ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Ημιαπλοί Δακτύλιοι Είδαμε στο κύριο θεώρημα του προηγούμενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισμα απλών προτύπων Εδώ θα χαρακτηρίσουμε όλους τους δακτύλιους με την ιδιότητα αυτή (θεώρημα του Wedderbur) Η κλάση των δακτυλίων αυτών παίζει σημαντικό ρόλο στη θεωρία αναπαραστάσεων πεπερασμένων ομάδων, πράγμα που θα δούμε στο κεφάλαιο 7 Θεώρημα του Wedderbur Ένα -πρότυπο λέγεται ημιαπλό αν είναι ευθύ άθροισμα απλών προτύπων Ο λέγεται ημιαπλός δακτύλιος αν είναι ημιαπλό ως -πρότυπο Δεχόμαστε ότι ο μηδενικός δακτύλιος είναι ημιαπλός Παραδείγματα Κάθε D-πρότυπο είναι ημιαπλό, όπου D είναι δακτύλιος διαίρεσης (Θεώρημα 5) Ειδικά κάθε k- διανυσματικός χώρος (πεπερασμένης ή άπειρης διάστασης) είναι ημιαπλό k-πρότυπο Για κάθε πρώτο αριθμό, το -πρότυπο είναι απλό και άρα ημιαπλό Επίσης και το όπου είναι ημιαπλό 3 Έστω q δυο πρώτοι αριθμοί Τότε το -πρότυπο q ισομορφισμό -προτύπων q q 4 Έστω ένας πρώτος αριθμός Το -πρότυπο είναι ημιαπλό αφού έχουμε έναν δεν είναι ημιαπλό Πράγματι, αν ήταν ημιαπλό θα είχαμε έναν ισομορφισμό -προτύπων της μορφής, όπου κάθε M είναι απλό - πρότυπο Τότε κάθε ισόμορφο με το που είναι άτοπο I IM M θα ήταν ισόμορφο με απλό - υποπρότυπο του, δηλαδή θα ήταν (από την ταξινόμηση υποομάδων πεπερασμένης κυκλικής ομάδας) Τότε 5 Το -πρότυπο είναι ημιαπλό αν και μόνο αν το δεν διαιρείται με το τετράγωνο ακεραίου > (γιατί;) 6 Αν και S είναι ημιαπλοί δακτύλιοι τότε και ο S είναι ημιαπλός Πράγματι, γράφοντας, S S, όπου τα και S είναι απλά ιδεώδη των και S αντίστοιχα, βλέπουμε ότι I J τα απλά ιδεώδη { 0}, S {0} S του S έχουν την ιδιότητα S S I J Μια οικογένεια { M } υποπροτύπων του Μ θα λέγεται ανεξάρτητη αν I m 0 κάθε m 0, m M είναι όλα σχεδόν μηδέν Τότε ορίζεται το εσωτερικό ευθύ άθροισμα σύμφωνα με την Πρόταση και ισχύει M M I Πρόταση ) Κάθε πρότυπο που παράγεται από απλά πρότυπα είναι ημιαπλό ) Έστω 0 L M N 0 μια ακριβής ακολουθία -προτύπων, όπου το Μ είναι ημιαπλό Τότε τα L, N είναι ημιαπλά -πρότυπα και επιπλέον η ακολουθία διασπάται I

2 Απόδειξη: ) Έστω για κάποιο M M, όπου τα M είναι απλά υποπρότυπα του Μ Θα δείξουμε ότι I J I Με τη βοήθεια του λήμματος του Zor, εύκολα επαληθεύεται ότι το σύνολο έχει μέγιστο στοιχείο, έστω J Ισχύει θεωρούμε ένα τυχαίο { J I { M } J M και παρατηρούμε ότι J είναι ανεξάρτητο} 8 M M, M M Πράγματι, M Για την άλλη σχέση, M J M M 0 ή M, J γιατί το M είναι απλό Η πρώτη περίπτωση δεν ισχύει λόγω του μεγίστου του J Συνεπώς M M M J για κάθε I Άρα M M για κάθε και M M ) Έστω κάθε J J : M N ο επιμορφισμός της δοθείσας ακριβούς ακολουθίας Γράφουμε M M, όπου M είναι απλό, και παρατηρούμε ότι ( ) 0 ή ( M ) M Άρα η εικόνα ( M ) N παράγεται M από κάποια απλά πρότυπα, οπότε λόγω του ) είναι ημιαπλό πρότυπο Ο περιορισμός της σε κάθε απλό προσθετέο είναι ισομορφισμός ή μηδενική απεικόνιση Από αυτό έπεται ότι η ακριβής ακολουθία 0 L M N 0 διασπάται (Πρόταση 4) Άρα το Ker L είναι ισόμορφο με ευθύ προσθετέο του Μ και συνεπώς είναι ισόμορφο με πηλίκο του M Από αυτό που αποδείξαμε πριν, έπεται ότι το L είναι ημιαπλό I J Σημειώνουμε ότι, σύμφωνα με την προηγούμενη πρόταση, κάθε υποπρότυπο και κάθε πηλίκο ημιαπλού προτύπου είναι ημιαπλό πρότυπο Τονίζουμε ότι δεν ισχύει το αντίστροφο του πρώτου ισχυρισμού της Πρότασης ) Για παράδειγμα, αν είναι πρώτος, το -πρότυπο δεν είναι ημιαπλό ενώ το είναι ημιαπλό και έχουμε την ακριβή ακολουθία Θεώρημα Weddebur Για κάθε δακτύλιο οι παρακάτω συνθήκες είναι ισοδύναμες ) είναι ημιαπλός ) κάθε -πρότυπο είναι ημιαπλό 3) κάθε ακριβής ακολουθία 0 A B C 0 -προτύπων διασπάται 4) κάθε -πρότυπο είναι προβολικό 5) κάθε -πρότυπο είναι εμφυτευτικό 6) ως δακτύλιοι M ( D ) M ( D ), όπου κάθε D είναι δακτύλιος διαίρεσης Απόδειξη )) Από την υπόθεση και την Πρόταση 3 ) κάθε ελεύθερο -πρότυπο είναι ημιαπλό Από την Πρόταση 3 ) προκύπτει ότι κάθε -πρότυπο είναι ημιαπλό )3) Επειδή το Β είναι ημιαπλό, η ακριβής ακολουθία 0 A B C 0 διασπάται σύμφωνα με την Πρόταση ) 3)) Παρατήρηση: Με την υπόθεση 3) ισχύει ότι κάθε ιδεώδες I 0 του περιέχει ένα απλό ιδεώδες Απόδειξη: Έστω a I, a 0 Έστω ότι το κύριο ιδεώδες (a) δεν είναι απλό Τότε υπάρχει ιδεώδες J με

