4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα. 4.1 θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldstine.

Transcript

1 8 Έστω (, ) 4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα 4. θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldste. χώρος με νόρμα. Υπενθυμίζουμε ότι η ασθενής τοπολογία T του έχει ως βάση ( ανοικτών ) περιοχών του όλα τα σύνολα της μορφής,...,, { : ε,,2,..., } V = < =, ( = B ε ) όπου ε,...,, N, ε >. Ένα δίκτυο σημείων του, και μόνο αν ( ) Η ασθενής τοπολογία T του I { } (, ),..., συγκλίνει ασθενώς στο, δηλαδή για κάθε. έχει ως βάση περιοχών του { } μορφής V = ( ) < ε =, ( B{ }( ε) ε,...,, :,,2,...,,...,, N, ε >. Ένα δίκτυο σημείων του, ( ) I αν και μόνο αν συγκλίνει ασθενώς στο αν όλα τα σύνολα της = ) όπου,,...,, δηλαδή για κάθε. Επίσης παρατηρούμε ότι: ) Από τον ορισμό τους τόσο η ασθενής τοπολογία του όσο και ασθενής τοπολογία του είναι μικρότερες των αντιστοίχων orm τοπολογιών. Δηλαδή T και T T T. 2) Ο ταυτίζεται ισομετρικά με έναν υπόχωρο του απεικόνισης 3) Έστω Πράγματι sup ( ) N ϕ : : ϕ =,. και ώστε <+ για κάθε φράγματος έχουμε το συμπέρασμα. 4) Έστω ακολουθία και μέσω της φυσιολογικής, τότε η ακολουθία είναι φραγμένη., επομένως από την αρχή του ομοιομόρφου. Αν ο είναι χώρος Baach και τότε η είναι φραγμένη. Το συμπέρασμα έπεται όπως προηγουμένως από την αρχή του ομοιομόρφου φράγματος.

2 82 5) Αν είναι απειροδιάστατος χώρος με νόρμα τότε οι περιοχές του στην ασθενή τοπολογία, δεν είναι φραγμένα σύνολα αφού Ker V ισχύει και για την ασθενή τοπολογία. =,...,, ε. Ανάλογη παρατήρηση 4..Παραδείγματα. ) Έστω = c ή l p (< p<+ ) και έστω ( e ) η ακολουθία που ορίζεται ως e( ) = αν = και αν. Τότε orm-συγκλίνουσα. Αποδεικνύουμε το αποτέλεσμα για ανάλογη. Έστω Επομένως =l q ( + = ), τότε p q e =. e αλλά η e δεν είναι =l p, η απόδειξη για το c είναι = e q <+. = = Για το δεύτερο συμπέρασμα, παρατηρούμε ότι αν μια ακολουθία είναι orm-συγκλίνουσα τότε είναι και ασθενώς συγκλίνουσα στο ίδιο όριο ( γιατί; ). Επομένως η ( e ) δεν είναι orm συγκλίνουσα, αφού e =, N. Σημειώνουμε ότι η ακολουθία ( e ) ονομάζεται η «συνήθης βάση» των χώρων 2) Η ιδιότητα Schur στον l. Στον χώρο Baach p l p ή c. l, μια ακολουθία συγκλίνει ασθενώς αν και μόνο αν είναι orm συγκλίνουσα. Η μια κατεύθυνση είναι προφανής, κάθε orm συγκλίνουσα ακολουθία είναι και ασθενώς συγκλίνουσα στο ίδιο όριο ( η τοπολογία της νόρμας είναι λεπτότερη της ασθενούς ). Έστω ( ) ασθενώς συγκλίνουσα ακολουθία. Υποθέτομε χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι. Ας υποθέσομε ότι δεν συγκλίνει στο. Θεωρώντας εν ανάγκη μια υπακολουθία της ( ) και κανονικοποιώντας μπορούμε να υποθέσομε ότι = για κάθε. Παρατηρούμε ότι j, j N () ( Η ακολουθία ( e ) l = l, άρα ej j =.) Επιλέγομε με επαγωγή ακολουθίες μη αρνητικών ακεραίων = < 2 <... < <... και < < <... < <... έτσι ώστε: N N N N ( j) < και j j= N 9 j= N + (2) Η επαγωγή έχει ως εξής: Θέτομε N =, = και επιλέγομε N > ώστε η δεύτερη από τις ανισότητες (2) να ισχύει ( η πρώτη ισχύει τετριμμένα αφού το άθροισμα σε αυτήν είναι το κενό).

