ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ

Transcript

1 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Μέση και Ενεργός Τιμή Σφάλματα Μέτρησης Γέφυρες Μετρήσεων Καταμεριστές Τάσης Xαραλαμπάκος Βασίλης Ph.D

2 Εισαγωγή Τι είναι Μέτρηση; -> Με τον όρο μέτρηση εννοούμε την σύγκριση μιας άγνωστης ποσότητας ενός φυσικού μεγέθους (π.χ. μήκος, ρεύμα κλπ.) με μια συγκεκριμένη και ορισμένη ομοειδή ποσότητα που ονομάζεται μονάδα μέτρησης. Οι κατασκευασμένες αναπαραστάσεις στους είναι γνωστές ως πρότυπα μέτρησης. Παράδειγμα Όταν μετράμε ρεύμα 5A εννοούμε ότι η συγκεκριμένη ποσότητα ρεύματος είναι 5 φορές μεγαλύτερη από μια συγκεκριμένη ποσότητα την οποία έχουμε ορίσει ως A. Ορισμός Μέτρησης με Βάση το πρότυπο BS 533 Η μέτρηση προσδίδει έναν αριθμό σε μια ποσότητα ενός μεγέθους, με χρήση μιας αυθαίρετα συμφωνημένης τιμής μονάδας, με τέτοιο τρόπο ώστε ο αριθμός αυτός να αντιπροσωπεύει πιστά τις ιδιότητες αυτής της ποσότητας του μεγέθους. Βασικές Μονάδες Μέτρησης Κατά τη διάρκεια της ανθρώπινης ιστορίας δημιουργήθηκαν διάφορα πρότυπα μετρήσεων. Τα πρώτα αφορούσαν τη μονάδα του μήκους και καθορίζονταν με βάση το ανθρώπινο σώμα. Το πρώτο καταγεγραμμένο πρότυπο είναι το Αιγυπτιακό ubit. Αυτή η μονάδα μήκους ισοδυναμούσε με τον πήχη του χεριού του Φαραώ! Μια άλλη μονάδα ήταν η γιάρδα, την οποία την όρισε το μ.χ. ο Ερρίκος Ι της Αγγλίας και ισοδυναμούσε με την απόσταση από τη μύτη του έως την άκρη του αντίχειρά του! Μετά τη Γαλλική Επανάσταση έγινε προσπάθεια να κατασκευαστούν πιο αντικειμενικά πρότυπα μέτρησης για να διευκολυνθούν το εμπόριο, οι δοσοληψίες, η φορολογία αλλά και για να περιοριστούν οι αυθαιρεσίες. Δημιουργήθηκαν δυο βασικά συστήματα μέτρησης, το μετρητικό (γνωστό σήμερα και ως SI από το Le Systeme International d Unites) και το Αγγλοσαξονικό. Βαθμιαία κυριάρχησε το Μετρητικό Σύστημα γιατί είναι δεκαδικό. Σημειώσεις Ηλεκτρικών Μετρήσεων

3 Βασικές Μονάδες Μέτρησης στο SI Το σύστημα SI έχει 7 βασικές μονάδες μέτρησης για τις οποίες ορίστηκαν και τα κατάλληλα πρότυπα. Μήκος -> Μονάδα: μέτρο (m) -> Ορίζεται ως η απόσταση που διανύει το φως στο κενό σε χρονικό διάστημα ίσο με / δευτερόλεπτα (ορισμός 983). Μάζα -> Μονάδα: χιλιόγραμμο (kg) -> Αντιστοιχεί στη μάζα ενός κυλίνδρου από κράμα ιριδίου λευκόχρυσου (% - 9% αντίστοιχα), με διάμετρο και ύψος ίσης ονομαστικής τιμής 39mm, τιμή πυκνότητας 5kg/m 3 (ορισμός 9). Χρόνος -> Μονάδα: δευτερόλεπτο (s) -> ορίζεται ως η διάρκεια περιόδων της ακτινοβολίας που αντιστοιχεί στη μετάπτωση ανάμεσα σε δυο υπέρλεπτες στάθμες της βασικής κατάστασης του ατόμου του χημικού στοιχείου καίσιο s-33, κάτω από απόλυτα καθορισμένες συνθήκες συντονισμού (ορισμός 967). Ένταση Ρεύματος -> Μονάδα: αμπέρ (Α) -> Ορίζεται ως η ένταση σταθερού ηλεκτρικού ρεύματος, το οποίο όταν διαρρέει δυο ευθύγραμμους αγωγούς απείρου μήκους, αμελητέας διατομής και παράλληλους μεταξύ τους, τοποθετημένους σε απόσταση m μεταξύ τους, δημιουργεί δύναμη μεταξύ των αγωγών ίση προς x -7 Newton ανά μέτρο μήκους (ορισμός 948). θερμοκρασία -> Μονάδα: Κέλβιν (Κ) -> Ορίζεται ως το /73,6 της θερμοδυναμικής θερμοκρασίας του τριπλού σημείου του νερού (ορισμός 967). (Τριπλό σημείο είναι η θερμοκρασία στην οποία η υγρή, η στερεή και η αέρια φάση μιας ουσίας βρίσκονται σε ισορροπία) Ποσότητα Ύλης -> Μονάδα: mole (mol) -> ορίζεται ως το ποσό της ύλης ενός συστήματος που περιέχει τόσες στοιχειώδεις οντότητες (άτομα, μόρια, ιόντα κτλ.) όσα άτομα υπάρχουν σε γραμμάρια του ισοτόπου του Άνθρακα - (6,3x 3 ) Φωτεινή Ένταση -> Μονάδα: καντέλα (cd) -> Ορίζεται ως η ένταση φωτεινής ακτινοβολίας σε ορισμένη κατεύθυνση, μιας πηγής που εκπέμπει μονοχρωματική ακτινοβολία συχνότητας 54x Hz και της οποίας η ένταση ακτινοβολίας στην κατεύθυνση αυτή είναι /683 W/sr (βατ ανά στερεακτίνιο). (Ορισμός 979). Σημειώσεις Ηλεκτρικών Μετρήσεων 3

4 Παράγωγες Μονάδες Με βάση τις 7 βασικές μονάδες οι οποίες ορίστηκαν στο σύστημα SI ορίζονται όλες οι υπόλοιπες μονάδες οι οποίες χρησιμοποιούνται τόσο στη Μηχανική όσο και στον Ηλεκτρισμό. Οι παράγωγος μονάδα ενός φυσικού μεγέθους προκύπτει από τις βασικές μονάδες με τη βοήθεια του φυσικού ορισμού του μεγέθους αυτού και της αντίστοιχης μαθηματικής σχέσης με την οποία εκφράζεται. Παράδειγμα Από τη Φυσική γνωρίζουμε ότι: [Ταχύτητα] [Απόσταση]/[Χρόνος] -> Μονάδα Ταχύτητας -> m/s [Επιτάχυνση] [Ταχύτητα]/[Χρόνος] -> Μονάδα Επιτάχυνσης -> m/s Στον Πίνακα που ακολουθεί δίνονται οι Παράγωγες Μονάδες των μεγεθών που χρησιμοποιούνται στον Ηλεκτρισμό. Φυσικό Μέγεθος Παράγωγη Μονάδα Ιδιαίτερο Σύμβολο Ηλεκτρικό Φορτίο A.s oulomb () Συχνότητα Hzs- Hertz (Hz) Ταχύτητα m/s - Επιτάχυνση m/s - Δύναμη Nkg.m/s Newton (N) Έργο - Ενέργεια JN.mkg.m /s Joule (J) Ισχύς WJ/skg.m /s3 Watt (W) Ηλ. Δυναμικό VW/Akg.m /s 3.A Volt (V) Ηλ. Αντίσταση ΩV/Akg.m /s 3.A Ohm (Ω) Μαγνητική Ροή WbV.skg.m /s.a Weber (Wb) Ηλεκτρικό Φορτίο: Η μονάδα του ηλεκτρικού φορτίου προκύπτει από τη μαθηματική σχέση του ορισμού του ηλεκτρικού ρεύματος: dq I dq I dt [ Μονάδα Φορτίου] [ Α] [sec] Q(Qoulomb) A s dt Συχνότητα: Από τη σχέση f T [ Μονάδα f Συχνότητας] T προκύπτει: [sec] [Hertz] [sec ] Σημειώσεις Ηλεκτρικών Μετρήσεων 4

5 Δύναμη: Από τη σχέση F m a όπου m είναι η μάζα του σώματος και a η επιτάχυνση προκύπτει: m F m a [ Μονάδα Δύναμης] [kgr] [ sec kgr m ] N(Newton) sec Έργο Ενέργεια: Από τη σχέση W F S όπου F δύναμη και S απόσταση προκύπτει: W F S [ Μονάδα Έργου] [N] [m] Joule N m Ισχύς: Από τη σχέση dw P όπου W είναι η ενέργεια και t ο χρόνος προκύπτει: dt dw [Joule] P [Μονάδα Ισχύος] W(Watt) dt [sec] J s Ηλεκτρικό Δυναμικό: Από τον ορισμό του Ηλεκτρικού πεδίου δύναμη και q ηλεκτρικό φορτίο, προκύπτει: df df dx dw dw dt dp E E dx dv dv dv dq dq dq dq dt di [Watt] [ Μονάδα Τάσης] V W [A] A df E, όπου F dq Ηλεκτρική Αντίσταση: Από το Νόμο του Ohm ΩV/A V V I προκύπτει ότι: I Μαγνητική Ροή: Από το Νόμο Επαγωγής dφ E n όπου Ε είναι η τάση dt εξ επαγωγής και n ο αριθμός σπειρών του πηνίου προκύπτει: dφ E n dφ E dt [ Μονάδα Μαγνητικής Ροής] [Volt] [sec] dt n Wb(Weber) V s Σημειώσεις Ηλεκτρικών Μετρήσεων 5