3 0 J ( a) Χρησιμοποιώντας το λήμμα του Zor, συμπεραίνουμε ότι υπάρχει μέγιστο τέτοιο J (Η απόδειξη είναι πανομοιότυπη με αυτή της Πρότασης 4 με την παρατήρηση ότι το ρόλο του παίζει εδώ το α) Η ακριβής ακολουθία -προτύπων 0 J ( a) ( a) / J 0 διασπάται σύμφωνα με την υπόθεση Έτσι το ( a ) / J είναι ισόμορφο ως -πρότυπο με ιδεώδες του, που είναι απλό λόγω του μεγίστου του J Επιστρέφουμε τώρα στην απόδειξη 3) ) Έστω Ι το ιδεώδες που παράγεται απ όλα τα απλά ιδεώδη του Είναι I 0 λόγω της παρατήρησης Από την ακριβή ακολουθία 0 I / I 0 και την υπόθεση παίρνουμε ότι το / I είναι ισόμορφο με ιδεώδες J του Ισχύει I J 0, γιατί η προηγούμενη ακολουθία διασπάται Αν J 0, η παρατήρηση μας πληροφορεί ότι το J περιέχει απλό ιδεώδες και κατά συνέπεια ο ορισμός του I δίνει I J 0, άτοπο Άρα / I 0, δηλαδή I Από τον ορισμό του Ι και την Πρόταση ) παίρνουμε ότι το είναι ημιαπλός ( 3) (4) (5) Έπεται αμέσως από την Πρόταση 33 ) και τον ορισμό στη Σημείωση 36 ( ) (6) Ξεκινάμε με τρεις απλές παρατηρήσεις o α) Υπάρχει ισομορφισμός δακτυλίων Ed ( ), r f, όπου ( a) ar (πολλαπλασιασμός από δεξιά), a, r (Άσκηση 3) β) Έστω Μ ένα -πρότυπο Τότε υπάρχει ισομορφισμός δακτυλίων Ed ( M ) M ( Ed ( M )) Πράγματι, αν Ed ( M ) θέτουμε Ed (M), ε : M M M M M όπου ε ( m) (0,, m,,0) είναι η εμφύτευση στη συνιστώσα και π ( m,, m ) m είναι η προβολή στην συνιστώσα Ορίζεται έτσι ομομορφισμός δακτυλίων Φ : Ed ( M ) M ( Ed ( M )), ) ( ) Στην αντίθετη κατεύθυνση ορίζουμε ομομορφισμό δακτυλίων Ψ : M ( Ed ( M )) Ed ( M r f r π ( ), ( f m όπου, f ( m,, m ) fk ( mk ),, f k ( mk ) (Συμβολικά, f ( m,, m ) ( f ) k k m πολλαπλασιασμός πινάκων) Είναι θέμα ρουτίνας να επαληθεύσουμε ότι οι συνθέσεις Φ Ψ και Ψ Φ είναι οι αντίστοιχες ταυτοτικές συναρτήσεις γ) Έστω Μ, Ν δυο -πρότυπα με Hom ( M, N) Hom ( N, M ) 0 Τότε υπάρχει ισομορφισμός δακτυλίων Ed ( M N) Ed ( M) Ed ( N) Πράγματι, λόγω της Πρότασης και της υπόθεσης στα M, Ν υπάρχει ισομορφισμός αβελιανών ομάδων Ed ( M N) Ed ( M) Ed ( N) Αυτός ο συγκεκριμένος ) ισομορφισμός (δες την απόδειξη της Πρότασης ) εύκολα επαληθεύεται ότι είναι ισομορφισμός δακτυλίων Επιστρέφουμε τώρα στην απόδειξη ( ) (6) Έστω M, όπου τα M είναι απλά ιδεώδη Επειδή το είναι πεπερασμένα παραγόμενο -πρότυπο το ίδιο συμβαίνει για το I f I 9 M Άρα μόνο πεπερασμένου

4 πλήθους συνιστώσες του γράψουμε M είναι μη-μηδενικές, δηλαδή το Ι είναι πεπερασμένο Μπορούμε έτσι να I Έχουμε τώρα διαδοχικά ισομορφισμούς δακτυλίων o ( ) o ( Ed ( )) o (παρατήρηση α) o Ed M o M όπου M M Ed ( M ) (γιατί Hom ( M, M ) 0 αν Παρατήρηση γ) ( ) o Ed M ( S) o o S o o M ( Ed ( M ) ) (παρατήρηση β και άσκηση 33 )) Από το λήμμα του Schur (Λήμμα 7), κάθε Ed ) είναι δακτύλιος διαίρεσης και συνεπώς κάθε o D : Ed ( M ) είναι δακτύλιος διαίρεσης Έχουμε ( 6) () ( M M ( D ) Λόγω του Παραδείγματος 6), για να δείξουμε ότι ( 6) () αρκεί να δείξουμε ότι: D δακτύλιος διαίρεσης M (D) ημιαπλός δακτύλιος Έστω I k το (αριστερό) ιδεώδες του M (D) που αποτελείται από πίνακες της μορφής 0 a 0 0 a 0 όπου τα a υπάρχουν στην k στήλη Προφανώς M ( D) I I Θα δείξουμε ότι κάθε I k είναι απλό Έστω ( ) I k, α 0, και β I k Με E συμβολίζουμε τον εκτός από τη θέση (, ), όπου το στοιχείο είναι Ισχύει Αν γράψουμε ότι β β E k E E q 0 E q,, αν αν 0 πίνακα που έχει μηδέν παντού, τότε εύκολα ελέγχουμε με τη βοήθεια των προηγουμένων σχέσεων (άσκηση) β β Άρα το I k παράγεται σαν ιδεώδες από το τυχαίο μη μηδενικό στοιχείο του Η απόδειξη είναι πλήρης α 0k E 0 α Σημειώνουμε ότι η συνθήκη 6) στο Θεώρημα του Wedderbur είναι ιδιαίτερα σημαντική καθώς μας παρέχει πληροφορίες για τη δομή του δακτυλίου

5 4 Παρατήρηση Στην προηγούμενη απόδειξη, είδαμε ότι για κάθε ημιαπλό δακτύλιο υπάρχουν απλά ιδεώδη I,, I k με I Ik Εφαρμογή: Θεώρημα του Μachke Το επόμενο αποτέλεσμα μας πληροφορεί πότε ο δακτύλιος k [G] μιας πεπερασμένης ομάδας G, όπου k είναι σώμα, είναι ημιαπλός, πράγμα που θα χρησιμοποιηθεί στο κεφάλαιο 7 Θεώρημα (Machke) Έστω G μια πεπερασμένη ομάδα τάξης και k σώμα χαρακτηριστικής Αν 0 ή αν 0 και το δεν διαιρεί το, τότε ο δακτύλιος k [G] είναι ημιαπλός Αντίστροφα, αν διαιρεί το, τότε ο δακτύλιος k [G] δεν είναι ημιαπλός Απόδειξη: "" Έστω α 0 A B C 0 (*) μια ακριβής ακολουθία k[g]-προτύπων Θα δείξουμε ότι διασπάται (Θεώρημα 3 3)) Θεωρώντας την (*) ως ακολουθία k-διανυσματικών χώρων αυτή διασπάται (για παράδειγμα, βλ Πρόταση 3) Έτσι υπάρχει k-γραμμική απεικόνιση β : C B με την ιδιότητα C Από την β κατασκευάζουμε έναν ομομορφισμό k[g] -προτύπων β : C B, β( c) β( c) Παρατηρούμε εδώ ότι στο k έχουμε 0 λόγω της υπόθεσης στο Η απεικόνιση β είναι πράγματι ομομορφισμός k[g]-προτύπων, γιατί αν β ( hc) β( hc) G h h β( hc) G h β (( ) c) G h( β( c)) h G τότε Δηλαδή β( hc) hβ( c) για κάθε h G και c G Επειδή η β είναι προφανώς προσθετική προκύπτει ότι η β είναι ομομορφισμός k[g]-προτύπων Τέλος έχουμε, γιατί αν c k[ G] τότε β β( c) β( β( c)) G β G (γιατί καθώς το διατρέχει τη G, το h διατρέχει τη G) ( ββ( G c)) (γιατί β είναι ομομορφισμός k[g]-προτύπων) C ( G ( c) c c) Η ιδέα είναι να αντικαταστήσουμε την απεικόνιση, που είναι μόνο ομομορφισμός k προτύπων, με άλλη που είναι ομομορφισμός kg [ ]- προτύπων Αυτό επιτυγχάνεται λαμβάνοντας το μέσο όρο της υπεράνω της ομάδας G

6 "" Έστω τώρα ότι το 0 διαιρεί το Θεωρούμε το k ως k[g]-πρότυπο, r v r v G G κάθε v k Θα δείξουμε ότι ακριβής ακολουθία 0 ker ε k[ G] k 0 ε για δεν διασπάται, όπου ε : k[ G] k είναι ο ομομορφισμός k[g]-προτύπων ε r r Έστω για G G άτοπο ότι υπάρχει ομομορφισμός k[g]-προτύπων ε : k kg με εε k και έστω ε ( ) r Τότε για κάθε Συνεπώς h G ισχύει ε ( ) ε ( h ) hε () h r Άρα r G G r h r για κάθε h G G r για κάθε, G (γιατί;) Άρα υπάρχει r k με ε ( ) r G Όμως τότε εε( ) rε r 0, που είναι άτοπο γιατί εε k G G 3 Παρατηρήσεις στο Θεώρημα του Wedderbur Έστω ένας ημιαπλός δακτύλιος Από το θεώρημα του Wedderbur έχουμε M ( D ) M ( D ), όπου κάθε D είναι δακτύλιος διαίρεσης Είναι οι ακέραιοι,,, μονοσήμαντα ορισμένοι; Ένας δακτύλιος 0 λέγεται απλός αν δεν έχει αμφίπλευρα ιδεώδη 0, Σημειώνουμε ότι, αν είναι απλός, τότε δεν έπεται αναγκαστικά ότι είναι απλό -πρότυπο Αν όμως είναι απλό -πρότυπο, τότε είναι απλός δακτύλιος Για παράδειγμα κάθε δακτύλιος διαίρεσης είναι απλός Πιο γενικά έχουμε: 3 Λήμμα Ο M (D) είναι απλός αν ο D είναι δακτύλιος διαίρεσης Απόδειξη: Έστω I 0 αμφίπλευρο ιδεώδες του Θα δείξουμε ότι I Έστω α ( α ) I με α 0 Τότε α ke 0 για κάποιους δείκτες k, Για τους στοιχειώδεις πίνακες E ισχύει Γράφοντας α E α, Άρα το Ι περιέχει το κάθε, Άρα I Αν 0, αν E E q (*) Eq, αν παίρνουμε από την προηγούμενη σχέση E α E E ) E α E E α kαek ( k k k k k Ek, k αk Ek και συνεπώς το E α ( α E ) Από την (*) προκύπτει ότι E I για k M ( D ) M ( D ) όπως στο Θεώρημα του Wedderbur, τότε, όπου κάθε ( ) M D είναι αμφίπλευρο ιδεώδες του και επιπλέον απλός δακτύλιος από το προηγούμενο λήμμα 3 Λήμμα Έστω m και όπου τα και k k είναι αμφίπλευρα ιδεώδη του Αν

