ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ. 1. Μπορεί ένα σύστημα σωμάτων να έχει κινητική ενέργεια χωρίς να έχει ορμή; Ισχύει το ίδιο και στην περίπτωση ενός σώματος;

Transcript

1 ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ 1. Μπορεί ένα σύστημα σωμάτων να έχει κινητική ενέργεια χωρίς να έχει ορμή; Ισχύει το ίδιο και στην περίπτωση ενός σώματος; 2. Ποιο από τα παρακάτω μεγέθη διατηρείται σε κάθε κρούση; α) Η κινητική ενέργεια συστήματος. β) Η μηχανική ενέργεια. γ) Η ορμή του. Επιλέξτε το σωστό. 3. Κατά την ελαστική κρούση δύο σωμάτων α) η ολική κινητική ενέργεια του συστήματος παραμένει σταθερή, β) η κινητική ενέργεια κάθε σώματος παραμένει σταθερή, γ) η κινητική ενέργεια του συστήματος αυξάνεται, δ) η κινητική ενέργεια του συστήματος μειώνεται. Επιλέξτε τη σωστή πρόταση. 4. Κατά την πλαστική κρούση δύο σωμάτων η μηχανική ενέργεια του συστήματος α) παραμένει σταθερή, β) αυξάνεται, γ) μειώνεται. Επιλέξτε το σωστό. 5. Μια σφαίρα Α συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με ακίνητη σφαίρα Β, ίσης μάζας. Η ταχύτητα της σφαίρας Α μετά την κρούση α) θα είναι ίση με την ταχύτητα που είχε πριν την κρούση, β) θα είναι αντίθετη της ταχύτητας που είχε πριν την κρούση, γ) θα είναι ίση με την ταχύτητα που θα αποκτήσει η σφαίρα Β. δ) θα μηδενιστεί. Επιλέξτε τη σωστή πρόταση. 6. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές; α) Στις μετωπικές κρούσεις δύο σφαιρών οι ταχύτητες των σωμάτων πριν και μετά την κρούση έχουν την ίδια διεύθυνση. β) Κατά την ελαστική κρούση δύο σφαιρών η μηχανική ενέργεια του συστήματος διατηρείται σταθερή. γ) Κατά την πλαστική κρούση δύο σωμάτων δεν εχουμε μεταβολή της κινητικής ενέργειας του συστήματος. δ) Αν η μετωπική κρούση δύο σφαιρών με ίσες μάζες είναι ελαστική, οι σφαίρες ανταλλάσσουν ταχύτητες. 7

2 7. Σώμα μάζας m κινείται οριζόντια με ταχύτητα u. Στην πορεία του συγκρούεται ελαστικά με κατακόρυφο τοίχο. Η μεταβολή στην ορμή του σώματος έχει μέτρο: α) 0; β) mu/2; γ) mu; δ) 2mu; 8. Ένα μικρό σώμα μάζας m κινείται οριζόντια με κινητική ενέργεια Κ. Το μικρό αυτό σώμα συγκρούεται κεντρικά και πλαστικά με άλλο ακίνητο σώμα τριπλάσιας μάζας. Η απώλεια κινητικής ενέργειας του συστήματος των δύο σωμάτων εξαιτίας της πλαστικής κρούσης ισούται με: α. Κ/4 β. 3Κ/4 γ. Κ/2 δ. 2Κ/3 9. Δύο σφαίρες (1) και (2), ίσης μάζας (m 1 =m 2 ), κινούνται σε λείο οριζόντιο δάπεδο με ταχύτητες υ 1 και υ 2 αντίστοιχα, οι οποίες έχουν διαφορετικά μέτρα και κάθετες διευθύνσεις. Οι δύο σφαίρες συγκρούονται πλαστικά και το συσσωμάτωμα που δημιουργείται μετά την κρούση κινείται με ταχύτητα υ. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασμένες; α) Το συσσωμάτωμα κινείται πάνω στη διχοτόμο της γωνίας που σχηματίζουν οι ταχύτητες υ 1 και υ 2. β) Το μέτρο της ορμής του συσσωματώματος είναι ίσο με το άθροισμα των μέτρων των ορμών που είχαν οι δύο σφαίρες πριν από την κρούση τους. γ) Για τα μέτρα των ταχυτήτων υ 1, υ 2 και υ κ ισχύει η σχέση κ 4υ 2 κ υ υ. δ) Η απώλεια μηχανικής ενέργειας του συστήματος των σφαιρών εξαιτίας της κρούσης είναι ίση με το 50% της αρχικής του ενέργειας 10. Δύο σφαίρες Σ 1 και Σ 2 έχουν μάζες m 1 και m 2 αντίστοιχα και είναι m 1 =4m 2. Οι σφαίρες κινούνται σε οριζόντιο επίπεδο στην ίδια ευθεία με αντίθετες ταχύτητες. Ο υ2 λόγος των μέτρων των ταχυτήτων των σφαιρών Σ 1 και Σ 2 μετά την κεντρική υ 1 ελαστική τους κρούση είναι ίσος με: α. 4 β. 5 γ Ένα βλήμα μάζας m που κινείται οριζόντια με ταχύτητα μέτρου υ διαπερνά ακαριαία ένα αρχικά ακίνητο σώμα μάζας Μ=2m και βγαίνει από την άλλη μεριά με ταχύτητα 2 υ. Το κλάσμα της απώλειας της μηχανικής ενέργειας κατά την κρούση Ε απωλ προς την αρχική κινητική ενέργεια Κ του βλήματος είναι ίσο με: α. 1/8 β. 3/8 γ. 5/

