται η κινηματική του πρώτου σκέλους της αντίδρασης θεωρώντας ότι το ηλεκτρόνιο πριν και μετά την σκέδαση είναι σχετικιστικό δηλαδή 24

25 προηγουμένως: ή και ή. Από τις σχέσεις που αναφέρθηκαν (2.5) Είναι σημαντική στην ανάλυση ενός πειράματος, η χρήση μεγεθών τα οποία είναι σταθερά κάτω από οποιαδήποτε αλλαγή συστήματος συντεταγμένων. Τα δύο βασικότερα αναλλοίωτα μεγέθη στην αποκλειστική σκέδαση ηλεκτρονίων είναι το τετράγωνο της μεταφερόμενης τετραορμής Q από το ηλεκτρόνιο στο νουκλεόνιο: (2.6) και η μάζα ηρεμίας W του διεγερμένου νουκλεονίου: (2.7) η οποία στο πλαίσιο κέντρου μάζας ταυτίζεται με τη συνολική ενέργεια. Η σκέδαση ενός ηλεκτρονίου σε ένα αδρόνιο μπορεί να συμβεί μόνο όταν έτσι ώστε το αδρόνιο να απορροφάει ενέργεια από το φωτόνιο. Η ανισότητα αυτή επιτρέπει τον ορισμό της ισοδύναμης ενέργειας πραγματικού φωτονίου η οποία είναι η 25

26 ενέργεια που θα πρέπει να έχει ένα πραγματικό φωτόνιο για να διεγείρει το αδρόνιο στην ίδια ενεργειακή στάθμη με αυτή που το διεγείρει το δυνητικό φωτόνιο. Όλα τα υπόλοιπα μεγέθη της αντίδρασης μπορούν να εκφραστούν βάσει των παραπάνω σχέσεων. Συγκεκριμένα για το φωτόνιο στο πλαίσιο εργαστηρίου ισχύει: (2.8) (2.9) (2.10) ενώ στο πλαίσιο κέντρου μάζας: (2.11) (2.12) (2.13) Κινηματική του επιπέδου αντίδρασης Στη συνέχεια αναλύεται η κινηματική του δεύτερου σκέλους της αντίδρασης, δηλαδή της αποδιέγερσης του διεγερμένου πυρήνα με εκπομπή πιονίου. Η ορμή του πιονίου στο πλαίσιο κέντρου μάζας θα είναι ίση με την ορμή του εκπεμπόμενου πρωτονίου και επομένως θα δίνεται από την σχέση: (2.14) 26

27 Η στερεά γωνία εκπομπής του πιονίου ως προς τη διεύθυνση του φωτονίου στο πλαίσιο κέντρου μάζας είναι ενώ στο πλαίσιο εργαστηρίου θα είναι. Για την μετάβαση από το ένα πλαίσιο στο άλλο ορίζεται η ιακωβιανή: (2.15) επειδή ισχύει η σχέση. 2.2 Διαφορική ενεργός διατομή Ορισμοί Στο προηγούμενο κεφάλαιο γίνεται χρήση της έννοιας της διαφορικής ενεργού διατομής. Η κβαντομηχανική της ερμηνεία είναι ότι αποτελεί τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας, με φυσική διάσταση εμβαδού, στο φασικό χώρο της αντίδρασης. Ολοκληρώνοντας την διαφορική ενεργό διατομή πάνω στο φασικό χώρο των προϊόντων εξάγεται η κανονικοποιημένη ως προς τη ροή των αρχικών σωματιδίων πιθανότητα πραγματοποίησης της αντίδρασης. Η σημασία της διαφορικής ενεργού διατομής είναι τεράστια στην πυρηνική φυσική καθώς αποτελεί μετρήσιμο μέγεθος σε όλα τα πειράματα σκέδασης και εμπεριέχει το σύνολο της εξαγόμενης πληροφορίας. Στην γενικότερη αντίδραση Α(e,e X)B η διαφορική ενεργός διατομή δίνεται συναρτήσει σχετικιστικά αναλλοίωτων μεγεθών από την σχέση: (2.16) όπου 27

28 (2.17) η ροή σωματιδίων της αρχικής κατάστασης, (2.18) το διαφορικό στοιχείο όγκου του φασικού χώρου τελικής κατάστασης και (2.19) το αναλλοίωτο πλάτος Feynman για την μετάβαση από την αρχική κατάσταση στην τελική. Στην τελευταία σχέση είναι ο τελεστής ηλεκτρονικού ρεύματος και ο τελεστής αδρονικού ρεύματος. Η δ συνάρτηση εξασφαλίζει την διατήρηση της τετραορμής στο σύνολο της αντίδρασης. Επίσης η διατήρηση του ηλεκτρικού φορτίου του λεπτονίου πριν και μετά την σκέδαση αλλά και του αδρονικού συστήματος κατά την διάρκεια της αποδιέγερσης επιβάλει τις εξής σχέσεις: (2.20) όπου και. Η σχέση (2.16) θα πρέπει στη συνέχεια να ολοκληρωθεί πάνω σε όλες τις ιδιοστροφορμές και ορμές αντίστοιχα. Στην ίδια σχέση εμφανίζεται το γινόμενο: (2.21) 28

29 Ο πρώτος παράγοντας αποτελεί τον αδρονικό τανυστή και ο δεύτερος τον λεπτονικό τανυστή Λεπτονικός τανυστής και πόλωση φωτονίου Λαμβάνοντας υπ όψιν την πόλωση του αρχικού ηλεκτρονίου, ο λεπτονικός τανυστής μπορεί να γραφεί στην μορφή: (2.22) όπου ο μοναδιαίος 4x4 πίνακας, και οι τετρασπίνορες που περιγράφουν ιδιοκαταστάσεις ορμής του ηλεκτρονίου και του ποζιτρονίου αντίστοιχα με κανονικοποίηση, οι πίνακες Dirac διάστασης 4 x 4 και ο χειραλικός τελεστής. Για τους πίνακες και θα ισχύει στο υπερσχετικιστικό όριο: Οι πίνακες αυτοί δρώντας πάνω στον σπίνορα u απομονώνουν τις ιδιοκαταστάσεις ελικότητας του ηλεκτρονίου με ιδιοτιμές ±1/2 αν το ηλεκτρόνιο είναι δεξιόστροφο και αριστερόστροφο αντίστοιχα. Όταν η δέσμη των ηλεκτρονίων είναι πολωμένη, μόνο ένας από τους 2 όρους θα επιβιώσει. Έτσι αν θεωρηθεί ότι το ηλεκτρόνιο βρίσκεται σε μια αμιγή κατάσταση ελικότητας h=±1 τότε θα επιβιώσει ο όρος. Η ολοκλήρωση του λεπτονικού τανυστή σε όλες τις καταστάσεις ιδιοστροφορμής θα έχει την μορφή: 29

30 και για τα αθροίσματα των σπινόρων πάνω σε όλα τα σπιν θα ισχύει: δίνοντας στον λεπτονικό τανυστή τη μορφή: (2.23) όπου η σταθερά λεπτής υφής. O λεπτονικός τανυστής μπορεί να πάρει επίσης την μορφή: (2.24) Το άθροισμα των 3 πρώτων όρων διατηρεί την ομοτιμία, συμβολίζεται με και είναι ανεξάρτητο από την αρχική πόλωση του ηλεκτρονίου ενώ ο τελευταίος όρος δεν διατηρεί την ομοτιμία και συμβολίζεται με. 30

31 Λόγω της σχέσης (2.20) θα πρέπει να ισχύει επίσης: (2.25) Χάρη στην τελευταία σχέση οι χρονικές συνιστώσες του λεπτονικού τανυστή απαλείφονται δίνοντας την δυνατότητα ορισμού του 3 x 3 πίνακα πυκνότητας πόλωσης του δυνητικού φωτονίου με στοιχεία, όπου: (2.26) Έτσι λοιπόν ο πίνακας πυκνότητας πόλωσης του δυνητικού φωτονίου μπορεί να εκφραστεί συναρτήσει της πόλωσης του δυνητικού φωτονίου παίρνοντας την εξής μορφή: (2.27) όπου (2.28) η εγκάρσια πόλωση και (2.29) η διαμήκης πόλωση του φωτονίου. Η ερμηνεία του λεπτονικού τανυστή με βάση τον πίνακα πυκνότητας πόλωσης του δυνητικού φωτονίου αναδεικνύει τη σχέση της σκέδασης ηλεκτρονίων με την 31