7 οι και απλοί δακτύλιοι, τότε m 3 Απόδειξη: Μια γενική παρατήρηση (άσκηση): Κάθε αμφίπλευρο ιδεώδες I του είναι της μορφής I I I, όπου I αμφίπλευρο ιδεώδες του Έχουμε ισομορφισμό δακτυλίων m Έστω m Θα δείξουμε ότι m με επαγωγή στο m Για m έχουμε ισομορφισμό και επειδή ο είναι απλός παίρνουμε ότι ο είναι απλός, οπότε Έστω m Η εικόνα του 0 0 είναι αμφίπλευρο ιδεώδες του, άρα της μορφής I I σύμφωνα με την παρατήρηση Επειδή ο 0 0 είναι απλός, η εικόνα είναι της μορφής 0 I 0 και επειδή ο k είναι απλός η εικόνα είναι 0 0 Από τον ισομορφισμό k m m επάγεται ισομορφισμός, δηλαδή ισομορφισμός Από την επαγωγική υπόθεση m m k k Τα δύο προηγούμενα λήμματα δίνουν αμέσως το εξής: 33 Πόρισμα Έστω ένας ημιαπλός δακτύλιος οπότε M ( D ) M ( D ) όπου κάθε D είναι δακτύλιος διαίρεσης Τότε ο αριθμός είναι μονοσήμαντα ορισμένος Το στο παραπάνω πόρισμα είναι ο αριθμός των απλών συνιστωσών του Θα δώσουμε παρακάτω ένα άλλο χαρακτηρισμό του (Πρόταση 35) που θα βρει εφαρμογή στην απόδειξη του Θεωρήματος 33 Έστω I, I ιδεώδη των δακτυλίων, αντίστοιχα Τα σύνολα I 0 και 0 I είναι - πρότυπα (ως ιδεώδη του ) 34 Λήμμα Με τους προηγούμενους συμβολισμούς ισχύει ότι κάθε ομομορφισμός -προτύπων I 0 I είναι ο μηδενικός 0 Απόδειξη: Έστω ομομορφισμός -προτύπων, φ: I 0 0 I και r Αν φ( r,0) (0, r ), τότε φ r,0) φ(( e,0)( r,0) ( e,0) φ( r,0) ( e,0)(0, r ) (0,0), όπου e είναι το μοναδιαίο στοιχείο του ( k k 35 Πρόταση Έστω ένας ημιαπλός δακτύλιος οπότε M ( D ) M ( D ), όπου κάθε είναι D είναι δακτύλιος διαίρεσης Tότε το πλήθος των ανά δύο μη ισόμορφων απλών -προτύπων Απόδειξη: Πρώτα θα δείξουμε ότι ο έχει τουλάχιστον ανά δύο μη ισόμορφα απλά πρότυπα Έστω V το απλό ( D ) -πρότυπο που αποτελείται από πίνακες της μορφής M

8 4 στήλη 0 0 a a 0 M 0 ( D ) (Το ότι το V είναι απλό αποδείχτηκε στο (6) () του Θεωρήματος του Wedderbur) Έστω V 0 V 0 M ( D ) M ( D όπου το V βρίσκεται στην συνιστώσα Τότε βέβαια το V είναι απλό M ( D ) M ( D ) ) Από το Λήμμα 34 (με την προφανή γενίκευση για πεπερασμένο πλήθος συνιστώσες V V για -πρότυπο ) προκύπτει ότι Θα δείξουμε τώρα ότι ο έχει το πολύ ανά δύο μη ισόμορφα απλά πρότυπα Έστω V απλό - πρότυπο Επειδή ισχύει M D ) V V και παίρνουμε ( V V ως ( D ) M -πρότυπα V V (**) Επειδή τώρα το V είναι απλό θα είναι πηλίκο του (άσκηση ) και συνεπώς πηλίκο του δεξιού σκέλους της (**) Η Πρόταση ), το γεγονός ότι τα V είναι απλά και το γεγονός ότι το V είναι απλό δίνουν ότι το V είναι ισόμορφο με ένα από τα V Γνωρίζουμε λοιπόν ότι σε έναν ημιαπλό δακτύλιο, κάθε απλή συνιστώσα του M ( D ) συνεισφέρει ακριβώς ένα απλό -πρότυπο ισόμορφων απλών -προτύπων V και το σύνολο αυτών είναι ακριβώς ένα σύνολο των ανά δύο μη 36 Πόρισμα Έστω ημιαπλός δακτύλιος οπότε M ( D ) M ( D ), όπου κάθε D είναι δακτύλιος διαίρεσης Έστω V,,V τα αντίστοιχα απλά -πρότυπα Τότε για κάθε o υπάρχει ισομορφισμός δακτυλίων Ed ( V ) D και συνεπώς οι D είναι μονοσήμαντα ορισμένοι dm V D, και συνεπώς οι αριθμοί είναι μονοσήμαντα ορισμένοι o Απόδειξη: Για τον ισομορφισμό Ed ( V ) D βλ άσκηση 6 Η σχέση dm D V είναι σαφής Εφαρμογή στις πεπερασμένες ομάδας Χρειαζόμαστε την ακόλουθη εκδοχή του Λήμματος του Schur 37 Πρόταση Έστω μια k-άλγεβρα, όπου k αλγεβρικά κλειστό σώμα, και Μ ένα απλό -πρότυπο με

9 dm k M Τότε Ed ( M ) k 5 Απόδειξη: Έστω f Ed ( M) Ως γραμμική απεικόνιση πεπερασμένης διάστασης διανυσματικού χώρου πάνω από αλγεβρικά κλειστό σώμα, η f έχει ιδιοτιμή f k Τότε f Ed ( M ) Επειδή το M f M είναι απλό -πρότυπο, έχουμε ker( f f M) M, οπότε f f M Είναι σαφές ότι η απεικόνιση f f είναι ισομορφισμός δακτυλίων Αν στην απόδειξη του θεωρήματος Wedderbur,) 6), χρησιμοποιήσουμε την προηγούμενη πρόταση στη θέση του Λήμματος του Schur, παίρνουμε το εξής αποτέλεσμα Έστω k αλγεβρικά κλειστό σώμα και k -άλγεβρα με dmk Αν ο είναι ημιαπλός, τότε υπάρχει ισομορφισμός k -αλγεβρών M ( ) ( ) k M k Ειδικά για άλγεβρες ομάδων έχουμε: 38 Πόρισμα Έστω k ένα αλγεβρικά κλειστό σώμα και G μια πεπερασμένη ομάδα τέτοια ώστε ο δακτύλιος kg [ ] είναι ημιαπλός Τότε ) ) k[ G] M ( k) M ( k) (ως k -άλγεβρες),,, όπου G ) πλήθος των ανά δύο μη ισόμορφων απλών kg [ ] προτύπων, v),, είναι οι διαστάσεις των δύο μη ισόμορφων απλών kg [ ] προτύπων Απόδειξη: Τα ), ) και v) είναι γνωστά Το ) προκύπτει από το ) λαμβάνοντας διαστάσεις k -χώρων 39 Παραδείγματα ) Έστω G μια αβελιανή ομάδα με G Τότε [ G] ( φορές) Πράγματι, από το Θεώρημα του Machke, o δακτύλιος [ G ] είναι ημιαπλός Επειδή το κλειστό, η Πρόταση 38 δίνει [ G] M ( ) M ( ) Επειδή η G είναι αβελιανή παίρνουμε Αφού dm [ G] έχουμε και [ G] ( φορές) είναι αλγεβρικά Σημείωση: Στο παράδειγμα αυτό φαίνεται ότι υπάρχει ισομορφισμός αλγεβρών [ 4] [ ] αν και οι ομάδες 4, δεν είναι ισόμορφες ) Έστω G μια μη αβελιανή ομάδα τάξης 8 Τότε [ G] M( ) Πράγματι, όπως πριν έχουμε [ G] M ( ) M ( ) Από την Πρόταση 38 ) παίρνουμε ότι 8 οπότε έχουμε τις εξής περιπτώσεις ) 8 ) ), 4 5 Η περίπτωση ) απορρίπτεται γιατί η G δεν είναι αβελιανή Η περίπτωση ) απορρίπτεται γιατί κάποιο πρέπει να είναι ίσο με σύμφωνα με το Πόρισμα 36, αφού υπάρχει απλό [ G] -πρότυπο διάστασης : το με εξωτερικό πολλαπλασιασμό r v r v G G Θεωρήματος του Machke) Από την περίπτωση ) προκύπτει το ζητούμενο για κάθε v (βλ την απόδειξη του ' ' του