3 83 Κατόπιν επιλέγομε 2 > ώστε η πρώτη από τις (2) να ισχύει και μετά N2 > N ώστε η δεύτερη από τις (2) να ικανοποιείται. Συνεχίζουμε με τον ίδιο τρόπο σημειώνοντας ότι στην επιλογή των χρησιμοποιούμε την () ενώ στην επιλογή των N ότι παράδειγμα (2)). =. ( Πρβλ. και την παρατήρηση μετά το Θεωρούμε τώρα την ακολουθία a l = l με a j sg( j ) =, j [ N N ] +,, =, 2,... Τότε έχουμε, ( ) a j a j N N = = ± ( j) + ( j) + ± ( j) j= 9, άτοπο διότι j= j= N + j= N+ και συνεπώς, a. Παρατηρήσεις. ) Τα δύο πρώτα βήματα της επαγωγής τουl είναι τα ακόλουθα: στο απόδειξη της ιδιότητας Schur Θέτομε N = και =. Επειδή =, υπάρχει N > N = ώστε N j= ( j) 9 Έστω 2 N > ώστε ( j) < 2 j= ( { } ) ma j : j N Επιλέγομε τώρα N2 N N 9 2 j= N+ 2 > ώστε, ( j) ( = ) 2 2) Καθώς- όπως θα αποδείξουμε αργότερα- τα ασθενώς συμπαγή υποσύνολα ενός διαχωρίσιμου χώρου με νόρμα είναι μετρικοποιήσιμα, το παραπάνω αποτέλεσμα μας λέει ότι τα ασθενώς συμπαγή και τα orm συμπαγή υποσύνολα του l συμπίπτουν. 3) Αποδεικτικές τεχνικές ως η παραπάνω ονομάζονται «sldg hump argumets». Θεώρημα 4..2 Έστω χώρος με νόρμα. Τότε ισχύουν () =, και (2) (, ) =

4 84 Απόδειξη () Αν Λ :(, ) K συνεχές γραμμικό συναρτησοειδές τότε, επειδή η orm τοπολογία είναι λεπτότερη της ασθενούς τοπολογίας, το Λ. Έστω τώρα Λ, αν ε > τότε το Λ είναι βέβαια φραγμένο στην ασθενώς ανοικτή περιοχή V Λ, ε του, επομένως από την πρόταση 3.. το Λ είναι συνεχής συνάρτηση όταν ο έχει την Λ,. ασθενή τοπολογία, δηλαδή (2) Έστω τότε το μπορεί να θεωρηθεί ως (φραγμένο ) γραμμικό συναρτησοειδές επί του μέσω της φυσιολογικής ταύτισης του με έναν υπόχωρο του ϕ =, ( ( ) και βέβαια το ϕ 3.. το ϕ ). Αν ε > τότε η V, ε είναι ασθενώς ανοικτή περιοχή του = είναι φραγμένο στην V, ε, επομένως από την πρόταση = είναι συνεχής συνάρτηση όταν ο συνεπώς (, ). Έστω τώρα Λ (, ) φραγμένο σε μια ασθενώς ανοικτή περιοχή του ε > ώστε V ε ( ) και Λ <.,...,, έχει την ασθενή τοπολογία,, από την πρόταση 3.. το Λ είναι, δηλαδή υπάρχουν,..., Αν Ker και m = N τότε m m Ker V,...,, ε. = Έπεται ότι ( ) = Ker Λ < για κάθε m N και άρα m KerΛ. Τελικά έχουμε, KerΛ. Έτσι από την πρόταση το Λ είναι γραμμικός συνδυασμός των,..., και άρα Λ. Η απόδειξη του θεωρήματος είναι πλήρης. Σχόλιο Παρατηρούμε ότι η ασθενής τοπολογία επί του είναι η μικρότερη τοπολογία η οποία κάνει όλα τα συναρτησοειδή τοπολογία επί του της μορφής ϕ συνεχείς συναρτήσεις. Αντίστοιχα η ασθενής είναι η μικρότερη τοπολογία η οποία κάνει όλα τα συναρτησοειδή { : } συναρτήσεις επί του ( πρβλ. την απόδειξη του θεωρήματος 4..2 (2)) συνεχείς.. Αποδεικνύουμε στην συνέχεια το σημαντικό θεώρημα του Mazur και εξετάζουμε κάποιες συνέπειές του. Θεώρημα 4..3 ( Mazur)Έστω (, ) χώρος με νόρμα και Κ κυρτό σύνολο. Τότε, μ c l l. Κ= c Κ

