ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΚΟΛΕΖΑ ΕΥΓΕΝΙΑ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΚΟΛΕΖΑ ΕΥΓΕΝΙΑ ΘΕΜΑ: Σχέδιο Διδασκαλίας Οικονόμου Άννα ΙΩΑΝΝΙΝΑ, Ιανουάριος 2008 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΤΑΞΗΣ «Σμίκρυνση- Μεγέθυνση» 1

2 Βιβλίο μαθητή: κεφάλαιο 50, «Σμίκρυνση- μεγέθυνση», «Γεωγραφία και Μαθηματικά» (σελ ) Τετράδιο εργασιών: τεύχος δ (σελ ) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Σελίδες Α μέρος Εισαγωγή.4 Τρόπος παρουσίασης του κεφαλαίου «Σμίκρυνση- Μεγέθυνση» στο βιβλίο του μαθητή 5 Β μέρος Εναλλακτική παρουσίαση του κεφαλαίου «Σμίκρυνση- Μεγέθυνση» 8 Πώς κάνουμε σμίκρυνση και μεγέθυνση σχήματος; 17 2

3 Διερευνητική δραστηριότητα (τανγκάμ) 18 Προβλήματα- Αξιολόγηση 20 Αυτοαξιολόγηση.25 Γ μέρος Επεκτάσεις- Συνδέσεις (σύνδεση με άλλες ενότητες του βιβλίου της Ε τάξης, διαθεματική σύνδεση) 26 Δ μέρος Λεξικό 29 Για το δάσκαλο (απαραίτητες διδακτικές οδηγίες)..30 3

4 Εναλλακτική παρουσίαση του κεφαλαίου «Σμίκρυνση- μεγέθυνση». Κάθε ενότητα ανοίγει με μια σειρά από ενδιαφέρουσες ερωτήσεις ή πληροφορίες, που σχετίζονται άμεσα με το μαθηματικό περιεχόμενο της ενότητας. Αυτές οι ερωτήσεις και πληροφορίες έχουν σαν στόχο να εισάγουν τους μαθητές στην προβληματική της ενότητας, να κεντρίσουν την περιέργειά τους, να στρέψουν το ενδιαφέρον στα σημαντικότερα σημεία που διαπραγματεύεται η ενότητα και να συνδέσουν την ενότητα με θέματα που ήδη γνωρίζουν. Ειδικότερα, για το κεφάλαιο «Σμίκρυνση- μεγέθυνση» μια πιθανή εισαγωγή θα μπορούσε να είναι η παρακάτω: Στη καθημερινή ζωή συναντάμε συχνά τις έννοιες της σμίκρυνσης και της μεγέθυνσης. Παρατήρησε προσεκτικά τις παρακάτω εικόνες και συζήτησε στην τάξη σου τι βλέπεις στις εικόνες. Μεγενθυτικός φακός 4

5 μικροσκόπιο φωτοτυπικό μηχάνημα 5

6 κιάλια φωτογραφική μηχανή 6

7 τηλεσκόπιο μηχανή; Έχεις σκεφτεί ποτέ, πώς λειτουργεί η φωτογραφική Το φως που αντανακλάται από το αντικείμενο μπαίνει στη μηχανή διαμέσου του φακού ο οποίος αναγκάζει τις ακτίνες να περάσουν μέσα από τον ανοιχτό φωτοφράκτη και το διάφραγμα που καθορίζει τη φωτεινότητα και να σχηματίσουν ένα ανάποδο και αντίστροφο είδωλο πάνω στο φιλμ. Τα φωτοευαίσθητα χημικά του φιλμ ανταποκρίνονται σε διαφορετικά χρώματα και εντάσεις του φωτός σχηματίζοντας μια εικόνα σε λανθάνουσα κατάσταση η οποία μπορεί να εμφανιστεί και να δώσει την τελική έγχρωμη φωτογραφία. Η μηχανή επίσης έχει, ένα σύστημα σκόπευσης που σας επιτρέπει να καδράρετε το θέμα σας. 7

8 Όταν τραβάτε μια φωτογραφία, αναγκάζετε το φως που αντανακλάται από το αντικείμενό σας, να σχηματίσει ένα είδωλο που επιδρά πάνω στα ευαίσθητα χημικά του φιλμ. Η μηχανή ελέγχει αυτή τη διαδικασία με πολλούς τρόπους. Λειτουργία του φακού Τα φωτεινά κύματα που αντανακλώνται από το αντικείμενό σας, περνάνε μέσα στη μηχανή διαμέσου του φακού και του διαφράγματος. Οι σύγχρονοι έγχρωμοι φακοί είναι συνήθως κατασκευασμένοι από έναν αριθμό γυάλινων στοιχείων τα οποία μαζί αναγκάζουν τα φωτεινά κύματα να παρεκκλίνουν και να συναντηθούν σε ένα συγκεκριμένο σημείο πίσω από το φακό, σχηματίζοντας μια καθαρή εικόνα. Το επίπεδο στο οποίο η εικόνα είναι εστιασμένη καθαρή ονομάζεται εστιακό επίπεδο. Μέσα στη μηχανή το επίπεδο αυτό είναι σταθερό και ακριβώς εκεί είναι τοποθετημένο το φιλμ έτσι ώστε να καταγράψει την εικόνα. Η απόσταση ανάμεσα από το κέντρο του φακού και την κύρια εστία, σε χιλιοστά, προσδιορίζει την εστιακή απόσταση του φακού. Εστίαση Τα φωτεινά κύματα από τα κοντινά αντικείμενα συγκλίνουν πιο πίσω από το φακό, στο επίπεδο του ειδώλου. Για μια καθαρή φωτογραφία, αυτό το επίπεδο πρέπει να συμπέσει με το εστιακό επίπεδο, όπου βρίσκεται και το φιλμ αυτό ακριβώς είναι η εστίαση. Κατά την εστίαση ο ίδιος ο φακός μετακινείται για να φέρει το επίπεδο του ειδώλου σε σύμπτωση με το εστιακό επίπεδο. Μπορείτε εύκολα να παρατηρήσετε την κίνηση αυτή του φακού, αν γυρίσετε το δαχτυλίδι της εστίασης της μηχανής σας - ο φακός κινείται προς τα έξω για τα πιο κοντινά αντικείμενα. Ένας φακός εστιασμένος στο άπειρο φέρνει το φως από τα απομακρυσμένα αντικείμενα (παράλληλες ακτίνες κάτω) και το συγκεντρώνει στο εστιακό επίπεδο. Το φως από τα κοντινά αντικείμενα φτάνει στο φακό υπό γωνία και συγκεντρώνεται αρκετά πίσω του στο επίπεδο του ειδώλου Για να εστιαστούν τα κοντινά αντικείμενα, ο φακός έρχεται μπροστά μέχρι που το επίπεδο του ειδώλου να συμπέσει με το εστιακό επίπεδο όπου βρίσκεται το φιλμ. 8

