Η Εντροπία. Δρ. Αθανάσιος Χρ. Τζέμος. Κέντρο Ερευνών Αστρονομίας και Εφηρμοσμένων Μαθηματικών Ακαδημία Αθηνών

Transcript

1 Η Εντροπία Δρ. Αθανάσιος Χρ. Τζέμος Κέντρο Ερευνών Αστρονομίας και Εφηρμοσμένων Μαθηματικών Ακαδημία Αθηνών

2 Θερμοδυναμική +Στατιστική Μηχανική= Θερμική Φυσική Η Θερμοδυναμική ασχολείται με τις μακροσκοπικές ιδιότητες των συστημάτων και προσπαθεί να εξηγήσει τα όσα παρατηρούνται στο εργαστήριο, με βάση κάποιες πρώτες αρχές. Είναι πειραματικός τομέας της Φυσικής Η προσπάθεια ανάλυσης των θερμοδυναμικών συστημάτων με μικροσκοπικά μοντέλα είναι δυνατή με τις μεθόδους της Στατιστικής Μηχανικής. Τόσο στη Θερμοδυναμική όσο και στη Στατιστική Μηχανική, μας ενδιαφέρουν τα μεγέθη που ορίζουν την κατάσταση ενόςφυσικού συστήματος. Τί σημαίνει όμως φυσική κατάσταση???

3 Πως περιγράφεται ένα φυσικό σύστημα? Περιγράφεται από μια συνάρτηση η οποία περιέχει όλες τις φυσικές παραμέτρους που το περιγράφουν και τις μεταξύ τους συσχετίσεις. Η συνάρτηση αυτή λέγεται συνάρτηση του Hamilton. Για δεδομένη Hamiltonian, μπορούμε με βάση τους νόμους της Κλασικής/Κβαντικής Μηχανικής να προβλέψουμε τη χρονική εξέλιξη του συστήματος. Η φυσική κατάσταση ενός συστήματος ορίζεται ανά δεδομένη χρονική στιγμή. Είναι δηλαδή μια "φωτογραφία" του συστήματος η οποία "παγώνει" το χρόνο. Τί σημαίνει όμως η έννοια φυσική κατάσταση?

4 H= qp L L= T V i i Δυναμική εξέλιξη ενός φυσικού συστήματος i d L L = dt q i qi Οι εξισώσεις Lagrange/Hamilton οδηγούν στην εύρεση της εξέλιξης των θέσεων και των ορμών ενός κλασικού δυναμικού συστήματος και τη μεταξύ τους σχέση. Στην Κβαντική Φυσική έχουμε να κάνουμε με τη δυναμική εξέλιξη των κυματοδιανυσμάτων ψ>. Η έννοια τροχιά παύει να υφίσταται, οπότε τα πράγματα καθίστανται εξαιρετικά δύσκολα στο να έχουμε μια διαισθητική εποπτεία του τί είναι η κατάσταση. Η γνωστή σε όλους εξίσωση του Schrondiger περιγράφει την χρονική εξέλιξη ενός κυματοδιανύσματος ψ>, οπότε περιγράφει τη χρονική εξέλιξη της πληροφορίας που αυτό εμπεριέχει. 0 H p j = q j H q j = p j H t = L t

5 ψ 2 ( xt, ) 2 i = + V xt xt t 2m (, ) ψ (, ) Η εξίσωση Schrödinger περιγράφει τη χρονική εξέλιξη απομονωμένου συστήματος. Θα πρέπει να είναι κάποιος προσεκτικός όταν μοντελοποιεί ένα κβαντικό σύστημα με την παραπάνω εξίσωση. Το περιβάλλον του συστήματος μπορεί να επηρεάζει σε σημαντικό βαθμό τη συμπεριφορά του τελευταίου και να πρέπει να εισαχθεί μέρος της πληροφορίας του στην παραπάνω εξίσωση. Η S-E περιγράφει με υψηλή ακρίβεια το άτομο του υδρογόνου. Τα πολυηλεκτρονιακά όμως συστήματα δεν μπορούν να περιγραφούν από αυτήν. Τα επιπλέον ηλεκτρόνια παίζουν το ρόλο του περιβάλλοντος. Η εξέλιξη των απομονωμένων συστημάτων της εξίσωσης Schrödinger λέγεται unitary.

6 Θερμοδυναμικοί Νόμοι Ο μηδενικός νόμος μας λέει ότι όταν δύο θερμοδυναμικά συστήματα βρίσκονται σε θερμική ισορροπία ως προς ένα τρίτο, τότε τελούν εν ισορροπία και μεταξύ τους.

7 ρ Θερμοδυναμικοί Νόμοι Ο πρώτος νόμος είναι μια έκφραση της διατήρησης της ενέργειας. Μέρος της προσφερόμενης θερμότητας αυξάνει την εσωτερική ενέργεια του συστήματος, ενώ το υπόλοιπο μέρος μετατρέπεται σε έργο. Q = U + W add

8 Θερμοδυναμικοί Νόμοι Ο δεύτερος νόμος λέει ότι σε μια αντιστρέψιμη διεργασία τη μεταβολή της εντροπίας είναι πάντοτε θετική. Η εντροπία του Σύμπαντος αυξάνει. (???) Ο τρίτος νόμος μας λέει ότι στο απόλυτο 0 το φυσικό σύστημα βρίσκεται στη θεμελιώδη του κατάσταση και η εντροπία μηδενίζεται.

