Κεφάλαιο 6.3 Κβαντική Πληροφορία και Σχετικότητα

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 6.3 Κβαντική Πληροφορία και Σχετικότητα"

Transcript

1 Κεφάλαιο 6.3 Κβαντική Πληροφορία και Σχετικότητα Τρεις αδιαχώριστες θεωρίες Η Κβαντική θεωρία και η θεωρία της σχετικότητας αναδύθηκαν στις αρχές του εικοστού αιώνα για να λύσουν ανεξήγητα μέχρι τότε φαινόμενα της φυσικής. Αρκετά χρόνια μετά, αναπτύχθηκε η θεωρία της πληροφορίας από τον Claude Shannon για να αναλυθεί η αποτελεσματικότητα των μεθόδων επικοινωνίας. ε ότι ακολουθεί θα προσπαθήσουμε να δείξουμε ότι τελικά οι τρεις αυτές θεωρίες είναι αδιαχώριστα συνδεδεμένες. Είναι συνυφασμένες! Η συζήτηση του κεφαλαίου αυτού έχει βασισθεί στα papers των Peres και Terno (βλέπε βιβλιογραφία κεφαλαίου 6.3). α Σχετικότητα και πληροφορία τη παρουσίαση της σχετικότητας στο κεφάλαιο 6.1 χρησιμοποιήσαμε νοητούς παρατηρητές στο έδαφος ή πάνω σε τρενάκια που έστελναν και λάμβαναν φωτεινά σήματα. Οι παρατηρητές αυτοί δεν πρέπει να νοούνται πια μόνο ως ανθρώπινα όντα, αλλά, γενικότερα, ως φυσικοί πομποί και αισθητήρες. Ο ρόλος τους είναι να εντοπίζουν και να «βάζουν» ετικέτα στα γεγονότα του χωροχρόνου. Η ταχύτητα μετάδοσης των σημάτων αυτών φράζεται από την c επειδή η πληροφορία χρειάζεται φορέα και αυτός πρέπει να υπακούει στους νόμους της φυσικής. Η κλασσική θεωρία πληροφορίας εμπλέκει έννοιες όπως ρυθμός μετάδοσης σημάτων, ρυθμός καταγραφής σημάτων και φάσμα ισχύος θορύβου. Οι μεταβλητές αυτές έχουν καλώς ορισμένους νόμους σχετικιστικού μετασχηματισμού ανεξάρτητα από τη φυσική υλοποίηση του επικοινωνιακού φορέα. Λεπτομερής ανάλυση, [5], έχει δείξει ότι οι ρυθμοί μετάδοσης παρατηρητών σε σχετική ταχύτητα βc επηρεάζονται κατά ένα παράγοντα (1+β)/(1-β), που δεν είναι άλλος παρά το τετράγωνο του γνωστού παράγοντα Doppler. Θα ξαναβρούμε το ίδιο αποτέλεσμα με ηλεκτρομαγνητική θεωρία: η φυσική έχει συνεπή θεωρητική δομή! β Κβαντική μηχανική και πληροφορία Η θεωρία του Einstein προκάλεσε αρκετή αντίδραση όταν πρώτο-διατυπώθηκε, αλλά είναι γενικά αποδεκτή σήμερα. Η κβαντική μηχανική όμως, εξακολουθεί να κάνει αρκετούς φυσικούς να νιώθουν άβολα. Σα γενικώς αποδεκτά βιβλία κβαντικής φυσικής είναι πάντως αρκετά σαφή, περιγράφουν τα παρατηρήσιμα μεγέθη με ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου /622

2 ερμιτιανούς τελεστές, τις πιθανές τιμές τους με τις ιδιοτιμές αυτών των τελεστών και ορίζουν τις πιθανότητες καταγραφής της ιδιοτιμής λ n, που αντιστοιχεί στο ιδιοάνυσμα u n, ως u n Χ 2, όπου Χ είναι η καθαρή (pure) κατάσταση του κβαντικού συστήματος που βρίσκεται υπό παρατήρηση. Με λίγη παραπάνω περιπλοκότητα ώστε να περιγραφούν με τον ίδιο φορμαλισμό και οι μικτές καταστάσεις, η πιθανότητα γράφεται πιο γενικά ως u n u n. Ότι δηλαδή έχουμε πει στο μέρος 1. Όλα λοιπόν αυτά είναι «εν τάξει», το πρόβλημα όμως που ενδογενώς εμπεριέχουν είναι ότι δεν περιγράφουν τι συμβαίνει στη καθημερινή ζωή ενός πειραματικού φυσικού. Όπως αναφέρει ο Peres: τα κβαντικά φαινόμενα δεν συμβαίνουν σε ένα χώρο Hilbert αλλά στο εργαστήριο. Εάν επισκεφτεί κάποιος ένα εργαστήριο δεν θα δει ερμιτιανούς τελεστές, παρά μόνο εκπομπούς (lasers, ion guns, synchrotrons, κλπ) και τους αντίστοιχους (κατάλληλους) αισθητήρες. Ο χρόνος που χρειάζεται στους αισθητήρες για την εκκίνηση της μη-αναστρέψιμη πράξης ενίσχυσης είναι εξαιρετικά μικρός, της τάξης ενός ατομικού πυρήνα δια c. Μόλις η μηαναστρεψιμότητα εγκατασταθεί, η συνέχεια της ενισχυτικής διαδικασίας είναι κλασσική. Μια σχετικά πρόσφατη γραφή του φορμαλισμού της κβαντικής μηχανικής λέει τα ακόλουθα (βλέπε κεφάλαιο 4.13 σχετικά): οτιδήποτε εκπέμπεται από ένα εκπομπό αναπαρίσταται από μία πυκνότητα (κατάσταση) (θετικός τελεστής, συνήθως κανονικοποιημένος σε μοναδιαίο ίχνος). Οι αισθητήρες αναπαρίστανται από θετικούς τελεστές μ, όπου μ είναι μία αυθαίρετη ετικέτα που «αντιστοιχεί» στον αισθητήρα. Η πιθανότητα να διεγερθεί ο αισθητήρας μ είναι ίση με Tr( μ). Σο πλήρες σύνολο των μ, συμπεριλαμβανομένης και της μηδιέγερσης αθροίζεται στο τελεστή-μονάδα και καλείται positive operator valued measure (POVM). Σα διάφορα μ δεν είναι απαραίτητο να μετατίθενται μεταξύ τους και έτσι ένα γεγονός καταγραφής δεν αντιστοιχεί σε αυτό που συνήθως λέγαμε «μέτρηση ενός παρατηρήσιμου μεγέθους». Εδώ τα ονομάζουμε παρεμβάσεις (interventions). Παρόλα αυτά η ενεργοποίηση ενός δεδομένου αισθητήρα-καταγραφέα είναι ένα μακροσκοπικό αντικειμενικό φαινόμενο. Δεν υπάρχει ασάφεια για το ποιος καταγραφέας έκανε κλικ. ε αντίθεση με την αίσθηση που ίσως άφησε το κεφάλαιο 1.9, η κυματοσυνάρτηση δεν είναι φυσικό αντικείμενο! Είναι απλά η μαθηματική έκφραση που κωδικοποιεί πληροφορία, που «φέρει πληρότητα», για το εν δυνάμει αποτέλεσμα των πειραματικών μας επεμβάσεων, που συνήθως καλούνται «μετρήσεις», μια μάλλον ατυχή έκφραση, αφού υποδηλώνει ότι «υπάρχει» κάποια άγνωστη ιδιότητα κάποιων σαφών αντικειμένων που μετράμε. τη πραγματικότητα η ίδια η ύπαρξη των σωματιδίων εξαρτάται από τις συνιστώσες ενός πειράματος. ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου /622

3 γ Σχετικότητα και κβαντική θεωρία Η θεωρία της σχετικότητας ασχολείται με τη γεωμετρική δομή του τετραδιάστατου χωροχρόνου. Η κβαντική μηχανική περιγράφει τις ιδιότητες της ύλης. Ο συνδυασμός των δύο αυτών θεωρήσεων της φύσης είναι δύσκολος. Δεν υπάρχει για παράδειγμα τρόπος να οριστεί σχετικιστικός κανονικός χρόνος για ένα εκτεταμένο στο χώρο κβαντικό σύστημα. Κανονικός χρόνος μπορεί κατ αρχήν να ορισθεί για ένα σημειακό μαζικό αντικείμενο («παρατηρητής») ώστε το «κέντρο μάζας» του να έχει κλασσικές συνιστώσες και να ακολουθεί συνεχή χωροχρονική τροχιά. Αν όμως υπάρχουν πάνω από ένα αντικείμενα-παρατηρητές δεν υπάρχει ρόλος για ιδιωτικό κανονικό χρόνο που θα ήταν προσκολλημένος στις χωροχρονικές τροχιές. Έτσι μια φυσική κατάσταση που εμπλέκει παραπάνω από ένα παρατηρητή σε σχετική μεταξύ τους κίνηση, δεν μπορεί να περιγραφεί από κυματοσυνάρτηση με σχετικιστικό νόμο μετασχηματισμού [9]. Κάτι τέτοιο βέβαια δεν πρέπει να μας εκπλήσσει αφού η κυματοσυνάρτηση δεν είναι φυσικό αντικείμενο παρά μόνο ένα εργαλείο υπολογισμού πιθανοτήτων παρατήρησης μακροσκοπικών γεγονότων. Ο συνδυασμός σχετικότητας και κβαντικής δεν είναι απλά και μόνο ένα δύσκολο τεχνικό θέμα στο πώς θα σχηματίσουμε νόμους δυναμικής. Οι οντολογίες των δύο θεωριών διαφέρουν ουσιωδώς μεταξύ τους. Η κλασσική θεώρηση δέχεται ότι τα πεδία, οι ταχύτητες κλπ, μετασχηματίζονται με ένα συγκεκριμένο τρόπο και οι εξισώσεις κίνησης σωματιδίων και πεδίων συμπεριφέρονται συμεταβλητά. Για παράδειγμα, αν οι εξισώσεις του Maxwell γράφονται μf μν = 4π c jν (6.2-52) σε ένα σύστημα αναφοράς, η ίδια έκφραση είναι αληθής και σε κάθε άλλο αδρανειακό σύστημα. Αυτά τα σύμβολα (F μν, j ν, κλπ) έχουν αντικειμενική υπόσταση, αντιπροσωπεύουν οντότητες που πραγματικά υπάρχουν στα πλαίσια της θεώρησης. Οι κυματοσυναρτήσεις από την άλλη δεν έχουν αντικειμενική υπόσταση. Δεν μετασχηματίζονται συμεταβλητά όταν υπάρχουν παρεμβάσεις από εξωτερικούς παράγοντες όπως συμβαίνει στις περιβόητες «κβαντικές μετρήσεις». Μόνο οι κλασσικές παράμετροι που είναι συνδεδεμένες με κάθε παρέμβαση μετασχηματίζονται συμεταβλητά. Παρόλη τη μη-συμεταβλητότητα της όμως, τα τελικά αποτελέσματα των υπολογισμών (οι πιθανότητες καθορισμένων συνόλων γεγονότων) πρέπει να είναι αναλλοίωτα κατά Lorentz. Η πληροφορία ουσιας, δεν πρέπει να αλλάζει κατά Lorentz. αν απλό παράδειγμα ας θεωρήσουμε δύο παρατηρητές, την Alice και τον Bob, που διαθέτουν ένα ζευγάρι σωματίων spin-1/2 στην κατάσταση singlet. Η Alice μετρά τον z και βρίσκει π.χ. +1. Αυτό της λεει ότι αν ο ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου /622

