Γυμνάσιο-Ημερήσιο & Εσπερινό ΓΕ.Λ. Πανελλαδικών

Transcript

1 Διδακτέα ύλη Οδηγίες Διδασκαλίας και διαχείρισης της ύλης Γυμνάσι-Ημερήσι & Εσπερινό ΓΕ.Λ. Πανελλαδικών Σχλικός Σύμβυλς Μαθηματικών Καραγιάννης Ιωάννης

2 Πρόλγς Τ παρόν αρχεί απτελείται από την διδακτέα ύλη και τις δηγίες διδασκαλίας και διαχείρισης της διδακτέας ύλης σε όλες τις τάξεις τυ Γυμνασίυ, τυ Ημερησίυ και Εσπερινύ Γενικύ Λυκείυ όπως δόθηκαν από τ Ινστιτύτ Εκπαιδευτικής Πλιτικής (Ι.Ε.Π.) κατά τ τρέχν Σχλικό Έτς Εκτιμώ ότι αυτή η ενπίηση αυτή θα ργανώσει και θα διευκλύνει τ έργ των διδασκόντων.

3 Ψηφιακά υπγεγραμμέν από ANASTASIA PASCHALIDOU Ημερμηνία: :35:3 EEST ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ Βαθμός Ασφαλείας: Να διατηρηθεί μέχρι: Βαθ. Πρτεραιότητας: Αθήνα, Αρ. Πρωτ. ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ, ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ΠΡΟΣ: ----Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέυ 37 Τ.Κ. Πόλη: Μαρύσι Ιστσελίδα: Πληρφρίες: Α. Πασχαλίδυ B. Πελώνη Τηλέφων: ΚΟΙΝ.: /Δ Περιφερειακές Δ/νσεις Εκπ/σης Σχλ. Συμβύλυς Δ.Ε. (μέσω των Περιφερειακών Δ/νσεων Εκπ/σης) Δ/νσεις Δ/θμιας Εκπ/σης Γυμνάσια (μέσω των Δ/νσεων Δ/θμιας Εκπ/σης) Ινστιτύτ Εκπαιδευτικής Πλιτικής ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηματικών στ Γυμνάσι για τ σχλ. έτς Σχετ.: Τ με αρ. πρωτ. εισ. ΥΠ.Π.Ε.Θ / έγγραφ Μετά από σχετική εισήγηση τυ Ινστιτύτυ Εκπαιδευτικής Πλιτικής (πράξη 36/ τυ Δ.Σ) σας απστέλλυμε τις παρακάτω δηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηματικών στις Α, Β, Γ τάξεις Ημερησίυ και Εσπερινύ Γυμνασίυ για τ σχλικό έτς ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ-ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ Μαθηματικά Α Τάξης Γυμνασίυ Ι. Διδακτέα ύλη Από τ βιβλί «Μαθηματικά Α Γυμνασίυ» των Ιωάννη Βανδυλάκη, Χαράλαμπυ Καλλιγά, Νικηφόρυ Μαρκάκη, Σπύρυ Φερεντίνυ. ΜΕΡΟΣ Α Κεφ. 1: Οι φυσικί αριθμί 1.4 Ευκλείδεια διαίρεση Διαιρετότητα 1

4 1.5 Χαρακτήρες διαιρετότητας Μ.Κ.Δ. Ε.Κ.Π. Ανάλυση αριθμύ σε γινόμεν πρώτων παραγόντων Κεφ. : Τα κλάσματα Η έννια τυ κλάσματς Ισδύναμα κλάσματα Σύγκριση κλασμάτων Πρόσθεση και Αφαίρεση κλασμάτων Πλλαπλασιασμός κλασμάτων Διαίρεση κλασμάτων Κεφ. 3: Δεκαδικί αριθμί Δεκαδικά κλάσματα, Δεκαδικί αριθμί, Διάταξη δεκαδικών αριθμών, Στργγυλπίηση Μνάδες μέτρησης Κεφ. 4: Εξισώσεις και πρβλήματα 4.1 Η έννια της εξίσωσης Οι εξισώσεις: α x β, x α β, α x β, α x β, α : x β και x : α β (χωρίς τις έννιες της ταυτότητας και της αδύνατης εξίσωσης ). Επίλυση πρβλημάτων. Παραδείγματα επίλυσης πρβλημάτων. Κεφ. 5: Πσστά Πσστά Πρβλήματα με πσστά Κεφ. 7: Θετικί και Αρνητικί Αριθμί Θετικί και Αρνητικί Αριθμί (Ρητί αριθμί) Η ευθεία των ρητών Τετμημένη σημείυ Απόλυτη τιμή ρητύ Αντίθετι ρητί Σύγκριση ρητών Πρόσθεση ρητών αριθμών Αφαίρεση ρητών αριθμών Πλλαπλασιασμός ρητών αριθμών Διαίρεση ρητών αριθμών Δεκαδική μρφή ρητών αριθμών Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό ΜΕΡΟΣ Β Κεφ. 1:Βασικές γεωμετρικές έννιες Σημεί Ευθύγραμμ τμήμα Ευθεία Ημιευθεία Επίπεδ Ημιεπίπεδ Γωνία Γραμμή Επίπεδα σχήματα Ευθύγραμμα σχήματα Ίσα σχήματα Μέτρηση, σύγκριση και ισότητα ευθυγράμμων τμημάτων Απόσταση σημείων Μέσ ευθυγράμμυ τμήματς Πρόσθεση και αφαίρεση ευθυγράμμων τμημάτων Μέτρηση, σύγκριση και ισότητα γωνιών Διχτόμς γωνίας Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες Εφεξής και διαδχικές γωνίες Άθρισμα γωνιών Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατακρυφήν γωνίες Θέσεις ευθειών στ επίπεδ Απόσταση σημείυ από ευθεία Απόσταση παραλλήλων Κύκλς και στιχεία τυ κύκλυ Επίκεντρη γωνία Θέσεις ευθείας και κύκλυ Κεφ. : Συμμετρία

5 Συμμετρία ως πρς άξνα Άξνας συμμετρίας Μεσκάθετς ευθυγράμμυ τμήματς Συμμετρία ως πρς σημεί Κέντρ συμμετρίας Παράλληλες ευθείες πυ τέμννται από μία άλλη ευθεία Κεφ. 3: Τρίγωνα Παραλληλόγραμμα Τραπέζια Στιχεία τριγώνυ Είδη τριγώνων Άθρισμα γωνιών τριγώνυ Ιδιότητες ισσκελύς τριγώνυ Παραλληλόγραμμ Ορθγώνι Ρόμβς Τετράγων Τραπέζι Ισσκελές τραπέζι Ιδιότητες Παραλληλγράμμυ Ορθγωνίυ Ρόμβυ Τετραγώνυ Τραπεζίυ Ισσκελύς τραπεζίυ ΙΙ. Διαχείριση Διδακτέας ύλης Οι παρακάτω δηγίες έχυν στόχ να παρυσιάσυν κάπιες σημαντικές πλευρές για κάθε ενότητα και έτσι να υπστηρίξυν τν εκπαιδευτικό ώστε να σχεδιάσει τη διδασκαλία τυ και να επιλέξει υλικό. Η κατανμή των διδακτικών ωρών πυ πρτείνεται είναι ενδεικτική. Μέσα σε αυτές τις ώρες περιλαμβάνεται χρόνς πυ θα χρειαστεί για ανακεφαλαιώσεις, γραπτές δκιμασίες, εργασίες κ.λπ. Οι δραστηριότητες πυ περιέχνται είναι ενδεικτικές και πρέρχνται από τ πρόγραμμα σπυδών για τ γυμνάσι και τν δηγό τυ εκπαιδευτικύ, τα πία είναι συμπληρωματικά πρς τα ισχύντα και μπρύν να ανακτηθύν από τν ιστότπ τυ ψηφιακύ σχλείυ: ( Ταυτόχρνα κατεβλήθη πρσπάθεια ι δηγίες να εξειδικευθύν ανά παράγραφ με συγκεκριμένες διδακτικές πρτάσεις πυ λαμβάνυν υπόψη τη συνχή και εξέλιξη των διδασκόμενων εννιών και μεθόδων, την ανάδειξη των σημαντικών ιδεών καθώς και τη διδακτική πρακτική. ΜΕΡΟΣ Α Κεφάλαια 1,, 3 (Φυσικί αριθμί, Κλάσματα, Δεκαδικί) Στ Δημτικό έχυν διδαχθεί τόσ ι έννιες όσ και ι διαδικασίες πυ αναφέρνται στα κεφάλαια αυτά. Έτσι, η διδασκαλία στην Α Γυμνασίυ πρέπει να έχει δύ στόχυς: 1. Tην επανάληψη υπενθύμιση εννιών και διαδικασιών και. Tην εμβάθυνση σε κάπιες πλευρές πυ κρίννται σημαντικές για την περαιτέρω ανάπτυξη των μαθηματικών εννιών. Πι συγκεκριμένα πρέπει να έχει ως στόχυς: Την αντιμετώπιση εμπδίων και δυσκλιών πυ συναντύν ι μαθητές (π.χ. τ γινόμεν δύ αριθμών είναι πάντα μεγαλύτερ από τυς παράγντές τυ, ι δεκαδικί αριθμί είναι άλλ είδς αριθμών απ ό,τι τα κλάσματα). Την ανάπτυξη των ικαντήτων των μαθητών να χρησιμπιύν αναπαραστάσεις και να μεταβαίνυν από τ ένα είδς στ άλλ (π.χ. αναπαράσταση στην ευθεία των αριθμών, ι γεωμετρικές αναπαραστάσεις των κλασμάτων, ι δεκαδικί και τα δεκαδικά κλάσματα, αλλά και τα πσστά, ως διαφρετικές αναπαραστάσεις των ίδιων αριθμών ή μεγεθών). Την εμβάθυνση σε ιδιότητες των πράξεων και αλγριθμικών διαδικασιών πυ υπστηρίζυν τη μετάβαση από την αριθμητική στην Άλγεβρα (π.χ. επιμεριστική και αντιμεταθετική ιδιότητα, η αφαίρεση ως αντίστρφη πράξη της πρόσθεσης κτλ.). Την εισαγωγή αλγεβρικών συμβόλων και τη νηματδότησή τυς μέσα από την ανάγκη διατύπωσης σχέσεων και ιδιτήτων (π.χ. ιδιότητες πράξεων), από την ανάγκη περιγραφής πρβλημάτων ή πστήτων πυ είναι λεκτικά διατυπωμένες (π.χ. άσκηση 1 της 4.1), από την παραγωγή αλγεβρικών εκφράσεων πυ περιγράφυν γεωμετρικά ή αριθμητικά μτίβα (π.χ. άσκηση 15 της 4.1). Με βάση τα παραπάνω, πρτείνεται να αφιερωθύν 0 ώρες για τα τρία πρώτα κεφάλαια. Εξάλλυ, ι μαθητές θα έχυν και στ 7 κεφάλαι την ευκαιρία να ασχληθύν με τις πράξεις και να βελτιώσυν την ευχέρειά τυς σε αυτές. Η ενασχόληση με τα τρία πρώτα κεφάλαια για μεγάλ διάστημα δεν εξασφαλίζει την αντιμετώπιση των δυσκλιών. 3

6 Κεφάλαι 1 (Να διατεθύν 8 ώρες) Κρίνεται σκόπιμ πριν την διδασκαλία των 1.4 και 1.5 να διατεθύν 3 ώρες για την διδασκαλία των παραγράφων 1.1 και 1., με τρόπ πυ να ανταπκρίνεται στις ανάγκες της μετάβασης των μαθητών από τ Δημτικό στ Γυμνάσι. Ενδεικτικά πρτείνεται να διδαχθύν: Δραστηριότητα 1 σ.11 Ασκήσεις 3, 4, 5 σ.13. Δραστηριότητα 1 σ. 14. (Δίνεται κενός πίνακας και συμπληρώνεται στην τάξη). Δραστηριότητα 3 σ. 14. (Μπρεί να ζητηθύν και εμβαδά άλλων σχημάτων πχ τυ ρθγωνίυ πυ περικλείει τ σχήμα). Παραδείγματα 1,, 3 σ. 16 Ιστρικό σημείωμα σ. 17 (μπρύν να ζητηθύν και άλλα αθρίσματα όπως τ ). Εφαρμγές, 3 σ.16. Άσκηση 11 σ. 18. Για τις 1.4 και 1.5 να δθεί έμφαση στα παρακάτω: Ταυτότητα της Ευκλείδειας Διαίρεσης και χρήση των εννιών «διαιρεί», «πλλαπλάσι». Κριτήρια διαιρετότητας, ανάλυση ενός αριθμύ σε γινόμεν πρώτων παραγόντων και εύρεση Ε.Κ.Π. και Μ.Κ.Δ. Λεκτικά πρβλήματα πυ υπάρχυν στ σχλικό βιβλί. Αναλυτικότερη επεξεργασία των Ε.Κ.Π. και Μ.Κ.Δ. θα γίνει στην. Ενδεικτική δραστηριότητα 1: Ο Αντρέας παίζει πδόσφαιρ κάθε 4 ημέρες, Μιχάλης κάθε 5 ημέρες και Μαρίνς κάθε 8 ημέρες. Αν σήμερα παίζυν πδόσφαιρ και ι τρεις μαζί, τότε να υπλγίσετε μετά από πόσες ημέρες θα συμβεί τ ίδι για δεύτερη φρά. [Σχόλι: Ο στόχς είναι η χρήση τυ ΕΚΠ σε ένα ρεαλιστικό πρόβλημα. Η επίλυση τυ πρβλήματς από τυς μαθητές μπρεί να στηρίζεται σε διαισθητικές πρσεγγίσεις (πχ κάπι σχήμα) ή σε εύρεση των πλλαπλασίων τυ 4, τυ 5 και τ 8. Αυτές ι πρσεγγίσεις μπρύν να αξιπιηθύν για την ανάδειξη της έννιας τυ ΕΚΠ] Ενδεικτική δραστηριότητα : Η δραστηριότητα στην 1.4 τυ σχλικύ βιβλίυ, μπρεί να γίνει με πι διερευνητικό τρόπ, με τη χρήση ψηφιακών εργαλείων, όπως με τ δόμημα «Πειράματα με τη διάταξη μαθητών», στ Φωτόδεντρ: Αναλυτικότερες πληρφρίες για την εφαρμγή και τις δραστηριότητες πυ μπρεί να εμπλέξει τυς μαθητές εκπαιδευτικός, υπάρχυν σε σύνδεσμ στ κάτω μέρς της εφαρμγής. Κεφάλαι (Να διατεθύν 9 ώρες) Να δθεί έμφαση στα παρακάτω: Έννια κλάσματς και ι διαφρετικές πτυχές της όπως μέρς τυ όλυ, πηλίκ και λόγς (ι εισαγωγικές δραστηριότητες της.1, ασκήσεις 1,, 3, σελ. 36, δραστηριότητα, σελ. 37 και πρβλήματα αναγωγής στη μνάδα). Ισδύναμα κλάσματα και μετατρπές τυς Σύγκριση κλασμάτων μέσα από διαφρετικύς τρόπυς (μετατρπή σε μώνυμα, χρήση γεωμετρικών αναπαραστάσεων, χρήση πρσεγγιστικών μεθόδων π.χ. σύγκριση με τη μνάδα ή με ένα τρίτ αριθμό) Διαδικασίες πυ συνδένται εμμέσως με την έννια της πυκνότητας των ρητών (να επεκταθεί τ παράδειγμα 4 στην.3 στην περίπτωση παρεμβλής περισσότερων τυ ενός κλασμάτων). Ανάγκη μετατρπής ετερώνυμων κλασμάτων σε μώνυμα στην περίπτωση της πρόσθεσης και αφαίρεσης, χρησιμπιώντας ασκήσεις πράξεων απλών κλασμάτων με παρνμαστές μέχρι τ 4

7 10. Έννια των πράξεων στα κλάσματα και η εφαρμγή τυς στην επίλυση πρβλημάτων (π.χ. ότι η έκφραση «τα 3 3 τυ» απδίδεται αριθμητικά με τν πλλαπλασιασμό, ότι ι αντίστρφι αριθμί είναι αυτί πυ έχυν γινόμεν τη μνάδα, ότι τ άθρισμα και η διαφρά κλασμάτων αναφέρεται στ ίδι όλ, ότι τα σύνθετα κλάσματα εκφράζυν τη διαίρεση κλασμάτων) Παραστάσεις και πρτεραιότητα πράξεων Διαφρετικές αναπαραστάσεις κλασμάτων (ευθεία, γεωμετρικά σχήματα) ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΔΙΑΧΕΙΡΗΣΗΣ ΑΝΑ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟ.1 Δραστηριότητες 1,, 3, 4 σ. 34. Εφαρμγές 1,, 3 σ Ασκήσεις 4, 5, 8, 9 σ Δραστηριότητα σ. 38 Παράδειγμα 1 β) και μετά 1 α) σ. 39. Παραδείγματα, 3 σ. 39. Ασκήσεις, 5, 7, 10 σ Δραστηριότητες 1, σ. 41. Παραδείγματα 1,, 3, 4, σ. 4 Ασκήσεις, 3, 4, 8, 9 σ Δραστηριότητες 1,,3 σ. 44. Παραδείγματα 1, 3, 6 σ Ασκήσεις 1,, 5, 7, 8 σ Για την εισαγωγή τυ πλλαπλασιασμύ κλασμάτων μπρεί να χρησιμπιηθεί τ ακόλυθ διάγραμμα και βρεθύν τα γινόμενα και Παραδείγματα 1 (να γίνει και με απλπίηση), σ. 48 και άσκηση 9 Ασκήσεις, 3, 4, 8 Παραδείγματα 1, σ. 50 Ασκήσεις, 4, 6, 7, 8, 9 5

8 Ενδεικτική δραστηριότητα 1: Υπλγίζντας την αριθμητική παράσταση , τ σωστό απτέλεσμα είναι: α) 9,5 β) 10,5 γ) 1 δ) 15 ε) άλλ. [Σχόλι: Κάθε άλλη απάντηση από τη σωστή (β) πρκύπτει από λανθασμένη χρήση της πρτεραιότητας των πράξεων. Έτσι, αυτή η δραστηριότητα μπρεί να χρησιμπιηθεί και για την αξιλόγηση των δεξιτήτων των μαθητών και την ανατρφδότηση της διδασκαλίας, με αναλυτική συζήτηση στην τάξη.] Ενδεικτική δραστηριότητα : Η κατανόηση της έννιας των ισδύναμων κλασμάτων μπρεί να διευκλυνθεί με τη χρήση ψηφιακών εργαλείων, όπως με τ δόμημα «Ισδύναμα κλάσματα» τυ Φωτόδεντρυ: Αναλυτικότερες πληρφρίες για την εφαρμγή και τις δραστηριότητες πυ μπρεί να εμπλέξει τυς μαθητές εκπαιδευτικός, υπάρχυν σε σύνδεσμ στ κάτω μέρς της εφαρμγής. Κεφάλαι 3 (Να διατεθύν 4 ώρες) Θα διδαχθύν ι 3.1 και 3.5. Να δθεί έμφαση στα παρακάτω: Ότι ι δεκαδικί και τα δεκαδικά κλάσματα είναι διαφρετικές αναπαραστάσεις των ίδιων αριθμών Στη διαδικασία σύγκρισης δεκαδικών αριθμών και την τπθέτησή τυς στην ευθεία των πραγματικών αριθμών. Σε επιλεγμένα πρβλήματα να επιδιώκεται η χρήση υπλγιστή τσέπης και, μέσω αυτής της χρήσης, να αναδεικνύεται η πρτεραιότητα των πράξεων. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΔΙΑΧΕΙΡΗΣΗΣ ΑΝΑ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟ 3.1 Δραστηριότητα 4 σ. 57 Παραδείγματα 1 (εδώ θα γίνει αναφρά στην περιδικότητα (σ ),, 3, 4, 5 σ. 58 Επίσης ως εφαρμγές ι ασκήσεις 1, 4, 11 σ. 61. Ως εργασία για τ σπίτι μπρύν να δθύν ι ασκήσεις 3, 5, 6 σ. 61 ενώ η άσκηση σ. 61 μπρεί να λυθεί με υπλγιστή Δραστηριότητα 3. σ. 64 Παραδείγματα 1,, 3 σ. 66 Ασκήσεις 6, 7, 8, 11, 1 σ. 67 Κεφάλαι 5 (Να διατεθύν 6 ώρες) Για διδακτικύς λόγυς, ι πίι μεταξύ άλλων θα εξασφαλίσυν και ικνμία χρόνυ, πρ τείνεται τ 5 Κεφάλαι να διδαχθεί αμέσως μετά τ 3, πρκειμένυ: Να αναδειχθεί τ πλαίσι πλλαπλών αναπαραστάσεων πυ υλπιύν ι δεκαδικί, τα κλάσματα και τα πσστά. Να αναδειχθεί μέσω παραδειγμάτων η έννια της αναλγίας, την πία έχυν διδαχθεί στην ΣΤ Δημτικύ, πυ ι παραπάνω όρι υπστηρίζυν στα πρβλήματα και τις εφαρμγές. Η έννια τυ πσστύ και πρβλήματα με πσστά έχυν διδαχθεί στ Δημτικό. Τ καινύρι πυ υπάρχει στην ύλη αυτύ τυ Κεφαλαίυ είναι τ πλαίσι των πρβλημάτων (π.χ. πρβλήματα με τόκυς, Φ.Π.Α.). 5.1 (Να διατεθύν ώρες) Να δθεί έμφαση στα πσστά ως διαφρετική αναπαράσταση των δεκαδικών και των κλασμάτων, αλλά και να επισημανθεί τ γεγνός ότι δεν γράφνται όλα τα κλάσματα με ακρίβεια στη μρφή 6

9 πσστύ (π.χ. ενώ 3 1 0,75 75%, ισχύει 0, ,33...% ). Να δθεί πρτεραιότητα σε 4 3 ασκήσεις μετατρπής πσστών σε κλάσματα και δεκαδικύς και αντίστρφα, καθώς και σε απλά πρβλήματα. ΠΡΟΤΕΙΝΟΝΤΑΙ: Δραστηριότητες 1, σ. 80 Παράδειγμα 3 σ. 81 Ασκήσεις 4, 5, 6 σ (Να διατεθύν 3 ώρες) Επειδή πλλά από τα πρβλήματα πυ περιέχνται στ σχλικό βιβλί είναι δύσκλα, για να εμπλακύν με τη λύση τυς όλι ι μαθητές, εκπαιδευτικός πρέπει να κάνει μια πρσεκτική επιλγή απλών μόν πρβλημάτων τόκυ, Φ.Π.Α. και πρβλημάτων πυ αντιμετωπίζει καταναλωτής. ΠΡΟΤΕΙΝΟΝΤΑΙ: Παραδείγματα 1,, 3 σ. 8 Ασκήσεις 3, 4, 5, 8 σ. 83 Η δραστηριότητα της σελίδας 83 να ανατεθεί ως κατ ίκν εργασία. Κεφάλαι 4 (Να διατεθύν 4 ώρες) 4.1 (Να διατεθύν ώρες) Η έννια της εξίσωσης και η εύρεση της λύσης με την αντίστρφη πράξη έχει συζητηθεί στην ΣΤ Δημτικύ. Επιπλέν, η επίλυση των εξισώσεων πρώτυ βαθμύ θα αντιμετωπισθεί αναλυτικά στη Β Γυμνασίυ. Ο ρόλς τυ κεφαλαίυ αυτύ στην Α Γυμνασίυ είναι επαναληπτικός, καθόσν ι μαθητές θα χρησιμπιήσυν απλές εξισώσεις στην αντιμετώπιση πρβλημάτων σε επόμενα κεφάλαια. Πρέπει να δθεί έμφαση στην παραγωγή αλγεβρικών παραστάσεων πυ εκφράζυν ένα πρόβλημα ή η μια κατάσταση και δηγύν σε εξισώσεις (όπως η 1 δραστηριότητα και ι ασκήσεις 1, 14 και 15). Τέτιες απλές διαδικασίες μντελπίησης δίνυν νόημα στην εισαγωγή της άλγεβρας και υπστηρίζυν την ανάπτυξη ικαντήτων επίλυσης πρβλήματς. Η επίλυση εξίσωσης εδώ γίνεται με χρήση τυ ρισμύ των πράξεων και ι εξισώσεις περιρίζνται σε αυτές πυ έχυν τν άγνωστ μόν στ ένα μέλς. Χρειάζεται να συζητηθεί η επίλυση με δκιμή, γιατί αυτό βηθά στην κατανόηση της έννιας της εξίσωσης και της έννιας της λύσης της (4η δραστηριότητα και ασκήσεις 7, 8). Από την άλλη, δεν πρτείνεται να χρησιμπιηθύν διαδικασίες πυ θα διδαχτεί μαθητής στη Β Γυμνασίυ (επίλυση με τις ιδιότητες της ισότητας) και πλύ περισσότερ η απμνημόνευση κανόνων χωρίς νόημα. Για τν ίδι λόγ δεν πρτείνεται η απμνημόνευση των λύσεων (τελευταία παράγραφς τυ «μαθαίνυμε»). Τέλς, πρτείνεται να μην διδαχτύν ι έννιες της ταυτότητας και της αδύνατης εξίσωσης. ΠΡΟΤΕΙΝΟΝΤΑΙ: Ως αφόρμηση για την εισαγωγή των εξισώσεων μπρύν να χρησιμπιηθύν η εφαρμγή της σ. 8 και η άσκηση 5 σ. 83. Δραστηριότητες 1,, 3, 4 σ. 7. Στην δραστηριότητα 4 συνιστάται να χρησιμπιηθύν και άλλι αριθμί κατά την κρίση τυ διδάσκντα. Η ρλγία τυ «Μαθαίνυμε» της σ. 73 καλό είναι να αναφερθεί κατά την επεξεργασία των παραδειγμάτων. Σε κάθε περίπτωση δε μπρεί να απτελέσει αντικείμεν εξέτασης θεωρίας. Ασκήσεις 1, 8, 9, 11, 15 σ και 4.3 (Να διατεθύν ώρες) ΠΡΟΤΕΙΝΟΝΤΑΙ: Παραδείγματα 1, σ

10 Η ρλγία και η διαδικασία τυ «Θυμόμαστε-Μαθαίνυμε» της σ. 75 θα παρυσιασθύν κατά την διάρκεια επεξεργασίας των παραπάνω παραδειγμάτων και δεν απτελύν αντικείμεν εξέτασης θεωρίας. Παραδείγματα 1,, 3 σ Ασκήσεις 3, 5, 13 σ. 78. Ενδεικτική δραστηριότητα: Έχυμε μια "αλυσίδα" αριθμών:, 5, 8, 11, 14, α) Βρείτε τν επόμεν όρ. β) Βρείτε τν τρόπ πυ πρκύπτει κάθε όρς από τν πρηγύμενό τυ. Μπρείτε με αυτόν τν τρόπ να βρείτε τν 10 και τν 100 όρ; γ) Πις όρς είναι ίσς με 33; [Σχόλι: Ο στόχς της δραστηριότητας είναι η αναγνώριση από τυς μαθητές της αξίας της ς αλγεβρικής παράστασης (για να βρεθεί 100 όρς), ακόμα κι αν με αναδρμικύς τρόπυς μπρύν να βρεθύν κάπιι όρι. Επίσης, στόχς είναι η δημιυργία εξίσωσης για τη λύση τυ πρβλήματς τυ (γ) ερωτήματς. Αν εκπαιδευτικός θεωρεί ότι χρειάζεται, μπρεί να επιλέξει πι εύκλη ακλυθία, πχ την, 4, 6, ή την 3, 5, 7, ] Κεφάλαι 7 (Να διατεθύν 9 ώρες) Τ περιεχόμεν τυ κεφαλαίυ είναι εξλκλήρυ νέ για τυς μαθητές, αν και υπάρχει άτυπη γνώση των αρνητικών αριθμών (θερμκρασία κτλ.) πυ μπρεί να αξιπιηθεί. 7.1 (Να διατεθύν ώρες) Η αξιπίηση της άτυπης γνώσης των μαθητών από τυς αρνητικύς ακεραίυς (θερμκρασία, υπόγεια κκ) μπρεί να βηθήσει σημαντικά στην κατανόηση των σχετικών μαθηματικών εννιών. ΠΡΟΤΕΙΝΟΝΤΑΙ: Δραστηριότητες 1 (συνιστάται να χρησιμπιηθύν και στιχεία από την ίδια πόλη), 3, της σ Η «Παράσταση των ρητών αριθμών με σημεία μιας ευθείας» της σ. 116 θα γίνει στην τάξη και η τπθέτηση στην ευθεία των αριθμών θα είναι αντικείμεν συζήτησης με τυς μαθητές. Η δραστηριότητα της σ. 116 θα δθεί ως εργασία για τ σπίτι. 7. (Να διατεθύν 3 ώρες) Τ γεγνός ότι αντίθετς τυ - είναι ίσως είναι πρφανές για τυς μαθητές, αλλά δεν συμβαίνει τ ίδι για τν αντίθετ ενός αριθμύ α. Στην κατεύθυνση αυτή ίσως είναι απτελεσματική η χρήση της ευθείας των αριθμών, όπυ α μπρεί να τπθετηθεί τόσ δεξιά από τ 0 (αν α είναι θετικός), όσ και αριστερά τυ (αν είναι αρνητικός). Έτσι, μπρεί να αναδειχθεί τ γεγνός ότι στην έκφραση -α τ «-» δηλώνει τν αντίθετ τυ α, αλλά όχι τ πρόσημ. ΠΡΟΤΕΙΝΟΝΤΑΙ: Δραστηριότητες 1,, σ Τα «Θυμόμαστε-Μαθαίνυμε» της σ. 118 και της σ. 119 να γίνυν διεξδικά. Ασκήσεις σ. 11. Ενδεικτική δραστηριότητα: Συμπληρώστε τν παρακάτω πίνακα. x 3, -x 3 5 -(-x) /3 x 6 -x 0,45 [Σχόλι: Στόχς της δραστηριότητας είναι η διερεύνηση τυ ρόλυ τυ " " ως πρόσημ και ως σύμβλ αντιθέτυ. Οι συζητήσεις πυ θα γίνυν μέσα στην τάξη χρειάζεται να αναδείξυν ότι τ " " στ x δεν δηλώνει τ πρόσημ. Για τη συζήτηση αυτή θα πρέπει να αφιερωθεί αρκετός χρόνς.] 8

11 7.3 (Να διατεθύν 4 ώρες) Για την εισαγωγή της πρόσθεσης θετικών και αρνητικών αριθμών, παράλληλα με τη δραστηριότητα τυ βιβλίυ τυ μαθητή μπρεί να γίνει χρήση και της μετατόπισης πάνω στν άξνα: στ άθρισμα δύ αριθμών, πρώτς πρσθετές δείχνει τ σημεί εκκίνησης πάνω στ άξνα, ενώ δεύτερς δείχνει τη μετακίνηση (τ πρόσημό τυ την κατεύθυνση και η απόλυτη τιμή τυ την απόσταση). Επίσης, μπρύν να χρησιμπιηθύν και άλλα μντέλα, όπως ι θετικί και αρνητικί μετρητές (ή κάρτες). Οι θετικί-αρνητικί μετρητές όπως και η κίνηση στην αριθμγραμμή μπρύν να χρησιμπιηθύν και στις τέσσερις πράξεις των ακεραίων. Πρτείνεται με τη χρήση των μντέλων και με συλλγική διαπραγμάτευση μέσα στην τάξη, να διατυπώσυν και να ικειπιηθύν ι μαθητές τυς κανόνες της πρόσθεσης ακεραίων και στη συνέχεια να εξασκηθύν σε πράξεις με δεκαδικύς αριθμύς. ΠΡΟΤΕΙΝΟΝΤΑΙ: Δραστηριότητα σ. 1 Παραδείγματα 1, σ Ασκήσεις 7, 8, 5 σ. 15 η Ενδεικτική δραστηριότητα 1 : Ένα ρμπτάκι κινείται πάνω στην αριθμγραμμή μέσω ενός τηλεχειριστηρίυ αριθμμηχανής. Τ +5 ερμηνεύεται ως "5 βήματα δεξιά", ενώ τ 5 ερμηνεύεται ως "5 βήματα αριστερά". Αν υπθέσυμε ότι τ ρμπτάκι ξεκινάει πάντα από τη θέση πυ δείχνει πρώτς αριθμός, πια θα είναι η καινύρια τυ θέση, όταν πληκτρλγήσυμε: α) (+3)+(+5) β) ( 5)+(+3) γ) (+5)+( 3) ε) ( 4)+( 7) η) ( 4)+(+7)+( 3) θ) ( 4)+( )+(+6)+( 1) Πώς μπρύμε να δηγήσυμε τ ρμπτάκι από τη θέση 5 στη θέση με δύ κινήσεις; Με τρεις κινήσεις; [Σχόλι: Στόχς της δραστηριότητας είναι η δημιυργία της "εικόνας" της κίνησης στην αριθμγραμμή για την αναπαράσταση της πρόσθεσης. Τέτιυ είδυς αναπαραστάσεις βηθύν στην κατανόηση της πράξης και στη χρήση τυς από τυς μαθητές και θεωρείται χρήσιμ να αξιπιύνται πριν από τη χρήση των κανόνων.] η Ενδεικτική δραστηριότητα : Σε ένα παιχνίδι, δύ μάδες παιδιών απαντύν σε ερωτήσεις. Για κάθε σωστή απάντηση η μάδα παίρνει μια θετική κάρτα και για κάθε λάθς παίρνει μια αρνητική. Για παράδειγμα, αν η μάδα Α έχει 5 θετικές κάρτες (+5) και πάρει άλλες δύ θετικές (+), θα έχει 7 θετικές, δηλαδή σύνλ +7 πόντυς. Αυτό μπρύμε να τ εκφράσυμε με την πρόσθεση: (+5)+(+)=+7. α) Τ σχήμα 1 περιγράφει την κατάσταση μιας μάδας πυ είχε 3 αρνητικές και πήρε δύ ακόμη αρνητικές. Μπρείτε να εκφράσετε αυτή την κατάσταση με μια πράξη; β) Περιγράψτε με λόγια και με μια πράξη την κατάσταση πυ περιγράφει τ σχήμα. Πι είναι τ σύνλ πόντων της μάδας; σχήμα 1 σχήμα γ) Χρησιμπιήστε αυτό τ παιχνίδι για να πείτε τι μπρεί να σημαίνυν ι επόμενες πράξεις και υπλγίστε τα απτελέσματά τυς: (+3)+(+4), ( )+( 5), ( 8)+( 3), ( 7)+( 5). Μπρείτε να σκεφτείτε έναν κανόνα για να κάνετε αυτές τις πρσθέσεις, χωρίς κάθε φρά να σκέφτεστε τις κάρτες; δ) Χρησιμπιήστε αυτό τ παιχνίδι για να πείτε τι μπρεί να σημαίνυν ι επόμενες πράξεις και υπλγίστε τα απτελέσματά τυς: (+3)+( 5) ( )+(+3) ( 5)+(+3) (+7)+( 4) Μπρείτε να σκεφτείτε έναν κανόνα για να κάνετε αυτές τις πρσθέσεις, χωρίς κάθε φρά να σκέφτεστε τις κάρτες; [Σχόλι: Η δραστηριότητα απτελεί μια εισαγωγή στην πρόσθεση ακεραίων και έχει ως στόχ 9

12 την «ανακάλυψη» τυ ρισμύ της πρόσθεσης και των αντίθετων ως αριθμών με άθρισμα μηδέν. Χρησιμπιείται τ μντέλ των θετικών και αρνητικών καρτών, τ πί μπρεί να στηριχτεί σε χειραπτικό υλικό (πχ. κόκκινα και μαύρα πύλια) ή σε εικνικές αναπαραστάσεις (πχ τ +5 μπρεί να παρασταθεί με +++++). Πλενεκτήματα αυτύ τυ μντέλυ είναι η άμεση σχέση τυ με τη συμβλική γραφή τυ αθρίσματς (η ύπαρξη 5 θετικών καρτών και αρνητικών συμβλίζεται με (+5)+( )) και η πρόσβαση στην ιδέα των αλληλαναιρύμενων πστήτων πυ δηγεί στυς αντίθετυς αριθμύς. Τα δύ πρώτα ερωτήματα της δραστηριότητας έχυν ως στόχ την εξικείωση των μαθητών με τ πλαίσι τυ πρβλήματς και τη χρήση τυ μντέλυ σε πρσθέσεις. Τ τρίτ και τ τέταρτ ερώτημα, καλύν τυς μαθητές να κάνυν πρσθέσεις με χρήση των καρτών και κατόπιν να επιχειρήσυν γενικεύσεις για τυς πιθανύς κανόνες της πρόσθεσης. Είναι πιθανό να απαιτηθεί αρκετή συζήτηση μεταξύ των μαθητών για να φτάσυν στη γενίκευση (ιδιαίτερα στ τέταρτ ερώτημα) και εκπαιδευτικός μπρεί να βηθήσει με κατάλληλες ερωτήσεις.] η Ενδεικτική δραστηριότητα 3 : Η εισαγωγή στην πρόσθεση ακεραίων αριθμών μπρεί να γίνει με πι διερευνητικό τρόπ με τη χρήση ψηφιακών εργαλείων, όπως με τ «Πειράματα με την πρόσθεση ακεραίων αριθμών», στ Φωτόδεντρ: Αναλυτικότερες πληρφρίες για την εφαρμγή και τις δραστηριότητες στις πίες μπρεί να εμπλέξει τυς μαθητές εκπαιδευτικός, υπάρχυν σε σύνδεσμ στ κάτω μέρς της εφαρμγής. 7.4 (Να διατεθύν 6 ώρες) Μια πηγή δυσκλιών για τυς μαθητές είναι η τριπλή σημασία τυ συμβόλυ : ως πρόσημ (π.χ. στν αριθμό -), ως δηλωτικό τυ αντίθετυ (π.χ. στ (-3) ή στ -α) και ως σύμβλ της αφαίρεσης (π.χ. στ 3 8). Είναι, λιπόν, χρήσιμ να γίνει συζήτηση στην τάξη με στόχ την ανάπτυξη της ικανότητας χρήσης όλων αυτών των σημασιών και την ευχέρεια στην μετάβαση από τη μία σημασία στην άλλη. Επιπλέν, ίσως χρειάζεται να ξαναγίνει συζήτηση για την έννια τυ αντίθετυ (βλ. την 7.). Επειδή στην απαλιφή των παρενθέσεων εμφανίζνται δυσκλίες, καλό είναι να δθεί περισσότερς χρόνς για την κατανόησή της από τυς μαθητές. Ένας τρόπς να απδθεί νόημα στυς κανόνες απαλιφής παρενθέσεων είναι υπλγισμός με δύ τρόπυς των απτελεσμάτων (άσκηση 8). Ένας ακόμη τρόπς ( πίς είναι ίσως περισσότερ απδτικός) είναι η χρήση της επιμεριστικής ιδιότητας. Αυτό σημαίνει ότι η απαλιφή παρενθέσεων δεν θα διδαχθεί σε αυτή την παράγραφ αλλά στην επόμενη (βλ. παρακάτω) ΠΡΟΤΕΙΝΟΝΤΑΙ: Δραστηριότητα σ. 16 Παραδείγματα 3, 4 σ. 17 Ασκήσεις, 4, 5, 6 σ. 18 η Ενδεικτική δραστηριότητα 1 : Σε μια παραλλαγή τυ παιχνιδιύ με τις κάρτες, μπρύν από μια μάδα να αφαιρύνται κάρτες, θετικές ή αρνητικές. Έτσι, για παράδειγμα, όταν αφαιρύνται 5 θετικές κάρτες από 10, μένυν 5, δηλαδή (+10) (+5)=+5. α) Πως μπρύμε να εκφράσυμε (με πράξη) την κατάσταση μιας μάδας πυ είχε 5 αρνητικές κάρτες και της αφαιρέθηκαν 3 αρνητικές; Πι είναι τώρα τ σκρ της μάδας; β) Μια μάδα έχει σκρ +5. Με πιυς τρόπυς μπρεί να αυξήσει τ σκρ της σε +8; Με πιυς τρόπυς μπρεί να μειωθεί τ σκρ της σε +0; γ) Πώς θα μπρύσαν από μια μάδα πυ δεν έχει ύτε θετικές ύτε αρνητικές κάρτες να αφαιρεθύν 5 θετικές κάρτες; 3 αρνητικές; δ) Χρησιμπιήστε τ παιχνίδι με τις κάρτες για να πείτε τι μπρεί να σημαίνυν ι παρακάτω πράξεις και υπλγίστε τα απτελέσματά τυς: (+3) ( 5) ( ) (+3) ( 5) (+3) (+7) ( 4) ( 7) ( 5) ε) Μπρείτε να χρησιμπιήσετε την πρόσθεση για να κάνετε τις αφαιρέσεις, χωρίς κάθε 10

13 φρά να σκέφτεστε τις κάρτες; [Σχόλι: Η δραστηριότητα αυτή επεκτείνει τ μντέλ των καρτών στην αφαίρεση, όπυ μπρεί να φανεί ιδιαίτερα χρήσιμ για να πρκύψει η ιδέα ότι η αφαίρεση ενός αριθμύ είναι ισδύναμη με την πρόσθεση τυ αντιθέτυ τυ. Για παράδειγμα, για την αφαίρεση (+3) ( 5), δηλαδή για να αφαιρεθύν 5 αρνητικές κάρτες ενώ έχυμε μόν 3 θετικές, θα πρέπει πρώτα να πρστεθύν 5 "ζεύγη τυ μηδενός" δηλαδή 5 θετικές και 5 αρνητικές κάρτες, ώστε να μπρύν μετά να αφαιρεθύν ι 5 αρνητικές. Έτσι όμως, τ απτέλεσμα είναι (+3)+(+5), αφύ έμειναν ι 5 θετικές κάρτες. Αυτή η ιδέα υπάρχει στ (γ) ερώτημα, τ πί χρειάζεται χρόν για να συζητηθεί στην τάξη. Δυσκλία έχει και η διερεύνηση πλλαπλών τρόπων αντιμετώπισής τυ (β) ερωτήματς πυ θα πρέπει και αυτό να συζητηθεί αρκετά στην τάξη.] η Ενδεικτική δραστηριότητα : Η εισαγωγή στην αφαίρεση ακεραίων αριθμών μπρεί να γίνει με πι διερευνητικό τρόπ με τη χρήση ψηφιακών εργαλείων, όπως με τ «Αφαίρεση ακεραίων αριθμών-τ μντέλ των καρτών», από τα εμπλυτισμένα σχλικά βιβλία: (Να διατεθύν 5 ώρες) Για την κατανόηση τυ πρόσημυ τυ γινμένυ δύ ρητών είναι καλό να χρησιμπιηθεί η εισαγωγική δραστηριότητα τυ βιβλίυ. Εδώ πρτείνεται να διδαχθεί και η απαλιφή παρενθέσεων, με τη χρήση της επιμεριστικής ιδιότητας. Αυτό θα επιτρέψει την κατανόηση και αιτιλόγηση των κανόνων. Για παράδειγμα, η έκφραση ( 5) μπρεί να σημαίνει ( 5) ( 1) ( ) ( 5) ( 1) ( ) ( 1) ( 5) ( ) ( 5) 5 και αυτό μπρεί να γενικευθεί και σε παραστάσεις με μεταβλητές, (π.χ. (α β)... ). Βέβαια, θα πρέπει να πρηγηθεί μια συζήτηση για να εξηγηθεί ότι αντίθετς ενός αριθμύ είναι τ γινόμενό τυ με τ -1, πράγμα πυ μπρεί να γίνει μέσω παραδειγμάτων, όπως ( 1) ( ), ( 1) ( 5) 5 κ..κ. ΠΡΟΤΕΙΝΟΝΤΑΙ: Δραστηριότητα σ. 19 Παραδείγματα 1,, 4 σ. 131 Ασκήσεις, 3, 4, 5, 7, 8 σ. 13 Ενδεικτική δραστηριότητα: ( ) 3 7 καταγράφ5 ντας σε κάθε κίνηση πυ κάνετε τν ρισμό ή την ιδιότητα πυ χρησιμπιείτε. [Σχόλι: Τ ζητύμεν είναι η ανάπτυξη μιας συζήτησης στην τάξη πυ θα αναδεικνύει μαθηματικές έννιες, ιδιότητες και συμβάσεις, και θα βηθά τυς μαθητές να συνειδητπιύν τ «γιατί» και όχι μόν τ «πως» σε αυτό πυ κάνυν. Παρόμιι στόχι μπρύν να υπηρετύνται και από δραστηριότητες όπυ δίννται κάπια πιθανά απτελέσματα μιας αριθμητικής παράστασης και ζητείται η ερμηνεία τυ πως μπρεί να πρέκυψαν αυτά και η αναγνώριση των λαθών.] Υπλγίστε την τιμή της αριθμητικής παράστασης 7.6 (Να διατεθύν 3 ώρες) Η διαίρεση ως πλλαπλασιασμός με τν αντίστρφ τυ διαιρέτη ανάγεται άμεσα στν πλλαπλασιασμό και έτσι ι κανόνες των πρσήμων τυ πλλαπλασιασμύ επεκτείννται και στη διαίρεση. ΠΡΟΤΕΙΝΟΝΤΑΙ: Παραδείγματα 1,, 3 σ Ασκήσεις, 3, 5, 6, 7 σ

14 7.7 (Να διατεθύν ώρες) Σε συνδυασμό με την μετατρπή κλάσματς σε δεκαδικό ή περιδικό δεκαδικό (πυ εντπίζεται στην 3.1) η αντίστρφη διαδικασία είναι σημαντική για τη συγκρότηση της έννιας τυ ρητύ αριθμύ. 7.8 (Να διατεθύν 4 ώρες) Είναι σημαντικό να αφιερωθεί χρόνς στην εξήγηση των ιδιτήτων των δυνάμεων μέσα από παραδείγματα. Η απμνημόνευση των κανόνων είναι πρτιμότερ να έρθει μέσα από τη χρήση τυς και όχι από την αρχή της διδασκαλίας. Ενδεικτική δραστηριότητα: Μπρείτε να εξηγήσετε γιατί τ γινόμεν 3 3 είναι ίσ με τη δύναμη 3 ; Μπρείτε να 3 5 γράψετε με μρφή μιας δύναμης τ γινόμεν ; κ λ Μπρείτε να γράψετε με μρφή μιας δύναμης τ γινόμεν α α ; 8 Πως θα γράφατε τ 5 ως γινόμεν δυνάμεων; [Σχόλι: Ο στόχς της δραστηριότητας είναι η διερεύνηση και η αιτιλόγηση (από τυς μαθητές) της ιδιότητας α κ α λ α κ λ. Αντίστιχες δραστηριότητες μπρύν να χρησιμπιηθύν και για τις υπόλιπες ιδιότητες.] ΜΕΡΟΣ Β Κεφάλαι 1 (Να διατεθύν 19 διδακτικές ώρες) Στην εισαγωγή γεωμετρικών εννιών χρειάζεται να δθεί έμφαση στ να μπρύν ι μαθητές να τις αναγνωρίζυν, να τις περιγράφυν (άτυπα ή τυπικά) και να τις αναπαριστάνυν. Για τ πρώτ κεφάλαι πρτείνεται να δθεί αρκετός χρόνς στην τάξη, για σχεδιασμό σχημάτων από τυς μαθητές και με χρήση χειραπτικών μέσων για συγκρίσεις και κατασκευές (π.χ. διαφανές χαρτί). Στις παραγράφυς πρτείνεται ι ρισμί να πρσεγγίζνται διαισθητικά από τυς μαθητές, χωρίς να ζητείται τυπική διατύπωσή τυς. Στις επόμενες παραγράφυς, αν διατυπώννται ρισμί, αυτό να γίνεται διερευνητικά και «κατασκευαστικά» από τυς μαθητές, αφύ πρώτα έχυν αναγνωρίσει τις ιδιότητες των αντίστιχων γεωμετρικών αντικειμένων-εννιών. Ενδεικτικά βλέπε την παρακάτω ενδεικτική δραστηριότητα και την ενδεικτική δραστηριότητα της 1.8. Ενδεικτική δραστηριότητα: Ο διδάσκων απευθύνει τ ερώτημα «τι είναι τετράπλευρ» και χρησιμπιεί τις απαντήσεις των μαθητών για να τυς καθδηγήσει στη διατύπωση τυ ρισμύ. Στην πλύ πιθανή απάντηση «ένα σχήμα με τέσσερις πλευρές», παρυσιάζει διαδχικά τα παρακάτω σχήματα και ζητά κάθε φρά από τυς μαθητές να εντπίσυν εκείν τ χαρακτηριστικό πυ δε συνδέεται με την εικόνα πυ έχυν για την έννια «τετράπλευρ» (Να διατεθύν 3 διδακτικές ώρες) Οι έννιες πυ εισάγνται σε αυτές τις παραγράφυς, αν και είναι διαισθητικά γνώριμες στυς μαθητές (κάπιες γνωστές κι από τ δημτικό) έχυν δυσκλία στην τυπική περιγραφή τυς. Στις επόμενες παραγράφυς ι μαθητές θα συναντύν ξανά και ξανά αυτές τις έννιες. Θα έχυν την ευκαιρία να περάσυν σιγά-σιγά και σε βάθς χρόνυ, από την διαισθητική, αντίληψη στην πι τυπική. Για αυτύς τυς λόγυς, σε αυτή τη φάση πρτείνεται να γίνει εππτική πρσέγγιση των εννιών, ώστε ι μαθητές να αρχίζυν να αναγνωρίζυν ευθύγραμμα τμήματα, ευθείες, ημιευθείες, αντικείμενες ημιευθείες και γωνίες. Η ισότητα σχημάτων μπρεί να εισαχθεί με τη χρήση χειραπτικών μέσω 1

15 (π.χ. διαφανύς χαρτιύ), όπως στ παράδειγμα-εφαρμγή της σελίδας 155. Ένα εππτικό εμπόδι, πυ μπρεί να αντιμετωπιστεί σε αυτή τη φάση είναι η δυσκλία των μαθητών να αναγνωρίσυν τα σημεία τυ διπλανύ σχήματς, ως σημεία της κυρτής γωνίας τυ ίδιυ σχήματς. Η δραστηριότητα της σελίδας 148 πρτείνεται να αντικατασταθεί με μία απλύστερη. Επίσης πρτείνεται να διατεθεί χρόνς για μετρήσεις και απλές συγκρίσεις ευθυγράμμων τμημάτων, όπως στα παραδείγματα της σελίδας 160, ώστε ι μαθητές να κατανήσυν την έννια της μέτρησης και της σύγκρισης τμημάτων (με μέτρηση ή διαβήτη). Η διαφρπίηση ανάμεσα στ ευθύγραμμ τμήμα και στ μήκς τυ, η έννια της μνάδας μέτρησης (άτυπη, τυππιημένη), η πρσεγγιστική φύση της διαδικασίας της μέτρησης, η χρήση των ργάνων μέτρησης, τρόπς μεταβλής τυ απτελέσματς της μέτρησης όταν χρησιμπιύμε πλλαπλάσια ή υππλλαπλάσια μιας αρχικής μνάδας θα κατανηθύν από τυς μαθητές μέσα από τη χρήση τυς στις επόμενες παραγράφυς. Στην 1.4, πρτείνεται να μην ζητηθεί από τυς μαθητές να διατυπώσυν τυς ρισμύς και τις ιδιότητες μήκυς τεθλασμένης γραμμής και ευθύγραμμυ τμήματς, αλλά να τις εφαρμόσυν σε συγκεκριμένες δραστηριότητες και ασκήσεις. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΑΝΑ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟ Θα δθύν διαισθητικά με παραδείγματα πυ θα επιλέξει διδάσκων για τις έννιες σημεί, ευθ. τμήμα, ευθεία, ημιευθεία, επίπεδ, ημιεπίπεδ και θα τνιστύν ι σχέσεις τυ περιέχεσθαι (η ευθεία απαρτίζεται από σημεία, τα τμήματα είναι μέρη ευθειών κτλ). Να γίνει η συσχέτιση ημιευθείας-ημιάξνα και ευθείας-ευθείας αριθμών (παράγραφ; 1.1) Παραδείγματα: 1,, 3 σ Ασκήσεις, 3, 4, 5. Επίσης να δθεί ως άσκηση η δραστηριότητα 1 σ. 15 Να αναδειχθεί τ γεγνός ότι δύ ημιευθείες με κινή αρχή ρίζυν δύ γωνίες. Να τνιστεί ότι ως γωνίες πλυγώνυ νύνται ι γωνίες πυ ρίζυν ι ημιευθείες πυ περιέχυν δύ διαδχικές πλευρές και έχυν αρχή την κινή κρυφή. Δραστηριότητα σ. 154 (στην επεξεργασία της να γίνει αναφρά και σε μη κυρτές γωνίες). Παράδειγμα σ. 155 (Να τνιστεί ότι δύ ευθύγραμμα τμήματα είναι ίσα αν μπρύν, με κατάλληλ τρόπ περιλαμβανμένης και της δίπλωσης, να τπθετηθύν τ ένα πάνω στ άλλ και να συμπέσυν). Ασκήσεις 1,, 3, 4, 5 σ Θα καταβληθεί πρσπάθεια να διδαχθεί μετά τ κεφάλαι της Άλγεβρας πυ αναφέρεται στις μνάδες μέτρησης. Παραδείγματα 1,, 3 σ Ασκήσεις 8, 9, 10, 11, 1 σ. 16 (Επιδιώκεται να καλλιεργηθεί η κατασκευαστική δεξιότητα και η συνακόλυθη επίγνωση των ιδιτήτων των σχημάτων) Δραστηριότητα σ Ασκήσεις 6, 8, 11 σ Ενδεικτική δραστηριότητα: Η εισαγωγή στην έννια της γωνίας μπρεί να γίνει με πι διερευνητικό τρόπ με τη χρήση ψηφιακών εργαλείων, όπως με τ «Πειράματα για την έννια της γωνίας», στ Φωτόδεντρ: Αναλυτικότερες πληρφρίες για την εφαρμγή και τις δραστηριότητες πυ μπρεί να εμπλέξει τυς μαθητές εκπαιδευτικός, υπάρχυν σε σύνδεσμ στ κάτω μέρς της εφαρμγής. 1.5 (Να διατεθύν 3 διδακτικές ώρες) Οι μαθητές έχυν γνωρίσει τις άλλες έννιες στ Δημτικό, εκτός από την έννια της διχτόμυ γωνίας, όμως αντιμετωπίζυν δυσκλίες σχετικά μ αυτές. Συγκεκριμένα συγχέυν πι ακριβώς 13

16 είναι τ γεωμετρικό αντικείμεν πυ μετράται (η γωνία) με άλλα και/ή τις μετρήσεις τυς, όπως τα μήκη των τμημάτων πυ είναι ι πλευρές της γωνίας, την επιφάνεια ανάμεσα στις ημιευθείες κ.λ.π. Επίσης ταυτίζυν τ γεωμετρικό αντικείμεν (γωνία) με την μέτρησή τυ (μέτρ της γωνίας). Πρτείνεται η σύγκριση γωνιών να γίνεται και με τη χρήση διαφανύς χαρτιύ (παραδείγματα 1, και άσκηση 6) και όχι απκλειστικά και μόν μέσω τυ μέτρυ τυς με τη μέτρηση με μιργνωμόνι. Γενικά, διαφρετικά μέσα αναδεικνύυν διαφρετικές πτυχές των εννιών πυ διαπραγματευόμαστε. Για παράδειγμα, η εύρεση - κατασκευή της διχτόμυ μιας γωνίας (σελ. 167) με δίπλωση τυ χαρτιύ αναδεικνύει την ισότητα των γωνιών αλλά και την διχτόμ ως άξνα συμμετρίας, ενώ η κατασκευή με τ μιργνωμόνι αναδεικνύει την ισότητα των γωνιών μέσω τυ μέτρυ τυς. Επίσης, πρτείνεται ι μαθητές να συγκρίνυν γωνίες χρησιμπιώντας και άτυπες μνάδες μέτρησης γωνιών (μικρότερες γωνίες) και να δθεί αρκετός χρόνς σε μετρήσεις και κατασκευές γωνιών. Για τις δυσκλίες των μαθητών σχετικά με την έννια της μέτρησης, παραπέμπυμε στην θέση στ. ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣ ΤΑ ΙΣΧΥΟΝΤΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΣΠΟΥΔΩΝ/ Β. Οδηγί για τν Εκπαιδευτικό/ Επιστημνικό Πεδί: Μαθηματικά/ Σελ 81. Η δραστηριότητα πυ πρτείνεται στην παράγραφ 1.6, μπρεί να τρππιηθεί κατάλληλα και να χρησιμπιηθεί σε αυτή την παράγραφ. ΠΡΟΤΕΙΝΟΝΤΑΙ: Η δραστηριότητα της σ. 165 να αντικατασταθεί με μέτρηση γωνιών πυ θα υπάρχυν σε φύλλ χαρτιύ πυ θα δθεί με φωταντίγραφ από τν διδάσκντα. Παραδείγματα 1,, (μπρεί να γίνει και με διαφανές χαρτί) 3 σ Ασκήσεις, 3, 4, 7 σ Οι δραστηριότητες 1, της σ. 168 μπρύν να γίνυν μόν εφόσν διδάσκων κατατπίσει τυς μαθητές για την ανάκλαση. 1.6 (Να διατεθύν διδακτικές ώρες) Τ περιεχόμεν της ενότητας είναι γνωστό στυς μαθητές από τ Δημτικό, εκτός από την μηδενική, την ευθεία, την μη κυρτή και την πλήρη γωνία. Παρόλα αυτά η έννια της καθετότητας μπρεί να μην έχει κατακτηθεί από πλλύς μαθητές και μια από τις συνηθισμένες δυσκλίες πυ έχυν είναι η αναγνώριση της καθετότητας σε ευθείες πυ δεν έχυν τν συνήθη ριζόντι και κατακόρυφ πρσανατλισμό. Κάπιες από τις αιτίες αυτής της δυσκλίας είναι τρόπς πρσανατλισμύ των σχημάτων στα σχλικά βιβλία (π.χ. ρθγώνια ή τετράγωνα με πλευρές παράλληλες πρς τις ακμές των σελίδων τυ βιβλίυ), ι παραστάσεις πυ έχυν από τ περιβάλλν γύρω τυς (π.χ. ριζόντις και κατακόρυφς πρσανατλισμός των κυφωμάτων των σπιτιών, των παραθύρων κλπ), αλλά και από τν τρόπ πρσανατλισμύ των σχημάτων στν πίνακα, κατά την διδασκαλία. Τ φαινόμεν αυτό δεν περιρίζεται μόνν στην έννια της καθετότητας αλλά επεκτείνεται και στην αναγνώριση σχημάτων π.χ. δεν αναγνωρίζυν ως τρίγων κάπι «μακρόστεν» στ πί μία πλευρά είναι πλύ μικρή σε σχέση με τις άλλες. Θα πρέπει διδάσκων, λαμβάνντας υπόψη τα πρηγύμενα, να εμπλυτίζει την πικιλία των σχημάτων πυ χρησιμπιεί κατά την διάρκεια της διδασκαλίας. Για παράδειγμα, πρτείνεται για την αναγνώριση των κάθετων ευθειών να χρησιμπιύνται και τα δύ σχήματα (α και β) τυ διπλανύ σχήματς και όχι μόν τ (α). ΠΡΟΤΕΙΝΟΝΤΑΙ: Δραστηριότητες 1, σ 169. Παραδείγματα 1 & (να τνιστεί ότι έλεγχς της καθετότητας μπρεί να γίνει και με μέτρηση ή γνώμνα), 3, 4 σ, Ασκήσεις 6, 7 σ. 17. Ενδεικτική δραστηριότητα 1: Ο εκπαιδευτικός δίνει στυς μαθητές, πυ είναι χωρισμένι 14