10 3) Εδώ θεωρούμε κυκλική ομάδα G τάξης 4 Για k από το Παράδειγμα έχουμε 6 Για το σώμα k ισχύει [ G] 4 [ G] [ x] ( x ) σύμφωνα με ην άσκηση 4 Επειδή έχουμε την ανάλυση 4 x ( x )( x )( x ) σε γινόμενο αναγώγων στο [ x ], to Κινεζικο θεωρημα υπολοίπων (βλ άσκηση 7) δίνει 4 [ x] ( x ) [ x] ( x ) [ x] ( x ) [ x] ( x ) και άρα [ G] ( ) Ασκήσεις (Οι άνω τριγωνικοί πίνακες δεν είναι γενικά ημιαπλοί δακτύλιοι) a b Έστω a, b, c 0 c Αποδείξτε ότι ο δεν είναι ημιαπλός Υπόδειξη: Ένας τρόπος είναι να θέσουμε M με εξωτερικό πολλαπλασιασμό τον a b x ax by πολλαπλασιασμό πινάκων Έστω L το υποπρότυπο του Μ που παράγεται από 0 c y cy το Τότε η ακριβής ακολουθία 0 L M M / L 0 δεν διασπάται 0 Έστω Μ ένα πεπερασμένο παραγόμενο D-πρότυπο, όπου D δακτύλιος διαίρεσης Ποιά μορφή έχουν τα Ed D (M ) -πρότυπα; Υπόδειξη: Αποδείξτε ότι ο Ed D (M ) είναι δακτύλιος πινάκων με στοιχεία από δακτύλιο διαίρεσης και εφαρμόστε αποτελέσματα σχετικά με τη θεωρία των δακτυλίων αυτών 3 Ποιοι από τους παρακάτω δακτύλιους είναι ημιαπλοί; Για του ημιαπλούς δακτύλιους ποιά μορφή έχουν ετα απλά πρότυπα; ), ), 3) [ x ], 4) [ xy,, ] 5) [ x]/( x ) Υπόδειξη για το [ x ]: ένας από τους πολλούς τρόπους απόδειξης είναι να παρατηρήσουμε ότι αν ήταν ημιαπλός, τότε από το Θεώρημα του Wedderbur έπεται ότι, και άρα ο [ x ] είναι δακτύλιος διαίρεσης, άτοπο 4 Ένα -πρότυπο είναι ημιαπλό αν και μόνο αν κάθε κυκλικό υποπρότυπό του είναι ημιαπλό 5 ) Αν ο είναι ημιαπλός, τότε το κέντρο του είναι ημιαπλός δακτύλιος Υπόδειξη: Άσκηση 0 ) Κάθε μεταθετικός ημιαπλός δακτύλιος είναι ευθύ γινόμενο σωμάτων 6 ) Αληθεύει ότι γενικά μη μηδενικός υποδακτύλιος ημιαπλού δακτυλίου είναι ημιαπλός; ) Αποδείξτε ότι κάθε μη μηδενική επιμορφική εικόνα ημιαπλού δακτυλίου είναι ημιαπλός 7 Έστω k σώμα και G πεπερασμένη ομάδα Ο δακτύλιος k[g] είναι ημιαπλός αν και μόνο αν το k είναι προβολικό k[g]-πρότυπο Υπόδειξη: Βλ την απόδειξη του Θεωρήματος του Machke 8 ) Αληθεύει ότι για κάθε ακέραιο υπάρχει πεπερασμένος ημιαπλός δακτύλιος τάξης ; 4 ) Να ταξινομηθούν ως προς ισομορφισμό οι ημιαπλοί δακτύλιοι τάξης 5 9 Έστω M ( D ) M ( D ) ημιαπλός δακτύλιος Τότε υπάρχουν στοιχεία e,, e στο με τις ιδιότητες

11 e e, e e 0 για, e e, e v v για κάθε ν στο D ), και e M ( ) 0 D M ( 0 Ένας δακτύλιος λέγεται δεξιά ημιαπλός αν είναι ευθύ άθροισμα απλών δεξιών ιδεωδών Αποδείξετε ότι ένας δακτύλιος είναι δεξιά ημιαπλός αν και μόνο αν είναι (αριστερά) ημιαπλός Ποιά είναι τα απλά δεξιά ιδεώδη του M (D), όπου D δακτύλιος διαίρεσης; Αν Μ είναι ένα -πρότυπο, συμβολίζουμε με oc ( M ) (το βάθρο του Μ) το υποπρότυπο του Μ που παράγεται από τα απλά υποπρότυπα του Μ Αν το Μ δεν έχει απλά υποπρότυπα θέτουμε oc ( M) 0 Παρατηρούμε ότι ένα μη μηδενικό Μ είναι ημιαπλό αν και μόνο αν oc ( M) M Ποια είναι τα oc ( ), oc ( ) όπου πρώτος, oc ( ) ; Ένα ημιαπλό πρότυπο είναι πεπερασμένα παραγόμενο αν και μόνο αν είναι ευθύ άθροισμα πεπερασμένου πλήθους απλών προτύπων 7 3 Αν το Μ είναι πεπερασμένα παραγόμενο ημιαπλό -πρότυπο, τότε ο δακτύλιος Ed ( ) M είναι ημιαπλός Υπόδειξη: Υπολογίστε τον Ed ( M ) (Bλαπόδειξη )6) του Θεωρήματος του Wedderbur) 4 Έστω ένας ημιαπλός δακτύλιος ) Η γραφή κάθε πεπερασμένα παραγόμενου -προτύπου ως ευθύ άθροισμα απλών προτύπων είναι ουσιαστικά μοναδική ) Η τάξη ελεύθερου -προτύπου είναι καλά ορισμένη 5 ) Να βρεθούν όλοι οι ημιαπλοί δακτύλιοι το κέντρο των οποίων είναι σώμα ) Αποδείξτε ότι το κέντρο της [ S 3] έχει διάσταση 3, όπου S 3 είναι η ομάδα μεταθέσεων 3 συμβόλων ) Έστω G μια ομάδα τάξης 0 για την οποία η άλγεβρα [ G ] έχει τουλάχιστον 8 ανά δύο μη ισόμορφα απλά πρότυπα Αποδείξτε ότι G 0 6 Έστω D ένας δακτύλιος διαίρεσης και ένας θετικός ακέραιος Θεωρούμε το δακτύλιο M ( D) και v το -πρότυπο V v Dμε εξωτερικό πολλαπλασιασμό τον πολλαπλασιασμό πινάκων v o ) Αποδείξτε ότι η απεικόνιση : D Ed ( V), ( d)( v) vd είναι μονομορφισμός δακτυλίων ) Αποδείξτε ότι η Φ είναι επί 0 Υπόδειξη: Ένας οικονομικός τρόπος είναι ο εξής Έστω v V Επειδή ως -πρότυπο, το V 0 είναι απλό, βλ απόδειξη του Θεωρήματος Wedderbur, έχουμε V () v Αν f Ed ( V), τότε η f καθορίζεται από την εικόνα () f v και έχουμε f ( v) f E v E f ( v) dv vd ( dv), για

