ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ Θέματα και Λύσεις. Ox υπό την επίδραση του δυναμικού. x 01

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ Θέματα και Λύσεις. Ox υπό την επίδραση του δυναμικού. x 01"

Δράκων Λόντος
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ 1 Θέματα και Λύσεις ΘΕΜΑ 1 Υλικό σημείο κινείται στον άξονα x' Ox υπό την επίδραση του δυναμικού 3 ax x V ( x) a x, a 3 α) Βρείτε τα σημεία ισορροπίας και την ευστάθειά τους β) Για ποιο διάστημα των τιμών της ενέργειας και της θέσης έχουμε περατωμένη κίνηση; γ) Σχεδιάστε το φασικό διάγραμμα και σημειώστε τις περιοχές που περιγράφουν διαφορετικές κινήσεις ποιοτικά α) Τα σημεία ισορροπίας αντιστοιχούν στα ακρότατα του δυναμικού, δηλαδή dv x1 a a ax x dx x a x 3 x 1 E V x Είναι dv a για x x1 a x dx 3a για x x E 1 Άρα το x 1 είναι ευσταθές και το x ασταθές β) Περατωμένες τροχιές έχουμε για ενέργειες στο διάστημα E1 E E, όπου Ei οι τιμές του δυναμικού στα ακρότατα δηλαδή 3 3 1a 7a E1 V ( x1), E V ( x ) 3 6 Οι περατωμένες τροχιές εκτείνονται στο διάστημα x3 x x, όπου τα x 3 και x βρίσκονται ως ρίζες της εξίσωσης 3 3 x a ax x 7a V ( x) E a x 7a 3 6 x3 (σημείωση: γνωρίζουμε εκ των προτέρων ότι η παραπάνω εξίσωση έχει μια διπλή ρίζα την x =a) B γ) Γύρω από το ευσταθές σημείο ισορροπίας το διάγραμμα μοιάζει με αυτό του αρμονικού ταλαντωτή (περιοχή Α), ενώ γύρω από το ασταθές σημείο (όπου Ε=Ε ) έχουμε υπερβολές (απωστικές δυνάμεις) Για Ε>Ε έχουμε τις ανοιχτές φασικές καμπύλες της περιοχής Β και για Ε<Ε 1 έχουμε τις ανοιχτές φασικές καμπύλες της περιοχής Γ A B G

2 ΘΕΜΑ Υλικό σημείο μάζας m=1 εκτελεί ταλαντώσεις που περιγράφονται από την διαφορική εξίσωση x x x F cos( t) α) Έστω F Προσδιορίστε την περίοδο της ταλάντωσης, δώστε την σχέση x x t που την περιγράφει (θεωρώντας αρχικό πλάτος D και αρχική φάση θ ) και σχεδιάστε την πρόχειρα β) Για F Βρείτε τη συχνότητα και το πλάτος συντονισμού Σχεδιάστε την ταλάντωση κατά τον συντονισμό και αφού έχει περάσει αρκετός χρόνος (t>>1) Η λύση της ΔΕ είναι η (δες τυπολόγιο) t x( t) De cos( 1t ) Acos( t ), (1) όπου D, θ σταθερές που εξαρτώνται από τις αρχικές συνθήκες και Α, δ σταθερές που εξαρτώνται από τις παραμέτρους του ταλαντωτή (δες τυπολόγιο) b 1 m 1, b 1,, F, m k 3 α) Για F θα έχουμε Α= και 1 m t / 3 Άρα x( t) De cos( t ) Έχουμε δηλαδή φθίνουσες ταλαντώσεις με περίοδο 4 T 3 1 β) Για F έχουμε εξαναγκασμένες ταλαντώσεις με πλάτος (δες τυπολόγιο) F A, (1 ) Συχνότητα συντονισμού έχουμε για την τιμή ω=ω R όπου το Α γίνεται μέγιστο, δηλαδή το q (1 ) γίνεται ελάχιστο ή dq 1 4R R d Για ω=ω R η μας δίνει το πλάτος του συντονισμού R F A 3 Για t>>1 o πρώτος όρος της (1) γίνεται πολύ μικρός (τον θεωρούμε μηδέν) και για τον συντονισμό παίρνει τη μορφή F 1 x( t) cos( t ), δηλαδή έχουμε αρμονική 3 ταλάντωση πλάτους Α και περιόδου T F 3 T F - 3