17 σε μάδες, πρσχεδιασμένες γωνίες και ζητά από αυτύς να τις χαρακτηρίσυν ως κυρτές μη κυρτές και αμβλείες, ρθές ή ξείες (στην περίπτωση των μη κυρτών). Στην αρχή ι μαθητές μετρύν τη γωνία με τ μιργνωμόνι με τν συνήθη τρόπ. Κατόπιν τυς ζητά να βρυν τρόπ ή τρόπυς να τις μετρήσυν με τ μιργνωμόνι, χωρίς όμως να ακλυθήσυν την τυπική διαδικασία ταύτισης μιας πλευράς της γωνίας με τη διάμετρ τυ ημικυκλίυ τυ μιργνωμνίυ, όπως δείχνυν ι εικόνες. Οι μαθητές θα πρέπει να περιγράψυν τις στρατηγικές πυ ακλύθησαν και να συζητήσυν διάφρα χαρακτηριστικά. Αναμένεται ότι ι μαθητές θα ανακαλύψυν ότι η μέτρηση μπρεί να γίνει με πλλύς τρόπυς ανεξάρτητα από την τπθέτηση τυ μιργνωμνίυ, αρκεί τ κέντρ τυ να είναι στην κρυφή της γωνίας και να βρίσκυν τη διαφρά των ενδείξεων της ίδιας κλίμακας. Στη συνέχεια, εκπαιδευτικός, με κατάλληλες ερωτήσεις, βηθά τυς μαθητές να κάνυν τη σύνδεση με τη σχέση της επίκεντρης γωνίας και τυ μέτρυ τυ τόξυ στ πί βαίνει αυτή, την ανεξαρτησία τυ μέτρυ τυ τόξυ από την ακτίνα των ημικυκλίων των μιργνωμνίων και τν χωρισμό των τόξων σε ίσα μέρη από τα εξωτερικά σημάδια - ενδείξεις τυ μιργνωμνίυ και αντίστιχα των γωνιών. [Σχόλι: Η παραπάνω δραστηριότητα μπρεί να χρησιμπιηθεί με κατάλληλες μετατρπές και στην παράγραφ 1.5. Στόχς είναι η χρήση άτυπων μνάδων μέτρησης για τη σύγκριση γωνιών.] Ενδεικτική δραστηριότητα : Οι μαθητές καταγράφυν και σχεδιάζυν τα διάφρα είδη γωνιών (μηδενική, κυρτή, ξεία, ρθή, αμβλεία, ευθεία, μη κυρτή, πλήρης) και τις ταξινμύν ως πρς τ μέτρ μεδιάφρυς τρόπυς. 1.7 (Να διατεθύν διδακτικές ώρες) Οι έννιες είναι νέες για τυς μαθητές. Να αναφερθεί η έννια της διαφράς δύ γωνιών. Να δθεί πρτεραιότητα κατά σειρά στις ασκήσεις 1, 4 (περιπτώσεις 3 και ) και 3 και να εμπλυτισθύν ι ασκήσεις με ερωτήματα για τν πρσδιρισμό της γωνίας η πία είναι τ άθρισμα των ζευγών των εφεξής γωνιών πυ βρίσκυν ι μαθητές, όπως και ερωτήματα πρσδιρισμύ της διαφράς δύ γωνιών. Ο ρισμός των εφεξής γωνιών είναι αρκετά περίπλκς στη διατύπωσή τυ. Πρτείνεται να αναγνωρίσυν ι μαθητές τις ιδιότητες των εφεξής γωνιών και στη συνέχεια να κατασκευάσυν ι ίδιι τν ρισμό, διαπιστώνντας την αναγκαιότητα της συγκεκριμένης διατύπωσης. ΠΡΟΤΕΙΝΟΝΤΑΙ: Δραστηριότητα σ Παραδείγματα 1,, 3 σ Ασκήσεις 1,, σ Ενδεικτική δραστηριότητα 1: Η εισαγωγή στις έννιες των εφεξής και διαδχικών γωνιών μπρεί να γίνει με τη δραστηριότητα της σελίδας 173 τυ σχλικύ βιβλίυ και πι διερευνητικά με τη χρήση ψηφιακών εργαλείων, όπως με τ «Κινά στιχεία γωνιών», στ Φωτόδεντρ: (Να διατεθύν διδακτικές ώρες) Οι έννιες είναι νέες για τυς μαθητές. Πρτείνεται κι εδώ ι ρισμί να έπνται της αναγνώρισης των ιδιτήτων και να είναι πρϊόν της διερεύνησης των μαθητών. Σε αυτή την κατεύθυνση πρτείνεται η «ενδεικτική δραστηριότητα» πυ ακλυθεί ΠΡΟΤΕΙΝΟΝΤΑΙ: Δραστηριότητα σ Παραδείγματα 1, (να διευκρινιστεί ότι δύ γωνίες μπρεί να είναι παραπληρωματικές ή συμπληρωματικές χωρίς να είναι εφεξής), 3, 4, 5, 6 σ Ασκήσεις 3, 5, 9, 11 σ η Ενδεικτική δραστηριότητα 1 : 15

18 Για την ισότητα των κατακρυφήν γωνιών μπρεί να χρησιμπιηθεί τ μικρπείραμα «Κατακρυφήν γωνίες», όπυ ι μαθητές μέσα από την εμπλκή τυς με ένα πρβληματικό μικρόκσμ πυ πρέπει να διρθώσυν, εισάγνται στην έννια των κατακρυφήν γωνιών και τη σχέση τυς. Τ μικρπείραμα έχει δημιυργηθεί με χρήση εργαλείων συμβλικής έκφρασης μέσω τυ πργραμματισμύ (Χελωνόσφαιρα). η Ενδεικτική δραστηριότητα : η 1 φάση (εξερεύνηση ιδιότητας): Ο διδάσκων πρτρέπει τυς μαθητές να σχεδιάσυν δύ τεμνόμενες ευθείες και να εικάσυν για σχέσεις πυ υπάρχυν μεταξύ των γωνιών πυ σχηματίζνται. Οι μαθητές μετρύν πρσεγγιστικά με τ μιργνωμόνι. Αναμένεται ότι θα εικάσυν ότι υπάρχυν δύ ζεύγη ίσων γωνιών και είναι μάλλν απίθαν ότι θα εικάσυν ζεύγη παραπληρωματικών. Ο διδάσκων θέτει τ ερώτημα αν θα δημιυργύνται ζεύγη ίσων γωνιών σε κάθε περίπτωση πυ τέμννται δύ ευθείες. Πρτείνει να διερευνήσυν την κατάσταση στν υπλγιστή με κάπι πρόγραμμα δυναμικής γεωμετρίας. Οι μαθητές αναζητύν εξήγηση γιατί αυτά τα ζεύγη γωνιών είναι ίσα και συνεργάζνται για να δημιυργήσυν μια απόδειξη τυ ότι ι κατακρυφήν γωνίες είναι ίσες. Με πρτρπή τυ διδάσκντα εξερευνύν τη σχέση πυ έχυν ι εφεξής γωνίες. Αν ανακαλύψυν ότι ι γωνίες είναι παραπληρωματικές. Καταγράφυν όλα τα ζεύγη των παραπληρωματικών γωνιών, συζητύν και δικαιλγύν γιατί είναι παραπληρωματικές. η φάση (Ορισμός): Ο διδάσκων δίνει στυς μαθητές ένα φύλλ χαρτί πυ περιέχει δύ στήλες. Η μία έχει τίτλ «Κατακρυφήν γωνίες» και η άλλη «Γωνίες πυ δεν είναι κατακρυφήν». Κάθε στήλη έχει αντιστίχως παραδείγματα και μη παραδείγματα κατακρυφήν γωνιών (στα μη παραδείγματα πρέπει να έχυν περιληφθεί ζεύγη ίσων γωνιών με ένδειξη τυ μέτρυ των γωνιών). Ζητείται από τυς μαθητές να βρυν τα κινά χαρακτηριστικά των κατακρυφήν γωνιών και να γράψυν έναν ρισμό πυ θα τις περιγράφει. Οι μαθητές λόγω της πρηγύμενης εξερεύνησης θα μπρέσυν να δώσυν έναν ρισμό αρκετά κντά στν τυπικό ρισμό και θα διακρίνυν την διαφρά ρισμύ και ιδιότητας. [Σχόλι: Στόχς της δραστηριότητας είναι ι μαθητές να δηγηθύν στην διατύπωση τυ ρισμύ, μετά από εξερεύνηση. Έτσι διαπιστώνυν την αναγκαιότητα της χρήσης των συγκεκριμένων λέξεων στν ρισμό.] 1.9 και 1.10 (Να διατεθύν 3 διδακτικές ώρες) Η έννια της παραλληλίας είναι γνωστή στυς μαθητές από τ Δημτικό. Πρτείνεται να δθεί ως άσκηση σχεδιασμός ενός παραλληλγράμμυ (είναι γνωστή έννια από τ Δημτικό) με στιχεία πυ θα καθρίσει διδάσκων/υσα. ΠΡΟΤΕΙΝΟΝΤΑΙ: Δραστηριότητα. Παράδειγμα σ Παραδείγματα 1,, 3 (να τνιστεί ότι παράλληλες ευθείες είναι εκείνες πυ όλα τα σημεία της μιας ισαπέχυν από την άλλη), 4 σ Ασκήσεις, 3, 5, 6 σ (Να διατεθύν διδακτικές ώρες) Λόγω εξαίρεσης από την διδακτέα ύλη της επόμενης παραγράφυ ι εφαρμγές και 3 της 1.1 θα διδαχθύν σε αυτή την παράγραφ, μαζί με την εφαρμγή της σελ Ο διδάσκων θα μπρύσε να ζητήσει ι κατασκευές να γίνυν με ένα λγισμικό δυναμικής γεωμετρίας και με κατάλληλες δραστηριότητες και ερωτήσεις ι μαθητές να διερευνήσυν π.χ. τις συνθήκες κατασκευής ενός τριγώνυ, όταν δίννται τρία ευθύγραμμα τμήματα (εφαρμγή, σελ. 189, δραστηριότητα για τ σπίτι, αριθ. ). 16

19 ΠΡΟΤΕΙΝΟΝΤΑΙ: Δραστηριότητες, 3 σ Παράδειγμα 1 σ Ασκήσεις, 3,4 σ. 189 Ενδεικτική δραστηριότητα 1: Μέσω διερευνητικής δραστηριότητας, ι μαθητές μπρύν να κατασκευάσυν κύκλ, πυ να διέρχεται από τρία δσμένα σημεία (με χρήση της μεσκαθέτυ ευθύγραμμυ τμήματς και ρισμύ τυ κύκλυ). Ενδεικτική δραστηριότητα : Με τ παρακάτω μικρπείραμα τυ Φωτόδεντρυ, μπρεί να γίνει διερευνητικά στην τάξη η εφαρμγή της σελίδας 189) και 1.13 (Να διατεθύν διδακτικές ώρες) Τ περιεχόμεν της ενότητας είναι νέ για τυς μαθητές. Πρτείνεται να δθεί χρόνς για κατασκευές και ι μαθητές να ανακαλύψυν και να διατυπώσυν τις αντίστιχες πρτάσεις. ΠΡΟΤΕΙΝΟΝΤΑΙ: Δραστηριότητα 1 σ Στ «Θυμόμαστε-Μαθαίνυμε» της σ. 193 εφόσν είναι δυνατό να γίνει χρήση λγισμικύ. Παραδείγματα 1,, 3 σ Ασκήσεις 1, 4 σ. 194 Κεφάλαι (Να διατεθύν 11 διδακτικές ώρες) Αυτό πυ επιδιώκεται από τη διδασκαλία των συμμετριών είναι να απκτήσυν ι μαθητές, μια ευελιξία στν τρόπ της γεωμετρικής τυς σκέψης και να τις χρησιμπιήσυν ως εργαλεί για τη μελέτη και την αιτιλόγηση ιδιτήτων των γεωμετρικών σχημάτων, όπως των παραλλήλων ευθειών πυ τέμννται από άλλη ευθεία (.6), της μεσκαθέτυ (.3) και των ιδιτήτων των ειδών τετραπλεύρυ. Γενικά για την διδασκαλία τυ κεφαλαίυ ενδείκνυται η αξιπίηση των νέων τεχνλγιών, παράλληλα με τη χρήση άλλων μέσων (όπως τ διαφανές χαρτί, τα γεωμετρικά όργανα, τετραγωνισμέν χαρτί κτλ.) με σκπό όχι μόν την κατασκευή συμμετρικών σχημάτων αλλά και την κατανόηση και την αξιπίηση των ιδιτήτων της συμμετρίας. Πρτείνεται να δθεί έμφαση στη διαισθητική αναγνώριση των ιδιτήτων των συμμετριών και στις κατασκευές. Στόχι είναι: Οι μαθητές να κατασκευάζυν σχήματα συμμετρικά ως πρς άξνα και κέντρ. Να αναγνωρίζυν υπάρχυσες συμμετρίες σε δθέντα σχήματα. Να κατανήσυν ότι με την κεντρική και την αξνική συμμετρία διατηρύνται τα μήκη, η ισότητα των γωνιών και η ισότητα σχημάτων. Να χρησιμπιύν τη συμμετρία σε διεργασίες αιτιλόγησης..1 και. (Να διατεθύν 3 διδακτικές ώρες) Οι παράγραφι.1 και. θα διδαχθύν σαν μια ενότητα. Πρτείνεται να πρηγηθεί η διδασκαλία της. (άξνας συμμετρίας) και να ακλυθήσει η διδασκαλία της.1 (συμμετρία ως πρς άξνα) με σκπό να πρηγηθεί τ διαισθητικό μέρς της αξνικής συμμετρίας και κατόπιν να ακλυθήσει τ κατασκευαστικό και τα συμμετρικά σχήματα. Επισημαίνεται ότι ι μαθητές δυσκλεύνται σε κατασκευές με την αξνική συμμετρία, καθώς συχνά κάνυν μεταφρά, αντί για ανάκλαση. Γι αυτό πρτείνεται να διατεθεί χρόνς σε κατασκευές, από τυς ίδιυς. Να επισημανθεί ότι η ταύτιση των δύ μερών τυ σχήματς, όταν διπλώνεται κατά μήκς τυ άξνα 17

20 συμμετρίας τυ, σημαίνει ισότητα των δύ μερών. Πρτείνεται να δθύν για ανακάλυψη και 1 αιτιλόγηση ι ιδιότητες τυ ισσκελύς τριγώνυ (δεν θα αναφέρνται σε ύψς, διάμεσ και διχτόμ τυ τριγώνυ ως πρς την βάση, αλλά θα συνάγυν ότι άξνας συμμετρίας διχτμεί την γωνία πυ είναι απέναντι από την βάση, τέμνει κάθετα την βάση κτλ.), τυ ισόπλευρυ, τυ ρθγωνίυ, τυ ρόμβυ και τυ τετραγώνυ (ι μαθητές τα σχεδιάζυν σε διαφανές χαρτί ή τυς δίννται έτιμα τα σχήματα και με την χάραξη των αξόνων συμμετρίας και την δίπλωση των σχημάτων κατά μήκς αυτών ανακαλύπτυν και δικαιλγύν τις ιδιότητες τυς). ΠΡΟΤΕΙΝΟΝΤΑΙ: Δραστηριότητα σ. 00. Παραδείγματα 1-9 σ (για την τάξη). Άσκηση σ Δραστηριότητα σ. 04. Παράδειγμα 1. σ. 05. Ως παράδειγμα στην τάξη να γίνει η άσκηση 3 σ. 05. Ασκήσεις 4, 5 σ, 05. η Ενδεικτική δραστηριότητα 1 : Οι μαθητές πρσπαθύν να πρσδιρίσυν πια από τα σχήματα της εικόνας είναι συμμετρικά ως πρς τν άξνα πυ είναι σχεδιασμένς και να δικαιλγήσυν την απάντησή τυς. Εξηγύν τν τρόπ πυ σκέφτηκαν και τις στρατηγικές πυ ακλύθησαν. Για παράδειγμα, μπρεί να απέκλεισαν κάπιες περιπτώσεις και εξηγύν τα κριτήρια απκλεισμύ. Στη συνέχεια διδάσκων πρτείνει να εξετάσυν μήπως υπάρχει κάπια περίπτωση πυ να μπρύν τα σχήματα να γίνυν συμμετρικά ως πρς άξνα, αλλά άξνας δεν είναι σωστά σχεδιασμένς και τυς πρτρέπει να σχεδιάσυν τν σωστό άξνα. [Σχόλι: Η δραστηριότητα αυτή μπρεί να γίνει σε συνδυασμό με τη δραστηριότητα1 της.3] η Ενδεικτική δραστηριότητα : Η άσκηση της σελίδας 05 τυ σχλικύ βιβλίυ μπρεί να γίνει πι διερευνητικά με τη χρήση ψηφιακών εργαλείων όπως με τ «Αξνική συμμετρία και αλφάβητ», από τα εμπλυτισμένα σχλικά βιβλία: (Να διατεθύν 3 διδακτικές ώρες) Στόχι είναι: Η χρήση της αξνικής συμμετρίας για την αιτιλόγηση της ιδιότητας της μεσκαθέτυ. Η κατασκευή της μεσκαθέτυ ευθύγραμμυ τμήματς με διαφρετικύς τρόπυς (υπδεκάμετρυ και γνώμνα, κανόνα και διαβήτη, δίπλωση χαρτιύ). Πρτείνεται να δθεί πρτεραιότητα στις εφαρμγές 1, και 5 και στις ασκήσεις 1, 3, 4, 5, 7 και 9. ΠΡΟΤΕΙΝΟΝΤΑΙ: Δραστηριότητα σ 06. Παραδείγματα 1-5 σ Να γίνει αναφρά στ ισσκελές. Ασκήσεις, 3 σ Οι έννιες τυ ισσκελύς και τυ ισόπλευρυ τριγώνυ τυς είναι γνωστές από τ Δημτικό, μίως τυ παραλληλγράμμυ, τυ ρθγωνίυ, τυ ρόμβυ και τυ τετραγώνυ. 18

21 Η δραστηριότητα 1 σ. 09 μπρεί να δθεί για τ σπίτι. η Ενδεικτική δραστηριότητα 1 : Ο διδάσκων δίνει στυς μαθητές διαφανές χαρτί, πάνω στ πί υπάρχυν σχεδιασμένα δύ συμμετρικά, ως πρς άξνα, τρίγωνα, χωρίς όμως να είναι σχεδιασμένς άξνας συμμετρίας. Οι μαθητές πρσπαθύν με δίπλωση τυ χαρτιύ να πρσδιρίσυν τν άξνα συμμετρίας τν πί και σχεδιάζυν με βάση την γραμμή τσάκισης πυ θα έχυν κάνει στ χαρτί. Με πρτρπή τυ διδάσκντα σχεδιάζυν τα τμήματα πυ έχυν ως άκρα αντίστιχες κρυφές των τριγώνων και εξετάζυν την σχέση πυ έχει άξνας με αυτά τα τμήματα. Διαπιστώνυν και δικαιλγύν, μέσω της δίπλωσης τυ χαρτιύ ως πρς τν άξνα συμμετρίας, ότι αυτός είναι η κινή μεσκάθετς των τμημάτων. Συζητύν σε πόσα τμήματα, πυ ενώνυν αντίστιχα σημεία, πρέπει να χαράξυν την μεσκάθετ για τν πρσδιρισμό τυ άξνα συμμετρίας. Πρτείνυν τρόπ κατασκευής τυ άξνα συμμετρίας με κανόνα και διαβήτη τν πί και εφαρμόζυν. [Σχόλι: Στόχς της δραστηριότητας είναι η χρήση της αξνικής συμμετρίας για αιτιλόγηση. Με κατάλληλη πρσαρμγή, μπρεί να χρησιμπιηθεί στ τέλς της διδασκαλίας των.1 και..] Εναλλακτικά: «Τα δυ τρίγωνα είναι συμμετρικά ως πρς άξνα. Να πρτείνετε έναν γεωμετρικό τρόπ ώστε να σχεδιάσετε τν άξνα συμμετρίας». η Ενδεικτική δραστηριότητα : Η άσκηση 8 τυ σχλικύ βιβλίυ μπρεί να γίνει και με τη χρήση ψηφιακών εργαλείων όπως με τ μικρπείραμα «Κατασκευή τυ άγνωστυ κέντρυ ενός κύκλυ», από τα εμπλυτισμένα σχλικά βιβλία: και.5 (Να διατεθύν 3 διδακτικές ώρες) Και αυτές ι παράγραφι θα διδαχθύν σαν μια ενότητα. Μπρεί να πρηγηθεί η διδασκαλία της.5 (κέντρ συμμετρίας) και να ακλυθήσει η διδασκαλία της.4 (συμμετρία ως πρς σημεί) με σκπό να πρηγηθεί τ διαισθητικό μέρς της κεντρικής συμμετρίας και κατόπιν να ακλυθήσει τ κατασκευαστικό και τα συμμετρικά σχήματα. Επισημαίνεται ότι ι μαθητές μπρεί να δυσκλεύνται με την στρφή κατά 180 και πρτείνεται να δθύν αρκετές πρακτικές εφαρμγές με χειραπτικά μέσα ως εργασίες στην τάξη (π.χ. στρφή 180 με διαφανές χαρτί). Πρτείνεται να δθεί για δραστηριότητα η ανακάλυψη και η αιτιλόγηση των ιδιτήτων τυ παραλληλγράμμυ, με την σχεδίαση δύ ίσων παραλληλγράμμων σε δύ διαφρετικά φύλλα, πυ τ ένα θα είναι διαφανές χαρτί. Ωστόσ αυτό να γίνει μπρεί να γίνει σαν εφαρμγή της συμμετρίας ως πρς κέντρ, στις παραγράφυς 3.3 και 3.4. Ενδεικτική δραστηριότητα: Η δραστηριότητα της σελίδας 1 (.5) τυ σχλικύ βιβλίυ μπρεί να γίνει με τη χρήση τυ ψηφιακύ εργαλείυ «Κέντρ συμμετρίας αντικειμένων» πυ διατίθεται στ Φωτόδεντρ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΑΝΑ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟ.4 Να γίνει ως δραστηριότητα η εύρεση τυ συμμετρικύ τυ γράμματς y ως πρς Ο (σελίδα 10, μπλε πλαίσι) και μετά να γίνει η δραστηριότητα της αρχής της σ. 10. Παραδείγματα 1,, 3, 4, 5, 6 σ Άσκηση 1 σ

22 .5 Δραστηριότητα σ. 1. Παραδείγματα 1,3 σ. 13. Άσκηση σ (Να διατεθύν διδακτικές ώρες) Οι ιδιότητες των γωνιών μπρύν να αιτιλγηθύν με τη χρήση της συμμετρίας ως πρς κέντρ. Κατά την διδασκαλία της ενότητας να διευκρινιστεί ότι δύ γωνίες ρίζνται ως εντός εναλλάξ, εντός και επί τα αυτά κτλ., ανεξάρτητα από τ αν ι δύ ευθείες ε1 και ε (τεμνόμενες από μία τρίτη ευθεία), είναι παράλληλες μεταξύ τυς ή όχι. Όμως, μόν όταν ι ευθείες ε1 και ε είναι παράλληλες, ι παραπάνω γωνίες θα είναι αντιστίχως ίσες, παραπληρωματικές κτλ. Πρτείνεται να μη δθεί έμφαση σε ασκήσεις αλγεβρικύ υπλγισμύ γωνιών. ΠΡΟΤΕΙΝΟΝΤΑΙ: Η διδασκαλία θα ξεκινήσει από τ «Θυμόμαστε- Μαθαίνυμε» της σ. 14 και θα συνεχίσει με τ παράδειγμα 1 σ. 15 και τ παράδειγμα σ. 16. Ασκήσεις, 4, 5 σ. 16. Ενδεικτική δραστηριότητα: Η εφαρμγή 1 τυ σχλικύ βιβλίυ μπρεί να γίνει και με τη χρήση ψηφιακών εργαλείων όπως με τ μικρπείραμα «Ισότητα γωνιών μεταξύ παραλλήλων», από τα εμπλυτισμένα σχλικά βιβλία: Κεφάλαι 3 (Να διατεθύν 11 διδακτικές ώρες) 3.1 (Να διατεθύν διδακτικές ώρες) Όπως αναφέρθηκε σε πρηγύμενη παράγραφ, διαφρετικά μέσα αναδεικνύυν διαφρετικές πτυχές μιας έννιας. Ταυτόχρνα, σε κάπιες περιπτώσεις αυτά απαιτύν και διαφρετικό βαθμό συνειδητπίησης και κατανόησης κάπιων εννιών, εκ μέρυς των μαθητών. Τα λγισμικά δυναμικής γεωμετρίας επιτρέπυν στ χρήστη να δημιυργήσει μία κατασκευή μέσα από μία σειρά ενεργειών πυ ρίζνται γεωμετρικά (π.χ. κατασκευή ευθείας παράλληλης πρς μία άλλη, από σημεί εκτός αυτής). Όταν στ απτέλεσμα αυτής της κατασκευής, επιλέξυμε κάπι σημεί και τ σύρυμε, με την βήθεια τυ πντικιύ, τ γεωμετρικό αντικείμεν μεταβάλλεται, ενώ όλες ι γεωμετρικές σχέσεις πυ χρησιμπιήθηκαν κατά την κατασκευή διατηρύνται. Έτσι, η κατασκευή βασίζεται και συμπεριφέρεται με βάση τις γεωμετρικές σχέσεις και τις ιδιότητες πυ απρρέυν απ αυτές. Αυτή η συμπεριφρά τυ σχήματς δεν παρυσιάζεται όταν μαθητής έχει δημιυργήσει ένα σχήμα βασισμέν σε επιφανειακά χαρακτηριστικά. Για παράδειγμα, η ανάθεση στυς μαθητές να βρυν τρόπ (ή τρόπυς) να σχεδιάσυν με ένα λγισμικό δυναμικής γεωμετρίας, ένα ισσκελές τρίγων τ πί να μπρεί να μεταβάλλεται και να αντέχει στην δκιμασία τυ συρσίματς των κρυφών, απαιτεί εκ μέρυς τυς τη συνειδητπίηση και την κατανόηση των γεωμετρικών ιδιτήτων πυ θα πρέπει να χρησιμπιήσυν έτσι ώστε τ τρίγων να παραμένει ισσκελές κάτω απ όλες τις περιστάσεις. Η σχεδίαση ενός ισσκελύς τριγώνυ, βασισμένη στις μετρήσεις των πλευρών, δεν «αντέχει» στην δκιμασία τυ συρσίματς, ενώ η κατασκευή ισσκελύς πυ βασίζεται π.χ. στην ιδιότητα των σημείων της μεσκαθέτυ «αντέχει». Ταυτόχρνα η δυναμική μεταβλή της κατασκευής, τυς επιτρέπει να διερευνήσυν και να κατανήσυν (με κατάλληλες δραστηριότητες και ερωτήσεις) άλλες σχέσεις, όπως ότι τα ισόπλευρα τρίγωνα είναι και ισσκελή, χωρίς όμως να ισχύει και τ αντίστρφ. Πρτείνεται να δθύν ως δραστηριότητες για τ σπίτι, ι κατασκευές ισσκελύς, ισόπλευρυ και σκαληνύ τριγώνυ, όπως επίσης ρθγωνίυ, αμβλυγωνίυ και ξυγωνίυ με ένα λγισμικό δυναμικής γεωμετρίας, πυ να «αντέχυν» στην διαδικασία συρσίματς και με συζήτηση στην τάξη, των πρσεγγίσεων των μαθητών, μέσα από κατάλληλες ερωτήσεις, να αναδειχθύν πτυχές των υπό Απαραίτητη πρϋπόθεση για αυτή την δραστηριότητα είναι ι μαθητές να είναι εξικειωμένι με κάπι λγισμικό δυναμικής γεωμετρίας και να μπρύν να δυλεύυν αυτόνμα σ αυτό. 0

23 διαπραγμάτευση εννιών ή να απτελέσυν την βάση πρβληματισμύ για την ανάπτυξη της επόμενης ενότητας. Πρτείνεται να γίνυν στην τάξη κατασκευές τριγώνων (ισσκελύς & ισπλεύρυ) από τυς μαθητές και κανόνα και διαβήτη, αλλά και λγισμικό δυναμικής γεωμετρίας (αν υπάρχει η δυνατότητα), ώστε να φανεί πιες ιδιότητες τυ κάθε τριγώνυ παραμένυν σταθερές όταν αυτό αλλάζει. Επίσης να δθεί έμφαση στις κατασκευές κυρίως υψών, αλλά και διχτόμων-διαμέσων όλων σε ξυγώνι, αμβλυγώνι και ρθγώνι τρίγων. ΠΡΟΤΕΙΝΟΝΤΑΙ: Δραστηριότητα: Θα δθεί ένα φύλλ εργασίας με τρίγωνα διαφόρων ειδών και θέσεων και θα κληθύν ι μαθητές να τα ταξινμήσυν. Επίσης μπρεί να ζητηθεί από τυς μαθητές να σχεδιάσυν τρίγωνα με βάση κάπιες πρδιαγραφές λ.χ. ρθγώνια ισσκελή. Παράδειγμα σ. 19. Ενδεικτική δραστηριότητα: Η άσκηση 4 τυ σχλικύ βιβλίυ πυ αφρά τ σημεί τμής των διαμέσων, μπρεί να γίνει πι διερευνητικά με τ μικρπείραμα «Εκεί πυ τέμννται ι διάμεσι» από τα εμπλυτισμένα σχλικά βιβλία. [Σχόλι: Η ενδεικτική δραστηριότητα αυτή δίνεται ως παράδειγμα της χρήσης ενός λγισμικύ δυναμικής γεωμετρίας στη διερεύνηση ιδιτήτων, καθώς αυτές παραμένυν σταθερές όταν τ σχήμα αλλάζει.] 3. (Να διατεθύν 3 διδακτικές ώρες) Οι μαθητές γνωρίζυν από τ Δημτικό ότι τ άθρισμα των γωνιών ενός τριγώνυ είναι 180, ενώ τις ιδιότητες τυ ισσκελύς και τυ ισπλεύρυ μπρεί να τις έχυν διαπραγματευτεί σε πρηγύμενες ενότητες, όπως έχει πρταθεί. Πρτείνεται να δθεί πρτεραιότητα στα παραδείγματα εφαρμγές και στις ασκήσεις 1, 4, 5, 6, 7, 8 και 9. Η άσκηση 10 είναι πλύ δύσκλη γι αυτή την ηλικία και αν αντιμετωπιστεί να μη γίνει με τη βήθεια τυ αλγεβρικύ λγισμύ. Να μη δθεί έμφαση μόν σε υπλγιστικές ασκήσεις γωνιών τριγώνυ. ΠΡΟΤΕΙΝΟΝΤΑΙ: Δραστηριότητα 1. Σημειώνεται ότι εδώ υπάρχει η δυνατότητα να γίνει και θεωρητική αιτιλόγηση τυ συμπεράσματς με βάση όσα υπάρχυν στις σ ή με βάση την διάταξη τυ παραδείγματς σ.. Παραδείγματα, 3, 4, 5, 6 σ. -3 (τα παραδείγματα 4, 5, 6 μπρύν να δθύν για τ 1

24 σπίτι και να γίνει μετά η παρυσίαση τυς από τυς μαθητές). η Ενδεικτική δραστηριότητα 1 : Τ άθρισμα των γωνιών τυ τριγώνυ χρησιμπιείται ως βασικό απτέλεσμα για τν πρσδιρισμό μιας σχέσης ανάμεσα στ άθρισμα των γωνιών και τ πλήθς των πλευρών ενός τυχαίυ πλυγώνυ. Οι μαθητές κατασκευάζυν πλύγωνα με 4, 5, 6, 7 και 8 πλευρές, τα χωρίζυν σε τρίγωνα με διαγώνιες πυ άγνται από μία κρυφή και καταγράφυν σε πίνακα τ είδς τυ πλυγώνυ, τ πλήθς των τριγώνων στα πία χωρίζεται και τ άθρισμα των γωνιών τυ. Από τα στιχεία τυ πίνακα συνάγυν με επαγωγικό τρόπ τη ζητύμενη γενική σχέση. [Σχόλι: Στόχς αυτής της δραστηριότητας είναι να χρησιμπιήσυν ι μαθητές τ άθρισμα γωνιών τριγώνυ σε περαιτέρω υπλγισμύς] η Ενδεικτική δραστηριότητα : Ηαισθητπίηση της έννιας τυ αθρίσματς γωνιών τριγώνυ, πρτείνεται να γίνει με τη χρήση ψηφιακών εργαλείων, όπως με τ «Πειράματα με τ άθρισμα γωνιών τριγώνυ», στ Φωτόδεντρ: Αναλυτικότερες πληρφρίες για την εφαρμγή και τις δραστηριότητες πυ μπρεί να εμπλέξει τυς μαθητές εκπαιδευτικός, υπάρχυν σε σύνδεσμ στ κάτω μέρς της εφαρμγής. 3.3 και 3.4 (Να διατεθύν 6 διδακτικές ώρες) Οι μαθητές κατανύν ότι τα παραλληλόγραμμα και τα τραπέζια είναι τετράπλευρα με συγκεκριμένες ιδιότητες. Πρτείνεται να δθύν κατάλληλες δραστηριότητες κατασκευής παραλληλγράμμυ, ρθγωνίυ κτλ. με λγισμικό δυναμικής γεωμετρίας, με βάση αυτά πυ αναφέρθηκαν στην 3.1 με χρήση χειραπτικών και ψηφιακών μέσων και σχεδιασμύ των υψών τυς. Τo περιεχόμεν της ενότητας είναι 3.4 είναι νέ για τυς μαθητές. Πρτείνεται η αιτιλόγηση των ιδιτήτων να γίνει με χρήση των συμμετριών και ι μαθητές να χρησιμπιήσυν τις ιδιότητες των παραλληλγράμμων σε κατασκευές. ΠΡΟΤΕΙΝΟΝΤΑΙ: Μπρεί να δθεί η ακόλυθη ταξινόμηση των τετραπλεύρων: Η διδασκαλία να γίνει με έμφαση α) στις κατασκευές από τις πίες πρκύπτυν ι ιδιότητες) β) διερεύνηση συμμετριών Παραδείγματα 1,, 3 σ. 7 και παράδειγμα σ,. 30 Ασκήσεις, 3, 6 σ. 31. η Ενδεικτική δραστηριότητα 1 : Με τ μικρπείραμα στη Χελωνόσφαιρα «Μια διαδικασία πυ κατασκευάζει πάνττε τετράγωνα» από τα εμπλυτισμένα σχλικά βιβλία, ι μαθητές μπρύν να πειραματιστύν με την κατασκευή τετραγώνυ, χρησιμπιώντας τν ρισμό τυ.

25 [Σχόλι: Στόχς είναι ρισμός να απκτήσει νόημα για τυς μαθητές μέσω της χρήσης τυ σε κατασκευές. Παρόμια μικρπειράματα μπρύν να γίνυν και με άλλα παραλληλόγραμμα.] η Ενδεικτική δραστηριότητα : Με τ μικρπείραμα στη Χελωνόσφαιρα «Είδη παραλληλγράμμυ και ι σχέσεις εγκλεισμύ τυς» από τα εμπλυτισμένα σχλικά βιβλία, ι μαθητές μπρύν να διερευνήσυν τις σχέσεις εγκλεισμύ των ειδών τετραπλεύρυ. η Ενδεικτική δραστηριότητα 3 : Να κατασκευάσετε με χρήση τυ χάρακα, τυ μιργνωμνίυ και τυ διαβήτη (ή με χρήση λγισμικύ) ένα παραλληλόγραμμ τυ πίυ ι πλευρές έχυν μήκη 5,1cm και 3,cm και σχηματίζυν γωνία 5. η Ενδεικτική δραστηριότητα 4 : Να περιγράψετε τν τρόπ πυ κατασκευάστηκε με χρήση τυ χάρακα και τυ μιργνωμνίυ (ή με χρήση λγισμικύ) τ παραλληλόγραμμ ΑΒΓΔ στ πί ι διαγώνιες έχυν μήκη ΑΓ = 6cm, ΒΔ = 3,5cm και σχηματίζυν γωνία 66. [Σχόλι: Στόχς των δύ παραπάνω δραστηριτήτων είναι η εμβάθυνση στην έννια της γεωμετρικής κατασκευής. Οι μαθητές α) δημιυργύν ένα γεωμετρικό σχήμα πυ έχει δεδμένες ιδιότητες και β) περιγράφυν τα βήματα της κατασκευής ενός δεδμένυ γεωμετρικύ σχήματς.] η Ενδεικτική δραστηριότητα 5 : Για τη χρήση των ιδιτήτων των παραλληλγράμμων μπρεί να χρησιμπιηθεί τ μικρπείραμα «Κατασκευή παραλληλγράμμων με μόκεντρυς κύκλυς» από τα εμπλυτισμένα σχλικά βιβλία: Σημείωση: Μπρείτε να κατεβάσετε τις ψηφιακές δραστηριότητες και να τις ανίξετε τπικά με τ αντίστιχ λγισμικό. Αν δεν έχετε εγκατεστημέν τ λγισμικό, τότε, αν πρόκειται για αρχεί με κατάληξη.ggb, κατεβάστε και εγκαταστήστε τ Geogebra από τη διεύθυνση ή, διαφρετικά, ψάξτε για τ αντίστιχ λγισμικό στη διεύθυνση Για να δείτε την πρεπισκόπηση των ψηφιακών δραστηριτήτων σε απευθείας σύνδεση (online), πρτιμήστε τν φυλλμετρητή MozillaFirefox. Αν η εφαρμγή είναι σε flash θα πρέπει να εγκαταστήσετε τ πρόσθετ Adobeflashplayer από τη διεύθυνση Αν η εφαρμγή χρησιμπιεί τη Java (π.χ. Geogebra), τότε εγκαταστήστε την από τη διεύθυνση Αν συνεχίζετε να έχετε πρόβλημα στην πρεπισκόπηση, τότε πρσθέστε τις διευθύνσεις και στ exceptionsitelist στην καρτέλα security της Java (ανίξτε τ ControlPanel, τη Java, στην καρτέλα security πατήστε Edit sitelist και πρσθέστε τις δύ διευθύνσεις, κλείστε τ browser και ξανανίξτε τν). 3

26 Μαθηματικά Β Τάξης Γυμνασίυ Διδακτικό Έτς ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ-ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ Από τ βιβλί «Μαθηματικά Α Γυμνασίυ» των Ιωάννη Βανδυλάκη, Χαράλαμπυ Καλλιγά, Νικηφόρυ Μαρκάκη, Σπύρυ Φερεντίνυ: ΜΕΡΟΣ Α Κεφ. 7: Θετικί και Αρνητικί Αριθμί Δεκαδική μρφή ρητών αριθμών. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη ακέραι Από τ βιβλί «Μαθηματικά Β Γυμνασίυ» των Παναγιώτη Βλάμυ, Παναγιώτη Δρύτσα, Γεωργίυ Πρέσβη, Κωνσταντίνυ Ρεκύμη: ΜΕΡΟΣ Α Κεφ. 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Η έννια της μεταβλητής Αλγεβρικές παραστάσεις Εξισώσεις α' βαθμύ Επίλυση πρβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων Κεφ. : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ.1..3 Τετραγωνική ρίζα θετικύ αριθμύ Άρρητι αριθμί Πραγματικί αριθμί Πρβλήματα Κεφ. 3: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η έννια της συνάρτησης Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης (χωρίς τις εφαρμγές και 3). Η συνάρτηση y α x Η συνάρτηση y α x β (χωρίς τις υππαραγράφυς: «Η εξίσωση της μρφής «α x β y γ» και «Σημεία τμής της ευθείας α x β y γ με τυς άξνες»). α Η συνάρτηση y Η υπερβλή x Κεφ. 4: ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Βασικές έννιες της Στατιστικής: Πληθυσμός Δείγμα Γραφικές Παραστάσεις Μέση τιμή Διάμεσς (χωρίς την υππαράγραφ: «Μέση τιμή μαδπιημένης κατανμής») ΜΕΡΟΣ Β Κεφ. 1: ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Εμβαδόν επίπεδης επιφάνειας Μνάδες μέτρησης επιφανειών Εμβαδά επίπεδων σχημάτων Πυθαγόρει θεώρημα Κεφ. : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ.1. Εφαπτμένη ξείας γωνίας Ημίτν και συνημίτν ξείας γωνίας (χωρίς την παρατήρηση β της σελίδας 143). 4

27 Κεφ. 3: ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ Εγγεγραμμένες γωνίες Καννικά πλύγωνα Μήκς κύκλυ Εμβαδόν κυκλικύ δίσκυ Κεφ. 4: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ ΜΕΤΡΗΣΗ ΣΤΕΡΕΩΝ Στιχεία και εμβαδόν πρίσματς και κυλίνδρυ Όγκς πρίσματς και κυλίνδρυ Η πυραμίδα και τα στιχεία της Η σφαίρα και τα στιχεία της ΙΙ. Διαχείριση Διδακτέας ύλης Οι παρακάτω δηγίες έχυν στόχ να παρυσιάσυν κάπιες σημαντικές πλευρές για κάθε ενότητα και έτσι να υπστηρίξυν τν εκπαιδευτικό ώστε να σχεδιάσει τη διδασκαλία τυ και να επιλέξει υλικό. Η κατανμή των διδακτικών ωρών πυ πρτείνεται είναι ενδεικτική. Μέσα σε αυτές τις ώρες περιλαμβάνεται χρόνς πυ θα χρειαστεί για ανακεφαλαιώσεις, γραπτές δκιμασίες, εργασίες κ.λπ. Οι δραστηριότητες πυ περιέχνται πρέρχνται από τ πρόγραμμα σπυδών για τ γυμνάσι και τν δηγό τυ εκπαιδευτικύ τα πία είναι συμπληρωματικά πρς τα ισχύντα και μπρύν να ανακτηθύν από τν ιστότπ τυ ψηφιακύ σχλείυ ( Ταυτόχρνα κατεβλήθη πρσπάθεια ι δηγίες να εξειδικευθύν ανά παράγραφ με συγκεκριμένες διδακτικές πρτάσεις πυ λαμβάνυν υπόψη τη συνχή και εξέλιξη των διδασκόμενων εννιών και μεθόδων, την ανάδειξη των σημαντικών ιδεών καθώς και τη διδακτική πρακτική. ΜΕΡΟΣ Α Κεφάλαι 7 Α ΜΕΡΟΥΣ Μαθηματικών Α Γυμνασίυ (Να διατεθύν 10 ώρες) Επανάληψη βασικών εννιών (αρνητικί αριθμί, απόλυτη τιμή, αντίθετς αριθμύ) και διαδικασιών (πράξεις) από τις πρηγύμενες παραγράφυς (3 ώρες). 7.7, 7.8 και 7.9 (Να διατεθύν 7 ώρες και μέχρι την λκλήρωση τυς δεν θα διδαχθεί η Γεωμετρία.) H διδασκαλία αυτών των παραγράφων πρσφέρεται για ανάκληση πρηγυμένων γνώσεων ενώ πρετιμάζεται η διδασκαλία των πρώτων κεφαλαίων τόσ της Άλγεβρας όσ και της Γεωμετρίας της Β Γυμνασίυ. Κατά την διδασκαλία πρτείνεται να δθεί έμφαση στα παρακάτω: Φυσικί αριθμί, θετικά κλάσματα, θετικί δεκαδικί, Ακέραιι, αρνητικά κλάσματα, Αρνητικί δεκαδικί. Διάταξη, πράξεις. Τπθέτηση και αναγνώριση αριθμών (με δεκαδική ή κλασματική μρφή) στην ευθεία των ρητών Είναι σημαντικό να αφιερωθεί χρόνς στην εξήγηση των ιδιτήτων των δυνάμεων μέσα από παραδείγματα. Η απμνημόνευση των κανόνων είναι πρτιμότερ να έρθει μέσα από τη χρήση τυς και όχι από την αρχή της διδασκαλίας. Είναι σημαντικό να αφιερωθεί χρόνς στη δικαιλόγηση των ρισμών των δυνάμεων με εκθέτη 0 ή αρνητικό, μέσα από την επιδίωξη να επεκτείννται ι ιδιότητες των δυνάμεων. Αυτό μπρεί να γίνει με διερεύνηση των ίδιων των μαθητών μέσα από παραδείγματα (πυ περιέχνται στ βιβλί ή άλλα). Σχετικά με τις δυνάμεις, να συζητηθεί τ γεγνός ότι μεταξύ δύ δυνάμεων με ίδια βάση, μεγαλύτερη τυ 1, μεγαλύτερη είναι η δύναμη πυ έχει τ μεγαλύτερ εκθέτη (π.χ.,5 (,5) (,5)3 ), ενώ συμβαίνει τ αντίθετ, αν η βάση είναι μικρότερη τυ 1 (π.χ. 0, (0,) (0,)3 ). Να γίνει χρήση τυ υπλγιστή τσέπης. Ενδεικτική δραστηριότητα: Μπρείτε να εξηγήσετε γιατί τ γινόμεν 3 3 είναι ίσ με τη δύναμη 3 ; Μπρείτε να 3 5 γράψετε με μρφή μιας δύναμης τ γινόμεν ; 5

28 κ λ Μπρείτε να γράψετε με μρφή μιας δύναμης τ γινόμεν α α ; 8 Πως θα γράφατε τ 5 ως γινόμεν δυνάμεων; [Σχόλι: Ο στόχς της δραστηριότητας είναι η διερεύνηση και η αιτιλόγηση (από τυς μαθητές) της ιδιότητας ακ α λ ακ λ. Αντίστιχες δραστηριότητες μπρύν να χρησιμπιηθύν και για τις υπόλιπες ιδιότητες.] Οι παράγραφι 7.7, 7.8, 7.9 δεν απτελύν εξεταστέα ύλη. Κεφάλαι 1 (Να διατεθύν 13 ώρες) 1.1 (Να διατεθύν 4 ώρες) Να δθεί πρτεραιότητα σε ασκήσεις αλγεβρικής έκφρασης πστήτων πυ είναι λεκτικά διατυπωμένες και αντιστρόφως. Στόχς είναι η εξικείωση των μαθητών με διαδικασίες αλγεβρικής μντελπίησης ι πίες δίνυν νόημα στην άλγεβρα αλλά μπρύν να υπστηρίζυν και την κατανόηση των διαδικασιών (όπως για παράδειγμα την επιμεριστική ιδιότητα). Επιπρόσθετα, ι μαθητές θα πρέπει να εμπλακύν σε δραστηριότητες πυ θα δίνυν νόημα στις αναγωγές μίων όρων και τις απλπιήσεις αλγεβρικών παραστάσεων με χρήση της επιμεριστικής ιδιότητας. ΠΡΟΤΕΙΝΟΝΤΑΙ: Η έννια της μεταβλητής θα πρσεγγιστεί περιγραφικά εξηγώντας τν ρόλ και την σημασία της. Ο πρτεινόμενς από τ διδακτικό βιβλί ρισμός δεν απτελεί αντικείμεν εξέτασης. Στην δραστηριότητα 1.1 της σελίδας 11 πρτείνεται να πρστεθύν ερωτήματα όπυ δίνεται τ κόστς τυ τηλεφωνήματς και ζητείται η διάρκεια τυ. Με αυτό τν τρόπ η αλγεβρική κατάστρωση συνδέεται με μια απλή εξίσωση. Στην δραστηριότητα 1. της σελίδας 1 πρτείνεται να δθύν και δεκαδικές τιμές στα α, β, γ ώστε να φανεί η αξία χρήσης της επιμεριστικής ιδιότητας για την ικνμία των πράξεων. Εφαρμγή 4 σ. 13. Να τνιστεί ότι η μόνη διαθέσιμη πληρφρία είναι ότι x+y=10 και πως η επιλγή της μεθόδυ επίλυσης πρέπει να αξιπιεί αυτό τ δεδμέν. Ερώτηση κατανόησης 3 σ. 13. Να συζητηθεί η τεχνική απάντησης με δκιμή αριθμών. Ειδικά ή χρήση εύκλων τιμών όπως τυ 0. Ασκήσεις 1,, 5, 6. Σ. 14. Στην άσκηση 5 να συμπεριληφθύν τιμές πυ υπδεικνύυν την αναγκαιότητα απλπίησης. Ενδεικτικά α) x=1/4, y=1/8 β) α=7, β=5. η Ενδεικτική δραστηριότητα 1 : Χρησιμπιώντας σπίρτα κατασκευ άζυμε ένα τετράγων (1 σχήμα) και κατόπιν πρσθέτυμε δίπλα τυ άλλ ένα τετράγων ( σχήμα), κι άλλ ένα τετράγων (3 σχήμα), κκ. α) Να βρείτε πόσα σπίρτα χρειάζνται για 4 τετράγωνα, για 10 τετράγωνα, για 57 τετράγωνα; [Σχόλι: Ο στόχς της δραστηριότητας είναι η παραγωγή μιας αλγεβρικής παράστασης για να εκφραστεί γενικός όρς της καννικότητας (ακλυθίας). Η διερεύνηση των μαθητών για τν αριθμό των σπίρτων πυ χρειάζνται για συγκεκριμέν και μικρό αριθμό τετραγώνων θα τυς βηθήσει να αναπτύξυν στρατηγικές (όπως η κατασκευή ενός πίνακα τιμών) η γενίκευση των πίων θα δηγήσει στη συμβλική διατύπωση τυ γενικύ όρυ (πυ είναι απαραίτητς για να βρεθεί αριθμός σπίρτων πυ χρειάζεται για μεγάλυς αριθμύς τετραγώνων). Είναι αναμενόμενες και επιθυμητές ι διαφρετικές πρσεγγίσεις των μαθητών, πχ. 1+3x, 4+3(x 1), x+x+1, κι αυτό μπρεί να είναι αφρμή συζήτησης για την ισδυναμία αυτών των εκφράσεων.] Ενδεικτική δραστηριότητα : Μικρπείραμα από τα εμπλυτισμένα σχλικά βιβλία, για την κατανόηση της επιμεριστικής ιδιότητας τυ πλλαπλασιασμύ ως πρς την πρόσθεση, μέσα από τη γεωμετρική της ερμηνεία: 1. (Να διατεθύν 5 ώρες) Στις εξισώσεις χωρισμός γνωστών από άγνωστυς να μην γίνεται από 6

29 την αρχή με τν πρακτικό κανόνα «αλλάζω μέλς αλλάζω πρόσημ», πυ μιάζει μαγικός στ μαθητή και τν δηγεί σε μηχανιστικύς και άνευ νήματς χειρισμύς, αλλά με βάση τις ιδιότητες των πράξεων. Η ιδιότητα αυτή μπρεί να υπστηριχθεί με τ μντέλ της ζυγαριάς στην περίπτωση των θετικών αριθμών. Εξάλλυ, ι σύγχρνες απόψεις για τη διδασκαλία της άλγεβρας, δίνυν έμφαση στ νόημα των αλγεβρικών εκφράσεων και στην δυνατότητα χειρισμύ πλλαπλών αναπαραστάσεων, παράλληλα με την ανάπτυξη αλγριθμικών δεξιτήτων. Η διδασκαλία των εξισώσεων θα πρέπει να ξεκινάει από πρβλήματα, τα πία είναι δυσκλότερ να λυθύν με πρακτική αριθμητική και να επιλύνται εξισώσεις πυ είναι μντέλα τέτιων πρβλημάτων. Έτσι, δεν έχει νόημα η διδασκαλία πλύπλκων εξισώσεων πυ απαιτύν μεγάλη ευχέρεια στν αλγεβρικό λγισμό, όπως ι ασκήσεις 6, 7 και 9 (εξίσωση με παράμετρ). ΠΡΟΤΕΙΝΟΝΤΑΙ: Να γίνει υπενθύμιση των χειρισμών (στυς πίυς μπρεί να αναχθεί η επίλυση εξισώσεων): o Αν x+α=β τότε x=β-α. o Αν αx=β και α 0 τότε x=β/α. o Αν x-α=β τότε x=β+α. o Αν x/α=β, πότε, βέβαια, α 0, και β 0 τότε x=αβ. Επίσης να τνιστεί ότι αυτό πυ νμάζεται μεταφρά αριθμύ/μεταβλητής από ένα μέλς μιας εξίσωσης σε ένα άλλ έχει άμεση σχέση με o τυς παραπάνω χειρισμύς, o τ πώς συνδέεται αριθμός αυτός με τυς υπόλιπυς και o με πιες πράξεις. Επίσης καλό είναι να τνιστεί ότι όπως μπρύν να μεταφέρνται αριθμί μπρύν να μεταφέρνται παραστάσεις Πρτείνεται όπυ είναι δυνατόν ι εξισώσεις να επιλύνται με βάση τυς παραπάνω χειρισμύς. Εφαρμγές 1,, 3, 4 σελίδων Ερωτήσεις κατανόησης 1,, σελίδας 0 (να τνιστεί η σημασία απάντησης με δκιμή). Ασκήσεις 1,, 3, 4, 10, 11 σελίδων 0-1. Ως επέκταση των τεχνικών επίλυσης εξισώσεων να γίνυν η δραστηριότητα 1 της σ. 3 και η εφαρμγή της σ. 3. η Ενδεικτική δραστηριότητα 1 : Στ διπλανό σχήμα όλα τα σακυλάκια έχυν τ ίδι βάρς, κάθε κυβάκι ζυγίζει 50 γρ. και η ζυγαριά ισρρπεί. Μπρείτε να βρείτε (χωρίς χαρτί και μλύβι) τ βάρς πυ έχει κάθε σακυλάκι; Περιγράψτε τν τρόπ πυ λύσατε τ πρόβλημα, πρώτα με λόγια και μετά με μαθηματικές σχέσεις. [Σχόλι: Μέσα από τ μντέλ της ζυγαριάς ι μαθητές μπρύν να εξερευνήσυν τόσ τις ιδιότητες της ισότητας (ότι η ισότητα ισρρπία δεν αλλάζει αν κάνυμε τη ίδια πράξη δράση και στα δύ μέλη), όσ και τη διαδικασία επίλυσης της εξίσωσης. Είναι σημαντικό η εξερεύνηση αυτή να γίνει από τυς ίδιυς τυς μαθητές μέσα από τ νητικό πείραμα με τη ζυγαριά (χωρίς χαρτί και μλύβι) και κατόπιν να διατυπωθεί συμβλικά από τυς ίδιυς. Είναι πιθανό κάπιι μαθητές να λύσυν τ πρόβλημα με δκιμές, εφόσν αυτή η μέθδς είναι πι πρσιτή στν άπειρ λύτη και πι κντά στην καθημερινή εμπειρία. Με κατάλληλη μετατρπή των δεδμένων (πχ. ένα κυβάκι λιγότερ στν ένα από τυς δίσκυς)μπρεί να φανεί ότι αυτή η μέθδς δεν είναι πάντα εύχρηστη] η Ενδεικτική δραστηριότητα : Να κατασκευάσετε μια εξίσωση με άγνωστ και στα δύ μέλη, η πία να έχει για λύση τν αριθμό 4. [Σχόλι: Η κατασκευή εξίσωσης με γνωστή λύση υπστηρίζει την κατανόηση της έννιας της εξίσωσης και της λύσης της. Θα μπρύσαν να αξιπιηθύν και παραλλαγές αυτής της δραστηριότητας με περισσότερυς περιρισμύς, όπως πχ να έχει άγνωστ μόν στ πρώτ 7

30 μέλς και τ δεύτερ μέλς να είναι ίσ με 5, κκ.] η Ενδεικτική δραστηριότητα 3 : Με τ μικρπείραμα «Αναπαράσταση και επίλυση εξίσωσης στ ζυγό» από τα Φωτόδεντρ ι μαθητές διερευνύν μέσα από την αναπαράσταση στ ζυγό την επίλυση μιας εξίσωσης: (Να διατεθύν 4 ώρες) Όπως φαίνεται και από τα παραπάνω, τα πρβλήματα είναι η σημαντικότερη αφετηρία δημιυργίας και επίλυσης εξισώσεων στ πλαίσι της διδασκαλίας τυ Γυμνασίυ. Η υπστήριξη των μαθητών ώστε να εμπλακύν επιτυχώς με αυτά είναι σημαντικός στόχς. Αντί για την αυτόνμη διδασκαλία αυτής της ενότητας, εκπαιδευτικός θα μπρύσε να σχεδιάσει τη διδασκαλία τυ ώστε να πρβλήματα να είναι πάντα μέσα στη συζήτηση λόκληρυ τυ κεφαλαίυ των εξισώσεων, αφιερώνντας τις 8 ώρες στην ενιαία διαπραγμάτευση των παραγράφων 1. και 1.4. ΠΡΟΤΕΙΝΟΝΤΑΙ: Δραστηριότητα 1 σ. 6 Εφαρμγές 1, σ, 7 και 3, 4 σ. 8. Ασκήσεις 1,, 3, 4, 7. Επισημαίνεται ότι η εμπέδωση των εξισώσεων διατρέχει όλη την ύλη ιδιαίτερα τα Β.1.1, Β1., Β1.3. η Ενδεικτική δραστηριότητα 1 : Να κατασκευάσετε ένα πρόβλημα πυ λύνεται με την εξίσωση 15=x7. [Σχόλι: Στόχς της δραστηριότητας είναι η κατασκευή πρβλήματς πυ μντελπιείται από γνωστή εξίσωση. Αυτή η διαδικασία είναι σημαντική στην εξικείωση των μαθητών με την μντελπίηση καταστάσεων και πρβλημάτων μέσω εξισώσεων.] η Ενδεικτική δραστηριότητα : Η άσκηση τυ σχλικύ βιβλίυ πριν την αλγεβρική της επίλυση πρτείνεται να διερευνηθεί πρώτα, με τη χρήση ψηφιακών εργαλείων με τ μικρπείραμα «Ισότητα εμβαδών (Ορθγώνι-Ισόπλευρ)», από τα εμπλυτισμένα σχλικά βιβλία: Κεφάλαι (Να διατεθύν 7 ώρες) Τ περιεχόμεν τυ κεφαλαίυ είναι νέ για τυς μαθητές και υπάρχυν πλλές πτυχές πυ είναι πηγή δυσκλιών (δεκαδική αναπαράσταση αρρήτων, έννια πραγματικών αριθμών, κ..κ.)..1 (Να διατεθύν 3 ώρες) Η παράγραφς αυτή θα πρέπει να διδαχθεί αμέσως μετά τη διδασκαλία της 1.4 (Πυθαγόρει Θεώρημα) της Γεωμετρίας. ΠΡΟΤΕΙΝΟΝΤΑΙ: Η αφόρμηση για την εισαγωγή της έννιας της τετραγωνικής ρίζας θα γίνει από τ πυθαγόρει θεώρημα: Δραστηριότητα: Οι εφαρμγές 3, 4 σ. 4. Μετά τν ρισμό της τετραγωνικής ρίζας και τα κατάλληλα αριθμητικά παραδείγματα να γίνει ιδιαίτερη μνεία στην με τις εξής δύ αναπαραστάσεις: 8

