Κυψελλικό αυτόματο: (A, N, f ), όπου

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κυψελλικό αυτόματο: (A, N, f ), όπου"

Νατάσα ῾Ερμιόνη Γεννάδιος
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 13 Δεκεμβρίου 2016

2 Κυψελλικό αυτόματο: (A, N, f ), όπου

3 Κυψελλικό αυτόματο: (A, N, f ), όπου A αλφάβητο,

4 Κυψελλικό αυτόματο: (A, N, f ), όπου A αλφάβητο, N πεπερ Z d γειτονιά,

5 Κυψελλικό αυτόματο: (A, N, f ), όπου A αλφάβητο, N πεπερ Z d γειτονιά, f : A N A τοπική συνάρτηση.

6 Κυψελλικό αυτόματο: (A, N, f ), όπου A αλφάβητο, N πεπερ Z d γειτονιά, f : A N A τοπική συνάρτηση. F : A Zd A Zd καθολική συνάρτηση,

7 Κυψελλικό αυτόματο: (A, N, f ), όπου A αλφάβητο, N πεπερ Z d γειτονιά, f : A N A τοπική συνάρτηση. F : A Zd A Zd καθολική συνάρτηση, F (c) n = f (c n+n ), για κάθε n Z d.

8 Παραδείγματα d = 1, A = {0, 1}, N = {0, 1}, f (x 0, x 1 ) = x 0 x 1,

9 Παραδείγματα d = 1, A = {0, 1}, N = {0, 1}, f (x 0, x 1 ) = x 0 x 1, d = 1, A = {0, 1}, N = {1}, f (x 1 ) = x 1,

10 Παραδείγματα d = 1, A = {0, 1}, N = {0, 1}, f (x 0, x 1 ) = x 0 x 1, d = 1, A = {0, 1}, N = {1}, f (x 1 ) = x 1, d = 1, A = {0, 1}, N = {0}, f (x 0 ) = 0,

11 Παραδείγματα d = 1, A = {0, 1}, N = {0, 1}, f (x 0, x 1 ) = x 0 x 1, d = 1, A = {0, 1}, N = {1}, f (x 1 ) = x 1, d = 1, A = {0, 1}, N = {0}, f (x 0 ) = 0, d = 2, A = {0, 1}, N = {(0, 0), (0, 1), (1, 0)}, f (x, y, z) = maj(x, y, z),

12 Τοπολογικός χαρακτηρισμός των ΚΑ (1) Γνωστή τοπολογία στον A Zd.

13 Τοπολογικός χαρακτηρισμός των ΚΑ (1) Γνωστή τοπολογία στον A Zd. Συγκλίνουν οι σε κάθε θέση τελικά σταθερές ακολουθίες.

14 Τοπολογικός χαρακτηρισμός των ΚΑ (1) Γνωστή τοπολογία στον A Zd. Συγκλίνουν οι σε κάθε θέση τελικά σταθερές ακολουθίες. Πότε είναι συνεχής μια συνάρτηση;

15 Τοπολογικός χαρακτηρισμός των ΚΑ (1) Γνωστή τοπολογία στον A Zd. Συγκλίνουν οι σε κάθε θέση τελικά σταθερές ακολουθίες. Πότε είναι συνεχής μια συνάρτηση; Αν c n c, τότε F (c n ) F (c).

16 Τοπολογικός χαρακτηρισμός των ΚΑ (1) Λήμμα Γνωστή τοπολογία στον A Zd. Συγκλίνουν οι σε κάθε θέση τελικά σταθερές ακολουθίες. Πότε είναι συνεχής μια συνάρτηση; Αν c n c, τότε F (c n ) F (c). Η καθολική συνάρτηση F ενός ΚΑ είναι συνεχής και ικανοποιεί F σ = σf.

17 Τοπολογικός χαρακτηρισμός των ΚΑ (2) Ισχύει και το αντίστροφο.