3 12. Μικρό σώμα (1) μάζας m 1 κινείται σε οριζόντιο δρόμο με σταθερή ορμή p 1 και συγκρούεται μετωπικά και πλαστικά με ακίνητο μικρό σώμα (2) μάζας m 2. Εξαιτίας της κρούσης των δύο σωμάτων το 20 % της αρχικής κινητικής ενέργειας του σώματος (1) μετατράπηκε σε θερμότητα. 1. Οι μάζες m 1 και m 2 των δύο σωμάτων ικανοποιούν τη σχέση Α) m 1 = 2 m 2 B) m 1 = 0,5 m 2 Γ) m 1 = 4 m 2 Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. 2. Η μεταβολή της ορμής του σώματος (1) εξαιτίας της κρούσης είναι ίση με Α) 0,5 p 1 Β) -0,2 p 1 Γ) -0,8 p 1 Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. 13. Δύο σώματα μάζας m 1 και m 2 έχουν αντίθετες ορμές και ταχύτητες μέτρου u 1 και u 2 αντίστοιχα που ικανοποιούν τις σχέσεις u 1 = 3 u και u 2 = u. Τα δύο σώματα συγκρούονται μετωπικά και ελαστικά.οι ορμές των σωμάτων και m 2 αντίστοιχα μετά την κρούση: ' p 1 και ' p 2 μάζας m 1 ' ' Α) είναι αντίθετες Β) είναι ίσες Γ) ικανοποιούν τη σχέση 3p p Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας Σφαίρα μάζας m πέφτει κατακόρυφα και συγκρούεται ελαστικά με ταχύτητα με οριζόντιο επίπεδο. Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας της σφαίρας είναι : (α) ΔΚ = 0 (β) ΔΚ = ½ mυ 2 (γ) ΔΚ = mυ 2 (δ) ΔΚ = 2mυ 15. Σώμα μάζας m κινείται πάνω σε οριζόντιο επίπεδο και συγκρούεται με ταχύτητα με σώμα μάζας 2m που είναι ακίνητο. Η κρούση είναι πλαστική. (α) Η ταχύτητα του συσσωματώματος είναι υ / /2. (β) Ο λόγος της τελικής κινητικής ενέργειας του συστήματος προς την αρχική του σώματος Α είναι Κ / /Κ = 1/4. (γ) Ο λόγος της τελικής ορμής του σώματος Α προς την αρχική ορμή του είναι p A / /p A = 1. 9

4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΚΡΟΥΣΕΙΣ 1. Σώμα μάζας m=1kg που κινείται με ταχύτητα υ=6 m/s συγκρούεται μετω- πικά και ελαστικά με ακίνητο σώμα τετραπλάσιας μάζας. α) Να υπολογιστούν οι ταχύτητες των σωμάτων μετά την κρούση. β) Να υπολογιστεί η μεταβολή της ορμής του κάθε σώματος γ) Να υπολογιστεί η μεταβολή της κινητικής ενέργειας του κάθε σώματος 2. Δύο σφαίρες με μάζες m 1 =1kg και m 2 =2kg κινούνται με αντίθετη φορά πάνω στην ίδια ευθεία με ταχύτητες u 1 =5m/s και u 2 =10m/s αντίστοιχα, και συγκρούονται πλαστικά. α) Να υπολογιστεί η ταχύτητα του συσσωματώματος μετά την κρούση. β) Να υπολογιστεί η θερμότητα που εκλύεται κατά την κρούση. γ) Ποια είναι η μεταβολή της κινητικής ενέργειας του σώματος μάζας m 1 λόγω της κρούσης; 3. Βλήμα μάζας m=0,4 kg κινείται οριζόντια με ταχύτητα υ 1 =400 m/s. Το βλήμα στην πορεία του συναντάει σώμα μάζας Μ= 2 kg που ήταν ακίνητο σε οριζόντιο επίπεδο, το διαπερνά και βγαίνει με ταχύτητα υ 2 =300 m/s. O συντελεστής τριβής ολίσθησης του σώματος μάζα Μ με το δάπεδο είναι 0,5. Να υπολογίσετε: α) την ταχύτητα του σώματος Μ, αμέσως μετά την κρούση. β) τη μηχανική ενέργεια που χάθηκε κατά την κρούση. γ) το διάστημα που θα διανύσει το Μ μέχρι να σταματήσει. Δίνεται g=10 m/s 2 4. Σφαίρα (1) μάζας m 1 =1kg προσπίπτει με ταχύτητα υ 1, σε ακίνητη σφαίρα (2) και συγκρούεται ελαστικά και κεντρικά με αυτή. Μετά την κρούση η (1) κινείται με ταχύτητα μέτρου υ 1 = υ 1 /3. Ποια πρέπει να είναι η μάζα m 2 της σφαίρας (2) ώστε α) Η υ 1 να είναι ομόρροπη της υ 1. β) Η υ 1 να είναι αντίρροπη της υ Δύο σφαίρες με μάζες m 1 =6kg και m 2 =4kg κινούνται στο οριζόντιο επίπεδο, με ταχύτητες υ 1 =8m/s και υ 2 =9m/s κάθετες μεταξύ τους, και συγκρούονται πλαστικά. 10

