Παραδείγματα διπλών oλοκληρωμάτων Γ. Λυχναρόπουλος

HTML
DOWNLOAD

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Παραδείγματα διπλών oλοκληρωμάτων Γ. Λυχναρόπουλος"

Υπάτιος Γλυκύς
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Παραδείγματα διπλών oλοκληρωμάτων Γ. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Να υπολογισθεί με τρόπους το ολοκλήρωμα I d d 0 Η ολοκλήρωση, όπως φαίνεται από τα άκρα ολοκλήρωσης, γίνεται πάνω στο ορθογώνιο χωρίο R 0,, ος τρόπος Ολοκλήρωση πρώτα ως προς και έπειτα ως προς I d d () 0 Υπολογίζουμε αρχικά το εσωτερικό ολοκλήρωμα κρατώντας το σταθερό: () d d Αντικαθιστούμε την () στην () και παίρνουμε: 0 7 I d d Επομένως 7 I ος τρόπος Ολοκλήρωση πρώτα ως προς και έπειτα ως προς αλλάζοντας κατάλληλα τα όρια ολοκλήρωσης I d d () 0 Υπολογίζουμε αρχικά το εσωτερικό ολοκλήρωμα κρατώντας το σταθερό: 0 d d Αντικαθιστούμε την (4) στην () και παίρνουμε: (4) 7 I 9d 9 d 9 9 ος τρόπος Επειδή α) Το χωρίο ολοκλήρωσης R είναι ορθογώνιο και β) Η συνάρτηση προς ολοκλήρωση f (, ) f (, ) gh ( ) ( ) όπου g ( ) και h ( ) μπορεί να γραφεί και ως,

2 μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη σχέση: I d d (5) 0 Υπολογίζουμε το κάθε ολοκλήρωμα ξεχωριστά: 0 d d 9 (6) d d Επομένως 7 I 9 (7) Παρατηρούμε ότι, όπως συμβαίνει πάντοτε, και οι τρόποι δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα. Παράδειγμα Να υπολογισθεί με τρόπους το ολοκλήρωμα I sin( ) dd Η ολοκλήρωση, όπως φαίνεται από τα άκρα ολοκλήρωσης, γίνεται πάνω στο ορθογώνιο χωρίο R, 0, ος τρόπος Ολοκλήρωση πρώτα ως προς και έπειτα ως προς I sin( ) d d () 0 Υπολογίζουμε αρχικά το εσωτερικό ολοκλήρωμα κρατώντας το σταθερό: sin( ) d sin( ) d cos( ) cos( ) cos cos cos cos () Αντικαθιστούμε την () στην () και παίρνουμε: I cos cosd cos d cosd sin sin sin sin 0 sin sin 00 Επομένως I 0 ος τρόπος Ολοκλήρωση πρώτα ως προς και έπειτα ως προς 0

3 I sin( ) d d () 0 Υπολογίζουμε αρχικά το εσωτερικό ολοκλήρωμα με ολοκλήρωση κατά παράγοντες κρατώντας το σταθερό: sin( ) d cos( ) cos( ) d cos( ) cos(0) sin( ) 0 cos( ) sin( ) sin(0) cos( ) sin( ) (4) Αντικαθιστούμε την (4) στην () και παίρνουμε: sin( ) I cos( ) sin( ) d cos( ) d d (5) Εφαρμόζουμε κατά παράγοντες ολοκλήρωση στο πρώτο από τα δύο ολοκληρώματα cos( ) d sin( ) sin( ) d sin( ) sin( ) sin( ) d sin( ) d (6) Αντικαθιστώντας την (6) στην (5) παίρνουμε: sin( ) sin( ) sin( ) sin( ) I d d d d 0 Παρατηρούμε πως το αποτέλεσμα και με τους τρόπους είναι το ίδιο, αλλά με τον ο τρόπο απαιτήθηκε περισσότερη προσπάθεια απ ότι με τον πρώτο. Επομένως η κατάλληλη επιλογή της σειράς ολοκλήρωσης έχει σημασία. Παράδειγμα Να υπολογιστεί ο όγκος που περικλείεται από το ελλειπτικό παραβολοειδές z 6, τα επίπεδα, και τα επίπεδα των αξόνων. Αρχικά πρέπει να βρούμε το χωρίο ολοκλήρωσης. Αυτό θα βρίσκεται στο επίπεδο. Η προβολή του παραβολοειδούς στο επίπεδο βρίσκεται αν θέσουμε στην εξίσωσή του z 0 δηλαδή είναι η έλλειψη με εξίσωση 6. Επομένως το χωρίο ολοκλήρωσης είναι το ορθογώνιο R [0,] [0,] όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα:

