Για τις εορτές των Χριστουγέννων και το νέο έτος το Δ.Σ. της ΕΜΕ σας εύχεται ολόψυχα χρόνια πολλά, προσωπική και οικογενειακή ευτυχία.

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) ΑΘΗΝΑ Τηλ Fax: 6405 GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR Athens - HELLAS Tel Fax: 6405 Αθήνα, 9 Δεκεμβρίου 006 Αγαπητοί μαθητές, Σας καλωσορίζουμε στο διαγωνισμό της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας (ΕΜΕ) ΘΑΛΗΣ. Σήμερα δεν δίνετε τις συνηθισμένες εξετάσεις. Συμμετέχετε σε έναν αγώνα του πνεύματος. Και μόνο η απόφασή σας για συμμετοχή είναι μια επιτυχία. Με την ευκαιρία αυτής μας της επικοινωνίας θα θέλαμε να σας πληροφορήσουμε για τα εξής : Στα περιοδικά της ΕΜΕ Ευκλείδης Α και Ευκλείδης Β δημοσιεύονται εκτός των άλλων θεμάτων ανά τάξη και θέματα με τις λύσεις τους από Διεθνείς Μαθηματικούς Διαγωνισμούς. Επίσης έχουν εκδοθεί βιβλία της ΕΜΕ με τα θέματα των Διεθνών Μαθηματικών Ολυμπιάδων, Βαλκανιάδων, Θεωρίας αριθμών και είναι υπό έκδοση βιβλίο με τα θέματα των Ελληνικών Διαγωνισμών. Στον κόμβο της ΕΜΕ στο διαδίκτυο στη διεύθυνση, υπάρχουν θέματα με τις λύσεις τους από παλαιότερους Εθνικούς και Διεθνείς διαγωνισμούς. Ακόμα σύντομα θα τοποθετηθούν και σημειώσεις σχετικές με απαραίτητες γνώσεις μαθηματικών θεωρίας και ασκήσεων επιπέδου διεθνών Διαγωνισμών Για τις εορτές των Χριστουγέννων και το νέο έτος το Δ.Σ. της ΕΜΕ σας εύχεται ολόψυχα χρόνια πολλά, προσωπική και οικογενειακή ευτυχία. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΓΙΑ ΤΟ Δ.Σ. ΤΗΣ Ε.Μ.Ε. Ο Πρόεδρος Καθηγητής Θεόδωρος Εξαρχάκος Ο Γενικός Γραμματέας Ιωάννης Τυρλής

2 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) ΑΘΗΝΑ Τηλ Fax: GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR Athens - HELLAS Tel Fax: ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 67 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 9 ΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 006 Β τάξη Γυμνασίου. Να υπολογίσετε την παράσταση: 54 Α= 64 (5 + ) 5 : :+ 6. Είναι δυνατόν ένα χαρτονόμισμα των 00 να ανταλλαγεί με 8 νομίσματα των και των 0 ;.Το 6% του αριθμού α 0 είναι ίσο με το 4% του αριθμού β. Να βρείτε την τιμή του κλάσματος. κ = 9α β 6α β 4. Στο παρακάτω σχήμα είναι ΑΒ = ΒΓ και η διχοτόμος Γ x της γωνίας ΑΓΔ ˆ είναι παράλληλη στην ΑΒ. Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

3 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) ΑΘΗΝΑ Τηλ Fax: GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR Athens - HELLAS Tel Fax: ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 67 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 9 ΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 006 Γ τάξη Γυμνασίου. Στο παρακάτω σχήμα να υπολογίσετε το x σε μοίρες γ. Αν α + β + = 0 και αβγ=0, τότε να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: γ Α= α ( α + ) ( α + β). Αν p είναι πρώτος αριθμός, να αποδείξετε ότι ο αριθμός 7p + είναι σύνθετος. 4. Να εξετάσετε αν υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί α,β διάφοροι του μηδενός, τέτοιοι ώστε 0 aβ + a β =. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