31 Στα παραδείγματα υπλγισμύ να δθεί και τ ακόλυθ: Ασκήσεις 1,, 3 σ. 43 και 5, 7, 1, 13, 14 σ. 44 Ενδεικτική δραστηριότητα: Μια μικρή αίθυσα τυ σχλείυ μας έχει δάπεδ σχήματς τετραγώνυ πλευράς 4 m. Μια άλλη αίθυσα έχει επίσης δάπεδ σχήματς τετραγώνυ, αλλά διπλάσιυ εμβαδύ. Πόσ είναι τ μήκς της πλευράς τυ δαπέδυ της δεύτερης αίθυσας; [Σχόλι: Μέσα από αυτό τ πρόβλημα (ή άλλα παρόμια) μπρεί να αναδειχθεί η ανάγκη χρήσης τετραγωνικών ριζών και η διερεύνηση της ύπαρξης αριθμών πυ δεν είναι ρητί. Η αναζήτηση της πλευράς ώστε τ εμβαδόν της αίθυσας να είναι 3m, μπρεί να γίνει με υπλγιστή, ώστε να διευκλυνθεί η πρσπάθεια διαδχικών πρσεγγίσεων. Η επιδίωξη είναι να πιθανλγήσυν ι μαθητές ότι αυτή η διαδικασία «δεν θα τελειώσει πτέ» και να δηγηθύν στην ιδέα τυ αριθμύ πυ μετά την υπδιαστλή έχει άπειρα ψηφία μη περιδικά. Ο ρόλς τυ εκπαιδευτικύ στη φάση της διερεύνησης είναι να θέτει ερωτήματα πυ θα δηγήσυν τις αναζητήσεις και τη συζήτηση στα παραπάνω. Μετά από τη διερεύνηση, θα χρειαστεί να αναλάβει ίδις κάπι μέρς από τη ρητή διατύπωση εννιών (τετραγωνική ρίζα, άρρητς), των χαρακτηριστικών τυς και των μαθηματικών συμβλισμών, αφύ δεν μπρεί αυτά να αναμέννται εξ λκλήρυ από τυς μαθητές.]. και.3 (Να διατεθύν 4 ώρες) Πρτείνεται να συζητηθύν στην τάξη θέματα σχετικά με βασικές ιδιότητες συνέχειας των πραγματικών και της ευθείας, με απλά ερωτήματα όπως: «Πις είναι μικρότερς θετικός πραγματικός;», «Πις είναι επόμενς πραγματικός τυ 1;», «Μπρύμε πάντα να βρίσκυμε έναν ρητό/άρρητ ανάμεσα σε δύ άλλυς;». Η παράγραφς.3 δεν θα διδαχτεί αυτόνμα, αλλά τα πρβλήματα πυ περιέχνται στην.3 είναι χρήσιμ να απτελέσυν δραστηριότητες κατά τη διδασκαλία της παρύσας παραγράφυ. αλλά και τυ πυθαγρείυ θεωρήματς. ΠΡΟΤΕΙΝΟΝΤΑΙ: Τα υσιώδη σημεία των παραγράφων είναι: o Η αναφρά ότι υπάρχυν άρρητι αριθμί. o Η πρσέγγιση τυ στη σελίδα 45. o Η συμπλήρωση της ευθείας των ρητών με άρρητυς αριθμύς στην εφαρμγή 3 σ. 45. Μετά την πραγμάτευση των παραπάνω μπρύν να γίνυν ι ερωτήσεις κατανόησης της σ. 48 και τ πρόβλημα 4 της σ. 50. Ασκήσεις 4 σ. 48 (αφύ πρηγηθεί στην τάξη η επίλυση της x²=16) και 1, 4, 6 σ

32 Ενδεικτική δραστηριότητα: Η εφαρμγή 4 τυ σχλικύ βιβλίυ πρτείνεται να διερευνηθεί με τη χρήση ψηφιακών εργαλείων, με τ μικρπείραμα «Η θέση άρρητων αριθμών στν άξνα» από τα εμπλυτισμένα σχλικά βιβλία: h πλευρές πλυγώνυ βάσης (ν) t αριθμός κρυφών (Κ) t αριθμός ακμών (Α) p αριθμός εδρών (Ε) : //photodentro.edu.gr/v/item/ds/851/ Κεφάλαι 3 (Να διατεθύν 18 ώρες) Παρά τ ότι ι μαθητές έχυν διδαχθεί τα ανάλγα και τα αντιστρόφως ανάλγα πσά στ δημτικό σχλεί, η έννια της συνάρτησης, και ι πλλαπλές αναπαραστάσεις της (λεκτική διατύπωση, γραφική παράσταση, αλγεβρικός τύπς, πίνακας τιμών) δεν έχυν γίνει μέχρι τώρα αντικείμεν συστηματικής διαπραγμάτευσης. 3.1 (Να διατεθύν 3 ώρες) Η χρήση γράμματς ως μεταβλητής και όχι μόν ως άγνωστυ σε μια εξίσωση είναι κάτι πυ δεν έχει γίνει επαρκώς αντικείμεν συζήτησης μέχρι τώρα. Για τ σκπό αυτό είναι χρήσιμη τόσ η δημιυργία αλγεβρικών τύπων συναρτήσεων από λεκτικές διατυπώσεις πστήτων, όσ και η συμπλήρωση τιμών σε πίνακα (με αντικατάσταση αριθμητικών τιμών στν τύπ). Έμφαση θα πρέπει να δθεί στη συμμεταβλή μεγεθών πυ δηγεί στην έννια της συνάρτησης, μέσα από παραδείγματα διαφρετικών συναρτήσεων. ΠΡΟΤΕΙΝΟΝΤΑΙ: Να ξεκινήσει η διδασκαλία της παραγράφυ με την εφαρμγή σ. 56 όπυ θα εξηγηθύν ι έννιες συνάρτηση, πίνακας τιμών. Στη συνέχεια μπρεί να γίνει η εφαρμγή 1 σ. 56 και να συζητηθεί η ερώτηση κατανόησης 3 της σελίδας 56. Ασκήσεις: 5, 6 σ. 57. Ενδεικτική δραστηριότητα: Τα σχήματα απεικνίζυν πυραμίδες με βάση τρίγων, τετράπλευρ, πεντάγων και εξάγων. Φανταστείτε ότι συνεχίζυμε να αυξάνυμε τν αριθμό των πλευρών της βάσης των πυραμίδων. Συμπληρώστε τν παρακάτω πίνακα: Μπρείτε να βρείτε τυς αριθμύς Κ, Α και Ε για μια πυραμίδα πυ έχει ως βάση: α) 7-γων, β) 10 γων, γ) 7 γων; Βρείτε τν αριθμό Κ+Ε Α για καθεμιά από τις πυραμίδες. Τι παρατηρείτε; Μπρείτε να εξηγήσετε γιατί συμβαίνει αυτό; [Σχόλι: Μέσα από τ γεωμετρικό πλαίσι τυ πρβλήματς δίνεται η δυνατότητα στυς μαθητές να διερευνήσυν καννικότητες (ακλυθίες), να βρυν τ γενικό όρ και να δικαιλγήσυν τα συμπεράσματά τυς. Επιπλέν, δίνεται η αφρμή για δημιυργία απλών αλγεβρικών παραστάσεων και αναγωγές μίων όρων (στ τελευταί ερώτημα). Ενώ η εύρεση των Κ, Α και Ε για 7 γων και 10 γων είναι εύκλες αριθμητικές διαδικασίες πυ 30

33 εξικειώνυν με τ πρόβλημα, τα υπόλιπα ερωτήματα βηθύν στην ανάδειξη της αξίας της άλγεβρας και ειδικότερα των συναρτήσεων. Επειδή τ πεδί ρισμύ είναι ι φυσικί, δηλαδή τ πλαίσι είναι διακριτό και όχι συνεχές, είναι πι ικεί για τυς μαθητές, συνεπώς μπρεί να αξιπιηθεί για την εισαγωγή στις συναρτήσεις.] 3. (Να διατεθύν 5 ώρες) Είναι η πρώτη φρά στην τυπική εκπαίδευση πυ ι μαθητές έρχνται σε επαφή με τ καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων και καλό είναι να υπάρξει μια εισαγωγική συζήτηση γι' αυτό ως τρόπυ πρσδιρισμύ της θέσης. Η έμφαση κατά τη διδασκαλία της παραγράφυ θα πρέπει να δθεί στις πλλαπλές αναπαραστάσεις της συνάρτησης: λεκτική, γεωμετρική (γραφική παράσταση), αριθμητική (πίνακας τιμών) και αλγεβρική (τύπς). Η εστίαση μόν στν τύπ και τυς αλγεβρικύς μετασχηματισμύς τυ δεν συμβάλλει στην κατανόηση της έννιας της συνάρτησης. Αντίθετα, η εμπλκή όλων των αναπαραστάσεων και η ανάπτυξη της ικανότητας μεταφράσεων μεταξύ τυς είναι σημαντικός στόχς. Έτσι, καλό είναι να δθύν ασκήσεις και πρβλήματα με γραφικές παραστάσεις τις πίες θα πρέπει ι μαθητές να "διαβάσυν" για να βρυν πιες τιμές τυ y αντιστιχύν σε δεδμένες τιμές τυ x και αντιστρόφως. Τέτιες είναι η ερώτηση 5, η καμπύλη θερμκρασίας ενός τόπυ (βλ. παρακάτω ενδεικτική δραστηριότητα) και άλλες πυ μπρύν να αναζητηθύν στ διαδίκτυ. Επίσης, επειδή μια συχνή παρανόηση είναι ότι όλα τα συμμεταβαλλόμενα πσά είναι ανάλγα (ή και αντιστρόφως ανάλγα), είναι σημαντική η ανάδειξη συναρτήσεων (και αντίστιχων συμμεταβαλλόμενων πσών) πυ δεν αντιστιχύν σε πσά ανάλγα ή αντιστρόφως ανάλγα. Για παράδειγμα, πρτείνεται να συζητηθεί η άσκηση 10 κατάλληλα εμπλυτισμένη ώστε να φανεί η περίπτωση της τετραγωνικής συνάρτησης (θα μπρύσε να ζητηθεί η απόσταση για 5 και 10 s και μετά τύπς της για να συζητηθεί η γραφική παράσταση. ΠΡΟΤΕΙΝΟΝΤΑΙ: Στην παράγραφ αυτή συνιστάται η χρήση χιλιστμετρικύ χαρτιύ. Πρτείννται τα ακόλυθα περιεχόμενα κατά σειρά: Δραστηριότητα 1. Εφαρμγές 1,, 3 σ. 63. Στην εφαρμγή 3 τύπς της απόστασης δύ σημείων δεν χρειάζεται να απμνημνευτεί. Οι εφαρμγές, 3 νηματδτύν γεωμετρικά τις συντεταγμένες και τις συνδέυν με βασικές έννιες (συμμετρία, απόσταση, Πυθαγόρει θεώρημα). Δραστηριότητα σ. 60. Επισημαίνεται ότι μπρεί να αξιπιηθεί η συμμετρία για την επιλγή τιμών και ικνμία στυς υπλγισμύς. Με καθδήγηση-συντνισμό τυ διδάσκντς μπρύν να γίνυν στην τάξη ι ερωτήσεις κατανόησης 1,, 3, 4 σ. 65. Δραστηριότητα 4 της σ. 63. Για να μη μείνυν ι μαθητές με την εσφαλμένη εντύπωση ότι μερικές τιμές μπρύν, χωρίς άλλες πληρφρίες να δηγήσυν στν πρσδιρισμό μιας συνάρτησης και της γραφικής της παράστασης μπρεί να γίνει η ακόλυθη δραστηριότητα: Οι τιμές μια συνάρτησης δίννται από τν πίνακα: x 1 3 y 1 3 Α) Να κάνετε την γραφική της παράσταση. Β) Πια είναι η τιμή τυ y για x=4. Επαληθεύει η συνάρτηση y=x τν παραπάνω πίνακα τιμών; Μπρύμε να πύμε τ ίδι για την συνάρτηση y=x+(x-1)(x-)(x-3); η Ενδεικτική δραστηριότητα 1 : Η παρακάτω γραφική παράσταση δείχνει τη θερμκρασία Τ (σε βαθμύς Κελσίυ) ενός τόπυ κατά τη διάρκεια ενός 4ώρυ. 31

34 α) Πια είναι η ελάχιστη και πια η μέγιστη θερμκρασία; Πια ώρα τυ 4ώρυ συμβαίνυν; Πια σημεία της γραφικής παράστασης δείχνυν την ελάχιστη και τη μέγιστη θερμκρασία; β) Πια είναι η θερμκρασία στις τη νύχτα, στις τ μεσημέρι και στις 11 τ βράδυ; Πια ώρα η θερμκρασία είναι 6 C; γ) Τι εκφράζει με βάση τ πρόβλημα τ σημεί (0,9) της γραφικής παράστασης; δ) Πιες άλλες πληρφρίες μπρύμε να αντλήσυμε από αυτή τη γραφική παράσταση; [Σχόλι: Ο στόχς της δραστηριότητας είναι η ερμηνεία της γραφικής παράστασης. Τ πρόβλημα και η εξικείωση των μαθητών με τέτιυ είδυς εικόνες από την καθημερινή και τη σχλική τυς ζωή, αναμένεται να διαμρφώσυν ένα πρόσφρ πλαίσι για τη διερεύνηση εννιών όπως γραφική παράσταση, ανεξάρτητη και εξαρτημένη μεταβλητή, διατεταγμέν ζεύγς και (χωρίς τη χρήση της ρλγίας) πεδί ρισμύ και σύνλ τιμών.] η Ενδεικτική δραστηριότητα : Για τις συναρτήσεις με τύπυς: y1 5 x, y x και y3 x, κατασκευάστε πίνακες τιμών για τις τιμές 0, 1,, 3, 4, 5, 6 τυ x. Εξετάστε τν τρόπ πυ αυξάνεται τ y 1 όταν τ x αυξάνεται κατά μια μνάδα (από τ 0 στ 1, από τ 1 στ, από τ στ 3 κκ). Κάνετε τ ίδι για τ y και τ y3. Τι παρατηρείτε; Σχεδιάστε τις γραφικές παραστάσεις των τριών συναρτήσεων. Με πιν τρόπ ι πρηγύμενες παρατηρήσεις σας (για τν «ρυθμό αύξησης» των y) φαίννται στις γραφικές παραστάσεις; [Σχόλι: Μέσα από τη σύγκριση διαφρετικών συναρτήσεων ι μαθητές μπρύν να αντλήσυν συμπεράσματα για τ ρυθμό μεταβλής (σταθερός για την ευθεία και μη σταθερός για την τετραγωνική και την εκθετική συνάρτηση) και να συνδέσυν αυτά τα συμπεράσματα με τη μρφή των γραφικών παραστάσεων (ευθεία ή καμπύλη).] η Ενδεικτική δραστηριότητα 3 : Η εισαγωγή στην έννια της απεικόνισης σημείων στ καρτεσιανό επίπεδ πρτείνεται να μελετηθεί με τη χρήση ψηφιακών εργαλείων, όπως με τ μικρπείραμα «Δραστηριότητες με συντεταγμένες» από τα εμπλυτισμένα σχλικά βιβλία: (Να διατεθύν 4 ώρες) Τ σχόλι 1 της.1 τυ Β Μέρυς (σελ. 137) να αναφερθεί στη διδασκαλία της παραγράφυ αυτής. ΠΡΟΤΕΙΝΟΝΤΑΙ: Δραστηριότητα 1 σ. 67. Να αναδειχθεί για τα ανάλγα πσά τ κριτήρι y/x=σταθ. Δραστηριότητα σ. 68. Εφαρμγές 1,, 3, 4 σ. 69. Ασκήσεις 1,, 3, 4, 8 σ. 71. η Ενδεικτική δραστηριότητα 1 : Τ 60% της μάζας τυ μσχαρίσιυ κρέατς είναι νερό. Με βάση αυτή την πληρφρία συμπληρώστε τν πίνακα: 3

35 μάζα κρέατς σε Kg (x) μάζα νερύ σε Kg (y) 6 Είναι η "μάζα κρέατς" (x) και η "μάζα νερύ" (y) πσά ανάλγα; Πια σχέση συνδέει τα δύ πσά; Πιες τιμές μπρεί να πάρει η μεταβλητή x; Κατασκευάστε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης, περιγράψτε και εξηγήστε τα χαρακτηριστικά της (πχ. τ σχήμα της, κάπια σημεία της κλπ). [Σχόλι: Μέσα από ένα ρεαλιστικό πλαίσι εισάγεται η γραμμική συνάρτηση και συζητύνται τα χαρακτηριστικά της.] η Ενδεικτική δραστηριότητα : Η δραστηριότητα 1 τυ σχλικύ βιβλίυ πρτείνεται να διερευνηθεί με τη χρήση ψηφιακών εργαλείων, με τ μικρπείραμα «Συναρτησιακή σχέση πλευράς τετραγώνυ και περιμέτρυ τυ» από τα εμπλυτισμένα σχλικά βιβλία: (Να διατεθύν 4 ώρες) Να μη διδαχθύν ι υππαράγραφι «η εξίσωση αx βy γ» και «σημεία τμής της ευθείας αx βy γ με τυς άξνες» και ι αντίστιχες ερωτήσεις κατανόησης και ασκήσεις. Να δθεί έμφαση σε πρβλήματα πυ μντελπιύνται με γραμμικές συναρτήσεις και σε ερωτήματα πυ δηγύν σε εξίσωση και ανίσωση και μπρύν να λυθύν μέσω αναπαραστάσεων της συνάρτησης (δηλαδή είτε με πίνακα τιμών, είτε με γραφική ή γραφικές παραστάσεις, είτε με τυς τύπυς πυ δηγύν σε εξίσωση ή ανίσωση). Επειδή η αλγεβρική επίλυση ανίσωσης διδάσκεται στην Γ Γυμνασίυ, μέσα από τις συναρτήσεις μπρεί να αναδειχθεί η γραφική επίλυση ανισώσεων. ΠΡΟΤΕΙΝΟΝΤΑΙ: Δραστηριότητα 1 σ. 7 Δραστηριότητα. σ. 73. Εφαρμγή 1 σ. 74. Εφαρμγή σ. 75. Ερωτήσεις κατανόησης 1-5 σ Ασκήσεις 3, 4,, 9 (ι ασκήσεις & 9 μας πρετιμάζυν για συναρτήσεις όπυ η ανεξάρτητη μεταβλητή x δεν παίρνει όλες τις πραγματικές τιμές ). Ενδεικτική δραστηριότητα: Η άσκηση 5 τυ σχλικύ βιβλίυ πρτείνεται να διερευνηθεί με τη χρήση ψηφιακών εργαλείων, με τ μικρπείραμα «Κόστς χρήσης τυ ταξί» από τα εμπλυτισμένα σχλικά βιβλία: (Να διατεθύν ώρες) α και σε ερωτήματα x πυ δηγύν σε εξίσωση και ανίσωση ι πίες μπρύν να λυθύν μέσω αναπαραστάσεων της συνάρτησης (δηλαδή είτε με πίνακα τιμών, είτε με γραφική ή γραφικές παραστάσεις, είτε με τυς τύπυς πυ δηγύν σε εξίσωση ή ανίσωση). Τέτια πρβλήματα είναι ι ασκήσεις 4, 5. Να δθεί έμφαση σε πρβλήματα πυ μντελπιύνται με τη συνάρτηση y ΠΡΟΤΕΙΝΟΝΤΑΙ: Δραστηριότητα 1 σ. 79. Δραστηριότητα σ. 80. Ερωτήσεις κατανόησης 1, 3 σ. 81. Άσκηση 5. σ. 8. Ενδεικτική δραστηριότητα: Για ένα ρθγώνι ικόπεδ γνωρίζυμε ότι έχει εμβαδόν 40m, αλλά δεν γνωρίζυμε τις διαστάσεις τυ. 33

36 Αν τ μήκς είναι 0m, πόσ είναι τ πλάτς τυ; Πόσ μεγάλ και πόσ μικρό μπρεί να είναι τ μήκς; Να εξετάσετε αν ι διαστάσεις τυ είναι ανάλγα πσά. Αν τ μήκς είναι x και τ πλάτς ψ μπρείτε να εκφράσετε τ ψ ως συνάρτηση τυ x; Σχεδιάστε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης. Από τη γραφική παράσταση μπρείτε να πρσδιρίσετε τις διαστάσεις, ώστε τ ικόπεδ να είναι τετράγων; [Σχόλι: Με τ πρόβλημα αυτό γίνεται εισαγωγή στην υπερβλή και τα αντιστρόφως ανάλγα πσά μέσα από αριθμητικά δεδμένα, τν τύπ και τη γραφικά παράσταση συγχρόνως. Αναμένεται ι μαθητές μέσα από τη διερεύνησή τυς να καταλήξυν στα κυριότερα συμπεράσματα σχετικά με την υπερβλή.] Κεφάλαι 4 (Να διατεθύν 8 ώρες) Οι μαθητές έχυν, ήδη, επεξεργαστεί στ Δημτικό σχλεί δεδμένα (ταξινόμηση, αναπαράσταση δεδμένων και υπλγισμό τυ μέσυ όρυ) και έχυν εμπειρίες από γραφικές αναπαραστάσεις δεδμένων. Τ νέ στ κεφάλαι αυτό είναι ι έννιες τυ πληθυσμύ, τυ δείγματς και της διαμέσυ. Στ κεφάλαι αυτό θα μπρύσαν ι ίδιι ι μαθητές να εμπλακύν στη συλλγή και επεξεργασία δεδμένων καθώς και στην ερμηνεία γραφικών παραστάσεων αναφρικά με θέματα πυ ενδιαφέρυν τυς ίδιυς. 4.1, 4. και 4.5 (Να διατεθύν 5 ώρες) Να μη διδαχθεί η υππαράγραφς «μέση τιμή μαδπιημένης κατανμής» και ι ασκήσεις 6, 7 και 8. Επιπλέν, επειδή ι κατανμή συχντήτων και σχετικών συχντήτων δεν περιλαμβάνεται στη διδακτέα ύλη, πρέπει να γίνει κατάλληλη επιλγή των ασκήσεων. Αντίθετα, πρέπει να δθεί έμφαση στην ερμηνεία της μέσης τιμής και της διαμέσυ καθώς και στη σύγκριση μεταξύ των δύ αυτών μέτρων θέσης. ΠΡΟΤΕΙΝΟΝΤΑΙ: Τνίζεται ότι τι κεφάλαι της Στατιστικής πρσφέρεται για: o εφαρμγές μαδσυνεργατικής μεθόδυ. o εκπόνηση συνθετικών δημιυργικών εργασιών. o ως εργαλεί για συνθετικές δημιυργικές εργασίες άλλων μαθημάτων. Δραστηριότητα 1 σ. 85. Με αφρμή τ ερώτημα γ0 μπρεί να συζητηθεί η σημασία επιλγής τυ δείγματς. Οι έννιες πληθυσμός, μεταβλητή, δείγμα, δειγματληψία, δημσκόπηση, μέγεθς δείγματς, αντιπρσωπευτικότητα μπρύν να εξηγηθύν αλλά δεν απτελύν ρισμύς για γραπτή η πρφρική εξέταση. Άσκηση 9 σ. 88. Μπρεί να απτελέσει την βάση για μια μικρέρευνα στην διεξαγωγή της πίας μετέχει όλ τ τμήμα. Μπρεί επίσης να αξιπιηθεί για την διδασκαλία της παραγράφυ 4.. Δραστηριότητα 1 σ. 89. Αφύ πραγματευτύν τα διαγράμματα μπρεί εφ όσν υπάρχει η δυνατότητα να χρησιμπιηθεί και λγιστικό φύλλ για την κατασκευή κάπιων από αυτά. Ερώτηση κατανόησης σ. 93 (η πία υπδεικνύει την ανάκτηση πληρφρίας από διαγράμματα και ανακαλεί την έννια της αναλγίας). Δραστηριότητα 1 σ Στη συνέχεια να γίνει η δραστηριότητα της σ. 104 αφύ αναδιατυπωθεί ως εξής: Οι μηνιαίες απδχές εννέα εργαζμένων μιας επιχείρησης είναι (σε ευρώ): 700, 600, 900, 950, 700, 800, 700, 100, 900 α) Να βρείτε τη μέση τιμή των απδχών των εργαζμένων. β) Να διατάξετε τυς μισθύς (απδχές) κατά αύξυσα σειρά. γ) Να βρείτε τ «μεσαί» μισθό. δ) Να συγκρίνετε τν «μεσαί» μισθό με την μέση τιμή. Να συζητηθεί τ απτέλεσμα της σύγκρισης. Άσκηση 4. σ Επίσης να δθεί σαν άσκηση η εύρεση της μέσης τιμής και της διαμέσυ των παρακάτω δειγμάτων: o.,, 6, 10, 10 34

37 o, 4, 6, 8, 10 η Ενδεικτική δραστηριότητα 1 : Η Μαρία έχει γράψει στα Μαθηματικά τέσσερα τεστ. Τ ραβδόγραμμα παρυσιάζει την βαθμλγία της στα τεστ Α, Β και Γ καθώς επίσης και τν μέσ όρ όλων των τεστ (η τελευταία σκύρα ράβδς). α) Να σχεδιάσετε πάνω στ ίδι διάγραμμα και δίπλα στη βαθμλγία της Μαρίας, τη βαθμλγία πυ έχει σε κάθε τεστ ένας άλλς μαθητής Γιάννης, αν γνωρίζετε ότι: ι βαθμί τυ και στα τέσσερα τεστ ήταν ίσι μεταξύ τυς και Γιάννης και η Μαρία έχυν τν ίδι μέσ όρ. β) Με βάση τ νέ διάγραμμα πυ φτιάξατε, μπρείτε να σχεδιάσετε την βαθμλγία πυ έχει η Μαρία στ τεστ Δ; Εξηγήστε τν τρόπ πυ σκεφτήκατε. [Σχόλι: Ο στόχς της δραστηριότητας είναι η ανάδειξη της έννιας της μέσης τιμής ως «δίκαιη μιρασιά». Δεν είναι η αλγεβρική εύρεση της μέσης τιμής, εξάλλυ αυτή η δραστηριότητα θα μπρύσε να γίνει ως εισαγωγή στη μέση τιμή. Αρκετές πληρφρίες για τη διδασκαλία των στχαστικών μαθηματικών στ γυμνάσι μπρύν να αντληθύν από τν δηγό τυ εκπαιδευτικύ των πργραμμάτων σπυδών πυ είναι συμπληρωματικά πρς τα ισχύντα (στην ιστσελίδα η Ενδεικτική δραστηριότητα : Σε μία τάξη 30 μαθητών ι μαθητές έχυν γράψει τεστ και ι βαθμλγίες τυς είναι όπως δείχνει τ παρακάτω σημειόγραμμα. Για παράδειγμα, τρεις μαθητές απ όλη την τάξη έχυν γράψει 15 και ένας μαθητής μόνν έχει γράψει 0. α) Πρτείνετε τρόπυς με τυς πίυς θα πρσδιριστεί η μέση τιμή της βαθμλγίας της μάδας Α (γκρι κυκλάκια στ διάγραμμα), πυ για διάφρυς λόγυς είχε χαμηλή βαθμλγία στ τεστ. Ομίως για την μέση τιμή της βαθμλγίας της μάδας Β (μπλε τετραγωνάκια στ διάγραμμα) β) Πρτείνετε τρόπυς για τν πρσδιρισμό της μέσης τιμής της βαθμλγίας για όλη την τάξη στ τεστ αυτό. [Σχόλι: Οι μαθητές διερευνύν τ παρακάτω πρόβλημα και πρσπαθύν να τ αντιμετωπίσυν με πλλύς και διαφρετικύς τρόπυς. Ο στόχς είναι η διαμόρφωση καλύτερης κατανόησης της μέσης τιμής, τυ τι εκφράζει και των τρόπων πυ μπρεί να υπλγιστεί.] η Ενδεικτική δραστηριότητα 3 : Για εμβάθυνση στις έννιες της μέσης τιμής και της διαμέσυ, πρτείνεται να διερευνηθύν μέσω αναπαραστάσεών τυς, με τ μικρπείραμα «Ο βαθμός της Έλενας» από τα εμπλυτισμένα σχλικά βιβλία: ΜΕΡΟΣ Β Κεφάλαι 1 (Να διατεθύν 14 διδακτικές ώρες) 1.1 (Να διατεθύν διδακτικές ώρες) Η συγκεκριμένη ενότητα έχει μεγάλη σημασία για την ανάπτυξη των εννιών πυ ακλυθύν στις επόμενες παραγράφυς. Απαραίτητα στιχεία πυ πρέπει να κατανηθύν από τυς μαθητές πριν περάσυν αργότερα στυς τύπυς υπλγισμύ των εμβαδών γεωμετρικών σχημάτων καθώς και στις μετατρπές μνάδων είναι τα εξής: Η σύγκριση επιφανειών (πλυγωνικών και μη) μέσα από διαφρετικές διαδικασίες 35

38 (επικάλυψη, διαίρεση, σύνθεση κ.λ.π.) Η έννια της διατήρησης της επιφάνειας. Η διαφρπίηση ανάμεσα στ γεωμετρικό μέγεθς (επιφάνεια) και στη μέτρησή τυ (εμβαδόν). Η έννια της μνάδας μέτρησης (άτυπη ή τυππιημένη), η επιλγή της κατάλληλης μνάδας, η χρήση της για την επικάλυψη μιας επιφάνειας και η σύμβαση της χρήσης της τετραγωνικής μνάδας. Η διάκριση ανάμεσα στη μέτρηση της επιφάνειας (εμβαδόν) από τις μετρήσεις άλλων μεγεθών (π.χ. τμήματα και τα μήκη τυς ή η περίμετρς και τ μήκς της) Η πρσεγγιστική φύση της διαδικασίας της μέτρησης. Ο τρόπς μεταβλής τυ εμβαδύ όταν χρησιμπιύμε πλλαπλάσια ή υππλλαπλάσια μιας αρχικής μνάδας. Για παράδειγμα: Η σύγκριση των επιφανειών των διπλανών σχημάτων, η εύρεση διαφρετικών τρόπων σύγκρισης, η πρσπάθεια υπλγισμύ της σχέσης πυ έχυν (π.χ. πόσ μεγαλύτερη είναι η μία σε σχέση με την άλλη) κτλ., συμβάλλυν στην καλύτερη κατανόηση κάπιων εννιών. Για τις δυσκλίες των μαθητών σχετικά με την έννια της μέτρησης, βλέπε στ. ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣ ΤΑ ΙΣΧΥΟΝΤΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΣΠΟΥΔΩΝ/ Β. Οδηγί για τν Εκπαιδευτικό/ Επιστημνικό Πεδί: Μαθηματικά/ Σελ 103. ΠΡΟΤΕΙΝΟΝΤΑΙ: Δραστηριότητα 1 σ Με την ευκαιρία της δραστηριότητας αυτής να τνιστεί: o Η πρσθετική ιδιότητα τυ εμβαδύ (τ εμβαδόν της ένωσης δύ ή περισστέρων μη επικαλυπτόμενων χωρίων είναι ίσ με τ άθρισμα των εμβαδών τυς). o Η τιμή τυ εμβαδύ ενός σχήματς εξαρτάται από την επιλεγόμενη μνάδα μέτρησης. Μπρύν ακόμη να γίνυν τα παρακάτω παραδείγματα με τα πία φαίνεται ότι γενικά τ εμβαδόν δεν εξαρτάται από την περίμετρ. Εφαρμγή 1 σ Εφαρμγή σ Άσκηση 3 σ Για Διασκέδαση σ (Να διατεθύν διδακτικές ώρες) Οι μαθητές γνωρίζυν από τ Δημτικό τις δεκαδικές μνάδες μέτρησης των επιφανειών και τ νέ στιχεί είναι διεθνής συμβλισμός τυς. Η αισθητπίηση της τυπικής μνάδας, των υπδιαι- 36

39 ρέσεων και των πλλαπλάσιων αυτής, ι μεταξύ τυς σχέσεις, καθώς επίσης η επιλγή της κατάλληλης μνάδας ανάλγα με την επιφάνεια πυ θέλυμε να μετρήσυμε (άσκηση 6 σελ 118), συμβάλλυν στην καλύτερη κατανόηση, απ ό,τι μόνν η συνεχής εξάσκηση με ασκήσεις μετατρπής από την μία μνάδα μέτρησης σε άλλη. ΠΡΟΤΕΙΝΟΝΤΑΙ: Εφαρμγή 1 σ Εφαρμγή σ Ερώτηση κατανόησης 1. Ασκήσεις 1,, 6, σ (Να διατεθύν 6 διδακτικές ώρες) Τ περιεχόμεν της ενότητας δεν είναι νέ για τυς μαθητές. Χρησιμπιώντας ως βάση τ εμβαδόν τυ ρθγωνίυ παραλληλγράμμυ αναπτύσσνται μέσα από μετασχηματισμύς τ εμβαδόν των άλλων γεωμετρικών σχημάτων. Ο υπλγισμός τυ εμβαδύ τυ ρθγωνίυ παραλληλγράμμυ γίνεται μέσα από τη μέτρηση των τετραγωνικών μνάδων πυ τ επικαλύπτυν όπυ τ πλήθς τυς εκφράζεται από τ γινόμεν των διαστάσεων τυ ρθγωνίυ. 3 Θα πρέπει να αντιμετωπιστύν επίσης δυσκλίες πυ έχυν ι μαθητές, όπως ότι: Σχήματα με μεγαλύτερη περίμετρ έχυν μεγαλύτερ εμβαδό Ο διπλασιασμός, τριπλασιασμός κτλ. των διαστάσεων διπλασιάζει, τριπλασιάζει κλπ. τ εμβαδόν. Βάση (ή βάσεις) στα σχήματα, είναι μόνν η πλευρά (ή ι πλευρές) πυ έχει (ή έχυν) ριζόντι πρσανατλισμό. Ύψς τυ παραλληλγράμμυ ή τυ τραπεζίυ είναι μόνν αυτό πυ άγεται από μία κρυφή 4 τυ ή αυτό πυ έχει κατακόρυφ πρσανατλισμό. Ο υπλγισμός τυ εμβαδύ γεωμετρικών σχημάτων με την εφαρμγή των τύπων υπλγισμύ είναι σημαντικό να συνδέεται με τ γεωμετρικό χειρισμό της έννιας τυ εμβαδύ (π.χ. μέσα από τη διαμέριση και σύνθεση γεωμετρικών σχημάτων). Γενικότερα η γεωμετρική συλλγιστική και η παράλληλη μετάφραση σε αλγεβρικές σχέσεις μπρεί να δώσει νόημα στις αλγεβρικές έννιες και διαδικασίες. Κατάλληλες δραστηριότητες με λγισμικά δυναμικής γεωμετρίας ή applets πυ υπάρχυν στ διαδίκτυ, μπρεί να βηθήσυν στην κατάκτηση των παραπάνω στόχων. ΠΡΟΤΕΙΝΟΝΤΑΙ: Εφαρμγή 1 σ. 11. Εφαρμγή σ. 11. (Η εφαρμγή αυτή εφ όσν τ επιτρέπυν ι συνθήκες μπρεί να γίνει ως εφαρμγή εύρεσης εμβαδύ μιας πραγματικής σχλικής αίθυσας). Εφαρμγές 4, 5, 6 σ. 1. Ερώτηση κατανόησης σ. 13. Ασκήσεις 3, 5 σ. 14. Ασκήσεις 9, 10 σ. 15. η Ενδεικτική δραστηριότητα 1 : Πρτείνεται να δθύν στυς μαθητές σχήματα όπως τα παρακάτω και με μετασχηματισμύς, πυ θα κάνυν με τη βήθεια γεωμετρικών ργάνων, να διατυπώσυν και να αιτιλγήσυν τυς αντίστιχυς τύπυς εμβαδύ. Παρακάτω φαίνεται και ένας από τυς πλλύς τρόπυς επίλυσης τυ πρβλήματς. 3 Η άρση των δυσκλιών των μαθητών είναι μια αργή και δύσκλη διαδικασία. Μπρεί να πρκληθεί μέσα από την ενεργητική συμμετχή τυς σε ένα κατάλληλ διδακτικό περιβάλλν, τ πί θα τυς δηγεί στις απαραίτητες γνωστικές συγκρύσεις και όχι μόνν μέσα από την παράθεση της ρθής άπψης γνώσης. 4 Ο πρσανατλισμός με τν πί παρυσιάζνται τα σχήματα στα βιβλία, αλλά και ι παραστάσεις πυ έχυν από τ περιβάλλν στην καθημερινή τυς ζωή, συμβάλυν σε αυτές τις δυσκλίες. Η έκθεσή τυς σε σχήματα με ασυνήθιστ πρσανατλισμό ή σχήματα «μακρόστενα» (π.χ. τρίγωνα με σημαντικά μικρότερη την μία πλευρά σε σχέση με τις άλλες) κλπ. μπρεί να συμβάλλει, κατά ένα μέρς, στην κατεύθυνση αντιμετώπισης αυτών των δυσκλιών. 37

40 Εναλλακτικά, η δραστηριότητα αυτή μπρεί να γίνει: Με τυς μαθητές να δυλεύυν σε μάδες: Ο εκπαιδευτικός μιράζει σε κάθε μάδα -3 ίσα μη ρθγώνια παραλληλόγραμμα από χαρτί. Οι μαθητές πρσπαθύν να βρυν τρόπ να κόψυν, με ψαλίδι, τα παραλληλόγραμμα και να τα μετασχηματίσυν σε ρθγώνια με τ ίδι εμβαδόν με τα αρχικά παραλληλόγραμμα. Στόχς είναι η συνειδητπίηση από τυς μαθητές της ανάγκης χάραξης κάθετης πρς τ ένα ζεύγς παράλληλων πλευρών (βλέπε την παρακάτω εικόνα). Με χρήση τετραγωνισμένυ χαρτιύ, πυ τα τετραγωνάκια να παίξυν τ ρόλ άτυπων μνάδων μέτρησης εμβαδύ. Με χρήση λγισμικύ δυναμικής γεωμετρίας. η Ενδεικτική δραστηριότητα : Οι μαθητές χρησιμπιύν χαρτί με διάστικτυς καμβάδες πυ τ έχυν χωρίσει σε περιχές 5 Χ 5 σημείων. Σχεδιάζυν όσ τ δυνατόν περισσότερα τρίγωνα των πίων ι κρυφές είναι σημεία τυ καμβά, εμβαδύ 1 τ.μ., τα πία να μην είναι ίσα μεταξύ τυς και δικαιλγύν γιατί τα τρίγωνα πυ σχεδίασαν ικανπιύν τις συνθήκες τυ πρβλήματς (ι αιτιλγήσεις τυς για την διαφρετικότητα των τριγώνων μπρύν να βασίζνται στυς μετασχηματισμύς των σχημάτων, πυ τυς είναι γνωστί από τ Δημτικό, βλέπε τις παρακάτω εικόνες). Αναζητύν ανάμεσα στα τρίγωνα αυτό πυ έχει την μικρότερη και την μεγαλύτερη περίμετρ και δικαιλγύν την επιλγή τυς. Συζητύν για τις μεθόδυς πυ ακλύθησαν για να πρσδιρίσυν όλα τα τρίγωνα, αν θα μπρύσε η μέθδός τυς να επεκταθεί σε έναν μεγαλύτερ καμβά και τι θα συνέβαινε τότε με την περίμετρ και τ εμβαδό των τριγώνων. Επίσης συζητύν για τ πυ θα κινείται η τρίτη κρυφή τυ τριγώνυ (χωρίς τυς περιρισμύς να είναι σημεί τυ καμβά ή τα τρίγωνα να είναι διαφρετικά), όταν τα τρίγωνα τπθετηθύν έτσι ώστε να έχυν κινή βάση. Με αφρμή τις παρατηρήσεις και τα συμπεράσματα τυς γενικεύυν για τρίγωνα πυ έχυν κινή βάση (ή ίσες βάσεις) και η τρίτη κρυφή κινείται σε ευθεία παράλληλη πρς την βάση. Επίσης με κατάλληλη τπθέτηση των τριγώνων, κατά τη σύγκριση των περιμέτρων και αντίστιχες διερευνήσεις, μπρύν να εξάγυν συμπεράσματα σχετικά με τν χωρισμό ενός τρίγωνυ σε δύ ισδύναμα τρίγωνα από την διάμεσ. η Ενδεικτική δραστηριότητα 3 : Για καλύτερη κατανόηση των εννιών, πρτείνεται να χρησιμπιηθύν ψηφιακά εργαλεία, όπως τ μικρπείραμα «Εμβαδόν παραλληλγράμμυ» από τα εμπλυτισμένα σχλικά 38

41 βιβλία: (Να διατεθύν 4 διδακτικές ώρες) Να γίνει κατάλληλς πργραμματισμός ώστε μετά την λκλήρωση της διδασκαλίας της ενότητας να ακλυθήσει η διδασκαλία της.1 της Άλγεβρας (τετραγωνική ρίζα θετικύ αριθμύ). Να δθεί έμφαση και στη σχέση εμβαδών και όχι μόν πλευρών πυ εκφράζει τ θεώρημα (ασκήσεις 1, 4, 5 και ενδεικτική δραστηριότητα 1). Επισημαίννται τρεις διαφρετικές πτικές-χρήσεις τυ Πυθαγρείυ Θεωρήματς και τυ αντίστρφύ τυ, πυ είναι σκόπιμ ι μαθητές να αναγνωρίζυν: Η ανάδειξη της σχέσης εμβαδών τετραγώνων πυ κατασκευάζνται στις πλευρές ρθγωνίυ τριγώνυ. Ο υπλγισμός απστάσεων. Ο έλεγχς αν μια γωνία είναι ρθή. ΠΡΟΤΕΙΝΟΝΤΑΙ: Δραστηριότητα 1 σ. 17. Εφαρμγή 1 σ. 18 Εφαρμγές, 3, 4, σ. 19. Άσκηση 3 σ Ασκήσεις 7, 8 σ η Ενδεικτική δραστηριότητα 1 : Οι μαθητές κατασκευάζυν τετράγωνα στις πλευρές ενός ρθγωνίυ ισσκελύς τριγώνυ (βλ. τ διακσμητικό μτίβ στ σχήμα αριστερά) και χρησιμπιώντας ως μνάδα μέτρησης εμβαδύ τ ίδι τ ρθγώνι τρίγων επαληθεύυν τη σχέση τυ Πυθαγόρειυ θεωρήματς. Στη συνέχεια επαληθεύυν τη σχέση αυτή στ ρθγώνι τρίγων με κάθετες πλευρές μήκυς 3cm και 4cm και υπτείνυσα μήκυς 5cm. Ενδεικτική δραστηριότητα :Για την απόδειξη τυ πυθαγρείυ θεωρήματς πρτείνεται να χρησιμπιηθύν ψηφιακά εργαλεία, όπως τ μικρπείραμα «Μία απόδειξη τυ πυθαγρείυ θεωρήματς» από τα εμπλυτισμένα σχλικά βιβλία: Κεφάλαι (Να διατεθύν 7 διδακτικές ώρες).1 (Να διατεθύν 3 διδακτικές ώρες) Πρτείνεται η διδασκαλία να γίνει με αφετηρία την ερμηνεία των πινακίδων δικής κυκλφρίας για την κλίση δρόμυ και να γίνει μια πρώτη, εππτική αναφρά στην έννια της μιότητας τριγώνων και στην ανάγκη εισαγωγής τριγωνμετρικών αριθμών (βλ. ενδεικτική δραστηριότητα 1). Τ σχόλι 1 (σελ. 137) πυ αναφέρεται στην κλίση μιας ευθείας, να αναφερθεί κατά τη διδασκαλία της 3.3 της Άλγεβρας. Στην εφαρμγή, να επισημανθεί ότι για την κατασκευή μπρεί να χρησιμπιηθύν πιαδήπτε μήκη πλευρών αρκεί λόγς να είναι 1/5, και όχι μόν τα μήκη 1 και 5. 39

42 ΠΡΟΤΕΙΝΟΝΤΑΙ: Δραστηριότητα 1 σ Εφαρμγές 1 & σ Εφαρμγή 3 σ Ερώτηση κατανόησης σ. 65 τυ κεφαλαίυ 3.. της Άλγεβρας. Με αυτή είναι δυνατόν να συνδεθύν ι έννιες της εφαπτμένης γωνίας, των συντεταγμένων και της κλίσης. Ερώτηση κατανόησης σ. 140 Ασκήσεις 1, 3, 5 σ η Ενδεικτική δραστηριότητα 1 : ΑΔ ΒΕ ΓΖ,,. ΟΑ ΟΒ ΟΓ Οι μαθητές διαπιστώνυν την ισότητα των λόγων και των γωνιών των τριών τριγώνων ΟΑΔ, ΟΒΕ, ΟΓΖ, εξετάζυν τη μρφή τυς και αναζητύν ένα όρ για να εκφράσυν αυτή τη σχέση (μεγέθυνση, μιότητα). Στ παρακάτω σχήμα, ζητείται από τυς μαθητές να υπλγίζυν τυς λόγυς η Ενδεικτική δραστηριότητα : Για την κατανόηση των εννιών της κλίσης και της εφαπτμένης γωνίας πρτείνεται να χρησιμπιηθύν ψηφιακά εργαλεία, όπως τ μικρπείραμα «Εφαπτμένη ξείας γωνίας» από τα εμπλυτισμένα σχλικά βιβλία: (Να διατεθύν 4 διδακτικές ώρες) ημω ) και η άσκηση κατανόησης 4, γιατί είναι συνω εκτός των στόχων τυ αναλυτικύ πργράμματς και επιπλέν ι σχέσεις μεταξύ των τριγωνμετρικών αριθμών της ίδιας γωνίας αναπτύσσνται διεξδικά στην Γ Γυμνασίυ. Η άσκηση 3γ της σελίδας 146 να παραλειφθεί, διότι χρησιμπιεί μια άγνωστη για τυς μαθητές ιδιότητα (πρόσθεση κατά μέλη ανιστήτων). Πρτείνεται η χρήση υπλγιστή τσέπης (επιστημνικύ ή απλύ), κατά την λύση πρβλημάτων ώστε να γίνει καλύτερη διαπραγμάτευση των εννιών. Στην εφαρμγή, να επισημανθεί ότι για την κατασκευή μπρεί να χρησιμπιηθύν πιαδήπτε 3 μήκη πλευρών αρκεί λόγς να είναι και όχι μόν τα μήκη 3 και 5. Επίσης πρτείνεται να γίνει 5 επιλγή ασκήσεων από την παράγραφ.3 και να αντιμετωπιστύν από τυς μαθητές με χρήση τυ πίνακα τριγωνμετρικών αριθμών, πυ είναι στ τέλς τυ βιβλίυ. Να μην διδαχθεί η παρατήρηση β, σελ. 143 ( εφω ΠΡΟΤΕΙΝΟΝΤΑΙ: Δραστηριότητα 1 σ. 14. Εφαρμγή 1 σ Εφαρμγή σ Επίσης πρτείννται ι ακόλυθες εφαρμγές Α, Β, Γ: 40

43 Γ Β 1μ. â Α Α - Για τ ρθγώνι τρίγων ΑΒΓ τυ σχήματς, δίνεται ότι η υπτείνυσα ΑΓ έχει μήκς 1μ. o Αν ημâ = ⅗, τότε πόσ είναι τ μήκς της πλευράς ΒΓ; o Αν ημâ = ⅗, τότε πόσ είναι τ μήκς της πλευράς ΒΑ; o Αν ημâ = ⅗, τότε πόσ είναι τ συνâ; o Αν ημâ = ⅓, τότε πόσ είναι τ μήκς της πλευράς ΒΓ; o Αν συνâ = ⅓, τότε πόσ είναι τ ημâ; Ζ ê Ε 1μ. Η Β- Για τ ισσκελές τρίγων ΕΖΗ, τυ σχήματς με ΕΖ=ΖΗ, δίνεται ότι ê = 45 και ΕΗ = 1μ. Μπρείτε να υπλγίσετε τ ημ45 ; Μπρείτε να υπλγίσετε τ συν45 ; Ψ Γ Στ ισόπλευρ τρίγων ΧΨΩ, πυ όλες ι γωνίες τυ είναι ίσες με 60, τ μήκς κάθε πλευράς είναι 1μ. Μπρείτε να υπλγίσετε τ ημ60 και τ συν60 ; Σας βηθά η απάντηση στα πρηγύμενα ερωτήματα να υπλγίσετε τα ημ30 και συν30 ; Πρσπαθήστε τ! Χ Ω Ασκήσεις & 4 σ Ενδεικτική δραστηριότητα: Με βάση μια φωτγραφία ι μαθητές χαράσσυν γραμμές, μετρύν μήκη πάνω σε αντίγραφ της φωτγραφίας και κάνυν υπλγισμύς για να πρσδιρίσυν πρσεγγιστικά την κλίση τυ δρόμυ. Μντελπιύν την κατάσταση για να βρυν τ ύψς πυ κερδίζει ένας πεζός πυ ανεβαίνει την ανηφόρα για κάθε μέτρ πυ διανύει πάνω σ αυτήν. Κεφάλαι 3 (Να διατεθύν 1 διδακτικές ώρες) 3.1 (Να διατεθύν 3 διδακτικές ώρες) Λόγω της εξαίρεσης από την διδακτέα ύλη της Α Γυμνασίυ της 1.1 (επίκεντρη γωνία, σχέση επίκεντρης γωνίας και τυ αντίστιχυ τόξυ, μέτρηση τόξυ) να δθεί ρισμός της επίκεντρης γωνίας, τυ αντίστιχυ τόξυ αυτής και η μεταξύ τυς σχέση. ΠΡΟΤΕΙΝΟΝΤΑΙ: Λόγω της εξαίρεσης από την διδακτέα ύλη της Α Γυμνασίυ της 1.1 (επίκεντρη γωνία, σχέση επίκεντρης γωνίας και τυ αντίστιχυ τόξυ, μέτρηση τόξυ) να δθεί ρισμός της επίκεντρης γωνίας, τυ αντίστιχυ τόξυ αυτής και η μεταξύ τυς σχέση. Θα διδαχθεί μόν η δραστηριότητα 1 της σελίδας 175 και τα συμπεράσματα της σ Να δθεί και ένα παράδειγμα μη κυρτής επίκεντρης και να ζητηθεί τ μέτρ της αντίστιχης εγγεγραμμένης. 41

44 η Ενδεικτική δραστηριότητα 1 : Για την διερεύνηση της σχέσης τυ μέτρυ επίκεντρης και εγγεγραμμένης γωνίας πρτείνεται τ μικρπείραμα «Σχέση εγγεγραμμένης και επίκεντρης γωνίας σε ένα κύκλ», από τ Φωτόδεντρ. η Ενδεικτική δραστηριότητα : Για την κατανόηση της έννιας της εγγεγραμμένης γωνίας πρτείνεται να χρησιμπιηθύν ψηφιακά εργαλεία, όπως τ μικρπείραμα «Γωνίες στ αμφιθέατρ» από τα εμπλυτισμένα σχλικά βιβλία: 3. (Να διατεθύν 3 διδακτικές ώρες) Να αναφερθεί τ θεώρημα ότι στν ίδι κύκλ σε ίσα τόξα αντιστιχύν ίσες χρδές και αντιστρόφως, διότι αυτό δεν απτελεί πρηγύμενη γνώση και είναι απαραίτητη για ρισμένες αιτιλγήσεις. Πρτείνεται να γίνεται επιλγή ανάμεσα στις ερωτήσεις κατανόησης 1α), β), γ), α), β), γ), 3α), β), γ), ε) και στην άσκηση 1, λόγω τυ επαναληπτικύ χαρακτήρα τυς. Πρτείνεται, ι μαθητές μέσω κατασκευής να αναγνωρίσυν την ιδιότητα της κεντρικής γωνίας καννικύ πλυγώνυ (βλέπε ενδεικτική δραστηριότητα), να γίνυν κατασκευές καννικών πλυγώνων (με χειραπτικά μέσα) από τυς μαθητές και, επιπλέν αν υπάρχει χρόνς και δεν έχει γίνει στην Α γυμνασίυ, να ζητηθεί, μέσω διερευνητικής δραστηριότητας η κατασκευή κύκλυ πυ να διέρχεται από τρία σημεία (με χρήση της μεσκαθέτυ ευθύγραμμυ τμήματς και των ιδιτήτων τυ κύκλυ). ΠΡΟΤΕΙΝΟΝΤΑΙ: Δραστηριότητα 1 σ Σημειώνεται ότι κατά την πραγμάτευση της δραστηριότητας αυτής τ ερώτημα γ) μπρεί να απαντηθεί χωρίς την επίκληση της σχέσης εγγεγραμμένηςεπίκεντρης αλλά με την χρήση τυ γεγνότς ότι τα τρίγωνα ΟΑΒ, ΟΒΓ, ΟΓΔ, ΟΔΕ, ΟΕΖ είναι ισόπλευρα. Εφαρμγές &3 σ Ασκήσεις 1, 8. 4

45 Ενδεικτική δραστηριότητα: Οι μαθητές σχεδιάζυν ισσκελές τρίγων σε χαρτόνι και τ κόβυν. Τ χρησιμπιύν ως πατρόν για να τ αναπαράγυν άλλες επτά φρές, περιστρέφντάς τ γύρω από την μια κρυφή τυ, όπως φαίνεται στην παρακάτω εικόνα. Συζητύν, γιατί τ σχήμα πυ κατασκεύασαν δεν είναι κτάγων και τι θα έπρεπε να κάνυν, ώστε με αυτόν τν τρόπ να κατάσκευάσυν κτάγων. [Σχόλι: Στόχς της δραστηριότητας είναι ι μαθητές να κάνυν εικασίες για την κεντρική γωνία τυ καννικύ κταγώνυ, να διαπιστώσυν την ισχύ των εικασιών τυς και, αν είναι δυνατόν να τις γενικεύσυν. Τελικά μπρεί να πρκύψει, από τη διερεύνηση, τρόπς κατασκευής καννικύ πλυγώνυ εγγεγραμμένυ σε κύκλ.] 3.3 (Να διατεθύν 3 διδακτικές ώρες) Να δθεί έμφαση στην αναλγία των μεγεθών L και δ ή L και ρ και να γίνει σύνδεση με τις γνώσεις πυ έχυν από τη διδασκαλία της 3.3 της Άλγεβρας (η συνάρτηση y=αx), μέσα από τυς πίνακες τιμών και την γραφική παράσταση. ΠΡΟΤΕΙΝΟΝΤΑΙ: Δραστηριότητα 1 σ Εφαρμγές 1 & 3 σ Επίσης ως εφαρμγές των αναλόγων πσών πρτείνεται να γίνυν ι παρακάτω υπλγισμί μήκυς τόξυ: Ασκήσεις, 4, 7 σ. 19. Ενδεικτική δραστηριότητα: Τ μικρπείραμα από τα εμπλυτισμένα σχλικά βιβλία «Ο αριθμός π» μπρεί να χρησιμπιηθεί για την εισαγωγή στην έννια τυ αριθμύ π. Με τη βήθεια τυ λγισμικύ, σε μία πρσμίωση μέτρησης τυ μήκυς ενός κύκλυ με δυναμικά μεταβαλλόμενη διάμετρ, ι μαθητές μετρύν τ μήκς τυ κύκλυ, υπλγίζυν σε πλλές περιπτώσεις τ πηλίκ της περιφέρειας με τη διάμετρό τυ και γενικεύυν (Να διατεθύν 3 διδακτικές ώρες) Να δθεί έμφαση στ ότι τ εμβαδόν τυ κυκλικύ δίσκυ και η ακτίνα τυ δεν είναι ανάλγα μεγέθη. 43