9 Θερμοδυναμικοί Νόμοι Ο τρίτος νόμος μας λέει ότι στο απόλυτο 0 το φυσικό σύστημα βρίσκεται στη θεμελιώδη του κατάσταση και η εντροπία μηδενίζεται. Αυτός ο νόμος έχει κβαντική προέλευση και πολλές φορές θεωρείται ότι είναι επιπρόσθετος στους άλλους 2. Η κλασική θερμοδυναμική μπορεί να φορμαλιστεί και χωρίς αυτόν. Στο απόλυτο 0 υπάρχει ουσιαστικά μια μικροκατάσταση του στην οποία μπορεί να βρεθεί το σύστημα, οπότε ο λογάριθμος μηδενίζεται.

10

11 Rudolf Clausius ( ) S = S S B A Α Β dq T Αφού η εντροπία είναι καταστατική ιδιότητα η παραπάνω διαφορά είναι ανεξάρτητη του δρόμου που θα ακολουθήσει κανείς κατά τον υπολογισμό του ολοκληρώματος.

12 Ludwig Boltzmann ( ) Θεμλιωτής της Στατιστικής Μηχανικής. Όρισε την εντροπία σε μικροσκοπικό επίπεδο, ως το πλήθος των μικροκαταστάσεων ενός φυσικού συστήματος το οποίο αντιστοιχεί σε δεδομένη μακροκατάσταση. S = k ln Ω, B 23 k = 1,381x10 J / K B

13 Κωνσταντίνος Καραθεοδωρής ( ) Για κάθε κατάσταση P ενός φυσικού συστήματος, υπάρχουν γειτονικές καταστάσεις που δεν είναι προσβάσιμες μέσω αδιαβατικών διεργασιών. Εισήγαγε την έννοια της εντροπίας από μαθηματικές πρώτες αρχές. Απέδειξε ότι οι επιτρεπτές μεταβάσεις για ένα θερμοδυναμικό σύστημα είναι αυτές που υπακούουν στο δεύτερο νόμο της Θερμοδυναμικής. Η μαθηματική διατύπωση και θεμελίωση της έννοιας της εντροπίας αποτελεί για πολλούς την κορυφαία του προσφορά στη Θεωρητική Φυσική.

14 John Von Neumann ( ) Εισήγαγε τον φορμαλισμό του τελεστή-πίνακα πυκνότητας περιγράφοντας την εντροπία των καθαρών και μικτών καταστάσεων της Κβαντικής Φυσικής. Μέσω της εντροπίας Von Neumann ποσοτικοποιείται η κβαντική σύμπλεξη (entanglement) ενός διμερούς συστήματος. Με το φορμαλισμό του Von Neumann γίνεται η μετάβαση από τη θερμοδυναμική εντροπία στην πληροφοριακή εντροπία. Η σχέση των δύο αυτών εννοιών αποτελεί έριδα για πολλούς θεωρητικούς της Στατιστικής Φυσικής και των Κβαντικής Πληροφορικής. ˆ pi i i ι ρ = Ψ Ψ S = k Tr ˆ ρln ˆ ρ B ( )

15 Κβαντική και Κλασική Άγνοια Κάθε διάνυσμα του χώρου Hilbert αποτελεί καθαρή κατάσταση, δηλαδή κατάσταση για την οποία έχουμε εξ ορισμού το μέγιστο ποσόν πληροφορίας. Οι καταστάσεις για τις οποίες έχουμε άγνοια για την προετοιμασία τους λέγονται μικτές και δεν μπορούν να αναπαρασταθούν υπό τη μορφή διανυσμάτων. Είναι απλώς πιθανοκρατικά αθροίσματα καθαρών καταστάσεων, στα οποία αποδίδεται η κλασικής φύσεως άγνοιά μας για την προετοιμασία τους. Εκεί ακριβώς γίνεται απαραίτητη η χρήση του τελεστή πυκνότητας. Στην Κβαντομηχανική ένα σύστημα που παρουσιάζει υπέρθεση καταστάσεων παρουσιάζει ενδογενή στοχαστικότητα.

