Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Transcript

1 Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Κανονική Μορφή Fitting Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών

2

3 26 5. Κανονική Μορφή Fitting Εστω A M n n (K) ένας πίνακας. ακόλουθου Θεωρήµατος : Σκοπός µας στην παρούσα παράγραφο είναι η απόδειξη του Θεώρηµα 5.1. Εστω A M n n (K) ένας πίνακας. Τότε ο A είναι όµοιος µε έναν πίνακα της µορφής B = N όπου ο P είναι αντιστρέψιµος και ο N είναι µηδενοδύναµος. P Η παραπάνω µορφή καλείται µορφή Fitting του πίνακα A. Εστω E ένας K-διανυσµατικός χώρος πεπερασµένης διάστασης υπεράνω του σώµατος K, και f : E E µια γραµµική απεικόνιση. Συµβολίζουµε µε f k = f f f (k-ϕορές) την σύνθεση της f µε τον εαυτό της k-ϕορές, k 1. Υπενθυµίζουµε ότι η f καλείται µηδενοδύναµη αν f k = Αποσύνθεση Fitting. Για να αποδείξουµε το Θεώρηµα 5.1 χρειαζόµαστε πρώτα κάποια προεργασία. Πρόταση 5.2. (1) Υπάρχει µια (αύξουσα) ακολουθία υπόχωρων του E: { 0} Ker(f) Ker(f 2 ) Ker(f k ) Ker(f k+1 ) E (5.1) και ϕυσικός αριθµός µ 0 έτσι ώστε : Ker(f µ ) = Ker(f µ+1 ) = Ker(f µ+2 ) =. (2) Υπάρχει µια (ϕθίνουσα) ακολουθία υποχώρων του E: { 0} Im(f k+1 ) Im(f k ) Im(f 2 ) Im(f) E (5.2) και ϕυσικός αριθµός λ 0 έτσι ώστε : Im(f λ ) = Im(f λ+1 ) = Im(f λ+2 ) =. Απόδειξη. (1) είχνουµε πρώτα ότι Ker(f k ) Ker(f k+1 ), k 0 Εστω x Ker(f k ), δηλαδή f k ( x) = 0. Τότε f(f k ( x)) = 0 και άρα (f f k )( x) = f k+1 ( x) = 0. Άρα x Ker(f k+1 ( x) = 0 και εποµένως Ker(f k ) Ker(f k+1 ). Ετσι έχουµε την ακολουθία υπόχωρων (5.1). Τότε όµως ϑα έχουµε και dim K Ker(f k ) dim K Ker(f k+1 ), k 0 Τότε η ακολουθία υπόχωρων (5.1) επάγει την αύξουσα ακολουθία ϕυσικών αριθµών 0 dim K Ker(f) dim K Ker(f 2 ) dim K Ker(f k ) dim K Ker(f k+1 ) dim K E Επειδή dim K E <, έπεται το σύνολο ϕυσικών αριθµών { dim K Ker(f k ), k 0 } είναι πεπερασµένο. Άρα υπάρχει ϕυσικός µ 0 έτσι ώστε : dim K Ker(f µ ) = dim K Ker(f µ+1 ) = dim K Ker(f µ+2 ) =. Επειδή από την ακολουθία (5.1) έχουµε Ker(f µ ) Ker(f µ+1 ) Ker(f µ+2 ), έπεται ότι : (2) είχνουµε πρώτα ότι Ker(f µ ) = Ker(f µ+1 ) = Ker(f µ+2 ) = Im(f k+1 ) Im(f k ), k 0