4 Bob μετρήσει (ή έχει μετρήσει, ή θα μετρήσει) τον z πρέπει να βρεί το αντίθετο αποτέλεσμα. Αυτή είναι βέβαια καθαρά χιμαιρική πληροφορία: τίποτε δεν αλλάζει στον τόπο του Bob μέχρι να τελέσει αυτός το πείραμά του. Επιπλέον, κανένα πείραμα που θα κάνει ο Bob δεν μπορεί να του πει αν έχει ήδη μετρήσει (ή αν θα μετρήσει) η Alice το δικό της μισό της singlet. Ένας φαινομενικά παράδοξος τρόπος να συζητηθούν αυτά τα αποτελέσματα είναι να ρωτήσουμε το εξής: Έστω ότι η Alice βρίσκει κάποια στιγμή z = 1 ενώ ο Bob δεν τελεί τίποτε. Πότε η κατάσταση του Bob, πέρα μακριά, θα γίνει τέτοια ώστε z = -1 με βεβαιότητα; Παρόλο που η ερώτηση αυτή είναι χωρίς νόημα όπως θα δούμε παρακάτω, έχει μια σαφή απάντηση: Σο μισό του Bob αλλάζει στιγμιαία. ε ποιο αδρανειακό σύστημα είναι αυτό στιγμιαίο; ε κάθε σύστημα! Όποιο σύστημα και αν επιλεχθεί για τον ορισμό του ταυτόχρονου, το πειραματικά παρατηρήσιμο αποτέλεσμα είναι το ίδιο [10]. Παραδείγματα όπως τα παραπάνω, έχουν μια ξεκάθαρα πληροφοριακή διάσταση που δείχνει ότι οι τρεις επιστήμες: κβαντική μηχανική, σχετικότητα και θεωρία πληροφορίας είναι, στην ουσία, μία! Η Κατάκτηση της Πληροφορίας α Ο αναποφάσιστος κβαντικός παρατηρητής του Von Neumann Η Κβαντική μηχανική χρησιμοποιείται από τους θεωρητικούς με δύο τρόπους: ως εργαλείο για τον ακριβή υπολογισμό σχέσεων μεταξύ φυσικών ποσοτήτων, όπως ενεργειακά επίπεδα, ρυθμούς μετάπτωσης, κλπ. Οι υπολογισμοί αυτοί είναι τεχνικά δύσκολοι, αλλά τα αποτελέσματα τους είναι αδιαμφισβήτητα. Επίσης η Κβαντική μηχανική, προσφέρει στατιστικές προβλέψεις για τα αποτελέσματα μετρήσεων επί φυσικών συστημάτων προετοιμασμένων με καθορισμένο τρόπο. Η κβαντική όμως μετρητική διαδικασία βρίσκεται στο μεταίχμιο κλασσικών κβαντικών φαινομένων. Η προετοιμασία αλλά και η μέτρηση τελούνται επί του συστήματος από κλασσικές μακροσκοπικές συσκευές. Ένα φυσικό σύστημα καλείται «ανοιχτό» όταν τμήματα του σύμπαντος εξαιρούνται από τη περιγραφή του. ε διαφορετικά συστήματα Lorentz που χρησιμοποιούνται από παρατηρητές σε σχετική μεταξύ τους κίνηση, εξαιρούνται διαφορετικά τμήματα του σύμπαντος. Τα συστήματα λοιπόν που διαχειρίζονται οι δύο παρατηρητές είναι ουσιωδώς διαφορετικά, και δεν υπάρχει μετασχηματισμός Lorentz που θα τα διασύνδεει [14]. Είναι αξιοσημείωτο ότι ο Bohr ποτέ δεν περιέγραψε τη μετρητική διαδικασία ως μια δυναμική αλληλεπίδραση μεταξύ μιας εξωφυσικής συσκευής και του συστήματος υπό παρατήρηση. Προφανώς είχε ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου /622

5 συνειδητοποιήσει ότι οι μετρητικές συσκευές είναι φτιαγμένες από τα ίδια υλικά όπως καθετί και υπακούον στους ίδιους φυσικούς νόμους. Είναι έτσι ελκυστικό να χρησιμοποιήσουμε κβαντική θεωρία για να διερευνήσουμε τη συμπεριφορά τους όταν τελούν μέτρηση. Αν όμως γίνει κάτι τέτοιο, η «κβαντοποιημένη» συσκευή χάνει τη ετικέτα της ως μετρητική συσκευή και πρέπει να εισαχθεί νέα τελική συσκευή που θα μετρήσει τη «κβαντοσυσκευή» και θα μας δώσει ένα αποτέλεσμα σε κλασσική γλώσσα. Η πρώτη συνεπής κβαντοδυναμική περιγραφή της μέτρησης έγινε από τον John von Neumann [15]. το τελευταίο μέρος αυτού του βιβλίου, στη λογική ενός προσαρτήματος, ο von Neumann αναπαράστησε μία μετρητική συσκευή ενός πειράματος ως έχουσα ένα βαθμό ελευθερίας ισχυρά συσχετισμένο με τη δυναμική μεταβλητή που μετριέται στο πείραμα. Μία τέτοια συσκευή δεν βρίσκεται, εν γένει, μετά τη μέτρηση σε μια καλώς ορισμένη καθαρή κατάσταση, και δεν επιδέχεται, εν γένει, κλασσική περιγραφή. Έτσι ο von Neumann εισήγαγε μία δεύτερη συσκευή που παρατηρούσε τη πρώτη κ.ο.κ, («αναποφάσιστος κβαντικός παρατηρητής») μέχρι τη τελική μέτρηση που δεν εξαρτάται από κβαντική δυναμική και έχει προσδιορισμένο αποτέλεσμα (για το οποίο η κβαντική δίνει μόνο στατιστική πρόβλεψη). Σο κύριο σημείο που λέει εδώ ο von Neumann, αλλά δεν αποδεικνύει είναι ότι το πλήθος των ενδιάμεσων βημάτων δεν είναι σημαντικό, το τελικό αποτέλεσμα θα είναι το ίδιο, ανεξάρτητα από τη «θέση» του «χωρίσματος» μεταξύ «κλασσικού» και «κβαντικού». Οι προσεγγίσεις των Bohr και von Neumann ενοποιήθηκαν από τους Hay και Peres [16], οι οποίοι εισήγαγαν μια δυϊκή περιγραφή της συσκευής μέτρησης. Αυτή λοιπόν υπακούει στη κβαντική καθώς αλληλεπιδρά με το σύστημα υπό παρατήρηση και μετά «αποκβαντοποιείται» και περιγράφεται από μία κλασσική πυκνότητα Liouville που παρέχει μια στατιστική κατανομή για τα αποτελέσματα της μέτρησης 93. Σαυτόχρονα, («αναποφάσιστος παρατηρητής»), η συσκευή μπορεί πάντα να περιγραφεί κβαντομηχανικά και να εισαχθεί μία δεύτερη συσκευή που θα επιδέχεται τη δυϊκή περιγραφή. Σο ερώτημα που απαντήθηκε από τους Hay και Peres είναι το κατά πόσο αυτές οι δύο υπολογιστικές μέθοδοι δίδουν το ίδιο αποτέλεσμα, ή έστω έχουν ασυμπτωτική συμφωνία υπό ομαλές ειδικές συνθήκες. Έδειξαν ότι ικανή συνθήκη για συμφωνία αποτελεσμάτων είναι η δυναμική μεταβλητή που χρησιμοποιείται ως «δείκτης» από τη πρώτη συσκευή να μπορεί να αναπαρασταθεί από ένα ημικλασσικό τελεστή τύπου Weyl-Wigner [17]. Δεν υπάρχει τίποτε μυστηριώδες στη μετάβαση από το κβαντικό στο κλασσικό. Κβαντική μηχανική και κλασσική στατιστική μηχανική αναπαράγουν σε συμφωνία κάθε στατιστική πρόβλεψη που μπορεί να επιβεβαιωθεί πειραματικά. 93 Επειδή η κβαντική κάνει στατιστικές προβλέψεις, κάθε ημικλασσική περιγραφή που την προσομοιάζει πρέπει να είναι επίσης στατιστικής φύσης. ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου /622

6 β Η διαδικασία της μέτρησης Ο Dirac [18] έγραψε «a measurement always causes the system to jump into an eigenstate of the dynamical variable being measured.» Εδώ όμως τονίζει ο Peres [1], πρέπει να είμαστε προσεκτικοί: ένα «quantum jump» (που επίσης καλείται και «collapse of the wavepacket» από άλλους συγγραφείς) είναι κάτι που συμβαίνει στη περιγραφή μας του φυσικού συστήματος και όχι στο σύστημα καθ αυτό. Ομοίως, η χρονική εξέλιξη της κυματοσυνάρτησης δεν αντιπροσωπεύει την εξέλιξη του φυσικού συστήματος. Σο μόνο που δίδει είναι η εξέλιξη των πιθανοτήτων του αποτελέσματος δυνατών πειραμάτων επί του συστήματος [19]. Ας εξετάσουμε πιο διεξοδικά τη διαδικασία μέτρησης. Πρώτα πρέπει να ορίσουμε την έννοια της μέτρησης και να την επεκτείνουμε στη πιο γενική έννοια: της παρέμβασης. Μία παρέμβαση περιγράφεται από ένα σύνολο παραμέτρων (που περιλαμβάνουν και τη θέση της παρέμβασης στο χωροχρόνο σε ένα κατάλληλο αλλά αυθαίρετο σύστημα αναφοράς). Πρέπει επίσης να καθορίσουμε και τη ταχύτητα και προσανατολισμό της συσκευής στο σύστημα που επιλέξαμε να χρησιμοποιούμε, και βεβαίως διάφορες άλλες λεπτομέρειες που ελέγχουν τη συσκευή, π.χ. ένταση μαγνητικού πεδίου, ένταση ηλεκτρομαγνητικού παλμού, ανάλογα με το πείραμα. Οι παράμετρες εισόδου καθορίζονται με κλασσική πληροφορία που προέρχεται από προγενέστερες παρεμβάσεις, ή μπορούν να καθορίζονται αυθαίρετα από το παρατηρητή που προετοιμάζει την παρέμβαση, ή τέλος από ένα local random device που δρα στη θέση παρατηρητή. Μία παρέμβαση έχει δύο συνέπειες. Μία είναι η κατάκτηση πληροφορίας μέσω κάποιας συσκευής που καταγράφει ένα «ίχνος 94». Αυτό είναι αυτό που μέχρι τώρα καλούσαμε «μέτρηση». Σο που «καταλήγει», τι «αποτέλεσμα» δηλαδή έχει ως «μέτρηση» η παρέμβαση, είναι εν γένει απροσδιόριστο, και είναι αυτό που θα λέμε «έξοδος» (output) της παρέμβασης. Η δεύτερη συνέπεια είναι η αλλαγή του περιβάλλοντος μέσα στο οποίο το κβαντικό σύστημα θα εξελιχθεί μετά την ολοκλήρωση της παρέμβασης. Μπορεί για παράδειγμα η παρεμβαίνουσα συσκευή να δημιουργήσει μία νέα χαμιλτονιανή που θα εξαρτάται από το καταγεγραμμένο ίχνος. Μπορούν για παράδειγμα να εκπέμπονται κλασσικά σήματα που θα ελέγχουν την εκτέλεση περαιτέρω παρεμβάσεων (θυμηθείτε εδώ τις C του μέρους 4 και τους QCC του μέρους 5). Σα σήματα αυτά περιορίζονται πάντα από τη ταχύτητα του φωτός. Σα πειραματικά πρωτόκολλα που συζητάμε, όλα ξεκινάνε με τον ίδιο τρόπο από την ίδια αρχική κατάσταση 0, και η πρώτη παρέμβαση είναι η ίδια. Μπορεί όμως σε κατοπινά του στάδια ένα πείραμα να εμπλέκει διαφορετικούς τύπους παρεμβάσεων, πιθανά και σε διαφορετικά χωροχρονικά σημεία, ανάλογα με το 94 Ίχνη με τη γενική έννοια, ως φανερά ή λιγότερο φανερά στοιχεία ενός εγκλήματος ή μίας απόδρασης, που είναι αδιαμφισβήτητα και κλασσικά παρόντα στο χώρο ενός εγκλήματος ή ενός πειράματος, αλλά συνήθως χρειάζεται ειδικούς της σήμανσης για να φανερωθούν και να γίνουν χρήσιμα σε ένα δικαστή ή ένα θεωρητικό φυσικό. ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου /622