46 ΠΡΟΤΕΙΝΟΝΤΑΙ: Εφαρμγές 1 & σ Εφαρμγή 3 σ Επίσης ως εφαρμγές των αναλόγων πσών πρτείνεται να γίνυν ι παρακάτω υπλγισμί εμβαδύ τμέα: Ερωτήσεις κατανόησης 1, 3 & 5 σ Ασκήσεις 1, 3, 4, 6 σ Κεφάλαι 4 (Να διατεθύν 11 διδακτικές ώρες) Η αντίληψη και η γνώση τυ χώρυ παίζυν κρίσιμ ρόλ ακόμα και στις πι συνηθισμένες ανθρώπινες δραστηριότητες. Η κατανόηση και η γνώση των εννιών τυ κεφαλαίυ αυτύ είναι πλύ σημαντική για όλυς τυς μαθητές, αφύ σχετίζνται με την καθημερινή ζωή, αλλά και τις εφαρμγές της Γεωμετρίας τυ χώρυ σε άλλες επιστήμες (όπως χαρακτηριστικά αναφέρεται στ εισαγωγικό σημείωμα τυ κεφαλαίυ στ βιβλί τυ μαθητή). Παρόλ πυ ι μαθητές γνωρίζυν από τ Δημτικό την έννια τυ κύβυ, τυ ρθγωνίυ παραλληλεπιπέδυ, τυ κυλίνδρυ, τυς τρόπυς υπλγισμύ τυ εμβαδύ των επιφανειών τυς και τυ όγκυ τυς και διακρίνυν την έννια της χωρητικότητας από την έννια τυ όγκυ, εντύτις μπρεί να αντιμετωπίζυν δυσκλίες, ιδιαίτερα με την έννια της μέτρησης. Μερικές ενδεικτικές δυσκλίες των μαθητών πυ πρέπει να αντιμετωπιστύν είναι: Η μεταβλή κατά ανάλγ τρόπ των διαστάσεων ενός στερεύ επιφέρει ανάλγη μεταβλή στν όγκ τυ. Στερεά με μεγαλύτερη επιφάνεια έχυν μεγαλύτερ όγκ. Στερεά με ίσ όγκ, έχυν ίση επιφάνεια. Για τις δυσκλίες των μαθητών σχετικά με την έννια της μέτρησης, βλέπε στ. ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣ ΤΑ ΙΣΧΥΟΝΤΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΣΠΟΥΔΩΝ/ Β. Οδηγί για τν Εκπαιδευτικό/ Επιστημνικό Πεδί: Μαθηματικά/ Σελ 103. Οι δυσκλίες πρέρχνται από τ γεγνός ότι απαιτύνται από τυς μαθητές ικανότητες κατανόησης τυ χώρυ και συστηματική ργάνωση των πτικών πληρφριών, ώστε να είναι σε θέση να κατανήσυν τις αφηρημένες γεωμετρικές έννιες της Στερεμετρίας. Αν και τα τρισδιάστατα αντικείμενα είναι μέρς της καθημερινής τυς εμπειρίας, η αναπαράστασή τυς από δισδιάστατα σχήματα είναι πηγή δυσκλίας. Η χρήση διάφρων μέσων, όπως τρισδιάστατα μντέλα, η σύνδεση των δισδιάστατων αναπαραστάσεων με αντικείμενα από την καθημερινή τυς εμπειρία, η σχεδίαση στ χαρτί τρισδιάστατων αντικειμένων, η εξερεύνηση των αναπτυγμάτων των επιφανειών πραγματικών αντικειμένων, σχεδιασμός σε χαρτόνι τυ αναπτύγματς των επιφανειών κάπιων στερεών και κατόπιν η δημιυργία αυτών των στερεών, όπως επίσης πργράμματα τρισδιάστατης γεωμετρίας πυ επιτρέπυν την περιστρφή των σχεδιασμένων στερεών και παρέχυν την δυνατότητα θέασής τυς από διαφρετικές πτικές γωνίες κτλ. μπρύν να τυς βηθήσυν στην κατανόηση των εννιών. Στην Β Γυμνασίυ, πρτείνεται να δθεί βάρς, κυρίως στις μετρήσεις και στυς τύπυς υπλγισμύ τυ όγκυ στερεών σχημάτων. 4. (Να διατεθύν 3 διδακτικές ώρες) Για την κατανόηση των εννιών και των τύπων υπλγισμύ τυ εμβαδύ τυ πρίσματς και τυ κυλίνδρυ πρτείνεται να δθύν στυς μαθητές κατάλληλες δραστηριότητες, π.χ. μελέτη τυ 44

47 αναπτύγματς της επιφάνειας ενός πρίσματς ή ενός κυλίνδρυ ή αντίστρφα, η σχεδίαση σε χαρτόνι τυ αναπτύγματς της επιφάνειας ενός ρθύ τριγωνικύ πρίσματς και ενός κυλίνδρυ με συγκεκριμένα χαρακτηριστικά και η κατασκευή τυ στερεύ. ΠΡΟΤΕΙΝΟΝΤΑΙ: Ανάλγα με τις γνώσεις της τάξης μπρεί διδάσκων χρησιμπιώντας συγκεκριμένα πρίσματα (κατά πρτίμηση πραγματικά στερεά) να αναφερθεί εν συντμία στις έννιες της παραγράφυ 4.1. Ως δραστηριότητα και χωρίς αναφρά στυς τύπυς των σελίδων 07, 08 μπρεί να υπλγισθεί τ εμβαδόν της επιφάνειας των παρακάτω στερεών: Στη συνέχεια με την βήθεια των απτελεσμάτων των παραδειγμάτων μπρύν να δθύν ι σχετικί τύπι. Εφαρμγή 1 σ. 08. Ασκήσεις 3 σ. 10 & 6, 9 σ. 11. Ενδεικτική δραστηριότητα: Η εφαρμγή 3 τυ σχλικύ βιβλίυ πρτείνεται να διερευνηθεί με τ μικρπείραμα «Υπλγίστε τ κόστς μιας δεξαμενής καυσίμων» από τα εμπλυτισμένα σχλικά βιβλία: (Να διατεθύν 3 διδακτικές ώρες) Στ Δημτικό ι μαθητές έχυν διδαχτεί τις έννιες τυ όγκυ και τις μνάδες μέτρησης αυτύ, εκτός από τν διεθνή συμβλισμό τυς. Επισημαίνεται ότι ι μαθητές συχνά πιστεύυν ότι διπλασιασμός, τριπλασιασμός κτλ. όλων των διαστάσεων ενός στερεύ δηγεί στν διπλασιασμό, τριπλασιασμό κτλ. τυ όγκυ. Να ζητείται από τυς μαθητές σχεδιασμός σχημάτων πυ αντιπρσωπεύυν τα στερεά των ασκήσεων πυ δίννται για λύση. ΠΡΟΤΕΙΝΟΝΤΑΙ: Ως δραστηριότητα να γίνει υπλγισμός των όγκων των τριών στερεών πυ υπάρχυν στην σελίδα 1 με μνάδα μέτρησης τν μικρό κύβ. Στη συνέχεια μπρεί να υπλγιστεί όγκς τυ παρακάτω κύβυ τυ Rubik με μνάδα μέτρησης ένα από τα (ίδια) κυβάκια πυ τν απαρτίζυν: 45

48 Να απαντηθεί τ ίδι ερώτημα για τα στερεά: Η βασική ιδέα πυ πρέπει να αναδειχθεί είναι ότι όγκς ενός πρίσματς πρκύπτει από τ γινόμεν τυ εμβαδύ της βάσης τυ επί τ ύψς τυ και κατ αναλγία αυτό ισχύει και για τν όγκ κυλίνδρυ. Αφύ δθύν ι τύπι της σελίδας 13 μπρύν να γίνυν ι εφαρμγές 1, της σελίδας 13 και η εφαρμγή 3 της σελίδας 14. Ενδεικτική δραστηριότητα: Οι μαθητές χρησιμπιύν δύ φύλλα χαρτί Α4. Τ ένα τ διπλώνυν κατά μήκς και τ άλλ κατά πλάτς για να σχηματίσυν δύ κυλίνδρυς (χωρίς τις βάσεις). Διερευνύν σε πια περίπτωση όγκς είναι μεγαλύτερς και δικαιλγύν σχετικά. Συζητύν για τα χαρακτηριστικά των δύ κυλίνδρων (ίσες παράπλευρες επιφάνειες διαφρετικί όγκι). 4.4, 4.5 και 4.6 (Να διατεθύν 3 διδακτικές ώρες) ΠΡΟΤΕΙΝΟΝΤΑΙ: Αυτές ι παράγραφι δεν απτελύν διδακτέα/εξεταστέα ύλη. Για λόγυς πληρότητας και κατά την κρίση τυ διδάσκντα μπρεί να γίνει μια γνωριμία με τα στερεά αυτά μέσω εικόνων ή επιλεγμένων βίντε. Ενδεικτική δραστηριότητα: Οι μαθητές, χωρισμένι σε μάδες κατασκευάζυν από χαρτόνι ένα ρθγώνι παραλληλεπίπεδ και μια πυραμίδα πυ έχυν τ ίδι εμβαδόν βάσης, την γεμίζυν με ρευστό υλικό (ρύζι ή άμμ) και συγκρίνυν τη χωρητικότητά της με αυτή τυ παραλληλεπιπέδυ, αδειάζντας κάθε φρά τ περιεχόμενό της στ ρθγώνι παραλληλεπίπεδ και συνεχίζντας, μέχρι να γεμίσει αυτό. Συζητύν πάλι για τα απτελέσματα και γενικεύυν κάνντας εικασίες για τν τρόπ υπλγισμύ τυ όγκυ της πυραμίδας. [Σχόλι: Τ ίδι πείραμα μπρεί να χρησιμπιηθεί και για τη σύγκριση όγκυ ρθγώνιυ παραλληλεπιπέδυ και πρίσματς με τ ίδι εμβαδόν βάσης.] Σημείωση: Μπρείτε να κατεβάσετε τις ψηφιακές δραστηριότητες και να τις ανίξετε τπικά με τ αντίστιχ λγισμικό. Αν δεν έχετε εγκατεστημέν τ λγισμικό, τότε, αν πρόκειται για αρχεί με κατάληξη.ggb, κατεβάστε και εγκαταστήστε τ Geogebra από τη διεύθυνση ή διαφρετικά ψάξτε για τ αντίστιχ λγισμικό στη διεύθυνση Για να δείτε την πρεπισκόπηση των ψηφιακών δραστηριτήτων σε απευθείας σύνδεση (online), πρτιμήστε τν φυλλμετρητή MozillaFirefox. Αν η εφαρμγή είναι σε flash θα πρέπει να εγκαταστήσετε τ πρόσθετ Adobe flashplayer από τη διεύθυνση Αν η εφαρμγή χρησιμπιεί τη Java (π.χ. Geogebra), τότε εγκαταστήστε την από τη διεύθυνση Αν συνεχίζετε να έχετε πρόβλημα στην πρεπισκόπηση, τότε πρσθέστε τις διευθύνσεις και στ exception sitelist στην καρτέλα security της Java (ανίξτε τ Control Panel, τη Java, στην καρτέλα security πατήστε Edit sitelist και πρσθέστε τις δύ διευθύνσεις, κλείστε τ browser και ξανανίξτε τν). 46

49 Μαθηματικά Γ Τάξης Γυμνασίυ Διδακτικό Έτς ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ-ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ Από τ βιβλί «Μαθηματικά Γ Γυμνασίυ» των Δημητρίυ Αργυράκη, Παναγιώτη Βυργάνα, Κωνσταντίνυ Μεντή, Σταματύλας Τσικπύλυ, Μιχαήλ Χρυσβέργη. ΜΕΡΟΣ Α Κεφ. 1: ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Πράξεις με πραγματικύς αριθμύς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) Β. Δυνάμεις πραγματικών αριθμών Γ. Τετραγωνική ρίζα πραγματικύ αριθμύ Μνώνυμα Πράξεις με μνώνυμα Α. Αλγεβρικές παραστάσεις Μνώνυμα Β. Πράξεις με μνώνυμα Πλυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πλυωνύμων Πλλαπλασιασμός πλυωνύμων Αξισημείωτες ταυτότητες [χωρίς τις υππαραγράφυς: ε) «Διαφρά κύβων Άθρισμα κύβων»] Παραγντπίηση αλγεβρικών παραστάσεων [(χωρίς την υππαράγραφ: «δ) Διαφρά άθρισμα κύβων») και στ) «Παραγντπίηση τριωνύμυ της μρφής x (α β)x αβ»]. Ε.Κ.Π. και Μ.Κ.Δ. ακεραίων αλγεβρικών παραστάσεων Ρητές αλγεβρικές παραστάσεις Πράξεις ρητών παραστάσεων Α. Πλλαπλασιασμός Διαίρεση ρητών παραστάσεων Β. Πρόσθεση Αφαίρεση ρητών παραστάσεων Κεφ. : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ..3.5 Εξισώσεις δευτέρυ βαθμύ Α. Επίλυση εξισώσεων δευτέρυ βαθμύ με ανάλυση σε γινόμεν παραγόντων Β. Επίλυση εξισώσεων δευτέρυ βαθμύ με τη βήθεια τύπυ. Πρβλήματα εξισώσεων δευτέρυ βαθμύ Ανισότητες Ανισώσεις μ' έναν άγνωστ Β. Ιδιότητες της διάταξης Γ. Ανισώσεις πρώτυ βαθμύ μ' έναν άγνωστ Κεφ. 3: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Η έννια της γραμμικής εξίσωσης Η έννια τυ γραμμικύ συστήματς και η γραφική επίλυσή τυ Αλγεβρική επίλυση γραμμικύ συστήματς Κεφ. 5: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Σύνλα (χωρίς την υππαράγραφ: «Πράξεις με σύνλα», και την εφαρμγή )) Δειγματικός χώρς Ενδεχόμενα (χωρίς την υππαράγραφ: «Πράξεις με ενδεχόμενα» και χωρίς τα «ασυμβίβαστα ενδεχόμενα»)). Έννια της πιθανότητας (χωρίς την υππαράγραφ: «Βασικί κανόνες λγισμύ των πιθαντήτων») ΜΕΡΟΣ Β Κεφ. 1: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Ισότητα τριγώνων Λόγς ευθυγράμμων τμημάτων 47

50 Θεώρημα Θαλή. Ομιότητα Α. Όμια πλύγωνα Β. Όμια τρίγωνα (χωρίς την αιτιλόγηση τυ κριτηρίυ μιότητας δύ τριγώνων στη σελίδα 0). Κεφ. : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Τριγωνμετρικί αριθμί γωνίας ω με 0o ω 180. Τριγωνμετρικί αριθμί παραπληρωματικών γωνιών Σχέσεις μεταξύ τριγωνμετρικών αριθμών μιας γωνίας Νόμς των ημιτόνων Νόμς των συνημιτόνων ΙΙ. Διαχείριση Διδακτέας ύλης Οι παρακάτω δηγίες έχυν στόχ να παρυσιάσυν κάπιες σημαντικές πλευρές για κάθε ενότητα και έτσι να υπστηρίξυν τν εκπαιδευτικό ώστε να σχεδιάσει τη διδασκαλία τυ και να επιλέξει υλικό. Η κατανμή των διδακτικών ωρών πυ πρτείνεται είναι ενδεικτική. Μέσα σε αυτές τις ώρες περιλαμβάνεται χρόνς πυ θα χρειαστεί για ανακεφαλαιώσεις, γραπτές δκιμασίες, εργασίες κλπ. Οι δραστηριότητες πυ περιέχνται είναι ενδεικτικές και πρέρχνται από τ πρόγραμμα σπυδών για τ γυμνάσι και τν δηγό τυ εκπαιδευτικύ τα πία είναι συμπληρωματικά πρς τα ισχύντα και μπρύν να ανακτηθύν από τν ιστότπ τυ ψηφιακύ σχλείυ: ΜΕΡΟΣ Α Κεφάλαι 1 (Να διατεθύν 31 ώρες) Με τις επιμέρυς πρτάσεις ανά ενότητα γίνεται πρσπάθεια να απφευχθεί υπερβλικά δύσκλς αλγεβρικός χειρισμός σε βάρς της κατανόησης. 1.1 (Να διατεθύν 3 ώρες) Ο χαρακτήρας της παραγράφυ είναι επαναληπτικός. Πρτεραιότητα πρέπει να δθεί σε ερωτήσεις κατανόησης και ασκήσεις εννιλγικύ και υπλγιστικύ περιεχμένυ και όχι σε ασκήσεις αλγριθμικύ πρσανατλισμύ με αυξημένη δυσκλία. Επειδή λγισμός με ρίζες δεν είναι αυτσκπός, να μη διδαχθύν η εφαρμγή 1 (όσν αφρά τη γενίκευση της αβ α β ), η εφαρμγή 3 (σελ. 1) (μετατρπή κλάσματς σε ισδύναμ με ρητό παρνμαστή). και ι ασκήσεις 6 και 8 (σελ. 4). Επιπλέν πρτείνεται η απφυγή ασκήσεων πυ απαιτύν ευχέρεια στ λγισμό με ρίζες, όπως ι δ), 3 και 7 (σελ. 3,4) ΠΡΟΤΕΙΝΟΝΤΑΙ: Παραδείγματα 1 & σ. 14. Ερώτηση κατανόησης 3 σ. 15. Άσκηση 1 σ. 15 και 4 σ. 16. Παραδείγματα 1 & σ. 17. Παράδειγμα 3 σ. 18. Ερωτήσεις κατανόησης 1 & σ. 18. Ασκήσεις: Να δθύν επιλεκτικά ερωτήματα από τις ασκήσεις 1, 1, 3 σ. 19. Δραστηριότητα 1 σ. 0. Παράδειγμα σ. 1. Παράδειγμα 4 σ.. Ερωτήσεις κατανόησης 4 σ. & 4 σ. 3. Άσκηση α0 β) σ. 3 & Ασκήσεις 7 & 11 σ. 44 (η άσκηση 11 συνδέει γεωμετρικές και αλγεβρικές έννιες). Ενδεικτική δραστηριότητα: Η Μαρία υπλόγισε τ γινόμεν 3 75 και τ βρήκε 15. Ο Γιάννης ισχυρίστηκε ότι δεν μπρεί τ απτέλεσμα να είναι ακέραις. Πώς νμίζετε ότι δηγήθηκε Γιάννης σε αυτό συμπέρασμα; Συμφωνείτε με τ Γιάννη ή με τη Μαρία και γιατί; 48

51 [Σχόλι: Μια πιθανή πρεία της διερεύνησης των μαθητών περιλαμβάνει: αναζήτηση από τυς μαθητές ερμηνειών για τις απόψεις πυ περιγράφνται στ σενάρι, εικασία για την ιδιότητα πυ ίσως ισχύει και διερεύνηση με παραδείγματα, ανάδειξη της ανάγκης μιας γενικής απόδειξης της ιδιότητας και δημιυργία της απόδειξης. Πρτείνεται εκπαιδευτικός να επιλέξει τ ρόλ τυ συντνιστή της συζήτησης, αφήνντας χρόν στυς μαθητές να αναπτύξυν πρωτβυλίες. Επεκτάσεις αυτής της πρείας θα μπρύσε να είναι η διερεύνηση τυ αν ισχύυν αντίστιχες ιδιότητες για τ άθρισμα, τη διαφρά και τ πηλίκ αριθμών. Αυτή η διερεύνηση δίνει τη δυνατότητα να συζητηθύν η έννια και ρόλς της αλγεβρικής απόδειξης και τυ αντιπαραδείγματς. Με αφρμή αυτό τ πρόβλημα μπρύν να αναδειχθύν τα μεινεκτήματα της χρήσης υπλγιστή τσέπης και η αξία των ιδιτήτων των ριζών (αφύ, πλλαπλασιασμός 3 75 με τ κμπιυτεράκι μπρεί να μη δώσει τ σωστό απτέλεσμα 15, λόγω πρσεγγίσεων)] 1., 1.3 και 1.4 (Να διατεθύν 6 ώρες) Κατά την διδασκαλία των παραγράφων αυτών ι έννιες θα πρσεγγιστύν περιγραφικά και με παραδείγματα. ΠΡΟΤΕΙΝΟΝΤΑΙ: Δραστηριότητα 1 η πία μπρεί να εμπλυτιστεί με την έκφραση τυ όγκυ στ παρακάτω στερεό: Παράδειγμα 1 σ. 6. Εφαρμγή 3 σ. 7. Ερώτηση κατανόησης 3 σ. 8. Ασκήσεις 6 & 7 σ. 9. Παραδείγματα 1 & 3 σ. σ. 31. Ασκήσεις 1, 5 & 6 σ. 3. Παραδείγματα 1 σ. 34 και 3 σ. 35. Σημειώνεται ότι η έννια της ισότητας πλυωνύμων διδάσκεται για λόγυς πληρότητας και δεν πρσφέρεται για επίλυση ασκήσεων πέραν τυ παραδείγματς 3 σ. 35. Ερώτηση κατανόησης 3 σ. 36. Ασκήσεις 3 σ. 36 & 5, 6 σ. 37. Παράδειγμα 1 σ. 39. Ασκήσεις 1, 4 & 7 σ. 41. Ενδεικτική δραστηριότητα: Υπλγίστε τ γινόμεν (x+4)(x+5), α) χρησιμπιώντας τ διπλανό σχήμα, β) χρησιμπιώντας την επιμεριστική ιδιότητα. x Πώς σχετίζνται μεταξύ τυς τα βήματα των δύ διαδικασιών; [Σχόλι: Τ γεωμετρικό πλαίσι μπρεί να υπστηρίξει την κατανόηση της χρήσης της επιμεριστικής ιδιότητας στν πλλαπλα5 σιασμό πλυωνύμων. Ο στόχς της δραστηριότητας είναι η δημιυργία συνδέσεων μεταξύ της επιμεριστικής ιδιότητας και εικνικών (γεωμετρικών) αναπαραστάσεων.] x 4 49

52 1.5 (Να διατεθύν 7 ώρες) Δεν θα διδαχθεί η υππαράγραφς ε) της σ. 44. ΠΡΟΤΕΙΝΟΝΤΑΙ: Παραδείγματα 1 & 3 σ, 45. Η διδασκαλία ή μη τυ παραδείγματς 7 σ. 47 επαφίεται στην κρίση τυ διδάσκντς. Ασκήσεις & 6 σ. 4. Επίσης πρτείνεται να γίνει επιλγή τις ασκήσεις 13, 15 & 16 της σ. 50. Τ τρίγων τυ Pascal (σ. 51) μπρεί να γίνει ως δραστηριότητα στην τάξη. η Ενδεικτική δραστηριότητα 1 : α) Πια σχέση νμίζετε ότι έχυν ι παραστάσεις (α+β) και α +β ; Είναι ίσες ή άνισες; Με πι τρόπ μπρείτε να τ διαπιστώσετε; β) Χρησιμπιήστε τ διπλανό σχήμα, για να υπλγίσετε τ (α+β). γ) Διερευνήστε αν μπρεί πτέ να ισχύει ισχυρισμός πυ κάνατε στ πρώτ ερώτημα. [Σχόλι: Η πρώτη ερώτηση, με αναμενόμενη την απάντηση α β α β έχει στόχ τη δημιυργία σύγκρυσης ανάμεσα σε αυτό πυ ίσως φαίνεται λγικό στυς μαθητές και στα απτελέσματα πυ πρκύπτυν από τη δκιμή συγκεκριμένων αριθμών (για να γίνει αυτό, τ σχήμα δεν πρέπει να δίνεται στ α ερώτημα). Η ώθηση των μαθητών σε τέτιυ είδυς συγκρύσεις είναι συχνά χρήσιμη για τ πέρασμα από τις διαισθητικές αντιλήψεις σε πι συστηματικές διερευνήσεις και επιχειρηματλγίες. Η αναγνώριση της εικασίας ως εσφαλμένης, ακλυθείται με ένα πλαίσι (γεωμετρικό) για τη βελτίωσή της και συγχρόνως την παρχή μιας απόδειξης, έστω κι αν αυτή περιρίζεται σε θετικές τιμές των μεταβλητών. Η διερεύνηση τυ τρίτυ ερωτήματς (με δεδμένη την απάντηση τυ α ερωτήματς όπως περιγράφεται παραπάνω) μπρεί να συμβάλει στην κατανόηση τυ λάθυς αλλά και σε μια διερεύνηση των συνθηκών κάτω από τις πίες αυτό γίνεται σωστό. Επέκταση της δραστηριότητας θα μπρύσε να είναι η ανάδειξη των περιρισμών της γεωμετρικής απόδειξης και η αναζήτηση κάπιυ τρόπυ να απφανθύμε για την ισχύ της σχέσης για κάθε αριθμό (θετικό ή αρνητικό). Αυτή η γενίκευση δηγεί στην έννια της ταυτότητας και στην αλγεβρική απόδειξή της.] η Ενδεικτική δραστηριότητα : Τ μικρπείραμα «Τ ανάπτυγμα της ταυτότητας (α+β)» από τα εμπλυτισμένα σχλικά βιβλία, μπρεί να χρησιμπιηθεί για τη γεωμετρική και αλγεβρική απόδειξη της ταυτότητας (α+β) μέσω της σύνδεσης αλγεβρικών και γεωμετρικών νττήτων. Οι μαθητές ανακαλύπτυν σταδιακά τ αλγεβρικά ισδύναμ ανάπτυγμα τυ τετραγώνυ τυ αθρίσματς δυ όρων με τη βήθεια δυναμικύ χειρισμύ κατάλληλων σχημάτων, επαληθεύυν με αριθμητικά παραδείγματα την εικασία τυς και την απδεικνύυν αλγεβρικά (Να διατεθύν 7 ώρες) Εξαιρύνται από την διδασκαλία η υππαράγραφς δ) σ. 56, τ πρώτ παράδειγμα αυτής της σελίδας και η υππαράγραφς στ της σελίδας 57. ΠΡΟΤΕΙΝΟΝΤΑΙ: Να γίνει αναφρά στην ιδιότητα ότι τ γινόμεν δύ πραγματικών αριθμών είναι μηδέν αν και μόν αν κάπις από αυτύς (ή και ι δύ) είναι μηδέν. Στη συνέχεια ως δραστηριότητα να δθεί για επίλυση η εξίσωση x(x+1)(x-)=0 3 Κατόπιν να ζητηθεί η απόδειξη της x(x+1)(x-)=x -x -x 3 και τέλς να ζητηθεί η επίλυση της εξίσωσης x -x -x=0 Στη συνέχεια να τνιστεί ότι σκπός τυ της παραγράφυ είναι η μετατρπή αθρισμάτων 50

53 3 όπως τ x -x -x σε γινόμενα. Παράδειγμα σ. 54 Παράδειγμα σ. 55 Παράδειγμα σ. 56 Παράδειγμα σ Να γίνει ως εφαρμγή η παραγντπίηση της x -x -x. Παραδείγματα 1 σ. 58 εκτός της ερώτησης δ) και 3, 4 σ. 58. Ερωτήσεις κατανόησης 5 σ. 59 & 10 σ. 60. Δεν θα γίνυν ι 6 σ. 59 & 7 σ. 60. Από τις ασκήσεις των σ εξαιρύνται ι 1, 13, 14 και πρτείνεται να γίνει από τν διδάσκντα επιλγή κάπιων ερωτημάτων από τις υπόλιπες. 1.8 και 1.9 (Να διατεθύν 3 ώρες) ΠΡΟΤΕΙΝΟΝΤΑΙ: Από την 1.8 θα διδαχθεί μόν η έννια τυ ελαχίστυ κινύ πλλαπλασίυ μέσω της δραστηριότητας της σελίδας 68 και των παραδειγμάτων 1, σ. 69. Πρτείνεται να μην γίνυν άλλες ασκήσεις στ ΕΚΠ. Σημειώνεται ότι η διδασκαλία της έννιας τυ μέγιστυ κινύ διαιρέτη μπρεί να παραλειφθεί χωρίς να δημιυργήσει πρβλήματα αφύ ι απλπιήσεις μπρύν να γίννται με παραγντπίηση. Σε κάθε περίπτωση η έννια τυ ΜΚΔ δεν απτελεί αντικείμεν εξέτασης. Δραστηριότητα σ. 71 Εφαρμγές 1 & (μόν τα ερωτήματα α) β) και όχι τ γ) ) σ. 7. Ερωτήσεις κατανόησης 1 & σ. 73. Ασκήσεις 1,, 3 (χωρίς τ ερώτημα η) σ. 74. Ενδεικτική δραστηριότητα: α) Να αναλύσετε σε γινόμεν πρώτων παραγόντων τυς αριθμύς 60 και 5 και να βρείτε τ ΕΚΠ τυς. β) Με τν ίδι τρόπ, να βρείτε τ ΕΚΠ: Ι) των μνωνύμων 6x y και 9xy 3 ΙΙ) των πλυωνύμων x 1 και x x. [Σχόλι: Μέσα από αυτή τη δραστηριότητα επιδιώκεται η διερεύνηση της έννιας τυ ΕΚΠ μνώνυμων και απλών πλυωνύμων και ανάπτυξη στρατηγικών υπλγισμύ τυ. Η ανάδειξη των αναλγιών με την ανάλυση αριθμύ σε γινόμεν πρώτων παραγόντων και τ ΕΚΠ φυσικών έχει στόχ την απόδση νήματς στυς αλγόριθμυς της παραγντπίησης και τυ ΕΚΠ πλυωνύμων. Οι μαθητές μπρύν να δηγηθύν στη διατύπωση τυ κανόνα εύρεσης τυ ΕΚΠ μέσα από πρσπάθειες και βελτιώσεις. Η αναζήτηση αιτιλγήσεων τυ κανόνα είναι χρήσιμη και μπρεί να γίνει πρώτα για τυς φυσικύς και να επεκταθεί στα μνώνυμα και στα πλυώνυμα.] 1.10 (Να διατεθύν 5 ώρες) ΠΡΟΤΕΙΝΟΝΤΑΙ: Δραστηριότητα σ. 75. Παραδείγματα 1 & (μόν τ ερώτημα β) ) σ. 76. Ερωτήσεις κατανόησης 1 & σ. 77. Από τις ασκήσεις της σ. 77 πρτείννται ι 1 (β), δ), στ)), (α) β) ) 3 (α), β), 4 (α) β) ). Δραστηριότητα σ. 78 Παράδειγμα 1 σ. 79. Ερώτηση κατανόησης 1 σ. 80. Από τις ασκήσεις σ. 80 πρτείννται ι 1 (α) γ) δ) ), (α), γ) ), 3 (α), δ) ) 4 α) (η β) δεν θα διδαχθεί). Κεφάλαι (Να διατεθύν 15 ώρες) υ Οι μαθητές έχυν διδαχθεί τις εξισώσεις 1 βαθμύ και τις έχυν χρησιμπιήσει στη λύση πρβλη μάτων. Επίσης έχυν αντιμετωπίσει εξισώσεις της μρφής x α στ κεφάλαι της Β Γυμνασίυ. Τ υπόλιπ περιεχόμεν τυ κεφαλαίυ είναι νέ και συνδέεται με τ πρηγύμεν κεφάλαι. 51

54 .1 και. (Να διατεθύν 8 ώρες) υ Η υπενθύμιση των εξισώσεων 1 βαθμύ θα γίνει μέσω παραδειγμάτων. Σκπός της διδασκαλίας των παραγράφων είναι Α) Υπενθύμιση των πρωτβαθμίων εξισώσεων. Β) Η σύνδεση τυς με τις δευτερβάθμιες εξισώσεις μέσω της παραγντπίησης και η τελική τυς επίλυση. ΠΡΟΤΕΙΝΟΝΤΑΙ: Από την παράγραφ.1 θα διδαχθύν τα παραδείγματα 1 & σ. 86 και ι τύπι της σ. 86. Για σύνδεση των εννιών πυ έχυν πρηγηθεί και όσων θα ακλυθήσυν πρτείνεται να γίνει στην τάξη η παρακάτω επέκταση τυ ερωτήματς β) της εφαρμγής σ. 7: x 8x 6 Βρείτε τα x για τα πία ισχύει 0! x 3 Δεν χρειάζεται να γίνυν ασκήσεις στην επίλυση πρωτβαθμίων εξισώσεων και η παράγραφς δεν απτελεί μεμνωμένα αντικείμεν εξέτασης. Δεδμένυ ότι έχει διδαχθεί επαρκώς η παραγντπίηση η διδασκαλία της επίλυσης υ εξίσωσης βαθμύ μπρεί να ξεκινήσει από την παράγραφ. β σ.94. Η απόδειξη τυ τύπυ για την δευτερβάθμια εξίσωση μπρεί να γίνει κατά την κρίση τυ διδάσκντα χωρίς φυσικά να απτελεί αντικείμεν εξέτασης. Θα γίνυν τα παραδείγματα 1,, 3 σ. 95. Ειδικά για τα ερωτήματα α) β) τυ παραδείγματς 1 πρτείνεται να είναι να συζητηθεί και η δυνατότητα επίλυσης με παραγντπίηση και να συγκριθύν ι μέθδι. Στ παράδειγμα α) να επισημανθεί ότι η χρήση της ταυτότητας διαφράς τετραγώνων δεν μπρεί να δώσει απάντηση. Τέλς, στ παράδειγμα 3 να x 8x 6 πρστεθεί η ερώτηση: Να λυθεί η εξίσωση 0! x 3 Μέσω αυτής επιδιώκεται να αναδειχθεί η λειτυργικότητα της παραγντπίησης πλυωνύμων. Στην υππαράγραφ παραγντπίηση τριωνύμυ να χρησιμπιηθεί τ παράδειγμα της σ. 96 Ασκήσεις 3,4 σ. 97. η Ενδεικτική δραστηριότητα 1 : 3 Παρατηρήστε ότι 1 =1, δηλαδή ότι κύβς τυ 1 ισύται με τ 1. Μπρείτε να βρείτε όλυς τυς αριθμύς πυ έχυν αυτή την ιδιότητα, δηλαδή κύβς τυ αριθμύ να είναι ίσς με τν ίδι τν αριθμό; Πόσι τέτιι αριθμί υπάρχυν; [Σχόλι: Είναι ένα μαθηματικό πρόβλημα πυ δηγεί στη διατύπωση μιας πλυωνυμικής εξίσωσης και την επίλυσή της με παραγντπίηση. Μια διερεύνηση των μαθητών με δκιμές είναι πιθανόν να δηγήσει σε κάπιες λύσεις (πχ. στ 0 και τ 1) αλλά όχι σε όλες. Αυτή η δυσκλία μπρεί να λειτυργήσει ως αφρμή ώστε να αναδειχτεί η σημασία της επίλυσης μιας εξίσωσης μέσω αλγεβρικύ μετασχηματισμύ για την εύρεση όλων των λύσεών της.] η Ενδεικτική δραστηριότητα : Η επίλυση της εξίσωσης αχ +βχ=0 μπρεί να υπστηριχτεί και με τ μικρπείραμα «Επίλυση εξισώσεων της μρφής αχ +βχ=0, με α 0» από τα εμπλυτισμένα σχλικά βιβλία, για την κατανόηση και εξάσκηση αλγεβρικής και γραφικής πρσέγγισης των λύσεων μιας εξίσωσης δευτέρυ βαθμύ (ειδική μρφή: γ=0). η Ενδεικτική δραστηριότητα 3 : 3 Σχεδιάστε με λγισμικό (πχ. Geogebra) τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y=x +x και y=x +x. Σημειώστε στη γραφική παράσταση τ ή τα κινά σημεία τυς. Αν υπθέσυμε ότι ένα κινό σημεί είναι τ Α, να ερμηνεύσετε τις συντεταγμένες τυ σε σχέση με τυς τύπυς των δύ συναρτήσεων. Πρσδιρίστε τις συντεταγμένες τυ κινύ ή των κινών τυς σημείων (α) από τις γραφικές παραστάσεις και (β) αλγεβρικά με χρήση των τύπων των δύ 5

55 συναρτήσεων. [Σχόλι: Οι στόχι της δραστηριότητας είναι α) η σύνδεση των πλυωνυμικών εξισώσεων και των αλγεβρικών μεθόδων επίλυσής τυς με την γραφική αναπαράστασή τυς και β) η αναγνώριση της λύσης της εξίσωσης ως τετμημένης τυ κινύ σημείυ (ή των κινών σημείων).].3 (Να διατεθεί 1 ώρα) ΠΡΟΤΕΙΝΟΝΤΑΙ: Παράδειγμα 1 σ. 99. Ως παράδειγμα να γίνει η άσκηση 1 σ (Να διατεθύν 4 ώρες) Η.5.Α (διάταξη) δεν θα διδαχτεί. Από την.5.β θα διδαχτύν μόν εκείνες ι ιδιότητες πυ χρησιμπιύνται στην επίλυση ανισώσεων πρώτυ βαθμύ (δηλαδή η α, η β και η γ). Αυτές ι ιδιότητες θα πρέπει να συζητηθύν διαισθητικά και χωρίς την απόδειξη τυ σχλικύ βιβλίυ. Η.5.Γ θα διδαχτεί εξλκλήρυ. Από τα παραπάνω γίνεται φανερό, ότι η διδασκαλία της.5 περιρίζεται μόν στις ανισώσεις πρώτυ βαθμύ. Η έννια της διάταξης και ι ασκήσεις πυ αναφέρνται στη διάταξη και τις ιδιότητές της δεν περιλαμβάννται στη διδακτέα ύλη. Εξάλλυ, αυτές ι έννιες θα διαπραγματευθύν διεξδικά στην επόμενη τάξη. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΑΝΑ ΥΠΟΠΑΡΑΓΡΑΦΟ.5 Β: Θα διδαχθύν ι ιδιότητες των ανιστήτων με παραδείγματα. Στη συνέχεια μπρύν να συζητηθύν στην τάξη με αιτιλόγηση τα παρακάτω: Αν έχυμε: Πρκύπτει ότι: α> α>4 α>3 α->1 t>7 t>6 t>7 t>8 ω>7 ω 7 m>7 ξ< λ>-1 1<x<3 <y<5 1<x<3 <y<5 m 7 ξ<4 λ+1>0-3<x-y<1-7<x-y<4.5 Γ: Να γίνει τ παράδειγμα της σ Ασκήσεις 16 α) β) γ) σ η Ενδεικτική δραστηριότητα 1 : Τ εισιτήρι εισόδυ σε ένα χινδρμικό κέντρ στιχίζει 7 και συμπεριλαμβάνει την ενικίαση τυ εξπλισμύ. Στην περίπτωση πυ επισκέπτης χρησιμπιήσει δικό τυ εξπλισμό, τότε τ εισιτήρι εισόδυ είναι 4. Αν τ κόστς αγράς τυ εξπλισμύ είναι 75, πόσες φρές θα πρέπει να επισκεφθεί τ ίδι άτμ τ χινδρμικό κέντρ, ώστε να είναι συμφέρυσα η αγρά τυ εξπλισμύ; [Σχόλι: Πρόκειται για ένα ρεαλιστικό πρόβλημα πυ κάπις εξικειωμένς λύτης πιθανόν να τ λύσει χρησιμπιώντας ανίσωση πρώτυ βαθμύ. Ωστόσ, μπρεί να επιλεγύν από τυς μαθητές άλλι ισδύναμι τρόπι λύσης (αριθμητικά με πίνακες τιμών ή γραφικά με χρήση δύ συναρτήσεων). Ακόμη και μια λύση με δκιμές θα μπρύσε να αξιπιηθεί για να δηγηθύν ι μαθητές σε περισσότερ συστηματικές μεθόδυς διερεύνησης, όπως έναν πίνακα τιμών και μια γραφική παράσταση. Ο στόχς σε κάθε περίπτωση είναι η 53

56 μντελπίηση τυ πρβλήματς και η ανάδειξη των πλενεκτημάτων κάθε μεθόδυ επίλυσης.] η Ενδεικτική δραστηριότητα : Πρτείνεται να χρησιμπιηθεί τ μικρπείραμα «Γεωμετρική επίλυση ανίσωσης» από τ Φωτόδεντρ, για την εισαγωγή και εξάσκηση στην έννια της ανίσωσης και τη γεωμετρική και αλγεβρική επίλυσή της με τη βήθεια ενός γεωμετρικύ μντέλυ, πυ απεικνίζει ένα κυτί. Τ μικρπείραμα έχει δημιυργηθεί με χρήση εργαλείων συμβλικής έκφρασης μέσω τυ πργραμματισμύ (Χελωνόσφαιρα). Κεφάλαι 3 (Να διατεθύν 11 ώρες) Τ περιεχόμεν τυ κεφαλαίυ είναι εξλκλήρυ νέ για τυς μαθητές. Γενικά για τα συστήματα πρτείνεται: α) να χρησιμπιύνται τόσ ι γραφικές όσ και ι αλγεβρικές μέθδι, β) να δίνεται έμφαση σε πρβλήματα. Όλα τα παραπάνω (και όχι μόν ι αλγεβρικές μέθδι) συνιστάται να απτελύν αντικείμεν εξέτασης. 3.1 (Να διατεθύν 3 ώρες) ΠΡΟΤΕΙΝΟΝΤΑΙ: Οι μαθητές γνωρίζυν από την Β τάξη ότι η εξίσωση y=αx+β, στην πία θα στηριχθεί ή διδασκαλία της παραγράφυ, παριστάνει ευθεία. Δραστηριότητα σ. 1. Παράδειγμα 1 σ. 15. Παράδειγμα σ. 15 (πυ περιλαμβάνει αξιπίηση της ιδιότητα ένα σημεί να ανήκει σε ευθεία και κατάστρωση-επίλυση εξίσωσης). Ερωτήσεις κατανόησης 1,, 3, 4, 5 σ. 16. Ασκήσεις 1, 3, (Να διατεθύν ώρες) ΠΡΟΤΕΙΝΟΝΤΑΙ: Δραστηριότητα σ. 18. Στην τάξη να γίνυν ι ασκήσεις 3, 4 σ, 13. η Ενδεικτική δραστηριότητα 1 : Η Μαρία ξεκινάει τ πρωί από τη βάση της κατασκήνωσης, για να ανέβει στην κρυφή τυ Ολύμπυ, η πία απέχει 10 χιλιόμετρα. Η Έλενα ξεκινάει την ίδια ώρα από την κρυφή, για να επιστρέψει στην κατασκήνωση από την ίδια διαδρμή. Τα γραφήματα πυ περιγράφυν την απόσταση κάθε ρειβάτισσας από την κρυφή τυ βυνύ είναι σχεδιασμένα στ σχήμα. Πια γραμμή αντιστιχεί στη Μαρία και πια στην Έλενα; Τι εκφράζει τ σημεί τμής των δύ γραμμών; Σε πόση ώρα θα συναντήσει η Μαρία την Έλενα; Πώς μπρύμε να περιγράψυμε αλγεβρικά τη συνάντησή τυς και να βρύμε την ώρα συνάντησης; [Σχόλι: Η δραστηριότητα μπρεί να αξιπιηθεί και στην 3.1 και στην 3.3. Πρσφέρει αρκετές ευκαιρίες να συζητηθύν στην τάξη η γραμμική εξίσωση, η γραφική και η αλγεβρική 54

57 επίλυση, ακόμα και τ πόσ τα μαθηματικά μντέλα εκφράζυν πιστά την πραγματικότητα.] η Ενδεικτική δραστηριότητα : Η άσκηση 4 τυ σχλικύ βιβλίυ μπρεί να γίνει πι διερευνητικά με τ μικρπείραμα «Γραφική επίλυση συστήματς και επιλγή πακέτυ κινητής τηλεφωνίας» από τα εμπλυτισμένα σχλικά βιβλία, για την ανακάλυψη της σχέσης μεταξύ των συντεταγμένων τυ σημείυ τμής των ευθειών πυ παριστάνυν ι εξισώσεις ενός γραμμικύ συστήματς και της λύσης τυ, με τη διαδικασία επίλυσης πρβλήματς με δραστηριότητες (Να διατεθύν 4 ώρες) ΠΡΟΤΕΙΝΟΝΤΑΙ: Δραστηριότητα σ Να διδαχθύν ι μέθδι α) β) των σελίδων 133 & 134. Πρτείνεται να συζητηθύν μέσω παραδειγμάτων τα πλενεκτήματα κάθε μεθόδυ αλλά να αφεθύν ελεύθερι ι μαθητές να επιλέγυν μέθδ. Παράδειγμα σ.135. Παράδειγμα 4 σ.136. Ασκήσεις 1,, 8, 10, 11, 13 σ Κεφάλαι 5 (Να διατεθύν 8 ώρες) Τ περιεχόμεν είναι εξλκλήρυ νέ. Η διδασκαλία τυ κρίνεται απαραίτητη κυρίως λόγω των εφαρμγών σε δραστηριότητες εκτός των μαθηματικών και τυ διαφρετικύ «τρόπυ σκέψης» πυ απαιτεί (σε σχέση με την υπόλιπη ύλη των μαθηματικών αυτής της τάξης). Με την εξαίρεση από τη διδακτέα ύλη των πράξεων με σύνλα και τυ λγισμύ πιθαντήτων, στόχς είναι να δθεί έμφαση στην εμπλκή των μαθητών με απλά πρβλήματα πυ θα αναδεικνύυν την έννια της πιθανότητας και θα απφεύγεται η "αλγεβρπίηση" της διδασκαλίας των πιθαντήτων. 5.1 (Να διατεθύν ώρες) Να μην διδαχθεί η υππαράγραφς «πράξεις με σύνλα», η εφαρμγή, ι ερωτήσεις κατανόησης ε), στ), 3, 4, 5 και ι ασκήσεις 6, 7, 8 και (Να διατεθύν ώρες) Να μη διδαχθύν ι πράξεις με ενδεχόμενα και τα ασυμβίβαστα ενδεχόμενα. Να εξαιρεθύν η ερώτηση 8 και η άσκηση (Να διατεθύν 4 ώρες) Να μη διδαχθύν η υππαράγραφς «βασικί κανόνες λγισμύ των πιθαντήτων», η εφαρμγή, ι ερωτήσεις κατανόησης 4, 5 και ι ασκήσεις 9, 10, 11, 1, 13. η Ενδεικτική δραστηριότητα 1 : Ρίχνντας δυ ζάρια τι πιθανότητα έχυμε να φέρυμε δυ 6άρια και τι πιθανότητα να φέρυμε ένα 6 κι ένα 5; Τι είναι πι εύκλ να φέρυμε: ζαριά με άθρισμα μεγαλύτερ από 7 ή ζαριά με γινόμεν μικρότερ από 7; η Ενδεικτική δραστηριότητα : Έχυμε ένα ερωτηματλόγι με ερωτήσεις πλλαπλής επιλγής, όπυ σε κάθε ερώτηση υπάρχυν τέσσερεις απαντήσεις, εκ των πίων μόν μια σωστή. Οι ερωτήσεις είναι τέτιες, ώστε αναγκαζόμαστε να τις απαντήσυμε στην τύχη. Πια είναι η πιθανότητα να απαντήσυμε όλες τις ερωτήσεις σωστά; Τι είναι πιθανότερ, να απαντήσυμε μία τυλάχιστν σωστά ή να τις απαντήσυμε και τις δύ λάθς; [Σχόλι: Τα πρβλήματα είναι σχετικά δύσκλα, αλλά τ ικεί πλαίσι (ζάρι, ερωτήσεις 55

58 πλλαπλής επιλγής) αναμένεται να λειτυργήσει πρκλητικά ώστε να εμπλακύν ι μαθητές με τη διερεύνησή τυς. Πρσδκύμε να κατανηθεί η ανάγκη συστηματικής καταγραφής των δυνατών απτελεσμάτων, πυ θα δηγήσει σε πίνακα διπλής εισόδυ (στην 1) και σε δεντρδιάγραμμα (στη )] η Ενδεικτική δραστηριότητα 3 : Με τ μικρπείραμα «Δραστηριότητα με περιστρεφόμενη σβύρα» από τα εμπλυτισμένα σχλικά βιβλία, ι μαθητές μπρύν να περιστρέψυν μια σβύρα, την πία πρηγυμένως έχυν χωρίσει σε κυκλικύς τμείς. Τα απτελέσματα της περιστρφής παριστάννται με ραβδόγραμμα. Παίζντας με τη σβύρα ι μαθητές μπρύν να εξερευνήσυν την έννια της πιθανότητας καθώς και τη σχέση μεταξύ θεωρητικής και πειραματικής πιθανότητας. Β ΜΕΡΟΣ Κεφάλαι 1 (Να διατεθύν 1 διδακτικές ώρες) 1.1 (Να διατεθύν 8 διδακτικές ώρες) Η ενότητα πρσφέρεται για επαφή των μαθητών με πτυχές της μαθηματικής απδεικτικής διαδικασίας (ευθεία απόδειξη, αναλυτική μέθδς, αντιπαραδείγματα, απαγωγή σε άτπ). Πρτείνεται στ εισαγωγικό κμμάτι της ενότητας, πριν από την έννια της ισότητας των τριγώνων, να γίνει επανάληψη των απαραίτητων γνώσεων πυ θα χρειαστύν (π.χ. ι κατακρυφήν γωνίες είναι ίσες, ι παρά τη βάση γωνίες τυ ισσκελύς τριγώνυ είναι ίσες κτλ.) Επίσης πρτείνεται, όπυ είναι δυνατόν να χρησιμπιείται η συμμετρία ως πρς άξνα ή κέντρ, ως επιχείρημα αιτιλόγησης ισότητας ευθυγράμμων τμημάτων και γωνιών (βλέπε ενδεικτική δραστηριότητα 1). Συνιστάται κατά την διδασκαλία τυ κεφαλαίυ, συμπληρωματικά, να χρησιμπιείται ρυζόχαρτ για την επαλήθευση της ισότητας σχημάτων. Μετά την υπενθύμιση όρων και απτελεσμάτων των σελίδων να επισημανθεί στην εισαγωγή της έννιας της ισότητας τριγώνων ότι κατ αρχάς απαιτείται ισότητα 6 στιχείων τα πία μειώννται χάρη στα κριτήρια και στην ιδιότητα πυ αφρά τ άθρισμα γωνιών τριγώνυ. Επίσης πρτείνεται να γίνυν κατασκευές τριγώνων από 3 στιχεία και να γίνει επαλήθευση της σύμπτωσης ως ένδειξη ισχύς των κριτηρίων. Να τνιστεί στην τάξη με κατάλληλ παράδειγμα ότι η διάταξη ισότητας στιχείων Π-Π-Γ δεν απτελεί κριτήρι ισότητας τριγώνων: ΠΡΟΤΕΙΝΟΝΤΑΙ: Εφαρμγές 1-4 σ Ερωτήσεις κατανόησης.1-11 σ Ασκήσεις 1,, 3, 4 σ. 194 & 5, 9, 11 σ. 195 η Ενδεικτική δραστηριότητα 1 : Η ΑΜ είναι διάμεσς τυ ρθγωνίυ τριγώνυ ΑΒΓ. α) Να σχεδιάσετε τ συμμετρικό τρίγων τυ ΑΒΓ ως πρς κέντρ Μ. β) Τι είδυς τετράπλευρ πρκύπτει και γιατί; γ) Να εξετάσετε αν η διάμεσς ΑΜ είναι τ μισό της υπτείνυσας ΒΓ και να δικαιλγήσετε την απάντησή σας. [Σχόλι: Η παραπάνω δραστηριότητα έχει ως στόχ να αναδειχθεί η σημασία ενός γεωμετρικύ μετασχηματισμύ (κεντρική συμμετρία) στην ανακάλυψη και αιτιλόγηση μιας ιδιότητας τυ ρθγωνίυ τριγώνυ (ιδιότητα της διαμέσυ πρς την υπτείνυσα) χρησιμπιείται τ πρόβλημα] 56

59 η Ενδεικτική δραστηριότητα : Τ μικρπείραμα «Κατασκευή τριγώνυ-1 κριτήρι ισότητας» από τα εμπλυτισμένα σχλικά βιβλία, μπρεί να χρησιμπιηθεί διερευνητικά για την κατασκευή τριγώνυ με τ 1 κριτήρι ισότητας. 1. και 1.3 (Να διατεθύν 6 διδακτικές ώρες) Θα διδαχθεί τ θεώρημα τυ Θαλή για να φανεί η δυνατότητα μεταφράς λόγων μέσω παραλλήλων ευθειών και να πρετιμαστεί διδακτικά η μιότητα. ΠΡΟΤΕΙΝΟΝΤΑΙ: 1. Δραστηριότητα σ Παραδείγματα 1,, 3, σ. 0 & 4 σ. 03. Ερωτήσεις κατανόησης 1, 3, 4, σ. 03 & 5, 7 σ. 04. Ασκήσεις 5, 6 σ Δραστηριότητα της σ. 06 με σκπό να διατυπωθεί τ συμπέρασμα. Παράδειγμα 1 της σ. 07 Ερώτηση κατανόησης 1 σ Α (Να διατεθύν διδακτικές ώρες) Δεν θα γίνει αναφρά στην μιθεσία. Η έννια της μιότητας θα ριστεί με βάση τν κανόνα : «Γενικά. Αν δύ πλύγωνα» πυ υπάρχει στ τέλς της σελίδας 15 και θα επέχει θέση ρισμύ. ΠΡΟΤΕΙΝΟΝΤΑΙ: Παραδείγματα 1 σ. 16 & σ. 17. Ερωτήσεις κατανόησης 1-4 σ. 18. Ασκήσεις 1 σ. 18 &, 5, 6 σ. 19. Σημειώνεται ότι η επίλυση της άσκ. 5 μπρεί να στηριχθεί στην εφαρμγή 1 σ Ενδεικτική δραστηριότητα: Με τ μικρπείραμα «Κριτήρι μιότητας 3» από τα εμπλυτισμένα σχλικά βιβλία, ι μαθητές μπρύν να κατασκευάσυν όμια τρίγωνα δσμένυ τριγώνυ, με συγκεκριμέν λόγ μιότητας Β. (Να διατεθύν 4 ώρες) Τ κριτήρι μιότητας της (από ισότητα γωνιών) της σ. 0 θα δθεί χωρίς αιτιλόγηση. ΠΡΟΤΕΙΝΟΝΤΑΙ: Παράδειγμα 1 σ. 0 & σ. 1. Ερωτήσεις κατανόησης 1 σ. 1 & 3, 4 σ.. Ασκήσεις 1 σ. &, 4, 6, 8 σ.. η Ενδεικτική δραστηριότητα 1 : Ένα ζωγράφς δκιμάζει να ζωγραφίσει τν κεκλιμέν πύργ της Πίζας. Τ ύψς τυ πύργυ είναι 60 m και τ ύψς πυ έχει τώρα, λόγω της απόκλισης από την κατακόρυφη, είναι 59,8m. Στ σχέδιό τυ τ ύψς τυ πύργυ θέλει να είναι 30 cm. Αν εσύ ήσυν ζωγράφς πόσ θα σχεδίαζες τ κατακόρυφ ύψς; Πώς θα ήσυν σίγυρς ότι με αυτές τις διαστάσεις πύργς της ζωγραφιάς θα γέρνει όπως πύργς της Πίζας; [Σχόλι: Στόχς της δραστηριότητας είναι ι μαθητές να χρησιμπιήσυν τ λόγ μιότητας 57

60 σχημάτων] η Ενδεικτική δραστηριότητα : Τ μικρπείραμα «Κριτήρι μιότητας 3» από τα εμπλυτισμένα σχλικά βιβλία, μπρεί να χρησιμπιηθεί διερευνητικά, για την εισαγωγή στα κριτήρια μιότητας και την κατασκευή γεωμετρικών αντικειμένων στ Geogebra (Να διατεθύν 4 διδακτικές ώρες) Γενικές ασκήσεις κεφαλαίυ (ισχύει για τις γενικές ασκήσεις όλων των κεφαλαίων): Απευθύννται σε μαθητές με ιδιαίτερες δεξιότητες και ενδιαφέρν για τα μαθηματικά. Δεν πρέπει να ζητείται η διαπραγμάτευσή τυς από όλυς τυς μαθητές. Αν διδάσκων εκτιμά ότι είναι χρήσιμ, μπρεί κάπια από αυτά τα θέματα να τα πρτείνει σε κάπιυς μαθητές. Κεφάλαι (Να διατεθύν 13 διδακτικές ώρες).1 (Να διατεθύν 6 διδακτικές ώρες) Ως σύνδεση με την τριγωνμετρία της πρηγύμενης τάξης, ι μαθητές υπλγίζυν τυς τριγωνμετρικύς αριθμύς των 30, 45 και 60. Επίσης, θεωρείται χρήσιμη η σύνδεση της τριγωνμετρίας με την μιότητα τριγώνων. Η διατήρηση τυ λόγυ δύ πλευρών σε ένα τρίγων διατηρείται όταν μεταβαίνυμε σε ένα όμιό τυ τρίγων. Αυτό μπρεί να αξιπιηθεί για να αναδείξει ότι ι τριγωνμετρικί αριθμί κατά κάπιν τρόπ «μετρύν» μία γωνία. Οι μαθητές επεκτείνυν τυς ρισμύς των τριγωνμετρικών γωνιών σε αμβλείες γωνίες. Για την περίπτωση της εφαπτμένης, μπρεί να χρησιμπιηθεί η πρηγύμενη γνώση της κλίσης της ευθείας της μρφής y αx, όταν αυτή σχηματίζει αμβλεία γωνία με τν άξνα x x. ΠΡΟΤΕΙΝΟΝΤΑΙ: Κατά την κρίση τυ διδάσκντα μπρεί πλέν (με χρήση μιότητας) να τεκμηριωθεί ότι τ ημίτν (αλλά και ι υπόλιπι τριγωνμετρικί αριθμί) μιας ξείας γωνίας παραμένει τ ίδι ανεξάρτητα από τ επιλεγόμεν ρθγώνι τρίγων στ πί θα υπλγιστεί και εξαρτάται μόν από την γωνία. Για τν σκπό αυτό πρσφέρεται η εφαρμγή 3β σ. 34. Για τν πίνακα της σ. 34 συνιστάται να γίνει υπλγισμός των τριγωνμετρικών αριθμών με την βήθεια τυ Πυθαγρείυ θεωρήματς με χρήση ρθγωνίυ ισσκελύς και ισπλεύρυ τριγώνυ. Εφαρμγή 1 σ. 4. Ερωτήσεις κατανόησης 1 σ. 34 &, 4 σ, 35. Ασκήσεις 3 σ. 35 &, 4, 7 σ. 36. Ενδεικτική δραστηριότητα: Δίνεται στυς μαθητές ένα μη-ρθγώνι τρίγων και ζητύνται να υπλγιστύν τα στιχεία τυ. Από την περίπτωση τυ ρθγωνίυ τριγώνυ, αναδεικνύεται η ανάγκη επέκτασης των τριγωνμετρικών αριθμών σε αμβλείες γωνίες.. (Να διατεθύν 4 διδακτικές ώρες) ΠΡΟΤΕΙΝΟΝΤΑΙ: Δραστηριότητα σ. 37. Παράδειγμα 1 σ. 38. Ερώτηση κατανόησης 3 σ. 39. Ασκήσεις 1, 5 α) β) γ) (όπυ να τνιστεί ότι αναζητύμε γωνία μεταξύ 0 και 18 μιρών), 6, 8 σ.39. Ενδεικτική δραστηριότητα: 58