12 κάποιο d D (Σημείωση: Η ίδια ιδέα εφαρμόζει και στην άσκηση 9 ) 7 Αν ο είναι ημιαπλός δακτύλιος, τότε και ο M ( ) είναι ημιαπλός 8 Έστω k σώμα και A M ( k) Με ka [ ] συμβολίζουμε τον υποδακτύλιο m 0 m { a I a A a A m, a k} του A M ( k) ) Δείξτε ότι αν ο A είναι διαγωνίσιμος, τότε ο ka [ ] είναι ημιαπλός ) Για και A αληθεύει ότι ka [ ] είναι ημιαπλός; 0 ) Δείξτε ότι αν το k είναι αλγεβρικά κλειστό, τότε ισχύει το αντίστροφο του ) 8

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό θα υπενθυμίσουμε τις βασικές έννοιες που αφορούν πρότυπα πάνω από ένα δακτύλιο Θα περιοριστούμε στα πλέον απαραίτητα για αυτά που ακολουθούν στα άλλα κεφάλαια Η κατευθυντήρια

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάμε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων Αυτές συνδέονται μεταξύ τους με την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Στο κεφάλαιο αυτό μελετάμε δακτυλίους του Art χρησιμοποιώντας το ριζικό του Jacobso. Ως εφαρμογή αποδεικνύουμε ότι κάθε δακτύλιος του Art είναι και της Noether. 4.1. Δακτύλιοι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο.

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο. Κεφάλαιο Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο Ορισμοί και Παραδείγματα Παραδοχές Στo βιβλίο αυτό θα κάνουμε τις εξής παραδοχές Χρησιμοποιούμε προσθετικό συμβολισμό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες Χρησιμοποιώντας τανυστικά γινόμενα και εφαρμόζοντας το θεώρημα των Wedderbur-Art ( 33) θα αποδείξουμε δύο θεμελιώδη θεωρήματα που αφορούν κεντρικές απλές άλγεβρες *

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες Χρησιμοποιώντας τανυστικά γινόμενα και εφαρμόζοντας το θεώρημα των Wedderbur-rt ( 33) θα αποδείξουμε δύο θεμελιώδη θεωρήματα που αφορούν κεντρικές απλές άλγεβρες θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρμογή: Το θεώρημα του Burnside

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρμογή: Το θεώρημα του Burnside ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρμογή: Το θεώρημα του Bursde a b Θα αποδείξουμε εδώ ότι κάθε ομάδα τάξης pq ( p, q πρώτοι) είναι επιλύσιμη Το θεώρημα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιμοποίησε τη νέα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασμένων Ομάδων Ι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασμένων Ομάδων Ι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασμένων Ομάδων Ι Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Weddebu για ημιαπλούς δακτυλίους, αναπτύσσουμε εδώ τις πρώτες προτάσεις από τη θεωρία των αναπαραστάσεων και αρακτήρων πεπερασμένων

Διαβάστε περισσότερα

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 3. Στις παρακάτω ασκήσεις κάθε δακτύλιος είναι μη τετριμμένος μεταθετικός δακτύλιος. N ( a)

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 3. Στις παρακάτω ασκήσεις κάθε δακτύλιος είναι μη τετριμμένος μεταθετικός δακτύλιος. N ( a) 11 Δακτύλιοι και Πρότυπα 2016-17 Ασκήσεις 3 Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα3, Ελεύθερα πρότυπα Στις παρακάτω ασκήσεις κάθε δακτύλιος είναι μη τετριμμένος μεταθετικός δακτύλιος 1 Δείξτε ότι το

Διαβάστε περισσότερα

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 2. όπου a (4 i) (1 2 i), b i. Στη συνέχεια βρείτε κάθε τέτοιο d. b. Δείξτε ότι [ i] (4 i)

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 2. όπου a (4 i) (1 2 i), b i. Στη συνέχεια βρείτε κάθε τέτοιο d. b. Δείξτε ότι [ i] (4 i) 6 Δακτύλιοι και Πρότυπα 016-17 Ασκήσεις Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα, Περιοχές κυρίων ιδεωδών. 1. Θεωρούμε το δακτύλιο [ i]. a. Βρείτε ένα d [ i] με ( a, b) d, όπου a (4 i) (1 i), b 16 1 i.

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή )

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή ) Θεωρία Galos Πρόχειρες σημειώσεις 0- (εκδοχή -7-0) Περιεχόμενα 0 Υπενθυμίσεις και συμπληρώματα Ανάγωγα πολυώνυμα Ανάγωγα πολυώνυμα και σώματα Χαρακτηριστική σώματος Απλές ρίζες πολυωνύμων Ασκήσεις 0 Επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015.

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες άρα

Διαβάστε περισσότερα

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 6. Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα6, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα.

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 6. Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα6, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα. Δακτύλιοι και Πρότυπα 0-7 Ασκήσεις Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα Βρείτε τη ρητή κανονική μορφή και μια κανονική μορφή Jorda του M( ) 0 0 Έστω

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι κάθε ηµιαπλός δακτύλιος είναι δακτύλιος του Art. Επειδή υπάρχουν παραδείγµατα δακτυλίων του Art που δεν είναι ηµιαπλοί, πχ Z 2, > 1, τίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Πορίσματα της Κανονικής Μορφής Smith (συμπλήρωμα για την Ενότητα 4)

Πορίσματα της Κανονικής Μορφής Smith (συμπλήρωμα για την Ενότητα 4) Πορίσματα της Κανονικής Μορφής Smh (συμπλήρωμα για την Ενότητα 4 Θα δείξουμε εδώ ότι από την κανονική μορφή Smh πινάκων πάνω από περιοχή κυρίων ιδεωδών R, έπονται τα εξής Το Θεώρημα Βάσεων Το Θεώρημα Ανάλυσης

Διαβάστε περισσότερα

Βασική Άλγεβρα. Ασκήσεις (εκδοχή )

Βασική Άλγεβρα. Ασκήσεις (εκδοχή ) Βασική Άλγεβρα Ασκήσεις 05-6 (εκδοχή 8--05) Βασική Άλγεβρα Ασκήσεις Υποδείξεις/Απαντήσεις Περιεχόμενα σελίδα Ασκήσεις Διαιρετότητα στους ακέραιους, ισοτιμίες Ασκήσεις Ακέραιοι odulo, Θεώρημα του Euler

Διαβάστε περισσότερα

,..., v n. W πεπερασμένα παραγόμενοι και dimv. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα f είναι ισομορφιμός. f είναι 1-1. f είναι επί.

,..., v n. W πεπερασμένα παραγόμενοι και dimv. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα f είναι ισομορφιμός. f είναι 1-1. f είναι επί. Γραμμική Άλγεβρα Ι, 07-8 Ασκήσεις7: Γραμμικές Απεικονίσεις Βασικά σημεία Ορισμός και παραδείγματα γραμμικών απεικονίσεων Σύνθεση γραμμικών απεικονίσεων, ισομορφισμοί Κάθε γραμμική απεικόνιση f : V W, όπου

Διαβάστε περισσότερα

G 1 = G/H. I 3 = {f R : f(1) = 2f(2) ή f(1) = 3f(2)}. I 5 = {f R : f(1) = 0}.

G 1 = G/H. I 3 = {f R : f(1) = 2f(2) ή f(1) = 3f(2)}. I 5 = {f R : f(1) = 0}. Αλγεβρα ΙΙ, Εαρινο Εξαμηνο 2017 18 Ασκησεις που συζητηθηκαν στο φροντιστηριο Φροντιστήριο 1. 1. Δίνεται η ομάδα G = Z 4 Z 8, το στοιχείο a = (1, 2) της G, και η υποομάδα H =< a > της G. Εστω G 1 = G/H.