4 Εστω x Im(f k+1 ), δηλαδή υπάρχει y E έτσι ώστε : f k+1 ( y) = x. Τότε f k+1 ( y) = (f k f)( y) = f k (f( y)) = x, και άρα x Im(f k ). Ετσι Im(f k+1 ) Im(f k ). Ετσι έχουµε την ακολουθία υπόχωρων (5.2). Τότε όµως ϑα έχουµε και dim K Im(f k+1 ) dim K Im(f k ), k 0 Τότε η ακολουθία υπόχωρων (5.2) επάγει την αύξουσα ακολουθία ϕυσικών αριθµών 0 dim K Im(f k+1 ) dim K Im(f k ) dim K Im(f 2 ) dim K Im(f) dim K E Επειδή dim K E <, έπεται το σύνολο ϕυσικών αριθµών { dim K Im(f k ), k 0 } είναι πεπερασµένο. Άρα υπάρχει ϕυσικός λ 0 έτσι ώστε : = dim K Im(f λ+2 ) = dim K Im(f λ+1 ) = dim K Im(f λ ). Επειδή από τη ακολουθία (5.2) έχουµε Im(f λ+2 ) Im(f λ+1 ) Im(f λ ), έπεται ότι : = Im(f λ+2 ) = Im(f λ+1 ) = Im(f λ ) 27 Λήµµα 5.3. Με τους συµβολισµούς της Πρότασης 5.2, έστω m := max{µ, λ}. 1. f(ker(f m ) Ker(f m ) και άρα η f : E E επάγει µια γραµµική απεικόνιση : f 1 : Ker(f m ) Ker(f m ), f 1 ( x) = f( x) Επιπλέον η f 1 είναι µηδενοδύναµη, δηλαδή f1 r = 0, για κάποιον r f(im(f m ) Im(f m ) και άρα η f : E E επάγει µια γραµµική απεικόνιση : Επιπλέον η f 2 είναι ισοµορφισµός. f 2 : Im(f m ) Im(f m ), f 2 ( x) = f( x) Απόδειξη. (1) Για το 1. ϑα έχουµε : (α) Εστω x Ker(f m ), δηλαδή f m ( x) = 0. Τότε f(f m ( x)) = f( 0) = 0 και άρα f m+1 ( x) = 0, δηλαδή x Ker(f m+1 ). Οµως επειδή m µ, έχουµε Ker(f m+1 ) = Ker(f m ) και άρα x Ker(f m. Εποµένως f(ker(f m )) Ker(f m ). Προφανώς τότε η f επάγει µια γραµµική απεικόνιση f 1 : Ker(f m ) Ker(f m ), ορίζοντας f 1 ( x) = f( x), x Ker(f m ). (ϐ) Εστω x Ker(f m ), δηλαδή f m ( x) = 0. Τότε f1 m+1 ( x = f m+1 ( x) = f(f m ( 0) = f( 0) = 0. Άρα ϑέτοντας r = m + 1 έχουµε f1 r( x) = 0, x Ker(f m ) και εποµένως f1 r = 0, δηλαδή η f 1 είναι µηδενοδύναµη. (2) Για το 2. ϑα έχουµε : (α) Εστω x f(im(f m )), δηλαδή υπάρχει y Im(f m ) έτσι ώστε : f( y) = x. Επειδή y Im(f m ) έπεται ότι υπάρχει z E έτσι ώστε : f m ( z) = y. Τότε x = f( y) = f(f m ( z)) = f m+1 ( z και άρα x Im(f m+1 ). Επειδή m λ, έπεται ότι ϑα έχουµε Im(f m+1 ) = Im(f m ) και άρα x Im(f m. Εποµένως f(im(f m )) Im(f m ). Προφανώς τότε η f επάγει µια γραµµική απεικόνιση f 1 : Im(f m ) Im(f m ), ορίζοντας f 2 ( x) = f( x), x Im(f m ). (ϐ) Εστω y Im(f m ). Επειδή Im(f m ) = Im(f m+1 ), έπεται ότι y Im(f m+1 ) και άρα υπάρχει x E έτσι ώστε : f m+1 ( x) = y. Τότε : y = f m+1 ( x) = f(f m ( x) και ϑέτοντας z := f m ( x) Im(f m ) ϑα έχουµε y = f( z) = f 2 ( z). Αυτό σηµαίνει ότι η f 2 είναι επιµορφισµός. Επειδή dim K Im(f m ) dim K E <, έπεται ότι η f 2 είναι ισοµορφισµός. Θεώρηµα 5.4. Εστω E ένας K-διανυσµατικός χώρος πεπερασµένης διάστασης υπεράνω του σώµατος K. Αν f : E E είναι µια γραµµική απεικόνιση, τότε υπάρχει m 1 έτσι ώστε : E = Ker(f m ) Im(f m ) Απόδειξη. Εστω m = max{µ, λ} όπως στην Πρόταση 5.2 ή στο Λήµµα 5.3.