5 85 ( Η ασθενής και η orm κλειστότητα ενός κυρτού συνόλου σε ένα χώρο με νόρμα ταυτίζονται.) Απόδειξη Επειδή T T, έπεται ότι c l Κ c l Κ. Έστω ότι υπάρχει cl Κ \ cl Κ. Εφαρμόζοντας το διαχωριστικό θεώρημα Hah Baach ( θεώρημα ) στα ξένα κλειστά κυρτά σύνολα { } και cl Κ του (, ) ( το { } και λ, λ2 R ώστε Re ( ) λ λ Re είναι συμπαγές ), βρίσκουμε Λ < < 2 < Λ, για κάθε c Επειδή, από το θεώρημα 4..2, ισχύει ότι U { : Re λ } =, το σύνολο l Κ. = Λ < είναι ασθενώς ανοικτή περιοχή του τέτοια ώστε U Κ =, άτοπο αφού cl Κ. Πόρισμα 4..4 Έστω χώρος με νόρμα και Κ κυρτό. Τότε έχουμε: (α) Το Κ είναι ασθενώς κλειστό αν και μόνο αν είναι orm κλειστό. (β) Το Κ είναι ασθενώς πυκνό στον αν και μόνο αν είναι orm πυκνό στον ( Ιδιαίτερα, το Κ μπορεί να είναι ένας διανυσματικός υπόχωρος του.) Απόδειξη: Προφανής συνέπεια του θεωρήματος του Mazur. Μια άλλη αξιοσημείωτη συνέπεια του θεωρήματος του Mazur είναι η ακόλουθη. Θεώρημα 4..5 Έστω χώρος με νόρμα, ( ) ακολουθία στον και ώστε. Τότε υπάρχει ακολουθία ( y ) ώστε: Λ (α) Κάθε (β) y είναι κυρτός συνδυασμός μελών της y και ( Το (α) μας λέει ότι, υπάρχουν αριθμοί am ώστε am =, κάθε, μόνο πεπερασμένα a m είναι.) m= y = a και για m m m= ( ) Απόδειξη Έστω H co { : } = ( = η κυρτή θήκη του Κ ) και Κ = cl H. Τότε Κ. Από το θεώρημα του Mazur συμπεραίνουμε ότι l Κ. Έπεται προφανώς ότι υπάρχει ακολουθία ( y) H ώστε y. c