32 απορρόφηση πραγματικών φωτονίων. Στην προσέγγιση OPEA και στο όριο υπερσχετικιστικών ηλεκτρονίων το λεπτονικό ρεύμα δρα σαν πηγή εκπομπής πολωμένων δυνητικών φωτονίων που απορροφώνται από το αδρονικό ρεύμα. Τα φωτόνια αυτά βρίσκονται στην αμιγή κατάσταση πόλωσης: (2.30) Ο πίνακας πυκνότητας πόλωσης του δυνητικού φωτονίου μπορεί να εκφραστεί συναρτήσει των τριών μοναδιαίων τετραδιανυσμάτων πόλωσης του φωτονίου τα οποία θα συμβολίζονται με όπου για τα δύο εγκάρσια τετραδιανύσματα πόλωσης και για το διάμηκες. Για τα διανύσματα αυτά θα πρέπει να ισχύουν οι συνθήκες αναλλοιότητας βαθμίδας και ορθοκανονικότητας καθώς και οι σχέσεις πληρότητας και ανακλαστικής συμμετρίας δηλαδή: (2.31) (2.32) (2.33) (2.34) Βάσει των παραπάνω εκφράσεων και δεδομένου ότι στο πλαίσιο εργαστηρίου για το φωτόνιο ισχύει μπορούν να εξαχθούν τα τρία μοναδιαία τετραδιανύσματα: 32

33 (2.35) (2.36) (2.37) Τα τετραδιανύσματα, και αποτελούν την βάση ελικότητας του δυνητικού φωτονίου. Το λεπτονικό και το αδρονικό ρεύμα μπορούν να εκφραστούν στη βάση ελικότητας δυνητικού φωτονίου μέσω των σχέσεων: (2.38) και (2.39) Η πρώτη από τις δύο αυτές σχέσεις συνεπάγεται ότι ο λεπτονικός τανυστής στην βάση ελικότητας του δυνητικού φωτονίου δίνεται μέσω της σχέσης: (2.40) Αδρονικός τανυστής Ο αδρονικός τανυστής ορίζεται στην καρτεσιανή βάση μέσω της σχέσης: (2.41) 33

34 ενώ στη σφαιρική βάση ελικότητας από τη σχέση: (2.42) Το άθροισμα όπως και στην περίπτωση του λεπτονικού τανυστή περιλαμβάνει όλες τις καταστάσεις ιδιοστροφορμής του νουκλεονίου. Σε γενικές γραμμές το επίπεδο σκέδασης δεν συμπίπτει με το επίπεδο αντίδρασης. Επομένως για τον υπολογισμό της ενεργού διατομής θα πρέπει να γίνει είτε στροφή του λεπτονικού ρεύματος από το επίπεδο σκέδασης στο επίπεδο αντίδρασης είτε το αντίθετο μέσω των σχέσεων: (2.43) Και οι δύο στροφές αφήνουν αναλλοίωτη την ελικότητα του δυνητικού φωτονίου, εφόσον ο άξονάς τους είναι στην διεύθυνση της ορμής του φωτονίου. Βάσει των μετασχηματισμών που έχουν δοθεί έως τώρα, το αδρονικό ρεύμα στην αναπαράσταση στροφορμής του πλαισίου κέντρου μάζας από την σχέση: (2.44) όπου :ο τελεστής αδρονικού ρεύματος δεδομένης συνολικής στροφορμής στο πλαίσιο κέντρου μάζας : η ελικότητα του φωτονίου στο πλαίσιο κέντρου μάζας : η ελικότητα του αρχικού νουκλεονίου στο πλαίσιο κέντρου μάζας : η ελικότητα του πιονίου στο πλαίσιο κέντρου μάζας : η ελικότητα του τελικού νουκλεονίου στο πλαίσιο κέντρου μάζας : ο πίνακας στροφής ως προς τις γωνίες α, β και γ. 34

35 Μέσω των παραπάνω σχέσεων, ο αδρονικός τανυστής παίρνει την μορφή: Αναλύοντας την σχέση αυτή η τελική μορφή του αδρονικού τανυστή στη βάση ελικότητας και στο πλαίσιο κέντρου μάζας είναι: (2.45) όπου (2.46) (2.47) και οι παράγωγοι m τάξης των πολυωνύμων Legendre: (2.48) 35

36 Εφόσον λοιπόν έχουν υπολογιστεί τόσο ο λεπτονικός όσο και ο αδρονικός τανυστής, μπορεί να υπολογιστεί το γινόμενο που εμφανίζεται στην ενεργό διατομή: (2.49) όπου, (2.50) 2.3 Πλειονοπολική ανάλυση Στις αντιδράσεις σωματιδίων μη μηδενικής ιδιοστροφορμής, ενώ η συνολική στροφορμή διατηρείται, η τροχιακή στροφορμή και η ιδιοστροφορμή δεν είναι απαραίτητο να διατηρούνται. Πιο συγκεκριμένα, για μια δεδομένη τιμή J της συνολικής στροφορμής, αν συμβολίσουμε με L την τροχιακή στροφορμή της αρχικής κατάστασης γν και την τροχιακή στροφορμή της τελικής κατάστασης πν, μπορεί να ισχύει ή. Η σχέση μεταξύ αρχικής και τελικής τροχιακής στροφορμής εξαρτάται από την ομοτιμία της αντίδρασης εφόσον αυτή διατηρείται. Επομένως ο πίνακας του αδρονικού ρεύματος έχει διαφορετικά στοιχεία στη βάση τροχιακής στροφορμής της αρχικής κατάστασης που ονομάζονται πλειονόπολα φωτονίου και της τελικής κατάστασης που ονομάζονται πλειονόπολα πιονίου 36

37 Η ομοτιμία της τελικής κατάστασης θα δίνεται από την σχέση: (2.51) ενώ η ομοτιμία της αρχικής κατάστασης θα δίνεται για τα πλειονόπολα ηλεκτρικού χαρακτήρα από την σχέση: (2.52) η οποία λόγω της διατήρησης της ομοτιμίας συνεπάγεται. Αντίστοιχα για τα πλειονόπολα μαγνητικού χαρακτήρα θα ισχύει: (2.53) η οποία θα συνεπάγεται λόγω της διατήρησης της ομοτιμίας Ουσιαστικά, οι παραπάνω σχέσεις δείχνουν ότι τα ηλεκτρικά πλειονόπολα και περιγράφουν απορρόφηση φωτονίου εγκάρσιας και βαθμωτής πόλωσης αντίστοιχα το οποίο θα έχει φυσική ομοτιμία. Αντίστοιχα, τα μαγνητικά πλειονόπολα περιγράφουν απορρόφηση φωτονίου εγκάρσια πόλωσης με μη φυσική ομοτιμία. 37

38 Όπως φαίνεται από την παραπάνω ανάλυση σε μια τιμή του μπορεί να αντιστοιχούν έως και 3 τιμές του. Για να αρθεί αυτός ο εκφυλισμός, η ανάλυση του αδρονικού ρεύματος γίνεται με τα πλειονόπολα πιονίου στα οποία είναι γνωστά τόσο η τροχιακή στροφορμή όσο και η φύση του πλειονοπόλου. Το μόνο που δεν έχει καθοριστεί ακόμα είναι η συνολική στροφορμή του συστήματος καθώς για δεδομένο μπορεί να πάρει τις τιμές. Επομένως τα πλειονόπολα πιονίου, τα οποία θα αναφέρονται απλά πλειονόπολα από εδώ και πέρα, συμβολίζονται με όπου ο χαρακτήρας του πλειονοπόλου, και τα πρόσημα + και σημαίνουν ότι η συνολική στροφορμή του συστήματος είναι και αντίστοιχα. Με το σύμβολο S στον χαρακτήρα του πλειονοπόλου εννοούνται τα βαθμωτά πλειονόπολα τα οποία συνδέονται μέσω της αναλλοιότητας βαθμίδας με τα διαμήκη πλειονόπολα μέσω της σχέσης: (2.54) Με τον παραπάνω συμβολισμό, καθορίζονται όλοι οι κβαντικοί αριθμοί τόσο της τελικής όσο και της αρχικής κατάστασης όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: 38