5 28 (1) είχνουµε πρώτα ότι : Ker(f m ) Im(f m ) = { 0}. Εστω x Ker(f m ) Im(f m ). Τότε f m ( x) = 0 και υπάρχει y E έτσι ώστε f m ( y) = x. Τότε f 2m ( y) = f m (f m ( y)) = f m ( x) = 0 και άρα y Ker(f 2m ). Επειδή Ker(f 2m ) = Ker(f m ), έπεται ότι y Ker(f m ) και άρα x = f m ( y) = 0. Εποµένως Ker(f m ) Im(f m ) = { 0}. (2) είχνουµε ότι : E = Ker(f m ) + Im(f m ). Εστω x E. Τότε f m ( x) Im(f m ). Επειδή Im(f m ) = Im(f 2m ) έπεται ότι f m ( x) Im(f 2m ) και άρα υπάρχει y E έτσι ώστε : f m ( x) = f 2m ( y). Τότε : f m ( x) = f 2m ( y) = f m (f m ( y)) και άρα f m ( x f m ( y)) = 0. Θέτοντας z := x f m ( y) έπεται ότι z Ker(f m ) και x = z + f m ( y, z Ker(f m ), f m ( y) Im(f m ) Η τελευταία σχέση δείχνει ότι : E = Ker(f m ) + Im(f m ). Από τα (1) και (2) έχουµε ότι E = Ker(f m ) Im(f m ). Θεώρηµα 5.5. Εστω E ένας K-διανυσµατικός χώρος πεπερασµένης διάστασης υπεράνω του σώµατος K. Αν f : E E είναι µια γραµµική απεικόνιση, τότε υπάρχει ϐάση B του E έτσι ώστε ο πίνακας της f στην ϐάση B να είναι της µορφής : M B B (f) = N όπου ο P είναι αντιστρέψιµος και ο N είναι µηδενοδύναµος. Απόδειξη. Εστω ο ϕυσικός αριθµός m όπως στο παραπάνω Θεώρηµα 5.3. Τότε ϑα έχουµε E = Ker(f m ) Im(f m ). Από την άλλη πλευρά από την Πρόταση 5.2 η f επάγει έναν ισοµορφισµό και µια µηδενοδύναµη γραµµική απεικόνιση P f 2 : Im(f m ) Im(f m ), f 2 = f Im(f m ) f 1 : Ker(f m ) Ker(f m, f 1 = f Ker(f m ) Εστω B 1 µια ϐάση του υπόχωρου Ker(f m ) και B 2 µια ϐάση του υπόχωρου Im(f m ). Τότε ο πίνακας P := M B 2 B 2 (f 2 ) της f 2 στην ϐάση B 2 ϑα είναι αντιστρέψιµος (επειδή η f 2 είναι ισοµορφσιµός) και ο πίνακας N := M B 1 B 1 (f 1 ) της f 1 στην ϐάση B 1 ϑα είναι µηδενοδύναµος (επειδή η f 1 είναι µηδενοδύναµη. Επειδή το άθροισµα Ker(f m ) + Im(f m ) είναι ευθύ και µας δίνει τον χώρο E, έπεται ότι το σύνολο B = B 1 B 2 είναι µια ϐάση του E. Τότε προφανώς f(b 2 ) Im(f m ) και f(b 1 ) Ker(f m ) και τότε ο πίνακας της f στην ϐάση B ϑα είναι της µορφής M B B (f) = N όπου ο P είναι αντιστρέψιµος και ο N είναι µηδενοδύναµος. P 5.2. Κανονική Μορφή Fitting. Είµαστε τώρα σε ϑέση να αποδείξουµε το Θεώρηµα 5.1. Απόδειξη του Θεωρήµατος 5.1: Θεωρούµε την γραµµική αεπικόνιση f A : K n K n, f A (X) = A X