5 Να υπολογίσετε: α) την κοινή τους ταχύτητα μετά την κρούση. β) τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας του συστήματος. 6. Ξύλινη πλάκα με μάζα Μ= 5 kg είναι δεμένη από σκοινί και κρέμεται κατακόρυφα. Ένα βλήμα με μάζα m=50 g και οριζόντια ταχύτητα υ 1 =520m/s χτυπά την πλάκα στο κέντρο της τη διαπερνά και βγαίνει με ταχύτητα υ 2 =80m/s Η απόσταση του κέντρου της πλάκας από το σημείο όπου είναι δεμένο το σκοινί είναι 1=2 m. α) Πόσο θα εκτραπεί το σκοινί από την κατακόρυφη θέση; β) Πόση θερμότητα εκλύεται λόγω της κρούσης; γ) Ποια η τάση του νήματος λίγο πριν την κρούση; Έχει την ίδια τιμή με αυτή αμέσως μετά την κρούση; Δίνεται g=10 m/s 2 7. Ένα σώμα με μάζα m 1 =20 kg ισορροπεί σε πλάγιο επίπεδο με κλίση φ=30. Ένα δεύτερο σώμα με μάζα m 2 =30 kg που ανεβαίνει στο πλάγιο επίπεδο, συγκρούεται πλαστικά με το πρώτο έχοντας ταχύτητα 10 m/s Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ συσσωματώματος και επιπέδου είναι α) Να υπολογίσετε το διάστημα που διανύει το συσσωμάτωμα μέχρι να σταματήσει. β) Θα επιστρέψει το συσσωμάτωμα στη βάση του πλάγιου επιπέδου; Δίνεται g=10 m/s 2 8. Από την κορυφή πλάγιου επιπέδου, που έχει μήκος s=4,2 m και σχηματίζει με το οριζόντιο επίπεδο γωνία φ=30 0 αφήνεται να ολισθήσει σώμα με μάζα m=1 kg, χωρίς τριβή. Κατά την κάθοδο του και ενώ έχει διανύσει διάστημα s 1 =1,6 m συναντά ακίνητο σώμα της ίδιας μάζας και συγκρούεται πλαστικά με αυτό. Το συσσωμάτωμα που δημιουργείται από την κρούση ολισθαίνει στο πλάγιο επίπεδο και φτάνει στη βάση του με μηδενική ταχύτητα. Να υπολογίσετε: α) το συντελεστή τριβής ολίσθησης του συσσωματώματος με το πλάγιο επίπεδο. β) τη συνολική θερμότητα που παράχθηκε κατά τη διάρκεια του φαινομένου. γ) το έργο της τριβής ολίσθησης. Δίνεται g=10 m/s 2 11

6 9. Σώμα μάζας m 1 έχει ταχύτητα υ 0 και προσκρούει σε ακίνητο σώμα μάζας m 2 =2m 1 που βρίσκεται σε απόσταση x=l m (βλέπε σχ.). Μετά την κρούση, που είναι ελαστική, το πρώτο σώμα επιστρέφει και σταματά στην αρχική του θέση. Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης των δυο σωμάτων με το δάπεδο είναι μ=0,5. Να υπολογίσετε: α) την αρχική ταχύτητα υο του πρώτου σώματος. β) το διάστημα που θα διανύσει το δεύτερο σώμα μέχρι να σταματήσει. γ) σε πόσο χρόνο σταματά μετά την κρούση; Δίνεται g=10 m/s Αρχικά η σφαίρα m 1 βρίσκεται ακίνητη και το νήμα σε κατακόρυφη θέση. Εκτρέπουμε τη σφαίρα μάζας m 1 = m από την αρχική της θέση ώστε το νήμα μήκους l=1,6 m να σχηματίζει με την κατακόρυφο γωνία =60 o και την αφήνουμε ελεύθερη. Όταν αυτή περάσει από την αρχική της θέση ισορροπίας συγκρούεται ελαστικά με ακίνητο σώμα μάζας m 2 =3 m που βρισκόταν πάνω σε οριζόντιο επίπεδο με τριβές. Το σώμα m 2 μετά την κρούση, αφού διανύσει διάστημα s σταματάει. Να βρεθούν: α) Το μέτρο της ταχύτητας υ 1 του σώματος μάζας m ελάχιστα πριν την κρούση. β) Το συνημίτονο της τελικής γωνίας απόκλισης θ που θα σχηματίσει το νήμα με την κατακόρυφο μετά την ελαστική κρούση. γ) Το διάστημα s μέχρι να σταματήσει το σώμα m 2. δ) Το ποσοστό απώλειας της κινητικής ενέργειας του m 1 κατά την κρούση. Δίνονται ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ σώματος και επιπέδου μ=0,2 και g=10m/s 2. 12

7 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΡΧΗ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΟΡΜΗΣ (ΑΔΟ) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Η ορμή είναι ένα διανυσματικό μέγεθος. Πρέπει να χρησιμοποιούμε τη διανυσματική πρόσθεση για να υπολογίσουμε την ολική ορμή ενός συστήματος. Στις ασκήσεις που θα χρειάζεται να εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης της ενέργειας (ΑΔΟ), θα εργαζόμαστε ως εξής: 1. Ορίζουμε έναν άξονα, τον άξονα της κίνησης, και τη θετική φορά που εμείς θέλουμε. Είναι τις περισσότερες φορές ευκολότερο να επιλέγουμε τον άξονα x έτσι που να έχει τη διεύθυνση μιας από τις αρχικές ταχύτητες (αν το πρόβλημα μας είναι για μονοδιάστατη κίνηση στον άξονα x. Αν μιλάμε για κίνηση στον κατακόρυφο άξονα, θα παίρνουμε ως άξονα κίνησης, τον άξονα y). Τα περισσότερα προβλήματα σε αυτό το κεφάλαιο αναφέρονται σε κινήσεις σε μία διάσταση (ή την x ή την y). Αντίστοιχα και τα διανύσματα των διαφόρων ποσοτήτων θα έχουν συνιστώσες στον άξονα x ή y. Όλα όσα ακολουθούν μπορούν να γενικευθούν και για μελέτη δισδιάστατης κίνησης (κίνηση στο επίπεδο, όπου λαμβάνουμε υπόψιν τόσο την κίνηση κατά τον άξονα x όσο και κατά τον άξονα y). 2. Κάνουμε διαγράμματα με τις καταστάσεις πριν και μετά την κρούση (ή την ανάκρουση, ή την έκρηξη, ή την πλαστική κρούση, ανάλογα τι μας ζητάει το πρόβλημα) και συμπεριλαμβάνουμε στο καθένα διανύσματα που συμβολίζουν όλες τις γνωστές ταχύτητες. Σημειώνουμε στα διανύσματα τα μεγέθη τους, τις γωνίες, ή όποια άλλη πληροφορία μας δίνεται και δίνουμε σε κάθε άγνωστο μέγεθος ένα σύμβολο. 3.Υπολογίζουμε τις συνιστώσες x (ή y, ή και τις δύο μαζί ανάλογα το πρόβλημα) κάθε σωματίου, τόσο πριν όσο και μετά την κρούση (ή την ανάκρουση, ή την έκρηξη, ή την πλαστική κρούση, ανάλογα τι μας ζητάει το πρόβλημα), χρησιμοποιώντας τις σχέσεις p x =mu x (ή p y =mu y, ή και τις δύο μαζί ανάλογα με την άσκηση). Ακόμα και όταν έχουμε κίνηση μόνο στον ένα άξονα, πρέπει να είμαστε πολύ προσεκτικοί με τα πρόσημα. 4. Γράφουμε μια εξίσωση εξισώνοντας την ολική αρχική συνιστώσα x της ορμής, με την ολική τελική συνιστώσα x της ορμής.( αν το πρόβλημα αναφέρεται σε κίνηση στον άξονα y κάνουμε το ίδιο ή αν η κίνηση είναι σε δύο διαστάσεις, τότε παίρνουμε εξισώσεις και για 13