61 Τ μικρπείραμα «Τριγωνμετρικί αριθμί παραπληρωματικών γωνιών» από τα εμπλυτισμένα σχλικά βιβλία, μπρεί να χρησιμπιηθεί διερευνητικά, για τη σχέση τριγωνμετρικών αριθμών παραπληρωματικών γωνιών (Να διατεθύν 3 διδακτικές ώρες) Ένας από τυς στόχυς είναι ι μαθητές να χρησιμπιύν τις βασικές ταυτότητες για την απόδειξη απλών τριγωνμετρικών ταυττήτων. Έτσι, πρτείνυμε να εξαιρεθύν από την διδασκαλία ι ασκήσεις 5, 7, 8, 9 και 10 γιατί είναι εκτός στόχων τυ αναλυτικύ πργράμματς και δεν είναι σε θέση να τις διαπραγματευτύν μόνι τυς ι περισσότερι μαθητές. ΠΡΟΤΕΙΝΟΝΤΑΙ: Δραστηριότητα σ. 40 Παραδείγματα 1, σ (Να διατεθύν 3 διδακτικές ώρες) Η παράγραφς αυτή απτελεί επιστέγασμα πρηγυμένων γνώσεων και δεξιτήτων (αναλγίες, Πυθαγόρει Θεώρημα, τριγωνμετρία, αλγεβρικός λγισμός) τις πίες ενπιεί επεκτείνντας πρς σημαντικά απτελέσματα τα πία βρίσκυν άμεσες και ενδιαφέρυσες πρακτικές εφαρμγές. Καταδεικνύυν έτσι την αξία των Μαθηματικών. Η διδασκαλία των απδείξεων των νόμων ημιτόνων συνημιτόνων υπηρετεί τυς παραπάνω μρφωτικύς στόχυς αλλά η εξέταση (γραπτή ή πρφρική) των απδείξεων τυς υπερβαίνει γι αυτό ι απδείξεις δεν απτελύν αντικείμεν γραπτής ή πρφρικής εξέτασης. Για τν ίδι λόγ δεν επιλέγνται ασκήσεις με υπλγιστική δυσκλία πυ να υπερβαίνει τις πρτεινόμενες παρακάτω. ΠΡΟΤΕΙΝΟΝΤΑΙ: Δραστηριότητα 1 σ. 4. Αντί αυτής μπρεί να χρησιμπιηθεί συγκεκριμέν τρίγων τυ πίυ να μετρηθύν πλευρές γωνίες, να βρεθύν τα ημίτνα τυς και να επαληθευθεί η α β γ ισότητα. Εναλλακτικά μπρεί να χρησιμπιηθεί τ λγισμικό Geogebra. ημα ημβ ημγ Παραδείγματα 1, σ. 84 & 4 σ. 47. Ασκήσεις 1 α, α, 5, 6, 8 (να διδαχθεί στην τάξη). Οι διδάσκντες/υσες να ενημερωθύν ενυπόγραφα. Ο ΥΠΟΥΡΓΟΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΓΑΒΡΟΓΛΟΥ Εσωτ. Διανμή Γραφεί Υπυργύ Γραφεί Αναπλ. Γενικύ Γραμματέα Δ/νση Σπυδών, Πργρ/των & Οργάνωσης Δ.Ε., Τμ. Α Αυτ. Δ/νση Παιδείας, Ομγ., Διαπλ. Εκπ/σης, Ξένων και Μειν. Σχλείων Διεύθυνση Θρησκευτικής Εκπ/σης Δ/νση Ειδικής Αγωγής και Εκπ/σης Δ/νση Ιδιωτικής Εκπ/σης 59

62 Ψηφιακά υπγεγραμμέν από ANASTASIA PASCHALIDOU Ημερμηνία: :4:01 EEST ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ Βαθμός Ασφαλείας: Να διατηρηθεί μέχρι: Βαθ. Πρτεραιότητας: ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ, ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέυ 37 Τ.Κ. Πόλη: Μαρύσι Ιστσελίδα: Πληρφρίες: Αν. Πασχαλίδυ Β. Πελώνη Τηλέφων: Αθήνα, Αρ. Πρωτ /Δ ΠΡΟΣ : Περιφερειακές Δ/νσεις Εκπ/σης Σχλ. Συμβύλυς Δ.Ε. (μέσω των Περιφερειακών Δ/νσεων Εκπ/σης) Δ/νσεις Δ.Ε. Γενικά Λύκεια (μέσω των Δ/νσεων Δ.Ε.) ΚΟΙΝ.: Ινστιτύτ Εκπαιδευτικής Πλιτικής (Ι.Ε.Π.) info@iep.edu.gr ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηματικών στις Α, Β τάξεις Ημερήσιυ ΓΕ.Λ και Α, Β, Γ τάξεις Εσπερινύ ΓΕΛ για τ σχλ. έτς Σχετ.: Τ με αρ. πρωτ. εισ. ΥΠ.Π.Ε.Θ / έγγραφ Μετά από σχετική εισήγηση τυ Ινστιτύτυ Εκπαιδευτικής Πλιτικής (πράξη 36/ τυ Δ.Σ) σας απστέλλυμε τις παρακάτω δηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηματικών για τ σχλικό έτς : 1. Άλγεβρα (Τάξεις: Α, Β Ημερησίυ ΓΕΛ, Α, Β, Γ Εσπερινύ ΓΕΛ). Γεωμετρία (Τάξεις: Α, Β Ημερησίυ ΓΕΛ, Α, Β, Γ Εσπερινύ ΓΕΛ ) 3. Μαθηματικά Ομάδας Πρσανατλισμύ Θετικών Σπυδών (Τάξεις: Β Ημερησίυ ΓΕΛ και Γ Εσπερινύ ΓΕΛ) Άλγεβρα Α Τάξης Ημερήσιυ Γενικύ Λυκείυ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ-ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ Ι. Εισαγωγή Τ μάθημα «Άλγεβρα και Στιχεία Πιθαντήτων» περιέχει σημαντικές μαθηματικές έννιες, όπως, της απόλυτης τιμής, των πρόδων, της συνάρτησης κ.ά., ι πίες είναι απαραίτητες για την μετέπειτα μαθηματική εξέλιξη των μαθητών. Οι μαθητές έχυν έρθει σε μια πρώτη επαφή με αυτές τις έννιες σε πρηγύμενες τάξεις. Στην Α Λυκείυ θα τις αντιμετωπίσυν σε ένα υψηλότερ επίπεδ αφαίρεσης, τ πί δημιυργεί ιδιαίτερες δυσκλίες στυς μαθητές. Για την αντιμετώπιση αυτών των δυσκλιών πρτείνεται να αφιερωθεί ικανός χρόνς στην εμπέδωση των νέων εννιών, μέσω της ανάπτυξης και σύνδεσης πλλαπλών αναπαραστάσεών τυς και στη χρήση τυς στην 1

63 επίλυση πρβλημάτων. Επίσης, να αφιερωθεί χρόνς ώστε ι μαθητές να εμπλακύν στην αναγνώριση μιτήτων και διαφρών μεταξύ ιδιτήτων και διαδικασιών καθώς και σε διαδικασίες γενίκευσης. Οι πλλαπλές αναπαραστάσεις και η σύνδεσή τυς μπρύν υπστηριχθύν από ψηφιακά περιβάλλντα, με τη βήθεια των πίων ι μαθητές μπρύν να εμπλακύν σε υσιαστικές μαθηματικές δραστηριότητες. Μέσα από τη διερεύνηση μιτήτων και διαφρών - για παράδειγμα η συσχέτιση των διαδικασιών επίλυσης ή της μρφής των λύσεων εξισώσεων και ανισώσεων, η συσχέτιση ρισμένων ιδιτήτων των ριζών και των απδείξεών τυς με αντίστιχες των απλύτων τιμών - ι μαθητές μπρύν να κατανήσυν καλύτερα τις σχετικές έννιες και διαδικασίες. ΙΙ. Διδακτέα ύλη Από τ βιβλί «Άλγεβρα και Στιχεία Πιθαντήτων Α Γενικύ Λυκείυ» Εισαγωγικό κεφάλαι Ε. Σύνλα Κεφ. : Οι Πραγματικί Αριθμί.1 Οι Πράξεις και ι Ιδιότητές τυς. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών (εκτός της απόδειξης της ιδιότητας 4).3 Απόλυτη Τιμή Πραγματικύ Αριθμύ.4 Ρίζες Πραγματικών Αριθμών (εκτός των ιδιτήτων 3 και 4) Κεφ.3 : Εξισώσεις υ 3.1 Εξισώσεις 1 Βαθμύ 3. Η Εξίσωση 3.3 Εξισώσεις Βαθμύ xν α υ Κεφ.4 : Ανισώσεις υ 4.1 Ανισώσεις 1 Βαθμύ 4. Ανισώσεις Βαθμύ υ Κεφ.5 : Πρόδι 5.1 Ακλυθίες 5. Αριθμητική πρόδς (εκτός της απόδειξης για τ άθρισμα ν διαδχικών όρων αριθμητικής πρόδυ ) 5.3 Γεωμετρική πρόδς (εκτός της απόδειξης για τ άθρισμα ν διαδχικών όρων γεωμετρικής πρόδυ ) Κεφ.6 : Βασικές Έννιες των Συναρτήσεων 6.1 Η Έννια της Συνάρτησης 6. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης 6.3 Η Συνάρτηση f(x)= αx+β (εκτός της κλίσης ευθείας ως λόγς μεταβλής) Κεφ.7 : Μελέτη Βασικών Συναρτήσεων 7.1 Μελέτη της Συνάρτησης: f(x)= αx 7.3 Μελέτη της Συνάρτησης: f(x)= αx +βx+γ ΙΙΙ. Διαχείριση διδακτέας ύλης [Η κατανμή των διδακτικών ωρών πυ πρτείνεται είναι ενδεικτική. Μέσα σε αυτές τις ώρες περιλαμβάνεται χρόνς πυ θα χρειαστεί για ανακεφαλαιώσεις, γραπτές δκιμασίες, εργασίες κλπ. Οι δραστηριότητες πυ αναφέρνται ως Δ1, Δ κλπ περιέχνται στ Αναλυτικό πρόγραμμα σπυδών

64 της Α Λυκείυ πυ ισχύει (ΥΑ 59614/Γ, ΦΕΚ 1168/ ) Οι ενδεικτικές δραστηριότητες πυ περιλαμβάννται στις παρύσες δηγίες ως επιπλέν διδακτικό υλικό πρέρχνται από τ πρόγραμμα σπυδών για τ λύκει και τν δηγό για τν εκπαιδευτικό πυ εκπνήθηκαν στ πλαίσι της πράξης "Νέ Σχλεί" και μπρύν να ανακτηθύν από τν ιστότπ τυ ΙΕΠ: ] Εισαγωγικό Κεφάλαι (Πρτείνεται να διατεθύν διδακτικές ώρες) Στ κεφάλαι αυτό ι μαθητές διαπραγματεύνται την έννια τυ συνόλυ καθώς και σχέσεις και πράξεις μεταξύ συνόλων. Ειδικότερα: Όσν αφρά στην Ε.1, αυτή να μη διδαχθεί ως αυτόνμ κεφάλαι αλλά να συζητηθεί τ νόημα και η χρήση των στιχείων της Λγικής στις ιδιότητες και πρτάσεις πυ διατρέχυν τη διδακτέα ύλη (για παράδειγμα στην ιδιότητα α β 0 α 0 και β 0 της.1 μπρεί να διερευνηθεί τ νόημα της ισδυναμίας και τυ συνδέσμυ «και»). Ε. Πρτείνεται να διατεθύν ώρες Οι μαθητές αντιμετωπίζυν για πρώτη φρά με συστηματικό τρόπ την έννια τυ συνόλυ και των σχέσεων και πράξεων μεταξύ συνόλων. Επειδή η έννια τυ συνόλυ είναι πρωταρχική, δηλαδή δεν ρίζεται, χρειάζεται να τνισθύν ι πρϋπθέσεις πυ απαιτύνται για να θεωρηθεί μια συλλγή αντικειμένων σύνλ μέσα από κατάλληλα παραδείγματα (π.χ. τ σύνλ πυ απτελείται από τα θρανία και τυς μαθητές της τάξης, τ «σύνλ» των ψηλών μαθητών της τάξης). Η αναπαράσταση συνόλων, σχέσεων και πράξεων αυτών καθώς και η μετάβαση από τη μία αναπαράσταση στην άλλη, μπρύν να υπστηρίξυν την κατανόηση της έννιας τυ συνόλυ. Οι πράξεις μεταξύ συνόλων είναι ένα πλαίσι στ πί ι μαθητές μπρύν να δώσυν νόημα στυς συνδέσμυς «ή» και «και». Ειδικά, όσν αφρά στ σύνδεσμ «ή», να επισημανθεί η διαφρετική τυ σημασία στα Μαθηματικά από εκείνη της απκλειστικής διάζευξης πυ τυ απδίδεται συνήθως στην καθημερινή χρήση τυ. Οι δραστηριότητες Δ.1, Δ. και Δ.3 τυ ΑΠΣ είναι ενδεικτικές για την εννιλγική πρσέγγιση της έννιας τυ συνόλυ. Ενδεικτική δραστηριότητα: Χρησιμπιείστε αναπαραστήσετε τα διαγράμματα τις Venn σχέσεις για να μεταξύ παραλληλγράμμων, ρθγωνίων, τετραγώνων και ρόμβων. [Σχόλι: Από τ διάγραμμα μπρύν ι μαθητές να διαπιστώσυν ακόμα ότι: - Όλα τα τετράγωνα είναι ρθγώνια, ενώ όλα τα ρθγώνια δεν είναι τετράγωνα. - Όλα τα τετράγωνα είναι ρόμβι, αλλά όλι ι ρόμβι δεν είναι τετράγωνα. - Όλι ι ρόμβι είναι παραλληλόγραμμα, αλλά όλα τα παραλληλόγραμμα δεν είναι ρόμβι... Κεφάλαι (Πρτείνεται να διατεθύν 19 διδακτικές ώρες) Στ κεφάλαι αυτό ι μαθητές επαναλαμβάνυν και εμβαθύνυν στις ιδιότητες τυ συνόλυ των πραγματικών αριθμών με στόχ να βελτιώσυν την κατανόηση της δμής τυ. Η επανάληψη και 3

65 περαιτέρω εξάσκηση των μαθητών στν αλγεβρικό λγισμό (αλγεβρικές πράξεις, παραγντπίηση, ταυτότητες κ.λ.π.) δεν απτελεί τν κύρι στόχ αυτύ τυ κεφαλαίυ. Ειδικότερα:.1 Πρτείνεται να διατεθύν 5 ώρες Οι μαθητές συναντύν δυσκλίες στη διάκριση των ρητών από τυς άρρητυς και γενικότερα στην ταξινόμηση των πραγματικών αριθμών σε φυσικύς, ακέραιυς ρητύς και άρρητυς. Οι διαφρετικές αναπαραστάσεις των πραγματικών αριθμών επηρεάζυν τις παραπάνω διεργασίες. Για τ λόγ αυτό πρτείνεται να δθεί έμφαση στη διάκριση των ρητών από τυς άρρητυς με χρήση 4, 1.333, 1,010101, 1, , καθώς και 3 3 π 4 στην ταξινόμηση αριθμών στα βασικά υπσύνλα των πραγματικών αριθμών (όπως,,, 5 6 κατάλληλων παραδειγμάτων, όπως ι αριθμί κ.ά.). Παράλληλα, και με αφρμή τα παραπάνω παραδείγματα, μπρεί να γίνει συζήτηση αν τ άθρισμα και τ γινόμεν δύ ρητών ή δύ άρρητων ή ρητύ και άρρητυ είναι ρητός ή άρρητς. Σημαντικό για τν αλγεβρικό λγισμό είναι ι μαθητές να κατανήσυν τις ιδιότητες των πράξεων. Σε αυτό θα βηθήσει η λεκτική διατύπωση και η διερεύνηση των ιδιτήτων καθώς και η αναγνώριση της σημασίας της ισδυναμίας, της συνεπαγωγής και των συνδέσμων «ή» και «και», με ιδιαίτερη έμφαση στις ιδιότητες: α β=0 α=0 ή β=0, α β 0 α 0 και β 0. Να δθεί έμφαση στις μεθόδυς απόδειξης και ιδιαίτερα σε αυτές με τις πίες δεν είναι εξικειωμένι ι μαθητές, όπως η χρήση της απαγωγής σε άτπ για την απόδειξη ότι είναι άρρητς και τυ αντιπαραδείγματς στην απόρριψη τυ ισχυρισμύ: α =β α=β. Η δραστηριότητα Δ9 τυ ΑΠΣ μπρεί να αξιπιηθεί πρς αυτή την κατεύθυνση. Ενδεικτική δραστηριότητα 1: Η Ελένη και Κώστας παρατηρύν ότι τ άθρισμα 3+11 είναι άρτις και τ γινόμεν 3 11 είναι περιττός. Κατόπιν αυτών: Η Ελένη ισχυρίζεται ότι: αν τ άθρισμα δύ φυσικών αριθμών είναι άρτις, τότε τ γινόμενό τυς είναι περιττός Ο Κώστας ισχυρίζεται ότι: αν τ γινόμεν δύ φυσικών αριθμών είναι περιττός, τότε τ άθρισμά τυς είναι άρτις. Να απαντήσετε στα ακόλυθα ερωτήματα: α) ι ισχυρισμί της Ελένης και τυ Κώστα λένε τ ίδι πράγμα; β) Τ γινόμεν δύ φυσικών είναι 171. Αν υπθέσυμε ότι έχει δίκι Κώστας πια από τις επόμενες πρτάσεις είναι σωστή; i. τ άθρισμα των δύ αριθμών είναι σίγυρα άρτις ii. τ άθρισμα των δύ αριθμών είναι σίγυρα περιττός iii. δεν είναι σίγυρ αν τ άθρισμα είναι περιττός ή άρτις μέχρι να μάθυμε πιι είναι ι αριθμί. γ) είναι σωστός ισχυρισμός της Ελένης; Να αιτιλγήσετε την απάντησή σας. δ) είναι σωστός ισχυρισμός τυ Κώστα; Να αιτιλγήσετε την απάντησή σας.. Πρτείνεται να διατεθύν 5 ώρες Οι μαθητές, επηρεασμένι από τη διαδχικότητα των ακεραίων, συναντύν δυσκλίες στην 4

66 κατανόηση της πυκνότητας των ρητών αριθμών. Πρτείνεται να δθεί έμφαση στη διερεύνηση της έννιας της πυκνότητας και της διαδχικότητας στα βασικά υπσύνλα των πραγματικών αριθμών (πρτείνεται η δραστηριότητα Δ.9 τυ ΑΠΣ) καθώς και στις μιότητες και διαφρές των ιδιτήτων της ισότητας και της ανισότητας, με έμφαση στις ισδυναμίες: α +β =0 α=0 και β=0, ενώ α +β >0 α 0 ή β 0 και στα σχόλια 1 και της σελ Πρτείνεται να διατεθύν 6 ώρες Οι μαθητές έχυν αντιμετωπίσει, στ Γυμνάσι, την απόλυτη τιμή ενός αριθμύ ως την απόστασή τυ από τ μηδέν στν άξνα των πραγματικών αριθμών. Στην ενότητα αυτή δίνεται τυπικός ρισμός της απόλυτης τιμής και απδεικνύνται ι βασικές ιδιότητές της. Να επισημανθεί η μέθδς απόδειξης των ιδιτήτων των απλύτων τιμών (ότι η ζητύμενη σχέση είναι ισδύναμη με μία σχέση ( ) σε αυτές. Η γεωμετρική ερμηνεία της απόλυτης τιμής ενός αριθμύ και της απόλυτης τιμής της διαφράς δύ αριθμών είναι σημαντική, γιατί βηθά τυς μαθητές να απδώσυν νόημα στην έννια. Η σύνδεση, όμως, της αλγεβρικής σχέσης και της γεωμετρικής της αναπαράστασης δεν είναι κάτι πυ γίνεται εύκλα από τυς μαθητές και για αυτό απαιτείται να δθεί σε αυτό ιδιαίτερη έμφαση. Με αυτή την έννια πρτείνεται να μη διδαχθύν, στη γενική τυς μρφή, ι: Ix-x0I<ρ x (x0-ρ, x0+ρ) x0-ρ<x<x0+ρ καθώς και Ix-x0I>ρ x (-, x0-ρ) (x0+ρ, + ) x<x0-ρ ή x>x0+ρ καθώς και η γεωμετρική ερμηνεία αυτών, επειδή είναι πλύ δύσκλ να γίνυν κατανητά από τυς μαθητές σ αυτή τη φάση της αλγεβρικής τυς εμπειρίας. Ομίως να μη διδαχθεί η έννια τυ κέντρυ και της ακτίνας διαστήματς. Αντίθετα, ι μαθητές μπρύν να ασχληθύν με τα παραπάνω μέσα από συγκεκριμένα παραδείγματα (π.χ. η ανίσωση Ιx-Ι<3 σημαίνει: «πιι είναι ι αριθμί πυ απέχυν από τ απόσταση μικρότερη τυ 3;» δηλ. Ix-I<3 d (x, ) <3-1<x<5). Πρτείνεται, όμως, να γίνει διαπραγμάτευση των σχέσεων IxI<ρ -ρ<x<ρ και IxI>ρ x<-ρ ή x>ρ. H δραστηριότητα Δ.10 τυ ΑΠΣ υπστηρίζει την παραπάνω πρσέγγιση. Ενδεικτική δραστηριότητα: Δίννται τα σημεία Α, Β και Μ πυ παριστάνυν στν άξνα των πραγματικών αριθμών τυς αριθμύς -, 7 και x αντίστιχα, με - <x< 7. α) Να διατυπώσετε τη γεωμετρική ερμηνεία των παραστάσεων: i. x+ ii. x-7 β) Με τη βήθεια τυ άξνα να δώσετε τη γεωμετρική ερμηνεία τυ αθρίσματς: x+ + x7 γ) Να βρείτε την τιμή της παράστασης A = x+ + x-7 γεωμετρικά. δ) Να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά τ πρηγύμεν συμπέρασμα..4 Πρτείνεται να διατεθύν 3 ώρες Οι μαθητές έχυν ήδη αντιμετωπίσει, στ Γυμνάσι, τις τετραγωνικές ρίζες και δυνάμεις με ακέραι εκθέτη καθώς και τις ιδιότητες αυτών. Στην ενότητα αυτή γίνεται επέκταση στη ν-στή ρίζα και στη 5

67 δύναμη με ρητό εκθέτη. Να μη διδαχθύν ι ιδιότητες 3 και 4 ( δηλαδή ι και ) εφόσν καλύπτνται πλήρως από τη χρήση των δυνάμεων με ρητό εκθέτη και μάλιστα με μικρότερες δυσκλίες χειρισμών. Να επισημανθεί η διατήρηση των ιδιτήτων των δυνάμεων με ακέραι εκθέτη και στην περίπτωση τυ ρητύ εκθέτη. Πρτείνεται η διαπραγμάτευση απλών ασκήσεων. Για να αναδειχθύν τα πλενεκτήματα των αλγεβρικών μεθόδων έναντι της χρήσης τυ υπλγιστή τσέπης, πρτείνεται μια δραστηριότητα σαν τη Δ.11 τυ ΑΠΣ. Ενδεικτική δραστηριότητα: Στ ερώτημα πιν αριθμό εκφράζει η παράσταση 4 δόθηκαν δυ διαφρετικές απαντήσεις. Να εξετάσετε πυ βρίσκεται τ πρόβλημα. η 1 απάντηση: [ ] απάντηση: 4 4 η Κεφάλαι 3 1 (Πρτείνεται να διατεθύν 14 διδακτικές ώρες) υ υ Στ κεφάλαι αυτό ι μαθητές μελετύν συστηματικά και διερευνύν εξισώσεις 1 και βαθμύ. ν Ως ιδιαίτερη περίπτωση εξετάζεται η εξίσωση x =α. Ειδικότερα: 3.1 Πρτείνεται να διατεθύν 5 ώρες Οι μαθητές, στ Γυμνάσι, έχυν διαπραγματευθεί αναλυτικά την επίλυση εξισώσεων της μρφής αx+β=0, της πίας ι συντελεστές α και β είναι συγκεκριμένι αριθμί. Συναντύν δυσκλίες στη μετάβαση από την επίλυση μιας τέτιας μρφής εξίσωσης στην επίλυση της γενικής μρφής αx+β=0, για δυ κυρίως λόγυς: α) είναι δύσκλς διαχωρισμός της έννιας της παραμέτρυ από την έννια της μεταβλητής και β) δεν είναι εξικειωμένι με τη διαδικασία της διερεύνησης γενικά. Για τ λόγ αυτό, πρτείνεται να δθεί πρτεραιότητα στην αναγνώριση τυ ρόλυ της παραμέτρυ υ σε μια παραμετρική εξίσωση 1 βαθμύ μέσα από τη διαπραγμάτευση της παραμετρικής εξίσωσης πυ περιλαμβάνεται στη θεωρία αυτής της παραγράφυ (σχλικό βιβλί, σελ. 80). Για παράδειγμα, μπρεί να ζητηθεί από τυς μαθητές να λύσυν την εξίσωση για συγκεκριμένες τιμές τυ λ ( π.χ. λ=, λ=5, λ=1, λ=-1) και στη συνέχεια να πρσπαθήσυν να διατυπώσυν γενικά συμπεράσματα για κάθε τιμή της παραμέτρυ λ. Πρτείνεται, επίσης, πρς διαπραγμάτευση η δραστηριότητα Δ.1 τυ ΑΠΣ καθώς και η επίλυση απλών παραμετρικών εξισώσεων και απλών εξισώσεων πυ ανάγνται σε υ εξισώσεις 1 βαθμύ (όπως η άσκηση 10 της Α Ομάδας). Για καλύτερη κατανόηση και εμπέδωση των ιδιτήτων των απλύτων τιμών, πρτείνεται να δθεί ιδιαίτερη έμφαση σε εξισώσεις, όπως η Ix-5I=-3, την πία δύσκλα χαρακτηρίζυν ι μαθητές από την αρχή ως αδύνατη. 3. Πρτείνεται να διατεθύν ώρες ν Η επίλυση εξισώσεων της μρφής x =α να περιριστεί σε απλές εξισώσεις. 3.3 Πρτείνεται να διατεθύν 7 ώρες 6

68 Η επίλυση της εξίσωσης αx +βx+γ=0, α 0 στη γενική της μρφή με τη μέθδ «συμπλήρωσης τετραγώνυ» είναι μια διαδικασία πυ δυσκλεύει τυς μαθητές. Πρτείνεται να χρησιμπιήσυν ι μαθητές τη μέθδ της «συμπλήρωσης τετραγώνυ» πρώτα σε εξισώσεις υ βαθμύ με συντελεστές συγκεκριμένυς αριθμύς και στη συνέχεια με τη βήθεια τυ εκπαιδευτικύ να γενικεύσυν τη διαδικασία. Επίσης, πρτείνεται η επίλυση απλών εξισώσεων πυ ανάγνται σε εξισώσεις υ βαθμύ (όπως τα παραδείγματα 1 και 3) και να δθεί έμφαση στη μντελπίηση και επίλυση πρβλημάτων με χρήση υ εξισώσεων βαθμύ (πρτείννται ι δραστηριότητες Δ.13 και Δ.14 τυ ΑΠΣ). Οι τύπι τυ Vieta επιτρέπυν στυς μαθητές είτε να κατασκευάσυν μια εξίσωση υ βαθμύ με δεδμέν τ άθρισμα και τ γινόμεν ριζών της είτε να πρσδιρίσυν απευθείας τις ρίζες της (βρίσκντας δυ αριθμύς πυ να έχυν άθρισμα S και γινόμεν P). Πρτείνεται να ζητηθεί από τυς μαθητές, υπό μρφή άσκησης, να πρσδιρίσυν αυτύς τυς τύπυς και να τυς χρησιμπιήσυν στην επίλυση σχετικών πρβλημάτων. Πέραν των παραπάνω στόχων, η χρήση των τύπων τυ Vieta σε ασκήσεις με πλύπλκυς αλγεβρικύς χειρισμύς ξεφεύγει από τ πνεύμα της διδασκαλίας και δεν πρσφέρει στη μαθηματική σκέψη των μαθητών. Ενδεικτική δραστηριότητα 1: Μια μικρή μεταλλική σφαίρα εκτξεύεται κατακόρυφα από τ έδαφς. Τ ύψς y (σε m) στ πί θα βρεθεί η σφαίρα τη χρνική στιγμή t (σε sec) μετά την εκτόξευση, δίνεται από τη σχέση: y = 60t 5t. α) Μετά από πόσ χρόν η σφαίρα θα επανέλθει στ έδαφς; β) Πιες χρνικές στιγμές η σφαίρα θα βρεθεί στ ύψς y = 175 m; γ) Να βρείτε τ χρνικό διάστημα στη διάρκεια τυ πίυ η σφαίρα βρίσκεται σε ύψς μεγαλύτερ από 100 m. Ενδεικτική δραστηριότητα : Τ μικρπείραμα «Επίλυση εξισώσεων υ βαθμύ με τη βήθεια τύπυ» από τα εμπλυτισμένα σχλικά βιβλία, μπρεί να χρησιμπιηθεί για την κατανόηση της αλγεβρικής και γραφικής πρσέγγισης των λύσεων μιας εξίσωσης δευτέρυ βαθμύ και επιβεβαίωση των απτελεσμάτων με τη βήθεια τυ τύπυ. Κεφάλαι 4 (Πρτείνεται να διατεθύν 9 διδακτικές ώρες) υ υ Στ κεφάλαι αυτό ι μαθητές μελετύν συστηματικά και διερευνύν ανισώσεις 1 και βαθμύ Ειδικότερα: 4.1 Πρτείνεται να διατεθύν 4 ώρες Οι μαθητές, στ Γυμνάσι, έχυν διαπραγματευθεί αναλυτικά την επίλυση ανισώσεων 1 υ βαθμύ με συγκεκριμένυς συντελεστές. Εκτός από τη χρήση της αριθμγραμμής, για την απεικόνιση τυ συνόλυ λύσεων μιας ανίσωσης, πρτείνεται να δθεί έμφαση και στη χρήση των διαστημάτων των πραγματικών αριθμών για την παραπάνω απεικόνιση, ως εφαρμγή της αντίστιχης 7

69 υππαραγράφυ της.. Να συζητηθύν μιότητες και διαφρές ανάμεσα στην εξίσωση και την ανίσωση, ως πρς τη διαδικασία της επίλυσης τυς και τ σύνλ των λύσεών τυς. Για καλύτερη κατανόηση και εμπέδωση των ιδιτήτων των απλύτων τιμών, πρτείνεται να λυθύν από τυς μαθητές και ανισώσεις όπως ι Ix-5I<-3 ή Ix-5I>-3, των πίων τη λύση, αν και πρκύπτει από απλή παρατήρηση, δεν την αναγνωρίζυν άμεσα ι μαθητές. Πρτείνεται επίσης να δθεί πρτεραιότητα στη μντελπίηση πρβλημάτων με χρήση ανισώσεων 1 υ βαθμύ, όπως για παράδειγμα η άσκηση 11 της Α Ομάδας και ι ασκήσεις 3 και 4 της Β Ομάδας. Ενδεικτική δραστηριότητα: Η Ειρήνη παρατηρεί ότι κάθε φρά πυ σκύλς της γαβγίζει τη νύχτα ξυπνάει και χάνει 15 λεπτά ύπνυ. Τ πρηγύμεν βράδυ κιμήθηκε λιγότερ από 5 ώρες, ενώ συνήθως (αν δεν γαβγίσει σκύλς) κιμάται 8 ώρες τ βράδυ. α) Πόσες φρές μπρεί να ξύπνησε τ πρηγύμεν βράδυ η Ειρήνη; β) Μπρεί να την ξύπνησε τ γάβγισμα 33 φρές; Να αιτιλγήσετε την απάντησή σας. 4. Πρτείνεται να διατεθύν 5 ώρες υ Η διαπραγμάτευση ανισώσεων βαθμύ γίνεται για πρώτη φρά στην Α Λυκείυ. Πρτείνεται να δθεί έμφαση στη διερεύνηση της παραγντπίησης τυ τριωνύμυ, όπυ γίνεται ξανά χρήση της μεθόδυ «συμπλήρωσης τετραγώνυ», ώστε να μη δθύν απευθείας τα συμπεράσματα αυτής. Στν πρσδιρισμό τυ πρόσημυ τυ τριωνύμυ, παρατηρείται συχνά ι μαθητές να παραβλέπυν τ πρόσημ τυ συντελεστή τυ δευτερβάθμιυ όρυ ή να συγχέυν τ πρόσημ της διακρίνυσας με τ πρόσημ τυ τριωνύμυ (π.χ. όταν Δ<0, θεωρύν ότι και τ τριώνυμ παίρνει αρνητικές τιμές). Τα παραπάνω πρβλήματα συχνά αντιμετωπίζνται με διάφρα «τεχνάσματα» με τα σύμβλα «+» και «-», ώστε να πρσδιρίσυν ι μαθητές τ πρόσημ τυ τριωνύμυ και να επιλύσυν ανισώσεις υ βαθμύ. Τέτιες πρσεγγίσεις δε συνδένται με την κατανόηση τυ πότε ένα τριώνυμ παίρνει θετικές και πότε αρνητικές τιμές. Για τ λόγ αυτό πρτείνεται να δθεί έμφαση στην κατανόηση της διαδικασίας πρσδιρισμύ τυ πρόσημυ τυ τριωνύμυ (π.χ. μέσα από τη μελέτη τυ πρσήμυ των παραγόντων τυ και τυ συντελεστή τυ δευτερβάθμιυ όρυ, όταν αυτό παραγντπιείται) και στη συνέχεια στη χρήση των συμπερασμάτων για την επίλυση ανισώσεων υ βαθμύ. Η μντελπίηση και επίλυση υ πρβλημάτων με χρήση ανισώσεων βαθμύ (π.χ. η δραστηριότητα Δ.15 τυ ΑΠΣ και η άσκηση 7 της Β Ομάδας) λειτυργύν πρς αυτήν την κατεύθυνση. Ενδεικτική δραστηριότητα 1: α) Να λύσετε την ανίσωση: X 5X 6 < β) Να βρείτε τ πρόσημ των αριθμών K = ( ) και M = ( 37) Να αιτιλγήσετε τ συλλγισμό σας. γ) Αν α (-6, 6), να βρείτε τ πρόσημ της παράστασης Λ = α 5 α 6. Να αιτιλγήσετε την απάντησή σας. Ενδεικτική δραστηριότητα : Πιι πραγματικί αριθμί είναι μεγαλύτερι από τ τετράγωνό τυς; Πιι είναι 8

70 μεγαλύτερι κατά 1 από τ τετράγωνό τυς; Ενδεικτική δραστηριότητα 3: Τ μικρπείραμα «Πρόσημ των τιμών τυ τριωνύμυ» από τα εμπλυτισμένα σχλικά βιβλία, μπρεί να χρησιμπιηθεί διερευνητικά, ώστε μαθητής να δηγηθεί μέσα από πειραματισμύς και εικασίες στην εύρεση της περιχής πυ πρέπει να κινείται η τιμή της μεταβλητής χ, ώστε τ τριώνυμ να παίρνει θετική ή αρνητική τιμή. Παράλληλα μαθαίνει για τ ρόλ της εικασίας και τυ πειραματισμύ στη διαδικασία της εύρεσης αλγεβρικών σχέσεων. Κεφάλαι 5 (Πρτείνεται να διατεθύν 10 διδακτικές ώρες) Στ κεφάλαι αυτό ι μαθητές εισάγνται στην έννια της ακλυθίας πραγματικών αριθμών και μελετύν περιπτώσεις ακλυθιών πυ εμφανίζυν κάπιες ειδικές μρφές καννικότητας, την αριθμητική και τη γεωμετρική πρόδ. Ειδικότερα: 5.1 Πρτείνεται να διατεθύν ώρες Να δθεί πρτεραιότητα στην αναγνώριση της ακλυθίας ως αντιστιχίας των φυσικών στυς πραγματικύς αριθμύς και στην εξικείωση των μαθητών με τ συμβλισμό (π.χ. ότι φυσικός αριθμός 1, μέσω μιας ακλυθίας α, αντιστιχεί στν πραγματικό αριθμό α 1 πυ απτελεί τν πρώτ όρ της ακλυθίας αυτής), δεδμένυ ότι αυτός δυσκλεύει τυς μαθητές (πρτείνεται η δραστηριότητα Δ.16 τυ ΑΠΣ ). 5. Πρτείνεται να διατεθύν 4 ώρες Αρχικά ι μαθητές χρειάζεται να μπρύν να αναγνωρίσυν με βάση τν ρισμό αν μια συγκεκριμένη ακλυθία είναι αριθμητική πρόδς (π.χ. η δραστηριότητα Δ.17 τυ ΑΠΣ). Στη συνέχεια, να πρσδιρίζυν τ ν-στό όρ με τρόπ τέτι πυ να τυς βηθά να αντιληφθύν καννικότητες, ι πίες μπρύν να τυς δηγήσυν στα γενικά συμπεράσματα (πρτείνεται η δραστηριότητα Δ.18 τυ ΑΠΣ χωρίς τα ερωτήματα γ και δ). Η μντελπίηση και επίλυση πρβλημάτων (όπως η άσκηση 1 της Α Ομάδας) συμβάλλει στην εννιλγική κατανόηση της έννιας της αριθμητικής πρόδυ. Η απόδειξη τυ τύπυ για τ άθρισμα των ν πρώτων όρων αριθμητικής πρόδυ δεν θα διδαχθεί. Ενδεικτική δραστηριότητα: Τ μικρπείραμα «Ας φτιάξυμε μια σκάλα» από τα εμπλυτισμένα σχλικά βιβλία, μπρεί να χρησιμπιηθεί διερευνητικά ώστε μαθητής να δηγηθεί μέσα από πειραματισμύς και εικασίες στην κατανόηση των εννιών της αριθμητικής πρόδυ. 9

71 5.3 Πρτείνεται να διατεθύν 4 ώρες Η διαπραγμάτευση της έννιας της γεωμετρικής πρόδυ πρτείνεται να γίνει κατ αντιστιχία με την έννια της αριθμητικής πρόδυ. Πρτείννται ι δραστηριότητες Δ.19 (χωρίς τα ερωτήματα δ και ε) και Δ.1 (χωρίς τ ερώτημα δ) τυ ΑΠΣ, πυ στόχ έχυν να αντιληφθύν ι μαθητές καννικότητες πυ θα τυς δηγήσυν στην εύρεση τυ ν-στύ όρυ γεωμετρικής πρόδυ. Η απόδειξη τυ τύπυ για τ άθρισμα των ν πρώτων όρων γεωμετρικής πρόδυ δεν θα διδαχθεί Ενδεικτική δραστηριότητα: Την ημέρα πυ η Μαρία γιόρταζε τα 1α γενέθλιά της, η γιαγιά της, της έδωσε 50 ευρώ και της είπε ότι μέχρι να γιρτάσει τα 1α γενέθλιά της θα της αύξανε κάθε χρόν τ πσό τυ δώρυ της κατά10 ευρώ. Ο παππύς της Μαρίας της έδωσε 5 ευρώ και της είπε ότι μέχρι να γιρτάσει τα 1αγενέθλιά της θα της διπλασίαζε κάθε χρόν, τ πρηγύμεν πσό τυ δώρυ τυ. Η Μαρία δυσαρεστήθηκε με την πρόταση τυ παππύ της. Είχε δίκι; Πόσα χρήματα θα είναι τ δώρ της, στα 15α και στα 1α γενέθλια της, από τν παππύ της και πόσα από τη γιαγιά της; Κεφάλαι 6 (Πρτείνεται να διατεθύν 11διδακτικές ώρες) Οι μαθητές, στ Γυμνάσι, έχυν έρθει σε επαφή με την έννια της συνάρτησης, κυρίως με εμπειρικό τρόπ, και έχυν διερευνήσει στιχειωδώς συγκεκριμένες συναρτήσεις. Στην Α Λυκείυ μελετύν την έννια της συνάρτησης με πι συστηματικό και τυπικό τρόπ. Σε πλλύς μαθητές δημιυργύνται παρανήσεις και ελλιπείς εικόνες σχετικά με την έννια αυτή, με απτέλεσμα να παρυσιάζυν πρβλήματα στην αναγνώριση μιας συνάρτησης, καθώς και να μη μπρύν να χειριστύν με ευελιξία διαφρετικές αναπαραστάσεις της ίδιας συνάρτησης (π.χ. πίνακας τιμών, αλγεβρικός τύπς, γραφική παράσταση). Για τ λόγ αυτό θα πρέπει ι μαθητές, μέσω κατάλληλων δραστηριτήτων, να χρησιμπιύν, να συνδέυν και να ερμηνεύυν τις αναπαραστάσεις μιας συνάρτησης καθώς και να εντπίζυν πλενεκτήματα και (ενδεχμένως)μεινεκτήματα καθεμιάς εξ αυτών. Η εξαντλητική ενασχόληση των μαθητών με επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων για την εύρεση τυ πεδίυ ρισμύ δεν βηθά στην κατανόηση της έννιας της συνάρτησης και δεν είναι στ πνεύμα της διδασκαλίας. Οι έννιες «κατακόρυφη - ριζόντια μετατόπιση καμπύλης», «μντνία ακρότατα - συμμετρίες συνάρτησης», δεν συμπεριλαμβάννται στη διδακτέα ύλη, όπως αναπτύσσνται στις παραγράφυς 6.4 και 6.5. Οι έννιες αυτές θα μελετηθύν στις ειδικές περιπτώσεις συναρτήσεων της μρφής: f(x)=αx+β ( 6.3), f(x)=αx ( 7.1) και f(x)=αx +βx+γ ( 7.3). Ειδικότερα: Πρτείνεται να διατεθύν 7 ώρες Πρτείνεται να δθύν αρχικά συγκεκριμένα παραδείγματα μντελπίησης καταστάσεων, ώστε να αναδειχθεί η σημασία της έννιας της συνάρτησης για τις εφαρμγές, και στη συνέχεια να ακλυθήσει τυπικός ρισμός. Να δθεί έμφαση στην αναγνώριση και τεκμηρίωση, με βάση τν ρισμό, αν αντιστιχίες πυ δίννται με διάφρες αναπαραστάσεις είναι συναρτήσεις ή όχι (ι δραστηριότητες Δ., Δ.3 και Δ.4 τυ ΑΠΣ λειτυργύν πρς αυτήν την κατεύθυνση), στη σύνδεση διαφρετικών αναπαραστάσεων μιας συνάρτησης (τύπς, πίνακας τιμών και γραφική παράσταση) 10

72 και στην ερμηνεία μιας δεδμένης γραφικής παράστασης για την επίλυση ενός πρβλήματς). O τυπικός ρισμός της μντνίας θα συζητηθεί στην Β τάξη. Μπρεί όμως κατά την κρίση τυ διδάσκντα να εισαχθύν διαισθητικά ι έννιες της μντνίας και ακρότατων και να γίνει η αναγνώριση τυς σε γραφικές παραστάσεις. Οι έννιες αυτές δεν απτελύν εξεταστέα ύλη. Τνίζεται ότι τύπς της απόστασης δύ σημείων απτελεί μία άλλη έκφραση τυ Πυθαγρείυ Θεωρήματς με όρυς συντεταγμένων, ανακαλεί τις έννιες των παραγράφων.3 και.4. και πρσφέρεται για υπλγισμύς. Επισημαίνεται ότι: Α) Η απόδειξη τυ τύπυ δεν απτελεί αντικείμεν εξέτασης και ως εφαρμγές τυ θα διδαχθύν ι ασκήσεις 4 και 5. Β) Δεν θα διδαχθεί η εφαρμγή της σελίδας 155 Πρτείννται ι δραστηριότητες Δ.15 και Δ.6 τυ ΑΠΣ Ενδεικτική δραστηριότητα 1: i) Πιόν κανόνα πρέπει να εφαρμόσυμε για να υπλγίσυμε από πόσα σημεία θα απτελείται τ 7 σχήμα ; ii) Από πόσα σημεία θα απτελείται τ 7 σχήμα ; Ενδεικτική δραστηριότητα : Αν με Δ παραστήσυμε μια δόση αμπικιλλίνης (η αμπικιλλίνη είναι μια χημική υσία χρησιμπιείται για τη θεραπεία αναπνευστικών λιμώξεων) σε χιλιστόγραμμα και με W παραστήσυμε τ βάρς παιδιύ σε κιλά, τότε η εξίσωση Δ = 50W δίνει έναν κανόνα για την εύρεση της μέγιστης ασφαλύς ημερήσιας δόσης τυ φαρμάκυ της αμπικιλλίνης για παιδιά πυ ζυγίζυν λιγότερ από 10 κιλά. α) Η εξίσωση εκφράζει συνάρτηση; Να αιτιλγήσετε τ συλλγισμό σας. β) Πιες είναι ι λγικές επιλγές για ανεξάρτητη και εξαρτημένη μεταβλητή; γ) Να δημιυργήσετε έναν πίνακα τιμών και μια γραφική παράσταση. 6.3 Πρτείνεται να διατεθύν 4 ώρες Οι μαθητές έχυν διαπραγματευθεί τη γραφική παράσταση της ευθείας ψ=αx+β στ Γυμνάσι. Εδώ πρτείνεται να δθεί έμφαση στη διερεύνηση τυ ρόλυ των παραμέτρων α και β στη γραφική παράσταση της f(x)=αx+β, ώστε να πρκύψυν ι σχετικές θέσεις ευθειών στ επίπεδ (πότε είναι παράλληλες μεταξύ τυς, πότε ταυτίζνται, πότε τέμνυν τν άξνα y y στ ίδι σημεί). Επίσης πρτείνεται, αφύ ι μαθητές παρατηρήσυν (με χρήση της γραφικής παράστασης και τυ πίνακα τιμών συγκεκριμένων γραμμικών συναρτήσεων) πώς μεταβάλλνται ι τιμές της συνάρτησης όταν μεταβάλλεται η ανεξάρτητη μεταβλητή, να καταλήξυν σε γενικότερα συμπεράσματα πυ αφρύν στη μντνία της συνάρτησης και να τα εκφράσυν συμβλικά, καθώς και να διερευνήσυν τ ρόλ της παραμέτρυ α σε σχέση με αυτά (πρτείνεται η δραστηριότητα Δ.7 τυ ΑΠΣ). 11

73 Ενδεικτική δραστηριότητα 1: Ένας αθλητής κλυμπάει ύπτι και καίει 9 θερμίδες τ λεπτό, ενώ όταν κλυμπάει πεταλύδα καίει 1 θερμίδες τ λεπτό. Ο αθλητής θέλει, κλυμπώντας, να κάψει 360 θερμίδες. α) Αν αθλητής θέλει να κλυμπήσει ύπτι 3 λεπτά, πόσα λεπτά πρέπει να κλυμπήσει πεταλύδα για να κάψει συνλικά 360 θερμίδες. β) Ο αθλητής απφασίζει πόσ χρόν θα κλυμπήσει ύπτι και στη συνέχεια υπλγίζει πόσ χρόν πρέπει να κλυμπήσει πεταλύδα για να κάψει 360 θερμίδες. βi) Αν x είναι χρόνς (σε λεπτά) πυ αθλητής κλυμπάει ύπτι, να απδείξετε ότι τύπς της συνάρτησης πυ εκφράζει τ χρόν πυ πρέπει να κλυμπήσει πεταλύδα για να κάψει 360 θερμίδες είναι: 3 f x 30 x 4 βii) Να βρείτε τ πεδί ρισμύ της συνάρτησης τυ ερωτήματς (βi), στ πλαίσι τυ συγκεκριμένυ πρβλήματς. γ) Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης τυ ερωτήματς (β), να βρείτε τα σημεία τμής της με τυς άξνες και να ερμηνεύσετε τη σημασία τυς στ πλαίσι τυ πρβλήματς. Ενδεικτική δραστηριότητα : Τ μικρπείραμα «Ο ρόλς των συντελεστών στην y=αx+β» από τα εμπλυτισμένα χρησιμπιηθεί σχλικά διερευνητικά, για βιβλία, την μπρεί να εισαγωγή στη συνάρτηση f(x)= αx+β μέσω της διερεύνησης τυ ρόλυ κάθε συντελεστή στ σχηματισμό της ευθείας y=αx+β και ερμηνείας της σχέσης των μελών της κάθε μιας από τις δυ ικγένειες ευθειών, για α σταθερό και β μεταβαλλόμεν και αντίστρφα. Κεφάλαι 7 (Πρτείνεται να διατεθύν 10 διδακτικές ώρες) Στ κεφάλαι αυτό ι μαθητές μελετύν τη συνάρτηση ψ=αx και τις ιδιότητές της. Επίσης, με αφετηρία την ψ=αx, κατασκευάζυν τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)=αx + βx + γ την πία στη συνέχεια χρησιμπιύν για να μελετήσυν ιδιότητες της f. Ειδικότερα: 7.1 Πρτείνεται να διατεθύν 5 ώρες Οι μαθητές χρησιμπιύν πίνακες τιμών και λγισμικό για να κάνυν τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ=αx. Μέσα από την παρατήρηση της γραφικής παράστασης και των τιμών διερευνύν τη μντνία, τα ακρότατα και τις συμμετρίες των συναρτήσεων g(x)=x και h(x)=-x. Με τη βήθεια της γραφικής παράστασης γενικεύυν τα παραπάνω συμπεράσματα για τη συνάρτηση f(x)=αx (πρτείνεται η δραστηριότητα Δ. 9 τυ ΑΠΣ ή η χρήση λγισμικύ) και τα εκφράζυν συμβλικά. 1

74 Ενδεικτική δραστηριότητα 1: Τ μικρπείραμα «Οι μεταβλές της συνάρτησης ψ=αx» από τα εμπλυτισμένα σχλικά βιβλία, μπρεί να χρησιμπιηθεί διερευνητικά για τη μελέτη μντνίας της συνάρτησης ψ=αx όταν α>0 ή α<0. Ενδεικτική δραστηριότητα : Τ μικρπείραμα «Μετατπίσεις της ψ=αx²» από τα εμπλυτισμένα σχλικά βιβλία, μπρεί να χρησιμπιηθεί διερευνητικά από τυς μαθητές για την ριζόντια και κατακόρυφη μετατόπιση της ψ=αx² αλλά και την εύρεση τυ τύπυ της στη νέα θέση και να πειραματιστύν για τν συνδυασμό των δύ παραπάνω μετατπίσεων Πρτείνεται να διατεθύν 5 ώρες Να δθεί έμφαση στη χάραξη και διερεύνηση της γραφικής παράστασης συγκεκριμένων πλυωνυμικών συναρτήσεων της μρφής f(x)=αx +βx+γ και στη διαισθητική μελέτη της μντνίας, των ακρότατων και της συμμετρίας της συνάρτησης με τη βήθεια της γραφικής της παράστασης. Η γενίκευση των παραπάνω εννιών θα διδαχτύν στην Β Λυκείυ. Ειδικότερα, όσν αφρά στη χάραξη της γραφικής παράστασης και στη μελέτη της συνάρτησης f(x)=αx +βx+γ, η ιδέα πυ βρίσκεται και πίσω από τη δραστηριότητα Δ.30 τυ ΑΠΣ είναι η εξής: Οι μαθητές χρησιμπιύν είτε πίνακες τιμών είτε λγισμικό για να χαράξυν τη γραφική παράσταση της ψ=αx +κ και να την συγκρίνυν με την ψ=αx, μίως για την ψ=α(x+λ) και τελικά για την ψ=α(x+λ) +κ. Με αυτόν τν τρόπ εισάγνται διαισθητικά στις μετατπίσεις, τις πίες θα γενικεύσυν στην Β Λυκείυ. Αν χρησιμπιηθεί λγισμικό, ι μαθητές μπρύν αφύ χαράξυν τη γραφική παράσταση της g(x)=αx για διάφρες τιμές τυ α να την μετατπίσυν κ μνάδες ριζόντια για διάφρες τιμές τυ κ (π.χ. κατά 3 μνάδες αριστερά, κατά 4 μνάδες δεξιά) και να παρατηρήσυν τη μρφή πυ παίρνει τύπς της συνάρτησης. Στη συνέχεια να μετατπίσυν λ μνάδες κατακόρυφα για διάφρες τιμές τυ λ (π.χ. κατά μνάδες κάτω, κατά 5 μνάδες πάνω) και να κάνυν ανάλγες παρατηρήσεις. Συνδυάζντας τις δύ μετατπίσεις μπρύν να παρατηρήσυν ότι η συνάρτηση πυ θα πρκύψει θα είναι της μρφής f(x)=α(x+κ) +λ. Τέλς, δίννται στυς μαθητές συγκεκριμένες συναρτήσεις της μρφής f(x)=αx +βx+γ και εκείνι πρσπαθύν, με κατάλληλες μετατπίσεις της g(x)=αx, να δηγηθύν στη γραφική παράσταση της f. Στη συνέχεια μελετύν, με τη βήθεια της γραφικής της παράστασης, ιδιότητες της f και επεκτείνυν τα συμπεράσματα πυ αφρύν στη μντνία, στα ακρότατα και στις συμμετρίες της g(x) = αx στην f(x)=αx +βx+γ. Επίσης, να γίνει γεωμετρική ερμηνεία των συμπερασμάτων των 3.3 και 4.(ρίζες και πρόσημ τριωνύμυ) με τη βήθεια της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f(x)=αx +βx+γ (πρτείνεται η δραστηριότητα Δ.3 τυ ΑΠΣ). Διδακτικά έχει ιδιαίτερ ενδιαφέρν να σχεδιαστύν ι έξι βασικές περιπτώσεις πυ αφρύν στις τιμές της διακρίνυσας (Δ>0, Δ=0 και Δ<0) συνδυαζόμενες με τ 13

75 πρόσημ τυ α (α>0, α<0) ώστε ι μαθητές να συνδέσυν τη γραφική παράσταση με τα αλγεβρικά συμπεράσματα πυ ήδη χρησιμπιύν Ενδεικτική δραστηριότητα 1: α) Να συμπληρώσετε τν παρακάτω πίνακα τιμών των συναρτήσεων: φ(x)=x, f(x)=(x-3), g(x)=(x+3). x φ(x)=x f(x)=(x-3) g(x)=(x+3) 0 0 β) Με βάση τν παραπάνω πίνακα τιμών, να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων φ, f και g. γ)πια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ, δίνει τη γραφική παράσταση της f και πια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ δίνει τη γραφική παράσταση της g. Ενδεικτική δραστηριότητα : Ένας μετεωρλόγς δημιύργησε την διπλανή παραβλή για να παρυσιάσει τη θερμκρασία μιας πόλης μια συγκεκριμένη ημέρα τυ έτυς, όπυ τ x είναι αριθμός ωρών μετά τα μεσάνυχτα και τ y είναι η θερμκρασία (σε βαθμύς Κελσίυ). α) Βρείτε τη συνάρτηση f πυ αντιστιχεί στην παραπάνω γραφική παράσταση. β) Πια είναι η πι κρύα θερμκρασία την ημέρα εκείνη; Σημείωση: Μπρείτε να κατεβάσετε τις ψηφιακές δραστηριότητες και να τις ανίξετε τπικά με τ αντίστιχ λγισμικό. Αν δεν έχετε εγκατεστημέν τ λγισμικό, τότε αν πρόκειται για αρχεί με κατάληξη.ggb κατεβάστε και εγκαταστήστε τ Geogebra από τη διεύθυνση ή διαφρετικά ψάξτε για τ αντίστιχ λγισμικό στη διεύθυνση Για να δείτε την πρεπισκόπηση των ψηφιακών δραστηριτήτων σε απευθείας σύνδεση (online), πρτιμήστε τν φυλλμετρητή Mozilla Firefox. Αν η εφαρμγή είναι σε flash θα πρέπει να εγκαταστήσετε τ πρόσθετ Adobe flash player από τη διεύθυνση Αν η εφαρμγή χρησιμπιεί τη Java (π.χ. Geogebra), τότε εγκαταστήστε την από τη διεύθυνση Αν συνεχίζετε να έχετε πρόβλημα στην πρεπισκόπηση, τότε πρσθέστε τις διευθύνσεις και στ exception site list στην καρτέλα security της Java (ανίξτε τ Control Panel, τη Java, στην καρτέλα security πατήστε Edit site list και πρσθέστε τις δύ διευθύνσεις, κλείστε τ browser και ξανανίξτε τν). 14

76 Άλγεβρα Α Τάξης Εσπερινύ Γενικύ Λυκείυ 1. Η Διδακτέα ύλη ταυτίζεται με αυτή της Α Τάξης τυ Ημερήσιυ ΓΕΛ. ΓΕΛ.. Η διαχείριση της ύλης είναι αυτή πυ πρτείνεται για την Α τάξη Ημερησίυ ΓΕΛ με την ακόλυθη διαφρπίηση ως πρς τις ώρες διδασκαλίας ανά κεφάλαι. Από τ βιβλί «Άλγεβρα και Στιχεία Πιθαντήτων Α Γενικύ Λυκείυ» Εισαγωγικό Κεφάλαι Ε. (Πρτείνεται να διατεθεί 1 διδακτική ώρα Κεφάλαι (Πρτείνεται να διατεθύν 13 διδακτικές ώρες) Κεφάλαι 3 (Πρτείνεται να διατεθύν 9 διδακτικές ώρες) Κεφάλαι 4 (Πρτείνεται να διατεθύν 6 διδακτικές ώρες) Κεφάλαι 5 (Πρτείνεται να διατεθύν 6 διδακτικές ώρες) Κεφάλαι 6 (Πρτείνεται να διατεθύν 8 διδακτικές ώρες) Κεφάλαι 7 (Πρτείνεται να διατεθύν 7 διδακτικές ώρες) Για την πρσαρμγή της διδασκαλίας στ διατιθέμεν χρόν, πρτείνεται να δίδεται έμφαση στα βασικά παραδείγματα - εφαρμγές και στην ανάδειξη, μέσω αυτών, τυ περιεχμένυ, ( εννιών και μεθόδων ) της κάθε παραγράφυ Γεωμετρία Α Τάξης Ημερήσιυ Γενικύ Λυκείυ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ-ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ I. Εισαγωγή Η διδασκαλία της Γεωμετρίας στην Α Λυκείυ εστιάζει στ πέρασμα από τν εμπειρικό στ θεωρητικό τρόπ σκέψης, με ιδιαίτερη έμφαση στη μαθηματική απόδειξη. Οι μαθητές έχυν έρθει σε επαφή με στιχεία θεωρητικής γεωμετρικής σκέψης και στ Γυμνάσι, όπυ έχυν αντιμετωπίσει ασκήσεις πυ απαιτύν θεωρητική απόδειξη. Στην Α Λυκείυ, πρέπει αυτή η εμπειρία των μαθητών να αξιπιηθεί με στόχ την περαιτέρω ανάπτυξη της θεωρητικής τυς σκέψης. Η διατύπωση ρισμών γεωμετρικών εννιών είναι κάτι δύσκλ για τυς μαθητές, ακόμα και αυτής της τάξης, καθώς απαιτεί τη συνειδητπίηση των κρίσιμων και ελάχιστων ιδιτήτων πυ απαιτύνται για τν καθρισμό μιας έννιας. Επίσης ι μαθητές χρειάζεται να διερευνύν ιδιότητες και σχέσεις των γεωμετρικών εννιών και να δημιυργύν εικασίες τις πίες να πρσπαθύν να τεκμηριώσυν. Η αντιμετώπιση της μαθηματικής απόδειξης απλά ως περιγραφή μιας σειράς λγικών βημάτων πυ παρυσιάζνται από τν εκπαιδευτικό, δεν είναι κατάλληλη ώστε να μυηθύν ι μαθητές στη σημασία και την κατασκευή μιας απόδειξης. Αντίθετα, είναι σημαντικό να εμπλακύν ι μαθητές σε απδεικτικές διαδικασίες, να πρσπαθύν να εντπίζυν τη βασική απδεικτική ιδέα, μέσω 15