4 Στη συνέχεια επιλύουμε την εξίσωση του παραβολοειδούς ως προς z. Επομένως η συνάρτηση που πρέπει να ολοκληρώσουμε είναι η f(, ) 6 Έχουμε λοιπόν V 6 dd 6 dd () Υπολογίζουμε αρχικά το εσωτερικό ολοκλήρωμα κρατώντας το σταθερό: 0 6 d 6 6() () 6(0) (0) () Αντικαθιστούμε την () στην () και παίρνουμε: V 4 d Επομένως V 48 κυβικές μονάδες Παράδειγμα 4 Να υπολογιστεί με τρόπους το ολοκλήρωμα dd πάνω στο χωρίο του R πρώτου τεταρτημόριου που περικλείεται από τον άξονα O, την ευθεία του κύκλου 4 Κάνουμε μία γραφική παράσταση του χωρίου ολοκλήρωσης: και ος τρόπος Θα ολοκληρώσουμε πρώτα ως προς και έπειτα ως προς.

5 Το χωρίο είναι οριζόντια απλό γιατί κάθε γραμμή παράλληλη προς τον άξονα Ο τέμνει το χωρίο σε μόνο σημεία, και επιπλέον τα σημεία αυτά ανήκουν πάντα στις ίδιες καμπύλες του χωρίου: 4 I d d 0 () Υπολογίζουμε αρχικά το εσωτερικό ολοκλήρωμα: d () Αντικαθιστούμε την () στην () και παίρνουμε: 0 4 I d (0) 0 0 Επομένως I 4 ος τρόπος Θα ολοκληρώσουμε πρώτα ως προς και έπειτα ως προς. Παρατηρούμε ότι το χωρίο δεν είναι κάθετα απλό γιατί ναι μεν κάθε γραμμή παράλληλη προς τον άξονα O τέμνει το χωρίο μόνον σε δύο σημεία, αλλά δεν τέμνει πάντοτε τις ίδιες καμπύλες:

6 Επομένως για να προχωρήσουμε στην ολοκλήρωση θα πρέπει να σπάσουμε το αρχικό χωρίο σε υποχωρία που να είναι κάθετα απλά και να μην είναι επικαλυπτόμενα. Δημιουργούνται έτσι τα υποχωρία R και R : Έτσι θα έιναι 4 I d d d d d d d d R R () Υπολογίζουμε αρχικά το πρώτο διπλό ολοκλήρωμα: d d d d d d To δεύτερο διπλό ολοκλήρωμα δίνει 4 4 d d d d 4 d 0 0 (5) Για τον υπολογισμό του τελευταίου ολοκληρώματος μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον μετασχηματισμό u 4 du d Έτσι παίρνουμε για την αντιπαράγωγο: / / u / / 4 d u du c u c (4 ) c / Από (5) και (6) παίρνουμε: (4) (6) / / / 4 d (4 ) (4 ) (4 ) (7) Αντικαθιστούμε τις (4) και (7) στην () και παίρνουμε 4 I Παρατηρούμε ότι και με τους δύο τρόπους παίρνουμε το ίδιο αποτέλεσμα, αλλά ο ος τρόπος είναι σαφώς πιο απλός. ος τρόπος Παρατηρούμε ότι το χωρίο ολοκλήρωσης είναι ακτινικά απλό γιατί κάθε ευθεία που περνά από την αρχή των αξόνων τέμνει τις ίδιες καμπύλες του ορίου σε μόνο δύο σημεία (η μία καμπύλη εκφυλίζεται στο σημείο (0,0)). Επομένως μπορούμε να μετασχηματίσουμε το ολοκλήρωμα σε πολικές συντεταγμένες.

7 Θέτουμε rcos και rsin με r 0. H Ιακωβιανή του μετασχηματισμού, γνωρίζουμε από τη θεωρία, ότι είναι J r Έτσι έχουμε /4 /4 I d d r cos J dr d r cos dr d R Για το συγκεκριμένο ολοκλήρωμα, τα όρια του χωρίου ολοκλήρωσης σε πολικές συντεταγμένες είναι σταθερές. Επίσης η συνάρτηση που ολοκληρώνεται μπορεί να διαχωρισθεί σε γινόμενο δύο συναρτήσεων. Έτσι μπορούμε να γράψουμε: /4 r r /4 4 I r dr cos d sin sin( / 4) r0 To αποτέλεσμα είναι και πάλι το ίδιο με τους πρώτους τρόπους, αλλά τώρα είχαμε να υπολογίσουμε πολύ απλούστερα ολοκληρώματα με σταθερά όρια. Επομένως για το συγκεκριμένο πρόβλημα η επιλογή πολικών συντεταγμένων είναι ο ενδεδειγμένος τρόπος.

Σχετικά έγγραφα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 4ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διπλά Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 4ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διπλά Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διπλά Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Προσεγγίστε τo ολοκλήρωμα ( + ) I d d με αθροίσματα iemann χωρίζοντας το πεδίο ολοκλήρωσης σε ίσα ορθογώνια.