4 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) ΑΘΗΝΑ Τηλ Fax: GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR Athens - HELLAS Tel Fax: ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 67 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 9 ΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 006 Α τάξη Λυκείου. Η Α τάξη ενός Λυκείου έχει 5 τμήματα που το καθένα έχει τουλάχιστον 0 μαθητές. Σε καθένα από τους μαθητές των τμημάτων αυτών δίνουμε 0. Έτσι δώσαμε 090. Να αποδείξετε ότι δύο τουλάχιστον από τα τμήματα αυτά έχουν τον ίδιο αριθμό μαθητών. λ λx+ = λ + λx. Να λυθεί η εξίσωση ( ) για τις διαφορές πραγματικές τιμές της παραμέτρου λ.. Αν α, β, γ πραγματικοί αριθμοί διάφοροι του μηδενός να αποδείξετε ότι: 4. Σε τρίγωνο ΑΒΓ με α β γ α γ β β γ α γ β α Α >Β οι διχοτόμοι των γωνιών Α, Β τέμνονται στο Ι. Στην πλευρά ΑΒ παίρνουμε τμήμα ΒΔ = ΒΓ ΑΓ. Να αποδείξετε ότι : ΙΔ = ΙΑ. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

5 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) ΑΘΗΝΑ Τηλ Fax: GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR Athens - HELLAS Tel Fax: ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 67 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 9 ΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 006 Β τάξη Λυκείου. Να εξετάσετε αν η εξίσωση x (006κ + ) x+ 007 = 0 όπου κ, έχει δύο ακέραιες ρίζες.. Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓΔ με ΑΒ = 4, ΒΓ = και σημείο Μ στο εσωτερικό του με ΜΓ = και ΜΒ =. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΜΑΒ. 008 κ = Να αποδείξετε. Έστω ότι ο 0 διαιρεί τον κ. + > 9 4. α) Να αποδείξετε ότι : β) Να λύσετε την εξίσωση: 8 x+ x =. + ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) ΑΘΗΝΑ Τηλ Fax: GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR Athens - HELLAS Tel Fax: ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 67 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 9 ΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 006 Γ τάξη Λυκείου. Έστω συνάρτηση f : με την ιδιότητα f( f( x+ y)) = x f( y) για κάθε xy,. Να αποδείξετε ότι η h : με hx ( ) = f( x) + f( x) είναι σταθερή.. Να βρείτε τις ακέραιες λύσεις της εξίσωσης x x x 4x 0 + =. π. Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z, z και θ 0,. Να αποδείξετε ότι: z z + z + z + Re( zz) συν θ ημ θ. 4. Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα ΒΓ και τα σημεία Κ, Λ, Μ προς το ίδιο μέρος της ευθείας ΒΓ. ΒΚΓ ˆ = ΒΛΓ ˆ = ΒΜΓ ˆ, τότε να αποδείξετε ότι δύο Αν τουλάχιστον από τα γινόμενα ΚΒ ΚΓ, ΛΒ ΛΓ και ΜΒ ΜΓ είναι άνισα. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

7 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) ΑΘΗΝΑ Τηλ Fax: GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR Athens - HELLAS Tel Fax: ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 67 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 9 ΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 006 Λύσεις Β Γυμνασίου. Εκτελούμε τις πράξεις και βρίσκουμε Α= ( 44 :) :+ = ( ) :+ = 99 :+ = 9 + = 0. Επειδή ο 00 λήγει σε 0 και τα πολλαπλάσια του 0 λήγουν σε 0, θα πρέπει και ο αριθμός που εκφράζει τα νομίσματα των να λήγει σε 0. Άρα τα νομίσματα των θα είναι 5 ή 0 ή 5. Όμως παρατηρούμε ότι δεν μπορεί να είναι 5 ή 5. Άρα θα είναι 0. Πράγματι = 00.. Έχουμε: 6 4 α = β οπότε α = β. Έτσι έχουμε β β 6β β β κ = = = = 6 β β 4β β β 4. Αφού η Γx είναι διχοτόμος της γωνίας ΑΓΔ ˆ θα ισχύει = και αφού ω = φ. Επειδή Γx//ΑB θα ισχύει φ θ