9 Ήξερες ότι. Η εστιακή απόσταση ενός φακού καθορίζει το οπτικό του πεδίο και το μέγεθος στο οποίο μπορεί να δείξει μια εικόνα πάνω στο φιλμ σας. Ένας νορμάλ φακός δίνει ένα μέγεθος εικόνας και ένα οπτικό πεδίο παρόμοιο μ' αυτό που βλέπετε. Ένας φακός με μικρότερη εστιακή απόσταση καλύπτει ένα πιο πλατύ οπτικό πεδίο είναι ένας ευρυγώνιος φακός αλλά ελαττώνει το μέγεθος της εικόνας. Ένας φακός μεγάλης εστιακής απόστασης ή τηλεφακός μεγεθύνει τα μακρινά αντικείμενα δίνοντας ένα πιο μικρό οπτικό πεδίο. Ο χαρακτηρισμός όμως ενός φακού δεν εξαρτάται μόνο από την εστιακή του απόσταση αλλά και από το φορμά της μηχανής. Σε μια μηχανή 35 mm ο νορμάλ φακός είναι 50/55 mm, ένας ευρυγώνιος από 18 μέχρι 35 mm και ένας τηλεφακός από 75 μέχρι 1000 και περισσότερο. Σε μια μηχανή 110 ο νορμάλ φακός έχει εστιακή απόσταση περίπου 24 mm και σε μηχανή 6 χ 6 περίπου 80 mm. Έχεις σκεφτεί ποτέ, πώς λειτουργεί το τηλεσκόπιο; Ο βασικός σκοπός του τηλεσκοπίου είναι να συγκεντρώσει περισσότερο φως από ότι μπορεί να συγκεντρώσει το ανθρώπινο μάτι και στη συνέχεια να μεγενθύνει τα είδωλα έτσι ώστε να μπορέσουμε να διακρίνουμε αντικείμενα που δεν είναι δυνατό να διακρίνουμε δια γυμνού οφθαλμού. Το πιο σπουδαίο μέρος ενός τηλεσκοπίου είναι το κύριο οπτικό του σύστημα που αποτελείται από κάτοπτρα ή φακούς. Το σύστημα αυτό βρίσκεται προστατευμένο μέσα στον οπτικό σωλήνα και είναι το σύστημα εκείνο που συγκεντρώνει το φως. 9

10 Η καρδιά του οπτικού συστήματος είναι ένα κύριο κάτοπτρο ή ένας κύριος φακός. Η διάμετρός του ονομάζεται άνοιγμα του τηλεσκοπίου και καθορίζει κατά μεγάλο βαθμό τις δυνατότητες του τηλεσκοπίου μας. Ο τύπος του οπτικού συστήματος και ο τρόπος που συγκεντρώνει το φως καθορίζει τον τύπο του τηλεσκοπίου. Ένα άλλο σημαντικό χαρακτηριστικό που καθορίζει την οπτική συμπεριφορά του τηλεσκοπίου είναι ο εστιακός λόγος του που σχετίζεται με την απόσταση και τον τρόπο που είναι τοποθετημένα τα οπτικά του μέσα στον οπτικό σωλήνα. Το τηλεσκόπιο δεν αρκεί μόνο να μαζέψει περισσότερο φως, πρέπει και να μεγεθύνει την εικόνα που βλέπουμε. Αυτό το πετυχαίνει με τους προσοφθάλμιους φακούς που είναι οι φακοί μέσα από τους οποίους και κοιτάμε. Οι προσοφθάλμιοι είναι το δεύτερο σημαντικότερο στοιχείο των οπτικών του τηλεσκοπίου και σημαντικός παράγοντας για την οπτική απόδοση του τηλεσκοπίου. Επίσης οι προσοφθάλμιοι φακοί καθορίζουν και την μεγέθυνση που δίνει το τηλεσκόπιό μας. Η άλλη σημαντική πλευρά ενός τηλεσκοπίου είναι τα μηχανικά χαρακτηριστικά. 10

11 Ήξερες ότι. Όσο μεγαλύτερη είναι η φωτοσυλλεκτική επιφάνεια ενός τηλεσκοπίου, τόσο αμυδρότερα αντικείμενα είναι ικανό να ανιχνεύσει. Μεγέθυνση τηλεσκοπίου ονομάζεται η δυνατότητα που έχει ένα τηλεσκόπιο να παρουσιάζει ένα παρατηρούμενο αντικείμενο μεγαλύτερο απ όσο φαίνεται αυτό με γυμνό μάτι. Την μεγέθυνση ενός τηλεσκοπίου την υπολογίζουμε διαιρώντας την εστιακή απόσταση του αντικειμενικού φακού ή κατόπτρου διά αυτής του προσοφθάλμιου φακού. Το όριο ωφέλιμης μεγέθυνσης ενός τηλεσκοπίου εξαρτάται από τη διάμετρο του αντικειμενικού φακού: το όριο είναι σχεδόν το διπλάσιο της διαμέτρου σε χιλιοστά. Για παράδειγμα: Τηλεσκόπιο που φέρει αντικειμενικό φακό διαμέτρου 100 χιλιοστών έχει όριο ωφέλιμης μεγέθυνσης περίπου 200. Η μεγέθυνση τηλεσκοπίου διακρίνεται σε γραμμική και σε επιφανειακή. Γραμμική μεγέθυνση ονομάζεται ο αριθμός που φανερώνει πόσες φορές η φαινόμενη διάμετρος του αντικειμένου καθίσταται μεγαλύτερη. Επιφανειακή μεγέθυνση ονομάζεται ο αριθμός που φανερώνει πόσες φορές η φαινόμενη επιφάνεια του αντικειμένου καθίσταται μεγαλύτερη. Η επιφανειακή μεγέθυνση ισούται προς το τετράγωνο της γραμμικής, π.χ. αν ένα προσοφθάλμιο μεγεθύνει γραμμικά 10 φορές, η επιφανειακή μεγέθυνση είναι 100πλάσια Πώς κάνουμε σμίκρυνση και μεγέθυνση ενός σχήματος; Αφού κατανοήσαμε πώς λειτουργεί η φωτογραφική μηχανή και το τηλεσκόπιο, μπορούμε να μάθουμε ποια βήματα ακολουθούμε για να κάνουμε σμίκρυνση ή μεγέθυνση ενός σχήματος. Για να κάνουμε σμίκρυνση ή μεγέθυνση ενός σχήματος εργαζόμαστε ως εξής: Α. Χωρίζουμε το αρχικό σχήμα σε τετράγωνα. Β. Σχηματίζουμε ένα νέο πλέγμα με ίσο αριθμό από τετράγωνα. Αυτό που αλλάζει είναι το μήκος της πλευράς του κάθε τετραγώνου. Αν κάνουμε σμίκρυνση, τότε το μήκος της πλευράς του κάθε τετραγώνου θα είναι μικρότερο από το αρχικό. Αν κάνουμε μεγέθυνση θα είναι μεγαλύτερο. 11

12 Παρατήρηση: Όταν σχεδιάζουμε με σμίκρυνση ή μεγέθυνση πρέπει πάνω στο σχέδιο να γράφουμε την κλίμακα με τη μορφή διαίρεσης ή κλάσματος. Αναπαραγωγή: Στο νέο πλέγμα το μήκος της πλευράς του κάθε τετραγώνου δεν αλλάζει. Σμίκρυνση: Στο νέο πλέγμα το μήκος της πλευράς κάθε τετραγώνου είναι ίσο με το μισό της πλευράς του τετραγώνου στο αρχικό πλέγμα. Η κλίμακα είναι 1/2 ή 1:2 δηλαδή το σχήμα είναι 2 φορές μικρότερο από το πραγματικό. Μεγέθυνση: Στο νέο πλέγμα το μήκος της πλευράς κάθε τετραγώνου είναι διπλάσιο από την πλευρά του τετραγώνου στο αρχικό πλέγμα. Η κλίμακα είναι 2/1 ή 2:1 δηλαδή το σχήμα είναι 2 φορές μεγαλύτερο από το πραγματικό. Διερευνητική δραστηριότητα. Ακολουθεί μια διερευνητική δραστηριότητα. Δουλεύοντας με αυτή οι μαθητές αναπτύσσουν εννοιολογική κατανόηση, παραγωγικό συλλογισμό, και διαδικαστική ικανότητα. Η δραστηριότητα έχει χτιστεί σε σχέση με τους μαθηματικούς στόχους, και είναι με τέτοιο τρόπο διατυπωμένη ώστε να ευνοεί το μαθηματικό συλλογισμό και την επικοινωνία μεταξύ των μαθητών. 12

13 Οι μαθητές μπορούν να εργαστούν ατομικά, κατά ομάδες, ή συνολικά στην τάξη. Το Τανγκράμ είναι ένα Κινέζικο παιγνίδι που παίζεται ως εξής. Παίρνουμε ένα τετράγωνο και το χωρίζουμε όπως στο διπλανό σχήμα. Στη συνέχεια συνδυάζοντας τις 7 επιφάνειες προσπαθούμε να σχηματίσουμε διάφορες μορφές, ανθρώπων, ζώων ή πραγμάτων. Εδώ θα ασχοληθούμε με ένα τανγκράμ που αποτελείται από επτά σχήματα: πέντε τρίγωνα, ένα τετράγωνο και ένα παραλληλόγραμμο. Αυτά τα σχήματα προκύπτουν από το χωρισμό ενός τετραγώνου σύμφωνα με την παρακάτω εικόνα: Μπορείτε να τακτοποιήσετε κατάλληλα τα επτά κομμάτια και να σχηματίσετε την παρακάτω εικόνα, χρησιμοποιώντας ένα τετράγωνο χαρτί; 13

14 Ένας Κινέζος που τρέχει. Προσπάθησε να ξαναφτιάξεις την παραπάνω εικόνα, αλλά αυτή τη φορά χρησιμοποίησε το παρακάτω τανγκράμ. 14