18 Τοπολογικός χαρακτηρισμός των ΚΑ (2) Ισχύει και το αντίστροφο. Λήμμα (Morse-Hedlund ) Αν F : A Zd A Zd είναι συνεχής και ικανοποιεί F σ = σf, τότε η F είναι η καθολική συνάρτηση εξέλιξης κάποιου ΚΑ.

19 1 1, επί και αντιστρεψιμότητα F μονομορφισμός αν είναι 1 1.

20 1 1, επί και αντιστρεψιμότητα F μονομορφισμός αν είναι 1 1. F επιμορφισμός αν είναι επί.

21 1 1, επί και αντιστρεψιμότητα F μονομορφισμός αν είναι 1 1. F επιμορφισμός αν είναι επί. Λήμμα Αν F 1 : A Zd A Zd υπάρχει, τότε είναι επίσης ΚΑ.

22 1 1, επί και αντιστρεψιμότητα F μονομορφισμός αν είναι 1 1. F επιμορφισμός αν είναι επί. Λήμμα Αν F 1 : A Zd A Zd υπάρχει, τότε είναι επίσης ΚΑ. Λήμμα Αν F είναι 1 1, τότε είναι και επί (άρα αντιστρέψιμη).

23 (Μη-) αποφασισιμότητα Πεπερασμένη περιγραφή των ΚΑ.

24 (Μη-) αποφασισιμότητα Πεπερασμένη περιγραφή των ΚΑ. Μπορούμε να αποφασίσουμε αλγοριθμικά τις ιδιότητες της καθολικής συνάρτησης;

25 (Μη-) αποφασισιμότητα Πεπερασμένη περιγραφή των ΚΑ. Μπορούμε να αποφασίσουμε αλγοριθμικά τις ιδιότητες της καθολικής συνάρτησης; Στη διάσταση 1 ναι (αν και όχι πάντα).

26 (Μη-) αποφασισιμότητα Πεπερασμένη περιγραφή των ΚΑ. Μπορούμε να αποφασίσουμε αλγοριθμικά τις ιδιότητες της καθολικής συνάρτησης; Στη διάσταση 1 ναι (αν και όχι πάντα). Στη διάσταση 2 σχεδόν ποτέ.

27 (Μη-) αποφασισιμότητα Λεμμα Πεπερασμένη περιγραφή των ΚΑ. Μπορούμε να αποφασίσουμε αλγοριθμικά τις ιδιότητες της καθολικής συνάρτησης; Στη διάσταση 1 ναι (αν και όχι πάντα). Στη διάσταση 2 σχεδόν ποτέ. Υπάρχουν αλγόριθμοι για αντιστρέψιμο και επιμορφισμό στη διάσταση 1.

28 (Μη-) αποφασισιμότητα Λεμμα Πεπερασμένη περιγραφή των ΚΑ. Μπορούμε να αποφασίσουμε αλγοριθμικά τις ιδιότητες της καθολικής συνάρτησης; Στη διάσταση 1 ναι (αν και όχι πάντα). Στη διάσταση 2 σχεδόν ποτέ. Υπάρχουν αλγόριθμοι για αντιστρέψιμο και επιμορφισμό στη διάσταση 1. Λεμμα (Kari ) Δεν υπάρχουν αλγόριθμοι για αντιστρέψιμο και επιμορφισμό στη διάσταση 2.

29 Κήπος της Εδέμ Επέκταση της τοπικής συνάρτησης σε πεπερασμένες λέξεις.

30 Κήπος της Εδέμ Επέκταση της τοπικής συνάρτησης σε πεπερασμένες λέξεις. f : A A.

31 Κήπος της Εδέμ Επέκταση της τοπικής συνάρτησης σε πεπερασμένες λέξεις. f : A A. Λήμμα F επί αν και μόνο αν f επί.

32 Κήπος της Εδέμ Επέκταση της τοπικής συνάρτησης σε πεπερασμένες λέξεις. f : A A. Λήμμα F επί αν και μόνο αν f επί. Πεπερασμένο μοτίβο χωρίς προ-εικόνα: Κήπος της Εδέμ.