77 πειραματισμύ και διερεύνησης, και να χρησιμπιύν μετασχηματισμύς και αναπαραστάσεις, πυ υπστηρίζυν την ανάπτυξη γεωμετρικών συλλγισμών. Η κατασκευή από τυς μαθητές αντιπαραδειγμάτων και η συζήτηση για τ ρόλ τυς είναι μια σημαντική διαδικασία, ώστε να αρχίσυν να απκτύν μια πρώτη αίσθηση της σημασίας τυ αντιπαραδείγματς στα Μαθηματικά. Η απαγωγή σε άτπ είναι επίσης μια μέθδς πυ συχνά συναντύν ι μαθητές στην απόδειξη αρκετών θεωρημάτων. Ο ρόλς τυ «άτπυ» στην τεκμηρίωση τυ αρχικύ ισχυρισμύ αλλά και τ κατά πόσ η άρνηση τυ συμπεράσματς δηγεί τελικά στην τεκμηρίωσή τυ, δημιυργύν ιδιαίτερη δυσκλία στυς μαθητές. Σε όλα τα παραπάνω υσιαστικό ρόλ μπρεί να παίξει η αξιπίηση λγισμικών Δυναμικής Γεωμετρίας. II. Διδακτέα Ύλη Από τ βιβλί «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίυ Λυκείυ» των Αργυρόπυλυ Η., Βλάμυ Π., Κατσύλη Γ., Μαρκάτη Σ., Σίδερη Π. Κεφ.1 : Εισαγωγή στην Ευκλείδεια Γεωμετρία 1.1 Τ αντικείμεν της Ευκλείδειας Γεωμετρίας 1. Ιστρική αναδρμή στη γένεση και ανάπτυξη της Γεωμετρίας Κεφ.3 : Τρίγωνα 3.1. Είδη και στιχεία τριγώνων Κριτήρι ισότητας τριγώνων (εκτός της απόδειξης τυ θεωρήματς) 3.3. Κριτήρι ισότητας τριγώνων (εκτός της απόδειξης τυ θεωρήματς) Κριτήρι ισότητας τριγώνων (εκτός της απόδειξης τυ θεωρήματς) 3.5 Ύπαρξη και μναδικότητα καθέτυ (εκτός της απόδειξης τυ θεωρήματς) 3.6. Κριτήρια ισότητας ρθγώνιων τριγώνων (εκτός της απόδειξης των θεωρημάτων Ι και ΙΙ) Κύκλς - Μεσκάθετς Διχτόμς Σχέση εξωτερικής και απέναντι γωνίας (εκτός της απόδειξης τυ θεωρήματς) Ανιστικές σχέσεις πλευρών και γωνιών (εκτός της απόδειξης τυ θεωρήματς) 3.1. Tριγωνική ανισότητα (εκτός της απόδειξης τυ θεωρήματς) Κάθετες και πλάγιες (εκτός της απόδειξης τυ θεωρήματς ΙΙ) Σχετικές θέσεις ευθείας και κύκλυ (εκτός της απόδειξης τυ θεωρήματς Ι) Εφαπτόμενα τμήματα Σχετικές θέσεις δύ κύκλων Απλές γεωμετρικές κατασκευές Βασικές κατασκευές τριγώνων Κεφ.4 : Παράλληλες ευθείες 4.1. Εισαγωγή 4.. Τέμνυσα δύ ευθειών - Ευκλείδει αίτημα (εκτός της απόδειξης τυ Πρίσματς ΙΙ της σελ. 81, και των πρτάσεων Ι, ΙΙ, ΙΙΙ και ΙV) 4.4. Γωνίες με πλευρές παράλληλες 4.5. Αξισημείωτι κύκλι τριγώνυ 4.6. Άθρισμα γωνιών τριγώνυ 4.8. Άθρισμα γωνιών κυρτύ ν-γώνυ (Εκτός της απόδειξης τυ Πρίσματς) Ιστρικό Σημείωμα Κεφ.5 : Παραλληλόγραμμα Τραπέζια 5.1. Εισαγωγή 5.. Παραλληλόγραμμα 5.3. Ορθγώνι 5.4. Ρόμβς 5.5. Τετράγων 5.6. Εφαρμγές στα τρίγωνα (εκτός της απόδειξης τυ Θεωρήματς ΙΙΙ) 5.7 Βαρύκεντρ τριγώνυ (εκτός της απόδειξης τυ θεωρήματς) 5.8. Τ ρθόκεντρ τριγώνυ (Χωρίς τ Πόρισμα) Μια ιδιότητα τυ ρθγώνιυ τριγώνυ Τραπέζι 16

78 5.11. Ισσκελές τραπέζι Κεφ.6 : Εγγεγραμμένα σχήματα 6.1. Εισαγωγικά Ορισμί 6.. Σχέση εγγεγραμμένης και αντίστιχης επίκεντρης (Εκτός της απόδειξης τυ θεωρήματς) 6.3. Γωνία χρδής και εφαπτμένης (Εκτός της απόδειξης τυ θεωρήματς ) 6.4. Βασικί γεωμετρικί τόπι στν κύκλ Τόξ κύκλυ πυ δέχεται γνωστή γωνία Τ εγγεγραμμέν τετράπλευρ 6.6. Τ εγγράψιμ τετράπλευρ (εκτός της απόδειξης τυ θεωρήματς) ΙΙΙ. Διαχείριση διδακτέας ύλης [Η κατανμή των διδακτικών ωρών πυ πρτείνεται είναι ενδεικτική. Μέσα σε αυτές τις ώρες περιλαμβάνεται χρόνς πυ θα χρειαστεί για ανακεφαλαιώσεις, γραπτές δκιμασίες, εργασίες κλπ. Οι δραστηριότητες πυ αναφέρνται ως Δ1, Δ κλπ περιέχνται στ Αναλυτικό πρόγραμμα σπυδών της Α Λυκείυ πυ ισχύει (ΥΑ 59614/Γ, ΦΕΚ 1168/ ) Οι ενδεικτικές δραστηριότητες πυ περιλαμβάννται στις παρύσες δηγίες ως επιπλέν διδακτικό υλικό πρέρχνται από τ πρόγραμμα σπυδών για τ λύκει και τν δηγό για τν εκπαιδευτικό πυ εκπνήθηκαν στ πλαίσι της πράξης "Νέ Σχλεί" και μπρύν να ανακτηθύν από τν ιστότπ τυ ΙΕΠ: ] Κεφάλαι 1 (Πρτείνεται να διατεθεί 1 διδακτική ώρα) Στόχς τυ κεφαλαίυ αυτύ είναι η διάκριση και επισήμανση των διαφρετικών χαρακτηριστικών της Πρακτικής Γεωμετρίας, πυ ι μαθητές διδάχθηκαν σε πρηγύμενες τάξεις, και της Θεωρητικής Γεωμετρίας πυ θα διδαχθύν στ Λύκει. Κάπια ζητήματα πυ θα μπρύσαν να συζητηθύν για την ανάδειξη των πλενεκτημάτων της Θεωρητικής Γεωμετρίας έναντι της Πρακτικής, είναι: Η αδυναμία ακριβύς μέτρησης, η ανάγκη μέτρησης απστάσεων μεταξύ απρόσιτων σημείων, η αναξιπιστία των εμπειρικών πρσεγγίσεων (πρτείνεται η δραστηριότητα πυ αντιστιχεί στ στόχ ΕΓ1 τυ ΑΠΣ). Για να απκτήσυν ι μαθητές μια πρώτη αίσθηση των βασικών αρχών της ανάπτυξης της Ευκλείδειας Γεωμετρίας ως αξιωματικoύ συστήματς, πρτείνεται να εμπλακύν σε μια συζήτηση σχετικά με τη σημασία και τ ρόλ των όρων «πρωταρχική έννια», «ρισμός», «αξίωμα», «θεώρημα», «απόδειξη». Στιχεία της ιστρικής εξέλιξης της Γεωμετρίας μπρύν να απτελέσυν ένα πλαίσι αναφράς στ πί θα αναδειχθύν τα παραπάνω ζητήματα. Κεφάλαι 3 (Πρτείνεται να διατεθύν 14 διδακτικές ώρες) 3.1, 3. (Να διατεθύν ώρες) 3.3, 3.4 (Να διατεθύν 3 ώρες) 3.5, 3.6 (Να διατεθύν 3 ώρες) Οι μαθητές έχυν διαπραγματευθεί τ μεγαλύτερ μέρς τυ περιεχμένυ των παραγράφων 3.1 έως 3.6 στ Γυμνάσι. Πρτείνεται να δθεί έμφαση σε κάπια νέα στιχεία όπως: α) Η σημασία της ισότητας των μόλγων πλευρών στη σύγκριση τριγώνων. β) Η διαπραγμάτευση παραδειγμάτων τριγώνων με τρία κύρια στιχεία τυς ίσα, τα πία -τρίγωναδεν είναι ίσα (δυ τρίγωνα με ίσες δυ πλευρές και μια μη περιεχόμενη γωνία αντίστιχα ίση, όπως στις δραστηριότητες Δ.5 και Δ.7 τυ ΑΠΣ). γ) Ο σχεδιασμός σχημάτων με βάση τις λεκτικές διατυπώσεις των γεωμετρικών πρτάσεων (ασκήσεων, θεωρημάτων) και αντίστρφα. δ) Η διατύπωση των γεωμετρικών συλλγισμών των μαθητών. ε) Η ισότητα τριγώνων, ως μια στρατηγική απόδειξης ισότητας ευθυγράμμων τμημάτων ή γωνιών (σχόλι σελ.43). στ) Ο εντπισμός κατάλληλων τριγώνων για σύγκριση σε «σύνθετα» σχήματα (πρτείνεται η δραστηριότητα Δ.6 τυ ΑΠΣ). ζ) Η σημασία της «βηθητικής γραμμής» στην απδεικτική διαδικασία (πόρισμα I της.3.). Πρτείνεται να ενπιηθύν σε μια πρόταση ι πρτάσεις πυ ταυτίζυν τη διχτόμ, τη διάμεσ 17

79 και τ ύψς από τη κρυφή ισσκελύς τριγώνυ (πόρισμα I σελ.4, πόρισμα I σελ.45, πόρισμα I σελ.50). Μαζί με την πρόταση αυτή πρτείνεται να γίνει η διαπραγμάτευση της εφαρμγής της σελ.61 για την απόδειξη της πίας αρκύν τα κριτήρια ισότητας τριγώνων. Επίσης, σαν μια ενιαία πρόταση, μπρεί να ζητηθεί από τυς μαθητές να δείξυν ότι σε ίσα τρίγωνα τα δευτερεύντα στιχεία τυς (διάμεσς, ύψς, διχτόμς) πυ αντιστιχύν σε μόλγες πλευρές είναι επίσης ίσα (π.χ. άσκηση 1i Εμπέδωσης σελ. 48, άσκηση 4 Εμπέδωσης σελ.54). Ενιαία μπρύν να αντιμετωπιστύν, ως αντίστρφες πρτάσεις, τα πρίσματα ΙV της 3. και ΙΙΙ, ΙV της 3.4 πυ αναφέρνται στις σχέσεις των χρδών και των αντίστιχων τόξων. Με στόχ την ανάδειξη της διδακτικής αξίας των γεωμετρικών τόπων πρτείνεται τα πρίσματα ΙΙΙ της 3. και ΙΙ της 3.4, πυ αφρύν στη μεσκάθετ τμήματς, καθώς και τ θεώρημα ΙV της 3.6, πυ αφρά στη διχτόμ γωνίας, να διδαχθύν ενιαία ως παραδείγματα βασικών γεωμετρικών τόπων. Συγκεκριμένα, πρτείνεται ι μαθητές πρώτα να εικάσυν τυς συγκεκριμένυς γεωμετρικύς τόπυς και στη συνέχεια να τυς απδείξυν (πρτείννται ι δραστηριότητες Δ.8, Δ.9 και Δ.10 τυ ΑΠΣ). Ενδεικτική δραστηριότητα 1: Με τ μικρπείραμα «3 κριτήρι ισότητας τριγώνυ» από τα εμπλυτισμένα σχλικά βιβλία, ι μαθητές χρησιμπιώντας τις γνώσεις τυς, εμπλέκνται ενεργά και εξικειώννται με την έννια της ισότητας των τριγώνων. Αναζητύν απαντήσεις, με ερευνητικό και βιωματικό τρόπ, γεγνός πυ πρσφέρει τ κατασκευαστικό περιβάλλν τυ Χελωνόκσμυ. Ενδεικτική δραστηριότητα : Με τ μικρπείραμα «Ύψς, Διάμεσς και διχτόμς της κρυφής ισσκελύς τριγώνυ» από τα εμπλυτισμένα σχλικά βιβλία, ι μαθητές δηγύνται μέσα από πειραματισμύς και εικασίες στην εύρεση της σχέσης πυ συνδέει τ ύψς, τη διάμεσ και τη διχτόμ της κρυφής ενός ισσκελύς τριγώνυ. Παράλληλα μαθαίνυν για τ ρόλ της εικασίας και τυ πειραματισμύ στη διαδικασία της εύρεσης σχέσεων μεταξύ γεωμετρικών αντικειμένων (Να διατεθεί 1 ώρα) (Να διατεθύν ώρες) Η ύλη των παραγράφων αυτών είναι νέα για τυς μαθητές. Να επισημανθεί στυς μαθητές ότι η τριγωνική ανισότητα απτελεί κριτήρι για τ πότε τρία ευθύγραμμα τμήματα απτελύν πλευρές τριγώνυ (πρτείνεται η δραστηριότητα Δ.1 τυ ΑΠΣ). Στόχς είναι ι μαθητές να διαπιστώσυν την αναγκαιότητά της, αλλά και τη λειτυργικότητά της, για την κατασκευή ενός τριγώνυ. Επίσης, πρτείννται ι ασκήσεις 4 και 6 (Απδεικτικές), πυ διαπραγματεύνται την απόσταση σημείυ από κύκλ και σχέσεις χρδών και τόξων αντίστιχα. Ενδεικτική δραστηριότητα 1: Να εξετάσετε αν κατασκευάζνται τρίγωνα με μήκη πλευρών τις τιμές των α,β και γ για τις περιπτώσεις τυ παρακάτω πίνακα. α β γ Ενδεικτική δραστηριότητα : 18

80 Αν δύ πλευρές τριγώνυ έχυν μήκη 5 και 9: α) Να δώσετε ενδεικτικές τιμές για την τρίτη πλευρά, β) Να βρείτε τ διάστημα στ πί παίρνει τιμές τ μήκς της τρίτης πλευράς. Ενδεικτική δραστηριότητα 3: Δίνεται ευθεία ε και δύ σημεία Α, Β εκτός αυτής. Να βρείτε τη θέση τυ σημείυ Μ της ευθείας, για τ πί: α) Τ άθρισμα ΑΜ+ΒΜ γίνεται ελάχιστ, β) η διαφρά ΑΜ-ΜΒ γίνεται μέγιστη. Να λύσετε τ πρόβλημα στην περίπτωση πυ τα Α και Β βρίσκνται εκατέρωθεν της ευθείας και στην περίπτωση πυ βρίσκνται πρς την ίδια μεριά. Υπάρχει σημεί Μ, ώστε τ άθρισμα να γίνει μέγιστ; Αιτιλγήστε την απάντησή σας. Υπάρχει σημεί Μ, ώστε η διαφρά να γίνει ελάχιστη; Αν ναι, πι; [Σχόλι-στόχς: Οι μαθητές χρησιμπιύν τις ανιστικές σχέσεις σε ένα τρίγων σε επίλυση πρβλήματς] (Να διατεθύν ώρες) Τα συμπεράσματα της 3.14 είναι γνωστά στυς μαθητές από τ Γυμνάσι. Οι αιτιλγήσεις, όμως, πρέρχνται από τα θεωρήματα της Τ περιεχόμεν της 3.16 δεν είναι γνωστό στυς μαθητές και χρειάζεται και για τις γεωμετρικές κατασκευές πυ ακλυθύν (πρτείννται ι Δ.14 και Δ.15 τυ ΑΠΣ). 3.17, 3.18 (Να διατεθεί 1 ώρα) Η διαπραγμάτευση των γεωμετρικών κατασκευών συμβάλλει στην κατανόηση των σχημάτων από τυς μαθητές με βάση τις ιδιότητές τυς καθώς και στην ανάπτυξη της αναλυτικής και συνθετικής σκέψης η πία μπρεί να αξιπιηθεί και σε εξωμαθηματικές γνωστικές περιχές. Πρτείνεται να γίνυν κατά πρτεραιότητα τα πρβλήματα και 4 της 3.17 και τα πρβλήματα και 3 της Κεφάλαι 4 (Πρτείνεται να διατεθύν 9 διδακτικές ώρες) 4.1, 4., 4.3, 4.5 (Να διατεθύν 4 ώρες) Τ σημαντικότερ θέμα στις παραγράφυς αυτές απτελεί τ «αίτημα παραλληλίας» τ πί καθρίζει τη φύση της Γεωμετρίας στην πία αναφερόμαστε. Η σημασία τυ «αιτήματς παραλληλίας», για τη Γεωμετρία την ίδια και για την ιστρική της εξέλιξη, μπρεί να διαφανεί από στιχεία πυ παρέχνται στ ιστρικό σημείωμα της σελ. 96 καθώς επίσης και στη δραστηριότητα Δ.16 τυ ΑΠΣ. Οι μαθητές είναι σημαντικό να αναγνωρίσυν την αδυναμία χρήσης τυ ρισμύ και τη σημασία των πρτάσεων της 4. (πυ πρηγύνται τυ «αιτήματς παραλληλίας») ως εργαλεία για την απόδειξη της παραλληλίας δύ ευθειών. Πρτείνεται να διερευνήσυν ι μαθητές τη σχέση τυ θεωρήματς της 4. και της Πρότασης I της σελ. 8 με στόχ να αναγνωρίσυν ότι τ ένα είναι τ αντίστρφ τυ άλλυ. Πρτείνεται, πριν τη διαπραγμάτευση των θεωρημάτων της παραγράφυ 4.5 να επισημανθεί η στρατηγική πυ χρησιμπιείται στις απδείξεις των θεωρημάτων σχετικά με τ πώς δείχνυμε ότι τρεις ευθείες διέρχνται από τ ίδι σημεί, γιατί δεν είναι ικεία στυς μαθητές, διαδικασία η πία αναδεικνύεται με τις απδείξεις των θεωρημάτων της παραγράφυ. 4.6, 4.8 (Να διατεθύν 3 ώρες) Πρτείνεται τ θεώρημα της 4.6 να συνδεθεί με τα πρίσματα της σελ. 59, ώστε ι μαθητές να αναγνωρίσυν ότι τ συμπέρασμα τυ θεωρήματς είναι ισχυρότερ από τα πρίσματα και ότι αυτό φείλεται στη χρήση τυ «αιτήματς παραλληλίας» στην απόδειξή τυ. Τ ίδι ισχύει και για τ πόρισμα (i) της σελ. 89 σε σχέση με τ Θεώρημα της σελ. 59. Πρτείνεται ι μαθητές, χρησιμπιώντας τ άθρισμα των γωνιών τριγώνυ, να βρυν τ άθρισμα των γωνιών τετραπλεύρυ, πενταγώνυ κ.α., να εικάσυν τ άθρισμα των γωνιών ν-γώνυ και να απδείξυν την αντίστιχη σχέση (πρτείνεται η δραστηριότητα πυ αντιστιχεί στ στόχ ΠΕ4 τυ ΑΠΣ). Δίνεται έτσι η δυνατότητα σύνδεσης Γεωμετρίας και Άλγεβρας. Να επισημανθεί, επίσης, η σταθερότητα τυ αθρίσματς των εξωτερικών γωνιών ν-γώνυ. 19

81 Ενδεικτική δραστηριότητα 1: Με τ μικρπείραμα «Τ άθρισμα των γωνιών τριγώνυ» από τα εμπλυτισμένα σχλικά βιβλία, ι μαθητές διερευνύν τ άθρισμα των γωνιών ενός τριγώνυ και δηγύνται σταδιακά από την διαίσθηση στην τυπική απόδειξη τυ σχετικύ θεωρήματς. Ενδεικτική δραστηριότητα : Να συμπληρώσετε τν ακόλυθ πίνακα. Στη στήλη «Τρίγωνα» να συμπληρώσετε τν αριθμό των τριγώνων στα πία χωρίζεται τ πλύγων από διαγώνιυς πυ άγνται από μία κρυφή τυ. Αριθμός πλευρών Τρίγωνα Άθρισμα γωνιών κυρτύ νγώνυ ν Μπρείτε να πρσδιρίσετε τν τύπ τυ αθρίσματς των γωνιών κυρτύ ν-γώνυ; [Σχόλι: Αυτή η δραστηριότητα απσκπεί στην δημιυργία εικασίας, πυ θα δηγήσει στην απόδειξη τυ τύπυ.] Ιστρικό Σημείωμα (Να διατεθύν 1 έως ώρες) Στ ιστρικό σημείωμα αναδεικνύεται η σημασία τυ 5υ αιτήματς στην δημιυργία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας και παρυσιάζεται η συζήτηση και ι αναζητήσεις πυ πρκάλεσε η διατύπωσή τυ, μέχρι τν 19 αιώνα, και πυ τελικά δήγησαν στη δημιυργία των μη-ευκλείδειων Γεωμετριών. Πρτείνεται, η θεματλγία τυ ιστρικύ σημειώματς, να χρησιμπιηθεί για να γίνυν σχετικές εργασίες από τυς μαθητές. Σημείωση: Μπρείτε να κατεβάσετε τις ψηφιακές δραστηριότητες και να τις ανίξετε τπικά με τ αντίστιχ λγισμικό. Αν δεν έχετε εγκατεστημέν τ λγισμικό, τότε αν πρόκειται για αρχεί με κατάληξη.ggb κατεβάστε Κεφάλαι 5 (Πρτείνεται να διατεθύν 19 διδακτικές ώρες) 5.1, 5. (Να διατεθύν 4 ώρες) Να επισημανθεί ότι καθένα από τα κριτήρια για τα παραλληλόγραμμα περιέχει τις ελάχιστες ιδιότητες πυ απαιτύνται για είναι ισδύναμ με τν ρισμό τυ παραλληλγράμμυ (πρτείνεται η δραστηριότητα Δ.18 τυ ΑΠΣ). Πρτείνεται να ζητηθεί από τυς μαθητές να διερευνήσυν αν ένα τετράπλευρ με τις δυ απέναντι πλευρές παράλληλες και τις άλλες δυ ίσες είναι παραλληλόγραμμ. Για την εφαρμγή των ιδιτήτων των παραλληλγράμμων στην επίλυση πρβλημάτων μπρεί να αξιπιηθεί η δραστηριότητα Δ.19 τυ ΑΠΣ. Πρτεινόμενη εργασία: Να επιλέξετε ένα από τα κριτήρια πυ καθιστύν ένα τετράπλευρ, παραλληλόγραμμ. Θεωρώντας τ κριτήρι πυ επιλέξατε ως ρισμό, να απδείξετε τν παλιό ρισμό και τις ιδιότητες των παραλληλγράμμων. [Σχόλι: Με αυτή την εργασία, ι μαθητές διακρίνυν τν ρισμό από τις ιδιότητες και τα κριτήρια και εξετάζυν τ ισδύναμ μεταξύ ρισμύ και κριτηρίυ] (Να διατεθύν 5 ώρες) Να επισημανθεί ότι κάθε ένα από τα κριτήρια για να είναι ένα τετράπλευρ ρθγώνι ή ρόμβς ή τετράγων περιέχει τις ελάχιστες ιδιότητες πυ απαιτύνται για να είναι ισδύναμ με τν ρισμό τυ ρθγωνίυ ή τυ ρόμβυ ή τυ τετραγώνυ αντίστιχα. Επιδιώκεται ι μαθητές να αναγνωρίζυν τα είδη των παραλληλγράμμων (ρθγώνι, ρόμβς, τετράγων) με βάση τα 0

82 αντίστιχα κριτήρια και όχι με βάση κάπια πρότυπα σχήματα πυ συνδένται με την πτική γωνία πυ τα κιτάμε. Να δθεί έμφαση στην ταξινόμηση των παραλληλγράμμων με βάση τις ιδιότητές τυς (βλέπε ενδεικτική δραστηριότητα 1) στην άρση της παρανόησης πυ δημιυργείται σε μαθητές, ότι ένα τετράγων δεν είναι ρθγώνι ή ένα τετράγων δεν είναι ρόμβς. Πρτείνεται να ζητηθεί από τυς μαθητές να διερευνήσυν: αν ένα τετράπλευρ με ίσες διαγώνιες είναι ρθγώνι και αν ένα τετράπλευρ με κάθετες διαγώνιες είναι ρόμβς, καθώς και να αξιπιήσυν τις ιδιότητες των παραλληλγράμμων στην επίλυση πρβλημάτων (δραστηριότητες Δ.0, Δ.1 και Δ. τυ ΑΠΣ). Ενδεικτική δραστηριότητα 1: Να δημιυργήσετε διαγραμματική αναπαράσταση της ταξινμίας των παραλληλγράμμων (π.χ. με χρήση εννιλγικύ χάρτη, διαγράμματς Venn). Ενδεικτική δραστηριότητα : Η άσκηση εμπέδωσης 3 τυ σχλικύ βιβλίυ πρτείνεται να υλπιηθεί πι διερευνητικά με τ μικρπείραμα «Τι σχήμα δημιυργύν ι διχτόμι των γωνιών ενός παραλληλγράμμυ;» από τα εμπλυτισμένα σχλικά βιβλία. Με τη βήθεια τυ λγισμικύ ι μαθητές μεταβάλλυν τις γωνίες και τις πλευρές ενός παραλληλγράμμυ για να δημιυργήσυν την εικασία σχετικά με τ σχήμα πυ δημιυργείται από τις διχτόμυς, ενώ στη συνέχεια απδεικνύυν την εικασία αυτή (Να διατεθύν 5 ώρες) Πρτείνεται να ζητηθεί από τυς μαθητές να εικάσυν σε πια γραμμή ανήκυν τα σημεία πυ ισαπέχυν από δυ παράλληλες ευθείες και στη συνέχεια να απδείξυν ότι η μεσπαράλληλή τυς είναι ζητύμενς γεωμετρικός τόπς. Πρτείνεται, επίσης, η διαπραγμάτευση της Εφαρμγής 1 της σελ Πρτείνεται να ζητηθεί από τυς μαθητές να διερευνήσυν τα είδη των τριγώνων πυ τ ρθόκεντρ είναι μέσα ή έξω από τ τρίγων. Θα μπρύσαν να αναζητηθύν εναλλακτικές απδείξεις για τα θεωρήματα πυ αφρύν στις ιδιότητες τυ ρθγωνίυ τριγώνυ. Πρτείνεται η απόδειξη τυ θεωρήματς της παραγράφυ 5.7 να απτελέσει αντικείμεν διαπραγμάτευσης στην τάξη με στόχ την ανάδειξη των μεθδλγικών στιχείων της. Ενδεικτική δραστηριότητα: Πρτείνεται να χρησιμπιηθεί διερευνητικά τ μικρπείραμα «Η σχέση της υπτείνυσας ενός ρθγωνίυ τριγώνυ με την διάμεσ πυ αντιστιχεί σ αυτήν και επίλυση πρβλημάτων με τη σχέση αυτή» , 5.11 (Να διατεθύν 5 ώρες) Εκτός από τ συγκεκριμέν αντικείμεν των παραγράφων αυτών, πρτείνεται να εμπλακύν ι μαθητές στην επίλυση πρβλημάτων πυ συνδυάζυν γεωμετρικά θέματα από όλ τ κεφάλαι. Πρτείνεται επίσης να συζητηθεί με τυς μαθητές η ταξινόμηση των τετραπλεύρων τυ σχλικύ βιβλίυ (σελ. 15) και, κατά την κρίση τυ εκπαιδευτικύ, η συσχέτιση με άλλες ταξινμήσεις όπως αναφέρνται στ ιστρικό σημείωμα των σελ. 13, 14. Κεφάλαι 6 (Πρτείνεται να διατεθύν 7 διδακτικές ώρες) (Να διατεθύν ώρες) Στόχς είναι ι μαθητές να χρησιμπιύν τη σχέση εγγεγραμμένης και αντίστιχης επίκεντρης γωνίας σε επίλυση πρβλημάτων, καθώς και να αναγνωρίζυν ως ρθές τις εγγεγραμμένες γωνίες πυ βαίνυν σε ημικύκλι. Επίσης να χρησιμπιύν τ συμπέρασμα τυ θεωρήματς της 6.3 (γωνία χρδής και εφαπτμένης). 1

83 Ενδεικτική δραστηριότητα 1: Να βρείτε τ μέτρ της γωνίας δύ τεμνυσών ευθειών κύκλυ, συναρτήσει των ριζμένων από αυτές τόξων κύκλυ (πρτείνεται η δραστηριότητα να υλπιηθεί σε περιβάλλν δυναμικής γεωμετρίας) (Να διατεθύν 5 ώρες) Να γίνει απλή αναφρά στην παράγραφ 6.4 (τόξ κύκλυ πυ δέχεται γνωστή γωνία). Πρτείνεται, ως εισαγωγή στ πρόβλημα εγγραψιμότητας ενός τετραπλεύρυ σε κύκλ, ι μαθητές να διερευνήσυν πια από τα γνωστά τετράπλευρα (παραλληλόγραμμ, ρθγώνι, ρόμβς, τετράγων, τραπέζι) είναι εγγράψιμα, βασιζόμενι στις ιδιότητες των εγγεγραμμένων τετραπλεύρων (π.χ., ρόμβς δεν είναι εγγράψιμς σε κύκλ, γιατί αν ήταν εγγράψιμς θα έπρεπε να έχει τις απέναντι γωνίες τυ παραπληρωματικές). Η διερεύνηση θα μπρύσε να επεκταθεί και σε τυχαία τετράπλευρα (και με τη βήθεια λγισμικύ), ώστε ι μαθητές να εικάσυν τα κριτήρια εγγραψιμότητας. Επίσης, στόχς είναι ι μαθητές να διακρίνυν τη διαφρά μεταξύ των θεωρημάτων πυ ισχύυν για τα εγγράψιμα τετράπλευρα και στα κριτήρια, πυ πρέπει να ισχύυν, ώστε να είναι ένα τετράπλευρ εγγράψιμ (ενδεικτική δραστηριότητα 1). Ενδεικτική δραστηριότητα 1: Σε ξυγώνι τρίγων ΑΒΓ τα ύψη τυ ΑΔ, ΒΕ, ΓΖ τέμννται στ Η. Σχεδιάστε τα ευθύγραμμα τμήματα ΔΕ, ΕΖ και ΖΔ. (α) Να βρείτε τα εγγράψιμα τετράπλευρα πυ σχηματίζνται. (β) Να απδείξετε ότι τα ύψη τυ τριγώνυ ΑΒΓ είναι διχτόμι των γωνιών τυ τριγώνυ ΔΕΖ. Ενδεικτική (ψηφιακή) δραστηριότητα : Η ερώτηση κατανόησης 6 πρτείνεται να διερευνηθεί με τ μικρπείραμα «Εγγράψιμα τετράπλευρα» από τα εμπλυτισμένα σχλικά βιβλία. και εγκαταστήστε τ Geogebra από τη διεύθυνση ή διαφρετικά ψάξτε για τ αντίστιχ λγισμικό στη διεύθυνση Για να δείτε την πρεπισκόπηση των ψηφιακών δραστηριτήτων σε απευθείας σύνδεση (online), πρτιμήστε τν φυλλμετρητή Mozilla Firefox. Αν η εφαρμγή είναι σε flash θα πρέπει να εγκαταστήσετε τ πρόσθετ Adobe flash player από τη διεύθυνση Αν η εφαρμγή χρησιμπιεί τη Java (π.χ. Geogebra), τότε εγκαταστήστε την από τη διεύθυνση Αν συνεχίζετε να έχετε πρόβλημα στην πρεπισκόπηση, τότε πρσθέστε τις διευθύνσεις και στ exception site list στην καρτέλα security της Java (ανίξτε τ Control Panel, τη Java, στην καρτέλα security πατήστε Edit site list και πρσθέστε τις δύ διευθύνσεις, κλείστε τ browser και ξανανίξτε τν). Γεωμετρία Α Τάξης Εσπερινύ Γενικύ Λυκείυ Η Διδακτέα ύλη καθώς και η διαχείριση της Τάξης τυ Ημερήσιυ ΓΕΛ. ταυτίζεται με αυτή της Α

84 Άλγεβρα Β Τάξης Εσπερινύ Γενικύ Λυκείυ Ι. Διδακτέα ύλη Από τ βιβλί «Άλγεβρα και Στιχεία Πιθαντήτων Α Γενικύ Λυκείυ» Κεφ.5 : Πρόδι 5.1 Ακλυθίες 5. Αριθμητική πρόδς (εκτός της απόδειξης για τ άθρισμα ν διαδχικών όρων αριθμητικής πρόδυ ) 5.3 Γεωμετρική πρόδς (εκτός της απόδειξης για τ άθρισμα ν διαδχικών όρων γεωμετρικής πρόδυ ) Κεφ.6 : Βασικές Έννιες των Συναρτήσεων 6.1 Η Έννια της Συνάρτησης 6. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης 6.3 Η Συνάρτηση f(x)= αx+β (εκτός της κλίσης ευθείας ως λόγς μεταβλής) Κεφ.7 : Μελέτη Βασικών Συναρτήσεων 7.1 Μελέτη της Συνάρτησης: f(x)= αx 7.3 Μελέτη της Συνάρτησης: f(x)= αx +βx+γ ΙΙ, Διαχείριση διδακτέας ύλης Η κατανμή των διδακτικών ωρών πυ πρτείνεται είναι ενδεικτική. Μέσα σε αυτές τις ώρες περιλαμβάνεται χρόνς πυ θα χρειαστεί για ανακεφαλαιώσεις, γραπτές δκιμασίες, εργασίες κλπ. Οι δραστηριότητες πυ αναφέρνται ως Δ1, Δ κλπ περιέχνται στ Αναλυτικό πρόγραμμα σπυδών της Α Λυκείυ πυ ισχύει (ΥΑ 59614/Γ, ΦΕΚ 1168/ ) Οι ενδεικτικές δραστηριότητες πυ περιλαμβάννται στις παρύσες δηγίες ως επιπλέν διδακτικό υλικό πρέρχνται από τ πρόγραμμα σπυδών για τ λύκει και τν δηγό για τν εκπαιδευτικό πυ εκπνήθηκαν στ πλαίσι της πράξης "Νέ Σχλεί" και μπρύν να ανακτηθύν από τν ιστότπ τυ ΙΕΠ: ] Κεφάλαι 5 (Πρτείνεται να διατεθύν 15 διδακτικές ώρες) Στ κεφάλαι αυτό ι μαθητές εισάγνται στην έννια της ακλυθίας πραγματικών αριθμών και μελετύν περιπτώσεις ακλυθιών πυ εμφανίζυν κάπιες ειδικές μρφές καννικότητας, την αριθμητική και τη γεωμετρική πρόδ. Ειδικότερα: 5.1 Πρτείνεται να διατεθύν ώρες Να δθεί πρτεραιότητα στην αναγνώριση της ακλυθίας ως αντιστιχίας των φυσικών στυς πραγματικύς αριθμύς και στην εξικείωση των μαθητών με τ συμβλισμό (π.χ. ότι φυσικός αριθμός 1, μέσω μιας ακλυθίας α, αντιστιχεί στν πραγματικό αριθμό α1 πυ απτελεί τν πρώτ όρ της ακλυθίας αυτής), δεδμένυ ότι αυτός δυσκλεύει τυς μαθητές (πρτείνεται η δραστηριότητα Δ.16 τυ ΑΠΣ ). 3

85 5. Πρτείνεται να διατεθύν 4 ώρες Αρχικά ι μαθητές χρειάζεται να μπρύν να αναγνωρίσυν με βάση τν ρισμό αν μια συγκεκριμένη ακλυθία είναι αριθμητική πρόδς (π.χ. η δραστηριότητα Δ.17 τυ ΑΠΣ). Στη συνέχεια, να πρσδιρίζυν τ ν-στό όρ με τρόπ τέτι πυ να τυς βηθά να αντιληφθύν καννικότητες, ι πίες μπρύν να τυς δηγήσυν στα γενικά συμπεράσματα (πρτείνεται η δραστηριότητα Δ.18 τυ ΑΠΣ χωρίς τα ερωτήματα γ και δ). Η μντελπίηση και επίλυση πρβλημάτων (όπως η άσκηση 1 της Α Ομάδας) συμβάλλει στην εννιλγική κατανόηση της έννιας της αριθμητικής πρόδυ. Η απόδειξη τυ τύπυ για τ άθρισμα των ν πρώτων όρων αριθμητικής πρόδυ δεν θα διδαχθεί. Ενδεικτική δραστηριότητα: Τ μικρπείραμα «Ας φτιάξυμε μια σκάλα» από τα εμπλυτισμένα σχλικά βιβλία, μπρεί να χρησιμπιηθεί διερευνητικά ώστε μαθητής να δηγηθεί μέσα από πειραματισμύς και εικασίες στην κατανόηση των εννιών της αριθμητικής πρόδυ Πρτείνεται να διατεθύν 4 ώρες Η διαπραγμάτευση της έννιας της γεωμετρικής πρόδυ πρτείνεται να γίνει κατ αντιστιχία με την έννια της αριθμητικής πρόδυ. Πρτείννται ι δραστηριότητες Δ.19 (χωρίς τα ερωτήματα δ και ε) και Δ.1 (χωρίς τ ερώτημα δ) τυ ΑΠΣ, πυ στόχ έχυν να αντιληφθύν ι μαθητές καννικότητες πυ θα τυς δηγήσυν στην εύρεση τυ ν-στύ όρυ γεωμετρικής πρόδυ. Η απόδειξη τυ τύπυ για τ άθρισμα των ν πρώτων όρων γεωμετρικής πρόδυ δεν θα διδαχθεί Ενδεικτική δραστηριότητα: Την ημέρα πυ η Μαρία γιόρταζε τα 1α γενέθλιά της, η γιαγιά της, της έδωσε 50 ευρώ και της είπε ότι μέχρι να γιρτάσει τα 1α γενέθλιά της θα της αύξανε κάθε χρόν τ πσό τυ δώρυ της κατά10 ευρώ. Ο παππύς της Μαρίας της έδωσε 5 ευρώ και της είπε ότι μέχρι να γιρτάσει τα 1αγενέθλιά της θα της διπλασίαζε κάθε χρόν, τ πρηγύμεν πσό τυ δώρυ τυ. Η Μαρία δυσαρεστήθηκε με την πρόταση τυ παππύ της. Είχε δίκι; Πόσα χρήματα θα είναι τ δώρ της, στα 15α και στα 1α γενέθλια της, από τν παππύ της και πόσα από τη γιαγιά της; Κεφάλαι 6 (Πρτείνεται να διατεθύν 18 διδακτικές ώρες) Οι μαθητές, στ Γυμνάσι, έχυν έρθει σε επαφή με την έννια της συνάρτησης, κυρίως με εμπειρικό τρόπ, και έχυν διερευνήσει στιχειωδώς συγκεκριμένες συναρτήσεις. Στην Α Λυκείυ μελετύν την έννια της συνάρτησης με πι συστηματικό και τυπικό τρόπ. Σε πλλύς μαθητές δημιυργύνται παρανήσεις και ελλιπείς εικόνες σχετικά με την έννια αυτή, με απτέλεσμα να παρυσιάζυν πρβλήματα στην αναγνώριση μιας συνάρτησης, καθώς και να μη μπρύν να χειριστύν με ευελιξία διαφρετικές αναπαραστάσεις της ίδιας συνάρτησης (π.χ. πίνακας τιμών, αλγεβρικός τύπς, γραφική παράσταση). Για τ λόγ αυτό θα πρέπει ι μαθητές, μέσω κατάλληλων 4

86 δραστηριτήτων, να χρησιμπιύν, να συνδέυν και να ερμηνεύυν τις αναπαραστάσεις μιας συνάρτησης καθώς και να εντπίζυν πλενεκτήματα και (ενδεχμένως)μεινεκτήματα καθεμιάς εξ αυτών. Η εξαντλητική ενασχόληση των μαθητών με επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων για την εύρεση τυ πεδίυ ρισμύ δεν βηθά στην κατανόηση της έννιας της συνάρτησης και δεν είναι στ πνεύμα της διδασκαλίας. Οι έννιες «κατακόρυφη - ριζόντια μετατόπιση καμπύλης», «μντνία ακρότατα - συμμετρίες συνάρτησης», δεν συμπεριλαμβάννται στη διδακτέα ύλη, όπως αναπτύσσνται στις παραγράφυς 6.4 και 6.5. Οι έννιες αυτές θα μελετηθύν στις ειδικές περιπτώσεις συναρτήσεων της μρφής: f(x)=αx+β ( 6.3), f(x)=αx ( 7.1) και f(x)=αx +βx+γ ( 7.3). Ειδικότερα: Πρτείνεται να διατεθύν 7 ώρες Πρτείνεται να δθύν αρχικά συγκεκριμένα παραδείγματα μντελπίησης καταστάσεων, ώστε να αναδειχθεί η σημασία της έννιας της συνάρτησης για τις εφαρμγές, και στη συνέχεια να ακλυθήσει τυπικός ρισμός. Να δθεί έμφαση στην αναγνώριση και τεκμηρίωση, με βάση τν ρισμό, αν αντιστιχίες πυ δίννται με διάφρες αναπαραστάσεις είναι συναρτήσεις ή όχι (ι δραστηριότητες Δ., Δ.3 και Δ.4 τυ ΑΠΣ λειτυργύν πρς αυτήν την κατεύθυνση), στη σύνδεση διαφρετικών αναπαραστάσεων μιας συνάρτησης (τύπς, πίνακας τιμών και γραφική παράσταση) και στην ερμηνεία μιας δεδμένης γραφικής παράστασης για την επίλυση ενός πρβλήματς). O τυπικός ρισμός της μντνίας θα συζητηθεί στην Β τάξη. Μπρεί όμως κατά την κρίση τυ διδάσκντα να εισαχθύν διαισθητικά ι έννιες της μντνίας και ακρότατων και να γίνει η αναγνώριση τυς σε γραφικές παραστάσεις. Οι έννιες αυτές δεν απτελύν εξεταστέα ύλη. Τνίζεται ότι τύπς της απόστασης δύ σημείων απτελεί μία άλλη έκφραση τυ Πυθαγρείυ Θεωρήματς με όρυς συντεταγμένων, ανακαλεί τις έννιες των παραγράφων.3 και.4. και πρσφέρεται για υπλγισμύς. Επισημαίνεται ότι: Α) Η απόδειξη τυ τύπυ δεν απτελεί αντικείμεν εξέτασης και ως εφαρμγές τυ θα διδαχθύν ι ασκήσεις 4 και 5. Β) Δεν θα διδαχθεί η εφαρμγή της σελίδας 155 Πρτείννται ι δραστηριότητες Δ.15 και Δ.6 τυ ΑΠΣ Ενδεικτική δραστηριότητα 1: i) Πιόν κανόνα πρέπει να εφαρμόσυμε για να υπλγίσυμε από πόσα σημεία θα απτελείται τ 7 σχήμα ; ii) Από πόσα σημεία θα απτελείται τ 7 σχήμα ; Ενδεικτική δραστηριότητα : Αν με Δ παραστήσυμε μια δόση αμπικιλλίνης (η αμπικιλλίνη είναι μια χημική υσία χρησιμπιείται για τη θεραπεία αναπνευστικών λιμώξεων) σε χιλιστόγραμμα και με W παραστήσυμε τ βάρς παιδιύ σε κιλά, τότε η εξίσωση Δ = 50W δίνει έναν κανόνα για την 5

87 εύρεση της μέγιστης ασφαλύς ημερήσιας δόσης τυ φαρμάκυ της αμπικιλλίνης για παιδιά πυ ζυγίζυν λιγότερ από 10 κιλά. α) Η εξίσωση εκφράζει συνάρτηση; Να αιτιλγήσετε τ συλλγισμό σας. β) Πιες είναι ι λγικές επιλγές για ανεξάρτητη και εξαρτημένη μεταβλητή; γ) Να δημιυργήσετε έναν πίνακα τιμών και μια γραφική παράσταση. 6.3 Πρτείνεται να διατεθύν 4 ώρες Οι μαθητές έχυν διαπραγματευθεί τη γραφική παράσταση της ευθείας ψ=αx+β στ Γυμνάσι. Εδώ πρτείνεται να δθεί έμφαση στη διερεύνηση τυ ρόλυ των παραμέτρων α και β στη γραφική παράσταση της f(x)=αx+β, ώστε να πρκύψυν ι σχετικές θέσεις ευθειών στ επίπεδ (πότε είναι παράλληλες μεταξύ τυς, πότε ταυτίζνται, πότε τέμνυν τν άξνα y y στ ίδι σημεί). Επίσης πρτείνεται, αφύ ι μαθητές παρατηρήσυν (με χρήση της γραφικής παράστασης και τυ πίνακα τιμών συγκεκριμένων γραμμικών συναρτήσεων) πώς μεταβάλλνται ι τιμές της συνάρτησης όταν μεταβάλλεται η ανεξάρτητη μεταβλητή, να καταλήξυν σε γενικότερα συμπεράσματα πυ αφρύν στη μντνία της συνάρτησης και να τα εκφράσυν συμβλικά, καθώς και να διερευνήσυν τ ρόλ της παραμέτρυ α σε σχέση με αυτά (πρτείνεται η δραστηριότητα Δ.7 τυ ΑΠΣ). Ενδεικτική δραστηριότητα 1: Ένας αθλητής κλυμπάει ύπτι και καίει 9 θερμίδες τ λεπτό, ενώ όταν κλυμπάει πεταλύδα καίει 1 θερμίδες τ λεπτό. Ο αθλητής θέλει, κλυμπώντας, να κάψει 360 θερμίδες. α) Αν αθλητής θέλει να κλυμπήσει ύπτι 3 λεπτά, πόσα λεπτά πρέπει να κλυμπήσει πεταλύδα για να κάψει συνλικά 360 θερμίδες. β) Ο αθλητής απφασίζει πόσ χρόν θα κλυμπήσει ύπτι και στη συνέχεια υπλγίζει πόσ χρόν πρέπει να κλυμπήσει πεταλύδα για να κάψει 360 θερμίδες. βi) Αν x είναι χρόνς (σε λεπτά) πυ αθλητής κλυμπάει ύπτι, να απδείξετε ότι τύπς της συνάρτησης πυ εκφράζει τ χρόν πυ πρέπει να κλυμπήσει πεταλύδα για να κάψει 360 θερμίδες είναι: 3 f x 30 x 4 βii) Να βρείτε τ πεδί ρισμύ της συνάρτησης τυ ερωτήματς (βi), στ πλαίσι τυ συγκεκριμένυ πρβλήματς. γ) Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης τυ ερωτήματς (β), να βρείτε τα σημεία τμής της με τυς άξνες και να ερμηνεύσετε τη σημασία τυς στ πλαίσι τυ πρβλήματς. Ενδεικτική δραστηριότητα : Τ μικρπείραμα «Ο ρόλς των συντελεστών στην y=αx+β» από τα εμπλυτισμένα σχλικά βιβλία, μπρεί να χρησιμπιηθεί διερευνητικά, για την εισαγωγή στη συνάρτηση f(x)= αx+β μέσω της διερεύνησης τυ ρόλυ κάθε συντελεστή στ σχηματισμό της ευθείας y=αx+β και ερμηνείας της σχέσης των μελών της κάθε μιας από τις δυ ικγένειες ευθειών, για α σταθερό και β μεταβαλλόμεν και αντίστρφα. 6

88 Κεφάλαι 7 (Πρτείνεται να διατεθύν 17 διδακτικές ώρες) Στ κεφάλαι αυτό ι μαθητές μελετύν τη συνάρτηση ψ=αx και τις ιδιότητές της. Επίσης, με αφετηρία την ψ=αx, κατασκευάζυν τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)=αx + βx + γ την πία στη συνέχεια χρησιμπιύν για να μελετήσυν ιδιότητες της f. Ειδικότερα: 7.1 Πρτείνεται να διατεθύν 5 ώρες Οι μαθητές χρησιμπιύν πίνακες τιμών και λγισμικό για να κάνυν τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ=αx. Μέσα από την παρατήρηση της γραφικής παράστασης και των τιμών διερευνύν τη μντνία, τα ακρότατα και τις συμμετρίες των συναρτήσεων g(x)=x και h(x)=-x. Με τη βήθεια της γραφικής παράστασης γενικεύυν τα παραπάνω συμπεράσματα για τη συνάρτηση f(x)=αx (πρτείνεται η δραστηριότητα Δ. 9 τυ ΑΠΣ ή η χρήση λγισμικύ) και τα εκφράζυν συμβλικά. Ενδεικτική δραστηριότητα 1: Τ μικρπείραμα «Οι μεταβλές της συνάρτησης ψ=αx» από τα εμπλυτισμένα σχλικά βιβλία, μπρεί να χρησιμπιηθεί διερευνητικά για τη μελέτη μντνίας της συνάρτησης ψ=αx όταν α>0 ή α<0. Ενδεικτική δραστηριότητα : Τ μικρπείραμα «Μετατπίσεις εμπλυτισμένα σχλικά βιβλία, της ψ=αx²» από τα μπρεί να χρησιμπιηθεί διερευνητικά από τυς μαθητές για την ριζόντια και κατακόρυφη μετατόπιση της ψ=αx² αλλά και την εύρεση τυ τύπυ της στη νέα θέση και να πειραματιστύν για τν συνδυασμό των δύ παραπάνω μετατπίσεων Πρτείνεται να διατεθύν 5 ώρες Να δθεί έμφαση στη χάραξη και διερεύνηση της γραφικής παράστασης συγκεκριμένων πλυωνυμικών συναρτήσεων της μρφής f(x)=αx +βx+γ και στη διαισθητική μελέτη της μντνίας, των ακρότατων και της συμμετρίας της συνάρτησης με τη βήθεια της γραφικής της παράστασης. Η γενίκευση των παραπάνω εννιών θα διδαχτύν στην Β Λυκείυ. Ειδικότερα, όσν αφρά στη χάραξη της γραφικής παράστασης και στη μελέτη της συνάρτησης f(x)=αx +βx+γ, η ιδέα πυ βρίσκεται και πίσω από τη δραστηριότητα Δ.30 τυ ΑΠΣ είναι η εξής: Οι μαθητές χρησιμπιύν είτε πίνακες τιμών είτε λγισμικό για να χαράξυν τη γραφική παράσταση της ψ=αx +κ και να την συγκρίνυν με την ψ=αx, μίως για την ψ=α(x+λ) και τελικά για την ψ=α(x+λ) +κ. Με αυτόν τν τρόπ εισάγνται διαισθητικά στις μετατπίσεις, τις πίες θα γενικεύσυν στην Β Λυκείυ. Αν χρησιμπιηθεί λγισμικό, ι μαθητές μπρύν αφύ χαράξυν τη γραφική παράσταση της g(x)=αx για διάφρες τιμές τυ α να την μετατπίσυν κ μνάδες ριζόντια 7

89 για διάφρες τιμές τυ κ (π.χ. κατά 3 μνάδες αριστερά, κατά 4 μνάδες δεξιά) και να παρατηρήσυν τη μρφή πυ παίρνει τύπς της συνάρτησης. Στη συνέχεια να μετατπίσυν λ μνάδες κατακόρυφα για διάφρες τιμές τυ λ (π.χ. κατά μνάδες κάτω, κατά 5 μνάδες πάνω) και να κάνυν ανάλγες παρατηρήσεις. Συνδυάζντας τις δύ μετατπίσεις μπρύν να παρατηρήσυν ότι η συνάρτηση πυ θα πρκύψει θα είναι της μρφής f(x)=α(x+κ) +λ. Τέλς, δίννται στυς μαθητές συγκεκριμένες συναρτήσεις της μρφής f(x)=αx +βx+γ και εκείνι πρσπαθύν, με κατάλληλες μετατπίσεις της g(x)=αx, να δηγηθύν στη γραφική παράσταση της f. Στη συνέχεια μελετύν, με τη βήθεια της γραφικής της παράστασης, ιδιότητες της f και επεκτείνυν τα συμπεράσματα πυ αφρύν στη μντνία, στα ακρότατα και στις συμμετρίες της g(x) = αx στην f(x)=αx +βx+γ. Επίσης, να γίνει γεωμετρική ερμηνεία των συμπερασμάτων των 3.3 και 4.(ρίζες και πρόσημ τριωνύμυ) με τη βήθεια της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f(x)=αx +βx+γ (πρτείνεται η δραστηριότητα Δ.3 τυ ΑΠΣ). Διδακτικά έχει ιδιαίτερ ενδιαφέρν να σχεδιαστύν ι έξι βασικές περιπτώσεις πυ αφρύν στις τιμές της διακρίνυσας (Δ>0, Δ=0 και Δ<0) συνδυαζόμενες με τ πρόσημ τυ α (α>0, α<0) ώστε ι μαθητές να συνδέσυν τη γραφική παράσταση με τα αλγεβρικά συμπεράσματα πυ ήδη χρησιμπιύν Ενδεικτική δραστηριότητα 1: α) Να συμπληρώσετε τν παρακάτω πίνακα τιμών των συναρτήσεων: φ(x)=x, f(x)=(x-3), g(x)=(x+3). x φ(x)=x f(x)=(x-3) g(x)=(x+3) 0 0 β) Με βάση τν παραπάνω πίνακα τιμών, να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων φ, f και g. γ)πια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ, δίνει τη γραφική παράσταση της f και πια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ δίνει τη γραφική παράσταση της g. Ενδεικτική δραστηριότητα : Ένας μετεωρλόγς δημιύργησε την διπλανή παραβλή για να παρυσιάσει τη θερμκρασία μιας πόλης μια συγκεκριμένη ημέρα τυ έτυς, όπυ τ x είναι αριθμός ωρών μετά τα μεσάνυχτα και τ y είναι η θερμκρασία (σε βαθμύς Κελσίυ). α) Βρείτε τη συνάρτηση f πυ αντιστιχεί στην παραπάνω γραφική παράσταση. β) Πια είναι η πι κρύα θερμκρασία την ημέρα εκείνη; 8

90 Σημείωση: Μπρείτε να κατεβάσετε τις ψηφιακές δραστηριότητες και να τις ανίξετε τπικά με τ αντίστιχ λγισμικό. Αν δεν έχετε εγκατεστημέν τ λγισμικό, τότε αν πρόκειται για αρχεί με κατάληξη.ggb κατεβάστε και εγκαταστήστε τ Geogebra από τη διεύθυνση ή διαφρετικά ψάξτε για τ αντίστιχ λγισμικό στη διεύθυνση Για να δείτε την πρεπισκόπηση των ψηφιακών δραστηριτήτων σε απευθείας σύνδεση (online), πρτιμήστε τν φυλλμετρητή Mozilla Firefox. Αν η εφαρμγή είναι σε flash θα πρέπει να εγκαταστήσετε τ πρόσθετ Adobe flash player από τη διεύθυνση Αν η εφαρμγή χρησιμπιεί τη Java (π.χ. Geogebra), τότε εγκαταστήστε την από τη διεύθυνση Αν συνεχίζετε να έχετε πρόβλημα στην πρεπισκόπηση, τότε πρσθέστε τις διευθύνσεις και στ exception site list στην καρτέλα security της Java (ανίξτε τ Control Panel, τη Java, στην καρτέλα security πατήστε Edit site list και πρσθέστε τις δύ διευθύνσεις, κλείστε τ browser και ξανανίξτε τν). 9

91 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β Τάξη Εσπερινύ ΓΕΛ Ι. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ Από τ βιβλί «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίυ Λυκείυ» των Αργυρόπυλυ Η., Βλάμυ Π., Κατσύλη Γ., Μαρκάτη Σ., Σίδερη Π. Κεφ.5 : Παραλληλόγραμμα Τραπέζια 5.1. Εισαγωγή 5.. Παραλληλόγραμμα 5.3. Ορθγώνι 5.4. Ρόμβς 5.5. Τετράγων 5.6. Εφαρμγές στα τρίγωνα (εκτός της απόδειξης τυ Θεωρήματς ΙΙΙ) 5.7 Βαρύκεντρ τριγώνυ (εκτός της απόδειξης τυ θεωρήματς) 5.8. Τ ρθόκεντρ τριγώνυ (Χωρίς τ Πόρισμα) Μια ιδιότητα τυ ρθγώνιυ τριγώνυ Τραπέζι Ισσκελές τραπέζι Κεφ.6 : Εγγεγραμμένα σχήματα 6.1. Εισαγωγικά Ορισμί 6.. Σχέση εγγεγραμμένης και αντίστιχης επίκεντρης (Εκτός της απόδειξης τυ θεωρήματς) 6.3. Γωνία χρδής και εφαπτμένης (Εκτός της απόδειξης τυ θεωρήματς ) 6.4. Βασικί γεωμετρικί τόπι στν κύκλ Τόξ κύκλυ πυ δέχεται γνωστή γωνία Τ εγγεγραμμέν τετράπλευρ 6.6. Τ εγγράψιμ τετράπλευρ (εκτός της απόδειξης τυ θεωρήματς) ΙΙΙ. Διαχείριση διδακτέας ύλης [Η κατανμή των διδακτικών ωρών πυ πρτείνεται είναι ενδεικτική. Μέσα σε αυτές τις ώρες περιλαμβάνεται χρόνς πυ θα χρειαστεί για ανακεφαλαιώσεις, γραπτές δκιμασίες, εργασίες κλπ. Οι δραστηριότητες πυ αναφέρνται ως Δ1, Δ κλπ περιέχνται στ Αναλυτικό πρόγραμμα σπυδών της Α Λυκείυ πυ ισχύει (ΥΑ 59614/Γ, ΦΕΚ 1168/ ) Οι ενδεικτικές δραστηριότητες πυ περιλαμβάννται στις παρύσες δηγίες ως επιπλέν διδακτικό υλικό πρέρχνται από τ πρόγραμμα σπυδών για τ λύκει και τν δηγό για τν εκπαιδευτικό πυ εκπνήθηκαν στ πλαίσι της πράξης "Νέ Σχλεί" και μπρύν να ανακτηθύν από τν ιστότπ τυ ΙΕΠ: ] ΙΙ ΙΙ 30