7 αποτέλεσμα προγενέστερων γεγονότων. Αποδεχόμενοι όμως ότι κάθε παρέμβαση θα έχει πεπερασμένο πλήθος πιθανών αποτελεσμάτων, προκύπτει ότι για όλο το πείραμα υπάρχει πεπερασμένο πλήθος εναλλακτικών «δρόμων» και άρα τελικών καταγραμμένων ιχνών. Κάθε ίχνος (ως σύνολο επί ενός «δρομου») έχει καθορισμένη πιθανότητα να συμβεί. το εργαστήριο οι πειραματικοί μπορούν να παρατηρήσουν τη σχετική συχνότητα των ιχνών και να προσεγγίσουν έτσι τη «πραγματική» πιθανότητα στο όριο πολλών επαναλαμβανόμενων πειραμάτων. Ο στόχος της θεωρίας είναι να προβλέψει τη κάθε πιθανότητα με δεδομένο τα inputs των διάφορων παρεμβάσεων (τα inputs που ελέγχονται από τον πειραματικό αλλά και αυτά που καθορίζονται από τις προγενέστερες παρεμβάσεις). Κάθε ίχνος είναι αντικειμενικό: όλοι συμφωνούν στο τι έγινε (ποιος καταγραφέας δηλαδή έκανε κλικ κάθε φορά, κλπ). Άρα όλοι συμφωνούν στις διάφορες σχετικές συχνότητες. Οι θεωρητικές προβλέψεις επίσης είναι θέμα συμφωνίας για όλους. Οι παρεμβάσεις είναι localized στο χωροχρόνο, αλλά τα κβαντικά συστήματα είναι εκτεταμένα. ε κάθε πείραμα, ανεξάρτητα της ιστορίας του, υπάρχει ένα μόνο κβαντικό σύστημα το οποίο μπορεί να αποτελείται από πολλά σωμάτια ή από πολλά υποσυστήματα, που δημιουργούνται ή καταστρέφονται σε κάθε παρέμβαση. ημειώστε ότι όλα τα παραπάνω ισχύουν ακόμη και αν το αποτέλεσμα είναι απουσία κλικ. Δεν έχει σημασία αν η απουσία οφείλεται σε ατέλεια του καταγραφέα, ή σε πολύ μικρή πιθανότητα να συμβεί το κλικ σε ένα τέλειο καταγραφέα. Η κατάσταση του κβαντικού συστήματος δεν θα παραμείνει ίδια. Πρέπει να μεταβληθεί για να ικανοποιεί τη μοναδιακότητα της εξέλιξης. Η απλή παρουσία και μόνο ενός καταγραφέα που δύναται να σκανδαλισθεί σημαίνει ότι έχει υπάρξει αλληλεπίδραση μεταξύ του καταγραφέα και του κβαντικού συστήματος. Ακόμη και αν ο καταγραφέας έχει πεπερασμένη πιθανότητα να παραμείνει στην αρχική του κατάσταση, το κβαντικό σύστημα, συσχετισμένο με το καταγραφέα, θα αλλάξει κατάσταση [20]. Η απουσία ενός κλικ εκεί που θα έρεπε να υπάρξει ένα είναι και αυτό ένα γεγονός! Οι παρεμβάσεις, έτσι όπως ορίσθηκαν παραπάνω, ξεκινάνε από μια αλληλεπίδραση με μία μετρητική συσκευή, φάση που καλείται «προμέτρηση» [21]. Σο κβαντικό σύστημα s και η συσκευή A βρίσκονται αρχικά στη κατάσταση c s s A, (6.3-1) s και συνυφαίνονται σε ένα σύνθετο σύστημα C: ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου /622

8 c s s A s s λ c s sλ λ (6.3-2) όπου το σύνολο { λ } είναι μια πλήρης βάση για τις καταστάσεις του C. Είναι η επιλογή της μοναδιακής μήτρας sλ που καθορίζει ποια ιδιότητα του συστήματος υπό μελέτη θα συσχετισθεί με τη μετρητική συσκευή (και άρα θα μετρηθεί). Γράφοντας βεβαίως τη παραπάνω εξίσωση κάναμε τη τακτική παραδοχή ότι το κβαντικό σύστημα και η μετρητική συσκευή είναι αρχικά σε καθαρή κατάσταση. Επειδή όμως και μία μικτή κατάσταση είναι συνδυασμός καθαρών καταστάσεων, δεν βλάπτουμε τη γενικότητα της συζήτησης το να απλοποιούμε λίγο τις πράξεις με καθαρές καταστάσεις. ε ότι ακολουθεί θα συζητήσουμε τους περιορισμούς που επιβάλλει η θεωρία της σχετικότητας στη μορφή των επιτρεπτών sλ. Η μετρητική διαδικασία εμπλέκει πέρα από το φυσικό σύστημα και τη μετρητική συσκευή (που μαζί αποτελούν το C) και το κοινό τους «περιβάλλον» που εμπεριέχει απροσδιόριστο αριθμό βαθμών ελευθερίας της συσκευής και του υπόλοιπου σύμπαντος. Οι άγνωστοι αυτοί βαθμοί ελευθερίας αλληλεπιδρούν με τους «γνωστούς» κύριους βαθμούς, αλλά δεν είναι υπό το έλεγχο του πειραματιστή και δεν μπορούν να περιγραφούν εκπεφρασμένα. Η μερική μας άγνοια όμως δεν είναι σημάδι αδυναμίας. Είναι θεμελιακής φύσεως. Εάν όλα ήταν γνωστά, η κατάκτηση πληροφορίας δεν θα είχε απολύτως κανένα νόημα! Η πλήρης περιγραφή του C περιλαμβάνει μικροσκοπικές και μακροσκοπικές μεταβλητές. Η διαφορά μεταξύ τους βρίσκεται στο ότι το περιβάλλον μπορεί να θεωρείται ικανά διαχωρισμένο από τις μικροσκοπικές μεταβλητές (για τη διάρκεια του πειράματος) και δεν επηρεάζεται από αυτές, ενώ δεν είναι αποκομμένο από τις μακροσκοπικές μεταβλητές. Για παράδειγμα, εάν ένας μακροσκοπικός δείκτης είναι σε επαφή με την ατμόσφαιρα, τότε τα μόρια του αέρα του περιβάλλοντος που ανακλώνται από το δείκτη επηρεάζονται από τη θέση του δείκτη. Ακόμη και αν αγνοήσουμε τη κίνηση Brown ενός μαζικού δείκτη, η επήρεια του στο περιβάλλον οδηγεί στο φαινόμενο της decoherence και αυτό είναι ενδογενές επαγόμενο μιας διαδικασίας μέτρησης. ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου /622

9 Σχήμα Ο χώρος του C και οι μακροσκοπικά διακρίσιμοι υποχώροι μ. Τα δύο σχήματα δείχνουν τις διαφορετικές ονομασίες των καταστάσεων καθώς αλλάζουμε τις ετικέτες από απλές σε σύνθετες με βάση τον υποχώρο μ. Στο παράδειγμα, ισχύει 1 1,1, 5 1,2, 8 5,1, κλπ. Μια ιδιότητα του σύνθετου συστήματος C, που είναι αναγκαία για να υπάρξει μέτρηση, είναι οι καταστάσεις του να σχηματίζουν ένα πεπερασμένο σύνολο ορθογώνιων υποχώρων που να είναι διακρίσιμοι από τον παρατηρητή. Κάθε μακροσκοπικά διακρίσιμος υποχώρος θα αντιστοιχεί έτσι σε ένα εκ των δυνατών αποτελεσμάτων της παρέμβασης και ορίζει ένα στοιχείο της POVM, το στοιχείο μ, που εκπεφρασμένα δίνεται από τη σχέση (6.3-10) παρακάτω. Ας εισάγουμε λοιπόν μία πλήρη βάση για το C, την { μ ξ }, όπου το μ είναι ετικέτα των μακροσκοπικών υποχώρων και το ξ ετικέτα για τις μικροκαταστάσεις εντός του κάθε υποχώρου μ (ουσιαστικά σπάσαμε την κλασσική ετικέτα λ σε δύο μέρη μ και ξ, τα οποία όμως «ονοματίζουν» τα ίδια πράγματα, βλέπε σχήμα 6.13). γ Decoherence και θόρυβος Μέχρι τώρα η κβαντική εξέλιξη είναι καλώς ορισμένη και κατ αρχήν αντιστρέψιμη. Θα παρέμενε έτσι αν οι μακροσκοπικοί βαθμοί ελευθερίας της συσκευής μπορούσαν να απομονωθούν τελείως από το περιβάλλον. Μια τέτοια όμως απαίτηση είναι αντιφατική: πρέπει να διαβάσουμε το αποτέλεσμα μιας μέτρησης αν υπάρχει ποτέ περίπτωση να το χρησιμοποιήσουμε! Μια αναλυτικότερη μελέτη της αλληλεπίδρασης με το περιβάλλον, μαζί με ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου /622

