ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ [Κεφ. 2.4: Ρυθμός Μεταβολής του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ [Κεφ..4: Ρυθμός Μεταβλής τυ σχλικύ βιβλίυ]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα 1. Δίνεται η συνάρτηση f() = 3 3. α) Να βρεθεί ρυθμός μεταβλής της f ως πρς στ σημεί 0 = 0. β) Για πιες τιμές τυ ρυθμός μεταβλής της f ως πρς είναι θετικός και για πιες αρνητικός; γ) Να βρεθεί ρυθμός μεταβλής τυ συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτμένης της C f στ Α(,f()) ως πρς στ 0 = 1. α) Η f είναι παραγωγίσιμη με f () = 3 3 τότε ρυθμός μεταβλής της f ως πρς στ 0 = 0 θα είναι f (0) = = 3. β) τ πρόσημ της f () φαίνεται στν παρακάτω πίνακα. Άρα για (-,-1) (1,+ ) o ρυθμός μεταβλής είναι θετικός. Ενώ για (-1,1) o ρυθμός μεταβλής είναι αρνητικός. γ) Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτμένης της C f στ Α(,f()) είναι f () = 3 3. Τότε ρυθμός μεταβλής της f () ως πρς θα ισύται με f () = 6. Άρα ρυθμός μεταβλής στ 0 = 1 θα είναι f (1)= 6 1=6. Αν αναζητύμε τ ρυθμό μεταβλής μιας συνάρτησης f, με τύπ y = f(), ως πρς στ 0 αρκεί να υπλγίσυμε τ f ( 0 ). 1

2 Παράδειγμα. Μια εταιρία εκτιμά ότι τ κόστς παραγωγής μνάδων ενός από τα πρϊόντα της δίνεται από τη σχέση K() = ευρώ, ενώ η τιμή πώλησης από την συνάρτηση E() = 00 ευρώ. Nα βρείτε τ ριακό κέρδς για πώληση 15 μνάδων τυ πρϊόντς. Η συνάρτηση πυ συνδέει τ κέρδς P,τ κόστς Κ και τις πωλήσεις Ε είναι: P() = E() K() (1) Παραγωγίζντας τη (1) θα πάρυμε P () = E () K () () Όπυ K () = και E () = 00 Τότε η () θα δώσει P () = 00 ( ) = To ριακό κέρδς για πώληση 15 μνάδων τυ πρϊόντς ισύται με τ ρυθμό μεταβλής τυ κέρδυς για =15 άρα P (15) = = = 5 μν./μν.παραγ. Σε πρβλήματα της ικνμίας εκφράζυμε τ κόστς Κ, τ κέρδς P και την είσπραξη Ε μέσω τυ τύπυ P() = E() K() και παραγωγίζντας τα δυ μέλη της παραπάνω εξίσωσης εμφανίζυμε τυς αντίστιχυς ρυθμύς μεταβλής.

3 Παράδειγμα 3. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπ f() = e. α. Να βρείτε τ ρυθμό μεταβλής της για = 1. β. Να υπλγίσετε τ όρι e e lim 1. 1 α. Έχυμε f() = e, με D f =, πότε της συνάρτησης για = 1 είναι e. = e και ( ) f () f 1 = e, δηλαδή ρυθμός μεταβλής β. Παρατηρύμε ότι f (1) = e, επμένως e e f() f(1) lim = lim = f (1) = e Αν δύ μεταβλητά μεγέθη, y συνδένται με τη σχέση y παραγωγίσιμη στ την παράγωγ f ( 0 ). = f(), όταν f είναι μία συνάρτηση o, τότε νμάζυμε ρυθμό μεταβλής τυ y ως πρς τ στ σημεί o 3

4 Παράδειγμα 4. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπ f () =. α. Να βρείτε τ ρυθμό μεταβλής της για =. β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτμένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στ =. α. Έχυμε f () =, με D f =, πότε f () = και f () = =, δηλαδή ρυθμός μεταβλής της συνάρτησης για = είναι. β. Η εξίσωση της εφαπτμένης στ = είναι ( ) ( ) y f = f ( ) και επειδή f( ) = = 0, παίρνυμε y = ( ) y = 4. Ο ρυθμός μεταβλής μιας συνάρτησης f στ 0 Df, ισύται με τ συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτμένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στ 0. 4

5 ΘΕΜΑ Γ Παράδειγμα 1. Ένα κινητό ξεκινάει από την αρχή των αξόνων και κινείται κατά μήκς της καμπύλης y = 1, [1, + ). Σε πι σημεί Μ της καμπύλης ρυθμός μεταβλής της τετμημένης τυ Μ είναι τριπλάσις τυ ρυθμύ μεταβλής της τεταγμένης y αν y (t)>0 για κάθε t 0; Έστω =(t), y=y(t) ι συντεταγμένες τυ Μ τη χρνική στιγμή t. Έχυμε y(t) = (t) 1 τότε y (t)= 1 (t) 1 (t) (1) Αλλά ρυθμός μεταβλής τυ, (t) είναι τριπλάσις από τν ρυθμό μεταβλής τυ y, y (t) άρα (t) = 3y (t) () Από (1),() y (t) = Άρα 1 = 3 (t) 1 1 (t) 1 3y (t) με y (t) > 0. (t) 1 = 3 (t) 1 = 9 4 (t) = Τότε y(t) = = 3. Άρα τ ζητύμεν σημεί είναι Μ( 13 4, 3 ). Αν ένα κινητό κινείται κατά μήκς μιας καμπύλης C f πυ είναι γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f τότε η τετμημένη και η τεταγμένη τυ τη χρνική στιγμή t είναι (t) και y(t), ενώ ρυθμός μεταβλής (t) και y (t) αντίστιχα. 5

6 Παράδειγμα. Αν όγκς V μιας σφαιρικής μπάλας αυξάνεται με ρυθμό 45cm 3 /sec, να βρείτε τ ρυθμό μεταβλής της επιφάνειας της E,όταν η ακτίνα είναι R=17cm. 4 3 Υπενθυμίζυμε ότι:( E= 4π R, V= π R ) 3 Έστω R = R(t) η ακτίνα της σφαίρας ως συνάρτηση τυ χρόνυ. Τότε όγκς V της σφαίρας συναρτήσει τυ χρόνυ θα είναι V(t) = 4 3 πr3 (t). Άρα ρυθμός μεταβλής τυ όγκυ θα είναι V (t) = 4 3 π3r (t)r (t) = 4πR (t)r (t) Άρα R (t) = V (t) 4π R (t) (1) Τ εμβαδόν της επιφάνειας E συναρτήσει τυ χρόνυ είναι E(t) = 4πR (t). Τότε ρυθμός μεταβλής της επιφάνειας θα είναι Ε (t) = 8πR(t) R (t). () V (t) V (t) H () λόγω της (1) Θα μας δώσει: Ε (t) = 8πR(t) Ε (t) = 4πR (t) R(t) 45 Για R(t) = 17 έχυμε E (t) = = 50cm / sec. 17 Για τη λύση πρβλημάτων με ρυθμό μεταβλής πρέπει να εκφράσυμε τ μέγεθς τυ πίυ αναζητύμε τ ρυθμό μεταβλής μέσω κάπιας συνάρτησης.στη συνέχεια συνδυάζντας τα δεδμένα τυ πρβλήματς δημιυργύμε κατάλληλη εξίσωση πυ περιέχει τη συνάρτηση και με παραγώγιση των δυ μελών της εξίσωσης εμφανίζεται ρυθμό μεταβλής τυ ζητύμενυ μεγέθυς. 6

7 Παράδειγμα 3. Έστω η συνάρτηση f() = e και Α σημεί της γραφικής παράστασης της f, στ πί η εφαπτμένη διέρχεται από την αρχή των αξόνων. α) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτμένης. β) Αν ένα κινητό Μ κινείται κατά μήκς της καμπύλης της C f και καθώς περνάει από τ Α η τετμημένη τυ ελαττώνεται με ρυθμό 3 μνάδες ανά δευτερόλεπτ, να βρείτε τ ρυθμό μεταβλής της τεταγμένης τυ τη χρνική στιγμή πυ τ Μ περνάει από τ Α. α) Η εφαπτμένη της C f στ σημεί A( 0, f( 0 )) έχει εξίσωση ε: y f( 0 ) = f ( 0 )( 0 ) και αφύ διέρχεται από την αρχή των αξόνων, τ Ο (0,0) θα την επαληθεύει. Τότε ε: 0 f( 0 ) = f ( 0 )(0 0 ) όπυ f( 0 ) = e 0 και f ( 0 ) = e 0 άρα e = e 0 e = e 0 e e 0 = 0 e (1 0) = 0 1 = 0 = άρα Α(1,e) τ σημεί επαφής και η εξίσωση της ε: ( ) ( )( ) ( ) y f 1 = f 1 1 y e= e 1 y e= e e y= e Οπότε η εξίσωση της ζητύμενης εφαπτμένης είναι y=e. β) Έστω =(t), y=y(t) ι συντεταγμένες τυ Μ τότε y(t) = e (t) (1) Παραγωγίζντας τα δυ μέλη της (1) θα πάρυμε y (t) = e (t) (t) () Αλλά όταν τ Μ περνάει από τ Α(1,e) τ (t) μειώνεται με ρυθμό 3 μνάδες /sec,άρα (t) = 3 και (t) = 1. Τότε από τη σχέση () έχυμε : y (t) = e (-3)=-3e μνάδες/sec. Άρα η τεταγμένη μειώνεται με ρυθμό 3e μνάδες /sec. Αν ένα κινητό κινείται κατά μήκς της καμπύλης C f της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f και αναζητύμε τ ρυθμό μεταβλής της τετμημένης ή της τεταγμένης τη χρνική στιγμή πυ τ κινητό διέρχεται από τ σημεί Α: α) νμάζυμε =(t) και y=y(t) τις συντεταγμένες, τότε y(t) = f((t)) (1) β) παραγωγίζυμε τη (1) και έχυμε y (t) = f ((t)) (t) () γ) επιλύυμε την () ως πρς (t) ή y (t) αναλόγως την ερώτηση. 7

8 Παράδειγμα 4. α) Να βρείτε τα κ, λ ώστε άξνας να εφάπτεται της C f στ 0 =, όταν f() = + κ +λ. β) Έστω,y ι διαστάσεις ενός ρθγωνίυ παραλληλγράμμυ. Αν η διάσταση μεταβάλλεται με ρυθμό κ cm/sec και η διάσταση y μεταβάλλεται με ρυθμό λ cm/sec, όπυ κ, λ ι πραγματικί αριθμί τυ ερωτήματς (α), να βρεθεί ρυθμός μεταβλής τυ εμβαδύ τυ ρθγωνίυ παραλληλγράμμυ τη χρνική στιγμή πυ τ =3cm και τ y=5 cm. α) Αφύ άξνας εφάπτεται της C f στ 0 f ( ) = 0 Όμως f ( ) = + κ Οπότε λύνντας τ σύστημα έχυμε : ( ) ( ) f = + κ +λ= 0 κ+λ= λ= f = 0 + k = 0 κ= 4 κ= =, θα ισχύυν ι σχέσεις : ( ) f = 0 και β) Οι διαστάσεις,y τυ ρθγωνίυ παραλληλγράμμυ συναρτήσει τυ χρόνυ t είναι (t) και y(t) αντίστιχα. Επειδή τ (t) μεταβάλλεται με ρυθμό κ cm/sec άρα μειώνεται με ρυθμό cm/sec, άρα (t) = cm/sec. Ενώ τ y(t) μεταβάλλεται με ρυθμό λ cm/sec άρα αυξάνεται με ρυθμό 4 cm/sec, άρα y (t) = 4 cm/sec. To εμβαδόν συναρτήσει τυ χρόνυ t δίνεται από τν τύπ E(t) = (t)y(t). Τότε ρυθμός μεταβλής τυ εμβαδύ είναι: E (t) = [(t)y(t)] = (t)y(t) + (t)y (t) = = cm /sec. Άρα τ εμβαδόν αυξάνεται με ρυθμό cm /sec. Αν αναζητύμε τ ρυθμό μεταβλής της επιφάνειας ενός επίπεδυ σχήματς,εκφράζυμε τ εμβαδόν μέσω κάπιυ τύπυ της Ευκλείδειας Γεωμετρίας και παραγωγίζυμε τη σχέση αυτή, ώστε να εμφανίσυμε τ ρυθμό μεταβλής τυ εμβαδύ. 8

9 ΘΕΜΑ Δ Παράδειγμα 1. = o Στ διπλανό σχήμα είναι A 90. Από τ σημεί Α διέρχεται ένας πδηλάτης πυ κινείται ευθύγραμμα πρς τ σημεί Γ με σταθερή ταχύτητα 4 m/sec. Στ σημεί Β πυ απέχει 5 m από τ σημεί Α, βρίσκεται ένας ακίνητς παρατηρητής. Να βρείτε τ ρυθμό μεταβλής της απόστασης πδηλάτη - παρατηρητή όταν η απόσταση αυτή είναι 13 m. Β Α Γ Διαπιστώνυμε ότι τα μεταβλητά μεγέθη πυ μας ενδιαφέρυν είναι η απόσταση τυ πδηλάτη από τ σημεί Α και από τ σημεί Β τις πίες νμάζυμε και y αντίστιχα. Β Ορίζυμε ως t o τη χρνική στιγμή στην πία αναζητύμε τ ρυθμό μεταβλής της απόστασης πδηλάτη - παρατηρητή και Δ τ σημεί στ πί βρίσκεται πδηλάτης τη χρνική στιγμή t o. Έτσι γνωρίζυμε: Α Δ Γ ( AB) = 5 m, (A ) = (t o), ( Β ) = y(t o) = 13m, (t) = 4 m / sec και ζητείται να υπλγίσυμε τ y (t o). Η σχέση με την πία συνδένται ι μεταβλητές για την τυχαία χρνική στιγμή t πρκύπτει από τ Πυθαγόρει θεώρημα: y (t) = (t) + 5 (1) Παραγωγίζυμε τη σχέση ως πρς t και παίρνυμε y(t) y (t) = (t) (t) και για τη χρνική στιγμή t o η παραπάνω σχέση δίνει: y(t ) y (t ) = (t ) (t ) y(t ) y (t ) = (t ) (t ). Αντικαθιστώντας τα δεδμένα έχυμε: 13y (t ) = (t ) 4 (). Επιστρέφυμε στη σχέση (1) η πία, για τη χρνική στιγμή t o δίνει: y (t ) = (t ) = (t ) + 5 9

10 (t o) = 1 m. Η σχέση () τώρα μας επιτρέπει τν υπλγισμό τυ 48 y (t o), άρα y (t o) = m/sec. 13 Όταν έχυμε να αντιμετωπίσυμε πρβλήματα στα πία εμφανίζεται στα ζητύμενα ή στα δεδμένα ρυθμός μεταβλής τότε: Κάνυμε τ σχήμα απτυπώνντας δύ διαφρετικές χρνικές στιγμές, δηλαδή την τυχαία χρνική στιγμή t και την χρνική στιγμή t 0 πυ ζητάμε τν ρυθμό μεταβλής, ώστε να είναι σαφές πια είναι τα σταθερά και πια τα μεταβλητά μεγέθη. Ονμάζυμε τα μεταβλητά μεγέθη χ, y κλπ. και εκφράζυμε τα δεδμένα και τα ζητύμενα σε σχέση με τα μεγέθη αυτά «μεταφράζντας» τις εκφράσεις αυτές σε μαθηματική γλώσσα. Βρίσκυμε τη συνάρτηση με την πία συνδένται ι μεταβλητές πυ μας ενδιαφέρυν. Η παραπάνω συνάρτηση για τη χρνική στιγμή t 0 στην πία ζητείται ρυθμός μεταβλής συνήθως μας δίνει πληρφρίες πυ θα αξιπιήσυμε στη συνέχεια. Παραγωγίζυμε τη συνάρτηση για να εμφανίσυμε τ ρυθμό μεταβλής πυ ζητείται, λαμβάνντας υπόψη ότι πλλές φρές περιέχνται στη συνάρτηση σύνθετες συναρτήσεις (Π.χ όταν η μεταβλητή είναι τ χ, ενώ είναι ( (t)) (t) (t) όταν είναι σύνθετη με μεταβλητή τ t ). Αν ζητείται ρυθμός μεταβλής σε μία συγκεκριμένη χρνική στιγμή t 0 αντικαθιστύμε τ t με t 0 αξιπιώντας τις πληρφρίες πυ γνωρίζυμε. 10