8 τους δύο άξονες). Αυτή η εξίσωση θα εκφράζει την ΑΔΟ (Προσοχή: το σύστημά μας πρέπει να είναι μονωμένο). 5. Λύνουμε την εξίσωση για να προσδιορίσουμε τα ζητούμενα μεγέθη. ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ: α) Η ορμή είναι διανυσματικό μέγεθος και δίνεται από τη σχέση p m u. Άρα έχει i) μέτρο: p=mu ii) διεύθυνση και φορά τη διεύθυνση και τη φορά της ταχύτητας iii)μονάδα μέτρησης το 1kg m/s Ως διάνυσμα μπορούμε να την αναλύουμε σε άξονες όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα p p p. Το μέτρο της p θα δίνεται από τη σχέση x y των ορμών στους άξονες x και y αντίστοιχα. Για τις ορμές του σχήματος ισχύει η διανυσματική πρόσθεση p p p, όπου p x, p y τα μέτρα 2 2 x y ΠΩΣ ΘΑ ΒΡΙΣΚΟΥΜΕ ΤΗΝ ΟΡΜΗ: Για να βρούμε την ορμή θα κάνουμε τα εξής: α) θα ορίζουμε έναν άξονα, τον άξονα x αν το σώμα κινείται σε οριζόντιο επίπεδο (και σε μία διάσταση) ή τον y αν το σώμα κινείται στην κατακόρυφη διεύθυνση. β) θα ορίζουμε μια θετική φορά του άξονα γ) αν η ταχύτητα του σώματος έχει φορά ίδια με τη φορά που ορίσαμε ως θετική, τότε η ορμή θα είναι θετική. Αν έχει αντίθετη, τότε θα είναι αρνητική. ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΤΗΣ ΟΡΜΗΣ: Η μεταβολή της ορμής είναι επίσης διανυσματικό μέγεθος: p p p m u m u. Όταν μας ζητάνε τη μεταβολή της ορμής ενός σώματος θα εργαζόμαστε ως εξής: i) Σχεδιάζουμε τα p, p και ορίζουμε αυθαίρετα μια θετική φορά. 14

9 ii) Όποια ορμή έχει φορά προς τα θετικά του άξονα, την παίρνουμε ως θετική. Όποια ορμή έχει φορά προς τα αρνητικά του άξονα την παίρνουμε ως αρνητική και κάνουμε τις πράξεις. (δε βάζουμε πλέον διανύσματα, αφού έχουμε αντικαταστήσει με τις αλγεβρικές τιμές) iii) Αν μετά τις πράξεις η μεταβολή της ορμής προκύψει θετική, τότε θα έχει τη διεύθυνση και τη φορά αυτής που πήραμε ως θετική. Αν έχει αρνητικό πρόσημο (η μεταβολή της ορμής), θα έχει φορά αντίθετη από αυτή που πήραμε ως θετική εμείς. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΤΗΣ ΚΙΝΗΤΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ (ΘΜΚΕ) ΚΑΙ ΠΩΣ ΕΦΑΡΜΟΖΕΤΑΙ: Η μαθηματική του έκφραση είναι W F. Πριν εφαρμοσθεί το ΘΜΚΕ χρειάζεται μια προεργασία που είναι η εξής: α) κάνουμε καλό σχήμα και σχεδιάζουμε στο σώμα όλες τις δυνάμεις στα διάφορα στάδια της διαδρομής του. Στη συνέχεια τις υπολογίζουμε ή τις εκφράζουμε. (πχ Τ=μmg). Θα σχεδιάζουμε τις δυνάμεις ως επί το πλείστον σε τυχαία ενδιάμεση σχέση. β) αναλύουμε τις δυνάμεις σε δύο συνιστώσες που η μία είναι κάθετη στον αντίστοιχο δρόμο και η άλλη παράλληλη σε αυτόν. γ) ορίζουμε τη διαδρομή που θα εφαρμόσουμε το ΘΜΚΕ και στη συνέχεια το εφαρμόζουμε μόνο για τις συνιστώσες που βρίσκονται πάνω στο δρόμο (οι συνιστώσες που είναι κάθετες στο δρόμο έχουν έργο μηδέν και κατά συνέπεια τις αγνοούμε) δ) υπολογίζουμε το έργο της κάθε δύναμης προσέχοντας ιδιαίτερα τα έργα των μεταβλητών δυνάμεων που τα υπολογίζουμε γραφικά και στη συνέχεια τα αντικαθιστούμε στη μαθηματική έκφραση του ΘΜΚΕ. ε) για να γράψουμε σωστά τα έργα των δυνάμεων, θα σχεδιάζουμε τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα σε τυχαία ενδιάμεση θέση και i) αν η δύναμη έχει αντίθετη φορά από την κίνηση τότε το έργο της θα είναι αρνητικό ii) αν η δύναμη έχει την ίδια φορά με την κίνηση τότε το έργο της θα είναι θετικό ΠΡΟΣΟΧΗ: Για να γράψουμε σωστά το έργο που προκαλεί η δύναμη του ελατηρίου δεν θα λαμβάνουμε υπόψη τη φορά της. Σε κάθε περίπτωση θα γράφουμε U U όπου,,, U, η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου στην αρχική θέση και U, η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου στην τελική θέση. 15

10 Από τη σχέση WF U, U θα προκύπτει το, WF με το σωστό του πρόσημο. ΕΡΓΟ ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ: Το έργο των συντηρητικών δυνάμεων δεν εξαρτάται από τη διαδρομή, αλλά μόνο από την αρχική και τελική θέση. Άρα: για να βρούμε το έργο του βάρους ή της δύναμης του ελατηρίου χρειαζόμαστε μόνο την αρχική και την τελική θέση, ενώ για να βρούμε το έργο της τριβής (που είναι μη συντηρητική δύναμη) χρειαζόμαστε όλη την απόσταση της διαδρομής. Οι συντηρητικές δυνάμεις δεν προκαλούν μεταβολή της μηχανικής ενέργειας στο σύστημα που ασκούνται. Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ (ΑΔΜΕ) ΚΑΙ ΠΩΣ ΕΦΑΡΜΟΖΕΤΑΙ: Διατύπωση: όταν σε σώμα ή σε ένα σύστημα σωμάτων ασκούνται μόνο συντηρητικές δυνάμεις η μηχανική ενέργεια του σώματος ή του συστήματος δε μεταβάλλεται. Πριν εφαρμόσουμε την ΑΔΜΕ κάνουμε την εξής προεργασία: α) Αναγνωρίζουμε τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα ή στο σύστημα και αν διαπιστώσουμε ότι όλες είναι συντηρητικές τότε μόνο έχουμε τη δυνατότητα να εφαρμόσουμε την ΑΔΜΕ. Έτσι για δύο καταστάσεις; Του συστήματος Α, Γ, μπορούμε να γράψουμε E E β) Ορίζουμε ένα οριζόντιο επίπεδο αναφοράς που το λέμε και επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας ώστε από αυτό να μετράμε τα ύψη h 1, h 2 που θα είναι απαραίτητα για τον τύπο της δυναμικής ενέργειας U=mgh γ) Αν υπάρχει στο σύστημα και ελατήριο, τότε στην αρχή του σχήματος το εμφανίζουμε στο φυσικό του μήκος, ώστε από την ελεύθερη άκρη του να μετράμε τις παραμορφώσεις του x 1, x 2... που είναι απαραίτητες για τον τύπο της δυναμικής του ενέργειας U ελ =1/2 kx 2. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: α) συμφέρει σαν επίπεδο U=0 να παίρνουμε αυτό που περνά από την κατώτερη θέση που έφτασε το κέντρο βάρους κάποιου σώματος του συστήματος. β) αν χρειαστεί η ΑΔΜΕ να εφαρμοστεί δύο ή περισσότερες φορές σε μια άσκηση, μπορούμε κάθε φορά να ορίζουμε νέο επίπεδο αναφοράς αν μας συμφέρει. γ) i) η δυναμική ενέργεια σώματος που βρίσκεται πάνω από το επίπεδο αναφοράς είναι θετική + mgh 16

11 ii) η δυναμική ενέργεια σώματος που βρίσκεται στο επίπεδο αναφοράς είναι μηδέν iii) η δυναμική ενέργεια σώματος που βρίσκεται κάτω από το επίπεδο αναφοράς είναι αρνητική mgh. Η ΑΡΧΗ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ (ΑΔΕ) ΚΑΙ ΠΩΣ ΕΦΑΡΜΟΖΕΤΑΙ: Η ενέργεια ενός συστήματος παραμένει σταθερή, όταν αυτό είναι ενεργειακά μονωμένο από το περιβάλλον. Εφαρμόζεται συνήθως σε σύστημα σωμάτων που οι δυνάμεις δεν είναι όλες συντηρητικές. Για δύο καταστάσεις του συστήματος μπορούμε να γράψουμε Ε ΑΡΧ =Ε ΤΕΛ, όπου Ε ΑΡΧ, Ε ΤΕΛ, το άθροισμα των ενεργειών κάθε μορφής του συστήματος, στην αρχική και τελική κατάσταση αντίστοιχα. Και εδώ κάνουμε τις ενέργειες β) και γ) όπως και στη ΑΔΜΕ. 17