15 Τι παρατηρείς; Προβλήματα- Αξιολόγηση 1. Σε καθεμία από τις επόμενες προτάσεις να βάλεις Σ αν η πρόταση είναι σωστή και Λ αν είναι λανθασμένη: α) Αν μεταφέρουμε ένα σχήμα στο χαρτί διατηρώντας τις πραγματικές του διαστάσεις, κάνουμε αναπαραγωγή. β) Κλίμακα 1:4 σημαίνει πως το σχέδιο μας είναι ¼ φορές μικρότερο από το πραγματικό. γ) Σμίκρυνση κάνουμε όταν το σχήμα που σχεδιάζουμε έχει διαστάσεις μεγαλύτερες από το πραγματικό. δ) Κλίμακα είναι το πηλίκο της απόστασης στο σχέδιο προς την πραγματική απόσταση. ε) Κλίμακα 10:1 σημαίνει πως το σχέδιο μας είναι 10 φορές μεγαλύτερο από το πραγματικό. στ) Κλίμακα 1/2 σημαίνει ότι το σχήμα μας είναι δύο φορές μικρότερο από το πραγματικό. 2. Να σχεδιάσεις με κλίμακα 1:2 τα ορθογώνια παραλληλόγραμμα με διαστάσεις: α) μήκος 6 εκ., πλάτος 2 εκ. β) μήκος 8 εκ., πλάτος 4 εκ. γ) μήκος 7 εκ., πλάτος 5 εκ. δ) μήκος 7 εκ., πλάτος 2,5 εκ. 3. Να σχεδιάσεις με κλίμακα 2:1 τα ορθογώνια παραλληλόγραμμα με διαστάσεις: α) μήκος 2,4 εκ., πλάτος 1,7 εκ. β) μήκος 1 εκ., πλάτος 0,5 εκ. γ) μήκος 0,9 εκ., πλάτος 0,6 εκ. δ) μήκος 3 εκ., πλάτος 2 εκ. 4. Η Άννα θέλει να σχεδιάσει το δωμάτιο της με κλίμακα 1:100. Το δωμάτιο της έχει σχήμα ορθογωνίου με μήκος 5 μ. και πλάτος 4 μ. Ποιες πρέπει να είναι οι διαστάσεις του ορθογωνίου που θα σχεδιάσει η Άννα; 5. Ένα οικόπεδο έχει σχήμα ορθογωνίου, με μήκος 95 μέτρα και πλάτος 80 μέτρα. Ο Γιάννης το σχεδίασε με κλίμακα 1:500. Ποιες είναι οι διαστάσεις του σχεδίου στο χαρτί; 15

16 6. Ένας βιολόγος παρατηρεί αμοιβάδες στο μικροσκόπιο, με μεγέθυνση 2.500:1. Το πραγματικό μήκος της αμοιβάδας είναι 0,048 χιλ. Ποιο είναι το μήκος της αμοιβάδας όπως φαίνεται στο μικροσκόπιο: α) σε χιλιοστά; β) σε εκατοστά; Ήξερες ότι Αμοιβάδες λέγεται μία ομοταξία πρωτοζώων, που έχουν μικρά ημικυκλικά πόδια με τα οποία μπορούν να κινηθούν. Υπάρχουν δυο είδη αμοιβάδων: Αυτές που έχουν κέλυφος και λέγονται θηκαμοιβάδες και εκείνες που δεν έχουν, οι γυμναμοιβάδες. Ζουν ελεύθερες μέσα στους ποταμούς και στις λίμνες. Μπορούν ακόμη να συναντηθούν και στις εκβολές των ποταμών εκεί που η θάλασσα δεν είναι τόσο αλμυρή, λόγω των νερών του ποταμού. Πολλά είδη απ' αυτές ζουν παρασιτικά μέσα στους διάφορους οργανισμούς ακόμα και στον οργανισμό του ανθρώπου. Οι αμοιβάδες που ζουν παρασιτικά λέγονται "συλλήβδην αμοιβάδες" (αμοιβαδόζωα 7. Ένας αρχιτέκτονας σχεδίασε ένα οικόπεδο σχήματος ορθογωνίου, με κλίμακα 1:650. Το οικόπεδο στο σχέδιο έχει μήκος 0,18 μ. και πλάτος 0,10 μ. Πόσα μέτρα είναι οι πραγματικές διαστάσεις του οικοπέδου; 16

17 8. Η Εύα είδε σε ένα χάρτη της Ελλάδας, με κλίμακα 1: , ότι η απόσταση Τρίπολη- Φλώρινα είναι 19,7 εκ. Πόσα χιλιόμετρα είναι η πραγματική απόσταση των δύο πόλεων; Ήξερες ότι.. Ο όρος χάρτης, παρ ότι προέρχεται από το λατινικό charta (επίσημο έγγραφο), καθιερώθηκε διεθνώς μόλις το 15 ο αιώνα. Μέχρι τότε επικρατούσε ο όρος mappa, ο οποίος στις αγγλόφωνες χώρες διατηρήθηκε ως map μέχρι σήμερα. 9. Η αυλή από το σπίτι του Γιώργου έχει τις διαστάσεις που φαίνονται στο παρακάτω σχήμα. Τι διαστάσεις είχε στην πραγματικότητα αυτή η αυλή; α) σε εκ.; β) σε μ.; 17

18 10. Ο Νίκος είδε σε ένα χάρτη της Ελλάδας, με κλίμακα 1; , ότι η απόσταση Αθήνα- Θεσσαλονίκη είναι 5,13 εκ. Πόσα χιλιόμετρα είναι η πραγματική απόσταση των δύο πόλεων; Ήξερες ότι.. Ανάλογα με τη κλίμακα τους οι χάρτες μπορούν να διαιρεθούν ως εξής: α) Χάρτες μεγάλης κλίμακας, από 1: και μεγαλύτερη. β) Χάρτες μεσαίας κλίμακας, από 1: μέχρι 1: γ) Χάρτες μικρής κλίμακας, από 1: και μικρότερη. 11. Ένα οικόπεδο έχει σχήμα τετραγώνου με πλευρά 210 μ. Ο Παύλος το σχεδίασε με πλευρά 21 εκ. 18