39 Πλειονόπολο φωτονίου Πλειονόπολο πιονίου 0 1 1,, 0, ,, 1, Πίνακας 2.2: Κβαντικοί αριθμοί και συσχετισμός των πλειονοπόλων φωτονίου και των πλειονοπόλων πιονίου 2.4 Πλάτη CGLN Στην αναπαράσταση ορμής, λόγω διατήρησης της ομοτιμίας τα ανεξάρτητα στοιχεία του πίνακα αδρονικού ρεύματος θα είναι 6. Ο πίνακας αδρονικού ρεύματος μπορεί να αναλυθεί στη βάση που αποτελείται από τα τέσσερα ανεξάρτητα τετρανύσματα,, και. Λόγω της αναλλοιότητας βαθμίδας, οι όροι του αδρονικού ρεύματος που περιέχουν την ποσότητα ρεύμα τη γενική μορφή: θα απαλειφθούν δίνοντας έτσι στο αδρονικό (2.55) 39

40 όπου (2.56) (2.57) και για κάθε τετραδιάνυσμα ισχύει: (2.58) Επίσης είναι ο μοναδιαίος πίνακας διάστασης 4 x 4 και τα, είναι βαθμωτές συναρτήσεις των μεταβλητών Mandelstam s, t, u. Στη συνέχεια αναλύοντας τους πίνακες γ στην αναπαράσταση Dirac-Pauli στο πλαίσιο κέντρου μάζας, η χωρική συνιστώσα του αδρονικού ρεύματος θα πάρει την μορφή: (2.59) όπου:,,, (2.60) και είναι οι πίνακες Pauli διάστασης 2 x 2. Αντίστοιχα η χρονική συνιστώσα του αδρονικού ρεύματος θα δίνεται από την σχέση: (2.61) 40

41 Οι βαθμωτές συναρτήσεις, n είναι γραμμικοί συνδυασμοί των συναρτήσεων και ονομάζονται πλάτη CGLN. Τα πλάτη, συνδέονται με τα πλάτη, χάρη στην διατήρηση του αδρονικού ρεύματος μέσω των σχέσεων:, (2.62) Αναλύοντας τα πλάτη CGLN στην αναπαράσταση τροχιακής στροφορμής του συστήματος πν όπως έγινε και με το αδρονικό ρεύμα, προκύπτουν οι σχέσεις μεταξύ των πλατών CGLN και των πλειονοπόλων: (2.63) (2.64) (2.65) (2.66) (2.67) (2.68) (2.69) 41

42 (2.70) όπου η πρώτη και η δεύτερη παράγωγος του πολυωνύμου Legendre ως προς. Με την ανάλυση αυτή, τα πλάτη CGLN γίνονται συναρτήσεις των μεγεθών W και καθώς και της γωνίας εκπομπής του πιονίου. 2.5 Συναρτήσεις απόκρισης Οι συναρτήσεις απόκρισης οι οποίες αναφέρθηκαν και στο προηγούμενο κεφάλαιο, περιέχουν όλη την πληροφορία για την αδρονική δομή και δυναμική. Η ταξινόμηση τους βασίζεται στον τύπο της συμβολής πλατών μετάβασης από τον οποίο προκύπτουν δηλαδή T για εγκάρσια, L για διαμήκη, TT για εγκάρσια-εγκάρσια, LT και LT για διαμήκη-εγκάρσια. Οι συναρτήσεις απόκρισης συνδέονται με την ενεργό διατομή κέντρου μάζας μέσω της σχέσης: (2.71) Η σχέση αυτή προκύπτει από την σχέση της διαφορικής ενεργού διατομής στο πλαίσιο εργαστηρίου εάν ολοκληρωθεί. Η διαφορική ενεργός διατομή στο πλαίσιο εργαστηρίου συνδέεται με την διαφορική ενεργό διατομή στο πλαίσιο κέντρου μάζας με την σχέση: (2.72) 42

43 Όπου η ιακωβιανή που ορίστηκε παραπάνω και ο κινηματικός όρος που προκύπτει από την αρχική σχέση της ενεργού διατομής δηλαδή: (2.73) Ο όρος αυτός μετράται σε και αποτελεί την ροή δυνητικών φωτονίων από τα σκεδαζόμενα ηλεκτρόνια στο διαφορικό στοιχείο φασικού όγκου προς το στόχο. Η σχέση (2.49) υποδεικνύει τον συσχετισμό των και με τις συναρτήσεις απόκρισης. Οι συντελεστές αυτοί όμως συνδέονται με τον αδρονικό τανυστή και επομένως με το αδρονικό ρεύμα του οποίου ο πίνακας έχει ως στοιχεία τα πλειονόπολα. Εν κατακλείδι, οι συναρτήσεις απόκρισης συνδέονται με τα πλειονόπολα ή απλούστερα με τα πλάτη CGLN μέσω των σχέσεων: (2.74) (2.75) (2.76) (2.77) (2.78) Έτσι, μέσω της (2.72) μπορούν να οριστούν οι επιμέρους ενεργές διατομές ως εξής: 43

44 (2.79) (2.80) (2.81) (2.82) έτσι ώστε: Οι παραπάνω σχέσεις ισχύουν και περιγράφουν τις συναρτήσεις απόκρισης εάν δεν ληφθεί υπ όψιν η πόλωση του ανακρουόμενου πυρήνα. Η γενικότερη μορφή που μπορεί να πάρει η διαφορική ενεργός διατομή συμπεριλαμβανομένης της πόλωσης του ανακρουόμενου πυρήνα είναι: (2.83) όπου : beam analyzing power : η πόλωση του ανακρουόμενου πυρήνα : η κατεύθυνση του σπιν του ανακρουόμενου πυρήνα 44

45 Στην συνέχεια ορίζεται ένα τρισδιάστατο σύστημα αξόνων, όπου το διάνυσμα είναι κατά μήκος της διεύθυνσης του παραγόμενου νουκλεονίου, το διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο αντίδρασης, και δίνεται απ τη σχέση: είναι ενώ το διάνυσμα δίνεται από το εξωτερικό γινόμενο. Επομένως η παραπάνω σχέση στο σύστημα αυτό παίρνει την μορφή: (2.84) Στην σχέση αυτή, οι δείκτες στις συναρτήσεις απόκρισης δηλώνουν την συνεισφορά της κάθε συνάρτησης στην αντίστοιχη συνιστώσα της πόλωσης του ανακρουόμενου πυρήνα. Όπως φαίνεται και στην παραπάνω σχέση οι συναρτήσεις απόκρισης, όταν συμπεριλαμβάνεται η πόλωση του ανακρουόμενου πυρήνα, είναι 18 αντί για 5 που ήταν στην μη πολωμένη διαφορική ενεργό διατομή. Τα 13 νέα αυτά μεγέθη δίνονται συναρτήσει των πλατών CGLN από τις σχέσεις: (2.85) 45

46 (2.86) (2.87) (2.88) (2.89) (2.90) (2.91) (2.92) (2.93) (2.94) (2.95) (2.96) 46