6 86. Για να κατανοήσουμε καλύτερα την σημασία του προηγούμενου αποτελέσματος ας το εξετάσουμε στην περίπτωση ενός χώρου Baach της μορφής C( Κ ) με Κ συμπαγή χώρο. Θα χρειαστούμε πρώτα το ακόλουθο αποτέλεσμα. Λήμμα 4..6 Έστω Κ συμπαγής χώρος Hausdorff f : συναρτήσεων ώστε ακόλουθα είναι ισοδύναμα. (ι) f f κατά σημείο επί του Κ. Κ K, ακολουθία συνεχών f Μ<+,, και f : Κ K συνεχής συνάρτηση. Τα (ιι) f C Κ. f στον χώρο Baach Απόδειξη Είναι αρκετό να αποδείξουμε το αποτέλεσμα για τον χώρο C( Κ ) των συνεχών πραγματικών συναρτήσεων επί του Κ. (ιι) (ι) Αν t Κ τότε η απεικόνιση δ : Κ R : δ t( f ) = f ( t), είναι ένα φραγμένο ( t ) t δ = γραμμικό συναρτησοειδές επί του Κ. Τα συναρτησοειδή δ, t Κ, ονομάζονται μέτρα Drac επί του Κ. Επειδή δ f f έπεται ότι ( f ) f ( t) δ ( f ) f ( t) = =, για κάθε t Κ. t t (ι) (ιι) θα χρησιμοποιήσουμε δύο σημαντικά αποτελέσματα από τη θεωρία μέτρου, το θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης του Lebesgue και το θεώρημα αναπαράστασης μέτρων του Resz Έστω Λ :C( Κ) R θετικό γραμμικό συναρτησοειδές επί του C( Κ ) ( δηλαδή, f C( Κ ) και f τότε ( f) Λ ). Το Λ αναπαριστάνεται από ένα ( μοναδικό ) κανονικό θετικό μέτρο Borel µ επί του Κ έτσι ώστε, ( f) ( Θεώρημα Resz). Επειδή η( f ) είναι ομοιόμορφα φραγμένη, f Λ = fdµ, f C( Κ ). Κ f κατά σημείο επί του Κ και τοµ είναι ( αναγκαία ) φραγμένο μέτρο επί του Κ, έπεται από το θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης του Lebesgue ότι ( f ) f dµ fdµ ( f ) Κ Κ Λ = =Λ t

7 87 Το συμπέρασμα έπεται τώρα από το γεγονός ότι κάθε φραγμένο γραμμικό συναρτησοειδές Λ :C Κ R είναι ίσο με την διαφορά δύο θετικών γραμμικών συναρτησοειδών Λ, Λ2 : C Κ R, ( δηλαδή 2 Λ=Λ Λ ). Σχόλιο Έπεται από το θεώρημα 4..5 και το Λήμμα 4..6 ότι αν f : Κ K, είναι ομοιόμορφα φραγμένη ακολουθία συνεχών συναρτήσεων επί του συμπαγούς χώρου Κ, η οποία συγκλίνει κατά σημείο επί του Κ στην συνεχή συνάρτηση f τότε υπάρχει g κυρτών συνδυασμών μελών της ακολουθίας( f ) η οποία συγκλίνει ακολουθία ομοιόμορφα επί του Κ στην f. Θεώρημα 4..7 ( Alaoglou ). Έστω (, ) σφαίρα Β = { : } σύνολο. Απόδειξη Για κάθε θέτομε προφανώς κάθε Επίσης θέτομε χώρος με νόρμα. Τότε η κλειστή μοναδιαία του συζυγούς { λ : λ } A = K, A είναι ένα συμπαγές υποσύνολο του K. Ω= A του είναι ασθενώς συμπαγές και θεωρούμε το καρτεσιανό γινόμενο Ω με την τοπολογία γινόμενο έστω τ. Από το θεώρημα Tychooff της τοπολογίας ο χώρος ( Ω,τ) είναι συμπαγής. Ορίζουμε την απεικόνιση : : Φ Β Ω Φ = ( ) ( ) και παρατηρούμε ότι η Φ είναι καλά ορισμένη, αφού και για κάθε Β. Περαιτέρω παρατηρούμε τα ακόλουθα: για κάθε () Η Φ είναι ένας ομοιομορφισμός μεταξύ των χώρων Β, και του Φ Β με την σχετική τοπολογία από τον συμπαγή χώρο ( Ω,τ). Πράγματι, είναι σαφές ότι η Φ είναι

