ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΙΔΩΛΩΝ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Transcript

1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΙΔΩΛΩΝ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ Συγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

2 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Μέθδς των Ειδώλων Στην παράγραφ αυτή αναπτύσσεται η μέθδς των ειδώλων, με την πία βρίσκεται έμμεσα η λύση ρισμένων ηλεκτρστατικών πρβλημάτων με απλό τρόπ, δηλαδή χωρίς να είναι απαραίτητη η επίλυση της εξίσωσης Laplace. Σύμφωνα με τη μέθδ αυτή η λύση τυ πρβλήματς τυ πεδίυ συστήματς ακίνητων σημειακών φρτίων (ή στάσιμης κατανμής φρτίυ και αγωγύ ανάγεται στη λύση ενός ισδύναμυ απλύστερυ ηλεκτρστατικύ πρβλήματς, στ πί αγωγός έχει αντικατασταθεί από κατάλληλ σύστημα σημειακών φρτίων (φρτία είδωλα. Η θέση των φρτίων ειδώλων πρκύπτει από τν κατπτρισμό των φρτίων ως πρς τν αγωγό πυ δρα ως κάτπτρ. Στην πράξη η εφαρμγή της μεθόδυ των ειδώλων περιρίζεται στις περιπτώσεις όπυ η επιφάνεια τυ αγωγύ έχει απλό σχήμα, πότε είναι δυνατή η ανεύρεση και μελέτη τυ ισδύναμυ συστήματς των σημειακών φρτίων ειδώλων. Ακλύθως αναπτύσσνται δυ απλές περιπτώσεις επιλύσεως πρβλημάτων με τη μέθδ των ειδώλων : α q = - q q Στην περίπτωση ενός γειωμένυ αγώγιμυ επιπέδυ (V=0 και ενός σημειακύ φρτίυ q σε απόσταση από τ επίπεδ, σύμφωνα με τη μέθδ των ειδώλων τ σύστημα σημειακύ φρτίυ γειωμένυ επιπέδυ πρσμιώνεται από σύστημα δυ σημειακών φρτίων q και q = - q (φρτί είδωλ συμμετρικά σε απόσταση ως πρς τ επίπεδ. Παρατηρείται ότι η τιμή και η θέση τυ φρτίυ ειδώλυ είναι τέτια ώστε τ συνλικό δυναμικό να είναι μηδέν πάνω στ επίπεδ. V= 0 Σχήμα 3.8 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

3 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ β O q q V= 0 Σχήμα 3.9 Τ πρόβλημα ενός σημειακύ φρτίυ q, πυ απέχει απόσταση από τ κέντρ γειωμένης σφαίρας ακτίνας (>, πρσμιώνεται σύμφωνα με τη μέθδ των ειδώλων από τ σύστημα των σημειακών φρτίων q και q. To φρτί είδωλ q θα πρέπει να έχει τέτια τιμή και θέση ώστε τ συνλικό δυναμικό να είναι μηδέν πάνω σε επιφάνεια σφαίρας ακτίνας. Ο υπλγισμός αυτός δίνει ότι τ φρτί είδωλ έχει τιμή : q q ( και τ πί πρέπει να βρίσκεται πρς τ μέρς τυ q και σε απόσταση από τ κέντρ της σφαίρας : ( Παρατήρηση : Στην περίπτωση πυ αγωγός έχει δυναμικό V 0, στ ισδύναμ σύστημα των σημειακών φρτίων, εκτός από τ φρτί q και φρτί είδωλ q, απαιτείται και δεύτερ φρτί είδωλ q από τη σχέση : στ κέντρ Ο, τυ πίυ η τιμή καθρίζεται q 4πε V (3 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

4 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση Γειωμένς αγώγιμς φλιός ακτίνας φέρει στ κέντρ τυ θετικό σημειακό φρτί Q. Να υπλγιστεί η δύναμη πυ ασκείται σε θετικό σημειακό φρτί q, τ πί απέχει από τ Q απόσταση. Λύση Q q q Σύμφωνα με τη μέθδ των ειδώλων γειωμένς αγώγιμς φλιός (διατηρείται σε δυναμικό V=0 αντικαθίσταται από ένα φρτί είδωλ q q/, τ πί βρίσκεται πρς τ μέρς τυ q και σε απόσταση από τ κέντρ /. V = 0 Επμένως η δύναμη πυ ασκείται στ φρτί q σύμφωνα με την αρχή της επαλληλίας φείλεται στ φρτί Q και τ φρτί είδωλ q. Δηλαδή : F qq qq qq q ˆ ˆ F ˆ 4πε 4πε ( 4πε 4πε ( ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