10 κάποιες λογικές υποθέσεις, δείχνει ότι και οι καταστάσεις του περιβάλλοντος που είναι συσχετισμένες με υποχώρους του C με διαφορετικό μ, μπορούν, σε καλή προσέγγιση, να θεωρηθούν ορθογώνιες. Η μήτρα πυκνότητας γίνεται έτσι block-diagonal και όλες οι στατιστικές προβλέψεις ταυτίζονται με αυτές που θα προέκυπταν από μια απλή υπέρθεση (μη-κανονικοποιημένων) καθαρών καταστάσεων: ψ μ = s ξ c s sμ μ ξ (6.3-3) όπου το στατιστικό βάρος κάθε κατάστασης είναι το τετράγωνο της νόρμας της. Αυτό είναι το νόημα του όρου decoherence. Από εδώ και πέρα, οι μακροσκοπικοί βαθμοί ελευθερίας του C έχουν «απορροφηθεί στο κλασσικό επίπεδο». Μπορούμε με ασφάλεια να τους παρατηρήσουμε. Η decoherence παίζει σημαντικό ρόλο, και είναι επίσης σημαντικό να ξεχωρίσουμε την decoherence, (που προέρχεται από την ενόχληση του περιβάλλοντος από τη συσκευή), από το θόρυβο που προκαλεί λάθη (που προέρχεται από την ενόχληση της συσκευής ή του υπό μελέτη φυσικού συστήματος από το περιβάλλον). Ο θόρυβος είναι ένα ενδιαφέρον μα ενοχλητικό φαινόμενο που πάντως θα αγνοήσουμε σε ότι ακολουθεί. δ Οι μήτρες Kraus και οι POVM Σο τελικό βήμα μιας παρέμβασης είναι η απαλοιφή-εγκατάλειψη μέρους του σύνθετου συστήματος C. Σο εγκαταλελειμμένο μέρος μπορεί να εξαρτάται από το αποτέλεσμα μ. Εισάγουμε έτσι στον υποχώρο μ δύο υποσύνολα ανυσμάτων βάσης, τα σ και m για το νέο σύστημα και για το αγνοημένο μέρος αντίστοιχα ψ μ = s σ m c s U sμσm μ σ m (6.3-4α) από όπου 95 ( μ ) σ' τ' = Tr ~ m μ σ' ~ m ( ψ μ ψ μ ) μ τ' ~ m (6.3-4β) Έτσι η ( μ ) σ' τ' είναι ίση με 95 ημειώστε ότι sμ μ σ m = U sμσm μ σ m. Δηλαδή το U sμσm είναι στοιχείο μήτρας, το: μ σ m sμ μ σ m. ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου /622

11 ~m μ σ' ~ m ( s σ m c s U sμσm μ σ m s' ζ' m' c s' * μ ζ' m' U + s'μζ'm' ) μ τ' ~ m = = * c s' cs μ σ' m U ~ sμσm μ σ m μ ζ' m' U + s'μζ'm' μ τ' m ~ = ~m s σ m s' ζ' m' = m s σ s' ζ' * c s' cs μ σ' m U sμσm μ σ m μ ζ' m U + s'μζ'm μ τ' m = = s s' m c s' * cs μ σ' m U sμσ'm μ σ' m μ τ' m U + s'μζ'm' μ τ' m (6.3-5) Προκύπτει έτσι για το νέο σύστημα η ακόλουθη «εξ αναγωγής» μήτρα πυκνότητας ( ' μ ) σ'τ' = s s' m ( μm) (σ's) s s' ( + μm ) (τ's') (6.3-6) όπου ss' := c s c* s' είναι η αρχική πλήρως περιγεγραμμένη κατάσταση, και η γραφή ( μm) (σs) := μ σ m U sμσm μ σ m = μ σ m sμ μ σ m (6.3-7) εισάγεται για κατοπινή βολή μας. Θυμηθείτε ότι οι δείκτες s και σ αναφέρονται στο αρχικό σύστημα υπό μελέτη και στο τελικό αντίστοιχα. Εάν δεν γράψουμε αυτούς τους δείκτες η (6.3-6) λαμβάνει τη γνωστή μορφή ( ): μ = m (μm) + (μm) (6.3-8) όπου το μ είναι η ετικέτα που αφορά τον αισθητήρα και η ετικέτα m αφορά το υποσύστημα που εγκαταλείψαμε στο τέλος της αλληλεπίδρασης. Είναι φανερό ότι το «quantum jump» δεν είναι μία δυναμική διαδικασία που αφορά το κβαντικό σύστημα, αλλά ανακύπτει από την εισαγωγή της συσκευής και την επακόλουθη διαγραφή της ή από την εισαγωγή ενός άλλου υποσυστήματος. Το κβαντικό άλμα συμβαίνει ακόμη και αν δεν κάνει κλικ ο ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου /622

12 καταγραφέας διότι εμείς επιβάλουμε μία απότομη αλλαγή στο τρόπο που περί-ορίζουμε το αντικείμενο που ονομάζουμε «κβαντικό σύστημα υπό μελέτη». Η αρχική συνήθως είναι κανονικοποιημένη σε ίχνος μονάδα, και το ίχνος της μ είναι ίσο με τη πιθανότητα να μετρήσουμε μ. ημειώστε ότι κάθε σύμβολο (μm) στη παραπάνω εξίσωση αντιπροσωπεύει μήτρα και όχι στοιχείο μήτρας. Εκπεφρασμένα οι μήτρες Kraus (μm) δίνονται από την (6.3-7), όπου το Usμσm είναι το στοιχείο μήτρας της μοναδιακής αλληλεπίδρασης μεταξύ του συστήματος υπό μελέτη και της συσκευής συμπεριλαμβανομένου κάθε βοηθητικού συστήματος που ακολούθως διαγράφεται. Η (6.3-8) γράφεται και μ = όπου η ποσότητα είναι ένας γραμμικός υπερτελεστής που δρα σε μήτρες πυκνότητας όπως οι απλοί τελεστές δρουν σε καταστάσεις. ημειώστε ότι πάντως η μορφή του είναι ειδική και ακολουθεί τη (6.3-8). Είναι αξιοσημείωτο ότι, όπως είπαμε και στο κεφάλαιο 4.13, η (6.3-8) αποτελεί τη πιο γενική μορφή πλήρως θετικού (CP) γραμμικού μετασχηματισμού. Αυτή είναι μια σημαντική ιδιότητα: ένας γραμμικός μετασχηματισμός ( ) καλείται θετικός εάν μετασχηματίζει θετικές μήτρες (δηλαδή μήτρες χωρίς αρνητικές ιδιοτιμές) σε θετικές μήτρες. Καλείται πλήρως θετικός (CP completely positive) αν ο ( ) δρώντας σε μία διτμηματική παράγει επίσης διτμηματική. Η πιθανότητα μέτρησης τώρα του αποτελέσματος μ γράφεται ως p μ = m + Tr( (μm) (μm) ) = Tr( μ) (6.3-9) Οι θετικοί τελεστές μ = m + (μm) (μm) (6.3-10) των οποίων οι διαστάσεις είναι όμοιες με αυτές της αρχικής, ικανοποιούν μ χ μ = (6.3-11) ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου /622

13 χάρη στη μοναδιακότητα της sμσm. Έτσι είναι στοιχεία μιας POVM. Αντίστροφα, δοσμένης μιας μ (θετικής μήτρας) είναι πάντα δυνατό να διαμεριστεί με άπειρους τρόπους όπως στις παραπάνω εξισώσεις. την ειδική περίπτωση που τα στοιχεία μ της POVM μετατίθενται, τότε είναι προβολικοί τελεστές και η POVM γίνεται μία projection valued measure (PVM). Η αντιστοιχούσα παρέμβαση καλείται τότε και μέτρηση von Neumann. ε Το θεώρημα της μη-επικοινωνίας Μία ικανή συνθήκη για να μην υπάρξει στιγμιαία μεταφορά πληροφορίας από κάποια μακρινή κβαντική πράξη είναι: [ (μm), (νn)] = 0 (6.3-12) όπου (μm) και (νn) είναι οι μήτρες Kraus για την παρατήρηση των αποτελεσμάτων μ από την Alice και ν από τον Bob. Πράγματι, η πιθανότητα ώστε ο Bob να λάβει ένα αποτέλεσμα ν, ανεξάρτητα από το τι βρήκε η Alice, είναι: p ν = μ Tr m n (νn) (μm) + (μm) + (νn) (6.3-13) Φρησιμοποιούμε τώρα την (6.3-12) για να ανταλλάξουμε τις θέσεις των (μm) και (νn), και ομοίως αυτές των + (μm) και + (νn), και μετά μετακινούμε την (μm) από την πρώτη θέση στη τελευταία στο γινόμενο των τελεστών μέσα στο ίχνος. Έτσι προκύπτει η έκφραση (6.3-10). Αυτά είναι στοιχεία μιας POVM που ικανοποιεί μ χ μ = (6.3-14) Έτσι η (6.3-13) καταλήγει σε ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου /622

Η Εντροπία. Δρ. Αθανάσιος Χρ. Τζέμος. Κέντρο Ερευνών Αστρονομίας και Εφηρμοσμένων Μαθηματικών Ακαδημία Αθηνών

Η Εντροπία. Δρ. Αθανάσιος Χρ. Τζέμος. Κέντρο Ερευνών Αστρονομίας και Εφηρμοσμένων Μαθηματικών Ακαδημία Αθηνών Η Εντροπία Δρ. Αθανάσιος Χρ. Τζέμος Κέντρο Ερευνών Αστρονομίας και Εφηρμοσμένων Μαθηματικών Ακαδημία Αθηνών Θερμοδυναμική +Στατιστική Μηχανική= Θερμική Φυσική Η Θερμοδυναμική ασχολείται με τις μακροσκοπικές

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων, Ειδική Σχετικότητα, Διάλεξη 5 Οι Μετασχηματισμοί του Lorentz και η Συστολή του μήκους

Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων, Ειδική Σχετικότητα, Διάλεξη 5 Οι Μετασχηματισμοί του Lorentz και η Συστολή του μήκους 1 Οι Μετασχηματισμοί του Lorentz και η Συστολή του μήκους Σκοποί της πέμπτης διάλεξης: 10.11.2011 Εξοικείωση με τους μετασχηματισμούς του Lorentz και τις διάφορες μορφές που μπορούν να πάρουν για την επίλυση

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202. Ο γενικός φορμαλισμός Dirac ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC. Στέλιος Τζωρτζάκης 21/11/2013

ETY-202. Ο γενικός φορμαλισμός Dirac ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC. Στέλιος Τζωρτζάκης 21/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC Στέλιος Τζωρτζάκης Ο γενικός φορμαλισμός Dirac 1 3 4 Εικόνες και αναπαραστάσεις Επίσης μια πολύ χρήσιμη ιδιότητα

Διαβάστε περισσότερα

(με ιδιοτιμές 1,0 και 1 αντίστοιχα ) είναι οι. i i i. ui ui u. i Tr u u Tr ˆ Fˆ

(με ιδιοτιμές 1,0 και 1 αντίστοιχα ) είναι οι. i i i. ui ui u. i Tr u u Tr ˆ Fˆ Παράδειγμα ( Αφορά στις λεγόμενες μη ορθογώνιες μετρήσεις) Σωματίδιο με spn βρίσκεται στην κατάσταση: a 0 b () όπου 0, και οι ιδιοκαταστάσεις του S ˆz. Έστω ότι θέλετε να μετρήσετε την προβολή του spn

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο διανυσματικός χώρος των φυσικών καταστάσεων Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

Η εξίσωση Dirac (Ι) Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 1

Η εξίσωση Dirac (Ι) Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 1 Η εξίσωση Dirac (Ι) Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 1 Μη- Σχετικιστική Κβαντομηχανική Η μη- σχετικιστική έκφραση για την ενέργεια: Στην QM αντιστοιχούμε την ενέργεια και την ορμή με Τελεστές:

Διαβάστε περισσότερα

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 10, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων. Ορμή και Ενέργεια στην Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 10, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων. Ορμή και Ενέργεια στην Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας 1 Ορμή και Ενέργεια στην Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας Σκοπός της δέκατης διάλεξης: 10/11/12 Η κατανόηση των εννοιών της ολικής ενέργειας, της κινητικής ενέργειας και της ορμής στην ειδική θεωρία της

Διαβάστε περισσότερα

Spin του πυρήνα Μαγνητική διπολική ροπή Ηλεκτρική τετραπολική ροπή. Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής

Spin του πυρήνα Μαγνητική διπολική ροπή Ηλεκτρική τετραπολική ροπή. Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής Spin του πυρήνα Μαγνητική διπολική ροπή Ηλεκτρική τετραπολική ροπή Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής Εξάρτηση του πυρηνικού δυναμικού από άλλους παράγοντες (πλην της απόστασης) Η συνάρτηση του δυναμικού

Διαβάστε περισσότερα

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 4, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων Η Αρχές της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας και οι μετασχηματισμοί του Lorentz

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 4, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων Η Αρχές της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας και οι μετασχηματισμοί του Lorentz 1 Η Αρχές της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας και οι μετασχηματισμοί του Lorentz Σκοποί της τέταρτης διάλεξης: 25.10.2011 Να κατανοηθούν οι αρχές με τις οποίες ο Albert Einstein θεμελίωσε την ειδική θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Nobel Φυσικής για Κβαντική Ηλεκτροδυναμική

Nobel Φυσικής για Κβαντική Ηλεκτροδυναμική Spin Nobel Φυσικής για Κβαντική Ηλεκτροδυναμική Δομή Διάλεξης Το πείραμα Stern-Gerlach: Πειραματική απόδειξη spin Ο δισδιάστατος χώρος καταστάσεων spin του ηλεκτρονίου: οι πίνακες Pauli Χρονική εξέλιξη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 38 Κβαντική Μηχανική

Κεφάλαιο 38 Κβαντική Μηχανική Κεφάλαιο 38 Κβαντική Μηχανική Περιεχόμενα Κεφαλαίου 38 Κβαντική Μηχανική Μια καινούργια Θεωρία Η κυματοσυνάρτηση και η εξήγησή της. Το πείραμα της διπλής σχισμής. Η αρχή της αβεβαιότητας του Heisenberg.

Διαβάστε περισσότερα

5 Σχετικιστική μάζα. Στο Σ Πριν Μετά. Στο Σ

5 Σχετικιστική μάζα. Στο Σ Πριν Μετά. Στο Σ Α Τόγκας - ΑΜ333: Ειδική Θεωρία Σχετικότητας Σχετικιστική μάζα 5 Σχετικιστική μάζα Όπως έχουμε διαπιστώσει στην ειδική θεωρία της Σχετικότητας οι μετρήσεις των χωρικών και χρονικών αποστάσεων εξαρτώνται

Διαβάστε περισσότερα

21/11/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 06. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης

21/11/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 06. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 06. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ 1 3 4 Το δυναμικό του αρμονικού ταλαντωτή Η παραβολική προσέγγιση βρίσκει άμεση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΤΟΜΙΚΗΣ (FineStructureA) Ακαδ. Ετος: Ε. Βιτωράτος

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΤΟΜΙΚΗΣ (FineStructureA) Ακαδ. Ετος: Ε. Βιτωράτος ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΤΟΜΙΚΗΣ (FineStructureA) Ακαδ. Ετος: 016-017 Ε. Βιτωράτος Υπολογισμός της ενέργειας αλληλεπίδρασης σπιν-τροχιάς στην περίπτωση του υδρογόνου Η τιμή της ενέργειας αλληλεπίδρασης σπιν-τροχιάς

Διαβάστε περισσότερα

Μοριακή Φασματοσκοπία I. Παραδόσεις μαθήματος Θ. Λαζαρίδης

Μοριακή Φασματοσκοπία I. Παραδόσεις μαθήματος Θ. Λαζαρίδης Μοριακή Φασματοσκοπία I Παραδόσεις μαθήματος Θ. Λαζαρίδης 2 Τι μελετά η μοριακή φασματοσκοπία; Η μοριακή φασματοσκοπία μελετά την αλληλεπίδραση των μορίων με την ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία Από τη μελέτη

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντικές Καταστάσεις

Κβαντικές Καταστάσεις Κβαντικές Καταστάσεις Δομή Διάλεξης Σύντομη ιστορική ανασκόπηση Ανασκόπηση Πιθανότητας Το Πλάτος Πιθανότητας Πείραμα διπλής οπής Κβαντικές καταστάσεις (ket) Ο δυίκός χώρος (bra) Σύνοψη Κβαντική Φυσική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Η Αναπαράσταση της Θέσης (Position Representation)

Η Αναπαράσταση της Θέσης (Position Representation) Η Αναπαράσταση της Θέσης (Position Representation) Δομή Διάλεξης Το παρατηρήσιμο μέγεθος της θεσης και τα αντίστοιχα πλάτη πιθανότητας (συνεχές φάσμα ιδιοτιμών και ιδιοκαταστάσεων) Οι τελεστές της θέσης

Διαβάστε περισσότερα

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER 4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Σκοπός του κεφαλαίου είναι να παρουσιάσει μερικές εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier (ΜF). Ειδικότερα στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφούν έμμεσοι τρόποι

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202. Εκπομπή και απορρόφηση ακτινοβολίας ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 12. ΎΛΗ & ΦΩΣ. Στέλιος Τζωρτζάκης 21/12/2012

ETY-202. Εκπομπή και απορρόφηση ακτινοβολίας ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 12. ΎΛΗ & ΦΩΣ. Στέλιος Τζωρτζάκης 21/12/2012 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 Εκπομπή και απορρόφηση ακτινοβολίας ΎΛΗ & ΦΩΣ 12. ΎΛΗ & ΦΩΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ηλεκτρομαγνητικά πεδία Απορρόφηση είναι Σε αυτή τη διαδικασία το ηλεκτρόνιο

Διαβάστε περισσότερα

Δύο διακρίσιμα σωμάτια με σπιν s 1

Δύο διακρίσιμα σωμάτια με σπιν s 1 Δύο διακρίσιμα σωμάτια με σπιν και Σύνδεση της βάσης των ιδιοκαταστάσεων του τετραγώνου και της z συνιστώσας του ολικού σπιν με τη βάση που αποτελείται από τα τανυστικά γινόμενα των καταστάσεων των δύο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων. 5 ο Εξάμηνο Δεκέμβριος 2009

Εισαγωγή στη Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων. 5 ο Εξάμηνο Δεκέμβριος 2009 Εισαγωγή στη Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων 5 ο Εξάμηνο Δεκέμβριος 2009 Νόμοι Διατήρησης κβαντικών αριθμών Αρχές Αναλλοίωτου Συμμετρία ή αναλλοίωτο των εξισώσεων που περιγράφουν σύστημα σωματιδίων κάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 73

ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 73 ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 73 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 4.. Εισαγωγή Στο παρόν κεφάλαιο θα μελετηθούν οι ελεύθερες ταλαντώσεις συστημάτων που περιγράφονται

Διαβάστε περισσότερα

Πώς μια μάζα αντιλαμβάνεται ότι κάπου υπάρχει μια άλλη και αλληλεπιδρά με αυτή ; Η αλληλεπίδραση μεταξύ μαζών περιγράφεται με την έννοια του πεδίου.

Πώς μια μάζα αντιλαμβάνεται ότι κάπου υπάρχει μια άλλη και αλληλεπιδρά με αυτή ; Η αλληλεπίδραση μεταξύ μαζών περιγράφεται με την έννοια του πεδίου. ΒΑΡΥΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΓΕΝΙΚΑ Δυο σημειακές μάζες που απέχουν απόσταση r έλκονται με δύναμη που είναι ανάλογη του γινομένου των μαζών και αντίστροφα ανάλογη του τετραγώνου της απόστασής τους. Όπου G η σταθερά

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήµιο Αθηνών. προς το χρόνο και χρησιµοποιείστε την εξίσωση Schrodinger για να βρείτε τη χρονική παράγωγο της κυµατοσυνάρτησης.

Πανεπιστήµιο Αθηνών. προς το χρόνο και χρησιµοποιείστε την εξίσωση Schrodinger για να βρείτε τη χρονική παράγωγο της κυµατοσυνάρτησης. Πανεπιστήµιο Αθηνών Τµήµα Φυσικής Κβαντοµηχανική Ι Α Καρανίκας και Π Σφήκας Άσκηση 1 Η Hamiltonian ενός συστήµατος έχει τη γενική µορφή Δείξτε ότι Υπόδειξη: Ξεκινείστε από τον ορισµό της αναµενόµενης τιµής,

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

5 Σχετικιστική μάζα. Στο Σ Πριν Μετά. Στο Σ

5 Σχετικιστική μάζα. Στο Σ Πριν Μετά. Στο Σ Α Τόγκας - ΑΜ333: Ειδική Θεωρία Σχετικότητας Σχετικιστική μάζα 5 Σχετικιστική μάζα Όπως έχουμε διαπιστώσει στην ειδική θεωρία της Σχετικότητας οι μετρήσεις των χωρικών και χρονικών αποστάσεων εξαρτώνται

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση φορτισμένου σωματιδίου σε χώρο, όπου συνυπάρχουν ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο ομογενή και χρονοανεξάρτητα

Κίνηση φορτισμένου σωματιδίου σε χώρο, όπου συνυπάρχουν ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο ομογενή και χρονοανεξάρτητα Κίνηση φορτισμένου σωματιδίου σε χώρο, όπου συνυπάρχουν ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο ομογενή και χρονοανεξάρτητα Μέρος α : Εξισώσεις κίνησης και συμπεράσματα) Α. Τι βλέπει ένας αδρανειακός παρατηρητής

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙI Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Α. Καρανίκας και Π. Σφήκας Σημειώσεις IX: Πρόσθεση στροφορμών Υπάρχουν πάμπολα φυσικά συστήματα στα οποία η κίνηση των επί μέρους σωματιδίων ή τα spin

Διαβάστε περισσότερα

Sˆy. Η βάση για την οποία συζητάμε απαρτίζεται από τα ανύσματα = (1) ˆ 2 ± =± ± Άσκηση 20. (βοήθημα θεωρίας)

Sˆy. Η βάση για την οποία συζητάμε απαρτίζεται από τα ανύσματα = (1) ˆ 2 ± =± ± Άσκηση 20. (βοήθημα θεωρίας) Άσκηση 0. (βοήθημα θεωρίας) Έστω + και η βάση που συγκροτούν οι (κοινές) ιδιοκαταστάσεις των τελεστών ˆ S και Sˆz ενός σωματίου με spin 1/. Να βρείτε την αναπαράσταση των τελεστών S ˆx, Sˆ και Sˆz στη

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηματισμοί Καταστάσεων και Τελεστών

Μετασχηματισμοί Καταστάσεων και Τελεστών Μετασχηματισμοί Καταστάσεων και Τελεστών Δομή Διάλεξης Μετασχηματισμοί Καταστάσεων Τελεστής Μετατόπισης Συνεχείς Μετασχηματισμοί και οι Γεννήτορές τους Τελεστής Στροφής Διακριτοί Μετασχηματισμοί: Parity