3 ΘΕΜΑ3 α) Nα δείξετε ότι η διαφορική εξίσωση της κίνησης σε πεδίο κεντρικών δυνάμεων F d 1 1 m F d L μπορεί να γραφτεί στη μορφή 4 d d m F d d L β) Να βρεθεί το πεδίο κεντρικών δυνάμεων F στο οποίο είναι δυνατή η ύπαρξη τροχιών της μορφής asin( b ), με ab, Ποία συνθήκη πρέπει να ικανοποιούν τα C ab,, ώστε η δύναμη να είναι της μορφής F, όπου C σταθερά διάφορη του n μηδενός και n 1 φυσικός; α) Έχουμε: d 1 d 1 d 1 d, d d d d d 1 d 1 d d 1 d 1 d d d d d d d d 1 d d 1 d d 1 d = 3 d d d d d d d 1 1 m Αντικαθιστώντας την παραπάνω σχέση στην εξίσωση F, d L παίρνουμε d 1 d 1 m 3 F d d L Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη της εξίσωσης με, καταλήγουμε τελικά στη ζητούμενη σχέση 4 d d m F d d L β) Παραγωγίζοντας την εξίσωση της τροχιάς δυο φορές παίρνουμε cos( d ) cos ( ) 1 sin ( ), d ab b a b b a b b b a d d d ab sin( b ) b d Αντικαθιστώντας τις δυο παραπάνω σχέσεις στην διαφορική εξίσωση που δείξαμε στο ερώτημα α) έχουμε 4 4 m a b m b b a F( ) b b F( ) L L

4 L b 1 a b F 3 5 m Από την έκφραση της δύναμης βλέπουμε ότι για b 1 και a η δύναμη είναι της C a L μορφής F με C και n 5 n m ΘΕΜΑ 4 Υλικό σημείο Σ είναι υποχρεωμένο να κινείται υπό την επίδραση του βάρους του πάνω σε λείο επίπεδο Π που περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα γύρω από τον οριζόντιο άξονα Ox Ορίστε κατάλληλο σχετικό σύστημα ως προς το επίπεδο (να γίνει το σχήμα) και βρείτε τις διαφορικές εξισώσεις της κίνησης και την αντίδραση R του επιπέδου Έστω ΟXYZ αδρανειακό σύστημα αξόνων, και Οxyz περιστρεφόμενο (μη αδρανειακό) σύστημα με μοναδιαία διανύσματα iˆ, ˆj, k ˆ όπως φαίνονται στο σχήμα Τα δύο συστήματα συντεταγμένων ταυτίζονται για t z Z R y Ο Σ ωt Y x, X B ωt Η διαφορική εξίσωση της κίνησης του Σ είναι: m F m m ( ) m m u όπου xiˆ yj ˆ, u xiˆ yj ˆ, ˆ ˆ xi yj, î Υπολογίζουμε τους όρους που εμφανίζονται στην παραπάνω εξίσωση Επειδή οι αρχές των δύο συστημάτων συντεταγμένων ταυτίζονται έχουμε