47 (2.97) Όπως και προηγουμένως παράγονται οι αντίστοιχες επιμέρους ενεργές διατομές. Τα πολωμένα μετρήσιμα μεγέθη αποτελούν ένα πολύ ενδιαφέρον νέο πεδίο στην ηλεκτρομαγνητική παραγωγή πιονίου. Το βασικό τους πλεονέκτημα είναι ότι πολλά από τα μεγέθη αυτά εμπεριέχουν όρους οι οποίοι επιτρέπουν τον προσδιορισμό μικρών αλλά σημαντικών πλατών με μοναδικό τρόπο. Η νέα γενιά επιταχυντών θα παρέχει τις απαραίτητες πειραματικές δυνατότητες για την διεξαγωγή ανάλογων ερευνών. Βάσει των επιμέρους ενεργών διατομών γίνεται ο προσδιορισμός των πλειονοπόλων χρησιμοποιώντας μια μέθοδο οι βασικές αρχές της οποίας αναλύονται στο επόμενο κεφάλαιο. Στη συνέχεια χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (1.1) και (1.2) προσδιορίζονται οι λόγοι EMR και CMR που υποδεικνύουν την παραμόρφωση του νουκλεονίου δηλαδή την απόκλιση του σχήματός του από την σφαιρικότητα. Στην περίπτωση που το νουκλεόνιο έχει σφαιρικό σχήμα το μέτρο των λόγων αυτών αναμένεται να είναι πολύ μικρότερο της μονάδας, έως και μηδέν. Αυτό ισχύει εφόσον το μήκος κύματος του δυνητικού φωτονίου είναι αρκετά μεγάλο δηλαδή είναι της ίδιας τάξης μεγέθους με τις διαστάσεις των βαρυονίων. Στην αντίθετη περίπτωση, δηλαδή όταν το μήκος κύματος του φωτονίου τείνει στο μηδέν, ο λόγος EMR θα τείνει στην μονάδα ενώ ο λόγος CMR θα τείνει στο μηδέν σαν αποτέλεσμα της διατήρησης της ελικότητας και της ασυμπτωτικής ελευθερίας των quarks. 47

48 48

49 Κεφάλαιο 3 ο AMIAS 3 Κεφάλαιο 3: AMIAS 3.1 Ορισμός Η συνεχής εξέλιξη της φυσικής οδηγεί στην ανάγκη προσδιορισμού ορισμένων μεγεθών τα οποία ενδεχομένως να μην μπορούν να υπολογιστούν λόγω της πολυπλοκότητας των εξισώσεων που τα περιγράφουν. Το Athens Model Independent Analysis Scheme (AMIAS) είναι βασισμένο στη μέθοδο Monte Carlo και δίνει την δυνατότητα αντιστροφής τέτοιων προβλημάτων και υπολογισμού των μεγεθών αυτών μέσω ενός συνόλου πειραματικών δεδομένων. Σε αντίθεση με άλλες μεθόδους αντιστροφής, όπως οι minimization methods, περιλαμβάνει τον υπολογισμό των επιθυμητών ποσοτήτων χωρίς να βασίζεται σε κάποιο μοντέλο και επομένως χωρίς να επηρεάζει τα αποτελέσματα της ανάλυσης. Αυτό δίνει στο AMIAS την επιπρόσθετη δυνατότητα υπολογισμού του συσχετισμού μεταξύ των ζητούμενων παραμέτρων, δηλαδή του correlation matrix. Η βασικές αρχές του AMIAS αναλύονται παρακάτω: Έστω, με, οι παράμετροι οι οποίες περιγράφουν ρητά μια διαδικασία στο πλαίσιο κάποιας θεωρίας και έστω, με, οι πειραματικές τιμές και τα αντίστοιχα σφάλματα ορισμένων παρατηρήσιμων μεγεθών τα οποία παράγονται μέσω της διαδικασίας αυτής. Εάν στις παραμέτρους αντιστοιχηθούν οι τυχαίες τιμές, τότε η πιθανότητα οι τιμές αυτές να αντιπροσωπεύουν την πραγματικότητα θα δίνεται από την σχέση: (3.1) 49

50 όπου (3.2) και οι τιμές των παρατηρήσιμων μεγεθών που προκύπτουν από την θεωρία για τις τιμές. Παρατηρείται ότι το μέγεθος κάνει ουσιαστικά σύγκριση των πειραματικών τιμών όλων των παρατηρήσιμων μεγεθών με τις αντίστοιχες θεωρητικές. Όσο μεγαλύτερες είναι οι διαφορές των θεωρητικών τιμών από τις πειραματικές, τόσο μεγαλύτερο είναι το και επομένως τόσο μικρότερη η πιθανότητα να αντιπροσωπεύουν την πραγματικότητα οι τιμές. Το σφάλμα της πειραματικής τιμής στον παρονομαστή, λειτουργεί σαν συντελεστής βαρύτητας για τις καλά ορισμένες τιμές δηλαδή τις τιμές με μικρό σφάλμα. Η ίδια διαδικασία μπορεί να επαναληφθεί j φορές. Επομένως σε κάθε σετ τυχαίων τιμών, αντιστοιχίζεται η πιθανότητα να αντιπροσωπεύει την πραγματικότητα, δίνοντας στις παραπάνω σχέσεις την μορφή: και (3.3) (3.4) Με τον τρόπο αυτό εξασφαλίζεται ένα κριτήριο για την ορθότητα των τιμών των ζητούμενων παραμέτρων μέσω των πειραματικών τιμών των παρατηρήσιμων μεγεθών. Τέλος, κάνοντας το διάγραμμα της πυκνότητας πιθανότητας για κάθε μία από τις παραμέτρους, εξάγεται η κεντρική της τιμή και το αντίστοιχο σφάλμα. Η 50

51 κεντρική αυτή τιμή ονομάζεται λύση και το σφάλμα της ονομάζεται αβεβαιότητα της λύσης. Οι βασικές αρχές τις μεθόδου αυτής, καθώς και τα προβλήματα που θα πρέπει να ξεπεραστούν, είναι εμφανέστερα εάν εφαρμοστεί αρχικά σε απλούστερες περιπτώσεις όπως αυτές της γραμμικής και της μη γραμμικής θεωρίας. 3.2 Εφαρμογές του AMIAS σε απλές περιπτώσεις Γραμμική περίπτωση Όπως αναφέρθηκε και προηγουμένως, το AMIAS δίνει την δυνατότητα υπολογισμού παραμέτρων οι οποίες παράγουν ορισμένα παρατηρήσιμα μεγέθη στο πλαίσιο μιας θεωρίας. Έστω λοιπόν οι παράμετροι Α και Β οι οποίες υπακούν στην θεωρία δίνοντας έτσι τα δεδομένα σε διάφορα x. Αρχικά θα πρέπει να δημιουργηθεί μια βάση ψευδοδεδομένων που θα αποτελείται από τιμές του y σε διάφορα x με τα αντίστοιχα σφάλματα. Για τον λόγο αυτό, δίνονται στα Α και Β, τιμές από κανονική κατανομή με κεντρικές τιμές και αντίστοιχα και αποκλίσεις. Προφανώς η θεωρία τώρα είναι η Όμως οι τιμές δόθηκαν με κάποια απόκλιση προκειμένου να εμφανιστούν τα σφάλματα στα πειραματικά δεδομένα. Από τη διάδοση σφαλμάτων θα ισχύει για τα σφάλματα των : (3.5) 51

52 Τέλος δίνοντας στο x τις τιμές, όπου παράγεται το παρακάτω διάγραμμα ψευδοδεδομένων: Εικόνα 3.1: Διάγραμμα ψευδοδεδομένων για την ευθεία Για να διαπιστωθεί λοιπόν η ορθή λειτουργία του AMIAS θα πρέπει βάσει αυτών των πειραματικών δεδομένων, να βρεθούν οι τιμές των παραμέτρων Α, Β ίσες με και. Αρχικά λοιπόν θα πρέπει να οριστούν τα διαστήματα στα οποία θα κινούνται οι τιμές των Α και Β. Εφόσον, οι τιμές τους θεωρούνται άγνωστες, θα πρέπει τα διαστήματα σε πρώτη φάση να είναι τα (-,+ ). Στη συνέχεια θα διαπιστωθεί ότι το διάστημα αυτό δίνει πολύ μεγάλα χ 2, με εξαίρεση τις τιμές κοντά στο 0 και επομένως θα πρέπει να 52