6 29 Από το Θεώρηµα 5.4 έπεται ότι υπάρχει ϐάση B του K n έτσι ώστε ο πίνακας της f A στην ϐάση B να είναι της µορφής : M B B (f A) = N Επειδή ο πίνακας της f A στην κανονική ϐάση του K n είναι ο A έπεται ότι ο πίνακας A είναι όµοιος µε τον παραπάνω πίνακα. P 5.3. Ευθύ Αθροισµα Γραµµικών Απεικονίσεων και Πινάκων. Εστω E ένας K-διανυσµατικός χώρος υπεράνω του σώµατος K. Υποθέτουµε ότι E = V W και έστω f : V V και g : W W δύο γραµµικές απεικονίσεις. Ορισµός 5.6. Το ευθύ άθροισµα f g των γραµµικών απεικονίσεων f και g ορίζεται να είναι η απεικόνιση f g : E = V W E = V W, (f g)( v + w) = f( v) + g( w) Είναι εύκολο να δει κανείς ότι η f g είναι µια γραµµική απεικόνιση. Εστω A M n n (K) και B M m m (K) δύο τετραγωνικοί πίνακες, ενδεχοµένως διαφορετικού µεγέθους. Ορισµός 5.7. Το ευθύ άθροισµα A B των A M n n (K) και B M m m (K) ορίζεται να είναι ο (n + m) (n + m) πίνακας A B = A B Παράδειγµα 5.8. Εστω E ένας διανυσµατικός χώρος πεπερασµένης διάστασης και υποθέτουµε ότι E = V W, για κάποιους υπόχωρους V, W του E. Εστω f : V V και g : W W δύο γραµµικές απεικονίσεις. Αν B V είναι µαι ϐάση του V και B W είναι µια ϐάση του W, τότε όπως γνωρίζουµε το σύνολο B = B V B W είναι µια ϐάση του E. Εύκολα ϐλέπουµε ότι ϑέτοντας B = M B V B V (f) και C = M B W B (g), έχουµε : W MB B (f g) = B C = B C Παράδειγµα 5.9. Εστω E ένας διανυσµατικός χώρος πεπερασµένης διάστασης και υποθέτουµε ότι E = V W, για κάποιους υπόχωρους V, W του E. Εστω f : E E µια γραµµική απεικόνιση. Υποθέτουµε ότι : f(v) V και f(w) W. Τότε ορίζονται οι περιορισµοί της f στους υπόχωρους V και W: Προφανώς ϑα έχουµε : f V : V V, f W : W W, f = f V f W f V ( v) = f( v) f W ( w) = f( w)

7 30 Θεώρηµα Εστω f : E E µια γραµµική απεικόνιση, όπου dim K E <. Τότε η f µπορεί να γραφεί ώς ευθύ άθροισµα f = g h κατάλληλων γραµµικών απεικονίσεων g : V V και h: W W, όπου V, W είναι υπόχωροι του E, και όπου : (1) η γραµµική απεικόνιση g : V V είναι ισοµορφισµός. (2) η γραµµική απεικόνιση h : W W είναι µηδενοδύναµη, δηλ. h m = 0, για κάποιο m 1. Απόδειξη. Θεωρούµε τον ϕυσικό αριθµό m του Θεωρήµατος 5.4, και ϑέτουµε : Τότε από το Θεώρηµα 5.4 ϑα έχουµε : V := Im(f m ) και W := Im(f m ) E = V W Από το Λήµµα 5.3 έπεται ότι f(v) V και η επαγόµενη γραµµική απεικόνιση f V : V V είναι ισο- µορφισµός, και f(w) W και η επαγόµενη γραµµική απεικόνιση f W : W W είναι µηδενοδύναµη. Θέτοντας g = f V και h = f W, µε χρήση του Παραδείγµατος 5.9 ϑα έχουµε το Ϲητούµενο. Θεώρηµα Εστω A M n n (K) ένας τετραγωνικός πίνακας. Τότε ο A είναι όµοιος µε έναν πίνακα D ο οποίος ώς ευθύ άθροισµα πινάκων : D = B C όπου B M k k (K), C M r r (K), όπου k + r = n, και : (1) ο πίνακας B είναι αντιστρέψιµος. (2) ο πίνακας C είναι µηδενοδύναµος, δηλ. C m = 0, για κάποιο m 1. Απόδειξη. Εφαρµόζουµε το Θεώρηµα 5.10 για την γραµµική απεικόνιση f A : K n K n, Υπάρχουν υπόχωροι V και W του K n έτσι ώστε : K n = V V f A (X) = A X και f A (V) V και f A (W) W. Με χρήση του Παραδείγµατος 5.8 και του Θεωρήµατος 5.11, αν B 1 είναι µια ϐάση του V και B 2 είναι µια ϐάση του W, τότε ϑέτοντας B = B 1 B 2, ϑα έχουµε µια ϐάση του K n στην οποία ο πίνακας D της f A ϑα είναι το ευθύ άθροισµα B C πινάκων, όπου B είναι ένας αντιστρέψιµος k k πίνακας, ο C είναι ένας µηδενοδύναµος r r πίνακας, και k + r = n. Εποµένως ο πίνακας A είναι όµοιος µε τον πίνακα D = B C.

8 Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Τέλος Ενότητας

9 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. Σημειώματα Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης «Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ». Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη. [1]