19 α) Να μετατρέψεις την πλευρά του τετραγώνου από μ. σε εκ. β) Να υπολογίσεις την κλίμακα του σχεδίου. 12. Ο Θοδωρής σχεδίασε ένα τετράγωνο με μήκος πλευράς 5 εκ. α) Να βρεις την περίμετρο και το εμβαδόν του τετραγώνου. β) Αν μεγεθύνει την πλευρά του τετραγώνου κατά 20 %, ποια θα είναι η περίμετρος και ποιο το εμβαδόν του νέου τετραγώνου που σχηματίζεται; γ) Αν σμικρύνει την πλευρά του τετραγώνου κατά 20%, ποια θα είναι η περίμετρος και το εμβαδόν του νέου τετραγώνου που σχηματίζεται; 13. Μια τριγωνική πλατεία είναι σχεδιασμένη με κλίμακα 1:500. Οι τρεις πλευρές της στο σχέδιο έχουν μήκη 2,6 εκ., 1,5 εκ. και 3,2 εκ. α) Ποιες είναι οι πραγματικές διαστάσεις της πλατείας σε μέτρα; β) Ποια είναι η περίμετρος της πλατείας; ΑΥΤΟΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ Απαντώ με ναι ή όχι τις παρακάτω ερωτήσεις. Ø Έμαθα πώς να κάνω σμίκρυνση; Ø Έμαθα πώς να κάνω μεγέθυνση; Ø Έμαθα τι ονομάζουμε αναπαραγωγή; Ø Έμαθα τι είναι κλίμακα; Ø Συνεργάστηκα με τους συμμαθητές μου; Επεκτάσεις Συνδέσεις (σύνδεση με άλλες ενότητες του βιβλίου της Ε τάξης, διαθεματική σύνδεση) Υπάρχουν διάφορα μαθηματικά πλαίσια όπου αναπτύσσεται ο κύριος διδακτικός στόχος του κεφαλαίου αυτού. Μερικά από αυτά είναι: αριθμοί και πράξεις, γεωμετρία, μετρήσεις, μοτίβο, προβλήματα. Επιπλέον, υπάρχουν μαθηματικές έννοιες που εμφανίζονται στο κεφάλαιο και δε θα αναπτυχθούν αναλυτικά, όπως: λόγοι, αναλογίες, υπολογισμός κλίμακας, κλάσματα με πολύ μεγάλο παρανομαστή (π.χ. διαβάζουμε 1 προς 1εκατομμύριο και όχι ένα εκατομμυριοστό). 19

20 Ωστόσο, o εκπαιδευτικός έχει την ευκαιρία να περάσει διαθεματικά από το μάθημα των Μαθηματικών στο μάθημα της Γεωγραφίας. Ειδικότερα: Διαθεματική σύνδεση με το μάθημα της Γεωγραφίας. Τα Μαθηματικά μπορούν να λειτουργήσουν ως έναυσμα για να μιλήσει ο δάσκαλος στους μαθητές του για την έννοια της κλίμακας των χαρτών. Για παράδειγμα, ο δάσκαλος μπορεί να χρησιμοποιήσει τα Μαθηματικά για να βοηθήσει τους μαθητές να κατανοήσουν τις παρακάτω γεωγραφικές έννοιες: Κλασματική κλίμακα Εκφράζεται ως κλάσμα με αριθμητή τη μονάδα και παρονομαστή έναν αριθμό που δείχνει πόσες φορές μία γραμμή στο χάρτη είναι μικρότερη από την αντίστοιχη της στο έδαφος. Κλίμακα, π.χ. 1: σημαίνει ότι 1 cm στο χάρτη αντιστοιχεί με cm στην επιφάνεια της Γης. Η σχέση μεταξύ της κλίμακας, της απόστασης στο χάρτη και της απόστασης στο έδαφος δίνεται από τον τύπο: Κ = Κλίμακα του χάρτη μ = Απόσταση στο χάρτη ή γραφικό μήκος. Μ = Πραγματική απόσταση ή φυσικό μήκος. Ανάλογα με την προβολή που χρησιμοποιήθηκε για την κατασκευή του χάρτη η κλίμακα μπορεί να ισχύει, είτε για όλη την έκταση του, είτε για ορισμένες διευθύνσεις, π.χ. για τον ισημερινό ή κεντρικό μεσημβρινό. Μία κλίμακα χαρακτηρίζεται μικρή, εφ' όσον η τιμή του παρονομαστή του κλάσματος είναι μεγάλη, και μεγάλη, εφ' όσον η τιμή αυτή είναι μικρή. Η κλίμακα χάρτη, π.χ., 1: είναι μικρότερη από την κλίμακα 1: ενός άλλου χάρτη με τις ίδιες εξωτερικές διαστάσεις. Γραφική κλίμακα Επειδή, με φωτομεγέθυνση ή φωτοσμίκρυνση του χάρτη, η κλασματική κλίμακα του δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη μέτρηση αποστάσεων, στο περιθώριο όλων σχεδόν των επίσημων χαρτών σχεδιάζεται η γραφική τους κλίμακα. 20