6 Πολλαπλάσια και Υποδιαιρέσεις Μονάδων Πολύ συχνά τόσο στη θεωρία όσο και στην πράξη συναντάμε ποσότητες πολύ μικρές ή πολύ μεγάλες. Στη περίπτωση αυτή είναι συνηθισμένο για πρακτικούς λόγους να χρησιμοποιούμε πολλαπλάσια και υποδιαιρέσεις των βασικών και παράγωγων μονάδων. Στον Πίνακα που ακολουθεί δίνονται τα πολλαπλάσια και οι υποδιαιρέσεις. Ακριβής Αριθμός Δύναμη του Πρόθεμα Σύμβολο... 8 Exa E... 5 Peta P... Tera T... 9 Giga G.. 6 Mega M. 3 Kilo k hecto h deca da, - deci d, - centi c, -3 milli m, -6 micro μ, -9 nano n, - picο p, -5 femto f, -8 atto a Τα πολλαπλάσια και οι υποδιαιρέσεις που συναντάμε συνήθως στην Ηλεκτρολογία είναι kilo (π.χ. kv), Mega (π.χ. ΜΩ), milli (π.χ. ma), micro (π.χ. μ) και nano (π.χ. nf). Χρειάζεται προσοχή όταν κάνουμε πράξεις και χρησιμοποιούμε πολλαπλάσια και υποδιαιρέσεις των μονάδων. Σημειώσεις Ηλεκτρικών Μετρήσεων 6

7 Παράδειγμα Μία ωμική αντίσταση διαρρέεται από ρεύμα ma και η τάση στα άκρα της είναι V. Να υπολογιστεί η ισχύς που καταναλώνεται στην αντίσταση αυτή. PVxIVxmAW ΛΑΘΟΣ ma ->.A -> PVx.A.W ΣΩΣΤΟ Παράδειγμα Μια ωμική αντίσταση 5kΩ έχει τάση στα άκρα της V. Ποιο είναι το ρεύμα που τη διαρρέει. Από τον νόμο του Ohm IV/. Άρα: IV/V/5kΩΑ ΛΑΘΟΣ 5kΩ -> 5Ω -> IV/V/5Ω.ΑmΑ ΣΩΣΤΟ Παράδειγμα 3 Μετατροπή Μονάδων: 3kV -> 3x 3 V -> 3xV -> 3V 5V -> 5/ kv ->,5kV ma -> x -3 A -> / A ->.A,55 F (farad) -> 5,5 x -6 F -> 5,5μF Σημειώσεις Ηλεκτρικών Μετρήσεων 7

8 Μέση και Ενεργός Τιμή. Εισαγωγή Συνήθως η μέτρηση της στιγμιαίας τιμής ενός μεγέθους (π.χ. της στιγμιαίας τιμής μιας εναλλασσόμενης τάσης) δεν έχει πρακτική σημασία για τον ηλεκτρολόγο. Με δεδομένη μάλιστα την συχνότητα του σήματος στις περισσότερες εφαρμογές, η παρακολούθηση της μεταβολής της τιμής του θα ήταν πρακτικά αδύνατη. Για το λόγο αυτό τα όργανα μέτρησης (και ειδικότερα τα αμπερόμετρα και τα βολτόμετρα) μας επιστρέφουν τη μέση ή πιο συχνά την ενεργό τιμή του μεγέθους που μετράμε (με εξαίρεση φυσικά την περίπτωση της συνεχούς τάσης και του συνεχούς ρεύματος). Ως ενεργός τιμή ενός εναλλασσόμενου ρεύματος ορίζουμε, το ισοδύναμο σταθερό ρεύμα που όταν περάσει από την ίδια αντίσταση με το εναλλασσόμενο ρεύμα προκαλεί την ίδια κατανάλωση ενέργειας. Όπως είναι γνωστό, η μέση τιμή μιας περιοδικής συνάρτησης y(t), η οποία έχει περίοδο Τ, δίνεται από τη σχέση: Η ενεργός τιμή υπολογίζεται από την παρακάτω σχέση: T Y av y(t) dt () T T Y rms y (t)dt () T Ο λόγος της ενεργού τιμής μιας κυματομορφής προς την μέση τιμή της ορίζεται ως Συντελεστής Μορφής: Y Συντελεστή ς Μορφής rms (3) Y av Οι σχέσεις () και () μπορούν να χρησιμοποιηθούν όλες τις κυματομορφές εναλλασσόμενου ρεύματος, οι πιο συνηθισμένες από τις οποίες είναι η ημιτονοειδής, ο τετραγωνικός παλμός και ο τριγωνικός παλμός. Γενικότερα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον υπολογιμό της μέσης και της ενεργού τιμής οποιασδήποτε περιοδικής συνάρτησης. Σημειώσεις Ηλεκτρικών Μετρήσεων 8

9 Σημειώσεις Ηλεκτρικών Μετρήσεων 9 Παραδείγματα Υπολογισμού Μέσης και Ενεργού Τιμής Παράδειγμα Να υπολογιστεί η μέση και ενεργός τιμή της συνάρτησης y(t)a sin(ωt): Απάντηση π π T av ] [ π Α ωt] [ π A ωtdωt π A y(t)dt T Y cos sin 4 sin 4 sin 4 4 sin ) ( sin sin A ] π π [ π A ] ωt ωt [ π A t d t π A t)dωt ( Α π Υ π π π rms ω ω ω Άρα: A Y rms Παράδειγμα Να υπολογιστεί η μέση και ενεργός τιμή της συνάρτησης y(t)5t:

10 Απάντηση Y Y T 5 t av y(t)dt 5tdt [ ] T 5 T rms y (t)dt 65t dt 834 T Άρα: Y rms Παράδειγμα 3 Υπολογίστε τη μέση και ενεργό τιμή του ανορθωμένου ημιτονοειδούς σήματος του παρακάτω σχήματος: Απάντηση Y Υ av rms A π T T π y(t)dt A π π sin π [ 4 π A sin ωtdωt [ cos ωt] π A Α sin (ωωt)d t sin π π sin 4 ] A π (ω t)dω) π A π Α [ ].637 A π ωt sin ωt [ ] 4 π Άρα: Y rms A Σημειώσεις Ηλεκτρικών Μετρήσεων

11 Παράδειγμα 4 Καθορίστε τη μέση και ενεργό τιμή της παρακάτω κυματομορφής εάν για το πρώτο διάστημα είναι y( t) e t Απάντηση Y av T T.5.5 t t.5 y(t)dt e dt [e ].5 Υ rms.5.5 4t 4t 4t. e d t e dt [e ].5 5 Άρα: Y rms 5.4 Παράδειγμα 5 Υπολογίστε τη μέση και ενεργό τιμή της τετραγωνικής κυματομορφής. Απάντηση Σημειώσεις Ηλεκτρικών Μετρήσεων

12 Από τη κυματομορφή προκύπτει ότι για <t,. είναι y, ενώ για.<t<.3 είναι y. Η περίοδος είναι Τ.3. Άρα: Y av Υ rms T T.. y(t)dt dt [t] d t [t] Άρα: Y rms Σημειώσεις Ηλεκτρικών Μετρήσεων

13 Θεωρία Σφαλμάτων. Εισαγωγή Κατά τη μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους οι ευρισκόμενες τιμές διαφέρουν λίγο ή πολύ από την πραγματική τιμή του μεγέθους αυτού, καθώς πολλοί παράγοντες επηρεάζουν την ακρίβεια της μέτρησης. Έτσι εάν κατά τη διάρκεια της μέτρησης η παρατηρηθείσα τιμή είναι x i και η πραγματική είναι x τότε η διαφορά τους ονομάζεται Απόλυτο Σφάλμα: δ x x x i (4) Εκτός από το Απόλυτο Σφάλμα υπάρχει και το Σχετικό Σφάλμα, το οποίο ορίζεται ως το πηλίκο του Απόλυτου Σφάλματος δια της αληθούς τιμής του μεγέθους και εκφράζεται συνήθως ως ποσοστό % :. Αιτίες Σφαλμάτων x δ x x δ i (5) xi xi Οι αιτίες των σφαλμάτων είναι πολλές και οφείλονται στα μετρητικά όργανα, σε ανθρώπινους παράγοντες, στις περιβαλλοντικές συνθήκες, στις μεθόδους μέτρησης κλπ. Στον πίνακα που βρίσκεται στην επόμενη σελίδα αναφέρονται οι κυριότερες πηγές σφαλμάτων. Τα σφάλματα ανάλογα με την προέλευσή τους μπορούν να χωριστούν σε δυο γενικές κατηγορίες: Συστηματικά Σφάλματα: Είναι τα σφάλματα τα οποία προέρχονται από γνωστές αιτίες και οφείλονται σε κατασκευαστικές ατέλειες ή περιορισμούς του οργάνου μέτρησης, σε κακή ρύθμιση του οργάνου, στη γήρανση των εξαρτημάτων του, στη μεταβολή του κυκλώματος λόγω της προσθήκης του οργάνου μέτρησης κλπ. Γενικά τα σφάλματα που προέρχονται από τα όργανα μέτρησης και τις μεθόδους μέτρησης κατατάσσονται στην κατηγορία αυτή. Τα σφάλματα που προκύπτουν από την λανθασμένη εκτέλεση μιας μέτρησης ονομάζονται επίσης και παρασιτικά. Σημειώσεις Ηλεκτρικών Μετρήσεων 3

14 Τυχαία Σφάλματα: Είναι τα σφάλματα των οποίων το αίτιο είναι άγνωστο. Προέρχονται κυρίως από ανθρώπινους παράγοντες (π.χ. σφάλμα κρίσης ανάγνωσης της ένδειξης) και τις εξωτερικές συνθήκες (πίεση, θερμοκρασία, υγρασία, ηλεκτρομαγνητικά πεδία) και αναλύονται με την βοήθεια της στατιστικής. Στη συνέχεια θα εξετάσουμε κάθε μια από τις πηγές σφαλμάτων πιο αναλυτικά επικεντρώνοντας στα συστηματικά σφάλματα. Τα τυχαία σφάλματα θα εξεταστούν ξεχωριστά. Πηγές Σφαλμάτων Μετρητικό Όργανο Πρότυπο Μέθοδος Μέτρησης Εξωτερικά Αίτια Ανθρώπινοι Παράγοντες Αίτια Ασυνέχεια στη μετατροπή σήματος από αναλογικό σε ψηφιακό Μηχανικά Αίτια (π.χ. Τριβές, Αδράνεια Οργάνου κλπ.) Κακή ρύθμιση Οργάνου Σφάλματα βαθμολόγησης Σφάλματα στη διακρίβωση προτύπου Φθορά προτύπου Λανθασμένη μέθοδος μέτρησης Λάθος τοποθέτηση ή φόρτωση του οργάνου Λάθος διάταξη μέτρησης Μεταβολή περιβαλλοντικών συνθηκών (π.χ. θερμοκρασία, υγρασία κλπ.) Ηλεκτρομαγνητικά Πεδία Σφάλματα προσεγγίσεων απλοποιήσεων Κακή θέση ανάγνωσης του οργάνου Εσφαλμένη κρίση χειριστή 3. Συστηματικά Σφάλματα 3. Απλά Συστηματικά Σφάλματα Πριν προχωρήσουμε στην ανάλυση των συστηματικών σφαλμάτων θα πρέπει να δώσουμε κάποιους πολύ βασικούς ορισμούς που ισχύουν γενικά για όλα τα όργανα: Ακρίβεια Οργάνου : Ονομάζεται η ικανότητα του οργάνου να παρέχει ενδείξεις όσο το δυνατόν πιο κοντά στην αληθινή τιμή του μεγέθους. Η ακρίβεια του οργάνου αποτελεί συγκερασμό της «ορθότητας», που είναι η ικανότητα του οργάνου να δίνει ενδείξεις όσο το δυνατόν πλησιέστερα στην αληθινή τιμή του μετρούμενου μεγέθους και στην «πιστότητα» η οποία εκφράζει την ικανότητα του οργάνου να δίνει τα ίδια αποτελέσματα για ανεξάρτητες μετρήσεις, κάτω από συμφωνημένες συνθήκες. Σημειώσεις Ηλεκτρικών Μετρήσεων 4

15 Γραμμικό είναι ένα όργανο όταν το σήμα εξόδου που δίνει είναι ευθέως ανάλογο προς το σήμα εισόδου. Σε πολλές περιπτώσεις η σχέση αυτή δεν είναι γραμμική και έτσι προκύπτει σφάλμα λόγω μη γραμμικότητας του οργάνου. Εύρος Μέτρησης ενός οργάνου είναι τα όρια μεταξύ των οποίων αυτό μπορεί να μετρήσει ένα μέγεθος (συμπίπτει με τα όρια της κλίμακάς του). Επαναληψιμότητα ενός οργάνου ονομάζεται η ικανότητά του να δείχνει τις ίδιες ενδείξεις για επαναλαμβανόμενες μετρήσεις τις ίδιας τιμής του μεγέθους που μετριέται, κάτω από τις ίδιες συνθήκες, τις ίδιες μεθόδους μέτρησης και με τον ίδιο χειριστή, σε μετρήσεις που λαμβάνονται ανά σύντομα χρονικά διαστήματα. Αναπαραγωγισιμότητα ενός οργάνου είναι η ικανότητά του να δείχνει τις ίδιες ενδείξεις για μετρήσεις της ίδιας τιμής του μεγέθους, με τις ίδιες μεθόδους μέτρησης αλλά από διαφορετικούς χειριστές σε διαφορετικά εργαστήρια. Διακριτική ικανότητα ενός οργάνου είναι η μικρότερη αλλαγή στο μετρούμενο όργανο η οποία αναγνωρίζεται από το όργανο. Κατώφλι είναι η ελάχιστη τιμή του σήματος εισόδου που είναι απαραίτητο για να ανταποκριθεί το όργανο και να δώσει άλλη τιμή από μηδέν. Ευαισθησία ενός οργάνου ονομάζεται ο λόγος δεδομένης απόκλισης της κλίμακάς του προς την τιμή της μετρούμενης ποσότητας που προκαλεί την απόκλιση αυτή. Το αντίστροφο της ευαισθησίας ονομάζεται ανακρίβεια. E dϕ dx (6) Υστέρηση : Τα όργανα μπορούν να δείχνουν διαφορετικές τιμές (και επομένως να παρουσιάζουν σφάλμα μέτρησης) για την ίδια τιμή του μεγέθους που μετρούν, ανάλογα με το εάν η τιμή του μεγέθους δημιουργήθηκε με αύξουσα ή φθίνουσα σειρά μεταβολών του μετρούμενου μεγέθους. Αυτό οφείλεται σε μηχανικά αίτια κυρίως όπως τριβές κλπ. Σημειώσεις Ηλεκτρικών Μετρήσεων 5

16 . Όργανα Μέτρησης Το σύνολο των εσωτερικών σφαλμάτων (μηχανικών και βαθμονόμησης) ενός οργάνου καλείται και «σφάλμα ένδειξης» και εκφράζεται ως ποσοστό της μέγιστης τιμής της κλίμακας του, το οποίο το δίνει ο κατασκευαστής. Το ποσοστό αυτό ονομάζεται σύμφωνα με τους Γερμανικούς Κανονισμούς VDE κλάση. Υπάρχουν εφτά διαφορετικές κλάσεις: Κλάση Οργάνου,,,5,5,5 5 Σφάλμα Ένδειξης % ±, ±, ±,5 ± ±,5 ±,5 ± 5 Κατηγορία Οργάνου Όργανα Ακριβείας Βιομηχανικά Όργανα Με τη βοήθεια της κλάσης μπορούμε να υπολογίσουμε το απόλυτο και το σχετικό σφάλμα μιας μέτρησης που οφείλεται μόνο σε εσωτερικά σφάλματα του οργάνου. Ο υπολογισμός γίνεται ως εξης: κλάση Μέγιστη Τιμή Κλίμακας Απ. Σϕ αλμα ± (7) Απ. Σϕ. Σχετ. Σϕ. ± % (8) Μετρούμενη Τιμη Εκτός από τα εσωτερικά σφάλματα των οργάνων τα οποία εκφράζονται με την κλάση, σφάλματα μπορούν να δημιουργηθούν και από άλλες αιτίες, όπως η απόκλιση του δείκτη του οργάνου από το μηδέν όταν αυτός βρίσκεται σε ηρεμία αλλά και από τις εσωτερικές αντιστάσεις αυτών. Για παράδειγμα όταν μετράμε το ρεύμα που διαρρέει μια αντίσταση με τη βοήθεια ενός αμπερομέτρου, η εσωτερική αντίσταση αυτού θα μεταβάλλει την πραγματική τιμή του ρεύματος που διαρρέει την αντίσταση (σφάλμα παρεμβολής). Για το λόγο αυτό επιβάλλεται η εσωτερική αντίσταση του αμπερομέτρου να είναι όσο το δυνατόν μικρότερη. Σημειώσεις Ηλεκτρικών Μετρήσεων 6

17 . Μέθοδος Μέτρησης Πολλές φορές η μέθοδος μέτρησης μπορεί να προκαλέσει ένα σφάλμα. Ας υποθέσουμε για παράδειγμα ότι θέλουμε να μετρήσουμε την ΗΕΔ Ε μιας μπαταρίας με τη βοήθεια ενός βολτομέτρου. Η μπαταρία έχει εσωτερική αντίσταση r και βρίσκεται συνδεδεμένη σε ένα κύκλωμα που διαρρέεται από ρεύμα Ι. Εάν προσπαθήσουμε να μετρήσουμε την ΗΕΔ με το κύκλωμα σε λειτουργία τότε το βολτόμετρο θα μετρήσει μια τάση UE -Ir αντί της πραγματικής Ε. 3. Εξωτερικά Αίτια Η ένδειξη ενός οργάνου μπορεί να επηρεαστεί σοβαρά όταν βρεθεί υπό την επίδραση ενός εξωτερικού μαγνητικού ή ηλεκτρικού πεδίου. Έτσι για παράδειγμα ένας αγωγός ο οποίος διαρρέεται από ρεύμα Α (τέτοιοι αγωγοί υπάρχουν σε πολλές βιομηχανικές εγκαταστάσεις) δημιουργεί ένα αρκετά ισχυρό μαγνητικό πεδίο το οποίο μπορεί να προκαλέσει σφάλματα σε όργανα τα οποία βρίσκονται σε μικρή απόσταση από αυτόν σφάλματα που μπορούν να φτάσουν το % (αθωράκιστα όργανα ακριβείας). Για να αποφύγουμε τέτοιου είδους σφάλματα είτε τοποθετούμε τα όργανα μακριά είτε χρησιμοποιούμε όργανα με μαγνητική θωράκιση. Παρόμοια σφάλματα ένδειξης μπορούν να εμφανιστούν και λόγω της επίδρασης ηλεκτροστατικού πεδίου, είναι όμως πολύ μικρότερα καθώς τα ηλεκτρικά πεδία είναι κατά κανόνα ασθενή. Άλλοι παράγοντες που επηρεάζουν την ένδειξη των οργάνων είναι η θερμοκρασία και η συχνότητα. Η βαθμολογία των οργάνων γίνεται υπό ορισμένη θερμοκρασία, συνήθως. Όταν το όργανο βρεθεί σε θερμοκρασία διαφορετική των είναι δυνατόν να μεταβληθούν οι εσωτερικές αντιστάσεις των τυλιγμάτων των οργάνων, οι τιμές των ροπών που ασκούν τα ελατήρια ελέγχου κλπ με αποτέλεσμα να δημιουργείται ένα «σφάλμα θερμοκρασίας». Η βαθμολογία των οργάνων γίνεται επίσης και σε μια συγκεκριμένη συχνότητα. Σε διαφορετικές τιμές συχνότητας μεταβάλλεται η σύνθετη αντίσταση των οργάνων με αποτέλεσμα την εισαγωγή σφαλμάτων μέτρησης. Οι κατασκευαστές ορίζουν μια περιοχή συχνοτήτων (λέγεται και bandwidth του οργάνου) μέσα στην οποία το σφάλμα λόγω διαφορετικής συχνότητας είναι μικρότερο από το σφάλμα που αντιστοιχεί στην κλάση οργάνου. Σημειώσεις Ηλεκτρικών Μετρήσεων 7