5 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Άσκηση Μια άπειρη γειωμένη αγώγιμη πλάκα παρυσιάζει ημισφαιρική πρεξχή ακτίνας. Ένα σημειακό φρτί q τπθετείται στν άξνα συμμετρίας τυ συστήματς σε απόσταση α > από τ επίπεδ. Να υπλγιστεί τ δυναμικό σε σημεί P πυ απέχει απόσταση b πάνω από τ φρτί q. Λύση V = 0 b α α P q q q Σύμφωνα με τη μέθδ των ειδώλων τ σημειακό φρτί q έχει ως πρς τν ημισφαιρικό γειωμέν αγωγό, φρτί είδωλ σε απόσταση από τ κέντρ τυ ημισφαιρίυ, ενώ ως πρς τ αγώγιμ γειωμέν επίπεδ έχει είδωλ σε απόσταση α κάτω από τ επίπεδ. q -q/α q q / α Επίσης υπάρχει και τ είδωλ ως πρς τ επίπεδ τυ φρτίυ ειδώλυ q, δηλαδή τ q q q / α σε απόσταση / α κάτω από τ επίπεδ. q Συνεπώς τ δυναμικό στ σημεί P φείλεται στα τέσσερα αυτά σημειακά φρτία και είναι : VP V V V3 V4 4πε q q b b ( α - q q b α b α V P 4πε q q b α(b α - q q b α α( b α ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

6 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Άσκηση 3 Μια γειωμένη αγώγιμη πλάκα βρίσκεται στ επίπεδ y και ένα ευθύγραμμ σύρμα γραμμικής πυκνότητας φρτίυ λ βρίσκεται στ επίπεδ z, παράλληλα στν άξνα και σε απόσταση α από αυτόν. Να υπλγιστεί η ένταση τυ ηλεκτρικύ πεδίυ στ σημεί P(0,0,z. Πια η τιμή αυτής για σημεία όπυ z >>α; Λύση z z P y α α λ -λ V=0 Σύμφωνα με τη μέθδ των ειδώλων η γειωμένη αγώγιμη πλάκα αντικαθίσταται από ευθύγραμμ σύρμα γραμμικής πυκνότητας λ σε απόσταση α κάτω από τ επίπεδ y. Η ένταση τυ ηλεκτρικύ πεδίυ ευθύγραμμης μιόμρφης κατανμής φρτίυ είναι : λ ( ˆ ( πε όπυ η απόσταση από την κατανμή. Άρα η ένταση τυ ηλεκτρικύ πεδίυ των δυ ευθύγραμμων κατανμών στ σημεί P, σύμφωνα με την αρχή της επαλληλίας και τη σχέση ( είναι : P πε λ λ λ ẑ ẑ (z α πε (z α πε ẑ z α z α λ πε α z α ẑ λα P πε (z α ẑ ( Αν z >> α ισχύει η πρσέγγιση z α z, πότε η σχέση ( δίνει : λα πε z ẑ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