Διαβάστε περισσότερα

Βασική Άλγεβρα. Ασκήσεις (εκδοχή )

Βασική Άλγεβρα. Ασκήσεις (εκδοχή ) Βασική Άλγεβρα Ασκήσεις 0-4 (εκδοχή 5--04) Βασική Άλγεβρα Ασκήσεις Υποδείξεις/Απαντήσεις Περιεχόµενα σελίδα Ασκήσεις ιαιρετότητα στους ακέραιους, ισοτιµίες Ασκήσεις Ακέραιοι odulo, Θεώρηµα του Euler 7

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου

Διαβάστε περισσότερα

a = a a Z n. a = a mod n.

a = a a Z n. a = a mod n. Αλγεβρα Ι Χειμερινο Εξαμηνο 2017 18 Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Πράξεις: Πράξεις στο σύνολο S, ο πίνακας της πράξης, αντιμεταθετικές πράξεις. Προσεταιριστικές πράξεις, το στοιχείο a 1 a 2 a n. Η πράξη «σύνθεση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες Χρησιµοποιώντας τανυστικά γινόµενα και εφαρµόζοντας το θεώρηµα των Wedderbur-rt ( 33) θα αποδείξουµε δύο θεµελιώδη θεωρήµατα που αφορούν κεντρικές απλές άλγεβρες *

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 0. Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη

Κεφάλαιο 0. Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη Κεφάλαιο 0 Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη Το κεφάλαιο αυτό έχει προπαρασκευαστικό χαρακτήρα Θα καθιερώσουµε συµβολισµούς και θα υπενθυµίσουµε ορισµούς και στοιχειώδεις προτάσεις για δακτύλιους και ιδεώδη

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015.

Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015. Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες

Διαβάστε περισσότερα

1. Για καθένα από τους ακόλουθους διανυσματικούς χώρους βρείτε μια βάση και τη διάσταση. 3. U x y z x y z x y. {(,, ) } a b. c d

1. Για καθένα από τους ακόλουθους διανυσματικούς χώρους βρείτε μια βάση και τη διάσταση. 3. U x y z x y z x y. {(,, ) } a b. c d Γραμμική Άλγεβρα Ι, 07-8 Ασκήσεις6: Βάση και Διάσταση Βασικά σημεία Βάση διανυσματικού χώρου (ορισμός, παραδείγματα, μοναδικότητα συντελεστών) Θεώρημα (ύπαρξη, πρώτη μορφή) Έστω V K μη μηδενικός με K πεπερασμένο

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα.

Ασκήσεις3 Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα. Ασκήσεις 0 Ασκήσεις Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα o H -στήλη του P P είναι E αν και μόνο αν η -στήλη του P είναι ιδιοδιάνυσμα του που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή

Διαβάστε περισσότερα

βαθμού 1 με A 2. Υπολογίστε τα χαρακτηριστικά και ελάχιστα πολυώνυμα των

βαθμού 1 με A 2. Υπολογίστε τα χαρακτηριστικά και ελάχιστα πολυώνυμα των Ασκήσεις 6 Ασκήσεις Ελάχιστο Πολυώνυμο Βασικά σημεία Ορισμός ελαχίστου πολυωνύμου πίνακα και ιδιότητές του Ορισμός ελαχίστου πολυωνύμου γραμμικής απεικόνισης και ιδιότητές του Κριτήριο διαγωνισιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0.

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0. Ασκήσεις4 46 Ασκήσεις 4 Τριγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις, Θεώρημα των Cayley-Hamilton Βασικά σημεία Ορισμός τριγωνίσιμου πίνακα, ορισμός τριγωνίσιμης γραμμικής απεικόνισης Κριτήριο τριγωνισιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα του Weddebu για ηµιαπλούς δακτυλίους αναπτύσσουµε εδώ τις πρώτες προτάσεις από τη θεωρία των αναπαραστάσεων και αρακτήρων πεπερασµένων

Διαβάστε περισσότερα

x y x z για κάθε x, y, . Ένας δακτύλιος R καλείται μεταθετικός αν

x y x z για κάθε x, y, . Ένας δακτύλιος R καλείται μεταθετικός αν ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα Στο κεφάαιο αυτό θα υπενθυμίσουμε τις βασικές έννοιες που αφορούν πρότυπα πάνω από ένα δακτύιο Θα περιοριστούμε στα πέον απαραίτητα για αυτά που ακοουθούν στα άα κεφάαια Η κατευθυντήρια

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Bursde Θα αποδείξουµε εδώ ότι κάθε οµάδα τάξης a q b (, q πρώτοι) είναι επιλύσιµη. Το θεώρηµα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιµοποίησε τη νέα τότε

Διαβάστε περισσότερα

s G 1 ). = R, Z 2 Z 3 = Z6. s, t G) s t = st. 1. H = G 4. [G : H] = a G ah = Ha.

s G 1 ). = R, Z 2 Z 3 = Z6. s, t G) s t = st. 1. H = G 4. [G : H] = a G ah = Ha. Αλγεβρα ΙΙ Εαρινο Εξαμηνο 2017 18 Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Ομάδες-Πηλίκο: Κρατήσαμε σταθερή μια ομάδα G με ταυτοτικό το ι και μια υποομάδα H της G. Συμβολίσαμε με G 1 το G/H (το σύνολο των αριστερών συμπλόκων

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις4 48. P AP τριγωνικό. Αφού δείξτε ότι ο A δεν είναι διαγωνίσιμος, βρείτε αντιστρέψιμο A 1 3 1

Ασκήσεις4 48. P AP τριγωνικό. Αφού δείξτε ότι ο A δεν είναι διαγωνίσιμος, βρείτε αντιστρέψιμο A 1 3 1 Ασκήσεις4 48 Ασκήσεις4 Τριγωνισιμότητα Βασικά σημεία Ορισμός τριγωνίσιμου πίνακα, ορισμός τριγωνίσιμης γραμμικής απεικόνισης Θεώρημα: είναι τριγωνίσιμος αν και μόνο αν ( x ) γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων

Διαβάστε περισσότερα

bca = e. H 1j = G 2 H 5j = {f G j : f(0) = 1}

bca = e. H 1j = G 2 H 5j = {f G j : f(0) = 1} Αλγεβρα Ι, Χειμερινο Εξαμηνο 2017 18 Ασκησεις που συζητηθηκαν στο φροντιστηριο Το [Α] συμβολίζει το φυλλάδιο ασκήσεων που θα βρείτε στην ιστοσελίδα του μαθήματος επιλέγοντας «Άλλες Ασκήσεις». 1. Πόσες

Διαβάστε περισσότερα

a b b < a > < b > < a >.

a b b < a > < b > < a >. Θεωρια Δακτυλιων και Modules Εαρινο Εξαμηνο 2016 17 Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Επανάληψη: Προσθετικές ομάδες, δακτύλιοι, αντιμεταθετικοί δακτύλιοι, δακτύλιοι με μοναδιαίο στοιχείο, παραδείγματα. Συμφωνήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

A, και εξετάστε αν είναι διαγωνίσιμη.

A, και εξετάστε αν είναι διαγωνίσιμη. Ασκήσεις 6 Ασκήσεις Ελάχιστο Πολυώνυμο Βασικά σημεία Ορισμός ελαχίστου πολυωνύμου πίνακα και ιδιότητές του Θεώρημα (Κριτήριο διαγωνισιμότητας) Ένας είναι διαγωνίσιμος αν και μόνο αν ( x) γινόμενο διακεκριμένων

Διαβάστε περισσότερα

, b, έχει λύση αν και μόνο αν rank( A) rank( A b) είναι οι συνήθεις διατεταγμένες βάσεις των,

, b, έχει λύση αν και μόνο αν rank( A) rank( A b) είναι οι συνήθεις διατεταγμένες βάσεις των, Γραμμική Άλγεβρα Ι, 07-8 Ασκήσεις8: Γραμμικές Απεικονίσεις και Πίνακες Βασικά σημεία Ορισμός πίνακα γραμμικής απεικόνισης, παραδείγματα Ανάκτηση γραμμικής απεικόνισης από πίνακά της Ιδιότητες (πίνακας

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη. Τσουκνίδας Ι.

Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη. Τσουκνίδας Ι. Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη Τσουκνίδας Ι. 2 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή στα πεπερασμένα σώματα 5 1.1 Μάθημα 1..................................... 5 1.1.1

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Ιδεώδη και Περιοχές κυρίων Ιδεωδών 1.3. Ι Π Ι. Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0}, < n καθώς και ότι:

1.3 Ιδεώδη και Περιοχές κυρίων Ιδεωδών 1.3. Ι Π Ι. Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0}, < n καθώς και ότι: 13 Ι Π Ι Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0}, < n καθώς και ότι: n N {0}, ( ) + n = = n + ( ) και ( ) + ( ) = (**) Ονομάζουμε επικεφαλής συντελεστή ενός μη μηδενικού πολυωνύμου f, τον συντελεστή f(i)

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3 Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο

Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο Αλγεβρικές Δομές ΙΙ 1 Ομάδα I Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο C(R) = {a R/ax = xa, για κάθε x R} είναι υποδακτύλιος του R, και λέγεται κέντρο του δακτυλίου R. Ά σ κ η σ η 1.2

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισαγάγουµε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο που θα παίξει σηµαντικό ρόλο στα επόµενα κεφάλαια.