53 περιοριστεί γύρω από τις τιμές αυτές. Με διαδοχικά κοψίματα, τα τελικά διαστήματα στα οποία θα εφαρμοσθεί το AMIAS είναι τα [1.5, 2.5] για το Α και [0, 2] για το Β. Δίνοντας λοιπόν τυχαίες τιμές στα Α και Β προκύπτουν τα εξής ιστογράμματα: Εικόνα 3.2: Ιστογράμματα των τυχαίων τιμών των παραμέτρων Α και Β Όπως ήταν αναμενόμενο, τα ιστογράμματα έχουν επίπεδη μορφή καθώς οι τιμές στα Α και Β είναι τυχαίες στα διαστήματα αυτά. Σε κάθε σετ τιμών Α j και Β j όμως αντιστοιχίζεται ένα σύμφωνα με την εξίσωση (3.3). Κανονικοποιώντας τα χ 2 έτσι ώστε παράγεται και το ιστόγραμμα των χ 2 : 53

54 Εικόνα 3.3: Ιστόγραμμα των χ 2 που προκύπτουν για τις τυχαίες τιμές των Α και Β Η κανονικοποίηση του χ 2 είναι επιτρεπτή καθώς όπως φαίνεται και στην εξίσωση (3.4) δεν αλλάζει την μορφή της πυκνότητας πιθανότητας. Πολλαπλασιάζοντας με την πιθανότητα στα ιστογράμματα Α και Β προκύπτουν οι συναρτήσεις κατανομής πιθανότητας (PDF): Εικόνα 3.4: Βεβαρυμμένα ιστογράμματα των παραμέτρων Α και Β. Η μορφή αυτή προκύπτει εάν στα επίπεδα ιστογράμματα της εικόνας 3.2 το ύψος της κάθε τιμής πολλαπλασιαστεί με την αντίστοιχη πιθανότητα να αντιπροσωπεύει την πραγματικότητα 54

55 μέσω των οποίων μπορούν να εξαχθούν με fit κανονικής κατανομής οι κεντρικές τιμές και τα σφάλματά τους. Συγκεκριμένα, για τα Α και Β προκύπτουν οι τιμές και οι αποκλίσεις: Α=2.038 ± Β=0.93 ± 0.07 Παρατηρείται ότι τα αποτελέσματα που προκύπτουν από τη μέθοδο αυτή είναι αρκετά ικανοποιητικά και θα ήταν ακόμα καλύτερα για μεγαλύτερο αριθμό πειραματικών δεδομένων, ή περισσότερες επαναλήψεις. Για λόγους πληρότητας, ο υπολογισμός των Α και Β επαναλαμβάνεται με τη μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων δίνοντας τις τιμές: Α=2.038 ± Β=0.93 ± 0.07 Παρατηρείται ότι οι δύο μέθοδοι δίνουν ουσιαστικά τα ίδια αποτελέσματα. Η σύγκριση αυτή γίνεται καθώς στην επόμενη εφαρμογή αποδεικνύεται ότι όταν οι τιμές των παραμέτρων Α και Β εξαρτώνται έντονα μεταξύ τους, τότε η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων δεν δίνει τα σωστά αποτελέσματα. Το AMIAS δίνει την δυνατότητα υπολογισμού του συσχετισμού μεταξύ των παραμέτρων Α και Β, δηλαδή της μεταβολής ΔΑ που θα επιφέρει στην παράμετρο Α μια μεταβολή ΔΒ της παραμέτρου Β και αντίστροφα. Ο υπολογισμός του correlation μπορεί να υπολογιστεί μέσω του τρισδιάστατου διαγράμματος Α, Β και χ 2. 55

56 Εικόνα 3.5: Τρισδιάστατο διάγραμμα των τιμών των Α και Β στη θεωρία, ως προς το χ 2 που προκύπτει από τις τιμές αυτές. Στο διάγραμμα αυτό οι περιοχές με το πιο θερμό χρώμα (κόκκινο) υποδηλώνουν το ελάχιστο χ 2 ενώ οι περιοχές με το πιο ψυχρό (μοβ) τις περιοχές με το μεγαλύτερο χ 2. Στο διάγραμμα αυτό διακρίνονται οι επιφάνειες ίδιου χ 2. Η κλίση του μικρού άξονα της έλλειψης που σχηματίζεται στο κέντρο του διαγράμματος ως προς τον άξονα των Α δίνει τον λόγο και επομένως το στοιχείο του correlation matrix. Αυτό συμβαίνει γιατί οι ελλείψεις που σχηματίζονται έχουν το ίδιο χ 2 και επομένως εξασφαλίζουν την διατήρηση του χ 2 στην περίμετρό τους, ανεξαρτήτως των τιμών που παίρνουν τα Α και Β. Επομένως διατηρώντας το χ 2 σταθερό και μετακινώντας την τιμή του Α κατά ΔΑ, προκύπτει η μεταβολή του Β. Κάνοντας fit στην έλλειψη διαπιστώνεται ότι η γωνία της ως προς τον άξονα Α είναι που σημαίνει ότι το στοιχείο του correlation matrix θα είναι. Με τον τρόπο αυτό, ο correlation matrix που προκύπτει είναι: 56

57 A B A 1 B 1 Πίνακας 3.1: Correlation matrix των παραμέτρων Α και Β για την περίπτωση της καμπύλης Μη γραμμική περίπτωση Στην προκειμένη περίπτωση, η θεωρία που ισχύει για τις 2 παραμέτρους είναι η. Ως τιμές των παραμέτρων για την δημιουργία ψευδοδεδομένων χρησιμοποιούνται οι και αντίστοιχα ενώ οι αποκλίσεις μένουν οι ίδιες δίνοντας στην θεωρία την μορφή: Τα σφάλματα των θα δίνονται πλέον από τη σχέση: (3.6) Με την ίδια διαδικασία με προηγουμένως, δημιουργείται ένα σετ ψευδοδεδομένων το οποίο απεικονίζεται στο παρακάτω γράφημα: 57

58 Εικόνα 3.6: Διάγραμμα ψευδοδεδομένων για την καμπύλη Tα τελικά διαστήματα στα οποία θα κινούνται οι τιμές των Α και Β είναι τώρα τα [1.5, 2.5] και [4, 6] αντίστοιχα. Οι PDF των Α και Β που προκύπτουν, έχουν την μορφή: Εικόνα 3.7: Βεβαρυμμένα ιστογράμματα των παραμέτρων Α και Β. 58

59 ενώ τα gauss fits δίνουν τις τιμές: Α=2.00 ± 0.06 Β=4.93 ± 0.10 Αντίστοιχα, με τη μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων παράγονται οι τιμές: Α=2.04 ± 0.08 Β=4.91 ± 0.12 Παρατηρείται ότι ενώ οι κεντρικές τιμές των δύο μεθόδων είναι σχετικά κοντά, οι αποκλίσεις των παραμέτρων διαφέρουν σε σημαντικό βαθμό. Ο λόγος που εμφανίζεται η διαφορά αυτή είναι ότι κατά τις μεθόδους ελαχιστοποίησης του χ 2, η τιμή μιας παραμέτρου προσεγγίζεται όσο οι τιμές των υπολοίπων παραμέτρων διατηρούνται σταθερές. Όταν όμως η θεωρία που μελετάται περιλαμβάνει ισχυρή εξάρτηση μεταξύ των παραμέτρων, η μεταβολή της τιμής της μιας παραμέτρου επιφέρει σημαντική αλλαγή στην τιμής της άλλης. Αυτό οδηγεί σε ανακρίβειες στις αποκλίσεις των αποτελεσμάτων. Η διαφορά αυτή μπορεί να διορθωθεί υπολογίζοντας τον correlation matrix μεταξύ των παραμέτρων. Για τον λόγο αυτό, σχεδιάζεται το τρισδιάστατο διάγραμμα μεταξύ των Α, Β και του αντίστοιχου χ 2 : 59