Διαβάστε περισσότερα

16/12/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 09. ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ

16/12/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 09. ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 09. ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 φάση Η έννοια των ταυτόσημων σωματιδίων Ταυτόσημα αποκαλούνται όλα τα σωματίδια

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντικό Σωμάτιο σε Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο

Κβαντικό Σωμάτιο σε Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο Κβαντικό Σωμάτιο σε Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο Δομή Διάλεξης Χαμιλτονιανή και Ρεύμα Πιθανότητας για Σωμάτιο σε Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο Μετασχηματισμοί Βαθμίδας Αρμονικός Ταλαντωτής σε Ηλεκτρικό Πεδίο Σωμάτιο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΕΔΡΑΙΩΜΕΝΗ ΕΠΙ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΗΤΑΣ ΟΤΙ Η ΦΥΣΗ ΔΕ ΣΥΓΚΡΟΤΕΙΤΑΙ ΜΟΝΟ ΑΠΟ ΥΛΗ

ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΕΔΡΑΙΩΜΕΝΗ ΕΠΙ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΗΤΑΣ ΟΤΙ Η ΦΥΣΗ ΔΕ ΣΥΓΚΡΟΤΕΙΤΑΙ ΜΟΝΟ ΑΠΟ ΥΛΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΕΔΡΑΙΩΜΕΝΗ ΕΠΙ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΗΤΑΣ ΟΤΙ Η ΦΥΣΗ ΔΕ ΣΥΓΚΡΟΤΕΙΤΑΙ ΜΟΝΟ ΑΠΟ ΥΛΗ 1.Η Φυσική ως η επιστήμη που μελετά τις ιδιότητες της ύλης Για τη Φυσική η ύλη είναι μια αδιαμφισβήτητη πραγματικότητα.

Διαβάστε περισσότερα

E + m. m + E 2m (σ p)/(2m) v. i( p) x = v(p, 97/389

E + m. m + E 2m (σ p)/(2m) v. i( p) x = v(p, 97/389 97/389 Χρησιμοποιώντας τον ίδιο νορμαλισμό N = E + m έχουμε vp, s = σ p E + m E +m χs χ s, s =, 2 και ψ = vp, se i p x = vp, se ip x με p = E, p. Η επιλογή είναι χ = και χ 2 = γιατί η απουσία ενός άνω

Διαβάστε περισσότερα

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 12, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων Διαγράμματα Minkowski

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 12, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων Διαγράμματα Minkowski 1 Διαγράμματα Minkowski Σκοποί της διάλεξης 12: Να εισάγει τα διαγράμματα Minkowski. 18.1.2012 Να περιγράψει την ιδέα του ταυτοχρονισμού στην θεωρία της σχετικότητας με μεθόδους γεωμετρίας. Να εισάγει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 17-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Την προηγούμενη φορά αναφέραμε (και αποδείξαμε στην περίπτωση n = 2) το θεώρημα που λέει ότι, αν n N, n 2, τότε για κάθε y 0 υπάρχει μοναδική μηαρνητική

Διαβάστε περισσότερα

Τανυστές στην Κβαντομηχανική Κβαντική Πληροφορική

Τανυστές στην Κβαντομηχανική Κβαντική Πληροφορική Αθανάσιος Χρ. Τζέμος Τομέας Θεωρητικής Φυσική Τανυστές στην Κβαντομηχανική Κβαντική Πληροφορική Το ζήτημα των τανυστών είναι πολύ σημαντικό τόσο για την Κβαντομηχανική, όσο και για τη Σχετικότητα. Οι δύο

Διαβάστε περισσότερα

Λυμένες ασκήσεις στροφορμής

Λυμένες ασκήσεις στροφορμής Λυμένες ασκήσεις στροφορμής Θα υπολογίσουμε τη δράση των τελεστών κλίμακας J ± σε μια τυχαία ιδιοκατάσταση j, m των τελεστών J και Jˆ. Λύση Δείξαμε ότι η κατάσταση Jˆ± j, m είναι επίσης ιδιοκατάσταση των

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι Άσκηση 1: Θεωρήστε δύο ορθοκανονικά διανύσματα ψ 1 και ψ και υποθέστε ότι αποτελούν βάση σε ένα χώρο δύο διαστάσεων. Θεωρήστε επίσης ένα τελαστή T που ορίζεται στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Ηλεκτροδυναμική

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ενότητα 18: Νόμοι Maxwell Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να παρουσίασει τις εξισώσεις Maxwell. 2 Περιεχόμενα ενότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΑΚΗ ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Η ΔΟΜΗ ΤΟΥ ΑΤΟΜΟΥ II. ΤΟ ΦΩΣ ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΟΥ BOHR Ν. ΜΠΕΚΙΑΡΗΣ

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΑΚΗ ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Η ΔΟΜΗ ΤΟΥ ΑΤΟΜΟΥ II. ΤΟ ΦΩΣ ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΟΥ BOHR Ν. ΜΠΕΚΙΑΡΗΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΑΚΗ ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Η ΔΟΜΗ ΤΟΥ ΑΤΟΜΟΥ II. ΤΟ ΦΩΣ ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΟΥ BOHR Ν. ΜΠΕΚΙΑΡΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Κλειδί στην παραπέρα διερεύνηση της δομής του ατόμου είναι η ερμηνεία της φύσης του φωτός και ιδιαίτερα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Σχετικότητα και την Κοσμολογία ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

Εισαγωγή στη Σχετικότητα και την Κοσμολογία ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Εισαγωγή στη Σχετικότητα και την Κοσμολογία Διδάσκων: Θεόδωρος Τομαράς, Πανεπιστήμιο Κρήτης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Εβδομάδα 1 Σχετικότητα 1.1 Η ανεπάρκεια της μηχανικής του Νεύτωνα V1.1.1 Σύντομη εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙΙ

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙΙ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙΙ Χρονικά Ανεξάρτητη Θεωρία Διαταραχών. Τα περισσότερα φυσικά συστήματα που έχομε προσεγγίσει μέχρι τώρα περιγράφονται από μία κύρια Χαμιλτονιανή η οποία

Διαβάστε περισσότερα

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες

Διαβάστε περισσότερα

Η Φυσική που δεν διδάσκεται ΣΥΛΛΟΓΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΚΡΗΤΗΣ

Η Φυσική που δεν διδάσκεται ΣΥΛΛΟΓΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΚΡΗΤΗΣ Η Φυσική που δεν διδάσκεται ΣΥΛΛΟΓΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΚΡΗΤΗΣ Αλήθεια τι είναι η «Φυσική» ; Είναι ένα άσχημο μάθημα με τύπους και εξισώσεις;; ή μήπως είναι η επιστήμη που μελετάει την φύση και προσπαθεί να κατανοήσει

Διαβάστε περισσότερα

Αλληλεπιδράσεις µε Ανταλλαγή Σωµατιδίων

Αλληλεπιδράσεις µε Ανταλλαγή Σωµατιδίων Αλληλεπιδράσεις µε Ανταλλαγή Σωµατιδίων X! g! g! X! g! g! Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας 2016 1 Θα αναπτύξουµε υπολογιστικές µεθόδους για ενεργές διατοµές σκέδασης Θα αρχίσουµε µε: e + µ + e e e + e µ + µ γ e

Διαβάστε περισσότερα

PLANCK 1900 Προκειμένου να εξηγήσει την ακτινοβολία του μέλανος σώματος αναγκάστηκε να υποθέσει ότι η ακτινοβολία εκπέμπεται σε κβάντα ενέργειας που

PLANCK 1900 Προκειμένου να εξηγήσει την ακτινοβολία του μέλανος σώματος αναγκάστηκε να υποθέσει ότι η ακτινοβολία εκπέμπεται σε κβάντα ενέργειας που ΑΤΟΜΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ PLANCK 1900 Προκειμένου να εξηγήσει την ακτινοβολία του μέλανος σώματος αναγκάστηκε να υποθέσει ότι η ακτινοβολία εκπέμπεται σε κβάντα ενέργειας που είναι ανάλογα με τη συχνότητα (f). PLANCK

Διαβάστε περισσότερα

Το κυματοπακέτο. (Η αρίθμηση των εξισώσεων είναι συνέχεια της αρίθμησης που εμφανίζεται στο εδάφιο «Ελεύθερο Σωμάτιο».

Το κυματοπακέτο. (Η αρίθμηση των εξισώσεων είναι συνέχεια της αρίθμησης που εμφανίζεται στο εδάφιο «Ελεύθερο Σωμάτιο». Το κυματοπακέτο (Η αρίθμηση των εξισώσεων είναι συνέχεια της αρίθμησης που εμφανίζεται στο εδάφιο «Ελεύθερο Σωμάτιο». Ένα ελεύθερο σωμάτιο δεν έχει κατ ανάγκη απολύτως καθορισμένη ορμή. Αν, για παράδειγμα,

Διαβάστε περισσότερα

1 p p a y. , όπου H 1,2. u l, όπου l r p και u τυχαίο μοναδιαίο διάνυσμα. Δείξτε ότι μπορούν να γραφούν σε διανυσματική μορφή ως εξής.

1 p p a y. , όπου H 1,2. u l, όπου l r p και u τυχαίο μοναδιαίο διάνυσμα. Δείξτε ότι μπορούν να γραφούν σε διανυσματική μορφή ως εξής. ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου V Άσκηση : Οι θεμελιώδεις σχέσεις μετάθεσης της στροφορμής επιτρέπουν την ύπαρξη ακέραιων και ημιπεριττών ιδιοτιμών Αλλά για την τροχιακή στροφορμή L r p γνωρίζουμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 39 Κβαντική Μηχανική Ατόμων

Κεφάλαιο 39 Κβαντική Μηχανική Ατόμων Κεφάλαιο 39 Κβαντική Μηχανική Ατόμων Περιεχόμενα Κεφαλαίου 39 Τα άτομα από την σκοπιά της κβαντικής μηχανικής Το άτομο του Υδρογόνου: Η εξίσωση του Schrödinger και οι κβαντικοί αριθμοί ΟΙ κυματοσυναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ & ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗ ΣΩΜΑΤΙΑ. Ομοτιμία Κβαντικοί Αριθμοί Συμμετρίες και Νόμοι Διατήρησης

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ & ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗ ΣΩΜΑΤΙΑ. Ομοτιμία Κβαντικοί Αριθμοί Συμμετρίες και Νόμοι Διατήρησης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ & ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗ ΣΩΜΑΤΙΑ Ν. Γιόκαρης,, (Κ.Ν.( Παπανικόλας) & Ε. Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ,, 2016 Ομοτιμία Κβαντικοί Αριθμοί Συμμετρίες και Νόμοι Διατήρησης 1 Stathis STILIARIS,

Διαβάστε περισσότερα

1. Μετάπτωση Larmor (γενικά)

1. Μετάπτωση Larmor (γενικά) . Μετάπτωση Larmor (γενικά) Τι είναι η μετάπτωση; Μετάπτωση είναι η αλλαγή της διεύθυνσης του άξονα περιστροφής ενός περιστρεφόμενου αντικειμένου. Αν ο άξονας περιστροφής ενός αντικειμένου περιστρέφεται