8 88. Έστω ( ) δίκτυο στον Β και τότε έχουμε ότι, τ ( ) ( ) για κάθε Φ Φ. Έτσι έχουμε το συμπέρασμα. (2) Το Φ Β είναι κλειστό υποσύνολο του ( Ω,τ ). Λ= Λ c ΩΦ Β Πράγματι, έστω ( τ ) Φ Λ Λ για κάθε. Είναι απλό να ελέγξουμε ότι: (α) + y y l. Τότε υπάρχει δίκτυο ( ) Λ =Λ +Λ και (β) Λ c = cλ, c K,, y. I Β ώστε Επειδή Λ,, έπεται από τις (α) και (β) ότι η απεικόνιση Λ K, =Λ, ορίζει ένα φραγμένο γραμμικό συναρτησοειδές επί του. Άρα, θέτοντας, έχουμε ότι Φ ( ) =Λ και έτσι το Φ Β είναι κλειστό στον χώρο ( Ω,τ ). Είναι τώρα προφανές από τους ισχυρισμούς () και (2) ότι ο χώρος, Β είναι συμπαγής. Ειδικότερα αν ο (, ) συμπέρασμα. Θεώρημα 4..8 Έστω (, ) συμπαγής μετρικοποιήσιμος χώρος. Απόδειξη Έστω D { : } όπου A { λ K : λ } είναι διαχωρίσιμος, το θεώρημα Alaoglou δίνει ένα ισχυρότερο διαχωρίσιμος χώρος με νόρμα. Τότε η Β, είναι = ένα αριθμήσιμο και πυκνό υποσύνολο του. Θέτομε =,. Ω= A = Παρατηρούμε ότι ο χώρος Ω με την τοπολογία γινόμενο είναι συμπαγής μετρικοποιήσιμος χώρος ως αριθμήσιμο καρτεσιανό γινόμενο συμπαγών μετρικοποιήσιμων χώρων.

9 89 Από το θεώρημα 3.3. ( πρβλ. και το παράδειγμα ) έπεται ότι μια μετρική η οποία επάγει την τοπολογία του Ω είναι η ακόλουθη (, ) d a b a b, όπου = 2 + a b = Ορίζουμε όπως πριν την απεικόνιση, ( ) a= a b= b Ω Φ : Β Ω με ( ) ( ) Φ = και παρατηρούμε ότι η Φ είναι καλά ορισμένη, ( αφού το D είναι πυκνό στον ) και συνεχής. Από το θεώρημα Alaoglou ( θεώρημα 4.5 ) ο Β, είναι συμπαγής χώρος, συνεπώς και ο Φ Β είναι με την τοπολογία γινόμενο συμπαγής χώρος ομοιομορφικός με τον Β,. Επειδή ο Ω είναι μετρικοποιήσιμος έχουμε το συμπέρασμα... Σημείωση. Έστω χώρος Baach. Ένα υποσύνολο και μόνο αν είναι ασθενώς κλειστό και φραγμένο ( Άσκηση). Πόρισμα 4..9 Έστω (, ) Κ είναι ασθενώς συμπαγές αν χώρος με νόρμα. Υποθέτουμε ότι ο συζυγής του είναι διαχωρίσιμος τότε η Β, είναι μετρικοποιήσιμος χώρος. ( Έπεται προφανώς ότι κάθε φραγμένο υποσύνολο του είναι με την ασθενή τοπολογία μετρικοποιήσιμος χώρος. ) Απόδειξη Από την Παρατήρηση που ακολουθεί έχουμε ότι Β Β και ότι η ασθενής τοπολογία της Β επάγει στην Β την ασθενή τοπολογία. Επειδή ο χώρος Β, είναι συμπαγής και μετρικοποιήσιμος έπεται το συμπέρασμα. Σημείωση Αποδεικνύεται ότι ισχύει και το αντίστροφο του παραπάνω αποτελέσματος ( Άσκηση ). Παρατήρηση 4.. Έστω (, ) εμφύτευση του στον χώρος με νόρμα και ϕ : η κανονική ϕ =,, ( δηλαδή ( ) ). Υπενθυμίζουμε ότι (όπως έπεται από το θεώρημα Hah-Baach) η ϕ είναι γραμμική ισομετρία. Τότε η ασθενής σχετική τοπολογία επί του θεωρούμενου ως υποχώρου του