Κεφάλαιο 1. Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισαγάγουµε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο που θα παίξει σηµαντικό ρόλο στα επόµενα κεφάλαια. Κεφάαιο Πρότυπα Στο κεφάαιο αυτό εισαγάγουµε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύιο που θα παίξει σηµαντικό ρόο στα επόµενα κεφάαια Στις σηµειώσεις αυτές όοι οι δακτύιοι περιέχουν µοναδιαίο στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα Ι,

Γραμμική Άλγεβρα Ι, Γραμμική Άλγεβρα Ι, 207-8 Ασκήσεις2 και Ασκήσεις3: Γραμμοϊσοδύναμοι Πίνακες και Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων Βασικά σημεία Γραμμοϊσοδυναμία πινάκων o Στοιχειώδεις πράξεις γραμμών o Ανηγμένη κλιμακωτή μορφή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό Κεφάαιο 3 Εεύθερα Πρότυπα 3.1 Εεύθερα Πρότυπα Έστω Μ ένα R-πρότυπο. Μια οικογένεια Μ αν ) το σύνοο { Λ} τρόπο ως άθροισµα της µορφής πεπερασµένο πήθος από τα ( e ) στοιχείων του Μ καείται βάση του e παράγει

Διαβάστε περισσότερα

g (v + W ) = gv + W gv = 0.

g (v + W ) = gv + W gv = 0. Ασκήσεις #1 Σε ότι ακολουθεί, G είναι πεπερασμένη ομάδα και V είναι C-διανυσματικός χώρος πεπερασμένης διάστασης. 1. Δείξτε ότι η απεικόνιση G G G που ορίζεται θέτοντας g x = gxg 1 για g, x G αποτελεί

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα II Εαρινό εξάμηνο

Γραμμική Άλγεβρα II Εαρινό εξάμηνο Γραμμική Άλγεβρα II Εαρινό εξάμηνο 0-0 Υποδείξεις/Απαντήσεις των Ασκήσεων Περιεχόμενα Ασκήσεις Πολυώνυμα Ασκήσεις Ιδιοτιμές-Ιδιοδιανύσματα 6 Ασκήσεις Διαγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις 9 Ασκήσεις4 Τριγωνίσιμες

Διαβάστε περισσότερα

1. a. Έστω b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του A Έστω A και ( x) [ x]

1. a. Έστω b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του A Έστω A και ( x) [ x] σκήσεις Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Ιδιόχωροι, διάσταση ιδιόχωρου, εύρεση βάσης ιδιόχωρου Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: 5. ΟΡΙΣΜΟΙ Έστω U και V δύο διανυσματικοί χώροι. Μια συνάρτηση F : U V θα λέγεται γραμμική απεικόνιση (ή ομομορφισμός, ή απλά μορφισμός εάν ικανοποιεί τις συνθήκες (i F ( u + = u + για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Δώδεκα Αποδείξεις του. Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας

Δώδεκα Αποδείξεις του. Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας Δώδεκα Αποδείξεις του Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας Mία εκδοχή της αρχικής απόδειξης του Gauss f ( z) = T ( z) + iu ( z) T = r cos φ + Ar 1 cos(( 1) φ + α) + + L cosλ U = r si φ + Ar 1 si(( 1) φ

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Ιδεώδη και Περιοχές κυρίων Ιδεωδών Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών 13 Ι Π Ι Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0},

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2019/laii2019html Παρασκευή 1 Μαρτίου 2019 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές Δομές Ι. 1 Ομάδα I

Αλγεβρικές Δομές Ι. 1 Ομάδα I Αλγεβρικές Δομές Ι 1 Ομάδα I Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω G μια προσθετική ομάδα S ένα μη κενό σύνολο και M(S G το σύνολο όλων των συναρτήσεων f : S G. Δείξτε ότι το σύνολο M(S G είναι ομάδα με πράξη την πρόσθεση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων

Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων 7 Βασικά σημεία Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων Το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στο και Ορθοκανονικές βάσεις και η μέθοδος Gram-Schmidt Ορισμός, Ερμιτιανού πίνακα και μοναδιαίου πίνακα Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

= s 2m 1 + s 1 m 2 s 1 s 2

= s 2m 1 + s 1 m 2 s 1 s 2 ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 203 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ Οι σηµειώσεις αυτές είναι ϐασισµένες στις διαλέξεις του µαθήµατος. Καταγράϕηκαν αρχικά ηλεκτρονικά από τη κ.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018html Παρασκευή 9 Μαρτίου 2018 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Δευτέρα 13 Ιανουαρίου 2014

Α Δ Ι. Δευτέρα 13 Ιανουαρίου 2014 Α Δ Ι Α - Φ 9 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Δευτέρα 13 Ιανουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

B είναι ισοδύναμοι αν και μόνο αν υπάρχουν διατεταγμένες βάσεις ˆv του. , b, έχει λύση αν και μόνο αν rank( A) rank( A b)

B είναι ισοδύναμοι αν και μόνο αν υπάρχουν διατεταγμένες βάσεις ˆv του. , b, έχει λύση αν και μόνο αν rank( A) rank( A b) Ασκήσεις8: Γραμμικές Απεικονίσεις και Πίνακες Βασικά σημεία Ορισμός πίνακα γραμμικής απεικόνισης, παραδείγματα Ανάκτηση γραμμικής απεικόνισης από πίνακά της Ιδιότητες (πίνακας που αντιστοιχεί στο άθροισμα,

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα II. Ασκήσεις με Υποδείξεις - Απαντήσεις. Περιεχόμενα

Γραμμική Άλγεβρα II. Ασκήσεις με Υποδείξεις - Απαντήσεις. Περιεχόμενα Γραμμική Άλγεβρα II Ασκήσεις με Υποδείξεις - Απαντήσεις ΜΜ Περιεχόμενα Ασκήσεις0: Όμοιοι Πίνακες Ασκήσεις: Πολυώνυμα 6 Ασκήσεις: Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Ασκήσεις: Διαγωνισιμότητα Ασκήσεις4: Τριγωνισιμότητα

Διαβάστε περισσότερα

Το Θεώρημα CHEVALLEY-WARNING

Το Θεώρημα CHEVALLEY-WARNING Το Θεώρημα CHEVALLEY-WARNING Ανθή Ζερβού Διδάσκων: Ιωάννης Αντωνιάδης 3/02/2015 1 ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΩΜΑΤΑ Ορισμός. Εστω Κ σώμα. Χαρακτηριστική του Κ, συμβολίζεται ch(k), είναι ο ελάχιστος φυσικός αριθμός n

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη 94 Ένας χώρος με νόρμα (, ( ( ( ϕ : : ϕ =, ( 4. Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια λέγεται αυτοπαθής ( refleive, αν η κανονική εμφύτευση,, είναι επί του, δηλαδή ϕ =. Παρατηρούμε ότι ένας αυτοπαθής χώρος

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y.