12 ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Μετατόπιση Δx Είναι ένα διάνυσμα από την αρχική μέχρι την τελική θέση του σώματος. Τροχιά Σε ευθεία γραμμή ισχύει σε μέτρα Δx = x 2 -x 1 Α Μετατόπιση ΑΓ Γ Διάστημα S Είναι το συνολικό μήκος της τροχιάς του σώματος. Είναι μονόμετρο μέγεθος Διαφορές μετατόπισης-διαστήματος Μετατόπιση Διανυσματικό μέγεθος Εξαρτάται μόνο από την αρχική και την τελική θέση του κινητού Η αλγεβρική τιμή της είναι θετική ή αρνητική Μονόμετρο μέγεθος Διάστημα Εξαρτάται από τη διαδρομή που ακολουθεί το κινητό Είναι πάντα θετικός αριθμός Ταχύτητα u Είναι ο ρυθμός μεταβολής της θέσης ενός σώματος Δx x2 x1 Σε ευθεία γραμμή u και με μέτρο u ή και απλούστερα Δt t -t 2 1 x u t Μονάδα m/sec Μέση Ταχύτητα: u S (διανυσματικό μέγεθος) ολ u (μονόμετρο μέγεθος) tολ Ευθύγραμμη Ομαλή Κίνηση Ορισμός: Είναι η ευθύγραμμη κίνηση με σταθερή σε μέτρο και φορά ταχύτητα. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΣΤΑΘΕΡΗ Εξισώσεις u = σταθερή x = x o + u(t t o ) ή x = x o + ut ή x = ut (αν x o =0) 18

13 όπου x o η αρχική θέση του σώματος (την t o =0 sec) Διαγράμματα Διάγραμμα Ταχύτητας Χρόνου Διάγραμμα Θέσης Χρόνου (ή μετατόπισης χρόνου ή διαστήματος χρόνου) U (m/sec) S (m) 0 t (sec) 0 t (sec) Η ταχύτητα ούτε αυξάνεται ούτε μειώνεται Ευθεία γραμμή στο διάγραμμα x-t σημαίνει σταθερή ταχύτητα άρα Ε.Ο.Κ. ή ακίνητο σώμα. Επιτάχυνση Φυσικό μέγεθος που μας δείχνει πόσο γρήγορα αλλάζει το διάνυσμα της ταχύτητας u Η στιγμιαία τιμή της Δu u -u α= = Δt t -t Μονάδα m/sec 2 Το διάνυσμα της επιτάχυνσης είναι ίδιας κατεύθυνσης με αυτό της μεταβολής της ταχύτητας Δu, άρα: Η επιτάχυνση α έχει την ίδια φορά με την ταχύτητα όταν αυτή αυξάνεται (επιτάχυνση) Ο U o α U +x Η επιτάχυνση α έχει την αντίθετη φορά με την ταχύτητα όταν αυτή μειώνεται (επιβράδυνση) Ο U o α U +x 19

14 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ ΣΤΑΘΕΡΗ Ευθύγραμμη Ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση Είναι η κίνηση στην οποία το σώμα κινείται σε ευθεία γραμμή και η επιτάχυνσή του α είναι σταθερή. Εξισώσεις Ευθύγραμμης Ομαλά Επιταχυνόμενης κίνησης Εξισώσεις Ε.Ο.Ε.Κ. με αρχική ταχύτητα (u o 0) Επιτάχυνση (α>0) α = σταθερή u =u o + αt Δx = u o t αt2 Επιβράδυνση (α<0) α = σταθερή u =u o - α t Δx = u o t α t2 Εξισώσεις Ε.Ο.Ε.Κ. χωρίς αρχική ταχύτητα (u o = 0) Επιτάχυνση (α>0) Επιβράδυνση (α<0) α = σταθερή u =αt (Δεν γίνεται!) Δx = 1 2 αt2 20

15 Γραφική παράσταση επιτάχυνσης-χρόνου α(t) Εμβαδόν Ε=α(t 2 -t 1 )=α Δt α(m/s 2 ) Ισχύει α Δυ Δt Δυ α Δt Άρα το εμβαδόν της γραφικής παράστασης είναι αριθμητικά ίσο με τη μεταβολή της ταχύτητας για το χρονικό διάστημα Δt= t 2 -t 1 : α t(sec) t 1 Ε t 2 Ε = Δυ Γραφική παράσταση ταχύτητας-χρόνου υ(t) υο υ υο υο αt E1 t t Εμβαδόν 2 2 υ(m/s) υ E υοt αt Άρα το γραμμοσκιασμένο εμβαδόν είναι ίσο με το μέτρο της μετατόπισης Δx του κινητού για το χρονικό διάστημα Δt. υ o φ Ε 1 Δt t Δυ t(sec) Δυ Η κλίση της ευθείας είναι: κλίση εφφ α και είναι αριθμητικά ίση με την Δt αλγεβρική τιμή της επιτάχυνσης. Στην ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση η επιτάχυνση είναι αρνητική (α<0) και η ταχύτητα μειώνεται με την πάροδο του χρόνου, άρα οι γραφικές παραστάσεις α(t) και υ(t) έχουν τη μορφή που φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. υ(m/s) 0 t(sec) -α Γραφική παράσταση μετατόπισηςχρόνου x(t) (1) : Ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση α>0 (2) : Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση α=0 (3) : Ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση α<0 υ ο x(m) α>0 (1) t(sec) α=0 (2) α<0 (3) t(sec) 21

16 Αρχή της ανεξαρτησίας των κινήσεων Όταν ένα κινητό μετέχει δύο ή περισσοτέρων κινήσεων τότε αυτές γίνονται ανεξάρτητα η μία από την άλλη και η συνολική μετατόπιση μετά από χρόνο t είναι ίδια είτε αυτές γίνονται ταυτόχρονα για χρόνο t είτε διαδοχικά για τον ίδιο χρόνο t η καθεμία. Δύναμη Η αιτία που προκαλεί την παραμόρφωση των σωμάτων ή την μεταβολή της κινητικής τους κατάστασης. Μονάδα Newton = Kg m/sec 2 ΣΥΝΙΣΤΑΜΕΝΗ ΔΥΝΑΜΕΩΝ F 1 F 2 F ολ F 1 F 2 F ολ Ομόρροπα διανύσματα Αντίρροπα διανύσματα F ολ =F 2 +F 1 και έχει την φορά της μεγαλύτερης F ολ =F 2 -F 1 και έχει την φορά της μεγαλύτερης F 2 F ολ F 2 Ν F ολ Μ θ φ θ π-φ φ F 2 ημφ F 1 Ο F 1 Κ F 2 συν Λ Διανύσματα κάθετα Διανύσματα σε τυχαία γωνία φ 22