16 Εξ Εξίσωση Master Τα φυσικά συστήματα είναι ανοικτά. Υπάρχει συνεχής ανταλλαγή ενέργειας και ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ μεταξύ συστήματος και περιβάλλοντος. Η συνεχής αυτή αλληλεπίδραση καθιστά επικίνδυνη μια επιπόλαιη προσπάθεια απομόνωσης ενός συστήματος από το περιβάλλον του. N 2 1 [ ] 1 (, ) ρ = ihρ + hn, m LnρLm ρll m n + LL m nρ nm, = 1 2

17 Claude Shannon ( ) Θεμελιωτής της επιστήμης της Πληροφορικής αφού ποσοτικοποίησε την πληροφορία που εμπεριέχει ένα μήνυμα. Η πληροφορία μετατράπηκε σε μια απλή συνάρτηση που ικανοποιεί κάποιες φυσικώς εύλογες απαιτήσεις. Το κεντρικό νόημα της εντροπίας Shannon είναι το εξής: Όσο πιο απίθανο είναι ένα γεγονός να συμβεί τόσο μεγαλύτερη εντροπία έχουμε, υπό την έννοια ότι ένα απίθανο αποτέλεσμα σε ένα πείραμα μας δίνει μεγαλύτερο ποσόν πληροφορίας. Η εντροπία Shannon δεν μιλάει για την ποιότητα ή το περιεχόμενο της πληροφορίας, απλά την ποσοτικοποιεί μέσω των πιθανοτήτων. n H X p x log p x = ( ) ( ) ( ) i= 1 i i

18 Α Extensivity Vs Additivity Βασικό ερώτημα της Στατιστικής Φυσικής είναι το κατά πόσον ένα σύνθετο σύστημα περιγράφεται από προσθετικές ποσότητες και ποιές είναι αυτές. Το ερώτημα της προσθετικότητας είναι το εξής απλό: Είναι το όλον ίσο με το άθροισμα των επιμέρους? Για παράδειγμα η ενέργεια ενός συστήματος Ν μη αλληλεπιδρώντων σωματιδίων είναι ίση με το άθροισμα των επιμέρους ενεργειών. E N = n i = 1 E n i

19 Extensivity Vs Additivity Ένα δεύτερο ερώτημα είναι κατά πόσον μια ποσότητα παρουσιάζει κλίμακα όταν ο αριθμός των υποσυστημάτων τείνει στο άπειρο. ( ( n ) ) lim Q x / n = const n Η προσθετικότητα/επεκτασιμότητα δε συνεπάγεται την επεκτασιμότητα/προσθετικότητα. Η επιπόλαιη ταύτιση των όρων αυτών οδήγησε και συνεχίζει να οδηγεί σε σφάλματα και σε αδυναμία εξήγησης πολλών φαινομένων.

20 Κωνσταντίνος Τσάλλης (1943-) Εισήγαγε την λεγόμενη q-εντροπία ή αλλιώς εντροπία-τσάλλης. Αποτελεί γενίκευση της εντροπίας Boltzmann στην περίπτωση των μη προσθετικών συστημάτων. Έχει βρει εφαρμογή σε πληθώρα φυσικών, βιολογικών και οικονομικών συστημάτων. Έχει προταθεί σαν μέτρο ποσοτικοποίησης της κβαντικής σύμπλεξης. 1 S ( p ) = 1 p q 1 i q q i i

21 Συμπεράσματα Η έννοια της εντροπίας είναι στενά συνδεδεμένη με αυτήν της φυσικής κατάστασης ενός συστήματος. Οι πολλές διαφορετικές προσεγγίσεις και ορισμοί της εντροπίας σε μακροσκοπικό και μικροσκοπικό επίπεδο, αντανακλούν την αδυναμία μας να εκφράσουμε μονοσήμαντα την έννοια «κατάσταση». Πριν αποπειραθούμε λοιπόν να ορίσουμε μια εντροπική συνάρτηση, θα πρέπει να γνωρίζουμε πολύ καλά τη φύση του συστήματος που θέλουμε να μελετήσουμε. Εάν δεν μπορούμε να καθορίσουμε με σαφήνεια τις παραμέτρους εκείνες που απαρτίζουν τον καταστατικό χώρο ενός συστήματος, δεν έχει νόημα να μιλούμε για καταστατικές συναρτήσεις.

22 Συμπεράσματα Η σύγχυση που παρατηρείται στην έννοια της εντροπίας μοιάζει αρκετά με αυτήν περί της κβαντικής σύμπλεξης, αν και η δεύτερη είναι γνησίως κβαντικό φαινόμενο. Όπως και στην εντροπία, έτσι και στην entanglement ακολουθείται αυτό που λέμε operational task approach, δηλαδή ανάλογα με το τί θέλουμε να κάνουμε ορίζουμε την ποσότητα που μας ενδιαφέρει. Η παραπάνω προσέγγιση μπορεί να έχει αποδώσει πολλούς καρπούς σε τεχνολογικό επίπεδο (ΜΕΚ, στροβιλομηχανές, κβαντικοί υπολογιστές κλπ.), δεν παύει όμως να είναι μια πρόχειρη επίλυση του προβλήματος.

23 Συμπεράσματα Η αλήθεια βρίσκεται στην λέξη «κατάσταση». Μέσω αυτής της έννοιας η «πληροφορία» μετατρέπεται από μια θολή-ακαθόριστη λέξη με πολλές ερμηνείες, σε ένα καλώς καθορισμένο ΦΥΣΙΚΟ ΜΕΓΕΘΟΣ. ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ!