דף תרגילים תנועת מטען בשדה מגנטיות

Transcript

1 1 דף תרגילים תנועת מטען בשדה מגנטיות תנועת מטען בשדה מגנטי בלבד וחשמלי מסת פרוטון kg מסת אלקטרון kg גודל מטען האלקטרון/פרוטון c שאלה 1 שני חלקיקים בעלי מסה שווה אופקית וקבועה v. MA בקטע נעים במהירות התחלתית אזור א אזור ב חלקיק A טעון במטען שלילי Q- שגודלו לא ידוע ומטענו של חלקיק הוא q+. בהגיעם לנקודה A חודרים החלקיקים לאזור המחולק לשני חלקים כמתואר בתרשים. בשני החלקים שדות מגנטיים בעצמה שווה ובניצב למישור הדף, אך לא ידוע מה כיוונו של אף אחד מהם. המסלולים שמתקבלים עם כניסתם של החלקיקים לאזור השדה המגנטי מתוארים בתרשים. q,,, r, נתון כ r< ו v lql>q א. קבע איזה מבין שני המסלולים מתאר את תנועת חלקיק. הסבר. ב. קבע את כיוון השדה המגנטי באזור א'. קבע את כיוון השדה המגנטי באזור ב'. ג. בטא באמצעות הפרמטרים הנתונים (או באמצעות חלקם) את מסות החלקיקים ואת מטענו של חלקיק א. ד. בטא את זמן השהיה של החלקיק הנע באזור ב' בתוך תחומי האזור (התייחס לסימונים הגיאומטריים בתרשים). M A r A = = v A =v =v פתרון ידוע כי m A =m F Mag q = m = m א. כאשר החלקיק נכנס לאיזור השדה המגנטי, פועל עליו כוח מגנטי השווה בגודלו ל F = q = q sinα = q Mag α = 9 כיוון שכוח זה כיוונו בניצב למהירות בכל רגע נתון, זהו כוח רדאלי. m = q כיוון שלשני החלקיקים אותה מסה ואותה מהירות וגודל השדה המגנטי זהה, לחלקיק שיש מטען יותר גדול רדיוסו יהיה יותר קטן. מתוך הנתון אנו רואים שהרדיוס הגדול יותר נמצא באיזור ב והוא שייך לחלקיק בעל גודל המטען הקטן יותר, כלומר חלקיק נע באיזור ב'. ב. כיוון הכוח המגנטי הפועל על חלקיק חיובי יהיה בתהאם לכלל הבורג, כיוון שחלקיק A שלילי והכוח המגנטי פועל עליו כלפי מעלה ברגע שנכנס כיוון השדה חייב להיות יוצא מהדף. באיזור א השדה יוצא מהדף. באיזור ב' נכנס חלקיק חיובי ופועל עליו כוח כלפי מטה, לכן גם באיזור זה השדה יוצא מהדף, F עפ"י כלל הבורג.

2 = m q ג. בסעיף א פיתחנו את הנוסחה m A = m = q ממנה נוכל לתת ביטוי למסה q ma = m = = Q = q r rq ולמצוא את מטענו של A ד. באיזור ב' נע החלקיק רבע זמן מחזור לכן: t 1 1 π π = T = = 4 4 v. 3.A v. 3 F Mag.A 6 שאלה פרוטון נכנס במהירות של 11 6 m/s בזווית של 3 לאיזור ובו שדה מגנטי מאונך ואחיד השווה ל.T בנקודה. A לאחר זמן מה מגיע הפרוטון לנקודה. א. מהו המרחק?A ב. מהו הזמן שלוקח לפרוטון להגיע מנקודה A לנקודה? פתרון כאשר הפרוטון נכנס בנקודה A פועל עליו כוח מגנטי בניצב למהירות ומכוון בזוות 6 מתחת לאופק, כיוון הכוח ניצב למהירות בכל רגע נתון, לכן כיוון הכוח בכל רגע נתון מכוון אל מרכז המעגל שיוצר מסלול המטען גם כאשר הפרוטון מגיע אל נקודה הכוח המגנטי עדיין מכוון אל מרכז המעגל. מגיאומטריה נוצרת זווית מרכזית השווה ל, 6 כיוון שהרדיוסים תוכמים משולש עם הצלע A הרי נוצר משולש שווה שוקים. ולכן הצלע A שווה לרדיוס הסיבוב. נמצא את רדיוס הסיבוב. m = m q sin 9 = m = q 7 6 mp A = = = =.5m 19 q

3 3 שאלה 3 P Q חלקיקים בעלי מסה m ומטען, q נעים באלומה צרה במהירויות שונות שגודלן משתנה בין.8v o לבין v. o האלומה חודרת לשדה מגנטי אחיד המכוון בניצב לכיוון תנועת החלקיקים. השדה פועל אך ורק בתוך התחום המסומן בתרשים. החלקיקים המהירים ביותר באלומה נעים לאורך רבע מעגל ועוזבים את השדה המגנטי בנקודה P והאיטיים יותר עוזבים את השדה בנקודה Q. הנח כי תנועת החלקיקים מושפעת מהשדה המגנטי בלבד. הבע את תשובותיך באמצעות,q.,m, v o א. מהו סוג המטען של החלקיקים באלומה (חיובי או שלילי)? נמק. ב. מהו היחס בין הרדיוס של מסלול החלקיקים המהירים לרדיוס מסלול החלקיקים האיטיים? ג. מהי הזוית בין כיוון התנועה של החלקיקים המהירים ביותר לבין כיוון התנועה של החלקיקים האיטיים ביותר לאחר עזיבתם את השדה המגנטי? ד. האם משך השהייה של החלקיקים המהירים בשדה המגנטי ארוך יותר, קצר יותר או שווה למשך שהייתם של החלקיקים האיטים ביותר בשדה המגנטי? נמק. ה.חשב את משך השהייה של החלקיקים האיטיים ביותר בשדה המגנטי. פתרון א. עפ"י כלל הבורג כיוון הכוח שיפעל על מטען חיובי הנע שמאלה בשדה מגנטי הנכנס לדף צריך להיות בכיוון מטה וכיוון שמתוך השרטוט אנו רואים שהחלקיקים מוטים כלפי מעלה מדובר במטען שלילי. m = m q sin 9 = m = q ב. נמצא ביטוי כללי לרדיוס הסיבוב fast slow mv q = = 1.5 m.8v q P Q α fast slow. fast ג. מגיאומטריה נקבל mv.. fast q sinα = = =.5 m.8v slow q α = 14.5

4 4 הזווית בין כיוון התנועה של החלקיקים המהירים ביותר לבין כיוון התנועה של החלקיקים האיטיים ביותר לאחר עזיבתם את השדה המגנטי שווה ל 14.5 ד. נמצא ביטוי לזמן המחזור: π π m π m T = = = q q זמן המחזור אינו תלוי במהירות החלקיקים. כיוון שהמסלול של החלקיקים האיטיים ארוך יותר הרי זמן שהייתם ארוך יותר. ה. חישוב זמן שהייתם של החלקיקים האיטיים. זמן המחזור שווה לזמן שהיה לוקח לו החלקיקים היו עושים 36 אבל כיוון שהזווית המרכזית של הקשת שלהם שווה ל 14.5= קשת זו מהווה.9=14.4:36 מזמן המחזור לכן זמן השהייה. t=.9t π m π m t =.9 =.58 q q שאלה 4 חלקיק שמסתו m ומטענו q+ נכנס לאיזור בו יש שדה מגנטי אחיד במהירות שכיוונה יוצר זווית α עם השדה המגנטי. הכיוון של השדה α המגנטי הוא בכיוון ציר ה. ווקטור המהירות נמצא במישור הכניסה, ראה תרשים א'). ציר Z יוצא מהדף. (ברגע תרשים א' א. הסבר מדוע החלקיק מבצע תנועה לאורך מסלול בורגי כמתואר בתרשים ב' ב. כיצד היה משתנה מסלול התנועה אילו המטען היה שלילי? ג.חשב את אורך פסיעת המסלול הבורגי S (המרחק שהתקדם החלקיק לאורך השדה המגנטי בהשלימו סיבוב אחד) אם נתון : =.5T, = m/s, α =53, m=11.7*1-7 kg, q=1.6*1-19 c ד. חשב את עבודת הכוח המגנטי לאורך מסלולו הבורגי של החלקיק? נמק תרשים ב' פתרון א. אם נפרק את ווקטור המהירות לשני רכיבים, אחד בכיוון מקביל לשדה המגנטי והשני ניצב לשדה המגנטי ניתן יהיה לראות את תנועת המטען כצירוף של שתי תנועות בלתי תלויות. האחת בכיוון המקביל לשדה המגנטי שהיא תנועה קצובה והשנייה במישור הניצב לשדה המגנטי שהיא תנועה מעגלית. צירוף שתי התנועות הללו יוצר מסלול בורגי בכל פסיעה קבועה.

5 5 ב. אילו היה המטען שלילי ולא חיובי עדיין תתקבל תנועה בורגית שציר הסימטריהשלו מתלכד עם ווקטור השדה, אלא שכיוון הסיבוב היה הפוך לכיוון של החלקיק החיובי. אם עבור חלקיק חיובי הוא נע נגד כיוון השעון הרי עבור חלקיק שלילי הוא ינוע עם כיוון השעון. π π mv π m π m p = vt = v = v = v = v cosα v v q q q חלקיק שלילי חלקיק חיובי ג. פסיעת הבורג היא המרחק שחלקיק מתקדם בציר X במשך זמן מחזור אחד. בציר זה מהירותו קבועה בערכ ושווה ל v =vcosα נסמן את הפסיעה באות P p = cos( 53) = m = 7.7mm ד. עבודת השדה המגנטי שווה לאפס, כיוון שבכל רגע נתון הכוח המגנטי ניצב למסלול. ) הכוח משנה רק את כיוון המהירות אבל לא את גודלה) - e u α שאלה 5 אלומת אלקטרונים נכנסת בזווית 8=α (ראה איור) לתוך איזור בו שורר שדה מגנטי אחיד שעוצמתו 1.5X1= 3- T שכיוונו בכיוון ציר Y החיובי, במהירות. u=31 6 m/s o א. בתוך השדה המגנטי האלקטרונים נעים על גבי משטח גלילי דמיוני, לאורך מסלול בורגי. ציר הסימטריה של הגליל מקביל לאחד מצירי המערכת, איזה ציר זה? הסבר. ב. בסיס הגליל הדמיוני, מקביל לאחד המישורים, מיהו מישור זה, מהן הקואורינטות במישור זה של מרכז הבסיס? ג. באיזה מרחק ממישור XZ נמצא אלקטרון אשר נע במשך,.5T כאשר T מייצג זמן מחזור. פתרון א. ציר הסימטריה של הגליל מקביל לציר, Y כיוון שבכיוון זה רכיב המהירות נשאר קבוע בגודלו וכיוונו. ב. בסיס הגליל הדמיוני מקבלי למישור.XZ נמצא את רדיוס המעגל הדמיוני שמבצע האלקטרון.

6 6 רק רכיב המהירות בציר X מושפע מהשדה המגנטי, אשר גורם לו לבצע תנועה מעגלית. ( u sinα ) u u = m qu = m qusinα = m 31 6 mu sinα sin 8 = = =.11m = 11.mm 19 3 q עפ"י כלל הבורג מטען חיובי היה מתחיל לבצע תנוע מעגלית עם כיוון השעון לכן האלקטרון יתחיל לבצע תנועה =-11.mm = = מעגלית נגד כיוון השעון. מרכז המעגל נמצא בקואורדינטות הבאות : o(,,-11.mm) מרכז הבסיס. שאלה 6 גוף שמטענו nc נע בשדה מגנטי שכיוונו Z+ ועוצמתו.3T. ידוע שברגע מסוים רכיבי מהירותו היו:. =.41 4 m/s =71 4 m/s =-71 4 m/s א. מהם רכיבי הכוח שפעלו על הגוף ברגע הנתון. ב.חשב את הכוח השקול שפעל על הגוף. ג. הסבר מדוע מסלול הגוף בורגי ותאר את מסלולו. ד. מסת הגוף kg מהו רדיוס העקמומיות של מסלול הגוף? ה. חשב את פסיעת בורג המסלול. פתרון. F = א. כיוון שהכוח המגנטי מכוון בכיוון ציר, Z אין לו השפעה על רכיב המהירות בכיוון ציר זה עפ"י כלל הבורג ההשפעה של הכוח על רכיב המהירות בציר X היא בכיוון Y ושווה ל F q 1 = = = N עפ"י כלל הבורג ההשפעה של הכוח על רכיב המהירות בציר Y היא בכיוון X+ ושווה ל F q 1 = = = 4. 1 N רכיבי הכוח שפעלו על הגוף ברגע נתון : (, F(4.X X1-, 5- ב. הכוח השקול שווה בגודלו ל : F = F + F + F = (4. 1 ) + ( ) + F = N

7 7 α F כוח זה נמצא במישור ברביע הרביעי וכיוונו יוצר זווית 5 F tanα = = = F 4. 1 α = 18.9 מתחת לציר X החיובי. ג. את תנועת הגוף ניתן להרכיב משתי תנועות פשוטות המתרחשות בו זמנית. תנועה אחת היא תנועה במהירות קבועה, המתרחשת לאורך ציר Z השלילי, כיוון שלכוח השקול אין רכיב בציר זה, רכיב המהירות בציר זה נשמר בגודלו וכיוונו, התנועה השנייה היא תנועה מעגלית במישור, כיוון שהכוח ניצב בכל רגע נתון לרכיב המהירות במישור. XY שילוב שתי תנועות אלו יוצרות מסלול בורגי שצירו מקביל לציר Z ומתקדם בפסיעה קבועה בכיוון ציר Z השלילי. ( v v ) ( ) + ( ) = m = 8 1 =.98m ד.. רדיוס הסיבוב שווה ל 9.86cm ה. כדי לחשב את פסיעת הבורג, נחשב תחילה את זמן המחזור של התנועה המעגלית T π π = = = = s v v + v (.4 1 ) ( 7 1 ) עכשיו נחשב את הפסיעה 4 6 p = v T = =.58m מרחק הפסיעה שווה ל 58.cm

8 8 תנועת מטען בשילוב של שדה חשמלי ושדה מגנטי C שאלה 7 בשדה מגנטי אחיד, שעוצמתו וכיוונו "יוצא מן הדף", A O מצוי קבל טעון. בין לוחות הקבל A ו-, הניצבים למישור הדף, שורר שדה חשמלי אחיד שעוצמתו. אלומת חלקיקים נכנסת אל בין לוחות הקבל בניצב לשדות ו-. החלקיקים נעים בין הלוחות במסלול ישר, עוברים דרך G חריר O שבחיץ,CD ולאחר מכן פוגעים בחיץ בנקודה G D (ראה תרשים). מטענו של כל חלקיק הוא q ומסתו m. כוחות הכבידה הפועלים על החלקיקים ניתנים להזנחה. א. האם מטען החלקיקים הוא חיובי או שלילי? נמק. ב. מהי מהירות החלקיקים?. t π m = q ג. הראה שזמן התנועה מ- O ל- G נתון בביטוי: ד. האם לאחר מעבר החלקיק דרך החריר O משתנה: 1 תאוצת החלקיק? נמק. האנרגיה הקינטית של החלקיק? נמק. 3 התנע הקווי של החלקיק? נמק. פתרון: א. את סימן המטען נוכל למצוא רק מהחלק האחרון של התנועה, עפ"י כיוון התנועה המעגלית. עפ"י כלל יד ימין, על חלקיק חיובי הנע במהירות המכוונת ימינה בשדה מגנטי שכיוונו יוצא מהדף יפעל כוח בכיוון מטה ולכן החלקיק יבצע תנועה מעגלית עם כיוון השעון, עפ"י השרטוט ניתן לראות שאכן זאת התנועה שמתקבלת לכן מטען החלקיקים חיובי. ב. את גודל מהירות החלקיקים נמצא מתוך הקטע תנועה בקבל, כיוון שהם נעים בקו ישר, הרי שקול הכוחות הפועל עליהם שווה לאפס. הכוח המגנטי מבטל את הכוח החשמלי. = Felc q = q = t ג. ראשית נחשב את רדיוס הסיבוב: המטען עושה רק מחצית מסיבוב שלם לכן זמן תנועתו שווה ל m = m q = m = q 1 1 π π m π m = T = = = q q

9 9 ד 1. תאוצת החלקיק בגודלה נשמרת אבל כיוונה בכל רגע נתון משתנה ומכוון אל מרכז המעגל. משום שכיוון הכוח המגנטי ניצב בכל רגע נתון למהירות כוח זה גורם לשנות רק את כיוון המהירות אבל לא את גודלה.. האנרגיה הקינטית של החלקיק לא משתנה, כיוון שגודל המהירות נשאר קבוע. 3. התנע הקווי של החלקיק משתנה כיוון שווקטור המהירות משנה את כיוונו בכל רגע. שאלה 8 חלקיקים בעלי מטען 35µc ומסה.1gr נפלטים ממקור S u במהירויות שונות החלקיקים נכנסים אל בין לוחות קבל שבו פועלים שדה חשמלי אחיד /m ושדה מגנטי אחיד (T)6 כמוראה בתרשים. השדה המגנטי פועל על החלקיקים גם לאחר יציאתם מהקבל. d במרחק d מנקודת היציאה של החלקיקים מהקבל, נמצא נקב s קטן דרכו נכנסים החלקיקים אל תוך קבל שני בו לא פועל שדה מגנטי. על הקבל השני מופעל מתח עצירה. ניתן להזניח את כוח הכובד הפועל על החלקיקים. א. באיזו מהירות u נעים החלקיקים היוצאים מהקבל הראשון? ב. מהו המרחק? d ג. רוצים להקטין את המרחק d, אך ניתן לשנות אך ורק את עוצמות השדות ו ) ולא את מהירות החלקיקים) מה יש לעשות לשם כך? ד. עבור המצב שהמרחק d נשאר, מה צריך להיות ערכו המינימלי של המתח העוצר המופעל על הקבל השני, כדי שהחלקיקים הנכנסים לתוכו יעצרו לחלוטין? פתרון: א. מאחר והחלקיקים נעים בקו ישר הכוח החשמלי שווה ומנוגד לכוח המגנטי ) התמדה) ולכן: ב. הכח המגנטי מהווה כוח רדיאלי ולכן F = F qu = q u = Mag elc u = = =.33 m / s 6 mu d = = q u u mu = m qu = m = q

10 1 3 m m.1 1 d = = = =.3m 6 q q בסעיף הקודם מצאנו ביטוי למהירות, נציב אותו ג. כדי להקטין את d יש להגדיל את ואת באותה מידה! וזאת כדי לשמור על גודל המהירות. כמו שניתן לראות מהביטוי של d במכנה יש בריבוע, לכן הגדלת ו באותו גודל תגרום ל d להיות קטן יותר. ד. נדרוש שכל האנרגיה הקינטית תהפוך לאנרגיה חשמלית. mu mu m k = Uelc = q = = q q 3 m.1 1 = =.16 6 = q P P.. P שאלה 9 פרוטון נכנס במהירות 31 7 m/s במאונך לאיזור ובו שדה מגנטי אחיד של 1T ושדה חשמלי אחיד של 1N/c מקבילים זה לזה. א. מהי צורת התנועה של הפרוטון? ב. מהו רדיוס הסיבוב של הפרוטון? ג. מהי הפסיעה הראשונה? ד. מהי הפסיעה השנייה? a פתרון: א. השדה המגנטי גורם לפרוטון לתנועה מעגלית ואילו השדה החשמלי גורם לפרוטון להאיץ בכיוון השדה החשמלי, צירוף שתי התנועות הללו יוצר מסלול בורגי בעל פסיעה הולכת וגדלה בכיוון השדה החשמלי.