Διαβάστε περισσότερα

Χημεία Γ Λυκείου Θετικής Κατεύθυνσης

Χημεία Γ Λυκείου Θετικής Κατεύθυνσης Χημεία Γ Λυκείου Θετικής Κατεύθυνσης Κεφάλαιο 1 Ηλεκτρονιακή δομή των ατόμων 1 Εισαγωγή Δομή του ατόμου Δημόκριτος Αριστοτέλης Dalton Thomson 400 π.χ. 350π.χ. 1808 1897 Απειροελάχιστα τεμάχια ύλης (τα

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρώντας κβαντικά φαινόμενα δια γυμνού οφθαλμού

Παρατηρώντας κβαντικά φαινόμενα δια γυμνού οφθαλμού Παρατηρώντας κβαντικά φαινόμενα δια γυμνού οφθαλμού του Δρ. Γεωργίου Καβουλάκη Όπως αναφέρεται στην ειδησεογραφία του παρόντος τεύχους, το ΤΕΙ Κρήτης μετέχει σε ένα δίκτυο έρευνας του Ευρωπαϊκού Ιδρύματος

Διαβάστε περισσότερα

Δομή Διάλεξης. Ορισμός-Παραδείγματα Τελεστών. Αναμενόμενες τιμές φυσικών μεγεθών με χρήση τελεστών. Ιδιοκαταστάσεις και Ιδιοτιμές τελεστών

Δομή Διάλεξης. Ορισμός-Παραδείγματα Τελεστών. Αναμενόμενες τιμές φυσικών μεγεθών με χρήση τελεστών. Ιδιοκαταστάσεις και Ιδιοτιμές τελεστών Τελεστές Δομή Διάλεξης Ορισμός-Παραδείγματα Τελεστών Αναμενόμενες τιμές φυσικών μεγεθών με χρήση τελεστών Ιδιοκαταστάσεις και Ιδιοτιμές τελεστών Ερμητειανοί τελεστές Στοιχεία πίνακα τελεστών Μεταθέτες

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος... 9 Δύο λόγια για το νέο ερευνητή Δύο λόγια για το Διδάσκοντα Ένα κβαντικό παιχνίδι... 15

Περιεχόμενα. Πρόλογος... 9 Δύο λόγια για το νέο ερευνητή Δύο λόγια για το Διδάσκοντα Ένα κβαντικό παιχνίδι... 15 Περιεχόμενα Πρόλογος... 9 Δύο λόγια για το νέο ερευνητή... 11 Δύο λόγια για το Διδάσκοντα... 1 Ένα κβαντικό παιχνίδι... 15 Κεφάλαιο 1: Κβαντικά συστήματα δύο καταστάσεων...17 1.1 Το κβαντικό κέρμα... 17

Διαβάστε περισσότερα

Το Μποζόνιο Higgs. Το σωματίδιο Higgs σύμφωνα με το Καθιερωμένο Πρότυπο

Το Μποζόνιο Higgs. Το σωματίδιο Higgs σύμφωνα με το Καθιερωμένο Πρότυπο 1 Το Μποζόνιο Higgs 29/05/13 Σκοποί: I. Να απαντήσει στο ερώτημα του τι είναι ακριβώς το σωματίδιο Higgs. II. Να εισάγει τους διάφορους τρόπους παραγωγής και μετάπτωσης του Higgs. III. Να δώσει μία σύντομη

Διαβάστε περισσότερα

Από τι αποτελείται το Φως (1873)

Από τι αποτελείται το Φως (1873) Από τι αποτελείται το Φως (1873) Ο James Maxwell έδειξε θεωρητικά ότι το ορατό φως αποτελείται από ηλεκτρομαγνητικά κύματα. Ηλεκτρομαγνητικό κύμα είναι η ταυτόχρονη διάδοση, μέσω της ταχύτητας του φωτός

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΧΩΡΟΣ ΚΑΙ Ο ΧΡΟΝΟΣ

Ο ΧΩΡΟΣ ΚΑΙ Ο ΧΡΟΝΟΣ Ο ΧΩΡΟΣ ΚΑΙ Ο ΧΡΟΝΟΣ. Γενικές αρχές. Η αντιληπτική μας ικανότητα του Φυσικού Χώρου, μας οδηγεί στον προσδιορισμό των σημείων του, μέσω τριών ανεξαρτήτων παραμέτρων. Είναι, λοιπόν, αποδεκτή η απεικόνισή

Διαβάστε περισσότερα

Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΜΑΘΗΜΑ 1: Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Τίποτε δεν θεωρώ μεγαλύτερο αίνιγμα από το χρόνο και το χώρο Εντούτοις, τίποτε δεν με απασχολεί λιγότερο από αυτά επειδή ποτέ δεν τα σκέφτομαι Charles

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑ ΟΧΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ

ΙΑ ΟΧΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ Tel.: +30 2310998051, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής 541 24 Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/theodoru ΙΑ ΟΧΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Τα ηλεκτρόνια των ατόμων, όπως έχουμε δει μέχρι τώρα, έχουν τροχιακή στροφορμή και στροφορμή λόγω ιδιοπεριστροφής των (σπιν).

Τα ηλεκτρόνια των ατόμων, όπως έχουμε δει μέχρι τώρα, έχουν τροχιακή στροφορμή και στροφορμή λόγω ιδιοπεριστροφής των (σπιν). Σύζευξη σπιν-τροχιάς Τα ηλεκτρόνια των ατόμων, όπως έχουμε δει μέχρι τώρα, έχουν τροχιακή στροφορμή και στροφορμή λόγω ιδιοπεριστροφής των (σπιν). Και οι δύο τύποι στροφορμής έχουν συνέπεια την παραγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ Περιεχόμενα 1. Μοντέλο υλικού σώματος 2. Ορισμοί μάζα γραμμομόριο 3. Η κατάσταση ενός υλικού 4. Τα βασικά γνωρίσματα των καταστάσεων 5. Το μοντέλο του ιδανικού

Διαβάστε περισσότερα

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 3, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων Η θεωρία του αιθέρα καταρρίπτεται από το πείραμα των Michelson και Morley

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 3, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων Η θεωρία του αιθέρα καταρρίπτεται από το πείραμα των Michelson και Morley 1 Η θεωρία του αιθέρα καταρρίπτεται από το πείραμα των Mihelson και Morley 0.10.011 Σκοποί της τρίτης διάλεξης: Να κατανοηθεί η ιδιαιτερότητα των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων (π. χ. φως) σε σχέση με άλλα

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI Ταλαντωτής µε µεταβλητή συχνότητα

Μηχανική ΙI Ταλαντωτής µε µεταβλητή συχνότητα Τµήµα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου 22/5/2000 Μηχανική ΙI Ταλαντωτής µε µεταβλητή συχνότητα Τι θα συµβεί στην περίοδο ενός εκκρεµούς εάν το µήκος του νήµατος µεταβάλλεται µε αργό ρυθµό; Το πρόβληµα προτάθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Διδάσκων: Θεόδωρος Ν. Τομαράς 1. Μετασχηματισμοί συντεταγμένων και συμμετρίες. 1α. Στροφές στο επίπεδο. Θεωρείστε δύο καρτεσιανά συστήματα συντεταγμένων στο επίπεδο, στραμμένα

Διαβάστε περισσότερα

Σύγχρονη Φυσική - 2012: Πυρηνική Φυσική και Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων 11/05/15

Σύγχρονη Φυσική - 2012: Πυρηνική Φυσική και Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων 11/05/15 Διάλεξη 14: Μεσόνια και αντισωματίδια Μεσόνια Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως (διάλεξη 13) η έννοια των στοιχειωδών σωματίων άλλαξε πολλές φορές μέχρι σήμερα. Μέχρι το 1934 ο κόσμος των στοιχειωδών σωματιδίων

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville

Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 16/5/2000 Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville Στη Χαµιλτονιανή θεώρηση η κατάσταση του συστήµατος προσδιορίζεται κάθε στιγµή από ένα και µόνο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΤΡΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ eclass: MED808 Π. Παπαγιάννης

ΙΑΤΡΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ eclass: MED808 Π. Παπαγιάννης ΙΑΤΡΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ eclass: MED808 Π. Παπαγιάννης Επικ. Καθηγητής, Εργαστήριο Ιατρικής Φυσικής, Ιατρική Σχολή Αθηνών. Γραφείο 21 210-746 2442 ppapagi@phys.uoa.gr Τις προσεχείς ώρες θα συζητήσουμε τα πέντε πρώτα

Διαβάστε περισσότερα

KΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

KΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 KΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ Κυματική εξίσωση Schrödiger Η δυνατότητα ενός σωματιδίου να συμπεριφέρεται ταυτόχρονα και ως κύμα, δηλαδή να είναι εντοπισμένο

Διαβάστε περισσότερα

Q 40 th International Physics Olympiad, Merida, Mexico, July 2009

Q 40 th International Physics Olympiad, Merida, Mexico, July 2009 ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ No. 2 DOPPLER LASER ΨΥΞΗ ΚΑΙ ΟΠΤΙΚΕΣ ΜΕΛΑΣΣΕΣ Ο σκοπός αυτού του προβλήματος είναι η ανάπτυξη μιας απλής θεωρίας για να κατανοήσουμε δύο φαινόμενα, που ονομάζονται «laser ψύξη» και «οπτικές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Σωμάτιο σε Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Σωμάτιο σε Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Σωμάτιο σε Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΡΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΡΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΡΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 1. Ένα κιλό νερού σε θερμοκρασία 0 C έρχεται σε επαφή με μιά μεγάλη θερμική δεξαμενή θερμοκρασίας 100 C. Όταν το νερό φτάσει στη θερμοκρασία της δεξαμενής,

Διαβάστε περισσότερα

. Να βρεθεί η Ψ(x,t).