17 2 2 F ολ = F F F ολ = F F 2F F συνφ F2 εφθ = F 1 εφθ = F2 ημφ F F συνφ 1 2 Ανάλυση διανύσματος σε συνιστώσες: y F Προσοχή: Fy = Fημθ Ο θ F x = Fσυνθ x Η συνιστώσα που πρόσκειται (ακουμπάει) στη γωνία θ παίρνει το συνημίτονο και αυτή που είναι απέναντι από τη γωνία θ παίρνει το ημίτονο. Νόμος Hooke Η ελαστική παραμόρφωση των σωμάτων είναι ανάλογη της αιτίας που την προκάλεσε. F=Kx, όπου K : σταθερά ελατηρίου, x : παραμόρφωση ελατηρίου. ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Το x το μετράμε από τη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου. Η δύναμη του ελατηρίου έχει πάντα κατεύθυνση προς τη θέση φυσικού μήκους. 23

18 Ο Α νόμος Newton Κάθε σώμα διατηρεί την κατάσταση ακινησίας ή ευθύγραμμης ομαλής κίνησης αν δεν ασκείται σε αυτό δύναμη ΣF = 0 Ακινησία ή Ε. Ο. Κ. Ο Β Νόμος Newton Η ασκούμενη σε ένα σώμα δύναμη προκαλεί επιτάχυνση με την κατεύθυνση της δύναμης και μέτρο ίσο με το πηλίκο της δύναμης προς την μάζα του σώματος ΣF α = m ή ΣF = mα Γενικότερος ορισμός: Δp ΣF = (δύναμη = ρυθμός μεταβολής της ορμής) Δt Σε άξονες x και y η σχέση γίνεται: ΣF x =ma x και ΣF y =ma y Πιο απλά: F = mα Συνέπειες από τον β νόμο της κίνησης: Σταθερή δύναμη Σταθερή επιτάχυνση άρα Ε.Ο.Ε.Κ. Δύναμη μηδέν Επιτάχυνση μηδέν άρα Ε.Ο.Κ. Μεταβλητή δύναμη Μεταβλητή επιτάχυνση. Ο Γ Νόμος Newton (δράσης αντίδρασης) Αν ένα σώμα Α ασκεί δύναμη F AB σε ένα άλλο σώμα Β, τότε και το Β ασκεί στο σώμα Α μία ίσου μέτρου και αντίθετη δύναμη F BA. : F =-F AB BA Στατική Τριβή: όπου: 0 Τ σ Τ σ,max όπου T σ,max =μ σ F k 24

19 μ σ : συντελεστής στατικής τριβής F k : κάθετη δύναμη που συμπιέζει τις δύο επιφάνειες που εφάπτονται. Η στατική τριβή είναι πάντοτε αντίθετη με την (οριζόντια) δύναμη που τείνει να κινήσει το σώμα εφόσον Τ σ < Τ σ,max Η στατική τριβή είναι πάντοτε παράλληλη στο επίπεδο επαφής Τριβή Ολίσθησης: T = μ ο F k ισχύει μ ο μ σ (μ ο μ σ ) Η τριβή ολίσθησης έχει πάντα τιμή Τ= μοf κ και είναι ανεξάρτητη από την ταχύτητα ολίσθησης και το εμβαδό επαφής Ορμή ορισμός p=mu (kg m/s) Ολική ορμή συστήματος Είναι το διανυσματικό άθροισμα των ορμών των σωμάτων του συστήματος Αρχή διατήρησης ορμής Αν σε ένα σύστημα σωμάτων δεν ασκούνται εξωτερικές δυνάμεις (ή ασκούνται αλλά η συνισταμένη τους είναι μηδέν) τότε η συνολική ορμή του συστήματος παραμένει σταθερή. Αν ΣF εξ =0 τότε p αρχ =p τελ Κυκλική κίνηση Περίοδος Τ : Χρόνος για ένα κύκλο Συχνότητα f : Αριθμός κύκλων ανά sec f = αριθμός στροφών N, μονάδα Hz=s -1 αντίστοιχος χρόνος t Σχέση συχνότητας - περιόδου: 1 f= T υ(m/s) 25

20 Γραμμική ταχύτητα u Γωνιακή ταχύτητα ω Ορισμός: ΔS u= Δt Ορισμός: ω = Δφ Δt u = 2πR T και u =2πRf ω = 2π T και ω = 2πf μονάδα: m/sec μονάδα: rad/sec R ΔS u ω u Δφ Η γραμμική ταχύτητα u είναι πάντοτε εφαπτόμενη στην τροχιά της κίνησης. Η γωνιακή ταχύτητα είναι αξονικό διάνυσμα! Ασκείται πάνω στον άξονα περιστροφής και όχι στο σώμα. Είναι κάθετο στο επίπεδο της κυκλικής κίνησης και η φορά της καθορίζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού ή του δεξιόστροφου κοχλία. Σχέση γραμμικής - γωνιακής ταχύτητας : u = ωr Κεντρομόλος επιτάχυνση: Είναι η επιτάχυνση που έχει ένα σώμα λόγω αλλαγής της κατεύθυνσής του. Είναι πάντα κάθετη στη γραμμική ταχύτητα u, άρα έχει τη διεύθυνση της ακτίνας, και φορά προς το κέντρο της κυκλικής κίνησης. α κ = 2 u R Κεντρομόλος δύναμη: Η αναγκαία και ικανή δύναμη για να κάνει ένα σώμα κυκλική κίνηση. Εχει την διεύθυνση της ακτίνας και φορά προς το κέντρο της κυκλικής κίνησης: F κ =mα κ F κ = mu R 2 α κ R u 26