18 4. Ανθρώπινοι Παράγοντες Οι ανθρώπινοι παράγοντες υπεισέρχονται στην δημιουργία σφαλμάτων με πολλούς τρόπους. Το σφάλμα παράλλαξης, δηλαδή η λάθος θέση του χειριστή του οργάνου όταν πρόκειται να διαβάσει την ένδειξη είναι ένας από αυτούς. Επίσης σε πολλές περιπτώσεις γίνονται απλοποιήσεις στους υπολογισμούς με χαρακτηριστικό παράδειγμα την γέφυρα Kelvin της οποίας, η εξίσωση ισορροπίας που χρησιμοποιούμε συνήθως, είναι προσεγγιστική. 3. Σύνθετα Συστηματικά Σφάλματα Σε όλες τις περιπτώσεις υπολογισμού σφαλμάτων που εξετάσαμε στα προηγούμενα παραδείγματα, τα σφάλματα προέρχονταν από μια αιτία μόνο (π.χ. λόγω εσωτερικών σφαλμάτων του οργάνου μέτρησης ή της εσωτερικής αντίστασης του βολτομέτρου ή του αμπερομέτρου). Συνήθως όμως τα σφάλματα μιας μέτρησης οφείλονται σε περισσότερες από μια αιτίες και στην περίπτωση αυτή αναφερόμαστε σε σύνθετα συστηματικά σφάλματα. Στην άσκηση 3 για παράδειγμα υπολογίζουμε το σφάλμα που προκαλείται από την εσωτερική αντίσταση του βολτομέτρου, αλλά ταυτόχρονα αγνούμε το σφάλμα που δημιουργείται στη μέτρηση από τα εσωτερικά σφάλματα των οργάνων, τα οποίο ως γνωστόν υπολογίζονται με τη βοήθεια της κλάσης (ασκήσεις και ). Όταν έχουμε περισσότερες από μια αιτίες συστηματικών σφαλμάτων, στόχος μας είναι να προσδιορίσουμε το μέγιστο απόλυτο σφάλμα που οφείλεται συνολικά στις αιτίες αυτές. Το πρώτο βήμα για τον προσδιορισμό του μέγιστου απόλυτου σφάλματος είναι ο υπολογισμός των απόλυτων σφαλμάτων για κάθε μια αιτία ξεχωριστά. Έστω ότι τα σφάλματα αυτά είναι δx, δx, δx v. Το μέγιστο συστηματικό σφάλμα θα είναι ίσο με το άθροισμα των επιμέρους συστηματικών σφαλμάτων: Δx max δx δx... δx ν (9) Το μέγιστο απόλυτο σφάλμα είναι μια ακραία τιμή, με μικρή πιθανότητα εμφάνισης. Οι ελάχιστες προϋποθέσεις που θα πρέπει να ισχύουν για να υπάρξει ένα τέτοιο σφάλμα είναι οι εξής: α) Σε όλα τα επιμέρους συστηματικά σφάλματα δx, δx, δx v να εμφανισθούν οι μέγιστες τιμές τους, δx max, δx max, δx v max β) Όλα Σημειώσεις Ηλεκτρικών Μετρήσεων 8

19 τα επιμέρους συστηματικά σφάλματα να έχουν το ίδιο πρόσημο (όλα θετικά ή όλα αρνητικά). Ιδιαίτερη προσοχή χρειάζεται ο υπολογισμός του σφάλματος μέτρησης όταν το μέγεθος το οποίο μετράμε είναι συνάρτηση περισσοτέρων του ενός μεγεθών, δηλαδή όταν ισχύει: y f(x, x,...x ) ν () Στην περίπτωση αυτή ο υπολογισμός του σφάλματος γίνεται με τη χρήση του ολικού διαφορικού του y: dy f x f x f x dx dx... dx ν () ν Από τη σχέση () προκύπτει ότι εάν κατά τον καθορισμό των x, x, x ν, γίνονται σφάλματα, η μέγιστη τιμή των οποίων είναι x... απόλυτο σφάλμα κατά τον υπολογισμό του y θα είναι:, x, xν αντιστοίχως, το μέγιστο Δy max f Δx f Δx... v () x x x ν f Δx Ο κάθε όρος του αθροίσματος στην εξίσωση (6) αντιστοιχεί στα επιμέρους μέγιστα σφάλματα του y, που οφείλονται στα x, x, x ν αντιστοίχως. 4. Τυχαία Σφάλματα Εκτός από τα συστηματικά σφάλματα των οποίων οι αιτίες είναι γνωστές, υπάρχουν και σφάλματα των οποίων οι αιτίες είναι άγνωστες και δεν μπορούν να ελεγχθούν. Τα τυχαία αυτά σφάλματα ακολουθούν τους νόμους των πιθανοτήτων και της στατιστικής και η εκτίμηση τους επιτυγχάνεται με τη στατιστική ανάλυση μεγάλου αριθμού μετρήσεων οι οποίες πρέπει να γίνουν υπό τις ίδιες συνθήκες. Ας υποθέσουμε ότι κάνουμε μια σειρά ν μετρήσεων χ,, χ ν ενός άγνωστου φυσικού μεγέθους πραγματικής τιμής χ. Έστω ότι χωρίζουμε το διάστημα των Σημειώσεις Ηλεκτρικών Μετρήσεων 9

20 μετρήσεων (μεταξύ της μικρότερης και την μεγαλύτερης μετρηθείσας τιμής) σε ίσα διαστήματα Δχ, στα οποία κατανέμονται τα αποτελέσματα των μετρήσεων (π.χ. ν μετρήσεις στο διάστημα Δχ, ν μετρήσεις στο διάστημα Δχ κλπ.). Με βάση την κατανομή των μετρήσεων στα αντίστοιχα διαστήματα μπορούμε να σχεδιάσουμε την γραφική απεικόνιση της συχνότητας εμφάνισης τιμών κατά διαστήματα Δχ η οποία ονομάζεται καμπύλη πιθανοτήτων. Η διεργασία κατασκευής του γραφήματος φαίνεται στο ακόλουθο παράδειγμα. Παράδειγμα Έστω ότι πραγματοποιήσαμε 8 μετρήσεις της τιμής μιας αντίστασης, πραγματικής τιμής Ω. Το εύρος τιμών κυμαινόταν από 96Ω έως 6Ω. Στη συνέχεια χωρίζουμε το εύρος των τιμών σε ίσα διαστήματα: Δχ 96 96,9Ω -> 6 Μετρήσεις -> Συχνότητα Εμφάνισης:. Δχ 97 97,9Ω -> Μετρήσεις -> Συχνότητα Εμφάνισης:.4 Δχ ,9Ω -> 8 Μετρήσεις -> Συχνότητα Εμφάνισης:.99 Δχ ,9Ω -> 77 Μετρήσεις -> Συχνότητα Εμφάνισης:.73 Δχ 5,9Ω -> 69 Μετρήσεις -> Συχνότητα Εμφάνισης:.44 Δχ 6,9Ω -> 55 Μετρήσεις -> Συχνότητα Εμφάνισης:.95 Δχ 7,9Ω -> 6 Μετρήσεις -> Συχνότητα Εμφάνισης:.56 Δχ 83 3,9Ω -> Μετρήσεις -> Συχνότητα Εμφάνισης:.39 Δχ 94 4,9Ω -> 5 Μετρήσεις -> Συχνότητα Εμφάνισης:.7 Δχ 5 5,9Ω -> 3 Μετρήσεις -> Συχνότητα Εμφάνισης:. Η συχνότητα εμφάνισης των τιμών ανά διάστημα υπολογίζεται από τη σχέση: k i vi v Δχ (3) Μετά τον υπολογισμό της συχνότητας εμφάνισης δημιουργούμε το γράφημα της συχνότητας ως προς τα διαστήματα Δχ όπως φαίνεται στο σχήμα. Ενώνοντας τα άκρα των τεταγμένων στο κέντρο κάθε τμήματος, δημιουργούμε μια καμπύλη kk(x) η οποία αποτελεί την καμπύλη πιθανοτήτων. Η καμπύλη πιθανοτήτων (ονομάζεται αλλιώς και Σημειώσεις Ηλεκτρικών Μετρήσεων

21 συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας) είναι πολύ σημαντική στην επεξεργασία των μετρήσεων καθώς επιτρέπει τον προσδιορισμό της πιθανότητας εμφάνισης των αποτελεσμάτων. Σχήμα. Καμπύλη Πιθανοτήτων και η προσέγγισή της με την κατανομή Gauss Σημειώσεις Ηλεκτρικών Μετρήσεων

22 Με την βοήθεια της καμπύλης πιθανοτήτων μπορούμε να βρούμε: Τη πιθανότητα να εμφανισθούν τιμές μετρήσεων μεταξύ δυο ορισμένων τιμών α και β: β P(α x β) k(x)dx (4) Τη πιθανότητα να εμφανισθούν τιμές μετρήσεων μικρότερων μιας ορισμένης τιμής α: α a P(x a) k(x)dx (4) Η πιθανότητα εύρεσης οποιονδήποτε τιμών είναι : k(x)dx (5) Συνήθως θεωρούμε ότι τα αποτελέσματα των μετρήσεων ακολουθούν την κανονική κατανομή ή αλλιώς κατανoμή Gauss. Στην κανονική κατανομή τα αποτελέσματα ενός μεγάλου αριθμού μετρήσεων έχουν μια διασπορά γύρω από μια αληθινή τιμή, με τα μισά εξ αυτών να βρίσκονται πάνω από την τιμή αυτή και τα υπόλοιπα κάτω. Η καλύτερη εκτίμηση της πραγματικής τιμής του μετρούμενου μεγέθους συμπίπτει στην περίπτωση αυτή με την μέση τιμή των αποτελεσμάτων των μετρήσεων: ν μ x (6) i ν i Εάν το ν τείνει στο άπειρο τότε το μ τείνει στην πραγματική τιμή του μεγέθους. Όταν τα αποτελέσματα των μετρήσεων ακολουθούν την κατανομή Gauss τότε μπορούμε να θεωρήσουμε ότι και τα αντίστοιχα σφάλματα των μετρήσεων θα ακολουθούν την ίδια κατανομή. Ως σφάλμα μέτρησης (ή απόκλιση) ορίζεται η διαφορά της μέσης τιμής των παρατηρήσεων από μια συγκεκριμένη μέτρηση: Σημειώσεις Ηλεκτρικών Μετρήσεων