8 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΛΥΣΕΙΣ ΑΒ=ΒΓ θα είναι θ = ρ. Άρα ω = φ = θ = ρ, και Άρα ω φ ρ = 80, οπότε ˆ ˆ ˆ 60 0 Α=Β=Γ=. ω = φ = ρ = Έχουμε Λύσεις Γ Γυμνασίου ˆ ˆ ΔΓΕ = ΑΓΒ = x x= x ˆ ˆ 0 0 ΔΕΓ = ΗΕΖ = 80 x 6x= 80 8x Έτσι, έχουμε, στο τρίγωνο ΓΔΕ: ˆ ˆ ˆ 0 ΔΓΕ + ΔΕΓ + Δ = 80 οπότε x+ 80 8x+ 5x= x= 80 0 x= 8. γ γ. Α= α ( β) ( ) = α 4β = α β γ = 4 = = = ( αβγ ) Έστω Α=7p+. Για p= έχουμε Α=7 +=55=5, ενώ για p o 7p είναι περιττός οπότε ο Α είναι άρτιος.

9 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΛΥΣΕΙΣ 4. Αν υπήρχαν τέτοιοι αριθμοί τότε 0 aβ + a β = 9, οπότε 9 00 a β + a β + 0 = 9 οπότε a β + a β = 9 0=, πουδεν ισχύει. 4 9 ΛΥΣΕΙΣ Α τάξη Λυκείου. Έστω ότι α,β,γ,δ,ε είναι οι αριθμοί των μαθητών των πέντε αυτών τμημάτων. Έτσι έχουμε: 0( α + β + γ + δ + ε) = 090 α + β + γ + δ + ε = 09 () Έστω ότι οι αριθμοί των μαθητών των τμημάτων αυτών είναι ανά δύο διαφορετικοί και έστω ότι: α και α,β,γ,δ,ε α < β < γ < δ < ε. Επειδή 0 φυσικοί έχουμε: β > α 0 β > 0 β γ > β γ > γ δ > γ δ > δ ε > δ ε > ε 4

10 4 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΛΥΣΕΙΣ Συνεπώς α + β + γ + δ + ε 0, άτοπο λόγω της (). Άρα, δύο τουλάχιστον από τα τμήματα αυτά έχουν τον ίδιο αριθμό μαθητών.. Η εξίσωση γράφεται: λ x λ λ λx λ λ λ λ x + = + x x= ( ) λ λ λ λ = ( ) λ λ λ λ λ ή λ = 0 = 0 = 0 =. Αν λ=0 είναι αδύνατη. Αν λ= είναι αόριστη. Αν λ 0 και λ τότε λ λ x = λ λ ( λ )( λ+ ) λ+ x= x= λ λ λ ( ) ( ). Η ανίσωση γράφεται: α β γ α γ β α γ β , β γ α γ β α γ β α α β γ α γ β + + 0, αρκεί β γ α γ β α αρκεί

11 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΛΥΣΕΙΣ 5 α β β γ γ α + + β γ γ α α β η οποία ισχύει. 0, 4. Αν ΓΕ=α τότε ΑΕ=α-β=ΒΔ και ΓΙ η τρίτη διχοτόμος. Δ Δ Έχουμε ΙΓΕ = ΙΓΒ Λ Λ Ε = Β, ΙΕ=ΙΒ. Δ Δ Άρα ΙΑΕ = ΙΒΔ άρα ΙΑ=ΙΔ. Γ = Γ διότι ΙΓ=ΙΓ, ΓΕ=ΓΒ και Λ Λ Λ διότι ΒΔ=ΑΕ, ΙΕ=ΙΒ και Ε =Β = Β Β τρόπος Αρκεί το Ι να ανήκει στη μεσοκάθετο του ΑΔ. Αν δηλαδή ΙΚ ΑΔ, αρκεί ΚΑ=ΚΔ. Πράγματι ΚΑ=τ α και ΚΔ= ΒΚ ΒΔ = τ β (α β) = τ α =τ α, αφού τ>α. Λ Λ άρα,