7 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Άσκηση 4 Ένα θετικό σημειακό φρτί q βρίσκεται σε απόσταση από άπειρ αγώγιμ γειωμέν επίπεδ. Να υπλγιστύν : α Η δύναμη πυ ασκείται στ σημειακό φρτί q. β Τ έργ πυ απαιτείται για να μεταφερθεί τ φρτί q στ άπειρ. Συγκρίνετε τ απτέλεσμα αυτό με την ηλεκτρστατική ενέργεια δυ φρτίων +q, -q σε απόσταση (πραγματικό κατπτρικό. γ Η ένταση επί τυ επίπεδυ αγωγύ και η επιφανειακή τυ πυκνότητα φρτίυ σ. δ Η απόσταση από τν πόδα της καθέτυ στην πία πρσπίπτυν ι δυναμικές γραμμές πυ ξεκινύν από τ φρτί q και είναι ριζόντιες. Λύση V=0 z +q θ q q ( / P θ α Σύμφωνα με τη μέθδ των ειδώλων τ πρόβλημα σημειακύ φρτίυ q και άπειρυ αγώγιμυ γειωμένυ επιπέδυ πρσμιώνεται με τ σύστημα δυ σημειακών φρτίων +q και q q σε συμμετρικές θέσεις, ως πρς τ επίπεδ. Επμένως η δύναμη πυ ασκείται στ φρτί q, σύμφωνα με τ νόμ τυ Coulomb είναι : F qq q ẑ 4πε ( 6πε ẑ ( β Τ έργ για τη μεταφρά τυ φρτίυ q στ άπειρ είναι : W ( q F 6πε q W 6πε Η ηλεκτρστατική ενέργεια δυ φρτίων +q, -q σε απόσταση είναι : U qq q U 4πε 8πε ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

8 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Παρατηρείται ότι η ενέργεια U είναι τ διπλάσι τυ έργυ πυ υπλγίστηκε πρηγυμένως. Αυτό φείλεται στ γεγνός ότι κατά τν υπλγισμό τυ έργυ W τ φρτί +q και τ είδωλό τυ q απμακρύννται καλύπτντας ίσα διαστήματα μέχρι να βρεθύν σε άπειρη απόσταση, ενώ αντίθετα η ενέργεια U υπλγίζεται θεωρώντας τ φρτί +q να κινείται πρς τ άπειρ εντός τυ πεδίυ τυ ακίνητυ φρτίυ q, δηλαδή για να βρεθύν τώρα τα φρτία +q, -q σε άπειρη απόσταση θα πρέπει τ φρτί +q να διανύσει διπλάσι διάστημα σε σχέση με την πρηγύμενη περίπτωση. γ Η ένταση πάνω στν επίπεδ αγωγό σε σημεί P, πυ απέχει απόσταση από την κατακόρυφ, θα είναι κάθετη με φρά πρς τ εσωτερικό τυ αγωγύ και θα είναι: - q cos θ(-z ˆ 4πε ( ( / ẑ πε ( q 3/ ẑ ( Η επιφανειακή πυκνότητα φρτίυ σ τυ επιπέδυ αγωγύ υπλγίζεται μέσω της βασικής σχέσης (3 πυ ισχύει για τυς αγωγύς : σ ε ( ẑ πε ( q 3/ ẑ σ ε ẑ q σ (3 3/ π ( Παρατήρηση Επισημαίνεται ότι αν η πυκνότητα αυτή σ λκληρωθεί επί τυ επιπέδυ y, θα πρκύψει τ επαγόμεν φρτί q. Δηλαδή : q σ S S 0 σ π 0 (3 φq q Άρα τ επαγόμεν φρτί ισύται με q υπδηλώνντας τ βαθύτερ περιεχόμεν της μεθόδυ των ειδώλων. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

9 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ δ +q S E Η ζητύμενη απόσταση πυ σχηματίζυν ι δυναμικές γραμμές πυ ξεκινύν από τ φρτί +q και είναι ριζόντιες. Παρατηρείται ότι ηλεκτρική ρή διέρχεται μόν από τη βάση τυ ημισφαιρίυ αυτύ (επιφάνεια Gauss κι επειδή ι δυναμικές γραμμές κατευθύννται πρς όλες τις διευθύνσεις, λόγω συμμετρίας η επιφάνεια αυτή είναι σαν να περικλείει τ μισό φρτί q, δηλαδή q enc q /. Επμένως εφαρμόζντας τ νόμ τυ Gauss για τ κλειστό ημισφαίρι κάτω από τ φρτί q πρκύπτει : μπρεί να θεωρηθεί ως η ακτίνα της βάσης τυ ημισφαιρίυ q ( enc S ε πε S S ( q 3/ q / ẑ( Sẑ ε S π( 3/ S (όπυ είναι S Sẑ Αλλά S = π είναι η επιφάνεια ενός στιχειώδυς κυκλικύ δακτυλίυ της βάσης τυ ημισφαιρίυ, πότε η παραπάνω γίνεται : π 3/ 3/ 0 π( 0 ( ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