23 d i x μ (7) i Εάν d, d, d 3,..., d ν είναι οι αποκλίσεις για κάθε μέτρηση τότε μπορούμε να ορίσουμε την μέση απόκλιση D (ή αλλιώς μέσο αριθμητικό σφάλμα), η οποία είναι μια ένδειξη της ακρίβειας των οργάνων που χρησιμοποιούμε για να κάνουμε μετρήσεις. Όργανα μεγάλης ακρίβειας δίνουν μικρή μέση απόκλιση. Η μέση απόκλιση ορίζεται ως το άθροισμα των απόλυτων τιμών των αποκλίσεων διαιρουμένων δια του αριθμού των μετρήσεων: d d d3... d ν D (8) ν Εκτός από τα παραπάνω μεγέθη στη στατιστική ορίζεται και η τυπική απόκλιση του δείγματος σ (ή αλλιώς μέσο τετραγωνικό σφάλμα) ως εξής: ν σ d (9) i ν i Η πιθανότητα να εμφανισθεί σφάλμα μικρότερο ή ίσο προς το μέσο τετραγωνικό σφάλμα είναι 68.3%. Με τη βοήθεια της τυπικής απόκλισης μπορούμε να προσδιορίσουμε το πιθανό απόλυτο σφάλμα της μέτρησης (το οποίο έχει 5% πιθανότητα να εμφανισθεί) χρησιμοποιώντας τη σχέση: δx,6745 σ,845 D () Το πιθανό σχετικό σφάλμα θα δίνεται από τη σχέση: δx ε % ή D ε % () μ μ Το μέγιστο τυχαίο σφάλμα μιας μέτρησης μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας και πάλι την τυπική απόκλιση σ ή τη μέση απόκλιση D, από τις σχέσεις: δx max 3σ ή 4 D () δx max Σημειώσεις Ηλεκτρικών Μετρήσεων 3

24 Το μέγιστο τυχαίο σφάλμα αποτελεί μια ακραία τιμή. Στη πράξη όλα τα σφάλματα που αναμένεται να εμφανισθούν κατά τη διάρκεια των μετρήσεων θα είναι κατά 99.8% μικρότερα ή ίσα προς το σφάλμα αυτό. 5. Συνδυασμός Τυχαίων και Συστηματικών Σφαλμάτων Σε μια μέτρηση είναι πολύ πιθανό να εμφανίζονται τόσο συστηματικά όσο και τυχαία σφάλματα. Συνεπώς το συνολικό απόλυτο σφάλμα θα είναι αποτέλεσμα και των δυο κατηγοριών σφαλμάτων. Στη περίπτωση αυτή ο υπολογισμός του μέγιστου απόλυτου σφάλματος είναι σχετικά απλός. Έστω ότι δx, δx, δx v είναι οι μέγιστες τιμές των υφιστάμενων συστηματικών σφαλμάτων. Εάν η μέτρηση επαναληφθεί πολλές φορές (υπό τις ίδιες συνθήκες) οι τιμές των σφαλμάτων αυτών θα παραμένουν οι ίδιες. Εάν σ είναι η τυπική απόκλιση του τυχαίου σφάλματος της μέτρησης τότε το μέγιστο πιθανό σφάλμα θα είναι 3σ και το μέγιστο συνιστάμενο απόλυτο σφάλμα θα είναι: Δx max δx δx... δx 3 σ (3) ν Σημειώσεις Ηλεκτρικών Μετρήσεων 4

25 Ασκήσεις Υπολογισμού Απλών Συστηματικών Σφαλμάτων Η μεθοδολογία που ακολουθείται κάθε φορά για τον υπολογισμό του συστηματικού σφάλματος μέτρησης είναι συνάρτηση της αιτίας που προκαλεί το σφάλμα αυτό και γιαυτό το λόγο δεν υπάρχει ένας γενικός κανόνας επίλυσης τέτοιων προβλημάτων. Στα παραδείγματα που ακολουθούν υπολογίζεται το σφάλμα μέτρησης που προέρχεται από τα όργανα και από τη μέθοδο μέτρησης. Άσκηση η Αμπερόμετρο με μέγιστη τιμή κλίμακας 5Α και κλάση,5 χρησιμοποιείται για τη μέτρηση 3 διαφορετικών ρευμάτων, Α, 3Α και 4Α. Να βρεθεί το απόλυτο και το σχετικό σφάλμα σε κάθε περίπτωση. Απάντηση Το απόλυτο σφάλμα είναι το ίδιο σε όλες τις περιπτώσεις και δίνεται από τη σχέση: Απ. Σφάλμα ± (κλάση x Μέγιστη τιμή της Κλίμακας)/ ±,5x5Α ±.75Α Το σχετικό σφάλμα υπολογίζεται για κάθε μέτρηση ξεχωριστά: Για ρεύμα Α: Σχετ. Σφάλμα ± (Απ. Σφάλμα / Μετρούμενη Τιμή) x% ± (,75/)x% ± 7,5% Για ρεύμα 3Α: Σχετ. Σφάλμα ± (Απ. Σφάλμα / Μετρούμενη Τιμή) x% ± (,75/3)x% ±,5% Για ρεύμα 4Α: Σχετ. Σφάλμα ± (Απ. Σφάλμα / Μετρούμενη Τιμή) x% ± (,75/4)x% ±,875% Άσκηση η Ένα βολτόμετρο έχει κλίμακα -5V και κλάση. Προσδιορίστε την περιοχή της κλίμακας του βολτομέτρου για την οποία το σχετικό σφάλμα μέτρησης είναι μικρότερο από το 4%. Απάντηση Το Απόλυτο Σφάλμα του βολτομέτρου είναι: Σημειώσεις Ηλεκτρικών Μετρήσεων 5

26 5 Απ. Σϕ. ± V ± 5V Το σχετικό σφάλμα θα πρέπει να είναι μικρότερο ή ίσο με 4% άρα μπορούμε να προσδιορίσουμε την μετρούμενη τιμή για την οποία το σχετικό σφάλμα θα είναι ίσο με την τιμή αυτή. Σχ. Σϕ. Απ. Σϕ. % 4 X M 5 X M X M 5V Άρα η περιοχή μέτρησης είναι 5V 5V, καθώς για οποιαδήποτε τιμή μέτρησης μικρότερη από 5V το σχετικό σφάλμα θα είναι μεγαλύτερο από 4%. Άσκηση 3 η Για τον προσδιορισμό της τιμής μιας αντίστασης χρησιμοποιούμε βολτόμετρο και αμπερόμετρο συνδεδεμένα με τον τρόπο που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Οι ενδείξεις των οργάνων είναι Α για το αμπερόμετρο και 3V για το βολτόμετρο. Εάν οι εσωτερικές αντιστάσεις των οργάνων είναι Ω για το αμπερόμετρο και kω για το βολτόμετρο προσδιορίστε το σφάλμα μέτρησης (απόλυτο και σχετικό). Απάντηση Εάν δεν λάβουμε υπόψη τις εσωτερικές αντιστάσεις των οργάνων, η τιμή της αντίστασης υπολογίζεται πολύ απλά από τον νόμο του Ohm: V 3V 3Ω I A Σημειώσεις Ηλεκτρικών Μετρήσεων 6

27 Η τιμή της αντίστασης που βρήκαμε έχει υπολογιστεί χωρίς να λάβουμε υπόψη μας τις εσωτερικές αντιστάσεις των οργάνων και στην προκειμένη περίπτωση την εσωτερική αντίσταση του βολτομέτρου. Στην πραγματικότητα λόγω της πεπερασμένης αντίστασης του βολτομέτρου ένα μέρος του ρεύματος που μετράει το αμπερόμετρο, περνάει μέσα από το βολτόμετρο (ρεύμα Ι ν στο σχήμα). Έτσι το ρεύμα που περνά από την αντίσταση είναι I I-I V και η πραγματική τιμή της αντίστασης είναι: V I V I I V V V I I V 3V 3V A kω 3V 39.7Ω,97 Εάν δεν ληφθεί υπόψη το γεγονός αυτό τότε έχουμε ένα απόλυτο σφάλμα μέτρησης ίσο με: Το σχετικό σφάλμα θα είναι: δx 39.7V 3V 9.7V δx δx% X πραγμ 9.7 x% x% 3.9% 3 Σημείωση Ένας εναλλακτικός τρόπος μέτρησης μιας αντίστασης με βολτόμετρο και αμπερόμετρο είναι αυτός του παρακάτω σχήματος: Στη περίπτωση αυτή η αντίσταση που μετράμε στην πραγματικότητα είναι r a όπου είναι η πραγματική τιμή της αντίστασης και r a η εσωτερική αντίσταση του αμπερομέτρου. Συνεπώς το απόλυτο σφάλμα μέτρησης θα είναι: δx X X ( r ) r Μ Π a a Σημειώσεις Ηλεκτρικών Μετρήσεων 7

28 Το δε σχετικό σφάλμα θα είναι: r δx% a x% Σημειώσεις Ηλεκτρικών Μετρήσεων 8

29 Ασκήσεις Υπολογισμού Σύνθετων Συστηματικών Σφαλμάτων Άσκηση 4 η Για τον προσδιορισμό της ισχύος που καταναλώνεται σε μια αντίσταση Ω χρησιμοποιείται η διάταξη του παρακάτω σχήματος. Το βολτόμετρο έχει κλίμακα - 4V, κλάση,5 και εσωτερική αντίσταση 4kΩ και η ένδειξη του είναι V. Το αμπερόμετρο έχει κλίμακα -5Α, κλάση,5 και εσωτερική αντίσταση.ω και η ένδειξή του Α. Υπολογίστε το μέγιστο απόλυτο σφάλμα μέτρησης της ισχύος. Απάντηση Μια πρώτη εκτίμηση της ισχύος που καταναλώνεται θα μπορούσε να γίνει χρησιμοποιώντας τις ενδείξεις των οργάνων και την γνωστή σχέση PV I: P V I V A 4W Κατά τον υπολογισμό της ισχύος αγνοήθηκαν οι αιτίες που προκαλούν σφάλμα μέτρησης και οι οποίες στη προκειμένη περίπτωση είναι τουλάχιστον δυο. Η πρώτη αιτία είναι το αμπερόμετρο το οποίο δεν μετρά το ρεύμα που διαρρέει την αντίσταση αλλά το ολικό ρεύμα που διαρρέει την αντίσταση και το βολτόμετρο μαζί. Το ρεύμα που περνά μέσα από την αντίσταση μπορεί να βρεθεί εύκολα ως εξής: I 4Ω I I 4Ω Ω 4Ω A I 4Ω Ω,99A Άρα το απόλυτο σφάλμα μέτρησης του ρεύματος που οφείλεται στη μεθοδολογία μέτρησης είναι: ΔI,99A A,A Σημειώσεις Ηλεκτρικών Μετρήσεων 9