12 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΛΥΣΕΙΣ. Αν x, x οι ρίζες, τότε ΛΥΣΕΙΣ Β τάξη Λυκείου x+ x = 006κ + () και x x 007 () =. Από την () προκύπτει ότι οι x, x θα είναι περιττοί. Αλλά τότε το άθροισμα τους x+ x θα είναι άρτιος, οπότε δεν θα ισχύει η ().. ( ) Παρατηρούμε ότι + = 4= οπότε το τρίγωνο ΜΒΓ είναι ορθογώνιο στο Μ. Επειδή οπότε Λ ΒΓ έχουμε Λ ΜΓ = ΜΒΓ = Λ και , ΜΓΒ = ΜΓΔ = Έστω

13 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΛΥΣΕΙΣ 7 κ ΜΜ ΔΓ, τότε εμβαδόν του MB. Είναι β τρόπος Δ ΜΑΒ είναι = BΓ ΒΗ οπότε ΜΜ = άρα Ε = 4 =.. υ = =. Το = υ άρα υ= = (+ + + ) + (+ + + ) (+ + + ) = = 0( ) = πολ.0 4. α) Από τη γνωστή ανισότητα: β θετικοί με α Οπότε Αρκεί λοιπόν β, έχουμε: α + β + 6 > = 6 + > 6. 6 > αβ όπου α, , ή 6 9, ή 84 6 που ισχύει.

14 8 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΛΥΣΕΙΣ λ = β) Αν 8 + τότε 9 λ = < < οπ τε λ < + Η εξίσωση για x 0 είναι ισοδύναμη με την x λx+ = 0 με Δ= 4( λ ) < 0. ό. Άρα η εξίσωση είναι αδύνατη. β τρόπος x λx+ = x λx+ λ λ + = = + > ( x λ) ( λ ) λ 0 ΛΥΣΕΙΣ Γ τάξη Λυκείου. Για x = 0 έχουμε f( f( y)) = f( y) για κάθε y. Για y = 0 έχουμε f( f( x)) = x f(0) για κάθε x. Άρα f( f( x)) = f( x) και f( f( x)) = x f(0), για κάθε x Επομένως f ( x) = x f(0) ή f ( x) = f (0) x () και f ( x) = f(0) + x (), για κάθε x Οπότε από τις () και () έχουμε: f( x) + f( x) = f(0), για κάθε x. Άρα η h είναι σταθερή.. Έστω ότι η εξίσωση έχει μια ακέραια λύση ρ. Τότε

15 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΛΥΣΕΙΣ 9 ρ + ρ ρ ρ 4ρ = 0 ( ρ) = 4ρ+ ρ 4ρ + 4ρ + = (αφού προφανώς ρ ) > 0 ρ ρ (4ρ + )( ρ ) < 0 < ρ < ρ { 0,, }. 4 Όπως βρίσκουμε εύκολα, οι αριθμοί ρ=0 και ρ= δεν είναι λύσεις της εξίσωσης. Ο αριθμός ρ= όμως είναι λύση της εξίσωσης. Άρα η εξίσωση έχει τη μοναδική λύση ρ=.. Επειδή ( ) + + Re = = + z z z z z z z z z z z z z z αρκεί να δείξουμε ότι: Πράγματι z z + z + z. συν θ ημ θ z z ( ) z z + = συν θ + ημ θ + ( z + z ) z + z συν θ ημ θ συνθ ημθ 4. Από την ισότητα ˆ ˆ ˆ τα Κ, Λ, Μ βρίσκονται στο ίδιο τόξο χορδής ΒΓ. Έστω ΒΚΓ = ΒΛΓ = ΒΜΓ έχουμε ότι ΒΚΓ=ΒΛΓ=ΒΜΓ= ˆ ˆ ˆ φ. Αν ΚΒ ΚΓ= ΛΒ ΛΓ= ΜΒ ΜΓ, τότε ΚΒ ΚΓ ημφ = ΛΒ ΛΓ ημφ = ΜΒ ΜΓημφ. ( ΚΒΓ ) = ( ΛΒΓ ) = ( ΜΒΓ) Αυτό σημαίνει ότι τα Κ, Λ, Μ θα βρίσκονται σε ευθεία παράλληλη στην ΒΓ, άτοπο αφού το μέγιστο πλήθος κοινών σημείων ευθείας και κύκλου είναι.