. Να βρεθεί η Ψ(x,t). ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου II Άσκηση 1: Εάν η κυματοσυνάρτηση Ψ(,0) παριστάνει ένα ελεύθερο σωματίδιο, με μάζα m, στη μία διάσταση την χρονική στιγμή t=0: (,0) N ep( ), όπου N 1/ 4. Να βρεθεί η

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1.10 Το πείραμα EPR-Β: Φιλοσοφία και Φυσική μέσα σε δύο φωτόνια

Κεφάλαιο 1.10 Το πείραμα EPR-Β: Φιλοσοφία και Φυσική μέσα σε δύο φωτόνια Κεφάλαιο 1.10 Το πείραμα EPR-Β: Φιλοσοφία και Φυσική μέσα σε δύο φωτόνια το κεφάλαιο αυτό θα μιλήσουμε για δύο φωτόνια. Δύο φωτόνια που δεν διαχωρίζονται, και που έχουν φέρει πραγματική επανάσταση στην

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ 1 1. ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Αρχικά ας δούμε ορισμένα σημεία που αναφέρονται στο έργο, στη δυναμική ενέργεια και στη διατήρηση της ενέργειας. Πρώτον, όταν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚ Η ΜΕΤΡΗΣΗ. By Teamcprojectphysics

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚ Η ΜΕΤΡΗΣΗ. By Teamcprojectphysics ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚ Η ΜΕΤΡΗΣΗ By Teamcprojectphysics ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κόσμος της Κβαντομηχανικής είναι περίεργος, γοητευτικός και μυστήριος. Η ονομασία όμως Κβαντομηχανική είναι αποκρουστική, βαρετή, μη ενδιαφέρουσα,

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ

ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ Θεωρία της στροφορμής Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Υπενθύμιση βασικών εννοιών της στροφορμής κυματοσυνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Το Ελεύθερο Σωμάτιο Ρεύμα Πιθανότητας

Το Ελεύθερο Σωμάτιο Ρεύμα Πιθανότητας Το Ελεύθερο Σωμάτιο Ρεύμα Πιθανότητας Δομή Διάλεξης Χρονική εξέλιξη Gaussian κυματοσυνάρτησης σε μηδενικό δυναμικό (ελέυθερο σωμάτιο): Μετατόπιση και Διασπορά Πείραμα διπλής οπής: Κροσσοί συμβολής για

Διαβάστε περισσότερα

Ατομική και Μοριακή Φυσική

Ατομική και Μοριακή Φυσική Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ατομική και Μοριακή Φυσική Σύστημα με δύο ηλεκτρόνια Λιαροκάπης Ευθύμιος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Το ταξίδι στην 11η διάσταση

Το ταξίδι στην 11η διάσταση Το ταξίδι στην 11η διάσταση Το κείμενο αυτό δεν αντιπροσωπεύει το πώς παρουσιάζονται οι 11 διστάσεις βάση της θεωρίας των υπερχορδών! Είναι περισσότερο «τροφή για σκέψη» παρά επιστημονική άποψη. Οι σκέψεις

Διαβάστε περισσότερα

Η κλασσική, η σχετικιστική και η κβαντική προσέγγιση. Θωµάς Μελίστας Α 3

Η κλασσική, η σχετικιστική και η κβαντική προσέγγιση. Θωµάς Μελίστας Α 3 Η κλασσική, η σχετικιστική και η κβαντική προσέγγιση Θωµάς Μελίστας Α 3 Σύµφωνα µε την κλασσική µηχανική και την γενική αντίληψη η µάζα είναι µία εγγενής ιδιότητα των φυσικών σωµάτων. Μάζα είναι η ποσότητα

Διαβάστε περισσότερα

16/12/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 11. ΚΒΑΝΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΑΣΕΙΣ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης ΚΒΑΝΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΑΣΕΙΣ

16/12/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 11. ΚΒΑΝΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΑΣΕΙΣ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης ΚΒΑΝΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΑΣΕΙΣ stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 11. ΚΒΑΝΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΑΣΕΙΣ ΚΒΑΝΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΑΣΕΙΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Χρονεξαρτημένη χαμιλτονιανή Στα προβλήματα τα οποία εξετάσαμε μέχρι τώρα η

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΣ

ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΣ ΜΑΘΗΜΑ 5: ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΣ Salviati: Εκεί που δεν μας βοηθούν οι αισθήσεις πρέπει να παρέμβει η λογική, γιατί μόνο αυτή θα επιτρέψει να εξηγήσουμε τα φαινόμενα ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ ΔΙΑΛΟΓΟΙ Η μαθηματική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 1

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος 2013-14, Α. Λαχανάς 1/ 39 ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 1 Α. Λαχανάς ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, Τµήµα Φυσικής Τοµέας Πυρηνικής Φυσικής & Στοιχειωδών Σωµατιδίων Ακαδηµαικό έτος

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Τεχνολογίας Τροφίμων. Ανόργανη Χημεία. Ενότητα 10 η : Χημική κινητική. Δρ. Δημήτρης Π. Μακρής Αναπληρωτής Καθηγητής.

Τμήμα Τεχνολογίας Τροφίμων. Ανόργανη Χημεία. Ενότητα 10 η : Χημική κινητική. Δρ. Δημήτρης Π. Μακρής Αναπληρωτής Καθηγητής. Τμήμα Τεχνολογίας Τροφίμων Ανόργανη Χημεία Ενότητα 10 η : Χημική κινητική Οκτώβριος 2018 Δρ. Δημήτρης Π. Μακρής Αναπληρωτής Καθηγητής Ταχύτητες Αντίδρασης 2 Ως ταχύτητα αντίδρασης ορίζεται είτε η αύξηση

Διαβάστε περισσότερα

Charge Conjuga,on. Μπορούμε να περιγράψουμε την κίνηση ενός φορτισμένου σωματιδίου σε. ελεύθερου σωματίδιου ως:

Charge Conjuga,on. Μπορούμε να περιγράψουμε την κίνηση ενός φορτισμένου σωματιδίου σε. ελεύθερου σωματίδιου ως: Charge Conjuga,on Μπορούμε να περιγράψουμε την κίνηση ενός φορτισμένου σωματιδίου σε ηλεκτρομαγνητικό πεδίο αντικαθιστώντας την ορμή και την ενέργια του ελεύθερου σωματίδιου ως: χρησιμοποιώντας τους τελεστές

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική µηχανική. Τύχη ή αναγκαιότητα. Ηµερίδα σύγχρονης φυσικής Καραδηµητρίου Μιχάλης

Κβαντική µηχανική. Τύχη ή αναγκαιότητα. Ηµερίδα σύγχρονης φυσικής Καραδηµητρίου Μιχάλης Κβαντική µηχανική Τύχη ή αναγκαιότητα Ηµερίδα σύγχρονης φυσικής Καραδηµητρίου Μιχάλης Ηφυσικήστόγύρισµα του αιώνα «Όλοι οι θεµελιώδεις νόµοι και δεδοµένα της φυσικής επιστήµης έχουν ήδη ανακαλυφθεί και

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 15: Η έννοια του κυματοπακέτου στην Kβαντομηχανική. Τερζής Ανδρέας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 15: Η έννοια του κυματοπακέτου στην Kβαντομηχανική. Τερζής Ανδρέας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 15: Η έννοια του κυματοπακέτου στην Kβαντομηχανική Τερζής Ανδρέας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοπός ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να ολοκληρώσει την εφαρμογή της

Διαβάστε περισσότερα

Ακτίνες επιτρεπόμενων τροχιών (2.6)

Ακτίνες επιτρεπόμενων τροχιών (2.6) Αντικαθιστώντας το r με r n, έχουμε: Ακτίνες επιτρεπόμενων τροχιών (2.6) Αντικαθιστώντας n=1, βρίσκουμε την τροχιά με τη μικρότερη ακτίνα n: Αντικαθιστώντας την τελευταία εξίσωση στη 2.6, παίρνουμε: Αν

Διαβάστε περισσότερα

3. Το πρότυπο του Bohr εξήγησε το ότι το φάσμα της ακτινοβολίας που εκπέμπει το αέριο υδρογόνο, είναι γραμμικό.

3. Το πρότυπο του Bohr εξήγησε το ότι το φάσμα της ακτινοβολίας που εκπέμπει το αέριο υδρογόνο, είναι γραμμικό. ΧΗΜΕΙΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΕΡΓΑΣΙΑ 16 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ-ΠΡΟΤΥΠΟ BOHR ΟΜΑΔΑ Α Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστές ή Λάθος και να αιτιολογήσετε αυτές που είναι λάθος : 1.

Διαβάστε περισσότερα

Η ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ Ο ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΣ

Η ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ Ο ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΣ ΜΑΘΗΜΑ 5: Η ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ Ο ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΣ Salviati: Εκεί όπου δεν μας βοηθούν οι αισθήσεις πρέπει να παρέμβει η λογική, γιατί μόνο αυτή θα επιτρέψει να εξηγήσουμε τα φαινόμενα ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ ΔΙΑΛΟΓΟΙ Η

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΑΚΗ ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Η ΔΟΜΗ ΤΟΥ ΑΤΟΜΟΥ III. ΤΟ ΣΥΓΧΡΟΝΟ ΑΤΟΜΙΚΟ ΠΡΟΤΥΠΟ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΑΚΗ ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Η ΔΟΜΗ ΤΟΥ ΑΤΟΜΟΥ III. ΤΟ ΣΥΓΧΡΟΝΟ ΑΤΟΜΙΚΟ ΠΡΟΤΥΠΟ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΑΚΗ ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Η ΔΟΜΗ ΤΟΥ ΑΤΟΜΟΥ Ν. ΜΠΕΚΙΑΡΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η εικόνα του ατόμου που είναι τόσο γνωστή, δηλαδή ο πυρήνας και γύρω του σε τροχιές τα ηλεκτρόνια σαν πλανήτες (το πρότυπο του Ruterford

Διαβάστε περισσότερα

V fn V ni 2πδ(E f E i )

V fn V ni 2πδ(E f E i ) Ο διαδότης Εχουμε δεί ήδη ότι στα διαγράμματα Feynman η γραμμή του εικονικού φωτονίου αντιστοιχεί στο όρο 1/q 2 με q η ορμή του εικονικού φωτονίου (q 2 0). Αν το εικονικό σωματίδιο έχει μάζα ο διαδότης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ακαδημαϊκό έτος Καθηγητές: Σ. Πνευματικός Α. Μπούντης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ακαδημαϊκό έτος Καθηγητές: Σ. Πνευματικός Α. Μπούντης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ακαδημαϊκό έτος 00- Μάθημα: ΜΗΧΑΝΙΚΗ Καθηγητές: Σ Πνευματικός Α Μπούντης Θέμα Μελέτης 5:η νευτώνεια διατύπωση των νόμων της κίνησης Σχόλια & Απαντήσεις & Προβληματισμοί

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ι ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ

ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ι ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ι ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ 1 1. ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Αρχικά ας δούμε ορισμένα σημεία που αναφέρονται στο έργο, στη δυναμική ενέργεια και στη διατήρηση της ενέργειας. Πρώτον, όταν μια

Διαβάστε περισσότερα

Μοναδιαίοι Τελεστές Μοναδιαίοι Μετασχηματισμοί Εικόνες Χρονικής Εξέλιξης

Μοναδιαίοι Τελεστές Μοναδιαίοι Μετασχηματισμοί Εικόνες Χρονικής Εξέλιξης Αθανάσιος Χρ. Τζέμος Τομέας Θεωρητικής Φυσικής Μοναδιαίοι Τελεστές Μοναδιαίοι Μετασχηματισμοί Εικόνες Χρονικής Εξέλιξης Στη Φυσική ενδιαφερόμαστε για την δυναμική εξέλιξη των διαφόρων συστημάτων. Καίριο

Διαβάστε περισσότερα

Παρακαλούμε να διαβάσετε πρώτα τα παρακάτω:

Παρακαλούμε να διαβάσετε πρώτα τα παρακάτω: 36 th International Physics Olympiad. Salamanca (España) 2005 Θεωρητική Εξέταση 05-Ιουλίου-2005 Παρακαλούμε να διαβάσετε πρώτα τα παρακάτω: 1. Για τη θεωρητική εξέταση ο διαθέσιμος χρόνος είναι 5 ώρες.

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστη κβαντική επιτάχυνση: ο αλγόριθμος έρευνας του Grover

Βέλτιστη κβαντική επιτάχυνση: ο αλγόριθμος έρευνας του Grover δ Μια συζήτηση της ισχύος του αλγορίθμου εύρεσης περιόδου Η δύναμη του αλγόριθμου εύρεσης της περιόδου σε μια πρώτη ματιά φαίνεται να είναι τρυκ. «Δεν είναι καθαρό πως ο κβαντικός υπολογιστής βρίσκει την

Διαβάστε περισσότερα