60 Εικόνα 3.8: Τρισδιάστατο διάγραμμα των τιμών των Α και Β ως προς το χ 2 που προκύπτει από τις τιμές αυτές. Στο διάγραμμα αυτό οι περιοχές με το πιο θερμό χρώμα (κόκκινο) υποδηλώνουν το ελάχιστο χ 2 ενώ οι περιοχές με το πιο ψυχρό (μοβ) τις περιοχές με το μεγαλύτερο χ 2. Κάνοντας fit στην έλλειψη διαπιστώνεται ότι η γωνία της ως προς τον άξονα Α είναι που σημαίνει ότι το στοιχείο του correlation matrix θα είναι. Με τον τρόπο αυτό, ο correlation matrix που προκύπτει είναι: A B A 1 B 1 Πίνακας 3.2: Correlation matrix των παραμέτρων Α και Β για την περίπτωση της καμπύλης 60

61 Οι κεντρικές τιμές και οι αποκλίσεις που προκύπτουν από την μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων μπορούν να αναπαρασταθούν με μια κανονική κατανομή, το ύψος της οποίας σε κάθε τιμή θα αποτελεί την πιθανότητα να αντιπροσωπεύει την πραγματικότητα. Η πιθανότητα αυτή μπορεί λοιπόν να αντιστοιχηθεί με ένα χ 2 μέσω της σχέσης (3.4). Οι διορθωμένες τιμές για τα Α και Β προκύπτουν εάν στα αντικατάσταση: αυτά γίνει η (3.7) όπου, το τετράγωνο του στοιχείου του correlation matrix. Κάνοντας τις διαγράμματα κατανομής πιθανότητας για τις παραμέτρους Α και Β με τα νέα : Εικόνα 3.9: Βεβαρυμμένα ιστογράμματα των παραμέτρων Α και Β από την μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων μετά από διόρθωση της απόκλισης και τέλος κάνοντας Gauss fit δίνονται οι τιμές: Α=2.01± 0.06 Β=4.87 ±

62 Συνοψίζοντας προκύπτει ο παρακάτω πίνακας για τις τιμές των Α και Β που εξήχθησαν: AMIAS Μέθοδος Διορθωμένες τιμές Ελαχιστοποίησης Α 2.00 ± ± ± 0.06 Β 4.93 ± ± ± 0.10 Πίνακας 3.3: Συγκεντρωτικός πίνακας των τιμών των παραμέτρων Α και Β για την περίπτωση της καμπύλης Παρατηρείται ότι οι τελευταίες τιμές είναι παρόμοιες με αυτές που προκύπτουν από το AMIAS. Αυτό συμβαίνει καθώς το βασικότερο πλεονέκτημα του AMIAS είναι ότι η τυχαία κίνηση των μεταβλητών, εμπεριέχει την εξάρτηση μεταξύ των παραμέτρων και επομένως δίνει ακριβή αποτελέσματα. Οι πολύ μικρές διαφορές που προκύπτουν ανάμεσα στην 1 η και την 3 η στήλη του πίνακα οφείλονται στο πεπερασμένο πλήθος των ψευδοδεδομένων. Εάν τα πειραματικά δεδομένα ήταν άπειρα σε αριθμό τότε οι τιμές αυτές θα ήταν ακριβώς ίσες. Η διαδικασία που ακολουθείται στις εφαρμογές αυτές περιγράφει τα πλεονεκτήματα του AMIAS έναντι των μεθόδων ελαχιστοποίησης. Στο επόμενο κεφάλαιο γίνεται χρήση του AMIAS σε ένα πολύ περίπλοκο και επομένως μη αντιστρέψιμο πρόβλημα, τον υπολογισμό του σχήματος του νουκλεονίου από την ενεργό διατομή της ηλεκτρομαγνητικής παραγωγής πιονίου. 62

63 Κεφάλαιο 4 ο 4 Εφαρμογή του AMIAS στην ηλεκτροδιέγερση πρωτονίου και στο σχήμα του νουκλεονίου 4.1 Χρησιμότητα του AMIAS Σύμφωνα με την ανάλυση του 2 ου κεφαλαίου, η δυνατότητα υπολογισμού των πλειονοπόλων περιορίζεται σε μεγάλο βαθμό από την πολυπλοκότητα των σχέσεων που τα συνδέουν με τα πειραματικά δεδομένα. Σύμφωνα με την ανάλυση αυτή, εάν τα πλειονόπολα είναι γνωστά, τότε η διαφορική ενεργός διατομή μπορεί να υπολογισθεί σε οποιαδήποτε γωνία. Στα παρακάτω διαγράμματα φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις στις οποίες υπολογίζονται οι επιμέρους ενεργές διατομές συναρτήσει του μέσω διάφορων μοντέλων, για (GeV/c) 2, GeV, και στη συνέχεια συγκρίνονται με τα αντίστοιχα πειραματικά δεδομένα. 63

64 Εικόνα 4.1: Επιμέρους ενεργές διατομές ως προς από MAID2003 (συνεχής κόκκινη γραμμή), DMT (διακεκομμένη πράσινη γραμμή), SAID (διακεκομμένη μπλε γραμμή) και SL (κυανή γραμμή από τελείες), για (GeV/c) 2, GeV, συγκρινόμενες με τα αντίστοιχα πειραματικά δεδομένα [DRT92] Αντιθέτως, ανεξάρτητα από το πλήθος των παρατηρήσιμων μεγεθών που μπορούν να μετρηθούν, τα αθροίσματα στις σχέσεις που συνδέουν τα πλειονόπολα με τα πλάτη CGLN δεν επιτρέπουν την αντιστροφή της διαδικασίας, δηλαδή τον υπολογισμό των πλειονοπόλων από τα πειραματικά δεδομένα. Όπως φαίνεται και στο παρακάτω σχήμα, η διαδικασία που συνδέει τα πλειονόπολα με την ενεργό διατομή αποτελείται από 3 βήματα. 64

65 Εικόνα 4.2: Σχηματική αναπαράσταση της διαδικασίας που οδηγεί από τα πλειονόπολα στα πειραματικά δεδομένα [STP07] Εφόσον λοιπόν τα πλειονόπολα περιέχουν την πληροφορία για το σχήμα του νουκλεονίου, καθίσταται αναγκαίος ο ορισμός μιας μεθόδου υπολογισμού τους από το μόνο διαθέσιμο μετρήσιμο μέγεθος, την ενεργό διατομή. Οι μέθοδοι που έχουν αναπτυχθεί τα τελευταία χρόνια έχουν δώσει αρκετά ικανοποιητικά αποτελέσματα τα οποία όμως δέχονται βελτιώσεις καθώς η δυσκολία του συγκεκριμένου προβλήματος είναι μεγάλη και η υπολογιστική δύναμη δεν είναι ακόμα αρκετά ισχυρή. Η βασικότερη ίσως δυστοκία των μεθόδων που έχουν αναπτυχθεί έως τώρα είναι ότι τα αποτελέσματα εξαρτώνται σε κάποιο βαθμό από το μοντέλο ανάλυσης των πειραματικών δεδομένων. Αυτό συμβαίνει καθώς οι κεντρικές τιμές των πλειονοπόλων πολλές φορές αλληλοεξαρτώνται και έτσι δεν επιτρέπεται να διατηρηθούν σταθερές όσο το μοντέλο θα προσπαθεί να βρει την κεντρική τιμή κάποιου άλλου πλειονοπόλου. Η εφαρμογή του AMIAS στην μελέτη του σχήματος του νουκλεονίου εισάγει μια νέα μέθοδο υπολογισμού της απόκλισης του σχήματος από το σφαιρικό. 65