21 Ο β νόμος Newton στην κυκλική κίνηση: ΣF R =F κ = 2 mu R Δηλαδή η συνισταμένη των δυνάμεων στην διεύθυνση της ακτίνας είναι η κεντρομόλος δύναμη Έργο - Ενέργεια Έργο σταθερής δύναμης W=FSσυνφ όπου: F: η δύναμη που δρα στο σώμα S: η μετατόπιση του σώματος φ: η γωνία F και S. φ F S Μονάδα Joule ( J = Newton m) ΔΙΕΡΕΎΝΗΣΗ ΤΗΣ ΣΧΕΣΗΣ W F = Fxσυνθ: o o α) αν 0 90 το συνθ>0 άρα το έργο της δύναμης είναι θετικό. Συνεπώς η δύναμη παράγει έργο o o β) αν το συνθ<0 άρα το έργο της δύναμης είναι αρνητικό. Συνεπώς η δύναμη καταναλώνει έργο. γ) αν F x τότε θ=0 ο άρα συνθ=1 και W=Fx δ) αν F x τότε θ=90 ο άρα συνθ=0 οπότε και W=0 ε) αν F x τότε θ=180 ο άρα συν180 ο =-1, οπότε W=-Fx 27

22 Έργο μεταβλητής δύναμης F= (x) Βρίσκεται από το εμβαδό της γραφικής παράστασης F= (x) μέχρι τον άξονα x. F F 1 W = εμβαδό στο F= (x) διάγραμμα. Δx x Έργο Τριβής: T φ=90 S W=TSσυν180 ή W=-TS Έργο Ελατηρίου (από x 1 έως x 2 ) : W ελ = 1 2 Κx Κx 2 2 Θ.Φ Μ. Tα x 1, x 2 είναι μετρημένα από την θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου. (Θ.Φ.Μ.) Κ (Ο τύπος δίνει αυτόματα και το πρόσημο του έργου) Δυναμική Ενέργεια x 1 x 2 Μέγεθος που ορίζεται μόνο για τις συντηρητικές δυνάμεις έτσι ώστε όταν μετακινήσουμε ένα σώμα από ένα σημείο Α του πεδίου σε ένα σημείο Β η αρνητική μεταβολή του ΔU AB να είναι ίση με το έργο της συντηρητικής δύναμης του πεδίου για την μετακίνηση ΑΒ ή ΔU ΑΒ = - W Α Β 28

23 Δυναμική Ενέργεια βαρύτητας U B = mgh ( h είναι το ύψος από ένα επίπεδο που εμείς έχουμε θεωρήσει ότι η βαρυτική δυναμική ενέργεια είναι μηδέν) Δυναμική Ενέργεια Ελατηρίου U Eλ = 1 2 Κx2 To x μετρημένο από την θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου. Κινητική Ενέργεια Κ = 1 2 mu2 Συντηρητικές Δυνάμεις Είναι αυτές που το έργο τους για μία κλειστή διαδρομή είναι μηδέν, ή Είναι αυτές που το έργο τους είναι ανεξάρτητο της διαδρομής. Τέτοιες δυνάμεις είναι: Βαρυτική, ηλεκτρική (Coulomb), ελατηρίου, κάθε σταθερή δύναμη ΔΕΝ είναι συντηρητικές: Τριβή, αντίσταση, δύναμη ανθρώπου, μαγνητική δύναμη Μόνο όταν οι δυνάμεις είναι συντηρητικές ορίζεται δυναμική ενέργεια για το πεδίο τους Μηχανική Ενέργεια Ε = Κ + U 29

24 Αρχή Διατήρησης Μηχανικής Ενέργειας Όταν σε ένα σύστημα σωμάτων ασκούνται μόνο συντηρητικές δυνάμεις (ή η συνισταμένη των μη συντηρητικών δυνάμεων είναι μηδέν) τότε η Μηχανική Ενέργεια του συστήματος παραμένει σταθερή, δηλαδή Ε αρχ = Ε τελ ή Κ 1 + U 1 = K 2 + U 2 Μεταβολή της Μηχανικής Ενέργειας Η μεταβολή της Μηχανικής ενέργειας σε ένα σύστημα πάντα ισούται με το έργο των μη συντηρητικών δυνάμεων ΔE ΜΗΧ =W ΣFμη-συντηρ (= θερμότητα Q) Θεώρημα Έργου Ενέργειας (ή Θεώρημα Μεταβολής Κινητικής Ενέργειας, Θ.Μ.Κ.Ε.) Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας ενός σώματος ισούται με το αλγεβρικό άθροισμα των έργων των δυνάμεων που ενέργησαν στο σώμα ΔΚ = W ΣF Κ τελ Κ αρχ = W F1 +W F2 + (To Θ.Μ.Κ.Ε. ισχύει π ά ν τ α, αρκεί η μάζα του σώματος να παραμένει σταθερή) Αρχή Διατήρησης Ενέργειας Σε κάθε απομονωμένο σύστημα σωμάτων η ολική ενέργεια διατηρείται σταθερή Ισχύς Είναι ο ρυθμός παραγωγής έργου ή ενέργειας: P = ΔW Δt = ΔΕ Δt Ισχύει ακόμα P = E/t Για τον (στιγμιαίο) ρυθμό παραγωγής έργου από δύναμη F έχουμε: P = Fu(συνφ) όπου: u η στιγμιαία ταχύτητα του σώματος και φ η γωνία F και u Μονάδες ισχύος: Watt, W=Joule/sec Τι εκφράζει το έργο μίας δύναμης: Το έργο εκφράζει μετατροπή ενέργειας από μία μορφή σε άλλη, ή Το έργο εκφράζει μεταφορά ενέργειας από ένα σώμα σε κάποιο άλλο 30