21 Η γραφική κλίμακα είναι μια ευθεία γραμμή με υποδιαιρέσεις σε τμήματα που αντιστοιχούν σε Km ή m. (σχ. 15). Με απλή εφαρμογή της γραφικής κλίμακας μεταξύ δοθέντων σημείων του χάρτη, υπολογίζεται η πραγματική τους απόσταση. Για το λόγο αυτό, αλλά και επιπλέον επειδή, με φωτοσμίκρυνση ή φωτομεγέθυνση του χάρτη, η γραφική κλίμακα υφίσταται ανάλογη σμίκρυνση ή μεγέθυνση, αυτή χρησιμοποιείται συχνότερα από την κλασματική. Σχ. 15. Γραφική κλίμακα που χρησιμοποιείται στους τοπογραφικούς χάρτες της Ελληνικής Γεωγραφικής Υπηρεσίας Στρατού (Γ. Υ.Σ.). Σχέση μεταξύ κλίμακας και εμβαδού των χαρτών Το εμβαδά που καλύπτει ένας χάρτης ορισμένων εξωτερικών διαστάσεων καθορίζεται από την κλίμακα του. Όσο μικρότερη είναι η κλίμακα, τόσο μεγαλύτερο είναι το εμβαδό του χάρτη. Έχει αποδειχθεί ότι σε κάθε μεταβολή της κλίμακας ενός χάρτη, μεταβάλλεται και το εμβαδόν του. Αυτή η μεταβολή μάλιστα δεν είναι τυχαία, αλλά υπακούει σε ορισμένη μαθηματική σχέση. Το εμβαδόν π.χ. ενός τοπογραφικού χάρτη κλίμακας 1: που είναι ίσο με 250 km2, θα γίνει ίσο με Κm2, εφ όσον η κλίμακα γίνει 1: Δηλαδή, η μεταβολή του εμβαδού ενός χάρτη ορισμένων εξωτερικών διαστάσεων είναι αντιστρόφως ανάλογη του τετραγώνου της μεταβολής της κλίμακας. Στο παράδειγμα μας, η κλίμακα του χάρτη υποδιπλασιάστηκε και το εμβαδόν του τετραπλασιάστηκε. Προσδιορισμός της κλίμακας των Χαρτών Ο καθορισμός της κλίμακας σε χάρτη, που δεν υπάρχει η αντίστοιχη ένδειξη της, μπορεί να γίνει με την παρακάτω διαδικασία: Εκλέγονται δύο σημεία τα οποία υπάρχουν στο χάρτη αυτό και σ' έναν άλλο χάρτη γνωστής κλίμακας. Καθορίζονται οι αποστάσεις των δύο σημείων στους δύο χάρτες και στη συνέχεια υπολογίζεται η ζητούμενη κλίμακα με τη βοήθεια της πραγματικής απόστασης των σημείων, που υπολογίζεται από τον χάρτη με την γνωστή κλίμακα. Παράδειγμα: Η απόσταση δύο πόλεων σε χάρτη χωρίς κλίμακα είναι 5 cm. Σε χάρτη με κλίμακα 1: , η αντίστοιχη απόσταση των δύο πόλε- ων είναι 4 cm=4 km. Τα 5 cm, λοιπόν στο χάρτη χωρίς κλίμακα αντιστοι- χουν με φυσικό μήκος 4 Km. 21

22 Εκφράζουμε τα δύο μήκη στην ίδια μονάδα. Τα 5 cm αντιστοιχούν με cm, άρα το 1 cm με cm και η κλίμακα του χάρτη είναι ίση με 1: Διαθεματική σύνδεση με το μάθημα της Φυσικής. Πέρα από το μάθημα της Γεωγραφίας, o εκπαιδευτικός έχει την ευκαιρία να περάσει διαθεματικά από το μάθημα των Μαθηματικών στη Φυσική. Πιο συγκεκριμένα, μπορεί να τους αναφέρει ότι μπορούν να υπάρξουν περιπτώσεις μεγέθυνσης ή σμίκρυνσης όπου δεν υπάρχει κάποια αναλογία (με τη μορφή κλίμακας) σε σχέση με την αρχική κατάσταση. Για παράδειγμα, καθώς ο ανθρώπινος οργανισμός αναπτύσσεται (μεγεθύνεται), το κεφάλι του αναπτύσσεται (μεγεθύνεται) με διαφορετικό τρόπο. Αναλυτικότερα, ο εκπαιδευτικός μπορεί να ξεκινήσει ρωτώντας τους μαθητές αν ο άνθρωπος όπως το ηλιοτρόπιο και τα κοχύλια. Αυτό που αρχικά πρέπει να κάνει ο δάσκαλος είναι να δώσει μια φωτογραφία ενός ηλιοτροπίου (δες Εικόνα 1) στους μαθητές, έτσι ώστε και αυτοί που δεν το γνωρίζουν να το μάθουνε. Στη συνέχεια, οι μαθητές θα κάνουν παρατηρήσεις πάνω στη φωτογραφία, όπως για παράδειγμα το ότι υπάρχει μια κανονικότητα στον τρόπο με τον οποίο έχουν αναπτυχθεί τα σποράκια του. Εικόνα 1 Στη συνέχεια ο εκπαιδευτικός μπορεί να ψάξει μαζί με τους μαθητές στο internet πληροφορίες για το όστρακο nautilus pompilius (δες Εικόνα 2) και να συζητήσουν τον τρόπο με τον οποίο αναπτύσσεται. Εικόνα 2 22

23 Το όστρακο αυτό αναπτύσσεται πάντα με τέτοιο τρόπο ώστε το σχήμα του να διατηρείται. Κάθε καινούριος θάλαμος που προστίθεται στο κέλυφος του κοχυλιού είναι το ίδιο σχήμα με το προηγούμενο και το σχήμα του κελύφους σαν σύνολο παραμένει το ίδιο. Στο σημείο αυτό ο εκπαιδευτικός και οι μαθητές μπορούν να περάσουν και στον άνθρωπο συζητώντας το γεγονός πως αν και οι περισσότεροι ζωντανοί οργανισμοί αναπτύσσονται με συντελεστή μεγαλύτερο από 2 κατά τη διάρκεια της ζωής τους, με τον άνθρωπο δεν συμβαίνει το ίδιο. Σχετικά με το μέγεθος το σώματος, το κεφάλι ενός βρέφους είναι πολύ μεγαλύτερο από αυτό του ενήλικα. Αλλά και η άκρη της μύτης του βρέφους βρίσκεται ακριβώς στη μέση του προσώπου του, ενώ σε έναν ενήλικα στα 2/3 του μεγέθους του προσώπου από πάνω προς τα κάτω (δες Εικόνα 3). Εικόνα 3 Τα παιδιά μπορούν στο σημείο αυτό να κοιτάξουν τις μύτες τους σε ένα καθρέφτη, να εμπεδώσουν την έννοια του κλάσματος καθώς και να μετρήσουν την περίμετρο του κεφαλιού τους, το ύψος τους ή την απόσταση της μύτης τους από την κορυφή του κεφαλιού τους με μια μεζούρα. Σε όλα αυτά πρέπει να προστεθεί πως ο εκπαιδευτικός μετά από τα παραπάνω μπορεί να μιλήσει και για το πώς μπορούν οι ειδικοί της αστυνομίας να προβλέπουν πως τυχόν θα είναι κάποιος εξαφανισμένος εδώ και χρόνια (δες Εικόνες 4 και 5). Αφού γνωρίζουν το πώς αναπτύσσεται το ανθρώπινο κρανίο και τις αλλαγές που συμβαίνουν στα διάφορα σημεία του 23