11 11 v v mv = m qu = m = q 7 7 mv = = =.313m 19 q ב. חישוב רדיוס התנועה ג. כדי לחשב את פסיעת הבורג, נחשב תחילה את זמן המחזור של התנועה המעגלית T T π π mv m = = = π v v q q = π = s נחשב את התאוצה שנוצרת מהשדה החשמלי 19 Felc q a = = = = m m עכשיו נוכל לחשב את הפסיעה הראשונה עפ"י הקשר (תנועה בתאוצה קבועה לאורך קו) ( ) p1 = vt + at = = m ד. את הפסיעה השנייה נחשב מהפרש העתקים של זמן מחזור אחד לזמן של שני זמני מחזור ( ) ( ) 4 4 p v T a T vt at = + + = 1 = m 1 m s

12 m/s במקביל לקווי השדה כמתואר בתרשימים. שאלה 1 בשלושה מקרים שונים נכנס אלקטרון במהירות של מקרה מקרה 1 מקרה 3 גודל השדה החשמלי 1N/c וגודל השדה המגנטי..1T א. מהי צורת המסלול ומהו סוג התנועה של האלקטרון בכל אחד משלושת המקרים המתוארים. במקרה אחר, האלקטרון נכנס שוב אל אותם אזורים אך הפעם כיוון המהירות יוצר זווית 3 עם כיוון השדות. ב. מהי צורת המסלול של האלקטרון הפעם בכל אחד מהמקרים? ג. לפחות באחר המצבים המתוארים האלקטרון נע בתנועה מעגלית, מהו רדיוס הסיבוב ומהו זמן המחזור של תנועה זו. ד. עבור המקרה השלישי, האם ייעצר האלקטרון? אם כן כמה סיבובים יעשה האלקטרון עד לעצירה זו ומהו המרחק שעבר האלקטרון בכיוון השדה עד לעצירה זו מקרה 1 מקרה מקרה 3

13 13 פתרון מקרה מקרה 1 מקרה 3 א. במקרה הראשון האלקטרון יבצע תנועה לאורך קו בתאוטה קבועה עד לעצירה רגעית ואז יחל לנוע חזרה בתאוצה קבועה. גודל התאוצה והתאוטה שווים. במקרה השני יבצע האלקטרון תנועה במהירות קבועה לאורך קו ישר המקביל לקווי השדה המגנטי. במקרה השלישי האלקטרון יבצע אותה תנועה של המקרה הראשון מקרה מקרה 1 מקרה 3 ב. במקרה הראשון האלקטרון יבצע מסלול בליסטי. בציר הניצב לשדה החשמלי, רכיב המהירות ישמור על גודלו וכיוונו ואילו בציר המקביל לשדה החשמלי האלקטרון מבצע תאוטה עד לעצירה רגעית ולאחר מכן נע נגד כיוון השדה בתאוצה קבוע, שילוב של שתי התנועות יחד יוצר מסלול בליסטי ) כמו זריקה בזווית) במקרה השני, יבצע האלקטרון תנועה בורגית בפסיעה קבועה. ציר הבורג מקביל לקווי השדה המגנטי. מישור התנועה המעגלית ניצב לקווי השדה וכיוון התנועה המעגלית נגד כיוון השדה. במקרה השלישי יבצע האלקטרון שילוב של שתי תנועות: תנועה מעגלית במישור הניצב לקווי השדה ותנועה בתאוטה קבועה עד עצירה רגעית ולאחריה בתנועה בתאוצה קבועה בכיוון הפוך לקווי השדה. שילוב זה יוצר תנועה בורגית ברדיוס קבועה ופסיעה משתנה בהתחלה הולכת וקטנה בכיוון השדה ולאחר מכן הולכת וגדלה בכיוון הפוך לקווי השדה. ג. גם במקרה וגם במקרה 3 לאלקטרון תנועה מעגלית שרדיוסה שווה ל ( ) sin 3 m sin 3 = m q sin 3 = m = q m = = = q sin sin m

14 14 נחשב את זמן המחזור: T 31 π π m π m = = = = = q q s ד. האלקטרון יעצר רגעית כאשר רכיב מהירותו בכיוון השדה החשמלי יתאפס, נמצא זמן זה. נחשב את התאוטה: 19 Felc q a = = = = m m m s v = v at = נחשב תוך כמה זמן ייעצר: 6 v cosα 5 1 cos 3 t = = = a s נמצא כמה סיבובים יספיק לעשות האלקטרון עד שייעצר רגעית 8 t.46 1 n = = = 69 1 T והמרחק שעבר האלקטרון בכיוון השדה עד שנעצר. ( ) = v t at 5 1 cos = =.53m