30 Η δεύτερη πηγή σφαλμάτων είναι τα σφάλματα που προέρχονται από εσωτερικές αιτίες των οργάνων μέτρησης και τα οποία υπολογίζονται με την βοήθεια της κλάσης: ΔI,5 5,75A ΔV,5 4 6V Από τα παραπάνω προκύπτει ότι το μέγιστο σφάλμα στη μέτρηση του ρεύματος είναι: ΔI ΔI ΔI,85A Συνεπώς το μέγιστο απόλυτο σφάλμα στη μέτρηση της ισχύος είναι: ΔP max P ΔV V P ΔI I (V I) ΔV V (V I) ΔI I I ΔV V ΔI 6,85 W W 7W 9W Το σχετικό σφάλμα θα είναι: 9W ΔP% % 7.5% 4W Σημείωση Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να μειώσουμε το σφάλμα στη συγκεκριμένη περίπτωση. Ουσιαστικά θα πρέπει να προσέξουμε τα χαρακτηριστικά εκείνα των οργάνων που επηρεάζουν τα επιμέρους σφάλματα όπως οι κλάσεις των οργάνων, οι κλίμακες μέτρησης και οι εσωτερικές αντιστάσεις. Θα πρέπει λοιπόν να διαλέξουμε όργανα με μικρότερη κλίμακα μέτρησης ή/και μικρότερη κλάση, μικρότερη εσωτερική αντίσταση για το αμπερόμετρο και μεγαλύτερη για το βολτόμετρο. Σημειώσεις Ηλεκτρικών Μετρήσεων 3

31 Άσκηση 5 η Για τον προσδιορισμό της τιμής μιας αντίστασης χρησιμοποιείται η διάταξη του παρακάτω σχήματος. Το βολτόμετρο έχει κλίμακα -4V, κλάση,5 και εσωτερική αντίσταση 4kΩ και η ένδειξη του είναι V. Το αμπερόμετρο έχει κλίμακα -5Α, κλάση,5 και εσωτερική αντίσταση.ω και η ένδειξή του.α. Υπολογίστε το μέγιστο απόλυτο σφάλμα μέτρησης της αντίστασης. Απάντηση Ένας πρώτος υπολογισμός της αντίστασης με τη χρήση του νόμου του Ohm θα μας έδινε: V V Ω I.A στον παραπάνω υπολογισμό όμως δεν έχουν ληφθεί τα σφάλματα που προκαλούνται από τις εσωτερικές αντιστάσεις των οργάνων (και συγκεκριμένα του αμπερομέτρου) καθώς και από τα εσωτερικά σφάλματα των οργάνων μέτρησης. Η εσωτερική αντίσταση του αμπερομέτρου έχει ως συνέπεια τη δημιουργία σφάλματος μέτρησης της τάσης δεδομένου ότι το βολτόμετρο μετά την τάση στα άκρα όχι μόνο της αντίστασης αλλά και του αμπερομέτρου. Η πραγματική τιμή της αντίστασης θα είναι: r Ω.Ω πρ a 9.9Ω Το σφάλμα στην προκειμένη περίπτωση είναι μικρό (περίπου %), με την προϋπόθεση όμως ότι οι ενδείξεις των οργάνων είναι ακριβείς! Τα σφάλματα που προκαλούνται από εσωτερικές αιτίες των οργάνων υπολογίζονται με την βοήθεια της κλάσης: Σημειώσεις Ηλεκτρικών Μετρήσεων 3

32 ΔV,5 4 6V,5 5 ΔI,75A Το μέγιστο απόλυτο σφάλμα υπολογίζεται με τη βοήθεια του ολικού διαφορικού: ( V ) ( V ) Δ ΔV ΔI I ΔV I ΔI V I V I V Δ ΔV ΔI I I Δ.A V 6V (.A).75 5Ω.65Ω 4.375Ω Το μέγιστο απόλυτο σφάλμα στην περίπτωση αυτή είναι 4.375Ω, ενώ το σχετικό σφάλμα 44.%! Η αιτία του σφάλματος αυτού είναι το βολτόμετρο που χρησιμοποιείται. Η κλίμακά του είναι πολύ μεγάλη (-4V), ενώ η μετρούμενη τιμή πολύ μικρή (V). Συνεπώς το απόλυτο σφάλμα μέτρησης της τάσης είναι δυσανάλογα μεγάλο. Άσκηση 6 η Για τη μέτρηση της τάσης, του ρεύματος και της ισχύος που καταναλώνεται σε ένα επαγωγικό φορτίο με Ω και LmH, χρησιμοποιείται η διάταξη του παρακάτω σχήματος. Η εσωτερική αντίσταση του βολτομέτρου είναι kω, η κλίμακά του -5V και η κλάση.5. Η εσωτερική αντίσταση του αμπερομέτρου είναι.5ω, η κλίμακά του -5Α και η κλάση του.5, ενώ η αντίσταση του πηνίου έντασης του βαττομέτρου είναι.ω, η κλίμακά του -5W και η κλάση του.5. Υπολογίστε τις ενδείξεις των οργάνων καθώς και το σφάλμα μέτρησης της ισχύος. Σημειώσεις Ηλεκτρικών Μετρήσεων 3

33 Απάντηση Η επαγωγική αντίσταση του φορτίου θα είναι: X L ω L π f L 34 mh 6.8Ω Για να υπολογίσουμε την ένδειξη του αμπερομέτρου θα πρέπει να βρούμε την ολική αντίσταση του κυκλώματος. Για το λόγο αυτό θα αντικαταστήσουμε τα όργανα του παραπάνω σχήματος με τις εσωτερικές τους αντιστάσεις, οπότε θα προκύψει το παρακάτω ισοδύναμο κύκλωμα: Η ολική αντίσταση του παραπάνω κυκλώματος θα είναι: ( W a ) ( V //( jx )) (.5Ω Ω) ( Ω //( 6. j ) 8Ω ) L ( 6. j ) 8 j 5 6.6Ω Ω.6Ω Ω 6. j 8 j < o < Ω Ω (.6 < o < o o 9.6 9< 3.5 4) Ω o (.6 j j6. ) 6Ω 6. j 5.< Ω o Το συνολικό ρεύμα που διαρρέει το κύκλωμα (και συνεπώς η ένδειξη του αμπερομέτρου) θα είναι: o < I. < 3. 5 o < 3.5 o Η ένδειξη του αμπερομέτρου είναι.α. Σημειώσεις Ηλεκτρικών Μετρήσεων 33

34 Η ένδειξη του βολτομέτρου λαμβάνοντας υπόψη τις εσωτερικές αντιστάσεις του βαττομέτρου και του αμπερομέτρου θα είναι: V < I o W I a o <. < 3.5. < o o. < < o o V o o o <. < 3.5.< 3.5 j. j j. 7 6 V.6 j < 8. 8 o Η ένδειξη του βολτομέτρου θα είναι 8.68Volt. Η ένδειξη του βαττομέτρου θα ισούται με το γινόμενο της τάσης στα άκρα του πηνίου τάσης επί το ρεύμα που περνά από το πηνίο έντασης επί το συντελεστή ισχύος cosφ, όπου φ η διαφορά φάσης μεταξύ τάσης και ρεύματος στο κύκλωμα: P V I cos ϕ. cos W Η ένδειξη του βαττομέτρου θα είναι 483.W. Το σφάλμα μέτρησης της ισχύος προέρχεται αφενός μεν από τα εσωτερικά σφάλματα του βαττομέτρου αφετέρου από τις εσωτερικές αντιστάσεις των οργάνων στις οποίες έχουμε κατανάλωση ενέργειας. Πιο συγκεκριμένα, το σφάλμα του βαττομέτρου θα είναι: κλαση Μεγιστη Κλιμακα.5 5 ΔP W 7.5W Εκτός αυτού, δημιουργείται και ένα επιπλέον σφάλμα στη μέτρηση δεδομένου ότι το βαττόμετρο μετρά την ισχύ η οποία καταναλώνεται όχι μόνο στο φορτίο αλλά και στις εσωτερικές αντιστάσεις των οργάνων. Η ισχύς αυτή θα είναι: P P P W P A P V I I.484W.4W.39W 5.9W W a V V Σημειώσεις Ηλεκτρικών Μετρήσεων 34

35 Συνεπώς το μέγιστο απόλυτο σφάλμα στη μέτρηση της ισχύος θα είναι: P P P 7.5W 5. W 9. 7 W m a x Σημειώσεις Ηλεκτρικών Μετρήσεων 35

36 Ασκήσεις (Υπολογισμός τυχαίων σφαλμάτων) Άσκηση 7 η Σε μια εργαστηριακή άσκηση 7 φοιτητές έκαναν τις παρακάτω ανεξάρτητες μετρήσεις μιας τάσης:,v,,8v,,9v, V,,V,,V,,8V. Υπολογίστε την πιο πιθανή τιμή της τάσης καθώς και το πιθανό σφάλμα (απόλυτο και σχετικό). Απάντηση Εάν υποθέσουμε ότι τα αποτελέσματα ακολουθούν την κανονική κατανομή τότε η πιο πιθανή πραγματική τιμή της τάσης ισούται με την μέση τιμή των αποτελεσμάτων: µ,,8,9,,,8 V, 9 7 V Για να υπολογίσουμε το σφάλμα της μέτρησης θα πρέπει να υπολογίσουμε πρώτα την τυπική απόκλιση. Θα πρέπει να υπολογίσουμε πρώτα τις αποκλίσεις: d, -,98,V d,8,98 -,8V d 3,9,98 -,8V d 4,98,V d 5,,98,V d 6,,98,V d 7,8,98 -,8V Η τυπική απόκλιση υπολογίζεται από τη σχέση: d d d3 d 4 d5 d6 d7 σ 7,, 4 3,4,4 6,4 4,4 8, , V 6 Άρα το πιθανό τυχαίο σφάλμα θα δίνεται από τη σχέση: δ x ±,6 7 σ ± 4, 5V Σημειώσεις Ηλεκτρικών Μετρήσεων 36