24 καταφέρνουν με τη βοήθεια του ηλεκτρονικού υπολογιστή να δημιουργήσουν μια κατά προσέγγιση εικόνα του εξαφανισθέντος. Εικόνα 4 Εικόνα 5 Αφού τα παιδιά δούνε και τις αλλαγές στο σχήμα ενός ανθρώπινου κρανίου από τη βρεφική ηλικία μέχρι την ενηλικίωση συνειδητοποιούν πως η ανάπτυξη του ηλιοτρόπιου και των κοχυλιών δεν έχουν καμία σχέση με την ανάπτυξη του ανθρώπινου σώματος. Στη συνέχεια οι μαθητές μπορούν να προχωρήσουν είτε κάνοντας και άλλες μαθηματικές δραστηριότητες με τη χρήση διαφόρων εργαλείων πάνω στο ίδιο τους το σώμα ή περνάνε διαθεματικά σε άλλο μάθημα. Μπορούν δηλαδή να περάσουν στα Καλλιτεχνικά ζωγραφίζοντας κάτι που τους έκανε εντύπωση από όσα συζήτησαν ή φτιάχνοντας με πηλό κεφάλια ή και ολόκληρα μωρά και ενήλικες ή και τους ίδιους τους τους εαυτούς. Ακόμη, με αφορμή τα Μαθηματικά, ο δάσκαλος μπορεί να κάνει σύνδεση με το μάθημα της Γεωγραφίας 24

25 ΛΕΞΙΚΟ Όταν μεταφέρουμε ένα σχήμα στο χαρτί μπορούμε: α) να διατηρήσουμε τις πραγματικές του διαστάσεις, να κάνουμε δηλαδή αναπαραγωγή του σχήματος, β) να το σχεδιάσουμε μικρότερο από ότι είναι στην πραγματικά, να κάνουμε δηλαδή σμίκρυνση του σχήματος, γ) να το σχεδιάσουμε μεγαλύτερο από ότι είναι πραγματικά, να κάνουμε δηλαδή μεγέθυνση του σχήματος. Ακόμη, στο κεφάλαιο αυτό έγινε λόγος για τη κλίμακα. Κλίμακα ονομάζουμε το πηλίκο της απόστασης δύο σημείων στο σχέδιο, προς την πραγματική τους απόσταση: Η κλίμακα μας δείχνει πόσες φορές μικρότερο ή μεγαλύτερο είναι το μέγεθος ενός σχήματος από το πραγματικό. Για το δάσκαλο (Απαραίτητες διδακτικές οδηγίες) Για τη διδασκαλία του κεφαλαίου «Σμίκρυνση- Μεγέθυνση», θα μπορούσε να γίνει ένας συνδυασμός ανάμεσα στο τρόπο που παρουσιάζεται στο βιβλίο του δασκάλου και το τρόπο που προτείνουμε παραπάνω. 25

26 Ειδικότερα, πριν ξεκινήσει ο δάσκαλος τη διδασκαλία του, κρίνεται σκόπιμο να κάνει μια επανάληψη στις έννοιες περίμετρο, εμβαδόν και στις μονάδες μέτρησης τους. Ο δάσκαλος μπορεί να το πετύχει με μια σειρά από ερωτήσεις όπως: Τι ονομάζουμε περίμετρο ενός γεωμετρικού σχήματος; Πώς την υπολογίζουμε; Σε ένα γεωμετρικό σχήμα, ονομάζουμε περίμετρο, το μήκος του περιγράμματος του. Την περίμετρο ενός γεωμετρικού σχήματος μπορούμε να τη βρούμε εύκολα, αν αθροίσουμε τα μήκη όλων των πλευρών του. Παράδειγμα 1 ο Η περίμετρος του διπλανού τετραγώνου είναι: = 8 εκ. ή 4 2 = 8 τ.εκ. Παράδειγμα 2 ο Η περίμετρος του παραπάνω ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι: = 14 εκ. ή (2 4) + (2 3)= 8 + 6= 14 εκ. Ποια σχήματα ονομάζουμε ισοπεριμετρικά; Ισοπεριμετρικά ονομάζουμε τα διαφορετικά μεταξύ τους σχήματα που έχουν ίδια περίμετρο. 26

27 Παράδειγμα Ένα τετράγωνο με πλευρά 3 εκ. και ένα ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρά 4 εκ. έχουν την ίδια περίμετρο, δηλαδή είναι ισοπεριμετρικά. Τι ονομάζουμε εμβαδόν ενός γεωμετρικού σχήματος; 27

28 Εμβαδόν ονομάζουμε το αποτέλεσμα που προκύπτει από τη μέτρηση της επιφάνειας ενός γεωμετρικού σχήματος. Παρατήρηση ü Η περίμετρος και το εμβαδόν είναι δύο διαφορετικά μεγέθη. ü Η περίμετρος είναι η μέτρηση του περιγράμματος μιας επιφάνειας, ενώ το εμβαδόν είναι η μέτρηση ολόκληρης της επιφάνειας. Παράδειγμα Στο παρακάτω σχήμα το εμβαδόν είναι ζωγραφισμένο με κόκκινο χρώμα, ενώ η περίμετρος με μαύρο. Τι είναι το τετραγωνικό εκατοστό (τ. εκ.) και που το χρησιμοποιούμε; Το τετραγωνικό εκατοστό (τ. εκ.) είναι η επιφάνεια που καλύπτει ένα τετράγωνο με μήκος πλευράς 1 εκατοστόμετρο: Το χρησιμοποιούμε για να υπολογίσουμε το εμβαδόν γεωμετρικών σχημάτων. Παρατηρήσεις ü Το εμβαδόν, εκτός από τ. εκ., το μετράμε και σε τετραγωνικά μέτρα (τ. μ.), τετραγωνικά χιλιοστόμετρα (τ. χιλ.) κ.τ.λ. 28