10 9 ( μέσω της ϕ ) συμπίπτει με την ασθενή τοπολογία του. Έτσι μπορούμε να γράφουμε ϕ,,. Πράγματι, έστω δίκτυο στον και. I Παρατηρούμε ότι, ( ) ϕ( )( ) ( ϕ ) για κάθε για κάθε ϕ( ) ϕ. Με άλλα λόγια η ϕ είναι επί πλέον ένας ομοιομορφισμός του (, ) επί του ϕ Έχοντας υπόψη την προηγούμενη παρατήρηση διατυπώνουμε και αποδεικνύουμε το θεώρημα Goldste. Θεώρημα 4.. ( Goldste ) Έστω (, ) του είναι πυκνή στην κλειστή μοναδιαία σφαίρα Β του ασθενή τοπολογία. Δηλαδή έχουμε (. ) χώρος με νόρμα. Τότε η κλειστή σφαίρα Β θεωρούμενη με την cl Β =Β Απόδειξη Επειδή η ϕ είναι ισομετρία έχουμε ότι Β Β. Συνεπώς, cl Β Β. \ Έστω ότι υπάρχει Β c l Β. Από το θεώρημα Alaoglou η σφαίρα Β, είναι συμπαγής χώρος, άρα και το cl Β είναι με την ασθενή τοπολογία συμπαγές και κυρτό σύνολο. Από το διαχωριστικό θεώρημα Hah- Baach ( θεώρημα 3.5.8) υπάρχουν, = και λ, λ2 R ώστε, λ λ2 Re Re < < < για κάθε cl Β. < < < για κάθε Β. Έπεται ιδιαίτερα ότι Re λ λ2 Re Έστω με =. Από το αριστερό μέλος της ανισότητας έχουμε ότι, = a για κάποιο έπεται ότι λ. a =. Άρα Re Από το δεξί μέλος έχουμε ότι, = a = a < λ, από όπου λ < Re. 2 Έτσι καταλήγουμε σε αντίφαση και η απόδειξη του θεωρήματος είναι πλήρης.

11 9 Παρατήρηση 4..2 Έστω (, ) Golsdste ότι cl =. χώρος με νόρμα. Έπεται αμέσως από το θεώρημα Επίσης αποδεικνύεται με την υπόθεση ο είναι απειροδιάστατος ότι: cl S =Β, όπου S { : } δίκτυο = =. Αυτό σημαίνει ότι αν ώστε : I. ( Πρβλ. τις ασκήσεις.) S τότε υπάρχει Έστω T : Y γραμμικός τελεστής, όπου και Y χώροι με νόρμα. Θα λέμε ότι ο T είναι ασθενώς συνεχής, αν είναι συνεχής συνάρτησης ως προς τις ασθενείς τοπολογίες των και Y. Αποδεικνύεται το ακόλουθο ενδιαφέρον αποτέλεσμα. Θεώρημα 4..3 Έστω και Y χώροι Baach και T : Y ένας γραμμικός τελεστής. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (α) Ο T είναι φραγμένος (β) Ο T είναι ασθενώς συνεχής. Απόδειξη (α) (β). Αρκεί να αποδείξουμε ότι ο T είναι ασθενώς συνεχής στο. Έστω U μια βασική περιοχή του Y στην ασθενή τοπολογία, δηλαδή { :,, 2,..., ε } U = y Y y y < = όπου Θέτομε, = y ot, =, 2,...,. Κάθε του, αφού y T y,..., y Y και ε >. είναι φραγμένο γραμμικό συναρτησοειδές επί. Ορίζουμε, Η V είναι ασθενής περιοχή του και αν V τότε ( ) = < ε, =, 2,...,, δηλαδή T y T Άρα T( V) { :,,2,..., ε } V = < =. U. U και ο T είναι ασθενώς συνεχής στο. (β) (α). Θα αποδείξουμε ότι ο T έχει κλειστό γράφημα, έτσι από το ομώνυμο θεώρημα ο T θα είναι φραγμένος. y Y = Y, Παρατηρούμε ότι επειδή ο T είναι ασθενώς συνεχής αν (, ) y ot = ( πρβλ. το θεώρημα 4.2). Κατά συνέπεια, y Y y ot ()., τότε