33 Κήπος της Εδέμ Επέκταση της τοπικής συνάρτησης σε πεπερασμένες λέξεις. f : A A. Λήμμα F επί αν και μόνο αν f επί. Πεπερασμένο μοτίβο χωρίς προ-εικόνα: Κήπος της Εδέμ. Λήμμα F επί αν και μόνο αν f ισορροπημένη.

34 Κήπος της Εδέμ Λήμμα Επέκταση της τοπικής συνάρτησης σε πεπερασμένες λέξεις. f : A A. F επί αν και μόνο αν f επί. Λήμμα Πεπερασμένο μοτίβο χωρίς προ-εικόνα: Κήπος της Εδέμ. F επί αν και μόνο αν f ισορροπημένη. (f ) 1 (w) = (f ) 1 (w) για κάθε w, w που έχουν το ίδιο μήκος.

35 Μηδενοδύναμα ΚΑ q A κατάσταση ηρεμίας αν f (q,..., q) = q. F μηδενοδύναμο αν c, n = n(c) τ.ώ. F n (c) = q.

36 Μηδενοδύναμα ΚΑ q A κατάσταση ηρεμίας αν f (q,..., q) = q. F μηδενοδύναμο αν c, n = n(c) τ.ώ. F n (c) = q. Λήμμα Αν F είναι μηδενοδύναμο, τότε n τ.ώ. F n (c) = q, c.

37 Μηδενοδύναμα ΚΑ q A κατάσταση ηρεμίας αν f (q,..., q) = q. F μηδενοδύναμο αν c, n = n(c) τ.ώ. F n (c) = q. Λήμμα Αν F είναι μηδενοδύναμο, τότε n τ.ώ. F n (c) = q, c. Προκύπτει από την μεταβατικότητα του χώρου των διατάξεων

38 Ντετερμινιστικά σύνολα πλακιδίων T σύνολο πλακιδίων: ΠΑ-ντετερμινιστικό αν διαφορετικά τετράγωνα t, t T διαφέρουν στο Πάνω ή στο Αριστερά χρώμα.

39 Ντετερμινιστικά σύνολα πλακιδίων T σύνολο πλακιδίων: ΠΑ-ντετερμινιστικό αν διαφορετικά τετράγωνα t, t T διαφέρουν στο Πάνω ή στο Αριστερά χρώμα. Ορίζουν 1-διάστατο ΚΑ F T με A = T {q}, N = {0, 1}.

40 Ντετερμινιστικά σύνολα πλακιδίων T σύνολο πλακιδίων: ΠΑ-ντετερμινιστικό αν διαφορετικά τετράγωνα t, t T διαφέρουν στο Πάνω ή στο Αριστερά χρώμα. Ορίζουν 1-διάστατο ΚΑ F T με A = T {q}, N = {0, 1}. X T = αν και μόνο αν F T μηδενοδύναμο.

41 Μη-αποφασισιμότητα μηδενοδύμαμων ΚΑ Λήμμα (Kari ) Το πρόβλημα της κενότητας είναι μη-αποφασίσιμο για ΠΑ-ντετερμινιστικά σύνολα πλακιδίων.

42 Μη-αποφασισιμότητα μηδενοδύμαμων ΚΑ Λήμμα (Kari ) Το πρόβλημα της κενότητας είναι μη-αποφασίσιμο για ΠΑ-ντετερμινιστικά σύνολα πλακιδίων. Θεώρημα Δεν υπάρχει αλγόριθμος που να αποφασίζει αν ένα δοσμένο ΚΑ είναι μηδενοδύναμο.

43 Τέλος 3ου μέρους Σας ευχαριστώ!

Σχετικά έγγραφα

Πλακίδια του Wang C πεπερασμένο σύνολο χρωμάτων.

30 Νοεμβρίου 2016 Πλακίδια του Wang C πεπερασμένο σύνολο χρωμάτων. Πλακίδια του Wang C πεπερασμένο σύνολο χρωμάτων. t = (c Α, c Π, c Δ, c Κ ) C 4 πλακίδιο του Wang. Πλακίδια του Wang C πεπερασμένο σύνολο