66 Στο κεφάλαιο αυτό, θα γίνει εφαρμογή του AMIAS στη θεωρία που αναπτύχθηκε στο 2 ο κεφάλαιο με σκοπό τον υπολογισμό πλειονοπόλων και επομένως των λόγων EMR και CMR μέσω των πειραματικών δεδομένων. Τα πειραματικά δεδομένα που θα χρησιμοποιηθούν είναι του Jefferson Lab όπου τα παρατηρήσιμα μεγέθη είναι οι επιμέρους ενεργές διατομές χωρίς να ληφθεί υπ όψη η πόλωση του ανακρουόμενου πυρήνα δηλαδή οι σ 0, σ LT, σ TT και σ LT. Ως αρχικές τιμές των πλειονοπόλων θα χρησιμοποιηθούν οι τιμές του MAID03 του πανεπιστημίου Mainz στην Γερμανία. Οι τιμές των πλειονοπόλων που έχουν εξαχθεί για W=1.23 GeV και Q 2 =1 GeV 2 /c 2 είναι: i i i i i i i i i i Πίνακας 4.1: Πίνακας τιμών των πλειονοπόλων με Ι=1/2 για Σύμφωνα με τις σχέσεις του 2 ου κεφαλαίου, οι επιμέρους ενεργές διατομές συναρτήσει της γωνίας θα έχουν την εξής μορφή: 66

67 Εικόνα 4.3: Επιμέρους ενεργές διατομές όπως προκύπτουν από την θεωρία για τις τιμές των πινάκων 4.1 και Αλγόριθμος λειτουργίας του AMIAS στο σχήμα του νουκλεονίου Παρακάτω συνοψίζεται η θεωρία η οποία ισχύει για το σχήμα του νουκλεονίου και γίνεται ανάλυση του αλγορίθμου που ακολουθείται σε διάστημα μίας επανάληψης κατά την εφαρμογή του AMIAS στη θεωρία αυτή. Αναλύοντας την ενεργό διατομή της αντίδρασης στη βάση του ισοσπίν, τότε τα πλειονόπολα που χρησιμοποιούνται στις σχέσεις (2.63) - (2.68) για τα πλάτη CGLN, θα δίνονται από την σχέση: (4.1) 67

68 Επομένως για τον ορισμό των πλειονοπόλων χρειάζεται και ο πίνακας: i i i i i i i i i i Πίνακας 4.2: Πίνακας τιμών των πλειονοπόλων με Ι=3/2 για Με βάση τα πλειονόπολα αυτά και τις σχέσεις (2.63) - (2.68) παράγονται τα πλάτη CGLN τα οποία εξαρτώνται από την γωνία μέσω των πολυωνύμων Legendre. Όπως φαίνεται και στους παραπάνω πίνακες, ως μέγιστο έχει οριστεί το. Η σύμβαση αυτή είναι επιτρεπτή όπως φαίνεται και στις τιμές των πλειονοπόλων καθώς για, η συνεισφορά των πλειονοπόλων στην ενεργό διατομή είναι συνήθως πολύ μικρή. Αυτό γίνεται για να περιοριστεί ο αριθμός των παραμέτρων που θα πρέπει να προσδιοριστούν. Δεδομένου ότι για κάθε πλειονόπολο θα πρέπει να υπολογιστεί τόσο το πραγματικό όσο και το φανταστικό του μέρος, για θα πρέπει να προσδιοριστούν τιμές για κάθε πίνακα. Ο αριθμός αυτός περιορίζεται καθώς κάποια πλειονόπολα έχουν πάντα μηδενική τιμή ή δεν ορίζονται και επομένως στο σύνολο των 2 πινάκων θα πρέπει να προσδιοριστούν τιμές. Έστω ότι τα πειραματικά δεδομένα δίνονται με την μορφή των επιμέρους ενεργών διατομών σε διάφορες γωνίες, εάν δεν ληφθεί υπ όψιν η πόλωση του ανακρουόμενου πυρήνα, δηλαδή στην μορφή: 68

69 για α=1,2 Α, β=1,2 Β, γ=1,2 Γ, δ=1,2 Δ. Στην συνέχεια, μέσω των σχέσεων (2.74)-(2.78) και (2.85)-(2.97) υπολογίζονται όλες οι συναρτήσεις απόκρισης και επομένως οι επιμέρους ενεργές διατομές. Επίσης, κινηματικά μεγέθη όπως τα, και υπολογίζονται από τις σχέσεις (2.8)-(2.13). Οι γωνίες που θα χρησιμοποιηθούν για τον υπολογισμό των συναρτήσεων απόκρισης, είναι οι γωνίες,, και δίνοντας αντίστοιχα τις θεωρητικές τιμές,, και. Στην προκειμένη περίπτωση η σχέση (3.2) θα πάρει την μορφή: (4.2) Το που προκύπτει από αυτή την σχέση αφορά μόνο τις τιμές των πινάκων 4.1 και 4.2, δηλαδή μόνο μία επανάληψη του AMIAS. Για να επιτευχθεί η επιθυμητή ακρίβεια, η διαδικασία αυτή επαναλαμβάνεται μέχρι και φορές με σκοπό την εξαγωγή των τιμών των πλειονοπόλων. 69

70 4.3 Εξαγωγή των αποτελεσμάτων Ευαισθησία των πλειονοπόλων Αρχικά ερευνάται η ευαισθησία του χ 2 σε καθένα από τα πλειονόπολα για l=0,1 και για Ι=1/2, 3/2 δηλαδή σε 14 πλειονόπολα. Τα,,, και ισούνται με 0 και γι αυτό δεν εξετάζονται. Έτσι κρατώντας όλα τα άλλα πλειονόπολα σταθερά, το ΑMIAS κάνει για καθένα από τα 14 πλειονόπολα ξεχωριστά. Ως κεντρικές τιμές χρησιμοποιούνται τα πλειονόπολα του MAID03, ως observables τα δεδομένα του JLab, ενώ τα υπόλοιπα μεγέθη είναι W=1230 MeV, Q 2 =1 (GeV/c) 2 και L cut =5. Μετά τις επαναλήψεις, προκύπτει ο εξής πίνακας των μέσων μ και των αποκλίσεων σ: Πλειονόπολο μ σ σ/μ 4,00 0,13 0,032 0,50 0,06 0,119 0,50 0,22 0,432 2,90 0,16 0,054 0,065 0,016 0,245 0,031 0,006 0,201 0,30 0,03 0,100 0,8 0,5 0,570 0,68 0,04 0,061 20,71 0,05 0,002 0,95 0,28 0,295 0,10 0,04 0,383 0,203 0,004 0,018 0,39 0,05 0,117 Πίνακας 4.3: Οι κεντρικές τιμές και οι αποκλίσεις καθώς και ο λόγος τους, για όλα τα πλειονόπολα μέχρι. Οι μετρήσεις έχον γίνει για κάθε πλειονόπολο ξεχωριστά ενώ οι τιμές των υπολοίπων πλειονοπόλων διατηρούνταν σταθερές 70

71 Τα πλειονόπολα με τον μικρότερο λόγο σ/μ είναι αυτά που επηρεάζουν περισσότερο την τιμή του χ 2 καθώς μια μικρή αλλαγή στην τιμή τους, μειώνει δραματικά την πιθανότητα να αντιπροσωπεύουν την πραγματικότητα. Όπως παρατηρείται από τον παραπάνω πίνακα, τα 5 πιο ευαίσθητα πλειονόπολα είναι κατά σειρά τα,,, και. Στην παρακάτω εικόνα φαίνονται τα 5 πιο ευαίσθητα πλειονόπολα σε σύγκριση με 2 όχι και τόσο ευαίσθητα. 71

72 Εικόνα 4.4: Ιστογράμματα των 5 ευαίσθητων πλειονοπόλων σε αντίθεση με 2 μη ευαίσθητα σε εύρος ίσο με το μισό της κεντρικής τους τιμής Τα ιστογράμματα αυτά έχουν τοποθετηθεί με σειρά ευαισθησίας. Ως εύρος των πλειονοπόλων χρησιμοποιείται το μισό της κεντρικής τους τιμής. Στο πρώτο ιστόγραμμα είναι προφανής η μείωση της πιθανότητας για την παραμικρή αλλαγή του πλειονοπόλου. Αντίθετα, στο προτελευταίο ιστόγραμμα φαίνεται ότι η μεταβολή του χ 2 επηρεάζεται ελάχιστα ενώ στο τελευταίο δεν επηρεάζεται καθόλου. 72