12 92 ( ) Έστω, T( ),, ακολουθία στο γράφημα T y. Για κάθε y Αφού T y και Y έχουμε ( y ot) = y ( T ) y ( y) ( y ot) ( y ot) = y ( T ) Αφού y ot και. Έπεται ότι, για κάθε y ( ) y T y y =. Επειδή ο συμπεραίνουμε ότι y T G T του T, ώστε και Y ισχύει ότι Y διαχωρίζει τα σημεία του Y ( πρβλ. θεώρημα ) = και έτσι το γράφημα του T είναι κλειστό.. Από την μέθοδο απόδειξης του προηγουμένου θεωρήματος, συμπεραίνουμε ότι αν T : Y είναι φραγμένος γραμμικός τελεστής μεταξύ των χώρων με νόρμα και Y τότε η απεικόνιση y Y y ot Είναι καλά ορισμένη και προφανώς γραμμική Η απεικόνιση αυτή ονομάζεται ο συζυγής τελεστής του T και συμβολίζεται με T. Έχομε δηλαδή T y y ot y Y =, ορ Πρόταση 4..4 Έστω, Y χώροι με νόρμα και T : Y φραγμένος γραμμικός τελεστής. Τότε ο Απόδειξη Παρατηρούμε ότι sup sup y ( T ) = y T είναι επίσης φραγμένος και sup T = T. = = = T sup T ( y ) sup sup y T y y T = T. Παρατήρηση Το θεώρημα 4..3 ισχύει και χωρίς την υπόθεση ότι οι και Y είναι χώροι Baach. Η απόδειξη αυτή αφήνεται ως άσκηση. ( Πρβλ. επίσης το [M], Th 2.5., p.24.)

13 93 Αποδεικνύεται επίσης ότι ο συζυγής τελεστής T ενός φραγμένου γραμμικού τελεστή T : Y είναι συνεχής και για τις αντίστοιχες ασθενώς τοπολογίες. ( Άσκηση.) Υπενθυμίζουμε ότι ένα υποσύνολο D η κλειστή γραμμική θήκη του D ισούται με το, δηλαδή ενός χώρου με νόρμα λέγεται ολικό στον αν = D. Θεώρημα Έστω χώρος με νόρμα. Τότε ισχύουν τα ακόλουθα. (ι) Ένα φραγμένο δίκτυο ( a) ισχύει ( ) a a A συγκλίνει ασθενώς στο αν και μόνο αν για κάθε D, όπου D ένα ολικό υποσύνολο του (ιι) Αν D είναι ένα ολικό υποσύνολο του τότε, ένα φραγμένο δίκτυο ( a) συγκλίνει ασθενώς στο. a A αν και μόνο αν ισχύει για κάθε D. Απόδειξη. Έστω M > ώστε, M και a M για κάθε a A. Θεωρούμε τυχόν στοιχείο και έστω ( ) μια ακολουθία γραμμικών συνδυασμών στοιχείων του D η οποία συγκλίνει ως προς την νόρμα στο a ( το D είναι πυκνό υποσύνολο του ). Έστω ε > τυχόν θετικός αριθμός τότε υπάρχει N ώστε. < ε για κάθε Έπεται ότι αν a A τότε έχουμε, ( a) ( a) a + a + ε ε M + M + () Επειδή το a είναι γραμμικός συνδυασμός στοιχείων του D ισχύει ότι, lm =. Έτσι αν επιλέξουμε ( το ε αρκετά μικρό και ) a a A a a A ώστε < ε για κάθε a a, το δεξί μέλος της () γίνεται όσο μικρό επιθυμούμε. lm =, δηλαδή Έπεται ότι, ( ) a A a a (ιι) Η απόδειξη αυτή είναι ανάλογη και έτσι παραλείπεται.