37 Το σχετικό σφάλμα υπολογίζεται ως εξής: ε ±, % 5 ±,8 %,9 8 Ένας δεύτερος προσεγγιστικός τρόπος είναι ο εξής. Υπολογίζουμε τη μέση απόκλιση D. d d d3 d 4 d5 d6 d7 D 7,,, 8, 8,,, 8, 7 V Το σχετικό σφάλμα υπολογίζεται ως εξής: ε ±, 3 % ±, %,9 8 Άσκηση 8 η Κατά τη διάρκεια μιας εργαστηριακής άσκησης η τάση στα άκρα ενός φορτίου μετρήθηκε φορές με τη χρήση βολτομέτρου κλίμακας -4V, και κλάσης.5. Οι τιμές της τάσης που μετρήθηκαν ήταν οι ακόλουθες: 38V - 38V - 38V - 38V - 38V - 379V - 38V - 383V - 379V - 38V. Να υπολογιστεί το μέγιστο απόλυτο και το μέγιστο σχετικό σφάλμα της μέτρησης. Απάντηση Κατά τη διάρκεια της μέτρησης έχουμε ένα συστηματικό σφάλμα που προέρχεται από το βολτόμετρο και ένα τυχαίο σφάλμα, όπως προκύπτει από τις διαφορετικές τιμές της τάσης που μετράμε. Υπολογισμός Συστηματικού Σφάλματος: κ άσ Μ λ έγη Κ ι λίµ σ.5 ατ 4 ηκ x 6V Υπολογισμός Τυχαίου Σφάλματος: Μ έσ Τι ή µ µ η V 3, 7V Σημειώσεις Ηλεκτρικών Μετρήσεων 37

38 d d d d d d d d d d V 38.7V.3V 38 V 38.7V.3 V 38 V 38.7V.3V 38 V 38.7V.7V 38 V 38.7V.3V 379 V 38.7V.7V 38 V 38.7V.7V 383 V 38.7V.7V 379 V 38.7V.7V 38 V 38.7V.3V Αποκλ ίσ ειςμετρσεω ή ν Τυ ή Απόκ π σ λ ι d κ ι σ(.3.3. η ν i i ). V Υπολογισμός Μέγιστου Απόλυτου Σφάλματος: x x 3 σ 6V 3. V 59. V4 m a x Υπολογισμός Μέγιστου Σχετικού Σφάλματος: x 9. 6 % %.4% 3.78 m a x Σημειώσεις Ηλεκτρικών Μετρήσεων 38

39 ΓΕΦΥΡΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ. Εισαγωγή Οι Γέφυρες Μετρήσεων είναι διατάξεις με τις οποίες μπορούμε να μετρήσουμε την τιμή ωμικών αντιστάσεων, τη χωρητικότητα πυκνωτών, την αυτεπαγωγή πηνίων, την τιμή σύνθετων αντιστάσεις, τη συχνότητα καθώς και άλλες παραμέτρους των ηλεκτρικών κυκλωμάτων. Διακρίνονται σε δυο γενικές κατηγορίες, τις γέφυρες D και τις γέφυρες A. Κάθε κατηγορία με τη σειρά της περιλαμβάνει αρκετούς διαφορετικούς τύπους γεφυρών. Ανάλογα με το ηλεκτρικό μέγεθος που θέλουμε να μετρήσουμε, διαλέγουμε και τον κατάλληλο τύπο γέφυρας, καθώς οι περισσότερες γέφυρες «εξειδικεύονται» στη μέτρηση ενός μόνο ηλεκτρικού μεγέθους. Στη γενική της μορφή μια γέφυρα αποτελείται από μια πηγή τάσης (D ή A), τέσσερις αντιστάσεις (ωμικές ή σύνθετες) και ένα αμπερόμετρο μεγάλης ακρίβειας, το οποίο μπορεί να είναι είτε ένα όργανο κινητού πηνίου, είτε γαλβανόμετρο ή παλμογράφος. Πολύ συχνά πλέον χρησιμοποιούνται και ηλεκτρονικά αμπερόμετρα. Η γενική μορφή μιας γέφυρας παρουσιάζεται στο σχήμα. Σχήμα. Γενική μορφή μιας γέφυρας μετρήσεων. Όταν το ρεύμα που διαρρέει το αμπερόμετρο μηδενιστεί τότε λέμε ότι γέφυρα βρίσκεται σε ισορροπία. Στη περίπτωση αυτή οι σύνθετες αντιστάσεις και Ζ διαρρέονται από το ίδιο ρεύμα (έστω Ι ): Σημειώσεις Ηλεκτρικών Μετρήσεων 39

40 I V (4) ενώ οι αντιστάσεις Ζ 3 και Ζ 4 διαρρέονται και αυτές από το ίδιο ρεύμα (έστω Ι ): I V (5) 3 4 Ταυτόχρονα οι αντιστάσεις Ζ και Ζ 3 (το ίδιο ισχύει αντίστοιχα και για τις Ζ, Ζ 4) έχουν την ίδια τάση λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι, τα σημεία και στα άκρα του αμπερομέτρου έχουν το ίδιο δυναμικό όταν η γέφυρα βρίσκεται σε ισορροπία (το αμπερόμετρο δεν διαρρέεται από ρεύμα). Άρα προκύπτει ότι: I I 3 V 3 V (6) 4 3 Η σχέση (6) αποτελεί και τη γενική συνθήκη ισορροπίας της γέφυρας. Είναι προφανές ότι εάν μια από τις σύνθετες αντιστάσεις είναι άγνωστη και οι υπόλοιπες είναι γνωστές, μπορούμε να την υπολογίσουμε χρησιμοποιώντας τη σχέση (6), με την προϋπόθεση βέβαια ότι η γέφυρα βρίσκεται σε ισορροπία. Για το σκοπό αυτό θα πρέπει η τιμή τουλάχιστον μιας από τις σύνθετες αντιστάσεις της γέφυρας να μπορεί να μεταβάλλεται ώστε να επιτυγχάνουμε ισορροπία και στη συνέχεια να υπολογίζουμε την άγνωστη αντίσταση. Στη συνέχεια παρουσιάζονται τρεις χαρακτηριστικές γέφυρες, μια γέφυρα συνεχούς ρεύματος (γέφυρα Wheatstone) και δύο γέφυρες εναλλασσόμενου ρεύματος (γέφυρα Maxwell και γέφυρα Schering).. Γέφυρες D. Γέφυρα Wheatstone Η γέφυρα Wheatstone αποτελεί την πιο απλή και εύχρηστη γέφυρα. Χρησιμοποιείται για την μέτρηση της τιμής ωμικών αντιστάσεων και αποτελείται από τρεις αντιστάσεις (η μια εκ των οποίων μεταβλητή), μια πηγή συνεχούς τάσης και ένα ευαίσθητο αμπερόμετρο συνεχούς ρεύματος (σχήμα 3). Όταν η γέφυρα βρίσκεται σε ισορροπία τότε ισχύει η παρακάτω σχέση: Σημειώσεις Ηλεκτρικών Μετρήσεων 4

41 Σχήμα 3. Κύκλωμα Γέφυρας Wheatstone. 3 x 3 x (7) Εάν η αντίσταση 3 μεταβάλλεται μεταξύ των τιμών 3 min και 3 max είναι πολύ εύκολο να προσδιορίσουμε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της αντίστασης x, που είναι ικανή να μετρήσει μια γέφυρα Wheatstone: Ελάχιστη Τιμή : Μέγιστη Τιμή : xmin xmax 3min 3max Οι συνήθεις τιμές των αντιστάσεων που μπορούμε να μετρήσουμε με μια γέφυρα Wheatstone ξεκινούν από Ω και μπορούν να φτάσουν έως τιμές της τάξης των ΜΩ. H ακρίβεια μέτρησης της γέφυρας μεταβάλλεται συναρτήσει, των λόγων των τιμών των αντιστάσεων,, 3 και της υπό μέτρηση αντίστασης x. Αποδεικνύεται ότι στη πράξη πετυχαίνουμε τη μεγαλύτερη ακρίβεια μέτρησης όταν ισχύει: 3 x Στη πράξη βέβαια η αντίσταση x είναι άγνωστη και οι παραπάνω σχέσεις είναι αδύνατο να ισχύουν. Εάν όμως είναι απαραίτητη μια μεγάλη ακρίβεια στη μέτρηση της x τότε θα πρέπει να μετρηθεί δυο φορές. Κατά την πρώτη, οπότε οι τιμές των αντιστάσεων της γέφυρας είναι τυχαίες πραγματοποιούμε ένα πρώτο προσδιορισμό της x Σημειώσεις Ηλεκτρικών Μετρήσεων 4

42 τιμής της x. Στη συνέχεια επαναλαμβάνουμε τη μέτρηση εκλέγοντας τις κατάλληλες αντιστάσεις,, 3. Για τη μέτρηση πολύ μικρών αντιστάσεων χρησιμοποιείται μια παραλλαγή της γέφυρας Wheatstone, η γέφυρα Kelvin. Στη γέφυρα Kelvin οι αντιστάσεις και αποτελούν τα δυο τμήματα μιας χορδής, η οποία αποτελείται από το ίδιο υλικό και άρα σταθερής ολικής αντιστάσεως. Επάνω στη χορδή ολισθαίνει ένας δρομέας (ο οποίος αποτελεί τον κόμβο μεταξύ των και στο σχήμα 3), με συνέπεια ο λόγος των αντιστάσεων / να μπορεί να μεταβάλλεται και να ισούται με το λόγο l /l των μηκών των δυο αντίστοιχων τμημάτων της χορδής. 3. Γέφυρες A 3. Γέφυρα Maxwell H γέφυρα Maxwell χρησιμοποιείται για την μέτρηση πηνίων (δηλαδή της επαγωγής L και της αντίστασης απωλειών του πηνίου). Αποτελείται από τρεις αντιστάσεις (οι δυο από τις οποίες είναι μεταβαλλόμενες) και ένα πυκνωτή, ένα ευαίσθητο αμπερόμετρο εναλλασσόμενου ρεύματος και μια πηγή εναλλασσόμενης τάσης. Μια γέφυρα Maxwell φαίνεται στο σχήμα 4. Σχήμα 4. Κύκλωμα Γέφυρας Maxwell. Όταν η γέφυρα βρίσκεται σε ισορροπία τότε θα ισχύει η γνωστή σχέση: (8) 3 x 3 x x 3 Y Σημειώσεις Ηλεκτρικών Μετρήσεων 4