73 4.3.2 Εξάρτηση από το L cut Στη συνέχεια κρατούνται σταθερές οι τιμές όλων των πλειονοπόλων πλην των 5 ευαίσθητων. Εφαρμόζοντας το AMIAS και δίνοντας στα πλειονόπολα τιμές από πεδίο τιμών τέτοιο ώστε να εμπεριέχει όλη την κορυφή του κάθε πλειονοπόλου προκύπτουν τα παρακάτω ιστογράμματα: Εικόνα 4.5: Τα ιστογράμματα των 5 βασικών πλειονοπόλων όπως παρήχθησαν από το AMIAS διατηρώντας τα υπόλοιπα πλειονόπολα σταθερά και για επαναλήψεις. Ως κεντρικές τιμές χρησιμοποιούνται τα πλειονόπολα του MAID03, ως observables τα δεδομένα του JLab, ενώ τα υπόλοιπα μεγέθη είναι W=1230 MeV, Q 2 =1 (GeV/c) 2 και L cut =5. 73

74 Στα ιστογράμματα αυτά έχει γίνει Gauss fit για να εξαχθεί με ακρίβεια η κεντρική τιμή και η απόκλιση του κάθε πλειονοπόλου. Τα αποτελέσματα των fit συνοψίζονται στον παρακάτω πίνακα: Πλειονόπολο μ σ 4,17 0,16 2,50 0,3 0,54 0,07 20,73 0,07 0,203 0,004 Πίνακας 4.4: Κεντρικές τιμές και αποκλίσεις των 5 βασικών πλειονοπόλων διατηρώντας τις τιμές των υπολοίπων σταθερές Στους υπολογισμούς που έχουν γίνει έως τώρα, το όριο στα έχει κρατηθεί σταθερό και ίσο με L cut =5. Γεννώνται λοιπόν τα ερωτήματα, ποια θα ήταν η μορφή των κατανομών εάν το L cut ήταν μικρότερο του 5 αλλά και αν είναι αρκετό αυτό το όριο, ή χρειάζεται ακόμη μεγαλύτερο ώστε να ληφθούν τα σωστά ιστογράμματα. Προς απάντηση των ερωτημάτων αυτών, η ανάλυση των 5 βασικών πλειονοπόλων επαναλαμβάνεται για L cut =4, 3 και 2 αντίστοιχα. Στη συνέχεια σχεδιάζεται η κατανομή κάθε πλειονοπόλου για τα διαφορετικά L cut. 74

75 Εικόνα 4.6: Ιστογράμματα των 5 βασικών πλειονοπόλων για L cut =2 (κίτρινο), L cut =3 (πράσινο), L cut =4 (κόκκινο) και L cut =5 (μπλε) Οι κεντρικές τιμές και τα σφάλματα των παραπάνω ιστογραμμάτων εξάγονται με Gauss fit και συνοψίζονται στον παρακάτω πίνακα: L cut ,17±0,16 4,16±0,16 4,11±0,16 3,98±0,16 2,5±0.3 2,5±0,3 2,6±0,3 2,9±0,3 0,54±0,07 0,53±0,07 0,53±0,07 0,53±0,07 20,73±0,07 20,73±0,07 20,74±0,07 20,72±0,08 0,203±0,004 0,203±0,004 0,203±0,004 0,197±0,004 Πίνακας 4.5:Κεντρικές τιμές και αποκλίσεις των 5 πλειονοπόλων για διάφορες τιμές του L cut σε θερμοκρασία T=20. 75

76 Όπως φαίνεται στα παραπάνω διαγράμματα, η διαφορά στις κεντρικές τιμές είναι ελάχιστη για τα διαφορετικά L cut με μόνη ίσως εξαίρεση την περίπτωση L cut =2. Ειδικότερα, οι διαφορές μεταξύ των ιστογραμμάτων για L cut =5 και L cut =4 είναι μηδαμινές. Τα πλειονόπολα και έχουν ουσιαστικά μηδενική εξάρτηση από το L cut. Κάνοντας τα διαγράμματα των κεντρικών τιμών και των αποκλίσεων ως προς το L cut φαίνεται καθαρά το παραπάνω συμπέρασμα. Εικόνα 4.7: Κεντρικές τιμές και αποκλίσεις των βασικών πλειονοπόλων για διάφορες τιμές του L cut Η γραμμή που συνδέει τα σημεία δείχνει να τείνει σε μια συγκεκριμένη τιμή για L cut >4 και επομένως η ανάλυση των δεδομένων για L cut >5 είναι τουλάχιστον περιττή καθώς θα αυξήσει τον χρόνο υπολογισμού και δεν θα επιφέρει καμία ουσιαστική αλλαγή. Αυτό συμβαίνει διότι για L cut >2 οι τιμές των πλειονοπόλων είναι εξαιρετικά μικρές, όπως επίσης και η συνεισφορά τους στο χ 2. 76

77 4.3.3 Correlations Στη συνέχεια θα συμπεριληφθούν και τα 7 πλειονόπολα που αναλύθηκαν παραπάνω έτσι ώστε να εξετασθούν οι μεταξύ τους συσχετισμοί αλλά και οι διαφορές στις κεντρικές τους τιμές σε σχέση με την ανάλυση των 5 μόνο. Σε κάθε πλειονόπολο θα εξετάζεται μια από τις τιμές Ι=1/2 ή Ι=3/2 για λόγους απλότητας και εξοικονόμησης χρόνου. Πιο συγκεκριμένα, τα πλειονόπολα που θα εξεταστούν και τα αντίστοιχα διαστήματα στα οποία θα κινηθούν οι τιμές τους είναι: Πλειονόπολο Ελάχιστο Μέγιστο Πίνακας 4.6:Σύνολα δυνατών τιμών για κάθε ένα από τα 7 πλειονόπολα κατά την εφαρμογή του AMIAS Εφαρμόζοντας την ανάλυση AMIAS για 7 εκατομμύρια επαναλήψεις, προκύπτουν τα παρακάτω βεβαρυμμένα ιστογράμματα των πλειονοπόλων: 77

78 Εικόνα 4.8: Βεβαρυμμένα ιστογράμματα που προκύπτουν από την εφαρμογή του AMIAS στα 7 πλειονόπολα. 78

79 Τα Gauss fits δίνουν τον εξής πίνακα: Πλειονόπολο μ σ Πίνακας 4.7:Αποτελέσματα της εφαρμογής του AMIAS στα 7 πλειονόπολα Παρατηρείται ότι σε σχέση με τον πίνακα 4.5, οι κεντρικές τιμές και οι αποκλίσεις των 5 βασικών πλειονοπόλων έχουν αλλάξει μετά το ξεπάγωμα των και. Αυτό οφείλεται κυρίως στα correlations ανάμεσα στα πλειονόπολα. Το correlation ανάμεσα σε δύο πλειονόπολα μπορεί να υπολογιστεί όπως έχει αναφερθεί και στο προηγούμενο κεφάλαιο, κάνοντας ένα τρισδιάστατο διάγραμμα, όπου στους δυο άξονες θα βρίσκονται τα δύο πλειονόπολα, και στον τρίτο θα βρίσκεται το χ 2 οι τιμές του οποίου θα απεικονίζονται με διαφορετικά χρώματα. Δεδομένου ότι στην προκειμένη περίπτωση τα πλειονόπολα τα οποία ερευνώνται είναι 7, τότε ο correlation matrix θα έχει 21 στοιχεία τα οποία θα πρέπει να υπολογιστούν. Παρακάτω δίνονται τα contour plots για όλους τους πιθανούς συνδυασμούς αυτών των πλειονοπόλων: 79

80 80

81 Εικόνα 4.9: Τρισδιάστατα διαγράμματα των 7 πλειονοπόλων ως προς το χ 2 που προκύπτει από τις τιμές αυτές. Στο διάγραμμα αυτό οι περιοχές με το κίτρινο υποδηλώνουν χ 2 <250, με το μπλε 350 > χ 2 >250, με το πράσινο 450 > χ 2 >350, με το κόκκινο 550 > χ 2 >450, με το μαύρο 800 > χ 2 >550 και με το λευκό χ 2 >800 81