92 Κεφάλαι 5 (Πρτείνεται να διατεθύν 35 διδακτικές ώρες) 5.1, 5. (Να διατεθύν 4 ώρες) Να επισημανθεί ότι καθένα από τα κριτήρια για τα παραλληλόγραμμα περιέχει τις ελάχιστες ιδιότητες πυ απαιτύνται για είναι ισδύναμ με τν ρισμό τυ παραλληλγράμμυ (πρτείνεται η δραστηριότητα Δ.18 τυ ΑΠΣ). Πρτείνεται να ζητηθεί από τυς μαθητές να διερευνήσυν αν ένα τετράπλευρ με τις δυ απέναντι πλευρές παράλληλες και τις άλλες δυ ίσες είναι παραλληλόγραμμ. Για την εφαρμγή των ιδιτήτων των παραλληλγράμμων στην επίλυση πρβλημάτων μπρεί να αξιπιηθεί η δραστηριότητα Δ.19 τυ ΑΠΣ. Πρτεινόμενη εργασία: Να επιλέξετε ένα από τα κριτήρια πυ καθιστύν ένα τετράπλευρ, παραλληλόγραμμ. Θεωρώντας τ κριτήρι πυ επιλέξατε ως ρισμό, να απδείξετε τν παλιό ρισμό και τις ιδιότητες των παραλληλγράμμων. [Σχόλι: Με αυτή την εργασία, ι μαθητές διακρίνυν τν ρισμό από τις ιδιότητες και τα κριτήρια και εξετάζυν τ ισδύναμ μεταξύ ρισμύ και κριτηρίυ] (Να διατεθύν 5 ώρες) Να επισημανθεί ότι κάθε ένα από τα κριτήρια για να είναι ένα τετράπλευρ ρθγώνι ή ρόμβς ή τετράγων περιέχει τις ελάχιστες ιδιότητες πυ απαιτύνται για να είναι ισδύναμ με τν ρισμό τυ ρθγωνίυ ή τυ ρόμβυ ή τυ τετραγώνυ αντίστιχα. Επιδιώκεται ι μαθητές να αναγνωρίζυν τα είδη των παραλληλγράμμων (ρθγώνι, ρόμβς, τετράγων) με βάση τα αντίστιχα κριτήρια και όχι με βάση κάπια πρότυπα σχήματα πυ συνδένται με την πτική γωνία πυ τα κιτάμε. Να δθεί έμφαση στην ταξινόμηση των παραλληλγράμμων με βάση τις ιδιότητές τυς (βλέπε ενδεικτική δραστηριότητα 1) στην άρση της παρανόησης πυ δημιυργείται σε μαθητές, ότι ένα τετράγων δεν είναι ρθγώνι ή ένα τετράγων δεν είναι ρόμβς. Πρτείνεται να ζητηθεί από τυς μαθητές να διερευνήσυν: αν ένα τετράπλευρ με ίσες διαγώνιες είναι ρθγώνι και αν ένα τετράπλευρ με κάθετες διαγώνιες είναι ρόμβς, καθώς και να αξιπιήσυν τις ιδιότητες των παραλληλγράμμων στην επίλυση πρβλημάτων (δραστηριότητες Δ.0, Δ.1 και Δ. τυ ΑΠΣ). Ενδεικτική δραστηριότητα 1: Να δημιυργήσετε διαγραμματική αναπαράσταση της ταξινμίας των παραλληλγράμμων (π.χ. με χρήση εννιλγικύ χάρτη, διαγράμματς Venn). Ενδεικτική δραστηριότητα : Η άσκηση εμπέδωσης 3 τυ σχλικύ βιβλίυ πρτείνεται να υλπιηθεί πι διερευνητικά με τ μικρπείραμα «Τι σχήμα δημιυργύν ι διχτόμι των γωνιών ενός παραλληλγράμμυ;» από τα εμπλυτισμένα σχλικά βιβλία. Με τη βήθεια τυ λγισμικύ ι μαθητές μεταβάλλυν τις γωνίες και τις πλευρές ενός παραλληλγράμμυ για να δημιυργήσυν την εικασία σχετικά με τ σχήμα πυ δημιυργείται από τις διχτόμυς, ενώ στη συνέχεια απδεικνύυν την εικασία αυτή (Να διατεθύν 5 ώρες) Πρτείνεται να ζητηθεί από τυς μαθητές να εικάσυν σε πια γραμμή ανήκυν τα σημεία πυ ισαπέχυν από δυ παράλληλες ευθείες και στη συνέχεια να απδείξυν ότι η μεσπαράλληλή τυς είναι ζητύμενς γεωμετρικός τόπς. Πρτείνεται, επίσης, η διαπραγμάτευση της Εφαρμγής 1 της σελ Πρτείνεται να ζητηθεί από τυς μαθητές να διερευνήσυν τα είδη των τριγώνων πυ τ ρθόκεντρ είναι μέσα ή έξω από τ τρίγων. Θα μπρύσαν να αναζητηθύν εναλλακτικές απδείξεις για τα θεωρήματα πυ αφρύν στις ιδιότητες τυ ρθγωνίυ τριγώνυ. Πρτείνεται η απόδειξη τυ θεωρήματς της παραγράφυ 5.7 να απτελέσει αντικείμεν διαπραγμάτευσης στην τάξη με στόχ την ανάδειξη των μεθδλγικών στιχείων της. 31

93 Ενδεικτική δραστηριότητα: Πρτείνεται να χρησιμπιηθεί διερευνητικά τ μικρπείραμα «Η σχέση της υπτείνυσας ενός ρθγωνίυ τριγώνυ με την διάμεσ πυ αντιστιχεί σ αυτήν και επίλυση πρβλημάτων με τη σχέση αυτή» , 5.11 (Να διατεθύν 5 ώρες) Εκτός από τ συγκεκριμέν αντικείμεν των παραγράφων αυτών, πρτείνεται να εμπλακύν ι μαθητές στην επίλυση πρβλημάτων πυ συνδυάζυν γεωμετρικά θέματα από όλ τ κεφάλαι. Πρτείνεται επίσης να συζητηθεί με τυς μαθητές η ταξινόμηση των τετραπλεύρων τυ σχλικύ βιβλίυ (σελ. 15) και, κατά την κρίση τυ εκπαιδευτικύ, η συσχέτιση με άλλες ταξινμήσεις όπως αναφέρνται στ ιστρικό σημείωμα των σελ. 13, 14. Κεφάλαι 6 (Πρτείνεται να διατεθύν 15 διδακτικές ώρες) (Να διατεθύν ώρες) Στόχς είναι ι μαθητές να χρησιμπιύν τη σχέση εγγεγραμμένης και αντίστιχης επίκεντρης γωνίας σε επίλυση πρβλημάτων, καθώς και να αναγνωρίζυν ως ρθές τις εγγεγραμμένες γωνίες πυ βαίνυν σε ημικύκλι. Επίσης να χρησιμπιύν τ συμπέρασμα τυ θεωρήματς της 6.3 (γωνία χρδής και εφαπτμένης). Ενδεικτική δραστηριότητα 1: Να βρείτε τ μέτρ της γωνίας δύ τεμνυσών ευθειών κύκλυ, συναρτήσει των ριζμένων από αυτές τόξων κύκλυ (πρτείνεται η δραστηριότητα να υλπιηθεί σε περιβάλλν δυναμικής γεωμετρίας) (Να διατεθύν 5 ώρες) Να γίνει απλή αναφρά στην παράγραφ 6.4 (τόξ κύκλυ πυ δέχεται γνωστή γωνία). Πρτείνεται, ως εισαγωγή στ πρόβλημα εγγραψιμότητας ενός τετραπλεύρυ σε κύκλ, ι μαθητές να διερευνήσυν πια από τα γνωστά τετράπλευρα (παραλληλόγραμμ, ρθγώνι, ρόμβς, τετράγων, τραπέζι) είναι εγγράψιμα, βασιζόμενι στις ιδιότητες των εγγεγραμμένων τετραπλεύρων (π.χ., ρόμβς δεν είναι εγγράψιμς σε κύκλ, γιατί αν ήταν εγγράψιμς θα έπρεπε να έχει τις απέναντι γωνίες τυ παραπληρωματικές). Η διερεύνηση θα μπρύσε να επεκταθεί και σε τυχαία τετράπλευρα (και με τη βήθεια λγισμικύ), ώστε ι μαθητές να εικάσυν τα κριτήρια εγγραψιμότητας. Επίσης, στόχς είναι ι μαθητές να διακρίνυν τη διαφρά μεταξύ των θεωρημάτων πυ ισχύυν για τα εγγράψιμα τετράπλευρα και στα κριτήρια, πυ πρέπει να ισχύυν, ώστε να είναι ένα τετράπλευρ εγγράψιμ (ενδεικτική δραστηριότητα 1). Ενδεικτική δραστηριότητα 1: Σε ξυγώνι τρίγων ΑΒΓ τα ύψη τυ ΑΔ, ΒΕ, ΓΖ τέμννται στ Η. Σχεδιάστε τα ευθύγραμμα τμήματα ΔΕ, ΕΖ και ΖΔ. (α) Να βρείτε τα εγγράψιμα τετράπλευρα πυ σχηματίζνται. (β) Να απδείξετε ότι τα ύψη τυ τριγώνυ ΑΒΓ είναι διχτόμι των γωνιών τυ τριγώνυ ΔΕΖ. Ενδεικτική (ψηφιακή) δραστηριότητα : Η ερώτηση κατανόησης 6 πρτείνεται να διερευνηθεί με τ μικρπείραμα «Εγγράψιμα τετράπλευρα» από τα εμπλυτισμένα σχλικά βιβλία. και εγκαταστήστε τ Geogebra από τη διεύθυνση ή διαφρετικά ψάξτε για τ αντίστιχ λγισμικό στη διεύθυνση Για να δείτε την πρεπισκόπηση των ψηφιακών δραστηριτήτων σε απευθείας σύνδεση (online), πρτιμήστε τν φυλλμετρητή Mozilla Firefox. 3

94 Αν η εφαρμγή είναι σε flash θα πρέπει να εγκαταστήσετε τ πρόσθετ Adobe flash player από τη διεύθυνση Αν η εφαρμγή χρησιμπιεί τη Java (π.χ. Geogebra), τότε εγκαταστήστε την από τη διεύθυνση Αν συνεχίζετε να έχετε πρόβλημα στην πρεπισκόπηση, τότε πρσθέστε τις διευθύνσεις και στ exception site list στην καρτέλα security της Java (ανίξτε τ Control Panel, τη Java, στην καρτέλα security πατήστε Edit site list και πρσθέστε τις δύ διευθύνσεις, κλείστε τ browser και ξανανίξτε τν). Άλγεβρα Β Τάξης Ημερήσιυ και Γ τάξη Εσπερινύ Γενικύ Λυκείυ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ-ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ Από τ βιβλί «Άλγεβρα Β Γενικύ Λυκείυ» Κεφ. 1: Γραμμικά Συστήματα 1.1 Γραμμικά Συστήματα ( χωρίς τις απδείξεις των συμπερασμάτων της υππαραγράφυ «ΛύσηΔιερευνηση γραμμικύ συστήματς χ) 1. Μη Γραμμικά Συστήματα Κεφ.: Ιδιότητες Συναρτήσεων.1 Μντνία-Ακρότατα-Συμμετρίες Συνάρτησης. Κατακόρυφη-Οριζόντια Μετατόπιση Καμπύλης Κεφ. 3: Τριγωνμετρία 3.1 Τριγωνμετρικί Αριθμί Γωνίας 3. Βασικές Τριγωνμετρικές Ταυτότητες (χωρίς την απόδειξη της ταυτότητας 4) 3.3 Αναγωγή στ 1o Τεταρτημόρι 3.4 Οι τριγωνμετρικές συναρτήσεις 3.5 Βασικές τριγωνμετρικές εξισώσεις 3.6 Τριγωνμετρικί αριθμί αθρίσματς γωνιών (χωρίς τις απδείξεις των τύπων) 3.7 Τριγωνμετρικί αριθμί της γωνίας α (χωρίς τις απδείξεις των τύπων) Κεφ. 4: Πλυώνυμα - Πλυωνυµικές εξισώσεις 4.1 Πλυώνυμα 4. Διαίρεση πλυωνύμων 4.3 Πλυωνυµικές εξισώσεις και ανισώσεις 4.4 Εξισώσεις και ανισώσεις πυ ανάγνται σε πλυωνυμικές. Κεφ. 5: Εκθετική και Λγαριθμική συνάρτηση 5.1 Εκθετική συνάρτηση 5. Λγάριθμι (χωρίς την απόδειξη τυ τύπυ αλλαγής βάσης) 5.3 Λγαριθμική συνάρτηση (να διδαχθύν μόν ι λγαριθμικές συναρτήσεις με βάση τ 10 και τ e). II.Διαχείριση διδακτέας ύλης [Η κατανμή των διδακτικών ωρών πυ πρτείνεται είναι ενδεικτική. Μέσα σε αυτές τις ώρες περιλαμβάνεται χρόνς πυ θα χρειαστεί για ανακεφαλαιώσεις, γραπτές δκιμασίες, εργασίες κλπ. Οι ενδεικτικές δραστηριότητες πυ περιλαμβάννται στις παρύσες δηγίες ως επιπλέν διδακτικό 33

95 υλικό πρέρχνται από τ πρόγραμμα σπυδών για τ λύκει και τν δηγό για τν εκπαιδευτικό πυ εκπνήθηκαν στ πλαίσι της πράξης "Νέ Σχλεί" και μπρύν να ανακτηθύν από τν ιστότπ τυ ΙΕΠ: ] Πριν την έναρξη της διδασκαλίας της ύλης της Β Τάξης ΓΕΛ, πρτείνεται να διατεθύν έως 5 διδακτικές ώρες για επανάληψη λκλήρωση της διδακτέας ύλης της Α Λυκείυ από τ βιβλί «Άλγεβρα και Στιχεία Πιθαντήτων Α Γενικύ Λυκείυ». Στη συνέχεια θα ακλυθήσει η διδασκαλία της ύλης της Β Λυκείυ Κεφάλαι 1 (Πρτείνεται να διατεθύν 4 διδακτικές ώρες) 1.1. Πρτείνεται να διατεθύν ώρες Από τ γυμνάσι είναι γνωστή η έννια των γραμμικών συστημάτων Χ, η γραφική επίλυσή τυς και η αλγεβρική επίλυση με τη μέθδ της αντικατάστασης και τη μέθδ των αντίθετων συντελεστών. Με τη μέθδ των ριζυσών να γίνυν μόν αριθμητικά παραδείγματα. 1. Πρτείνεται να διατεθύν ώρες Πρτείνεται η επίλυση απλών μη γραμμικών συστημάτων με αγνώστυς, καθώς και η έμφαση στη γεωμετρική ερμηνεία των απτελεσμάτων. Να μη διδαχθύν ι ασκήσεις 4 και 5 της Β Ομάδας. Ενδεικτική δραστηριότητα: Τ μικρπείραμα «Εισαγωγή στα μη γραμμικά συστήματα» από τα εμπλυτισμένα σχλικά βιβλία, δίνει τη δυνατότητα στυς μαθητές να εισαχθύν στην έννια τυ μη γραμμικύ συστήματς και να πειραματιστύν με τις διάφρες τιμές των παραμέτρων τυ. Κεφάλαι (Πρτείνεται να διατεθύν 5 διδακτικές ώρες).1 και. (Πρτείνεται να διατεθύν 5 διδακτικές ώρες) Στην Α Λυκείυ ι μαθητές μελέτησαν την f(x)=αx +βx+γ, μέσω μετατπίσεων της g(x)=αx και εξέτασαν τη μντνία και τα ακρότατα αυτής. Στ κεφάλαι αυτό διατυπώννται ι γενικί ρισμί των παραπάνω εννιών και εξετάζνται αυτές και για άλλες συναρτήσεις μέσω των γραφικών παραστάσεών τυς. Η έμφαση πρέπει να δθεί στη γεωμετρική ερμηνεία των εννιών της μντνίας, των ακρτάτων και της άρτιας περιττής και στη σύνδεση της γεωμετρικής ερμηνείας με την αλγεβρική έκφραση. Ενδεικτική δραστηριότητα: Τ μικρπείραμα «Συμμεταβλή σημείων - Μντνία - Ακρότατα συνάρτησης» από τα εμπλυτισμένα σχλικά βιβλία, πρτείνεται για την εισαγωγή στην έννια της συνάρτησης ως συμμεταβλή σημείων και διερεύνηση των ιδιτήτων της συμμεταβλής των δύ σημείων, της μντνίας και των ακρότατων. 34

96 Κεφάλαι 3 (Πρτείνεται να διατεθύν 5 διδακτικές ώρες) 3.1 Πρτείνεται να διατεθύν 6 ώρες Οι μαθητές στ γυμνάσι έχυν συναντήσει και ασχληθεί με τυς τριγωνμετρικύς αριθμύς ξείας γωνίας ρθγωνίυ τριγώνυ και αμβλείας γωνίας. Τ καινύργι εδώ είναι η εισαγωγή τυ τριγωνμετρικύ κύκλυ για τν ρισμό των τριγωνμετρικών αριθμών. Επειδή στν τριγωνμετρικό κύκλ στηρίζνται όλες ι έννιες και ι ιδιότητες πυ μελετώνται στη συνέχεις, έμφαση πρέπει να δθεί στην κατανόηση και συνεχή χρήση τυ. Επίσης, να δθεί έμφαση στην έννια τυ ακτινίυ, στη σύνδεσή τυ με τις μίρες και την αναπαράστασή τυ στν τριγωνμετρικό κύκλ καθώς και στην «κατάληξη» της τελικής πλευράς μιας γωνίας πάνω σε αυτόν. Ενδεικτική δραστηριότητα 1: α) Δίνεται γωνία, με 0 ω <360 πυ ικανπιεί τις σχέσεις: ημω = 1 και συνω> 0. Να σχεδιάσετε τη γωνία ω πάνω στν τριγωνμετρικό κύκλ, να εξηγήσετε γιατί είναι μναδική και να βρείτε τ μέτρ της. β) Να βρείτε όλες τις γωνίες φ με 0 φ < 360, πυ ικανπιύν τη σχέση ημφ = 1 και να τις σχεδιάσετε πάνω στν τριγωνμετρικό κύκλ. Ενδεικτική δραστηριότητα: Δίνεται κύκλς τυ σχήματς με κέντρ Κ και ακτίνα 10cm. Επίσης δίνεται τ τόξ ΑΒ με μήκς 5 cm και αντίστιχη επίκεντρη γωνία ω. α) Να βρείτε τ μέτρ της ω σε rad. β) Να δικαιλγήσετε ότι τ συνημίτν της γωνίας ω είναι αρνητικό. Ενδεικτική δραστηριότητα 3: Τ μικρπείραμα «Τι είναι τ ακτίνι;» από τα εμπλυτισμένα σχλικά βιβλία, πρτείνεται για την κατανόηση της έννιας τυ ακτινίυ και τη σύνδεση μεταξύ της μέτρησης γωνιών σε μίρες και ακτινίων στν τριγωνμετρικό κύκλ. Ενδεικτική δραστηριότητα 4: Με τ μικρπείραμα «Ο τριγωνμετρικός κύκλς» από τα εμπλυτισμένα σχλικά βιβλία, ι μαθητές εισάγνται στν ρισμό τυ τριγωνμετρικύ κύκλυ και των τριγωνμετρικών αριθμών μιας γωνίας. 35

97 3. Πρτείνεται να διατεθύν 4 ώρες Ο στόχς της παραγράφυ είναι η κατανόηση των σχέσεων μεταξύ των τριγωνμετρικών αριθμών και για αυτό ι μαθητές θα πρέπει να εμπλακύν με απλές ασκήσεις υπλγισμύ των τριγωνμετρικών αριθμών όταν είναι γνωστός ένας και απλές απδείξεις σχέσεων. Να γίνει επιλγή από τις ασκήσεις 1-6 και από τις της Α Ομάδας. Ενδεικτική δραστηριότητα: 1 3 και συνθ = ; β) Υπάρχει γωνία θ με ημθ = και συνθ = ; 5 5 α) Υπάρχει γωνία θ με ημθ = Αν όχι, αιτιλγήστε. Αν ναι, να σχεδιάσετε μια τέτια γωνία πάνω στν τριγωνμετρικό κύκλ. Πόσες τέτιες γωνίες μεταξύ 0 και 360 υπάρχυν; 3.3 Πρτείνεται να διατεθύν 3 ώρες Η ανάδειξη τυ τριγωνμετρικύ κύκλυ σε (δηλαδή τυ ρισμύ των τριγωνμετρικών αριθμών) στ βασικό εργαλεί αναγωγής στ πρώτ τεταρτημόρι μπρεί να αντικαταστήσει την απμνημόνευση τύπων και την αναπαραγωγή κανόνων χωρίς νόημα. Αυτό μπρεί να γίνει αν ενθαρρυνθύν ι μαθητές να χρησιμπιύν τις συμμετρίες σε νητό τριγωνμετρικό κύκλ. Πρτείνεται να μη δθύν πρς λύση ι ασκήσεις της Β Ομάδας. Οι ερωτήσεις κατανόησης Ι και ΙΙ μπρύν να χρησιμπιηθύν για να συζητηθύν και να διευκρινιστύν πτυχές των πρηγύμενων εντήτων της τριγωνμετρίας. Ενδεικτική δραστηριότητα: Με τ μικρπείραμα «Τριγωνμετρικί αριθμί γωνιών πυ ανάγνται στ τεταρτημόρι» από τα εμπλυτισμένα σχλικά βιβλία, ι μαθητές βρίσκυν τυς τριγωνμετρικύς αριθμύς γωνιών πυ η πρβλή τυς στν πρώτ κύκλ είναι στ δεύτερ τεταρτημόρι. Με τη βήθεια τυ λγισμικύ μέσω πλλαπλών δυναμικά αλληλσυνδεόμενων γεωμετρικών αναπαραστάσεων, ι μαθητές βρίσκυν στην αριθμγραμμής μια συγκεκριμένη γωνία πυ ξεπερνά τν πρώτ κύκλ και βλέπυν την γεωμετρική της αναπαράσταση πάνω στν τριγωνμετρικό κύκλ. Στη συνέχεια, μπρύν να δυν τ τόξ αυτό στ χώρ, βρίσκυν την πρβλή τυ στν πρώτ κύκλ και τυς τριγωνμετρικύς αριθμύς της γωνίας αυτής, αφύ την αναγάγυν σε γωνία τυ πρώτυ τεταρτημρίυ. Τέλς, εφαρμόζυν τη στρατηγική αυτή και σε άλλες γωνίες Πρτείνεται να διατεθύν 5 ώρες Η έννια της περιδικότητας, πυ συνδέεται άμεσα με φαινόμενα της καθημερινής ζωής, είναι μια από τις σημαντικότερες έννιες πυ θα διδαχτύν ι μαθητές στη Β Λυκείυ. Θα πρέπει λιπόν να 36

98 δθεί έμφαση σε αυτή την ιδιότητα μέσα από τις τριγωνμετρικές συναρτήσεις και τις γραφικές τυς παραστάσεις. Η χάραξη των γραφικών παραστάσεων των τριγωνμετρικών συναρτήσεων μπρεί να στηριχτεί στν τριγωνμετρικό κύκλ. Πρέπει να επισημανθεί ότι η ανεξάρτητη μεταβλητή των τριγωνμετρικών συναρτήσεων εκφράζει τόξ μετρημέν σε ακτίνια και όχι σε μίρες. Αφύ συζητηθύν τα παραδείγματα τυ σχλικύ βιβλίυ, να τνισθύν τα συμπεράσματα πυ περιέχνται στ Σχόλι της σελίδας 81. Πρτείνεται να γίνυν κατά πρτεραιότητα ι ασκήσεις 1, 3, 4, 5, 6 και 7 της Α Ομάδας και 1, και 3 της Β Ομάδας. Ενδεικτική δραστηριότητα 1: Μία ρόδα ακτίνας 1 περιστρέφεται με φρά αντίθετη από αυτήν των δεικτών τυ ρλγιύ έτσι ώστε, κάθε σημεί της περιφέρειάς της, να διαγράφει σε ένα δευτερόλεπτ τόξ ενός ακτινίυ. Τπθετύμε τη ρόδα σε ένα σύστημα αξόνων με αρχή στ κέντρ της Ο και θεωρύμε ένα σημεί της Ρ, τ πί τη χρνική στιγμή 0 βρίσκεται στ σημεί (1,0). α) Να εξηγήσετε γιατί, τ ύψς τυ σημείυ Ρ σε σχέση με τν άξνα x xκάθε χρνική στιγμή t (σε sec), t 0 δίνεται από τη συνάρτηση f(t) = ημt, t 0 β) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(t) στ διάστημα [0, 4π]. γ) Να βρείτε τις χρνικές στιγμές t με 0 t 4π κατά τις πίες τ σημεί Ρ βρίσκεται στ μεγαλύτερ και στ μικρότερ δυνατό ύψς. δ) Να πρσδιρίσετε τα χρνικά διαστήματα μεταξύ 0 και 4π sec κατά τα πία τ ύψς τυ σημείυ Ρ είναι μεγαλύτερ τυ 0,5. ε) Θεωρύμε τώρα τ σημεί Κ της ρόδας, τ πί τη χρνική στιγμή 0 βρίσκεται στη θέση (0,1). Να δείξετε ότι τ ύψς τυ σημείυ Κ κάθε χρνική στιγμή t sec δίνεται από τη συνάρτηση g(t) = συνt, t 0. Ενδεικτική δραστηριότητα : Με τ μικρπείραμα «Περιδικά φαινόμενα: Η παλίρρια» από τα εμπλυτισμένα σχλικά βιβλία (άσκηση, Β μάδας), ι μαθητές χρησιμπιώντας τις γνώσεις τυς, εμπλέκνται ενεργά και εξικειώννται με την έννια των τριγωνμετρικών συναρτήσεων. Επίσης μελετύν τ φαινόμεν της παλίρριας και αναζητύν απαντήσεις, με ερευνητικό και βιωματικό τρόπ, γεγνός πυ πρσφέρει τ διερευνητικό περιβάλλν τυ Geogebra. Ενδεικτική δραστηριότητα 3: 37

99 Με τ μικρπείραμα «Περιδικές συναρτήσεις - Τ ελατήρι» από τα εμπλυτισμένα σχλικά βιβλία, ι μαθητές χρησιμπιώντας τις γνώσεις τυς, εμπλέκνται ενεργά και εξικειώννται με την έννια των περιδικών συναρτήσεων. Επίσης, πειραματίζνται με ένα ελατήρι και αναζητύν απαντήσεις με ερευνητικό και βιωματικό τρόπ, γεγνός πυ πρσφέρει τ διερευνητικό περιβάλλν τυ Geogebra Πρτείνεται να διατεθύν 5 ώρες Οι τριγωνμετρικές εξισώσεις είναι ένα σημαντικό αλγεβρικό εργαλεί και είναι τ πρώτ είδς μη πλυωνυμικών εξισώσεων πυ συναντύν ι μαθητές. Η ερμηνεία των τύπων λύσεων πρέπει να στηριχτεί τόσ στν τριγωνμετρικό κύκλ όσ και στη γραφική παράσταση των αντίστιχων συναρτήσεων. Πρτείνεται να μη γίνυν η άσκηση 11(ii) της Α Ομάδας και όλες ι ασκήσεις της Β Ομάδας. Ενδεικτική δραστηριότητα 1: α) Δίνεται γωνία ω (σε rad), με 0 ω < π πυ ικανπιεί τις σχέσεις: ημω = 1 και συνω > 0. Να σχεδιάσετε τη γωνία ω πάνω στν τριγωνμετρικό κύκλ, να εξηγήσετε γιατί είναι μναδική και να βρείτε τ μέτρ της. β) Να βρείτε όλες τις γωνίες φ με 0 φ < π, πυ ικανπιύν τη σχέση ημφ = 1 και να τις σχεδιάσετε πάνω στν τριγωνμετρικό κύκλ. γ) Να βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης ημx= 1, x ℝ. Ενδεικτική δραστηριότητα : Με τ μικρπείραμα «Η εξίσωση ημχ=α» από τα εμπλυτισμένα σχλικά βιβλία, ι μαθητές βρίσκυν τις λύσεις μιας συγκεκριμένης εξίσωσης στν τριγωνμετρικό κύκλ και μέσω πλλαπλών δυναμικά αλληλσυνδεόμενων γεωμετρικών και γραφικών αναπαραστάσεων, γενικεύυν τις λύσεις αυτές σ όλ τ R. Στη συνέχεια δημιυργύν τις δικές τυς εξισώσεις και τις λύνυν επαληθεύντας ταυτόχρνα τις λύσεις τυς γραφικά &3.7: Πρτείνεται να διατεθύν ώρες Η διδασκαλία της παραγράφυ 3.6 να περιρισθεί σε απλές εφαρμγές των τύπων μέσα από λίγες και απλές ασκήσεις Α μάδας. Από την παράγραφ 3.7 να διδαχτύν μόν ι τύπι (1), (), (3) ως 38

100 εφαρμγές της παραγράφυ 3.6, και να μην γίνυν ασκήσεις. Να μη διδαχτύν ι τύπι (4), (5) και (6) (τύπι απτετραγωνισμύ). Κεφάλαι 4 (Πρτείνεται να διατεθύν 0 διδακτικές ώρες) Όλη η διδασκαλία των πλυωνύμων θα πρέπει να εμπλυτιστεί αν όχι να εστιαστεί με την συναρτησιακή πρσέγγιση των πλυωνύμων. Αυτή η πρσέγγιση α) θα παρέχει στυς μαθητές τη δυνατότητα πρόσβασης σε γεωμετρικές αναπαραστάσεις (όπως είναι η γραφική παράσταση συνάρτησης) πυ μπρύν να βηθήσυν στην απόδση νήματς και την κατανόηση και β) θα μειώσει τ ρόλ αφηρημένων αλγεβρικών πρσεγγίσεων των πλυωνύμων πυ δεν συνδένται με την κατανόηση ύτε με την περαιτέρω διδασκαλία των σχλικών μαθηματικών. 4.1 Πρτείνεται να διατεθύν 5 ώρες Πρτείνεται να παρυσιαστύν (είτε με λγισμικό, είτε με έντυπη μρφή) ι γραφικές παραστάσεις μερικών συναρτήσεων όπως ι f (x) x 3, f (x) x 3, f (x) x 3 3x, f (x) x 4 x, f (x) x 3 3x 9x 11. Στόχς είναι η παρατήρηση και σχλιασμός των ιδιτήτων τυς, των σημείων τμής με τυς άξνες, των τμημάτων πυ βρίσκνται πάνω ή κάτω από τν άξνα των x, κκ. Πρτείνεται να γίνυν κατά πρτεραιότητα ι ασκήσεις 1 και, 5 και 6 της Α Ομάδας και, 3 και 5 της Β Ομάδας. Ενδεικτική δραστηριότητα 1: Από ένα χαρτόνι διαστάσεων 0 30 εκατστών κόβυμε τετράγωνα πλευράς x (όπως φαίνεται στ σχήμα) με σκπό να κατασκευάσυμε ένα κυτί ανικτό από πάνω. α) Να βρείτε μια συνάρτηση πυ να εκφράζει τν όγκ τυ κυτιύ. Τι τιμές μπρεί να πάρει τ x; β) Ο Γιάννης ισχυρίζεται ότι όσ αυξάνεται τ x, μειώνεται όγκς. Να φτιάξετε ένα πίνακα τιμών για να διαπιστώσετε αν Γιάννης έχει δίκι. γ) Να βρείτε (με πρσέγγιση) πόσ πρέπει να είναι τ x ώστε τ κυτί να έχει τ μέγιστ όγκ. Ενδεικτική δραστηριότητα : Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f (x) x 3x και g(x) x x 3 χρησιμπιώντας κάπι 4 λγισμικό δυναμικής γεωμετρίας. Παρατηρώντας τ σχήμα, α) να βρείτε τα διαστήματα μντνίας και τα ακρότατα των f και g. β) Είναι κάπια συνάρτηση άρτια ή περιττή; γ) Να βάλετε σε αύξυσα σειρά τυς αριθμύς g( ), g( 0,5), g(0), g(1), g(1,5). 39

101 Ενδεικτική δραστηριότητα 3: Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της 1 x 1 συνάρτησης f (x) και την ευθεία y x x χρησιμπιώντας λγισμικό δυναμικής γεωμετρίας. Παρατηρώντας τ σχήμα, α) να βρείτε τα διαστήματα μντνίας της f. β) να εξετάσετε αν η f είναι άρτια ή περιττή. γ) να βρείτε από τη γραφική παράσταση (κατά πρσέγγιση) τις λύσεις της εξίσωσης f(x) =. Να αιτιλγήσετε τ συλλγισμό σας. δ) να εξετάσετε για πιες τιμές τυ c η εξίσωση f(x) = c έχει λύσεις και πόσες. Να αιτιλγήσετε την απάντησή σας. ε) να εξετάσετε για πιες τιμές τυ α η ευθεία y = αx τέμνει τη γραφική παράσταση της f. στ) να βρείτε γραφικά και αλγεβρικά τις λύσεις της ανίσωσης x 1 1 x 4. Πρτείνεται να διατεθύν 5 ώρες Πρτείνεται να δθεί έμφαση στη χρήση των θεωρημάτων της υππαραγράφυ "Διαίρεση πλυωνύμυ με x ρ" και πι συγκεκριμένα, στη μεταξύ τυς σχέση και στη συνέπεια πυ έχυν για τη παραγντπίηση πλυωνύμυ. Για τ σχήμα Horner καλό είναι να εξηγηθεί η σχέση τυ με τυς συντελεστές πυ εμφανίζνται κατά τη διαδικασία της διαίρεσης (όπως στ εισαγωγικό παράδειγμα τυ σχλικύ βιβλίυ ή με άλλ αριθμητικό παράδειγμα) Πρτείνεται να γίνυν κατά πρτεραιότητα ι ασκήσεις 1 (i, iv),, 3 και 10 της Α Ομάδας. Να μη γίνυν ι ασκήσεις 1, και 5 της Β Ομάδας. 4.3 Πρτείνεται να διατεθύν 5 ώρες Στην ενότητα αυτή εισάγνται νέα εργαλεία για την παραγντπίηση πλυωνύμων μέσω της πίας επιλύνται στη συνέχεια πλυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις βαθμύ μεγαλύτερυ από. Αν και ι ακέραιες ρίζες ενός τυχαίυ πλυωνύμυ δεν εμφανίζνται συχνά, παρόλα αυτά τ θεώρημα είναι ένα χρήσιμ εργαλεί. Ωστόσ, για τη λύση πλυωνυμικής εξίσωσης, έμφαση πρέπει να δθεί στην πρτεραιότητα της παραγντπίησης τυ αντίστιχυ πλυωνύμυ. Ο πρσδιρισμός ρίζας με πρσέγγιση είναι ένα χρήσιμ αριθμητικό εργαλεί πυ μπρεί να συνδεθεί με τν τρόπ πυ θα μπρύσε να πρσδιρίσει κανείς μη ακέραια ρίζα αν είχε στη διάθεσή τυ κάπια υπλγιστική μηχανή. Κυρίως όμως, αυτή η μέθδς, επειδή στηρίζεται στη γεωμετρική ερμηνεία τυ Θ. Bolzano, υπστηρίζει την συναρτησιακή πρσέγγιση και την πτικπίηση των σχετιζόμενων εννιών. Πρτείνεται να γίνυν κατά πρτεραιότητα: Οι ασκήσεις 1, 4, 5, 6 και 8 της Α Ομάδας και πρβλήματα της Β Ομάδας, τα πία δηγύν στην επίλυση πλυωνυμικών εξισώσεων. Ενδεικτική δραστηριότητα 1: Μια βιμηχανία έχει υπλγίσει ότι για την ημερήσια παραγωγή x μνάδων από ένα πρϊόν έχει κόστς (x) x 10x 100 χιλιάδες ευρώ, ενώ η πώληση αυτών των xμνάδων της απφέρει έσδα E(x) x x 0x χιλιάδες ευρώ. Η βιμηχανία μπρεί να παράξει 3 40

102 μέχρι 0 μνάδες αυτύ τυ πρϊόντς καθημερινά. α) Πια παραγωγή δίνει έσδα ευρώ; β) Πόσες μνάδες πρϊόντς πρέπει να παράγει η βιμηχανία για να έχει κέρδς; Ενδεικτική δραστηριότητα : 3 Να εξετάσετε αν η εξίσωση x + x - = 0 έχει ρίζα μεταξύ των αριθμών 0 και 1. Να πρσδιρίσετε αυτή τη ρίζα με πρσέγγιση εκατστύ, χρησιμπιώντας υπλγιστή τσέπης. Μπρείτε με τν ίδι τρόπ να διαπιστώσετε αν υπάρχει ρίζα της εξίσωσης μεταξύ των αριθμών 1 και ; Ενδεικτική δραστηριότητα 3: Με τ μικρπείραμα «Πλυωνυμική εξίσωση 3υ βαθμύ» από τα εμπλυτισμένα σχλικά βιβλία, ι μαθητές διερευνύν τη σχέση των ριζών μιας πλυωνυμικής εξίσωσης 3υ βαθμύ, με τα σημεία στα πία η γραφική παράσταση της αντίστιχης πλυωνυμικής συνάρτησης τέμνει τν ριζόντι άξνα Πρτείνεται να διατεθύν 5 ώρες Στην ενότητα αυτή επιλύνται εξισώσεις και ανισώσεις πυ ανάγνται σε πλυωνυμικές, όπως άρρητες και κλασματικές εξισώσεις και ανισώσεις. Να δθεί έμφαση στ γεγνός ότι η ύψωση των μελών μιας εξίσωσης στ τετράγων δεν δηγεί πάντα σε ισδύναμη εξίσωση. Αυτό μπρεί να γίνει και με τη βήθεια των παρακάτω γραφικών παραστάσεων. Πρτείνεται να μη γίνυν ι ασκήσεις 3 και 4 της Β Ομάδας. Ενδεικτική δραστηριότητα: x 3 x 1 (Ε1). β) Να λύσετε την εξίσωση x 3 (x 1) (Ε) α) Να λύσετε την εξίσωση γ) Να εξηγήσετε γιατί η Ε 1 και η Ε δεν έχυν τις ίδιες ακριβώς λύσεις, αν και η Ε πρκύπτει από την Ε1 αν υψώσυμε και τα δύ μέλη της στ τετράγων. δ) Να λύσετε γραφικά τις εξισώσεις τυ α) και τυ β) ερωτήματς. Κεφάλαι 5 (Πρτείνεται να διατεθύν διδακτικές ώρες) 5.1 Πρτείνεται να διατεθύν 8 ώρες Η έννια της εκθετικής μεταβλής πυ συνδέεται με σημαντικό φαινόμενα της πραγματικότητας, μπρεί να απτελέσει την εισαγωγή στην εκθετική συνάρτηση. Αν και συχνά στα πραγματικά φαινόμενα πυ μελετάμε, ι τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής είναι διακριτές (συχνά είναι φυσικί αριθμί), τέτια φαινόμενα μπρύν να χρησιμπιηθύν για την μετάβαση στην εκθετική συνάρτηση, δηλαδή σε πεδί ρισμύ τυς πραγματικύς. Η έμφαση στη διδασκαλία της εκθετικής συνάρτησης πρέπει να είναι στα πρβλήματα και στις ιδιότητες της εκθετικής συνάρτησης όπως 41

103 πρκύπτυν από τη γραφική της παράσταση. Πρτείνεται να δθεί έμφαση στα πρβλήματα της Β Ομάδας, με πρτεραιότητα στις 6, 7 και 8. Ενδεικτική δραστηριότητα 1: Τα βακτήρια είναι πλύ μικρί, μνκύτταρι ργανισμί πυ είναι μακράν ι πι πλυπληθείς ργανισμί στη Γη, ι πίι αναπαράγνται μέσω μιας διεργασίας πυ νμάζεται διχτόμηση: ένα κύτταρ χωρίζεται στη μέση, σχηματίζντας δύ "θυγατρικά κύτταρα". Ένα τέτι βακτήρι είναι η σαλμνέλα (salmonella), τ πί σε θερμκρασία περιβάλλντς 35 C διαιρείται κάθε ώρα και σχηματίζνται δυ άλλα βακτήρια. Ας υπθέσυμε ότι σε μια μερίδα τρφής υπάρχυν 100 βακτήρια σαλμνέλας και ότι η θερμκρασία περιβάλλντς είναι 35 C. α) Να συμπληρώσετε τν παρακάτω πίνακα Χρόνς (σε ώρες) 0 Αριθμός βακτηρίων β) Να απτυπώσετε τα δεδμένα τυ πίνακα με σημεία σε κατάλληλ σύστημα ρθγωνίων αξόνων. Η σχέση μεταξύ τυ αριθμύ των βακτηρίων και χρόνυ είναι γραμμική; Να αιτιλγήσετε την απάντησή σας. γ) Να εκτιμήσετε τ χρόν πυ θα υπάρχυν α) 100 βακτήρια, β) βακτήρια και γ) περισσότερα από 7.00 βακτήρια στη μερίδα τρφής. δ) Να γράψετε μια σχέση πυ να εκφράζει τ πλήθς των βακτηρίων σαλμνέλας ως συνάρτηση τυ χρόνυ. Πι είναι τ πεδί ρισμύ της συνάρτησης ; ε) Μπρύμε να υπλγίσυμε ανά πάσα χρνική στιγμή τν πληθυσμό των βακτηρίων; Θα είχαν νόημα για τ συγκεκριμέν πρόβλημα ι αρνητικές τιμές για α) για τ χρόν και β) για τν πληθυσμό των βακτηρίων; Ενδεικτική δραστηριότητα : Να δθύν ι γραφικές παραστάσεις των ακόλυθων μάδων συναρτήσεων. Να ζητηθεί από τυς μαθητές να συγκρίνυν τα γραφήματά τυς και να πρσδιρίσυν τυχόν μιότητες και διαφρές πυ αφρύν α) τ πεδί ρισμύ, β) τ σύνλ τιμών, γ) τα σημεία τμής με τυς άξνες, δ) τη μντνία, ε) τις ασύμπτωτες και στ) τη συμμετρία. f1 (x) x, f (x) 3 x, f3 (x) 3 x, f 4 (x) 4 x. 1 f (x) x, g(x) x. 4 x f1 (x), f (x) x 3, f3 (x) x 3, f 4 (x) x f (x) x, g(x). x Ενδεικτική δραστηριότητα 3: Με τ μικρπείραμα «Η μντνία μιας εκθετικής συνάρτησης» από τα εμπλυτισμένα σχλικά βιβλία, ι μαθητές διερευνύν την έννια της μντνίας και τη μελέτη της μντνίας μιας εκθετικής συνάρτησης. Με τη βήθεια τυ λγισμικύ μεταβάλλυν τη βάση μιας εκθετικής συνάρτησης και παρατηρώντας τη γραφική της παράσταση βρίσκυν τη μντνία της με τη βήθεια τυ ρισμύ. 4

104 5. Πρτείνεται να διατεθύν 6 ώρες Η κατανόηση των λγαρίθμων και των ιδιτήτων τυς μπρεί να στηριχτεί στν ρισμό τυ λγαρίθμυ και στις ήδη γνωστές ιδιότητες των δυνάμεων. Μια πρσπάθεια απμνημόνευσης τύπων και τεχνασμάτων χωρίς νόημα δεν είναι απδτική και δεν ενθαρρύνεται. Έμφαση πρέπει να δθεί στα παραδείγματα 1 και πυ περιγράφυν την κλίμακα Richter για τη μέτρηση των σεισμών και τ ph για την ξύτητα ενός διαλύματς. Πρτείνεται να γίνυν κατά πρτεραιότητα ι ασκήσεις της Α Ομάδας με έμφαση στα πρβλήματα και ι ασκήσεις, 3, 5 της Β Ομάδας. Πρτείνεται να μη γίνυν ι ασκήσεις 6, 7 και 8 της Β Ομάδας. Ενδεικτική δραστηριότητα: Για απλό ήχ δεδμένης έντασης Ι, η ένταση τυ υπκειμενικύ αισθήματς πυ αντιλαμβάνεται κάπις ακρατής νμάζεται ακυστότητα L τυ ήχυ. Για την ακυστότητα L χρησιμπιείται ως μνάδα μέτρησης τ 1 decibel και για την ένταση Ι τ watt/m. Έχει βρεθεί πειραματικά ότι η ακυστότητα L σχετίζεται με την ένταση Ι με λγαριθμικό τρόπ, σύμφωνα με τν τύπ L 10 log I, όπυ Ι0 η μικρότερη ένταση ήχυ πυ μπρεί I0 να ακύσει τ αυτί τυ ανθρώπυ, και είναι περίπυ ίση με watt/m. Να υπλγίσετε την ακυστότητα απλύ ήχυ έντασης: α) 10 watt/m και β) δεκαπλάσιας από τ Ι Πρτείνεται να διατεθύν 8 ώρες Κατ' αντιστιχία με την εκθετική συνάρτηση, έμφαση θα πρέπει να δθεί σε πρβλήματα και στις ιδιότητες της λγαριθμικής συνάρτησης όπως πρκύπτυν από τη γραφική της παράσταση. Πρτείνεται να διδαχθύν μόν ι συναρτήσεις f(x)=logx και f(x)=lnx. Ωστόσ, για λόγυς κατανόησης της σχέσης με την αντίστιχη εκθετική συνάρτηση, θα μπρύσαν αν αναφερθύν και ι λγαριθμικές συναρτήσεις με βάση α, με 0<α<1, σε αυτή την περίπτωση όμως, θα πρέπει να επισημανθεί ότι η διδακτέα ύλη περιρίζεται στις f(x)=logx και f(x)=lnx. Πρτείνεται να γίνυν κατά πρτεραιότητα ι ασκήσεις:, 5, 6, 7 και 8 της Α Ομάδας και 1(i, iii), 3, 5, 7 και 8 της Β Ομάδας. Ενδεικτική δραστηριότητα: Πρτείνεται να χρησιμπιηθεί Λγαριθμική μεταβλή τ Κλίμακα μικρπείραμα Richter» από «τα εμπλυτισμένα σχλικά βιβλία, για την κατανόηση της λγαριθμικής μεταβλής. Με τη βήθεια τυ λγισμικύ, ι μαθητές από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης τυ μεγέθυς ενός σεισμύ σε κλίμακα Richter ως πρς την έντασή τυ, δημιυργύν εικασίες σχετικά με τη σχέση πυ έχυν αυτά τα δύ μεγέθη και τις απδεικνύυν αλγεβρικά. Στη συνέχεια, συγκρίνυν τις εντάσεις σεισμών πυ έχυν συμβεί στ παρελθόν και λύνυν τα πρβλήματα γραφικά και αλγεβρικά. Σημείωση: Μπρείτε να κατεβάσετε τις ψηφιακές δραστηριότητες και να τις ανίξετε τπικά με τ αντίστιχ λγισμικό. Αν δεν έχετε εγκατεστημέν τ λγισμικό, τότε αν πρόκειται για αρχεί με κατάληξη.ggb κατεβάστε και εγκαταστήστε τ Geogebra από τη διεύθυνση ή διαφρετικά ψάξτε για τ αντίστιχ λγισμικό στη 43

105 διεύθυνση Για να δείτε την πρεπισκόπηση των ψηφιακών δραστηριτήτων σε απευθείας σύνδεση (online), πρτιμήστε τν φυλλμετρητή Mozilla Firefox. Αν η εφαρμγή είναι σε flash θα πρέπει να εγκαταστήσετε τ πρόσθετ Adobe flash player από τη διεύθυνση Αν η εφαρμγή χρησιμπιεί τη Java (π.χ. Geogebra), τότε εγκαταστήστε την από τη διεύθυνση Αν συνεχίζετε να έχετε πρόβλημα στην πρεπισκόπηση, τότε πρσθέστε τις διευθύνσεις και στ exception site list στην καρτέλα security της Java (ανίξτε τ Control Panel, τη Java, στην καρτέλα security πατήστε Edit site list και πρσθέστε τις δύ διευθύνσεις, κλείστε τ browser και ξανανίξτε τν). 44

106 Γεωμετρία Β Τάξης Ημερήσιυ και Γ Εσπερινύ Γενικύ Λυκείυ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ-ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ Από τ βιβλί «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίυ Λυκείυ» των. Αργυρόπυλυ Η, Βλάμυ Π., Κατσύλη Γ., Μαρκάκη Σ. και Σιδέρη Π. o Κεφ. 7 : Αναλγίες 7.1. Εισαγωγή 7.4. Ανάλγα ευθύγραμμα τµήµατα Αναλγίες 7.5. Μήκς ευθύγραμμυ τµήµατς 7.6. Διαίρεση τµηµάτων εσωτερικά και εξωτερικά ως πρς δσμέν λόγ (χωρίς την απόδειξη της Πρότασης και χωρίς την υππαράγραφ Διερεύνηση ) 7.7. Θεώρημα τυ Θαλή (χωρίς τις απδείξεις των θεωρημάτων και τυ Πρίσματς και χωρίς τυς ρισμύς «συζυγή αρμνικά» και «αρμνική τετράδα») 7.8. Θεωρήματα των διχτόμων τριγώνυ (χωρίς τις απδείξεις των θεωρημάτων και χωρίς τν υπλγισμό των ευθυγράμμων τμημάτων στα πία η διχτόμς εσωτερική ή εξωτερική διαιρεί την απέναντι πλευρά) Κεφ. 8 : Ομιότητα 8.1. Όμια ευθύγραμμα σχήματα 8.. Κριτήρια μιότητας (χωρίς τις απδείξεις των θεωρημάτων I, ΙΙ και ΙΙΙ και τις εφαρμγές 1, και 3) ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Να μην διδαχθύν ι απδεικτικές ασκήσεις, τα σύνθετα θέματα και ι γενικές ασκήσεις από τα κεφάλαια 7 και 8. Κεφ. 9 : Μετρικές σχέσεις 9.1. Ορθές πρβλές 9.. Τ Πυθαγόρει θεώρημα 9.3. Γεωμετρικές κατασκευές 9.4. Γενίκευση τυ Πυθαγόρειυ θεωρήματς ( χωρίς την εφαρμγή ) Κεφ. 10 : Εμβαδά Πλυγωνικά χωρία 10.. Εμβαδόν ευθύγραμμυ σχήματς - Ισδύναμα ευθύγραµµα σχήματα Εμβαδόν βασικών ευθύγραμμων σχημάτων Άλλι τύπι για τ εμβαδόν τριγώνυ (χωρίς την απόδειξη των τύπων Ι και ΙΙΙ) Λόγς εμβαδών όμιων τριγώνων πλυγώνων (χωρίς την απόδειξη τυ Θεωρήματς ΙΙ) Κεφ. 11 : Μέτρηση Κύκλυ Ορισμός καννικύ πλυγώνυ 11.. Ιδιότητες και στιχεία καννικών πλυγώνων (χωρίς τις απδείξεις των θεωρημάτων και τυ Πρίσματς) Εγγραφή βασικών καννικών πλυγώνων σε κύκλ και στιχεία τυς (χωρίς τις εφαρμγές,3) Πρσέγγιση τυ μήκυς τυ κύκλυ µε καννικά πλύγωνα Μήκς τόξυ Πρσέγγιση τυ εμβαδύ κύκλυ µε καννικά πλύγωνα Εμβαδόν κυκλικύ τµέα και κυκλικύ τµήµατς Κεφ. 1 : Ευθείες και επίπεδα στ χώρ 1.1. Εισαγωγή 1.. Η έννια τυ επιπέδυ και καθρισμός τυ 45

107 1.3. Σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων 1.4. Ευθείες και επίπεδα παράλληλα Θεώρημα τυ Θαλή 1.5. Γωνία δύ ευθειών Ορθγώνιες ευθείες 1.6. Απόσταση σημείυ από επίπεδ Απόσταση δύ παραλλήλων επιπέδων II. Διαχείριση διδακτέας ύλης [Η κατανμή των διδακτικών ωρών πυ πρτείνεται είναι ενδεικτική. Μέσα σε αυτές τις ώρες περιλαμβάνεται χρόνς πυ θα χρειαστεί για ανακεφαλαιώσεις, γραπτές δκιμασίες, εργασίες κλπ. Οι ενδεικτικές δραστηριότητες πυ περιλαμβάννται στις παρύσες δηγίες ως επιπλέν διδακτικό υλικό πρέρχνται από τ πρόγραμμα σπυδών για τ λύκει και τν δηγό για τν εκπαιδευτικό πυ εκπνήθηκαν στ πλαίσι της πράξης "Νέ Σχλεί" και μπρύν να ανακτηθύν από τν ιστότπ τυ ΙΕΠ: ] Κεφάλαι 7 (Πρτείνεται να διατεθύν 5 διδακτικές ώρες). Στις παραγράφυς αυτές γίνεται πρώτη φρά λόγς για σύμμετρα και ασύμμετρα ευθύγραμμα τμήματα. Η έννια της ασυμμετρίας μπρεί να βηθήσει σημαντικά τυς μαθητές να ξεκαθαρίσυν την έννια τυ αρρήτυ αριθμύ. Επίσης, στόχι της διδασκαλίας, της παραγράφυ είναι: Να γίνει σύντμη αναφρά στις ιδιότητες των αναλγιών και να δθεί έμφαση στ Θεώρημα τυ Θαλή και στα Θεωρήματα διχτόμων. Μέσω παραδειγμάτων να κατανήσυν ι μαθητές ότι ζεύγη ευθυγράμμων τμημάτων διαφρετικών μηκών είναι δυνατόν να έχυν τν ίδι λόγ. Να εφαρμόζυν τ Θεώρημα τυ Θαλή, σε δσμένα σχήματα, ή σε σχήματα πυ χρειάζεται να σχεδιαστύν βηθητικές ευθείες. Να αναδειχθύν ι εφαρμγές τυ Θεωρήματς σε τρίγωνα και τραπέζια. Με χρήση των θεωρημάτων διχτόμυ, ι μαθητές να διαπιστώσυν τη δυνατότητα χωρισμύ ευθύγραμμυ τμήματς στν ίδι λόγ με σημεί πυ βρίσκεται στ εσωτερικό τυ ή την πρέκτασή τυ (Πρτείνεται, αν τ επιτρέπει διαθέσιμς χρόνς, να γίνει απόδειξη τυ Θεωρήματς τυ Θαλή, για συγκεκριμέν λόγ (π.χ. 3 ) και να αναφερθεί ότι γενικεύεται σε πιυσδήπτε ρητύς. 4 Πρτείνεται να γίνυν τα δύ πρβλήματα της παραγράφυ 7.7 και να δθεί έμφαση στις ερωτήσεις κατανόησης 1-3 και στις ασκήσεις εμπέδωσης 3-7 της ως άνω παραγράφυ. Ενδεικτική δραστηριότητα: Αν τα α,β και γ είναι γνωστά ευθύγραμμα τμήματα,να κατασκευάσετε τ ευθύγραμμ τμήμα χ ώστε να ισχύει α γ β χ. [Σχόλι: Η παραπάνω δραστηριότητα είναι πρόβλημα πυ λύνεται με τη βήθεια τυ Θεωρήματς τυ Θαλή.] Στ Κεφάλαι 7 δεν θα γίνυν απδεικτικές ασκήσεις, σύνθετα θέματα καθώς και ι γενικές ασκήσεις τυ κεφαλαίυ αυτύ. Κεφάλαι 8 (Πρτείνεται να διατεθύν 5 διδακτικές ώρες). Να δθεί έμφαση στα κριτήρια μιότητας τριγώνων. Στόχι είναι ι μαθητές: Να κατανήσυν τη λειτυργία κριτηρίων μιότητας, πυ όπως και τα κριτήρια ισότητας, με λιγότερες πρϋπθέσεις από τν ρισμό μπρύμε να απφανθύμε για την μιότητα δύ τριγώνων. 46

108 Να συσχετίσυν την ισότητα με την μιότητα τριγώνων και να εντπίσυν διαφρές. Παρατηρήσεις: Αν υπάρχει χρόνς αρκεί να γίνει η απόδειξη ενός μόν κριτηρίυ μιότητας τριγώνων. Η εφαρμγή 4 της παραγράφυ 8. θα χρειασθεί στη συνέχεια για να απδειχθεί τύπς (iii) της παραγράφυ 10.4, για τ εμβαδόν τριγώνυ. Τ Κεφάλαι πρσφέρεται για τη συζήτηση εφαρμγών πυ ήδη θίγνται στ σχλικό βιβλί (μέτρηση ύψυς απρόσιτων σημείων, χρήση εξάντα). Ενδεικτική δραστηριότητα 1: (α) Δύ ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και ΓΔ ή ι πρεκτάσεις τυς τέμννται σε ένα σημεί Μ και ισχύει ΜΑ ΜΒ ΜΓ ΜΔ. Να απδείξετε, σε κάθε περίπτωση, ότι τα σημεία Α, Β, Γ και Δ είναι κρυφές εγγράψιμυ τετραπλεύρυ. (β) Να εξετάσετε αν ισχύει τ αντίστρφ της παραπάνω πρότασης. Ενδεικτική δραστηριότητα : Λ Δίνεται τρίγων ΑΒΓ με πλευρές ΑΒ=, ΑΓ=4 και τη γωνία Α 60. Να κατασκευάσετε τρίγωνα όμια πρς τ ΑΒΓ με λόγ μιότητας 1, και 1. Στ Κεφάλαι 8 δεν θα γίνυν απδεικτικές ασκήσεις, σύνθετα θέματα καθώς και ι γενικές ασκήσεις τυ κεφαλαίυ αυτύ. Κεφάλαι 9 (Πρτείνεται να διατεθύν 8 διδακτικές ώρες) (Πρτείνεται να διατεθύν 5 διδακτικές ώρες) Στόχι της διδασκαλίας είναι ι μαθητές: Να μπρύν να σχεδιάζυν ρθές πρβλές. Να ερμηνεύυν τις μετρικές σχέσεις με πρβλές 9. ως απτέλεσμα μιότητας τριγώνων και να τις χρησιμπιύν σε επίλυση πρβλημάτων. Να εφαρμόζυν τ Πυθαγόρει Θεώρημα και τ αντίστρφό τυ στην επίλυση πρβλημάτων. Παρατηρήσεις: Στις παραγράφυς αυτές η άσκπη ασκησιλγία αλγεβρικύ χαρακτήρα δε συνεισφέρει στην κατανόηση της Γεωμετρίας. Πρτείνεται να γίνει τ σχόλι της εφαρμγής ως σύνδεση με την επόμενη παράγραφ. Να μη γίνυν τα σύνθετα θέματα 4, 6. Στην παράγραφ αυτή είναι σκόπιμ να διατεθεί χρόνς ώστε να σχλιαστεί τ ιστρικό σημείωμα για την ανακάλυψη των ασύμμετρων μεγεθών και να γίνυν και ι 3 κατασκευές (υπτείνυσα και κάθετη πλευρά ρθγωνίυ τριγώνυ, μέση ανάλγς, άρρητα πλλαπλάσια ευθύγραμμυ τμήματς πυ δίνυν και τν τρόπ κατασκευής ευθυγράμμων τμημάτων με μήκς τετραγωνική ρίζα φυσικύ αφρμή για μία σύντμη συζήτηση για τη δυνατότητα κατασκευής ή μη των αρρήτων). Επίσης μπρεί να γίνει αναφρά στην 7.3 στην πία γίνεται λόγς για την κατασκευή αρρήτων μεγεθών. Ενδεικτική δραστηριότητα 1: Να κατασκευάσετε ρθές πρβλές α) τυ Ο, των ευθυγράμμων τμηματων ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ και ΗΘ στην ευθεία ε και β) της ΑΒ πάνω στην ΒΓ στα δύ παρακάτω σχήματα. 47