29 ü Η μονάδα μέτρησης της περιμέτρου είναι διαφορετική από τη μονάδα μέτρησης του εμβαδού. Την περίμετρο την μετράμε σε μέτρα (μ.), εκατοστόμετρα (εκ.) κ.λ.π. Παράδειγμα Το πρώτο σχήμα καλύπτει επιφάνεια 5 τετραγωνικών εκατοστών (τ. εκ.), άρα έχει εμβαδόν 5 τ.εκ. Το δεύτερο σχήμα καλύπτει επιφάνεια 6 τετραγωνικών εκατοστών (τ. εκ.), άρα έχει εμβαδόν 6 τ. εκ. Ποια σχήματα ονομάζουμε ισοεμβαδικά; Ισοεμβαδικά ονομάζουμε τα διαφορετικά μεταξύ τους σχήματα που έχουν το ίδιο εμβαδόν. Παράδειγμα 29

30 Υπολογίζουμε το εμβαδόν και την περίμετρο των παρακάτω σχημάτων, αν 1 = 1 τ.εκ. o Εμβαδόν τετραγώνου =4 τ.εκ. Περίμετρος τετραγώνου =8 εκ. o Εμβαδόν ορθογωνίου =4 τ.εκ. Περίμετρος ορθογωνίου =10 εκ. Τα σχήματα είναι ισοεμβαδικά, αλλά όχι ισοπεριμετρικά. Αφού οι μαθητές ξαναθυμηθούν τις παραπάνω έννοιες, μπορούν να ασχοληθούν με την ερώτηση ελέγχου που προτείνεται στο βιβλίο του δασκάλου. Μόλις επιλύσουν σωστά την ερώτηση ελέγχου, οι μαθητές μπορούν να ανοίξουν το βιβλίο τους και να διαβάσουν την ερώτηση αφόρμησης αναφορικά για το πώς διαβάζουμε το χάρτη της Ελλάδας. Παρατηρούν το χάρτη της Ελλάδας και σχολιάζουν την ύπαρξη υπομνήματος. Στη συνέχεια, ασχολούνται με τη δραστηριότητα- ανακάλυψη του βιβλίου τους και ακολουθεί διάλογος για ποιο λόγο χρησιμοποιούμε τη σμίκρυνση στους χάρτες. Στο σημείο αυτό, ο δάσκαλος μπορεί να παρουσιάσει στους μαθητές του τις εικόνες που δίνουμε στην εναλλακτική παρουσίαση του συγκεκριμένου κεφαλαίου. Αφού οι μαθητές παρατηρήσουν προσεκτικά τις εικόνες, θα συζητήσουν στη τάξη για το τι βλέπουν στις εν λόγω εικόνες. Έτσι μέσα από παραδείγματα της καθημερινής ζωής, ο δάσκαλος μπορεί να εισάγει τους μαθητές του στις έννοιες της σμίκρυνσης και της μεγέθυνσης. Ύστερα από αυτό, οι μαθητές θα επιστρέψουν στο 30

31 βιβλίο τους για να διαβάσουν τους ορισμούς που δίνει για τις έννοιες της αναπαραγωγής, της σμίκρυνσης και της μεγέθυνσης. Στη συνέχεια, ο δάσκαλος μπορεί να διαβάσει στους μαθητές του το πληροφοριακό υλικό για τη λειτουργία της φωτογραφικής μηχανής και του τηλεσκοπίου που δίνεται στην εναλλακτική παρουσίαση. Μετά την ανάγνωση του πληροφοριακού υλικού, ο δάσκαλος θα δείξει στους μαθητές του τα βήματα που ακολουθούμε για να κάνουμε σμίκρυνση ή μεγέθυνση ενός σχήματος όπως προτείνεται στην εναλλακτική παρουσίαση. Αφού οι μαθητές κατανοήσουν τη διαδικασία, είναι έτοιμοι να ασχοληθούν με τη διερευνητική δραστηριότητα (τανγράμ) όπως προτείνεται στην εναλλακτική παρουσίαση του κεφαλαίου. Πέρα από τη διερευνητική δραστηριότητα, οι μαθητές μπορούν να ασχοληθούν με τη πρώτη δραστηριότητα του βιβλίου τους. Θα ακολουθήσει μια σύνοψη της νέας γνώσης και θα γίνει ανάγνωση και ερμηνεία του συμπεράσματος στο βιβλίο του μαθητή. Στη συνέχεια, οι μαθητές θα ασχοληθούν με τις εργασίες του τετραδίου του μαθητή με τη σειρά που προτείνονται στο βιβλίο του δασκάλου. Θα ακολουθήσει η αξιολόγηση των μαθητών με την επίλυση των προβλημάτων που προτείνονται στην εναλλακτική παρουσίαση του κεφαλαίου. Αφού ολοκληρωθεί η αξιολόγηση, οι μαθητές θα κάνουν την αυτοαξιολογησή τους απαντώντας στις ερωτήσεις που δίνονται στην εναλλακτική παρουσίαση. Η διδασκαλία του συγκεκριμένου κεφαλαίου θα κλείσει με μια σύνοψη των εννοιών που διαπραγματεύτηκαν σε αυτό το κεφάλαιο, καθώς και την ανάγνωση του λεξιλογίου. Τέλος, μπορεί να γίνει διαθεματική σύνδεση των Μαθηματικών με άλλα μαθήματα, όπως προτείνεται στην εναλλακτική παρουσίαση του κεφαλαίου. 31