43 Σημειώσεις Ηλεκτρικών Μετρήσεων 43 όπου Ζ και Ζ 3 είναι οι εμπεδήσεις των κλάδων της γέφυρας που περιλαμβάνουν τις ωμικές αντιστάσεις και 3 αντίστοιχα, Υ είναι η αγωγιμότητα του κλάδου της γέφυρας που περιλαμβάνει την ωμική αντίσταση και τον πυκνωτή και Ζ x είναι η εμπέδηση του άγνωστου πηνίου που θέλουμε να μετρήσουμε: 3 3 j Y ω x x x L j ω Αντικαθιστώντας στη σχέση (8) τα Υ, Ζ, Ζ 3 και Ζ x από τις παραπάνω σχέσεις, προκύπτουν οι δυο σχέσεις που συνδέουν τα άγνωστα μεγέθη του πηνίου με τα γνωστά στοιχεία της γέφυρας Maxwell: ) ( j L j j L j Y x x x x x ω ω ω ω Εξισώνοντας τα πραγματικά και τα φανταστικά μέρη των δυο μιγαδικών αριθμών προκύπτουν οι τελικές σχέσεις ισορροπίας της γέφυρας Maxwell: 3 x (9) 3 x L (3) Τα όρια μέτρησης μιας συγκεκριμένης γέφυρας Maxwell καθορίζονται φυσικά από τα όρια μεταβολής των αντιστάσεων και 3. Κατά συνέπεια οι ακραίες τιμές των x, L x θα δίνονται από τις σχέσεις: min 3max x max max 3min x min, 3max xmax 3min xmin L, L

44 Εάν θέλουμε να διευρύνουμε περαιτέρω τα όρια μέτρησης της γέφυρας θα πρέπει να αντικαταστήσουμε τα σταθερά στοιχεία αυτής (, ), με άλλα κατάλληλης τιμής. Σημείωση : Από τις σχέσεις (9) και (3) προκύπτει ότι η ισορροπία της γέφυρας είναι ανεξάρτητη της συχνότητας άρα μπορεί να χρησιμοποιηθεί οποιαδήποτε πηγή εναλλασσόμενης τάσης (ανεξαρτήτου συχνότητας). 3. Γέφυρα Schering Η γέφυρα Schering χρησιμοποιείται για τη μέτρηση της χωρητικότητας πυκνωτών, καθώς και του συντελεστή απωλειών τους. Το ηλεκτρικό κύκλωμα μιας γέφυρας Schering φαίνεται στο σχήμα 5. Σχήμα 5. Κύκλωμα Γέφυρας Schering. Όταν η γέφυρα βρίσκεται σε ισορροπία θα ισχύει και πάλι η σχέση (8), όπου: Y jω 3 jω x x j ω x Σημειώσεις Ηλεκτρικών Μετρήσεων 44

45 Αντικαθιστώντας στη σχέση (8) τα Υ, Ζ, Ζ 3 και Ζ x από τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει: x 3 Y x j ( j ) ( jω) ω ω x j ω x x j ω Εξισώνοντας τα πραγματικά και τα φανταστικά μέρη των δυο μιγαδικών αριθμών προκύπτουν οι τελικές σχέσεις ισορροπίας της γέφυρας Schering: x x (3) (3) Όπως και στη περίπτωση των γεφυρών Wheatstone και Maxwell, τα ακραία όρια μέτρησης της γέφυρας καθορίζονται από τα όρια μεταβολής της αντίστασης και του πυκνωτή : xmin min min, xmax max max xmin max, xmax min Όπως προκύπτει από τις παραπάνω σχέσεις δεν μπορούμε να πετύχουμε ταυτόχρονα τα ακραία όρια μέτρησης για την αντίσταση απωλειών x και για την χωρητικότητα του πυκνωτή x λόγω της αντίστασης. Στην περίπτωση της x η βρίσκεται στον αριθμητή, ενώ στην περίπτωση της x στον παρανομαστή. Σημείωση : Από τις σχέσεις (3) και (3) προκύπτει ότι η ισορροπία της γέφυρας είναι ανεξάρτητη της συχνότητας άρα μπορεί να χρησιμοποιηθεί οποιαδήποτε πηγή εναλλασσόμενης τάσης (ανεξαρτήτως συχνότητας). Σημειώσεις Ηλεκτρικών Μετρήσεων 45

46 Ασκήσεις (Γέφυρες Μετρήσεων) Άσκηση η Μια γέφυρα Maxwell έχει τα εξής χαρακτηριστικά: -3kΩ, kω, 3-5kΩ, pf. Με βάση τις τιμές των στοιχείων της, ποια είναι η περιοχή μέτρησης της γέφυρας αυτής; Απάντηση Η γέφυρα Maxwell χρησιμοποιείται για τη μέτρηση της αυτεπαγωγής L x και της αντίστασης απωλειών x πηνίων, με τη βοήθεια των σχέσεων που ισχύουν σε κατάσταση ισορροπίας: x 3 L x 3 Η περιοχή μέτρησης της γέφυρας περιορίζεται από τα όρια μεταβολής των τιμών των αντιστάσεων και 3: x min max 3min, x max min 3max L xmin 3min, L xmax 3max Αντικαθιστώντας τις τιμές των στοιχείων στις παραπάνω σχέσεις προκύπτει ότι: 33,3Ω x 5Ω mh Lx 5mH Σημειώσεις Ηλεκτρικών Μετρήσεων 46

47 Άσκηση η Μια γέφυρα Wheatstone περιλαμβάνει τις αντιστάσεις Ω, Ω και 3 Ω (μεταβλητή αντίσταση). Το περιθώριο ανοχής καθε μιας από τις παραπάνω αντιστάσεις είναι 5%. Εάν κατά τη μέτρηση μιας αντίστασης x, η γέφυρα ισορροπεί όταν η 35Ω, υπολογίστε: Α) Την τιμή της αντίστασης x. B) Το απόλυτο και σχετικό σφάλμα μέτρησης. Απάντηση Α) Από τη σχέση ισορροπίας x 3 προκύπτει ότι xω. Β) Από τη σχέση ισορροπίας της γέφυρας προκύπτει οτι η τιμή της αντίστασης x είναι συνάρτηση τριών μεταβλητών xf(,, 3). Συνεπώς το σφάλμα μέτρησης θα δίνεται από τη σχέση: Όπου: Δy max f Δ f Δ f 3 Δ 3 Δ ±5% Ω±5Ω Δ ±5% Ω±Ω Δ 3±5% 5Ω±5Ω Άρα το απόλυτο σφάλμα υπολογίζεται ως εξής: f f f 3 3 Δy Δ Δ Δ 3 Δ Δ Δ 3 max 3 5Ω Το σχετικό σφάλμα μπορεί εύκολα να να υπολογιστεί: 5Ω y % ± % ± 5% Ω Σημειώσεις Ηλεκτρικών Μετρήσεων 47

48 ΚΑΤΑΜΕΡΙΣΤΕΣ ΤΑΣΗΣ. Εισαγωγή Πολλές φορές η τάση την οποία θέλουμε να μετρήσουμε, υπερβαίνει κατά πολύ την κλίμακα μέτρησης των βολτομέτρων ή των παλμογράφων. Όταν η τάση είναι εναλλασσόμενη, λύση στο πρόβλημα αποτελούν οι μετασχηματιστές μέτρησης. Στη περίπτωση όμως συνεχούς ή άλλης μορφής τάσης (για παράδειγμα κρουστικής) είναι αναγκαία η χρήση καταμεριστών τάσης. Οι καταμεριστές τάσης είναι διατάξεις οι οποίες υποβιβάζουν μια μεγάλη τάση ώστε να καταστεί δυνατή η μέτρησή της με βολτόμετρο. Βρίσκουν ευρεία εφαρμογή, τόσο σε απλές μετρήσεις όσο - κυρίως στις μετρήσεις υψηλών τάσεων της τάξεως μεγέθους εκατοντάδων kv. Αποτελούνται από ένα αριθμό ωμικών ή σύνθετων αντιστάσεων οι οποίες χωρίζονται σε δυο ομάδες, και οι οποίες συνδέονται μεταξύ τους σε σειρά και στα άκρα τους εφαρμόζεται η, προς μέτρηση, τάση. Ως συνέπεια η τάση αυτή «καταμερίζεται» στις αντιστάσεις ανάλογα με την τιμή τους. Έστω δυο σύνθετες αντιστάσεις και οι οποίες συνδέονται σε σειρά και αποτελούν τον καταμεριστή τάσης του σχήματος 6. Η αντίσταση Ζ έχει μεγαλύτερη τιμή από την Ζ, έτσι ώστε η τάση V στα άκρα της να είναι μεγαλύτερη από την τάση V στα άκρα της Ζ. Η Ζ ονομάζεται αντίσταση υψηλής τάσης ενώ η Ζ αντίσταση χαμηλής τάσης. Στα άκρα της αντίστασης Ζ συνδέεται το βολτόμετρο ή ο παλμογράφος. Εάν στα άκρα των δυο αντιστάσεων εφαρμοσθεί μια τάση V, τότε η τάση αυτή θα καταμερισθεί στις δυο αντιστάσεις με τέτοιο τρόπο, ώστε στα άκρα της αντίστασης να επικρατεί μια τάση: U U (33) Η παραπάνω σχέση ισχύει όταν στον καταμεριστή δεν έχουμε συνδέσει ακόμα το βολτόμετρο. Μετά τη σύνδεση του βολτομέτρου παράλληλα στην αντίσταση Ζ, η σχέση (33) αλλάζει λόγω της εσωτερικής του αντίστασης. Σημειώσεις Ηλεκτρικών Μετρήσεων 48

49 Σημειώσεις Ηλεκτρικών Μετρήσεων 49 α β Σχήμα 6. Καταμεριστής τάσης α) χωρίς βολτόμετρο β) με βολτόμετρο Η τάση V στη περίπτωση αυτή θα γίνει: U U (34) όπου: // (35) Αντικαθιστώντας τη σχέση (35) στη σχέση (34) έχουμε: U U U U U U (36) Τόσο από τη σχέση (4) όσο και από τη σχέση (5) είναι φανερό ότι το βολτόμετρο θα πρέπει να έχει πολύ μεγαλύτερη εσωτερική αντίσταση από την, ώστε να μην επηρεάσει σημαντικά την κατανομή τάσης στο καταμεριστή. Στη πράξη αυτό επιτυγχάνεται με τη χρήση ηλεκτροστατικών βολτομέτρων, τα οποία έχουν πρακτικά άπειρη αντίσταση, οπότε η σχέση (36) μετατρέπεται στη σχέση (33). Σε κάθε άλλη