109 (α) (β) Ενδεικτική δραστηριότητα : Τ πρόβλημα 3 πρτείνεται να γίνει με πι διερευνητικό τρόπ με τ μικρπείραμα «Κατασκευή ασύμμετρων τμημάτων (Η σπείρα τυ Κυρηναίυ)» από τα εμπλυτισμένα σχλικά βιβλία, για την γεωμετρική κατασκευή ασύμμετρων ευθυγράμμων τμημάτων. Ενδεικτική δραστηριότητα 3: (α) Να κατασκευάσετε με κανόνα και διαβήτη, τη μέση ανάλγ β, δύ εθυγράμμων τμημάτων α και γ. (β) Να βρείτε τη σχέση τυ μήκυς ΑΔ τυ ύψυς ρθγωνίυ τριγώνυ ΑΒΓ (με Α=90 ) με τ γεωμετρικό μέσ των μηκών ΒΔ και ΔΓ. Πι στιχεί τυ τριγώνυ είναι αριθμητικός μέσς των μηκών ΒΔ και ΔΓ; Να απδείξετε ότι αριθμητικός μέσς είναι μεγαλύτερς ή ίσς τυ γεωμετρικύ μέσυ. Πότε ισχύει η ισότητα; [Σχετική με τις μετρικές σχέσεις της παραγράφυ 9.] Ενδεικτική δραστηριότητα 4: Δίνεται ευθύγραμμ τμήμα ΑΒ. Να κατασκευάσετε με κανόνα και διαβήτη τα τμήματα ΑΒ και 3ΑΒ. [Σχετική με τ Πυθαγόρει Θεώρημα] 9.4 (Πρτείνεται να διατεθύν 3 διδακτικές ώρες). Στόχι είναι ι μαθητές να χρησιμπιύν τ Γενικευμέν Πυθαγόρει Θεώρημα για να διακρίνυν αν ένα τρίγων είναι ξυγώνι, ρθγώνι ή αμβλυγώνι και να χρησιμπιύν τ νόμ των συνημιτόνων σε επίλυση πρβλημάτων. Παρατηρήσεις: Στην παράγραφ 9.4 πρτείνεται να μην αναλωθεί επιπλέν διδακτικός χρόνς για άσκπη ασκησιλγία αλγεβρικύ τύπυ. 48

110 Να μη γίνυν τα σύνθετα θέματα της παραγράφυ 9.4. Να μη γίνυν ι γενικές ασκήσεις τυ Κεφαλαίυ. Ενδεικτική δραστηριότητα: Ένα πλί κινείται με κατεύθυνση από τ Α πρς τ Σ. Από τη στιγμή πυ βρίσκεται στη θέση Α και μέχρι την λκλήρωση της πρείας τυ, ασκύνται σε αυτό πλαγιμετωπικί άνεμι πυ τ ωθύν με δύναμη μέτρυ F1 πυ σχηματίζει γωνία ω με την επιθυμητή πρεία πλεύσης. Ο καπετάνις, πρκειμένυ να διατηρήσει σταθερή την πρεία, δίνει εντλή να στραφεί τ πηδάλι κατά φ μίρες. Αν ι πρπέλες ωθύν τ πλί με σταθερή δύναμη μέτρυ F1 μπρείτε να περιγράψετε έναν τρόπ με τν πί μπρεί να πρσδιριστεί η γωνία φ; Κεφάλαι 10 (Πρτείνεται να διατεθύν 10 διδακτικές ώρες) (Πρτείνεται να διατεθύν 5 διδακτικές ώρες). Παρατηρήσεις & στόχι: Οι μαθητές να διακρίνυν τα ισδύναμα (ισεμβαδικά) από τα ίσα σχήματα. Με κατάλληλυς μετασχηματισμύς και χρήση βηθητικών γραμμών ι μαθητές να υπλγίζυν εμβαδά από άλλα ήδη γνωστά τυς. Πρτείνεται, αν υπάρχει χρόνς, να γίνυν ι 3 εφαρμγές (με την παρατήρηση της εφαρμγής ) και ι δραστηριότητες. Θα μπρύσε να γίνει η απόδειξη τυ Πυθαγρείυ θεωρήματς μέσω εμβαδών, όπως παρατίθεται στα στιχεία τυ Ευκλείδη και αναφέρεται στ ιστρικό σημείωμα στ τέλς τυ Κεφαλαίυ. Πρτεινόμενες ασκήσεις: Οι ερωτήσεις κατανόησης. Από τις ασκήσεις εμπέδωσης ι 3 και 6. Από τις απδεικτικές ασκήσεις ι 1, 4, 7 και 8. Να μη γίνυν τα σύνθετα θέματα 1 και 5. Ενδεικτική δραστηριότητα 1: (α) Να χωρίσετε ένα τρίγων σε τέσσερα ίσα τρίγωνα φέρνντας κατάλληλες ευθείες και στη συνέχεια να συγκρίνετε τ εμβαδόν κάθε τριγώνυ με τ εμβαδόν τυ αρχικύ. (β) Να χωρίσετε ένα παραλληλόγραμμ σε δύ, τρία, τέσσερα ίσα παραλληλόγραμμα. Στη συνέχεια να συγκρίνετε τ εμβαδόν κάθε παραλληλγράμμυ με τ εμβαδόν τυ αρχικύ παραλληλγράμμυ. (γ) Να χωρίσετε ένα τρίγων με ευθεία πυ διέρχεται από την κρυφή σε δύ τρίγωνα με λόγ εμβαδών 1. 3 Ενδεικτική δραστηριότητα : Η ερώτηση κατανόησης 1 πρτείνεται να γίνει με πι διερευνητικό τρόπ με τ μικρπείραμα «Τύπι υπλγισμύ εμβαδών» από τα εμπλυτισμένα σχλικά βιβλία, για την κατανόηση των τύπων των εμβαδών βασικών γεωμετρικών σχημάτων και τις απδείξεις τυς (Πρτείνεται να διατεθύν διδακτικές ώρες). Παρατηρήσεις και στόχι: -Nα γίνει απλή εφαρμγή των τύπων. Οι μαθητές να μπρύν να λύνυν απλά πρβλήματα υπλγισμύ εμβαδών, με αυτύς. 49

111 -Αν υπάρχει χρόνς, να γίνει η απόδειξη τυ τύπυ (iii). -Να εξηγηθεί συμβλισμός της ημιπεριμέτρυ. -Μία επιλγή ασκήσεων θα μπρύσε να είναι: Οι ερωτήσεις κατανόησης 1 και. Από τις ασκήσεις εμπέδωσης ι 3 και 4. Από τις απδεικτικές ι 1, 3 και 5. -Να μη γίνυν τα σύνθετα θέματα 1, (Πρτείνεται να διατεθύν 3 διδακτικές ώρες). Στόχς είναι ι μαθητές να συσχετίσυν τ λόγ μιότητας δύ σχημάτων με τ λόγ των περιμέτρων τυς και τ λόγ των εμβαδών τυς. Να μη γίνυν τα σύνθετα θέματα της παραγράφυ Ενδεικτική δραστηριότητα: α) Να απδείξετε τ θεώρημα διχτόμων με χρήση εμβαδών. β) Να απδείξετε τ Πυθαγόρει Θεώρημα με τη βήθεια των εμβαδών και να τ γενικεύσετε με την κατασκευή εξωτερικά των πλευρών τυ μίων σχημάτων (πρτείνεται η χρήση λγισμικύ δυναμικής γεωμετρίας). Κεφάλαι 11 (Πρτείνεται να διατεθύν 11 διδακτικές ώρες) (Πρτείνεται να διατεθύν διδακτικές ώρες). Παρατηρήσεις: Στην παράγραφ 11.1 μπρεί να γίνει μία υπενθύμιση της έννιας τυ κυρτύ πλυγώνυ και των στιχείων τυ, όπως αναφέρεται στην παράγραφ.0 πυ είναι εκτός της ύλης της Α Λυκείυ. Πρτείνεται να γίνει η παρατήρηση και τ σχόλι (πυ χρειάζνται για την επόμενη παράγραφ). Μπρεί να γίνει μία αναφρά στ ρόλ των καννικών πλυγώνων στη φύση, την τέχνη και τις επιστήμες (βιβλί καθηγητή για επέκταση της απδεικτικής άσκησης 1 και συσχέτιση με τη διακόσμηση με καννικά πλύγωνα). Να μη γίνυν τα σύνθετα θέματα. Στόχι είναι ι μαθητές να αναγνωρίζυν τα καννικά πλύγωνα, να διακρίνυν τη γωνία τυς, από την κεντρική τυς γωνία και να μπρύν να υπλγίζυν στιχεία καννικών πλυγώνων. Δεν κρίνεται σκόπιμ να χρησιμπιύν έτιμυς τυς τύπυς τυ θεωρήματς Ι της παραγράφυ 11. Ενδεικτική δραστηριότητα 1: Ο ρόμβς και τ ρθγώνι είναι καννικά πλύγωνα; Τι πρέπει να ισχύει για να είναι; Ενδεικτική δραστηριότητα : Με τ μικρπείραμα «Η εξωτερική γωνία ενός καννικύ πλυγώνυ» με τ πί ι μαθητές εμπλέκνται σε διαδικασίες κατασκευής καννικών ν-γώνων εγγεγραμμένων σε κύκλ με στόχ να ανακαλύψυν τη σχέση πυ συνδέει την εξωτερική γωνία τυ καννικύ ν-γώνυ με τ πλήθς ν των πλευρών τυ. Οι μαθητές εκτελύν απλές διαδικασίες σε γλώσσα Logo πυ δημιυργύν μια ανικτή τεθλασμένη γραμμή με δυ κρυφές της πάνω σε κύκλ και πειραματίζνται διρθώνντας τις αρχικές διαδικασίες, ώστε τ απτέλεσμα της εκτέλεσής τυς να είναι καννικό ν-γων εγγεγραμμέν σε κύκλ. To μικρπείραμα έχει δημιυργηθεί με χρήση εργαλείων συμβλικής έκφρασης μέσω τυ πργραμματισμύ (Χελωνόκσμς) (Πρτείνεται να διατεθύν διδακτικές ώρες). Παρατηρήσεις: Βάσει τυ σχλίυ και της παρατήρησης της πρηγύμενης παραγράφυ, ι μαθητές μπρύν μόνι τυς να δηγηθύν στην εγγραφή των βασικών καννικών πλυγώνων σε κύκλ, όπως πρτείνεται και στ βιβλί τυ καθηγητή. 50

112 Πρτείνεται να δθεί έμφαση στην εφαρμγή 1 και στη συνέχεια να γίνει η δραστηριότητα 1. Δεν πρτείνεται να γίνυν ασκήσεις αλγεβρικύ τύπυ με χρήση των έτιμων τύπων τυ πίνακα της παραγράφυ Πρτείνεται ι μαθητές να κατανήσυν πώς μεταβάλλνται τα στιχεία ενός καννικύ πλυγώνυ σε δσμέν κύκλ, όταν αυξάνεται αριθμός των πλευρών τυ (βλέπε ενδεικτική δραστηριότητα) Να μη γίνυν τα σύνθετα θέματα. Ενδεικτική δραστηριότητα: Σε κύκλ κέντρυ Ο και ακτίνας ρ να εγγράψετε τετράγων και στη συνέχεια καννικό κτάγων. Συνεχίστε την ίδια διαδικασία με την εγγραφή δεκαεξαγώνυ κ..κ. Πις είναι τύπς πυ περιγράφει τ πλήθς των πλευρών μετά από ν βήματα της κατασκευής; Τι συμβαίνει με τ μήκς των πλευρών; 11.4, 11.5, 11.6, 11.7 (Πρτείνεται να διατεθύν 7 διδακτικές ώρες). Να αφιερωθεί χρόνς για τη διαδικασία πρσέγγισης τόσ για τν υπλγισμό τυ μήκυς τυ κύκλυ όσ και για τν υπλγισμό τυ εμβαδύ τυ. Παρατηρήσεις: Οι παράγραφι αυτές μπρύν να πρετιμάσυν τυς μαθητές πυ θα ακλυθήσυν τη θετική κατεύθυνση για την εισαγωγή στις άπειρες διαδικασίες με φυσιλγικό τρόπ, μέσω αναφράς στην μέθδ της εξάντλησης. Η σύνδεση μεθόδων τυ Αρχιμήδη με μεθόδυς πυ χρησιμπιήθηκαν περίπυ δύ χιλιετίες μετά, στην απαρχή τυ απειρστικύ λγισμύ, έχει ευρύτερ ενδιαφέρν για όλυς τυς μαθητές Θα μπρύσαν να αναφερθύν κάπια επιπλέν στιχεία για τν αριθμό π, αλλά θα πρέπει να διευκρινιστεί τι είναι αλγεβρικός και τι υπερβατικός αριθμός (για την παράγραφ 11.8). Να μη γίνει τ σύνθετ θέμα. Πρτείνεται να δθεί έμφαση στις εφαρμγές (μηνίσκι τυ Ιππκράτη) και στη δραστηριότητα. Στόχι είναι ι μαθητές: Να περιγράφυν και να ερμηνεύυν τν τρόπ με τν πί πρσεγγίζεται τ μήκς και τ εμβαδόν τυ κύκλυ Να βρίσκυν τ μήκς τόξυ ως συνάρτηση της ακτίνας. Να υπλγίζυν τ εμβαδόν ενός κυκλικύ τμέα. Να χρησιμπιύν τα παραπάνω συμπεράσματα και δεξιότητες σε πρβλήματα με μεικτόγραμμα σχήματα. Ενδεικτική δραστηριότητα: Να σχεδιάσετε κύκλ με κέντρ Ο και ακτίνα 4. Στη συνέχεια να κατασκευάσετε τ καννικό εγγεγραμμέν και τ καννικό περιγεγραμμέν εξάγων στν κύκλ. α) Να βρείτε τις περιμέτρυς των δύ εξαγώνων. β) Τι συμπεραίνετε για τ μήκς τυ κύκλυ; γ) Μπρείτε να βρείτε ακριβέστερ τρόπ πρέγγισης τυ μήκυς τυ κύκλυ; Να τεκμηριώσετε την απάντησή σας με αριθμητικά απτελέσματα. [Σχόλια:Αυτή η δραστηριότητα είναι εισαγωγική στην παράγραφ 11.4 και μπρεί να γίνει και με τη βήθεια λγισμικύ δυναμικής γεωμετρίας.επίσης μπρεί να επεκταθεί και στην πρσέγγιση εμβαδύ κύκλυ με κατάλληλη τρππίηση των ερωτημάτων.] Κεφάλαι 1 (Να διατεθύν 11 ώρες) (Να διατεθύν ώρες) Να γίνει μετάβαση από τις έννιες της επίπεδης Γεωμετρίας σε αυτές της Γεωμετρίας τυ χώρυ, για παράδειγμα: Επίπεδη γωνία (σημεί, δύ ημιευθείες) και δίεδρη γωνία (ευθεία, δύ ημιεπίπεδα) ή ακόμα τετράγων στ επίπεδ και κύβς στ χώρ. Να τνιστεί η διαφρά μεταξύ παραλλήλων και ασύμβατων ευθειών. Πρτείνεται: Να αναφερθύν με τη βήθεια σχημάτων τα αξιώματα Ι, ΙΙ, ΙΙΙ και IV της παραγράφυ

113 Οι πρτάσεις πυ πρκύπτυν, στην ίδια παράγραφ, να αναφερθύν επίσης, χωρίς απόδειξη ή παρυσιάζντας ενδεικτικά την απόδειξη της πρότασης Ι. Να αναφερθύν τα αξιώματα V και VI της παραγράφυ 1.3. Σε αυτό τ σημεί μπρύν να πρκύψυν μέσα από συζήτηση στην τάξη ι τυπικί ρισμί: Των παραλλήλων ευθειών ( 1.), των παραλλήλων επιπέδων, της παράλληλης ευθείας σε επίπεδ ( 1.3). Είναι σκόπιμ ι μαθητές να πρσπαθήσυν να κατασκευάσυν τυς ρισμύς. Ο ρισμός των ασύμβατων ευθειών να δθεί μετά την απόδειξη τυ θεωρήματς της 1.3. Να δθύν μόν ερωτήσεις κατανόησης και ασκήσεις εμπέδωσης (και όχι απδεικτικές), ως εργασία για τ σπίτι ή την τάξη. Ενδεικτική δραστηριότητα 1: Οι σχετικές θέσεις ευθείας και επιπέδυ πρτείνεται να διερευνηθύν με τ μικρπείραμα «Σχετικές θέσεις ευθείας και επιπέδυ» από τα εμπλυτισμένα σχλικά βιβλία. Ενδεικτική δραστηριότητα : Οι σχετικές θέσεις δύ επιπέδων στ χώρ πρτείνεται να διερευνηθύν με τ μικρπείραμα «Σχετικές θέσεις δύ επιπέδων» από τα εμπλυτισμένα σχλικά βιβλία (Να διατεθεί ώρες) Να αναγνωρίσυν τ μεσκάθετ επίπεδ σε ευθύγραμμ τμήμα καθώς και τ μεσπαράλληλ επίπεδ ως γεωμετρικύς τόπυς, κατ αντιστιχία με την μεσκάθετ ευθυγράμμυ τμήματς και τη μεσπαράλληλη δυ παραλλήλων ευθειών. Πρτείνεται: Να αναφερθύν τα Θεωρήματα και τα πρίσματα της παραγράφυ ως απτελέσματα. Μπρεί, αν υπάρχει χρόνς, να γίνει η απόδειξη τυ Θεωρήματς IV. Τ θεώρημα τυ Θαλή να μη απδειχθεί. Αν υπάρχει χρόνς και ανάλγα με τις διδακτικές επιλγές τυ διδάσκντα, μπρεί να γίνει διερευνητικά με την πρτεινόμενη ενδεικτική δραστηριότητα 1. Να γίνει, από τ διδάσκντα, μία επιλγή μόν από τις ασκήσεις εμπέδωσης και, αν κριθεί σκόπιμ, η άσκηση 3 από τις απδεικτικές (βλέπε ενδεικτική δραστηριότητα ). Ενδεικτική δραστηριότητα 1: Τ θεώρημα τυ Θαλή πρτείνεται να γίνει με πι διερευνητικό τρόπ με τ μικρπείραμα «Τ θεώρημα τυ Θαλή σε ασύμβατες ευθείες» από τα εμπλυτισμένα σχλικά βιβλία, για την παραλληλία και την καθετότητα ευθειών στ χώρ και την απόδειξη τυ θεωρήματς τυ Θαλή σε ασύμβατες ευθείες. Ενδεικτική δραστηριότητα : Η άσκηση 3 από τις απδεικτικές, πρτείνεται να γίνει με πι διερευνητικό τρόπ με τ μικρπείραμα «Οι διαγώνιες τυ στρεβλύ 5

114 τετραπλεύρυ» από τα εμπλυτισμένα σχλικά βιβλία, για τις ιδιότητες των διαγωνίων τυ στρεβλύ τετραπλεύρυ (Να διατεθύν 3 ώρες) Σε αυτή την παράγραφ εισάγεται η νέα έννια της γωνίας δύ ασύμβατων ευθειών, πυ εππτικά σχετίζεται με την πρβλή στ επίπεδ και της καθετότητας ευθείας και επιπέδυ. Οι έννιες αυτές γενικεύυν την έννια της γωνίας, πυ εδώ πρσδιρίζεται από μια γωνιακή σχέση μεταξύ δύ σχημάτων τυ χώρυ. Π.χ. ι ασύμβατες ευθείες δε σχηματίζυν γωνία όπως την ξέρυν ι μαθητές, αλλά έχυν μια γωνιακή σχέση, μέσω της πρβλής μιας εκ των δύ στ επίπεδ της άλλης. Πρτείνεται: Οι μαθητές να κάνυν εικασίες για τα εξής ερωτήματα: Πώς μπρύμε να ρίσυμε μια γωνία μεταξύ δύ ασύμβατων ευθειών; Πότε θα χαρακτηρίζαμε μία ευθεία και ένα επίπεδ κάθετα μεταξύ τυς; Στη συνέχεια να κατασκευαστύν ι ρισμί στην τάξη και να συγκριθύν με τυς τυπικύς ρισμύς τυ βιβλίυ. Να απδειχθεί τ κριτήρι καθετότητας ευθείας σε επίπεδ και τ θεώρημα των τριών καθέτων. Να γίνει επιλγή από τις ερωτήσεις κατανόησης και τις ασκήσεις εμπέδωσης. 1.6 (Να διατεθύν 4 ώρες) Στην παράγραφ 1.6 πρτείνεται να δθύν ι ρισμί και να γίνυν ι εφαρμγές ως δραστηριότητες στην τάξη. Επίσης πρτείνεται να γίνει περιρισμένς αριθμός από τις ασκήσεις εμπέδωσης, ανάλγς με την εκτίμηση και τν διδακτικό πργραμματισμό τυ διδάσκντα. Επίσης πρτείννται ι παρακάτω δραστηριότητες: Ενδεικτική δραστηριότητα 1: Να βρείτε τ γεωμετρικό τόπ των σημείων τυ χώρυ πυ απέχυν ίσες απστάσεις από: α) Δύ σημεία, β) τρία σημεία. Ενδεικτική δραστηριότητα : Λ Δίνεται γωνία xo y σε ένα επίπεδ Π. Να βρείτε τν γεωμετρικό τόπ των σημείων τυ Λ χώρυ πυ απέχυν ίσες απστάσεις από τις πλευρές της γωνίας xo y. Σημείωση: Μπρείτε να κατεβάσετε τις ψηφιακές δραστηριότητες και να τις ανίξετε τπικά με τ αντίστιχ λγισμικό. Αν δεν έχετε εγκατεστημέν τ λγισμικό, τότε αν πρόκειται για αρχεί με κατάληξη.ggb κατεβάστε και εγκαταστήστε τ Geogebra από τη διεύθυνση ή διαφρετικά ψάξτε για τ αντίστιχ λγισμικό στη διεύθυνση Για να δείτε την πρεπισκόπηση των ψηφιακών δραστηριτήτων σε απευθείας σύνδεση (online), πρτιμήστε τν φυλλμετρητή Mozilla Firefox. Αν η εφαρμγή είναι σε flash θα πρέπει να εγκαταστήσετε τ πρόσθετ Adobe flash player από τη διεύθυνση Αν η εφαρμγή χρησιμπιεί τη Java (π.χ. Geogebra), τότε εγκαταστήστε την από τη διεύθυνση Αν συνεχίζετε να έχετε πρόβλημα στην πρεπισκόπηση, τότε πρσθέστε τις διευθύνσεις και στ exception site list στην καρτέλα security της Java (ανίξτε τ Control Panel, τη Java, στην καρτέλα security πατήστε Edit site list και πρσθέστε τις δύ διευθύνσεις, κλείστε τ browser και ξανανίξτε τν). 53

115 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ I. Διδακτέα ύλη Από τ βιβλί «Μαθηματικά Θετικής και Τεχνλγικής Κατεύθυνσης Β Τάξης Γενικύ Λυκείυ» των Αδαμόπυλυ Λ., Βισκαδυράκη Β., Γαβαλά Δ., Πλύζυ Γ. και Σβέρκυ Α. Κεφ. 1 : Διανύσματα 1.1. Η Έννια τυ Διανύσματς. 1.. Πρόσθεση και Αφαίρεση Διανυσμάτων Πλλαπλασιασμός Αριθμύ με Διάνυσμα (χωρίς τις Εφαρμγές 1 και ) Συντεταγμένες στ Επίπεδ (Χωρίς την απόδειξη της υππαραγράφυ «Συντεταγμένες Διανύσματς», χωρίς την Εφαρμγή στη σελ. 35 και χωρίς την απόδειξη της συνθήκης παραλληλίας διανυσμάτων) Εσωτερικό Γινόμεν Διανυσμάτων (χωρίς την απόδειξη τυ τύπυ της αναλυτικής έκφρασης Εσωτερικύ Γινμένυ) και χωρίς την παράγραφ «Πρβλή διανύσματς σε διάνυσμα». Κεφ. : Η Ευθεία στ Επίπεδ.1. Εξίσωση Ευθείας... Γενική Μρφή Εξίσωσης Ευθείας (χωρίς την εφαρμγή )..3. Εμβαδόν Τριγώνυ (χωρίς τις απδείξεις των τύπων της απόστασης σημείυ από ευθεία, τυ εμβαδύ τριγώνυ και χωρίς την Εφαρμγή 1). Κεφ. 3 : Κωνικές Τμές 3.1. Ο Κύκλς (χωρίς τις παραμετρικές εξισώσεις τυ κύκλυ). 3.. Η Παραβλή (χωρίς την απόδειξη της εξίσωσης της παραβλής, την απόδειξη τυ τύπυ της εφαπτμένης και την Εφαρμγή 1 στη σελ. 96) Η Έλλειψη (χωρίς την απόδειξη της εξίσωσης της έλλειψης, τις παραμετρικές εξισώσεις της έλλειψης, την εφαπτμένη της έλλειψης και χωρίς τις εφαρμγές) Η Υπερβλή (χωρίς την απόδειξη της εξίσωσης της υπερβλής, την απόδειξη τυ τύπυ των ασύμπτωτων και την εφαπτμένη της υπερβλής) Μόν η υππαράγραφς «σχετική θέση ευθείας και κωνικής». ΣΗΜΕΙΩΣΗ Α) Δεν θα διδαχθύν ι ασκήσεις Β μάδας των παραγράφων 3., 3.3 και 3.4. υ Β) Από τις γενικές ασκήσεις τυ 3 Κεφαλαίυ δεν θα διδαχθύν ασκήσεις πυ αναφέρνται στις παραπάνω παραγράφυς (Παραβλή, Έλλειψη και Υπερβλή). Γ) Όσν αφρά στις πρτεινόμενες δραστηριότητες, επαφίεται στην κρίση τυ διδάσκντα η επιλγή εκείνων πυ θα εφαρμόσει στην τάξη. Ωστόσ, καλό είναι να εμπλυτιστεί τ μάθημα με τ συγκεκριμέν υλικό. II. Διαχείριση διδακτέας ύλης [Η κατανμή των διδακτικών ωρών πυ πρτείνεται είναι ενδεικτική. Μέσα σε αυτές τις ώρες περιλαμβάνεται χρόνς πυ θα χρειαστεί για ανακεφαλαιώσεις, γραπτές δκιμασίες, εργασίες κλπ. Οι ενδεικτικές δραστηριότητες πυ περιλαμβάννται στις παρύσες δηγίες ως επιπλέν διδακτικό υλικό πρέρχνται από τ πρόγραμμα σπυδών για τ λύκει και τν δηγό για τν εκπαιδευτικό πυ εκπνήθηκαν στ πλαίσι της πράξης "Νέ Σχλεί" και μπρύν να ανακτηθύν από τν ιστότπ τυ ΙΕΠ: ] Κεφάλαι 1 (Πρτείνεται να διατεθύν 16 διδακτικές ώρες). 54

116 Εισαγωγή Στην τάξη αυτή ι μαθητές θα εμβαθύνυν στν λγισμό των διανυσμάτων. Πι συγκεκριμένα θα γίνει αναφρά: Στν ρισμό τυ διανύσματς, τα χαρακτηριστικά τυ και στη σχέση μεταξύ διανυσμάτων (παράλληλα, ίσα, αντίθετα, γωνία διανυσμάτων). Στν ρισμό των πράξεων της πρόσθεσης, της αφαίρεσης, τυ πλλαπλασιασμύ αριθμύ με διάνυσμα (βαθμωτός πλλαπλασιασμός). Στ γραμμικό συνδυασμό διανυσμάτων. Στ εσωτερικό γινόμεν διανυσμάτων. Στην παράσταση διανύσματς σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. Τα παραπάνω απτελύν απαραίτητες γνώσεις πρκειμένυ να γίνει κατανητή η θεμελίωση της Αναλυτικής Γεωμετρίας τυ επιπέδυ πυ ακλυθεί, καθώς και η αντιμετώπιση πλλών καταστάσεων της πραγματικής ζωής και πρβλημάτων της Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Εστίαση σε σημαντικές ιδέες στ κεφάλαι των διανυσμάτων Τ διάνυσμα απτελεί χαρακτηριστικό παράδειγμα έννιας πυ δμήθηκε από τη στενή αλληλεπίδραση Μαθηματικών και Φυσικής. Ένα διάνυσμα μπρεί να αναπαρίσταται με διαφρετικύς τρόπυς. Ως πρσανατλισμέν ευθύγραμμ τμήμα (γεωμετρική αναπαράσταση) και ως αλγεβρικό αντικείμεν με τη βήθεια συντεταγμένων. Πρτάσεις και θεωρήματα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας απδεικνύνται με χρήση των διανυσμάτων. 1.1, 1. Πρτείνεται να διατεθύν και ώρες αντίστιχα Τ διάνυσμα εισάγεται ως πρσανατλισμέν ευθύγραμμ τμήμα. Οι πράξεις της πρόσθεσης και τυ πλλαπλασιασμύ διανύσματς με αριθμό, παρυσιάζνται με τη βήθεια της γεωμετρικής εππτείας και τνίζεται ιδιαίτερα ότι ένα πιδήπτε διάνυσμα διαφρά ΑΒ μπρεί να γραφτεί ως ΟΒ ΟΑ, όπυ Ο είναι ένα πιδήπτε σημεί τυ χώρυ. 1.3 Πρτείνεται να διατεθύν ώρες Α) Να τνιστεί ότι η ικανή και αναγκαία συνθήκη παραλληλίας δύ διανυσμάτων α / /β α λβ β 0 χρησιμπιείται για την απόδειξη της συγγραμμικότητας τριών σημείων. Β) Επειδή αρκετί μαθητές αντιλαμβάννται τν τύπ ΟΜ ΟΑ ΟΒ ως διαίρεση διανύσματς με αριθμό, καλό είναι να τνισθεί ότι η γραφή αυτή είναι μία σύμβαση και στην πραγματικότητα τ μέλς είναι γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων ΟΑ και ΟΒ, δηλαδή 1 1 ΟΜ ΟΑ ΟΒ. Γ) Να γίνυν ασκήσεις μόν από την Α μάδα. 1.4 Πρτείνεται να διατεθύν 4 ώρες Α) Να δθεί έμφαση στ γεγνός ότι ένα διάνυσμα μπρεί να αναπαρίσταται με διαφρετικύς τρόπυς. Ως πρσανατλισμέν ευθύγραμμ τμήμα (γεωμετρική αναπαράσταση) και ως αλγεβρικό αντικείμεν με τη βήθεια συντεταγμένων. Να τνισθεί επίσης η μναδικότητα της έκφρασης διανύσματς με τις συντεταγμένες τυ. Η έννια των διανυσμάτων είναι σημαντική στη γεωμετρία εάν αναλγιστεί κανείς ότι η αμφιμνσήμαντη αντιστιχία ενός σημείυ τυ επιπέδυ με ένα διατεταγμέν ζεύγς πραγματικών αριθμών δηγεί στην «αλγεβρπίηση» της Γεωμετρίας, δηλαδή στη μελέτη των γεωμετρικών σχημάτων με αλγεβρικές μεθόδυς. Β) Πριν αναφερθεί η συνθήκη παραλληλίας διανυσμάτων, εκπαιδευτικός να δώσει τν ρισμό της ρίζυσας δύ διανυσμάτων, πίς βρίσκεται πρς τ τέλς της παραγράφυ. Ενδεικτικά: Ονμάζυμε ρίζυσα δύ διανυσμάτων α x1, y 1 και β x, y και τη συμβλίζυμε με 55

117 x1 y1 x y x1 y1 τν πραγματικό αριθμό συντεταγμένες τυ διανύσματς α διανύσματς x y x1, y 1 x 1 y y1 x, όπυ η 1η γραμμή είναι ι η και η γραμμή είναι ι συντεταγμένες τυ β x, y. Την ρίζυσα των διανυσμάτων συμβλίζυμε και με α x1, y 1 και β x, y με τη σειρά πυ δίννται, τη det α,β. Δηλαδή det α,β Γενικότερα, η παράσταση D x1 y1 x y x1 y1 x y x 1 y y1 x. x 1 y y1 x νμάζεται ρίζυσα και είναι ένας πραγματικός αριθμός. 1.5 Πρτείνεται να διατεθύν 6 ώρες Α) Να μην διδαχθεί η υππαράγραφς «Πρβλή διανύσματς σε διάνυσμα» Β) Να μη γίνυν: Οι ασκήσεις 8, 9 και 10 και 1 της Α Ομάδας. Οι ασκήσεις 1, 3, 9 και 10, 11 της Β Ομάδας. Οι Γενικές Ασκήσεις. Σχόλι Πρτείνεται να γίνυν ως δραστηριότητες κάπιες από τις ερωτήσεις κατανόησης όπως για παράδειγμα, ι ερωτήσεις 6, 7 και 13. Ιδιαίτερα, η 13 θα αντιμετωπιστεί με τν ρισμό τυ εσωτερικύ γινμένυ, αφύ η πρβλή πλέν δεν διδάσκεται, με στόχ την κατανόηση τυ ρόλυ της γωνίας και ότι δεν ισχύει η ιδιότητα της διαγραφής στ εσωτερικό γινόμεν. Πρτεινόμενες Δραστηριότητες Ας δύμε τώρα μερικές δραστηριότητες πυ μπρύμε να υλπιήσυμε στην τάξη με τυς μαθητές μας. Η πρώτη δραστηριότητα συνδέει τα Μαθηματικά με τη Φυσική. Η δεύτερη δραστηριότητα δίνει τη δυνατότητα στ μαθητή να συνδέει, διατυπώνει και απδεικνύει πρτάσεις της Ευκλείδειας Γεωμετρίας με τ διανυσματικό λγισμό, αλλά να ακλυθεί και την αντίστρφη πρεία. Τέλς, η 1 τρίτη δραστηριότητα αναφέρεται σε ένα πρόβλημα από τν πραγματικό κόσμ, όπυ ι μαθητές μντελπιύν τ πρόβλημα με χρήση των διανυσμάτων και απαντύν στ τέλς με τη φυσική γλώσσα. Αν και είναι αυτνόητ, επισημαίνεται ότι αν ένα πρόβλημα απαιτεί τύπυς ή σχέσεις από άλλ επιστημνικό πεδί, αυτά δίννται στυς μαθητές. Δραστηριότητα 1 Η δύναμη τυ διαγράμματς έχει μέτρ Fp 0N και σχηματίζει γωνία o με τ ριζόντι έδαφς. Τ βαγνάκι σύρεται 100m κατά μήκς τυ εδάφυς. α) Να υπλγίστε τ έργ της δύναμης όταν η γωνία είναι 30o. β) Επιλέξτε δύ άλλες τιμές για τη γωνία και o υπλγίστε τ έργ σε κάθε περίπτωση. Συγκρίνντας τα απτελέσματα μπρείτε να διατυπώσετε κάπια εικασία; ΣΧΟΛΙΟ Η συγκεκριμένη δραστηριότητα στχεύει να συνδέσει τα μαθηματικά με τη φυσική και εφαρμγές 1 Η συγκεκριμένη δραστηριότητα έχει αλιευθεί από τ βιβλί: THOMAS Απειρστικός λγισμός, Τόμς ΙΙ των Finney, Weir & Giordano, σελ. 697, ΠΕΚ, Ηράκλει

118 τυ πραγματικύ κόσμυ. Εστιάζει στ γεγνός ότι τ έργ δεν είναι τίπτα άλλ, παρά τ εσωτερικό γινόμεν δύ διανυσματικών μεγεθών. Της δύναμης και της μετατόπισης. Δραστηριότητα r r r r r τυ επιπέδυ ικανπιύν τη σχέση. r r Να εξετάσετε αν η συγκεκριμένη σχέση ικανπιείται για πιαδήπτε διανύσματα και τυ Τα διανύσματα i) ii) r και επιπέδυ ή μόν σε συγκεκριμένες περιπτώσεις. Πρσπαθήστε να ερμηνεύσετε γεωμετρικά τ πρηγύμεν συμπέρασμά σας. Ενδεικτική λύση Η συγκεκριμένη δραστηριότητα συνδέει τ διανυσματικό λγισμό με την Ευκλείδεια Γεωμετρία. Στ πρώτ ερώτημα αναμένεται, ι μαθητές να εφαρμόσυν τις ιδιότητες τυ εσωτερικύ γινμένυ και εργαζόμενι, κυρίως αλγεβρικά, να καταλήξυν ότι η συγκεκριμένη σχέση ισχύει αν και μόν αν τα διανύσματα είναι κάθετα. Με τ δεύτερ ερώτημα επιχειρύμε να πτικπιήσυν ι μαθητές τη δθείσα σχέση. Έτσι, με σημεί αναφράς τ Ο θα κατασκευάζυν τα διανύσματα r r uuur uuur uuur uuur r uuur r και, πότε θα είναι, όπως φαίνεται και στ σχήμα. Οι μαθητές, στη συνέχεια, αναμένεται να ερμηνεύσυν τα μέτρα των διανυσμάτων ως μήκη ευθυγράμμων τμημάτων, πότε τη σχέση r r r r θα την γράψυν στη μρφή: (ΑΒ) =(ΟΑ) +(ΟΒ), για να καταλήξυν στ συμπέρασμα ότι ισχύει, αν και μόν αν τ τρίγων ΟΑΒ r r είναι ρθγώνι, δηλαδή αν και μόν αν τα διανύσματα και είναι κάθετα. Δραστηριότητα 3 Ένα αερσκάφς πυ πετά πρς ανατλάς με ταχύτητα 500 km/h απυσία ανέμυ, συναντά άνεμ 0 ταχύτητας 70 km/h, πυ πνέει σε κατεύθυνση 60 ανατλική-βρεινατλική (ι κατευθύνσεις ρίζυν γωνία η πία μετριέται από την πρώτη κατεύθυνση δηλ. την ανατλική, πρς τη δεύτερη κατεύθυνση, δηλ τη βρειανατλική). Τ αερπλάν διατηρεί τν πρσανατλισμό τυ πρς ανατλάς, ωστόσ λόγω τυ ανέμυ, η ταχύτητα τυ ως πρς τ έδαφς απκτά νέ μέτρ και κατεύθυνση. Βρείτε τη νέα κατεύθυνση τυ αερσκάφυς. Ενδεικτική λύση r Έστω u η ταχύτητα τυ αερσκάφυς πριν r v η ταχύτητα r τυ ανέμυ. Τότε έχυμε: u 500 και r v 70. Ζητείται τ μέτρ και η φρά της r r συνισταμένης u v. Υπθέτυμε ότι θετικός ημιάξνας των x δείχνει πρς την Ανατλή και θετικός ημιάξνας των y την επίδραση τυ ανέμυ και 57

119 r πρς τν Βρρά. Στ σύστημα αυτό τ διάνυσμα u 500, 0 και τ r r r 0 0 v 70 60, , Επμένως, u v 535, 35 3 r r u v και συνεπώς 538, 4. πυ σχηματίζει η κατεύθυνση τυ αερσκάφυς με την ανατλική 35 3 κατεύθυνση ισχύει:. 535 Επιπλέν, για τη γωνία Ερμηνεία: Η νέα ταχύτητα τυ αερσκάφυς θα είναι περίπυ 538,4 km/h, ενώ η νέα πρεία τυ 0 είναι περίπυ 6,5 ανατλική-βρειανατλική. Β τρόπς r r Μπρύμε να υπλγίσυμε τ u v με χρήση τυ εσωτερικύ τετραγώνυ και τη γωνία των r r r διανυσμάτων u και u v με χρήση τυ εσωτερικύ γινμένυ. Κεφάλαι (Πρτείνεται να διατεθύν 14 διδακτικές ώρες) Εισαγωγή Κατά τη φίτηση τυς στ Γυμνάσι, ι μαθητές έχυν έλθει ήδη σε επαφή με έννιες της Αναλυτικής Γεωμετρίας. Στην Β Λυκείυ σκπεύυμε σε περαιτέρω εμβάθυνση θεμελιωδών ζητημάτων της Αναλυτικής Γεωμετρίας. Τα θέματα πυ σχετίζνται με την ευθεία παρυσιάζνται συστηματικότερα και με μεγαλύτερη πληρότητα και ακρίβεια. Τνίζεται η σημασία τυ συντελεστή διεύθυνσης (κλίσης) μιας ευθείας, με τη βήθεια τυ πίυ διατυπώννται ι συνθήκες παραλληλίας και καθετότητας δύ ευθειών. Επιπλέν, πρσδιρίζνται ι διάφρες μρφές της εξίσωσης της ευθείας, η γενική της μρφή, καθώς και τ σύνλ των ευθειών πυ διέρχνται από ένα σημεί. Με τη διδασκαλία αυτής της ενότητας επιδιώκεται ι μαθητές να εξικειωθύν με τις μεθόδυς της Αναλυτικής Γεωμετρίας, καθώς και να κατανήσυν τις δυνατότητες πυ παρέχει ως μαθηματικό εργαλεί στη διερεύνηση και απόδειξη πρτάσεων της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, αλλά και σε περιχές άλλων επιστημών. Πρτείνεται, η διδασκαλία της ευθείας να έχει ως στόχ, να μπρύν ι μαθητές να απαντύν στις παρακάτω ερωτήσεις: Με πιν τρόπ συνδέεται η κλίση της ευθείας, λόγς μεταβλής μεταξύ δύ σημείων της και συντελεστής διεύθυνσης διανύσματς παράλληλυ πρς αυτήν; Πώς ελέγχυμε αν δύ ευθείες είναι παράλληλες ή κάθετες με χρήση των συντελεστών διεύθυνσης; Πώς ελέγχυμε αν δύ ευθείες είναι παράλληλες ή κάθετες όταν μία τυλάχιστν εκ των δύ δεν έχει συντελεστή διεύθυνσης. Πώς βρίσκυμε την εξίσωση ευθείας όταν: α) διέρχεται από γνωστό σημεί και έχει γνωστό συντελεστή διεύθυνσης ή είναι παράλληλη στν x x, β) δίννται δύ σημεία της, γ) δίνεται ένα σημεί της και είναι παράλληλη σε γνωστό διάνυσμα; Πώς απδεικνύυμε ότι ένα σημεί ανήκει σε μια ευθεία και ότι τρία σημεία είναι συνευθειακά; Είναι σημαντικό να κατανήσυν ι μαθητές ότι ένα σημεί ανήκει στην ευθεία αν και μόν αν ι συντεταγμένες τυ επαληθεύυν την εξίσωσή της. Πια είναι η γενική μρφή εξίσωσης ευθείας και με πι τρόπ πρσδιρίζυμε ένα διάνυσμα κάθετ και ένα διάνυσμα παράλληλ με βάση τη γενική μρφή της εξίσωσης; Πιες είναι ι σχετικές θέσεις δύ ευθειών στ επίπεδ και πώς διερευνάται αλγεβρικά τ συγκεκριμέν ερώτημα με χρήση των ριζυσών;.1 Πρτείνεται να διατεθύν 4 ώρες. Πρτείνεται να δθεί ιδιαίτερη έμφαση στυς διαφρετικύς τρόπυς με τυς πίυς μπρεί να εκφρασθεί συντελεστής διεύθυνσης ευθείας και στ ότι δεν ρίζεται συντελεστής διεύθυνσης για την ευθεία πυ είναι παράλληλη στν άξνα y y. Να τνισθεί επίσης, ότι από τ σημεί 58

120 Μ x0, y0 διέρχνται ι ευθείες με εξισώσεις: y y0 λ x x0 και x x0.. Πρτείνεται να διατεθύν 6 ώρες Να δθεί έμφαση όχι μόν στη γενική μρφή εξίσωσης ευθείας, αλλά και στη σχέση πυ υπάρχει μεταξύ των συντελεστών της εξίσωσης και των συντεταγμένων τυ διανύσματς πυ είναι παράλληλ ή κάθετ πρς την ευθεία. Στην παράγραφ αυτή εισάγεται η διαδικασία επίλυσης τυ γραμμικύ συστήματς χ με τη μέθδ των ριζυσών, σε συνδυασμό με τη σχετική θέση δύ ευθειών στ επίπεδ. Επειδή δεν περιέχεται τ σχετικό θέμα στ σχλικό βιβλί, πρτείνεται η παρακάτω διδακτική πρεία. Ας είναι Α1 x1 Β1 y1 Γ1 0 με Α1 0 ή Β1 0 Α x1 Β y1 Γ 0 με Α 0 ή Β 0 ι εξισώσεις δύ ευθειών ε1 και ε στ επίπεδ αντίστιχα. Τις εξισώσεις αυτές μπρύμε να τις γράψυμε ισδύναμα ως εξής: Α1 x1 Β1 y1 Γ1 με Α1 0 ή Β1 0 Α x Β y Γ με Α 0 ή Β Τότε λέμε ότι έχυμε ένα γραμμικό σύστημα δύ εξισώσεων με δύ αγνώστυς ή αλλιώς ένα γραμμικό σύστημα (χ). Τα διανύσματα η1 Α1, Β1 και η Α, Β είναι κάθετα στις ευθείες ε1 και ε αντίστιχα. Επμένως, θα πρσδιρίζυν και τη σχετική θέση των ευθειών αυτών. Η ρίζυσα των διανυσμάτων η1 και η, η det η1, η Α1 Β 1 Α Β, επειδή σχηματίζεται από τυς συντελεστές των αγνώστων τυ συστήματς (1), νμάζεται ρίζυσα τυ συστήματς και συμβλίζεται με D, δηλαδή D Α1 Β 1 Α Β. Διακρίνυμε τις περιπτώσεις: Αν τα διανύσματα η1 Α1, Β1 και η Α, Β δεν είναι συγγραμμικά, τότε ισδύναμα det η1, η 0 Επμένως, ι ευθείες Α1 Β 1 Α Β 0 D 0 () ε1 και ε τέμννται. Τ σημεί τμής έχει συντεταγμένες τη μναδική λύση τυ συστήματς (1). Αν D 0, τότε ισδύναμα τα η1 και η είναι συγγραμμικά και επμένως, ι ευθείες ε1 και ε είναι παράλληλες. Να τνιστεί ότι η έννια της παραλληλίας νείται υπό την αναλυτική της έκφραση. Δηλαδή, ι ευθείες είτε δεν έχυν κανένα κινό σημεί, είτε ταυτίζνται και έχυν άπειρα κινά σημεία. Επμένως, όταν D 0, τότε τ σύστημα (1) είτε είναι αδύνατ, είτε έχει άπειρες λύσεις αντίστιχα. Εναλλακτική πρσέγγιση Αντί των καθέτων διανυσμάτων, θα μπρύσαμε να χρησιμπιήσυμε τα διανύσματα δ1 Β1, Α1 και δ Β, Α πυ είναι παράλληλα στις ευθείες ε1 και ε αντίστιχα. Τότε τα διανύσματα θα πρσδιρίζυν και τη σχετική θέση των ευθειών αυτών. Διακρίνυμε τις περιπτώσεις: Αν τα διανύσματα δ1 Β1, Α1 και δ Β, Α δεν είναι συγγραμμικά, τότε 59

121 det δ1, δ 0 Η τελευταία σχέση γράφεται και D Β1 Α 1 Β Α Α1 Β1 Α Β 0 Β 1 Α Α 1 Β 0 0 (). Η συγκεκριμένη ρίζυσα πυ απτελείται από τυς συντελεστές των αγνώστων τυ συστήματς, λέγεται ρίζυσα τυ συστήματς. Η σχέση () σημαίνει ισδύναμα ότι ι ευθείες ε1 και ε τέμννται και τ σημεί τμής έχει συντεταγμένες τη μναδική λύση τυ συστήματς (1). Όταν τα διανύσματα είναι παράλληλα, τότε det δ1, δ 0 Αφύ τα διανύσματα ευθείες β1 α 1 β α 0 β 1 α α 1β 0 D 0 δ1 β1, α1 και δ β, α είναι παράλληλα, τότε και ι αντίστιχες ε1 και ε είναι παράλληλες. Να τνιστεί ότι η έννια της παραλληλίας νείται υπό την αναλυτική της έκφραση. Δηλαδή, ι ευθείες είτε δεν έχυν κανένα κινό σημεί, είτε ταυτίζνται και έχυν άπειρα κινά σημεία. Επμένως, όταν D 0, τότε τ σύστημα είτε είναι αδύνατ, είτε έχει άπειρες λύσεις. Σχόλι Πραιρετικά διδάσκων θα μπρύσε, με τη βήθεια των ριζυσών, να πρχωρήσει στη διερεύνηση των συνθηκών κάτω από τις πίες ι παράλληλες ευθείες δεν έχυν κανένα κινό σημεί ή συμπίπτυν. Για παράδειγμα: Οι ευθείες ε1 και ε τέμνυν έναν τυλάχιστν από τυς άξνες. Έστω ότι τέμνυν τν y y. Τότε, η ε1 τν τέμνει στ σημεί με τεταγμένη τεταγμένη Γ. Στην περίπτωση αυτή, ι ευθείες ε1 και ε : Β Γ1 και η ε στ σημεί με Β1 Συμπίπτυν αν και μόνν αν Γ Β Γ1 Γ Γ1Β Β1Γ Γ1Β Β1Γ Dx 0 Γ Β Β1 Β όπυ Dx Γ1 Β1 Γ Β. Η ρίζυσα Dx πρκύπτει από την ρίζυσα D, αν η στήλη των συντελεστών x αντικατασταθεί από τυς σταθερύς όρυς τυ συστήματς (1). Με παρόμι τρόπ Α1 Γ1 πρκύπτει και η ρίζυσα Dy, για την πία εύκλα διαπιστώνυμε ότι Dy 0. Να Α Γ τυ σημειωθεί ότι σε όλες τις περιπτώσεις υπάρχει συντελεστής αγνώστυ διαφρετικός από τ μηδέν. Δεν έχυν κανένα κινό σημεί αν κα μόνν αν Γ Β Γ1 Γ Γ1Β Β1Γ Γ1Β Β1Γ Dx 0 Γ Β Β1 Β Συμπερασματικά ΟΡΙΖΟΥΣΑ ΣΧΕΤΙΚΗ ΘΕΣΗ ΔΥΟ ΕΥΘΕΙΩΝ ΛΥΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 60

122 D 0 D 0 Μναδική λύση Οι ευθείες τέμννται (μναδικό κινό σημεί) x Οι ευθείες δεν έχυν κανένα κινό σημεί ή Οι ευθείες συμπίπτυν (άπειρα κινά σημεία) Dy Dx και y D D Αδύνατ ή Άπειρες λύσεις Να τνιστεί με απλά αριθμητικά παραδείγματα ότι στην περίπτωση όπυ ι συντελεστές Α1, Β, Α, Β1 δεν είναι μηδέν η συνθήκη D Α1Β Α Β1 0 δηλώνει ότι ι συντελεστές είναι ανάλγι και ι ευθείες έχυν ίσυς συντελεστές διεύθυνσης, ενώ ι ρίζυσες D x, D y καθρίζυν αν η αναλγία ισχύει και για τυς συντελεστές Γ1, Γ, πότε ι ευθείες ταυτίζνται, ή δεν ισχύει πότε ι ευθείες είναι παράλληλες. Πρτείνεται να διδαχθύν ασκήσεις παραμετρικών συστημάτων από τ βιβλί της Άλγεβρας Β Λυκείυ υπό τ πρίσμα της σχετικής θέσης δύ ευθειών. Η διδακτική πρεία πυ θα επιλεγεί δεν θα είναι στην εξεταστέα ύλη. Οι μαθητές όμως πρέπει να γνωρίζυν και να χρησιμπιύν σε ασκήσεις τα συμπεράσματα τυ παραπάνω πίνακα..3 Πρτείνεται να διατεθύν 4 ώρες Πριν δθύν ι τύπι της απόστασης σημείυ από ευθεία και τυ εμβαδύ τριγώνυ, ι μαθητές να επεξεργαστύν δραστηριότητες, όπως ι παρακάτω δύ: 1 : Δίννται η ευθεία και τ σημεί A η 5,. Να βρεθύν: i) Η εξίσωση της ευθείας ζ πυ διέρχεται από τ A και είναι κάθετη στην ε. ii) Οι συντεταγμένες τυ σημείυ τμής της ζ με την ε. iii) Η απόσταση τυ A από την ε. Στη συνέχεια, να δηλωθεί στυς μαθητές ότι με ανάλγ τρόπ μπρεί να απδειχθεί τύπς απόστασης ενός σημείυ από μία ευθεία, πίς και να δθεί. A 5,, B, 3 και Γ 3, 4. Να βρεθύν: i) Η εξίσωση της ευθείας ΒΓ. ii) Τ ύψς ΑΔ τυ τριγώνυ ΑΒΓ και iii) Τ εμβαδόν τυ τριγώνυ ΑΒΓ. η : Δίννται τα σημεία Στη συνέχεια, να δηλωθεί στυς μαθητές ότι με ανάλγ τρόπ μπρεί να απδειχθεί τύπς τυ εμβαδύ τριγώνυ τυ πίυ είναι γνωστές ι συντεταγμένες των κρυφών. Β) Να μη γίνυν: Η άσκηση 7 της Β Ομάδας. Από τις Γενικές Ασκήσεις ι 3, 4, 5, 6 και 7. Πρτεινόμενες Δραστηριότητες σε όλ τ κεφάλαι Ας δύμε τώρα μερικές δραστηριότητες πυ μπρύμε να υλπιήσυμε στην τάξη με τυς μαθητές μας Δραστηριότητα 1 Να συμπληρώσετε τα κενά στν παρακάτω πίνακα Κλίση ευθείας Γωνία ευθείας με τν άξνα x x Συντελεστής διεύθυνσης διανύσματς y y1 x x

123 Διάνυσμα παράλληλ πρς την ευθεία Σημεία της ευθείας r 1, 3 r 3, 3 0, 1 και 3, 1, 3 1 και 3, 0, και 3, 3 3, 3 r Οι μαθητές καλύνται να συμπληρώσυν τα κενά και να συνδέσυν έτσι την κλίση της ευθείας, τ y y συντελεστή διεύθυνσης τυ παράλληλυ διανύσματς και τ πηλίκ διαφρών 1. Αναμένεται x x1 να παρατηρήσυν ότι ι τιμές των τριών μεγεθών ταυτίζνται και κατά συνέπεια εκφράζυν την ίδια μαθηματική έννια. Δραστηριότητα Θεωρύμε τις ευθείες με εξισώσεις: 1 3 x 1 3 y 8 1 x 3 y 1 r r α) Να πρσδιρίσετε δύ διανύσματα u1 και u πυ να είναι κάθετα στις ευθείες 1 και αντίστιχα και να βρείτε τα μέτρα τυς. β) Να βρείτε την ξεία γωνία πυ σχηματίζυν ι ευθείες μεταξύ τυς. γ) Να βρείτε τ σημεί τμής των ευθειών. Δραστηριότητα 3 (Επίλυση γεωμετρικύ πρβλήματς με άλγεβρα) Να απδείξετε ότι ι διαγώνιες ενός παραλληλγράμμυ διχτμύνται. Ενδεικτική λύση Τ ζητύμεν απτελεί μία από τις βασικές ιδιότητες των παραλληλγράμμων. Αυτό πυ θέλυμε όμως τώρα, είναι να την απδείξυμε με χρήση της άλγεβρας. Επιλέγυμε λιπόν ένα κατάλληλ σύστημα συντεταγμένων. Η καταλληλότητα έχει να κάνει με τη χρήση όσ τ δυνατόν λιγότερων αγνώστων. Για παράδειγμα, θα μπρύσαμε να έχυμε τ διπλανό σχήμα με τυς άξνες. Θεωρώντας τ σημεί 0,0 ως αρχή των αξόνων, τ σημεί uuur, 0 και τ σημεί,. Τότε,, πότε τ σημεί έχει τις ίδιες συντεταγμένες. Άμεσα πρκύπτει ότι ι συντεταγμένες τυ μέσυ τυ τμήματς ΑΓ είναι, όπως ακριβώς συμβαίνει και με τις συντεταγμένες τυ μέσυ τυ ΒΔ. Επμένως, ι διαγώνιι τυ παραλληλγράμμυ διχτμύνται. Δραστηριότητα 4 Με τη χρήση τυ λγισμικύ GeoGebra να επιλέξετε τρεις δρμείς Α, Β, Γ και να παραστήσετε r r n Α, Β και δ Β, Α, καθώς και την ευθεία ε με εξίσωση r r Αx Βy Γ. Να υπλγίσετε επιπλέν τ μέτρ της γωνίας των διανυσμάτων n και δ, καθώς και r τ μέτρ της γωνίας πυ σχηματίζει τ διάνυσμα n με την ευθεία ε και, στη συνέχεια, να γραφικά τα διανύσματα 6

124 απαντήσετε στα παρακάτω ερωτήματα: r r Πια είναι η σχέση των διανυσμάτων n και δ, τόσ μεταξύ τυς, όσ και με την ευθεία ε, όταν μεταβάλλυμε τ Α ή τ Β; ii) Πώς κινείται η ευθεία ε, όταν μεταβάλλυμε μόν τ Α ή μόν τ Β ή μόν τ Γ; Για να απαντήσετε στ ερώτημα αυτό ενεργπιείστε τ ίχνς της ευθείας ε και μεταβάλλετε διαδχικά τυς δρμείς Α, Β, Γ, αφύ πρηγυμένως διατηρήσετε στην επιφάνεια εργασίας μόν την ευθεία και τυς δρμείς και απκρύψετε όλα τα υπόλιπα (βλέπε παρακάτω σχήμα ). iii) Απδείξτε τν πρηγύμεν ισχυρισμό σας. i) Δραστηριότητα 5 Δίνεται η παρακάτω ικγένεια γραμμικών εξισώσεων: ελ : λ λ x λ y λ 3λ, λ R. Με τ λγισμικό GEOGEBRA επιλέξτε ένα δρμέα λ πυ να παίρνει τιμές από -0 έως 0 με αύξηση 0, και παραστήστε γραφικά την i) ελ Μετακινήστε τ δρμέα για να μεταβάλλετε τις τιμές τυ λ και απαντήστε στ ερώτημα: «Τι παριστάνει η ελ για τις διάφρες τιμές τυ λ 0 ii) Πάρτε δύ τιμές τυ λ, για παράδειγμα λ 1, λ 0 ;» Απδείξτε τν ισχυρισμό σας. λ, παραστήστε γραφικά τις ε1 και ε, βρείτε τις και τί για συντεταγμένες τυ σημείυ τμής τυς Α και επιβεβαιώστε αλγεβρικά την απάντησή σας. iii) Ενεργπιήστε τ ίχνς της ε λ, μετακινήστε τ δρμέα για να μεταβάλλετε τις τιμές τυ λ και ελέγξτε αν ι ε λ, λ R διέρχνται όλες από τ σημεί Α. Επαληθεύσατε την εικασία σας αλγεβρικά. Κεφάλαι 3 63