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y. 2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. Έστω ( X, ) και (, ) X Y {( x, ) : x X και Y} Y χώροι με νόρμα. Τότε ο διανυσματικός χώρος = ( με τις συνήθεις κατά σημείο πράξεις ) γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Επιλύσιμες Ομάδες. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Επιλύσιμες Ομάδες. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων Ενότητα: Επιλύσιμες Ομάδες Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Επιλύσιμες Ομάδες 41 Προκαταρκτικές Έννοιες 411 Ορισμός και Παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 3 Ευθέα Γινόμενα Ομάδων Για την περαιτέρω ανάπτυξη τής θεωρίας θα χρειαστούμε

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Αʹ. Στοιχεία από την Άλγεβρα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Αʹ. Στοιχεία από την Άλγεβρα ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Αʹ Στοιχεία από την Άλγεβρα Στο Παράρτημα αυτό, το οποίο παρατίθεται για να συμβάλει στην αυτοδυναμία του βιβλίου, ο αναγνώστης θα μπορεί να προστρέχει για αρωγή σε έννοιες και αποτελέσματα που

Διαβάστε περισσότερα

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n 236 5. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες, τις υποοµάδες τους, και τους γεννήτο- ϱές τους. Οι ταξινοµήσεις αυτές ϑα ϐασιστούν στην

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1)

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1) Κεφάλαιο 4 Ευθέα γινόµενα οµάδων Στο Παράδειγµα 1.1.2.11 ορίσαµε το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G 1 G 2 G n των οµάδων G i, 1 i n. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ασχοληθούµε λεπτοµερέστερα µε τα ευθέα γινόµενα οµάδων

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις1 Πολυώνυμα. x x c. με το. b. Να βρεθούν όλες οι τιμές των a, Να βρεθεί ο μκδ και το εκπ τους

Ασκήσεις1 Πολυώνυμα. x x c. με το. b. Να βρεθούν όλες οι τιμές των a, Να βρεθεί ο μκδ και το εκπ τους Aσκήσεις1 1 Βασικά σημεία Ευκλείδεια διαίρεση πολυωνύμων Ορισμός και ιδιότητες μκδ και εκπ Ιδιότητες σχετικών πρώτων πολυωνύμων Τα ανάγωγα πολυώνυμα στο [ ] και [ ] Ασκήσεις1 Πολυώνυμα Ανάλυση πολυωνύμου

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια ακτυλιων. Ασκησεις

Θεωρια ακτυλιων. Ασκησεις Θεωρια ακτυλιων Ασκησεις Ακαδηµαϊκο Ετος 2016-2017 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/ringtheory/ringtheory2016/ringtheory2016.html 15 Φεβρουαρίου 2017 2 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Κεφάλαιο 5 Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Κεφάλαιο 5 Γραμμικοί Μετασχηματισμοί 5 Γενικά Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Μία σχέση μεταξύ των στοιχείων δύο συνόλων Α,Β αντιστοιχίζει στοιχεία του Α με στοιχεία του Β άλλου μέσω ενός κανόνα που μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 29 Νοεμβρίου 2013 & K =

Α Δ Ι. Παρασκευή 29 Νοεμβρίου 2013 & K = Α Δ Ι Α - Φ 5 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 29 Νοεμβρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y.

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y. 2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. Έστω (, ) και (, ) {( x, ) : x και } χώροι με νόρμα. Τότε ο διανυσματικός χώρος = ( με τις συνήθεις κατά σημείο πράξεις ) γίνεται χώρος με

Διαβάστε περισσότερα

1 Χώροι πηλίκα { } x = y x y Y. Με τις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού που ορίζονται με τον

1 Χώροι πηλίκα { } x = y x y Y. Με τις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού που ορίζονται με τον Χώροι πηλίκα Έστω διανυσματικός χώρος και Y διανυσματικός υπόχωρος του. Για κάθε θεωρούμε το σύμπλοκο σχετικά με τον Y, = + y y Y = + Y ορ { : } δηλαδή το είναι η παράλληλη μεταφορά του Y κατά το διάνυσμα.

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια ακτυλιων. Ασκησεις

Θεωρια ακτυλιων. Ασκησεις Θεωρια ακτυλιων Ασκησεις Ακαδηµαϊκο Ετος 2015-2016 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/ringtheory/ringtheory2015/ringtheory2015.html 4 εκεµβρίου 2015 2 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

f(n) = a n f(n + m) = a n+m = a n a m = f(n)f(m) f(a n ) = b n f : G 1 G 2, f(a n a m ) = f(a n+m ) = b n+m = b n b m = f(a n )f(a m )

f(n) = a n f(n + m) = a n+m = a n a m = f(n)f(m) f(a n ) = b n f : G 1 G 2, f(a n a m ) = f(a n+m ) = b n+m = b n b m = f(a n )f(a m ) 302 14. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και Οµάδες Αυτοµορφισµών Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες ως προς τη σχέση ισοµορφίας. Ε- πίσης ϑα αποδείξουµε ένα σηµαντικό κριτήριο ισοµορφίας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 8 Νοεμβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Ιανουαρίου 0 Οι ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Πεπερασμένες και Διαιρεμένες Διαφορές Εισαγωγή Θα εισάγουμε την έννοια των διαφορών με ένα

Διαβάστε περισσότερα

4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα. 4.1 θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldstine.

4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα. 4.1 θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldstine. 8 Έστω (, ) 4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα 4. θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldste. χώρος με νόρμα. Υπενθυμίζουμε ότι η ασθενής τοπολογία T του έχει ως βάση ( ανοικτών ) περιοχών του όλα τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

t t Αν κάποιος από αυτούς είναι αντιστρέψιμος, υπολογίστε τον αντίστροφό του. 2. Υπολογίστε την ορίζουσα του Δείξτε τα εξής.

t t Αν κάποιος από αυτούς είναι αντιστρέψιμος, υπολογίστε τον αντίστροφό του. 2. Υπολογίστε την ορίζουσα του Δείξτε τα εξής. Γραμμική Άλγεβρα Ι, 07-8 Ασκήσεις4: Ορίζουσες Βασικά σημεία Ορισμός και ιδιότητες οριζουσών (ιδιότητες γραμμών και στηλών, αναπτύγματα οριζουσών, det( B) det( )det( B)) Ένας τετραγωνικός πίνακας είναι

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 13 Δεκεμβρίου 2013

Α Δ Ι. Παρασκευή 13 Δεκεμβρίου 2013 Α Δ Ι Α - Φ 7 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 13 Δεκεμβρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 17 Οκτωβρίου 2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 17 Οκτωβρίου 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Οκτωβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 5 Νοεμβρίου 0 Οι ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Θεωρία Sylow. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Θεωρία Sylow. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων Ενότητα: Θεωρία Sylow Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 2 Θεωρία Sylow 21 Τα Θεωρήματα Sylow Ορισμός 211 Μια ομάδα (G, ) τάξης p α, όπου

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 236 5. Ταξινόµηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 2 Μεγιστικός τελέστης στην μπάλα 2 2.1 Βασικό θεώρημα........................ 2 2.2 Γενική περίπτωση μπάλας.................. 6 2.2.1 Στο

Διαβάστε περισσότερα

n = dim N (A) + dim R(A). dim V = dim ker L + dim im L.

n = dim N (A) + dim R(A). dim V = dim ker L + dim im L. Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 9 Γραμμικοί Ισομορφισμοί Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης 19/3/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 9 19/3/2014 1 / 12 Γραμμικές απεικονίσεις και υπόχωροι Εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Το Θεώρημα Jordan Hölder. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Το Θεώρημα Jordan Hölder. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων Ενότητα: Το Θεώρημα Jordan Hölder Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 3 Το Θεώρημα Jordan Hölder 31 Προκαταρκτικές Έννοιες 311 Υποορθόθετες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 24 Μαρτίου 2017 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii18/laii18html Παρασκευή 9 Μαρτίου 18 Ασκηση 1 Θεωρούµε

Διαβάστε περισσότερα

7 Μάθημα Πορεία μελέτης Ακόμη μία Άσκηση

7 Μάθημα Πορεία μελέτης Ακόμη μία Άσκηση Περιεχόμενα I Εναρξη μαθήματος 3 II Αρχικά μαθήματα 5 1 Μάθημα 1 5 1.1 Εισαγωγή............................... 5 1.2 Πορεία μελέτης............................ 5 1.3 Γραμμικά συστήματα.........................

Διαβάστε περισσότερα

a 11 a 1n b 1 a m1 a mn b n

a 11 a 1n b 1 a m1 a mn b n Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 13 Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης 28/4/2014 ΧΚουρουνιώτης (ΠανΚρήτης) Διάλεξη 13 28/4/2014 1 / 14 Πίνακες πάνω από σώμα K Πίνακες πάνω από σώμα K Το σύνολο των m n

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) n = a k b n k, k. (a + b) p = a p + b p. k=0. n! k! (n k)! k =

(a + b) n = a k b n k, k. (a + b) p = a p + b p. k=0. n! k! (n k)! k = ΒΑΣΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Συμπληρωματικές Ασκήσεις Χειμερινό Εξάμηνο 2016 Χρήστος Α. Αθανασιάδης Συμβολίζουμε με Z m το δακτύλιο των ακεραίων modulo m, με ā Z m την κλάση (mod m) του a Z και με M n (R) το δακτύλιο

Διαβάστε περισσότερα