5 Επειδή η γωνιακή ταχύτητα είναι σταθερή έχουμε m Η δύναμη F είναι το άθροισμα του βάρους B mg[cos( t) kˆ sin( t) ˆj ] και της αντίδρασης R Rkˆ iˆ ˆj kˆ iˆ ˆj kˆ Έχουμε ykˆ οπότε ( ) yj ˆ x iˆ ˆj kˆ Επίσης u ykˆ x y y Αντικαθιστώντας όλες αυτές τις σχέσεις στην αρχική διαφορική εξίσωση και παίρνοντας τις συνιστώσες των διανυσμάτων στους άξονες x, y, z, καταλήγουμε στις ακόλουθες 3 εξισώσεις mx, my mg t m y sin( ), mz mg cos( t) my R y Οι δύο πρώτες διαφορικές εξισώσεις περιγράφουν την κίνηση στο επίπεδο Η τρίτη εξίσωση μας δίνει την αντίδραση του επιπέδου R mg cos( t) my

6 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ 1 ΘΕΜΑΤΑ Β ΘΕΜΑ 1Β Υλικό σημείο κινείται στον άξονα x' Ox υπό την επίδραση του δυναμικού 3 ax x V ( x) a x, a 3 α) Βρείτε τα σημεία ισορροπίας και την ευστάθειά τους β) Για ποιο διάστημα των τιμών της ενέργειας και της θέσης έχουμε περατωμένη κίνηση; γ) Σχεδιάστε το φασικό διάγραμμα και σημειώστε τις περιοχές που περιγράφουν διαφορετικές κινήσεις ποιοτικά Παρόμοια με τα θέματα Α Βρίσκουμε 3 3 7a 1a 5a x1 a, x a, E1, E, x3 6 3 ΘΕΜΑ Β Υλικό σημείο μάζας m=1 εκτελεί ταλαντώσεις που περιγράφονται από την διαφορική εξίσωση 1 1 x x x F cos( t) α) Έστω F Προσδιορίστε την περίοδο της ταλάντωσης, δώστε την σχέση x x t που την περιγράφει (θεωρώντας αρχικό πλάτος D και αρχική φάση θ ) και σχεδιάστε την πρόχειρα β) Για F Βρείτε τη συχνότητα και το πλάτος συντονισμού Σχεδιάστε την ταλάντωση κατά τον συντονισμό και αφού έχει περάσει αρκετός χρόνος (t>>1) Παρόμοια με τα θέματα Α Βρίσκουμε α) 1 7 8, 1, T F β) R, AR 8 7 ΘΕΜΑ 3Β α) Nα δείξετε ότι η διαφορική εξίσωση της κίνησης σε πεδίο κεντρικών δυνάμεων F d 1 1 m F d L μπορεί να γραφτεί στη μορφή

7 4 d d m F d d L β) Να βρεθεί το πεδίο κεντρικών δυνάμεων F στο οποίο είναι δυνατή η ύπαρξη τροχιών της μορφής asin( b ), με ab, Ποία συνθήκη πρέπει να ικανοποιούν τα C ab,, ώστε η δύναμη να είναι της μορφής F, όπου C σταθερά διάφορη του n μηδενός και n 1 φυσικός; Όπως τα θέματα Α ΘΕΜΑ 4Β Υλικό σημείο Σ είναι υποχρεωμένο να κινείται υπό την επίδραση του βάρους του πάνω σε λείο επίπεδο Π που περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα γύρω από τον οριζόντιο άξονα Oy Ορίστε κατάλληλο σχετικό σύστημα ως προς το επίπεδο (να γίνει το σχήμα) και βρείτε τις διαφορικές εξισώσεις της κίνησης και την αντίδραση R του επιπέδου Παρόμοια με τα θέματα Α Βρίσκουμε mx mg sin( t) m x, my, mz mg cos( t) mx R και R mg cos( t) mx

Σχετικά έγγραφα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ Θέµατα και Λύσεις

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ Θέµατα και Λύεις ΘΕΜΑ Υλικό ηµείο κινείται τον άξονα x ' Ox υπό την επίδραη του δυναµικού ax x V( x) = a x, a > α) Βρείτε τα ηµεία ιορροπίας και την ευτάθειά τους β) Για